初三数学复习资料 数形结合思想专题
初三数学专题复习数形结合思想 一次函数与二次函数的图像与性质
初三数学专题复习数形结合思想――一次函数与二次函数的图像与性质一、内容和内容分析数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
本专题的重点是如何根据题目所提供的图形及已知条件提取准确的信息解决函数相关问题，并依据函数图象的几何含义运用数形结合方法解答问题。
主要内容是运用数形结合的思想方法解决初中阶段函数的相关问题。
二、目标和目标分析1. 通过学习数形结合思想方法，加深学生对一次函数、二次函数的图像及性质的理解；2. 在函数学习的基础上，用数形结合的方法，让学生理解方程、函数、不等式这三者的关系；3. 引导学生根据平面直角坐标系内几何图形的特征，寻找恰当的数量关系，求出目标函数的关系式；4. 掌握在函数问题中运用数形结合方法进行求解的基本思想和步骤；5. 培养学生读图分析数据及数形结合的能力三、教学问题诊断分析1.数形结合既是一个重要的数学思想又是一种常用的数学方法。
“数”与“形”是一对矛盾，它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。
考虑到初中阶段的学习主要是“以形助数”，所以我们选取的数形结合思想专题就以函数为载体，从图像入手，让学生充分去理解函数的图像与性质之间的联系，并且在此基础上通过问题让学生考虑方程、函数、不等式三者的关系。
2.数形结合既是一个重要的数学思想又是一种常用的数学方法。
“数”与“形”是一对矛盾，它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。
在初中的学习主要是“以形助数”为主，所以在设计上我们选取的问题还是紧扣这一方面，从中考来看，也比较符合现在中考的实际。
黄冈教育 初三数学专题复习 (3)数形结合思想
黄冈教育 初三数学专题复习（三）数形结合思想一、知识梳理数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。
另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，从而起到优化计算的目的。
二、典型例题考点1. 借助数轴解不等式及根式的化简：【例1】已知关于x 的不等式组020x a x ->⎧⎨->⎩的整数解共有2个，则a 的取值范围是____________。
考点2、利用图形理解代数恒等式【例2】 图①是一个边长为()m n +的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ）A 、22()()4m n m n mn +--=B 、222()()2m n m n mn +-+=C 、222()2m n mn m n -+=+D 、22()()m n m n m n +-=-考点3.借助图形解决函数解析式问题[例3]（1）如图（1），某抛物线y=ax 2+bx+c 交x 轴交于A 、B 两点，A （1，0），B （5，0）， 当x___________时，y=0.当x_____________时y>0，当x____________时，y<0.（2）如图（2）直线y=kx+b 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，且A （-3，0）、B （0，2），则直线解析式为_______________，根据图象直接写出当x__________时；y>0，当x_____时，y<0；当x_____时，y=0.（3）如图（3）某抛物线y 1=ax 2+bx+c 与某直线y 2=kx+b 交于A 、B 两点，且A （-4，3）、B （2，1）。
当_______时y 1>y 2；当______时y 1=y 2；当______时y 1<y 2.（填x 的取值范围）【例4】(2015年浙江省义乌市中考,9,4分)如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换。
中考数学——数形结合专题
第九讲数形结合思想【中考热点分析】数形结合思想是数学中重要的思想方法，它根据数学问题中的条件和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙的结合起来，并充分利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法。
几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的操作性强，便于把握。
【经典考题讲练】例1.（2015衢州）如图，已知直线334y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，P 是抛物线21252y x x =-++的一个动点，其横坐标为a ，过点P 且平行于y 轴的直线交直线334y x =-+于点Q ，则当PQ =BQ 时，a 的值是 ．例2.（2014•广州）已知平面直角坐标系中两定点A （-1，0），B （4，0），抛物线（）过点A 、B ，顶点为C ．点P （m ，n ）（n <0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式与顶点C 的坐标． （2）当∠APB 为钝角时，求m 的取值范围． （3）若，当∠APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （）个单位，点P 、C 移动后对应的点分别记为、，是否存在t ，使得首尾依次连接A 、B 、、所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．解析：（1）待定系数法求解析式即可，求得解析式后转换成顶点式即可．（2）因为AB 为直径，所以当抛物线上的点P 在⊙C 的内部时，满足∠APB 为钝角，所以-1＜m ＜0，或3＜m ＜4．（3）左右平移时，使A ′D+DB ″最短即可，那么作出点C ′关于x 轴对称点的坐标为C ″，得到直线P ″C ″的解析式，然后把A 点的坐标代入即可．答案：(1)解:依题意把的坐标代入得: ;解得:抛物线解析式为顶点横坐标,将代入抛物线得(2)如图,当时,设,则过作直线轴,(注意用整体代入法)解得,当在之间时，或时，为钝角.(3)依题意，且设移动（向右，向左）连接则又的长度不变四边形周长最小，只需最小即可将沿轴向右平移5各单位到处沿轴对称为∴当且仅当、B、三点共线时，最小，且最小为，此时，设过的直线为，代入∴即将代入，得：，解得：∴当，P、C向左移动单位时，此时四边形ABP’C’周长最小。
中考数学总复习《数形结合问题》考点梳理及典例讲解课件
(2)结合函数图象可得，当 y1＞y2 时，x＜1.
