5.4 二次函数与一元二次方程
5.4 二次函数与一元二次方程导学案
.3.1二次函数与一元二次方程班级 姓名 【学习目标】1.经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，体会方程与函数之间的联系；2.理解抛物线与x 轴公共点的个数与相应的一元二次方程根的对应关系；3.会求抛物线与坐标轴的交点坐标.【课前自习】1. 根据c bx ax y ++=2的图象和性质填表：函 数图 象a开口对称轴顶 点增 减 性 cbx ax y ++=2向上当x 时，y 随x的增大而减少. 当x 时，y 随x 的增大而 .0<a当x 时，y 随x的增大而减少. 当x 时，y 随x 的增大而 .2.二次函数的顶点式是 ，其中顶点坐标是 ，对称轴是 .3.解下列一元二次方程：①0322=--x x ②0962=+-x x ③0322=+-x x4.对于任何一个一元二次方程02=++c bx ax ，我们可以通过表达式 的值判断方程的根的情况如下：当 >0时，方程有 实数根； 当 =0时，方程有 实数根； 当 <0时，方程 实数根.xyOxyOxy( , )( , )Oxy( , )xy【课堂助学】一、探索归纳：1.观察二次函数的图象，写出它们与x 轴、y 轴的交点坐标： 函数 322--=x x y962+-=x x y322+-=x x y图象交 点与x 轴交点坐标是 与x 轴交点坐标是 与x 轴 与y 轴交点坐标是 与y 轴交点坐标是 与y 轴交点坐标是2.对比《课前自习》第3题各方程的解，你发现什么？3.归纳：⑴一元二次方程02=++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数c bx ax y ++=2与x 轴交点的 .⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为21x x 、）二次函数c bx ax y ++=2与一元二次方程02=++c bx ax与x 轴有 个交点 ⇔ac b 42- 0，方程有 的实数根是 .与x 轴有 个交点 这个交点是 点⇔ac b 42- 0，方程有 的实数根是 .与x 轴有 个交点 ⇔ ac b 42- 0，方程 实数根. ⑶二次函数c bx ax y ++=2与y 轴交点坐标是 .练习.判断下列函数的图象与x 轴是否有公共点，有几个公共点，并说明理由. ⑴x x y -=2； ⑵962-+-=x x y ⑶11632++=x x y教师 评价家长 签字xyy=x -6x+9Oxyy=x -2x-3Oxyy=x -2x+3O二、典型例题：例1、已知二次函数342+-=x x y .求该抛物线的图象与坐标轴的交点坐标.归纳：⑴求抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点坐标只要令 ，转化为求对应方程 的解；若对应方程的实数根为21x x 、，则抛物线与x 轴 的交点坐标是 ，特别当21x x =时，这个交点就是抛物线的 .⑵求抛物线c bx ax y ++=2与y 轴的交点坐标只要令 ，该交点坐标是 . 这也是求任意函数的图象与坐标轴交点坐标的一般方法.【课堂检测】1.抛物线22x x y --=与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 .2.抛物线c bx ax y ++=2的图象都在x 轴的下方，则函数值y 的取值范围是 .3.抛物线c bx ax y ++=2与x 轴只有一个交点（-3，0），则它的顶点坐标是 .4. 若抛物线42++=bx x y 与x 轴只有1个交点，求b 的值.. 求抛物线822--=x x y 与x 轴的交点之间的距离.【拓展提升】利用下列平面直角坐标系求例①中抛物线342+-=x x y 与坐标轴的交点围成的 △ABC 的周长和面积.xyCBAy=x 2-4x+3抛物线上是否存在点D ，令△ABD 与△ABC 面积相等，如果有，请写出D 点坐标.【课外作业】1.判断下列函数的图象与x 轴是否有公共点，有几个公共点，并说明理由. ①252+-=x x y ②122-+-=x x y ③322-+-=x x y2.二次函数的图象与一元二次方程的根的关系如下：抛物线与x 轴有 个公共点⇔ac b 42- 0，方程有 实数根； 抛物线与x 轴有 个公共点⇔ac b 42- 0，方程有 实数根； 抛物线与x 轴有 个公共点⇔ac b 42- 0，方程 实数根. 3.抛物线c bx ax y ++=2的图象都在x 轴的上方，则函数值y 的取值范围是 . 4.若抛物线92+-=bx x y 与x 轴只有1个交点，则b = . .抛物线c bx ax y ++=2的顶点是（3，0），则它与x 轴有 个交点. 6.已知二次函数1032--=x x y .⑴求该抛物线的图象与坐标轴的交点坐标. ⑵求抛物线与x 轴的交点之间的距离.。
5.4二次函数与一元二次方程(2)
第三环节 用心想一想
你能根据函数y＝x2+2x－5的图象，探索方
程x2+2x－5=0的根的取值范围吗 ？
y 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 x
第三环节 用心想一想
你能根据函数y＝x2+2x－5的图象，探索方
程x2+2x－5=0的根的取值范围吗 ？
X Y 1.41 -0.1919 1.42 -0.1436 1.43 -0.0951 1.44 -0.0464 1.45 0.0025 1.46 0.0516
你能根据函数y＝x2+2x－5的图象，探索方
程x2+2x－5=0的根的取值范围吗 ？
表1
X Y 1.441 -0.041519 1.442 1.443 1.444 1.445 1.446
似解，一般步骤为：
课堂作业：讲学稿
课堂寄语
利用二次函数的图象求一元二次方程的近
似根，虽然对于我们现在解一元二次方程没有q
多少应用价值，但它体现了我们数学学科中的
“数形结合”这一重要的数学思想方法。也启
示我们只要善于观察和思考，就能发现事物之
间的各种联系，去探索科学的奥秘。
下课了!
