实数知识点总结及典型例题练习
八年级数学上册实数,实数知识点总结,典型题型归纳,同步练习题
第三课时：实数1．无理数1.1.无限不循环小数叫做无理数．如：2，π，0.1225486…等．1.2.判断方法：①定义是判断一个数是不是无理数的重要依据；②有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数的形式（两个整数的商）．1.3.常见的无理数：①含有开不尽方的数的方根的一类数，如3，35，1+2等；②含有π一类数，如5π，3+π等；③以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐渐加1）．2．实数的概念和分类2.1.概念：有理数与无理数统称为实数．2.2.实数按定义分类：2.3.按正负分类：3．实数与数轴3.1.实数与数轴上的点的对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的．即每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．3.2.在数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．4．相反数与绝对值4.1.相反数：数a 的相反数是-a ．4.2.绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即0||=000，，，a a a a a a ⎧>⎪=⎨⎪-<⎩．5．实数的运算实数运算的顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果遇到括号，则先进行括号里的运算．❖ 典型题型：无理数的判断1．判断一个数是不是无理数，必须看它是否同时满足两个条件：无限小数和不循环小数这两者缺一不可． 2．带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数． 【例1】0；3π227；1.1010010001…，无理数的个数是 A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【解析】因为0；2273π；1.1010010001…是无限不循环小数，所以无理数有3个，故选C ．❖ 典型题型：实数的概念和分类1．实数的分类有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏．2．对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类． 【例2】在5π152123140412316，，，，，.，，，----中，其中 是整数， 是无理数， 是有理数.【答案】0，41-；π55121231404132216，，，；，，.，，----【例3】将这些数按要求填入下列集合中：0.01001001…，4，122-，3.2，0，-1，-（-5），-|-5|，π2-．负数集合｛…｝；分数集合｛…｝； 非负整数集合｛…｝；无理数集合｛…｝．【解析】负数集合｛122-，-1，-|-5|，π2-…｝； 分数集合｛122-，3.2…｝；非负整数集合｛4，0，-（-5）…｝； 无理数集合｛0.01001001…，π2-…｝．❖ 典型题型：实数与数轴 两个实数比较大小：1．数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大；2．正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而小． 【例4】如图，数轴上点P 表示的数可能是A 7B ．7C ．–3.2D ．10【答案】B【解析】7 2.6510 3.16，设点P 表示的实数为x ，由数轴可知，–3<x <–2，∴符合题意的数为7B ．【例5】和数轴上的点成一一对应关系的数是A．自然数B．有理数C．无理数D．实数【答案】D【解析】数轴上的点不仅表示有理数，还表示所有的无理数，即实数与数轴上得点是一一对应的，故选D．【例6】已知实数m、n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断错误的是A．m<0 B．n＞0 C．n＞m D．n<m【答案】D【解析】由数轴上的点，得m<0<n，所以m<0，n＞0，n＞m都正确，即选项A，B，C判断正确，选项D 判断错误．故选D．【例7】已知数轴上A、B两点表示的数分别为–3和5，则A、B间的距离为__________．【答案】5+3【解析】A、B两点表示的数分别为–3和5，则A、B间的距离为5–（–3）=5+3，故答案为：5+3．【例8】如图，点A、B、C在数轴上，O为原点，且BO：OC：CA=2：1：5．（1）如果点C表示的数是x，请直接写出点A、B表示的数；（2）如果点A表示的数比点C表示的数两倍还大4，求线段AB的长．【解析】（1）∵BO：OC：CA=2：1：5，点C表示的数是x，∴点A、B表示的数分别为：6x，–2x；（2）设点C表示的数是y，则点A表示的数为6y，由题意得，6y=2y+4，解得：y=1，∴点C表示的数是1，点A表示的数是6，点B表示的数是–2，∴AB=8．❖ 典型题型：相反数与绝对值求一个有理数的相反数和绝对值与求一个实数的相反数和绝对值的意义是一样的，实数a 的相反数是-a ，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．【例9】2的相反数是A ．-2B ．2C ．D【答案】A【解析】根据相反数的定义可知：2的相反数是2-，故选A ．【例10】3-π的绝对值是A ．3-πB ．π-3C ．3D ．π【答案】B【解析】∵3−π<0，∴|3−π|=π−3，故选B ．【例11】A ．相反数B ．倒数C ．绝对值D ．算术平方根【答案】A【解析】A ．❖ 典型题型：实数的运算1．在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算性质、运算顺序、运算律等同样适用．2．在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算．【例12】计算下列各式：（1）221．【解析】（1-（2）原式21+1=．基础练习1．在下列实数中，属于无理数的是A ．0B C ．3D ．132．在13.140.231.131331333133331(3π-，，，，……每两个1之间依次多一个3)中，无理数的个数是 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个3的值在 A ．0和1之间B ．1和2之间C ．2和3之间D ．3和4之间4．下列四个数中，最小的一个数是A ．B 3-．C -．D π-．5 A ．3B ．3-1C 3． 1D 3-．6．下列说法中，正确的个数有①不带根号的数都是有理数；②无限小数都是无理数；③任何实数都可以进行开立方运算；④5不是分数． A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个7．下列各组数中互为相反数的一组是A．-|-2|与38-B．-4与-2(4)-C．-32与|32-| D．-2与28．如图，数轴上点P表示的数可能是A6B．7-C． 3.4-D．11 932-的相反数是__________，绝对值是__________．10．计算：325262+-=__________．115__________．12313=__________7（17=__________．13．把下列各数填入相应的集合内：15416，233270.15，-7.5，-π，0，23.．①有理数集合：｛…｝；②无理数集合：｛…｝；③正实数集合：｛…｝；④负实数集合：｛…｝．14．已知：x是|-3|的相反数，y是-2的绝对值，求2x2-y2的值．15．已知a7b7的小数部分，|c7，求a-b+c的值．能力拓展16．已知5+5与5–5的小数部分分别是a、b，则（a+b）（a–b）=__________．17．6–5的整数部分是a，小数部分是b．（1）a=__________，b=__________．（2）求3a–b的值．18．如图，点A表示的数为–2，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位后到达点B，设点B所表示的数为n．（1）求n的值；（2）求|n+1|+（n+22–2）的值．真题实战19．（2018•鄂尔多斯）在227，–20184，π这四个数中，无理数是A．227B．–2018 C4D．π20．（2018•辽阳）在实数–2，3，0，–53中，最大的数是A．–2 B．3 C．0 D．–5 321．（201816A．14B．1±4C．12D．1±222．（2018•锦州）下列实数为无理数的是A．–5 B．72C．0 D．π23．（2018•南通）如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数–2，–1，0，1，2，则表示数2–5的点P应落在A．线段AB上B．线段BO上C．线段OC上D．线段CD上24．（2018•荆州）如图，两个实数互为相反数，在数轴上的对应点分别是点A、点B，则下列说法正确的是A．原点在点A的左边 B．原点在线段AB的中点处C．原点在点B的右边 D．原点可以在点A或点B上25．（2018•常州）已知a为整数，且35a<<，则a等于A．1 B．2 C．3 D．426．（2018•攀枝花）如图，实数–3、x、3、y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中绝对值最小的数对应的点是A．点M B．点N C．点P D．点Q27．（2018•贺州）在–1、122这四个数中，最小的数是A．–1 B．1 C2D．228．（2018•宁夏）计算：|–12|14A．1 B．12C．0 D．–129．（2018•攀枝花）下列实数中，无理数是A．0 B．–2 C3D．1 730．（20184–|–3|的结果是A．–1 B．–5 C．1 D．5 31．（2018•福建）已知m43m的估算正确的A．2<m<3 B．3<m<4 C．4<m<5 D．5<m<6 32．（2018•湖北）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的实数分别是a，b，下列结论错误的是A．|b|<2<|a| B．1–2a＞1–2bC．–a<b<2 D．a<–2<–b33．（2018•北京）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是A．|a|＞4 B．c–b＞0 C．ac＞0 D．a+c＞0 34．（2018•南京）下列无理数中，与4最接近的是A．11B．13C．17D．19 35．（2018•枣庄）实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是A．|a|＞|b| B．|ac|=ac C．b<d D．c+d＞036．（2018•益阳）计算：|–5|327+（–2）2+4÷（–23）．37．（2018•大庆）求值：（–1）2018+|12|38．38．（2018•台州）计算：|–2|4+（–1）×（–3）贾老师数学同步辅导班精讲精练教材——初二上册参考答案1．B ；2．C ；3．B ；4．D ；5．A ；6．C ；7. C ；8. B ；9．22；--10．11．1213．有理数集合：｛4，23，0.15，-7.5，0，23.…｝；，π-…｝；4，230.15，23.…｝； 负实数集合：｛-7.5，π-…｝．14．14．15．4或4-．16． 517．（1）a =3，b =32）18．（1）22+-；（2）319．D ；20．B ；21．C ；22．D ；23．B ；24．B ；25．B ；26．B ；27．A ；28．C ；29．C ；30．B ； 31．B ；32．C ；33．B ；34．C ；35．B ；36．0．372．38．3．。
实数知识点及典型例题
实数知识点及典型例题一、实数知识点。
（一）实数的分类。
1. 有理数。
- 整数：正整数、0、负整数统称为整数。
例如：5，0，-3。
- 分数：正分数、负分数统称为分数。
分数都可以表示为有限小数或无限循环小数。
例如：(1)/(2)=0.5，(1)/(3)=0.333·s。
- 有理数：整数和分数统称为有理数。
2. 无理数。
- 无理数是无限不循环小数。
例如：√(2)，π，0.1010010001·s（每两个1之间依次多一个0）。
3. 实数。
- 有理数和无理数统称为实数。
（二）实数的相关概念。
1. 数轴。
- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
- 实数与数轴上的点是一一对应的关系。
2. 相反数。
- 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
a的相反数是-a，0的相反数是0。
例如：3与-3互为相反数。
- 若a、b互为相反数，则a + b=0。
3. 绝对值。
- 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作| a|。
- 当a≥slant0时，| a|=a；当a < 0时，| a|=-a。