例 1：甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活 动中，赵明阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑自行车从 乙地往甲地，两人同时出发，王浩月先到达目的地，
两人之间的距离 s(单位：km)与运动时间 t(单位：h)的
函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是( )
A.两人出发 1 h 后相遇 B.赵明阳跑步的速度为 8 km/h C.王浩月到达目的地时两人相距 10 km D.王浩月比赵明阳提前 1.5 h 到目的地 答案：C
例 2：如图，AB，CD 是⊙O 的两条互相垂直的直 径，点 P 从点 O 出发，沿 O→C→B→O 的路线匀速运 动，设∠APD＝y(单位：度)，那么 y 与点 P 运动的时
间(单位：秒)的关系图是( )
A
B
C
D
答案：B
例 3：如下图，抛物线 y＝－14 x2－x＋2 的顶点为
A，与 y 轴交于点 B. (1)求点 A，点 B 的坐标； (2)若点P是 x 轴上任意一点，
n＝(BC＋CD＋DE＋EF＋FA )÷2＝(BC＋DE＋AB ＋AF)÷2＝(8＋6＋6＋8＋6)÷2＝17.
(3)解：由图 2 知，点 P 在 BC 上运动时，0≤t≤4， ∴S＝12 ×6×2t＝6t，即 S＝6t(0≤t≤4)； ∵由图 2 知，点 P 在 DE 上运动时，6≤t≤9， ∴S＝12 ×6×(2t－4)＝6t－12，即 S＝6t－12 (6≤t≤9).
当点 P 在 x 轴上又异于 AB 的延长线与 x 轴的交点
时，
在点 P，A，B 构成的三角形中，PA －PB＜AB. 综合上述，PA －PB≤AB.
中考数学 复习方法技巧九大专题：中考数学复习方法技巧专题一：数形结合思想解析
方法技巧专题一数形结合思想数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法(以形助数)，或利用数量关系来研究几何图形的性质解决几何问题(以数助形)的一种数学思想．数形结合也是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．主要含有以下三个层次：一、在有理数中的应用：【例题】如图，数轴上点A表示数a，则|a|是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【考点】13：数轴；15：绝对值．【分析】直接根据数轴上A点的位置可求a，再根据绝对值的性质即可得出结论．【解答】解：∵A点在﹣2处，∴数轴上A点表示的数a=﹣2，|a|=|﹣2|=2．故选A．【同步训练】如图示，数轴上点A所表示的数的绝对值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．以上均不对【考点】13：数轴；15：绝对值．【分析】根据数轴可以得到点A表示的数，从而可以求出这个数的绝对值，本题得以解决．【解答】解：由数轴可得，点A表示的数是﹣2，|﹣2|=2，故选A．二、在代数式中的应用【例题】如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是a+6．【考点】4G：平方差公式的几何背景．【分析】根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积列式整理即可得解．【解答】解：拼成的长方形的面积=（a+3）2﹣32，=（a+3+3）（a+3﹣3），=a（a+6），∵拼成的长方形一边长为a，∴另一边长是a+6．故答案为：a+6．【同步训练】利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式a2+2ab+b2=（a+b）2．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】根据提示可知1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形，利用面积和列出等式即可求解．【解答】解：两个正方形的面积分别为a2，b2，两个长方形的面积都为ab，组成的正方形的边长为a+b，面积为（a+b）2，所以a2+2ab+b2=（a+b）2．【点评】本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系．三、列方程（组）解应用题中的应用【例题】如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程．【解答】解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）=570，故选：A．【同步训练】某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后了出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如下表：批发价（元）零售价（元）黑色文化衫10 25白色文化衫8 20假设文化衫全部售出，共获利1860元，求黑白两种文化衫各多少件？【考点】9A：二元一次方程组的应用．【分析】设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依据黑白两种颜色的文化衫共140件，文化衫全部售出共获利1860元，列二元一次方程组进行求解．【解答】解：设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依题意得，解得，答：黑色文化衫60件，白色文化衫80件．四、在函数中的综合应用【例题】某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试营销，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，图中的折线ODE表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．（1）第24天的日销售量是330件，日销售利润是660元．（2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）日销售利润不低于640元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？【考点】FH：一次函数的应用．【分析】（1）根据第22天销售了340件，结合时间每增加1天日销售量减少5件，即可求出第24天的日销售量，再根据日销售利润=单件利润×日销售量即可求出日销售利润；（2）根据点D的坐标利用待定系数法即可求出线段OD的函数关系式，根据第22天销售了340件，结合时间每增加1天日销售量减少5件，即可求出线段DE的函数关系式，联立两函数关系式求出交点D的坐标，此题得解；（3）分0≤x≤18和18＜x≤30，找出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，有起始和结束时间即可求出日销售利润不低于640元的天数，再根据点D的坐标结合日销售利润=单件利润×日销售数，即可求出日销售最大利润．【解答】解：（1）340﹣（24﹣22）×5=330（件），330×（8﹣6）=660（元）．故答案为：330；660．（2）设线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y=kx，将（17，340）代入y=kx中，340=17k，解得：k=20，∴线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y=20x．根据题意得：线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y=340﹣5（x﹣22）=﹣5x+450．联立两线段所表示的函数关系式成方程组，得，解得：，∴交点D的坐标为（18，360），∴y与x之间的函数关系式为y=．