直线的一般式方程(教案)
直线的一般式方程教案 4doc
课题直线的一般式方程课型：新授课教学目标：1、知识与技能（1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
2、过程与方法:学会用分类讨论的思想方法解决问题。
3、情态与价值观（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题。
教学重点：直线方程的一般式。
教学难点：对直线方程一般式的理解与应用教学过程：问题设计意图师生活动1、（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于yx,的二元一次方程表示吗？（2）每一个关于yx,的二元一次方程0=++CByAx（A，B不同时为0）都表示一条直线吗？使学生理解直线和二元一次方程的关系。
教师引导学生用分类讨论的方法思考探究问题（1），即直线存在斜率和直线不存在斜率时求出的直线方程是否都为二元一次方程。
对于问题（2），教师引导学生理解要判断某一个方程是否表示一条直线，只需看这个方程是否可以转化为直线方程的某种形式。
为此要对B分类讨论，即当0≠B时和当B=0时两种情形进行变形。
然后由学生去变形判断，得出结论：关于yx,的二元一次方程，它都表示一条直线。
教师概括指出：由于任何一条直线都可以用一个关于yx,的二元一次方程表示；同时，任何一个关于yx,的二元一次方程都表示一条直线。
我们把关于关于yx,的二元一次方程=++CByAx（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）.2、直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？使学生理解直线方程的一般式的与其他形学生通过对比、讨论，发现直线方程的一般式与其他形式的直线方程的一个不同点是：问题设计意图师生活动式的不同点。
直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线。
3、在方程=++CByAx中，A，B，C为何值时，方程表示的直线（1）平行于x轴；（2）平行于y轴；（3）与x轴重合；（4）与y重合。
直线的一般式方程(教学设计)2022-2023学年高二数学 (人教A版2019选择性必修第一册)
2.2.3直线的一般式方程教学设计本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A 版（2019）第二章《直线和圆的方程》的第二节《直线的方程》。
以下是本单元的课时安排：第二章直线和圆的方程课时内容 2.1直线的倾斜角与斜率2.2直线的方程2.3 直线的交点坐标与距离公式所在位置 教材第51页教材第59页教材第70页新教材 内容 分析直线的倾斜角与斜率从初中所学“两点确定一条直线”出发，引起学生对平面直角坐标系中的直线的几何要素的确定，是今后学习直线方程的必备知识。
在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线的方程.充分体现坐标法建立方程的一般思路，为后续学习圆的方程及圆锥曲线的方程奠定基础. 围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点.“点到直线的距离”是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．核心素养培养通过直线的倾斜角和斜率的求解，以及在人们的生活、生产、科技中有着广泛的实际应用，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
通过直线方程的求法，发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。
通过直线交点的求法，距离公式的应用，发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。
教学主线 直线的方程的应用在学生亲身体验直线的一般式直线方程的求法，通过典型例子的分析和学生的自主探索活动，促使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，从而体会蕴涵在其中的数学思想方法。
1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系，培养数学抽象的核心素养．2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化，提升数学运算的核心素养.3.能运用直线的一般式方程解决有关问题，培养逻辑推理的核心素养.重点：了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式难点：能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化（一）新知导入由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形:(1)斜率是1,经过点A(1,8);(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7,7;(3)经过两点P1(-1,6),P2(2,9);(4)在y轴上的截距是7,倾斜角是45°.同学们,根据前面我们学习的直线方程形式,分别利用点斜式、截距式、两点式和斜截式,可得到四种情况下的直线方程分别为(1)y-8=x-1;(2)x-7+y7=1;(3)y-69−6=x+12+1;(4)y=x+7.如果我们画出这4条直线的图象,你会惊奇地发现:这4条直线是重合的.事实上,它们的方程都可以化简为x-y+7=0.这样前几种直线方程就有了统一的形式,这就是本节我们要学习的直线的一般式方程.（二）直线的一般式方程知识点1 一般式方程【探究1】观察我们已经学习的直线的四个方程，点斜式y－y0＝k(x－x0)，斜截式y＝kx＋b，两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1，截距式xa＋yb＝1，你能发现它们都是什么样的方程？【提示】都是关于x，y的二元一次方程．◆直线的一般式方程把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．【点睛】直线一般式方程的结构特征①方程是关于x，y的二元一次方程．②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y常数的先后顺序排列．③x的系数一般不为分数和负数．④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．【思考1】平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？为什么？【提示】都可以．原因如下：(1)任意一条直线l，在其上任取一点P0(x0，y0)，当直线l的斜率为k 时(此时直线的倾斜角α≠90°)，其方程为y－y0＝k(x－x0)，这是关于x，y的二元一次方程．(2)当直线l 的斜率不存在，即直线l的倾斜角α＝90°时，直线的方程为x－x0＝0，可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.方程y－y0＝k(x－x0)和x－x0＝0都是二元一次方程，因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．【思考2】任意一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示一条直线吗？为什么？【提示】当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0可变形为y ＝－A B x －C B ，它表示过点(0，－C B )，斜率为－AB 的直线．当B ＝0时，A ≠0，方程Ax ＋By ＋C ＝0可变形为x ＝－C A ，它表示过点(－CA ，0)，且垂直于x 轴的直线．由上可知，关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)都表示一条直线．【做一做】(教材P66练习1改编)过点A (3,2)，B (4,3)的直线方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0解析：由两点式可得，过A 、B 的直线方程为y －23－2＝x －34－3，即x －y －1＝0.答案：D【做一做2】 设直线l ：(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －2m ＋6＝0(m ≠－1)，根据下列条件分别确定m 的值：(1)直线l 在x 轴上的截距为－3； (2)直线l 的斜率为1.【解析】(1)令y ＝0得x ＝2m －6m 2－2m －3(m 2－2m －3≠0)，由题知，2m －6m 2－2m －3＝－3，解得m ＝3(舍)，m ＝－53.(2)∵直线l 的斜率为k ＝－m 2－2m －32m 2＋m －1，∴－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝43.【做一做3】(教材P65例5改编) 过点A (－1,2)，斜率为2的直线的一般式方程为__________．答案：2x －y ＋4＝0（三）典型例题 1.直线的一般式方程例1.写出满足下列条件的直线的方程：（1）经过点(8,2)A -3 （2）经过点(2,0)B -，且与x 轴垂直； （3）斜率是4-，在y 轴上的截距是7； （4）经过(1,8)A -，(4,2)B -两点； （5）在y 轴上的截距是2，且与x 轴平行； （6）在x 轴、y 轴上的截距分别是4，3-．