例如：| 5| = 5，| -3|=3。
4. 倒数。
- 乘积为1的两个数互为倒数。
a(a≠0)的倒数是(1)/(a)。
例如：2的倒数是(1)/(2)。
（三）实数的运算。
1. 运算法则。
- 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数。
- 减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
- 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘都得0。
- 除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数（除数不为0）。
2. 运算律。
- 加法交换律：a + b=b + a。
- 加法结合律：(a + b)+c=a+(b + c)。
- 乘法交换律：ab = ba。
实数知识点总结及习题练习
探究一由平方根和算术平方根的意义确定字母的取值范围1．___________，根号下的被开方数必须是_____________才有意义，因此可列出不等式______________，x的取值范围是______________．2．需要列出不等式组为________________．x的取值范围是______________．3x的取值范围是______________．探究二根据非负数性质求未知数的值已知x、y为实数，且()2320y-=．1．()232y-都是非负数，()2320y-=，你能得到什么结论？_________________________________ _____________________________________ ___．2．由1，你能求出x y-的值吗？_________________________________ _____________________________________ ___．答案：1．≥，()2320y-≥，()2320y-=，∴0=，()2320y-=．2．由1得，10x-=，1x=；20y-=，2y=．∴121x y-=-=-．探究三平方根与简单的一元二次方程1．由21960x-=可得_______________，2．据1得，x是196的_______________，所以x=______________．3．由1，2的启示，请你试着求等式()2162810x+-=中的x值．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．探究四由平方根的意义确定字母的值322a-和23a-都是m的平方根，求a和m的值．1．当322a-与23a-相等时，求a和m的值．______________________________________________________________________．2．当322a-与23a-互为相反数时，求a和m的值．_________________________________ ____________________________________．3．讨论总结：m的值为____________．探究五利用被开方数非负性求未知数的值已知x、y都是有理数，且3y=，求1x y+的平方根．1．表示3x-的_________________，则x的范围是______________．2．表示3x-的_________________，则x的范围是______________．3．由1，2，得x=______________，y=_______________．4．讨论总结：1x y+的平方根是多少？_________________________________ ________________________________．探究六算术平方根与绝对值相综合题已知20090a a-=，求1a的取值范围是什么？_________________________________ _______________________________________．2．由1，你能将等式2009a a-=中的绝对值去掉吗？_________________________________ _____________________________________ _．3．由2，你能求出22009a-的值吗？_________________________________ _____________________________________ _．4．讨论总结：_________________________________ _____________________________________ _．探究七平方根的实际应用一个开口的长方体盒子，是从一块正方形的马口铁的每个角剪掉一个36cm2的正方形后，再把它的边折起来做成的，如图，量得这个盒子的容积是150cm2，求原正方形的边长是多少？1．由题意可知剪掉正方形的边长为______________cm．2．设原正方形的边长为x cm，请你用x 表示盒子的容积．________________________________．3．由1，2的分析，请你列出方程，并解答，求原正方形的边长．_________________________________________________________________________． 随堂反馈1．25121的平方根的数学表达式是（ ）A511=±B511=-C．511=D．511=±2．9的算术平方根是（ ） A ．3-B ．3C ．3±D ．813．当5x =-） A ．5B ．5-C ．5±D ．254．正方形M 的面积是正方形N 的面积的64倍，那么正方形M 的边长是正方形N 的边长的（ ）A ．4倍B ．8倍C ．16倍D ．2倍5．一个数的算术平方根是它的本身，则这个数是______________．6．=则xy 的算术平方根为______________．7．代数式5-的最大值为______________．8．已知a，b满足310b a +--=，求25b a -的平方根．9．如果a为整数，的最大值及此时a 的值．10．已知21a -的平方根为3±，31a b +-的平方根为4±，求2a b +的平方根．平方根跟踪练习（一）一、选择题1．下列各式中无意义的是（）A ．7-B ．7 C.7- D ．()27--2.41的算术平方根是（） A ．161 B ．81 C ．21 D ．21±3.下列运算正确的是（）A ．33-= B ．33-=-C =D 3=-二、填空题4.若一个正方形的面积为13，则正方形的边长为___________.5.小明房间的面积为10.8米2，房间地面恰好由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是_________.6.⑵=25___________;⑶()=-22________;=_______;⑸2=_______.7．若下列各式有意义，在后面的横线上写出x 的取值范围：⑵x -5_______8．若20a -+=，则2a b -=_________．9．一个正方形的面积扩大为原来的4倍，它的边长变为原来的倍，面积扩大为原来的9倍，它的边长变为原来的倍，面积扩大为原来的n 倍，它的边长变为原来的_______倍. 10._______的算数平方根是它本身. 三、解答题11．求下列各数的算术平方根:⑴169 ⑵0.0256 ⑶24125⑷()22-12.要种一块面积为615.442m 的圆形草地以美化家庭，它的半径应是多少米？（π取3.14）平方根跟踪练习（二）一、选择题1．下列说法中不正确的是（）A.2-是2的平方根B.2是2的平方根C.2的平方根是2D.2的算术平方根是22．41的平方根是（） A.161 B.81 C.21 D.21± 3．“254的平方根是52±”，用数学式子可以表示为（）A.52254±= B.52254±=±C.52254=D.52254-=- 4．下列各式中，正确的个数是（） ①3.09.0=; ②34971±=;③23-的平方根是－3; ④()25-的算术平方根是－5; ⑤67±是36131的平方根.A.1个B.2个C.3个D.4个 5.若a 是()24-的平方根，b 的一个平方根是2，则代数式a ＋b 的值为（）A.8B.0C.8或0D.4或－4 二、填空题6.如果某数的一个平方根是-6，那么这个数为________．7.如果正数m 的平方根为3，则m 的值是．8．16的平方根是.9．若411+-+-=a a b ，则ab 的平方根是. 三、解答题10．求下列各式的值:⑴225 ⑵0004.0- ⑶4112± ⑷()21.0-- ⑸04.081.0- ⑹224041-。
初二(下)实数的知识点与练习题
第十三章 实数知识要点一： 1．实数的性质（1）实数范围内仍然适用在有理数范围内定义的一些概念（如倒数，相反数）；（2）两实数的大小关系：正数大于0，0大于负数；两个正实数，绝对值大的实数大；两个负实数，绝对值大的实数反而小；（3）在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零）、乘方五种运算是畅通无阻的，但是开方运算要注意，正实数和零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方；（4）有理数范围内的运算律和运算顺序在实数范围内仍然相同． 2．实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．3．实数的分类（1）按实数的定义分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 （2）按实数的正负分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数4．实数的大小比较两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正数大于一切负数；两个正实数，绝对值大的实数较大；两个负实数，绝对值大的实数反而小．实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个实数，右边的数总大于左边的数．【典型例题】2-1C B A 例1若a 为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. －a 2 B. －( a +1)2 C.－2a D.－(a -+1)分析：本题主要考查负数和非负数的概念,同时涉及考查字母表示数这个知识点.由于a 为实数, a 2、( a +1)2、2a 均为非负数，∴－a 2≤0，－( a +1)2≤0，－2a ≤0．而0既不是正数也不是负数，是介于正数与负数之间的中性数．因此，A 、B 、C 不一定是负数．又依据绝对值的概念及性质知－(a -+1)﹤0．故选D例2 实数a 在数轴上的位置如图所示, 化简:2)2(1-+-a a =分析：这里考查了数形结合的数学思想,要去掉绝对值符号,必须清楚绝对值符号内的数是正还是负.由数轴可知:1﹤a ﹤2,于是,22)2(,112a a a a a -=-=--=-所以, 2)2(1-+-a a =a －1+2－a =1.例3 如图所示,数轴上A 、B 两点分别表示实数1，5，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的实数为（ ） A. 5－2 B. 2－5 C.5－3 D.3－5分析：这道题也考查了数形结合的数学思想,同时又考查了对称的性质．B 、C 两点关于点A 对称，因而B 、C 两点到点A 的距离是相同的，点B 到点A 的距离是5－1，所以点C 到点A 的距离也是5－1，设点C 到点O 的距离为a ，所以a +1=5－1，即a =5－2．又因为点C 所表示的实数为负数，所以点C 所表示的实数为2－5．例4 已知a 、b 是有理数，且满足（a －2）2+3-b =0，则a b 的值为分析：因为（a －2）2+3-b =0，所以a －2=0，b －3=0。
实数知识点及例题