你能根据函数y＝x2+2x－5的图象，探索方
程x2+2x－5=0的根的取值范围吗 ？
表1
X Y 1.1 -1.59 1.2 -1.16 1.3 -0.71 1.4 -0.24 1.5 0.25 1.6 0.76
你能根据函数y＝x2+2x－5的图象，探索方
程x2+2x－5=0的根的取值范围吗 ？
表2
初中数学 九年级(下册)
初中数学苏科版九年级下册第5章 二次函数5.4 二次函数与一元二次方程-章节测试习题(1)
章节测试题1.【答题】抛物线y=﹣x2+2x+m﹣2与y轴的交点为（0，﹣4），那么m=______．【答案】－2【分析】把点的坐标代入解析式解答即可.【解答】因为抛物线y=﹣x2+2x+m﹣2与y轴的交点为（0，﹣4），所以m﹣2=﹣4，解得m=﹣2．故答案为﹣2．2.【答题】若函数的图像与轴有公共点，则实数a的取值范围______．【答案】a≥-1【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可.【解答】因为二次函数的图像与x轴有公共点,所以,解得: a≥-1,故答案为: a≥-1.3.【答题】若函数y=mx2﹣（m﹣3）x﹣4的图象与x轴只有一个交点，则m的值为______．【答案】0、－1或－9【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可.【解答】当m=0时，原函数解析式为y=3x﹣4，令y=0，则有3x﹣4=0，解得：x=，∴此时函数y=mx2﹣(m﹣3)x﹣4的图象与x轴只有一个交点，∴m=0符合题意；当m≠0时，∵二次函数y=mx2﹣(m﹣3)x﹣4的图象与x轴只有一个交点，∴△=[﹣(m﹣3)]2﹣4×(﹣4)m=0，即m2+10m+9=0，解得：m1=﹣1，m2=﹣9．综上所述：m的值为0、﹣1或﹣9，故答案为0、﹣1或﹣9．4.【答题】抛物线y=9x2﹣px+4与x轴只有一个公共点，则p的值是______．【答案】±12【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可.【解答】解：抛物线与x轴只有一个交点，则△=b2-4ac=0，故：p2-4×9×4=0，解得p=±12．故答案为：±12．5.【答题】已知抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点A（﹣1，0），求抛物线与x轴的另一个交点坐标______．【答案】（－3，0）【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可.【解答】解：由抛物线y=ax2+4ax+t知，该抛物线的对称轴是x=-=-2．∵该抛物线与x轴的两交点一定关于对称轴对称，∴另一个交点为（-3，0）．故答案是：（-3，0）．6.【答题】若抛物线与轴有两个公共点，则的取值范围是______．【答案】m＞－1【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可.【解答】∵与轴相交两点，∴，∴．7.【答题】如果二次函数的顶点在x轴上，那么m =______．【答案】17【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可. 二次函数的顶点在x轴上，说明二次函数的图象与x轴只有一个交点.【解答】解：二次函数的顶点在x轴上，解得：故答案为：8.【答题】一次函数y=x+1与二次函数y=x2﹣x+2的图象有______个交点．【答案】1【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可.【解答】由消去可得得方程：，解得，∴一次函数y=x+1与二次函数y=x2﹣x+2的图象有1个交点．故答案为：1.9.【答题】若抛物线y=mx2+mx-2与x轴只有一个交点，则m= ______ ．【答案】－8【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可.【解答】解：抛物线y=mx2+mx-2与x轴只有一个交点，则：解得：或二次项系数故故答案为：10.【答题】抛物线与轴的公共点的个数是______.【答案】2【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可.【解答】∵抛物线解析式为：y=x2−x−1，∴a=1，b=−1，c=−1，∴△=b2−4ac=(−1)2−4×1×(−1)=1+4=5>0，∴抛物线与x轴有两个交点，故答案为：2.11.【答题】已知抛物线y=x2−2x+2-a与x轴有两个不同的交点,则直线y=ax+a不经过第______ 象限。
5.4二次函数与一元二次方程复习-苏科版九年级数学下册巩固训练
5.4二次函数与一元二次方程-苏科版九年级数学下册专题巩固训练一、选择题1、下面的表格列出了函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的部分x与y的对应值，那么方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x的取值范围是( )x … 6.17 6.18 6.19 6.20…y …－0.03－0.010.020.04…A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.202、已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞2 C．a＜2且a≠1 D．a＜﹣23、若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是()A．b＜1且b≠0 B．b＞1 C．0＜b＜1 D．b＜14、王芳将如图所示的三条水平直线m1，m2，m3中的一条记为x轴(向右为正方向)，三条竖直直线m4，m5，m6中的一条记为y轴(向上为正方向)，并在此坐标平面内画出了抛物线y＝ax2－6ax－3，则她所选择的x轴和y轴分别为()A．m1，m4B．m2，m5C．m3，m6D．m4，m55、某同学在利用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y，如下表所示：x …0 1 2 3 4 …y …﹣3 0 ﹣1 0 3 …接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（）A．B．C．D．6、已知二次函数y＝x2－x＋14m－1的图像与x轴有交点，则m的取值范围是()A．m≤5 B．m≥2 C．m<5 D．m>27、若抛物线y=（x﹣2m）2+3m﹣1（m是常数）与直线y=x+1有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，则m的取值范围是（）A．m＜2 B．m＞2 C．m D．m8、若二次函数y＝2x2＋mx＋8的图像如图所示，则m的值是()B．8 C．±8 D．69、如图，已知二次函数y=13x2+23x−1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC，点P是抛物线上的一个动点，记△APC的面积为S，当S=2时，相应的点P的个数是（）A．4 个B．3个C．2个D．1个10、已知二次函数y ＝－x 2＋x ＋6及一次函数y ＝－x ＋m ，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数图象(如图)，当直线y ＝－x ＋m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围是( )A ．－254<m<3B ．－254<m<2 C ．－2＜m ＜3 D ．－6＜m ＜－2 二、填空题11、抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴的交点坐标是________ 和________ ，一元二次方程x 2＋2x －3＝0的两根是____________ ，故抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴交点的________ 就是一元二次方程x 2＋2x －3＝0的两个根．12、抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过点A （﹣4，0），B （3，0）两点，则关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的解是13、已知函数y ＝－2x 2＋4x ＋b 的部分图像如图所示，2x 2＋4x ＋b ＝0的解为______________．＝ax 2＋c 与直线y ＝mx ＋n 交于A (－1，p )，B (3，q )两点，则不等式ax 2－mx ＋c ＞n 的解集是________．