【精品高考数学】2020年3月普通高考数学(北京卷)全真模拟卷(2)+答案

2020年3月普通高考（北京卷）全真模拟卷（2）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}21,0A x x B x x =-<<=>，则集合A B =U （ ） A ．(2,1)- B ．(0,1)C ．(0,)+∞D ．(2,)-+∞2．已知复数3i1iz -=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，则其渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．y x = 4．等差数列{}n a 中，若1476a a a ++=，n S 为{}n a 的前n 项和，则7S =（ ） A ．28B ．21C ．14D ．75．设点P 是圆22(1)(2)2x y ++-=上任一点，则点P 到直线10x y --=距离的最大值为（ ）AB ．C ．D ．2+6．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．47．若点5π5π(cos,sin )66M 在角α的终边上，则tan2α=（ ）A ．3 B ．3-C D ．8．已知正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“1012112+>S S S ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．下列函数中，同时满足：①图像关于y 轴对称；②()()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，()()21210f x f x x x ->-的是（ ） A ．()1f x x -=B ．()2log f x x =C ．()cos f x x =D ．()12x f x +=10．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，如表下为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( ) A ．2号学生进入30秒跳绳决赛 B ．5号学生进入30秒跳绳决赛 C ．8号学生进入30秒跳绳决赛 D ．9号学生进入30秒跳绳决赛第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．已知向量()()1,3,2,1==m n ，则向量m 与n 的夹角为 ．12．412x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为 ．13．在ABC △中，2,3A a π∠==，则bc= ． 14．若顶点在原点的抛物线经过四个点()()()11,1,2,,2,1,4,22⎛⎫⎪⎝⎭中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是 ．15．已知曲线4422:1C x y mx y ++=（m 为常数），给出下列结论： ①曲线C 为中心对称图形； ②曲线C 为轴对称图形；③当1m =-时，若点(),P x y 在曲线C 上，则1x ≥或1y ≥． 其中，所有正确结论的序号是 ．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或者选错得0分，其他得3分． 四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD AB =，E 是PB 的中点．（1）求证：平面PBC ⊥平面PCD ； （2）求二面角E AD B --的大小；在①44a b =，②252a b +=，③624S =-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数k 存在，求k 的值；若k 不存在，请说明理由．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，{}n b 是等比数列， ，15b a =，39b =-，6243b =．是否存在k ，使得1k k S S ->且1k k S S +<？18．（本小题14分）随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争，吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示．（1）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；（2）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立，记X 为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）；（3）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为21S ，月平均期望薪资对应数据的方差为22S ，判断21S 与22S 的大小（只需写出结论）．已知函数()ln f x x a x =-(0)a >． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）求函数21()()2g x x ax f x =--的零点个数； （3）当1a =时，求证不等式1()x f x x-≤解集为空集．20．（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅰ）设S 为椭圆右顶点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（异于S ），直线PS ，QS 分别交直线4x =于A ，B 两点．求证：A ，B 两点的纵坐标之积为定值．21．