实数习题集【知识要点】1．实数分类：2．相反数：b a ,互为相反数 0=+b a4．倒数：b a ,互为倒数0;1=ab 没有倒数.5．平方根，立方根：==x ，a x a x 记作的平方根叫做数则数若,2±a . 若a x ，a x a x 33,==记作的立方根叫做数则数6．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法.实数易错题分类汇总典型例题一：计算1.计算()2010200902211-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-的结果是【答案】-1 2． ()()212321-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--π的值为【答案】13.下列计算中，正确的是（ ）A ．020= B ．2a a a =+C3=±D ．623)(a a =【答案】D4.下列运算正确的是（ ）A ．1331-÷＝ Ba = C ．3.14 3.14ππ-=- D ．326211()24a b a b =典型例题二：估算 1．82cm 接近于（ ）实数有理数无理数 整数（包括正整数，零，负整数） 分数（包括正分数，负整数）正无理数 负无理数)0(>a 3．绝对值： =aa 0 a -)0(=a )0(<aA ．珠穆朗玛峰的高度B ．三层楼的高度C ．姚明的身高D ．一张纸的厚度 【答案】C2.如图，数轴上A 、B 两点分别对应实数a 、b ，则下列结论正确的是( )A ．0>abB ．0>-b aC ．0>+b aD ．0||||>-b a【答案】D典型例题三：应用题1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中，平均一个人传染的人数为（ ） A ．8人 B ．9人 C ．10人 D ．11人【答案】B.2.一种商品原来的销售利润率是47%．现在由于进价提高了5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了 【注：销售利润率=（售价—进价）÷进价】 【答案】40%典型例题四：信息与推断题1.观察下列算式，用你所发现的规律得出20102的末位数字是（ ）21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，… A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】B 2.观察下列算式：,65613,21873,7293,2433,813,273,93,1387654321========，通过观察，用你所发现的规律确定20023的个位数字是（ ）A.3B.9C.7D.1 【答案】B 3．观察下列各式：()1121230123⨯=⨯⨯-⨯⨯ ()1232341233⨯=⨯⨯-⨯⨯ ()1343452343⨯=⨯⨯-⨯⨯……计算：3×(1×2+2×3+3×4+…+99×100)=（ ）A ．97×98×99B ．98×99×100C ．99×100×101D ．100×101×102 【答案】C4．已知：3212323=⨯⨯=C ，1032134535=⨯⨯⨯⨯=C ，154321345646=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=C ，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算=610C ． 【答案】210典型例题五：比较大小10 -1 a b B A1. 31.0与1.02.331与213. 215--与－2 4. 2003－2002与2002－2001作业：设2的整数部分为a ，小数部分为b ,则1＋2a b －2b =第三讲 平移、旋转与对称专题例题精讲1. 正方形ABCD 在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D 点顺时针方向旋转90后，B 点的坐标为（ ）A ．(22)-，B ．(41)，C ．(31)， D ．(40)，随堂练习1下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是（ ）．2.观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例题精讲2将图(六)的正方形色纸沿其中一条对角线对折后，再沿原正方形的另 一条对角线对折，如图(七)所示。
实数概念例题和知识点总结
实数概念例题和知识点总结实数是数学中的一个重要概念，它涵盖了有理数和无理数。
理解实数的概念对于进一步学习数学知识，解决数学问题至关重要。
下面我们通过一些例题来深入理解实数的相关概念，并对重要知识点进行总结。
一、实数的定义和分类实数是有理数和无理数的总称。
有理数包括整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）；无理数是无限不循环小数，例如√2、π等。
二、实数的性质1、实数的有序性：任意两个实数 a 和 b，要么 a ＜ b，要么 a ＝ b，要么 a ＞ b。
2、实数的稠密性：在任意两个不同的实数之间，都存在无穷多个实数。
3、实数的运算封闭性：实数进行加、减、乘、除（除数不为 0）运算，其结果仍然是实数。
三、例题解析例 1：判断下列数哪些是有理数，哪些是无理数？22/7，√5，0，－314，***********（相邻两个 1 之间依次多一个 0）解：22/7 是分数，属于有理数；√5 是无限不循环小数，是无理数；0 是整数，属于有理数；－314 是有限小数，可化为分数，属于有理数；***********（相邻两个 1 之间依次多一个 0）是无限不循环小数，是无理数。
例 2：比较大小：√3 ＋ 1 和 2 ＋√2解：因为（√3 ＋ 1）²＝ 3 ＋2√3 ＋ 1 ＝ 4 ＋2√3 ，（2 ＋√2）²＝4 ＋4√2 ＋ 2 ＝ 6 ＋4√2 。
而 4 ＋2√3 ＜ 6 ＋4√2 ，所以√3 ＋ 1 ＜ 2 ＋√2 。
例 3：已知一个实数的绝对值是√5，求这个实数。
解：设这个实数为 x ，则｜x| ＝√5 ，所以 x ＝±√5 。
四、实数的运算1、加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
2、减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
3、乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
实数知识点归纳及典型例题
第十三章实数----知识点总结一、算术平方根1.算术平方根的定义：一般地，如果的等于a ，即，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为，读作“根号a ”，a 叫做．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2(x ≥0)中，规定a x =。
理解：a x =2(x ≥0)a x =a 是x 的平方x 的平方是ax 是a 的算术平方根a 的算术平方根是x 2.a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
3.当被开方数扩大(或缩小)时，它的算术平方根也扩大(或缩小)；4.夹值法及估计一个（无理）数的大小（方法：）二、平方根1.平方根的定义：如果的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的．即：如果，那么x 叫做a 的． 理解：a x =2<—>a x ±=a 是x 的平方x 的平方是ax 是a 的平方根a 的平方根是x2.开平方的定义：求一个数的的运算，叫做．开平方运算的被开方数必须是才有意义。
3.平方与开平方：±3的平方等于9，9的平方根是±34.一个正数有平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数平方根，即负数不能进行开平方运算5.符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．6.平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个； 联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
三、立方根1.立方根的定义：如果的等于a ，这个数叫做a 的（也叫做），即如果，那么x 叫做a 的立方根。
2.一个数a “三次根号a ”，其中a 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。
理解：a x =3<—>3a x =a 是x 的立方x 的立方是ax 是a 的立方根a 的立方根是x3.一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根，是它本身；一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。
(完整版)八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习
第二章：实数【无理数】1.定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
2.常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；ππππ（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。
（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。
如：2-是无理数π（4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。
如2,π（5）开方开不尽的数，如:等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，39,5,2如：等；无理数也不一定带根号，如：）9π3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003…75-252.±32-…（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。
（填序号）（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-,,其中无理数有 ( )个π432【算术平方根】：1.定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，a x =2记为：“”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。
例如32=9，那么9的算术平方根a 是3，即。
39=特别规地，0的算术平方根是0，即，负数没有算术平方根00=2.算术平方根具有双重非负性：（1）若 有意义，则被开方数a 是非负数。
（2）算术平方根a 本身是非负数。
3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两a个互为相反数的值，表示为：。
实数知识点总结及练习题
复习：实数知识点总结一、平方根：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根（或二次方根）。
记作a x ±=性质：（1）平方根号里的数是非负数，即0≥a（2）正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
例 1、36的平方根是 ；16的算术平方根是 .2、如果102=x ，则x 是一个 数，x 的整数部分是 .3、=22 ，()23-= ，213= ，()=-225 ，20= ， 综上所述，=2a .4、()=29 ，()=236 ，()=⎪⎭⎫ ⎝⎛-227 ，()=20 ， 综上所述，()=2a .二、立方根：如果a x =3，那么x 叫做a 的立方根（或三次方根）。
记作3a x =性质：（1）立方根号里的数是任意实数（2）任意实数的立方根只有一个，且符号相同例 1、8的立方根是 ；327-＝ .2、=-3343 ，=-3343 ，则33433a3、37-的相反数是 .4、=33a ，()=33a .三、实数分类⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧ 0无限不循环小数负无理数正无理数无理数无限不循环小数有限小数或负分数正分数分数负整数正整数整数有理数实数说明：（1）实数与数轴上的点一一对应。
（2）相反数：a ，b 是实数且互为相反数b a b a -==+⇔,0（3）绝对值：设a 表示一个实数，则⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=时当时当时当0 000 a a a a a a例 1、把下列各数分别填入相应的集合里：()2,2,3.0,1010010001.0,125,722,0,123-----•π 有理数集合：｛ ｝；无理数集合：｛ ｝；负实数集合：｛ ｝；2、2-的绝对值是，11-的绝对值是 .3+的相反数是，-的相反数的绝对值是 .4、计算：22322+-测试题：一、选择题：1、实数38 2π 34 310 25 其中无理数有（）A 、 1个B 、 2个C 、 3个D 、 4个2、如果162=x ，则的值是（）A 、 4B 、 -4C 、 4±D 、 2±3、下列说法正确的是（）A 、 25的平方根是5B 、22-的算术平方根是2C 、 8.0的立方根是2.0D 、65是3625的一个平方根 4、下列说法其中错误的有（ ）个⑴无限小数都是无理数 ⑵无理数都是无限小数 ⑶带根号的数都是无理数⑷两个无理数的和还是无理数 （5）两个无理数的积还是无理数A 、 3B 、 1C 、 4D 、 25、如果x x -=2成立的条件是（）A 、0≥xB 、0≤xC 、0>xD 、0<x6、下列说法错误的是（）A 、2a 与2)(a -相等 B 、a 与a -互为相反数C 、3a 与3a -是互为相反数D 、a 与a -相等 7、b a ,的位置如图所示，则下列各式中有意义的是（ ）.A 、b a +B 、b a -C 、abD 、a b - 8、16的平方根是（ ） A. 4 B. -4 C. 4± D. 2±9、下列说法：① 任意一个数都有两个平方根； ② 3的平方根是3的算术平方根 ； ③ -125的立方根是5±； ④23是一个分数； ⑤ 32-无意义。