【分析】根据条件，选择恰当的直线方程的形式，最后化成一般式方程．【解析】（1）经过点(8,2)A -3)328y x +=-338360x y --=（2）经过点(2,0)B -，且与x 轴垂直；则直线方程为2x =-（3）斜率是4-，在y 轴上的截距是7；则直线方程为47y x =-+，即470x y +-= （4）经过(1,8)A -，(4,2)B -两点；则斜率()28241k --==---，所以直线方程为()821y x -=-+，即260x y +-=（5）在y 轴上的截距是2，且与x 轴平行；则直线方程为2y = （6）在x 轴、y 轴上的截距分别是4，3-．则直线方程为143x y +=-，即34120x y --=【类题通法】直线的一般式方程的特征求直线方程时,要求将方程化为一般式方程,其形式一般作如下设定:x 的系数为正;系数及常数项一般不出现分数;一般按含x 项、含y 项、常数项的顺序排列.【巩固练习1】已知△ABC 的三个顶点分别为A （﹣3，0），B （2，1），C （﹣2，3），试求： （1）边AC 所在直线的方程；（2）BC 边上的中线AD 所在直线的方程； （3）BC 边上的高AE 所在直线的方程.【解析】（1）∵A （﹣3，0），C （﹣2，3），故边AC 所在直线的方程为3233x y+=-+，即3x ﹣y +9＝0，（2）BC 边上的中点D （0，2），故BC 边上的中线AD 所在直线的方程为132x y+=-， 即2x ﹣3y +6＝0， （3）BC 边斜率k 131222-==-+，故BC 边上的高AE 的斜率k ＝2， 故BC 边上的高AE 所在直线的方程为y ＝2（x +3），即2x ﹣y +6＝0.2.直线的平行与垂直例2. (1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值；(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？ 【解析】 (1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0. l 2：mx ＋3y －2＝0. ①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行．②当m ≠0时，l 1∥l 2，则需2m ＝m ＋13≠4－2.解得m ＝2或m ＝－3.∴m 的值为2或－3.法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2. 当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， l 1与l 2不重合，l 1∥l 2，∴m 的值为2或－3. (2)法一：由题意，直线l 1⊥l 2，①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直． ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，所以a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 法二：由直线l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1.将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.【类题通法】利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， (1)若l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)若l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.【巩固练习2】已知直线l 1:(m+2)x+(m+3)y -5=0和l 2:6x+(2m -1)y=5.当m 为何值时,有: (1)l 1∥l 2? (2)l 1⊥l 2?【解析】 (1)由(m+2)(2m -1)=6(m+3),得m=4或m=-52. 当m=4时,l 1:6x+7y -5=0,l 2:6x+7y=5,即l 1与l 2重合; 当m=-52时,l 1:-12x+12y -5=0,l 2:6x -6y -5=0,即l 1∥l 2. 故当m=-52时,l 1∥l 2.(2)由6(m+2)+(m+3)(2m -1)=0,得m=-1或m=-92. 故当m=-1或m=-92时,l 1⊥l 2.【例3】已知直线l 的方程为3x+4y-12=0,求直线l'的方程,l'满足 (1)过点(-1,3),且与l 平行; (2)过点(-1,3),且与l 垂直.【解析】(方法1)由题设l 的方程可化为y=-34x+3,∴l 的斜率为-34.(1)∵直线l'与l 平行,∴l'的斜率为-34.又∵直线l'过(-1,3),由点斜式知方程为y-3=-34(x+1),即3x+4y-9=0. (2)由l'与l 垂直,∴l'的斜率为43,又过(-1,3),由点斜式可得方程为y-3=43(x+1),即4x-3y+13=0.(方法2)(1)由l'与l 平行,可设l'方程为3x+4y+m=0. 将点(-1,3)代入上式得m=-9.∴所求直线方程为3x+4y-9=0. (2)由l'与l 垂直,可设其方程为4x-3y+n=0.将(-1,3)代入上式得n=13. ∴所求直线方程为4x-3y+13=0.【类题通法】与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0.【巩固练习3】过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．2x ＋y －1＝0B ．x －2y ＋7＝0C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0解析：设直线方程式是x －2y ＋c ＝0，因为直线过点(－1,3)所以-1-6+c=0，解得c=7，故所求直线方程是x －2y ＋7＝0. 答案：B（四）操作演练 素养提升1.（多选）下列说法正确的是（ ）A ．直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C 310x y ++=的倾斜角为60°D ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y += 【答案】ABD【解析】32()y ax a a R =-+∈可化为()23y a x -=-，则直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)，故A 正确；令0x =，则2y =-，即直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，故B 正确；310x y ++=可化为31y x =--，则该直线的斜率为3-120︒，故C 错误；设过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的斜率为k ，因为直线230x y -+=的斜率为12，所以112k ⋅=-，解得2k =-，则过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的方程为22(1)y x -=-+，即20x y +=，故D 正确；故选ABD.2.已知00ab bc ＜，＜，则直线0ax by c通过( ) 象限A ．第一、二、三B ．第一、二、四C ．第一、三、四D ．第二、三、四3.直线134x y+=的一般式方程为 . 4.若直线()()22224450-+-+=a a x a y a 的倾斜角是4π，则实数a 是_______________. 答案：1.ABD 2.A 3.43120x y +-= 4.23-【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
直线的一般式方程 说课稿 教案 教学设计
直线方程2x＋3y＋1＝0化为斜截式为________；化为截距式为________．
▶例2若直线Ax＋By＋C＝0(不经过原点)不经过第三象限，则AB________0，BC________0.
▶课堂练习
在下列各种情况下，直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的系数A，B，C之间各有什么关系：
(2)直线l的斜率为1.
▶课堂练习
设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
【课堂小结】
直线方程的一般式同二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)之间是一一对应关系，因此研究直线的几何性质完全可以应用方程的观点来研究，这实际上也是解析几何的思想所在——用方程的思想来研究几何问题.
▶例1根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是 ，且经过点A(5,3)；
(2)过点B(－3,0)，且垂直于x轴；
(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；
(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；
(5)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；
(6)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.
