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F
G O
F
将这些阻力向A点简 化，可得一主矢和 一主矩
A
G O
Ff
Mf
FR 可向 x, y 方向分解 F f (切向), FN (法向)
FN 理想约束力, F f 具有滑动摩擦力的性质 , M f 滚动阻力偶矩 , 为滚动摩擦所特有
FN
FR
讨论： （1）主动力 F 由零逐步增大，而圆柱体处于平衡状态，由 平面任意力系的平衡方程，有：
联立以上四式
q
q
q
q
q
G0 ( 0 ) 2G F 2r
例4-8
已知：M A 40N m , f s 0.3 , 各构件自重不计，
尺寸如图；
求：保持系统平衡的力偶矩 M C .
解： 设 M C M C1 时，系统即将逆时针方向转动
画两杆受力图.
(a)
(b)
M A 0
轮心 O 处水平推力 Fmin （1） f D 0.3 (轮，地面间）， （2） f D 0.15 （轮，地面间），轮心 O 处水平推力 Fmin .
解：F 小于某值，轮将向右滚动.
C , D 两处有一处摩擦力达最大值，系统即将运动.
(1) 先设 C 处摩擦力达最大值，取杆与轮.
M A 0
y
G
C
FsA fs A FAy 75 N
FsB fs B FBy 75 N
FAx A
FAy
FBy
B
FBx
x
(a)
脚端A与B的摩擦力均小于极限静摩擦力，可见折梯处 于平衡的假定成立。
4-3 滚动摩擦Rolling Friction
滚动摩擦产生的原因：重为G的圆柱体沿水平面运动时，因 为二者间的局部变形引起一种阻碍圆柱体与平面相对运动的 阻力，如图
FBy 0.25G 125 N
C
G
F
i 1
n
iy
0
FAx A
FAy
B
FAy FBy G 0
FAy G FBy 375 N
(a)
FBy
FBx
x
以杆 BC 为对象，由于 不计杆件的重量，该杆 为二力杆，即摩擦力与 理想约束力的合力与铰 C 的约束力均沿杆的轴 线。由图b 的矢量几何 ，有 ：
求： 使物块静止， 水平推力F 的大小．
分析 物块位于斜面上，有向下滑动的趋势。 施以水平阻力时，可能出现两种情况： • 阻力较小，摩擦力阻止其向下运动 • 阻力较大，摩擦力阻止其向上运动
解： 使物块有上滑趋势时， 推力为 F1
画物块受力图
Fx 0, Fy 0,
FS1 f s FN 1
y
C
G
FC
(b)
FAx A
FAy
FBy
B
FBx
x
FBx FBy tan30 72.17 N
(a)
FBy
FBx FB
再以整体为对象，有平衡方程
F
i 1
n
ix
0
FAx FBx 0
FAx FBx 72.17 N
下面判断系统是否处于静平衡 脚端A 与B 的极限静摩擦力分别为 ：
F f Fmax , 圆柱体开始滑动 M f M max , 若 F 再增大, 圆柱体开始滚动
Mf
FN
G O B
FR
实际上，由于滑动摩擦因子较大，圆柱 滚动前不会发生滑动，即
M f M m 时 Ff Fm , 我们称之为纯滚动
实验证明：
F
Ff
FR
FN
M m FN
F fFN
（库仑动摩擦定律）
f 动摩擦因子 f fs
§4-2
FRA
摩擦角
摩擦角和自锁现象
1 摩擦角Angle of friction F全约束力 物体处于临界平衡状态时，全 约束力和法线间的夹角最大 值． F f F max s N f s FN FN
t an f
摩擦角的正切=静滑动摩擦系数． 摩擦锥（角）
F1 FNA tan( ) P tan( )
解： 取整体分析，画受力图
Fy ห้องสมุดไป่ตู้ 0
FNA P 0
FNA P
设力 F 小于 F1 时， 楔块 A 向右运动 取楔块 A 分析 ，画受力图
F1 FNA tan( ) P tan( )
设力 F 大于 F2 时， 楔块 A 向左运动 取楔块 A 分析，画受力图
其中 称为滚阻系数, 量纲为长度单位, 其物理意义是将摩擦力
简化为纯主矢时, 简化中心B 到 A点的距离, 与接触物体的性质有关
[例4-3] 在搬运重物时常在下面垫些滚木，如图所示。重物重G0 ，滚木重G，半径为 r。滚木与重物和地面的滚阻因数分别为 0 和 。求将要拉动重物时的拉力 F。
F cos30o P sin30o Fs 0
F sin30o P cos30o FN 0
FN 1499N
Fs 403.6N (向上)
而
Fmax f s FN 299 .8N
物块处于非静止状态．
F fFN 269.8N , 向上．
例4-2 已知： P , , f s .
