高一数学下册期中考试8
广东省广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知向量，，则（ ）A. 2B. 3C. 4D. 52（ ）A. B. C. D. 3. 如图，四边形中，，则必有（ ）A. B. C. D. 4. 如图，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是（ ）A. 与互相平行；B. 与是异面直线；C. 与相交，其交点在直线上；D. 与相交，且交点在直线上．5.已知，，且与互相垂直，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. .(2,1)a =(2,4)b =- ||a b -= ()i 13i 1i-=+2i +2i -2i-+2i--ABCD AB DC =AD CB=DO OB=AC DB=OA OC=ABCD E H AB AD F G BC CD EH FG ∥EH FG ≠EF GH EF GH EF GH EF GH BD EF GH AC a = 1b = a b - 2a b + a b30︒45︒60︒90︒6. 已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（ ）A. B. C. D.7. 函数的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. 8. 如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过的最大整数，）.若该葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到轴的距离为（ ）A.B.C.D.二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式O O O 12π16π48π96π()()πsin 1002f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭，，()π16g x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭πππ,π,Z 66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ππ2π,2π,Z 66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦π5ππ,π,Z 36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦π,24P ⎛⎫⎪⎝⎭122sin 2πx y x ω⎛⎫⎡⎤=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭0x ≥[]x x 05ω<<M y 4π3M x 1412s t h cm，确定，其中，，．小球从最高点出发，经过后，第一次回到最高点，则（ ）A B.C. 与时的相对于平衡位置的高度D. 与时的相对于平衡位置的高度之比为10. 下列说法正确的是（ ）A. 向量在向量上的投影向量可表示为B. 若，则与的夹角θ的范围是C. 若是等边三角形，则D 已知，，则11. 如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点，，，则下列说法正确的是（ ）A. 直三棱柱的体积为..()sin h A t ωϕ=+[)0,t ∞∈+0A >0ω>(]0,πϕ∈2s π4ϕ=πω=3.75s t =10s t =h 3.75s t =10s t =h 12ab a b b b b⋅⋅0a b ⋅< a bπ,π2⎛⎤⎥⎝⎦ABC V π,3AB BC <>=(1,2)A -(1,1)B ()2AB =-,1111ABC A B C -,E F 11,B B C C 11111224AA A B A C ===111π3A CB ∠=111ABC A B C -B. 直三棱柱外接球的表面积为；C. 若分别是棱的中点，则直线；D. 当取得最小值时，有三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分12. 在复平面内，对应的复数是，对应的复数是，则点之间的距离是______．13. 已知不共线的三个单位向量满足与的夹角为，则实数____________.14. 将函数且的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图形向左平移个单位长度后，得到一个奇函数图象，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. （1）将向量运算式化简最简形式．（2）已知，且复数，求实数的值．16. 如图所示，正六棱锥的底面周长为24，H 是的中点，O 为底面中心，，求：（1）正六棱锥的高；（2）正六棱锥斜高；（3）正六棱锥的侧棱长.17. （1）在三角形中，内角所对的边分别是，其中，，求．（2）热气球是利用加热的空气或某些气体，比如氢气或氦气的密度低于气球外的空气密度以产生浮力飞行．热气球主要通过自带的机载加热器来调整气囊中空气的温度，从而达到控制气球升降的目的．其工作的基本原理是热胀冷缩，当空气受热膨胀后，比重会变轻而向上升起，热气球可用于测量．如图，在离地为的111ABC A B C -64π3,E F 11,B B C C 1A F AE ∥1AE EF FA ++1A F EF=AB1i -AD 1i +,B D ,,a b c0,a b c a λ++=bπ3λ=()sin cos (,R f x a x b x a b =+∈0)b ≠π3ab =AB CB DC DE FA --++x ∈R ()222522i 0x x x x -++--=x BC 60SHO ∠=︒ABC ,,A B C ,,a b c 2c a =1sin sin sin 2b B a A a C -=cos B面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，求山的高度．18. 如图，在梯形中，，，且，，，在平面内过点作，以为轴将四边形旋转一周．（1）求旋转体的表面积；（2）求旋转体的体积；（3）求图中所示圆锥的内切球体积．19. 如图，在的边上做匀速运动的点，当时分别从点，，出发，各以定速度向点前进，当时分别到达点．（1）记，点为三角形的重心，试用向量线性表示（注：三角形的重心为三角形三边中线的公共点）（2）若的面积为，求的面积的最小值．（3）试探求在运动过程中，的重心如何变化？并说明理由．800m M C 15︒A 45︒60BAC ∠=︒BC ABCD 90ABC ∠=︒AD BC ∥AD a =2BC a =60DCB ∠=︒ABCD C l CB ⊥l ABCD CO ABC V ,,D E F 0=t A B C ,,B C A 1t =,,B C A ,AB a AC b == G ABC ,a bBG ABC V S DEF V DEF V广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷简要答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】AB【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分【12题答案】【答案】2【13题答案】【答案】-1【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）；（2）2.【16题答案】【答案】（1）6；（2）3）【17题答案】【答案】（1）；（2）【18题答案】【答案】（1）（2（3【19题答案】【答案】（1）（2）（3）的重心保持不变，理由略.FE341200m 2(9πa +3a 3πa 1233BG b a =-14S DEF V。
2023广东省深圳中学高一下学期期中数学试题及答案
深圳中学2022—2023学年度第二学期期中考试试题数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数25ii z -=，则z 的虚部为（ ）A. 2B. 2- C. 5D. 5-2. 下列结论中，正确的是（ ）A. 零向量只有大小，没有方向B. 若//AB CD ，//AB EF，则//CD EFC. 对任一向量a ，0a >总是成立的D. AB BA= 3. 若7cos 225α=-，π02α<<，则cos α等于（ ）A45 B. 45-C.35D. 35-4. 函数()12cos 22f x x x =+的最小正周期和振幅分别是（ ）A. π,1B. π,2C. 2π,1D. 2π,25. 已知,,,M N P Q 是平面内四个互不相同的点，,a b 为不共线向量，5MN a b =+，()24=--NP a b ，()3=- PQ a b ，则（ ）A. M ，N ，P 三点共线B. M ，N ，Q 三点共线C. M ，P ，Q 三点共线D. N ，P ，Q三点共线6. 已知,αβ都锐角，12cos 13α=，()4cos 5αβ+=，则cos β等于（ ）A.6365B. 6365-C. 3365D. 3365-7. 若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）.为A. 65-B.25C. 25-D.65或25-8. 剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形ABCD 的边长为2，点P 在四段圆弧上运动，则AP AB ⋅的取值范围为（ ）A. []1,3-B. []2,6-C. []3,9-D. []3,6-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知平面向量()()2,2,1,a b m ==，且22a b a b +=- ，则（ ）A. 1m =- B. π,3a b =C. //a bD.b =10. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且π8,6c B ==.若ABC 有两解，则b 的值可以是（ ）A. 4B. 5C. 7D. 1011. 已知()cos ,sin a θθ=，()cos ,sin b ϕϕ= ，则下列选项中可能成立的是（ ）A. a b a b+=- B. 1a b -= C. ()()1a b a b +⋅-= D.2a b ×= 12. 如图，直线12l l ∥，点A 是12,l l 之间的一个定点，点A 到12,l l 的距离分别为1和2.点B 是直线2l 上一个动点，过点A 作AC AB ⊥，交直线1l 于点,0C GA GB GC ++=，则（ ）A. ()12AG AB AC =+B. GAB △面积的最小值是23C. 1AG ≥ D. GA GB ⋅存在最小值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 2cos 15= _____．14. 设,D E 分别是ABC 边,AB BC 上的点，12,23AD AB BE BC ==,若,AB a AC b == ，则DE＝________.（用,a b 表示）15.=________ .16. 如图在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是______________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知复数1i z =-（i 是虚数单位）.（1）求复数z 的模和共轭复数；（2）若(),az b z a b R +=∈，求,a b 的值.18 已知向量a ，b满足()1,1a =- ，1= b ．（1）若a ，b 的夹角为π3，求a b ⋅ ；（2）若()-⊥a b b r r r ，求a 与b的夹角．19. 已知向量()sin ,1a x = ，3cos ,2b x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，函数()()2f x a a b =⋅- .（1）求()f x 的最小正周期以及单调递增区间；（2）将()f x 的图象向左平移π4单位后得到()g x 的图象，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()g x 的值域.的.20. 某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距12km 的观测站A 和B ，观测人员分别在A ，B 处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点C 处，观测人员从两个观测站分别测得30BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，经过一段时间后，该动物种群出现在点D 处，观测人员从两个观测站分别测得75BAD ∠=︒，45ABD ∠=︒．（注：点A ，B ，C ，D 在同一平面内）（1）求ABD △的面积；（2）求点C D ，之间的距离．21. 已知tan α，tan β是方程2430x px --=的两个实根，且0p >.（1）若1p =，求()tan αβ+的值；（2）用p 表示()()2tan cos 2cos 2sin αβαβαβ⎡⎤++-⎣⎦，并求其最大值.22. 悬索桥外观大气漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线的方程和双曲余弦函数cos ()h x 以及双曲正弦函数()sin h x 有关.已知()cos ()f x h x =是R 上的偶函数，()()sin g x h x =是R 上的奇函数，满足()()e x f x g x +=，其中e 是自然对数的底数.（1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）已知[]0,x π∈，（i ）解不等式cos sin sin cos e e e e x x x x ---≥-；（ii ）设（i ）中不等式的解集为D ，若x D ∀∈，()()2cos cos 10f x ag x -+≥恒成立，求a 的取值范围.（注：1e<+<）.的深圳中学2022—2023学年度第二学期期中考试试题数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数25ii z -=，则z 的虚部为（ ）A. 2B. 2- C. 5D. 5-【答案】B 【解析】【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数，即可得出答案.【详解】()i 25i 25i 52i i 1z ---===--，则z 的虚部为2-．故选：B .2. 下列结论中，正确的是（ ）A. 零向量只有大小，没有方向B. 若//AB CD ，//AB EF，则//CD EFC. 对任一向量a ，0a >总是成立的D. AB BA=【答案】D 【解析】【分析】对于A ，根据零向量的定义可判断；对于B ，根据向量平行的传递性可判断；对于C ，举反例00= ，即可判断；D ，根据AB BA =-即可判断.【详解】对于A ，零向量的方向是任意方向的，A 错误；对于B ，当0AB = 时，CD 与EF可以不平行，B 错误；对于C ，00=，C 错误；对于D ，AB BA BA =-=，D 正确.3. 若7cos 225α=-，π02α<<，则cos α等于（ ）A.45 B. 45-C.35D. 35-【答案】C 【解析】【分析】根据倍角余弦公式可得29cos25α=，再根据π02α<<，开方即可求解.【详解】因为27cos 22cos 125αα=-=-，所以29cos 25α=，又π02α<<，则3cos 5α=.故选：C4. 函数()12cos 22f x x x =+的最小正周期和振幅分别是（ ）A. π,1 B. π,2C. 2π,1D. 2π,2【答案】A 【解析】【分析】利用辅助角公式化简可得()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合最小正周期和振幅的概念即可求解.【详解】()1π2cos2sin 226f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期为2ππT ω==，振幅为1.故选：A.5. 已知,,,M N P Q 是平面内四个互不相同的点，,a b 为不共线向量，5MN a b =+，()24=--NP a b ，()3=- PQ a b ，则（ ）A. M ，N ，P 三点共线B. M ，N ，Q 三点共线C. M ，P ，Q 三点共线D. N ，P ，Q三点共线【解析】【分析】根据共线定理即可判断各项.【详解】对于A ，令tMN NP = ，即()()524b t a b a -+-=，所以258t t =-⎧⎨=⎩，所以不存在t ，使得tMN NP = ，A 错误；对于B ，由于2(4)NP a b =--，3()PQ a b =-，所以5NQ NP PQ a b =+=+ ，所以MN NQ = ，又,MN NQ相交于点N ，故 M 、N 、Q 三点共线.B 正确；对于C ，13MP MN NP a b =+=-+，令mMP PQ = ，即()()133b m b a a -+=-，所以3133m m -=⎧⎨=-⎩，所以不存m ，使得mMP PQ = ，C 错误；对于D ， 令nNP PQ = ，即()()243b n a b a --=- ，所以2383n n -=⎧⎨=-⎩，所以不存在n ，使得nNP PQ = ，D 错误.故选：B6. 已知,αβ都为锐角，12cos 13α=，()4cos 5αβ+=，则cos β等于（ ）A.6365B. 6365-C. 3365D. 3365-【答案】A 【解析】【分析】根据余弦的差角公式，结合()βαβα=+-,同角三角函数关系求解即可.【详解】解：因为,αβ都为锐角，即π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0,παβ+∈因为12cos 13α=，()4cos 5αβ+=，在所以5sin 13α=，()3sin 5αβ+=，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++⎡⎤⎣⎦124536313513565=⨯+⨯=.故选：A7. 若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A. 65-B.25C. 25-D.65或25-【答案】B 【解析】【分析】利用三角恒等变换和同角三角关系求解即可.【详解】因为tan 2θ=-，所以cos 0θ≠，所以()222sin 1sin 2sin (sin cos 2sin cos )sin (sin cos )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ++++==+++222sin sin cos sin (sin cos )sin cos θθθθθθθθ+=+=+22tan tan 2tan 15θθθ+==+，故选：B8. 剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形ABCD 的边长为2，点P 在四段圆弧上运动，则AP AB ⋅的取值范围为（ ）A. []1,3-B. []2,6-C. []3,9-D. []3,6-【答案】B 【解析】【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求出点P 的横坐标的取值范围，利用平面向量数量积的坐标运算可求得AP AB ⋅的取值范围.【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xAy ，设点(),P x y ，易知，以AD 为半径的左半圆的方程为()()221110x y x +-=-≤≤，以BC 为半径的右半圆的方程为()()()2221123x y x -+-=≤≤，所以点P 的横坐标x 的取值范围是[]1,3-，又因为(),AP x y =，()2,0AB = ，所以，[]22,6AB AP x ⋅=∈- .故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知平面向量()()2,2,1,a b m ==，且22a b a b +=- ，则（ ）A. 1m =- B. π,3a b =C. //a bD.b =【答案】AD 【解析】【分析】因为22a b a b +=-，两边平方可得0a b ⋅= ，即可求得1m =-，从而可判断选项ABC ，进而求得()1,1b =-，从而可判断选项D.【详解】因为22a b a b +=- ，两边平方可得()()2222a ba b +=- ，所以22224444a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，即0a b ⋅= .对于A ，220a b m ⋅=+=，解得1m =-，A 正确；对于B ，因0a b ⋅= ，所以π,2a b =，B 错误；对于C ，因为0a b ⋅= ，则a b ⊥ ，C 错误；对于D ，由选项A 可知()1,1b =-，所以b == ，D 正确故选：AD10. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且π8,6c B ==.若ABC 有两解，则b 的值可以是（ ）A. 4 B. 5C. 7D. 10【答案】BC 【解析】【分析】由题意画出图形，可知sin c B a c <<，求出a 的范围，根据选项，得出结果即可.【详解】解：如图：要使ABC 有两个解，则sin c B a c <<，即π8sin86a <<，解得：48a <<，故选：BC11. 已知()cos ,sin a θθ=，()cos ,sin b ϕϕ= ，则下列选项中可能成立的是（ ）A. a b a b+=- B. 1a b -= C. ()()1a b a b +⋅-= D.2a b ×= 【答案】AB 【解析】【分析】利用坐标进行向量线性运算，并结合三角恒等变换计算相应数量积和模长，从而判断出答案.为.【详解】因为()cos ,sin a θθ=，()cos ,sin b ϕϕ= ，所以1a == ，1b == ，()cos cos ,sin sin a b θϕθϕ+=++ ，()cos cos ,sin sin a b θϕθϕ-=--，()()222cos cos sin sin a b θϕθϕ+=+++ ()()22cos cos sin sin 22cos θϕθϕθϕ=++=+-，()()222cos cos sin sin a b θϕθϕ-=-+- ()()22cos cos sin sin 22cos θϕθϕθϕ=-+=--，若π2θϕ=+，此时222a b a b +=-= ，故a b a b +=- ，A 可能正确；若π3θϕ=+，此时21a b -= ，1a b -= ，B 选项可能正确；()()()()cos cos ,sin sin cos cos ,sin sin a b a b θϕθϕθϕθϕ+⋅-=++⋅--()()22222222cos cos sin sin cos sin cos sin 110θϕθϕθθϕϕ=-+-=++-+=-=，故C 一定不正确；[]cos ,cos ,1,1a b a b a b a b×=×=Î-，故D 一定不正确.故选：AB12. 如图，直线12l l ∥，点A 是12,l l 之间的一个定点，点A 到12,l l 的距离分别为1和2.点B 是直线2l 上一个动点，过点A 作AC AB ⊥，交直线1l 于点,0C GA GB GC ++=，则（ ）A. ()12AG AB AC =+B. GAB △面积的最小值是23C. 1AG ≥ D. GA GB ⋅存在最小值【答案】BC 【解析】【分析】根据题意建立合适的直角坐标系，设出(),3C m ，(),0B n ，(),G x y ，根据AC AB ⊥及0GA GB GC ++= ，即可找到三个点的坐标关系，分别写出AG ，()13AB AC +，即可判断A ；取AB 中点为F ，连接CF ，根据0GA GB GC ++=，可得,,G C F 三点共线，且G 为CF 靠近F 的三等分点，即可找到GAB △面积与ABC 面积之间比例关系，进而建立GAB △面积等式，根据基本不等式即可判断B ；求出AG ，再根据基本不等式可判断C ；写出GA GB ⋅ 进行化简，根据m 的范围即可得到GA GB ⋅的最值情况.【详解】设AB 中点为F ，连接CF ，以D 为原点，,DB DE 方向分别为,x y 轴建立如图所示的直角坐标系，则()0,2A ，()0,3E ，设(),3C m ，(),0B n ，(),G x y ，,,,R m n x y ∈，且,0m n ≠，所以(),1AC m =，(),2AB n =- ，因为AC AB ⊥，所以0AC AB ⋅=，即20mn -=，故2n m =，即2,0B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以(),2GA x y =-- ，2,GB x y m --⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),3m x y GC =--，因为0GA GB GC ++=，所以2230355303m mx m x my y ⎧+⎪⎧=+-=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-=⎩=⎪⎩，因为()211,333m m AB AC ⎛⎫+ ⎪+=- ⎪ ⎪⎝⎭，故()13AG AB AC =+，A 错误；因为0GA GB GC ++= ，所以()GC GA GB =-+ ，即2GC GF =- ，所以,,G C F 三点共线，且G 为CF 靠近F 的三等分点，所以1136GABABC S S AC AB ==⋅==23=≥=，当且仅当221m m =，即1m =±时取等，故B 正确；因为()211,333m m AG AB AC ⎛⎫+ ⎪=+=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以AG =1=≥=，当且仅当224mm =，即m =时取等，故1AG ≥，C 正确；因为32,15,3334,m m m m GA GB ⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎛⎫+- ⎪=- ⎪⎭⎪⎝⎭⎝ ，所以245339m m m m GA GB ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⋅=--⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭222288275999m m m m ----=-=，因为R m ∈且0m ≠，所以20m >，记()87,0f x x x x=-->，()2810f x x'=+>，可知()f x 单调递增，没有最值，即GA GB ⋅没有最值，故D 错误.故选：BC【点睛】关键点睛：本题考查了平面向量数量积的性质以及平面向量在平面几何中的应用，属于较难题目.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 2cos 15= _____．【解析】【分析】利用21cos30cos 152+=即可得到答案.【详解】211cos302cos 1522++===.【点睛】本题主要考查余弦二倍角公式，熟记公式为解题关键，属于简单题.14. 设,D E 分别是ABC 的边,AB BC 上的点，12,23AD AB BE BC ==,若,AB a AC b == ，则DE＝________.（用,a b 表示）【答案】1263a b -+ 【解析】【分析】利用三角形法则，结合12,23AD AB BE BC ==即可.【详解】如图:因为12,23AD AB BE BC ==，所以()12122323DE DB BE AB BC AB AC AB =+=+=+-12212122336363AB AB AC AB AC a b -+=-+=-+，故答案为：1263a b -+15.=________ .【答案】1【解析】【分析】=，再利用差角余弦公式和诱导公式即可求解.=1===故答案为：116. 如图在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD = ，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是______________.【答案】22【解析】【分析】根据基底,AB AD 表示,,AP BP 再根据向量数量积化简2AP BP ⋅=，即得结果.