Matlab数据插值与拟合
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一元插值函数interp1( )的几种调用格式如表4-1所示。 表4-1 一维插值插值函数interp1的语法格式
语法形式
说明
y=interp1(x,Y,xi) y=interp1(x,Y,xi) y=interp1(x,Y,xi,method)
y=interp1(x,Y,xi,method,’extrap’)
n
F(x) Fili(x) i1
其中 li ( x) 定义如下:
li
(x)
x
xi x
xi
xi1
xi1 xi1
xi1
, ,
x x
[xi1, xi ](i [xi , xi1](i
0略去) 0略去)
0,
x[xi , xi1]
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分段线性插值方法在速度和误差之间取得 了比较好的均衡,其插值函数具有连续性, 但在已知数据点处的斜率一般不会改变, 因此不是光滑的。分段线性插值方法是 MATLAB一维插值默认的方法。
y=interp1(x,Y,xi,method,’pp’)
用指定方法插值,但返回结果为分段多
精选项PP式T
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百度文库
MATLAB中一维插值有多种算法,由interp1函数 中的method指定。 MATLAB中一维插值的各种算 法如表4-2所示。
表4-2 一维插值算法(method)
method
‘nearest’ ‘liner’
数据插值与拟合
在工程实践与科学实验中,常常需要从一组试验数 据之中找到自变量与因变量之间的关系,一般可 用一个近似函数表示。函数产生的办法因观测数 据的要求不同而异,数据插值与拟合是两种常用 的方法。
4.1 MATLAB中的插值函数
4.2 拉格朗日插值法
4.3 利用均差的牛顿插值法
4.4 利用差分的牛顿插值法
4.5 Hermite插值
4.6 spline三次样条插值
4.7 多项式曲线拟合
4.8 最小二乘拟合
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1
4.1 MATLAB中的插值函数
函数插值来源于函数的以下问题:只知道函 数在某区间有定义且已得到区间内一些离散 点的值,希望用简单的表达式近似给出函数 在此区间上的整体描述,并能与已知离散点 上的值相等。
由已知点集(x,Y)插值计算xi上的函数值 相当于x=1:length(Y)的interp(x,Y,xi) 用指定插值方法计算插值点xi上的函数值 对xi中超出已知点集的插值点用指定插值 方法计算函数值
y=interp1(x,Y,xi,method,’extrap’,extrapval)
用指定方法插值xi上的函数值,超出已知 点集处函数值取extrapval
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2.Spline(样条插值)
样条插值是用分段低次多项式去逼近函数。样条函 数可以给出光滑 的插值曲线,只要在插值区间端
点提供某些导数信息,样条插值可以适应不同光滑 需求。三次样条是使用最为广泛的样条插值,它在 每项个式子,区 即间[xi,xi+1]上都是有二阶连续导数的三次多
p1(x),
‘spline’ ‘pchip’ ‘cubic’
方法描述
最邻近插值:插值点处函数值取与插值点最邻近的已知点的函数值 分段线性插值:插值点处函数值由连接其最邻近的两侧点的线性函 数预测,MATLAB中interp1的默认方法 样条插值:默认为三次样条插值。可用spline函数代替 三次Hermite多项式插值。可用pchip函数代替
插值法按插值函数的形式主要分为以下几种 形式:
(1)代数多项式插值; (2)三角多项式插值; (3)有理分式插值。
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代数多项式插值是最常用的插值方式,其内容也 是最丰富的,它又可分为以下几种插值方式:
(1)非等距节点插值,包括拉格朗日插值、利用 均差的牛顿插值和埃特金插值;
(2)非等距节点插值,包括利用差分的牛顿插值 和高斯插值等;
(3)在插值中增加了导数的Hermite(埃尔米特) 插值;
(4)分段插值,包括分段线性插值、分段Hermite (埃尔米特)插值和样条函数插值;
(5)反插值。 按被插值函数的变量个数还可把插值法分为一元
插值和多元插值。
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4.1.1 一元插值函数