新浙教版七年级上册数学第三章《实数》知识点及典型例题
新浙教版七年級上冊數學第三章《實數》知識點及典型例題注意掌握以下公式：① ⎧=⎨⎩② =將考點與相關習題聯系起來考點一、關於“……說法正確の是……”の題型 1、下列說法正確の是（ ）A ．有理數只是有限小數B ．無理數是無限小數C ．無限小數是無理數D ．4π是分數2、有下列說法：①有理數和數軸上の點一一對應；②不帶根號の數一定是有理數；③負數沒有立方根；④是17の平方根。
其中正確の有（ ） A ．0個 B ．1個 C ．2個 D ．3個3、下列結論中正確の是 （ ）A ．數軸上任一點都表示唯一の有理數B ．數軸上任一點都表示唯一の無理數 C. 兩個無理數之和一定是無理數 D. 數軸上任意兩點之間還有無數個點 考點二、有關概念の識別1、下面幾個數：.0.34，1.010*******π，227） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2、下列說法中正確の是（ ）A.3 B. 1の立方根是±1 C. ±1 D. 5の平方根の相反數3、一個自然數の算術平方根為a ，則與之相鄰の前一個自然數是 考點三、計算類型題1，則下列結論正確の是（ ）A.4.5<a<5.0B.5.0<a<5.5C.5.5<a<6.0D.6.0<a<6.54、對於有理數x 1xの值是3 4、4(x-1)2=9考點四、數形結合1. 點A 在數軸上表示の數為，點B 在數軸上表示の數為A ，B 兩點の距離為______2、如圖，數軸上表示1A ，B ，點B 關於點A の對稱點為C ，則點C 表示の數是（ ）A 1B ．1C ．2D 2考點五、實數絕對值の應用1、考點六、實數非負性の應用 12|49|0-=，求實數a ，b の值。
2．已知(x-6)2，求(x-y)3-z 3の值。
考點七、實數應用題1．有一個邊長為11cm の正方形和一個長為13cm ，寬為8cm の矩形，要作一個面積為這兩個圖形の面積之和の正方形，問邊長應為多少cm 。
实数知识点汇总及经典
第二章实数一、 平方根、立方根仁算术平方根： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ,即x 2=a ，那么正数 x 叫做a 的算术平方根，记作 a 。
0的算术平方根为0;从定义可知，只有当a> 0时,a 才有算术平方根。
2. 平方根：一般地，如果一个数x 的平方根等于a,即x 2=a ，那么数x 就叫 做a 的平方根。
正数有两个平方根(一正一负)它们互为相反数； 0只有一个平方根，就是它本 身；负数没有平方根。
3•正数的立方根是正数；0的立方根是0;负数的立方根是负数。
(2)若b 3=a ，贝U b 叫做a 的立方根。
a(a 0) a(a 0).、实数1 •实数的分类(1)按实数的定义分类： 2、 实数的运算(1) 有理数的运算定律在实数范围内都适用， 其中常用的运算定律有加法交 换律、乘法交换律、加法结合律、乘法分配律、乘法结合律。
(2) 在实数范围内进行运算的顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加 减。
运算中有括号的，先算括号内的，同一级运算从左到右依次进行。
3、 实数的大小比较常用方法：数轴表示法、作差法、平方法、估值法。
(1) 在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数大，左边的点表示的数小。
(2) 正数大于零，负数小于零；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对 值大的较小。
(3)设a ，b 是任意两实数，若 a-b>0,则 a>b; 若 a-b=0则 a=b; 若 a-b<0,则 a<b 。
4.⑴.a . b ab a 0,b 0 a a..b \b (a 0, b 0)524、数轴（1） 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
（2） 数轴的三要素为原点、正方向和单位长度。
数轴上的点与实数 对应 所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的不都是有理 数。
5、相反数、倒数、绝对值（1） 、只有符号不同的两个实数，其中一个叫做另一个的相反数。
第六章--实数(知识点+知识点分类练习)
【知识要点】被开放数扩大（或缩小）n倍，算术平方根扩大（或缩小）n倍，例如.25 5, 2500 50.一、算数平方根算数平方根的定义：一般的，如果一个非负数x的平方等于a,即x2=a ，（a>0），那么这个非负数x叫做a的算术平方根。
a的算术平方根记为谄，读作“根号a”，a叫做被开方数。
求一个正数a的平方根的运算叫做开平方。
1.0的算术平方根是02. 被开方数越大，对应的算术平方根也越大（对所有正数都成立）。
3. 一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。
显然，如果我们知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。
4. 负数在实数系内不能开平方。
二、平方根平方根的定义：如果一个数x的平方等于a ,即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根，求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
平方根的性质：一个正数有2个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算数平方根；0只有1个平方根，它是0;负数没有平方根。
开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
三、立方根立方根的定义：如果一个数x的立方等于a，即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根或三次方根，求一个数的立方根的运算叫做开立方，a的立方根记为鴛读作“三次根号a”，其中a是被开方数。
立方根的性质：每个数a都只有1个立方根。
正数的立方根是正数；0的立方根是0;负数的立方根是负数。
四、实数1. 无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。
2. 实数的定义：有理数和无理数统称实数。
3. 实数的分类：整数宀拓有理数八”有限小数或无限循环小数 实数 分数无理数无限不循环小数像有理数一样，无理数也有正负之分。
例如2 ,3 3 , 是正无理数， 2， 3 3， 是负无理数。
由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类：4. 实数与数轴上的点的对应关系：实数与数轴上的点是 -- 对应的。
5. 有关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的意义相同。
实数知识点及例题
实数习题集【知识要点】 1.定义实数（R ）：包括有理数和无理数。
其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。
数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。
本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。
有理数(Q)：整数(Z)和分数的统称。
正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零3种数。
无理数：无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。
简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数。
如圆周率π、√2等。
2．实数分类：2．相反数：b a ,互为相反数 0=+b a4．倒数：b a ,互为倒数 0;1=ab 没有倒数.5．平方根：①如果一个正数X 的平方等于A ，那么这个正数X 就叫做A 的算术平方根。
②如果一个数X 的平方等于A ，那么这个数X 就叫做A 的平方根。
③一个正数有2个平方根,它们互为相反数，0的平方根为0，负数没有平方根。
④求一个数A 的平方根运算，叫做开平方，其中A 叫做被开方数。
立方根：①如果一个数X 的立方等于A ，那么这个数X 就叫做A 的立方根。
②正数的立方根是正数/0的立方根是0/负数的立方根是负数。
③求一个数A 的立方根的运算叫开立方，其中A 叫做被开方数。
6．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法. 实数的有关概念（1）数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意1：上述规定的三要素缺一个不可，2：实数与数轴上的点是一一对应的，3：数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数．）（2）倒数实数a （a≠0）的倒数是（乘积为1的两个数，叫做互为倒数）；注意：零没有倒数．知识点1：平方根、算术平方根、立方根若x 2＝a ，则x 叫做a 的平方根。
记作，而正的平方根叫做算术平方根知识点2：零指数、负整指数幂a 0＝1（a≠0）；（a≠0）知识点3：科学记数法、近似数、有效数字实数有理数无理数整数（包括正整数，零，负整数） 分数（包括正分数，负整数） 正无理数 负无理数)0(>a 3．绝对值： =aa 0 a -)0(=a )0(<a把一个数写成a×10n （1≤a ＜10，n 是整数）的形式一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，四舍五入得到的数从左边第一个非零数字起到末位数字止，所有的数字叫做这个近似数的有效数字 知识点4：三种重要的非负数（绝对值、偶次方、算术平方根）知识点5：常见的几种无理数（开方开不尽的数、含圆周率的数、无限不循环的数） 知识点6：实数的运算 实数的运算法则（1）加法同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；异号两数相加。
《实数》知识点及典型例题
6
3
）
C、 －9＝－3
D、
1 1 16 ＝4 9 3 ） ） ）
5、一个数的平方根和它的立方根相等，则这个数是 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （ A、1 B、0 C、1 或 0 D、1 或 0 或－1 6、已知 x＋10＋ y－13＝0，则 x＋y 的值是 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （ A、13 B、3 C、－3 D、23 7、两个连续自然数，前一个数的算术平方根是 x，则后一个数的算术平方根是 · · · · · · · · · （ A、x＋1 2 A、 3
· 1 24、在－ ，π ，0， 2，－22，2.121121112„(两个 2 之间依次多一个 1)，0. 3 。 3
（1）是有理数的有： （2）是无理数的有： （3）是整数的有： （4）是分数的有：
； ； ； 。
5
25、跳伞运动员跳离飞机，在未打开降落伞前，下降的高度 d(米)与下降的时间 t(秒)之间有关系式：t＝ （不计空气阻力） （1）填表： 下降高度 d（米） 下降时间 t（秒） （2）若共下降 2000 米，则前 500 米与后 1500 米所用的时间分别是多少？ 20 80 245 320
考点六、实数非负性的应用 1．已知：
3a b | a 49 | a7
2
0 ，求实数 a，b 的值。
2．已知(x-6) +
七年级初一数学 第六章 实数知识点-+典型题及解析
A．①③B．①②③C．①②③④D．①②④
7．估计 的值在（）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
8．实数 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
9．正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2016次后，数轴上数2016所对应的点是（ ）
15．a※b是新规定的这样一种运算法则：a※b=a+2b，例如3※（﹣2）=3+2×（﹣2）=﹣1．若（﹣2）※x=2+x，则x的值是_____．
16．按下面的程序计算：
若输入n=100，输出结果是501；若输入n=25，输出结果是631，若开始输入的n值为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入的n值可以是________．
④若a＊b=b＊a，则有3a－b=3b-a,
化简得a=b,
故④正确；
正确的有②④，
故选：B
【点睛】
本题考查了含有乘方的有理数的混合运算，熟练掌握计算法则是解题关键.
