人教版初中数学角

合集下载

人教版初中数学八年级上册实验与探究三角形中边与角之间的不等关系(全国一等奖)

《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计一．内容和内容解析1.内容：三角形中边与角之间的不等关系：大边对大角，大角对大边2.内容解析：本节内容是八年级上册数学教科书第十三章《轴对称》这一章章末的“实验与探究”材料。

它是在学生学习了三角形中“等边对等角”和“等角对等边”的性质后提出来的反思：如果三角形的边（角）不相等，那么它们所对的角（边）的大小关系怎样大边所对的角也大吗从“等角对等边”到“大角对大边”，从“等边对等角”到“大边对大角”，至此，教材将三角形中的“相等”与“不等”关系演绎的淋漓尽致。

针对学生的认知水平，课本利用了轴对称的方法来解决问题，借助于轴对称，解决了上述疑问，也获得了添加辅助线证明性质的方法。

在此探索与证明的过程中，体现了转化的思想。

基于以上分析，确定本节课的教学重点，探索并证明三角形中边与角之间的不等关系。

二．目标与目标解析1.目标（1）探索并证明三角形中边与角的不等关系（2）能利用三角形中边与角的不等关系来比较边或角的大小（3）结合上述性子和探索的证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的桥梁作用，以及在此过程中作辅助线的方法。

2.目标解析达成目标（1）的标志是学生能借助实验探究发现在一个三角形中边与角之间的不等关系，并能推理论证出来，能正确理解其中的含义，能用数学语言准确表述性质的含义。

达成目标（2）的标志是：学生能解决相关应用问题。

达成目标（3）的标志是：学生获得添加辅助线证明几何题的方法。

三．教学重难点教学重点：三角形中边与角之间的不等关系的探究过程。

教学难点：折纸的无意操作与辅助线的有意添加结合，即如何从实验操作中得到启示，写成几何证明的表达。

教具准备：三角形纸片数张、剪刀、圆规、三角板等。

四．教学过程一、课题引入我们知道，在一个三角形中，如果有两条边相等，那么它们所对的角也相等（等边对等角）。

在一个三角形中，如果两条边不相等，这两条边所对的角是否相等呢二、探究“大边对大角”（一）观察图形，提出猜想观察你手边的不等边三角形纸片，能得到你的猜想吗（在△ABC中，边AC对∠B，边AB对∠C，同学们通过肉眼观察可得到∠C大于∠B，故猜想大边对大角）综上，我们提出猜想：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大（简写成"大边对大角"）（二）小组讨论，验证猜想1量角器测量：通过几何画板演示验证2折纸活动：A B CED A B C 我们在探究“等边对等角”时，采用将三角形对折的方式，发现了“等边对等角”，从而利用三角形的全等证明了这些性质。

新人教版初中数学——点、线、面、角-知识点归纳及例题解析

新人教版初中数学——点、线、面、角知识点归纳及例题解析一、直线、射线、线段1．直线的性质（1）两条直线相交，只有一个交点；（2）经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；（3）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．2．线段的性质两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离．3．线段的中点性质若C是线段AB中点，则AC=BC=12AB；AB=2AC=2BC．4．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交．5．垂线的性质（1）两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；（2）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．6．点到直线的距离从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离．二、角1．角有公共端点的两条射线组成的图形．2．角平分线（1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线（2）性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =12∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．3．度、分、秒的运算方法1°=60′，1′=60″，1°=3600″．1周角=2平角=4直角=360°．4．余角和补角（1）余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；（2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．（3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．5．方向角和方位角在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．三、立体图形1．常见的立体图形有：球、柱体和锥体．圆柱和棱柱的区别：圆柱的底面是圆，棱柱的底面是多边形；圆柱的侧面是曲面，棱柱的侧面是四边形；圆锥和棱锥的区别：圆锥的底面是圆，侧面是曲面；棱锥的底面是多边形，侧面是三角形．2．点动成线，线动成面，面动成体，线没有粗细，点没有大小．3．设立体图形的面数为F，顶点数为V，棱数为E，则F+V-E=2．4．正方体的平面展开图有如下11种类型：考向一直线、射线、线段在解答有关线段的计算问题时，一般要注意以下几个方面：①按照已知条件画出图形是正确解题的关键；②观察图形，找出线段之间的关系；③简单的问题可通过列算式求出，复杂的问题可设未知数，利用方程解决．典例1 如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其运用到的数学原理是A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线C．垂线段最短D．过一点有且只有一条直线和已知直线平行【答案】B【解析】建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法运用到的数学原理是：两点确定一条直线，故选B．典例2 已知AB=10，C是射线AB上一点，且AC=3BC，则BC的长为A．2.5 B．103C．2.5或5 D．103或5【答案】C【解析】①如图，10×14=2.5；②如图，10×12=5，故选C．1．下列叙述中，①延长直线AB到点C；②延长射线AB到点C；③延长线段AB到点C；④反向延长线段BA到点C；⑤反向延长射线AB到点C，其中正确的有A．1 B．2C．3 D．42．如图，在数轴上有A、B、C、D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD，若A、D两点表示的数分别为-5和6，且AC的中点为E，BD的中点为M，BC之间距点B的距离为13BC的点N，则该数轴的原点为A．点E B．点FC．点M D．点N考向二角1．角平分线必须同时满足三个条件：①是从角的顶点引出的射线；②在角的内部；③将已知角平分．2．类似地，也有角的n等分线，如三等分线，如图，∠1=∠2=∠3=13∠AOD或∠AOD=3∠1=3∠2=3∠3．典例3 一副三角尺按如图所示摆放，已知∠1比∠2的3倍少10°，则∠1的值为A．20°B．70°C．25°D．65°【答案】D【解析】根据图示可知∠1+∠2=90°，根据题意可知∠1=3∠2-10°，所以∠2=（90°+10°）÷4=25°，所以∠1=65°，故选D ．【名师点睛】本题考查了互余以及一元一次方程的应用，找到∠1和∠2之间的关系是解决此题的关键．典例4 如图，要修建一条公路，从A 村沿北偏东75°方向到B 村，从B 村沿北偏西25°方向到C 村．若要保持公路CE 与AB 的方向一致，则∠ECB 的度数为A ．80°B ．90°C ．100°D ．105°【答案】A【解析】如图，由题意可得：AN FB ∥，EC BD ∥，故75NAB FBD ∠=∠=︒，∵25CBF ∠=︒，∴100CBD ∠=︒，则18010080ECB ∠=-=︒︒︒．故选A ．典例5 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ．（1）若∠AOC =70°，∠DOF =90°，求∠EOF 的度数；（2）若OF 平分∠COE ，∠BOF =15°，若设∠AOE =x °． ①用含x 的代数式表示∠EOF ； ②求∠AOC 的度数．【解析】（1）由对顶角相等可知：∠BOD=∠AOC=70°，∵∠FOB=∠DOF-∠BOD，∴∠FOB=90°-70°=20°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=12∠BOD=12×70°=35°，∴∠EOF=∠FOB+∠BOE=35°+20°=55°．（2）①∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE，∵∠BOE+∠AOE=180°，∠COE+∠DOE=180°，∴∠COE=∠AOE=x，∵OF平分∠COE，∴∠FOE=12 x．②∵∠BOE=∠FOE-∠FOB，∴∠BOE=12x-15°，∵∠BOE+∠AOE=180°，∴12x-15°+x=180°，解得x=130°，∴∠AOC=2∠BOE=2×（180°-130°）=100°．【名师点睛】本题主要考查的就是角平分线的性质、对顶角的性质以及角度之间的关系，在解决角的问题时，我们一定要将未知的角通过对顶角和角平分线的性质转化为已知的角，然后根据题目中给出的角度进行求解得出答案．对于这种题目还经常会出现一些隐含的条件，我们一定要能够根据题目发现条件．3．计算：18°30′=__________°．4．如图，∠AOB=180°，∠BOC=80°，OD平分∠AOC，∠DOE=3∠COE，求∠BOE．考向三立体图形的平面展开图1．从不同方向看物体，看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线．2．在正方体的平面展开图中，一条直线上的小正方形不会超过四个；展开图中不会出现“田”字形、“凹”字形的形状．典例6 下列各图中，可以是一个正方体的表面展开图的是A．B．C．D．【答案】B【解析】正方体的展开图形共有11种情况，选项中只有B选项符合，故选B．典例7 如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则2x-y的值为________．【答案】–3【解析】两数互为相反数，和为0．本题应对图形进行分析，可知y对应x，5对应2x–3，由此可得：y=–x，2x–3=–5，解得：x=–1，y=1，∴2x–y=2×（–1）–1=–3．故答案为：–3．5．如图所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形中的A．B．C．D．6．如图是一个正方体包装盒的表面积展开图，若在其中的三个正方形A、B、C内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则填在A、B、C内的三个数依次为A．0，-2，1 B．0，1，2C．1，0，-2 D．-2，0，17．如图是正方体的表面展开图，折叠成正方体后，其中哪两个完全相同__________．1．将如图所示的几何图形，绕直线l旋转一周得到的立体图形A．B．C．D．2．如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是A．B．C．D．3．如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为A．北偏东30°B．北偏东80°C．北偏西30°D．北偏西50°4．如果一个角的余角是50°，那么这个角的度数是A．30°B．40°C．50°D．130°5．将一副三角板按如图方式摆放，∠1与∠2不一定互补的是A．B．C．D．6．如图，A，B，C，D是直线L上顺次四点，M，N分别是AB，CD的中点，且MN=6 cm，BC=1 cm，则AD的长等于A．10 cm B．11 cmC．12 cm D．13 cm7．如图，D是AB的中点，E是BC的中点．（1）若AB=3，BC=5，则DE=__________；（2）若AC=8，EC=3，则AD=__________．8．已知∠α和∠β互为补角，且∠β比∠α小30°，则∠β等于__________°．9．如图，一只蜘蛛从长、宽都为3，高为8的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是__________．10．某人下午6点到7点之间外出购物，出发和回来时发现表上的时针和分针的夹角都为110°，此人外出购物共用了__________分钟．11．已知线段AB=12，CD=6，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧）．（1）当D点与B点重合时，AC=__________；（2）点P是线段AB延长线上任意一点，在（1）的条件下，求PA+PB–2PC的值；（3）M、N分别是AC、BD的中点，当BC=4时，求MN的长．12．已知∠AOB=120°，OC、OD过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB．（1）如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，求∠MON的度数；（2）如图②，若∠COD=50°，∠AOC≠∠DOB，求∠MON的度数；（3）如图③，在∠AOB内，若∠COD=α（0°<α<60°），求∠MON的度数．1．如图，将下面的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是A．B．C．D．2．下列四个几何体中，是三棱柱的为A．B．C．D．3．由下面正方体的平面展开图可知，原正方体“中”字所在面的对面的汉字是A．国B．的C．中D．梦4．如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为2 的面与其对面上的数字之积是A ．12-B ．0C ．8-D ．10-5．若2945'α=︒，则α的余角等于 A ．6055'︒B ．6015'︒C ．15055'︒D ．15015'︒6．与30的角互为余角的角的度数是 A ．30B ．60︒C ．70︒D ．90︒7．如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒8．已知6032'α∠=︒，则α∠的余角是 A ．2928'︒B ．2968'︒C ．11928'︒D ．11968'︒9．如图，小明从A 处沿北偏东40︒方向行走至点B 处，又从点B 处沿东偏南20︒方向行走至点C 处，则ABC ∠等于A ．130︒B ．120︒C ．110︒D ．100︒10．如果∠α=35°，那么∠α的余角为__________．11．如图，已知AB =8 cm ，BD =3 cm ，C 为AB 的中点，则线段CD 的长为__________cm ．1．【答案】C【解析】①直线是无限延伸的，不能延长，故本选项错误；②射线可以反方向延长，不能延长，故本选项错误；③延长线段AB到点C，故本选项正确；④反向延长线段BA到点C，故本选项正确；⑤反向延长射线AB到点C，故本选项正确．故选C．2．【答案】D【解析】∵2AB=BC=3CD，∴设CD=x，则BC=3x，AB=1.5x，∵A、D两点表示的数分别为-5和6，∴AD=11，∴x+3x+1.5x=11，解得x=2，故CD=2，BC=6，AB=3，∵AC的中点为E，BD的中点为M，∴AE=EC=4.5，BM=MD=4，则E点对应的数是-0.5，M点对应的数为2，∵BC之间距点B的距离为13 BC的为点N，∴BN=13BC=2，∴AN=5，∴N点对应的数为0，即为原点，故选D．3．【答案】18.5【解析】18°30′=18.5°，故答案为：18.5．4．【解析】∵∠AOB=180°，∠BOC=80°，∴∠AOC=100°，∵OD平分∠AOC，∴∠COD=12∠AOC=50°，又∵∠DOE=3∠COE，∴∠COE=12∠COD=25°，∴∠BOE=∠BOC-∠COE=55°．5．【答案】D【解析】把正方体展开有四种情况：A是2-2-2型；B是1-4-1型；C是1-4-1型；D是1-4-1型，把这几个图形分别折成正方体，会发现三个阴影的面相邻，但又不在同一列上，而且直角三角形的锐角所在的顶点与呈正方形阴影的面共用一个顶点．只有D是上面正方体的展开图，故选D．6．【答案】A【解析】由正方体展开图的特征，相对的面展开后中间会间隔一个面可知，和A相对的是0，和B相对的是2，和C相对的是-1，所以A、B、C内依次填0、-2、1，故选A．7．【答案】（2）（4）【解析】∵（1）菱形对面是×，正方形对面是※，+对面是；（2）菱形对面是×，对面是※，+对面是正方形；以※为正面，（上，左，下，右）=（+，X，正方形，菱形）；（3）菱形对面是×，对面是※，+对面是正方形；以※为正面，（上，左，下，右）=（+，菱形，正方形，X）；（4）菱形对面是×，对面是※，+对面是正方形；以※为正面，（上，左，下，右）=（+，X，正方形，菱形）．∴两个完全相同的是（2）（4）．故答案是：（2）（4）．【名师点睛】此题考查了立体图形的展开图．培养了学生的立体思维与空间想象能力，注意找同一个基准图形，再将其周围四个图案按照顺时针或逆时针顺序排列．考点冲关1．【答案】C【解析】绕直线l旋转一周，可以得到的圆台，故选C．2．【答案】B【解析】A、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误；B、展开得到，能和原图相对，故本选项正确；C、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误；D、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误．故选B．3．【答案】A【解析】如图，AP∥BC，∴∠2=∠1=50°．∠3=∠4–∠2=80°–50°=30°，此时的航行方向为北偏东30°，故选A．4．【答案】B【解析】设这个角为x°，由题意得：90-x=50，解得：x=40，故选B．5．【答案】D【解析】A、∵∠1+∠2=360°–90°×2=180°，∴∠1与∠2一定互补，故本选项不符合题意；B、∵∠1=30°+90°=120°，∴∠1+∠2=120°+60°=180°，∴∠1与∠2一定互补，故本选项不符合题意；C、∵∠1=180°–60°=120°，∴∠1+∠2=120°+60°=180°，∴∠1与∠2一定互补，故本选项不符合题意；D、∠1度数无法确定，∠2=60°，所以∠1与∠2不一定互补，故本选项符合题意．故选D．6．【答案】B【解析】∵MN=6 cm，∴MB+CN=6-1=5 cm，AB+CD=10 cm，∴AD=11 cm，故选B．7．【答案】4；1【解析】（1）∵D是AB的中点，E是BC的中点，AB=3，BC=5，∴BD=12AB=32，BE=12BC=52，∴DE =BD +BE =3522+=4，故答案为：4．（2）∵EC =3，E 是BC 的中点，∴BC =2EC =6，∵AC =8，∴AB =AC -BC =8-6=2，∵D 是AB 的中点， ∴AD =12AB =1，故答案为：1． 8．【答案】75【解析】∵∠α和∠β互为补角，且∠β比∠α小30°，∴18030αββα∠+∠=︒⎧⎨∠=∠-︒⎩，解得：∠α=105°，∠β=75°，故答案为：75． 9．【答案】10【解析】如图1，AB =()22383130++=，如图2，AB 226810+=13010>，∴最短路径为10，故答案为：10． 10．【答案】40【解析】设此人外出购物共用了x 分钟，则（6−0.5）x =110+110，解得x =40，所以此人外出购物共用了40分钟，故选D ．11．【解析】（1）当D 点与B 点重合时，AC =AB –CD =6；故答案为：6；（2）由（1）得AC=12AB，∴CD=12AB，∵点P是线段AB延长线上任意一点，∴PA+PB=AB+PB+PB，PC=CD+PB=12AB+PB，∴PA+PB–2PC=AB+PB+PB–2（12AB+PB）=0；（3）如图1，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，∴AM=12AC=12（AB+BC）=8，DN=12BD=12（CD+BC）=5，∴MN=AD–AM–DN=9；如图2，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，∴AM=12AC=12（AB–BC）=4，DN=12BD=12（CD–BC）=1，∴MN=AD–AM–DN=12+6–4–4–1=9．12．【解析】（1）∵OC，OD是∠AOB的三等分线，∴∠AOC=∠COD=∠DOB=13∠AOB=13×120°=40°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，∴∠MOC=12∠AOC=20°，∠DON=12∠DOB=20°，∴∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=80°．（2）∵射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB，∴∠MOC=12∠AOC，∠DON=12∠DOB，∴∠MOC+∠DON=12（∠AOC+∠DOB），∵∠AOB=120°，∠COD=50°，∴∠AOC+∠DOB=120°-50°=70°，∴∠MOC+∠DON=35°，∴∠MON =50°+35°=85°．（3）∵射线OM 、ON 分别平分∠AOC 和∠DOB ，∴∠MOC =12∠AOC ，∠DON =12∠DOB ， ∴∠MOC +∠DON =12（∠AOC +∠DOB ），∵∠AOB =120°，∠COD =α， ∴∠AOC +∠DOB =120°-α，∴∠MOC +∠DON =60°-12α， ∴∠MON =60°-12α+α=60°+12α1．【答案】D【解析】面动成体，直角三角形绕直角边旋转一周可得圆锥，长方形绕一边旋转一周可得圆柱，那么所求的图形是下面是圆锥，上面是圆柱的组合图形．故选D ． 2．【答案】C【解析】A 、该几何体为四棱柱，不符合题意； B 、该几何体为四棱锥，不符合题意； C 、该几何体为三棱柱，符合题意； D 、该几何体为圆柱，不符合题意．故选C ． 3．【答案】B【解析】相对的面的中间要相隔一个面，“中”字所在的面的对面的汉字是“的”，故选B ． 4．【答案】A【解析】数字为2-的面的对面上的数字是6，其积为2612-⨯=-．故选A ． 5．【答案】B【解析】∵2945'α=︒，∴α的余角等于：9029456015''-︒︒︒=．故选B ． 6．【答案】B【解析】与30︒的角互为余角的角的度数是：60︒．故选B ． 7．【答案】B【解析】∵钟面分成12个大格，每格的度数为30°，∴钟表上10点整时，时针与分针所成的角是60°，故选B ． 8．【答案】A【解析】α∠的余角为9060322928︒-︒'=︒'，故选A ． 9．【答案】C 【解析】如图，∵小明从A 处沿北偏东40︒方向行走至点B 处，又从点B 处沿东偏南20︒方向行走至点C 处， ∴40DAB ∠=︒，20CBF ∠=︒， ∵向北方向线是平行的，即AD BE ，∴40ABE DAB ∠=∠=︒， ∵90EBF ∠=︒，∴902070EBC ∠=︒-︒=︒，∴4070110ABC ABE EBC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，故选C ． 10．【答案】55°【解析】∵∠θ=35°，∴它的余角等于90°-35°=55°．故答案为：55°． 11．【答案】1【解析】∵C 为AB 的中点，AB =8 cm ， ∴BC =12AB =12×8=4（cm ）， ∵BD =3 cm ，∴CD =BC -BD =4-3=1（cm ），则CD 的长为1 cm ，故答案为：1．。

