高中教育数学人教版必修1 高一培优数学科学案(第1期)

高一培优数学学案（第1期）（一）函数概念的理解与应用1.函数对应关系解析式的判断
■题型结构特征：判断对应关系解析式的合理性，或两种表示
是否等价.
★判断识真☆
给出下列四个对应：
①A＝R，B＝R，对应关系f：x→y，y＝
1
x＋1
；
②A＝{a|
1
2a∈N
*}，B＝{b|b＝1
n，n∈N
*}，对应关系f：a→
b，b＝
1
a；
③A＝{x|x ≥0}，B＝R，对应关系f：x →y，y2＝x；
④A＝{x|x是平面α内的矩形}，B＝{y|y是平面α内的圆}，
对应关系f：每一个矩形都对应它的外接圆．
其中是从A到B的映射的是___________．
【例题1】下列函数中，表示同一函数的是（）
A.y=5x5与y =x2
B. y= x与y =x2
C.y=
(x-1)(x+3)
x-1与y=x+3 D. y = x
0与y=
1
x0
2.函数对应关系图像的判断
■题型结构特征：判断图像表示的对应关系的合理性.
【例题2】若函数f(x)的定义域为M={x| -2≤x≤2},值域
为N={y|0≤y≤2}，则函数y=f(x)图象只可能是（）
1.下列对应：
①M＝R，N＝N＋，对应关系f：“对集合M中的元素，取
绝对值与N中的元素对应”；
②M＝{1，－1,2，－2}，N＝{1,4}，对应关系f：x→y＝x2，
x∈M，y∈N；
③M＝{三角形}，N＝{x|x>0}，对应关系f：“对M中的三
角形求面积与N中元素对应”．
是集合M到集合N上的函数的有()
A．1个B．2个C．3个D．0个
2.下列各组函数中，表示同一个函数的是()
A．y＝x－1和y＝
x2－1
x＋1
B．y＝x0和y＝1
C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2 D．f(x)＝
(x)2
x和g(x)＝
x
(x)2
（二）函数的定义域
1.求函数定义域
■题型结构特征：已知函数解析式求其定义域.
【例题3】函数f(x)＝1
2－|x|
＋x2－1＋(x－4)0的定义域为
__________.
※解法辩伪※
1.函数f(x + 2)的定义域为[ -1，2]，求函数f(x)的定义域.
〖错解〗因为函数f(x + 2)的定义域为[ -1，2]，所以–1 ≤ x + 2
≤ 2, 则–3 ≤ x ≤ 0
∴函数f(x)的定义域为[ - 3, 0].
2.逆用函数定义域
■题型结构特征：已知函数定义域求解析式中相关参数.
【例题4】若函数f(x)＝2x2＋2ax－a的定义域为R，则实
数a的取值范围为______________．
1.设函数y = 4 - x2的定义域为A，函数y = (1 - x)2
1
-
的
定义域为B, 则A∩B = ( )
A.（1,2）
B.(1,2]
C.（-2,1）
D.[-2,1)
2.若函数()1
222-
=-
+a
ax
x
x
f定义域为R，则a的取值范围
是________．
2
-2 x
y
O
A
2
-2 x
y
O
B
2
y
2
-2 x
O
C
2
2
-2 x
y
O
D
2
3. （1）若f(x)的定义域为[-1,1]，则f(2x –
1)的定义域是 .
（2）若f(x + 1)的定义域为[-1, 1]，则f(x-1)的定义域是 .
（3）若f(x + 3)的定义域为[-5, -2]，求f(x + 1) + f(x – 1)的定义域.
（三）函数式的运算与求值
1. 根式及分数指数幂的运算
■题型结构特征：含有根式或分数指数幂式子的运算问题. ★判断识真☆
下列根式中分数指数幂的互化，正确的是（ ）
A.1
2()x x -=- B.1
3
26y y =
C .34
341()x x
-=
D.13
3x
x -=-(x ≠0)
2. 指数式的运算
■题型结构特征：含有指数式的运算问题.
【例题5】 设f(x )= 44x + 2，若0<a<1.
(1) 求f(a) + f(1 – a)的值；
(2) 求f(12016) + f(22016) + f(32016) + ⋅ ⋅ ⋅ + f(2015
2016)的
值.
3. 抽象函数值的计算问题
■题型结构特征：没有解析式，但常常给出函数具有的某种性质(如恒等关系式)等已知条件，进而求函数值.
【例题6】 已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，对任意
x >0，y >0都有f (x
y
)＝f (x )－f (y )．若f (3)＝1，则f (9)＝____．
1. 下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x |
C ．f (x )＝x ＋1
D ．f (x )＝－x
（四）分段函数
1. 分段函数求值
■题型结构特征：无参分段求值.
2. 分段函数求参
■题型结构特征：分段式含参或分段点含参或等式含参.确定参
数值.
【例题7】 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
1－x ，x ≤0，
a x ，x >0，
若f (1)＝f (-1)，
则实数a 的值等于( )．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【例题8】 已知实数a ≠0，函数2,1
()2,1
x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩, 若
f (1-a )=f (1+a )，则a 的值为 .
3. 分段函数求解析式
■题型结构特征：已知某段函数求未知段函数.
【例题9】 定义在R 上的函数f(x )满足f(x +1)=2f(x ).若当
0≤x ≤1时.f(x )= x (1-x )，则当-1≤x ≤0时，f(x ) =__________. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
※解法辩伪※
已知奇函数f(x)，当x>0时，f(x) = x 2 + 2x,求x<0时f(x)的解析式. 〖错解〗∵f(x)是奇函数，∴f(-x) = - f(x),∴当x<0时，f(x) = -(x 2 + 2x).
4. 解分段函数不等式
■题型结构特征：无参分段求值.
※解法辩伪※
函数2 x 0,
()|-1| 0
x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩, 解不等式f(x)<2.
〖错解〗由x
2 - x<2解得 - 1<x <2, 由|x - 1|<2解得 - 1<x <3,
综上不等式f(x)<2的解为-1<x<3.
【例题10】 设函数()⎪⎩
⎪⎨⎧≥-<+=0,0
,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实
数a 的取值范围是 .
5. 分段函数的零点
■题型结构特征：考察分段函数的零点问题，或由零点的存在
性判断参数的取值.
【例题11】 已知函数()()2
2, 2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩
函数()()2g x b f
x =-- ，其中b ∈R ，若函数y=f(x) - g(x) 恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) A.(74 ,+∞) B.(-∞,74) C.(0, 74) D.(7
4, 2)
6. 分段函数的单调性
■题型结构特征：分段函数与单调性的综合.
【例题12】 已知函数f （x ）=⎩⎨⎧>≤--.
1,1,1)2(x a ，x x a x
若f （x ）在
（-∞，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围为________.
【例题13】 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数)，x ∈R ，
F (x )＝⎩⎨⎧f （x ）（x >0），－f （x ）（x <0）.
(1)若f (－1)＝0，且函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求F (x )的表达式；
(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2，2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围；
(3)设mn <0，m ＋n >0，a >0且f (x )为偶函数，判断F (m )＋F (n )能否大于零？
7.分段函数的最值
■题型结构特征：分段函数最值要分段考察.
8.绝对值分段函数
■题型结构特征：由绝对值确定的分段函数.。