抛物线的简单几何性质学案
3.3.2第1课时 抛物线的简单几何性质 导学案正文
3.3.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质【学习目标】能类比椭圆、双曲线几何性质的研究方法得到抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质及其代数表达.◆知识点一抛物线的几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形焦点坐标(p2,0)(-p2,0)(0,p2)(0,-p2)准线方程x=-p2x=p2y=-p2y=p2开口方向范围对称轴顶点坐标离心率【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛物线关于原点对称.( )(2)抛物线只有一个焦点、一条对称轴,无对称中心. ( )(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.( )◆知识点二抛物线的焦半径、焦点弦与通径1.焦半径与焦点弦(1)抛物线上一点与焦点F连接的线段叫作焦半径.(2)过抛物线焦点的直线与抛物线相交,直线被抛物线所截得的线段称为抛物线的.设A(x0,y0)为抛物线上任意一点,则四种标准方程形式下的焦半径公式和焦点弦长|MN|(M(x1,y1),N(x2,y2))为标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦半径|AF|焦点弦长|MN|x1+x2+p-x1-x2+p y1+y2+p-y1-y2+p2.通径经过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线交抛物线于A,B两点,线段AB称为抛物线的通径,通径的长|AB|为.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛物线x2=4y,y2=4x的焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同.( )(2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p(p>0).( )(3)P(x1,y1)是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线的焦点,则|PF|=x1+p.( )◆探究点一抛物线的几何性质例1 (1)已知抛物线y2=8x,求出变量x的范围及该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴.(2)抛物线的顶点在原点,对称轴与椭圆9x2+4y2=36的短轴所在的直线重合,抛物线的焦点到顶点的距离为3,求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程.变式已知等边三角形AOB的边长为2,O为坐标原点,AB⊥x轴,且点A在第一象限.(1)求以O为顶点且过点A,B的抛物线的方程;(2)求(1)中所求抛物线的焦点坐标、准线方程及离心率e.[素养小结]运用抛物线的几何性质要把握三个要点:(1)定性:由抛物线的标准方程看抛物线的开口方向,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.(2)定量:确定焦点到准线的距离p(p>0).(3)转化:抛物线上的一点到焦点的距离与到准线的距离相等,解题时适时转化可起到事半功倍的效果.◆探究点二焦点弦的性质问题例2已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.变式 (多选题)经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则下列说法中正确的是( )A.当AB与x轴垂直时,|AB|最小B.1|AF|+1|BF|=p2C.以弦AB为直径的圆与直线x=-p2相离D.y1y2=-p2[素养小结]抛物线焦点弦长的求法:设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),利用弦所在直线的方程(注意方程的设法)与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2,由公式|AB|=x1+x2+p求出焦点弦长.◆探究点三抛物线几何性质的应用例3 (1)已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=4x上,则这个等边三角形的边长为( )A.8√3B.4√2C.4√3D.3√2(2)已知抛物线C:y2=4√2x的焦点为F,O为坐标原点,P为抛物线C上一点,且满足|PF|=3√2,则△POF的面积为.变式 (1)以抛物线C:y2=4x的焦点F为端点的射线与C及C的准线l分别交于A,B两点,过B且平行于x轴的直线交C于点P,过A且平行于x轴的直线交l于点Q,若|AQ|=43,则△PBF的周长为( )A.16B.12C.10D.6(2)已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上不同的两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线AB的方程.[素养小结]利用抛物线的性质可以解决的问题:(1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题.(2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题.(3)范围:解决与抛物线有关的最值问题.(4)焦点:解决焦点弦问题.。
抛物线的简单几何性质教案
抛物线的简单几何性质（一）导学案【教学目标】知识与技能：了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.使学生理解并掌握抛物线的几何性质，从定义和标准方程出发，探究有关抛物线的焦半径和焦点弦的常见性质．过程与方法：从抛物线的定义和标准方程出发，结合几何分析和坐标运算，推导抛物线的性质。
培养学生分析、归纳、推理等能力．情感态度与价值观：使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，解决抛物线中的弦的问题．【学法指导】结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质，通过对抛物线的标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.教学重难点：1．重点：有关抛物线焦半径和焦点弦几何性质的推理过程中所应用的方法、技巧和结论．2．难点：对抛物线的几何性质和焦点弦几何性质推理和应用的方法渗透．学情分析：【知识回顾】1．抛物线的定义、标准方程。
（生口述完成）2．焦半径直线过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，3.填空（顶点在原点，焦点在坐标轴）方程，焦点，准线，开口.1.26y x=2.()1,0F-3.1y=-4.2270x y+=二、新课讲授【问题探究一】探究点一抛物线的几何性质问题1类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px (p>0)的范围、对称性、顶点、离心率.怎样用方程验证？(生通过预习，完成导学案上的表格，并小组之间互相分享结果，互相讨论)1．抛物线的几何性质（方程的方法进行验证）(生口述完成) 研究抛物线)0(22>=p px y ： （1）范围因为0>p ，由方程可知0≥x ，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，||y 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性以y -代y ，方程不变，所以抛物线关于x 轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当0=y 时0=x ，因此抛物线的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知1=e例题1：【引题】已知斜率为1直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点.求线段AB 的长。
§2.3.2抛物线的简单几何性质学案
【复习巩固】1. ____________________________________________________________________叫做抛物线；_______________叫做抛物线的焦点，________________叫做抛物线的准线；焦点在x 轴上抛物线的标准方程为_________________，其焦点坐标为__________，准线方程为________________，其中p 的几何意义为________________. 3. 完成下表：4. 抛物线24(0)y ax a =<的焦点坐标是（ ） A. 104a ⎛⎫⎪⎝⎭， B . 1016a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， C. 1016a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， D.1016a ⎛⎫⎪⎝⎭， 5. 一动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则动圆必过定点（ ） A. (4，0) B . （2，0） C.（0，2） D. (0，－2)6. 已知F 为抛物线22y x =的焦点，定点Q （2，1）点P 在抛物线上，要使||PQ PF +的值最小，点P 的坐标为（ ） A. (0，0) B. 112⎛⎫⎪⎝⎭， C.D. (2，2)7. 已知抛物线型拱桥的顶点到水面2m 时，水面宽为8m ，当水面升高1m 后，水面宽为____________一、抛物线22(0)y px p =>的简单几何性质 1. 范围：______________________2. 对称轴：_________________________________________ 3．顶点：____________________________________________ 4. 离心率：_____________________________________________ 二、小结：抛物线的简单几何性质一览表【例1】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过(2M -，，求它的标准方程。
3.3.2 抛物线的简单几何性质(第1课时)
对称性
对称中心为原点 两条对称轴
对称中心为原点 两条对称轴
无对称中心 一条对称轴
顶点 离心率 决定形状的因素
4个 0<e<1 e 决定扁平程度
2个
1个
e>1
e＝1
e 决定“张口”大小 p 决定“张口”大小
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课时学案
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题型一 抛物线的几何性质
例 1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x2＋4y2＝36 短轴所在的
写出△AOB的面积，利用面积列方程求解 . 【解析】 由题意，设抛物线方程为 y2＝2mx(m≠0)，焦点 Fm2 ，0，直线 l：
x＝m2 ，∴A，B 两点坐标为m2 ，m，m2 ，－m，∴|AB|＝2|m|.∵△OAB 的面积为 4， ∴12·m2 ·2|m|＝4，∴m＝±2 2.∴抛物线方程为 y2＝±4 2x.
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探究2
利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点弦：解决焦点弦问题.
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思考题 2 (1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴，且与圆 x2 ＋y2＝4 相交的公共弦长等于 2 3.求这个抛物线的方程.
2.抛物线方程中，参数 p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，2p等于 焦点到抛物线顶点的距离.
3.在解题中，抛物线上的点、焦点、准线三者通常与抛物线的定义相联系， 所以要注意相互转化.
其准线方程分别为 x＝－3 或 x＝3.
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探究1
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看准一次项是 x 还是 y，一次项的系数是正还是负. (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. (3)定值：焦点到准线的距离为 p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径) 长为 2p；离心率恒等于 1.
学案11：2.4.2 抛物线的简单几何性质
2.4.2 抛物线的简单几何性质学 习 目 标核 心 素 养1．掌握抛物线的几何性质．(重点)2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)1．通过抛物线几何性质的应用，培养学生的数学运算核心素养．2．通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养．新知初探1．抛物线的几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p＞0)图形性质焦点 ⎝⎛⎭⎫p 2，0 ⎝⎛⎭⎫－p 2，0 ⎝⎛⎭⎫0，p 2 ⎝⎛⎭⎫0，－p 2准线 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈R________________对称轴 ________________顶点 ________ 离心率e ＝112y 2)，则有：(1)y 1y 2＝ ，x 1x 2＝ ； (2)|AB |＝ ，|AF |＝ ； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． 3．直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px 解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有_____个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线 公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的对称轴 ，此时直线与抛物线有一个公共点． 思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？初试身手1．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 到x 轴的距离是( ) A ．1716B ．78C ．1D ．15162．顶点在原点，对称轴为x 轴，顶点到准线的距离为2的抛物线方程是( ) A ．y 2＝16x B ．y 2＝8x C ．y 2＝±8xD ．y 2＝±16x3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝( ) A ．10 B ．8 C ．6D ．44．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________．合作探究类型1 抛物线几何性质的应用例1 (1)等腰Rt △ABO 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△ABO 的面积是( ) A ．8p 2 B ．4p 2 C ．2p 2D ．p 2(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．规律方法把握三个要点确定抛物线的简单几何性质1.开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.2.关系：顶点位于焦点与准线中间、准线垂直于对称轴.3.定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦又称为通径长为2p；离心率恒等于1.跟踪训练1．已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2)．求抛物线的标准方程和准线方程．类型2 与中点弦、焦点弦有关的问题例2(1)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_________________________．(2)已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线'E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分．①求抛物线E的方程；②求直线AB的方程．规律方法直线与抛物线相交的弦长问题直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k．(1)一般的弦长公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|．(2)焦点弦长公式：当直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p．(3)“中点弦”问题解题策略两种方法跟踪训练2．已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝52p，求AB所在的直线方程．类型3 直线与抛物线的位置关系例3(1)已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则()A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线可能没有公共点(2)已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？规律方法直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px p>0，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.1.若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.2.若k2≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点.跟踪训练3．若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．类型4 抛物线性质的综合应用探究问题1．若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有什么关系？2．如何求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小值？例4如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．母题探究1．若本例题改为：如图所示，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△P AB的面积最大，并求出这个最大面积．如何求解？移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l．(1)求动点Q的轨迹方程；(2)记Q的轨迹为曲线E，过点F作两条互相垂直的直线交曲线E的弦为AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点(3,0)．如何求解？规律方法应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便．(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．课堂小结1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用． 3．判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果．(2)代数法：设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x (或y )的一元二次方程形式：Ax 2＋Bx ＋C ＝0(或Ay 2＋By ＋C ＝0)．相交：①有两个交点：⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＞0；②有一个交点：A ＝0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；相切：有一个公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＝0；相离：没有公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＜0.直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．课堂检测1．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y2．设A ，B 是抛物线x 2＝4y 上两点，O 为原点，若|OA |＝|OB |，且△AOB 的面积为16，则∠AOB＝()A．30°B．45°C．60° D．90°3．过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有()A．4条B．3条C．2条D．1条4．过抛物线y2＝8x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，求|AB|的值．参考答案新知初探1．y≥0，x∈R y≤0，x∈R x轴y轴(0,0) 12．(1)－p2 p2 4(2) x 1＋x 2＋p x 1＋p23．两 一 没有 平行或重合思考：[提示] 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．初试身手1．【答案】D【解析】抛物线方程可化为x 2＝14y ，其准线方程为y ＝－116，点M 到焦点的距离等于点M到准线的距离．∴点M 到x 轴的距离是1516．2．【答案】C【解析】顶点在原点，对称轴为x 轴的抛物线方程有两个：y 2＝－2px ，y 2＝2px (p >0)，由顶点到准线的距离为2知p ＝4，故选C ． 3．【答案】B【解析】|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8． 4．【答案】2【解析】F (1,0)，由抛物线定义得A 点横坐标为1． ∴AF ⊥x 轴， ∴|BF |＝|AF |＝2．合作探究类型1 抛物线几何性质的应用 例1 (1)【答案】B【解析】由抛物线的对称性质及OA ⊥OB 知，直线OA 的方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得A (2p,2p )，则B (2p ，－2p )，所以|AB |＝4p ，所以S △ABO ＝12·4p ·2p ＝4p 2，选择B ．(2)解：设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)或y 2＝－2px (p >0)，交点A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)(y 2<0)，则|y 1|＋|y 2|＝23，即y 1－y 2＝23．(*)由对称性，知y 2＝－y 1，代入(*)式，得y 1＝3，把y 1＝3代入x 2＋y 2＝4，得x 1＝±1， 所以点(1，3)在抛物线y 2＝2px 上， 或点(－1，3)在抛物线y 2＝－2px 上， 得3＝2p 或3＝－2p ×(－1)，所以p ＝32．故所求抛物线的方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x ．跟踪训练1．解：(1)当抛物线的焦点在x 轴上时， 设其标准方程为y 2＝mx (m ≠0)． 将点M (1，－2)代入，得m ＝4． ∴抛物线的标准方程为y 2＝4x ；(2)当抛物线的焦点在y 轴上时，设其标准方程为x 2＝ny (n ≠0)． 将点M (1，－2)代入，得n ＝－12．∴抛物线的标准方程为x 2＝－12y ．故所求的抛物线的标准方程为y 2＝4x 或x 2＝－12y ．准线方程为x ＝－1或y ＝18．类型2 与中点弦、焦点弦有关的问题 例2 (1)【答案】y 2＝4x【解析】设抛物线的方程为y 2＝2px (p ≠0)，与y ＝x 联立方程组，消去y ，得x 2－2px ＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝2p ．又因为P (2,2)为AB 的中点， 所以2p ＝4，所以y 2＝4x ．(2)解：①由于抛物线的焦点为(1,0)， 所以p2＝1，p ＝2，所求抛物线的方程为y 2＝4x ． ②法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1 ①，y 22＝4x 2 ②，且x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，由②－①得(y 1＋y 2)(y 2－y 1)＝4(x 2－x 1)，又x 1≠x 2， 所以y 2－y 1x 2－x 1＝2，所以所求直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)， 即2x －y －3＝0．法二：显然AB 不垂直于x 轴，故可设弦AB 所在的直线方程为y －1＝k (x －2)，k ≠0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －2，y 2＝4x ，消去x 整理得ky 2－4y －8k ＋4＝0， 所以y 1＋y 2＝4k ，又M 点是AB 的中点， 所以y 1＋y 2＝2， 所以k ＝2，故直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0． 跟踪训练2．解：由题意知焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p <52p ，不满足题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，k ≠0． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ， 消去y ，整理得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p 24＝0． 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝p ＋2pk2，所以|AB |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＋2p k 2＝52p ，解得k ＝±2．所以AB 所在的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －p 2或y ＝－2⎝⎛⎭⎫x －p2． 类型3 直线与抛物线的位置关系 例3 (1)【答案】C【解析】直线方程可化为y ＝k (x －1)，因此直线恒过定点(1,0)，点(1,0)在抛物线y 2＝2px (p >0)的内部，因此直线与抛物线有一个或两个公共点，故选C ． (2)解：由题意，直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，(*)可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0．① ①当k ＝0时，由方程①得y ＝1，把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14，这时，直线l 与抛物线只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1． ②当k ≠0时，方程①的判别式为 Δ＝－16(2k 2＋k －1)．a ．由Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1或k ＝12，所以方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线l 与抛物线只有一个公共点． b ．由Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12，于是，当－1<k <12，且k ≠0时，方程①有两个解，从而方程组(*)有两个解，这时直线l 与抛物线有两个公共点．c ．由Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k <－1或k >12．于是当k <－1或k >12时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解，直线l 与抛物线无公共点．综上，当k ＝0或k ＝－1或k ＝12时，直线l 与抛物线只有一个公共点．当－1<k <12，且k ≠0时直线l 与抛物线有两个公共点．当k <－1或k >12时，直线l 与抛物线无公共点．跟踪训练3．解：因为直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ＋1x －1，y 2＝ax只有一组实数解，消去y ，得[(a ＋1)x －1]2＝ax ，即(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0，①(1)当a ＋1＝0，即a ＝－1时，方程①是关于x 的一元一次方程，解得x ＝－1，这时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.(2)当a ＋1≠0，即a ≠－1时，方程①是关于x 的一元二次方程．令Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a (5a ＋4)＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝－45．所以原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－2. 综上，实数a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45．类型4 抛物线性质的综合应用 探究问题1．[提示] 两条直线的斜率互为相反数． 2．[提示] 法一：设A (t ，－t 2)为抛物线上的点，法二：如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行的抛物线的切线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋m ＝0，消去y 得3x 2－4x －m ＝0，∴Δ＝16＋12m ＝0，∴m ＝－43．∴最小距离为⎪⎪⎪⎪－8＋435＝2035＝43．例4 (1)解：由题意可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由点P (1,2)在抛物线上，得22＝2p ×1，解得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1．(2)证明：因为P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k P A ＝－k PB ，即y 1－2x 1－1＝－y 2－2x 2－1．又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，所以x 1＝y 214，x 2＝y 224，从而有y 1－2y 214－1＝－y 2－2y 224－1，即4y 1＋2＝－4y 2＋2，得y 1＋y 2＝－4，故直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1．母题探究1．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2.由图可知，A (4,4)，B (1，－2)， 则|AB |＝35．设P (x 0，y 0)为抛物线AOB 这段曲线上一点，d 为点P 到直线AB 的距离，则 d ＝|2x 0－y 0－4|5＝15⎪⎪⎪⎪y 202－y 0－4 ＝125|(y 0－1)2－9|．∵－2<y 0<4，∴(y 0－1)2－9<0． ∴d ＝125[9－(y 0－1)2]．从而当y 0＝1时，d max ＝925，S max ＝12×925×35＝274．故当点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，1时，△P AB 的面积取得最大值，最大值为274． 2．(1)解：因为点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，所以点R 是线段FP 的中点，由此及RQ ⊥FP 知，RQ 是线段FP 的垂直平分线．因为|PQ |是点Q 到直线l 的距离，而|PQ |＝|QF |，所以动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x (x >0)．(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )，直线AB ：x ＝my ＋1(m ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4＝0．于是，有y M ＝y 1＋y 22＝2m ，x M ＝m ·y M ＋1＝2m 2＋1，即M (2m 2＋1,2m )．同理，N ⎝⎛⎭⎫2m 2＋1，－2m ． 因此，直线MN 的斜率k MN ＝2m ＋2m2m 2＋1－⎝⎛⎭⎫2m 2＋1＝m m 2－1，方程为y －2m ＝mm 2－1(x －2m 2－1)，即mx ＋(1－m 2)y －3m ＝0．显然，不论m 为何值，(3,0)均满足方程，所以直线MN 过定点(3,0)．课堂检测1．【答案】C【解析】设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，通径为2p ＝8，p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x ． 2．【答案】D【解析】由|OA |＝|OB |，知抛物线上点A ，B 关于y 轴对称，设A ⎝⎛⎭⎫－a ，a 24，B ⎝⎛⎭⎫a ，a24，则S △AOB ＝12×2a ×a 24＝16，解得a ＝4，所以|AB |＝8，|OA |＝|OB |＝42，所以∠AOB ＝90°．3．【答案】B【解析】当直线垂直于x 轴时满足条件，当直线不垂直于x 轴时，设直线方程为y ＝kx ＋1，满足条件的直线有两条，共三条满足题意的直线． 4．解：由抛物线y 2＝8x 知，p ＝4．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以x 1＋x 2＝|AB |－p ．由条件知x 1＋x 22＝3，则x 1＋x 2＝6，所以|AB |－p ＝6， 所以|AB |＝10．。
抛物线的简单几何性质(第1课时)高中数学获奖教案
2.3.2抛物线的简单几何性质（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章)一、教学目标1.掌握抛物线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率；2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论；3.对通径、焦半径公式进行初步探索；4.进一步理解数形结合的思想方法在解析几何中的应用。
二、教学重难点1.教学重点：抛物线的简单几何性质、利用抛物线的几何性质求方程、对通径与焦半径公式的初步探究。
2.教学难点：利用数形结合法对通径、焦半径公式的探究。
三、教学过程1.利用数形结合的思想探究抛物线的简单几何性质1.1 知识回顾，温故知新【学生活动】学生完成学案内容，对抛物线的四种方程、图形、焦点坐标、准线方程进行复习。
【设计意图】之前学过椭圆、双曲线的几何性质，都是通过图形和方程两方面进行研究的，因此引导学生对抛物线的四种方程、图形、焦点坐标、准线方程进行复习，有利于对抛物线性质的进一步探索。
1.2 数形结合，类比探究问题1：类比用标准方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，请思考：我们要研究抛物线的哪些几何性质？如何研究这些性质？【预设答案】前面我们学习了椭圆、双曲线的范围、对称性、顶点、离心率，在双曲线中还学习了渐近线。
我们是通过“数”和“形”两方面对椭圆、双曲线的几何性质进行探究的。
【设计意图】类比椭圆、双曲线几何性质的研究思路，为接下来用数形结合法研究抛物线的几何性质进行铺垫。
问题2：观察图形，你能发现抛物线横、纵坐标的取值范围吗？【预设答案】通过观察图形，学生很容易得到开口向右的抛物线中横、纵坐标的取值范围，即为问题3：从数的角度，也就是从抛物线方程的角度，怎样得到抛物线中横纵坐标的取值范围呢？【预设答案】在方程中，并无限制，因此。
而因为，且，所以。
【设计意图】让学生从“数”和“形”两个角度探索抛物线的范围。
问题4：观察图形，抛物线有几条对称轴？是否有对称中心？【预设答案】学生观察图形容易得到开口向右的抛物线关于轴对称，没有对称中心。
高二数学《抛物线的简单几何性质》学案(第课时)
§2。
3。
2抛物线的简单几何性质（第1课时)[自学目标］：1．掌握抛物线的图形和简单几何性质［重点］：抛物线的简单几何性质的应用[难点］：运用抛物线的定义解决问题［教材助读］：抛物线的几何性质：［1．范围：因为p＞0,由方程()022>y可知,这条抛物线上的点M=ppx的坐标（x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向和无限延伸．2．对称性：以－y代y,方程()022>y不变，所以这条抛物线关于px=p对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的．3．顶点：抛物线和它的轴的交点叫做．在方程()022>ypx=p中，当y=0时，x=0,因此抛物线()022>y的顶点就是．=ppx4．离心率：抛物线上的点M与和它到的比，叫做抛物线的离心率，用e表示,由抛物线的定义可知，e= 。
源：]()022>=p px y x yO F l()022>-=p px y x yO F l()022>=p py x()022>-=p py x[预习自测］1、求适合下列条件的抛物线方程①顶点在原点，关于 轴对称，并且经过点(5,4)M -, 。
②顶点在原点,焦点是(0,5)F , 。
③顶点在原点，准线是4x = 。
④焦点是(0,8)F - ，准线是8y =, 。
2、若抛物线过点（1,2),则抛物线的标准方程为: 。
x yO F l x yOF l3、有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米,当水面下降1米时，水面宽是多少米？待课堂上与老师和同学探究解决.［合作探究展示点评］探究一：抛物线的定义与性质的应用例1、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M ，(2,求它的标准方程探究二：实际应用例2、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。
2.7 抛物线的简单几何性质-王后雄学案
2.7 抛物线的简单几何性质教材知识检索考点知识清单1．已知抛物线的标准方程为),0(22>=p px y 则抛物线上的点（x ，y ）的横坐标的取值范围是 ① ． 2．抛物线的对称轴叫做 ② ，抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点，抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比叫抛物线的 ③ ，其值为 ④ .3．在抛物线)0(22>=p px y 中，通过焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为 ⑤ ，连接这两点的线段叫做抛物线的⑥ ，它的长为 ⑦ .要点核心解读一、抛物线的几何性质以抛物线)0(22>=p px y 为例．1．范围：抛物线在y 轴的右侧向右上方和右下方无限延伸． 2．对称性：抛物线关于x 轴对称． 3．顶点：坐标原点是抛物线的顶点． 4．离心率：抛物线的离心率e=1．[注意] (1)上述抛物线的几何性质，我们是以>=p px y （22)0为例来研究 的，也就是通过这个方程来研究其几何性质，对于其他方程也具有同样的性质，事实上，抛物线的几何性质是不依赖于抛物线方程的，而坐标系、方程等不过是我们研究其几何性质的一个工具而已．同样的，对于前面的椭圆和双曲线的几何性质的研究也是如此．(2)抛物线的几何性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大，它的离心率为1，只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线．它没有对称中心，因此抛物线叫做无心圆锥曲线，而椭圆和双曲线则称为有心圆锥曲线．(3)通过焦点垂直于对称轴的抛物线的弦叫抛物线的通径，通径长为2p.这便是标准方程中2p 的一种几何意义．而p 的几何意义则是焦点到准线的距离.抛物线的几何性质与椭圆：双曲线几何性质的不同之处二、抛物线的焦点弦如图2 -7 -1，AB 是抛物线)0(22>=p px y 过焦点F 的一条弦．设AB y x B y x A ),,(),(2211、的中点),,(00y x M 过A 、M 、B 分别向抛物线的准线L 作垂线，垂足分别为⋅111B M A 、、则根据抛物线的定义，有|,||||,|||11BB BF AA AF ==故.||||||||||11BB AA BF AF AB +=+=又||1MM 是梯形B B AA 11的中位线；.||2||||||111MM BB AA AB =+=∴故有下列结论：(1)以AB 为直径的圆必与准线L 相切；)2(2||)2(0px AB +=（焦点弦长与中点关系）； ;||)3(21p x x AB ++=;2||,2||)4(21p x BF p x AF +=+= (5)若直线AB 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F ，且其倾斜角为p ，则,sin 2||2θpAB =θθcos 1||,cos 1||+=-=pBF p AF[注意] 上述性质(5)推导如下：如图2 -7 -1所示，设x M ⊥2轴于x BB A ⊥22,轴于,2B 则由抛物线的定义可知，+=+===p p F A N A AA AF ||||||||221,cos .||θAF即,cos 1||,)cos 1(||θθ-=∴=-pAF p AF同理可得θcos 1||+=pBF=-=++-=+=∴θθθ2cos 12cos 1cos 1||||||p p p BF AF AB ⋅θ2sin 2p三、抛物线的过定点弦问题[例题]过抛物线px y 22=的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标分别为,21y y 、求证.221p y y -=[解析] 因为当直线斜率为零时，直线与抛物线仅有一个交点，故可设其直线方程为,2pmy x += 代入px y 22=得),(22--+=P my p y 即.,0222122p y y p pmy y -=∴=--[探究] 对上述例题进行联想、引中和改造，可以得到综合性强、形式新颖的命题，多思考、多训练，可提高思维的广阔性与灵活性，培养探索创新能力，变式1：设抛物线px y 22=上两个动点A ．B 的纵坐标分别为,21y y 、且满足,22p y y l -=求证：直线AB 经过焦点．证明：设A 、B 的坐标分别为),,(),,(2211y x y x 直线AB 的方程为程y=k （x 一a ）． 显然.,0a kyx k +=∴=/ 将其代入.022,222=--=pa y kpky px y 21,y y 是此方程的两实根，.221pa y y -=∴又,2,2221p pa p y y -=-∴-=即⋅=2p a 故直线AB 经过焦点F ．变式2：设M(a ，O)是抛物线px y 22=对称轴上的一个定点，过M 的直线交抛物线于A ，B 两点，其纵坐标分别为,21y y 求证：21y y 为定值．证明：因为直线AB 与抛物线交于两点，因此可设直线AB 的方程为,a my x +=将其代入px y 22=中，消去x ，得--pmy y 22,02=pa 则21,y y 是此方程的两实根，由韦达定理，知=21y y ,2pa -其为定值，变式3：设抛物线px y 22=上两个动点A 、B 分别为),,(l l y x ),,(22y x 且满足n n y y (21=为常数），问直线AB 是否恒过某一定点？解：当21x x =/时，,221y y pk AB +=直线AB 的方程为⋅-⋅+=-)(21211x x y y py y ①将p y x 2211=代入①，化简整理，得2121212y y y y y y pxy +++= AB n y y ∴=,21 的方程为),2(221pnx y y p y ++=即直线AB 过定点⋅-)0,2(pn当21x x =时，结论仍然成立（实际上当n>0时1,y 与2y 号，点A 和点B 在对称轴的同侧，且,21x x =/ 所以当21x x =时，必有n <0）．故当n n y y (21=为常数）时，直线AB 恒过定点⋅-)0,2(pn[结论] 由以上的探究可知21y y “为定值”的充要条件是“直线AB 恒过x 轴上一定点”，事实上，若 21k k 和分别为直线OA 和OB 的斜率，则21k k 也有类似的结论，而对于,21x x 则只有当直线AB 过x 轴上一定点时，才有21x x 为定值，反过来却不行，对于抛物线其他形式的标准方程也有类似的结论，请同学们继续对它们进行探究，注意这些结论还有着广泛的应用， 四、抛物线的光学性质[例题] 汽车的前灯射出的是一束平行的光柱，在制造时，是把车灯的反射面造成抛物面，而把光源放在抛物面的焦点处，你能用所学的知识来解释这种现象吗？[探究] 显然车灯的这束光柱是平行于抛物面的对称轴，因此，我们只需考虑自焦点处发出的光线被反射面反射后是否与抛物面的对称轴平行，由光学知识知，光线反射时，入射角等于反射角，即入射光线与法线（即过反射点且与过反射点和反射面相切的平面垂直的直线）的夹角等于反射光线与法线的夹 角．我们作出车灯的轴截面 (如图2 -7 -2)，于是只需要考虑自焦点F 发出的光线与法线（即过P 点且与过P 点的抛物线的切线垂直的直线）的夹角1ϕ是否等于过P 点且与对称轴平行的直线与法线所成的夹角,2ϕ而,32ϕϕ=因此只要看1ϕ是否等于,3ϕ即看｜FP ｜是否等于｜FM ｜？设抛物线的方程为P p px y ),0(22>=点坐标为=/000)(,(y y x ),0过P 点的抛物线的切线方程为 k x x k y y )(00-=-（为切线斜率）． 由两方程及,2200py x =得.0)2(22002=-+-ky py py ky (*) 要使直线)(00x x k y y -=-与抛物线相切，也就是使关于y 的一元二次方程有两个相等的实根，即=--=∆)2(442002ky py k p ,0即.0)(20=-ky p 由此可得0y pk =∴ 法线PM 的方程为),(000x x p yy y --=-∴ 法线PM 与x 轴的交点为⋅+=∴+2||),0,(00px FM p x M 又由抛物线的定义可知,2||0p x FP += ,,|,|||2131ϕϕϕϕ=∴=∴=∴FM FP 即法线PM 平分PQ FPQ ∴∠,为其反射光线．由此得到：自抛物面的焦点发出的光线被抛物面反射后，其反射光线与抛物面的对称轴平行；反过来，与对称轴平行的光线投射到抛物面上，经抛物面反射后通过焦点．利用这个光学性质可以制作雷达的接收器以及太阳灶等，椭圆和双曲线也有类似的光学性质，我们可以用类似的方法对它们加以研究． [结论] 在旋转的抛物面的焦点发出的光线投射到曲面上，经曲面反射后，都与抛物面的对称轴平行；反过来，与曲面的对称轴平行的光线投射到曲面上，经曲面反射后，都经过焦点．类似地有：在旋转的椭圆面的一个焦点发出的光线投射到曲面上，经过曲面反射后，都经过另一个焦点，在旋转的双曲面的一个焦点发出的光线投射到曲面上，经过曲面反射后，会使光线散开，而且这些光线就好像是另一个焦点发出的一样．典例分类剖析考点1 抛物线的几何性质 命题规律1．探求抛物线的有关几何性质．2．给出抛物线的某些几何性质，探求抛物线方程等．[例1] 已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(l ，-2)，求抛物线方程． [解析] 由于抛物线以坐标轴为对称轴，而抛物线的对称轴只有一条，因此可能是以x 轴为对称轴，也可能是以y 轴为对称轴．即使以x 轴为对称轴，开口方向可能向右，也可能向左 ，这样讨论起来就比较复杂，但此时若设其方程为,2mx y =就避免了不必要的讨论． [答案] (1)当抛物线的焦点在x 轴上时，设其方程为.2mx y =将M(l ，-2)代入，得.4=m(2) 当抛物线的焦点在y 轴上时，设其方程为⋅=ny x 2将M （1，-2）代入，得⋅-=∴-=y x n 21.212故所求的抛物线方程为⋅-=⋅=y x x y 21.422[点拨] 利用抛物线性质求抛物线的标准方程仍然是用待定系数法求解，不同的地方是：题目需要利用抛物线的性质来叙述有关条件而已，只要我们熟练地掌握了这些性质，也就能顺利地解题． 母题迁移 1．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，关于y 轴对称，并且经过点);32,4(P (2)顶点在原点，准线是.4-=y 考点2抛物线的焦点弦 命题规律1．求抛物线焦点弦的弦长．2．与抛物线的焦点弦有关的证明问题． 3.与抛物线焦点弦有关的综合问题．[例2] (1)如图2-7 -3，设抛物线的焦点为F ，AB 为过F 的弦，L 为准线，l M ⊥1于l BB A ⊥11, 于M B ,1为11B A 的中点，求证：MF ⊥AB.(2)已知抛物线)0(22>=p px y 的一条焦点弦AB 被焦点F 分成m ，n 两部分，求证：nm 11+为定值．[答案] (1)过F 作FN ⊥AB 交准线L 于N ，连接AN ，BN.在N AA Rt 1∆与Rt △AFN 中，|||,|||1AN AF AA = 为公共边，,1AFN Rt N AA Rt ∆≅∆∴.||||1FN N A =∴同理|,|||1FN N B =|,|||11N B N A =∴即N 为11B A 的中点，从而N 与M 重合，.AB MF ⊥∴(2)如图2-7 -4所示，设弦AB 与X 轴正向所成的角为θ，则p AA AF ==||||1AF P F A +=+||2==∴||,cos |AF m θ,cos 1θ-p 同理θcos 1||+=pBFpp p n m 2cos 1cos 111=++-=+∴θθ为定值． [点拨] 解决抛物线的焦点弦问题，要注意抛物线的定义的运用，充分利用图形的形象直观以及平面几何知识来分析解决问题.在解答题中，不要直接运用抛物线焦半径公式=||AF ,cos 1||,cos 1θθ+=-pBF p 最好要推导一下（如本例的解析）．母题迁移 2．(1)求抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦长的最小值．(2)（2010年山东高考题）已知抛物线),0(22>=p px y 过其焦点且斜率为l 的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )．1.=x A 1.-=x B2.=x C 2.-=x D 考点3 抛物线的过定点弦 命题规律1．若抛物线的弦所在的直线过定点，探求有关量（如弦的两端点的纵坐标之和）是否为定值．2．由给出的有关量为定值，探求直线是否过定点． 3．利用过定点弦的有关结论分析解决问题．[例3] 已知A ，B 是抛物线x y 162=上的两点，且OA OB ，OP 垂直AB 于P ，求P 点的轨迹方程． [答案]∴-=⋅,10B oA k k 直线AB 过定点Q （a ，0），故设直线AB 的方程为),,(),(11y x A a x k y -=),(22y x B 则=1x ⋅=16,1622221y x y 显然,,0a kyx k +=∴=/将其代入,162x y =得,016162=--a y ky ,1621a y y -=∴,11616.21222110-=-===⋅∴ay y x y x y k k oBA∴ a=16，即直线AB 过定点Q(16，0)．又OP ⊥PQ, ∴ P 点在以OQ 为直径的圆上， 故所求的轨迹方程为⋅=/=+-)0(64)8(22x y x[点拨] 本例中利用结论直线AB 过定点Q(16，0)，进而得到所求轨迹为以oQ 为直径的圆，从而简便了解题过程，需要注意的是：不能直接利用前面所推导出的结论，而应像本例解答过程一样，先推导，再用其结论．母题迁移 3．设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C在抛物线的准线上，且BC//x 轴，那么A 、D 、C 三点是否共线？