（3）当0≤x≤18时，根据题意得：（8﹣6）×20x≥640，解得：x≥16；当18＜x≤30时，根据题意得：（8﹣6）×（﹣5x+450）≥640，解得：x≤26．∴16≤x≤26．26﹣16+1=11（天），∴日销售利润不低于640元的天数共有11天．∵点D的坐标为（18，360），∴日最大销售量为360件，360×2=720（元），∴试销售期间，日销售最大利润是720元．【同步训练】某周日上午8：00小宇从家出发，乘车1小时到达某活动中心参加实践活动．11：00时他在活动中心接到爸爸的电话，因急事要求他在12：00前回到家，他即刻按照来活动中心时的路线，以5千米/小时的平均速度快步返回．同时，爸爸从家沿同一路线开车接他，在距家20千米处接上了小宇，立即保持原来的车速原路返回．设小宇离家x（小时）后，到达离家y（千米）的地方，图中折线OABCD表示y与x之间的函数关系．（1）活动中心与小宇家相距22千米，小宇在活动中心活动时间为2小时，他从活动中心返家时，步行用了0.4小时；（2）求线段BC所表示的y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不必写出x所表示的范围）；（3）根据上述情况（不考虑其他因素），请判断小宇是否能在12：00前回到家，并说明理由．【考点】FH：一次函数的应用．【分析】（1）根据点A、B坐标结合时间=路程÷速度，即可得出结论；（2）根据离家距离=22﹣速度×时间，即可得出y与x之间的函数关系式；（3）由小宇步行的时间等于爸爸开车接到小宇的时间结合往返时间相同，即可求出小宇从活动中心返家所用时间，将其与1比较后即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（1，22），点B的坐标为（3，22），∴活动中心与小宇家相距22千米，小宇在活动中心活动时间为3﹣1=2小时．（22﹣20）÷5=0.4（小时）．故答案为：22；2；0.4．（2）根据题意得：y=22﹣5（x﹣3）=﹣5x+37．（3）小宇从活动中心返家所用时间为：0.4+0.4=0.8（小时），∵0.8＜1，∴所用小宇12：00前能到家．【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）根据离家距离=22﹣速度×时间，找出y与x之间的函数关系式；（3）由爸爸开车的速度不变，求出小宇从活动中心返家所用时间．五、在几何中的综合应用【例题】如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的性质可得DH=EH，在直角△CEH中，若设CH=x，则DH=EH=9﹣x，CE=3cm，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长．【解答】解：由题意设CH=xcm，则DH=EH=（9﹣x）cm，∵BE：EC=2：1，∴CE=BC=3cm∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，即（9﹣x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4cm．故选（B）【同步训练】已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．（1）如图1，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F．若DF⊥CE，求证：OE=OG；（2）如图2，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连结DH交CE于点F，交OC于点G．若OE=OG，①求证：∠ODG=∠OCE；②当AB=1时，求HC的长．【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；S9：相似三角形的判定与性质．【分析】（1）欲证明OE=OG，只要证明△DOG≌△COE（ASA）即可；（2）①欲证明∠ODG=∠OCE，只要证明△ODG≌△OCE即可；②设CH=x，由△CHE∽△DCH，可得=，即HC2=EH•CD，由此构建方程即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OD=OC，∴∠DOG=∠COE=90°，∴∠OEC+∠OCE=90°，∵DF⊥CE，∴∠OEC+∠ODG=90°，∴∠ODG=∠OCE，∴△DOG≌△COE（ASA），∴OE=OG．（2）①证明：如图2中，∵OG=OE，∠DOG=∠COE=90°OD=OC，∴△ODG≌△OCE，∴∠ODG=∠OCE．②解：设CH=x，∵四边形ABCD是正方形，AB=1，∴BH=1﹣x，∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°，∵EH⊥BC，∴∠BEH=∠EBH=45°，∴EH=BH=1﹣x，∵∠ODG=∠OCE，∴∠BDC﹣∠ODG=∠ACB﹣∠OCE，∴∠HDC=∠ECH，∵EH⊥BC，∴∠EHC=∠HCD=90°，∴△CHE∽△DCH，∴=，∴HC2=EH•CD，∴x2=（1﹣x）•1，解得x=或（舍弃），∴HC=．【达标检测】1.实数a在数轴上的位置如图，则|a﹣|=﹣a．【分析】根据数轴上点的位置判断出a﹣的正负，利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．【解答】解：∵a＜0，∴a﹣＜0，则原式=﹣a，故答案为：﹣a【点评】此题考查了实数与数轴，弄清绝对值里边式子的正负是解本题的关键．2.阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法．（1）二次项系数2=1×2；（2）常数项﹣3=﹣1×3=1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”；1×3+2×（﹣1）=1 1×（﹣1）+2×3=5 1×（﹣3）+2×1=﹣1 1×1+2×（﹣3）=﹣5（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1．即：（x+1）（2x﹣3）=2x2﹣3x+2x﹣3=2x2﹣x﹣3，则2x2﹣x﹣3=（x+1）（2x﹣3）．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）．【考点】57：因式分解﹣十字相乘法等．【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）即可．【解答】解：3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）．故答案为：（x+3）（3x﹣4）3.解不等式组并在所给的数轴上表示出其解集．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】本题考查不等式组的解法和解集在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心．【解答】解：解不等式3x﹣1＜2（x+1），得x＜3解不等式≥1，得x≥﹣1∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3．在数轴上表示解集如图：4.把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来．（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？【考点】完全平方公式的几何背景．【分析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，种是大正方形的面积，可得等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，ABCD的面积+正方形ECGF的面积﹣三角形BGF的面积﹣三角形ABD （2）利用S阴影=正方形的面积求解．