15，二次函数y ＝2x 2－6x ＋m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是________．16、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象如图所示，则ax 2＋bx ＋c ＞0时，x 的取值范围是_________________，ax 2＋bx ＋c ＜－1时，x 的取值范围是______________.17、若关于x 的函数y=（a+2）x 2﹣（2a ﹣1）x+a ﹣2的图象与坐标轴有两个交点，则a 的值为_____18、在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋mx －34m 2(m ＞0)与x 轴交于A ，B 两点．若A ，B 两点到原点的距离分别为OA ，OB ，且满足1OB －1OA ＝23，则m 的值等于________． 三、解答题19、如图，抛物线y ＝－x 2＋3x ＋4与x 轴交于A ，B 两点．(1)求线段AB 的长；(2)已知点C(m ，m ＋1)在第一象限的抛物线上，求△ABC 的面积S.20、如图，二次函数y ＝(x －2)2＋m 的图像与y 轴交于点C ，B 是点C 关于该二次函数图像的对称轴对称的点．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图像经过该二次函数图像上的点A(1，0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的表达式；(2)根据图像，写出满足kx ＋b ≥(x －2)2＋m 的x 的取值范围．211＝ax 2－4ax －5(a ＞0)．(1)当a ＝1时，求抛物线与x 轴的交点坐标及对称轴．(2)①试说明无论a 为何值，抛物线C 1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；②将抛物线C 1沿这两个定点所在的直线翻折，得到抛物线C 2，直接写出C 2的表达式．(3)若(2)中抛物线C 2的顶点到x 轴的距离为2，求a 的值．22、对于某一函数给出如下定义：对于任意实数m ，当自变量x m ≥时，函数y 关于x 的函数图象为1G ，将1G 沿直线x m =翻折后得到的函数图象为2G ，函数G 的图象由1G 和2G 两部分共同组成，则函数G为原函数的“对折函数”，如函数y x =(2x ≥)的对折函数为(2)4(2)x x y x x ≥⎧=⎨-+<⎩. (1)求函数2(1)4y x =--(1x ≥-)的对折函数；(2)若点(,5)P m 在函数2(1)4y x =--(1x ≥-)的对折函数的图象上，求m 的值；(3)当函数2(1)4y x =--(x n ≥)的对折函数与x 轴有不同的交点个数时，直接写出n 的取值范围.23、已知：如图，抛物线y ＝ax 2＋3ax ＋c(a ＞0)与y 轴负半轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧，点B 的坐标为(1，0)，OC ＝3OB.(1)求抛物线的解析式．(2)若D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值．(3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上．是否存在以A ，C ，E ，P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5.4二次函数与一元二次方程 -苏科版九年级数学下册 专题巩固训练（答案）一、选择题 1、下面的表格列出了函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，且a ≠0)的部分x 与y 的对应值，那么方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根x 的取值范围是( C )x … 6.17 6.18 6.19 6.20 …y … －0.03 －0.01 0.02 0.04 …A ．6＜x ＜6.17B ．6.17＜x ＜6.18C ．6.18＜x ＜6.19D ．6.19＜x ＜6.20 2、已知二次函数y ＝（a ﹣1）x 2﹣2x +1的图象与x 轴有两个交点，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜2B ．a ＞2C ．a ＜2且a ≠1D ．a ＜﹣2【分析】根据抛物线与x 轴的交点问题得到△＝22﹣4（a ﹣1）＞0，a ﹣1≠0，然后解不等式即可．【解答】解：由题意得：，解得：．故选：C ．3、若函数y ＝x 2－2x ＋b 的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是( )A ．b ＜1且b ≠0B ．b ＞1C ．0＜b ＜1D ．b ＜1 【答案】A 【解析】 ∵函数y ＝x 2－2x ＋b 的图象与坐标轴有三个交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2－4b >0，b ≠0，解得b ＜1且b ≠0.4、王芳将如图所示的三条水平直线m 1，m 2，m 3中的一条记为x 轴(向右为正方向)，三条竖直直线m 4，m 5，m 6中的一条记为y 轴(向上为正方向)，并在此坐标平面内画出了抛物线y ＝ax 2－6ax －3，则她所选择的x 轴和y 轴分别为( )A ．m 1，mB ．m ，m 5C ．m 3，m 6D ．m 4，m 5【答案】A [解析] ∵y ＝ax －6ax －3＝a (x －3)2－3－9a ，∴抛物线的对称轴为直线x ＝3，∴王芳选择的y 轴为直线m 4.∵抛物线y ＝ax 2－6ax －3与y 轴的交点为(0，－3)，∴抛物线与y 轴的交点在x 轴的下方，∴王芳选择的x 轴为直线m 1.5、某同学在利用描点法画二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）的图象时，先取自变量x 的一些值，计算出相应的函数值y ，如下表所示：x … 0 1 2 3 4 …y … ﹣3 0 ﹣1 0 3 …接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（ A ）A ．B ．C ．D ．6、已知二次函数y ＝x 2－x ＋14m －1的图像与x 轴有交点，则m 的取值范围是( ) A ．m ≤5 B ．m ≥2 C ．m <5 D ．m >2[解析] ∵二次函数的图像与x 轴有交点，∴b 2－4ac ＝(－1)2－4×⎝⎛⎭⎫14m －1≥0，解得m ≤5.故选A.7、若抛物线y=（x ﹣2m ）2+3m ﹣1（m 是常数）与直线y=x+1有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，则m 的取值范围是（ A ）A ．m ＜2B ．m ＞2C ．mD ．m8、若二次函数y ＝2x 2＋mx ＋8的图像如图所示，则m 的值是( )A ．－8B ．8C ．±8D ．6[解析] 由图可知，抛物线与x 轴只有一个交点，∴b 2－4ac ＝m 2－4×2×8＝0，解得m ＝±8.又∵对称轴为直线x ＝－m 2×2<0，∴m >0，∴m 的值为8.故选B.9、如图，已知二次函数y=13x 2+ 23x −1的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，点P 是抛物线上的一个动点，记△APC 的面积为S ，当S=2时，相应的点P 的个数是（ C ）A ．4 个B ．3个C ．2个D ．1个10、已知二次函数y ＝－x 2＋x ＋6及一次函数y ＝－x ＋m ，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数图象(如图)，当直线y ＝－x ＋m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围是( )A ．－254<m<3B ．－254<m<2C ．－2＜m ＜3D ．－6＜m ＜－2【答案】D 【解析】 如图，当y ＝0时，－x 2＋x ＋6＝0，解得x 1＝－2，x 2＝3，则A (－2，0)，B (3，0)．将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方的部分图象的解析式为y ＝(x ＋2)(x －3)，即y ＝x 2－x －6(－2≤x ≤3)．当直线y ＝－x ＋m 经过点A (－2，0)时，2＋m ＝0，解得m ＝－2；当直线y ＝－x ＋m 与抛物线y ＝x 2－x －6有唯一公共点时，方程x 2－x －6＝－x ＋m 有两个相等的实数根，解得m ＝－6.