MATLAB中的一元插值函数为interp1( ),它的功能是一维 数据插值(表格查找)。该命令对数据点之间进行计算内 插值,它出一元函数f(x)在中间点的数值,其中函数f(x)由 所给数据决定。
p(x)
p2 (x),
pn (x),
x1 x x2 x2 x x3
xn x xn1
其中 pi (x) 都是三次多项式。
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对于给定的离散的测量数据经x,y(称为断点), 要寻找一个三次多项式y=p(x), 以逼近每对数据 (xi,yi)点间曲线。过两点(xi,yi)和(xi+1,yi+1)只能确定一 条直线,而通过一点的三次多项式曲线有无穷多条。 为使通过中间断点的三次多项式曲线具有唯一性, 要增加以下的连续条件和边界条件(因为三次多项 式有4个系数):
(1)三次多项式在点(xi,yi)处有:pi(xi)pi1(xi) ; (2)三次多项式在点(xi,yi)处有:pi(xi)pi1(xi) ; (3)三次多项式在点(xi,yi)处有:pi(xi)pi1(xi) ; (4)边界条件:f(x1)f(xn)0。
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表4-2中各种方法中:
(1)nearest方法速度最快,占用内存最小,但一般 来说误差最大,插值结果最不光滑;
同‘pchip’,三次Hermite多项式插值
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1.Linear(分段线性插值)
它值的。算在法区是间[在xi,每xi+个1]上小的区子间插[xi值,xi+多1]项上式采为用:简单的线性插
F ix xi x xii 1 1f(xi)xx i 1 xx ii f(xi 1)
由此整个区间[xi,xi+1]上的插值函数为:
(2)spline三次样条插值是所有插值方法中运行耗 时最长的,其插值函数以及插值函数的一阶、二阶 导函数都连续,因此是最光滑的插值方法,占用内 存上比cubic方法小,但当已知数据点不均匀分布时 可能出现异常结果。
(3)cubic三次多项式插值法中插值函数及其一阶导 数都是连续的,因此其插值结果也比较光滑,运算 速度比spline方法略快,但占用内存最多。在实际 的使用中,应根据实际需求和运算条件选择合适的 算法。
语法形式
说明
y=interp1(x,Y,xi) y=interp1(x,Y,xi) y=interp1(x,Y,xi,method)
y=interp1(x,Y,xi,method,’extrap’)
n
F(x) Fili(x) i1
其中 li ( x) 定义如下:
li
(x)
x
xi x
xi
xi1
xi1 xi1
xi1
, ,
x x
[xi1, xi ](i [xi , xi1](i
0略去) 0略去)
0,
x[xi , xi1]
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分段线性插值方法在速度和误差之间取得 了比较好的均衡,其插值函数具有连续性, 但在已知数据点处的斜率一般不会改变, 因此不是光滑的。分段线性插值方法是 MATLAB一维插值默认的方法。
y=interp1(x,Y,xi,method,’pp’)
用指定方法插值,但返回结果为分段多
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MATLAB中一维插值有多种算法,由interp1函数 中的method指定。 MATLAB中一维插值的各种算 法如表4-2所示。
表4-2 一维插值算法(method)
method
‘nearest’ ‘liner’
数据插值与拟合
在工程实践与科学实验中,常常需要从一组试验数 据之中找到自变量与因变量之间的关系,一般可 用一个近似函数表示。函数产生的办法因观测数 据的要求不同而异,数据插值与拟合是两种常用 的方法。
4.1 MATLAB中的插值函数
4.2 拉格朗日插值法
4.3 利用均差的牛顿插值法
4.4 利用差分的牛顿插值法
4.5 Hermite插值
4.6 spline三次样条插值
4.7 多项式曲线拟合
4.8 最小二乘拟合
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4.1 MATLAB中的插值函数
函数插值来源于函数的以下问题:只知道函 数在某区间有定义且已得到区间内一些离散 点的值,希望用简单的表达式近似给出函数 在此区间上的整体描述,并能与已知离散点 上的值相等。
