第二章 推理与证明 章末复习 学案(含答案)

第二章推理与证明章末复习学案（含答案）
第二章第二章推理与证明推理与证明章末复习章末复习学习目标
1.理解合情推理与演绎推理的区别与联系，会利用归纳与类比推理进行简单的推理.
2.加深对直接证明和间接证明的认识，会应用其解决一些简单的问题1合情推理1归纳推理由部分到整体.由个别到一般的推理2类比推理由特殊到特殊的推理3合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察.分析.比较.联想，再进行归纳.类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理2演绎推理1演绎推理由一般到特殊的推理2“三段论”是演绎推理的一般模式，包括大前提已知的一般原理小前提所研究的特殊情况结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断3直接证明和间接证明1直接证明的两类基本方法是综合法和分析法综合法是从已知条件推出结论的证明方法分析法是从结论追溯到条件的证明方法2间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法1归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确2“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的3综合法是直接证明，分析法是间接证明4反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾类型一合情推理的应用例11有一个奇数列1,3,5,7,9，，现在进行如下分组
第一组含一个数1；第二组含两个数3,5；第三组含三个数7,9,11；第四组含四个数13,15,17,19；，试观察每组内各数之和并猜想fnnN与组的编号_________数n的关系式为________答案fnn3解析由于113，35823，79112733，131517196443，，猜想第n组内各数之和fn与组的编号_________数n的关系式为fnn
3.2在平面几何中，对于RtABC，ACBC，设ABc，ACb，BCa，则a2b2c2；cos2Acos2B1；RtABC的外接圆半径为ra2b22.把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明解选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则S21S22S23S
2.设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为，，，则cos2cos2cos2
1.设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球的半径为Ra2b2c2
2.下面对的猜想进行证明如图在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC，平面ABD，平面ACD为三
个两两垂直的侧面设ABa，ACb，ADc，则在RtABC中，BCAB2AC2a2b2，SRtABC12ab.同理，CDb2c2，
SRtACD12bc.BDa2c2，SRtABD12ac.SBCD14BC2BD214BC2BD2CD22.经检验，S2RtABCS2RtACDS2RtABDS2BC
D.即所证猜想为真命题反思与感悟1归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法2类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性跟踪训练1如图是由火柴棒拼成的图形，第n个图形由n个正方形组成通过观察可以发现
第4个图形中有________根火柴棒；
第n个图形中有________根火柴棒考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案133n1解析设第n个图形中火柴棒的根数为an，可知a4
13.通过观察得到递推关系式anan13n2，nN，所以an3n
1.类型二
综合法与分析法例2试用分析法和综合法分别推证下列命题已知0，，求证2sin2sin1cos.考点分析法和综合法的综合应用题点分析法和综合法的综合应用证明分析法要证2sin2sin1cos成立，只需证4sincossin1cos，0，，sin0，只需证4cos11cos，1cos0，4cos1cos1，可变形为4cos24cos10，只需证2cos120，显然成立综合法11cos41cos4，当且仅当cos12，即3时取等号，
4cos11cos.0，，sin0，4sincossin1cos，2sin2sin1cos.反思与感悟分析法和综合法是两种思路相反的推理方法分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于
难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件跟踪训练2设a0，b0，ab1，求证
1a1b1ab
8.试用综合法和分析法分别证明证明综合法因为a0，b0，
ab1，所以1ab2ab，ab12，ab14，所以1ab
4.又1a1bab1a1b2baab4，所以1a1b1ab8当且仅当ab12时等号成立分析法因为a0，b0，ab1，要证1a1b1ab8，只需证
1a1babab8，只需证1a1b1b1a8，即证1a1b
4.也就是证abaabb
4.即证baab2，由基本不等式可知，当a0，b0时，baab2恒成立，所以原不等式成立类型三
反证法例3已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn
2.1求数列an的通项公式；2求证数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列1解当n1时，a1S12a12，则a1
1.又anSn2，所以an1Sn12，两式相减得an112an，所以an是首项为1，公比为12的等比数列，所以an12n1nN2证明假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap1，aq1，ar1pqr，且p，q，rN，则212q12p12r，所以22rq2rp
1.*又因为pq2，求证1xy2或1yx2中至少有一个成立证明假设1xy2和1yx0且y0，所以1x2y且1y2x，两式相加，得
2xy2x2y，所以xy
2.这与已知xy2矛盾故1xy2与1yx0，b0，则有
A.b2a2ba
B.b2a2ba
C.b2a2ba
D.b2a2ba考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案C解析因为b2a2bab22aba2aba2a0，所以b2a2ba.5已知等差数列an的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S18，S220，S336，S465，后来该同学发现了其中一个数算错了，则算错的数应为________考点题点答案S456解析显然S1是正确的假设后三个数均未算错，则a18，a212，a316，a429，这四项不成等差数列，但可知前三项成等差数列，故a4有误，应为20，故S4算错了，S4应为
56.1归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明2演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性3直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法直接证明的两类基本方法是综合法和分析法综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用
间接证明的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.。