[例4] 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点，作倾斜角为p 的直线交抛物线于A 、B 两点，设△AOB 的面积为S （O 为原点），若S 的最小值为8，求此时的抛物线方程．[答案] 如图2 -7 -5．设),,(11y x A ),,(22y x B 直线AB 的方程为,2pmy x +=代入-=22,2y px y 得 .,022212p y y p pmy -=∴=-又 .221||.22110p y p S S S BFOAF AOB ⋅+⋅=+=∆∆∆|)||(|4||212y y p y +=⋅=⋅≥2||24221p y y p当且仅当p y y ==||||21时等号成立，故⋅=22minp s 由题意有.4,822=∴=p p 故所求的抛物线方程为.82x y =[点拨] 本例中，利用结论”“221p y y -=从而简化解题过程． 母题迁移 4．在平面直角坐标系xOy 中，过定点C(O ，p)作直线与抛物线)0(22>=p py x 相交于A 、B 两点．(1)若点N 是点C 关于坐标原点D 的对称点，求△AN B 面积的最小值；(2)是否存在垂直于y 轴的直线L ，使得L 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出L 的方程；若不存在，说明理由． 考点4 直线与抛物线命题规律1．求直线与抛物线的交点坐标． 2．求直线被抛物线截得的弦长． 3．有关抛物线的中点弦问题．[例5] 抛物线x y 82=上有一点P(2，4)，以点P 为一个顶点，作抛物线的内接△PQR ，使得△PQR 的重心恰好是抛物线的焦点，求QR 所在直线的方程．[解析] P 点恰好在焦点F(2，0)的正上方，因为F 为△PQR 的重心，所以QR 的中点为M （2，-2），将该问题转化为已知QR 的中点求弦所在直线方程的问题．[答案]抛物线x y 82=的焦点为F(2，0)．∵ F 为△PQR 的重心， ∴QR 的中点为M （2，-2），如图2-7 -6所示． 设),,(),(2211y x R y x Q则有⎩⎨⎧==②①,8,8222121x y x y①一②，得).(8212221x x y y -=-又,421-=+y y∵ 直线QR 的斜率为.2488212121-=-=+=--=y y x x y y k∴ QR 所在直线的方程为),2(22--=+x y 即.022=-+y x[点拨] 点差法是解决有关抛物线中点弦问题的有效方法，应熟练掌握它．母题迁移 5．过点Q(4，1)作抛物线x y 82=的弦AB ，恰被Q 所平分，求AB 所在的直线方程．考点5抛物线的综合应用.命题规律1．抛物线与其他数学知识的综合问题． 2．抛物线在实际问题中的应用．[例6] 一颗彗星沿一条以地球为焦点的抛物线轨道运行（设彗星、地球都是质点），当彗星离地球d 万公里时，经过地球和彗星的直线与抛物线对称轴的夹角为,30o 求此彗星运行时离地球最短的距离. [答案] 以抛物线的顶点为原点，顶点与焦点的连线为x 轴，建立直角坐标系．设抛物线方程为),0(22>=p px y 焦点为),0,2(p F 彗星位于),(00y x P 处，直线PF 的方程为=y ),2(33px -解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-==),2(33,22p x y px y 得,23470p x ±==+=2||0p x PF ,)324(p ±即,)324(d p =±得.232d p ±=所以彗星与地球的最短距离为d 432+万公里或d 432-万公里（P 点在F 点的左边或右边时，所求距离取值不同）．[点拨] 解决抛物线的实际应用问题，首先要确定问题中是否建立了抛物线的模型，若没有，则应充分利用抛物线的定义建立抛物线模型，利用抛物线的知识分析解决问题．对于建立抛物线模型问题，要利用抛物线知识解题，首先要分析问题 中是否已经建立了直角坐标系（若没有，则应先建系，再求解），只有建立直角坐标系，才能利用代数方法解决有关问题．母题迁移 6．已知探照灯的轴截面是抛物线,2x y 图2 -7 -7表示的是平行于对称轴y=0的光线于抛物线上的点P ，Q 处的反射情况，设点P 的纵坐标为a （a>0），问：a 取何值时，从入射点P 到反射点Q 的光线路程PQ 最短.优化分层测训学业水平测试1．关于抛物线的命题，下列说法不正确的是( )．A ．必有一个顶点B ．必有一个焦点C ．必有一个对称中心D ．必有一条对称轴2．顶点在原点，焦点为)0,23(F 的抛物线的标准方程是( )．x y A 232=⋅ x y B 32=⋅ x y C 62=⋅ x y D 62-=⋅3．抛物线y x 42-=与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A ，B 两点，则=||AB （ ）2.A 4.B 6.C 8.D4．焦点为F （0，-1），准线为y=l 的抛物线的标准方程是5．过点M(2，4)与抛物线x y 82=只有一个公共点的直线有____条．6．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；(2)顶点是双曲线14491622=-y x 的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴.高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项） 1．设A 、B 是抛物线y x 42=上两点，0为原点，若|,|||OB OA =且△AOB 的面积为16，则∠AOB 等于( )．30.A 45.B 60.C o D 90.2．（2011年全国高考题）已知直线L 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，L 与C 交于A ，B 两点， ｜AB ｜=12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )． A ．18 B ．24 C ．36 D ．483．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于,),(211x B y x A （、),2y 如果,621=+x x 那么｜AB ｜等于( )．8.A 10.B 6.C 4.D4．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，灯口直径为60cm ，灯深40cm ，则光源到反射镜顶点的距离是( )．cm A 25.11. cm B 625.5. cm C 20. cm D 10.5．若Q(O ，4)，P 为12+=x y 上任一点．，则｜PQ ｜的最小值为( )．23.A 210.B 211.C 3.D6．（2011年湖北高考题）将两个顶点在抛物线)0(22>=p px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( )．0.=n A 1.=n B 2.=n C 3.≥n D7．（2011年山东高考题）设),(00y x M 为抛物线y x C 8:2=上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、 ｜FM ｜为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是( )．)2,0(⋅A ]2,0[⋅B ),2(+∞⋅C ),2[+∞⋅D8．（2009年北京高考题）点P 在直线1:-=x y l 上，若存在过P 的直线交抛物线2x y =于A ，B 两点，且 ｜PA ｜=｜AB ｜，则称点P 为“A 点”．那么下列结论中正确的是( )．A ．直线L 上的所有点都是“A 点”B ．直线L 上仅有有限个点是“A 点”C ．直线L 上的所有点都不是“A 点”D ．直线L 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“A 点”二、填空题（本大题共4小题，每小题5（分，共20分，答案须填在题中横线上）9．过定点P(O ，2)作直线L ，使L 与曲线x y 42=有且仅有一个公共点，这样的直线L 共有10.在抛物线x y 162=内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程为11.（2010年重庆高考题）已知以F 为焦点的抛物线x y 42=上的两点A 、B 满足,3=则弦AB 的中点到准线的距离为12.（2009年海南、宁夏高考题）已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(l ，0)，直线L 与抛物线、C相交于A ，B 两点．若AB 的中点为(2，2)，则直线L 的方程为三、解答题（本大题共4小趣，每小题'10分，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.设直线b x y +=2与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，已知弦AB 长为,53求6的值．14.如图2-7 -8，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分．灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24cm ，灯深10cm ，那么灯泡与反射镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离是多少？15.（2011年湖南高考题）已知平面内一动点P 到点F(l ，O)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线,,2l l l 设1l 与轨迹C 相交于点2,,l B A 与轨迹C 相交于点D ，E ，求=⋅的最小值．16.（2011年广东高考题）在平面直角坐标系xOy 中，直线L:x= -2交x 轴于点A ．设P 是L 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足∠MPO= ∠AOP. (1)当点P 在L 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；(2)已知T(l ，-1)．设H 是E 上动点，求｜HO ｜+｜HT ｜的最小值，并给出此时点H 的坐标；(3)过点T(l ，-1)且不平行于y 轴的直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点，求直线1l 的斜率k 的取值范围．单元知识整合二、内容提要1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单性质2．曲线与方程(1)曲线与方程：如果曲线C 上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这条曲线叫做方程的曲线，这个方程叫做曲线的方程．(2).圆锥曲线的共同特征：圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比是定值e ；当0<e<1时，圆锥曲线是椭圆；当e>1时，圆锥曲线是双曲线；当e=l 时，圆锥曲线是抛物线． 3．直线与圆锥曲线的位置关系：直线和圆锥曲线的位置关系有三种：相离、相切、相交，设直线L 的方程为,0=++C By Ax 圆锥曲线D 的方程为⎩⎨⎧==++,0),(,0y x f C By Ax 可得（消去 y ）++bx ax 2⋅=(*)0c(1)当0=/a 时，若关于x 的方程(*)的判别式△>O ，则直线与圆锥曲线有两个不同交点；若A<O ，则直线与圆锥曲线没有交点；若A=O ，则直线与圆锥曲线相切．(2)当a=0,时，若方程（女）有解，则直线与圆锥曲线有一个交点． 三、注意问题1.曲线与方程的学习应以学习过的曲线为主，注重体会曲线与方程的对应关系，感受数形结合的基本思想.2．本章研究几何图形时，大量采用了坐标法，所以在解答问题时，最好先画出草图，注意观察、分析图形的特征．同时在解决实际问题时，要注意选择适当的坐标系，使问题变得简单.3.(1)在由椭圆的标准方程写出椭圆的性质（如长轴长、短轴长、顶点坐标、焦点坐标等）时，要分清焦点在x 轴上还是在y 轴上，不要弄错．(2)在解决有关直线与椭圆位置关系的问题时，如要设出过定点的直线方程，要注意讨论斜率不存在的情况．(3)在双曲线的定义中，要注意2e >2a 的条件，若21F F 、分别为双曲线的左、右（或下、上）焦点，⇔=-a PF PF 2||||||21=-||||21PF PF ||||,221PF PF a -±=---=||||221PF PF h a 2a 分别对应双曲线的左、右（或下、上）两支．(4)要注意双曲线的焦点的确定与椭圆的不同，它是看2x 项、2y 项的系数的正负，如已知双曲线,0369422=+-y x 求它的焦点坐标，经常出现写错的情况，其原因就是焦点的位置判断错了，本题正确答案应为⋅±)13,0((5)解决直线与圆锥曲线的交点问题时，出现漏解现象．用代数方法解时，忽视消元后一元二次方程的二次项系数是否为零的讨论．用数形结合法解时，忽视特殊情况的讨论，如与双曲线渐近线平行，与抛物线的对称轴平行等特殊情况．(6)解决直线与圆锥曲线的相交问题时，忽视△>0的条件． (7)在求出轨迹方程时，常常容易忽视题设条件中变量的限制．(8)根据问题的条件，抛物线方程可能是,22px y =也可能是,22px y -=任何一种情况都不要漏掉， 要由定“性”和定“量”两个方面来确定抛物线的方程．定“性”，即确定开口方向，便于设抛物线的方程，定“量”，即求所 设方程中的参变量p ．4．对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略，如：(1)在求轨迹时，若所求执迹符合某种圆锥曲线的定义，则可根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决．5．直线与圆锥曲线的位置关系：(1)有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题，应注意数形结合；(2)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理；(3)有关垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算．6．五点重视：(1)重视定义在解题中的作用；(2)重视平面几何知识在解题中的简化功能；(3)重视根与系数关系在解题中“设而不求”的意义；(4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征的统一；(5)重视设点法，参数及利用参数方程在解题中的作用．新典考题分析[例1] (1)设O 是坐标原点，F 是抛物线)0(22>=p px y 的焦点，A 是抛物线上的一点，与x 轴正向的夹角为,60则||为( )．421.p A 221.p B p C 613. p D 3613. (2)双曲线)0,0,(1:221>>=-b a by a x C 的左准线为L ，左焦点和右焦点分别为1F 和2F ；抛物线2C 的准线为L ，焦点为;2F 1C 与2C 的一个交点为M ，则||||||||21121MF MF MF F F -等于( )．1.-A 1.B 21.-C 21.D (3)已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，点),,(111y x P ),(),,(333222y x P y x P 在抛物线上，且,2312x x x +=则有( )．||||||.321FP FP FP A =+ 232221||||||.FP FP FP B =+ ||||||2.312FP FP FP C += ||||||.3122FP FP FP D ⋅=[解析] (1)（利用圆锥曲线的第二定义）过A 作AD ⊥x 轴于D ，令,m FD =则=∴⋅==+=||,2,2p m m m p m FA ⋅=++p p p p 221)3()2(22故选B ．(2)由抛物线的定义可知||2MF 为M 到双曲线左准线的距离，由双曲线的第二定义可知-∴=||||.||||12121MF F F MF e MF =-=||||||2||||21221MF MF MF ac cMF MF .1||||||||22221-=-=-MF MF MF MF a 故选A ．(3)由抛物线定义，得),2,()2()2(232p x p x p x l +++=+即.||||||2312FP FP FP +=故选C ． [答案] (1)B(2)A(3)C[点拨] 圆锥曲线的定义是解决有关圆锥曲线问题的关键，“回归定义”是一种重要的解题策略，如：(1)求轨迹时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则可根据圆锥曲线的方程写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决，总之，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，灵活巧妙地使用圆锥曲线的定义，往往能迅速解决一些相关问题．[例2] 已知Q 点是双曲线)0.(12222>=-b a by a x 上异于两顶点的一动点，21F F 、是双曲线的左、右焦点，从2F 向21QF F ∠的角平分线作垂线,2P F 垂足为P ，求P 点的轨迹方程．[答案] 如图2 -1所示，连接OP ，延长P F 2交1QF 于点A ．则由角平分线的性质，知.||||2Q F AQ = 由三角形中位线性质，知.||21||1A F OP =|)||(|21||1QA QF OP -=∴|).||(|2121QF QF -=当点Q 在双曲线的左支上时，应为-<=||21||2QF OP |),|1QF 即P a a OP ∴=⨯=,221||点的轨迹方程为=+22y x ).0(2=/y a[点拨] 本例中，利用双曲线的第一定义使问题得到简捷的解法因此我们必须熟练地掌握圆锥曲线的定义，并灵活地运用它．[例3] 已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为21,2F F 、为左、右焦点.P 为双曲线上一点，且==∠∆.21,6021F PF S PF F ,312求双曲线的标准方程．[解析] 要求双曲线的标准方程，可设出方程122=-by a x ).0,0(>>b a 关键是求a 、b 的值，在21F PF ∆中，可由余弦定理和三角形面积公式列出方程组，从而求出a 、b ．[答案] 如图2-2，设双曲线方程为⋅>>=-)0,0(12222b a by a x.2,2a c ace =∴==由双曲线的定义知=-||||||21PF PF ,2c a =在21F PF ∆中，由余弦定理，得-+=222221||||||PF PF F F l 22121|)||(|60cos ||||2PF PF PF PF -=⋅⋅ -+1(||||221PF PF ),60cos o 即.||||42122PF PF c c ⋅+= ①又,31221=∆F PF S 所以,31206sin ||||2121=⋅⋅o PF PF 即.48||||21=⋅PF PF ② 由①、②得，,4,162==c c 则.12,2222=-==a c b a所以所求双曲线的标准方程为.112422=-y x [点拨] 遇到过椭圆、双曲线的两焦点与曲线上任一点组成的三角形时，常用定义与解三角形知识解决相关问题，本题要注意整体代换的运算技巧．[例4] (1)（2009年福建高考题）过抛物线>=p px y (22O)的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p=(2)（2009年海南、宁夏高考题）双曲线112422=-y x 的焦点到渐近线的距离为( )． 32.A 2.C 3.B 1.D(3)（2009年山东高考题）设斜率为2的直线L 过抛物线)0(2=/=a ax y 的焦点F ，且和y 轴交于点A ．若△OAF(O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为( )．x y A 42±=⋅ x y B 82±=⋅ x y C 42=⋅ x y D 82=⋅[解析] (1)设点A 、B 的坐标分别为),,(),,(2211y x y x 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 作倾斜角为45的直线方程为,2p x y -=把2py x +=代入px y 22=得，2122,8||,02y y AB p py y -∴==-- ∴=,24,)24(4)(221221=-+y y y y -∴2)2(p .2,0,32)(42=∴>-=-⨯p p x p(2)双曲线1.12422=-y x 的一条渐近线为==c x y ,3,4124=+其一焦点坐标为(4，0)， 由点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为.32)3(1342=+故选A ．(3) 不论a 值正负，抛物线的焦点坐标都是),0,4(a 故直线L 的方程为),4(2ax y -=令0=x 得,2a y -=故△OAF 的面积为.8,416|2||4|212±=∴==-⨯⨯a a a a 故选B ．[答案] (1)2 (2)A (3)B[前沿考向] 新课标的《考试大纲》对本章知识的要求有所降低，因而在新课标的高考中也有所降低(如本例仅涉及椭圆的基本性质).因此我们必须熟练掌握圆锥曲线的基本知识．[例5] (1)（2009年浙江高考题）过双曲线=-2222by a x )0,0(1>>b a 的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ．若,21=则双曲线的离心率是( )．2.A3.B 5.C 10.D(2)（2009年山东高考题）设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线12+=x y 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )．45.A 5.B 25.C 5.D(3)（2009年江苏高考题）如图2-3在平面直角坐标系xOy 中，2121,,,B B A A 为椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的四个顶点，F 为其右焦点，直线21B A 与直线F B 1相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 [解析] (1)双曲线的两条渐近线为,x aby ±=又过右顶点A 的直线方程为,a x y +-=分别联立方程，求得B ，C 两点的横坐标分别为),(,:22b a b a a x b a a x C B =/-=+=由21=得，),(21B C B x x a x -=-即。
抛物线的简单几何性质学案
抛物线的简单几何性质学习目标：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点等几何性质；2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论。
学习重难点：抛物线的几何性质及其运用。
课前检测：1.若A是定直线l外的一定点，则过A且与l相切圆的圆心轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线一支D.抛物线2.抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是( )A.2.5B.5C.7.5D.103.已知原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线的焦点在2x-4y+11=0上，则抛物线方程是( )A.y2=11xB.y2=-11xC.y2=22xD.y2=-22x 4．曲线2x2-5xy+2y2=1( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称，但不关于y=x对称D.关于y=x对称也关于y=-x对称探究新知：（2）抛物线的几何性质的特点：有个顶点，个焦点，条准线，条对称轴，对称中心，没有渐近线。
典例分析：例1.已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M (2,-22),求它的标准方程变式1：求顶点在原点,对称轴是坐标轴，并且经过点M (2,-22)的抛物线的标准方程。
例2、斜率为1的直线经L 过抛物线y 2=4x 的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，求线段AB 的长。
变式2：过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =巩固练习：1、已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）62．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF的长分别是p 、q ，则q p 11+=（ ） （A ）a 2 （B ）a 21 （C ）a 4 （D ）a43．过抛物线x y 42=焦点F 的直线l 它交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是 ______4.定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2上移动，求AB 中点M 到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标5、抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．6．以椭圆1522=+y x 的右焦点，F 为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．达标检测：1.经过抛物线y 2=2px(p ＞0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为( )A.pB.2pC.4pD.不确定2.直线y=kx-2交抛物线y 2=8x 于A 、B 两点，若AB 的中点横坐标为2，则｜AB ｜为( ) A.15B.415C.215D.42 3.若抛物线y 2=2px(p ＞0)的弦PQ 的中点为(x 0,y 0)(y ≠0)，则弦PQ 的斜率为( )A.-0x p B.0y p C.px - D.-px 0 4.已知抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则2121x x y y 的值一定等于( )A.4B.-4C.p 2D.-p 2 5、抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为 .6.以椭圆52x +y 2=1的右焦点F 为焦点，以原点为顶点作抛物线，抛物线与椭圆的一个公共点是A ，则｜AF ｜= .7、若△OAB 为正三角形，O 为坐标原点，A 、B 两点在抛物线y 2=2px 上，则△OAB 的周长为 .8、以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线的位置关系是 ．9、已知抛物线y 2=4ax(0＜a ＜1)的焦点为F ，以A(a+4,0)为圆心，｜AF ｜为半径在x 轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M 和N ，设P 为线段MN 的中点，(Ⅰ)求｜MF ｜+｜NF ｜的值；(Ⅱ)是否存在这样的a 值，使｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等差数列?如存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.课后反思：。