新人教版初中数学七年级上学期《角》知识点讲解及例题解析

《角》知识讲解及例题解析【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.【要点梳理】要点一、角的概念1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图1 图2（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．要点三、角的比较与运算1.角的比较角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB ＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．2.角的和、差运算如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．3.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【典型例题】类型一、角的概念1. 利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180°的角，试一一画出来．【思路点拨】首先发现一副三角板上有30°，45°，60°，90°这样4个不相等的角，利用这些角进行一次和差，可得小于180°的所有角．【答案与解析】解：除了可以画30°，45°，60°，90°外，还可画15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的七个度数的角，画法如图所示．【总结升华】利用一副三角板共可以画出11个度数的角，分别是：30°，45°，60°，90°，15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°．举一反三：【变式】下列说法中，正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形【答案】C．类型二、角度制的换算2. 计算下列各题：(1)152°49′12″+20.18°； (2)82°-36°42′15″；(3)35°36′47″×9； (4)41°37′÷3．【答案与解析】解：(1)解法一：∵ 20.18°＝20°10′48″即：152°49′12″+20.18°＝173°．解法二：∵ 152°49′12″＝152.82°，∴ 152.82°+20.18°＝173°．即：152°49′12″+20.18°＝173°．(2)将82°化为81°59′60″，则∴ 82°-36°42′15″＝45°17′45″．423″＝7′3″， 324′+7′＝5°31′，∴ 35°36′47″×9＝320°31′3″．∴ 41°37′÷3=13°52′20″．【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60″进1′，满60′进1°；对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入．举一反三：【变式】计算：(1)23°45′36″+66°14′24″；(2)180°-98°24′30″；(3)15°50′42″×3； (4)88°14′48″÷4．【答案】(1)23°45′36″+66°14′24″＝90°；(2)180°-98°24′30″＝81°35′30″；(3)15°50′42″×3＝47°32′6″；(4)88°14′48″÷4＝22°3′42″．类型三、角的比较与运算3. 如图所示表示两块三角板．(1)用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小；(2)量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接．【答案与解析】解：(1)如图所示，把两块三角板叠在一起，可得∠1＞∠α，用同样的方法，可得∠α＜∠2．所以∠2＝∠1＞∠α．(2)用量角器量出图中各个角的度数，分别是∠1＝∠2＝45°，∠3＝90°，∠α＝30°，∠β＝60°，∠γ＝90°，把它们从小到大排列，有∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ．【总结升华】比较角的大小有叠合法和度量法两种：①先将两个角的顶点与顶点重合，一条边与一条边重合再比较．②先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较．举一反三：【变式】如图，∠AOB的平分线OM,ON为∠MOA内的一条射线，OG为∠AOB外的一条射线.某同学经过认真分析，得到一个关系式是∠MON＝12（∠BON－∠AON），你认为这个同学得到的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来.【答案】解：正确，理由如下：∵∠AOB的平分线OM，∴∠AOM＝∠MOB又∵∠MON＝∠AOM－∠AON=∠MOB－∠AON=(∠BON－∠MON) －∠AON 即有∠MON＝∠BON－∠MON －∠AON∴ 2∠MON＝∠BON－∠AON∴∠MON＝12（∠BON－∠AON）4. 如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，（1）求∠MON的度数；（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数；（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数；（4）从上面结果中看出有什么规律？【思路点拨】（1）要求∠MON，即求∠COM﹣∠CON，再根据角平分线的概念分别进行计算即可求得；（2）和（3）均根据（1）的计算方法进行推导即可．（4）根据（2）和（3）中的结论进行总结．【答案与解析】解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=120°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=60°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．（2）∵∠AOB=α，∠AOC=30°，∴∠BOC=α+30°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=+15°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=．（3）∵∠AOB=90°，∠AOC=β，∴∠BOC=90°+β∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=45°+，∠CON=．∴∠MON=∠COM ﹣∠CON=45°．（4）从上面的结果中，发现：∠MON 的大小只和∠AOB 得大小有关，与∠A0C 的大小无关．【总结升华】能够结合图形表示角之间的和差关系，根据角平分线的概念运用几何式子表示角之间的倍分关系．举一反三：【变式】如图，已知O 是直线AC 上一点，OD 平分∠AOB ，OE 在∠BOC 内，且∠BOE ＝12∠EOC ，∠DOE ＝70°，求∠EOC 的度数.【答案】解：设∠EOC=x °，则∠BOE ＝12∠EOC ＝12x °，根据题意可得：1180127022x xx --+= ，解得： 80x = .∠EOC ＝2∠BOE ＝80°. 类型四、方位角5.已知小岛A 位于基地O 的东南方向，货船B 位于基地O 的北偏东50°方向，那么∠AOB 的度数等于．【答案】85°．【解析】解：如图：∵∠2=50°，∴∠3=40°， ∵∠1=45°，∴∠AOB=∠1+∠3=45°+40°=85°，故答案为：85°．【总结升华】本题主要考查了方位角的概念，根据方位角的概念，画图正确表示出A ，B 的方位，注意东南方向是45度是解答此题的关键．类型五、钟表上有关夹角问题6. 在7时到7时10分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线? 【答案与解析】解：设7时x 分钟，时针与分针成一条直线，由题意得：16302x x -=，5511x =．答：7时5511分钟时针与分针成一条直线．【总结升华】时钟上的分针与时针绕着中心顺时针均匀转动，在不同时刻，两针之间形成一定的角度．如果把单位时间分针和时针转过的度数当作它们的速度则： ① 分针的速度为36060＝6°/分；②时针的速度为3060°分＝0.5°/分．故分针速度是时针速度的12倍．举一反三：【变式】某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110°，下午7点前回家时，发现表上的时针和分针的夹角又是110°，试算出此人外出用了多长时间? 【答案】解：设此人外出用了x 分钟，则分针转了6x 度，时针转了0.5x 度．根据题意得：6x-0.5x ＝110×2，解之得x ＝40．答：此人外出购物用了40分钟的时间．。

人教版初中数学七年级下相交线和平行线知识点总结

人教版初中数学七年级下相交线和平行线知识点总结本章介绍了平面内两条直线相交与平行的关系，重点探讨了两条直线相交时形成角的特征、两条直线互相垂直的特性、两条直线平行的条件和特征，以及有关图形平移变换的性质。