所以当直线y ＝－x ＋m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围为－6＜m ＜－2.二、填空题11、抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴的交点坐标是________ 和________ ，一元二次方程x 2＋2x －3＝0的两根是____________ ，故抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴交点的________ 就是一元二次方程x 2＋2x －3＝0的两个根．答案：(－3，0) (1，0) x 1＝－3，x 2＝1 横坐标12、抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过点A （﹣4，0），B （3，0）两点，则关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的解是 ﹣4或3．13、已知函数y ＝－2x 2＋4x ＋b 的部分图像如图所示，2x 2＋4x ＋b ＝0的解为______________．[x ＝1，∵图像与x 轴的一个交点坐标为(3，0)，∴图像与x 轴的另一个交点坐标为(－1，0)，∴关于x 的一元二次方程－2x 2＋4x ＋b ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝3.14、如图，抛物线y ＝ax 2＋c 与直线y ＝mx ＋n 交于A (－1，p )，B (3，q )两点，则不等式ax 2－mx ＋c ＞n 的解集是___x ＜－1或x ＞3 _____．15，二次函数y ＝2x 2－6x ＋m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是________．[解析] ∵二次函数y ＝2x 2－6x ＋m 的函数值总是正值，a ＝2＞0，∴函数图像与x 轴无交点，即b 2－4ac ＜0，∴36－8m ＜0，解得m ＞92. 16、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象如图所示，则ax 2＋bx ＋c ＞0时，x 的取值范围是_________________，ax 2＋bx ＋c ＜－1时，x 的取值范围是______________.答案：x ＞3或x ＜－1，0＜x ＜217、若关于x 的函数y=（a+2）x 2﹣（2a ﹣1）x+a ﹣2的图象与坐标轴有两个交点，则a 的值为_﹣2，2或174 ____18、在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋mx －34m 2(m ＞0)与x 轴交于A ，B 两点．若A ，B 两点到原点的距离分别为OA ，OB ，且满足1OB －1OA ＝23，则m 的值等于________． [解析] 设方程x 2＋mx －34m 2＝0的两根分别为x 1，x 2，且x 1＜x 2，则x 1＋x 2＝－m ＜0，x 1x 2＝－34m 2＜0， 所以x 1＜0，x 2＞0，由1OB －1OA ＝23，可知OA ＞OB ，又m ＞0，x 1＋x 2<0， 所以抛物线的对称轴在y 轴的左侧，于是OA ＝|x 1|＝－x 1，OB ＝x 2，所以1x 1＋1x 2＝23，即x 1＋x 2x 1x 2＝23，故－m －34m 2＝23，解得m ＝2.三、解答题19、如图，抛物线y ＝－x 2＋3x ＋4与x 轴交于A ，B 两点．(1)求线段AB 的长；(2)已知点C(m ，m ＋1)在第一象限的抛物线上，求△ABC 的面积S.4，∴当y ＝0时，－x 2＋3x ＋4＝0，解得x 1＝－1，x 2＝4，∴A (－1，0)，B (4，0)，∴AB ＝5.(2)∵点C (m ，m ＋1)在第一象限的抛物线上，∴m ＋1＝－m 2＋3m ＋4，且m >0，解得m ＝3，∴C (3，4)．过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则CH ＝4，∴S ＝12AB ·CH ＝12×5×4＝10.20、如图，二次函数y ＝(x －2)2＋m 的图像与y 轴交于点C ，B 是点C 关于该二次函数图像的对称轴对称的点．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图像经过该二次函数图像上的点A(1，0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的表达式；(2)根据图像，写出满足kx ＋b ≥(x －2)2＋m 的x 的取值范围．0)的坐标代入y ＝(x －2)2＋m ，得(1－2)2＋m ＝0，解得m ＝－1，∴二次函数的表达式为y ＝(x －2)2－1.当x ＝0时，y ＝4－1＝3，故点C 的坐标为(0，3)．由于点C 和点B 关于抛物线的对称轴对称，∴点B 的坐标为(4，3)．将A (1，0)，B (4，3)分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧k ＋b ＝0，4k ＋b ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝－1， 则一次函数的表达式为y ＝x －1.(2)∵点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(4，3)，∴当kx ＋b ≥(x －2)2＋m 时，1≤x ≤4.21、已知抛物线C 1：y ＝ax 2－4ax －5(a ＞0)．(1)当a ＝1时，求抛物线与x 轴的交点坐标及对称轴．(2)①试说明无论a 为何值，抛物线C 1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；②将抛物线C 1沿这两个定点所在的直线翻折，得到抛物线C 2，直接写出C 2的表达式．(3)若(2)中抛物线C 2的顶点到x 轴的距离为2，求a 的值．解：(1)当a ＝1时，抛物线的表达式为y ＝x 2－4x －5＝(x －2)2－9.令y ＝0，可得(x －2)2－9＝0，解得x 1＝－1，x 2＝5，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(－1，0)，(5，0)，对称轴为直线x ＝2.(2)①y ＝ax 2－4ax －5＝(x 2－4x )a －5，当x 2－4x ＝0，即x 1＝0，x 2＝4时，原抛物线无论a 为何值一定过点(0，－5)和(4，－5)两个定点． ②将抛物线翻折后过点(0，－5)和(4，－5)，开口大小与原来抛物线的开口大小相同，开口方向与原来抛物线的开口方向相反，∴设C 2的表达式为y ＝－ax 2＋bx ＋c .将(0，－5)和(4，－5)代入，得b ＝4a ，c ＝－5，∴抛物线C 2的表达式为y ＝－ax 2＋4ax －5.(3)抛物线C 2的表达式y ＝－ax 2＋4ax －5可化为y ＝－a (x －2)2＋4a －5，∴顶点的纵坐标为4a －5，∴|4a －5|＝2， 解得a ＝74或a ＝34.22、对于某一函数给出如下定义：对于任意实数m ，当自变量x m ≥时，函数y 关于x 的函数图象为1G ，将1G 沿直线x m =翻折后得到的函数图象为2G ，函数G 的图象由1G 和2G 两部分共同组成，则函数G 为原函数的“对折函数”，如函数y x =(2x ≥)的对折函数为(2)4(2)x x y x x ≥⎧=⎨-+<⎩. (1)求函数2(1)4y x =--(1x ≥-)的对折函数；(2)若点(,5)P m 在函数2(1)4y x =--(1x ≥-)的对折函数的图象上，求m 的值； (3)当函数2(1)4y x =--(x n ≥)的对折函数与x 轴有不同的交点个数时，直接写出n 的取值范围.(1)22(1)4(1)(3)4(1)x x y x x ⎧--≥-=⎨+-<-⎩； (2)4m =或-6； (3)n<-1时，与x 轴有4个交点，n=-1时，与x 轴有3个交点；13n -<<与x 轴有2个交点；n=3时，与x 轴有1个交点；n>3时，与x 轴无交点.23、已知：如图，抛物线y ＝ax 2＋3ax ＋c(a ＞0)与y 轴负半轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧，点B 的坐标为(1，0)，OC ＝3OB.(1)求抛物线的解析式．(2)若D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值．(3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上．是否存在以A ，C ，E ，P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵点B 的坐标为(1＝3OB ，点C 在y 轴的负半轴上，∴C (0，－3)．