（本小题14分）给定整数()2n n ≥，数列211:n A x +、2x 、L 、21n x +每项均为整数，在21n A +中去掉一项k x ，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为()1,2,,21k m k n =+L ．将1m 、2m 、L 、21n m +中的最小值称为数列21n A +的特征值．（Ⅰ）已知数列5:1A 、2、3、3、3，写出1m 、2m 、3m 的值及5A 的特征值；（Ⅰ）若1221n x x x +≤≤≤L ，当()()110i n j n -+-+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中i 、{}1,2,,21j n ∈+L 且i j ≠时，判断i j m m -与i j x x -的大小关系，并说明理由； （Ⅰ）已知数列21n A +的特征值为1n -，求121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值．2020年3月普通高考（北京卷）全真模拟卷（1）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}21,0A x x B x x =-<<=>，则集合A B =U （ ） A ．(2,1)- B ．(0,1)C ．(0,)+∞D ．(2,)-+∞【答案】D【解析】{}{}{}2102A B x x x x x x =-<<>=>-U U ，故选D ． 2．已知复数3i1iz -=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由题意，复数()()()()313241211i i i ii i i 2i 1z ----====-++-，∴复数z 对应的点(1,2)-位于第四象限，故选D ．3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，则其渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．2y x =±【答案】B【解析】∵双曲线C 方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，∴双曲线的渐近线方程为b y x a =±，又∵双曲线离心率为2，2c a ∴=，可得b ，因此，双曲线的渐近线方程为y =，故选B ． 4．等差数列{}n a 中，若1476a a a ++=，n S 为{}n a 的前n 项和，则7S =（ ） A ．28 B ．21 C ．14 D ．7【答案】C【解析】等差数列{}n a 中，若1476a a a ++=，则4436,2a a =∴=，则74714S a ==，故选C ． 5．设点P 是圆22(1)(2)2x y ++-=上任一点，则点P 到直线10x y --=距离的最大值为（ ）A B ．C ．D ．2+【答案】C【解析】∵22(1)(2)2x y ++-=的圆心坐标为(1,2)-，半径为r =10x y --=的距离为d ==P 到直线10x y --=距离的最大值为d r +=C ．6．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．4【答案】A【解析】如图所示，借助正方体得直观图为三棱锥P ABC -，∴三棱锥P ABC -的体积为：112212333ABC S ⨯⨯=⨯⨯=△，故选A ．7．若点5π5π(cos,sin )66M 在角α的终边上，则tan2α=（ ） AB．CD．【答案】D【解析】5π5π(cos ,sin )66M即为122M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则3tan tan 21313αα=-∴==-，故选D ． 8．已知正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“1012112+>S S S ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由已知1012112+>S S S ，12111110S S S S ∴->-，即1211a a >，由于题目给定{}n a 各项为正，所以等价于公比为1q >，故选C ．9．下列函数中，同时满足：①图像关于y 轴对称；②()()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，()()21210f x f x x x ->-的是（ ） A ．()1f x x -=B ．()2log f x x =C ．()cos f x x =D ．()12x f x +=【答案】B【解析】由题知：①图像关于y 轴对称，则()f x 为偶函数；②()()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，()()21210f x f x x x ->-，()f x 在(0,)+∞为增函数．A 选项：()1f x x -=，()f x 为奇函数，故A 错误；B 选项：()2log f x x =，()f x 为偶函数，且在区间(0,)+∞为增函数，故B 正确；C 选项：()cos f x x =，()f x 为偶函数，且在区间(0,)+∞有增有减，故C 错误；D 选项：()12x f x +=，()f x 为非奇非偶函数，故D 错误．综上选B ．10．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，如表下为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( ) A ．2号学生进入30秒跳绳决赛 B ．5号学生进入30秒跳绳决赛 C ．8号学生进入30秒跳绳决赛 D ．