本文将对其中的重点知识点进行总结。

5.1 相交线1.邻补角与对顶角当两条直线相交时，所形成的四个角具有不同的关系。

其中，对顶角是具有特殊位置关系的两个角，它们的大小相等；邻补角则是互为反向延长线的两个角，它们的和为180度。

2.垂线垂线是指当两条直线相交时，其中一个角为直角的情况。

垂线具有两个性质：一是过一点只有一条直线与已知直线垂直；二是连接直线外一点与直线上各点的垂线段最短。

3.垂线的画法画垂线的方法有两种：一是过直线上一点画已知直线的垂线；二是过直线外一点画已知直线的垂线。

画法可采用“一靠二移三画”的方法。

4.点到直线的距离点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度。

记忆时应结合图形进行理解。

本章内容的重点是垂线和其性质、平行线的判定方法和性质、平移和其性质，以及这些知识点的组织运用。

在研究这些知识点时，需要注意记忆其定义和性质，掌握其画法和应用方法。

垂线是指从一个点垂直于一条直线或平面的线段，而垂线段则是垂线的长度。

它们都具有垂直的性质，可以用来计算点到直线的距离或两点间的距离。

点到直线的距离是特殊的两点（即已知点与垂足）间距离，而两点间的距离是点与点之间的长度。

线段和距离都是长度的概念，但线段是一种图形，不能等同于距离。

平行线是指在同一平面内不相交的两条直线，它们的位置关系只有两种：相交和平行。

判断两条直线的位置关系可以根据它们的公共点个数来确定，有且只有一个公共点时两直线相交，无公共点时两直线平行，两个或两个以上公共点时两直线重合。

平行公理指出，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

同时，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

三线八角是指两条直线被第三条直线所截形成的八个角，包括同位角、内错角和同旁内角。

人教版八年级数学上册三角形的内角和定理

三角形的内角和定理人教八上初中数学试卷11-4一、学习目标理解“三角形的内角和等于180°”及证明过程；证明“三角形内角和定理”，体会证明中辅助线的作用，尝试用多种方法证明三角形内角和定理；运用三角形内角和定理解决问题．二、知识回顾拼拼看，将任意一个三角形的三个内角拼合在一起会形成什么角？三、新知讲解1．三角形内角和定理定理三角形三个内角的和等于180°符号语言在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°图示2．三角形内角和定理的证明已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．〖方法1〗证明：过A点作DE∥BC，∵DE∥BC，（已作）∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，（两直线平行，内错角相等）∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，(平角=180°)∴∠BAC+∠B+∠C=180°，(等量代换)〖方法2〗证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA．∵CE∥BA，∴∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等），∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等），∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°，(平角=180°)∴∠A+∠B+∠ACB=180°．(等量代换)3．三角形内角和定理的应用（1）已知三角形的两个内角，利用三角形内角和定理可求第三个角；（2）已知各角之间的关系，利用三角形内角和定理可求各角．四、典例探究扫一扫，有惊喜哦！1．三角形的内角和定理【例1】（2014春•靖江市校级月考）若一个三角形的三个内角之比为3：4：5，则它的最大内角的度数是（）A．80° B．75° C．90° D．108°总结：给出三角形三个内角的比求内角度数时，通常要设未知数，通过列方程求解．【例2】（2014•重庆校级模拟）如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=45°，则∠A的度数为（）A．65° B．75° C．85° D．95°总结：关于三角形与平行线结合的问题，求解时，先从平行线的性质入手，把有关角转化到三角形中，再利用三角形的内角和定理求解．【例3】（2014秋•太和县期末）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（）A．100° B．110° C．115° D．120°总结：三角形中两内角平分线相交组成的角等于90°与第三个内角一半的和.练1．（2015•重庆模拟）在△ABC中，已知∠A=4∠B=104°，则∠C的度数是（）A．50° B．45° C．40° D．30°练2．（2014秋•安庆期中）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：5，那么△ABC是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形练3．（2014春•通川区校级期中）如图，已知△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．2．三角形内角和定理的实际应用【例4】如图，一轮船由B处向C处航行，在B处测得C处在B的北偏东75°方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西30°方向上，若轮船行驶到C处时测得∠BAC=55°，那么从C处看A，B两处的视角∠ACB是多少度？总结：1．“三角形的内角和为180°”是隐含条件，在实际应用中必不可少.2．在有关方位角的计算中，常常构造三角形，在三角形中计算角的度数.练4．（2010•石家庄二模）如图所示是小李绘制的某大桥断裂的现场草图，若∠1=38°，∠2=23°，则桥面断裂处夹角∠BCD为________度．3．（2014春•江阴市校级期中）如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A=（）A．50° B．40° C．70° D．35°4．如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A=100°，∠B=40°，这块三角形木板另外一个角∠C的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°二、填空题5．（2014秋•宁津县校级月考）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A= ，∠C= ．6．（2014•徐州二模）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=35°，∠AOB=75°，则∠C= ．（2013春•苏州期末）如图，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A=30°，∠B=60°，则∠DCE= ．7．三、解答题8．（2014春•庐江县期末）如图，已知∠DAB=70°，AC平分∠DAB，∠1=35°，求∠D的度数．9．（2012春•中山区期中）已知，如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，求∠E的度数．10．（2011春•宣威市校级月考）如图所示，已知图①五角星ABCDE，将图①中的A点向下移动得到图②，将图①中的C点向上移动得图③，对于五角星及五角星的变形图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的和为多少度？并选择一图加以说明．典例探究答案：【例1】（2014春•靖江市校级月考）若一个三角形的三个内角之比为3：4：5，则它的最大内角的度数是（）A．80° B．75° C．90° D．108°分析：设三角形的三个内角的度数分别为3x、4x、5x，根据三角形内角和定理得到3x+4x+5x=180°，然后解方程求出x后计算5x即可．解答：解：设三角形的三个内角的度数分别为3x、4x、5x，所以3x+4x+5x=180°，解得x=15°，所以5x=75°．故选B．点评：本题考查了三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．（2014•重庆校级模拟）如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=45°，【例2】则∠A的度数为（）A．65° B．75° C．85° D．95°分析：根据平行线的性质可得∠C=∠AED=45°，再利用三角形内角和为180°可以计算出∠A的度数．解答：解：∵DE∥BC，∴∠C=∠AED=45°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，故选：B．点评：此题主要考查了三角形内角和定理，即三角形内角和为180°．【例3】（2014秋•太和县期末）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（）A．100° B．110° C．115° D．120°分析：根据三角形内角和定理计算．解答：解：∵∠ABC=50°，∠ACB=80°，且BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC=25°，∠PCB=40°，∴∠BPC=115°．故选C．点评：此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．练1．（2015•重庆模拟）在△ABC中，已知∠A=4∠B=104°，则∠C的度数是（）A．50° B．45° C．40° D．30°分析：根据已知条件求出∠B的度数，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．解答：解：∵4∠B=104°，∴∠B=26°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣104°﹣26°=50°．故选A．点评：本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，求出∠B的度数，然后列出∠C的表达式是解题的关键．练2．（2014秋•安庆期中）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：5，那么△ABC 是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形分析：已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k°，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，从而确定三角形的形状．解答：解：设一份为k°，则三个内角的度数分别为3k°，4k°，5k°．则3k°+4k°+5k°=180°，解得k°=15°，∴5k°=75°，3k°=45°，4k°=60°，所以这个三角形是锐角三角形，故选A．点评：此题主要考查三角形的按边分类，直接根据三角形三个内角的度数比来判断是解题的关键．练3．（2014春•通川区校级期中）如图，已知△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．分析：由三角形的内角和定理，可求∠BAC=70°，又由AE是∠BAC的平分线，可求∠BAE=35°，再由AD是BC边上的高，可知∠ADB=90°，可求∠BAD=25°，所以∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=10°．解答：解：在△ABC中，∵∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=70°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=35°．又∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=90°，∵在△ABD中∠BAD=90°﹣∠B=25°，∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=10°．点评：本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，解答的关键是三角形的内角和定理，一定要熟稔于心．【例4】如图，一轮船由B处向C处航行，在B处测得处在B的北偏东75°方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西30°方向上，若轮船行驶到C处时测得∠BAC=55°，那么从C处看A，B两处的视角∠ACB是多少度？分析：根据方位角就可求得BA与正北方向的夹角，即可得到∠ABC，在△ABC中，根据三角形内角和定理即可求得∠ACB的度数．解答：解：∵∠BAE=30°，∴∠ABD=30°，∴∠ABC=∠DBC-∠ABD=75°-30°=45°．在△ABC中，根据三角形内角和定理得到：∠ACB=180°-45°-55°=80°，即从C处看A，B两处的视角∠ACB是80°．点评：本题主要考查了方位角的定义，以及三角形的内角和定理．练4．（2010•石家庄二模）如图所示是小李绘制的某大桥断裂的现场草图，若∠1=38°，∠2=23°，则桥面断裂处夹角∠BCD为_____度．分析：连接BD，根据对顶角相等得到∠1=∠4=38°，∠2=∠3=23°，然后根据三角形内角和定理进行计算即可．解答：解：连接BD，如图，∵∠1=∠4=38°，∠2=∠3=23°，∴∠BCD=180°-∠4-∠3=180°-23°-38°=119°．故答案为：119．点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了对顶角相等．课后小测答案：一、选择题1．（2014•江北区模拟）在△ABC中，已知∠A=3∠C=54°，则∠B的度数是（）A．90° B．94° C．98° D．108°解：如图所示：∵∠A=3∠C=54°，∴∠C=18°，∴∠B的度数是：180°﹣∠A﹣∠C=108°．故选：D．（2014春•合川区校级期中）已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么三角形△ABC是（）2．A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形解：∵∠A=20°，∴∠B=∠C=（180°﹣20°）=80°，∴三角形△ABC是锐角三角形．故选A．3．（2014春•江阴市校级期中）如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A=（）A．50° B．40° C．70° D．35°解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线，∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣2（∠DBC+∠BCD）∵∠BDC=180°﹣（∠DBC+∠BCD），∴∠A=180°﹣2（180°﹣∠BDC）∴∠BDC=90°+∠A，∴∠A=2（110°﹣90°）=40°．故选B．4．如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A=100°，∠B=40°，这块三角形木板另外一个角∠C的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°解：∵△ABC中，∠A=100°，∠B=40°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-100°-40°=40°．故选B．二、填空题5．（2014秋•宁津县校级月考）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A= ，∠C= ．解：设∠A=2x°，则∠B=3x°，∠C=4x°，∵∠A+∠B+∠C=180°，即：2x°+3x°+4x°=180°，解得：x=20∴∠A=40°，则∠B=60°，∠C=80°，故答案为：40°、80°6．（2014•徐州二模）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=35°，∠AOB=75°，则∠C= ．解：∵∠A=35°，∠AOB=75°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=180°﹣35°﹣75°=70°．又∵AB∥CD，∴∠C=∠B=70°．7．（2013春•苏州期末）如图，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A=30°，∠B=60°，则∠DCE= ．解：∵∠A=30°，∠B=60°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=90°，∵CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∴∠BCE=∠ACB=45°，∠BDC=90°，∴∠BCD=90°﹣∠B=30°，∴∠DCE=∠BCE﹣∠BCD=45°﹣30°=15°．故答案为：15°．三、解答题8．（2014春•庐江县期末）如图，已知∠DAB=70°，AC平分∠DAB，∠1=35°，求∠D的度数．解：∵∠DAB=70°，AC平分∠DAB，∴∠DAC=35°，又∵∠1=35°，∴∠D=180°﹣（∠1+∠DAC）=180°﹣（35°+35°）=110°．9．（2012春•中山区期中）已知，如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，求∠E的度数．解：∵AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，又∠BAC+∠DCA=180°⇒∠CAE+∠ACE=（∠BAC+∠DCA）=90°，∠E=180°﹣（∠CAE+∠ACE）=90°，∴∠E=90°．10．（2011春•宣威市校级月考）如图所示，已知图①五角星ABCDE，将图①中的A点向下移动得到图②，将图①中的C点向上移动得图③，对于五角星及五角星的变形图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的和为多少度？并选择一图加以说明．解：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，图①：∵∠A+∠D=∠BNM，∠E+∠C=∠BMN，（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），又∵∠B+∠BNM+∠BMN=180∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．图②：延长AD交BE于点F，再根据三角形外角的性质解答；③同①，∵∠A+∠C=∠1，∠B+∠E=∠2，∠1+∠2+∠D=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．。

6.3.1角的概念课件(共35张PPT) 初中数学人教版(2024)七年级上册

用三个大写字母表示
图例 A
O
B
用一个大写字母表示
O
用数字表示
1
用希腊字母表示
记法
方法解读
字母O表示顶点，要写在中间，A，B表示角的两边上的点，用该表示法可以表示任何一个角。
当以某一个字母表示的点为顶点的角只有一个时，可以用这个顶点的字母来表示
在靠近角的顶点处加上弧线，并标上数字或希腊字母。该表示法形象直观
巩固练习
1、下列图形是角吗？
2、判断题：（1）两条射线组成的图形叫角。（2）角的大小与边的长短无关。（3）角的两边是两条射线。
总结
定义
图例
组成元素
“静” 态的观
点
“动” 态的观
点
有公共端点的
边
两条射线组成
的图形叫做角顶点
边
角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
终边始边
因此，54.26°= 54°15′36″.
例3 .把45°25′48″化成度．
解：45°25′48″ =45°+25′+48×(610)' =45°+25.8' =45°+25.8×(610)° =45.43°
巩固练习
例2：填空 ① 1小时= 60分， 1分= 60 秒. ② 3.3小时= 3 小时 18 分， 2小时30分= 2.5 小时. ③ 1°= 60 ′，1′= 60 ″. ④ 0.75°= 45 ′= 2700 ″， ⑤ 1800″= 0.5 °，39°36′= 39.6 °.
向两端无限延伸
0个
不可度量
射线
·
A
B· l
1.射线AB 2.射线l

初中数学人教版七年级上册角

探究新知
素养考点 2 求钟面上时针和分针的夹角的度数
例2 如图，时钟显示为10：10时，时针与分针所夹角度是（D ） A．90° B．100 C．105° D．115°
解析：时针每小时旋转的夹角360°÷12=30°，故 10分钟，时针旋转的角度为5°，即10：10时，
时针与分针所夹角度为4×30°–5°=115°.
终边
B
O
始边 A(B)
平角
周角
巩固练习判断下列哪些图形是角.
( √) ( ) ×( ) ( ) √
√
巩固练习
下列说法正确的是 ( D ) A. 平角是一条直线 B. 一条射线是一个周角ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱC. 两条射线组成的图形叫做角 D. 两边成一直线的角是平角
探究新知
知识点 2 角的表示方法
如图，还能把∠AOB 记作∠O 吗？为什么A ？
探究新知
我们常用量角器量角，
度、分、秒是常用的角的度
量单位. 把一个周角 360等
分，每一份就是 1 度的角，
记作1°；把 1 度的角 60 等
分，每一份叫做1 分的角， 1周角＝ 360 °；1平角＝ 18 °.
记作 1′；把1分的角 60等分，
0
每一份叫做1 秒的角，记作
1°＝ 60 ′；1′＝ 60 ″.
解：因为 38°15′ = 38.25°，所以 38°15′ ＞ 38.15°.
你还有别的方法吗？
课堂检测
拓广探索题
(1) 如图∠AOB内部画1条射线，问图中一
共有多少个角？如果是画2条、3条呢？
答案：3个，6个，10个.
O
A B
(2) ∠AOB内部画99条射线，问图中一共