启发引导与多媒体相结合
教学过程：步骤、内容、教学活动
二次备课
【问题导思】
我们已经学习了直线的点斜式y－y0＝k(x－x0)，直线的斜截式y＝kx＋b，直线的两点式 ＝ ，直线的截距式 ＋ ＝1，并且掌握了它们的适用条件．
1．上述方程的四种形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)来表示吗？
2．关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？
直线方程的一般式教案
直线方程的一般式教学目标：1、知识目标：⑴掌握直线方程的一般式Ax+By+C=0的特征（A、B不同时为0）⑵理解直线方程五种形式之间的内在联系，掌握直线方程几种形式的互化，从整体上把握直线方程；2、能力目标：⑴通过直线方程一般式的教学培养学生全面、系统、周密地分析问题、讨论问题的能力。
⑵学会分类讨论思想解决数学问题。
3、情感目标：(1) 通过直线方程几种形式互化的教学，培养学生灵活的思维品质和辩证唯物主义观点(2)体验数学发现和探索的历程，培养创新意识教学重点、难点：1、重点：(1)掌握直线方程的一般形式，以及点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式的联系与转化;(2)让学生明白直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线;2、难点：(1)对直线方程一般式的理解与应用,进一步体会解析几何学科的特点。
(2)理解直线方程几种形式之间的内在联系，能从整体上把握直线的方程．教学方法引导探究法、讨论法教学用具实物投影仪，多媒体软件，电脑。
教学过程一、创设情境，引入新课练习：由下列条件，写出直线的方程：（1）经过点A （8,2），斜率是-2 Y-2=-2(x-8) ⇒ 2x+y-18=0 （2）经过点B （0,-2），倾角为4π； y=x-2 ⇒x-y-2=0 （3）经过点P 1（3,2），P 2（5,4） 242353--=--y x ⇒x-y-1=0 （4）在x 轴，y 轴上的截距分别为 2， 3.132=+yx ⇒2x+3y-6=0 师生活动：通过解题和讨论，总结前面学过的直线方程的几种特殊形式的条件、方程和使用范围如下：[设计意图]：由实例得出：直线方程的这几种特殊形式都具有局限性，我们需要找到一种形式的直线方程，能够表示坐标平面内的所有直线。
复习旧知识，为新知识的引入做好铺垫。
问题：上述四种直线方程的表示形式都有其局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？提示：上述四种形式的直线方程有何共同特征？能否整理成统一形式？ （这些方程都是关于x 、y 的二元一次方程） 猜测：直线和二元一次方程有着一定的关系。
直线的一般式方程优秀教案
直线的一般式方程优秀教案一、教学目标•理解什么是直线的一般式方程。
•学会通过给定的两点确定直线的一般式方程。
•掌握将直线的一般式方程转化为斜截式方程或截距式方程。
•学会通过直线的一般式方程求直线的斜率和截距。
二、教学重点•理解直线的一般式方程的概念和意义。
•学会通过给定的两点确定直线的一般式方程。
•掌握将直线的一般式方程转化为斜截式方程或截距式方程。
三、教学内容1. 直线的一般式方程的概念•直线的一般式方程是指形如Ax + By + C = 0的方程，其中A、B、C是常数，且A和B不同时为0。
这样的方程描述着平面上的一条直线。
2. 给定两点确定直线的一般式方程•设直线上有两个不同的点P(x₁, y₁)和Q(x₂, y₂)，则直线的一般式方程可以通过以下步骤确定：–计算直线的斜率k：k = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)；–计算直线方程的截距b：b = y₁ - kx₁；–根据斜率k和截距b得到直线的一般式方程：Ax + By + C = 0，其中A = -k, B = 1, C = -b。
3. 将一般式方程转化为斜截式或截距式方程•已知直线的一般式方程Ax + By + C = 0，可以通过以下步骤将其转化为斜截式或截距式方程：–斜截式方程：y = kx + b，其中斜率k = - A/B，截距b = - C/B；–截距式方程：x/a + y/b = 1，其中截距a = - C/A，截距b = - C/B。
4. 求直线的斜率和截距•已知直线的一般式方程Ax + By + C = 0，可以通过以下步骤求直线的斜率和截距：–斜率k = - A/B；–截距b = - C/B。
四、教学步骤1.引入直线的一般式方程的概念，讲解其定义和意义。
2.通过例题演示如何通过给定两点确定直线的一般式方程，并让学生进行跟随计算。
3.引导学生讨论如何将直线的一般式方程转化为斜截式方程或截距式方程，并通过例题进行演示。
直线的一般式方程教案
直线的一般式方程教案一、引入：在前几节课中，我们学习了直线的斜截式方程和点斜式方程。
今天我们将学习直线的一般式方程。
直线的一般式方程是一种利用直线上具体的两个点来表示直线的方程，它的形式为：Ax + By + C = 0。
下面我们一起来学习一下直线的一般式方程的求解方法。
二、概念：直线的一般式方程表达形式为Ax + By + C = 0。
其中A、B、C是实数，且A和B不同时为0。
三、推导：推导一般式方程的方法有很多，下面我们以已知直线上两点A(x1, y1)和B(x2, y2)为例，来推导一下一般式方程的求解过程。
1.根据已知点A和B，求直线的斜率k。
斜率k的计算公式为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
将点A(x1, y1)和B(x2, y2)的坐标代入公式，求得斜率k的值。
2.代入斜率k和已知点A(x1, y1)的坐标到点斜式方程y - y1 =k(x - x1)中，得到直线的点斜式方程。
3.对点斜式方程进行展开和变形操作，化简得到一般式方程Ax + By + C = 0。
将点斜式方程中的k乘以x，并将常数项移至左边得到A、B和C的值。
最终得到直线的一般式方程。
四、实例演练：现在我们通过一个实例来练习一下求解直线的一般式方程的过程。
已知直线上两点A(2, 3)和B(-1, 4)，求直线的一般式方程。
1.计算斜率k：k = (4 - 3) / (-1 - 2) = -1/3。
2.代入斜率和已知点A的坐标到点斜式方程y - 3 = -1/3(x - 2)中，得到直线的点斜式方程为y - 3 = -1/3(x - 2)。
3.对点斜式方程进行展开和变形操作，得到一般式方程：3x + y - 9 = -x + 2。
化简得到直线的一般式方程：4x + y - 11 = 0。
五、总结：通过上述推导和实例演练，我们学习了直线的一般式方程的求解方法。
直线的一般式方程是一种利用直线上具体的两个点来表示直线的方程，形式为Ax + By + C = 0。
直线的一般式方程教案
教学目的：(1) 知识与技能明确直线的一般式方程的特征；会把直线一般式方程转化为斜截式，进而求直线的斜率与截距；会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
〔2〕过程与方法通过探究直线与二元一次方程的关系，让学生积极、主动地参与观察，分析、归纳、进而得出直线的一般式方程，培养了学生勇于探究的精神和学会用分类讨论的数学思想方法解决问题。
〔3〕情感、态度与价值观通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣。
同时，让学生认识事物之间的普遍联络与互相转化教学重点与难点重点：直线的一般式方程难点：理解直线的一般式方程教学流程设计一、创设问题情境【师生活动】平面内的直线，它们的直线方程有几种表示形式？学生完成表格和练习生：填表过点 与x 轴垂直的直线可表示成2.根据以下条件，写出适宜的直线的方程(1) 斜率是21-，经过点〔-1，3〕 〔2〕经过点〔1，2〕，平行于x 轴 〔3〕经过点〔2，1〕，斜率不存在 〔4〕经过原点，斜率是21、从上述几种形式的直线方程中，分析这四种直线的局限性，引出问题。
2、平面直角坐标系中的任何一条直线l 能不能用一种自然优美的“万能〞形式的方程来表示？【设计意图】-老师让学生回忆，观察，发表自己的见解。
学生可以积极主动地投入到课堂中，充分调动他们思维的活泼性。
