§2、4 卷积

1 1 1 ； （2） F ( s ) = ； （3） F ( s ) = 2 ． 2 3 s ( s + 1) s ( s + 1) ( s + 4s + 13) 2
2
解： （1） F ( s ) =
1 1 1 = 2− 2 ⇒ f (t ) = L−1[ F ( s )] = t − sin t ． 2 s ( s + 1) s s + 1
§2、4 卷积
前面我们介绍了拉氏变换的几个基本性质．本节还要介绍拉氏变换的卷积性质．它不仅被用来 求某些函数的逆变换及一些积分值，而且在线性系统的分析中起着重要的作用．
一、卷积的概念及其运算律
1、定义 设函数 f1 (t ) 与 f 2 (t ) 满足条件： 当 t < 0 时， f1 (t ) = f 2 (t ) = 0 ， 则定义 f1 (t ) 与 f 2 (t ) 的卷积为
推论：设 f k (t ) (k = 1, 2," , n) 都满足拉氏变换存在定理中的条件，且ℒ [ f k (t )] = Fk ( s )
(k = 1, 2," , n) ，则
ℒ [ f1 (t ) ∗ f 2 (t ) ∗" ∗ f n (t )] = F1 ( s ) ⋅ F2 ( s ) ⋅" ⋅ Fn ( s ) ． 例 2、求下列函数的拉氏逆变换： （1） F ( s ) =
2
另解： f (t ) = L [
−1
1 1 1 1 ⋅ 2 ] = L−1[ 2 ] ∗ L−1[ 2 ] = t ∗ sin t 2 s s +1 s s +1
t t
= sin t ∗ t = ∫ sin τ ⋅ (t − τ )dτ = ∫ (t − τ )d [− cosτ ]
0 0
= [ −(t − τ ) cosτ ]0 − ∫ cosτ dτ = t − sin τ |t0 = t − sin t ；
0 0 0
t
v
t
1
二、卷积定理： 设 f1 (t ) 和 f 2 (t ) 都满足拉氏变换存在定理中的条件，且 ℒ [ f1 (t )] = F1 ( s ) ，
ℒ [ f 2 (t )] = F2 ( s ) ，则 f1 (t ) ∗ f 2 (t ) 的拉氏变换一定存在，且 ℒ [ f1 (t ) ∗ f 2 (t )] = F1 ( s ) ⋅ F2 ( s ) ， 或 ℒ [ F1 ( s ) ⋅ F2 ( s )] = f1 (t ) ∗ f 2 (t ) ．
0
∫
t
0
f1 (τ ) f 2 (t − τ )dτ
t
0
= − ∫ f1 (t − u ) f 2 (u )du = ∫ f 2 (u ) f1 (t − u )du = f 2 (t ) ∗ f1 (t )
t
（4）之证： f1 (t ) ∗ f 2 (t ) =
∫
t
0
f1 (τ ) f 2 (t − τ )dτ ≤ ∫ f1 (τ ) f 2 (t − τ ) dτ = f1 (t ) ∗ f 2 (t ) ．
-1
证明：由性质（4）易知， f1 (t ) ∗ f 2 (t ) 满足拉氏变换存在定理的条件，故 f1 (t ) ∗ f 2 (t ) 的拉氏变换一 定存在，且 ℒ [ f1 (t ) ∗ f 2 (t )] =
+∞
0
∫
[ f1 (t ) ∗ f 2 (t )]e − st dt = ∫
+∞
0
[ ∫ f1 (τ ) f 2 (t − τ )dτ ]e − st dt
（3） F ( s ) =
1 1 3 3 = ⋅ 2 2 ( s + 4s + 13) 9 ( s + 2) + 9 ( s + 2) 2 + 9
2
⇒ f (t ) =
1 −1 3 3 1 3 3 ] = L−1[ ] ∗ L−1[ ] L [ ⋅ 2 2 2 9 ( s + 2) + 9 ( s + 2) + 9 9 ( s + 2) + 9 ( s + 2) 2 + 9
0
t
（2）之证： f1 (t ) ∗ [ f 2 (t ) ∗ f 3 (t )] =
∫
t
0
f1 (τ )[ f 2 (t − τ ) ∗ f3 (t − τ )]dτ