12．若 ，则mn的值为____.
13．观察下列算式：
① ＝ ＋ ＝16＋4＝20；
② ＝ ＋ ＝40＋4＝44；…
根据以上规律计算： ＝__________
14．对于这样的等式：若（x+1）5＝a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则﹣32a0+16a1﹣8a2+4a3﹣2a4+a5的值为_____．
4．C
第6章 实数知识点及典型例题
第6章 实数(一) 平方根1、平方根的含义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。
即a x =2，(0x a =解得：≥），x 叫做a 的平方根。
正数a 的平方根用a ±表示，其中a 叫做正平方根，也称为算术平方根，a -叫做a 的负平方根，也称为算术平方根的相反数。
注意点：（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数：记作a ±（根指数２省略）０有一个平方根，为０，记作0=，负数没有平方根。
0=，负数没有算术平方根。
（2）平方与开平方互为逆运算 开平方：求一个数a 的平方根的运算。
2222222223111211214413169141961522516256172891832419361=========（）熟记：，，，，，，，，（4a ≥0)a ≥0)表示非负数a 的算术平方根。
二次根式的要求：①根指数为2 ②被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等，但必须是非负数。
（5）二次根式中字母的取值范围：二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0。
二次根式无意义的条件：被开方数小于0，二次根式做分母时: 被开方数大于0. 例1：求下列各数的平方根：（1）81（2）1625（3）214（4）0.49例2：下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，要说明理由。
（1）－64（2）0（3）()-142（4）102-例3：求下列各数的算术平方根：（1）25（2）4964（3）0.81（4）81例4：求下列各式的值： （1）144（2）-36121（3）±00001.（4）214116+ 例5：（1）已知正方形的边长为5cm ，求这个正方形的面积；（2）已知正方形的面积是25cm 2，求这个正方形的边长。
例6：判断下列语句是否正确，正确的打“√”，错误的画“×”，并将错误改正。
（1）7是()-72的算术平方根； （ ）（2）-25的平方根是±5；（）（3）36等于±6； （） （4）16的平方根是±2；（）（5）6是()-62的平方根； （）（6）10是10的一个平方根； （）（7）正数的平方比它的算术平方根大。
实数知识点总结及典型例题练习
实数知识点总结考点一、实数的概念及分类(3分)1、实数的分类｛正有理数r有理数零有限小数和无限循环小数负有理数实数｛正无理数｝无理数无限不循环小数负无理数Y 整数包括正整数、零、负整数。
匚正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类:(1)开方开不尽的数，如万,迈等；(2)有特定意义的数，如圆周率心或化简后含有7T的数，如扌+8 等；(3)有特定结构的数，如0.1010010001…等;(4)某些三角函数，如sin6()“等(这类在初三会出现)考点二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0, a二b,反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|A0。
零的绝对值是它本身，若|a|=a,则Q0；若|a|二a,则a<0。
正数大于零, 负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=l,反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和・1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于心那么这个数就叫做巾的平方根(或二次方跟)。
一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a的平方根记做“土蘇”。
2、算术平方根正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“亦”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a ( a >0) > 0、庐=|询=_ -a ( a <0) ;注意需的双重非负性Ya >03、立方根如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
实数知识要点及参考例题
八、知识要点及参考例题（1）平方根知识要点：1.定义（1）如果2(0)x a a =≥，那么x 叫做a 的平方根。
记作：x a =±，其中a +叫做a 的正的平方根，a -叫做a 的负的平方根。
0的平方根是0.（2）我们把平方根中正的平方根，叫做a 的算术平方根，通常表示为a . 0的平方根也叫做0的算术平方根。
因此0的算术平方根是0，即0=0。
（3）平方根的性质○1一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身； 负数没有平方根。
○2 2()(0).a a a ±=≥ 参考例题：例1 求下列各数的算术平方根：（1）900 ； （2）1 ； （3）;6449 （4）14 . 例2 求下列各数的平方根：（1）64 ； （2）;12149 （3）0.0004 ; （4）();252- （5）11。
例3 ()()?12149?64122等于多少等于多少⎪⎪⎭⎫⎝⎛()()?2.722等于多少 ()()?,32等于多少对于正数a a例4 求满足下列条件的未知数x ： （1）x 2=49 （2）x 2=8125 例5 （易错题）25的算术平方根是 ；25的平方根是 ；例6 比较大小（1）14与15； （2）4与15； （3）3与115-； 例7 已知13的整数部分为a ，小数部分为b ，求代数式a 2－a －b 的值。
（*）例8 判断下列各式中字母x 的取值范围：①x -；②x 32-；③2)3(-x ；④631-x ； ⑤34-+x x ；⑥||21x x --；⑦x x -+-44。
拓展练习 1、（1）求下列各式的值24 （2）2)4(- （3）2)8.0(（2）对于任意数a ，2a 一定等于a 吗？2、 求下列x 的值：（1）2042=x （2）049162=-x （3）25)1(2=-x3、已知数M 的平方根为a+3及2a －15，求M （2） 立方根知识要点：1. 如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根。
数学第六章 实数知识点-+典型题及答案
数学第六章 实数知识点-+典型题及答案一、选择题1．设记号*表示求a 、b 算术平均数的运算，即*2a b a b +=，则下列等式中对于任意实数a ，b ，c 都成立的是（ ）．①(*)()*()a b c a b a c +=++；②*()()*a b c a b c +=+； ③*()(*)(*)a b c a b a c +=+；④(*)(*2)a a b c b c c +=+． A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②④ 2．若一个正数x 的平方根为27a -和143a -，则x =（ ）A ．7B ．16C ．25D ．49 3．下面说法错误的个数是（ ）①a -一定是负数；②若||||a b =，则a b =；③一个有理数不是整数就是分数；④一个有理数不是正数就是负数.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．下列命题中，①81的平方根是9；②16的平方根是±2；③−0.003没有立方根；④−64的立方根为±4；⑤5，其中正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（ ）A ．|a|＞|b|B ．|ac|=acC ．b ＜dD ．c+d ＞0 6．在下列实数：2π、3、4、227、﹣1.010010001…中，无理数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个7．如图，数轴上的点A ，B ，O ，C ，D 分别表示数-2，-1，0，1，2，则表示数25-的点P 应落在( )A ．线段AB 上 B ．线段BO 上C ．线段OC 上D ．线段CD 上8．在如图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A ，B 两点对应的实数分别是2和﹣1，则点C 所对应的实数是（ ）A ．12B ．22+C ．221D ．2219．下列运算正确的是（ ） A 42=± B 222()-=- C 382-=-D ．|2|2--=10．下列各组数中互为相反数的是（ ）A ．3和2(3)-B ．﹣|﹣2|和﹣（﹣2）C ．﹣38和38-D ．﹣2和12二、填空题11．a 是10的整数部分，b 的立方根为-2，则a+b 的值为________．12．若实数a 、b 满足240a b ++-=，则a b=_____． 13．已知，x 、y 是有理数，且y ＝2x -+ 2x -﹣4，则2x +3y 的立方根为_____．14．对于三个数a ，b ，c ，用M{a ，b ，c}表示这三个数的平均数，用min{a ，b ，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{－1，2，3}＝123433-++=，min{－1，2，3}＝－1，如果M{3，2x ＋1，4x －1}＝min{2，－x ＋3，5x}，那么x ＝_______. 15．a※b 是新规定的这样一种运算法则：a※b=a+2b，例如3※（﹣2）=3+2×（﹣2）=﹣1．若（﹣2）※x=2+x，则x 的值是_____．16．若23(2)0y x -+-=，则y x -的平方根_________．17．实a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简()2a b b a ++-=___________.18．设a ，b 都是有理数，规定 3*=a b a b ()()48964***-⎡⎤⎣⎦=__________．19．如果一个正数的两个平方根为a+1和2a-7，则这个正数为_____________．20．已知正实数x 的平方根是m 和m b +．（1）当8b =时，m 的值为_________；（2）若22()4m x m b x ++=，则x 的值为___________三、解答题21．