∵抛物线y ＝ax 2＋3ax ＋c 经过点B ，C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3＝c ，0＝a ＋3a ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，c ＝－3，∴y ＝34x 2＋94x －3. (2)∵y ＝34x 2＋94x －3， 令y ＝0，则34x 2＋94x －3＝0，解得x 1＝－4，x 2＝1，∴A (－4，0)． 设D (m ，34m 2＋94m －3)，其中－4＜m ＜0， 连接OD ， 则S 四边形ABCD ＝S △AOD ＋S △OCD ＋S △BOC ＝12×4×(－34m 2－94m ＋3)＋12×3×(－m )＋12×3×1＝－32m 2－6m ＋152＝－32(m ＋2)2＋272， ∴当m ＝－2时，S 四边形ABCD 有最大值，最大值为272. (3)存在．如图所示，①过点C 作CP 1∥x 轴交抛物线于点P 1，过点P 1作P 1E 1∥AC 交x 轴于点E 1，此时四边形ACP 1E 1为平行四边形．∵C (0，－3)，∴可设P 1(x ，－3)， ∴34x 2＋94x －3＝－3， 解得x 1＝0，x 2＝－3，∴P 1(－3，－3)；②平移直线AC 交x 轴于点E ，交x 轴上方的抛物线于点P ，当AC ＝PE 时，四边形ACEP 为平行四边形．∵C (0，－3)，∴可设P (x ′，3)， ∴34x ′2＋94x ′－3＝3，即x ′2＋3x ′－8＝0， 解得x ′＝－3＋412或x ′＝－3－412， 此时存在点P 2(－3＋412，3)和P 3(－3－412，3)符合题意． 综上所述，点P 的坐标为(－3，－3)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋412，3或⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－412，3.。
5.4二次函数与一元二次方程讲学稿(2)
课题： 5.4 二次函数与一元二次方程讲学稿（2）班级姓名教学过程第一环节复习回顾1 、若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是。
2、判断函数 y＝x2+2x－5与x轴的交点情况是（）A 两个交点B 一个交点C 没有交点D 不能确定3、已知函数y=x2+4x-5求：⑴此函数图象与x轴和y轴的交点坐标；⑵此函数对称轴﹑顶点坐标﹑并说出函数的增减性；⑶思考：根据函数图象直接写出不等式 x2+4x-5 > 0 的解集.第二环节仔细观察、大胆联想问题：函数y = ax2 +bx +c的图象如下图所示，根据图象给出的信息你能得到些什么结论？第三环节新课学习、用心想一想你能根据函数y＝x2+2x－5的图象，探索方程x2+2x－5=0的根的取值范围吗？第四环节大胆尝试、练一练利用二次函数y＝x2+2x－5的图象，探索方程x2+2x－5=0的另一根的近似值（精确到0.1）第五环节归纳提高利用二次函数的图象求相应一元二次方程的近似解，一般步骤为：小结：这节课我学会了课堂作业1、练一练，利用二次函数的图象，探索方程x2+x－3=0的根的取值范围解：⑴列表如下：(2)在平面直角坐标系中描点，连线，画图象（3）观察图象，估算方程的近似解（精确到0.1）.A 、4＜x＜5B 、5＜x＜6C 、6＜x＜7D 、5＜x＜73、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如下图所示，下列说法错误的是（ ）A 、图象关于直线x=1对称B 、函数ax 2+bx+c （a≠0）的最小值是﹣4C 、﹣1和3是方程ax 2+bx+c （a≠0）的两个根 D 、当x ＜1时，y 随x 的增大而增大4、利用图象法解不等式0342<+-x x 解：先画出函数342+-=x x y 的图象家庭作业1、下列一元二次方程中，必有一根在相邻自然数3与4之间的是（ ）A 、x 2－2x ＋1＝0 B 、x 2－3x ＋1＝0 C 、x 2－4x ＋1＝0D 、x 2－5x ＋1＝02判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）一个解x 的范围是（ ） A 、3＜x ＜3.23B 、3.23＜x ＜3.24C 、3.24＜x ＜3.25D 、3.25＜x ＜3.26 3、★关于方程x 2－2007x ＋1＝0，下列说法错误的是（ ）A 、必有一根满足0＜x 1＜1B 、必有一根满足2006＜x 2＜2007C 、必有一根满足1003＜x 1＜1004D 、两根均满足0＜x ＜2007（第4题） 4、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标（―1，―3.2）及部分图象如上图，由图象可知关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别是x 1＝1.3和x 2＝__________。
5.4 二次函数与一元二次方程(2)
益林初中数学集体备课教案主备人 学 科 数 学 主备时间 集体备课时间执教人执教时间执教班级教 时课 题5.4 二次函数与一元二次方程（2）教 学 目 标 1．能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根，进一步发展估算能力； 2．经历用图像法求一元二次方程的近似根的过程，进一步体会数形结合思想；3．通过利用二次函数的图像估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图像与x 轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力． 教 学 重 点 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系；2．能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根．教 具 教 法一次备课集体备课 情境创设回忆：函数322--=x x y 的图像如图1所示，你 能看出方程0322=--x x 的解吗？创设：函数122--=x x y 的图像如图2所示，你能看出方程0122=--x x 的解吗？探究活动从图像上来看，二次函数122--=x x y 的图像与x 轴交点的横坐标一个在－1与0之间，另一个在2与3之间，所以方程0122=--x x 的两个根一个在－1与0之间，另一个在2与3之间．这只是大概范围，究竟接近于哪一个数呢？请大家讨论解决．如右边表格所示，当我们算到－0.5时，还需要算吗？为什么？因为从图像的走势来看，继续往左取自变量的值，所得的函数值将越来越大，所以我们可以判定这个图1图2根一定在－0.4与－0.5之间，那会是多少呢？我们在取值时能不能较快地找到接近它的近似值呢？我们可以取它们中间的值，再看它们的正负情况，它们的根一定在函数值的正负交替之间，这样我们就能较快缩小它的范围了．比如：再进一步取值：则x≈－0.4以此类推，我们还可以进一步缩小这个根的取值范围．你能用同样的方法求方程的另一个根吗？试试看！再进一步取值：以此类推，我们还可以进一步缩小这个根的取值范围．（注：以上二分法的相关内容根据情况适当选用）拓展延伸利用二次函数的图像求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根．现在我们应该利用什么函数图像求方程x2＋2x－10＝3的根呢？函数y ＝x 2＋2x －13的图像如右图所示：由图可知，图像与x 轴的两个交点的横坐标中，一个在－5与－4之间，一个在2与3之间，因此两个根分别为负4点几和2点几，下面用计算器进行探索．x －4.5－4.6－4.7－4.8 －4.9 y－1.75 －1.04 －0.310.441.21因此x ＝－4.7是方程的一个近似根．另一个根可以类似地求出：x 2.52.62.72.8 2.9 y－1.75 －1.04 －0.310.441.21因此x ＝2.7是方程的另一个近似根．以此类推，我们还可以进一步缩小这个根的取值范围． 练习巩固（1）利用二次函数522-+=x x y 的图像，借助计算器探索方程0522=-+x x 根的近似值（精确到0.01）；（2）补充习题． 作业布置1．（必做题）课本P28习题第3题；2．（选做题）思考（2014年江苏南京改编）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：x … 0 1 2 3 … y…50.1－0.20.1…（1）当y ＜5时，x 的取值范围是 ； （2）方程的两个根（ ）A ．－1和0，0和1之间．B ．0和1，1和2之间．C ．1和2，2和3之间．D ．2和3，3和4之间．【教学反思】。