人教版初中八年级数学上册《第十一章三角形》大单元整体教学设计

人教版八年级数学上册《第十一章三角形》大单元整体教学设计一、内容分析与整合（一）教学内容分析人教版初中数学八年级上册的《第十一章三角形》是几何学习中的一个重要章节，它不仅承载着对三角形基础概念和性质的全面介绍，还扮演着连接学生先前所学与后续几何知识深入探索的桥梁角色。

本章内容丰富多彩，深入浅出地引导学生走进三角形的奇妙世界，为他们构建一个系统而坚实的几何知识体系。

在这一章节中，学生们将首先接触到三角形的各种线段，包括边、高、中线以及角平分线等。

这些看似简单的概念，实则是解锁三角形众多性质的关键。

通过学习，学生们将理解每条线段在三角形中的独特位置和作用，以及它们如何相互关联，共同塑造三角形的形态与特性。

例如，中线不仅将对应的底边平分，还将三角形分为面积相等的两部分，这一性质的学习对于学生后续理解更复杂的几何问题大有裨益。

除了线段，章节还深入探讨了三角形的角，包括内角和外角。

学生将学习如何计算三角形的内角和，这一基础知识是证明许多三角形性质的基础。

外角的概念及其与相邻内角的关系，也将被详尽阐述，帮助学生从多角度审视三角形的角特征，培养他们的空间想象力和逻辑推理能力。

本章还拓展到了多边形及其内角和的内容，进一步丰富了学生的几何视野。

多边形作为三角形的延伸，其内角和的计算方法不仅加深了学生对几何图形内在规律的认识，也为后续学习更复杂几何图形打下了坚实的基础。

更为重要的是，本单元的教学不仅仅局限于理论知识的传授，更注重培养学生的实践操作能力和逻辑推理能力。

通过实际测量、作图、证明等一系列活动，学生被鼓励亲自动手，体验知识的生成过程，从而在实践中深化对三角形性质的理解。

这种“做中学”的方式，极大地提升了学生的学习兴趣和参与度，使他们在探索中发现几何之美，培养解决问题的能力和创新思维。

《第十一章三角形》不仅是初中数学课程中的一个核心章节，更是学生几何思维形成的关键时期。

通过本章的学习，学生不仅能够掌握三角形的基础概念和性质，更能在实践中锻炼几何直觉，学会用数学的眼光观察世界，为后续更深层次的几何学习乃至整个数学学习旅程奠定坚实的基础。

人教版初中数学八年级上教案第课时 “角边角”、“角角边”

三角形全等的判定一、教学目标知识技能1掌握三角形全等的“ASA和AAS”条件。

2.能初步应用ASA和AAS”条件判定两个三角形全等.数学思考1.使学生经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.2.在探索三角形全等条件及其运用过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理.解决问题会用ASA和AAS”条件证明两个三角形全等.情感态度1.通过探索和实际的过程体会数学思维的乐趣,激发应用数学的意识.2.通过合作交流,培养合作意识,体验成功的喜悦.二、教学方法探究式、讨论式三、教学手段多媒体辅助教学。

四、教学过程Ⅰ、创设情境，引入新课一天, 小明的妈妈叫他去玻璃店画一块三角形玻璃,小明不小心把画的三角形玻璃打碎成了三块,他为了省事,他从打碎的三块玻璃中选一块去,小明想法能办得到吗?若能,你认为小明应该拿哪块玻璃去呢?为什么?【师生行为】教师通过（Flash课件）展示视频内容，提出情境问题.学生独立思考，发表自己的见解。

【设计意图】创设性的设计问题，变“教教材”为“用教材”.①使学生快速集中精力，调整听课状态.②知识的呈现过程与学生已有的生活密切联系起来，学有用的数学，激发学生的学习兴趣。

③使学生产生认知上的冲突，从而引入本课课题，明确本节课的探究方向，激发学习欲望。

Ⅱ、实践操作、探索新知问题1、如图，△ABC是任意一个三角形，画△A1B1C1,使A1B1=AB,∠A1=∠A,∠B1=∠B把画得△A1B1C1剪下来放在△ABC进行比较，它们是否重合？问题2、如图,△ABC是任意一个三角形，画△A1B1C1,使A1C1=AC, ∠A1=∠A,∠B1=∠B，请你猜测△A1B1C1与△ABC是否全等?若它们全等,你能用"ASA"来证明你猜测结论成立吗?【师生行为】教师提出问题，学生思考问题，动手实践、小组讨论、交流.学生在探索过程中，难免有困难，教师要鼓励学生争论和启发引导下及时作出正确的结论。

人教版初中数学《与三角形有关的角》_精品课件

新课讲解
问题2：如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？
在Rt△ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定理，得∠A +∠B+∠C=90°,即 ∠A +∠B=90°.
？思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
归纳总结
1.直角三角形的两个锐角互余．
A
▼应用格式：
【获奖课件ppt】人教版初中数学《与三角形有关的角》_ 精品课件1-课件分析下载
新课讲解
（2）如图2，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与 ∠C有什么关系？请说明理由.
解：∠A=∠C.理由如下：
A
∵∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
【获奖课件ppt】人教版初中数学《与三角形有关的角》_ 精品课件1-课件分析下载
【获奖课件ppt】人教版初中数学《与三角形有关的角》_ 精品课件1-课件分析下载【获奖课件ppt】人教版初中数学《与三角形有关的角》_ 精品课件1-课件分析下载
归纳总结
？思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本图形吗？
新课引入
老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大，那么老二的度数要大于90°，而三角形的内角和为 180°，相互矛盾，因而是不可能的.
在这个家里，我是永远的老大.
1 直角三角示是我们常用的三角板,两锐角的度数之和为多少度?
30°+60°=90°
45°+45°=90°
在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°，又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是 △ABC是直角三角形.

初中数学人教版教材分析(4.3角的教材分析)

B
C
（ 2 ）∠BDC = ∠ADC – ∠BDA
目的：在几何图形中理解角的和、差，
并用几何语言表示
例4.计算: (1)48°35′+17°45′ =66°20′ (2)15°20′×5 =76°40′ (3)48°18′－17°45′ =30°33′ (4)360°÷7
目的：正确进行角的“度”“分”换算，角的和、差计算
第二课时：4.3.2角的比较与运算
教学目标：（1）熟练掌握比较角的大小的两种方法并能画
出已知角（2）理解角平分线的概念，能进行角的加减运算（3）通过动手操作体会数形结合思想的应用，
提高学生动手能力，类比法。（4）让学生充分感受图形语言与符号语言的相互
转化，培养学生学习数学的兴趣.
重点：角的大小的比较方法、角的平分线的定义
教材分析《4.3角》
厦门一中姚丽萍
学科指导意见
第四章《图形认识初步》 10.理解角的概念，会比较角的大小（1）理解角的两种定义方式：
有公共端点的两条射线组成的图形由一条射线绕着它的端点旋转形成的图形（2）能够正确读、写一个角（3）会用量角器画一定度数的角（4）理解组成角的三要素（顶点、始边、终边）（5）能用度量法和几何法比较角的大小（6）结合图形，理解角的和、差，并能用符号语言表示
难点：角的加减运算，角平分线的应用
主要例题
例1：比较∠ABC 和 ∠DEF的大小
A
B
C
D
E
F
目的:掌握用度量法、几何法比较角的大小，学会使用量角器，与线段长短的比较进行类比
例2：
按图1填空：
1） ∠D0B ＞ ∠BOC
2） ∠C0B ＜ ∠AOC