【详解】13()()()()44AP BP AD DP BC CP AD AB AD AB ⋅=+⋅+=+⋅-2231162AD AB AB AD=--⋅ 311256413222.1622AB AD AB AD AB AD =-⨯-⋅=-⋅=∴⋅=【点睛】用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知复数1i z =-（i 是虚数单位）.（1）求复数z 的模和共轭复数；（2）若(),az b z a b R +=∈，求,a b 的值.【答案】（1）z =，1i z =+（2）1,0a b ==【解析】【分析】（1）利用复数模的公式求模，再利用复数的共轭复数的定义求共轭复数；（2）将复数z 代入(),az b z a b R +=∈，利用复数相等求解；【小问1详解】解：因为复数1i z =-（i 是虚数单位），所以z ==，1i z =+；【小问2详解】因为复数1i z =-（i 是虚数单位），且(),az b z a b R +=∈，所以()1i 1i a b -+=-，即i 1i a b a +-=-，则11a b a +=⎧⎨-=-⎩，解得01b a =⎧⎨=⎩.18. 已知向量a ，b满足()1,1a =- ，1= b ．（1）若a ，b 的夹角为π3，求a b ⋅ ；（2）若()-⊥a b b r r r ，求a 与b的夹角．【答案】（1（2）π4【解析】【分析】（1）先算出a r，再按照数量积的公式计算即可（1）根据()-⊥a b b r r r 得到()0a b b -=r r r g ，计算出a b ⋅ ，再根据cos θa b a b=即可【小问1详解】()1,1a =-，所以a =，所以π1cos 132a b a b ⋅==⨯=【小问2详解】因为()a b b -⊥ ，所以()0a b b -⋅=，所以20a b b -= ，所以1a b = ，令θa b ⋅=所以cos θa b a b⋅== 因为[]θ0,π∈，所以πθ4=故a 与b的夹角为π4．19. 已知向量()sin ,1a x = ，3cos ,2b x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，函数()()2f x a a b =⋅- .（1）求()f x 最小正周期以及单调递增区间；（2）将()f x 的图象向左平移π4单位后得到()g x 的图象，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()g x 的值域.【答案】（1）π，增区间为π3ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）⎡-⎣【解析】【分析】（1）求得()π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据周期公式可求得最小正周期，令πππ2π22π,Z 242k x k k -≤-≤+∈可求得单调递增区间；（2）由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求得ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，再根据正弦函数的性质即可求解.【小问1详解】由题意知：()()2π22sin 2sin cos 1sin 2cos 224f x a a b x x x x x x ⎛⎫=⋅-=+-=-=- ⎪⎝⎭ ，所以πT =，令πππ2π22π,Z 242k x k k -≤-≤+∈，则π3πππ,Z88k x k k -≤≤+∈所以()f x 的最小正周期为π，增区间为π3ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】由题意知：()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以()g x ⎡∈-⎣.即()g x的值域为⎡-⎣.20. 某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距12km 的观测站A 和B ，观的测人员分别在A ，B 处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点C 处，观测人员从两个观测站分别测得30BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，经过一段时间后，该动物种群出现在点D 处，观测人员从两个观测站分别测得75BAD ∠=︒，45ABD ∠=︒．（注：点A ，B ，C ，D 在同一平面内）（1）求ABD △的面积；（2）求点C D ，之间的距离．【答案】（1）)236km +;（2）．【解析】【分析】（1）由正弦定理求得AD 的长，利用三角形面积公式，即可求得答案；（2）求出AC 和CAD ∠，由余弦定理即可求得答案.【小问1详解】ABD △ 中，75BAD ∠=︒，45ABD ∠=︒，所以60ADB ∠=︒．由正弦定理：si n si n AD ABABD ADB=∠∠，得sin 45sin 60AD AB =︒︒，所以)sin 4512km sin 60AD AB ︒=⋅==︒,()1sin sin 75sin 45302BAD ⎫∠=︒=︒+︒=+=⎪⎪⎝⎭，所以ABD △的面积为)211sin 1236km 22ABD S AB AD BAD ∆=⋅⋅∠=⨯⨯=+．在【小问2详解】由30BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，得45CAD ∠=︒，且90ACB ∠=︒,12cos30AC ∴== ．在ACD中由余弦定理，得2222cos 3631662602CD AC AD AC AD CAD =+-⋅⋅∠=⨯+⨯-⨯=,所以)km CD =．即点C ，D之间的距离为．21. 已知tan α，tan β是方程2430x px --=的两个实根，且0p >.（1）若1p =，求()tan αβ+的值；（2）用p 表示()()2tan cos 2cos 2sin αβαβαβ⎡⎤++-⎣⎦，并求其最大值.【答案】（1）1 （2）11p p+，最大值为12【解析】【分析】（1）根据韦达定理，结合和角正切公式即可求解；（2）根据韦达定理结合和角正切公式先求得()tan p αβ+=，再利用三角恒等变换结合齐次弦化切得原式为()()22tan 11tan 11p p p pαβαβ+==++++，利用基本不等式即可求得最大值.【小问1详解】当1p =时，2430x x --=由题意知：tan tan 4αβ+=，tan tan 3αβ=-所以()tan tan 4tan 11tan tan 13αβαβαβ++===-+【小问2详解】由题知：tan tan 4p αβ+=，tan tan 3αβ=-，则()tan tan 4tan 1tan tan 13ppαβαβαβ++===-+因为()()()()222222cos 2cos 2sin cos sin cos sin sin cos cos sin αβαβααββαβαβ+-=--+-2222222222cos cos cos sin sin cos sin sin sin cos 2sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβαβ=--++-22cos sin αβ+2222cos cos sin sin 2sin cos cos sin αβαβαβαβ=+-()()2222cos cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ=-+-()()cos cos cos cos sin sin sin sin sin sin cos cos αβαβαβαβαββα=-+-()()()()()22222cos 1cos sin cos tan 1αβαβαβαβαβ+=+==+++++，所以()()()()222tan 1tan cos 2cos 2sin 1tan 11p p p pαβαβαβαβαβ+⎡⎤++-===⎣⎦++++而12p p +≥=，当且仅当1p =时，等号成立，所以当1p =时，取得最大值为12.22. 悬索桥的外观大气漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线的方程和双曲余弦函数cos ()h x 以及双曲正弦函数()sin h x 有关.已知()cos ()f x h x =是R 上的偶函数，()()sin g x h x =是R 上的奇函数，满足()()e x f x g x +=，其中e 是自然对数的底数.（1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）已知[]0,x π∈，（i ）解不等式cos sin sin cos e e e e x x x x ---≥-；（ii ）设（i ）中不等式的解集为D ，若x D ∀∈，()()2cos cos 10f x ag x -+≥恒成立，求a 的取值范围.（注：1e<+<）.【答案】（1）()e e 2x x f x -+=，()e e 2x xg x --= （2）（i ）30,,π44ππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（ii ）[]4,4-【解析】【分析】（1）根据()cos ()f x h x =是R 上的偶函数，()()sin g x h x =是R 上的奇函数，由()()()()e e xx f x g x f x g x -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩求解；（2）由（i ）不等式cos sin sin cos cos cos sin sin e e e e e e e e x x x x x x x x -----≥-⇒+≥+，令()e e x x h x -=+，证明其单调性即可；（ii ）令cos t x =，将x D ∀∈，()()2cos cos 10f x ag x -+≥恒成立，转化为()22e e e e 20t t t t a --+--+≥恒成立求解.【小问1详解】解：由()()()()e exx f x g x f x g x -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得：()e e 2x xf x -+=，()2x x e eg x --=；【小问2详解】（i ）不等式cos sin sin cos cos cos sin sin e e e e e e e e x x x x x x x x -----≥-⇒+≥+，令()e exxh x -=+，任取[)12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则()()()()121212e eee xx x x h x h x ---=-+-，()12121e e 1ex x x x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为[)12,0,x x ∈+∞，所以12e 1x x +>，则12110e x x +->，因为12x x <，所以12e e x x <，所以()()120h x h x -<，所以函数()h x 在[)0,∞+为增函数，又()()ee e e xx x x h x h x ---=+=+=，所以()h x 是偶函数，则cos sin x x ≥，又因为[]0,πx ∈，所以不等式解集为30,,π44ππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（ii ）令cos t x =，则1,t ⎤⎡∈⋃-⎥⎢⎣⎦⎣⎦，由()()2cos cos 10f x ag x -+≥，得()22e ee e 20ttt t a --+--+≥，当t ⎤∈⎥⎦时，1e e e e t t --⎡⎤-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则问题转化为22e e 2e e t t t ta --++≥-恒成立，因为()2ee44e e 4e e e ett t t t tt t-----+=-+≥≥--，当且仅当e e 2t t --=时，等号成立，所以4a ≤，当1,t ⎡∈-⎢⎣时，1e e e e t t --⎡⎤-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则问题转化为22e e 2e e t t t ta --++≥-恒成立；，()2ee 44e e e e e ett t t t tt ta -----+=-+≥--，因为()2e e 44e e 4e e e e t t t t t tt t-----+⎛⎫=--+≤-=- ⎪--⎝⎭，当且仅当e e 2t t --=-时，等号成立，所以4a ≥-，综上：a 的取值范围是[]4,4-.。
2023-2024学年厦门市高一数学第二学期期中考试卷附答案解析
2023-2024学年厦门市高一数学第二学期期中考试卷（考试时间120分钟，满分150分）考试时间：2024年4月28日考试时长120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数2i i z =-，则z 对应的点Z 在复平面的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知向量(2,1),(1,4)a b ==- ，则23a b -=（）A ．(7,10)-B ．(1,14)C ．(7,10)-D ．(7,6)3．下列命题中正确的是（）A ．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B ．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面C ．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D ．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形4．在空间四边形ABCD 中，AC=BD ，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，顺次连接各边中点E ，F ，G ，H ，所得四边形EFGH 的形状是（）A ．梯形B ．矩形C ．正方形D ．菱形5．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15︒的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30︒，第一排和最后一排的距离为（如图所示），则旗杆的高度为（）A ．10mB ．30mC ．D ．6．在ABC 中，若sin 2sin cos C B B =，且64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则c b 的范围为（）A ．B ．)2C ．()0,2D ．)27．如图，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线//MN 平面ABC 的是（）A ．B ．C ．D ．8．已知AB AC ⊥ ，||AB t = ，1||AC t= ．若点P 是△ABC 所在平面内一点，且2||||AB ACAP AB AC =+，则PB PC ⋅ 的最大值为（）A ．13B ．5-C ．5-D ．10+二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设复数12i1i z +=+，则（）A ．z 的实部为32B ．31i 22z =-C ．z 的虚部为1i2D ．1z =10．已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，下列说法正确的是（）A ．若sin :sin :sin 2:3:4ABC =，则ABC 是钝角三角形B ．若sin sin A B >，则a b>C ．若0AC AB ⋅>，则ABC 是锐角三角形D ．若45A =o ，2a =，b =，则ABC 只有一解11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M 是ABC 内一点，BMC △，AMC ，AMB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B C S MA S MB S MC ⋅+⋅+⋅=．以下命题正确的有（）A ．若::1:1:1ABC S S S =，则M 为AMC 的重心B ．若M 为ABC 的内心，则0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=C ．若45BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，M 为ABC 的外心，则::2:1A B C S S S =D ．若M 为ABC 的垂心，3450MA MB MC ++= ，则cos AMB ∠=三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．在△ABC 中，B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，则此三角形的最大边长为.13．将边长为2的正方形卷成一个圆柱的侧面，所得圆柱的体积为．14．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若a c =，sin 3,26sin 2A aB =≤≤，则ABC S - 的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin a B ．(1)若2b =，3c =，求a 的值：(2)若2a bc =，判断ABC 的形状．16．如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，60BAD ︒∠=，E ，F 分别为AB ，BC 上的点，且2AE EB =，2=CF FB ．(1)若DE x AB y AD =+，求x ，y 的值；(2)求AB DE ⋅的值；(3)求cos BEF ∠．17．如右图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点．(1)求证：BD 1∥平面C 1DE ；(2)求三棱锥D －D 1BC 的体积18．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且()3sin sin 32sin A B c bC a b--=+．(1)求sin A ；(2)若ABC①已知E 为BC 的中点，求ABC 底边BC 上中线AE 长的最小值；②求内角A 的角平分线AD 长的最大值．19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC 的三个内角均小于120︒时，使得120AOB BOC COA ∠=∠=∠=︒的点O 即为费马点；当ABC 有一个内角大于或等于120︒时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos2cos2cos21B C A +-=(1)求A ；(2)若2bc =，设点P 为ABC 的费马点，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅；(3)设点P 为ABC 的费马点，PB PC t PA +=，求实数t 的最小值．1．C【分析】根据虚数单位的性质化简，再由实部、虚部符号确定复数对应点所在象限.【详解】因为2i i=1i z =---，所以z 对应的点Z 在复平面的第三象限，故选：C 2．A【分析】根据向量线性运算的坐标表示计算可得；【详解】解：因为(2,1),(1,4)a b ==-，所以()()()2322,131,47,10a b -=--=- ；故选：A 3．D【分析】根据题意，结合棱柱的几何结构特征，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，如图所示满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A 不正确；对于B 中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以B 不正确；对于C 中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C 不正确；对于D 中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，所以D 正确.故选：D.4．D【分析】根据空间四边形中各点的位置，结合中位线的性质可得EFGH 是平行四边形，再由AC=BD 即可判断四边形EFGH 的形状.【详解】如图所示，空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD 可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到四边形EFGH ，由中位线的性质及基本性质4知，EH ∥FG ，EF ∥HG ；∴四边形EFGH 是平行四边形，又AC=BD ，∴HG=12AC=12BD=EH ，∴四边形EFGH 是菱形.故选：D 5．B【分析】先根据正弦定理求出BC ，再根据直角三角形三角函数关系即可求解.【详解】如图，由题可知：在ABC 中，45A =︒，105ABC ∠=︒，所以30ACB ∠=︒．sin 45BC=︒，所以22BC ==，在Rt CBD △中，3sin 6030(m)2CD BC ︒==⨯=．故选：B 6．A【分析】根据题意，利用正弦定理化简得到2cos c B b =，结合64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和余弦函数的性质，即可求解.【详解】因为sin 2sin cos C B B =，由正弦定理得2cos c b B =，则2cos cB b=，又因为64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos B <<2cos B <所以cb的范围为.故选：A.7．D【分析】对于A ，根据//MN AC 结合线面平行的判断定理即可判断；对于B,根据//MN BE 结合线面平行的判断定理即可判断；对于C ，根据//MN BD ，结合线面平行的判断定理即可判断；对于D ，根据四边形AMNB 是等腰梯形，AB 与MN 所在的直线相交，即可判断.【详解】对于A,如下图所示，易得//,//AC EF MN EF ,则//MN AC ，又MN ⊄平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,则//MN 平面ABC ，故A 满足；对于B ，如下图所示，E 为所在棱的中点，连接,,EA EC EB ,易得,//AE BC AE BC =,则四边形ABCE 为平行四边形，,,,A B C E 四点共面，又易知//MN BE ，又MN ⊄平面ABC ,BE ⊂平面ABC ,则//MN 平面ABC ，故B 满足；对于C,如下图所示，点D 为所在棱的中点，连接,,DA DC DB ,易得四边形ABCD 为平行四边形，,,,A B C D 四点共面，且//MN BD ,又MN ⊄平面ABC ,BD ⊂平面ABC ,则//MN 平面ABC ，故C 满足；对于D ，连接,AM BN ,由条件及正方体的性质可知四边形AMNB 是等腰梯形，所以AB 与MN 所在的直线相交，故不能推出MN 与平面ABC 不平行，故D 不满足，故选：D.8．B【分析】以A 为原点，建立直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算，以及二次函数的性质，即可求解.【详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P （x ，y ）则1(,0),(0,0)B t C t t >，可得(1,0)AB AB = ，2(0,2)||AC AC = ，所以(1,2)AP = ，即(1,2)P ，故(1,2)PB t =-- ，11,2PC t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以221455PB PC t t t t ⎛⎫⋅=-+-=-+≤- ⎪⎝⎭ 2t t =即t 时等号成立．故选：B．9．AB【分析】根据复数除法求出z ，由复数的概念判断AC ，根据共轭复数判断B ，根据模的定义判断D.【详解】因为()()()()12i 1i 12i 122i i 31i 1i 1i 1i 222z +-+++-====+++-，所以z 的实部为32，虚部为12，31i 22z =-，102z =，故选：AB 10．ABD【分析】对于A ，利用正弦定理及大边对大角，结合余弦定理的推论即可求解；对于B ，利用正弦定理的角化边即可求解；对于C ，利用向量的数量积的定义即可求解；对于D ，利用正弦定理及三角函数的特殊值对应特殊角即可求解.【详解】对于A ，因为ABC 的三个角满足sin :sin :sin 2:3:4A B C =，所以由正弦定理化简得::2:3:4a b c =，设2,3,4a k b k c k ===，c 为最大边，由余弦定理得222222249163cos 02124a b c k k k C ab k +-+-===-<，所以C 为钝角，所以ABC 是钝角三角形，故A 正确；对于B ，由sin sin A B >及正弦定理，得22a b R R>,解得a b >，故B 正确；对于C ，因为0AC AB ⋅>，所以cos cos 0AC AB AC AB A bc A ⋅⋅==> ，所以cos 0A >，所以A 为锐角，但无法确定B 和C 是否为锐角，故C 错误；对于D ，由正弦定理得222sin 45sin B=，解得sin 1B =，因为0180B << ,所以90B = ，所以ABC 只有一解，故D 正确.故选：ABD.11．ABD【分析】A 选项，0MA MB MC ++=，作出辅助线，得到A ，M ，D 三点共线，同理可得M 为ABC 的重心；B 选项，设内切圆半径为r ，将面积公式代入得到0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=；C 选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D 选项，得到::3:4:5A B C S S S =，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设MD m =，MF n =，5ME t =，表示出AM ，BM ，MC ，结合三角函数得到m ，m =，进而求出余弦值；【详解】对A 选项，因为::1:1:1A B C S S S =，所以0MA MB MC ++=，取BC 的中点D ，则2MB MC MD += ，所以2MD MA =-，故A ，M ，D 三点共线，且2MA MD =，同理，取AB 中点E ，AC 中点F ，可得B ，M ，F 三点共线，C ，M ，E 三点共线，所以M 为ABC 的重心，A 正确；对B 选项，若M 为ABC 的内心，可设内切圆半径为r ，则12A S BC r =⋅，12B S AC r =⋅，12C S AB r =⋅，所以1110222BC r MA AC r MB AB r MC ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ，即0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=，B 正确；对C 选项，若45BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，M 为ABC 的外心，则75ACB ∠=︒，设ABC 的外接圆半径为R ，故290BMC BAC ∠=∠=︒，2120AMC ABC ∠=∠=︒，2150AMB ACB ∠=∠=︒，故2211sin 9022A S R R =︒=，221sin1202B S R R =︒，2211sin15024C S R R =︒=，所以::2A B C S S S =，C错误；对D 选项，若M 为ABC 的垂心，3450MA MB MC ++=，则::3:4:5A B C S S S =，如图，AD BC ⊥，CE AB ⊥，BF AC ⊥，相交于点M ，又ABC A B C S S S S =++ ，31124AABC S S == ，即:3:1AM MD =，41123BABC S S == ，即:1:2MF BM =，512CABC S S =，即:5:7ME MC =，设MD m =，MF n =，5ME t =，则3AM m =，2BM n =，7MC t =，因为CAD CBF ∠=∠，sin ,sin 32n mCAD CBF m n∠=∠=，所以32n m m n =，即3m =，3cos 22m BMD n n ∠===，则()cos cos πAMB BMD ∠=-∠=D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查向量与四心关系应用，关键是利用三角形的几何关系及向量数量积及向量线性表示逐项判断.12．