一元二次方程与二次函数知识点总结归纳
（3）公式法
、
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
；
2.一元二次方程有四个特点：
(1)含有一个未知数；
(2)且未知数次数最高次数是2；
(3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0）
一元二次方程 的求根公式：
（4）因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
根的判别式：一元二次方程 中， 叫做一元二次方程 的根的判别式，通常用“ ”来表示，即
如果方程 的两个实数根是 ，那么 ， 。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.
2.二次函数 的性质
（1）抛物线 的顶点是坐标原点，对称轴是 轴.
（2）函数 的图像与 的符号关系.
|
①当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；
②当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 .
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程二次函数和一元二次方程是高中数学中重要的概念，它们在数学和实际应用中都具有广泛的应用。
本文将介绍二次函数和一元二次方程的定义、性质以及它们之间的关系。
一、二次函数的定义和性质二次函数是指形如 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数（a ≠ 0），x 是自变量，y 是因变量。
二次函数的图像是一个抛物线，开口方向取决于二次项系数 a 的正负。
二次函数的主要性质包括：1. 零点：即函数图像与 x 轴的交点。
二次函数的零点可以通过求解一元二次方程得到。
2. 对称轴：二次函数图像的对称轴是一个垂直于 x 轴的直线，它通过抛物线的顶点。
3. 最值点：当二次项系数 a > 0 时，抛物线开口朝上，顶点为最小值点；当 a < 0 时，抛物线开口朝下，顶点为最大值点。
4. 单调性：当二次项系数 a > 0 时，二次函数在对称轴两侧递增；当 a < 0 时，二次函数在对称轴两侧递减。
二、一元二次方程的定义和解法一元二次方程是指形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是已知系数，x 是未知数。
解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法和求根公式法。
1. 因式分解法：当一元二次方程可以因式分解为 (px + q)(rx + s) = 0 时，其中 p、q、r、s 是已知系数，x 是未知数。
根据因式零乘法，方程的解为 x = -q/p或 x = -s/r。
2. 配方法：当一元二次方程无法直接因式分解时，可以使用配方法将方程转化为完全平方形式，进而求解方程。
配方法的步骤包括：将一元二次方程写成 a(x + b)^2 + c = 0 的形式，其中 a、b、c 是已知系数，x 是未知数。
通过配方、整理和解方程的步骤，可以求得方程的解。
3. 求根公式法：对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是已知系数，x是未知数。
苏科版九年级下册：5.4《二次函数与一元二次方程》同步练习 含答案
5.4《二次函数与一元二次方程》同步练习一．选择题1．若函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（）A．b＜1且b≠0B．b＞1C．0＜b＜1D．b＜12．若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x 的方程x2+bx＝5的解为（）A．x1＝0，x2＝4B．x1＝1，x2＝5C．x1＝1，x2＝﹣5D．x1＝﹣1，x2＝5 3．已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根；③a﹣b+c≥0；④的最小值为3．其中，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．下表是满足二次函数y＝ax2+bx+c的五组数据，x1是方程ax2+bx+c＝0的一个解，则下列选项中正确的是（）x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4y﹣0.80﹣0.54﹣0.200.220.72A．1.6＜x1＜1.8B．1.8＜x1＜2.0C．2.0＜x1＜2.2D．2.2＜x1＜2.4 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下：x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6y﹣1.59﹣1.16﹣0.71﹣0.240.250.76则一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解x满足条件（）A．1.2＜x＜1.3B．1.3＜x＜1.4C．1.4＜x＜1.5D．1.5＜x＜1.6 6．根据关于x的一元二次方程x2+px+q＝0，可列表如下：则方程x2+px+q＝0的正数解满足（）x00.51 1.1 1.2 1.3x2+px+q﹣15﹣8.75﹣2﹣0.590.84 2.29A．解的整数部分是0，十分位是5B．解的整数部分是0，十分位是8C．解的整数部分是1，十分位是1D．解的整数部分是1，十分位是27．二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx ﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞﹣5B．﹣5＜t＜3C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤48．在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M＝N﹣1或M＝N+1B．M＝N﹣1或M＝N+2C．M＝N或M＝N+1D．M＝N或M＝N﹣19．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t ＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t≥﹣1B．﹣1≤t＜3C．﹣1≤t＜8D．3＜t＜810．如图，一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，5）、B（9，2）两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为（）A．﹣1≤x≤9B．﹣1≤x＜9C．﹣1＜x≤9D．x≤﹣1或x≥9 11．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题12．若关于x的函数y＝kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为．13．已知关于x的函数y＝（m﹣1）x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点，则m＝．14．关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是．15．根据下列表格中y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是．x 6.17 6.18 6.19 6.20y＝ax2+bx+c﹣0.03﹣0.010.020.0416．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是．17．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，且b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x ＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4．其中正确结论的个数是．18．如图，双曲线y＝与抛物线y＝ax2+bx+c交于点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由图象可得不等式组0＜+bx+c的解集为．三．解答题19．