【解答】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（2）∵a+b=10，ab=20，2+b2﹣（a+b）•b﹣a2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣ab=×102﹣×20=50﹣30=20．∴S阴影=a5.一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．【考点】一元二次方程的应用；根据实际问题列二次函数关系式．【分析】（1）由横、竖彩条的宽度比为3：2知横彩条的宽度为xcm，根据：三条彩条面积=横彩条面积+2条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积，可列函数关系式；（2）根据：三条彩条所占面积是图案面积的，可列出关于x的一元二次方程，整理后求解可得．【解答】解：（1）根据题意可知，横彩条的宽度为xcm，∴y=20×x+2×12•x﹣2×x•x=﹣3x2+54x，即y与x之间的函数关系式为y=﹣3x2+54x；（2）根据题意，得：﹣3x2+54x=×20×12，整理，得：x2﹣18x+32=0，解得：x1=2，x2=16（舍），∴x=3，答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．6.如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=1，BC=，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′．（1）当B′C′恰好经过点D时（如图1），求线段CE的长；（2）若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE=22.5°（如图2），求△DFG的面积；（3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C′运动的路径长．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）如图1中，设CE=EC′=x，则DE=1﹣x，由△ADB′′∽△DEC，可得=，列出方程即可解决问题；（2）如图2中，首先证明△ADB′，△DFG都是等腰直角三角形，求出DF即可解决问题；（3）如图3中，点C的运动路径的长为的长，求出圆心角、半径即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，设CE=EC′=x，则DE=1﹣x，∵∠ADB′+∠EDC′=90°，∠B′AD+∠ADB′=90°，∴∠B′AD=∠EDC′，∵∠B′=∠C′=90°，AB′=AB=1，AD=，∴DB′==，∴△ADB′′∽△DEC，∴=，∴=，∴x=﹣2．∴CE=﹣2．（2）如图2中，∵∠BAD=∠B′=∠D=90°，∠DAE=22.5°，∴∠EAB=∠EAB′=67.5°，∴∠B′AF=∠B′FA=45°，∴∠DFG=∠AFB′=∠DGF=45°，∴DF=FG，在Rt△AB′F中，AB′=FB′=1，∴AF=AB′=，∴DF=DG=﹣，=（﹣）2=﹣．∴S△DFG（3）如图3中，点C的运动路径的长为的长，在Rt△ADC中，∵tan∠DAC==，∴∠DAC=30°，AC=2CD=2，∵∠C′AD=∠DAC=30°，∴∠CAC′=60°，∴的长==π．7.“五•一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以上信息，解答下列问题：（1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式；（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．【考点】FH：一次函数的应用；FA：待定系数法求一次函数解析式．【分析】（1）根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法，求得y1，y2关于x的函数表达式即可；（2）当y1=y2时，15x+80=30x，当y1＞y2时，15x+80＞30x，当y1＜y2时，15x+80＞30x，分求得x的取值范围即可得出方案．【解答】解：（1）设y1=k1x+80，把点（1，95）代入，可得95=k1+80，解得k1=15，∴y1=15x+80（x≥0）；设y2=k2x，把（1，30）代入，可得30=k2，即k2=30，∴y2=30x（x≥0）；（2）当y1=y2时，15x+80=30x，解得x=；当y1＞y2时，15x+80＞30x，解得x＜；当y1＜y2时，15x+80＞30x，解得x＞；∴当租车时间为小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于小时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时，选择甲公司合算．8.荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m 的取值范围．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得；（2）设日销售利润为w，分1≤t≤40和41≤t≤80两种情况，根据“总利润=每千克利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；（3）求出w=2400时x的值，结合函数图象即可得出答案；（4）依据（2）中相等关系列出函数解析式，确定其对称轴，由1≤t≤40且销售利润随时间t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）设解析式为y=kt+b，将（1，198）、（80，40）代入，得：，解得：，∴y=﹣2t+200（1≤x≤80，t为整数）；（2）设日销售利润为w，则w=（p﹣6）y，①当1≤t≤40时，w=（t+16﹣6）（﹣2t+200）=﹣（t﹣30）2+2450，∴当t=30时，w最大=2450；②当41≤t≤80时，w=（﹣t+46﹣6）（﹣2t+200）=（t﹣90）2﹣100，∴当t=41时，w最大=2301，∵2450＞2301，∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．（3）由（2）得：当1≤t≤40时，w=﹣（t﹣30）2+2450，令w=2400，即﹣（t﹣30）2+2450=2400，解得：t1=20、t2=40，由函数w=﹣（t﹣30）2+2450图象可知，当20≤t≤40时，日销售利润不低于2400元，而当41≤t≤80时，w最大=2301＜2400，∴t的取值范围是20≤t≤40，∴共有21天符合条件．（4）设日销售利润为w，根据题意，得：w=（t+16﹣6﹣m）（﹣2t+200）=﹣t2+（30+2m）t+2000﹣200m，其函数图象的对称轴为t=2m+30，∵w随t的增大而增大，且1≤t≤40，∴由二次函数的图象及其性质可知2m+30≥40，解得：m≥5，又m＜7，∴5≤m＜7．。
专题复习数形结合(含答案)
专题复习三数形结合I、专题精讲：数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离＂．几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．II、典型例题剖析例1.某公司推销一种产品，设X(件）是推销产品的数量，y （元）是推销费，图3—3—1巳表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：(1)求Y1与Y2的函数解析式；(2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？(3)如果你是推销员，应如何选择付费方案？Y<兀）Y1 Y2-。
2。