【详解】解：利用正弦定理可知，B 角对的边最大，因为05sin 230,51sin sin sin 2a b aBA b AB A =∴=∴===故答案为：13．2π【分析】先计算底面积，再计算体积.【详解】122R R ππ=∴=22122V R h ππππ=⨯=⨯⨯=故答案为2π【点睛】本题考查了圆柱的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.14【分析】由正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式化简计算可得.【详解】222sin 37,23,,cos sin 229A a c b a b a c B B ac +-=∴==∴==，则sin B =2221922ABC S a a ⎫∴-=-⋅=+=-+⎪⎝⎭ []2,6,ABC a S ∈∴-V Q故答案为：922.15．(1)a =(2)等边三角形．【分析】（1）由正弦定理边化角，求出π3A =，再利用余弦定理可得答案；(2)由余弦定理得结合2a bc =得2220b c bc +-=，进而b c =，从而可得答案.【详解】（1）由正弦定理，33sin sin sin sin ,sin 022a B b A B B B =⇒≠ ，故ππsin 0,223A A A ⎛⎫=∈⇒= ⎪⎝⎭，再由余弦定理得，2222212cos 2322372a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=,从而a =（2）因为π3A =，所以由余弦定理得222a b c bc=+-结合2a bc =得2220b c bc +-=，进而22,b c a b a b c =⇒===，所以ABC 是等边三角形．16．(1)2,13x y ==-(2)203【分析】（1）由向量的运算法则求解（2）分解后由数量积的运算求解（3）由数量积的定义求夹角【详解】（1）23DE DA AE AB AD =+=- ，故2,13x y ==-（2）2220()1642cos 60333AB DE AB AB AD ⋅=⋅-=⨯-⨯⨯︒=（3）111,,333EB AB EF AB AD ==+4||3EB =，27||3EF =16499cos 14||||EB EFBEF EB EF +⋅∠==17．(1)见解析；(2)23.【分析】（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行；（2）利用等体积11D D BC D DBC V V --=，即可求得三棱锥D ﹣D 1BC 的体积．【详解】（1）证明：连接D 1C 交DC 1于F ，连接EF ，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面四边形DCC 1D 1为矩形，∴F 为D 1C 的中点．又E 为BC 的中点，∴EF ∥D 1B ．∴BD 1∥平面C 1DE ．（2）解：连接BD ，11D D BC D DBCV V --=又△BCD 的面积为12222S =⨯⨯=．故三棱锥D ﹣D 1BC 的体积1111221333D DBC BCD V S D D -∆==⨯⨯=．【点睛】本题考查线面平行，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．(1)sin A =(2)AE，AD【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到1cos 3A =，进而求出sin A ；（2）由面积公式求出16bc =，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解AE 的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解AD 的最值.【详解】（1）由正弦定理，得3()32a b c b a b c --=+，即22223c b a bc +-=，故2221cos 23232bc c b a A bc bc +-===，因为cos 0A >，所以π(0,)2A ∈，所以22sin 3A ==；（2）①由（1）知sin 3A =，因为ABC1n si 2bc A =，解得16bc =，由于()12AE AB AC =+ ，所以()()2222222111212183222cos 2444343433AE AB AC AB AC c b bc A c b bc bc bc bc ⎛⎫⎛⎫=++⋅=++=++≥+=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当b c =时，等号取得到，所以2323AE AE ≥⇒ ②因为AD 为角A 的角平分线，所以1sin sin 2BAD CAD A ∠=∠=，由于ADB ADC ABC S S S += ，所以111sin sin sin sin cos 2222222A A A A AD c AD b bc A bc +==，由于sin02A ≠,所以()2cos 2A AD c b bc +=，由于2212cos 2cos 1cos cos 23232A A A A =-=⇒=⇒，又16bc =，所以()63262cos216233A AD c b bc +==⨯⨯由于8b c +≥，当且仅当b c =时，等号取得到，故()83AD c b AD =+≥=，故3AD ≤，19．(1)π2A =(2)(3)2+【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简cos2cos2cos21B C A +-=可得222a b c =+，即可求得答案；（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案.（3）由（1）结论可得2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，利用余弦定理以及勾股定理即可推出2m n mn ++=，再结合基本不等式即可求得答案.【详解】（1）由已知ABC 中cos2cos2cos21B C A +-=，即22212sin 12sin 12sin 1B C A -+--+=，故222sin sin sin A B C =+，由正弦定理可得222a b c =+，故ABC 直角三角形，即π2A =.（2）由（1）π2A =，所以三角形ABC 的三个角都小于120︒，则由费马点定义可知：120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒，设,,PA x PB y PC z === ，由APB BPC APC ABC S S S S ++= 得：111122222xy yz xz +=⨯，整理得xy yz xz ++=，则PA PB PB PC PA PC⋅+⋅+⋅111142222233xy yz xz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+⋅-=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（3）点P 为ABC 的费马点，则2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||||,||,00,,0,PB m PA PC n PA PA x m n x ===>>>，则由PB PC t PA +=得m n t +=；由余弦定理得()22222222π||2cos 13AB x m x mx m m x =+-=++，()22222222π||2cos 13AC x n x nx n n x =+-=++，()2222222222π||2cos 3BC m x n x mnx m n mn x =+-=++，故由222||||||AC AB BC +=得()()()222222211n n x m m x m n mn x +++++=++，即2m n mn ++=，而0,0m n >>，故22()2m n m n mn +++=≤，当且仅当m n =，结合2m n mn ++=，解得1m n ==又m n t +=，即有2480t t --≥，解得2t ≥+2t ≤-故实数t 的最小值为2+【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，结合费马点含义，利用余弦定理推出2m n mn ++=，然后利用基本不等式即可求解.。
高一下学期期中数学试卷第8套真题
高一下学期期中数学试卷一、选择题1. 已知集合A={x|x2≤4x}，B={x|x＜1}，则A∩B等于（）A . （﹣∞，1）B . [0，1）C . [0，4]D . [﹣4，+∞）2. 某三棱锥的三视图如图所示，则俯视图的面积为（）A . 4B . 8C . 4D . 23. 已知等差数列{an}中，a5=9，且2a3﹣a2=6，则a1等于（）A . ﹣2B . ﹣3C . 0D . 14. 已知α∥β，a⊂α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中（）A . 不一定存在与a平行的直线B . 只有两条与a平行的直线C . 存在无数条与a 平行的直线D . 存在唯一一条与a平行的直线5. 若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）A . 相交B . 异面C . 平行D . 异面或相交6. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则下列直线中与平面ACE 平行的是（）A . BA1B . BD1C . BC1D . BB17. 用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中梯形的上底是下底的，若原平面图形的面积为3 ，则OA的长为（）A . 2B .C .D .8. 在空间中，a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A . 若a∥α，b∥a，则b∥αB . 若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥αC . 若α∥β，b∥α，则b∥βD . 若α∥β，a⊂α，则a∥β9. 已知函数f（x）=2x+ ，则f（x）取最小值时对应的x的值为（）A . ﹣1B . ﹣C . 0D . 110. 设α，β是两个平面，l，m是两条直线，下列各条件，可以判断α∥β的有（）①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β，②l⊂α，m⊂β，且l∥β，m∥α，③l∥α，m∥β，且l∥m，④l∥α，l∥β，m∥α，m∥β，且l，m互为异面直线．A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个11. 在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若使该三角形绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A .B .C .D .12. 已知数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列{an}中的项是（）A . 16B . 128C . 32D . 6413. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A . 48B . 57C . 63D . 6814. 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是CD上一点，AB=AD=3，AA1=2，CE=1，P是AA1上一点，且DP∥平面AEB1，F是棱DD1与平面BEP的交点，则DF的长为（）A . 1B .C .D .二、填空题15. 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面中，与棱AB平行的面共有________个．16. 已知底面半径为r，高为4r的圆柱的侧面积等于半径为R的球的表面积，则=________．17. 在等比数列{an}中，2a3﹣a2a4=0，若{bn}为等差数列，且b3=a3，则数列{bn}的前5项和等于________．18. P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC 于A1、B1、C1，若PA1：A1A=2：3，则=________．19. 若△ABC的内角A，B，C所对的边a、b、c满足（a+b）2=10+c2，且cosC=，则a2+b2的最小值为________．20. 如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB、DD1的中点，点P是DD1上一点，且PB∥平面CEF，则四棱锥P﹣ABCD外接球的体积为________．三、解答题21. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且2asinB﹣bcosA=0．（1）求cosA；（2）若a= ，b=2，求△ABC的面积．22. 已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的直观图和三视图如图所示，E是棱CC1上一点．（1）若CE=2EC1，求三棱锥E﹣ACB1的体积．（2）若E是CC1的中点，求C到平面AEB1的距离．23. 如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长2的正方形，E，F分别为线段DD1，BD的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）AA1=2 ，求异面直线EF与BC所成的角的大小．24. 如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）若M是CD上异于C、D的点．连结PM交CE于G，连结BM交AC于H，求证：GH∥PB．。
高一下学期期中考试数学试题8(附答案)
高一下学期期中考试数学试题8(附答案)相关公式：ˆb=x b y ˆˆ-= 第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）A ．08B ．07C ．02D ．012、下列语句能使变量a 的值为4的是( )A ．INPUT 4=aB ．4=b a b =C ．3=a 1+=a aD ．42+=a a3、)4(33转化为二进制的数为( )A ． )2(1101B ． )2(1111C ．)2(1011D ．)2(10014、已知2cos sin -=-αα，则=αtan ( )A ．1-B ．1C.22-D ．22 5、某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的 两个事件是（ ）A ．至少有1名男生与全是女生B ．至少有1名男生与全是男生C ．至少有1名男生与至少有1名女生D ．恰有1名男生与恰有2名女生 6、用秦九韶算法求多项式f （x ）=3x 6-5x 4+2x 3-x 2+2x+1，当x=2时V 3为 （ ） A ．7B ．16C ．31D ．23B第10题图7、运行如下程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出s 属于( )A .[-4,3]B .[-5,2]C . [-3,4]D .[-2,5]）点坐标为（则点，弧长到达顺时针方向运动）出发，沿单位圆，从（、点Q Q y x P 3101-822π=+1A.(-21)21C.(-21,)29、下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为35.07.0ˆ+=x y，那么表中t 的值为 （ ）A ．3B ．15.3C ．5.3D ．5.410、如图，扇形OAB 中，1==OB OA ，2AB =．在AB 上随机取一点C ，则AOC ∠和BOC ∠中至少有一个是钝角的概率是( )A ．14π-B ．22π-C ．18π-D ．12π-11、在一组样本数据),(11y x ),(22y x ),(n n y x （n x x x n ,,,,221 ≥不全相等）的散点图中，若所有样本点),(i i y x ),,2,1(n i =都在直线121+=x y 上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）A ．1-B ．0C ．21D ．161.21.43.41.60),(,,6,5,4,3,2,1120D C B A y x P y x ）的概率为（，则的直线的倾斜角为过坐标原点和点点数分别为），记所得朝上的面的别标有骰子（它们的六个面分、连续抛掷两枚正方体>θθ第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、 用辗转相除法求得228和1995的最大公约数是 . 14、sin6750= .15、某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取80名学生进行家庭情况调查，经过一段 时间后再从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查，发现有20名同学上次被抽到过，估计这个学校高一年级的学生人数为 .16、已知圆C ：x 2+y 2=12，直线l ：4x+3y=25．圆C 上任意一点A 到直线l 的距三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17、为了选拔参加奥运会选手，教练员对甲，乙自行车运动员进行了6次测试，测得他们的速度数据如下图所示（单位m/s ）估计甲、乙两运动员各自速度的平均数和方差，并判断谁参加比赛更合适。
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷含答案
北京市2023-2024学年高一（下）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共50分）（答案在最后）1.若复数2i z =-+，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】运用复数的几何意义求解即可.【详解】复数2i z =-+，则复数z 在复平面内对应的点(2,1)-位于第二象限．故选：B .2.已知向量(2,1)a = ，(4,)b x = ，且a b∥，则x 的值为（）A.-2B.2C.-8D.8【答案】B 【解析】【分析】运用平面向量共线的坐标公式计算即可.【详解】(2,1)a =rQ ，(4,)b x =，且a b∥，240x ∴-=，即2x =．故选：B ．3.在三角形ABC 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，若0120A ∠=，2a =，3b =，则B ＝（）A.3πB.56π C.566ππ或 D.6π【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由于0120A ∠=为钝角，所以只有一解.由正弦定理得：21sin sin1203sin 2B B =⇒=，选D.考点：解三角形.4.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（）A.B.πC.D.2π【答案】A 【解析】【分析】根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，即可求解.【详解】由题知，如图，PAB 为圆锥的轴截面，边长均为2，则圆锥的高322PO =⨯=底面半径1212r =⨯=，故圆锥体积2211ππ1π333V r PO =⋅=⨯=.故选：A5.已知P 为ABC 所在平面内一点，2BC CP =uu u r uur，则（）A.1322AP AB AC =-+uu u r uu u r uuu r B.1233AP AB AC=+C.3122AP AB AC=-uu u r uu u r uuu r D.2133AP AB AC=+uu u r uu u r uuu r【答案】A 【解析】【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.【详解】由题意作出图形,如图,则11()22AP AC CP AC BC AC AC AB =+=+=+- 1322AB AC =-+，故选：A.6.已知非零向量a ，b，则“a b b -= ”是“20a b -= ”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合向量的模的定义，数量积的性质和运算律判断.【详解】若20a b -= ，则a b b -=，a b b -= ，所以“a b b -= ”是“20a b -=”成立的必要条件，若a b b -= ，则220a a b -⋅=，()20a a b ⋅-= ，当()1,0a = ，11,22b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，()20,1a b -= ，()20a a b ⋅-= 成立，但20a b -≠.所以，“a b b -= ”不是“20a b -=”成立的充分条件，所以“a b b -= ”是“20a b -= ”成立的必要不充分条件，故选：B.7.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos a B c =，则ABC 的形状一定是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形【答案】B 【解析】【分析】由正弦定理可得2sin cos sin A B C =，再由()C A B π=-+，可得2sin cos sin()sin cos cos sin A B A B A B A B =+=+，从而可得in 0()s A B -=，进而可得结论【详解】解：因为2cos a B c =，所以由正弦定理可得2sin cos sin A B C =，因为A B C π++=，所以()C A B π=-+，所以()()sin sin sin C A B A B π⎡⎤=-+=+⎣⎦，所以2sin cos sin()sin cos cos sin A B A B A B A B =+=+，所以sin cos cos sin 0A B A B -=，所以in 0()s A B -=，因为A B ππ-<-<，所以0A B -=，所以A B =，所以ABC 为等腰三角形，故选：B8.对于非零向量,m n ，定义运算“⨯”：sin m n m n θ⨯=，其中θ为,m n 的夹角.设,,a b c 为非零向量，则下列说法错误．．的是A.a b b a⨯=⨯ B.()a b c a c b c+⨯=⨯+⨯C.若0a b ⨯=，则//a bD.()a b a b⨯=-⨯【答案】B 【解析】【详解】由运算定义，sin ,sin a b a b b a b a θθ⨯=⨯=，所以a b b a⨯=⨯正确；()sin ,sin sin a b c a b c a c b c a c b c θαβ+⨯=+⨯+⨯=+ ，所以()a b c a c b c +⨯≠⨯+⨯，故B错误；C 、sin 0a b a b θ⨯== ，则0,θπ=，所以//a b 正确；D 、()()sin ,sin sin a b a b a b a b a b θπθθ⨯=-⨯=--= ，所以()a b a b ⨯=-⨯正确．故选B ．点睛：本题考查向量的新定义运算，关键就是理解新定义．本题采取排除法，通过逐个验证，我们可以发现A 、C 、D 都是正确的，所以错误的就是B ．9.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1,,AB BC AA AB P ⊥=为棱11A B 的中点，Q 为线段1AC 上的动点．以下结论中正确的是（）A.存在点Q ，使BQ AC ∥B.不存在点Q ，使11BQ B C ⊥C.对任意点Q ，都有1BQ AB ⊥D.存在点Q ，使BQ 平面1PCC 【答案】C 【解析】【分析】A 选项，根据异面直线的定义可以判断；B 选项，容易发现1,A Q 重合时符合题意；C 选项，利用线面垂直得到线面垂直；D 选项，先找出平面1PCC 的一条垂线，问题转化为判断这条垂线是否和BQ 垂直的问题.【详解】A 选项，由于BQ ⋂平面ABCB =，B AC ∉，AC ⊂平面ABC ，则,BQ AC 一定异面，A 选项错误；B 选项，根据直三棱柱性质，1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，故1BB BC ⊥，又AB BC ⊥，1AB BB B Ç=，1,AB BB ⊂平面11ABB A ，故BC ⊥平面11ABB A ，又1BA ⊂平面11ABB A ，故1BC BA ⊥，显然11BC B C ∥，即111B C BA ⊥，故1,A Q 重合时，11BQ B C ⊥，B 选项错误；C 选项，直棱柱的侧面11ABB A 必是矩形，而1AA AB =，故矩形11ABB A 成为正方形，则11AB BA ⊥，B 选项已经分析过，BC ⊥平面11ABB A ，由1AB ⊂平面11ABB A ，故1AB BC ⊥，又1BC BA B ⋂=，1,BC BA ⊂平面1BCA ，故1AB ⊥平面1BCA ，又BQ ⊂平面1BCA ，则1BQ AB ⊥必然成立，C 选项正确；D 选项，取AB 中点M ，连接,CM PM ，根据棱柱性质可知，CM 和1C P 平行且相等，故平面1PCC 可扩展成平面1CMPC ，过B 作BN CM ⊥，垂足为N ，根据1BB ⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，故1BB BN ⊥，显然11BB CC ∥，故1BN CC ⊥，由BN CM ⊥，1CC CM C = ，1,CC CM ⊂平面1CMPC ，故BN ⊥平面1CMPC ，若BQ 平面1PCC ，则BQ BN ⊥，过Q 作QO //1BB ，交11A C 于O ，连接1B O ，于是1BQOB 共面，又1BQ BB B = ，1,BQ BB ⊂平面1BQOB ，故BN ⊥平面1BQOB ，由于1B O ⊂平面1BQOB ，故1BN B O ⊥，延长OQ 交AC 于J ，易得1B O //BJ ，则BJ BN ⊥，而J 在线段AC 上，这是不可能的，D 选项错误.故选：C10.圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即ABC ∠）为26.5 ，夏至正午太阳高度角（即ADC ∠）为73.5 ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（）A.sin532sin 47a ︒︒B.2sin 47sin53a ︒︒C.tan 26.5tan 73.5tan 47a ︒︒︒D.sin 26.5sin 73.5sin 47a ︒︒︒【答案】D 【解析】【分析】先求BAD ∠，在BAD 中利用正弦定理求AD ，在Rt ACD 中即可求AC .【详解】73.526.547BAD ∠=-= ，在BAD 中由正弦定理得：sin sin BD AD BAD ABD=∠∠，即sin 47sin 26.5a AD= ，所以sin 26.5sin 47a AD =，又因为在Rt ACD 中，sin sin 73.5ACADC AD=∠= ，所以sin 26.5sin 73.5sin 73.5sin 47a AC AD =⨯=,故选：D【点睛】本题主要考查了解三角形应用举例，考查了正弦定理，属于中档题.二、填空题（每题5分，共30分）11.已知复数i(1i)z =+，则z =________；||z =________．【答案】①.1i--②.【解析】【分析】运用共轭复数、复数乘法及复数的模的公式计算即可.【详解】因为i(1i)1i z =+=-+，则1i z =--，||z ==.故答案为：1i --.12.已知向量(1,1)a =-r ，(2,1)b =- ，则2a b += ________；向量a 在b上的投影向量的坐标为________．【答案】①.(0,1)-②.63(,)55-【解析】【分析】运用平面向量加法、向量数量积、向量的模、投影向量公式计算即可.【详解】解：(1,1)a =-r，(2,1)b =-，则2(2,2)(2,1)(0,1)a b +=-+-=-；()()12113a b ⋅=⨯-+-⨯=-，||b == 故向量a 在b上的投影向量的坐标为：363,555a b b b b b⋅⎛⎫⨯=-=- ⎪⎝⎭ .