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2＝0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y＝kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；（3）已知抛物线y＝kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．20．设二次函数y＝ax2+bx﹣（a+b）（a，b是常数，a≠0）．（1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．（2）若该二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．（3）若a+b＜0，点P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0．21．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A （﹣1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．22．我们可以通过下列步骤估计方程x2﹣2x﹣2＝0方程的根所在的范围．第一步：画出函数y＝x2﹣2x﹣2＝0的图象，发现函数图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标在0，﹣1之间．第二步：因为当x＝0时，y＝﹣2＜0，当x＝﹣1时，y＝1＞0，所以可确定方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根x1所在的范围是﹣1＜x1＜0第三步：通过取0和﹣1的平均数缩小x1所在的范围：取x＝，因为当x＝时，y＜0．又因为当x＝﹣1时，y＞0，所以（1）请仿照第二步，通过运算验证方程x2﹣2x﹣2＝0的另一个根x2所在的范围是2＜x2＜3．（2）在2＜x2＜3的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在的范围缩小至a＜x2＜b，使得．参考答案一．选择题1．解：∵函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，如果b＝0，那么此二次函数与两坐标轴的其中一个交点重合了，那么就只有2个交点，则于题意不符，∴，解得b＜1且b≠0．故选：A．2．解：∵对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，∴﹣＝2，解得：b＝﹣4，∴关于x的方程为x2﹣4x＝5，解得x1＝﹣1，x2＝5，故选：D．3．解：∵b＞a＞0∴﹣＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴最多有一个交点，∴b2﹣4ac≤0，∴关于x的方程ax2+bx+c+2＝0中，△＝b2﹣4a（c+2）＝b2﹣4ac﹣8a＜0，所以②正确；∵a＞0及抛物线与x轴最多有一个交点，∴x取任何值时，y≥0∴当x＝﹣1时，a﹣b+c≥0；所以③正确；当x＝﹣2时，4a﹣2b+c≥0，a+b+c≥3b﹣3a，a+b+c≥3（b﹣a），≥3所以④正确．故选：D．4．解：如图由图象可以看出二次函数y＝ax2+bx+c在区间（2.0，2.2）上可能与x轴有交点，即2.0＜x1＜2.2．∴故选C．5．解：由表可以看出，当x取1.4与1.5之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为1.4＜x＜1.5．故选：C．6．解：根据表中函数的增减性，可以确定函数值是0时，x应该是大于1.1而小于1.2．所以解的整数部分是1，十分位是1．故选：C．7．解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx与直线y ＝t的交点的横坐标，由题意可知：m＝4，当x＝1时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣5，由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，直线y＝t在直线y＝﹣5和直线y＝4之间包括直线y＝4，∴﹣5＜t≤4．故选：D．8．解：∵y＝（x+a）（x+b），a≠b，∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，∴M＝2，∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；综上可知，M＝N或M＝N+1．故选：C．另一解法：∵a≠b，∴抛物线y＝（x+a）（x+b）与x轴有两个交点，∴M＝2，又∵函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，而y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，它至多是一个二次函数，至多与x轴有两个交点，∴N≤2，∴N≤M，∴不可能有M＝N﹣1，故排除A、B、D，故选：C．9．解：对称轴为直线x＝﹣＝1，解得b＝﹣2，所以二次函数解析式为y＝x2﹣2x，y＝（x﹣1）2﹣1，x＝1时，y＝﹣1，x＝4时，y＝16﹣2×4＝8，∵x2+bx﹣t＝0的解相当于y＝x2+bx与直线y＝t的交点的横坐标，∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解．故选：C．10．解：由图形可以看出：抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y1＝kx+n（k≠0）的交点的横坐标分别为﹣1，9，当y1≥y2时，x的取值范围正好在两交点之内，即﹣1≤x≤9．故选：A．11．解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b+c＝2a﹣2a+c＝c＞0，所以①正确；∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，∴当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以②正确；∵x＝1时，二次函数有最大值，∴ax2+bx+c≤a+b+c，∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，而b＝﹣2a，∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确．故选：A．二．填空题12．解：令y＝0，则kx2+2x﹣1＝0．∵关于x的函数y＝kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，∴关于x的方程kx2+2x﹣1＝0只有一个根．①当k＝0时，2x﹣1＝0，即x＝，∴原方程只有一个根，∴k＝0符合题意；②当k≠0时，△＝4+4k＝0，解得，k＝﹣1．综上所述，k＝0或﹣1．故答案为：0或﹣1．13．解：（1）当m﹣1＝0时，m＝1，函数为一次函数，解析式为y＝2x+1，与x轴交点坐标为（﹣，0）；与y轴交点坐标（0，1）．符合题意．（2）当m﹣1≠0时，m≠1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与x 轴有两个不同的交点，于是△＝4﹣4（m﹣1）m＞0，解得，（m﹣）2＜，解得m＜或m＞．将（0，0）代入解析式得，m＝0，符合题意．（3）函数为二次函数时，还有一种情况是：与x轴只有一个交点，与y轴交于交于另一点，这时：△＝4﹣4（m﹣1）m＝0，解得：m＝．故答案为：1或0或．14．解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等的实数根∴△＝（﹣3）2﹣4×a×（﹣1）＞0，解得：a＞设f（x）＝ax2﹣3x﹣1，如图，∵实数根都在﹣1和0之间，∴﹣1，∴a，且有f（﹣1）＜0，f（0）＜0，即f（﹣1）＝a×（﹣1）2﹣3×（﹣1）﹣1＜0，f（0）＝﹣1＜0，解得：a＜﹣2，∴＜a＜﹣2，故答案为：＜a＜﹣2．15．解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．故答案为：6.18＜x＜6.19．16．解：观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞4时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的上方，∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜﹣1或x＞4．故答案为：x＜﹣1或x＞4．17．解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；故答案是：418．