F1 cos P sin Fs1 0 F1 sin P cos FN1 0
F1
sin f s cos P cos f s sin
设物块有下滑趋势时，推力为 F2
画物块受力图
Fx 0,
Fy 0,
F2 cos P sin Fs 2 0
F2 FNA tan( ) P tan( )
P tan( ) F P tan( )
例4-10
o 60 时， r ,l , 已知：均质轮重 P 100N , 杆无重，
求：若要维持系统平衡
l AC CB ; FB 50N , f C 0.4 （杆，轮间） 2
[例4-2]图示一折叠梯放在地面上，与地面的夹角 60 。脚端A与B和地 f sA 0.2, f sB 0.6 。在折叠梯的AC侧的中点处有 面的摩擦因数分别为 一重为500N的重物。不计折叠梯的重量，问它是否平衡？如果平衡，计算 两脚与地面的摩擦力。 y
处理此类问题时首先假定系 统为平衡。由于系统不一定处 于静摩擦的临界情况，可通过 平衡方程求得这些未知的静摩 擦力。所得的结果必须与极限 静摩擦力进行比较，以确认上 述系统平衡的假定是否成立。
画两杆受力图.
M A 0
FN 2 AB M A 0
M C 0
2 l sin 60o Fs2 l cos60o 0 M C 2 FN
(d)
2 又 Fs2 Fs 2 f s FN 2 f s FN
M C 2 49.61N m
系统平衡时
以左滚木为对象。将滚动摩擦 力按纯主矢的方式简化，受力 情况如图所示。对点A取矩
M Az ( Fi ) 0
n i 1
y
q
G G 00
F
x
O
G
Ff 1 q FN1
qq
q q
Ff 2
FN1 ( 0 ) 2Ff 1r G 0 0
FNC
l FNC FB l 0 2 100N
FC FC max fC FNC 40N
用几何法求解
解: 物块有向上滑动趋势时
F1max P tan( )
物块有向下滑动趋势时
F1min P tan( )
P tan( ) F P tan( )
利用三角公式与
P
tan f s ,
sin f s cos sin f s cos FP cos f s sin cos f s sin
F2 sin P cos FN 2 0
Fs 2 f s FN 2
sin f s cos F2 P cos f s sin
sin f s cos sin f s cos F2 PF P F1 cos f s sin cos f s sin
49.61N m M C 70.39N m
例4-9
已知：力 P ，角 ，不计自重的 A , B 块间的
静摩擦系数为 ， fs
其它接触处光滑；
求： 使系统保持平衡的力 F 的值.
解： 取整体分析，画受力图
Fy 0
FNA P 0
FNA P
设力 F 小于 F1 时， 楔块 A 向右运动 取楔块 A 分析 ，画受力图
以右滚木为对象。受力情况如图 所示。对点B取矩
M Bz ( Fi ) 0
n i 1
G
q
FN 2
q
FN 3 A Ff 3
q
0
G
q q
FN 4
B 0
Ff 1 q FN1 Ff 4
G
q G
Ff 2
FN 2
FN 2 ( 0 ) 2Ff 2 r G 0 0
FN1 AB M A 0
M C 0
1 l sin 60o Fs1 l cos60o 0 MC1 FN
又
1 Fs1 Fs1 f s FN1 f s FN
M C1 70.39N m
设 M C M C 2 时，系统有顺时针方向转动趋势
1
Theoretical Mechanics
2
《摩擦学》
1.凹凸啮合说 2.旧摩擦粘附说 3.新摩擦粘附说 4.现代摩擦理论