故答案为：(0,1)-；63(,55-.13.在正四面体A -BCD 中，二面角A -BC -D 的余弦值是_______.【答案】13【解析】【分析】根据二面角平面角的定义，结合正四面体的性质，找出该角，由余弦定理，可得答案.【详解】如图，取BC 的中点F ，连接AF，DF，则AF BC ⊥，DF BC ⊥，即AFD ∠为二面角A BC D --的平面角，设正四面体D ABC -的棱长为6，在正ABC中，sin 60AF AB ==sin 60DF BD ==由余弦定理2221cos 23FD FA AD AFD FD FA +-∠===⋅⋅.故答案为：13.14.已知点(0,0)O ，(1,2)A ，(,0)(0)B m m >，则cos ,OA OB <>=___________；若B 是以OA 为边的矩形的顶点，则m =___________.【答案】①.②.5【解析】【分析】①根据向量的夹角公式，直接求解即可；②根据已知可得0OA AB ⋅=，求出相应的坐标代入即可求出m 的值.【详解】①因为(0,0)O ，(1,2)A ，(,0)(0)B m m >，所以(1,2)OA = ，(,0)OB m =，所以5cos ,5||||OA OB OA OB OA OB ⋅<>===；②(1,2)AB m =-- ，若B 是以OA 为边的矩形的顶点，则0OA AB ⋅=,即140OA AB m ⋅=--=，所以5m =.故答案为：5；515.若ABC 的面积为2223()4a cb +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________；c a 的取值范围是_________.【答案】①.60②.(2,)+∞【解析】【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得tan B =，可求得3B π∠=；再利用()sin sin C A B =+，将问题转化为求函数()f A 的取值范围问题.【详解】()2221sin 42ABC S a c b ac B ∆=+-=，2222a c b ac +-∴=，即cos B =，sin cos 3B B B π∴=∠=，则21sin cos sin sin 11322sin sin sin 2tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫-⋅--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====⋅+，C ∴∠为钝角，,036B A ππ∠=∴<∠<，)1tan 0,,3tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，故()2,ca∈+∞.故答案为3π，()2,∞+.【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角A B C π++=的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含A ∠的表达式的最值问题是解题的第二个关键.16.如图矩形ABCD 中，22AB BC ==，E 为边AB 的中点，将ADE V 沿直线DE 翻转成1A DE △．若M 为线段1AC 的中点，则在ADE V 翻转过程中，下列叙述正确的有________（写出所有序号）．①BM 是定值；②一定存在某个位置，使1CE DA ⊥；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使1MB A DE 平面∥．【答案】①②④【解析】【分析】运用等角定理及余弦定理可判断①；运用勾股定理证得1A E CE ⊥、DE EC ⊥，结合线面垂直的判定定理及性质可判断②；运用反证法证及线面垂直判定定理证得DE ⊥平面1A EC ，结合线面垂直性质可得1DE A E ⊥得出矛盾可判断③；运用面面平行判定定理证得平面//MBF 平面1A DE ，结合面面平行性质可判断④.【详解】对于①，取CD 中点F ，连接MF ，BF ，如图所示，则1MF DA ∥，BF DE ，11122MF A D ==，FB DE ==由等角定理知，1π4A DE MFB ∠=∠=，所以由余弦定理可得22252cos 4MB MF FB MF FB MFB =+-⋅⋅∠=，所以52MB =是定值，故①正确；对于④，由①知，1MF DA ∥，BF DE ，又FB 、MF ⊄平面1A DE ，1DA 、DE ⊂平面1A DE ，所以//FB 平面1A DE ，//MF 平面1A DE ，又FB MF F = ，FB 、MF ⊂平面MBF ，所以平面//MBF 平面1A DE ，又因为MB ⊂平面MBF ，所以//MB 平面1A DE ，故④正确，对于②，连接EC ，如图所示，当1A C =时，因为11A E =，CE =22211A C A E CE =+，所以1A E CE ⊥，因为矩形ABCD 中，D E C E ==，2DC =，所以222DE CE DC +=，即DE EC ⊥，又因为1A E DE E ⋂=，1A E 、DE ⊂平面1A DE ，所以CE ⊥平面1A DE ，又1A D ⊂平面1A DE ，所以1CE DA ⊥，故②正确；对于③，假设③正确，即在某个位置，使1DE A C ⊥，又因为矩形ABCD 中，D E C E ==2DC =，所以222DE CE DC +=，即DE EC ⊥，又因为1A C EC C ⋂=，1AC 、EC ⊂平面1A EC ，所以DE ⊥平面1A EC ，又1A E ⊂平面1A EC ，所以1DE A E ⊥，这与1π4DEA ∠=矛盾，所以不存在某个位置，使1DE A C ⊥，故③错误．故答案为：①②④.三、解答题（每题14分，共70分）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求证：EF CD ⊥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由三角形中位线证得EF PA ∥，结合线面平行的判定定理证明即可.（2）由线面垂直性质可得PD CD ⊥，结合线面垂直判定定理可得CD ⊥平面PAD ，再结合线面垂直性质、线线垂直性质证明即可.【小问1详解】因为E ，F 分别是AB ，PB 的中点，所以EF PA ∥，又EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以//EF 平面PAD ；【小问2详解】因为PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PD CD ⊥，又因为底面ABCD 为正方形，CD AD ⊥，=PD AD D ⋂，PD 、AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥，由（1）知，EF PA ∥，所以EF CD ⊥．18.已知2()22cos f x x x =+．（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．【答案】（1）π，π2π[π,π]63k k ++，Z k ∈（2）max ()3f x =，min ()0f x =【解析】【分析】（1）结合二倍角公式及辅助角公式化简函数()f x ，结合sin y t =图象与性质求解即可.（2）先求出π26x +的范围，结合sin y t =图象与性质即可求得最值.【小问1详解】因为2π()22cos 2cos 212sin(216f x x x x x x =+=++=++，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，令ππ3π2π22π262k x k +≤+≤，Z k ∈，解得π2πππ63k x k +≤≤+，Z k ∈，所以()f x 单调递减区间为π2π[π,π]63k k ++，Z k ∈．【小问2详解】因为π[0,]2x ∈，所以ππ7π2[,]666x +∈，所以由函数图象性质知，当ππ262x +=，即π6x =时，max ()3f x =；当π7π266x +=，即π2x =时，min ()0f x =．19.如图，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =．（1）求证：平面//BAF 平面CDE ；（2）求证：平面EAC ⊥平面EBD ；（3）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）13BM BD =，证明见解析【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理得到//AF 平面CDE ，//AB 平面CDE ，再利用面面平行的判定定理，即可证明结果；（2）根据条件得到AC ⊥平面EBD ，再由面面垂直的判定定理，即可证明结果；（3）构造平行四边形，利用线面平行的判定定理，即可证明结果.【小问1详解】因为//AF DE ，AF ⊄面CDE ，DE ⊂面CDE ，所以//AF 平面CDE ，同理，//AB 平面CDE ，又AF AB A ⋂=，,AF AB ⊂面BAF ,所以平面//BAF 平面CDE .【小问2详解】因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，DE ⊥ 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，AC DE ∴⊥，BD DE D = ，,BD DE ⊂平面EBD ，AC ∴⊥平面EBD ，AC ⊂ 平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面EBD .【小问3详解】当13BM BD =时，//AM 平面BEF ，理由如下：作MN ED ∥，则MN 平行且等于13BD ，//AF DE ，3DE AF =，∴AF 平行且等于MN ，∴AMNF 是平行四边形，//AM FN ∴，AM ⊄ 平面BEF ，FN ⊂平面BEF ，//AM ∴平面BEF .20.在ABC ∆中，2sin sin sin A B C =.（Ⅰ）若π3A ∠=，求B ∠的大小；（Ⅱ）若1bc =，求ABC ∆的面积的最大值.【答案】（1）π3B ∠=，（2）．【解析】【详解】【分析】试题分析：（Ⅰ）因为2sin sin sin ,A B C =由正弦定理可得2a bc =，再利用余弦定理得所以22222122a b c bc b c bc =+-⨯=+-即b c =，所以为等边三角形．所以π3B ∠=（注：当然也可用化角来处理）；（Ⅱ）由已知可得21a bc ==．所以222221cos 22b c a b c A bc +-+-==21122bc -≥=，又sin (0,]2A ∈．所以11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤试题解析：（Ⅰ）方法一：因为2sin sin sin ,A B C =且，所以2a bc =．又因为π3A ∠=，所以22222122a b c bc b c bc =+-⨯=+-．所以2()0b c -=．所以b c =．因为π3A ∠=，所以为等边三角形．所以π3B ∠=．方法二：因为πA BC ++=，所以sin sin()C A B =+．因为2sin sin sin B C A =，π3A ∠=，所以2ππsin sin()sin 33B B +=．所以13sin cos sin )224B B B +=．所以11cos 23sin 24224B B -+⨯=．所以12cos 2122B B -=．所以πsin(2)16B -=．因为(0,π)B ∈，所以ππ112(,π)666B -∈-．所以ππ262B -=，即π3B ∠=．（Ⅱ）因为2sin sin sin ,A B C =1bc =，且，所以21a bc ==．所以222221cos 22b c a b c A bc +-+-==21122bc -≥=（当且仅当时，等号成立）．因为(0,π)A ∈，所以π(0,]3A ∈．所以sin (0,]2A ∈．所以11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤．所以当是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值．考点：三角函数的性质与解三角形21.对于数集{}12,,1,n X x x x =- ，其中120n x x x <<<⋅⋅⋅<，2n ≥，定义向量集(){},,,Y a a s t s X t X ==∈∈ ，若对任意1a Y ∈ ，存在2a Y ∈ 使得120a a ⋅= ，则称X 具有性质P ．（1）判断{}1,1,2-是否具有性质P ；（2）若2x >，且{}1,1,2,X x =-具有性质P ，求x 的值；（3）若X 具有性质P ，求证：1X ∈且当1n x >时，11x =．【答案】（1）具有性质P（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据集合新定义判断即可；（2）在Y 中取()1,2a x = ，根据数量积的坐标表示，求出可能的2a ，再根据2x >求出符合条件的值即可；（3）取()111,a x x Y =∈ ，()2,a s t Y =∈ ，由120a a ⋅= ，化简可得0s t +=，所以,s t 异号，而1-是X 中的唯一的负数，所以,s t 中之一为1-，另一个为1，从而得到1X ∈，最后通过反证法得出1n x >时，11x =.【小问1详解】{}1,1,2-具有性质P .因为{}1,1,2X =-，所以()()()()()()()()(){}1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,2,2,1,2,1,2,2Y =------，若对任意1a Y ∈ ，存在2a Y ∈ 使得120a a ⋅= ，所以X 具有性质P .【小问2详解】因为2x >，且{}1,1,2,X x =-具有性质P ，所以可取()1,2a x = ，又Y 中与()1,2a x = 垂直的元素必有形式()()()1,1,1,2,1,x ---中的一个，当()21,1a =- 时，由120a a ⋅= ，可得202x x -+=Þ=，不符合题意；当()21,2a =- 时，由120a a ⋅= ，可得404x x -+=Þ=，符合题意；当()21,a x =- 时，由120a a ⋅= ，可得200x x x -+=Þ=，不符合题意；所以4x =.【小问3详解】证明：取()111,a x x Y =∈ ，设()2,a s t Y =∈ ，满足120a a ⋅= ，所以()100s t x s t +=⇒+=，所以,s t 异号，因为1-是X 中的唯一的负数，所以,s t 中之一为1-，另一个为1，所以1X ∈，假设1k x =，其中1k n <<，则101n x x <<<，选取()11,n b x x = ，并设()2,b p q = ，满足120b b ⋅= ，所以10n px qx +=，则,p q 异号，从而,p q 之中恰有一个为1-，若1p =-，则1n x qx =，显然矛盾；若1q =-，则1n n x px p x =<<，矛盾，所以当1n x >时，11x =，综上，得证.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解集合的新定义，并用向量的数量积为零时坐标表示出所求的参数值.。
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案
2023—2024学年度第二学期北京市高一数学期中考试试卷（答案在最后）一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.11πsin3的值为（）A.2B.2-C.2D.2【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得.【详解】11πππsin sin 4πsin 3332⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭.故选：A2.下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（）A.πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.tan y x =C.cos 2y x =D.sin 2y x=【答案】C 【解析】【分析】由三角函数的最小正周期公式和函数奇偶性对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，πsin 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为：2π2π1T ==，故A 不正确；对于B ，tan y x =的最小正周期为：ππ1T ==，tan y x =的定义域为ππ,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，关于原点对称，令()tan f x x =，则()()()tan tan f x x x f x -=-=-=-，所以tan y x =为奇函数，故B 不正确；对于C ，cos 2y x =的最小正周期为：2ππ2T ==，令()cos 2g x x =的定义域为R 关于原点对称，则()()()cos 2cos 2g x x x g x -=-==，所以cos 2y x =为偶函数，故C 正确；对于D ，sin 2y x =的最小正周期为：2ππ2T ==，sin 2y x =的定义域为R ，关于原点对称，令()sin 2h x x =，则()()()sin 2sin 2h x x x h x -=-=-=-，所以sin 2y x =为奇函数，故D 不正确.故选：C .3.设向量()()3,4,1,2a b ==- ，则cos ,a b 〈〉=（）A.5-B.5C.5-D.5【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示求解即得.【详解】向量()()3,4,1,2a b ==-，则cos ,5||||a b a b a b ⋅〈〉==.故选：D4.在△ABC 中，已知1cos 3A =，a =，3b =，则c =（）A.1B.C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】直接利用余弦定理求解即可【详解】因为在△ABC 中，1cos 3A =，a =，3b =，所以由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，2112963c c =+-⨯，得2230c c --=，解得3c =，或1c =-（舍去），故选：D5.函数()()sin f x A x =+ωϕ(其中0A >，0ω>，0ϕπ<<)的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式是（）A.()3sin 42f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.3()3sin 44f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.3()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据图象可以求出最大值，结合函数的零点，根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊值法进行求解即可.【详解】由函数图象可知函数的最大值为3，所以3A =，由函数图象可知函数的最小正周期为4(62)16⨯-=，因为0ω>，所以24(62)168ππωω⨯-==⇒=，所以()3sin 8f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由图象可知：(2)3f =，即3sin 32()2()4424k k Z k k Z ππππϕϕπϕπ⎛⎫+=⇒+=+∈⇒=+∈ ⎪⎝⎭，因为0ϕπ<<，所以令0k =，所以4πϕ=，因此()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选：C6.函数ππ()sin(2),[0,]62f x x x =+∈的最大值和最小值分别为（）A.11,2-B.31,2-C.1,12- D.1,1-【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】由π[0,2x ∈，得ππ7π2[,666x +∈，则当ππ262x +=，即π6x =时，max ()1f x =，当π7π266x +=，即π2x =时，min 1()2f x =-，所以所求最大值、最小值分别为11,2-.故选：A7.已知向量,,a b c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅= （）A.2B.2- C.1 D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据给定信息，利用向量数量的运算律，结合数量积的定义计算得解.【详解】依题意，π3π|||2,||2,,,,,44a b c a b b c a c ===〈〉=⊥〈〉= ，因此3π||||cos2(242a c a c ⋅==⨯-=-，0b c ⋅= ，所以()2a b c a c b c +⋅=⋅+⋅=-.故选：B8.在ABC 中，已知cos cos 2cos a B b A c A +=，则A =（）A.π6B.π4C.π3 D.π2【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦求出即得.【详解】在ABC 中，由cos cos 2cos a B b A c A +=及正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，则sin()2sin cos A B C A +=，即sin 2sin cos C C A =，而sin 0C >，因此1cos 2A =，而0πA <<，所以π3A =.故选：C9.已知函数()()π2sin 03⎛⎫=+> ⎪⎝⎭f x x ωω，则“()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上既不是增函数也不是减函数”是“1ω>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】以π3x ω+为整体结合正弦函数的性质可得12ω>，进而根据充分、必要条件分析判断.【详解】因为π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且0ω>，则ππππ,3333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，若()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上既不是增函数也不是减函数，则2πππ33ω+>，解得12ω>，又因为()1,+∞1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，所以“()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上既不是增函数也不是减函数”是“1ω>”的必要不充分条件.故选：B.10.如图，正方形ABCD 的边长为2，P 为正方形ABCD 四条边上的一个动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A.[]1,2-B.[]0,2 C.[]0,4 D.[]1,4-【答案】D 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，分点P 在CD 上，点P 在BC 上，点P 在AB 上，点P 在AD 上，利用数量积的坐标运算求解.【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：则()()0,2,2,2A B ，当点P 在CD 上时，设()(),002Px x ≤≤，则()(),2,2,2PA x PB x =-=--，所以()()224133,4PA PB x x x ⎡⎤⋅=-+=-+∈⎣⎦ ；当点P 在BC 上时，设()()2,02P yy ≤≤，则()()2,2,0,2PA y PB y =-=-，所以()220,4PA PB y ⎡⎤⋅=-∈⎣⎦ ；当点P 在AB 上时，设()(),202Px x ≤≤，则()(),0,2,0PA x PB x ==-，所以()()22111,0PA PB x x x ⎡⎤⋅=-=--∈-⎣⎦ ；当点P 在AD 上时，设()()0,02P y y ≤≤，则()()0,2,2,2PA y PB y=-=--，所以()220,4PA PB y ⎡⎤⋅=-∈⎣⎦ ；综上：PA PB ⋅的取值范围是[]1,4-.故选：D二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知圆的半径为2，则60 的圆心角的弧度数为__________；所对的弧长为__________.【答案】①.π3##1π3②.2π3##2π3【解析】【分析】利用度与弧度的互化关系，弧长计算公式求解即可.【详解】60 的圆心角的弧度数为ππ601803⨯=；所对的弧长为π2π233⨯=.故答案为：π3；2π312.已知向量()2,3a =- ，(),6b x =- .若//a b ，则a =r __________，x =__________.【答案】①.②.4【解析】【分析】利用坐标法求出向量的模，再根据向量共线的坐标表示求出x .【详解】因为向量()2,3a =- ，所以a == ，又(),6b x =- 且//a b ，所以()326x =-⨯-，解得4x =.；4.13.若函数()sin f x A x x =的一个零点为π3，则A =__________；将函数()f x 的图象向左至少平移__________个单位，得到函数2sin y x =的图象.【答案】①.1②.π3##1π3【解析】【分析】利用零点的意义求出A ；利用辅助角公式化简函数()f x ，再借助平移变换求解即得.【详解】函数()sin f x A x x =的一个零点为π3，得ππsin 033A =，解得1A =；则π()sin 2sin()3f x x x x =-=-，显然πππ(2sin[()]2sin 333f x x x +=+-=，所以()f x 的图象向左至少平移π3个单位，得到函数2sin y x =的图象.故答案为：1；π314.设平面向量,,a b c 为非零向量，且(1,0)a = .能够说明“若a b a c ⋅=⋅ ，则b c = ”是假命题的一组向量,b c的坐标依次为__________.【答案】(0,1),(0,1)-（答案不唯一）【解析】【分析】令向量,b c 与向量a 都垂直，且b c ≠即可得解.【详解】令(0,1),(0,1)b c ==- ，显然0a b a c ⋅==⋅，而b c ≠ ，因此(0,1),(0,1)b c ==- 能说明“若a b a c ⋅=⋅ ，则b c = ”是假命题，所以向量,b c的坐标依次为(0,1),(0,1)-.故答案为：(0,1),(0,1)-15.已知函数()2cosπ1xf x x =+，给出下列四个结论：①函数()f x 是奇函数；②函数()f x 有无数个零点；③函数()f x 的最大值为1；④函数()f x 没有最小值.其中，所有正确结论的序号为__________.【答案】②③【解析】【分析】根据偶函数的定义判断①，令()0f x =求出函数的零点，即可判断②，求出函数的最大值即可判断③，根据函数值的特征判断④.【详解】函数()2cosπ1xf x x =+的定义域为R ，又22cos(π)cos π()()()11x x f x f x x x --===-++，所以()2cosπ1xf x x =+为偶函数，故①错误；令2cos ππ1()0cos π0ππ(Z)(Z)122x f x x x k k x k k x ==⇒=⇒=+∈⇒=+∈+，所以函数()f x 有无数个零点，故②正确；因为cos π1x ≤，当ππ(Z)x k k =∈，即(Z)x k k =∈时取等号，又因为211x +≥，当且仅当0x =时取等号，所以有21011x <≤+，当且仅当0x =时取等号，所以有2cos π11x x ≤+，当且仅当0x =时取等号，因此有()2cos π11xf x x =≤+，即()()max 01f x f ==，故③正确；因为()2cosπ1xf x x =+为偶函数，函数图象关于y 轴对称，只需研究函数在()0,∞+上的情况即可，当x →+∞时2101x →+，又1cosπ1x -≤≤，所以当x →+∞时()0f x →，又()()max 01f x f ==，当102x <<时cos π0x >，210x +>，所以()0f x >，当1322x <<时1cos π0x -≤<，210x +>，所以()0f x <，当1x >时212x +>，0cos π1x ≤≤，所以()12f x <，又()112f =-，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 为连续函数，所以()f x 存在最小值，事实上()f x 的图象如下所示：由图可知()f x 存在最小值，故④错误.