」600500400300200100解：(1) y1=20x,y2=10x+300. 图3-3-1(2) Y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元，Y2是保底工资300元，每推销10件产品再提成100元．(3)若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择Yi的付费方案；否则，选择Y2的付费方案．点拨：图象在上方的说明它的函数值较大，反之较小，当然，两图象相交时，说明在交点处的函数值是相等的．例2.某农场种植一种蔬菜，销售员平根据往年的销售t每于克销售价（元）情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测 5情况如图3—3—2,图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系，观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？答题要求：(1)请提供四条信息；(2)不必求函数的解析．解：(1) 2月份每千克销售价是3.5元；7对月份每千克销售价是0.5元；(3) 1月到7月的销售价逐月下降；(4) 7月到12月的销售价逐月上升；4321o I 1 2 3 4 5 6 7 s 9 10 11 12月份图3-3-2(5) 2月与7月的销售差价是每千克3元；(6) 7月份销售价最低，1月份销售价最高；(7) 6月与8月、5月与9月、4月与10月、3月与11月，2月与12月的销售价分别相同．点拨：可以运用二次函数的性质：增减性、对称性．最大（小）值等，得出多个结论．例3.某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图3—3—3所示的条形统计图：个单位：人2000(1)请写出从条形统计图中获得的一条信息；(2)请根据条形统计图中的数据补全如图3—3—4所示的扇形统计图（要求：第二版与第三版相邻，并说明这两福统计图各有什么特点？图3-3-3(3)请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议。
数学中考复习：数形结合思想PPT课件
距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米。 （1）求这条抛物线的解析式； y
（2）若不计其它因素，水池
A
的半径至少要多少米，才能
使喷出的水流不至于落在池 外？
P 3
4
O 1B 水平面 x
5． 已知一次函数y＝3x/2＋m和 y＝－x/2＋n的图象都经过点A（﹣2，0），且与 y轴分别交于B、C两点，试求△ABC的面积。
∴S△ABC＝1/2×BC×AO＝4
6.某机动车出发前油箱内有42升油，行驶若干小时
后，途中在加油站加油若干升。油箱中余油量Q（升）
与行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根
据下图回答问题：
(1)机动车行驶几小时后加油？答：＿5＿小时
(2)加油前余油量Q与行驶时间t的函数关系式
是：＿Q＝＿＿42＿－＿6＿t Q（升）
中考复习
数形结合思想
2024/9/19
1
谈到“数形结合”，大多与函数问 题有关。
函数的解析式和函数的图象分别从
“数”和“形”两方面反应了函数的性 质，
函数的解析式是从数量关系上反应 量与量之间的联系；
函数图象则直观地反应了函数的各
种性质，使抽象的函数关系得到了形象 的显示。
“数形结合思想”就是通过数量与
B、M = 0
C、M < 0
D、不能确定
运用数形结合的方法，将 -1 0 1
x
函数的解析式、图象和性
质三者有机地结合起来
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所
示.下列关于a,b,c的条件中，
不正确的是 ( D ) y
(A)a＜0,b＞0,c＜0
(B)b2－4ac＜0
(C)a＋b＋c＜0
九年级数学专题复习数形结合问题
中考冲刺：数形结合问题【中考展望】1.用数形结合的思想解题可分两类:(1)利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；(2)运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等.2. 热点内容：在初中教材中，数的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而形的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数的图象对应着一条直线，二次函数的图象对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容.特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现.在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a，b，c密不可分.事实上，数a 决定抛物线的开口方向, b 与a 一起决定抛物线的对称轴位置, c 决定了抛物线与y 轴的交点位置，与a、b 一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标，抛物线的平移的图形关系只是顶点坐标发生变化，其实从代数的角度看是b、c 的大小变化.【方法点拨】数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法.数形结合问题，也可以看作代数几何综合问题.从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也会融入开放性、探究性等问题.经常考查的题目类型主要有坐标系中的几何问题(简称坐标几何问题)，以及图形运动过程中求函数解析式的问题等．解决这类问题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题；第三，要善于联系与转化，进一步得到新的结论.尤其要注意的是，恰当地使用综合分析法及方程与函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题．【典型例题】类型一、利用数形结合探究数字的变化规律例1.如图，网格中的每个四边形都是菱形．如果格点三角形ABC的面积为S，按照如图所示方式得到的格点三角形A1B1C1的面积是7S，格点三角形A2B2C2的面积是19S，那么格点三角形A3B3C3的面积为（）.A.39SB. 36SC.37SD.43S举一反三:【变式】在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形A n B n C n C n﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y 轴正半轴上，则点B n的坐标是．类型二、利用数形结合解决数与式的问题例2.已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|2-a|+2a的结果为__________.类型三、利用数形结合解决代数式的恒等变形问题例3.(1)在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是__________________（用字母表示）．（2）设直角三角形的直角边分别是a，b，斜边为c，将这样的四个完全相同的直角三角形拼成正方形，验证等式a2+b2=c2成立。
数学总复习之数学思想《数形结合》
数学总复习之数学思想《数形结合思想》一、要点：数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。