二、探究新知【师生活动】老师给出问题，引导学生分析，师生共同完成讨论.【设计说明】学生对分类讨论思想还不能纯熟应用，所以老师引导学生考虑问题，给出必须讨论的理由及讨论的分类根据，逐步引导学生进展正确的分类讨论，掌握这种数学思想.问题1：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于y x 、的二元一次方程表示吗？【设计意图】讨论每条直线是否对应一个二元一次方程.师：我们要求一条直线的方程可以利用直线上的一点和它的斜率来表示，那么需要注意什么问题？生：直线的斜率可能不存在.师：那么我们就需要分情况来讨论，分几种情况？哪几种？生：分成直线的斜率存在和不存在两种情况讨论.学生讨论完成两种情况的讨论，老师提问学生结果，并板书.生：假设直线l 的斜率存在，设直线l 上在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，那么直线l 的方程为b kx y +=.假设直线l 的斜率不存在，设直线l 上的一点),(x y P ，那么直线l 的方程为0x -x = 师：这两个方程是不是关于y x ,的二元一次方程？）（,y x生：是的.第二种情况可以看作是方程中y 的系数为0.问题2 每一个关于y x ,的二元一次方程都表示一条直线吗？【设计意图】讨论每个二元一次方程是否对应一条直线.师：我们最熟悉的直线方程形式是哪一种？生：斜截式.师：那我们来讨论一个二元一次方程能不能化成直线的斜截式方程?转化过程中需要注意什么问题？学生讨论变化方程)0B A,(0B 不同时为，=++C y Ax 为斜截式方程，老师最后纠错并板书讨论过程.生：方程)0B A,(0B 不同时为，=++C y Ax 可以变形为BC x B A --y =,所以它表示过点)(0,-B C ，斜率为BA -的直线. 师：变形过程中系数B 一定不为0吗？你的结论严谨吗？ 生：不一定.系数B 为0时，A 一定不为0，方程可以变形为AC -x =.，可以表示一条斜率不存在的直线. 三、理解新知1.结论：(1)平面直角坐标系内的所有直线的方程都是一个二元一次方程.我们把关于y x ,的二元一次方程)0B A,(0B 不同时为，=++C y Ax 叫做直线的一般式方程，简称一般式.(2)一个二元一次方程就是直角坐标平面上的一条确定的直线.二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中的一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合组成了一条直线.【设计意图】整理思路，得出结论，完善分类讨论思想的应用.2.考虑：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？【设计意图】理解一般式的特征，使学生理解一般式与其他形式的区别.3.探究：在方程)0B A,(0B 不同时为，=++C y Ax 中，C A ，，B 为何值时，方程表示的直线：①平行于x 轴；②平行于y 轴；③与x 轴重合；④与y 轴重合；⑤经过原点；⑥与两坐标轴都相交【设计意图】熟悉一般式与斜截式的互相转化，加强对二元一次方程的几何意义的理解.四、运用新知1、根据以下各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是－21，经过点A 〔８，－2〕； (2)经过点B (４，2〕，平行于x 轴； 〔3〕在x 轴和y 轴上的截距分别是23,－3； (4)经过两点1P 〔3，－2〕、2P 〔5，－４〕. 【设计说明】本例题由学生自主完成，让学生对一般式方程有更深入的理解.2、把直线l 的一般式方程062=+-y x 化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形。
《直线的一般式方程》教案
《直线的一般式方程》教学目标1、知识与技能：(1)掌握直线方程的一般式Ax +By +C =0的特征(A 、B 不同时为0)；(2)能将直线方程的五种形式进行转化，并明确各种形式中的一些几何量(斜率、截距等)；2、过程与方法：(1)主动参与探究直线和二元一次方程关系的数学活动，通过观察、推理、探究获得直线方程的一般式.(2)学会分类讨论及掌握讨论的分界点； 3、情感、态度与价值观：体验数学发现和探索的历程，发展创新意识.教学重难点教学重点：直线方程一般式Ax +By +C =0(A 、B 不同时为0)的理解. 教学难点：(1)直线方程一般式Ax +By +C =0(A 、B 不同时为0)与二元一次方程关系的深入理解； (2)直线方程一般式Ax +By +C =0(A 、B 不同时为0)的应用.教学设计一、复习直线方程的四种形式:1、点斜式:当直线斜率存在时，过点),(000y x P ，斜率为k 的直线方程为)(00x x k y y -=-2、斜截式：当直线斜率存在时，设在y 轴上的截距为b ，则直线方程为y =kx +b .3、两点式：过点111222(,),(,)P x y P x y 其中1212(,)x x y y ≠≠的直线方程为1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--4、截距式：当直线在x 轴、y 轴上的截距存在(分别为a 、b )且不为零时，直线方程为1x ya b+= 二、探究直线的一般式方程 1．探究：直线的一般式方程的推导问题一：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x 、y 的二元一次方程表示吗？设计意图：使学生理解直线和二元一次方程的关系.引导学生对字母A 、B 、C 去讨论，从而也明确A、B的限定条件.追问：每一个关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A，B不同时为0)都表示一条直线吗？设计意图：给出定义：把关于x、y的二元一次方程Ax+By+c=0(A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.说明：任何一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示；同时，任何一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线.2.得出：直线的一般式方程的定义我们关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.例：课本P98探究变式训练：已知直线l的方程是Ax＋By＋C=0(A，B不同时为零)，填表：说明：一般式与其他形式的直线方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线；而点斜式、斜截式、两点式方程都可以和一般式互化.应用1例1：课本P98例5例2：课本P99例6变式训练：1、求经过A(2，0)与B(0，2)两点的直线的两点式方程，并把它们化为一般式、点斜式、截距式和斜截式.答案：设过A、B两点的直线为l的斜率20102k-==-∴l的点斜式方程为y-0=-(x-2)，l的斜截式方程为y=-x+2，l 的截距式方程为122x y+= l 的一般式方程为x +y -2=0． 2、求满足下列条件的直线方程:直线1:40l x y +-=与直线2:20l x y -+=相交于点P ， 求(1)过点P 与直线210x y --=平行的直线方程； (2)过点P 与直线210x y --=垂直的直线方程.解析：本试题主要考查了直线方程的求解.第一问中，利用平行直线方程可知设为20x y c -+=，把交点P (1，3)代入可得。
直线的一般式方程教案
直线的一般式方程教案教案标题：直线的一般式方程教案教学目标：1. 理解直线的一般式方程的概念和含义。
2. 掌握如何根据直线上的已知点和斜率来确定直线的一般式方程。
3. 能够将直线的一般式方程转化为斜截式方程和截距式方程。
教学准备：1. 教师准备：黑板、白板、彩色粉笔/白板笔、直尺、教学投影仪（可选）。
2. 学生准备：铅笔、直尺、作业本。
教学过程：步骤一：导入（5分钟）1. 教师通过引导问题或展示实际生活中的直线图像，引起学生对直线的兴趣和思考。
2. 教师简要介绍直线的一般式方程的概念，并与学生分享直线方程的重要性和应用。
步骤二：讲解直线的一般式方程（15分钟）1. 教师通过示意图和实例，解释直线的一般式方程y = mx + c 中 m 和 c 的含义。
2. 教师详细讲解如何根据直线上的已知点和斜率来确定直线的一般式方程。
3. 教师提供多个实例，引导学生进行实际操作和练习。
步骤三：练习与巩固（15分钟）1. 学生个人或小组合作完成一些基础练习题，以巩固直线的一般式方程的求解方法。
2. 教师提供反馈和指导，纠正学生可能存在的错误和困惑。
步骤四：转化为斜截式方程和截距式方程（15分钟）1. 教师讲解如何将直线的一般式方程转化为斜截式方程和截距式方程，并解释它们的含义和应用。
2. 教师提供多个实例，引导学生进行实际操作和练习。
步骤五：拓展与应用（10分钟）1. 学生个人或小组合作完成一些拓展练习题，以应用直线的一般式方程解决实际问题。
2. 教师鼓励学生分享解题思路和答案，并提供反馈和指导。