故答案为：②③三､解答题（本大题共6小题，共85分）16.在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边经过点()1,2--.（1）求tan θ，tan2θ的值；（2）求πsin ,cos ,cos 4θθθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】（1）tan 2θ=，4tan 23θ=-（2）sin 5θ-=，cos 5θ=，π10cos 410θ⎛⎫+=⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由三角函数的定义求出tan θ，再由二倍角正切公式求出tan 2θ；（2）由三角函数的定义求出sin θ，cos θ，再由两角和的余弦公式计算可得.【小问1详解】因为角θ以Ox 为始边，终边经过点()1,2--，所以2tan 21θ-==-，则222tan 224tan 21tan 123θθθ⨯===---.【小问2详解】因为角θ以Ox 为始边，终边经过点()1,2--，所以sin 5θ-==，cos 5θ==，所以πππcos cos cos sin sin 444θθθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭2520555210221⎛⎫- =⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭.17.已知平面向量,,2,3,a b a b a == 与b的夹角为60 ，（1）求22,,a b a b ⋅；（2）求(2)(3)a b a b -⋅+的值：（3）当x 为何值时，xa b -与3a b +rr 垂直.【答案】（1）4，9，3；（2）4-；（3）3013x =.【解析】【分析】（1）利用数量积的定义计算即得.（2）利用数量积的运算律计算即得.（3）利用垂直关系的向量表示，数量积的运算律求解即得.【小问1详解】向量,,2,3,a b a b a == 与b 的夹角为60 ，所以2222|4,|9,3||||c |os 0|6a a b b a b a b ===⋅=== .【小问2详解】依题意，2222(2)(3)2352233534a b a b a b a b -⋅+=-+⋅=⨯-⨯+⨯=- .【小问3详解】由()(3)0xa b a b -⋅+= ，得223(31)4273(31)13300xa b x a b x x x -+-⋅=-+-=-= ，解得3013x =，所以当3013x =时，xa b - 与3a b +r r 垂直.18.已知函数()sin2cos2f x x x =+.（1）求(0)f ；（2）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；（3）求函数()f x 的单调递增区间.【答案】（1）1；（2）π，ππ,Z 82k x k =+∈；（3）()3πππ,πZ 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）代入计算求出函数值.（2）（3）利用辅助角公式化简函数()f x ，再结合正弦函数的图象与性质求解即得.【小问1详解】函数()sin2cos2f x x x =+，所以(0)sin0cos01f =+=.【小问2详解】函数π())4f x x =+，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；由ππ2π,Z 42x k k +=+∈，解得ππ,Z 82k x k =+∈，所以函数()f x 图象的对称轴方程为ππ,Z 82k x k =+∈.【小问3详解】由πππ2π22π,Z 242k x k k -+≤+≤+∈，得3ππππ,Z 88k x k k -+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间是()3πππ,πZ 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.19.在△ABC 中，7a =，8b =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．（1）求A ∠；（2）求ABC 的面积．条件①：3c =；条件②：1cos 7B =-．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）选①②答案相同，3A π∠=；（2）选①②答案相同，ABC 的面积为【解析】【分析】（1）选①，用余弦定理得到cos A ，从而得到答案；选②：先用余弦定理求出3c =，再用余弦定理求出cos A ，得到答案；（2）选①，先求出sin 2A =，使用面积公式即可；选②：先用sin sin()C A B =+求出sin C ，再使用面积公式即可.【小问1详解】选条件①：3c =．在△ABC 中，因为7a =，8b =，3c =，由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=64949283+-=⨯⨯12=．因为()0,πA ∈，所以π3A ∠=；选条件②：1cos 7B =-由余弦定理得：222249641cos 2147a cbc B ac c +-+-===-，解得：3c =或5-（舍去）由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=64949283+-=⨯⨯12=．因为()0,πA ∈，所以π3A ∠=；【小问2详解】选条件①：3c =由（1）可得sin 2A =．所以ABC 的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=选条件②：1cos 7B =-．由（1）可得1cos 2A =．因为sin sin[()]C A B =π-+sin()A B =+sin cos cos sin A B A B=+11()72=-+⨯3314=，所以ABC 的面积11sin 7822S ab C ==⨯⨯=．．20.已知函数()2π2cos cos 213f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭.（1）求π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的在[]0,π上单调递减区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,m 上有且只有两个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）32（2）π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）3564π,π⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式化简函数解析式，再代入计算可得；（2）由x 的取值范围求出π23x +的范围，再根据正弦函数的性质得到ππ3π2232x ≤+≤，解得即可；（3）由x 的取值范围求出π23x +的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可.【小问1详解】因为()2π2cos cos 213f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭ππcos2cos2cossin 2sin 33x x x =++3cos2sin 222x x =+1cos2sin 222x x ⎫=+⎪⎪⎭π23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以πππ2π3266332f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】当[]0,πx ∈时ππ7π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令ππ3π2232x ≤+≤，解得π7π1212x ≤≤，所以函数()f x 的在[]0,π上的单调递减区间为π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问3详解】当[]0,x m ∈时，πππ2,2333x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，又函数()f x 在区间[]0,m 上有且只有两个零点，所以π2π23π3m ≤<+，解得5π4π63m ≤<，即m 的取值范围为3564π,π⎡⎫⎪⎢⎣⎭.21.某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为π3的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地PQR ，其中P 在 BC 上，PQ AB ⊥，垂足为Q ，PR AC ⊥，垂足为R ，设π0,3PAB α⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭；（1）求PQ ，PR （用α表示）；（2）当P 在BC 上运动时，这块三角形绿地的最大面积，以及取到最大面积时α的值.【答案】（1）60sin PQ α=，π60sin 3PR α⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）三角形绿地的最大面积是平方米，此时π6α=【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数表示出PQ 、PR ；（2）依题意可得2π3QPR ∠=，则1sin 2PQR S PQ PR QPR =⋅⋅⋅∠ ，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质求出最大值.【小问1详解】在Rt PAQ 中，π0,3PAB ∠α⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，60AP =，∴sin 60sin PQ AP αα==（米），又π3BAC ∠=，所以π3PAR α∠=-，在Rt PAR 中，可得πsin 60sin 3PR PAR AP α⎛⎫==-⎪⎝⎭∠（米）.【小问2详解】由题可知2π3QPR ∠=，∴PQR 的面积1sin 2PQR S PQ PR QPR =⋅⋅⋅∠1π2π60sin 60sin sin 233αα⎛⎫=⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭πsin3αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin 33ααα⎛⎫=- ⎪⎝⎭112cos 222αα⎫=+-⎪⎪⎭π1sin 262α⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，526πππ,66α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴当ππ262α+=，即π6α=时，PQR 的面积有最大值即三角形绿地的最大面积是π6α=.。
泰安第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)
泰安一中新校区2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题2023.5一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数()1i 1i z -=+，则z = A.22B.1C.D.22.若,m n 表示两条不重合的直线,,,αβγ表示三个不重合的平面,下列命题正确的是A ．若m αγ⋂=,n βγ= ,且//m n ,则//αβB ．若,m n 相交且都在,αβ外,//m α,//n α,//m β,//n β,则//αβC ．若//m n ,n α⊂,则//m αD ．若//m α,//n α,则//m n4.已知2a =，3b =．若a b a b +=-，则23a b +=425.某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）．现测量其中一个屋顶，得到圆锥SO 的底面直径AB 长为12m ，母线SA 长为18m （如图2）．若C 是母线SA 的一个三等分点（靠近点S ），从点A 到点C 绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为A. B.16mC. D.12m6.如图所示，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB mAM = ，(,0)AC nAN m n =>，则m n +的值为A ．2B ．3C ．92D ．57.已知4sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=A.210 B.3210C.22D.72108.函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移()0θθ>个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则θ的最小值为A.3πB.6πC.12π D.724π二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列有关复数的说法中（其中i 为虚数单位），正确的是A ．22i 1=B ．复数32i z =-的共轭复数的虚部为2C ．若13i -是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，则8q =-D ．若复数z 满足i 1z -=，则z 的最大值为210.下列说法正确的是A ．已知向量()1,3a = ，()cos ,sin b θθ= ，若a b ⊥ ，则3tan 3θ=-B ．已知向量()2,3a = ，(),2b x = ，则“a ，b的夹角为锐角”是“3x >-”的充要条件C ．若向量()()4,31,3a b =- = ，，则a 在b 方向上的投影向量坐标为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数2(4)(2)i m m +-+ (R)m ∈是纯虚数，则m =___________.14.需要测量某塔的高度，选取与塔底D 在同一个水平面内的两个测量基点A 与B ，现测得75DAB ∠= ，45ABD ∠= ，96AB =米，在点A 处测得塔顶C 的仰角为30 ，则塔高CD 为__________米.15.公元前6世纪，毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值，这一数值近似可以表示为2sin18m =︒,若24m n +=，则cos 27m =︒______.四､解答题：本题6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知,,a b c是同一平面内的三个向量，()1,2a = .(1)若c = ，且//c a ，求c的坐标；(2)若52b = ，且2a b + 与2a b - 垂直，求a 与b 的夹角θ.．19.（12分）已知ABC 中，D 是AC 边的中点．3BA =，7BC =，7BD =(1)求AC 的长；(2)BAC ∠的平分线交BC 于点E ，求AE 的长．20.（12分）已知函数()5sin 22cos sin 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()y f x k =-在11,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，求实数k 的取值范围．泰安一中新校区2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题解析2023.5一､单项选择题：1.B2.B3.D4.A5.C6.A7.A8.C二､多项选择题：9.BD 10.ACD 11.ACD 12.ACD11.【详解】对于A ，由正弦定理可得sin cos sin cos sin sin C B B C A a A +==，因为0πA <<，所以sin 0A ≠，所以1a =，若2B C A +=，且πB C A ++=，所以π3A =，由余弦定理得22222π1cos cos 322b c a b c A bc bc+-+-===，由0,0b c >>，可得2212b c bc bc +=+³，即1bc ≤，则ABC面积11sin 22bc A ≤=ABC，故A 正确；对于B ，若π4A =，且1a =，由正弦定理得1πsin sin 4b B=，所以πsin sin4B b b =，当sin 1B =1=，所以b =时有一解，故B 错误；对于C ，若C =2A ，所以π2π3B A A A =--=-，且ABC 为锐角三角形，所以π02π022π0π32A A A ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得ππ64A <<，所以2cos 2A ⎛∈ ⎝⎭，由正弦定理sin sin a cA C =得1sin sin 22cos sin sin C A c A A A⨯===∈，故C 正确；对于D ，做OD BC ⊥交BC 于点D 点，则D 点为BC 的中点，且1BC =，设OBD αÐ=，所以cos BDBOα=，所以211cos 22BD BC BO BC BO BC BO BC BD BC BOα⋅=⋅=⋅⨯=⋅==，故D 正确.12.【详解】由题意，PC 的中点O 即为-P ABC 的外接球的球心，设外接球的半径为R ，则34108π33R π=，得3R =，在Rt PAB 中，222PA AB PB +=,故222PB BC PC +=,即222224PA AB BC PC R ++==，而2AB =，所以2232PA BC +=，鳖臑-P ABC 的体积()()22111116232663P ABC V AB BC PA BC PA BC PA -=⨯⋅⋅=⋅⋅≤⋅+=，当且仅当4BC PA ==时，取得等号，故max 16()3P ABC V -=，故A 项正确，B 项错误;而1823C ABO O ABC V V V --===，故C 项正确;设-P ABC 的内切球半径为r ，由题意知三棱锥-P ABC 的四个侧面皆为直角三角形，由等体积法1111116322223P ABC V AB BC PA AC PA PB BC r -⎛⎫=⨯⋅+⋅+⋅+⋅⋅= ⎪⎝⎭，而2AC ==6PC =,得(1632r +⋅=，所以r =，故D 项正确,三､填空题：13.214.15.16.216【详解】以ABC 外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图，因为等边ABC21sin BCr r A=⇒=，设11(1,0),(,(,),(cos ,sin )2222A B C P αα---，则1(1cos ,sin ),(cos sin )2PA PB αααα=--=---，1(cos ,sin )2PC αα=--，所以(12cos ,2sin )PC PB αα+=---，所以()1cos PA PB PC α⋅+=-，因为1cos 1α-≤≤，所以01cosα2£-£，所以()PA PB PC ⋅+的最大值为2．四､解答题：17.【详解】（1）设向量(),c x y = ，因为()1,2a = ，c =r ，c a ∥，所以2x y==⎪⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩，或24x y =-⎧⎨=-⎩,所以()2,4c =r 或()2,4c =-- ；（2）因为2a b + 与2a b -垂直，所以()()220a b a b +⋅-=r r r r ，所以222420a a b a b b -⋅+⋅-= 而52b =，a == ，所以5253204a b ⨯+⋅-⨯= ，得52a b ⋅=- ，a 与b的夹角为θ，所以52cos 12a b a bθ-⋅===-⋅，因为[]0,θπ∈，所以θπ=.18.【详解】（1）设圆锥的底面半径为r ，高为h.由题意，得：2r π=，∴r =，∴3h =∴圆锥的侧面积16S rl ππ===,底面积223S r ππ==,∴表面积129S S S π=+=.（2）由（1）可得：圆锥的体积为211133333V r h πππ==⨯⨯=.又圆柱的底面半径为2r =322h =，∴圆柱的体积为2233922428r hV πππ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭.∴剩下几何体的体积为12915388V VV πππ=-=-=.19.【详解】（1）设AD DC x ==，由余弦定理可得22cosADB CDB∠=∠==又cos cos ADB CDB ∠∠=- 2=1x ∴=，即2AC =.（2）由（1）知223271cos 2322A +-==⨯⨯，因为0A π<<，所以3A π=，由ABE ACE ABC S S S += 可得，1113sin 302sin 3032sin 60222AE AE ︒︒︒⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯，即5AE =，解得5AE =.20.【详解】(1)()5sin 22cos sin 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 2coscos 2sin 2cos sin 6644x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2cos 222222x x x x x x π⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭1sin 2cos 2sin 2+226x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，令222,Z 262k x k k πππππ-+≤+≤+∈，所以,Z 36k x k k ππππ-+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为：,,Z 36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)函数()y f x k =-在区间11,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，即曲线sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与直线y k =在区间11,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个交点.设26t x π=+，则sin ,y t =且,26t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，又因为1sin 62π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，由图象可知，若要使sin y t =与y k =区间,26t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个交点，则()11,0,12k ⎛⎫∈--⋃ ⎪⎝⎭.21.【详解】（1）选择①，在ABC 中，由余弦定理得222222222a c b a c b a b c b ac a+-+-=+⋅=+，整理得222a b c ab +-=，则2221cos 22a b c C ab +-==，又()0,πC ∈，所以π3C =.选择②，可得sin cos sin cos cos a A B b A A C +=，在ABC中，由正弦定理得，2sin cos sin sin cos cos A B A B A A C +=，因为sin 0A ≠，则sin cos sin cos A B B A C +=，即()sin A B C +=，因为πA B C ++=，因此sin cos C C =，即tan C =又()0,πC ∈，所以3C π=.选择③，在ABC22(2cos1)2cos 2CC C =--=-，cos 2C C +=，即πsin 16C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又()0,πC ∈，所以ππ7π,666C ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以ππ62C +=，从而π3C =.（2）由（1）知，π3C =，有2π3ABC BAC ∠+∠=，而BAC ∠与ABC ∠的平分线交于点I ，即有π3ABI BAI ∠+∠=，于是2π3AIB ∠=，设ABI θ∠=，则π3BAI θ∠=-，且π03θ<<，在ABI △中，由正弦定理得，4π2πsin sin sin()sin33BI AI AB AIB θθ====∠-，所以)4sin π3(BI θ=-，4sin AI θ=，所以ABI △的周长为3234sin(4si π)n θθ-+3123cos sin )4sin 22θθθ=-+π23232sin 4sin()233θθθ=++=++由π03θ<<，得ππ2π333θ<+<，所以当ππ32θ+=，即π6θ=时，ABI △的周长取得最大值423+22.【详解】（1）记F 为AB 的中点，连接,DF MF ，如图1，因为,F M 分别为,AB AE 的中点，故//MF EB ，因为MF ⊄平面,EBC EB ⊂平面,EBC 所以//MF 平面EBC ，又因为ADB 为正三角形，所以60DBA ∠=︒，DF AB ⊥，又BCD △为等腰三角形，120BCD ∠=︒，所以30DBC ∠=︒,所以90ABC ∠=︒，即BC AB ⊥，所以//DF BC ，又DF ⊄平面,EBC BC ⊂平面,EBC 所以//DF 平面EBC ，又DF MF F ⋂=，,DF MF ⊂平面DMF ，故平面//DMF 平面EBC ，又因为DM ⊂平面DMF ，故//DM 平面BEC .（2）延长,CD AB 相交于点P ，连接PM 交BE 于点N ，连接CN ，过点N 作//NQ AE 交AB 于点Q ，如图2，因为//DM 平面ECB ，DM ⊂平面PDM ，平面PDM 平面ECB CN =，所以//DM CN ，此时,,,D M N C 四点共面，由（1）可知，2,60,BC CD PCB CB BP ==∠=︒⊥，得30,4CPB PC ∠=︒=，故4263PN CP PM DP ===，又因为//NQ AE ，所以23NQ PN AM PM ==，则有3112223NQ NQ AE AM ==⨯=，故13BN NQ BE AE ==.N。
高一下学期期中考试数学试题(解析版)
【解析】
【分析】由已知得 在 中利用正弦定理求得 在 中利用余弦定理即可得解.
【详解】在 中已知
在 中
由正弦定理得
在 中
利用余弦定理知 .
故答案为：
16.如图四棱锥 的底面四边形ABCD为正方形四条侧棱 点E和F分别为棱BC和PD的中点.若过A､E､F三点的平面与侧面PCD的交线线段长为 则该四棱锥的外接球的体积为___________.
【小问1详解】
如图：
在 上取一点N使得 连接CNEN则 则
又∵ ∴四边形 是平行四边形
∴ 且 ．
同理四边形DNEA是平行四边形∴ 且
又 且 ∴ 且
∴四边形CNEB是平行四边形
∴ 且
∴ 且
∴四边形 平行四边形从而BE F四点共面；
【小问2详解】
由(1)知 平面 平面
∴ 平面 ①
取BG中点为I连接 则G是 H是 ∴ ∥HG
【详解】解：由 得
即 正确；
令 满足 但不满足 错误；
令
则
又 正确；
正确．
故选：ACD．
10.下列说法正确的是（）
A.对于任意两个向量 若 且 与 同向则
B.已知 为单位向量若 则 在 上的投影向量为
C.设 为非零向量则“ ”是“存在负数 使得 ”的必要不充分条件
D. 则 与 的夹角是锐角
【答案】BC
的最小值为
所以 的长度范围是
故选：B
二､多选题：本题共4小题每小题5分共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分部分选对的得2分有选错的得0分.