摩擦
滑动摩擦 滚动摩阻 干摩擦 湿摩擦
静滑动摩擦 动滑动摩擦
摩擦
§4-1滑动摩擦
Sliding Friction
两个相互接触的物体，当接触面之间存在相对运动的趋势 或发生相对运动时，彼此有阻碍滑动的机械作用，这种机械作 用称为滑动摩擦力。
0 f
2 自锁现象Self-locking
3 测定摩擦系数的一种简易方法，斜面与螺纹自锁条件
tan tan f f s
斜面自锁条件
螺纹自锁条件
f
f
§4-3考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面基本 相同． 几个新特点 1. 画受力图时，必须考虑摩擦力；
y
以整个系统为对象
受力情况如图。有平衡方程 ：
q
G G 00
F
x
O
G
Fix 0
i 1
n
Ff 1 q FN1
qq
q q
F Ff 1 Ff 2
Ff 2
G
q q
FN 2
q
F
i 1
n
q q
iy
0
FN1 FN 2 G0 2G
这里共有5个未知量，再加一个力矩方程也无法求解。需 增加方程。
Fx 0 FT Fs 0 Fs FT
静滑动摩擦力的特点 1 方向：沿接触处的公切线， 与相对滑动趋势反向； 2 大小： 0 Fs Fmax
3 Fmax f s FN（库仑静摩擦定律）
fs FN 静摩擦因子 接触物体间的正压力
动滑动摩擦的特点 1 方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向； 2 大小：
令脚端A与B的理想约束力分别为
G
C
FAx A
FAy
FBy
B
FBx
x
FAy 与 FBy
静摩擦力分别为
FAx 与 FBx
(a)
以整体为对象，令等边三角形的边长为 b，建立如图参考基，有平衡方程
M Az ( Fi ) 0
n i 1
y
bFBy 0.25bG 0
2.严格区分物体处于临界、非临界状态；
3.因 0 Fs Fmax 内． ，问题的解有时在一个范围
例4-1
已知： P 1500N , f s 0.2 , f 0.18 , F 400N 求： 物块是否静止，摩擦力的大小和方向．
解：
取物块，画受力图，设物块平衡
Fx 0
Fy 0
F
G O A
F
i 1 n
n
ix
0 Ff F 0 FN G
Ff
Mf
F
i 1 n i 1
iy
FN
FR
M Oz ( Fi ) 0 M f Fr ( r 为圆柱体半径)
（ 2）
F , Ff , M f
F
A
G O
Ff
G O
F
将这些阻力向A点简 化，可得一主矢和 一主矩
A
G O
Ff
Mf
FR 可向 x, y 方向分解 F f (切向), FN (法向)
FN 理想约束力, F f 具有滑动摩擦力的性质 , M f 滚动阻力偶矩 , 为滚动摩擦所特有
FN
FR
讨论： （1）主动力 F 由零逐步增大，而圆柱体处于平衡状态，由 平面任意力系的平衡方程，有：
联立以上四式
q
q
q
q
q
G0 ( 0 ) 2G F 2r
例4-8
已知：M A 40N m , f s 0.3 , 各构件自重不计，
尺寸如图；
求：保持系统平衡的力偶矩 M C .
解： 设 M C M C1 时，系统即将逆时针方向转动
画两杆受力图.
(a)
(b)
M A 0
轮心 O 处水平推力 Fmin （1） f D 0.3 (轮，地面间）， （2） f D 0.15 （轮，地面间），轮心 O 处水平推力 Fmin .
解：F 小于某值，轮将向右滚动.
C , D 两处有一处摩擦力达最大值，系统即将运动.
(1) 先设 C 处摩擦力达最大值，取杆与轮.