题型一数形结合思想在解决方程的根的个数、不等式解集的问题中的应用【例题1】已知函数f (x )满足下面关系：①f (x ＋1)＝f (x －1)；②当x ∈[－1,1]时， f (x )＝x 2，则方程f (x )＝lg x 解的个数是 ；A ．5B ．7C ．9D ．10题型二 数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用【例题2】若关于x 的方程x x m 245-+=||有四个不相等的实根，求m 的取值范围．题型三 数形结合思想在向量中的应用【例题3】设,a b 是非零向量，且2a =，22a b +=，则a b b ++的最大值是 ．题型三 数形结合思想在求最值中的应用【例题4】设{}2()min 24,1,53f x x x x =++-，则max ()f x = ．二、课后作业1. 方程lg sin x x =的实根的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 函数y a x y x a ==+||与的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()1，+∞B. ()-11，C. (][)-∞-+∞，，11D. ()()-∞-+∞，，11 3. 设命题甲：03<<x ，命题乙：||x -<14，则甲是乙成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 不充分也不必要条件4．设函数,021(),0x x f x x x -≤⎧-=⎨>⎩，若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是 ( )A.(-1,1)B.(-1，+∞)C.(-∞，-2)∪(0，+∞)D.(-∞，-1)∪(1，+∞)5．已知集合A={}{}|23,|14x x B x x x -≤≤=<->或,则集合A B =_________.6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤，则4a 的最大值为___________.7．设全集U ＝{x |0＜x ≤10，x ∈N*}，若A ∩B ＝{3}，A ∩ðU B ＝{1，5，7}，ðU A ∩ðU B ＝{9}，求A ，B ．8．已知实系数一元二次方程x 2＋ax ＋2b ＝0有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，求：(1)点(a ，b )对应的区域的面积；(2)b －2a －1的取值范围；(3)(a －1)2＋(b －2)2的值域．。
(九年级数学)专题复习——数形结合思想
（九年级数学）专题复习——数形结合思想班别姓名一、复习内容：数形结合数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法。
考点1.借助数轴解不等式及根式的化简例1、实数ba,在数轴上对应位置如图所示，则||a b-）abDaCbaBaA---..2..变1、实数cba,,在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）考点2.图表问题3、某人从A地向B地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟以内收费2．4元，每加 1分钟加收 1元，则表示电话费y（元）与通话时间(分）之间的关系的图象如图所示，正确的是（）4、二次函数cbxaxy++=2的图像（如右图）经过),0,3(),0,3(),0,1(CBA则对称轴为_______cbcaDcbaCbabaBbcacA-->--<-<--=->....考点3. 借助平面直角坐标系解函数问题5、若一次函数m x m y +-=)2(的图象经过第一、二、四象限时，m 的取值范围是_______.6、若点),1(,),1(,),2(321y y y -- 在反比例函数xy 2=的图像上，则（ ） 123213312321....y y y D y y y C y y y B y y y A >>>>>>>>7、已知二次函数c bx ax y ++=2的图像如左下图所示，顶点为)0,1(-，下列结论0)5(,0)4(,2)3(,04)2(,0)1(2>++>+-==-<c b a c b a a b ac b abc其中正确的有_______8、已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如右上图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为9、已知二次函数c bx ax y ++=2中，函数y 与x 的部分对应值如下表：则当5<y 时，x 的取值范围是10、抛物线21=-的大致图象如图所示，点By xA,是抛物线与x轴的交点，点C是抛物线与y轴交点；（1）判断ABC∆的形状，并说明理由；（2）点P是抛物线上的一点，它的横坐标为2，问在y轴上是否存在一点D，使得BDPD+的长度最小？求出这时点D的坐标。
初中数学中的数形结合思想
初中数学中的数形结合思想在初中数学中，数形结合思想是解决问题的重要方法之一。
这种思想可以将图形性质问题转化为数量关系问题，或者将数量关系问题转化为图形性质问题，从而使问题更加具体化、简单化。
这种转换不仅可以提高教学质量，还可以有效地培养学生的思维素质，因此它是初中数学研究的关键所在。
数形结合思想对学生数学能力的培养非常重要，主要包括运算能力和解题能力。
数学思想是对数学知识的更高层次的概括和提炼，是培养学生数学能力的最重要的环节。
数形结合思想是初中数学研究中一个重要的数学思想，贯穿了数学教学的始终。
数形结合思想的核心是将数与形结合起来进行分析研究，通过图形的描述代数的论证来研究和解决数学问题。
它能够使复杂的问题简单化、抽象的问题具体化，将代数关系与几何图形的直观形象有机地结合起来。
在初中数学中，数形结合思想的应用主要体现在以下两个方面：一、有数思形数形结合，用形来解决数的问题和解决一些运算公式。
例如，利用数轴来讲解绝对值的概念、相反数的概念、有理数的加、减、乘、除运算等；用几何图形来推导平方差、平方和、完全平方公式以及多边形外角和定理；用函数的图像解决函数的最值问题、值域问题；用图形比较不等式的大小问题。
解这种类型题的关键是根据数结构特征构造出相应的几何图形，将概念形象化，复杂计算的问题简单化。
二、由形思数数形结合。
解决这类问题的关键是运用数的精确性来阐明形的某些属性，将图形信息转化为代数信息，利用数特征将图形问题转化为代数问题来解决。
这类问题在初中数学中也比较常见，例如用数表示角的大小和线段的大小，用数的大小比较角的大小和线段的大小；用有序实数对描述点在平面直角坐标系内的位置；用方程、不等式或者函数解决几何量的问题；用数来描述点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直线与直线的位置关系。
在教学中，我们需要注意到任何一种解题思想方法都不是孤立的。
因此，我们需要根据具体的问题利用现有的教材，将不同的思想方法综合运用。
专题48 中考数学数形结合思想(解析版)
专题48 中考数学数形结合思想数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。
“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。
1.数形结合思想的含义数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。
2.数形结合思想应用常见的四种类型（1）实数与数轴。
实数与数轴上的点具有一一对应关系,借助数轴观察数的特点,直观明了。
（2）在解方程(组)或不等式(组)中的应用。
利用函数图象解决方程问题时,常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题直观,形象,易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解。
（3）在函数中的应用。
借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。
（4）在几何中的应用。
对于几何问题,我们常通过图形,找出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等。