9.已知 且 ．下列说法正确的是（）
A.若 则 B.若 则
C. D.
重庆市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷含答案
重庆市2023-2024学年高一（下）期中数学试卷（答案在最后）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知复数，则的虚部是（）A．﹣i B．﹣1C．i D．12．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n3．（5分）在△ABC中，b＝6，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆面积为（）A．9B．9πC．36D．36π4．（5分）已知向量满足，向量与的夹角为，则在方向上的投影向量为（）A．B．C．D．5．（5分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（）A．B．2C．D．6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，则＝（）A．B．C．D．7．（5分）嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔．如图，为测量塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝45°，CD＝32m，在C点测得塔顶A的仰角为60°，则塔的总高度为（）A．B．C．D．8．（5分）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝4，侧棱，若P为B1C1的中点，则过B，D，P三点截面的面积为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
（多选）9．（3分）已知复数z＝2﹣3i，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（）A．z的模等于13B．z在复平面内对应的点位于第四象限C．z的共轭复数为﹣2﹣3iD．若z（m+4i）是纯虚数，则m＝﹣6（多选）10．（3分）设向量，，则下列叙述错误的是（）A．若与的夹角为钝角，则k＜2且k≠﹣2B．的最小值为2C．与共线的单位向量只有一个为D．若，则或（多选）11．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝2AB＝2BB1＝6，点E为棱BC上靠近点C的三等分点，点F是长方形ADD1A1内一动点（含边界），且直线B1F，EF与平面ADD1A1所成角的大小相等，则（）A．A1F∥平面BCC1B1B．三棱锥F﹣BB1E的体积为4C．存在点F，使得A1F∥B1ED．线段A1F的长度的取值范围为[，]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
高一数学下学期期中试题含解析 8
云天化中学2021-2021学年度下学期半期测试高一年级数学试题第I卷〔选择题，一共分〕一．选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．每一小题只有一个．．．．选项符合题意．〕1.假设集合，集合，那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的交集运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意知，集合，集合，所以，应选C.【点睛】此题主要考察了集合表示方法，以及集合交集运算，其中解答中熟记集合的交集的概念与运算是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.2.,假设那么=〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，可得，即可求解，得到答案.【详解】由题意，向量，因为，那么，解得，应选A.【点睛】此题主要考察了向量的垂直的坐标运算，其中解答中熟记向量的垂直的条件，准确计算是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.3.，那么( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式和三角函数根本关系式，化简即可求解，得到答案.【详解】根据三角函数的诱导公式和三角函数根本关系式，可得：，解得，应选C.【点睛】此题主要考察了三角函数的诱导公式和三角函数的根本关系式的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的根本关系式，准确化简是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.4.分别是的内角的对边，假设，那么锐角的大小是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正弦定理可得，那么，即可求解，得到答案.【详解】在中，由正弦定理可得，那么，又由角C为锐角，所以，应选A.【点睛】此题主要考察了正弦定理的应用，其中解答中合理利用正弦定理，求得是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.5.是四边形所在平面上任一点，且那么四边形一定为( )A. 菱形B. 任意四边形C. 平行四边形D. 矩形【答案】C【解析】【分析】根据向量的运算和一共线向量的概念，可得且，即可求解，得到答案. 【详解】由，可得，即四边形中，又由，所以，即四边形中有一组对边平行且相等，所以四边形为平行四边形，应选C.【点睛】此题主要考察了向量的运算和一共线向量的应用，其中解答中熟记向量的运算法那么和一共线向量的概念是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.6.有如下命题：①函数中有两个在上是减函数；②函数有两个零点；③假设那么其中正确的个数为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用幂函数的单调性判断①的真假，利用图像判断②的真假，利用对数的单调性判断③的真假.由此判断出真命题的个数.【详解】根据幂函数的性质可知，，在上是减函数，在，，画出的图像如以下图所示，由图可知，两个函数有个交点，故得，而为定义域上的减函数，故，故③是真命题.综上所述，真命题的个数为个，应选D.【点睛】本小题主要考察幂函数的单调性，考察函数零点个数的判断方法，考察对数不等式的解法以及对数函数的单调性.对于幂函数，要熟悉时，个函数的图像与性质.可以将函数的零点问题，转化为两个函数图像的交点个数问题来求解.对数函数的单调性是由底数来决定.7.设函数，那么以下结论错误的选项是．．．．．．〔〕A. 的一个周期为B. 的图像关于直线对称C. 一个零点为D. 在单调递减【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的图像与性质，逐一断定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数，可知最小正周期为，那么也是函数的一个周期，所以A是正确的；令，可得〔最大值〕，所以是函数的其中一条对称轴，所以B是正确的；令，那么函数，所以是函数一个零点，所以C是正确的；当，那么，函数函数在单调递增，所以D不正确，应选D.【点睛】此题主要考察了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理准确逐一断定是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.8.在等差数列中，假设,那么=〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质，可得，即，且，代入即可求解.【详解】由题意，根据等差数列的性质，可得，即又由，所以，应选C.【点睛】此题主要考察了等差数列的性质的应用，其中解答中熟记等差数列的性质，合理准确运算是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.9.函数的图象大致是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对数的运算性质，分类讨论，得当时，函数，当时，函数，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数，当时，函数，当时，函数，所以函数图象只有选项D符合，应选D.【点睛】此题主要考察了对于的运算性质，以及函数图象的识别，其中解答中根据对数的运算性质，合理化简函数的解析式是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.10.分别是的内角的对边，，那么的面积是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简可得，得出，求得，再利用面积公式，即可求解.【详解】在中，可知，由正弦定理可得，即，即，又由，所以，所以，又由，那么，所以，所以，又因为，所以三角形的面积为，应选D.【点睛】此题主要考察了正弦定理，以及三角形的面积公式的应用，其中解答中熟记正弦定理的边角互化，以及合理利用三角恒等变换的公式化简求解的值是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.11.〔其中〕,那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角恒等变换的公式和三角函数的性质，求得，进而求得实数，，，即可得到答案.【详解】由题意，函数，又由即，因为，所以，解得，即，那么，，所以，应选A.【点睛】此题主要考察了三角恒等变换化简、运算，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角恒等变换的公式，化简得到函数的解析式是解答关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.12.函数的图象经过点和.假设函数在区间上有唯一零点，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用题设条件，求出函数的解析式，结合函数的零点和三角函数的图象与性质，即可求解，得到答案.【详解】由题意，可得，解得，故，因为，令，得，即，又由，得，因为，所以，所以，又由，那么，所以令，那么由题意得在上有唯一的解，根据正弦函数图象可得或者，解得，应选D.【点睛】此题主要考察了三角函数的图象与性质，以及函数的零点问题的求解，其中解答中根据三角函数的性质，求得三角函数的取值，结合图象列出不等式是解答的关键，着重考察了数形结合思想，以及推理与运算才能，属于中档试题.第二卷〔一共90分〕二．填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13.向量满足且，那么向量的夹角为_______________.【答案】.【解析】【分析】根据向量的运算，可得，再由向量的夹角公式，求得，即可得到向量的夹角，得打答案.【详解】由题意知，向量，解得，所以向量的夹角为，又因为，所以，即向量的夹角为.【点睛】此题主要考察了向量的运算，以及向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的运算法那么和向量的夹角公式是解答此题的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.14.函数，对于任意都有，那么的值是______________.【答案】【解析】【分析】由条件得到函数的对称性，从而得到结果【详解】∵f＝f，∴x＝是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴．∴f＝±2.【点睛】此题考察了正弦型三角函数的对称性，注意对称轴必过最高点或者最低点，属于根底题.15.如图甲是第七届国际数学教育大会〔简称ICME-7〕的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中, 假如把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，那么此数列的通项公式_______________.【答案】【解析】【分析】由图可知，由勾股定理可得,利用等差数列的通项公式求解即可.【详解】根据图形，因为都是直角三角形，,是以1为首项，以1为公差的等差数列，，，故答案为.【点睛】此题主要考察归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考察综合应用所学知识解答问题的才能，属于与中档题.16.函数假设存在实数当时，满足，那么的取值范围是_________________. 【答案】.【解析】【分析】画出分段函数的图象，作出直线，结合函数的图象可得实数的取值范围，再运用对数的运算性质和余弦函数的对称性，可得和，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，函数，画出函数的图象，如下图，令，那么，由图象可知，设和函数的图象有四个交点，可得其中，那么，解得，且，那么所以，其中，设，那么函数，函数单调递增，那么，所以的取值范围是.【点睛】此题主要考察了函数与方程的综合应用，其中解答中正确作出函数的图象，结合图象，利用对数函数的运算性质以及余弦函数的对称性，再利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考察了数形结合法，以及推理与运算才能，试题有一定的综合性，属于中档试题.三．解答题〔本大题6小题，第17小题10分，第18-22小题，每一小题12分，一共70分．解．容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．〕17.设集合，．〔1〕求；〔2〕假设集合，满足，务实数的取值范围．【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】【分析】〔1〕根据指数函数的运算性质和对数函数的运算性质，分别求得集合，再根据集合的交集的运算，即可求解.〔2〕由集合，得到，即可求解.【详解】〔1〕由题意，根据指数函数的运算性质，可得，由对数函数的运算性质，可得，所以.〔2〕由题意，可得集合，因为，所以，解得，即实数实数的取值范围.【点睛】此题主要考察了集合的运算及应用，其中解答中根据指数函数与对数函数的额运算性质，正确求解集合是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.18.在等差数列中，，.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕令，求数列的前项和.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】【分析】〔1〕根据等差数列的通项公式，列出方程组，求得，即可求解数列的通项公式；〔2〕由〔1〕，求得，再利用等差数列的求和公式，即可求解.【详解】〔1〕由题意，设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，所以数列的通项公式为.〔2〕由〔1〕知，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以.【点睛】此题主要考察了等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.19.中，点在线段上，且，延长到，使．设．〔1〕用表示向量；〔2〕假设向量与一共线，求的值．【答案】〔1〕,；〔2〕【解析】【分析】〔1〕由向量的线性运算，即可得出结果；〔2〕先由(1)得，再由与一共线，设，列出方程组求解即可.【详解】解：〔1〕为BC的中点，，可得，而〔2〕由〔1〕得，与一共线，设即，根据平面向量根本定理，得解之得，．【点睛】此题主要考察向量的线性运算，以及平面向量的根本定理，熟记定理即可，属于常考题型.20.函数。
高一数学下学期期中联考试题 8
2021---2021学年下期期中联考高一数学试题一、选择题：(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共计60分。
每一小题只有一项符合题目的要求) 1．-300°化为弧度是 〔 〕 A 34π-B 35π-C 32π-D 65π- 2假设(0,2)x π∈，那么使函数y=有意义的x 的取值范围是A (,)42ππB (,)4ππC 5(,)44ππD 53(,)(,)442ππππ α的终边过点()43P -，，那么ααcos sin 2+的值是〔 〕A35 B 52 C 52- D 35- 4. D,E,F 分别是ABC ∆的边AB ,BC ,CA 的中点那么( )A BD 0BE FC --=,B BD 0CF DF -+=C AD 0CE CF +-= D AD 0BE CF ++=5．在ABC ∆中，0120,tan tanB C A =+=,那么tan tanB A •= A14 B 13 C 12 D 436．点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，那么向量AB 在CD 方向上的投影为A 322B 3152C －322D －315222cos ()14y x π=--是〔 〕A 最小正周期为π的奇函数B 最小正周期为π的偶函数C 最小正周期为2π的偶函数D 最小正周期为2π的奇函数 8．向量(,3)a k =，(1,4)b =，(2,1)c =，且(23)a b c -⊥，那么实数k 等于A 92-B 0C 3D 1529.将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6(x ∈R )图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍,再把图象上各点向左平行挪动3π个单位长度，那么所得到的图象的解析式为( ) A y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 B y ＝cos x 2 C y ＝sin x 2 D y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3 10．比拟大小，正确的选项是〔 〕 A sin(1.5)sin3cos 2>> B sin(1.5)sin 3cos 2<<C ()sin3sin 1.5cos2<<D sin 3cos 2sin(1.5)<<11.设函数f (x )＝cos lg x x -的零点个数有几个A 1B 2C 3D 412．如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，点P 在线段BC 上运动，且满足CP ＝λCB ，当PA PC •取到最小值时，λ的值是( ) A 14B 15C 16D 18二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕0120，半径为3，那么该扇形的面积是________________.14.(sin ,1)a θ=-，1(,cos )2b θ=，且//a b ，那么sin 2θ＝ . 15. tan()3αβ+=，tan()5αβ-=，那么tan 2β= . 16. 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的局部图象如下图，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是________．三、解答题：〔本大题一一共6小题，一共70分。
高一数学下学期期中试题理 8
高一数学期中考试理科试题一．选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．)1. {a n }是首项为1，公差为5的等差数列，假如a n ＝2021，那么序号n 等于( )A ．403B ．404C ．405D ．4063.向量a ＝(2，1)，b ＝(x ，2)，假设a ∥b ，那么a ＋b 等于( )A ．(3，3)B ．(6，3)C ．(1，3)D ．(－3，3)4. 等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，那么{a n }的前4项和为( ) A ．81 B ．120 C ．168 D ．1925.在等差数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和，假设S 11 ＝11，那么a 6＝( )A ．1B ．3C ．6D ．96. 向量a ，b 满足|a |＝3|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，那么a 与b 的夹角为( ) A ．π4 B ．π2 C．3π4D ．π8.在等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a2成等差数列，那么1112910a a +＝( ) A ．11 C ．3+．3-9. {a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，那么使得S n到达最大值的n 是( )A ．21 B．20 C ．19 D ．1810. 在锐角△ABC 中，6,2AC B A ==,那么BC 的取值范围为 ( )A ．B ．C ．)+∞D ．11. 设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，那么S 2021＝( )A ．12016-B ．12016C ．12017-D ．1201712. 在△ABC 中，D 是BC 边的中点，过点D 的直线分别交直线AB,AC 于点E,F ，假设,,0,0AE AB AF AC λμλμ==>>,那么λμ⋅的最小值是( )A ．12B．2 C ．13 D ．1 二．填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．)13．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，那么|a －b |＝14．等比数列{a n }各项为正数，a 10a 11＝e 5，那么ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝______ __ 15．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＋a cos C ＝b ＋c ，那么△ABC 的形状是 〔横线上填“等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形〞中的一个〕.16．数列{a n }中，a n ＋1＝2+n na a 对所有正整数n 都成立，且a 1＝1，那么a n ＝三．解答题(本大题一一共6小题，一共70分．)17．〔本小题满分是10分〕△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，ccos sin A a B =．(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)假设a ，b ＝2，求△ABC 的面积．18．〔本小题满分是12分〕{a n }是一个等差数列，a 2＋a 8＝－4，a 6＝2.(Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n ＝11n n a a +⋅，求数列{b n }的前n 项和S n ． 19．〔本小题满分是12分〕△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .且(cos(),sin()),(cos ,sin )=---=m A B A B n B B ，假设35m n ⋅=-. (Ⅰ)求sin A 的值；(Ⅱ)假设a ＝，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．20．〔本小题满分是12分〕设S n 是数列{a n }的前n 项和.(Ⅰ)假设2S n ＝3n ＋3. 求{a n }的通项公式；(Ⅱ)假设a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2n(n ∈N *)，求S n 。
高一数学下册期中考试题8.doc
高一数学（理科）（1 150分 Ⅰ卷交答题卡，Ⅱ卷交答题纸）第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题（包括12小题，每小题5分，共60分）1，的一个通项公式是 ( )A ．n a =B ．n a =C ． n a =D ．n a 2．已知直线l 的倾斜角为0120，则直线l 的斜率是 （ ）AB ．C ．3D ． 33．下列命题正确的是 ( ) A ．若ac >bc ，则a >b B ． 若22a >b ，则a >bC ．若11>a b则a <b D ． ，则a <b4．已知等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，那么前八项之和等于 ( ) A.15B.21C.19D.175．记等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若||||113a a =，且公差0<d ，则当n S 取最大值时，=n （ ） A ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．7或86．已知a >0,-1<b <0，则2a,ab,ab 的大小关系是 ( ) A ． 2a >ab >ab B. 2ab >ab >a C. 2a >ab >ab D. 2ab >a >ab 7．若x >0则133x x--的最大值为 ( )A ．3B ．3-C ． 3-D ． 1-8.两条直线230x y k +-=和120x ky -+=的交点在y 轴上，那么k 的值是（ ）A. 6±B.6C.-6D.不同于A 、B 、C 的答案 9.各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ⋅=，则1012222log log log a aa+++=A ．15B ．10C ．5D ．0.设变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-241y y x y x 则目标函数z=2x+4y 的最大值为（ ） A ．10B ．12C ．13D ．1411．经过点（1，2），并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有 （ ）A ． 1条B ．2条C ．3条D ．4条12．设由正数组成的等比数列，公比q=2，且3030212=a a a ……·，则 30963a a a a ……··等于（ ）A ．102 B ．202 C ．162 D ．152第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题（包括4小题，每小题5分，共13.若三点12(2,3),(3,2),(,)A B C m --共线，则m 的值___________. 14．等差数列{a n }中，a 1=－5,它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项后余下的10项的 平均值仍为5，则抽取的是第_______项.15．等差数列的前4项和为40，最后4项的和为80，所有各项的和为7这个数列 一共有 项.16.当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是_ _。
高一数学下册期中考试试题8.doc
北京九中-度高一年级第二学期期中考试 班级 姓名 学号 成绩一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1.一个棱柱是正四棱柱的条件是（ ） A ．底面是正方形，有两个侧面是矩形 B ．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C ．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D ．每个侧面都是全等矩形的四棱柱2.对于任意实数a 、b 、c 、d ，命题①bc ac c b a >≠>则若,0,；②22,bc ac b a >>则若 ③b a bc ac >>则若,22；④ba b a 11,<>则若；⑤bd ac d c b a >>>>则若,,0．其中真命题的个数是（ ）Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3.已知P={x |x x 32222<}，Q={x |}0)1(log 21>-x ，则P ∩Q 为（ ）A ．}2321|{<<x xB ．}223|{<<x xC ．}231|{<<x xD ．}230|{<<x x4.下列函数中，最小值为22的是（ ） A ．x x y 2+= B ．)0(sin 2sin π<<+=x xx y C ．xxee y -+=2 D ．2log 2log 2x x y +=5.关于x 的不等式a x 2+b x +2>0的解集是}3121|{<<-x x ，则a +b=（ ） A ．10 B ．-10 C ．14 D ．-146.已知点（3，1）和（-4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，则a 的取值范围是（ ） A ．a<-7或a>24 B ．a=7或a=24 C ．-7<a<24 D ．-24<a<77.目标函数y x z +=2，变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，则有（ ）A ．3,12min max ==z zB ．z z ,3min =无最大值C ．,12max =z z 无最小值D ．z 既无最大值，也无最小值8.设P 是平面α外一点，且P 到平面α内的四边形的四条边的距离都相等，则四边形是（ ）A ．梯形B ．圆外切四边形C ．圆内接四边形D ．任意四边形 9.在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ） A ．α、β都垂直于平面r .B ．α内存在不共线的三点到β的距离相等.C ．l ，m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β.D ．l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α, l ∥β，m ∥β.10.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得a BD =，则三棱锥D —ABC 的体积为（ ）A.63aB.123a C.3123a D.3122a 11.棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）A ．33aB ．43aC ．63aD ．123a12.a ＞b ＞c,n ∈N,且ca nc b 1b a 1-≥-+-,则n 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）13.若21<<-a ，12<<-b ，则a －b 的取值范围是14.设x 1<x 2<x 3是f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝0(a>0)的三个实根，则不等式f(x)>0的解集是 ___________15.不等式1≤+y x 所表示的平面区域的面积是 16.正方体1111D C B A ABCD-中，棱长为a ，E 是1AA 的中点，在对角面D D BB 11上取一点M ，使AM+ME 最小，其最小值为 __ 17.棱长为2cm 的正方体AC 1中，E 为棱DD 1的中点，则截面AEC 的面积是 ，截面AEC 分正方体成两部分的体积之比是 。