第2课时 抛物线的简单几何性质 学案
第2课时抛物线的简单几何性质[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P68～P72的内容，回答下列问题．类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px(p>0)的下列性质：(1)抛物线y2＝2px(p>0)的范围是什么？提示：x≥0，y ∈R ．(2)抛物线y2＝2px(p>0)的对称轴是什么？是否存在对称中心？提示：对称轴为x轴，不存在对称中心．(3)抛物线的顶点坐标有几个？顶点坐标是什么？提示：只有一个顶点坐标(0，0)．(4)抛物线的离心率是多少？提示：e＝1．2．归纳总结，核心必记抛物线的几何性质类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图象性质焦点F⎝⎛⎭⎫p2，0F⎝⎛⎭⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎫0，p2F⎝⎛⎭⎫0，－p2准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称x轴y轴轴 顶点 O (0，0) 离心率 e ＝1开口 方向向右向左向上 向下[问题思考]在同一坐标系下画出抛物线y 2＝x ，y 2＝2x 和y 2＝3x 的图象，试分析影响抛物线开口大小的量是什么？提示：影响抛物线开口大小的量是参数p ，p 值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)抛物线的范围是： ； (2)抛物线具有怎样的对称性？其对称轴是什么？；(3)抛物线的顶点坐标和离心率分别是： ．讲一讲1．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．[尝试解答] 椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上，∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，∴p ＝6.∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ，其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3.(1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程．练一练1．已知双曲线方程是x 28－y 29＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．解：因为双曲线x 28－y 29＝1的右顶点坐标为(22，0)，所以p2＝22，且抛物线的焦点在x 轴正半轴上，所以，所求抛物线方程为y 2＝82x ，其准线方程为x ＝－2 2.[思考] 抛物线上一点与焦点F 的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦，若P (x 0，y 0)是抛物线上任意一点，焦点弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据上述定义，你能完成以下表格吗？名师指津：x 0＋p 2__p 2－x 0__y 0＋p 2__p2－y 0__x 1＋x 2＋p __p －x 1－x 2__y 1＋y 2＋p __p －y 1－y 2．讲一讲2．已知抛物线y 2＝6x ，过点P (4，1)引一条弦P 1P 2使它恰好被点P 平分，求这条弦所在的直线方程及|P 1P 2|.[尝试解答] 设直线上任意一点坐标为(x ，y )，弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．∵P 1，P 2在抛物线上，∴y 21＝6x 1，y 22＝6x 2.两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)． ∵y 1＋y 2＝2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2＝3，∴直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3x －11得y 2－2y －22＝0， ∴y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22. ∴|P 1P 2|＝1＋19·22－4×（－22）＝22303.(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论． 练一练2．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 解：(1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝⎛⎭⎫32，0.所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，消去y ，得x 2－5x ＋94＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p . ∴|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知， |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3＝9，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.[思考1] 若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线相切吗？名师指津：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，但是只有一个公共点时，直线与抛物线可能相切也可能平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．[思考2] 如何判断点P (x 0，y 0)与抛物线y 2＝2px (p >0)的位置关系？ 名师指津：(1)P (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)内部⇔y 20<2px 0； (2)P (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)上 ⇔y 20＝2px 0；(3)P (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)外部⇔y 20>2px 0． 讲一讲3．设直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C 相切、相交、相离．[尝试解答] 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，整理得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.若k ≠0，方程k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0为一元二次方程． ∴Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )． (1)当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 相切， (2)当Δ>0，即k <1时，l 与C 相交， (3)当Δ<0，即k >1时，l 与C 相离．若k ＝0，直线l 方程为y ＝1，显然与抛物线C 交于⎝⎛⎭⎫14，1.综上所述，当k ＝1时，l 与C 相切；当k <1时，l 与C 相交；当k >1时，l 与C 相离．研究直线和抛物线的位置关系时，由于消元后所得的方程中含参数，因此要注意分二次项系数为0和不为0两种情况讨论．练一练3．已知△AOB 的一个顶点为抛物线y 2＝2x 的顶点，点A ，B 都在抛物线上，且∠AOB ＝90°，证明：直线AB 必过一定点．证明：设OA 所在直线的方程为y ＝kx ，则直线OB 的方程为y ＝－1k x ，由题意知k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝2k2，y ＝2k，即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫2k 2，2k ，同样由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2x ，解得点B 的坐标为(2k 2，－2k )．故AB 所在直线的方程为y ＋2k ＝2k＋2k 2k 2－2k 2(x －2k 2)，化简并整理，得⎝⎛⎭⎫1k －k y ＝x －2. 不论实数k 取任何不等于0的实数， 当x ＝2时，恒有y ＝0.故直线过定点P(2，0)．———————————————[课堂归纳·感悟提升]————————————————1．本节课的重点是抛物线的几何性质和焦点弦问题，难点是直线与抛物线的位置关系．2．在研究直线与抛物线的位置关系时，直线与抛物线只有一个公共点，包括相交和相切两种情况，这是本节课的一个易错点．3．本节课要重点掌握的规律方法(1)抛物线的焦点弦问题，见讲2；(2)直线与抛物线的位置关系，见讲3.4．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线与抛物线联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．课时达标训练（十三）[即时达标对点练]题组1抛物线的几何性质1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)解析：选D∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴p＝3，即p＝6.2，又抛物线上的点到准线的距离的最小值为p2∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．2．已知抛物线的对称轴为x 轴，顶点在原点，焦点在直线2x －4y ＋11＝0上，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－11xB ．y 2＝11xC ．y 2＝－22xD ．y 2＝22x解析：选C 在方程2x －4y ＋11＝0中， 令y ＝0得x ＝－112，∴抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫－112，0，即p 2＝112，∴p ＝11， ∴抛物线的方程是y 2＝－22x ，故选C. 题组2 抛物线的焦点弦问题3．过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64解析：选B 由抛物线y 2＝8x 的焦点为(2，0)， 得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x 得(x －2)2＝8x ， 即x 2－12x ＋4＝0.∴x 1＋x 2＝12，弦长＝x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.4．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作一直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则k OA ·k OB的值为( )A ．4B ．－4C ．p 2D ．－p 2解析：选B k OA ·k OB ＝＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2，根据焦点弦的性质x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，故k OA ·k OB ＝－p 2p 24＝－4.5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝________．解析：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 答案：86．线段AB 是抛物线y 2＝x 的一条焦点弦，且|AB |＝4，则线段AB 的中点C 到直线x ＋12＝0的距离为________． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由于|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4， ∴x 1＋x 2＝4－12＝72，∴中点C (x 0，y 0)到直线x ＋12＝0的距离为x 0＋12＝x 1＋x 22＋12＝74＋12＝94.答案：94题组3 直线与抛物线的位置关系7．已知直线y ＝kx －k 及抛物线y 2＝2px (p >0)，则( ) A ．直线与抛物线有一个公共点 B ．直线与抛物线有两个公共点 C ．直线与抛物线有一个或两个公共点 D ．直线与抛物线可能没有公共点 解析：选C ∵直线y ＝kx －k ＝k (x －1)， ∴直线过点(1，0)．又点(1，0)在抛物线y 2＝2px 的内部．∴当k ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点． 8．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4]解析：选C 准线x ＝－2，Q (－2，0)， 设l ：y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），y 2＝8x ，得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0. 当k ＝0时，即交点为(0，0)，当k ≠0时，Δ≥0，－1≤k <0或0<k ≤1.综上，k 的取值范围是[－1，1]．9．在抛物线y 2＝2x 上求一点P .使P 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．解：法一：设P (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点，则点P 到直线l 的距离d ＝|x 0－y 0＋3|2＝⎪⎪⎪⎪y 202－y 0＋32＝||（y 0－1）2＋522，当y 0＝1时，d min ＝524， ∴P ⎝⎛⎭⎫12，1.法二：设与抛物线相切且与直线x －y ＋3＝0平行的直线方程为x －y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，y 2＝2x ，得y 2－2y ＋2m ＝0，∵Δ＝(－2)2－4×2m ＝0， ∴m ＝12.∴平行直线的方程为x －y ＋12＝0，此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则d min ＝⎪⎪⎪⎪3－122＝524，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，1.10．如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，求此抛物线的方程．解：过A 、B 分别作准线的垂线AA ′、BD ，垂足分别为A ′、D ，则|BF |＝|BD |，又2|BF |＝|BC |，∴在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°.又|AF |＝3，∴|AA ′|＝3，|AC |＝6，|FC |＝3.∴F 到准线距离p ＝12|FC |＝32. ∴y 2＝3x .[能力提升综合练]1．设AB 为过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，则|AB |的最小值为( )A.p 2B ．pC ．2pD ．无法确定解析：选C 当AB 垂直于对称轴时，|AB |取最小值，此时AB 即为抛物线的通径，长度等于2p .2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2解析：选B 抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，代入y 2＝2px 得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 22＝p ＝2(y 1，y 2分别为点A ，B 的纵坐标)，所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影为A 1、B 1，则∠A 1FB 1等于( )A ．45°B ．90°C ．60°D ．120解析：选B 如图，由抛物线定义知|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，所以∠AA 1F ＝∠AF A 1.又∠AA 1F ＝∠A 1FO ，所以∠AF A 1＝∠A 1FO ，同理∠BFB 1＝∠B 1FO .于是∠AF A 1＋∠BFB 1＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝∠A 1FB 1，故∠A 1FB 1＝90°.4．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( ) A.45 B.35C ．－35D ．－45解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2x －4得x 2－5x ＋4＝0， ∴x ＝1或x ＝4.5．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2>0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， ∴x 1x 2＝4， ①∵|F A |＝x 1＋p 2＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋p 2＝x 2＋2，且|F A |＝2|FB |， ∴x 1＝2x 2＋2. ②由①②得x 2＝1，∴B (1，22)，代入y ＝k (x ＋2)，得k ＝223. 答案：2236．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．解析：抛物线的焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p 2.代入x 23－y 23＝1得|x |＝ 3＋p 24.要使△ABF 为等边三角形，则tan π6＝|x |p ＝ 3＋p 24p ＝33，解得p 2＝36，p ＝6. 答案：6 7．已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点F 是抛物线的焦点．(1)证明：y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)求1|AF |＋1|BF |的值． 解：(1)证明：过焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2或x ＝p 2. 当直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2时， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，得ky 2－2py －kp 2＝0. ∵AB 与抛物线有两个交点，∴k ≠0.由韦达定理得y 1y 2＝－p 2.又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝（y 1y 2）24p 2＝p 24. 当直线AB 的方程为x ＝p 2时，x 1x 2＝p 24，y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2.(2)设直线AB ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2或x ＝p 2. 当直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2时， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，消去y ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0. ∵AB 与抛物线有两个交点，∴k ≠0.∴x 1＋x 2＝p （k 2＋2）k 2，x 1x 2＝p 24. 又|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2， ∴|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p .|AF |·|BF |＝⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2 ＝x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 2(x 1＋x 2)＋p 22＝p 2(x 1＋x 2＋p )＝p 2()|AF |＋|BF |， 即|AF |＋|BF |＝2p·|AF |·|BF |， ∴1|AF |＋1|BF |＝2p. 当直线AB 的方程为x ＝p 2时， x 1＝x 2＝p 2，y 1＝p ，y 2＝－p ， ∴|AF |＝|BF |＝p ，∴1|AF |＋1|BF |＝2p. 8．如图，已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1>0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2>0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点．(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；(2)过原点O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点．记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的值． 解：(1)证明：设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x (k 1，k 2≠0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 1x ，⇒A 1⎝⎛⎭⎫2p 1k 21，2p 1k 1， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 2x ，⇒A 2⎝⎛⎭⎫2p 2k 21，2p 2k 1， 同理可得B 1⎝⎛⎭⎫2p 1k 22，2p 1k 2，B 2⎝⎛⎭⎫2p 2k 22，2p 2k 2， 所以＝⎝⎛⎭⎫2p 1k 22－2p 1k 21，2p 1k 2－2p 1k 1＝2p 1⎝⎛⎭⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1＝⎝⎛⎭⎫2p 2k 22－2p 2k 21，2p 2k 2－2p 2k 1＝2p 2⎝⎛⎭⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1，所以A 1B 1∥A 2B 2.(2)由(1)知A 1B 1∥A 2B 2，同理可得B 1C 1∥B 2C 2，A 1C 1∥A 2C 2， 所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，。
学案1：2.7.2 抛物线的几何性质