3.数形结合思想解题方法“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路；或者在研究图形时,利用代数的知识,解决几何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.【例题1】（2020•遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°=AC CD =12+√3=2−√3(2+√3)(2−√3)=2−√3．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）A ．√2+1B ．√2−1C ．√2D ．12 【答案】B【分析】在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，设AC ＝BC ＝1，则AB ＝BD =√2，根据tan22.5°=ACCD 计算即可．【解析】在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，设AC ＝BC ＝1，则AB ＝BD =√2，∴tan22.5°=AC CD =11+√2=√2−1 【对点练习】（2019•湖北省仙桃市）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A． B．C．D．【答案】C【解答】解：解不等式x﹣1＞0得x＞1，解不等式5﹣2x≥1得x≤2，则不等式组的解集为1＜x≤2【例题2】（2020•济宁）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（）A．x＝20 B．x＝5 C．x＝25 D．x＝15【答案】A【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．【解析】∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）∴直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P为x＝20．【对点练习】（2020株洲模拟）直线y=k1x+b1（k1＞0）与y=k2x+b2（k2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y轴围城的三角形面积为4，那么b1﹣b2等于．【答案】4【解析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．如图，直线y=k1x+b1（k1＞0）与y轴交于B点，则OB=b1，直线y=k2x+b2（k2＜0）与y轴交于C，则OC=﹣b2，∵△ABC的面积为4，∴OA•OB+=4，∴+=4，解得：b1﹣b2=4．【例题3】（2020通化模拟）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD 与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．(1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．(2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE 的长．(3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．【答案】见解析。
初三数学复习专题-数形结合思想
初三数学专题复习 ------ 数形联合思想经过初中数学的学习，除了应掌握必需的知识技术外，感情数学的思想、累积用数学去解决问题的一些方法也很重要，本专题要点解说初中阶段特别重要的一种数学思想 ------ 数形联合思想。
我们研究的对象可分为数和形两部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形联合。
数形联合的应用大概能够分为以下两种情况： 一、数能够用形来刻画：1、数轴上的点其实不都表示有理数，如图中数轴上的点P 所表示的数是2 ”，这类说明问题的方式表现的数学思想方法叫做 ( )A ．代人法B ．换元法C ．数形联合D ．分类议论a abb第 1 题图 1第 2 题 图 22、在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形 （a>b ）（如图 1），把余下的部分拼成一个矩形 （如图 2），依据两个图形中暗影部分的面积相等，能够考证（ ）A . (a b)2 a 2 2ab b 2B. (ab)2 a 2 2abb 2C. a 2b 2(a b)(ab)D . (a 2b)( a b) a 2ab 2b 23、 (1) 有若干块长方形和正方形硬纸片如图 1 所示．用若干块这样的硬纸片拼成一个新的正方形，如图2．用两种不一样的方法计算图2 中正方形的面积你能够得出的一个等式为：．（ 2）如图 3，现有若干张正方形硬纸片 A 、 C 和若干张长方形硬纸片 B ．假如要拼成一个长为（ 2a ＋ b ）、宽为（ a+2b ）的新长方形，则需要正方形硬纸片 A 张、正方形硬纸片 C 张、长方形硬纸片 B 张．请在右侧的方框内画出你所拼出的长方形图案（注明相应字母） ． 2a 2＋ 3ab ＋ b 2（ 3）试用图 3 中的若干张硬纸片去拼一个长方形的方法，将多项式分解因式的结果为．4、已知反比率函数y 1＝ k的图像与一次函数 y 2＝ x ＋ 1 的图像的一个交点的横坐标是－3．xy（ 1）求 k 的值；（ 2）依据反比率函数图像回答以下问题：①指出当 x ＜－ 1 时， y 1 的取值范围；②指出当 y 1 ＞ 3 时， x 的取值范围；3③指出当 y 1 ＞ y 2 时， x 的取值范围 .－ 3xO二、形能够用数来解说：1、若是用一根钢缆沿地球赤道绕 1 圈，再把这根钢缆放长10 米，这时钢缆和赤道之间的空隙能够经过一头牛仍是一只老鼠？2．。
中考数学复习 第四部分 专题三 数形结合思想课件
数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就 是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量 关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合 起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题 得以解决的思考方法．运用这一数学思想解题，要熟练掌握一 些概念和运算的几何意义及常见图形中的代数特征．
(3)求第二档每月电费 y(单位：元)与用电量 x(单位：度)之间 的函数关系式；
(4)在每月用电量超过 230 度时，每月多用 1 度电要比第二 档多付电费 m 元，小刚家某月用电 290 度，交电费 153 元，求 m 的值．
图 Z3－1
(4)根据图象可得出：用电 230 度，需要付费 108 元，用电 140度，需要付费63元，故108－63＝45(元)，230－140＝90(度)， 45÷90＝0.5(元)，则第二档电费为 0.5 元/度．
实际问题的数形结合
例 1：(2012 年贵州遵义)为了促进节能减排，倡导节约用电， 某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图 Z3－1 中的折线反
映了每户每月用电电费 y(单位：元)与用电量 x(单位：度)间的函
数关系式．
ห้องสมุดไป่ตู้
(1)根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，填写下表：
档次
第一档
第二档
第三档
每月用电量 x(度) 0＜x≤140 __________ __________ (2)小明家某月用电 120 度，需交电费________元；
∵小刚家某月用电 290 度，交电费 153 元， ∴290－230＝60(度)，153－108＝45(元)． ∴45÷60＝0.75(元)． ∴m＝0.75－0.5＝0.25.