步骤六：总结与评价（5分钟）1. 教师与学生共同总结直线的一般式方程的求解方法和转化方法。
2. 学生回答教师提出的评价问题，以检查他们对所学内容的理解程度。
拓展活动：1. 学生可通过互动游戏或小组竞赛的形式，进一步巩固和应用所学内容。
2. 学生可自主探究其他类型的直线方程，并与同学分享他们的发现和思考。
教学反思：本教案通过引导学生理解直线的一般式方程的概念和求解方法，以及转化为斜截式方程和截距式方程的过程，培养了学生的数学思维和解决实际问题的能力。
直线的一般式方程教案-数学必修2第三章直线方程3.2.2第一课时人教A版
第三章 直线方程 3.2.3 直线的一般式方程1 教学目标[1] 明确理解直线一般式方程的形式特征 [2] 理解直线方程几种形式之间的内在联系[3] 能在总体把握直线方程的基础上，掌握各种形式之间的相互转化[4] 通过直线方程一般式的学习，培养学生全面、系统、周密地分类讨论问题的能力 培养学生数学结合思想和严谨的科学态度2教学重点/难点教学重点：直线方程一般式的理解和掌握教学难点：直线方程的一般式与各种直线方程间的互化3专家建议直线方程的一般式是由前面所学习的四种直线方程的形式概括形成的，它克服以点斜式、斜截式、两点式、截距式四种方程“特殊式”的局限性，由于直线方程的一般式)(0不全为零、其中B A c By Ax =++是关于x 、 y 的二元一次方程，因此平面上的直线与二元一次方程)(0不全为零、其中B A c By Ax =++是一一对应的。
直线的各种方程各有各的特点，分别适用于不同条件下的直线，因此教学时要引导同学熟练掌握各自特性，灵活使用。
4 教学方法讲授式、启发式教学5 教学过程5.1 复习引入【师】到目前为止，我们都学习了直线方程的哪几种形式？它们各适用于具有什么条件的求直线方程问题？适用的X 围是什么？ 【板演/PPT 】引导学生回答各种直线方程点斜式：已知直线上一点P 1（x 1，y 1）的坐标，和直线的斜率k ，则直线的方程是斜截式：已知直线的斜率k ，和直线在y 轴上的截距b 则直线方程是两点式：已知直线上两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）则直线的方程是：截距式：已知直线在X 轴Y 轴上的截距为a ，b ，则直线的方程是【师】他们所适用的X 围是什么？ 【生】点斜式：适用于有斜率的直线问题 斜截式：适合存在斜率且已知纵截距的直线问题 两点式：适合已知两点，且不垂直于x 轴或y 轴直线问题)(11x x k y y -=-bkx y +=121121x x x x y y y y --=--1=+by a x截距式：适合已知截距，且截距不为零的直线问题5.2 探索新知 [1] 直线的一般式方程【师】下面我们看一看屏幕上的问题： 【板书/PPT 】1．过点(2,1)，斜率为2的直线的方程____________ 2．过点(2,1)，斜率为0的直线方程是___________ 3．过点(2,1)，斜率不存在的直线的方程_________【师】你能根据实际条件，写出直线方程吗？并思考：你所列出的直线方程能看作是二元一次方程吗？【生】讨论与计算 【板书/PPT 】(1)中方程可化为2x-y-3=0,故直线方程是二元一次方程。
(整理)直线的一般式方程教案28107
3.2.3直线的一般式方程一、教材分析：（1）教材中求直线方程采取先特殊后一般的思路，特殊形式的方程几何特征明显，但局限性强；一般形式的方程无任何限制，但几何特征不明显．教学中各部分知识之间过渡要自然流畅，不生硬．（2）直线方程的一般式反映了直线方程各种形式之间的统一性，教学中应充分揭示直线方程本质属性，建立二元一次方程与直线的对应关系，为继续学习“曲线方程”打下基础．直线一般式方程都是字母系数，在揭示这一概念深刻内涵时，还需要进行正反两方面的分析论证．教学中应重点分析思路，还应抓住这一有利时使学生学会严谨科学的分类讨论方法，从而培养学生全面、系统、辩证、周密地分析、讨论问题的能力，特别是培养学生逻辑思维能力，同时培养学生辩证唯物主义观点（3）在强调几种形式互化时要向学生充分揭示各种形式的特点，它们的几何特征，参数的意义等，使学生明白为什么要转化，并加深对各种形式的理解． 二、教学目标： 1、知识与技能：⑴掌握直线方程的一般式Ax+By+C=0的特征（A 、B 不同时为0）⑵能将直线方程的五种形式进行转化，并明确各种形式中的一些几何量（斜率、截距等）；2、过程与方法：⑴主动参与探究直线和二元一次方程关系的数学活动，通过观察、推理、探究获得直线方程的一般式。
⑵学会分类讨论及掌握讨论的分界点；3、情感、态度与价值观：体验数学发现和探索的历程，发展创新意识 三、教学重点：直线方程一般式Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）的理解四、教学难点：⑴直线方程一般式Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）与二元一次方程关系的深入理解⑵直线方程一般式Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）的应用。
五、教学方法：引导探究法、讨论法 六、教具准备：ppt ，三角板（直尺）七、教学过程： （一）复习回顾同学们先回忆一下，在上两节课，我们一共学习了四种直线方程，以及对应形式和限制条件。
今天我们再来学习一种新的形式——直线的一般式方程。
直线一般式方程教案
数学教案讲课内容：直线的一般式方程授课人:院系：班级：学号：教材分析：本节内容是必修第二册第三章第二节直线的方程的第三课时内容。
本节课是在学习直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式的基础上，引导学生认识它们的实质，即都是二元一次方程。
从而对直线与二元一次方程的关系进行探究，进而得出直线的一般式方程，这也为下一节学习做好准备，更为我们以后学习曲线方程做了铺垫。
解析几何有两项根本性的任务：一个是求曲线的方程；另一个就是用方程研究曲线．本节内容就是讨论直线的一般式方程，因此是非常重要的内容. 根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于学生刚接触直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因此对直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系确定为“了解”层次.由条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式.直线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截式和截距式，所以各种形式应会互化.引导学生观察直线方程的特殊形式，归纳出它们的方程的类型都是二元一次方程，推导直线方程的一般式时渗透分类讨论的数学思想，通过直线方程各种形式的互化,渗透化归的数学思想，进一步研究一般式系数A、B、C的几何意义时,渗透数形结合的数学思想.教学目标：1、知识与技能：⑴掌握直线方程的一般式Ax+By+C=0的特征（A、B不同时为0）⑵能将直线方程的五种形式进行转化，并明确各种形式中的一些几何量（斜率、截距等）；2、过程与方法：⑴主动参与探究直线和二元一次方程关系的数学活动，通过观察、推理、探究获得直线方程的一般式。
⑵学会分类讨论及掌握讨论的分界点；3、情感、态度与价值观：体验数学发现和探索的历程，发展创新意识教学重点：直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的理解与相关应用。
教学难点：⑴直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）与二元一次方程关系的深入理解⑵直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的应用。
直线的一般式方程(教案)
3.2.3直线的一般式方程（教案）教学目标：1、知识与能力：⑴掌握直线方程的一般式Ax+By+C=0的特征（A、B不同时为0）⑵能将直线方程的五种形式进行转化，并明确各种形式中的一些几何量（斜率、截距等）；2、过程与方法：⑴主动参与探究直线和二元一次方程关系的数学活动，通过观察、推理、探究获得直线方程的一般式。
⑵学会分类讨论及掌握讨论的分界点；3、情感、态度与价值观：体验数学发现和探索的历程，发展创新意识教学重点：直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的理解教学难点：⑴直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）与二元一次方程关系的深入理解⑵直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的应用。