M A 0
y
G
C
FsA fs A FAy 75 N
FsB fs B FBy 75 N
FAx A
FAy
FBy
B
FBx
x
(a)
脚端A与B的摩擦力均小于极限静摩擦力，可见折梯处 于平衡的假定成立。
4-3 滚动摩擦Rolling Friction
滚动摩擦产生的原因：重为G的圆柱体沿水平面运动时，因 为二者间的局部变形引起一种阻碍圆柱体与平面相对运动的 阻力，如图
FBy 0.25G 125 N
C
G
F
i 1
n
iy
0
FAx A
FAy
B
FAy FBy G 0
FAy G FBy 375 N
(a)
FBy
FBx
x
以杆 BC 为对象，由于 不计杆件的重量，该杆 为二力杆，即摩擦力与 理想约束力的合力与铰 C 的约束力均沿杆的轴 线。由图b 的矢量几何 ，有 ：
求： 使物块静止， 水平推力F 的大小．
分析 物块位于斜面上，有向下滑动的趋势。 施以水平阻力时，可能出现两种情况： • 阻力较小，摩擦力阻止其向下运动 • 阻力较大，摩擦力阻止其向上运动
解： 使物块有上滑趋势时， 推力为 F1
画物块受力图
Fx 0, Fy 0,
FS1 f s FN 1
y
C
G
FC
(b)
FAx A
FAy
FBy
B
FBx
x
FBx FBy tan30 72.17 N
(a)
FBy
FBx FB
再以整体为对象，有平衡方程
F
i 1
n
ix
0
FAx FBx 0
FAx FBx 72.17 N
下面判断系统是否处于静平衡 脚端A 与B 的极限静摩擦力分别为 ：
F f Fmax , 圆柱体开始滑动 M f M max , 若 F 再增大, 圆柱体开始滚动
Mf
FN
G O B
FR
实际上，由于滑动摩擦因子较大，圆柱 滚动前不会发生滑动，即
M f M m 时 Ff Fm , 我们称之为纯滚动
实验证明：
F
Ff
FR
FN
M m FN
F fFN
（库仑动摩擦定律）
f 动摩擦因子 f fs
§4-2
FRA
摩擦角
摩擦角和自锁现象
1 摩擦角Angle of friction F全约束力 物体处于临界平衡状态时，全 约束力和法线间的夹角最大 值． F f F max s N f s FN FN
t an f
摩擦角的正切=静滑动摩擦系数． 摩擦锥（角）
F1 FNA tan( ) P tan( )
解： 取整体分析，画受力图
Fy ห้องสมุดไป่ตู้ 0
FNA P 0
FNA P
设力 F 小于 F1 时， 楔块 A 向右运动 取楔块 A 分析 ，画受力图
F1 FNA tan( ) P tan( )
设力 F 大于 F2 时， 楔块 A 向左运动 取楔块 A 分析，画受力图
其中 称为滚阻系数, 量纲为长度单位, 其物理意义是将摩擦力
简化为纯主矢时, 简化中心B 到 A点的距离, 与接触物体的性质有关
[例4-3] 在搬运重物时常在下面垫些滚木，如图所示。重物重G0 ，滚木重G，半径为 r。滚木与重物和地面的滚阻因数分别为 0 和 。求将要拉动重物时的拉力 F。
F cos30o P sin30o Fs 0
F sin30o P cos30o FN 0
FN 1499N
Fs 403.6N (向上)
而
Fmax f s FN 299 .8N
物块处于非静止状态．
F fFN 269.8N , 向上．
例4-2 已知： P , , f s .
F1 cos P sin Fs1 0 F1 sin P cos FN1 0
F1
sin f s cos P cos f s sin
设物块有下滑趋势时，推力为 F2
画物块受力图
Fx 0,
Fy 0,
F2 cos P sin Fs 2 0
F2 FNA tan( ) P tan( )
P tan( ) F P tan( )
例4-10
o 60 时， r ,l , 已知：均质轮重 P 100N , 杆无重，
求：若要维持系统平衡
l AC CB ; FB 50N , f C 0.4 （杆，轮间） 2
[例4-2]图示一折叠梯放在地面上，与地面的夹角 60 。脚端A与B和地 f sA 0.2, f sB 0.6 。在折叠梯的AC侧的中点处有 面的摩擦因数分别为 一重为500N的重物。不计折叠梯的重量，问它是否平衡？如果平衡，计算 两脚与地面的摩擦力。 y
处理此类问题时首先假定系 统为平衡。由于系统不一定处 于静摩擦的临界情况，可通过 平衡方程求得这些未知的静摩 擦力。所得的结果必须与极限 静摩擦力进行比较，以确认上 述系统平衡的假定是否成立。
画两杆受力图.