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（九年级数学）专题复习——数形结合思想
第 周星期 班别 姓名 学号
一、复习内容：数形结合
数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法。
应用数形结合，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化解题过程，这在解选择题、填空题更显优越，要注意数形结合思想意识，要胸中有图，见数想图，当然，数缺形少直观，形缺数难入微。
环节一、借助数轴解数与式的问题
例1：(山西·2006中考)实数b a ,在数轴上的位置如图所示, 化简:2)(a b b a -++=__________. 练习：
1．实数a 、b 上在数轴上对应位置如图1所示，
则||a b - ）
A ．a
B ．a －2b
C ．－a
D ．b －a
2．不等式组114
x x ->⎧⎨
≤⎩的解集在数轴上，图3－3－7所示）表示应是（ ）
环节二、借助平面直角坐标系解函数问题
例2：(河北·2007中考)如图,已知二次函数c x ax y +-=42的图象经过点A 和点B. (1)求该二次函数的表达式；(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
(3)点P(m m ,)与点Q 均在该函数图象上(其中0>m ),且这两点关于抛物线的对称轴对称,写出m 的值及点Q 到x 轴的距离.
· · · 0
a
b
例1图
图 1
例2
图
5
图3
练习：
1、已知二次函数y 1=ax 2+bx+c （a≠0）和直线y 2=kx+b （k ≠0）的图象如图2，则： 当x=___ ___时，y 1=0；当x____ __时，y 1<0；当x____ __时，y 1>y 2；
2、已知抛物线2y x bx c =++的部分图象如图3，若y ＜0，则x 的取值范围是 3．如图4，在反比例函数y= k
x (k ＞0）的图象上有三点A 、B 、C ，过这三点分别向x
轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x 轴，y 轴围成的面积分别为S 1，S 2，S 3，则 （用等式或不等式连结S 1，S 2，S 3）； 环节三：巩固练习
1．如图2所示，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴的夹角为60°，且点A 坐标为（－2，0），点B 在x 轴上方，设A B=a ，那么点B 的横坐标为
2、已知直线y 1=2x －1和y 2=－x －1的图象如图6，根据图象填空． （1）当x______时，y 1＞y 2；当x______时，y 1=y 2；当x______时，y 1＜y 2. （2）方程组21
1y x y x =-⎧⎨
=--⎩
的解是_____________。
3、已知二次函数21(0)y ax bx c a =++≠与一次函数 y 2=kx+ m （k ≠0）的图象相交于点 A （－2，4），B （8，2）（如图 7），则能使y 1＞y 2成立的x 的取值范围是________．
4、已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图8所示，则关于x 的一元二次方程
220x x m -++=的解为 ．
图 2
图
4
图
6
图
7
5、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）方程20ax bx c ++=的两个根是 ． （2）不等式20ax bx c ++>的解集是 ．
（3）y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围是 ．
（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ； 6、（2005，嘉峪关，10分）某公司推销一种产品，设x （件）是推销产品的数量，y （元）是推销费，图3－3－1已表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：
（1）求y 1与y 2的函数解析式；
（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？ （3）果你是推销员，应如何选择付费方案？
6、已知抛物线过点（1，0），（―1，8）在y 轴上截距为5，若函数图象与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，顶点为D ，求四边形ABCD 的面积。
y
7、已知抛物线与x 轴交点的横坐标为3，5，且有最大值
2
1
，函数图象与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，顶点为D ，求四边形ABCD 的面积。
8、如图，以点A （―1，0）为圆心作⊙A 与y 轴相切，交x 轴于C ，过A 作BA 垂直x 轴交⊙A 于B ，D 是x 轴正半轴上一点，且∠BDA=300，求过点C 、B 、A 的二次函数解析式。
9、抛物线21y x =-的大致图象如图所示，点A 、B 是抛物线 与x 轴的交点，点C 是抛物线与y 轴交点； （1）判断△ABC 的形状，并说明理由；
（2）点P 是抛物线上的一点，它的横坐标为2，问在y 轴上
是否存在一点D ，使得PD ＋BD 的长度最小？求出这时点D （3）点F 为线段AP 上的一个动点，过点F 作y 轴的平行线交抛物线于H ，求线段FH 长度的最大值；。