教学方法：引导探究法、讨论法教学过程：创设情境，引入新课：1、复习：写出前面学过的直线方程的各种不同形式，并指出其局限性：过点(x0,y0)与x轴垂直的直线可表示成x=x0，过点(x0,y0)与y轴垂直的直线可表示成y=y0。
2、问题：上述四种直线方程的表示形式都有其局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？提示：上述四种形式的直线方程有何共同特征？能否整理成统一形式？（这些方程都是关于x、y的二元一次方程）猜测：直线和二元一次方程有着一定的关系。
新课探究：问题：（1）．过点(2,1)，斜率为2的直线的方程是y-1=2(x-2), （2）．过点(2,1)，斜率为0的直线方程是y=1,（3）．过点(2,1)，斜率不存在的直线的方程是x=2,思考1 ：以上方程是否都可以用Ax+By+C=0表示？任意一条直线是否都可以用二元一次方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）来表示？答：2x-y-3=0 y-1=0 x-2=0在平面直角坐标系中，每一条直线有斜率k存在和k不存在两种情况下，直线方程可分别写为y kx b=+和1=两种形式，它们x x又都可以变形为Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的形式，即：直线Ax+By+C=0（A、B不同时为0）【结论：】在平面直角坐标系中，任意一条直线都可以用二元一次方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）来表示。
《3.2.3直线的一般式方程》教学案1-教学设计-公开课-优质课(人教A版必修二精品)
《3.2.3直线的一般式方程》教学案1一、教材分析直线是最基本、最简单的几何图形，它是研究各种运动方向和位置关系的基本工具，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.直线方程是这一章的重点内容，在学习了直线方程的几种特殊形式的基础上，归纳总结出直线方程的一般形式.掌握直线方程的一般形式为用代数方法研究两条直线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础.根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于学生刚接触直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因此对直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系确定为“了解”层次.两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式.直线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截式和截距式，所以各种形式应会互化.引导学生观察直线方程的特殊形式，归纳出它们的方程的类型都是二元一次方程，推导直线方程的一般式时渗透分类讨论的数学思想，通过直线方程各种形式的互化，渗透化归的数学思想，进一步研究一般式系数A、B、C的几何意义时，渗透数形结合的数学思想.二、教学目标1．知识与技能(1)明确直线方程一般式的形式特征；(2)会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；(3)会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.2．过程与方法学会用分类讨论的思想方法解决问题.3．情态与价值观(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化；(2)用联系的观点看问题.三、教学重点与难点教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化.教学难点:在直角坐标系中直线方程与关于x和y的一次方程的对应关系，关键是直线方程各种形式的互化.四、课时安排1课时五、教学设计(一)导入新课思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢？这节课我们就来研究这个问题.思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形.(1)斜率是1，经过点A (1，8)；(2)在x 轴和y 轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点P 1(－1，6)、P 2(2，9)；(4)y 轴上的截距是7，倾斜角是45°.由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y -8=x -1、77yx +-=1、121696++=--x y 、y =x +7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成：x -y +7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式.(二)推进新课、新知探究、提出问题①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x ，y 的二元一次方程？②关于x ，y 的一次方程的一般形式Ax +By +C =0(其中A 、B 不同时为零)是否都表示一条直线？③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化？ ④特殊形式如何化一般式？一般式如何化特殊形式？特殊形式之间如何互化？ ⑤我们学习了直线方程的一般式Ax +By +C =0，系数A 、B 、C 有什么几何意义？什么场合下需要化成其他形式？各种形式有何局限性？讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y 轴相交，方程可用斜截式表示：y =kx +b . 2°当α=90°时，它的方程可以写成x =x 1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数是零.结论1°：直线的方程都可以写成关于x 、y 的一次方程. ②分析：a 当B ≠0时，方程可化为y =-B A x -BC，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-B A ，在y 轴上的截距为-B C的直线.b 当B =0时，由于A 、B 不同时为零必有A ≠0，方程化为x =-AC，表示一条与y 轴平行或重合的直线. 结论2°：关于x ，y 的一次方程都表示一条直线.综上得：这样我们就建立了直线与关于x ，y 的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax +By +C =0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线方程的一般式.注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式.在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式(初中时学过的一次函数)把新旧知识联系起来.③引导学生自己找到答案，最后得出能进行互化.④待学生通过练习后师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式(如特殊位置的直线)，由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形(如图1).图1⑤列表说明如下：例1 已知直线经过点A (6，-4)，斜率为-34，求直线的点斜式和一般式方程. 解：经过点A (6，-4)且斜率为-34的直线方程的点斜式方程为y +4=-34(x -6). 化成一般式，得4x +3y -12=0.变式训练1.已知直线Ax +By +C =0，(1)系数为什么值时，方程表示通过原点的直线？ (2)系数满足什么关系时，与坐标轴都相交？ (3)系数满足什么条件时，只与x 轴相交？ (4)系数满足什么条件时，是x 轴？ (5)设P (x 0，y 0)为直线Ax +By +C =0上一点， 证明这条直线的方程可以写成A (x -x 0)+B (y -y 0)=0. 答案：(1)C =0； (2)A ≠0且B ≠0； (3)B =0且C ≠0； (4)A =C =0且B ≠0；(5)证明：∵P (x 0，y 0)在直线Ax +By +C =0上， ∴Ax 0+By 0+C +0，C =-Ax 0-By 0. ∴A (x -x 0)+B (y -y 0)=0.2.