2.7.2抛物线的几何性质学习目标核心素养1．了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．(重点)2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．(重点、难点)3．掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识．通过抛物线的几何性质的学习，培养直观想象、数学运算素养．【情境导学】情境引入如果让抛物线绕其对称轴旋转，就得到一个旋转形成的抛物面曲面，旋转抛物面的轴上，有一个焦点，任何一条平行于抛物面轴的光(射)线由抛物面上反射出来之后，其反射光(射)线都通过该点，应用抛物面的这个几何性质，人们设计了很多非常有用的东西，如太阳灶、卫星电视天线、雷达等．当然这条性质本身也是抛物线的一条性质，今天我们就来具体研究一下构成抛物面的线——抛物线的几何性质．新知初探1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点离心率e＝思考1：抛物线x2＝2py(p＞0)有几条对称轴？思考2：抛物线的范围是x∈R，这种说法正确吗？思考3：参数p对抛物线开口大小有何影响？2．焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则初试身手1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线是中心对称图形．()(2)抛物线的范围为x∈R．()(3)抛物线关于顶点对称．()(4)抛物线的标准方程虽然各不相同，但离心率都相同．()2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点F的距离是() A．8B．6C．4D．23．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＋x2＝6，则|AB|＝．4．顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程是．【合作探究】【例1】(1)平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，则该抛物线的标准方程是．(2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．[规律方法]用待定系数法求抛物线方程的步骤提醒：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置．不同的焦点设出不同的方程．[跟进训练]1．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线方程．【例2】(1)抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O 为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是．(2)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p ＞0)上，求这个三角形的边长．[规律方法]利用抛物线的性质可以解决的问题(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题．(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题．(4)焦点：解决焦点弦问题．提醒：解答本题时易忽略A，B关于x轴对称而出错．[跟进训练]2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，求抛物线的标准方程．[探究问题]以抛物线y2＝2px(p＞0)为例，回答下列问题：(1)过焦点F的弦长|AB|如何表示？还能得到哪些结论？(2)以AB为直径的圆与直线l具有怎样的位置关系？(3)解决焦点弦问题需注意什么？【例3】已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝52p，求AB所在直线的方程．[思路探究]根据弦长求出直线斜率，进而求得直线方程．[母题探究]1．(改变问法)本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离．2．(变换条件)本例中，若A 、B 在其准线上的射影分别为A 1，B 1，求∠A 1FB 1．[规律方法]解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时，一是注意直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用.解题时注意整体代入思想的运用，简化运算.【课堂小结】1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．解决抛物线的轨迹问题，可以利用抛物线的标准方程，结合抛物线的定义．3．抛物线y 2＝±2px (p ＞0)的过焦点的弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ，其中x 1，x 2分别是点A ，B 横坐标的绝对值；抛物线x 2＝±2py (p ＞0)的过焦点的弦长|AB |＝y 1＋y 2＋p ，其中y 1，y 2分别是点A ，B 纵坐标的绝对值．4．求抛物线的方程常用待定系数法和定义法；直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化．【学以致用】1．若抛物线y 2＝2x 上有两点A 、B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．12B ．14C ．16D ．182．在抛物线y 2＝16x 上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( ) A ．(42，±2) B ．(±42，2) C ．(±2,42)D ．(2，±42)3．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是( ) A ．(2，±22)B ．(1，±2)C．(1,2) D．(2,22)4．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是．5．已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y ＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B．(1)求抛物线C的方程；(2)若|AB|＝8，求k的值．【参考答案】【情境导学】新知初探2．抛物线的几何性质(0,0)1思考1：[提示]有一条对称轴．思考2：[提示]抛物线的方程不同，其范围就不一样，如y2＝2px(p＞0)的范围是x≥0，y∈R，故此说法错误．思考3：[提示]参数p(p＞0)对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大．初试身手1．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√[提示](1)×在抛物线中，以－x代x，－y代y，方程发生了变化．(2)×抛物线的方程不同，其范围不同，y2＝2px(p＞0)中x≥0，y∈R．(3)×(4)√离心率都为1，正确．2．A[∵抛物线的方程为y2＝8x，∴其准线l的方程为x＝－2，设点P(x0，y0)到其准线的距离为d，则d＝|PF|，即|PF|＝d＝x0－(－2)＝x0＋2，∵点P到y轴的距离是6，∴x0＝6，∴|PF|＝6＋2＝8．]3．8[∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2．∵由抛物线定义知：|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8．]4．y2＝24x或y2＝－24x[∵顶点与焦点距离为6，即p2＝6，∴2p＝24，又对称轴为x轴，∴抛物线方程为y2＝24x或y2＝－24x．]【合作探究】【例1】(1)y 2＝5x [线段OA 的垂直平分线为4x ＋2y －5＝0，与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫54，0， ∴抛物线的焦点为⎝⎛⎭⎫54，0，∴其标准方程是y 2＝5x ．] (2)解：椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上，∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p ＞0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3． [跟进训练]1．[解] 设抛物线方程为y 2＝2ax (a ≠0)，点P (x 0，y 0)． 因为点P 到对称轴距离为6，所以y 0＝±6，因为点P 到准线距离为10，所以⎪⎪⎪⎪x 0＋a2＝10． ① 因为点P 在抛物线上，所以36＝2ax 0． ②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，x 0＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18，x 0＝1 或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－18，x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，x 0＝－9. 所以所求抛物线方程为y 2＝±4x 或y 2＝±36x ．类型二抛物线性质的应用【例2】(1)43 [如图，设A (x 0，y 0)，过A 作AH ⊥x 轴于H ，在Rt △AFH 中，|FH |＝x 0－1，由∠AFO ＝120°，得∠AFH ＝60°，故y 0＝|AH |＝3(x 0－1)，所以A 点的坐标为()x 0，3(x 0－1)， 将点A 坐标代入抛物线方程可得3x 20－10x 0＋3＝0， 解得x 0＝3或x 0＝13(舍)，故S △AKF ＝12×(3＋1)×23＝43．](2)解：如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2．又|OA |＝|OB |，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0．∵x 1＞0，x 2＞0,2p ＞0，∴x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|， 即线段AB 关于x 轴对称． 由此得∠AOx ＝30°，所以y 1＝33x 1，与y 21＝2px 1联立， 解得y 1＝23p ．∴|AB |＝2y 1＝43p ． [跟进训练]2．[解] 由已知得c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，解得ba ＝3．即渐近线方程为y ＝±3x ，而抛物线准线方程为x ＝－p2，于是A ⎝⎛⎭⎫－p 2，－32p ，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，32p ，从而△AOB 的面积为12·3p ·p 2＝3．可得p ＝2，因此抛物线开口向右，所以标准方程为y 2＝4x ．类型三焦点弦问题[探究问题](1) [提示] ①|AB |＝2⎝⎛⎭⎫x 0＋p2(焦点弦长与中点关系)． ②|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．③A ，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝p 24，y 1·y 2＝－p 2．④S △AOB ＝p 22sin θ．⑤1|AF |＋1|BF |＝2p(定值)． (2) [提示] 如图，AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，相应的准线为l ．所以以AB 为直径的圆必与准线l 相切．(3) [提示] 要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．【例3】[解] ∵过焦点的弦长|AB |＝52p ， ∴弦所在的直线的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k ，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵y 2＝2px 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0．∴直线方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，整理得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋14k 2p 2＝0(k ≠0)， ∴x 1＋x 2＝k 2p ＋2p k 2，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝k 2p ＋2p k 2＋p ， 又|AB |＝52p ，∴k 2p ＋2p k 2＋p ＝52p ，∴k ＝±2． ∴所求直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －p 2或y ＝－2⎝⎛⎭⎫x －p 2． [母题探究]1．[解] 设AB 中点为M (x 0，y 0)，由例题解答可知2x 0＝x 1＋x 2＝32p ， 所以AB 的中点M 到y 轴的距离为34p ． 2．[解] 由例题解析可知AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，即x ＝1k y ＋p 2，代入y 2＝2px 消x 可得y 2＝2p k y ＋p 2，即y 2－2p ky －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2， 由A 1点的坐标为⎝⎛⎭⎫－p 2，y 1，B 1点的坐标为⎝⎛⎭⎫－p 2，y 2，得kA 1F ＝－y 1p ，kB 1F ＝－y 2p ． ∴kA 1F ·kB 1F ＝y 1y 2p2＝－1，∴∠A 1FB 1＝90°． 【学以致用】1．A [线段AB 所在的直线方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，则焦点到直线AB的距离为1－12＝12．] 2．D [抛物线y 2＝16x 的顶点O (0,0)，焦点F (4,0)，设P (x ，y )符合题意，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝16x ，x 2＋y 2＝(x －4)2＋y 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝16x ，x ＝2⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝±4 2. 所以符合题意的点为(2，±42)．]3．B [由题意知F (1,0)，设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，则OA →＝⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，AF →＝⎝⎛⎭⎫1－y 204，－y 0， 由OA →·AF →＝－4得y 0＝±2，∴点A 的坐标为(1，±2)，故选B ．] 4．158 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线2x 2＝y ，可得p ＝14． ∵|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝4，∴y 1＋y 2＝4－14＝154，故AB 的中点的纵坐标是y 1＋y 22＝158．] 5．[解] (1)抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2， 由|PF |＝2得：1＋p 2＝2，得p ＝2． 所以抛物线的方程为y 2＝4x ．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，可得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，Δ＝16k 2＋16＞0，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2． ∵直线l 经过抛物线C 的焦点F ，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k 2＋2＝8，解得k ＝±1， 所以k 的值为1或－1．。
学案10：2.4.2 抛物线的简单几何性质
2.4.2 抛物线的简单几何性质教材新知入门答辩一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在圆柱形的手电筒里，经过适当调节，就能射出一束比较强的平行光线，这是为什么呢？原来手电筒内，在小灯泡后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕轴旋转所得到的曲面，叫做抛物面．人们已经证明，抛物线有一条很重要的性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．探照灯就是利用这个原理设计的．问题1：抛物线有几个焦点？问题2：有人说“抛物线是双曲线的一支”，这句话对吗？问题3：抛物线有渐近线吗？新知自解1.抛物线的简单几何性质类型y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质焦点F(p2，0)F(－p2，0)F(0，p2)F(0，－p2)准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下抛物线上一点与焦点F的连线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦．设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦点弦和焦半径公式如下表：标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)焦半径|PF||PF|＝x0＋p2|PF|＝p2－x0|PF|＝y0＋p2|PF|＝p2－y0焦点弦|AB||AB|＝x1＋x2＋p|AB|＝p－x1－x2|AB|＝y1＋y2＋p|AB|＝p－y1－y2归纳领悟1．抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线．2．抛物线只有一条对称轴，没有对称中心．3．抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线，这与椭圆、双曲线不同．4．抛物线的离心率e＝1(定值)．5．抛物线方程中的参数p的几何意义是焦点到准线的距离．由方程y2＝2px(p≠0)知，对同一个x，p越大，|y|也越大，说明抛物线开口越大．6．抛物线与双曲线都是“开放型”曲线，但抛物线不能看成是双曲线的一支．热点考向考点一求抛物线的标准方程及其几何性质例1抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．一点通用待定系数法求抛物线方程的步骤：题组集训1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是()A．x2＝±3y B．y2＝±6xC．x2＝±12y D．x2＝±6y2．平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的标准方程是________．考点二 抛物线几何性质的应用例2 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．一点通 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件．解本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A ，B 两点关于x 轴对称．另外，抛物线方程中变量x ，y 的范围也是常用的几何性质． 题组集训3．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．424．等腰直角三角形的直角顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上．若该三角形的斜边长为4，求抛物线的方程．考点三 与焦点弦有关的问题例3 已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的弦长为36，求弦所在的直线方程．一点通 解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算． 题组集训5．已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8,8)，则线段AB 的中点到准线的距离是( )A.254 B.252 C.258D.256．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程． 方法小结1．抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可求其他两个．2．涉及抛物线的焦点弦问题，可以优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离．参考答案教材新知 入门答辩问题1：提示：一个焦点．问题2：提示：不对． 问题3：提示：没有． 热点考向考点一 求抛物线的标准方程及其几何性质 例1 解：椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上， ∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3. 题组集训 1．【答案】C【解析】依题意知抛物线方程为x 2＝±2py (p >0)的形式， 又p2＝3，∴p ＝6,2p ＝12，故方程为x 2＝±12y . 2．【答案】y 2＝5x【解析】线段OA 的垂直平分线为4x ＋2y －5＝0， 与x 轴的交点为(54，0)，∴抛物线的焦点为(54，0)，∴其标准方程是y 2＝5x .考点二 抛物线几何性质的应用例2 解：如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2. 又OA ＝OB ，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22， 即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0. ∵x 1>0，x 2>0,2p >0， ∴x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|， 即线段AB 关于x 轴对称．由此得∠AOx ＝30°， 所以y 1＝33x 1，与y 21＝2px 1联立， 解得y 1＝23p .∴|AB |＝2y 1＝43p . 题组集训 3．【答案】C【解析】双曲线的方程可化为x 23－y 2p216＝1，∴双曲线的左焦点为(－3＋p 216，0)． 又∵抛物线的准线为x ＝－p2，所以由题意得－ 3＋p 216＝－p 2，解得p ＝4.4．解：如图，设等腰直角三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上．根据抛物线的性质知A ，B 关于x 轴对称． 由题意得A (2,2)在抛物线y 2＝2px 上， ∴p ＝1，抛物线的方程为y 2＝2x . 考点三 与焦点弦有关的问题例3 解：∵过焦点的弦长为36，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零． 故可设弦所在直线的斜率为k ，且与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点． ∵抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， ∴直线的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0(k ≠0)．∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.∴|AB |＝|AF |＋|BF | ＝x 1＋x 2＋2＝2k 2＋4k2＋2.又|AB |＝36，∴2k 2＋4k 2＋2＝36，∴k ＝±24.∴所求直线方程为y ＝24(x －1)或y ＝－24(x －1)． 题组集训 5．【答案】A【解析】抛物线的焦点坐标为(2,0)，直线l 的方程为y ＝43(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x －2，y 2＝8x ，得B 点的坐标为(12，－2)．∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝2＋8＋2＋12＝252.∴AB 的中点到准线的距离为254. 6．解：当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，如图．直线的方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得 |AB |＝|AF |＋|FB |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2，即x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0.∴x 1＋x 2＝3p . 将其代入①得p ＝2. ∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p >0)时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 综上所述，抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .。
学案2：2.3.2抛物线的简单几何性质