高一数学下学期期中试题 8
卜人入州八九几市潮王学校江区第HY 学二零二零—二零二壹高一数学下学期期中试题一、选择题(每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的) 1.{}n a 是等差数列，且93,7,5a d a 求===〔〕2. 点A(0,1)，B(3,2)，向量→AC =(4,3)，那么向量→BC =〔〕A. (1，2)B.(-1，-2)C.(-7，-4)D.(7，4)3. →a =(1,3)，→b =(3,1)，那么→a 与→b 的夹角为〔〕A. 2πB.3πC.4πD.6π4．在△ABC 中，假设cos cos A bB a =，那么△ABC 是〔〕.A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或者直角三角形5．{}n a 是等差数列，那么该数列的前10项和10S 等于〔〕 A ．64B ．100C ．110D ．1206.{}n a 是等比数列，。
A ．-10B ．25C ．10D20．7.，那么〔〕A. A,B.D 三点一共线B.B,C,D 三点一共线C ， A,B.C 三点一共线D.A,C,D 三点一共线8.向量，假设,那么的数量积为() A ．1B ．0C ．2{}n a 的前n 项和为n S ，假设，那么n S 取最小值时，n=〔〕489832=+++a a a a ,31=a 的两根是方程02510,283=++x x a a 的值求92a a •()()→⊥→=→=→CD AB 3,6CD ,4,AB 且x ()→→=→CF //AB ,2CF ，且y )(3CD ,82BC ,5AB →→→→→→-=→+-=→+=→b a b a b a 6,11731-=+-=a a a10. n S 为数列{}n a 的前n 项和，假设()*22N n a S n n ∈-=,那么等于2a 〔〕 11．△ABC 的三内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且22()1a b c bc--=，那么A=() A ．60︒B ．120︒C ．30︒D ．150︒12．等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n n T S 和，且3417++=n n T S n n ，那么使得n n a b 为整数的正整数n 的个数是〔〕A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕13．等差数列{}n a 中208642=+++a a a a ，那么37a a +=.14．数列3,33,333,3333，那么通项na =. 15.),1(),2,2(),2,1(λ=-==→→→cb a ，假设)2//(→→→+b ac ，那么=λ.16.△ABC 的三内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且3:4:13::=cb a ，设A AB m cos = A AC n sin =，又△ABC 的面积为S ，那么的关系为与S n m ⋅.三、解答题〔一共70分〕17．〔本小题10分〕在△ABC 中，3a =，2b =，A=60，求角B 、C ．18．〔12分〕设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-. 〔Ⅰ〕求{}n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值19．〔12分)如图，()()()→→--=→=→=→AD //B C ,3,2CD ,,B C ,1,6AB 且y x 。
高一数学下学期期中试题含解析8
卜人入州八九几市潮王学校学HY2021第二学期期中考试高一数学试卷一、选择题：本大题一一共10个小题，每一小题4分，一共40分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1.在平面直角坐标系中，角α以x 轴非负半轴为始边，终边在射线2(0)y x x =≥上，那么tan α的值是〔〕 A.2 B.-2C.12D.12-【答案】A 【解析】 【分析】由角α以x 轴非负半轴为始边，终边在射线2(0)y x x =≥上，设终边上的点(1,2)P ，根据三角函数的定义，即可求解，得到答案．【详解】由题意，在平面直角坐标系中，角α以x 轴非负半轴为始边，终边在射线2(0)y x x =≥上，设终边上的点(1,2)P ，根据三角函数的定义可得2tan 21α==，应选A ． 【点睛】此题主要考察了三角函数的定义，其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．{}n a 的各项均为正，35a ，2a ，43a 成等差数列，那么数列{}n a 的公比是〔〕A.12B.2C.13D.-2【答案】C 【解析】 【分析】由35a ，2a ，43a 成等差数列，可得342253a a a =+，整理得23520q q +-=，即可求解．【详解】设等比数列{}n a 的公比为q()0q >，因为35a ，2a ，43a 成等差数列，那么342253a a a =+，即31121253q a q a a q =+，可得23520qq +-=，解答13q =，应选C ． 【点睛】此题主要考察了等比数列的通项公式，以及等差中项公式的应用，其中解答中纯熟应用等差中项公式，以及利用等比数列的通项公式准确计算，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，假设将函数()f x 的图像向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，那么()g x 的解析式为〔〕A.()sin 46g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.()sin 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()sin 2g x x =【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的周期求出ω＝2，结合三角函数的平移关系进展求解即可．【详解】∵函数()3f x sin x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭〔ω＞0〕的图象中，最小正周期为π，∴即周期T 2ππω==，那么ω＝2，那么f 〔x 〕＝sin 〔2x 3π+〕，将函数f 〔x 〕的图象向右平移6π个单位，得到函数g 〔x 〕， 那么g 〔x 〕＝sin[2〔x 6π-〕3π+]＝sin 〔2x 33ππ-+〕＝sin2x ，应选：D ．【点睛】此题主要考察三角函数解析式的求解，根据周期公式求出ω的值，以及利用三角函数的平移法那么是解决此题的关键．{}n a 满足11a =，()*12n n a a n N +-≥∈，那么〔〕A.12n na -≥B.21na n ≥+ C.12n nS -≥D.2nS n ≥【答案】D 【解析】分析：根据累加法求得数列通项n a 的表达式，然后逐一验证可得结果． 详解：∵()12*n n a a n N +-≥∈，∴()122nn a a n --≥≥，∴122n n a a ---≥，232n n a a ---≥，……，322a a -≥，212a a -≥，将以上1n -个式子两边分别相加可得12(1)n a a n -≥-，∴()212n a n n ≥-≥．又11a =满足上式， ∴21(*)na n n N ≥-∈．应选项A ，B 不正确． 又212135(21)nn S a a a n n =+++≥++++-=，应选项C 不正确，选项D 正确． 应选D ．点睛：解答此题的关键是求出数列的通项，数列的递推关系求通项公式时，假设递推关系是形如1()n n a a f n -=+的形式时，常用累加法求解，解题时要注意求得n a 后需要验证1n =时1a 是否满足通项公式． 5.1cos cos 2αβ+=，1sin sin 3αβ+=，那么cos()αβ-=〔〕 A.5972-B.5972C.1336D.1336-【答案】A 【解析】2221(cos cos )cos 2cos cos cos 4αβααββ+=++=, 2221(sin sin )sin 2sin sin sin 9αβααββ+=++=, 两式相加得：1322cos()36αβ+-=，那么59cos()72αβ-=-，选A. 6.ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，假设满足2b =，60B =的三角形有两解，那么边长a 的取值范围是〔〕A.2a <<B.2a <<2a << D.122a << 【答案】B 【解析】 【分析】由ABC ∆有两解时，可得sin a B b a <<，代入数据，即可求解，得到答案． 【详解】由题意得，当ABC ∆有两解时，那么满足sin a B b a <<，即sin 602a a <<，解得23a <<，应选B ． 【点睛】此题主要考察理解三角形一题多解的问题，其中解答中熟记三角形两解的条件是解答此题的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题． 7.1sin 33πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，那么sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭〔〕 A.79-B.79C.79±D.29-【答案】A 【解析】 由题意可得1cos()cos(())cos()32663ππππααα-=-+=+=， sin(2)sin[(2)]cos(2)6233ππππααα-=-+=+27cos 2()2cos ()1669ππαα=+=+-=-，选A.{}n a 满足712,83,8n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≤⎩，假设对于任意*n N ∈都有1n n a a +>，那么实数a 的取值范围是〔〕 A.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1(,1)2D.11,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由题意，得到数列{}n a 为单调递减数列，可知1013a a <<≠且，分113a <<和103a <<两种情况讨论，即可求解．【详解】由题意，对于任意的*n N ∈都有1n n a a +>，所以数列{}n a 为单调递减数列，由8n ≤时，()7n f n a -=，根据指数函数的性质，可知1013a a <<≠且， ①当113a <<时，8n >时，1()23n a a n =-+单调递减，而8n ≤时，7n n a a -=单调递减， 所以871()923a a --⨯+≤，解得12a ≥，所以112a <<；②当103a <<时，8n >时，1()23n a a n =-+单调递增，不符合题意〔舍去〕．综上可知，实数a 的取值范围是112a <<，应选C ．【点睛】此题主要考察了数列的单调性，以及分段函数的的单调性的应用，其中解答中根据数列的单调性，利用分段函数的性质求解是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．ABC △内有任意三点不一共线的2021个点，加上,,A B C 三个顶点，一共2021个点，把这2021个点连线形成互不重叠的小三角形，那么一一共可以形成小三角形的个数为〔〕 A.4033 B.4031C.4029D.4027【答案】A 【解析】 【分析】先得到所有三角形的内角和，再根据三角形的内角和为180，可得三角形的个数，得到答案． 【详解】由题意，三角形的内角和为180， 又以内部每个点为顶点的角的和为一个周角是360， 那么2021个点的角的总和2016360S=⨯，加上三角形原来的内角和180，所以所有三角形的内角和1802016360180(120162)S '=+⨯=+⨯，所以三角形的个数为1201624033+⨯=， 应选A ．【点睛】此题主要考察了合情推理的应用，其中解答根据各三角形内角总和得到三角形的个数是解答此题的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于中档试题．10.O 为锐角ABC △的外接圆的圆心，tan 2A =，假设cos cos 2sin sin B CAB AC mAO C B+=，那么m 的值是〔〕【答案】B 【解析】 【分析】 取AB的中点,D AC的中点E，连接,OD OE，利用向量的数量积的计算公式，可得22,22AB AC AB AO AC AO ⋅=⋅=，再由正弦定理，得到2sin ,2sin AB R C AC R B ==，且AO R =，代入得sin cos cos sin sin()sin C B C B B C A m +=+==，最后利用三角函数的根本关系式，即可求解． 【详解】如下列图，取AB 的中点,D AC 的中点E ，连接,OD OE ，那么,OD AB OE AC ⊥⊥；所以22cos ,22AB AC AB AO AB AO BAO AC AO ⋅=∠=⋅=，所以由cos cos 2sin sin B CAB AC mAO C B+=， 设ABC ∆的外接圆半径为R ，那么AO R =，由正弦定理得2sin sin AB AC R CB==，所以2sin ,2sin AB R C AC R B ==，且AO R =，代入可得2222cos sin 2cos sin 2B C R C B R mR ⋅+⋅=，所以sin cos cos sin sin()sin C B C B B C A m +=+==，又因为tan 2A =，可得sin 5A =，即5m =，应选B ．【点睛】此题主要考察了三角形的外接圆圆心的概念，向量的数量积的计算公式，以及三角函数恒等变换和正弦函数的性质的综合应用，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于中档试题． 二、填空题〔本大题一一共7小题，多空题每一小题6分，单空题每一小题4分，一共36分〕 11.ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，假设4a =，2c =，60B =，那么b =___，C =_____．【答案】(1).30【解析】 【分析】在ABC ∆中，由余弦定理，可求得b =，再由正弦定理，求得1sin 2C =，根据c b <，即C B <，即可求解．【详解】在ABC ∆中，因为4a =，2c =，60B =，由余弦定理可得222222cos 42242cos6012b a c ac B =+-=+-⨯⨯=，所以b =又由正弦定理可得sin sin b cB C=，即sin 1sin 2c B Cb ===， 又由c b <，所以CB <，所以30C =．【点睛】此题主要考察了正弦定理、余弦定理的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差为d ，假设4524a a +=，648S =.那么d =____，n S =_____．【答案】(1).4(2).()22n n -【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项和公式，列出方程组，求得12,4a d =-=，再利用前n 项和公式，即可求解．【详解】由题意，因为4524a a +=，所以12724a d +=，又由648S =，所以1656482a d ⨯+=，即12516a d +=， 联立方程组，解得12,4a d =-=，所以1(1)(1)(2)42(2)22nn n n n na d n n S n --=+=⨯-+⨯=-． 【点睛】此题主要考察了等差数列的通项公式，以及前n 项和公式的应用，其中解答中纯熟应用等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．13.π0π2αβ<<<<，4tan 3α=，cos()10βα-=，那么sin α=_____，cos β=________．【答案】(1).45(2).2- 【解析】 【分析】根据三角函数的根本关系式，可求得43sin ,cos 55αα==，再根据两角和的余弦函数，即可求解cos β的值，得到答案．【详解】因为02πα<<，且4tan 3α=，所以43sin ,cos 55αα==，由π0π2αβ<<<<，那么0βαπ<-<，又因为cos()10βα-=，那么sin()10βα-=，所以cos cos[()]cos()cos sin()sin ββααβααβαα=-+=---341051052=-=-．【点睛】此题主要考察了三角函数的化简求值，其中解答中熟记两角和的余弦公式，以及合理应用三角函数的根本关系式，准确运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．{}n a ，{}n b 满足11a =，且n a ，1n a +是函数2()2n n f x x b x =-+的两个零点，那么5a =___，10b =____．【答案】(1).4(2).64 【解析】【分析】根据方程的根与系数的关系，得到12n n n a a +=⋅，进而得1122n n n a a +++=⋅，两式相除，得到22n na a +=，得出135,,,a a a 成等比数列，246,,,a a a 成等比数列，利用等比数列的通项公式，即可求解，得到答案．【详解】由题意可知n a ，1n a +是函数2()2n n f x x b x =-+的两个零点，那么12n nn a a +=⋅，所以1122n n n a a +++=⋅，两式相除可得22n na a +=， 所以135,,,a a a 成等比数列，246,,,a a a 成等比数列，又由11a =，那么22a =，所以2251124a a q ==⨯=，441022232a a q ==⨯=，551111232a a q ==⨯=，所以101011323264b a a =+=+=．【点睛】此题主要考察了方程的根与系数的关系，以及等比数列的断定，以及等比数列的通项公式的应用，其中解答中利用根与系数的关系，递推得到数列间隔项构成等比数列是解答的关键，着重考察了转化、构造思想，以及推理与运算才能，属于中档试题．{}n a 中，假设()223578log 5a a a a a =，那么19a a =_____．【答案】4 【解析】 【分析】根据等比数列的性质化简题目所给条件，化简后可求得所求的结果. 【详解】根据等比数列的性质得()()52235782525log log 5log 5a a a a a a a ===，52a =，故2219524a a a ===.【点睛】本小题主要考察等比数列的性质，考察对数的运算，属于根底题.假设数列是等差数列，那么数列的性质为：假设m n p q +=+，那么m n p q a a a a +=+，假设2m n q +=，那么2m n q a a a +=.假设数列是等比数列，那么数列的性质为：假设m n p q+=+，那么m n p qa a a a ⋅=⋅，假设2m n q +=，那么2m n q a a a ⋅=.16.假设一个三角形的三边为连续自然数，且最大角是最小角的两倍，那么此三角形的面积为_．【答案】4【解析】 【分析】设三角形三边是连续的三个自然数1,,1n n n -+，三个角分别为,3,2απαα-，由正弦定理，求得1cos 2(1)n n α+=-，再由余弦定理，化简可得250n n -=，解得5n =，得到三角形的三边边长分别为4,5,6，进而可求解三角形的面积．【详解】设三角形三边是连续的三个自然数1,,1n n n -+，三个角分别为,3,2απαα-，由正弦定理可得111sin sin 22sin cos n n n αααα-++==，所以1cos 2(1)n n α+=-， 再由余弦定理可得222221(1)(1)2(1)cos (1)2(1)2(1)n n n n n n n n n n n α+-=++-+=++-+⋅⋅-，化简可得250n n -=，解得5n =或者0n =〔舍去〕，所以5n =，故三角形的三边边长分别为4,5,6，又由余弦定理可得的2225643cos 2564α+-==⨯⨯，所以sin 4α=，所以三角形的面积为1156sin 5622Sα=⨯⨯=⨯⨯=【点睛】此题主要考察了正弦定理、余弦定理，以及二倍角公式的应用，其中解答中根据正弦、余弦定理建立三角形的边角关系，求得三角形的边长是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于中档试题．ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，设ABC △的面积为S ，假设22232a b c =+，那么222S b c +的最大值为_____．【答案】24【解析】由题得2222222222333223()6cos ab bc c b c b c a bc A =-+-∴+=+-=由题得2222222222222223,cos 322663b c b c b c b c a b c a A bc bc bc bc ++-++-+=∴===≥=所以tan 2A =≤=,当且仅当b =时取等号. 所以222S b c +的最大值为24,故填24点睛:此题的难在解题思路,第一个难点就是把222S b c +中的分母化简成6cos S bc A,第二个难点 是得到221sin 12tan 26cos 12bc A S A b c bc A ==+后，如何求tanA 的最大值.转化成利用根本不等式求cosA 的最大值.三、解答题〔本大题一一共5小题，一共74分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕()22sin cos 3f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 〔1〕求()f x 的最小正周期； 〔2〕求()f x 在[]0,π上单调递增区间.【答案】(1)T π=；〔2〕递增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】〔1〕由三角恒等变换的公式，化简()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用周期的公式，即可求解；〔2〕令222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，求得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，又由由[0,]x π∈，即可求解函数的单调递增区间．【详解】〔1〕由题意，函数3()2sin 2sin 22f x x x x =+-=1sin 22sin 223x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 所以()f x 的最小正周期为22T ππ==． 〔2〕令222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 由[0,]x π∈，得()f x 在[0,]π上单调递增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】此题主要考察了三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式化简函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，a =223b c bc +=+.〔1〕求角A 的大小；〔2〕求sin b C ⋅的最大值.【答案】(1)3A π=. (2)32. 【解析】【分析】〔1〕由余弦定理可得：cosA=2222b c a bc+-=332bc bc +-=12，即可得出． 〔2〕由正弦定理可得：可得b=asinB sinA ，可得bsinC=2sinBsin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭=26sin B π⎛⎫- ⎪⎝⎭+12，根据B∈203π⎛⎫ ⎪⎝⎭，即可得出．【详解】(1)由223a b c bc =+=+，得222231222b c a bc a bc bc +-+-==.详解答案 即1cos 23A A π=⇒=. (2)由正弦定理，得sin 2sin sin a b B B A ==， sin 2sin sin 2sin sin 3b C C B C C π⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭.2111sin cos cos2sin 22262C C C C C C π⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭， ∴当3C π=时，sin b C 获得最大值32. 【点睛】此题考察了正弦定理余弦定理、三角函数求值，考察了推理才能与计算才能，属于中档题． 20.n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，42a =，21252S =-. 〔1〕求n a ；〔2〕设12n n T a a a =+++，求n T .【答案】〔1〕102n a n =-；〔2〕229,15940,6n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩【解析】【分析】〔1〕由等差数列的通项公式和前n 项和公式，根据题设条件，联立方程组，求得1,a d 的值，即可得到数列的通项公式；〔2〕由〔1〕102n a n =-，可得当15n ≤≤时，0n a ≥，当6n ≥时，0n a <，分类讨论，即可求解． 【详解】〔1〕由4132a a d =+=，及21121210252S a d =+=-， 联立解得18a =，2d =-，所以1(1)102n a n d a n ==--+．〔2〕由〔1〕102n a n =-，可得当15n ≤≤时，0n a ≥，当6n ≥时，0n a <，所以当15n ≤≤时，1229n n n a a a T S n n =++=+=-，当6n ≥时，12567252940()()n n n a a a a S a n a T S n =+++-++=-+=-++，所以229,15940,6n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩．【点睛】此题主要考察了等差数列的通项公式的根本量的运算，以及等差数列中绝对值的和的求解，其中解答中熟记等差数列的通项，以及合理分类讨论是解答的关键，着重考察了分类讨论思想，以及推理与运算才能，属于根底题．21.如图，在ABC △中，3Bπ=，2BC =，点D 在边AB 上，AD DC =，DE AC ⊥，E 为垂足.〔1〕假设BCD 的面积为3，求CD 的长；〔2〕假设2DE =，求角A 的大小.【答案】〔1〔2〕π4【解析】分析：第一问利用三角形的面积公式，求出BD ，再用余弦定理求CD ；第二问先求CD ，在BCD ∆中，由正弦定理可得sin sin BC CD BDC B=∠，结合2BDC A ∠=∠，即可得结论.详解：(1)由得S △BCD ＝12BC ·BD ·sin B BC ＝2，sin B BD ＝23，cos B ＝12．在△BCD中，由余弦定理，得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos B ＝22＋23⎛⎫ ⎪⎝⎭2－2×2×23×12＝289．∴CD ＝3．(2)∵CD ＝AD ＝sin 2sin DE A A =，在△BCD 中，由正弦定理，得sin sin BC CD BDC B =∠，又∠BDC ＝2A ，得2sin2A =cos A A ＝4π． 点睛：该题考察的是正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，在解题的过程中，只要对正余弦定理的内容以及三角形的面积公式可以熟记，就能求得结果.{}n a 的前n 项和为n S ，14a =且4n n a S λ=+.其中λ为常数.〔1〕求λ的值及数列{}n a 的通项公式；〔2〕记22111log log n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，假设不等式112(1)(25)02n n n n n T k n --⋅---⋅≤+对任意*n N ∈恒成立，务实数k 的取值范围. 【答案】〔1〕2λ=，()1*2n n a n N +=∈；〔2〕14k ≥ 【解析】【分析】 〔1〕由题意知4n n a S λ=+中，令1n =，求得2λ=，即24n n a S =+，所以1124n n a S ++=+两式相减整理得12n na a +=，利用等比数列的通项公式，即可求解． 〔2〕由〔1〕可得1221111log log 12n n n a ab n n +=⋅=-++，利用“裂项〞法求得2(2)n n T n =+，根据题设化简得1(1)(25)2n n n k ---≥对任意*n N ∈恒成立，记1(1)(25)()2n n n f n ---=，分n 为奇数和n 为偶数讨论，求得()f n 的最大值，即可求解．【详解】〔1〕由题意知4nn a S λ=+中，令1n =，得114a a λ=+，又14a =，解得2λ=， 即24n n a S =+，所以1124n n a S ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++-=，整理得12n na a +=， 数列{}n a 是以14a =，公比为2的等比数列，所以()1*2n n a n N +=∈．〔2〕由〔1〕可得12211111log log (1)(2)12n n n a a b n n n n +=⋅==-++++， 所以111111233412n T n n =-+-++-++11222(2)n n n =-=++，由112(1)(25)02n n n n n T k n --⋅---⋅≤+对任意*n N ∈恒成立， 得1(1)(25)2n n n k ---≥对任意*n N ∈恒成立， 记1(1)(25)()2n n n f n ---=，*n N ∈， 〔1〕当n 为偶数时，52()2n n f n -=， 假设4n ≥，那么()0f n <，又1(2)4f =，所以max 1()(2)4f n f ==. 〔2〕当n 为奇数时，25()2n n f n -=，那么2196(2)()2n n f n f n +-+-=， 假设5n ≥，n 为奇数，那么(2)()f n f n +≤，即(5)(7)(9)f f f ≥≥≥， 假设3n ≤，n 为奇数，那么(2)()f n f n +≥，即(5)(3)(1)f f f ≥≥，所以max 5()(5)32f n f ==， 综合〔1〕〔2〕知max 1()(2)4f n f ==， 所以实数k 的取值范围是14k≥. 【点睛】此题主要考察了等比数列的通项公式、及“裂项法〞求和、数列的单调性的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是根底，准确计算求和是关键，易错点是在“裂项〞之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考察考生的逻辑思维才能及根本计算才能等.．。