M A 0
FN 2 AB M A 0
M C 0
2 l sin 60o Fs2 l cos60o 0 M C 2 FN
(d)
2 又 Fs2 Fs 2 f s FN 2 f s FN
M C 2 49.61N m
系统平衡时
以左滚木为对象。将滚动摩擦 力按纯主矢的方式简化，受力 情况如图所示。对点A取矩
M Az ( Fi ) 0
n i 1
y
q
G G 00
F
x
O
G
Ff 1 q FN1
q q
Ff 2
FN1 ( 0 ) 2Ff 1r G 0 0
FNC
l FNC FB l 0 2 100N
FC FC max fC FNC 40N
用几何法求解
解: 物块有向上滑动趋势时
F1max P tan( )
物块有向下滑动趋势时
F1min P tan( )
P tan( ) F P tan( )
利用三角公式与
P
tan f s ,
sin f s cos sin f s cos FP cos f s sin cos f s sin
F2 sin P cos FN 2 0
Fs 2 f s FN 2
sin f s cos F2 P cos f s sin
sin f s cos sin f s cos F2 PF P F1 cos f s sin cos f s sin
49.61N m M C 70.39N m
例4-9
已知：力 P ，角 ，不计自重的 A , B 块间的
静摩擦系数为 ， fs
其它接触处光滑；
求： 使系统保持平衡的力 F 的值.
解： 取整体分析，画受力图
Fy 0
FNA P 0
FNA P
设力 F 小于 F1 时， 楔块 A 向右运动 取楔块 A 分析 ，画受力图
以右滚木为对象。受力情况如图 所示。对点B取矩
M Bz ( Fi ) 0
n i 1
G
q
FN 2
q
FN 3 A Ff 3
q
0
G
q q
FN 4
B 0
Ff 1 q FN1 Ff 4
G
q G
Ff 2
FN 2
FN 2 ( 0 ) 2Ff 2 r G 0 0
FN1 AB M A 0
M C 0
1 l sin 60o Fs1 l cos60o 0 MC1 FN
又
1 Fs1 Fs1 f s FN1 f s FN
M C1 70.39N m
设 M C M C 2 时，系统有顺时针方向转动趋势
1
Theoretical Mechanics
2
《摩擦学》
1.凹凸啮合说 2.旧摩擦粘附说 3.新摩擦粘附说 4.现代摩擦理论
摩擦
滑动摩擦 滚动摩阻 干摩擦 湿摩擦
静滑动摩擦 动滑动摩擦
摩擦
§4-1滑动摩擦
Sliding Friction
两个相互接触的物体，当接触面之间存在相对运动的趋势 或发生相对运动时，彼此有阻碍滑动的机械作用，这种机械作 用称为滑动摩擦力。
0 f
2 自锁现象Self-locking
3 测定摩擦系数的一种简易方法，斜面与螺纹自锁条件
tan tan f f s
斜面自锁条件
螺纹自锁条件
f
f
§4-3考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面基本 相同． 几个新特点 1. 画受力图时，必须考虑摩擦力；
y
以整个系统为对象
受力情况如图。有平衡方程 ：
q
G G 00
F
x
O
G
Fix 0
i 1
n
Ff 1 q FN1
q q
F Ff 1 Ff 2
Ff 2
G
q q
FN 2
q
F
i 1
n
q q
iy
0
FN1 FN 2 G0 2G
这里共有5个未知量，再加一个力矩方程也无法求解。需 增加方程。
Fx 0 FT Fs 0 Fs FT
静滑动摩擦力的特点 1 方向：沿接触处的公切线， 与相对滑动趋势反向； 2 大小： 0 Fs Fmax
3 Fmax f s FN（库仑静摩擦定律）
fs FN 静摩擦因子 接触物体间的正压力
动滑动摩擦的特点 1 方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向； 2 大小：
令脚端A与B的理想约束力分别为
G
C
FAx A
FAy
FBy
B
FBx
x
FAy 与 FBy
静摩擦力分别为
FAx 与 FBx
(a)
以整体为对象，令等边三角形的边长为 b，建立如图参考基，有平衡方程
M Az ( Fi ) 0
n i 1
y
bFBy 0.25bG 0
2.严格区分物体处于临界、非临界状态；
3.因 0 Fs Fmax 内． ，问题的解有时在一个范围
例4-1
已知： P 1500N , f s 0.2 , f 0.18 , F 400N 求： 物块是否静止，摩擦力的大小和方向．
解：
取物块，画受力图，设物块平衡
Fx 0
Fy 0
F
G O A
F
i 1 n
n
ix
0 Ff F 0 FN G
Ff
Mf
F
i 1 n i 1
iy
FN
FR
M Oz ( Fi ) 0 M f Fr ( r 为圆柱体半径)
（ 2）
F , Ff , M f
F
A
G O
Ff