t t
0
= ∫ f1 (τ )[ ∫
0
t
t −τ
0
f 2 (u ) f 3 (t − τ − u )du ]dτ = ∫ f1 (τ )[ ∫ f 2 (v − τ ) f3 (t − v)dv]dτ 【令 v = τ + u 】
f1 (t ) ∗ f 2 (t ) = ∫ f1 (τ ) f 2 (t − τ )dτ ．
0
t
声明：以下所给函数都假定在 t < 0 时恒为零． 例 1 求 sin t ∗ t ． 解： sin t ∗ t =
∫
t 0
sin τ ⋅ (t − τ )dτ = ∫ (t − τ )d [− cos τ ]
1 sin(6τ − 3t ) 1 = e −2t [ − t cos 3t ] = e −2t [sin 3t − 3t cos 3t ] . 18 6 54 0
t
课后作业 习题四 1（4） ； 2； 3
3
0 t t 0
t
= [ −(t − τ ) cosτ ]0 − ∫ cosτ dτ = t − sin τ |t0 = t − sin t ．
2、运算律 （1） 交换律： f1 (t ) ∗ f 2 (t ) = f 2 (t ) ∗ f1 (t ) ； （2） 结合律： f1 (t ) ∗ [ f 2 (t ) ∗ f 3 (t )] = [ f1 (t ) ∗ f 2 (t )] ∗ f3 (t ) ； （3） 对加法的分配律： f1 (t ) ∗ [ f 2 (t ) + f 3 (t )] = f1 (t ) ∗ f 2 (t ) + f1 (t ) ∗ f 3 (t ) ； （4） 绝对值不等式： f1 (t ) ∗ f 2 (t ) ≤ f1 (t ) ∗ f 2 (t ) ． 证明 （1）之证：令 u = t − τ ，则 f1 (t ) ∗ f 2 (t ) =
τ
= ∫ [ ∫ f1 (τ ) f 2 (v − τ ) f 3 (t − v)dτ ]dv 【交换积分次序】
0 0
t
v
= ∫ [ ∫ f1 (τ ) f 2 (v − τ )dτ ] f 3 (t − v)dv = ∫ [ f1 (v) ∗ f 2 (v)] f3 (t − v)dv = [ f1 (t ) ∗ f 2 (t )] ∗ f3 (t ) ．
t t
0
（2） f (t ) = L [ ⋅
−1
1 1 1 1 2! 1 ] = L−1[ ] ∗ L−1[ ] = [1∗ (t 2 e − t )] 3 3 s ( s + 1) 2 s ( s + 1) 2
2
1 1 t t2 = [(t 2 e −t ) ∗1] = ∫ τ 2 e −τ dτ = 1 − (1 + t + )e− t ； 2 2 0 2
1 1 t = (e −2t sin 3t ) ∗ (e −2t sin 3t ) = ∫ e −2τ sin 3τ ⋅ e −2( t −τ ) sin 3(t − τ )dτ 9 9 0 t t 1 1 = e −2t ∫ sin 3τ sin 3(t − τ )dτ = e −2t ∫ [cos(6τ − 3t ) − cos 3t ]dτ 0 0 9 18
+∞
0
[ f1 (τ )e − sτ ∫
+∞
0
f 2 (u )e− su du ]dτ = ∫
[ f1 (τ )e − sτ F2 ( s )]dτ
+∞
0
f1 (τ )e − sτ dτ ⋅ F2 ( s ) = F1 ( s ) ⋅ F2 ( s ) ．
该定理表明：两个函数卷积的拉氏变换等于这两个函数拉氏变换的乘积．
0
t
=∫ =∫ =∫ =∫
+∞
0
dτ ∫
+∞
τ
f1 (τ ) f 2 (t − τ )e − st dt 【交换积分次序】
+∞
+∞
0
f1 (τ )dτ ∫
τ
f 2 (t − τ )e − st dt = ∫
+∞
0
f1 (τ )பைடு நூலகம்τ ∫
+∞
0
+∞
0
f 2 (u )e − s ( u +τ ) du 【令 u = t − τ 】