(2007上海高考，理2)若直线l 1:2x +my +1=0与l 2:y =3x -1平行，则m =____________. 答案：-32例2 把直线l 的方程x -2y +6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.解：由方程一般式x －2y ＋6=0， ① 移项，去系数得斜截式y =2x＋3. ② 由②知l 在y 轴上的截距是3，又在方程①或②中，令y =0，可得x =－6. 即直线在x 轴上的截距是－6.因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x 轴，y 轴上的截距点)，过这两点作出直线l (图2).图2点评：要根据题目条件，掌握直线方程间的“互化”. 变式训练直线l 过点P (-6，3)，且它在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍，求直线l 的方程.答案：x +3y -3=0或x +2y =0. (四)知能训练 课本本节练习1、2、3.(五)拓展提升求证：不论m 取何实数，直线(2m －1)x －(m +3)y －(m －11)=0恒过一个定点，并求出此定点的坐标.解：将方程化为(x +3y -11)-m (2x -y -1)=0，它表示过两直线x +3y -11=0与2x -y -1=0的交点的直线系. 解方程组⎩⎨⎧=--=-+,012,0113y x y x ，得⎩⎨⎧==3,2y x .∴直线恒过(2，3)点.(六)课堂小结通过本节学习，要求大家：(1)掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系； (2)会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式；(3)通过学习，培养相互合作意识，培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练. (七)作业 习题3.2 A 组11.。
直线的一般式方程 优秀教案
直线的一般式方程教学目标：（1）掌握直线方程的一般形式，掌握直线方程几种形式之间的互化．（2）理解直线与二元一次方程的关系及其证明（3）培养学生抽象概括能力、分类讨论能力、逆向思维的习惯和形成特殊与一般辩证统一的观点．教学重点、难点：直线方程的一般式．直线与二元一次方程0=++C By Ax （A 、B 不同时为0）的对应关系及其证明．教学用具：计算机教学方法：启发引导法，讨论法教学过程：下面给出教学实施过程设计的简要思路：教学设计思路：（一）引入的设计前边学习了如何根据所给条件求出直线方程的方法，看下面问题：问：说出过点P （2，1），斜率为2的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？ 答：直线方程是()221-=-x y ，属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．肯定学生回答，并纠正学生中不规范的表述．再看一个问题：问：求出过点()12-，P ，()13，Q 的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？答：直线方程是()221-=+x y （或其它形式），也属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．肯定学生回答后强调“也是二元一次方程，都是因为未知数有两个，它们的最高次数为一次”． 启发：你在想什么（或你想到了什么）？谁来谈谈？各小组可以讨论讨论．学生纷纷谈出自己的想法，教师边评价边启发引导，使学生的认识统一到如下问题：【问题1】“任意直线的方程都是二元一次方程吗？”（二）本节主体内容教学的设计这是本节课要解决的第一个问题，如何解决？自己先研究研究，也可以小组研究，确定解决问题的思路．学生或独立研究，或合作研究，教师巡视指导．经过一定时间的研究，教师组织开展集体讨论．首先让学生陈述解决思路或解决方案： 思路一：…思路二：………教师组织评价，确定最优方案（其它待课下研究）如下：按斜率是否存在，任意直线l 的位置有两种可能，即斜率k 存在或不存在．当k 存在时，直线l 的截距b 也一定存在，直线l 的方程可表示为b kx y +=，它是二元一次方程．当k 不存在时，直线l 的方程可表示为1x x =形式的方程，它是二元一次方程吗？ 学生有的认为是有的认为不是，此时教师引导学生，逐步认识到把它看成二元一次方程的合理性：平面直角坐标系中直线1x x =上点的坐标形式，与其它直线上点的坐标形式没有任何区别，根据直线方程的概念，方程1x x =解的形式也是二元方程的解的形式，因此把它看成形如10x y x =+的二元一次方程是合理的．综合两种情况，我们得出如下结论：在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的关于x 、y 的二元一次方程．至此，我们的问题1就解决了．简单点说就是：直线方程都是二元一次方程．而且这个方程一定可以表示成b kx y +=或1x x =的形式，准确地说应该是“要么形如b kx y +=这样，要么形如1x x =这样的方程”．同学们注意：这样表达起来是不是很啰嗦，能不能有一个更好的表达？学生们不难得出：二者可以概括为统一的形式．这样上边的结论可以表述如下：在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的形如0=++C Bx Ax （其中A 、B 不同时为0）的二元一次方程．启发：任何一条直线都有这种形式的方程．你是否觉得还有什么与之相关的问题呢？【问题2】任何形如0=++C Bx Ax （其中A 、B 不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线吗？不难看出上边的结论只是直线与方程相互关系的一个方面，这个问题是它的另一方面．这是显然的吗？不是，因此也需要像刚才一样认真地研究，得到明确的结论．那么如何研究呢？师生共同讨论，评价不同思路，达成共识：回顾上边解决问题的思路，发现原路返回就是非常好的思路，即方程0=++C Bx Ax （其中A 、B 不同时为0）系数B 是否为0恰好对应斜率k 是否存在，即（1）当0≠B 时，方程可化为-=y B A -x BC 这是表示斜率为B A -、在y 轴上的截距为BC -的直线． （2）当0=B 时，由于A 、B 不同时为0，必有0≠A ，方程可化为-=x AC 这表示一条与x 轴垂直的直线．因此，得到结论：在平面直角坐标系中，任何形如0=++C By Ax （其中A 、B 不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线．为方便，我们把0=++C By Ax （其中A 、B 不同时为0）称作直线方程的一般式是合理的．【动画演示】演示“直线各参数．gsp ”文件，体会任何二元一次方程都表示一条直线．至此，我们的第二个问题也圆满解决，而且我们还发现上述两个问题其实是一个大问题的两个方面，这个大问题揭示了直线与二元一次方程的对应关系，同时，直线方程的一般形式是对直线特殊形式的抽象和概括，而且抽象的层次越高越简洁，我们还体会到了特殊与一般的转化关系．（三）练习巩固、总结提高、板书和作业等环节的设计在此从略。
2.2.3直线的一般式方程教学设计
2.2.3 直线的一般式方程教学设计一、教学目标1.理解直线的一般式方程的含义和构成；2.掌握直线的一般式方程的求解方法；3.能够将直线的一般式方程转化为斜截式和截距式方程；4.能够应用直线的一般式方程解决实际问题。
二、教学内容1.直线的一般式方程的概念和表示形式；2.直线的一般式方程的求解方法；3.直线的一般式方程与斜截式方程和截距式方程的关系；4.应用直线的一般式方程解决实际问题。
三、教学重点1.理解直线的一般式方程的构成和含义；2.掌握直线的一般式方程的求解方法；3.能够将直线的一般式方程转化为斜截式和截距式方程。
四、教学方法1.讲授与示范相结合的方法，先讲解直线的一般式方程的概念和构成，然后通过示例演示具体的求解方法；2.提问与解答相结合的方法，鼓励学生积极参与互动，激发学生思考能力，及时纠正错误。
3.练习与实践相结合的方法，让学生进行一些练习题，加深对直线的一般式方程的理解和掌握。
五、教学步骤步骤一：引入通过引入一个具体问题，例如：小明要修建一条直线公路穿过两个村庄A和B，村庄A的坐标是(1,2)，村庄B的坐标是(3,4)，请问直线公路的方程是什么？带领学生思考和探讨。