9号学生进入30秒跳绳决赛【答案】B【解析】首先立定跳远的是前8位同学进入决赛，若59a ≤，则2号、8号不进入决赛，1、3、4、5、6、7号同学进入跳绳决赛，正好6人，因此2号不一定进入跳绳决赛；5号如果不进入跳绳决赛，则1、4、5号都不进入跳绳决赛，与立定跳远同进入决赛的只有5人，不合题意，5号一定进入跳绳决赛；8号进入决赛，则2号也进入决赛，这时1、4、5号都不进入跳绳决赛，不合题意；9号成绩不知是多少，不清楚是否进入决赛；只有5号可肯定进入跳绳决赛，故选B ．第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．已知向量()()1,3,2,1==m n ，则向量m 与n 的夹角为 ．【答案】4π【解析】由两个向量夹角公式得cosθ⋅===⋅n n m m ，因为[]0,,4θθπ∈π=Q ．12．412x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为 ．【答案】24【解析】由二项式412x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式通项公式为44421441(2)()2r r r r r rr T C x C x x ---+==，令420r -=，解得2r =，即展开式中的常数项为422443242421C -⨯=⨯=⨯，故答案为24． 13．在ABC △中，2,3A a π∠==，则bc= ． 【答案】1【解析】由正弦定理知2si sin si n12sin ,,,, 1.2n 3666A aC b C B c cC b c πππππ∴==∴=π--=∴=∴=∴===,14．若顶点在原点的抛物线经过四个点()()()11,1,2,,2,1,4,22⎛⎫⎪⎝⎭中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是 ．【答案】28x y =或2y x =【解析】分两种情形：①若抛物线的焦点在x 轴上，设抛物线的标准方程为：2x my =，不难验证两点()12,,4,22⎛⎫ ⎪⎝⎭适合，故28x y =； ②若抛物线的焦点在y 轴上，设抛物线的标准方程为：2y nx =，不难验证()()1,1,4,2适合，故2y x =．故答案为：28x y =或2y x =．15．已知曲线4422:1C x y mx y ++=（m 为常数），给出下列结论： ①曲线C 为中心对称图形； ②曲线C 为轴对称图形；③当1m =-时，若点(),P x y 在曲线C 上，则1x ≥或1y ≥． 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③【解析】在曲线C 上任取一点(),P x y ，则44221x y mx y ++=，将点()1,P x y --代入曲线C 的方程可得()()()()44221x y m x y -+-+--=，同理可知，点()2,P x y -、()3,P x y -都在曲线C 上，则曲线C 关于原点和坐标轴对称，命题①②正确；当1m =-时，2442222213124x y x y x y y ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，反设1x <且1y <，则201x ≤<，201y ≤<，∴22111222x y -<-<，则22211024x y ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，∴2442222213124x y x y x y y ⎛⎫+-=-+< ⎪⎝⎭，这与44221x y x y +-=矛盾．∴假设不成立，∴1x ≥或1y ≥，命题③正确．故答案为：①②③．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或者选错得0分，其他得3分． 四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD AB =，E 是PB 的中点．（1）求证：平面PBC ⊥平面PCD ； （2）求二面角E AD B --的大小； 【答案】（1）证明见解析；（2）45︒．【解析】试题分析：（1）先根据条件证BC ⊥平面PCD ，又∵BC ⊂平面PBC ，∴可以证得平面PBC ⊥平面PCD ；（2）根据条件得,,DA DC DP 两两垂直，以此建立空间直角坐标系，求出平面ADB 的法向量(0,0,1)DP =u u u r ，设平面ADE 的法向量(,,)n x y z =r，求出法向量(0,1,1)n =-r ，根据公式求出两个法向量的余弦值，即可得出二面角E AD B --的大小；（3）依题意可证AD ⊥平面PCD ，则平面PCD 的法向量为(1,0,0)DA =u u u r ，又∵1111,,02222AE AE DA ⎛⎫=-⋅⋅=-≠ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，则AE u u u r 与DA u u u r 不垂直，证得AE 与平面PCD不平行．试题解析：（1）证明：∵ABCD 是正方形BC CD ∴⊥． ∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD BC ⊥． ∵PD CD D ⋂=,PD CD ⊂平面PCD ，∴BC ⊥平面PCD ， 又∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PCD ．（2）∵PD ⊥平面ABCD ，,AD CD ⊂平面ABCD ，∴,PD AD PD CD ⊥⊥．又∵ABCD 是正方形∴AD CD ⊥，∴,,DA DC DP 两两垂直，∴以D 为原点如图建系，设1PD AB ==，∴0,0,0D （），(1,0,0)A ，(0,1,0)C ，(1,1,0)B ，(0,0,1)P ，111,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴111(1,0,0),,,222DA DE ⎛⎫== ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，又∵PD ⊥平面ABCD ，∴平面ADB 的法向量(0,0,1)DP =u u u r．