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果a x =N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：x =log a N ，例如：32=9，则log 39=2，其中a =10的对数叫做常用对数，此时log 10N 可记为lgN ．当a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0时，log a (M •N )=log a M +log a N ．(I )解方程：log x 4=2；(Ⅱ)log 28=(Ⅲ)计算：(lg 2)2+lg 2•1g 5+1g 5﹣2018= (直接写答案)22．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）记作（-3）④，读作“-3的圈4次方”，一般地，把n aa a a a ÷÷÷⋯÷个 （a≠0）记作a ⓝ，读作“a 的圈 n 次方”． （初步探究）（1）直接写出计算结果：2③=___，（12）⑤=___； （2）关于除方，下列说法错误的是___A ．任何非零数的圈2次方都等于1；B ．对于任何正整数n ，1ⓝ=1；C ．3④=4③；D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（-3）④=___； 5⑥=___；（-12）⑩=___． （2）想一想：将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式等于___；（3）算一算：212÷(−13)④×(−2)⑤−(−13)⑥÷33 23．操作与推理：我们知道，任何一个有理数都可以用数轴上一个点来表示，根据下列题意解决问题：（1）已知x=2，请画出数轴表示出x 的点：（2）在数轴上，我们把表示数2的点定为基准点，记作点O ，对于两个不同的点A 和B ，若点A 、 B 到点O 的距离相等，则称点A 与点B 互为基准等距变换点．例如图2，点A 表示数-1，点B 表示数5，它们与基准点O 的距离都是3个单位长度，我们称点A 与点B 互为基准等距变换点．①记已知点M 表示数m ，点N 表示数n ，点M 与点N 互为基准等距变换点．I ．若m=3，则n= ；II ．用含m 的代数式表示n= ；②对点M 进行如下操作：先把点M 表示的数乘以23，再把所得数表示的点沿着数轴向右移动2个单位长度得到点N ，若点M 与点N 互为基准等距变换点，求点M 表示的数； ③点P 在点Q 的左边，点P 与点Q 之间的距离为8个单位长度，对Q 点做如下操作： Q 1为Q 的基准等距变换点，将数轴沿原点对折后Q 1的落点为Q 2这样为一次变换： Q 3为Q 2的基准等距变换点，将数轴沿原点对折后Q 3的落点为Q 4这样为二次变换： Q 5为Q 4的基准等距变换点．．．．．．，依此顺序不断地重复变换，得到Q 5，Q 6，Q 7．．．．Q n ，若P 与Q n ．两点间的距离是4，直接写出n 的值．24．已知1x +与2y -互为相反教，z 是64的方根，求x y z -+的平方根25．对非负实数x “四舍五入”到各位的值记为x <>.即:当n 为非负整数时，如果12n x -≤<1n 2+，则x n <>=；反之，当n 为非负整数时，如果x n <>=，则1122n x n -<+≤． 例如： 00.480<>=<>=，0.64 1.491, 3.5 4.124<>=<>=<>=<>=．（1）计算： 1.87<>= ；π= ；（2）①求满足12x <->=的实数x 的取值范围，②求满足43x x <>=的所有非负实数x 的值； （3）若关于x 的方程21122a x x -<>+-=-有正整数解，求非负实数a 的取值范围． 26．给定一个十进制下的自然数x ，对于x 每个数位上的数，求出它除以2的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x 的“模二数”，记为()2M x .如()()22735111, 561101M M ==.对于“模二数”的加法规定如下:将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位.上的数分别相加，规定: 0与 0相加得 0; 0与1相加得1;1与1相加得 0，并向左边一位进1.如735561、的“模二数”111101、相加的运算过程如下图所示.根据以上材料，解决下列问题:(1)()29653M 的值为______ ，()()22589653M M +的值为_(2)如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数“模二相加不变”.如()()22124100,630010M M ==，因为()()()222124630110,124630110M M M +=+=，所以()()()222124*********M M M +=+，即124与630满足“模二相加不变”.①判断126597，，这三个数中哪些与23“模二相加不变”，并说明理由；②与23“模二相加不变”的两位数有______个【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】 ①中(*)2b c a b c a ++=+，()*()22a b a c b c a b a c a ++++++==+，所以①成立； ②中*()2a b c a b c +++=，()*2a b c a b c +++=，所以②成立； ③中()()*(*)*222a b a c b c a b a c a a b c ++++=+=+=+，所以③不成立； ④中(*)2a b a b c c ++=+，22(*2)22222a abc a b c a b b c c +++++=+==+，所以④成立．故选B. 2．D解析：D【解析】【分析】首先根据正数的两个平方根互为相反数，列的方程：（27a -）+（143a -）=0，解方程即可求得a 的值，代入即可求得x 的两个平方根，则可求得x 的值．【详解】∵一个正数x 的平方根为27a -和143a -，∴（27a -）+（143a -）=0，解得：a=7.∴27a -=7，143a -=-7，∴x=(±7)2 =49.故选D.【点睛】此题考查平方根，解题关键在于求出a 的值.3．C解析：C【分析】①举例说明命题错误；②举例说明命题错误；③根据有理数的概念判断即可；④根据有理数的概念判断即可.【详解】①当a≤0时，-a≥0，故-a 一定是负数错误；②当a=2，b=-2时， ||||a b = ,但是a≠b ，故②的说法错误；③一个有理数不是整数就是分数，此选项正确；④一个有理数不是正数就是负数还有可能是0，故④的说法错误.所以错误的个数是3个.故答案为C【点睛】本题考查了有理数的概念，熟练掌握概念是解题的关键.4．A解析：A【分析】根据平方根的定义对①②进行判断；根据立方根的定义对③④进行判断；根据命题的定义对⑤进行判断．【详解】解：81的平方根是±9，所以①错误；±2，所以②正确；-0.003有立方根，所以③错误；−64的立方根为-4，所以④错误；故选：A．【点睛】本题考查了立方根和平方根的应用，主要考查学生的辨析能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．5．B解析：B【分析】先弄清a,b,c在数轴上的位置及大小，根据实数大小比较方法可以解得.【详解】从a、b、c、d在数轴上的位置可知：a＜b＜0，d＞c＞1；A、|a|＞|b|，故选项正确；B、a、c异号，则|ac|=-ac，故选项错误；C、b＜d，故选项正确；D、d＞c＞1，则c+d＞0，故选项正确．故选B.【点睛】本题考核知识点：实数大小比较. 解题关键点：记住数轴上右边的数大于左边的数;两个负数，绝对值大的反而小.6．C解析：C【分析】根据“无理数”的定义进行分析判断即可.【详解】∵在实数：π2、227、-1.010010001…中，属于无理数的是：?-1.010*******π， ∴上述实数中，属于无理数的有3个.故选C.【点睛】本题考查了无理数，熟记“无理数”的定义：“无限不循环小数叫做无理数”是解答本题的关键.7．B解析：B【分析】【详解】由被开方数越大算术平方根越大，得由不等式的性质得：故选B.【点睛】本题考查了实数与数轴，无理数大小的估算,解题的关键正确估算无理数的大小.8．D解析：D【分析】设点C 所对应的实数是x ，根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解即可．【详解】设点C 所对应的实数是x ．则有x ﹣（﹣1），解得+1．故选D ．【点睛】本题考查的是数轴上两点间距离的定义，根据题意列出关于x 的方程是解答此题的关键．9．C解析：C【分析】分别计算四个选项，找到正确选项即可．【详解】2=，故选项A 错误；2==，故选项B 错误；2=-，故选项C 正确；D. |2|2--=-，故选项D错误；故选C．【点睛】本题主要考查了开平方、开立方和绝对值的相关知识，熟练掌握各知识点是解题的关键．10．B解析：B【分析】根据相反数的定义，找到只有符号不同的两个数即可．【详解】解：A3，3B、﹣||，﹣||）两数互为相反数，故本选项正确；C22D、﹣2和12两数不互为相反数，故本选项错误．故选：B．【点睛】考查了相反数的定义：要知道，只有符号不同的两个数互为相反数．二、填空题11．-5【解析】∵32<10<42,∴的整数部分a=3,∵b的立方根为-2,∴b=-8,∴a+b=-8+3=-5.故答案是：-5.解析：-5【解析】∵32<10<42,a=3,∵b的立方根为-2,∴b=-8,∴a+b=-8+3=-5.故答案是：-5.12．﹣【解析】根据题意得：a+2=0，b-4=0，解得：a=-2，b=4，则=﹣．故答案是﹣．解析：﹣12【解析】根据题意得：a+2=0，b-4=0，解得：a=-2，b=4，则ab=﹣12．故答案是﹣12．13．-2．【分析】根据二次根式有意义的条件可得x＝2，进而可得y的值，然后计算出2x+3y的值，进而可得立方根．【详解】解：由题意得：，解得：x＝2，则y＝﹣4，2x+3y＝2×2+3×（解析：-2．【分析】根据二次根式有意义的条件可得x＝2，进而可得y的值，然后计算出2x+3y的值，进而可得立方根．【详解】解：由题意得：20 20 xx-≥⎧⎨-≥⎩，解得：x＝2，则y＝﹣4，2x+3y＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．2=-．故答案是：﹣2．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．14．或【解析】【分析】根据题中的运算规则得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根据min{2，－x＋3，5x}的规则分情况讨论即可得.【详解】M{3，2x＋1，4x－1}==2x+1解析：12或13【解析】【分析】根据题中的运算规则得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根据min{2，－x＋3，5x}的规则分情况讨论即可得.