人教版七年级上册数学4.3.7角的大小比较练习题

2019年12月04日初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共36小题）1．若∠1=40.4°，∠2=40°4′，则∠1与∠2的关系是（）A．∠1=∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．以上都不对【分析】首先同一单位，利用1°=60′，把∠α=40.4°=40°24′，再进一步与∠β比较得出答案即可．【解答】解：∵∠1=40.4°=40°24′，∠2=40°4′，∴∠1＞∠2．故选：B．【点评】此题考查角的大小比较和度分秒之间的换算，在比较角的大小时有时可把度化为分来进行比较．2．如图，在此图中小于平角的角的个数是（）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】根据角的定义，找出图中小于平角的角．【解答】解：由图可知：∠CAB、∠CAE、∠BAE、∠AEB、∠CED、∠D、∠DCE、∠DCA、∠ECA、∠EBA、∠ABC小于平角，共11个．故选C．【点评】除了注意角要小于平角外，还要注意同一顶点处的角要全部找出来．3．用一个放大镜去考查一个角的大小，正确的说法是（）A．角的度数扩大了 B．角的度数缩小了C．角的度数没有变化D．以上都不对【分析】角的大小只与两边叉开的大小有关，放大镜不能改变角的大小．【解答】解：用放大镜看一个角的大小时，角的度数不会发生变化，故选C．【点评】本题主要考查角的大小，明确角的大小只与两边叉开的大小有关，与其他无关是解决此类问题的关键．4．足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在（）A．点C B．点D或点EC．线段DE（异于端点）上一点D．线段CD（异于端点）上一点【分析】连接BC，AC，BD，AD，AE，BE，再比较∠ACB，∠ADB，∠AEB的大小即可．【解答】解：连接BC，AC，BD，AD，AE，BE，已知A，B，D，E四点共圆，同弧所对的圆周角相等，因而∠ADB=∠AEB，然后圆同弧对应的“圆内角“大于圆周角，“圆外角“小于圆周角，因而射门点在DE上时角最大，射门点在D点右上方或点E左下方时角度则会更小．故选C．【点评】本题考查了比较角的大小，一般情况下比较角的大小有两种方法：①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大．②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．5．若∠1=20°18′，∠2=20°15′30′′，∠3=20.25°，则（）A．∠1＞∠2＞∠3 B．∠2＞∠1＞∠3 C．∠1＞∠3＞∠2 D．∠3＞∠1＞∠2【分析】∠1、∠2已经是度、分、秒的形式，只要将∠3化为度、分、秒的形式，即可比较大小．【解答】解：∵∠1=20°18′，∠2=20°15′30′′，∠3=20.25°=20°15′，∴∠1＞∠2＞∠3．故选A．【点评】主要考查了两个角比较大小．在比较时要注意统一单位后再比较．6．若∠A=20°18′，∠B=20°16″，∠C=20.25°，则有（）A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B 【分析】根据度分秒之间的换算，先把∠C的度数化成度、分、秒的形式，再根据角的大小比较的法则进行比较，即可得出答案．【解答】解：∵∠A=20°18′，∠B=20°16″，∴∠A＞∠B，∵∠C=20.25°=20°15′，∴∠B＜∠C∴∠A＞∠C＞∠B．故选：C．【点评】此题考查了角的大小比较，先把∠C的度数化成度、分、秒的形式，再进行比较是本题的关键．7．如图，AOE是一条直线，图中小于平角的角共有（）A．4个 B．8个 C．9个 D．10个【分析】根据角的定义分别表示出各角即可．【解答】解：图中小于平角的角共有：∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠COD，∠DOE，∠COE，共9个．故选：C．【点评】此题主要考查了角的定义，熟练掌握角定义是解题关键．8．若∠A=20°18′，∠B=1212′，∠C=20.25°，则（）A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B 【分析】先把∠B和∠C用度、分、秒表示，再比较即可．【解答】解：∵∠A=20°18′，∠B=1212′=20°12′，∠C=20.25°=20°15′，∴∠A＞∠C＞∠B，故选C．【点评】本题考查了度、分、秒之间的换算，角的大小比较的应用，能理解度、分、秒之间的关系是解此题的关键．9．如图，射线OB、OC将∠AOD分成三部分，下列判断错误的是（）A．如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC=∠BODB．如果∠AOB＞∠COD，那么∠AOC＞∠BODC．如果∠AOB＜∠COD，那么∠AOC＜∠BODD．如果∠AOB=∠BOC，那么∠AOC=∠BOD【分析】利用图中角与角的关系选择即可得出D为错误选项．【解答】解：A、如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC=∠BOD，本选项正确；B、如果∠AOB＞∠COD，那么∠AOC＞∠BOD，本选项正确；C、如果∠AOB＜∠COD，那么∠AOC＜∠BOC，本选项正确；D、如果∠AOB=∠BOC，那么∠AOC=∠BOD，本选项错误．故选：D．【点评】本题主要考查了角的大小比较，解题的关键是正确找出各角的关系式．10．已知∠1=17°18′，∠2=17.18°，∠3=17.3°，下列说法正确的是（）A．∠1=∠2 B．∠1=∠3 C．∠1＜∠2 D．∠2＞∠3【分析】根据1°=60′把∠1=17°18′化成度数再进行解答即可．【解答】解：∵1°=60′，∴18′=（）°=0.3°，∴∠1=17°18′=17.3°，∴B正确．故选B．【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟知1°=60′．11．已知∠α，如图，则∠α的度数约为（）A．75°B．60°C．45°D．30°【分析】根据图形和各个角度的大小得出即可．【解答】解：根据图形可以估计∠α约等于45°，故选C．【点评】本题考查了估算角的度数的大小的应用，主要考查学生观察图形的能力．12．已知α=76°5′，β=76.5°，则α与β的大小关系是（）A．α＞βB．α=βC．α＜βD．以上都不对【分析】根据度分秒转化得出76.5°=76°30′，进而得出α与β的大小关系．【解答】解：∵α=76°5′，β=76.5°=76°30′，∴α＜β．故选：C．【点评】此题主要考查了角的比较以及度分秒的转化，正确进行度分秒转化是解题关键．13．已知∠A=40°18′，∠B=40°17′30″，∠C=40.18°，则（）A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C C．∠C＞∠A＞∠B D．∠A＞∠C＞∠B【分析】先统一单位，再根据角的大小比较的方法进行比较即可求解．【解答】解：∵∠C=40.18°=40°10′48″，40°18′＞40°17′30″＞40°10′48″，∴∠A＞∠B＞∠C．故选：A．【点评】考查了度分秒的换算和角的大小比较，度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．注意要统一单位．14．如果∠α=55.5°，∠β=55°5′，那么∠α与∠β之间的大小关系是（）A．∠α＞∠βB．∠α＜∠βC．∠α=∠β D．无法确定【分析】首先根据1°=60′，将∠α转化为55°30′，再比较即可．【解答】解：∵∠α=55.5°=55°30′，∠β=55°5′，∴∠α＞∠β．故选A．【点评】此题考查角的大小比较及度分秒的换算，注意统一单位，掌握1°=60′，1′=60″．15．如图，如果∠CAE＞∠BAD，那么下列说法中一定正确的是（）A．∠BAC＞∠CAD B．∠DAE＞∠CADC．∠CAE＜∠BAC+∠DAE D．∠BAC＜∠DAE【分析】先由∠CAE＞∠BAD，根据角的和差可得∠CAD+∠DAE＞∠BAC+∠CAD，再利用不等式的性质得出∠DAE＞∠BAC，即∠BAC＜∠DAE．【解答】解：∵∠CAE＞∠BAD，∴∠CAD+∠DAE＞∠BAC+∠CAD，∴∠DAE＞∠BAC，即∠BAC＜∠DAE．故选D．【点评】本题考查了角的大小比较，角的和差，不等式的性质，根据角的和差结合图形得出∠CAE=∠CAD+∠DAE，∠BAD=∠BAC+∠CAD是解题的关键．16．将∠1、∠2的顶点和其中一边重合，另一边都落在重合边的同侧，且∠1＞∠2，那么∠1的另一边落在∠2的（）A．另一边上B．内部C．外部D．无法判断【分析】如果两个角的顶点重合，且有一边重合，两角的另一边均落在重合边的同旁：如果这两边也重合，说明两角相等；如果两边不重合，另一条边在里面的小，在外面的大；由此方法求解即可．【解答】解：将∠1、∠2的顶点和其中一边重合，另一边都落在重合边的同侧，且∠1＞∠2，那么∠1的另一边落在∠2的外部．故选C．【点评】此题考查利用叠合法比较两个角的大小，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．17．若∠A=62.58°，∠B=62°48′．则∠A与∠B的大小关系是（）A．∠A＜∠B B．∠A=∠B C．∠A＞∠B D．无法确定【分析】首先将62°48′，转化成62.8°，进而比较得出即可．【解答】解：∵∠A=62.58°，∠B=62°48′=62.8°，∴∠A＜∠B，故选：A．【点评】此题主要考查了度分秒的转化以及角的比较大小，正确进行度分秒转化是解题关键．18．若∠A=45°18′，∠B=45°15′30″，∠C=45.15°，则（）A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B 【分析】根据度分秒间的关系，可把不到一度的化成分，根据度分秒的大小比较，可得答案．【解答】解；∠C=45.15°=45°9′，∵45°18′＞45°15′30″＞45°9′，故选：A．【点评】本题考查了角的大小比较，利用了角的度数大小的比较，先化成相同的单位．19．下列角度中，比20°小的是（）A．19°38′B．20°50′C．36.2°D．56°【分析】根据角的大小比较方法分别与20°进行比较，即可得出答案．【解答】解：∵19°38′＜20°，20°50′＞20°，36.2°＞20°，56°＞20°，∴比20°小的是19°38，故选A．【点评】此题考查了角的大小比较，根据角的比较方法进行比较，是一道基础题，比较简单．20．在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在（）A．∠AOB＞∠AOC B．∠AOB＜∠BOC C．∠BOC＞∠AOC D．∠AOC＞∠BOC 【分析】利用角的大小进行比较．【解答】解：射线OC在∠AOB的内部，那么∠AOC在∠AOB的内部，且有一公共边；则一定存在∠AOB＞∠AOC．故选A．【点评】本题考查角的大小比较，比较简单．21．∠α和∠β的顶点和一边都重合，另一边都在公共边的同侧，且∠α＞∠β，那么∠α的另一边落在∠β的（）A．另一边上B．内部C．外部D．以上结论都不对【分析】根据题意画出图形，利用数形结合即可得出结论．【解答】解：如图所示：．故选C．【点评】本题考查的是角的大小比较，能根据题意画出图形是解答此题的关键．22．若∠1=75°24′，∠2=75.3°，∠3=75.12°，则（）A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1＞∠3 D．以上都不对【分析】根据1°=60′把∠1=75°24′化成度数再进行解答即可．【解答】解：∵1°=60′，∴24′=（）°=0.4°，∴∠1=75°24′=75.4°，∴A、B均错误，C正确．故选C．【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟知1°=60′．23．如图，∠AOB=∠COD，则∠AOC与∠DOB的大小关系是（）A．∠AOC＞∠DOB B．∠AOC＜∠DOBC．∠AOC=∠DOB D．∠AOC与∠DOB无法比较大小【分析】先根据∠AOB=∠COD得出∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，故可得出结论．【解答】解：∵∠AOB=∠COD，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠DOB．故选C．【点评】本题考查的是角的大小比较，熟知角比较大小的法则是解答此题的关键．24．下列各式不正确的是（）A．18000″＜360′B．2°30′＞2.4°C．36000″＜8°D．1°10′20″＞4219″【分析】1°=60′，1′=60″，根据以上内容进行变换，再比较即可．【解答】解：A、18000″=（18000÷60）′=300′＜360′，故本选项错误；B、2°30′=2.5°＞2.4°，故本选项错误；C、36000=10°＞8°，故本选项正确；D、4219″=1°13′39″＞1°10′20″，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查了度、分、秒之间的换算的应用，能进行度、分、秒之间的换算是解此题的关键．25．已知O是直线AB上一点，OC是一条射线，则∠AOC与∠BOC的关系是（）A．∠AOC一定大于∠BOCB．∠AOC一定小于∠BOCC．∠AOC一定等于∠BOCD．∠AOC可能大于、等于或小于∠BOC【分析】根据题意发现，此题没有图形，那么我们应该通过分类讨论的方法，画出图形，由OC不同的位置，即可判断．【解答】解：如图所示，∴∠AOC可能会大于、小于、等于∠BOC．【点评】本题主要考查角的比较大小，当题目中没有给出图形时，要考虑全面，分情况去讨论．26．如图，若∠AOB=∠COD，那么（）A．∠1＞∠2 B．∠1＜∠2C．∠1=∠2 D．∠1、∠2的大小不确定【分析】根据图形可知∠1+∠COB=∠AOB，∠COB+∠2=∠COD，由∠AOB=∠COD，从而可以判断∠1与∠2的关系．【解答】解：由图可知：∠1+∠COB=∠AOB，∠COB+∠2=∠COD，∵∠AOB=∠COD，∴∠1+∠COB=∠COB+∠2．∴∠1=∠2．故选C．【点评】本题考查角的大小的比较，解题的关键是数形结合，找出其中相等的量．27．如图，小于平角的角共有（）A．10个B．9个 C．8个 D．4个【分析】小于平角的角有∠EOD，∠EOC，∠EOB，∠DOC，∠DOB，∠DOA，∠COB，∠COA，∠BOA．【解答】解：小于平角的角有∠EOD，∠EOC，∠EOB，∠DOC，∠DOB，∠DOA，∠COB，∠COA，∠BOA，共9个．【点评】本题考查了角的大小比较的应用，注意：应沿一个方向数，只有这样才能做到不重不漏．28．如图所示，小于平角的角有（）A．9个 B．8个 C．7个 D．6个【分析】分别根据以A，B，C，D，E为顶点得出角的个数即可．【解答】解：符合条件的角中以A为顶点的角有1个，以B为顶点的角有2个，以C为顶点的角有1个，以D为顶点的角有1个，以E为顶点的角有2个，故有1+2+1+1+2=7个角．故选C．【点评】此题主要考查了角的定义，根据已知分别得出角的个数是解题关键．29．下列判断正确的是（）A．∠1的2倍小于∠1的3倍B．用度量法无法确定两个角的大小C．若∠AOB=2∠BOC，则OC是∠AOB的平分线D．角的大小随边的长度变化而变化【分析】根据∠1＞0即可判断A；角的大小比较用度量法和重叠法两种，角的大小不随边的长度的变化而变化，即可判断B、D，举出反例即可判断C．【解答】解：A、∵∠1＞0，∴2∠1＜3∠1，故本选项正确；B、用度量法能确定两个角的大小，故本选项错误；C、如图，符合条件∠AOB=2∠BOC，但OC不是∠AOB的平分线，故本选项错误；D、角的大小不随边的长度的变化而变化，故本选项错误；故选A．【点评】本题考查了角的有关内容，角平分线定义的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．30．∠ABC与∠MNP相比较，若顶点B与N重合，且BC与MN重合，BA在∠MNP的内部，则它们的大小关系是（）A．∠ABC＞∠MNP B．∠ABC=∠MNP C．∠ABC＜∠MNP D．不能确定【分析】根据题意画出图形，比较出两角的大小关系即可．【解答】解：如图所示：∵∠MNP=∠ABC+∠PBA，∴∠ABC＜∠MNP．故选C．【点评】本题考查的是角的大小，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．31．已知三个点A，B，C在直线L上，点D在直线L外，以其中任意一点为顶点，则小于平角的角有（）A．6个 B．7个 C．8个 D．10个【分析】利用图形找出角．【解答】解：先根据题意画出图形，便可找到如图所示的∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，∠7．故选B．【点评】解题时要找到图中三条两两相交直线的交点，作为角的顶点，且找出的角要小于180°．32．已知∠A=60°24′，∠B=60.24°，∠C=60°14′24″，则（）A．∠A＞∠B＞∠C B．∠A＞∠B=∠C C．∠B＞∠C＞∠A D．∠B=∠C＞∠A 【分析】将∠A、∠B、∠C统一单位后比较即可．【解答】解：∵∠A=60°24′=60.4°，∠B=60.24°，∠C=60°14′24″=60.24°，∴∠A＞∠B=∠C．故选B．【点评】此类题是进行度、分、秒的转化计算，相对比较简单，注意以60为进制即可．33．如图，若∠AOC=∠BOD，那么∠AOD与∠BOC的关系是（）A．∠AOD＞∠BOC B．∠AOD＜∠BOC C．∠AOD=∠BOC D．无法确定【分析】根据题意∠AOC=∠BOD，再根据图得知∠COD为∠AOD与∠BOC的公共角，从而得出答案．【解答】解：∵∠AOC=∠BOD，∠COD为∠AOD与∠BOC的公共角，∴∠AOC+∠COD=∠BOD+∠COD，∴∠AOD=∠BOC，故选C．【点评】本题考查了角的大小比较，解题的关键是根据图得知∠COD为∠AOD 与∠BOC的公共角，再解题就容易了．34．已知∠α=39°18′，∠β=39.18°，∠γ=39.3°，下面结论正确的是（）A．∠α＜∠γ＜∠βB．∠γ＞∠α=∠βC．∠α=∠γ＞∠βD．∠γ＜∠α＜∠β【分析】首先把∠α转化为39.3°，然后再来比较它们的大小．【解答】解：∵∠α=39°18′=39.3°，39.18°＜39.3°，∴∠α=∠γ＞∠β．故选C．【点评】本题考查了角的大小比较、度分秒的换算．度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．35．已知∠α=18°18′，∠β=18.18°，∠γ=18.3°，下列结论正确的是（）A．∠α=∠βB．∠α＜∠βC．∠α=∠γ D．∠β＞∠γ【分析】将∠α、∠β、∠γ统一单位后比较即可．【解答】解：1°=60′，∴18′=（）°=0.3°，∴18°18′=18°+0.3°=18.3°，即∠α=∠γ．故选C．【点评】此类题是进行度、分、秒的转化计算，相对比较简单，注意以60为进制即可．36．下列说法中，正确的是（）A．角的平分线就是把一个角分成两个角的射线B．若∠AOB=∠AOC，则OA是∠AOC的平分线C．角的大小与它的边的长短无关D．∠CAD与∠BAC的和一定是∠BAD【分析】根据角平分线的性质和角的含义以及角的计算分别进行解答，即可得出答案．【解答】解：A、角的平分线就是把一个角分成两个相等的角的射线，故本选项错误；B、若∠AOB=∠AOC，OA也不是∠AOC的平分线，如图：故本选项错误；C、角的大小与它的边的长短无关，故本选项正确；D、当射线AB在∠CAD的内部时，∠CAD与∠BAC的差是∠BAD，故本选项错误；故选C．【点评】此题考查了角的大小比较、角平分线的性质和角的计算，关键掌握角平分线的性质和角的画法，多数角分两种情况画，在角的内部和角的外部．二．填空题（共3小题）37．如果∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1=∠3；如果∠1＞∠2，∠2＞∠3，则∠1＞∠3．【分析】根据等量代换由∠1=∠2，∠2=∠3得到∠1=∠3；根据不等式的性质由∠1＞∠2，∠2＞∠3得到∠1＞∠3．【解答】解：∵∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3；∵∠1＞∠2，∠2＞∠3，∴∠1＞∠3．故答案为=，＞．【点评】本题考查了角的大小比较：角的度数越大，角越大．也考查了等量代换和不等式的性质．38．如图，∠AOB＞∠AOC（填＞，=，＜）；若∠AOC=∠AOB，则OC平分∠AOB；若OC是∠AOB的角平分线，则∠AOB=2∠AOC．【分析】利用已知图形，结合角平分线的性质分析得出即可．【解答】解：由图象可得：∠AOB＞∠AOC，若∠AOC=∠AOB，则OC平分∠AOB；若OC是∠AOB的角平分线，则∠AOB=2∠AOC故答案为：＞，∠AOB，∠AOB．【点评】此题主要考查了角的比较大小以及角平分线的定义，正确把握角的定义是解题关键．39．如图，能用一个字母表示的角是∠A，∠O，图中共有8个小于平角的角，它们分别是∠A、∠O、∠ABO、∠ABC、∠OBC、∠AOC、∠ACB、∠OCB．．【分析】利用角的定义及角的表示法解题．【解答】解：以点A、O为顶点的角分别只有一个，故能用一个字母表示为∠A、∠O．图中的角：以A为顶点的角是∠A；以B为顶点的角是∠ABO，∠ABC，∠OBC；以C为顶点的角是∠ACO，∠ACB，∠OCB；以O为顶点的角是∠O．共8个．故填∠A、∠O；8；∠ABO，∠ABC，∠OBC，∠ACO，∠ACB，∠OCB．【点评】数角时将每个顶点处的角数全，不要遗漏．三．解答题（共11小题）40．如图，AO⊥OC，解答下列问题：①比较∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE的大小，并指明其中的锐角、直角、钝角及平角；②写出∠AOB、∠AOC、∠BOC、∠AOE中某些角之间的两个等量关系．【分析】（1）根据垂直得出∠AOC=90°，再根据锐角、直角、钝角及平角的定义求出即可；（2）根据已知得出∠AOB+∠BOC=∠AOC，∠AOB+∠BOC+∠AOC=∠AOE．【解答】解：（1）∠AOB＜∠AOC＜∠AOD＜∠AOE，∵AE⊥OC，∴∠AOC=90°，∴∠AOB是锐角，∠AOC是直角，∠AOD是钝角，∠AOE是平角；（2）∠AOB+∠BOC=∠AOC，∠AOB+∠BOC+∠AOC=∠AOE．【点评】本题考查了角的大小比较和垂直定义的应用，主要考查学生的理解能力．41．如图所示，点O在直线AB上，并且∠AOC=∠BOC=90°，∠EOF=90°，试判断∠AOE和∠COF，∠COE和∠BOF的大小关系．【分析】根据已知得出∠AOE和∠COF都与∠COE互余，进而得出∠AOE=∠COF，即可得出：∠COE=∠BOF．【解答】解：因为∠EOF=∠COF+∠COE=90°，∠AOC=∠AOE+∠COE=90°，即∠AOE和∠COF都与∠COE互余，根据同角的余角相等得：∠AOE=∠COF，同理可得出：∠COE=∠BOF．【点评】此题主要考查了角的比较大小，根据已知得出∠AOE=∠COF是解题关键．42．如图，回答下列问题：（1）比较∠FOD与∠FOE的大小；（2）借助三角板比较∠DOE与∠BOF 的大小；（3）借助量角器比较∠AOE与∠DOF的大小．【分析】（1）根据OD边在∠FOE内部，即可得出∠FOD＜∠FOE．（2）用量角器量∠DOE大于45゜，∠DOF小于45゜，即可得出∠DOE＞∠DOF．（3）用量角器量出角的度数，再比较大小即可．【解答】解：（1）∵OD在∠FOE的内部，∴FOD＜∠FOE．（2）用含有45゜角的三角板比较，可得∠DOE＞45゜，∠BOF＜45゜，则∠DOE＞∠BOF．（3）用量角器度量得∠AOE=30゜，∠DOF=30゜，则∠AOE=∠DOF．【点评】此题考查了角的大小比较，解题的关键是会用量角器估算角的大小，是一道基础题．43．如图，∠BOD=90°，∠COE=90°，解答下列问题：（1）图中有哪些小于平角的角？用适当的方法表示出它们．（2）比较∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠AOB的大小，并指出其中的锐角、钝角、直角、平角．（3）找出图中所有相等的角．【分析】根据题中所给条件，结合图形：（1）找出途中锐角、直角、钝角即可；（2）直接比较，并且分类即可；（3）利用直角都相等，等角的余角相等列出即可．【解答】解：（1）图中小于平角的角有∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠COD、∠COE、∠DOE、∠DOB、∠EOB；（2）由图可知，∠AOC＜∠AOD＜∠AOE＜∠AOB，其中∠AOC为锐角，∠AOD为直角，∠AOE为钝角，∠AOB为平角；（3）∠AOC=∠DOE，∠COD=∠BOE，∠AOD=∠BOD=∠COE．【点评】此题考查对角的分类以及角的大小比较，注意找角要从一个点出发，按一定的顺序数．44．如图，AB＞AC，AD平分∠BAC，且CD=BD．试说明∠B与∠C的大小关系？【分析】在AB上截取AE=AC，连接DE，证△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到两角的大小关系．【解答】解：∠B十∠C=180°．理由如下：在AB上截取AE=AC，连接DE．∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠EAD，在△ACD与△AED中，，∴△ACD≌△AED（SAS），∴∠C=∠AED，CD=DE，又∵CD=BD，∴DE=DB，∴∠B=∠DEB，又∵∠DEB+∠AED=180°，∴∠B+∠C=180°．【点评】本题主要考查全等三角形的性质和等腰三角形的性质和角平分线的定义．45．比较两个角的大小，有以下两种方法（规则）①用量角器度量两个角的大小，用度数表示，则角度大的角大；②构造图形，如果一个角包含（或覆盖）另一个角，则这个角大．对于如图给定的∠ABC与∠DEF，用以上两种方法分别比较它们的大小．注：构造图形时，作示意图（草图）即可．【分析】①根据量角器的使用方法量出每一个角的度数，根据角的度数即可比较大小；②把∠ABC放在∠DEF上，使B和E重合，边EF和BC重合，DE和BA在EF的同侧，根据图形的包含情况即可得出答案．【解答】①解：用量角器度量∠ABC=50°，∠DEF=70°，即∠DEF＞∠ABC．②解：如图：把∠ABC放在∠DEF上，使B和E重合，边EF和BC重合，DE和BA在EF的同侧，从图形可以看出∠DEF包含∠ABC，即∠DEF＞∠ABC．【点评】本题主要考查学生的动手操作能力，注意：用量角器测量角的度数的方法，比较两个角的大小由三种方法：①度量法，②重叠法，③观察法，即通过看直接比较两个角的大小．46．李老师到数学王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A说：“我是37°18′，我应该最大!”∠B说：“我是37.2°，我应该最大!”．∠C也不甘示弱：“我是37.18°，我应该和∠A一样大!”听到这里，李老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判!”，你知道李老师是怎样评判的吗？【分析】根据度、分、秒的换算1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．将37°18′，37.2°，37.18°的单位统一，再进行大小的比较．【解答】解：∵∠A=37°18′，∠B=37.2°=37°12′，∠C=37.18°=37°10.8′，∴∠C＜∠B＜∠A．【点评】本题考查了度分秒的换算和角的大小比较，关键是统一单位，再进行大小的比较．47．如图，AB垂直CD（即∠AOC=∠AOD=∠BOD=∠BOC=90°）（1）比较∠AOD，∠EOB，∠AOE大小（用“＜”连接）（2）如∠EOC=28°，求∠EOB和∠EOD的度数（适当写出解题过程）【分析】（1）根据已知得出∠AOD=90°，∠EOB＜90°，∠AOE＞90°，即可得出答案；（2）代入∠EOB=∠BOC﹣∠EOC求出即可；代入∠EOD=∠BOD+∠BOE求出即可．【解答】解：（1）∵∠AOC=∠AOD=∠BOD=∠BOC=90°，∴∠AOD=90°，∠EOB＜90°，∠AOE＞90°，即∠EOB＜∠AOD＜∠AOE．（2）∵∠EOC=28°，∠BOC=90°，∴∠EOB=90°﹣28°=62°，∵∠BOD=90°，∴∠EOD=∠EOB+∠BOD=62°+90°=152°．【点评】本题考查了角的大小比较和计算的应用，主要考查学生的计算能力．48．如图，已知OE是∠COA的平分线，∠AOE=59°35′，∠AOB=∠COD=16°17′22″．（1）求∠BOC的度数．（2）比较∠AOC与∠BOD的大小．【分析】（1）根据角平分线定义求出∠AOC，根据∠BOC=∠AOC﹣∠AOB代入求出即可；（2）∠AOC=∠BOD，理由是根据∠BOD=∠BOC+∠COD求出∠BOD=119°10′，即可得出答案．【解答】解：（1）∵OE是∠COA的平分线，∠AOE=59°35′，∴∠AOC=2∠AOE=119°10′，∵∠AOB=16°17′22″，∴∠BOC=∠AOC﹣∠AOB=102°52′38″；（2）∠AOC=∠BOD，理由如下：∵∠BOC=102°52′38″，∠COD=16°17′22″，∴∠BOD=∠BOC+∠COD=119°10′，∵∠AOC=119°10′，∴∠AOC=∠BOD．【点评】本题主要考查了角平分线定义和角的有关计算，根据图形求出有关角的度数是解答此题的关键．49．已知∠A=24.1°+6°，∠B=56°﹣26°30′，∠C=18°12′+11.8°，试通过计算，比较∠A，∠B和∠C的大小．【分析】先求出每个角的度数，再比较即可．【解答】解：∵∠A=24.1°+6°=30.1°=30°6′，∠B=56°﹣26°30′=29°30′，∠C=18°12′+11.8°=18°12′+11°48′=29°60′=30°，∴∠A＞∠C＞∠B．【点评】本题考查了度、分、秒之间的换算的应用，能求出各个角的度数是解此题的关键．50．如图，点D在∠AOB的内部，点E在∠AOB的外部，点F在射线OA上，试比较下列各角的大小．（1）∠AOB＞∠BOD；（2）∠AOE＞∠AOB；（3）∠BOD＜∠FOB；（4）∠AOB=∠FOB；（5）∠DOE＞∠BOD．【分析】根据图形，即可比较角的大小．【解答】解：（1）∠AOB＞∠BOD；（2）∠AOE＞∠AOB；（3）∠BOD＜∠FOB；（4）∠AOB=∠FOB；（5）∠DOE＞∠BOD．故答案为：（1）＞；（2）＞；（3）＜；（4）=；（5）＞．【点评】本题考查了角的大小比较，解决本题的关键是结合图形进行解答．。