2．3.2 抛物线的简单几何性质学习目标：1.掌握抛物线的几何性质及抛物线性质的应用．(重点)2．掌握直线与抛物线的位置关系．(难点)预习提示：1．类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线y2＝2px(p＞0)的范围、对称性、顶点坐标吗？2．参数p对抛物线开口大小有何影响？3．点P(x0，y0)与抛物线y2＝2px(p＞0)的位置关系，如何判断？4．直线与抛物线有哪几种位置关系？5．若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？课堂探究：例1、如图所示，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上的一点，其横坐标为4，且在x轴的上方，点A到抛物线的准线的距离等于5，过A作AB⊥y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)过M作MN⊥F A，垂足为N，求直线MN的方程．变式训练：已知抛物线的方程为y＝ax2(a≠0)，求该抛物线的焦点坐标和准线方程．例2、已知：直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C 有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点？变式训练：若过点(－3,2)的直线与抛物线y 2＝4x 有两个公共点，求直线的斜率k 的取值范围．例3、 已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为π4的直线l 被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程．变式训练：本例中，若把直线的倾斜角改为135°，被抛物线截得的弦长改为8，其他条件不变，试求抛物线的方程．当堂达标：1．抛物线y2＝ax(a≠0)的对称轴为( )A ．y 轴B ．x 轴C ．x ＝－a 2D ．x ＝－a 42．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程( ) A ．x 2＝±3y B ．y 2＝±6x C ．x 2＝±12yD ．x 2＝±6y3．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点的坐标是________． 4．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，求点P 的坐标．答案：1．【提示】 范围x ≥0，关于x 轴对称，顶点坐标(0,0)． 2．【提示】 参数p (p ＞0)对抛物线开口大小的影响因为过抛物线的焦点F 且垂直于对称轴的弦的长度是2p ，所以p 越大，开口越大． 3．【提示】 点P (x 0，y 0)与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的位置关系 (1)P (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p ＞0)内部⇔y 20＜2px 0. (2)P (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上⇔y 20＝2px 0. (3)P (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p ＞0)外部⇔y 20＞2px 0. 4．【提示】 三种：相离、相切、相交．5．【提示】 不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时，也只有一个交点．课堂探究：例1、 【自主解答】 (1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由题意知A (4,4)，B (0,4)，M (0,2)，F (1,0)， ∴k F A ＝43.又MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34，则直线F A 的方程为y ＝43(x －1)，直线MN 的方程为y －2＝－34x ，即3x ＋4y －8＝0.变式训练：【解】 抛物线方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y (a ≠0)．当a ＞0时，抛物线开口向上，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a . 当a ＜0时，抛物线开口向下，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a . 综上所述，抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a . 例2、【自主解答】 由{ y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，得 k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程变为－4x ＋1＝0，x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1， 此时直线l 平行于x 轴．当k ≠0时，方程(*)是一个一元二次方程： Δ＝(2k －4)2－4k 2×1＝16－16k①当Δ＞0，即k ＜1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点，此时l 与C 相交； ②当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 有一个公共点，此时l 与C 相切； ③当Δ＜0，即k ＞1时，l 与C 没有公共点，此时l 与C 相离． 综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与C 有一个公共点； (2)当k ＜1，且k ≠0时，直线l 与C 有两个公共点； (3)当k ＞1时，直线l 与C 没有公共点．变式训练：【解】 设直线方程为y －2＝k (x ＋3)． 由{ y －2＝k x ＋3y 2＝4x 消去x ，整理得ky 2－4y ＋8＋12k ＝0.①(1)当k ＝0时，方程①化为y ＝2，直线y ＝2与抛物线y 2＝4x 相交，有一个公共点，不合要求； (2)当k ≠0时，Δ＝16－4k (8＋12k )＞0. ∴－1＜k ＜13，因此－1＜k ＜13且k ≠0.综上可知，斜率k 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪－1＜k ＜13且k ≠0. 例3、 【自主解答】 当抛物线焦点在x 轴正半轴上时， 可设抛物线标准方程是y 2＝2px (p ＞0)， 则焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，直线l 为y ＝x －p2. 设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过A 、B 分别向抛物线的准线作垂线AA 1、BB 1，垂足分别为A 1、B 1.则|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1| ＝⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝6， ∴x 1＋x 2＝6－p . ①由⎩⎨⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫x －p22＝2px ，即x 2－3px ＋p 24＝0. ∴x 1＋x 2＝3p ，代入①式得3p ＝6－p ，∴p ＝32.∴所求抛物线标准方程是y 2＝3x .当抛物线焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y 2＝－3x . 变式训练：【解】 如图，依题意当抛物线方程设为y 2＝2px (p ＞0)时，抛物线的准线为l ，则直线方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2，即x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.①又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0.于是x 1＋x 2＝3p .将其代入①得p ＝2. 故所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p ＞0)时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 综上所述，抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .当堂达标：1．【解析】 形如y 2＝±2px (p ＞0)的抛物线的对称轴为x 轴． 【答案】 B2．【解析】 依题意，p2＝3，∴p ＝6.∴抛物线的标准方程为x 2＝±12y . 【答案】 C3．【解析】 设直线y ＝4x ＋b 与抛物线相切，切点P (x 0，y 0)， 则点P 离y ＝4x －5距离最小．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ＋b y ＝4x 2得， 4x 2－4x －b ＝0，Δ＝16＋16b ＝0，∴b ＝－1， 解得x 0＝12，y 0＝1，所以P ⎝⎛⎭⎫12，1.【答案】 ⎝⎛⎭⎫12，14．【解】 根据题意可知：|PF |＝|PO |，其中O 为原点，F 为焦点，∴x P ＝x F 2＝18，∴y P ＝±18＝±122＝±24，∴P ⎝⎛⎭⎫18，±24.。
抛物线的简单几何性质 学案
2.4.2 抛物线的简单几何性质学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一 抛物线的简单几何性质 思考 观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在x 轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？ (2)根据图形及抛物线方程y 2＝2px (p >0)如何确定横坐标x 的范围？答案 (1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心．(2)由抛物线y 2＝2px (p >0)有⎩⎪⎨⎪⎧2px ＝y 2≥0，p >0，所以x ≥0.梳理 四种形式的抛物线的几何性质标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图形范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 焦点坐标 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2顶点坐标O (0,0)离心率 e ＝1 通径长2p直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点． 知识点三 焦点弦的性质已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ，|AF |＝x 1＋p2；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．(1)抛物线没有渐近线．(√)(2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p .(×)(3)若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切．(×)(4)“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件．(√)类型一 抛物线方程及其几何性质例1 (1)顶点在原点，对称轴为y 轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是( ) A ．x 2＝16y B ．x 2＝8y C ．x 2＝±8yD ．x 2＝±16y考点 抛物线的简单几何性质 题点 焦点、准线、对称性简单应用 答案 D解析 顶点在原点，对称轴为y 轴的抛物线方程有两个：x 2＝－2py ，x 2＝2py (p ＞0)．由顶点到准线的距离为4，知p ＝8，故所求抛物线方程为x 2＝16y 或x 2＝－16y .(2)顶点在原点，经过点(3，－6)，且以坐标轴为对称轴的抛物线方程是________________． 考点 抛物线的简单几何性质 题点 焦点、准线、对称性简单应用 答案 y 2＝123x 或x 2＝－12y解析 若x 轴是抛物线的对称轴，则设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，因为点(3，－6)在抛物线上，所以(－6)2＝2p ·3，解得2p ＝123，故所求抛物线的标准方程为y 2＝123x .若y 轴是抛物线的对称轴，则同理可得抛物线的标准方程为x 2＝－12y .反思与感悟 求抛物线的标准方程的关键与方法(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数． (2)方法：①定义法：根据定义求p ，最后写标准方程． ②待定系数法：设标准方程，列有关的方程组求系数．③直接法：建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程．跟踪训练1 已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程． 考点 由抛物线的简单几何性质求方程 题点 由简单几何性质求抛物线的方程 解 由题意，可设抛物线方程为y 2＝2ax (a ≠0)， 则焦点F ⎝⎛⎭⎫a 2，0，准线l ：x ＝－a 2， ∴A ，B 两点坐标分别为⎝⎛⎭⎫a 2，a ，⎝⎛⎭⎫a 2，－a ， ∴|AB |＝2|a |.∵△OAB 的面积为4，∴12·⎪⎪⎪⎪a 2·2|a |＝4，∴a ＝±22，∴抛物线方程为y 2＝±42x . 类型二 焦点弦问题例2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 考点 直线与抛物线位置关系题点 直线与抛物线相交弦长及弦中点问题 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝3， 又F ⎝⎛⎭⎫32，0，所以直线l 的方程为 y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，y 2＝6x ，消去y 得4x 2－20x ＋9＝0， 解得x 1＝12，x 2＝92，故|AB |＝1＋(3)2×⎪⎪⎪⎪92－12＝2×4＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义，知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3＝9，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.反思与感悟 抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题． (2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．跟踪训练2 如图，斜率为43的直线l 经过抛物线y 2＝2px 的焦点F (1,0)，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)求该抛物线的标准方程和准线方程； (2)求线段AB 的长．考点 抛物线中过焦点的弦长问题 题点 求抛物线的焦点弦长解 (1)由焦点F (1,0)，得p2＝1，解得p ＝2，所以抛物线的标准方程为y 2＝4x ， 其准线方程为x ＝－1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 直线l 的方程为y ＝43(x －1)，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43(x －1)，y 2＝4x ，消去y ，整理得4x 2－17x ＋4＝0， 由抛物线的定义可知， |AB |＝x 1＋x 2＋p ＝174＋2＝254，所以线段AB 的长为254.类型三 直线与抛物线位置关系例3 (1)过点P (0,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个交点的直线有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条D ．1条考点 直线与抛物线位置关系 题点 直线与抛物线公共点个数问题 答案 B解析 当直线垂直于x 轴时，满足条件的直线有1条； 当直线不垂直于x 轴时，满足条件的直线有2条，故选B.(2)已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点． 考点 直线与抛物线位置关系 题点 直线与抛物线公共点个数问题解 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，(*)式只有一个解x ＝14，∴y ＝1，∴直线l 与C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1， 此时直线l 平行于x 轴．当k ≠0时，(*)式是一个一元二次方程， Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )． ①当Δ＞0，即k ＜1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点，此时直线l 与C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 有一个公共点，此时直线l 与C 相切； ③当Δ＜0，即k ＞1时，l 与C 没有公共点，此时直线l 与C 相离． 综上所述，当k ＝1或0时，l 与C 有一个公共点； 当k ＜1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点； 当k ＞1时，l 与C 没有公共点． 引申探究求过点P (0,1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程． 解 (1)若直线斜率不存在， 则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y 2＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，所以直线x ＝0与抛物线只有一个交点． (2)若直线斜率存在，设为k ，则过点P 的直线方程为y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，消去y ，得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0. 当k ＝0时，得x ＝12，且y ＝1，即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点． 当k ≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则 Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，解得k ＝12，则直线方程为y ＝12x ＋1.综上所述，所求直线的方程为x ＝0或y ＝1或x －2y ＋2＝0.反思与感悟 设直线l ：y ＝kx ＋b ，抛物线：y 2＝2px (p ＞0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k 2x 2＋(2kb －2p )x ＋b 2＝0.(1)若k 2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． (2)若k 2≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．跟踪训练3 (1)已知直线y ＝kx －k 和抛物线y 2＝2px (p ＞0)，则( ) A ．直线和抛物线有一个公共点 B ．直线和抛物线有两个公共点 C ．直线和抛物线有一个或两个公共点 D ．直线和抛物线可能没有公共点 考点 直线与抛物线位置关系 题点 直线与抛物线公共点个数问题 答案 C解析 ∵直线y ＝kx －k 过定点(1,0)， ∴当k ＝0时，直线与抛物线有一个公共点； 当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点．(2)(2017·牌头中学期中)抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为____．答案 (－2,4) (1,1)解析 设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ， 代入y ＝x 2中，整理得x 2＋x －b ＝0，令Δ＝1＋4b >0， ∴b >－14.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1， y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ， 由⎝⎛⎭⎫－12，12＋b 在直线y ＝x ＋3上， 即12＋b ＝－12＋3，解得b ＝2， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1.1．已知抛物线的对称轴为x 轴，顶点在原点，焦点在直线2x －4y ＋11＝0上，则此抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－11x B ．y 2＝11x C ．y 2＝－22xD ．y 2＝22x考点 由抛物线的简单几何性质求方程 题点 由简单几何性质求抛物线的方程 答案 C解析 在方程2x －4y ＋11＝0中，令y ＝0，得x ＝－112，∴抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫－112，0，设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)， 则p 2＝112，∴p ＝11， ∴抛物线的方程是y 2＝－22x ，故选C.2．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ) A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12考点 抛物线的简单几何性质 题点 抛物线性质的综合问题 答案 C解析 因为抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，且点A (－2,3)在准线上， 故－p2＝－2，解得p ＝4，所以y 2＝8x ，所以焦点F 的坐标为(2,0)， 这时直线AF 的斜率k AF ＝3－0－2－2＝－34.3．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F 的距离的关系是( ) A ．成等差数列B ．既成等差数列也成等比数列C ．成等比数列D ．既不成等比数列也不成等差数列 考点 抛物线的简单几何性质 题点 抛物线性质的综合问题 答案 A解析 设三点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，y 23＝2px 3. 因为2y 22＝y 21＋y 23， 所以x 1＋x 3＝2x 2，即|P 1F |－p 2＋|P 3F |－p2＝2⎝⎛⎭⎫|P 2F |－p 2， 所以|P 1F |＋|P 3F |＝2|P 2F |.4．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________. 考点 抛物线中过焦点的弦长问题 题点 与弦长有关的其他问题 答案 2解析 设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 易知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ， 且倾斜角为45°的直线的方程为y ＝x －p2，把x ＝y ＋p2代入y 2＝2px ，得y 2－2py －p 2＝0，∴y 1＋y 2＝2p ，y 1y 2＝－p 2. ∵|AB |＝8，∴|y 1－y 2|＝42， ∴(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝(42)2， 即(2p )2－4×(－p 2)＝32. 又p >0，∴p ＝2.5．已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l ，设抛物线上任一点P 到直线l 的距离为m ，则m ＋|PC |的最小值为________． 考点 抛物线的定义题点 抛物线定义与其他知识结合的应用 答案41解析 圆心C (－3，－4)，由抛物线的定义知，m ＋|PC |最小时为圆心与抛物线焦点(2,0)间的距离，即(－3－2)2＋(－4)2＝41.1．抛物线的中点弦问题用点差法较简便．2．轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．3．在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．一、选择题1.(2017·嘉兴一中期末)已知点A (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( ) A.14B ．2C ．4D ．8 答案 B2．抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8考点 由抛物线的简单几何性质求方程题点 由简单几何性质求抛物线的方程答案 D解析 ∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6.又圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p 2， ∴p 2＋p 4＝6，∴p ＝8. 3．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( ) A.43B.75C.85D ．3 考点 直线与抛物线的位置关系题点 求距离最小值问题答案 A解析 设抛物线y ＝－x 2上一点为(m ，－m 2)，该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为|4m －3m 2－8|5，当m ＝23时，取得最小值为43. 4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其上的三个点A ，B ，C 的横坐标之比为3∶4∶5，则以|F A |，|FB |，|FC |为边长的三角形( )A ．不存在B ．必是锐角三角形C ．必是钝角三角形D ．必是直角三角形考点 抛物线的简单几何性质题点 抛物线的简单几何性质应用答案 B解析 设A ，B ，C 三点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，x 1＝3k ，x 2＝4k ，x 3＝5k (k >0)，由抛物线定义，得|F A |＝p 2＋3k ，|FB |＝p 2＋4k ，|FC |＝p 2＋5k ，易知三者能构成三角形，|FC |所对角为最大角，由余弦定理可证该角的余弦值为正数，故该三角形必是锐角三角形．5．等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2考点 抛物线的简单几何性质题点 抛物线的简单几何性质应用答案 B解析 因为抛物线的对称轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性，知直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45°. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y 2＝2px ， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p ，所以易得A ，B 两点的坐标分别为(2p,2p )和(2p ，－2p )．所以|AB |＝4p ，所以S △AOB ＝12×4p ×2p ＝4p 2. 6．(2017·牌头中学期中)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3C.1728D.10 答案 B解析 设点A 的坐标为(a 2，a )，点B 的坐标为(b 2，b )，直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ，与抛物线y 2＝x 联立得y 2－ty －m ＝0，故ab ＝－m ，由OA →·OB →＝2得a 2b 2＋ab ＝2，故ab ＝－2或ab ＝1(舍去)，所以m ＝2，所以△ABO 的面积为12m |a －b |＝|a －b |＝⎪⎪⎪⎪a ＋2a ，△AFO 的面积等于12×14|a |＝|a |8，所以△ABO 与△AFO 的面积之和为⎪⎪⎪⎪9a 8＋⎪⎪⎪⎪2a ≥29|a |8×2|a |＝3，当且仅当9|a |8＝2|a |，即|a |＝43时“＝”成立，故选B. 7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线位置关系的综合应用答案 B解析 抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，代入y 2＝2px 消去x ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 22＝p ＝2(y 1，y 2分别为点A ，B 的纵坐标)，所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.