【详解】M{3，2x＋1，4x－1}=321413x x+++-=2x+1，∵M{3，2x＋1，4x－1}＝min{2，－x＋3，5x}，∴有如下三种情况：①2x+1=2，x=12，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，52，52}=2，成立；②2x+1=-x+3，x=23，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，73，103}=2，不成立；③2x+1=5x，x=13，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，83，53}=53，成立，∴x=12或13，故答案为12或13.【点睛】本题考查了阅读理解题，一元一次方程的应用，分类讨论思想的运用等，解决问题的关键是读懂题意，依题意分情况列出一元一次方程进行求解．15．4【解析】根据题意可得（﹣2）※x=﹣2+2x，进而可得方程﹣2+2x=2+x，解得：x=4.故答案为：4．点睛：此题是一个阅读理解型的新运算法则题，解题关键是明确新运算法则的特点，然后直接根解析：4【解析】根据题意可得（﹣2）※x=﹣2+2x，进而可得方程﹣2+2x=2+x，解得：x=4.故答案为：4．点睛：此题是一个阅读理解型的新运算法则题，解题关键是明确新运算法则的特点，然后直接根据新定义的代数式计算即可.16．【分析】根据算术平方根的性质及乘方的性质解答，得到y=3，x=2，再进行计算即可. 【详解】解：，且，∴y-3=0，x-2=0，．．的平方根是． 故答案为：. 【点睛】 此题考查算术平 解析：±1【分析】根据算术平方根的性质及乘方的性质解答，得到y=3，x=2，再进行计算即可. 【详解】解：23(2)0y x -+-=20,(2)0x -≥，∴y-3=0，x-2=0，3,2y x ∴==． 1y x ∴-=．y x ∴-的平方根是±1．故答案为：±1. 【点睛】此题考查算术平方根的性质及乘方的性质，求一个数的平方根，根据算术平方根的性质及乘方的性质求出x 与y 的值是解题的关键.17．【解析】由数轴得，a+b<0,b-a>0, |a+b|+=-a-b+b-a=-2a. 故答案为-2a.点睛：根据，推广此时a 可以看做是一个式子，式子整体大于等于0,把绝对值变为括号;式子整体小 解析：2a -【解析】由数轴得，a +b <0,b-a >0,=-a-b +b-a =-2a.故答案为-2a. 点睛：根据,0,0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩，推广此时a 可以看做是一个式子，式子整体大于等于0,把绝对值变为括号;式子整体小于0，把绝对值变为括号，前面再加负号.最后去括号，化简.18．1 【分析】根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案．【详解】 ∵， ∴ =（）（） =（2+2）（3-4） =4（-1） = =2-1 =1． 故答案为：1 【点睛】 本题考查平方解析：1 【分析】根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案． 【详解】∵*=a b∴()()48964***-⎡⎤⎣⎦=*） =（2+2）*（3-4） =4*（-1）==2-1 =1． 故答案为：1 【点睛】本题考查平方根与立方根，正确理解规定，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键．19．9 【分析】根据一个正数的平方根有2个，且互为相反数求出a 的值，即可确定出这个正数． 【详解】解：根据一个正数的两个平方根为a+1和2a-7得： ， 解得：， 则这个正数是． 故答案为：9．【解析：9 【分析】根据一个正数的平方根有2个，且互为相反数求出a 的值，即可确定出这个正数． 【详解】解：根据一个正数的两个平方根为a+1和2a-7得： 1270a a ++-=， 解得：2a =，则这个正数是2(21)9+=． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．20．-4 【分析】（1）根据正实数平方根互为相反数即可求出m 的值； （2）根据题意可知，再代入求解即可． 【详解】解：（1）∵正实数的平方根是和， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵正解析：【分析】（1）根据正实数平方根互为相反数即可求出m 的值；（2）根据题意可知22,()m x m b x +==，再代入求解即可．【详解】解：（1）∵正实数x 的平方根是m 和m b +， ∴0m b m ++=， ∵8b =， ∴28m =-， ∴4m =-；（2）∵正实数x 的平方根是m 和m b +， ∴22,()m x m b x +==， ∴224x x +=， ∴22x =，∵x是正实数，∴x．故答案为：-4．【点睛】本题考查的知识点是平方根，掌握正实数平方根的性质是解此题的关键．三、解答题21．(I) x=2；(Ⅱ) 3； (Ⅲ) -2017.【分析】(I)根据对数的定义，得出x2=4，求解即可；(Ⅱ)根据对数的定义求解即；；(Ⅲ)根据log a(M•N)=log a M+log a N求解即可．【详解】(I)解：∵log x4=2，∴x2=4,∴x=2或x=-2(舍去)(Ⅱ)解：∵8=23，∴log28=3,故答案为3；(Ⅲ)解：(lg2)2+lg2•1g5+1g5﹣2018= lg2•( lg2+1g5) +1g5﹣2018= lg2 +1g5﹣2018=1-2018=-2017故答案为-2017.【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，有理数的乘方，是一道关于新定义运算的题目，解答本题的关键是理解给出的对数的定义．22．初步探究：（1）12，8;（2）C；深入思考：（1）213，415，82；（2）21na-；（3）-5.【分析】初步探究：（1）根据除方运算的定义即可得出答案；（2）根据除方运算的定义逐一判断即可得出答案；深入思考：（1）根据除方运算的定义即可得出答案；（2）根据（1）即可总结出（2）中的规律；（3）先按照除方的定义将每个数的圈n次方算出来，再根据有理数的混合运算法则即可得出答案. 【详解】 解：初步探究： （1）2③=2÷2÷2=12（12）⑤=11111822222÷÷÷÷= （2）A ：任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1，故选项A 错误; B ：因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n ，1ⓝ都等于1，故选项B 错误； C ：3④=3÷3÷3÷3=19，4③=4÷4÷4=14，3④≠4③，故选项C 正确； D ：负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数；负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数，故选项D 错误； 故答案选择：C. 深入思考：（1）（-3）④=(-3)÷(-3)÷(-3) ÷(-3)=213 5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=415 （-12）⑩=8111111111122222222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷-÷-÷-÷-÷-÷-÷-÷-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）a ⓝ=a÷a÷a…÷a=21n a -（3）原式=()4252621111442711233---÷⨯-÷-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1144981278⎛⎫÷⨯--÷ ⎪⎝⎭=23-- =-5 【点睛】本题主要考查了除方运算，运用到的知识点是有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的法则是解决本题的关键.23．（1）见解析；（2）①I ，1；II 4-m ②112；③2或6． 【分析】（1）在数轴上描点；（2）由基准点的定义可知，22m n+=； （3）（3）设P 点表示的数是m ，则Q 点表示的数是m+8，由题可知Q 1与Q 是基准点，Q 2与Q 1关于原点对称，Q 3与Q 2是基准点，Q 4与Q 3关于原点对称，…由此规律可得到当n 为偶数，Q n 表示的数是m+8-2n ，P 与Q n 两点间的距离是4，则有|m-m-8+2n|=4即可求n ； 【详解】解：（1）如图所示，（2）①Ⅰ．∵2是基准点，m=3，3到2的距离是1，所以到2的距离是1的另外一个点是1， ∴n=1； 故答案为1；Ⅱ．有定义可知：m+n=4， ∴n=4-m ； 故答案为：4-m②设点M 表示的数是m ， 先乘以23，得到23m ，再沿着数轴向右移动2个单位长度得到点N 为23m+2， ∵点M 与点N 互为基准等距变换点， ∴23m+2+m=4， ∴m=112； ③设P 点表示的数是m ，则Q 点表示的数是m+8，如图，由题可知Q 1表示的数是4-(m+8)，Q 2表示的数是-4+(m+8)，Q 3表示的数是8-(m+8)，Q 4表示的数是-8+(m+8)，Q 5表示的数是12-(m+8)，Q 6表示的数是-12+(m+8)… ∴当n 为偶数，Q n 表示的数是-2n+（m+8）， ∵若P 与Q n 两点间的距离是4， ∴|m-[-2n+(m+8)]|=4， ∴n=2或n=6． 【点睛】本题考查新定义，数轴上数的特点；能够理解基准点的定义是解决问题的基础，从定义中探究出基准点的两个点是关于2对称的；（3）中找到Q 的变换规律是解题的关键． 24．5【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出x 、y 的值，然后求出z 的值，再根据平方根的定义解答．【详解】， ∴x+1=0,2-y=0， 解得x=-1，y=2， ∵z 是64的方根， ∴z=8所以，x y z -+=-1-2+8=5，所以，x y z -+的平方根是 【点睛】此题考查非负数的性质，相反数，平方根的定义，解题关键在于掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 25．（1）2，3 （2）①5722x ≤<②330,,42（3）00.5a ≤< 【分析】（1）根据新定义的运算规则进行计算即可；（2）①根据新定义的运算规则即可求出实数x 的取值范围；②根据新定义的运算规则和43x 为整数，即可求出所有非负实数x 的值； （3）先解方程求得22x a =-<>，再根据方程的解是正整数解，即可求出非负实数a 的取值范围． 