人教版初中八年级上册数学第十一章《与三角形有关的角》精品教案

判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 几何语言：在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形. 注意：在直角三角形中，若已知一个锐角或者两个锐角之间的关系，可以直接运用两个锐角互余求解，不需要再利用三角形的内角和定理求解.
新知探究跟踪训练
1、如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？
∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.
在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB
北
=180°-60°-30°
D
=90°.
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60度，从C岛看A， A B两岛的视角∠ACB是90度.
北 CE
B
新知探究跟踪训练
1、如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45°，
新知探究
知识点1 三角形内角和定理
如图，已知△ABC，求证∠A+∠B+∠C=180°. 证明：过点A作直线l，使得l//BC.
A
23
l
1
∵l//BC，
∴∠2=∠B，∠3=∠C（两直线平行，内错角相等）. B
C
∵∠1、∠2、∠3构成平角，
∴∠1+∠2+∠3=180°（平角的定义）. 则∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代换）.
BD
C
∴△ABC是直角三角形.
本题源自《教材帮》
随堂练习 3
如图，AB//CD，∠BAE=∠DCE=45°，填空：
∵AB//CD， ∴∠1+45°+∠2+45°=（180°）. ∴∠1+∠2=（ 90° ）. ∴∠E=（ 90° ）. ∴△AEC是（直角三角形）.