步骤二：讲解直线的一般式方程1.定义直线的一般式方程的含义和构成；2.分析直线的一般式方程的形式、需要知道的变量和系数；3.通过具体的例子演示如何求解直线的一般式方程。
步骤三：与斜截式和截距式方程的关系1.回顾斜截式方程和截距式方程的概念和表达形式；2.分析直线的一般式方程与斜截式和截距式方程的关系；3.通过具体的例子演示如何将直线的一般式方程转化为斜截式和截距式方程。
步骤四：应用实际问题1.提供一些实际问题，让学生尝试应用直线的一般式方程进行解答；2.引导学生分析问题、列出方程、求解方程，得出最终答案。
六、教学评价1.实时观察学生对直线的一般式方程的理解和掌握程度；2.统计学生的练习成绩和解决实际问题的能力，评估教学效果；3.收集学生的问题和反馈，及时调整教学方法和内容。
直线的一般式方程板书设计
直线的一般式方程板书设计直线的一般式方程是解析几何中非常重要的内容之一，它描述了直线在坐标系中的位置和特征。
在本文中，我们将设计一份板书，用简洁清晰的方式解释直线的一般式方程的概念和使用方法。
板书设计第一步：引入概念在板书的第一行，我们写上标题“直线的一般式方程”。
在概念引入部分，我们可以简要介绍什么是直线的一般式方程，以及它的作用和应用场景。
第二步：一般式方程的定义在板书的第二部分，我们将详细解释直线的一般式方程的定义和形式。
我们可以使用以下板书设计：一般式方程：Ax + By + C = 0其中A，B，C是实数，不同时为0。
这样的板书设计能够清晰地表达一般式方程的定义和形式。
第三步：解释方程中的参数在板书的第三部分，我们可以解释一般式方程中的参数A，B和C的含义。
我们可以使用以下板书设计：参数解释：A：直线在坐标系中的斜率B：直线在坐标系中的斜率C：方程常数这样的板书设计能够清晰地说明参数的含义，帮助学生理解一般式方程的构成。
第四步：示例和练习在板书的第四部分，我们可以给出一些实际的示例和练习，帮助学生更好地理解和应用一般式方程。
我们可以使用以下板书设计：示例：1. 已知直线的斜率为2，通过坐标点(3, 4)，求直线的一般式方程。
练习：1. 写出过点(2, 5)且斜率为-3的直线的一般式方程。
2. 已知直线的一般式方程为3x - 4y + 7 = 0，求直线的斜率。
这样的板书设计能够帮助学生巩固所学的知识，并培养他们的解决问题的能力。
第五步：总结和延伸在板书的最后一部分，我们可以总结一般式方程的要点，并提供一些延伸学习的内容。
例如，可以提到其他形式的直线方程，如点斜式和斜截式方程，并鼓励学生进一步探究和应用。
总结通过这样的板书设计，我们能够清晰地介绍和解释直线的一般式方程。
这样的板书可以帮助学生快速理解和掌握一般式方程的概念和使用方法，并通过示例和练习加深他们的理解和应用能力。
同时，提供延伸学习的内容可以激发学生的学习兴趣，促进他们进一步探究和扩展知识。
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3.2.3直线的一般式方程（教案）
教学目标：
1、知识与能力：
⑴掌握直线方程的一般式Ax+By+C=0的特征（A、B不同时为0）
⑵能将直线方程的五种形式进行转化，并明确各种形式中的一些几何量（斜率、截距等）；
2、过程与方法：
⑴主动参与探究直线和二元一次方程关系的数学活动，通过观察、推理、探究获得直线方程的一般式。
⑵学会分类讨论及掌握讨论的分界点；
3、情感、态度与价值观：
体验数学发现和探索的历程，发展创新意识
教学重点：
直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的理解
教学难点：
⑴直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）与二元一次方程关系的深入理解
⑵直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的应用。
教学方法：
引导探究法、讨论法
教学过程：
创设情境，引入新课：
1、复习：写出前面学过的直线方程的各种不同形式，并指出其局限性：
过点(x0,y0)与x轴垂直的直线可表示成x=x0，
过点(x0,y0)与y轴垂直的直线可表示成 y=y0。
2、 问题：上述四种直线方程的表示形式都有其局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？ 提 示：上述四种形式的直线方程有何共同特征？能否整理成统一形式？（这些方程都是关于x 、y 的二元一次方程） 猜 测：直线和二元一次方程有着一定的关系。
新课探究： 问题：
（1）．过点(2,1)，斜率为2的直线的方程是y-1=2(x-2), （2）．过点(2,1)，斜率为0的直线方程是y=1, （3）．过点(2,1)，斜率不存在的直线的方程是x=2,
思考1 ：以上方程是否都可以用 Ax+By+C=0表示？任意一条直线是否都可以用二元一次方程Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）来表示？
答： 2x-y-3=0 y-1=0 x-2=0
在平面直角坐标系中，每一条直线有斜率k 存在和k 不存在两种情况下，直线方程可分别写为y kx b =+和1x x =两种形式，它们又都可以变形为Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）的形式，即：直线Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）
【结论：】在平面直角坐标系中，任意一条直线都可以用二元一次方程Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）来表示。
思考2：对于任意一个二元一次方程Ax+By+C=0（A ，B 不同时为零）能否表示一条直线？
证明：（1）当B ≠0时,方程可变形为B
C x B A
y --=它表示过点 （0，-B C ）斜率为-B
A 的直线
（2） 当B=0时 因为A ，B 不同时为0所以A ≠0 则有Ax=-C 即x=-A
C 这表示的是与x 轴垂直的直线
【结论：】 每个一个二元一次方程Ax+By+C=0（A ，B 不同时为零）都表示一条直线。
由上面讨论可知,
(1)平面上任一条直线都可以用一个关于x,y 的二元一次方程表示,
(2)关于x,y 的二元一次方程都表示一条直线. 1.直线的一般式方程
我们把关于x,y 的二元一次方程Ax+By+C=0 (A,B 不同时为零) 叫做直线的一般式方程,简称一般式
注：对于直线方程的一般式，一般作如下约定： （1）、一般按含x 项、含y 项、常数项顺序排列 （2）、x 项的系数为正；
（3）、x ，y 的系数和常数项一般不出现分数；
（4）、无特别说明时，最好将所求直线方程的结果写成一般式。
深入探究：
二元一次方程Ax+By+C=0的系数A,B 和常数项C 对直线的位置的影响:
①平行与x 轴 A=0 , B ≠0 ,C ≠0;
②平行与y 轴 B=0 , A ≠0 , C ≠0; ③与x 轴重合 A=0 , B ≠0 ,C=0; ④与y 轴重合 B=0 , A ≠0, C=0; ⑤过原点 C=0，A 、B 不同时为0; 例题分析：
例1、已知直线经过点A （6，-4）斜率为-3
4
，求直线的点斜式方程，一般式方程和截距式方程。
解：经过点A （6，-4）斜率为-3
4的直线的点斜式方程为y+4=-34(x-6)化为一般式为4x+3y-12=0截距式方程为14
3=+y x 说明：在讨论直线问题时，常常将直线方程的形式相互转化。
例2 根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般式： 1.经过点P(3,-2),Q(5,-4); 解：直线的两点式方程为3
53
)2(4)2(--=
-----x y 化为一般式方程为
x+y-1=0
2.在x 轴,y 轴上的截距分别是2，3 解：直线的截距式方程为 13
2=+y x 化为一般式 方程为
3x+2y-6=0
说明：在遇到问题时，根据条件写出适当形式的方程，然后再化为一般式。
课堂小结：
1、关于x,y 的二元一次方程Ax+By+C=0 (A,B 不同时为零) 叫做直线的一般式方程,简称一般式。
2、二元一次方程Ax+By+C=0的系数A,B和常数项C对直线的位置的影响:
①平行与x轴 A=0 , B≠0 ,C≠0;
②平行与y轴 B=0 , A≠0 , C≠0;
③与x轴重合 A=0 , B≠0 ,C=0;
④与y轴重合 B=0 , A≠0, C=0;
⑤过原点 C=0，A、B不同时为0;
课后作业：
1、必做题；课本P100习题3.2 A组第4、10题
2、选做题：课本P101习题3.2 B组第2、
3、4题
板书设计：
8．2．3直线的一般式方程
1、直线的一般式方程
2、系数A,B和常数项C对直线的位置的影响: 例1
例2
作业
《直线的一般式方程》教案
曲沃县中等职业技术学校
吴瑞瑞。