【详解】（1） 1.87<>=2；=3；（2）①∵12x <->= ∴1121222x --<+≤解得5722x ≤<； ②∵43x x <>=∴41413232x x x -<+≤ 解得3322x -<≤∵43x 为整数 ∴333,0,,442x =-故所有非负实数x 的值有330,,42； （3）21122a x x -<>+-=- 1241a x x -<>+-=- 22x a =-<>∵方程的解为正整数 ∴21a -<>=或2①当21a -<>=时，2x =是方程的增根，舍去 ②当22a -<>=时，00.5a ≤<． 【点睛】本题考查了新定义下的运算问题，掌握新定义下的运算规则是解题的关键． 26．（1）1011，1101；（2）①12，65，97，见解析，②38 【分析】(1) 根据“模二数”的定义计算即可；(2) ①根据“模二数”和模二相加不变”的定义，分别计算126597，，和12+23，65+23,97+23的值，即可得出答案②设两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，根据a 、b 的奇偶性和“模二数”和模二相加不变”的定义进行讨论，从而得出与23“模二相加不变”的两位数的个数 【详解】解: (1) ()296531011M =，()()221010111108531596M M =+=+ 故答案为：1011,1101()2①()()222301,1210M M ==， ()()()222122311,122311M M M +=+=()()()22212231223M M M ∴+=+，12∴与23满足“模二相加不变”.()()222301,6501M M ==，， ()()()222652310,652300M M M +=+= ()()()22265236523M M M +≠+， 65∴与23不满足“模二相加不变”.()()222301,9711M M ==，()()()2229723100,9723100M M M +=+=， ()()()22297239723M M M +=+，97∴与23满足“模二相加不变”②当此两位数小于77时，设两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，1a 70b 7≤≤<<，； 当a 为偶数，b 为偶数时()()2210002013,a b M M +==，∴()()()()22222301,102310(2)(3)1001M M M a b M a a b b +=++++++== ∴与23满足“模二相加不变”有12个（28、48、68不符合） 当a 为偶数，b 为奇数时()()2210012013,a b M M +==，∴()()()()22222310,102310(2)(3)1000M M M a b M a a b b +=++++++== ∴与23不满足“模二相加不变”.但27、47、67、29、49、69符合共6个 当a 为奇数，b 为奇数时()()2210112013,a b M M +==，∴()()()()222223100,102310(2)(3)1010M M M a b M a a b b +=++++++== ∴与23不满足“模二相加不变”.但17、37、57、19、39、59也不符合 当a 为奇数，b 为偶数时()()2210102013,a b M M +==，∴()()()()22222311,102310(2)(3)1011M M M a b M a a b b +=++++++== ∴与23满足“模二相加不变”有16个，（18、38、58不符合） 当此两位数大于等于77时，符合共有4个 综上所述共有12+6+16+4=38 故答案为：38 【点睛】本题考查新定义，数字的变化类，认真观察、仔细思考，分类讨论的数学思想是解决这类问题的方法．能够理解定义是解题的关键．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实数知识点总结
考点一、实数的概念及分类 （3分）
1、实数的分类
正有理数
有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数
无理数 无限不循环小数 负无理数
整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如32,7等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3
π
+8
等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现） 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值是它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
正数大于零，负数
小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数
如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根
1、平方根
如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a 的平方根记做“a ±”。
2、算术平方根
正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0）
0≥a
==a a 2 -a （a <0） ；注意a 的双重非负性：
a ≥0
3、立方根
如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
考点四、科学记数法和近似数 1、有效数字
一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个
数的有效数字。
2、科学记数法
把一个数写做n
a 10⨯±的形式，其中101<≤a ，n 是整数，这种记数法叫做科学记数法。
考点五、实数大小的比较
1、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a 、b 是实数，
,0b a b a >⇔>-,0b a b a =⇔=-b a b a <⇔<-0
（3）求商比较法：设a 、b 是两正实数，
;1;1;1b a b
a
b a b a b a b a <⇔<=⇔=>⇔> （4）绝对值比较法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>。
（5）平方法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>2
2。
考点六、实数的运算 （做题的基础，分值相当大）
1、加法交换律 a b b a +=+
2、加法结合律 )()(c b a c b a ++=++
3、乘法交换律 ba ab =
4、乘法结合律 )()(bc a c ab =
5、乘法对加法的分配律 ac ab c b a +=+)(
6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？
实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。
同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。
7、有理数除法运算法则就什么？
有理数除法运算法则可用两种方式来表述：第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
零除以任何一个不为零的数，商都是零。
8、什么叫有理数的乘方？幂？底数？指数？
相同因数相乘的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂，相同因数的个数叫指数，这个因数叫底数。
记作: a n
9、有理数乘方运算的法则是什么？
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数。
零的任何正整数幂都是零。
10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么？
去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去（加）括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。
三．经典题型 例1 填空： (1)
25
4
的平方根是 ，81的算术平方根是 ；
(2) 的平方等于
169，16
9
的算术平方根是 . 例2 已知16)2(2
=x ，y 是2
)5(-的正的平方根，求代数式y x x y x x -++的值.
例3 将下列实数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接. π，5-，52-，0，12
-π
.
例4 数a 、b 在数轴上的位置如图所示：
化简：222)()1()1(b a b a ---++
例5．请你观察、思考下列计算过程： 因为121
11
2
=，所以11121=，同样，因为123211112
=，所以11112321=…由此猜
想76543211234567898=_________________．
例6. 若2x >，则2____x -= 35-的绝对值等于 ．
3.14____-=π．
四．易错题型
1、 已知a 是7的整数部分，b 是7的小数部分，求(b －7)a 的值
五．金典练习
1. 在实数中，绝对值等于它本身的数有（ ）．
A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个 2. 一组数
22,16,27,2
,14.3,31--π
这几个数中，无理数的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 下列说法中，不正确的是（ ）．
A. 3是2
)3(-的算术平方根 B. ±3是2
)3(-的平方根 C. －3是2
)3(-的算术平方根 D.－3是3
)3(-的立方根 4. 下列运算正确的是（ ）；
A 、任何数都有平方根 ；
B 、－9的立方根是－3 ；
C 、0的算术平方根是0 ；
D 、8的立方根是±3。
5. 16的平方根是（ ）； A 、4 ； B 、±4 ； C 、2 ； D 、±2
6. 2是_________的平方根；. 1－2的相反数是_________.. 若x 的立方根是4
1
-
，则x ＝___________． 7. 计算: _____________)4()3(22=-+-ππ
8.绝对值不超过3的无理数可能是___________(至少写出3个)．
9. 将下列各数由小到大重新排成一列，并用“＜”号连接起来：
－π， 0， 23， －3.15， 3.5
10. 计算 (1)
4×25 ； (2) 3064.0- (3) 22513-
11. (1) 25863-
--（4分） (2)
9
7
125.01692163
-+÷⨯
-
12. 设y x ,为实数,且已知021=-++y x ，求y x ．。