人教版初中数学九年级下册第二十八章：锐角三角函数(全章教案)

第二十八章锐角三角函数教材简析本章的内容主要包括：锐角三角函数的概念；30°，45°，60°角的三角函数值；利用计算器求任意锐角的三角函数值及根据三角函数值求出相应的锐角；利用锐角三角函数解直角三角形及三角函数的应用．在学生掌握了直角三角形边、角之间的关系的基础上，引入了锐角三角函数的概念，进而学习解直角三角形，是中学几何的重点与难点．本章是中考的必考内容，主要考查特殊锐角三角函数值的计算和解直角三角形及其应用．教学指导【本章重点】锐角三角函数的概念和直角三角形的解法．【本章难点】综合运用直角三角形的边边关系、边角关系来解决实际问题．【本章思想方法】1．体会数形结合思想．如：在理解和应用锐角三角函数解决实际问题时，注意数形结合思想的应用，即需根据实际问题画出几何图形，并根据图形寻找直角三角形中边、角之间的关系．2．体会转化思想．如：(1)把实际问题转化成数学问题：把实际问题的情境转化为几何图形；把题中的已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系．(2)把数学问题转化为解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，需要添加适当的辅助线构造出直角三角形．3．体会方程思想．如：在解决直角三角形的实际问题中，经常设出未知数来表示某一个量，并利用直角三角形的边、角关系建立方程，将几何问题转化为求方程的解．课时计划28．1锐角三角函数4课时28．2解直角三角形及其应用3课时28．1 锐角三角函数第1课时正弦教学目标一、基本目标【知识与技能】1．利用相似的直角三角形，探索直角三角形的锐角确定时，它的对边与斜边的比是固定值，从而引出正弦的概念．2．理解锐角的正弦的概念，并能根据正弦的概念进行计算．【过程与方法】通过探究锐角的正弦的概念的形成，体会由特殊到一般的数学思想方法，培养学生的归纳、推理能力．【情感态度与价值观】让学生在通过探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的快乐，感悟数学的实用性，培养学生学习数学的兴趣．二、重难点目标【教学重点】理解正弦的意义，会求锐角的正弦值．【教学难点】理解直角三角形的锐角确定时，它的对边与斜边的比是固定值．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P61～P63的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半.2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，即sin A ＝a c.3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，b ＝4，则sin B ＝45.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求sin A 和sin B 的值．【互动探索】(引发学生思考)要求sin A 和sin B 的值，需要分别找出∠A 、∠B 的对边和斜边的比．【解答】详细解答过程见教材P63例1.【例2】已知等腰三角形的一腰长为25 cm ，底边长为30 cm ，求底角的正弦值．【互动探索】(引发学生思考)转化法：将已知条件转化为几何示意图，再作出辅助线构造出直角三角形求解．【解答】如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D. ∵AB ＝AC ＝25 cm ，BC ＝30 cm ，AD 为底边上的高， ∴BD ＝12BC ＝15 cm ，∴在Rt △ABD 中，由勾股定理，得AD ＝AB 2－BD 2＝20 cm ， ∴sin ∠ABC ＝AD AB ＝2025＝45.即底角的正弦值为45.【互动总结】(学生总结，老师点评)求三角函数值一定要在直角三角形中求，当图形中没有直角三角形时，要通过作高构造直角三角形解答．活动2 巩固练习(学生独学) 1．如图，sin A 等于( C )A ．2B ．55C.12D ． 52．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝23，则AB 的长为( B )A.83 B ．6 C ．12D ．83．如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin B 24．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，若AD ＝9，DC ＝5，E 为AC 的中点，求sin ∠EDC 的值．解：∵AD ⊥BC ， ∴∠ADC ＝90°. ∵AD ＝9，DC ＝5，∴AC ＝AD 2＋DC 2＝92＋52＝106. ∵E 为AC 的中点， ∴DE ＝AE ＝EC ＝12AC ，∴∠EDC ＝∠C ，∴sin ∠EDC ＝sin C ＝AD AC ＝9106＝9106106.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，BC ＝6，AC ＝8，求sin ∠ABD 的值．【互动探索】首先根据垂径定理得出∠ABD ＝∠ABC ，然后由直径所对的圆周角是直角，得出∠ACB ＝90°，从而由勾股定理算出斜边AB 的长，再根据正弦的定义求出sin ∠ABC 的值，进而得出sin ∠ABD 的值．【解答】∵AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ， ∴AC ︵＝AD ︵， ∴∠ABD ＝∠AB C. ∵AB 为直径， ∴∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，∵BC ＝6，AC ＝8， ∴AB ＝BC 2＋AC 2＝10， ∴sin ∠ABD ＝sin ∠ABC ＝AC AB ＝45.【互动总结】(学生总结，老师点评)求三角函数值时必须在直角三角形中．在圆中，由直径所对的圆周角是直角可构造出直角三角形．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 1．如图，sin A ＝∠A 的对边斜边.2．求一个锐角的正弦值一定要放到直角三角形中，若没有直角三角形，可通过作垂线构造直角三角形．练习设计请完成本课时对应练习！第2课时锐角三角函数教学目标一、基本目标【知识与技能】1．掌握余弦、正切的定义．2．了解锐角∠A的三角函数的定义．3．能运用锐角三角函数的定义求三角函数值．【过程与方法】通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．【情感态度与价值观】通过观察、思考、交流、总结等数学活动，体验数学学习充满着探索与发现，培养学生积极思考，勇于探索的精神．二、重难点目标【教学重点】余弦、正切的概念，并会求指定锐角的余弦值、正切值．【教学难点】利用锐角三角函数的定义解决有关问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P64～P65的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.(1)∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，即cos A ＝bc ；(2)∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，即tan A ＝ab .2．锐角A 的正弦、余弦、正切叫做∠A 的锐角三角函数.3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，b ＝4，则cos B ＝35，tan B ＝43.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，求sin A 、cos A 、tan A.【温馨提示】详细解答过程见教材P65例2.【例2】如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求cos C 的值．【互动探索】(引发学生思考)观察图形，cos C ＝DC AC ，所以需要通过tan ∠BAD ＝34和已知条件求出DC 、AC 的长度，再代入求值．【解答】∵在Rt △ABD 中，tan ∠BAD ＝BD AD ＝34，∴BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝12×34＝9，∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5， ∴AC ＝AD 2＋CD 2＝122＋52＝13， ∴cos C ＝DC AC ＝513.【互动总结】(学生总结，老师点评)在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义分清它们的边角关系，再根据勾股定理解答．活动2 巩固练习(学生独学)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，则cos A ＝( C ) A.513 B ．512C.1213D ．1252．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝43，BC ＝8，则AC 等于( A )A ．6B ．323C ．10D ．123．如图所示，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB ＝12.4．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，AC ＝2，CD ＝1，设∠CAD ＝α.(1)求sin α、cos α、tan α的值； (2)若∠B ＝∠CAD ，求BD 的长．解：在Rt △ACD 中，∵AC ＝2，DC ＝1， ∴AD ＝AC 2＋CD 2＝ 5.(1)sin α＝CD AD ＝15＝55，cos α＝AC AD ＝25＝255，tan α＝CD AC ＝12.(2)在Rt △ABC 中，∵tan B ＝AC BC，而∠B ＝∠CAD ， ∴tan α＝2BC ＝12，∴BC ＝4，∴BD ＝BC －CD ＝4－1＝3. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据三角函数定义尝试说明： (1)sin 2A ＋cos 2A ＝1； (2)sin A ＝cos B ； (3)tan A ＝sin A cos A.【互动探索】用定义表示出sin A 、cos A 、cos B 、tan A →计算等式的左边与右边→得出结论．【证明】(1)由勾股定理，得a 2＋b 2＝c 2，而sin A ＝a c ，cos A ＝bc ，∴sin 2A ＋cos 2A ＝a 2c 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1. (2)∵sin A ＝a c ，cos B ＝ac ，∴sin A ＝cos B.(3)∵tan A ＝a b ，sin A cos A ＝a c b c ＝ab，∴tan A ＝sin Acos A.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．题目中的三个结论应熟记．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 锐角三角函数⎩⎪⎨⎪⎧正弦→对比斜余弦→邻比斜正切→对比邻练习设计请完成本课时对应练习！第3课时特殊角的三角函数值教学目标一、基本目标【知识与技能】1．掌握30°，45°，60°角的三角函数值，能够用它们进行计算． 2．能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应锐角的大小．【过程与方法】1．通过探索特殊角的三角函数值的过程，培养学生观察、分析、发现的能力． 2．通过推导特殊角的三角函数值，了解知识间的联系，提升综合运用数学知识解决问题的能力．【情感态度与价值观】在探索特殊角的三角函数值中，学生积极参与数学活动，培养学生独立思考问题的能力．二、重难点目标【教学重点】根据30°，45°，60°角的三角函数值进行有关计算．【教学难点】正确理解与记忆30°，45°，60°角的三角函数值．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P65～P67的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．sin 30°＝12，cos 30°2tan 30°32．sin 60°2cos 60°＝12，tan 60°3．sin 45°2cos 45°2tan 45°＝1. 环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】求下列各式的值： (1)cos 260°＋sin 260°； (2)cos 45°sin 45°－tan 45°. 【互动探索】(引发学生思考)熟记特殊角的三角函数值→代入算式求值．【解答】(1)cos 260°＋sin 260°＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1. (2)cos 45°sin 45°－tan 45°＝22÷22－1＝0. 【互动总结】(学生总结，老师点评)特殊角的三角函数值必须熟练记忆，既能由角得值，又能由值得角，记忆这个结果，可以结合直角三角形三边的大小关系，也可以结合数值的特征，30°，45°，60°的正弦值分母都是2，分子分别为1，2，3，而它们的余弦值分母都是2，分子正好相反，分别为3，2，1；其正切值分别为1÷3，1,1× 3.【例2】数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B 、C 、E 在同一直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．【互动探索】(引发学生思考)根据正切的定义求出AC →根据正弦的定义求出CF →AF ＝AC －F C.【解答】在Rt △ABC 中，∵BC ＝2，∠A ＝30°， ∴AC ＝BC tan A ＝23，∴EF ＝AC ＝2 3. ∵∠E ＝45°，∴FC ＝EF ·sin E ＝6， ∴AF ＝AC －FC ＝23－ 6.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是特殊角的三角函数值的应用，掌握锐角三角函数的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．活动2 巩固练习(学生独学)1．若3tan (α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( A ) A ．20° B ．30° C ．40°D ．50°2．若∠A 为锐角，且tan 2A ＋2tan A －3＝0，则∠A ＝45度． 3．计算．(1)2sin 30°－2cos 45°； (2)tan 30°－sin 60°·sin 30°； (3)(1－3tan 30°)2. 解：(1)0. (2)312. (3)3－1. 4．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，D 是边AB 上一点，∠BDC ＝45°，AD ＝4，求BC 的长．解：∵∠B ＝90°，∠BDC ＝45°， ∴△BCD 为等腰直角三角形， ∴BD ＝B C.在Rt △ABC 中，∵tan A ＝tan 30°＝BC AB ，∴BC BC ＋4＝33，解得BC ＝2(3＋1)．活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足(1－tan A )2＋⎪⎪⎪⎪sin B －32＝0，试判断△ABC 的形状．【互动探索】根据非负性的性质求出tan A 及sin B 的值→根据特殊角的三角函数值求出∠A 及∠B 的度数→判断△ABC 的形状．【解答】∵(1－tan A )2＋⎪⎪⎪⎪sin B －32＝0， ∴1－tan A ＝0，sin B －32＝0， ∴tan A ＝1，sin B ＝32， ∴∠A ＝45°，∠B ＝60°， ∴∠C ＝180°－45°－60°＝75°， ∴△ABC 是锐角三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 特殊角的三角函数值：练习设计请完成本课时对应练习！第4课时用计算器求锐角三角函数值及锐角教学目标一、基本目标【知识与技能】1．能利用计算器求锐角三角函数值．2．已知锐角三角函数值，能用计算器求相应的锐角．3．能用计算器辅助解决含三角函数的实际问题．【过程与方法】使用计算器可以解决部分复杂问题，通过求值探讨三角函数问题的某些规律，提高学生分析问题的能力．【情感态度与价值观】通过计算器的使用，了解科学在人们日常生活中的重要作用，激励学生热爱科学、学好文化知识．二、重难点目标【教学重点】运用计算器处理三角函数中的值或角的问题．【教学难点】用计算器求锐角三角函数值时的按键顺序．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P67～P68的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．用计算器求sin 24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是(A)A.sin24°′″37°′″18°′″＝B.24°′″37°′″18°′″sin＝C.2ndF sin24°′″37°′″18°′″＝D.sin24°′″37°′″18°′″2ndF＝2．使用计算器求下列三角函数值．(精确到0.0001)(1) sin 24°≈0.4067；(2)cos 35°≈0.8192；(3)tan 46°≈1.0355.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】按要求解决问题：(1)求sin 63°52′41″的值；(精确到0.0001)(2)求tan 19°15′的值；(精确到0.0001)(3)已知tan x＝0.7410，求锐角的值．(精确到1′)【互动探索】(引发学生思考)熟悉用科学计算器求锐角三角函数值的操作流程．【解答】(1)在角度单位状态设定为“度”，再按下列顺序依次按键：sin 63°′′′52°′′′41°′′′＝显示结果为0.897 859 012.所以sin 63°52′41″≈0.8979.(2)在角度单位状态设定为“度”，再按下列顺序依次按键：tan 19°′′′15°′′′＝显示结果为0.349 215 633 4.所以tan 19°15′≈0.3492.(3)在角度单位状态设定为“度”，再按下列顺序依次按键：SHIFT tan 0.7410＝显示结果为36.538 445 77.再按°′′′，显示结果为36°32′18.4″.所以x≈36°32′.【互动总结】(学生总结，老师点评)不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角函数键，再按数字键；或先输入数字后，再按三角函数键，因此使用计算器时一定先要弄清输入顺序．【例2】如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°.求：(1)AB边上的高(精确到0.01)；(2)∠B的度数(精确到1′)．【互动探索】(引发学生思考)观察图形→作辅助线→利用相似锐角三角函数解直角三角形．【解答】(1)作AB 边上的高CH ，垂足为H . ∵在Rt △ACH 中，sin A ＝CHAC ，∴CH ＝AC ·sin A ＝9sin 48°≈6.69. (2)∵在Rt △ACH 中，cos A ＝AH AC ，∴AH ＝AC ·cos A ＝9cos 48°，∴在Rt △BCH 中，tan B ＝CH BH ＝CH AB －AH ＝9sin 48°8－9cos 48°，∴∠B ≈73°32′.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用三角函数求非直角三角形的边或角，一般情况下要构造直角三角形．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝2，AC ＝3，若用科学计算器求∠A 的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是( )A.tan 2÷3＝B.tan 2÷3DMS ＝C.2ndF tan (2÷3)＝D.2ndF tan (2÷3)DMS ＝2．用计算器求下列锐角的三角函数值．(精确到0.0001) (1)tan 63°27′； (2)cos 18°59′27″； (3)sin 67°38′24″； (4)tan 24°19′48″. 解：(1)2.0013. (2)0.9456. (3)0.9248. (4)0.4521. 3．根据下列条件求锐角A 的度数．(精确到1″) (1)cos A ＝0.6753； (2)tan A ＝87.54； (3)sin A ＝0.4553； (4)sin A ＝0.6725.解：(1)47°31′21″. (2)89°20′44″. (3)27°5′3″. (4)42°15′37″. 环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)用计算器求锐角三角函数值⎩⎪⎨⎪⎧求已知角的三角函数值由锐角三角函数值求锐角练习设计请完成本课时对应练习！28．2 解直角三角形及其应用 28．2.1 解直角三角形(第1课时)教学目标一、基本目标【知识与技能】1．了解什么叫解直角三角形． 2．掌握解直角三角形的根据． 3．能由已知条件解直角三角形．【过程与方法】在探索解直角三角形的过程中，渗透数形结合思想．【情感态度与价值观】在探究活动中，培养学生的合作交流意识，让学生在学习中感受成功的喜悦，增强学习数学的信心．二、重难点目标【教学重点】解直角三角形的方法．【教学难点】会将求非直角三角形中的边角问题转化为解直角三角形问题．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P72～P73的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.2．在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c . (1)两锐角互余，即∠A ＋∠B ＝90°； (2)三边满足勾股定理，即a 2＋b 2＝c 2；(3)边与角关系sin A ＝cos B ＝a c ，cos A ＝sin B ＝b c ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a .3．Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，sin A ＝45，AB ＝10，那么BC ＝8，tan B ＝34.环节2 合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】见教材P73例1.【例2】见教材P73例2.活动2巩固练习(学生独学)1．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是(A)A．c sin A＝a B．b cos B＝cC．a tan A＝b D．c tan B＝b2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，则AB的长为3．根据下列条件解直角三角形．(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝4，c＝8；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，a＝12.解：(1)a＝43，∠B＝30°，∠A＝60°.(2)∠B＝30°，b＝43，c＝8 3.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，试求CD的长．【互动探索】过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，在△EFD中求出∠EDF＝60°，再解直角三角形即可．【解答】如题图，过点B作BM⊥FD于点M.在△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，∴BC＝AC＝12 2.∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠CBA＝45°，∴BM＝BC sin 45°＝122×22＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∵∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝BMtan 60°＝43，∴CD＝CM－MD＝12－4 3.【互动总结】(学生总结，老师点评)解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应练习！28．2.2应用举例第2课时利用仰角、俯角解直角三角形教学目标一、基本目标【知识与技能】1．能将直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题．2．了解仰角、俯角等有关概念，会利用解直角三角形的知识解决有关仰角和俯角的实际问题．【过程与方法】通过探索用解直角三角形知识解决仰角、俯角等有关问题，经历将实际问题转化为数学问题的探究过程，提高应用数学知识解决实际问题的能力．【情感态度与价值观】通过探索三角函数在实际问题中的应用，感受数学来源于生活又应用于生活以及勇于探索的创新精神．二、重难点目标【教学重点】利用解直角三角形解决有关仰角、俯角的实际问题．【教学难点】建立合适的三角形模型，解决实际问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P74～P75的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.2．如图所示，在建筑物AB的底部a米远的C处，测得建筑物的顶端点A的仰角为α，则建筑物AB的高可表示为a tan α米．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行，如图所示，当组合体运行到地球表面点P的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与点P的距离是多少？(地球半径约为6400 km，π取3.142，结果取整数)【温馨提示】详细分析与解答见教材P74例3.【例2】如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高(结果取整数)?【温馨提示】详细分析与解答见教材P75例4.活动2巩固练习(学生独学)如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21 m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B 处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、C在同一条直线上)，则河的宽度AB 约是多少？(精确到0.1 m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：由题易知，∠DAC＝∠EDA＝30°. ∵在Rt△ACD中，CD＝21 m，∴AC＝CDtan 30°＝2133＝213(m)．∵在Rt△BCD中，∠DBC＝45°，∴BC＝CD＝21 m，∴AB＝AC－BC＝213－21≈15.3(m)．即河的宽度AB约是15.3 m.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，某大楼顶部有一旗杆AB，甲、乙两人分别在相距6米的C、D两处测得点B和点A的仰角分别是42°和65°，且C、D、E在一条直线上．如果DE＝15米，求旗杆AB的长大约是多少米？(结果保留整数，参考数据：sin 42°≈0.67，tan 42°≈0.9，sin 65°≈0.91，tan 65°≈2.1)【互动探索】要求AB ，先求出AE 与BE →解直角三角形：Rt △ADE 、Rt △BCE . 【解答】在Rt △ADE 中，∵∠ADE ＝65°，DE ＝15米， ∴tan ∠ADE ＝AE DE，即tan 65°＝AE15≈2.1，解得 AE ≈31.5米．在Rt △BCE 中，∵∠BCE ＝42°，CE ＝CD ＋DE ＝6＋15＝21(米)， ∴tan ∠BCE ＝BE CE，即tan 42°＝BE21≈0.9，解得 BE ≈18.9米．∴AB ＝AE －BE ＝31.5－18.9≈13(米)．即旗杆AB 的长大约是13米．【互动总结】(学生总结，老师点评)先分析图形，根据题意构造直角三角形，再解Rt △ADE 、Rt △BCE ，利用AB ＝AE －BE 即可求出答案．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应练习！第3课时利用坡度、方向角解直角三角形教学目标一、基本目标【知识与技能】1．能运用解直角三角形解决航行问题．2．能运用解直角三角形解决斜坡问题．3．理解坡度i ＝坡面的铅直高度坡面的水平宽度＝坡角的正切值．【过程与方法】1．通过探究从实际问题中建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力，提高应用数学知识解决实际问题的能力．2．通过将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系，增强应用意识，体会数形结合思想的应用．【情感态度与价值观】在运用三角函数知识解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的应用价值．二、重难点目标【教学重点】用三角函数有关知识解决方向角、坡度、坡角等有关问题．【教学难点】准确分析问题并将实际问题转化成数学模型．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P76～P77的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】(一)方向角1．方向角是以观察点为中心(方向角的顶点)，以正北或正南为始边，旋转到观察目标的方向线所成的锐角，方向角也称象限角．2．如图，我们说点A 在O 的北偏东30°方向上，点B 在点O 的南偏西45°方向上，或者点B 在点O 的西南方向．(二)坡度、坡角1．坡度通常写成1∶m的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝hl＝tan α.2．一斜坡的坡角为30°，则它的坡度为(三)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程1．将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的函数模型)；2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用解直角三角形的有关性质解直角三角形；3．得到数学问题的答案；4．得到实际问题的答案．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)(一)解直角三角形，解决航海问题【例1】如图，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？【互动探索】(引发学生思考)构造直角三角形→解直角三角形求出AD 的长并与10海里比较→得出结论．【解答】如题图，过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D.在Rt △ABD 中，∵tan ∠BAD ＝BD AD， ∴BD ＝AD ·tan 55°.在Rt △ACD 中，∵tan ∠CAD ＝CD AD， ∴CD ＝AD ·tan 25°.∵BD ＝BC ＋CD ，∴AD ·tan 55°＝20＋AD ·tan 25°，∴AD ＝20tan 55°－tan 25°≈20.79(海里)．而20.79海里>10海里，∴轮船继续向东行驶，不会遇到触礁危险．【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．应先求出点A 距BC 的最近距离，若大于10海里则无危险，若小于或等于10海里则有危险．(二)解直角三角形，解决坡度、坡角问题【例2】如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD ，AD ∥BC ，路基顶宽BC ＝9.8 m ，路基高BE ＝5.8 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.6，斜坡CD 的坡度i ′＝1∶2.5，求铁路路基下底宽AD 的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角α和β的值(精确到1°)．【互动探索】(引发学生思考)将坡度i＝1∶1.6和i′＝1∶2.5分别转化为正切三角函数→求出AE、DF的长→由AD＝AE＋EF＋DF求出AD的长→利用计算器求得坡角α和β的值．【解答】如题图，过点C作CF⊥AD于点F，则CF＝BE，EF＝BC，∠A＝α，∠D＝β.∵BE＝5.8 m, i＝1∶1.6, i′＝1∶2.5，∴AE＝1.6×5.8＝9.28(m)，DF＝2.5×5.8＝14.5(m)，∴AD＝AE＋EF＋DF＝9.28＋9.8＋14.5≈33.6(m)．由tan α＝i＝1∶1.6，tan β＝i′＝1∶2.5，得α≈32°，β≈22°.即铁路路基下底宽AB为33.6 m，斜坡的坡角α和β分别为32°和22°.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用坡度与坡角解决实际问题的关键是将坡度与坡角放入可解的直角三角形中，没有直角三角形一般要添加辅助线(垂线)构造直角三角形．活动2巩固练习(学生独学)1．如图，防洪大坝的横断面是梯形，坝高AC为6米，背水坡AB的坡度i＝1∶2，则斜坡AB的长为2．“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C 村村民欲修建一条水泥公路，将C 村与区级公路相连．在公路A 处测得C 村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500 m ，在B 处测得C 村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短，画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足落在AB 的延长线上，CD 即为所修公路，CD 的长度即为公路长度．在Rt △ACD 中，根据题意，有∠CAD ＝30°.∵tan ∠CAD ＝CD AD， ∴AD ＝CD tan 30°＝3C D. 在Rt △CBD 中，根据题意，有∠CBD ＝60°.∵tan ∠CBD ＝CD BD，∴BD＝CDtan 60°＝33C D.又∵AD－BD＝500 m，∴3CD－33CD＝500，解得CD≈433 m.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，小明于堤边A处垂钓，河堤AB的坡比为1∶ 3 ，坡长为3米，钓竿AC的倾斜角是60°，其长为6米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角为60°，求浮漂D与河堤下端B之间的距离．【互动探索】将实际问题转化为几何问题→作辅助线，构造直角三角形→延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥EB→解直角三角形得AE长→得△CDE是等边三角形，DE＝CE＝AC＋AE→求得BD长．【解答】如图，延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥EB，交EB于点F，则∠。