二、填空题8．已知O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是____________．考点 抛物线的简单几何性质题点 抛物线性质的综合问题答案 (1,2)或(1，－2)解析 ∵抛物线的焦点为F (1,0)，设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0， 则OA →＝⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，AF →＝⎝⎛⎭⎫1－y 204，－y 0， 由OA →·AF →＝－4，得y 0＝±2，∴点A 的坐标是(1,2)或(1，－2)．9．(2017·嘉兴一中期末)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为________．答案 32210．已知在抛物线y ＝x 2上存在两个不同的点M ，N 关于直线y ＝kx ＋92对称，则k 的取值范围为__________________．考点 直线与抛物线位置关系题点 直线与抛物线位置关系答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－14∪⎝⎛⎭⎫14，＋∞ 解析 设M (x 1，x 21)，N (x 2，x 22)，两点关于直线y ＝kx ＋92对称，显然k ＝0时不成立， ∴x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，即x 1＋x 2＝－1k . 设MN 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝－12k，y 0＝k ×⎝⎛⎭⎫－12k ＋92＝4. 又中点P 在抛物线y ＝x 2内，∴4＞⎝⎛⎭⎫－12k 2，即k 2＞116， ∴k ＞14或k ＜－14. 三、解答题11．(2017·嘉兴一中期末)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．解 (1)由题意知抛物线焦点坐标为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4＝0，Δ＝16t 2＋16>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4b ＝0，Δ＝16t 2＋16b >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2.∴直线l 过定点(2,0)．∴若OA →·OB →＝－4，则直线l 必过一定点(2,0)．12．已知顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线截直线x －2y －1＝0所得的弦长为15，求此抛物线的方程．考点 由抛物线的简单几何性质求方程题点 已知弦长求抛物线的方程解 设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0，消去y ， 得2x 2－ax ＋a ＝0.∵直线与抛物线有两个交点，∴Δ＝(－a )2－4×2×a ＞0，即a ＜0或a ＞8.设两交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝a 2，x 1x 2＝a 2， ∴|AB |＝54(x 1－x 2)2＝54[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝145(a 2－8a ).∵|AB |＝15，∴145(a 2－8a )＝15，即a 2－8a －48＝0，解得a ＝－4或a ＝12，∴所求抛物线的方程为x 2＝－4y 或x 2＝12y .13．设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)设l 的斜率为2，求|AB |的值；(2)求证：OA →·OB →是一个定值．考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线的综合问题(1)解 依题意得F (1,0)，∴直线l 的方程为y ＝2(x －1)．设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝4x ，消去y ，整理得x 2－3x ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝1.方法一 |AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝5×32－4×1＝5.方法二 |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋2＝5.(2)证明 设直线l 的方程为x ＝ky ＋1，直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x ，消去x ，整理得y 2－4ky －4＝0， ∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4.∵OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3，∴OA →·OB →是一个定值．四、探究与拓展14．已知直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点且与抛物线相交，其中一个交点为(2p,2p )，则其焦点弦的长度为________．考点 抛物线中过焦点的弦长问题题点 求抛物线的焦点弦长答案 25p 8 解析 由题意，知直线l 过⎝⎛⎭⎫p 2，0和(2p,2p )，所以直线l ：y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2.设另一交点坐标为(x 1，y 1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2px ，y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2，整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0.由根与系数的关系，得x 1＋2p ＝17p 8，所以焦点弦的长度为x 1＋2p ＋p ＝25p 8. 15．已知抛物线y 2＝2x .(1)设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|P A |；(2)设点A 的坐标为(a,0)，求抛物线上的点到点A 的距离的最小值d ，并写出d ＝f (a )的函数表达式．考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线的综合问题解 (1)设抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )，则|P A |2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋y 2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋2x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋132＋13. 因为x ≥0，且在此区间上|P A |2随着x 的增大而增大，所以当x ＝0时，|P A |min ＝23， 故距离点A 最近的点P 的坐标为(0,0)，最短距离是23. (2)同(1)求得|P A |2＝(x －a )2＋y 2＝(x －a )2＋2x ＝[x －(a －1)]2＋(2a －1)．当a －1≥0，即a ≥1时，|P A |2min ＝2a －1，解得|P A |min ＝2a －1，此时x ＝a －1；当a －1＜0，即a ＜1时，|P A |2min ＝a 2，解得|P A |min ＝|a |，此时x ＝0.所以d ＝f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －1，a ≥1，|a |，a ＜1.。
抛物线的简单几何性质学案
2.4.1 抛物线简单几何性质学案预习案学习目标：1．掌握抛物线简单几何性质． 2．会用抛物线的简单几何性质． 学习重点： 会用抛物线的简单几何性质 学习难点： 会用抛物线的简单几何性质❖ 任务一：四条抛物线的简单几何性质比较任务二抛物线的焦半径 抛物线上任意一点与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径．根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：任务三 抛物线的焦点弦抛物线的焦点弦即过焦点F 的直线与抛物线所成的相交弦．焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的 距离公式得到，设AB 为焦点弦，，，则其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A ，B 两点的线段AB ，称为抛物线的通径．0011(,)A x y 22(,)B x y对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为2p ． ❖ 任务四 直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程 的解的个数.当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有 个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线 公共点.当k ＝0时，直线与抛物线的轴 ，此时直线与抛物线有 个公共点. 预习检测【例1】抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 的纵坐标为－42，这点到准线的距离为6，则抛物线方程为________【例2】已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点. （1）若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； （2）若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离.练习 已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的弦长为36，求弦所在的直线方程.【例3】已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？练习 过点(－3,2)的直线与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，求此直线方程.22(0)y px p =>(,)2p A p (,)2p B p -||2AB p =巩固练习1．过抛物线C ：y 2＝12x 的焦点作直线l 交C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝( )A ．16B ．12C ．10D ．82．过点(2,4)的直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－24．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝ ( )A ．4 3B ．8C ．83D ．165．已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过F 作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A ，B 两点，若|AF ||BF |⊥(0,1)，则|AF ||BF |＝ ( ) A.15 B.14 C.13 D.126．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为 ( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．337．若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．8．设O 为坐标原点，F 为抛物线24y x =的焦点，A 为抛物线上的一点，若4OA AF =-u u u r u u u rg ，则点A 的坐标为 （ ）A ．(2,22)±B ．(1,2)±C ．(1,2)D ．(2,22)9．顶点在原点，焦点是F(0,5)的抛物线方程是 ( )A ．y 2＝20xB ．x 2＝20yC ．y 2＝120x D ．x 2＝120y 10．已知P(8，a)在抛物线y 2＝4px 上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为 ( )A ．2B ．4C ．8D ．1611．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为 ( )A .12B ．1C ．2D ．4 12．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________.13．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若⊥F AC ＝120°，则圆的方程为________________．14.抛物线y 2＝4x 上的点到直线x －y ＋4＝0的最小距离为________.15．已知点A (2,0)，B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时的点P 的坐标是___． 16．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点P (4，m )到焦点的距离为6.(1)求抛物线C 的方程．(2)若抛物线C 与直线y ＝kx －2相交于不同的两点A ，B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值．17．已知点A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，且OA ⊥OB .(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积． (2)求证：直线AB 过定点．18．已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F 的一条弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)． 求证：(1)若AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2p sin 2θ；(2)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2； (3)1|AF |＋1|BF |为定值2p （记住了！）.。
高中数学 2-1 2.4.2抛物线的简单几何性质 学案
2。
4.2抛物线的简单几何性质(一)教学目标1。
知识与技能：（1）通过对抛物线图形的研究，让学生熟悉抛物线的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）以及离心率的大小对抛物线形状的影响，进一步加强数形结合的思想。
（2）熟练掌握抛物线的几何性质，会用抛物线的几何性质解决相应的问题.2。
过程与方法：通过讲解抛物线的相关性质,理解并会用抛物线的相关性质解决问题。
3。
情感、态度与价值观：（1) 学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；(2) 培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
（二）教学重点与难点重点：抛物线的几何性质，数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质难点：数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质.(三）教学过程活动一：创设情景、引入课题(5分钟）问题1:前面两节课，说一说所学习过的内容？1、抛物线的定义？2、四种不同抛物线方程的对比？问题2：类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为抛物线22(0)=>有那些的几何性质？通过它的形状，你能y px p从图上看出它的范围吗?它具有怎样的对称性？抛物线上哪些点比较特殊?活动二：师生交流、进入新知，（20分钟)一、抛物线的简单几何性质1．范围：0x≥,y R∈2．对称性:抛物线关于x轴对称。
3．顶点:坐标原点（0，0）4．离心率:=1e问题3：说出当e满足下列条件时,曲线是什么图形？（1）当0＜e＜1时，（2)当e＞1时，（3)当e=1时。
5。
焦半径：抛物线上任一点到焦点的距离（即此点的焦半径)等于此点到准线的距离．6。
由焦半径公式不难得出焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦),若A（x1，y1)、B(x2,y2），则有|AB｜=x1+x2+p．特别地：当AB⊥x轴时,抛物线的通径|AB｜=2p练习：完成下列表格例3:已知:抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点2M （，-，求它的标准方程，并用描点法画出图形．问题4：思考顶点在坐标原点，并且经过点2M （，-的抛物线有几条？求出它的标准方程。
学案2：3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质
3.3.2第1课时抛物线的简单几何性质学习目标1.掌握抛物线的简单几何性质.2.归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同.3.掌握直线与抛物线位置关系的判断.学习重点：抛物线的简单几何性质及其应用.学习难点：直线与抛物线位置关系的判断.知识梳理抛物线四种形式的标准方程及其性质(0，0)规律方法1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析，其共同点：(1)顶点都为原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1；4(4)焦点到准线的距离均为p.其不同点：(1)对称轴为x轴时，方程的右端为±2px，左端为y2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，左端为x2；(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同，焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同，焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取负号.2.只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.牛刀小试1. 判断(1)抛物线关于顶点对称.()(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.()(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同.()2.思考：怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向?3. 以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为()A.y2=8xB. y2=-8xC. y2 =8x或y2=-8xD. x2 =8y或x2=-8y 问题思考(1)掌握抛物线的性质，重点应抓住“两点”“两线”“一率”“一方向”，它们分别指的是什么?(2)抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些?学习过程一、问题导学类比用方程研究椭圆双曲线几何性质的过程与方法，y2=2px(p>0)，①你认为应研究抛物线的哪些几何性质，如何研究这些性质？1. 范围抛物线y2= 2px (p＞0) 在y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标(x，y) 的横坐标满足不等式x ≥ 0；当x 的值增大时，|y| 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．2. 对称性观察图象，不难发现，抛物线y2= 2px (p＞0)关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴．3. 顶点抛物线和它轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是坐标原点(0，0)．4. 离心率抛物线上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率. 用e表示，e = 1．探究如果抛物线的标准方程是y2=−2px(p>0)，②x2=2py(p>0)，③x2=−2py(p>0)，④那么抛物线的范围（开口方向）、对称性、顶点、离心率中，哪些与①所表示的抛物线是相同的？哪些是有区别的？二、典例解析例1.已知抛物线的对称轴为x轴，顶点是坐标原点，并且经过点M(2，−2√2)，求它的标准方程.跟踪训练1.设抛物线y=mx2(m≠0)的准线与直线y=1的距离为3，求抛物线的标准方程.例2.斜率为1 的直线经过抛物线y2= 4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长．规律方法直线和抛物线的位置关系有三种：相交、相切、相离.将直线方程和抛物线方程联立，消元转化为关于x（或y 的）方程组：A x2+ Bx + C = 0（或Ay2+ By + C = 0），其中A，B，C 为常数.若A = 0，则直线和抛物线相交（直线与抛物线的对称轴平行），有一个交点；若A ≠ 0，计算判别式Δ＝B2－4AC：若Δ＞0，则直线和抛物线相交（有两个交点）；若Δ = 0，则直线和抛物线相切（有一个交点）；若Δ＜0，则直线和抛物线相离（无交点）.跟踪训练2.(1)过定点P(0，1)作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？(2)若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．达标检测1．若抛物线y2＝2x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．182．在抛物线y 2＝16x 上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( ) A ．(42，±2) B ．(±42，2) C ．(±2，42) D ．(2，±42)3．已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是________． 4. 已知抛物线y 2=8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x 的范围；(2)以坐标原点O 为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB ，|OA|=|OB|，若焦点F 是△OAB 的重心，求△OAB 的周长.5．已知点P (1，m )是抛物线C ：y 2＝2px 上的点，F 为抛物线的焦点，且|PF |＝2，直线l ：y ＝k (x －1)与抛物线C 相交于不同的两点A ，B . (1)求抛物线C 的方程； (2)若|AB |＝8，求k 的值． 课堂小结参考答案牛刀小试1.【答案】(1)× (2)√ (3)√2.【答案】一次项的变量若为x (或y )，则x 轴(或y 轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的 符号决定开口方向.如果y 是一次项，负时向下，正时向上. 如果x 是一次项，负时向左，正时向右. 3.【答案】C【解析】设抛物线方程为y 2=2px (p>0)或y 2=-2px (p>0)，依题意得x=p2，代入y 2=2px 或y 2=-2px ，得|y|=p ，∴2|y|=2p=8，p=4. ∴抛物线方程为y 2=8x 或y 2=-8x. 问题思考(1)提示：“两点”是指抛物线的焦点和顶点；“两线”是指抛物线的准线和对称轴；“一率”是指离心率1；“一方向”是指抛物线的开口方向.(2)提示：抛物线的离心率等于1，它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线.它没有中心，通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线. 学习过程 二、典例解析例1.解：因为抛物线的对称轴为x 轴，它的顶点在原点，并且经过点M (2，−2√2)， 所以可设它的标准方程为 y 2=2px(p >0)，因为点M (2，−2√2)在抛物线上，所以（−2√2）2=2p ×2. 解得p = 2，因此，所求抛物线的标准方程是 y 2=4x .跟踪训练1.解：y=mx 2(m ≠0)可化为x 2=1m y ，其准线方程为y=-14m.由题意知-14m =-2或-14m =4，解得m=18或m=-116，故所求抛物线的标准方程为x 2=8y 或x 2=-16y.例2.解：方法一：由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F (1，0)， 所以直线AB 的方程为01(1)y x -=⋅-，即1y x =-， ① 将方程①代入抛物线方程24y x =，化简得2610x x -+=，解这个方程，得13x =+，23x =-将13x =+，23x =-①中，得12y =+，2y =A(，B(，∴||8AB ==.方法二：由抛物线的定义可知，|AF |=|AD |=x 1＋1，|BF |＝|BC |= x 2＋1， 于是|AB |=|AF|＋|BF |= x 1＋x 2＋2． 在方法一中得到方程x 2－6x ＋1=0后， 根据根与系数的关系可以直接得到x 1＋x 2＝6， 于是立即可以求出|AB |=6＋2=8． 