设平面ADE 的法向量(,,)n x y z =r ，则DA n ⊥u u u r r ，DE n ⊥u u u r r ，∴0,1110222DA n x DE n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u r ru u u r r ， 令1z =，得1,0y x =-=∴(0,1,1)n =-r，∴cos ,2||||DP n DP n DP n ⋅<>===⋅u u u r ru u u r ru u u r r ，∴二面角E AD B --的大小为45︒．17．（本小题14分）在①44a b =，②252a b +=，③624S =-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数k 存在，求k 的值；若k 不存在，请说明理由．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，{}n b 是等比数列， ，15b a =，39b =-，6243b =．是否存在k ，使得1k k S S ->且1k k S S +<？ 【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】试题分析：先由已知条件结合所选条件求出数列{}n b 与数列{}n a 的通项公式，再结合题设要求求解即可得解．试题解析：方案①，设等比数列{}n b 的公比为q ，设等差数列{}n a 的公差为d ，由39b =-，33639243b b q q =⋅=-⨯=，得3q =-，又()2231139b b q b ==⨯-=-，∴11b =-，故()13n n b -=--．又511a b ==-，4427a b ==，∴5428d a a =-=-，1273(28)111a ∴=-⨯-=，∴28139n a n =-+．由1k k S S +>且1k k S S +<，可得11100k k k k k k S S a S S a -++-=>⎧⎨-=<⎩，可知()12813902811390k k a k a k +=-+>⎧⎨=-++<⎩，得1111392828k <<，又k 为正整数，则4k =，∴存在4k =，使得1k k S S ->且1k k S S +<． 方案②，设等比数列{}n b 的公比为q ，设等差数列{}n a 的公差为d ，由39b =-，33639243b b q q =⋅=-⨯=，得3q =-，又()2231139b b q b ==⨯-=-，∴11b =-，故()13n n b -=--．又511a b ==-，25252,283a b a b +=∴=-=，∴522852a a d -==--，1273(28)111a ∴=-⨯-=， ∴28139n a n =-+． 由1k k S S +>且1k k S S +<，可得11100k k k k k k S S a S S a -++-=>⎧⎨-=<⎩，可知()12813902811390k k a k a k +=-+>⎧⎨=-++<⎩，得1111392828k <<，又k 为正整数，则4k =，∴存在4k =，使得1k k S S ->且1k k S S +<． 方案③，设等比数列{}n b 的公比为q ，设等差数列{}n a 的公差为d ，由39b =-，33639243b b q q =⋅=-⨯=，得3q =-，又()2231139b b q b ==⨯-=-，∴11b =-，故()13n n b -=--．又511a b ==-，624S =-，即1141,656242a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得1111,28a d =⎧⎨=-⎩，∴28139n a n =-+．由1k k S S +>且1k k S S +<，可得11100k k k k k k S S a S S a -++-=>⎧⎨-=<⎩，可知()12813902811390k k a k a k +=-+>⎧⎨=-++<⎩，得1111392828k <<，又k 为正整数，则4k =，∴存在4k =，使得1k k S S ->且1k k S S +<． 18．（本小题14分）随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争，吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示．（1）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；（2）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立，记X 为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）；（3）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为21S ，月平均期望薪资对应数据的方差为22S ，判断21S 与22S 的大小（只需写出结论）． 【答案】（1）25；（2）分布列见解析，()45E X =；（3）2212S S > 【解析】试题分析：（1）根据图表得到高于8500元的城市有6座，得到答案；（2）X 的可能取值为0,1,2，计算概率得到分布列，再计算期望得到答案；（3）根据数据的波动性得到答案．试题解析：（1）根据图表知：月平均收入薪资高于8500元的城市有6座，故62155p == ． （2）X 的可能取值为0,1,2，则()33905525P ξ==⨯=；()12321215525P C ξ==⨯=；()22425525P ξ==⨯=． 分布列为：()012252525255E X =⨯+⨯+⨯==． （3）根据图像知月平均收入薪资对应数据波动更大，故2212S S >． 19．（本小题15分）已知函数()ln f x x a x =-(0)a >． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）求函数21()()2g x x ax f x =--的零点个数； （3）当1a =时，求证不等式1()x f x x-≤解集为空集． 【答案】（1）()f x 的单调增区间为(,)a +∞，单调减区间为(0,)a ；（2）()g x 在(0,)+∞上只有一个零点（3）证明见解析；（3）空集．【解析】试题分析：（1）求导得到()1a x af x x x-'=-=，计算得到答案． （2）求导得到()(1)()x a x g x x--'=，分类讨论1a >，1a =和01a <<三种情况得到答案．（3）原题等价于1()ln 10h x x x x =+-->恒成立，求导得到函数的单调区间，计算最小值0h >得到证明．试题解析：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞．()1a x af x x x-'=-=． 令()0f x '=，得x a =．当x a >时，有()0f x '>，∴()f x 在(,)a +∞上单调递增． 当0x a <<时，有()0f x '<，∴()f x 在(0,)a 上单调递减． 综上所述：()f x 的单调增区间为(,)a +∞，单调减区间为(0,)a（2）函数21()ln 2g x x ax x a x =--+，()(1)()x a x g x x --'=．令()(1)()0x a x g x x --'==，解得12,1x a x ==， 1(1)--02g a =<，,()x g x →+∞→+∞，当1a >时，()g x 在(1,)a 上递减，有(1)()g g a >．∴()0g a <，∴()g x 有一个零点； 当1a =时，()g x 在(0,)+∞上递增，∴()g x 有一个零点；当01a <<时，()g x 在(0,)a 上递增，在(,1)a 上递减，在(1,)+∞上递增．此时21()ln 02g a a a a a =--+<，∴()g x 有一个零点．综上所述：()g x 在(0,)+∞上只有一个零点． （3）当1a =时，不等式1()x f x x -≤解集为空集，等价于1()x f x x->在定义域内恒成立， 即1()0x f x x-->在定义域内恒成立． 令11()()ln 1x h x f x x x x x-=-=+--． 222111()1x x h x x x x --'=--=，令()0h x '=，得x = 列表得11()1ln 22h =-∵12e +<，∴1ln12<．11 >，∴0h>，∴1()()0xh x f xx-=->恒成立．∴不等式1()xf xx-≤解集为空集．20．（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线0x y-=相切．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅰ）设S为椭圆右顶点，过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于P，Q两点（异于S），直线PS，QS 分别交直线4x=于A，B两点．求证：A，B两点的纵坐标之积为定值．【答案】（Ⅰ）22143x y+=；（Ⅰ）详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）求出,,a b c后可得椭圆方程．（Ⅰ）当直线l的斜率不存在，计算可得A B，两点的纵坐标之积为9-．当直线l的斜率存在时，可设直线l 的方程为(1)(0)y k x k=-≠，112212()()(0)P x y Q x y x x≠,,,,，则212121212()142()4A Bx x x xy y kx x x x-++=-++，联立直线方程和椭圆方程，消去y后利用韦达定理化简A By y后可得定值．试题解析：（Ⅰ）∵以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y-=相切，∴半径b等于原点到直线的距离d，b d==，即b=由离心率12e=，可知12ca=，且222a b c=+，得2a=，故椭圆C的方程为22143x y+=．（Ⅰ）由椭圆C的方程可知(20)S,．若直线l的斜率不存在，则直线l方程为1x=，∴331122P Q⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,,．则直线PS的方程为3260x y+-=，直线QS的方程为3260x y--=．令4x=，得(43)A,-，(43)B,，∴,A B两点的纵坐标之积为9-．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为(1)(0)y k x k=-≠，由22(1)34120y k xx y=-⎧⎨+-=⎩得2222(34)84120k x k x k+-+-=，依题意0∆≥恒成立．设112212()()(0)P x y Q x y x x ≠,,,,，则2212122284123434k k x x x x k k-+==++,． 设(4)A A y ,(4)B B y ,，由题意,,P S A 三点共线可知11422A y yx =--， ∴点A 的纵坐标为1122A y y x =-．同理得点B 的纵坐标为2222B y y x =-． ∴12122222A B y y y y x x =⋅--212121212()142()4x x x x k x x x x -++=-++22222224128434412284(43)k k k k k k k --++=--⨯++22944k k -=⨯9=- 综上，A B ，两点的纵坐标之积为定值． 21．（本小题14分）给定整数()2n n ≥，数列211:n A x +、2x 、L 、21n x +每项均为整数，在21n A +中去掉一项k x ，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为()1,2,,21k m k n =+L ．