{高中试卷}高一数学下册期中考试试卷(8)[仅供参考]
![{高中试卷}高一数学下册期中考试试卷(8)[仅供参考]](https://img.taocdn.com/s3/m/96402dda52ea551811a68737.png)
20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：高一数学下册期中考试试卷数学一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 如果没有信息损失，下列那种统计图所有的原始数据都可以从图中得到（ ） A 条形统计图 B 扇形统计图 C 折线统计图 D 茎叶统计图2. 把二进制数10111化为八进制数，是（ ）A 23B 25C 27D 293.有20位同学，编号1至20，现从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样方法确定所抽取的编号为（ ）A 5,10,15,20B 2,6,10,14C 2,4,6,8D 5,8,11,144从甲、乙、丙、丁四人中选2个代表，则甲被选中的概率为（ ）A14B 13C 12D 345已知角α的终边上一点(3,4)(0)P a a a -<，则cos α=（ ）A 45±B 45C 45-D 356 如图,下列语句执行完后，,A B 的值各为（ ）A 10,6AB ==B 6,10A B ==C 4,6A B ==D 6,4A B ==7(,)2παπ∈且4cos 5α=-，则tan α=（） A 34-B 34C 43-D 438 甲、乙两人在相同条件下，射击10次，命中环数如下，甲：8,6,9,5,10,7,3,8,9,5；乙：7,6,5,8,6,9,7,8,7,7，则（ ）A 甲比乙的射击技术更稳定B 乙比甲的射击技术更稳定C 两人的射击技术一样稳定D 无法比较9将一枚质地均匀的硬币连续投掷4次,出现“2次正面朝上，2次反面朝上”的概率为（ ） A116B 18C 38D 5810 在面积为S 的ABC ∆内任取一点P ，则PBC ∆的面积小于4S的概率是（ ） A14B 34C 916D 716二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）(第14题)11 给出下面的程序语句，写出运行的结果若18x =，则输出_____________12 现有甲型电视机56台，乙型电视机42台，从中用分层抽样方法抽取一个容量为14的样本,则乙型电视机应抽取台13 化简22(1tan )cos αα+⋅= ______14如图，向正方形上随机投一颗黄豆，那么它落在正方形的内切园内的概率为________ 三、解答题（本大题共6小题，共54分.解答要求写出文字说明、证明过程或解题步骤） 15（本小题8分） 用秦九韶算法计算432()32423f x x x x x =+--+当2x =的值.16 （本小题8分）在甲、乙两个盒中分别装有标号为1,2,3,4的四个球，分别从两盒中各取1个球，记它们的标号分别为,x y（1） 试写出(,)x y 的所有结果 (2)求出x 与y 之和能被3整除的概率.17（本小题10分） 某校从参加高一年纪单元考试的学生中抽取出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40,50),[50,60),,[90,100]后画出如下部分频率分布直方图，观察图中的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补齐这个频率分布直方图； （2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格） （3）估计这次考试的平均分18．（本小题10分） 已知sin 2cos αα=求下列各式的值 （1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+（2）2212sin cos 45αα+19. （本小题10分）在[0,](2,t t >单位：秒）内的任何瞬间，两个信号等可能地进入收音机，若这两个信号的间隔时间小于2（单位：秒），则收音机将受到干扰，求收音机受到干扰的概率.20. （本小题8分）已知0απ<<且1sin cos 2αα-=，求22sin cos αα-的值.。
高一数学(下)期中考试数学(doc 8页)
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14.已知函数数列的通项公式为.当取得最小值时，的所有可能取值集合为二.解答题(共90分)15.(14分)已知△，内角A,B,C所对的边分别为，且满足下列三个条件：①②③求(1) 内角和边长的大小；(2)△的面积.16(14分).设{a n}是公差大于．．．．0．的等差数列，b n＝，已知b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，⑴求证：数列{b n}是等比数列；⑵求等差数列{a n}的通项a n.17.(14分)某小区规划一块周长为(为正常数)的矩形停车场，其中如图所示的直角三角形内为绿化区域.且.设矩形的长，(1)求线段的长关于的函数表达式并指出定义域；(2)应如何规划矩形的长,使得绿化面积最大?18.(16分)一个公差不为零的等差数列{a n}共有100项，首项为5，其第1、4、16项分别为正项等比数列{b n}的第1、3、5项. 记{a n}各项和的值为S.⑴求S (用数字作答)；⑵若{b n}的末项不大于，求{b n}项数的最大值N；⑶记数列,.求数列的前项的和.19.(16分)已知函数.(1) 若, 解不等式;(2) 若, 解关于的不等式;(3) 若时,恒成立.求实数的取值范围.20.(16分)已知，数列的首项.(1) 比较的大小(2) 判断并证明数列是否能构成等比数列?(3)若, 求证：参考答案一填空题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.9. 10. 11. 12. 13. 14.二解答题16.(1)证明: 设{}的公差为.为常数,又>0.即为以为首项,公比为的等比数列.-------------------------------------6分(2) 由得,,由公比为所以, 所以------------------------------------------------------------------12分所以, 即--------------------------------------14分15. (1) 由，所以,又, 即----------------------------------------------6分(2),--------------------------------------------------------------------------------8分,得,--------------------------------------12分-------------------------------------------------------------------------14分17.解(1)由,得设,因为,,得,所以,定义域为-----------------------------7分(2) ---------------------------------------------------9分因为,仅当时取等号. 又所以,此时AB=---------------------------------------------13分答: 当矩形的长为时,绿化面积最大.--------------------------------------------------------1 4分18.解(1)设的公差为(),由成等比数列,得. 所以()-----------------------------------------------------------------6分（2）由，所以由，所以的最大值为12.又，所以时，所以.------------------------------------12分(3)得=------------------------------------16分19.（1）-------------------------------------------------------------------------------------2分(2) 时---------------------------------------------------------------------------4分当,; --------------------------------------------------------------------------6分当---------------------------------------------------------8分(3) 由题意：任意的成立当时，不等式显然成立-----------------------------------------------------------------------10分当，即综上：------------------------------------------------------------------16分20.（1）由,依次递推得,.所以.---------------------------------------4分(另证:若存在使得,则,又与矛盾)(2)若为等比数列,设公比为,则为常数,所以即.所以不能为等比数列.--------------------------------------------------------------10分(3)因为,所以--------12分因为所以,即----------------------------16分。
新疆乌鲁木齐市第八中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)
乌鲁木齐市第八中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学（考试时间：120分钟卷面分值：150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设，向量，且，则( )A. B. C. D.2. 已知非零向量，若，则与的夹角为（）AB.C. D.3.复数的共轭复数为（）A. B. C. D.4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. πB. 2πC. 4πD. 8π5. 函数与在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）A. B..,x y R∈()()(),1,1,,2,4a xb y c===,//a cb c⊥a b+=10()(,0,a t b→→==-4a b→→⋅=-2a b→→+b→π3π2π62π312i34i+-12i55--12i55-+12i55-12i55-2logy x=112xy+⎛⎫= ⎪⎝⎭C. D.6. 体积为27的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）A. B.C. D. 7. 已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（ ）A. 重心、外心、垂心B. 外心、重心、垂心C. 重心、外心、内心D. 外心、重心、内心8. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如图）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《论球与圆柱》中记录了一个被后人称作“Archimedes’ Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面积（如上图，这里的表面积不含底面的圆的面积）.某同学制作了一个工艺品，如下图所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），即一个球去掉了6个球冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为，则该工艺品的表面积为（ ）A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 下列命题错误的是（ ）A.若A 、B 、C 是平面内的三点，则B. 若、两个单位向量，则C.若、是任意两个向量，则是12π32π318π27πO N P 、、ABC V OA OB OC == 0NA NB NC ++=PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅O N P 、、ABC V 2πRh =2π()34π-()17π-16π12πAB AC BC-=1e 2e 12e e = a ba b a b+<+D. 向量，可以作为平面内所有向量的一组基底10. 计算下列各式值，其结果为1的有（ ）A. B. C.D. 11. 设复数，其中i 为虚数单位，则下列正确的是（ ）A.若，则B.若，则3C. 方程在复数集中有6个解D. 若，，则三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分.12. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b，c =3，则A =_________.13. 如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF 拼成的一个较大的等边三角形，若，，则的面积为________．14. 已知，，，，则向量在向量上的投影向量为______（用坐标表示）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 如图，在棱长为3的正方体中，分别为棱的中点．的1(0,1)e =2(1,2)e =- ()cos 401︒︒112cos80⎛- ︒⎝2cos 20-︒4sin18sin 54︒︒⋅()i ,R z a b a b =+∈()2i z ⋅+=2z z ⋅=1z =1z -2560z z -+=0a =1b =2320101z z z z +++⋅⋅⋅+=ABC 3AF =sin ACF ∠=DEF V (2,1)A -(1,2)B (0,2)C -(3,1)D -ABCD 1111ABCD A B C D -,P Q 1,BC CC（1）证明：；（2）求三棱锥的体积．16. 在中，；条件②，两个条件中，选出一个作已知，解答下面问题.（1）若，求的面积；（2）若为锐角三角形，求的取值范围.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.17. 如图所示，甲乙两人站在同一水平面上，与缆车在同一铅垂平面内且相距50米．假设甲､乙两人的视线处于同一水平线且缆车处于静止状态，甲处观察缆车的仰角为，乙处观察缆车的仰角为，甲处观察缆车的仰角为，乙处观察缆车的仰角为．（1）求缆车相对甲乙所在水平面的高度；（结果用表示）（2）若测得，求缆车之间距离．18. 在中，过重心G 的直线与边交于P ，与边交于Q ，点P ，Q 不与B ，C 重合.设面积为，面积为，，.（1）求；（2）求证：；（3）求的取值范围.为的1//AD PQ 1A B QP -ABC V b =cos sin B b C =22cos a c b C -=2a =ABC V ABC V a c +,A B A αA βB θB δA ,αβ60,30,45,75αβθδ==== ,A B ABC V AB AC APQ △1S ABC V 2S AP xPB =AQ yQC =GA GB GC ++111x y+=12S S19. 已知函数，其中常数．（1）在上单调递增，求的取值范围；（2）若，将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，且过，若函数在区间（，且）满足：在上至少含30个零点，在所上满足上述条件的中，求的最小值；（3）在（2）问条件下，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．()4sin cos122xxf x ωω=+0ω>()y f x =3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ω4ω<()y f x =3π()y g x =,16πP ⎛⎫⎪⎝⎭()g x [,]a b a b ∈R a b <()y g x =[,]a b [,]a b b a -,612ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()()210g x mg x --≤m乌鲁木齐市第八中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学简要答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】A二、多选题：本题共3小题，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.【9题答案】【答案】ABC【10题答案】【答案】AD【11题答案】【答案】ABC三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分.【12题答案】【答案】75【13题答案】【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）证明略 （2）【16题答案】【答案】（1）面积为（2）【17题答案】【答案】（1）（2）米【18题答案】【答案】（1）（2）证明略 （3）【19题答案】【答案】（1）；（2）；（3）．(1,1)-278(6,50tan tan tan tan αβαβ-2541,92⎡⎫⎪⎢⎣⎭203ω<≤433π83m ≥。
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高一数学下册期中考试
高 一 数 学 Ⅰ卷
（时间120分钟 ） 命题：泉州一中考试命题中心
审核：泉州一中考试命题中心
一、单项选择题（请把选项代号填入Ⅱ卷相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．，每题5分。
本题满分75分） 1．0
sin 210=( ) A ．
21 B ．21- C ．23 D ．2
3
- 2.已知AM 是ABC ∆的BC 边上的中线，若→
-AB =→
a 、=→
-AC →
b ，则→
-AM 等于( )
A.)(21→→-b a
B.)(21→
→--b a
C.)(21→→+b a
D.)(2
1→→+-b a 3.函数)4
3sin(π
-
=x y 图象的一个对称中心是（ ）
A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-
0,12π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,127π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0,127π D ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,1211
π 4.如果点)cos ,(tan θθP 位于第三象限，那么角θ所在象限是（ ） A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 5．给出命题
（1）零向量的长度为零，方向是任意的. （2）若a ，b 都是单位向量，则a ＝b . （3）向量AB 与向量BA 相等.
（4）若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线. 以上命题中，正确命题序号是( )
A.（1）
B.（2）
C.（1）和（3）
D.（1）和（4）
6.在四边形ABCD 中，如果0AB BC = ，AB DC =，那么四边形ABCD 的形状是( ) A. 直角梯形 B.菱形 C.正方形 D. 矩形
7.设02x π≤≤,sin cos x x =-, 则( ) A. 0x π≤≤ B.
74
4x π
π≤≤
C.544x ππ≤≤
D.322
x ππ≤≤ 8.若角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，终边为射线430(0)x y x +=>，则
2sin cos (cos tan )αααα++的值是（ ）
A.
15 B. 25 C. 85 D. 95
9.在△ABC 中，若sin 2cos sin C A B =，则此三角形必是( )
A.等腰三角形
B.正三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形 10．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫
=-
⎪3⎝⎭
的图象（ ） A ．向右平移
π
6个单位 B ．向右平移
π
3个单位 C ．向左平移π
3
个单位
D ．向左平移π
6
个单位
11．已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a ( )
A ．1
B
C ．2
D ．4
12．设A （a,1）, B(2,b), C(4,5)为坐标平面上的3个点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（ ）
A ．5a —4b=3
B ．4a —5b=3
C ．5a +4b=14
D ．4a +5b=14
13．函数6cos 6sin 42-+=x x y )3
23(ππ≤≤-x 的值域是（ ）
A ．[]0,6-
B ．]4
1,0[ C ．]41
,12[-
D ．]4
1
,6[-
14.定义在R 上的函数()f x 既是偶函数，又是周期函数. 若()f x 的最小正周期π且当
[0,
]2x π
∈时，()sin f x x =，则5(
)3
f π=（ ）
A ．12
- B ．12
C
．2
D
2
15．定义运算⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡df ce bf ae f e d c b a ，如⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡1514543021。
已知πβα=+，2π
βα=-，则=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢
⎣⎡ββααααsin cos sin cos cos sin ( ) A ．00⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．01⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．10⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．11⎡⎤⎢⎥⎣⎦
二、填空题(本题共有5小题．请把结果直接填写在Ⅱ卷上．．．．．．．．．．．．，每题填对得4分，否则一律是零分．本题满分20分.)
16．已知扇形的圆心角为0
120，半径为3，则扇形的面积是 ； 17.已知(3a =，1)，(sin b α=，cos )α，且a ∥b ，则
4sin 2cos 5cos 3sin αα
αα
-+＝ ；
18.1tan 、2tan 、3tan 的大小顺序是 ；(用“<”联结). 19.已知函数()2cos f x x ω= (0ω>)在区间[,]34
ππ
-上的最小值是2-，则ω的最小值是_______；
20．若()sin()sin()44
f x a x b x π
π
=+
+-（0ab ≠）是偶函数，则有序实数对（,a b ）可以是 ．（写出你认为正确的一组数即可）
三、解答题（本题共6小题，其中21至25题为必做题，共55分；26题为附加题，共10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
） 21．（本小题10分） 已知函数()sin(),(0,
0,,)2
f x A x A x R π
ωϕωϕ=+>><
∈的图象
的一部分如下图所示.(Ⅰ)求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）写出此函数的初相、对称轴。
22. （本小题10分）已知ABC △顶点的直角坐标分别为(34)A ，
，(01)B ，，(0)C c ，． (Ⅰ)若5c =，求sin A ∠的值； （Ⅱ）若A ∠是锐角，求c 的取值范围．
23．（本小题10
分）已知sin )(0,)2
πααβαβ=-=∈且、 (Ⅰ)求α2tan 的值;（Ⅱ）求β.
24.（本小题12分）设a 、b
是两个不共线的非零向量（t ∈R ）
(Ⅰ)若|a |=|b |=2且a 与b 夹角为120°，那么t 为何值时，|a
－t b |的值最小？
y x
（Ⅱ）若a 与b 起点相同，t 为何值时，a ，t b ，14
（a +b
）三向量的终点在一直线上？
25．（本小题13分）已知O 为坐标原点，2(2sin ,),(1,cos 1)OA a x a OB x x ==-+，
()f x OA OB b =+（0a ≠）
(Ⅰ) 求()y f x =的单调递减区间；
（Ⅱ）若()f x 的定义域为[0,2
π
]，值域为[2，5],求,a b 的值。
26．附加题(要求实验班必作，平行班选作)
（本题满分10分）如果cos 24sin 430m m θθ+--<对任意的θ总成立，求常数m 的取值范围。
泉州一中2008—2009学年度第二学期期中试卷
高一数学Ⅱ卷
一、选择题（把选项代号填入下表，每题5分。
满分75分）
二、填空题(本题共有4小题．只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律是零分．本题满分20分.)
16. 17. 18．
19. 20.
三、解答题（本题共6小题，其中21至25题为必做题，共55分；26题为附加题，共10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．）
21．(本小题10分)
22．(本小题10分)
23．(本小题10分) 24．(本小题12分)
25．(本小题13分)
26．(本小题10分)（附加题）
泉州一中2008—2009学年度第二学期期中试卷参考答案一、选择题
二、填空题 16.3π 17.5
7
18．Tan2<tan3<tan1 19.3 20.(1,-1) 等 三、解答题
21．(本小题10分)
解：（Ⅰ）所求函数解析式()sin()44
f x x π
π
=+
（Ⅱ）初相为
84
π
分 对称轴为41x k k z =+∈
22．(本小题10分) ∴si n ∠A
（Ⅱ）∴c 的取值范围是7c <且1c ≠-；
23．(本小题10分) 解：（Ⅰ）
4
tan 23α=
（Ⅱ） 4
π
β=
24．(本小题12分)
（Ⅰ）∴t=-2
1时，|a
－t b
|
（Ⅱ）t=13
时，a
、t b 、31(a +b )终点在一直线上
25．(本小题13分)
解：
()
2sin(2)26
f x a a b π
=--⨯+++
（Ⅰ）当0a >时
∴所求()f x 的单减区间为,36k k k z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦ …分
当0a <时 所求()f x 的单减区间为2,86
3k k k z π
πππ⎡⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
分
（Ⅱ） 12a b =⎧⎨
=⎩ 和 1
5
a b =-⎧⎨=⎩
26．(本小题10分)（附加题） m 的取值范围是),21(∞+-。