由已知点集(x,Y)插值计算xi上的函数值 相当于x=1:length(Y)的interp(x,Y,xi) 用指定插值方法计算插值点xi上的函数值 对xi中超出已知点集的插值点用指定插值 方法计算函数值
y=interp1(x,Y,xi,method,’extrap’,extrapval)
用指定方法插值xi上的函数值,超出已知 点集处函数值取extrapval
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2.Spline(样条插值)
样条插值是用分段低次多项式去逼近函数。样条函 数可以给出光滑 的插值曲线,只要在插值区间端
点提供某些导数信息,样条插值可以适应不同光滑 需求。三次样条是使用最为广泛的样条插值,它在 每项个式子,区 即间[xi,xi+1]上都是有二阶连续导数的三次多
p1(x),
‘spline’ ‘pchip’ ‘cubic’
方法描述
最邻近插值:插值点处函数值取与插值点最邻近的已知点的函数值 分段线性插值:插值点处函数值由连接其最邻近的两侧点的线性函 数预测,MATLAB中interp1的默认方法 样条插值:默认为三次样条插值。可用spline函数代替 三次Hermite多项式插值。可用pchip函数代替
插值法按插值函数的形式主要分为以下几种 形式:
(1)代数多项式插值; (2)三角多项式插值; (3)有理分式插值。
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代数多项式插值是最常用的插值方式,其内容也 是最丰富的,它又可分为以下几种插值方式:
(1)非等距节点插值,包括拉格朗日插值、利用 均差的牛顿插值和埃特金插值;
(2)非等距节点插值,包括利用差分的牛顿插值 和高斯插值等;
(3)在插值中增加了导数的Hermite(埃尔米特) 插值;
(4)分段插值,包括分段线性插值、分段Hermite (埃尔米特)插值和样条函数插值;
(5)反插值。 按被插值函数的变量个数还可把插值法分为一元
插值和多元插值。
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4.1.1 一元插值函数
MATLAB中的一元插值函数为interp1( ),它的功能是一维 数据插值(表格查找)。该命令对数据点之间进行计算内 插值,它出一元函数f(x)在中间点的数值,其中函数f(x)由 所给数据决定。
p(x)
p2 (x),
pn (x),
x1 x x2 x2 x x3
xn x xn1
其中 pi (x) 都是三次多项式。
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对于给定的离散的测量数据经x,y(称为断点), 要寻找一个三次多项式y=p(x), 以逼近每对数据 (xi,yi)点间曲线。过两点(xi,yi)和(xi+1,yi+1)只能确定一 条直线,而通过一点的三次多项式曲线有无穷多条。 为使通过中间断点的三次多项式曲线具有唯一性, 要增加以下的连续条件和边界条件(因为三次多项 式有4个系数):
(1)三次多项式在点(xi,yi)处有:pi(xi)pi1(xi) ; (2)三次多项式在点(xi,yi)处有:pi(xi)pi1(xi) ; (3)三次多项式在点(xi,yi)处有:pi(xi)pi1(xi) ; (4)边界条件:f(x1)f(xn)0。
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表4-2中各种方法中:
(1)nearest方法速度最快,占用内存最小,但一般 来说误差最大,插值结果最不光滑;
同‘pchip’,三次Hermite多项式插值
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1.Linear(分段线性插值)
它值的。算在法区是间[在xi,每xi+个1]上小的区子间插[xi值,xi+多1]项上式采为用:简单的线性插
F ix xi x xii 1 1f(xi)xx i 1 xx ii f(xi 1)
由此整个区间[xi,xi+1]上的插值函数为:
(2)spline三次样条插值是所有插值方法中运行耗 时最长的,其插值函数以及插值函数的一阶、二阶 导函数都连续,因此是最光滑的插值方法,占用内 存上比cubic方法小,但当已知数据点不均匀分布时 可能出现异常结果。
(3)cubic三次多项式插值法中插值函数及其一阶导 数都是连续的,因此其插值结果也比较光滑,运算 速度比spline方法略快,但占用内存最多。在实际 的使用中,应根据实际需求和运算条件选择合适的 算法。