将1m 、2m 、L 、21n m +中的最小值称为数列21n A +的特征值．（Ⅰ）已知数列5:1A 、2、3、3、3，写出1m 、2m 、3m 的值及5A 的特征值；（Ⅰ）若1221n x x x +≤≤≤L ，当()()110i n j n -+-+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中i 、{}1,2,,21j n ∈+L 且i j ≠时，判断i j m m -与i j x x -的大小关系，并说明理由； （Ⅰ）已知数列21n A +的特征值为1n -，求121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值．【答案】（Ⅰ）11m =；22m =；33m =．5A 的特征值为1；（Ⅰ）=i j i j m m x x --，理由见解析；（Ⅰ）最小值为()1n n +．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题中的定义可求出1m 、2m 、3m 的值及5A 的特征值；（Ⅰ）分i 、{}1,2,,1j n ∈+L 和i 、{}1,2,,21j n n n ∈+++L 两种情况讨论，结合题中定义可证明出=i j i j m m x x --；（Ⅰ）设1221n x x x +≤≤≤L ，利用（Ⅰ）中的结论=i j i j m m x x --，结合数列21n A +的特征值为1n -，可得出()2122111n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥-L L ，并证明出()()()221n k p kq n p q +-+≥++，即可求出121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值．试题解析：（Ⅰ）由题知：()()133231m =+-+=，()()233312m =+-+=，33m =，5A 的特征值为1． （Ⅰ）=i j i j m m x x --．理由如下：由于()()110i n j n -+-+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，可分下列两种情况讨论： 当i 、{}1,2,,1j n ∈+L 时，根据定义可知：()()212211i n n n n n i m x x x x x x x +++=+++-+++-L L ()()212211n n n n n i x x x x x x x +++=+++-++++L L ，同理可得：()()212211j n n n n n j m x x x x x x x +++=+++-++++L L ， ∴i j i j m m x x -=-，∴=i j i j m m x x --． 当i 、{}1,2,,21j n n n ∈+++L 时，同理可得：()()212111i n n n i n n m x x x x x x x ++-=+++--+++L L ()()212111n n n n n i x x x x x x x ++-=+++-+++-L L()()212111j n n n n n j m x x x x x x x ++-=+++-+++-L L ，∴i j i j m m x x -=-，∴=i j i j m m x x --．综上有：=i j i j m m x x --． （Ⅰ）不妨设1221n x x x +≤≤≤L ，()2122111212222022i j n n n n n i j n x x nx n x x x x nx +++≤<≤+-=+-+++⋅---∑L L ()()()()2112222222n n n n n x x n x x x x ++=-+--++-L ，显然，211222n n n n x x x x x x ++-≥-≥≥-L ，()()()212211121221n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x m ++-+++++-+++≥++-+++=L L L L ．当且仅当121n n x x ++=时取等号；()()()2122112212311n n n n n n n n x x x x x x x x x x x m ++-++++++-+++≥++-+++=L L L L ．当且仅当11n x x +=时取等号；由（Ⅰ）可知1m 、21n m +的较小值为1n -，∴()2122111n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥-L L ，当且仅当1121n n x x x ++==时取等号，此时数列21n A +为常数列，其特征值为0，不符合题意，则必有()212211n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥L L ．下证：若0p q ≥≥，2k n ≤≤，总有()()()221n k p kq n p q +-+≥++．证明：()()()()()22111n k p kq n p q n k p n k q +-+-++=+--+-()()10n k p q =+--≥， ∴()()()221n k p kq n p q +-+≥++． 因此()()()()2112221212222i j n n n n i j n x x n x x n x x x x ++≤<≤+-=-+--++-∑L()()()21221111n n n n n n x x x x x x n n ++-≥++++----≥+L L ．当0,11,121k k n x n k n ≤≤⎧=⎨+≤≤+⎩时，121i j i j n x x ≤<≤+-∑可取到最小值()1n n +，符合题意，∴121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值为()1n n +．。