新人教版初中数学知识点总结(完整版)

新人教版初中数学知识点总结(完整版)新人教版初中数学知识点总结(完整版)1诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式，就是将角n(/2)的三角函数转化为角的三角函数。

常用的诱导公式公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2k)=sin kzcos(2k)=cos kztan(2k)=tan kzcot(2k)=cot kz公式二：设为任意角，的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin()=-sincos()=-costan()=tancot()=cot公式三：任意角与 -的三角函数值之间的关系：sin(-)=-sincos(-)=costan(-)=-tancot(-)=-cot公式四：利用公式二和公式三可以得到与的三角函数值之间的关系：sin()=sincos()=-costan()=-tancot()=-cot新人教版初中数学知识点总结(完整版)2初中数学知识点总结：中位线知识要点:梯形的中线与两个底平行，等于两个底之和的一半。

1.中位线概念(1)三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

(2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

注意：(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。

三角形中线是连结一顶点和它对边的中点，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。

(2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段。

(3)两条中线定义的联系:三角形可以看成是一个零底的梯形，然后梯形的中线就成了三角形的中线。

2.中位线定理(1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.三角形两边中点的连线(中位线)平行于第BC边，且等于第三边的一半。

知识总结:三角形的中线形成的小三角形(中点三角形)的面积是原三角形的四分之一。

初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。

平面直角坐标系平面笛卡尔坐标系:在平面上绘制两个原点重合的相互垂直的数轴，形成平面笛卡尔坐标系。

初中数学七年级《角》教学设计

七年级人教版数学上册《角》教案角教学目标:1、知识与技能:理解角的定义及相关概念,用运动的观点理解角、平角、周角的概念,掌握角的表示方法。

2、过程与方法:初步培养学生利用运动变化的观点,揭示事物间的相互联系,渗透类比、联想、转化等数学思想。

3、情感、态度与价值观：培养学生主动探索、敢于实践的意识，培养学生“一切事物总是相互联系的”辩证唯物主义观点。

“角”对于初一学生来说比较抽象，学生接受起来比较困难。

因此为了帮助学生更好地认识角，教学中将观察、操作、演示等方法有机贯穿于课堂中的各环节，引导学生在感知的基础上加以抽象概括，充分遵循从感知，经表象，到概念这一认知规律，采用看一看、找一找、指一指、做一做、比一比、说一说等教学手段，让他们在大量的实践活动中掌握知识，形成能力，并通过网站、操作演示、表扬等手段吸引学生的注意力，把外在的可见与内在不可见的角印在大脑里，从而调动学生学习的兴趣，努力做到教法、学法的最优结合，使全体学生都能参与探索新知的过程。

教学重点：角、平角、周角的定义，角的表示方法。

教学难点：具有公共顶点的角的表示方法。

教学过程：一、创设情境，导入新课。

从角与我们生活方方面面密不可分的联系引入今天的学习内容：什么是角？角的表示方法是什么？二、合作交流，解读探究。

1、角的概念○1、感受生活中的角（出示生活中的角的图片）○2、动手做一做（两人合作，利用学具做一个角，进行小组比赛。

）○3、思考：角是怎样组成的？引出角的概念。

（课件出示）讲解：顶点、边的概念。

○4、出示练习：下面图形是不是角？（小组抢答）2、角的旋转定义○1、演示：一条射线绕着它的端点旋转形成的角。

○2、观察：时钟上指针的转动形成的角。

○3、小组讨论：一条射线经过怎样的运动能形成角？○4、总结出示：角的旋转定义。

3、平角与周角○1、演示平角和周角的形成，让学生估测其大小，引出两种特殊角：平角、周角。

○2、强调：平角与直线的区别，周角与射线的区别。