方法三：抛物线y 2＝4x 中2p ＝4，直线的 倾斜角为4π，所以焦点弦长224||81sin 2p AB θ===.跟踪训练2.解：(1)当直线的斜率不存在时，直线x ＝0，符合题意． 当直线的斜率存在时，设过点P 的直线方程为y ＝kx ＋1，当k ＝0时，直线l 的方程为y ＝1，满足直线与抛物线y 2＝2x 仅有一个公共点； 当k ≠0时，将直线方程y ＝kx ＋1代入y 2＝2x ， 消去y 得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0.由Δ＝0，得k ＝12，直线方程为y ＝12x ＋1.故满足条件的直线有三条．(2)因为直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(a ＋1)x －1，y 2＝ax 只有一组实数解，消去y ，得[(a ＋1)x －1]2＝ax ，即(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0 ①.(ⅰ)当a ＋1＝0，即a ＝－1时，方程①是关于x 的一元一次方程，解得x ＝－1，这时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.(ⅱ)当a ＋1≠0，即a ≠－1时，方程①是关于x 的一元二次方程． 令Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a (5a ＋4)＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝－45.所以原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－2.综上，实数a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45.达标检测 1．【答案】A【解析】线段AB 所在的直线方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0， 则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12.2．【答案】D【解析】抛物线y 2＝16x 的顶点O (0，0)，焦点F (4，0)，设P (x ，y )符合题意，则有⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝16x ，x 2＋y 2＝(x －4)2＋y 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝16x ，x ＝2⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝±4 2.所以符合题意的点为(2，±42)． 3．【答案】158【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线2x 2＝y ，可得p ＝14.∵|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝4，∴y 1＋y 2＝4－14＝154，故AB 的中点的纵坐标是y 1＋y 22＝158.4. 解：(1)抛物线y 2=8x 的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x 的范围分别为(0，0)，(2，0)，x=-2，x 轴，x ≥0.(2)如图所示，由|OA|=|OB|可知AB ⊥x 轴，垂足为点M ， 又焦点F 是△OAB 的重心，则|OF|=23|OM|. 因为F (2，0)，所以|OM|=32|OF|=3，所以M (3，0).故设A (3，m )，代入y 2=8x 得m 2=24， 所以m=2√6或m=-2√6， 所以A (3，2√6)，B (3，-2√6)，所以|OA|=|OB|=√33， 所以△OAB 的周长为2√33+4√6.5．解：(1)抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，由|PF |＝2得：1＋p2＝2，得p ＝2.所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，Δ＝16k 2＋16＞0， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.∵直线l 经过抛物线C 的焦点F ， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k 2＋2＝8，解得k ＝±1，所以k 的值为1或－1.。
学案7：2.3.2抛物线的简单几何性质
2.3.2抛物线的简单几何性质学习目标1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用．学习重点：会用抛物线的性质解决与抛物线相关的综合问题．学习难点：直线与抛物线的位置关系的应用．知识梳理1．抛物线的简单几何性质设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)(1)范围：抛物线上的点(x，y)的横坐标x的取值范围是________，抛物线在y轴的______侧，当x的值增大时，|y|也________，抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：抛物线关于________对称，抛物线的对称轴叫做________________．(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的________．抛物线的顶点为____________．(4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的__________，用e表示，其值为______．(5)抛物线的焦点到其准线的距离为______，这就是p的几何意义，顶点到准线的距离为p2，焦点到顶点的距离为________．2．直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程________________________的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有______个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有______个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴__________，此时直线与抛物线有______个公共点．3．抛物线的焦点弦设抛物线y2＝2px(p>0)，AB为过焦点的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则有以下结论．(1)以AB为直径的圆与准线________．(2)|AB|＝________(焦点弦长与中点坐标的关系)．(3)|AB|＝x1＋x2＋______.(4)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2＝________，y1y2＝________.例题精析例1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，并且经过点M（2，），求它的标准方程.例2斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.例3 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.例4 已知抛物线的方程为y2=4x，直线l过定点P（-2,1），斜率为k, k为何值时，直线l与抛物线y2=4x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？课堂检测 一、选择题1．顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(－2,3)，它的方程是( ) A ．x 2＝－92y 或y 2＝43xB ．y 2＝－92x 或x 2＝43yC ．y 2＝－92xD ．x 2＝43y2．若抛物线y 2＝2px (p >0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F 的距离的关系是( ) A ．成等差数列B ．既成等差数列又成等比数列C ．成等比数列D ．既不成等比数列也不成等差数列3．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172 B ．3 C. 5 D.924．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x5．设直线l 1：y ＝2x ，直线l 2经过点P (2,1)，抛物线C ：y 2＝4x ，已知l 1、l 2与C 共有三个交点，则满足条件的直线l 2的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．过抛物线y 2＝ax (a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则1p ＋1q等于( )A ．2a B.12a C ．4a D.4a二、填空题7．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2，2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．8．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M(2,2)，则△ABF的面积等于________．9．过抛物线x2＝2py (p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴的左侧)，则|AF||FB|＝________.三、解答题10．设抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．11．过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q所平分，求AB所在的直线方程．能力提升12．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|等于()A．4 3 B．8 C．8 3 D．1613.已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值．课堂小结1．抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离．2．直线与抛物线的位置关系，可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解来判定；“中点弦”问题也可使用“点差法”．参考答案知识梳理1．(1)x ≥0 右 增大 (2)x 轴 抛物线的轴 (3)顶点 坐标原点 (4)离心率 1 (5)p p 22．k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0 两 一 没有 平行或重合 一 3．(1)相切 (2)2(x 0＋p 2) (3)p (4)p 24 －p 2例题精析例1解：因为抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M （2，），所以，可设它的标准方程为因为点M 在抛物线上，所以 即p =2.因此,所求抛物线的标准方程是例2【解析】由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线l 的斜率为1，所以可以求出直线l 的方程；与抛物线的方程联立，可以求出A ,B 两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出∣AB ｜.这种方法虽然思路简单，但是需要复杂的代数运算.下面，我们介绍另外一种方法——数形结合的方法.如图，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）.由抛物线的定义可知|AF |等于点A 到准线的距离|AA ’|设|AA ’|=d A ,而d A =x 1+1，于是|AF|= d A =x 1+1.同理|BF |=|BB ’|= d B =x 2+1，于是得|AB |=|AF |+|BF |= x 1+x 2+2由此可见，只要求出点AB 的横坐标之和x 1+x 2,就可以求出|AB |.解：由题意得，p =2,，焦点F (1，0),准线l :x =-1.如图，设设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），A ,B 到准线的距离分别为d A , d B .由抛物线的定义可知|AF|= d A =x 1+1，|BF |=|BB ’|= d B =x 2+1， 于是AB =|AF|+|BF |=x 1+x 2+2，由已知得抛物线的焦点为F (1，0),所以直线AB 的方程为y =x -1.①-22(0)y px p =>2(22,p -=⨯24.y x=12p=将①代入方程y2=4x，得（x-1）2=4x化简得x2-6x+1=0由求根公式得x1, x2=3-,于是|AB|= x1+ x2=8.所以，线段AB的长是8.例3【解析】我们用坐标法证明，即通过建立抛物线及直线的方程，借助方程研究直线DB 与抛物线对称轴之间的位置关系.建立如图所示的直角坐标系，只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐+标相等即可.证明：如图，以抛物线的对称轴为x轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系.设抛物线的方程为过点A的坐标为（，y0）,则直线OA的方程为抛物线的准线方程是联立(2)(3)，可得点D的纵坐标为22y px, (1)=22yp2py x(y), (2)y=≠2px. (3)=-2py. (4)y=-因为点F 的坐标为（，0），所以直线AF 的方程为联立(1)(5)，可得点B 的纵坐标为由(4)(6)可知，DB ∥x 轴. 当y 2=p 2时，结论显然成立.所以，直线DB 平行于抛物线的对称轴.例4 【解析】用解析法解决这个问题，只要讨论直线l 的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况，由方程组解的情况判断直线l 与抛物线的位置关系.由方程组2p022022022py py (x ), (5)y p y p .=--≠其中2p y . (6)y =-()12 ,y k x .-=+解：由题意设直线的方程为l ()2124y k x ,y x ,⎧-=+⎪⎨=⎪⎩()*()244210-++=可得ky y k ()101k ,y .==当时由方程得21144y y x,x .===把代入得114,(,).这时直线与抛物线只有一个公共点l ()()2201621k , k k .≠∆=-+-当时方程的判别式为211021012,k k ,k ,k .︒∆=+-==-=由即解得或112,k ,k ,,.,.=-=*于是当或时方程①只有一个解从而方程组（）只有一个解这时直线与抛物线只有一个公共点l课堂检测 1．B【解析】由题意知所求抛物线开口向上或开口向左，利用待定系数法可求得方程． 2．A【解析】设三点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，y 23＝2px 3， 因为2y 22＝y 21＋y 23，所以x 1＋x 3＝2x 2， 即|P 1F |－p 2＋|P 3F |－p2＝2⎝⎛⎭⎫|P 2F |－p 2， 所以|P 1F |＋|P 3F |＝2|P 2F |. 3．A 【解析】212021012,k k ,k .︒∆>+-<-<<由即解得1102,k k ,,.,.-<<≠于是当,且时方程有两个解从而方程组有两个解这时直线与抛物线有两个公共点l 112,k ,k ,,.,.<->于是当或时方程 没有实数解从而方程组没有解这时直线与抛物线没有公共点l ,综上我们可得1102k ,k ,k .=-==当或或时，直线与抛物线只有一个公共点l 1102k k ,.-<<≠当，且时直线与抛物线有两个公共点l 112k ,k ,,.<->当或时直线与抛物线没有公共点l如图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－12的距离d 等于点P 到焦点的距离|PF |.因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点(0,2)的距离与点P 到点F 的距离之和，其最小值为点M (0,2)到点F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为 4＋14＝172.] 4．B【解析】y 2＝ax 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a4，令x ＝0得y ＝－a2.∴12×|a |4×|a |2＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8. 5．C【解析】∵点P (2,1)在抛物线内部，且直线l 1与抛物线C 相交于A ，B 两点，∴过点P 的直线l 2在过点A 或点B 或与x 轴平行时符合题意．∴满足条件的直线l 2共有3条． 6．D【解析】可采用特殊值法，设PQ 过焦点F ⎝⎛⎭⎫a 4，0且垂直于x 轴，则|PF |＝p ＝x P ＋a 4＝a 4＋a 4＝a 2，|QF |＝q ＝a 2，∴1p ＋1q ＝2a ＋2a ＝4a .] 7．y 2＝4x【解析】 设抛物线方程为y 2＝ax .将y ＝x 代入y 2＝ax ，得x ＝0或x ＝a ，∴a2＝2.∴a ＝4.∴抛物线方程为y 2＝4x . 8．2【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2.∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)． ∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1. ∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x .将其代入y 2＝4x ，得A (0,0)、B (4,4)．∴|AB |＝4 2.又F (1,0)到y ＝x 的距离为22， ∴S △ABF ＝12×22×42＝2. 9. 13【解析】抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，则直线AB 的方程为y ＝33x ＋p 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2py ，y ＝33x ＋p 2，消去x ，得12y 2－20py ＋3p 2＝0，解得y 1＝p6，y 2＝3p 2.由题意可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义，可知|AF ||FB |＝y 1＋p 2y 2＋p 2＝p 6＋p 23p 2＋p 2＝13.10．解 由y ＝mx 2 (m ≠0)可化为x 2＝1m y ，其准线方程为y ＝－14m .由题意知－14m ＝－2或－14m ＝4，解得m ＝18或m ＝－116.则所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y .11．解 方法一 设以Q 为中点的弦AB 端点坐标为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，①y 22＝8x 2，②∵Q (4,1)是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝2.③①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．④将③代入④得y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，即4＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k ＝4.∴所求弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0.方法二 设弦AB 所在直线方程为y ＝k (x －4)＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝8x ，y ＝k x －4＋1，消去x ，得ky 2－8y －32k ＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A 、B 两点的纵坐标，由根与系数的关系和中点坐标公式，得y 1＋y 2＝8k，又y 1＋y 2＝2，∴k ＝4. ∴所求弦AB 所在的直线方程为4x －y －15＝0.12. B【解析】如图所示，直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，与准线方程x ＝－2联立得A (－2,43)．设P (x 0,43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6，∴|PF |＝x 0＋2＝8，选B .]13．解 由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．分别过A 、B 作准线的垂线，垂足为A ′、B ′.(1)由抛物线的定义可知，|AF |＝x 1＋p 2，从而x 1＝4－1＝3.代入y 2＝4x ，解得y 1＝±2 3.∴点A 的坐标为 (3,23)或(3，－23)．(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －1y 2＝4x ，消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，因为直线与抛物线相交于A 、B 两点，则k ≠0，并设其两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2＋4k 2. 由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k 2>4. 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A (1,2)，B (1，－2)，此时|AB |＝4，所以，|AB |≥4，即线段AB 的长的最小值为4.。
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抛物线的简单几何性质
阅读教材第60页，完成下列问题： 抛物线的几何性质:
标准方程
y 2＝2px(p>0) y 2＝－2px(p>0) x 2＝2py(p>0) x 2＝－2py(p>0)
图 形
性 质
范围
对称轴
顶点
离心率 e ＝
焦点 准线
通径长
焦点弦长
注：（1）通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的弦.
抛物线()2
20y px p =>的通径的端点坐标为____________，通径长为______
（2）p 的几何意义是_________________________，影响到抛物线的开口大小.
☆（3）结论：过抛物线()2
20y px p =>的焦点的一条直线与它交于)
,(),(2211y x B y x A 、两点，则12_________y y =，12_________x x =(写出推导过程)
问题一 抛物线的标准方程
例1 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 (2,22)M -，求
它的标准方程.
变式1：已知抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点()
222-，
，求它的标准方程.
变式2：已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，若垂直于x 轴的直线l 过焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，4AB =，求它的标准方程.
问题二 抛物线的焦点弦问题
例2 斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点，求线段AB 的长.
变式1：斜率为1的直线l经过抛物线y2=2p x（p>0）的焦点F，且与抛物线交于A、B AB=,求抛物线的标准方程.
两点，8
.
变式2：斜率为1的直线l经过抛物线y2=2p x（p>0）的焦点F，且与抛物线交于A、B 两点，若线段AB的中点的纵坐标为2,求抛物线的标准方程.
变式3：已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
问题三直线和抛物线的位置关系
例3.已知抛物线方程为y2=4x的，直线l过定点P（-1，2），斜率为k. 当k为何值时，直线与抛物线只有一个公共点？
A 组
1．抛物线y ＝mx 2
(m <0)的焦点坐标是 ( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，m 4
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14m
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－m 4
D.⎝
⎛⎭⎪⎫0，－14m
2.(2014·鹤岗高二检测)抛物线y 2
=8x 上一点P 到y 轴的距离是4,则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A.4 B.6 C.8 D.12 3.已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=( ) A.2错误！未找到引用源。
B.2错误！未找到引用源。
C.4 D.2错误！未找到引用源。
B 组
4．已知过抛物线y 2
＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________.
5.设抛物线y 2
=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA 的中点B 在抛物线上,则B 到该抛物线准线的距离为 .
C 组
6.过抛物线24y x =-的焦点，引倾斜角为
120的直线，交抛物线于A 、B 两点，求OAB S D
7.从抛物线2
4y x =上各点向x 轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方程.
8.设O 为坐标原点,F 为抛物线y 2
=4x 的焦点,A 为抛物线上一点,若错误！未找到引用源。
·错误！未找到引用源。
=-4,求点A 的坐标.。