解：由图可知，x2＜x＜x3时，0＜＜ax2+bx+c，所以，不等式组0＜＜ax2+bx+c的解集是x2＜x＜x3．故答案为：x2＜x＜x3．三．解答题19．（1）证明：①当k＝0时，方程为x+2＝0，所以x＝﹣2，方程有实数根，②当k≠0时，∵△＝（2k+1）2﹣4k×2＝（2k﹣1）2≥0，即△≥0，∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）解：令y＝0，则kx2+（2k+1）x+2＝0，解关于x的一元二次方程，得x1＝﹣2，x2＝﹣，∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，∴k＝1．∴该抛物线解析式为y＝x2+3x+2，由图象得到：当y1＞y2时，a＞1或a＜﹣4．（3）依题意得kx2+（2k+1）x+2﹣y＝0恒成立，即k（x2+2x）+x﹣y+2＝0恒成立，则，解得或．所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．20．解：（1）设y＝0∴0＝ax2+bx﹣（a+b）∵△＝b2﹣4•a[﹣（a+b）]＝b2+4ab+4a2＝（2a+b）2≥0∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根．∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个（2）当x＝1时，y＝a+b﹣（a+b）＝0∴抛物线不经过点C把点A（﹣1，4），B（0，﹣1）分别代入得解得∴抛物线解析式为y＝3x2﹣2x﹣1（3）当x＝2时m＝4a+2b﹣（a+b）＝3a+b＞0①∵a+b＜0∴﹣a﹣b＞0②①②相加得：2a＞0∴a＞021．解：（1）∵抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），∴0＝1+m，∴m＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣1＝x2+4x+3，∴点C坐标（0，3），∵对称轴x＝﹣2，B、C关于对称轴对称，∴点B坐标（﹣4，3），∵y＝kx+b经过点A、B，∴，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣x﹣1，（2）由图象可知，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围为x≤﹣4或x≥﹣1．22．解：（1）因为当x＝2时，y＝﹣2＜0，当x＝3时，y＝1＞0，所以可确定方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根x2所在的范围是2＜x2＜3；（2）取x＝＝2.5，因为当x＝2.5时，y＜0．又因为当x＝3时，y＞0，所以2.5＜x2＜3，取x＝＝2.75，因为当x＝2.75时，y＞0．又因为当x＝2.5时，y＜0，所以2.5＜x2＜2.75，因为2.75﹣2.5＝．取x＝＝2.625，因为当x＝2.625时，y＜0．又因为当x＝2.75时，y＞0，所以2.625＜x2＜2.75，因为2.75﹣2.625＝＜，所以2.625＜x2＜2.75即为所求x2的范围。
二次函数与一元二次方程
∴函数与x轴没有交点
.
11
例题精讲 2. 判断下列二次函数与x轴的交点情况 （1）y＝x2－1； （2）y＝－2x2＋3x－9； （3）y＝ x2－4x＋4 ； （4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数，
a≠0） 解：（3） ∵ b2－4ac＝42 －4× 1×4 ＝0
∴函数与x轴有一个交点
（2）b2－4ac＝0 点
（3）b2－4ac＜0
函数与x轴有两个交 函数与x轴有一个交 函数与x轴没有交点
.
9
例题精讲 2. 判断下列二次函数图象与x轴的交点情况 （1）y＝x2－1； （2）y＝－2x2＋3x－9； （3）y＝x2－4x＋4； （4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数，a≠0） 解：（1）∵ b2－4ac＝02 －4×1×（ －1） ＞0
.
12
例题精讲
2. 判断下列二次函数与x轴的交点情况 （1）y＝x2－1； （2）y＝－2x2＋3x－9； （3）y＝ x2－4x＋4 ； （4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数，
a≠0） 解：（4） ∵ b2－4ac＝（a＋b）2 －4× （ －a ）×（ －b）
＝（ a － b）2 ≥0
例如，二次函数y＝x2－2x－3和一次函数y＝x ＋2有交点吗？有几个？
分析：两个函数的交点是这两个函数的公共解， 先列出方程组，消去y后，再利用判别式判断即可.
.
15
例题精讲
3.二次函数y＝x2－x－3和一次函数y＝x＋b 有一个公共点（即相切），求出b的值.
解：由题意，得
y＝x2－x－3
y＝x＋b
结论一：
若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(1)
(2)
练习:已知抛物线 y=x2-3x-4 (1)求抛物线与x轴,y轴的交点坐标. (2)求抛物线与x轴两交点之间的距离. (3)当x为何值 时,y﹥0.y=0.y﹤0.
交流总结
同学们， 通过这节课的学习，你收获了什么？
例题精讲
1. 求二次函数y＝x2＋4x－5图像与x轴的交点坐标 解：令y＝0 则x2＋4x－5 ＝0 解之得，x1＝ －5 ,x2 ＝ 1 ∴交点坐标为：（－5，0）（1，0） 结论一： 若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是
探究三、抛物线y=ax2+bx+c与y轴 的交点情况?
对于抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点可令 x=0则y=c. 结论3:抛物线y=ax2+bx+c与y轴只有一个交 点为(0,c).
探究四 二次函数与x轴的交点个数可以借助判别式解 决，那么二次函数与一次函数的交点个数又该怎么 解决呢？ 例如，二次函数y＝x2－2x－3和一次函数y＝x ＋2有交点吗？有几个？ 分析：两个函数的交点是这两个函数的公共解， 先列出方程组，消去y后，再利用判别式判断即可.
y o x1 x2 x x1 o y 结论4: x2 x 图(1) 当x﹤x1或x﹥x2时,y﹥0. 当x=x1或x=x2时y=0. 当x1﹤x﹤x2时,y﹤0. 图(2) 当x1﹤x﹤x2时,y﹥0 当x=x1或x=x2时y=0. 当x﹤x1或x﹥x2时,y﹤0.
2 y ax bx c 探究五:如果
例题精讲 2. 判断下列二次函数与x轴的交点情况 （1）y＝x2－1； （2）y＝－2x2＋3x－9； （3）y＝ x2－4x＋4 ； （4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数， a≠0） 解：（2） ∵ b2－4ac＝32 －4× （－ 2）×（ －9） ＜ 0 ∴函数与x轴没有交点
例题精讲 2. 判断下列二次函数与x轴的交点情况 （1）y＝x2－1； （2）y＝－2x2＋3x－9； （3）y＝ x2－4x＋4 ； （4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数， a≠0） 解：（3） ∵ b2－4ac＝42 －4× 1×4 ＝0
0
思考：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元 一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？ 一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐 标就是一元一次方程kx＋b＝0的根
动手操作：画出y＝x2－2x－3的图象
y
y＝x2－2x－3
x
探究一：你的图象与x轴的交点坐标是什么？
函数y＝x2－2x－3的图象与x轴两个交点为 （－1，0）（3，0） 方程x2－2x－3 ＝0的两根是 x1＝ －1 ,x2 ＝ 3 你发现了什么？ （1）二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐 标就是当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的 根 （2）二次函数的交点问题可以转化为一元二次方 程去解决
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
结论： 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，
（1）b2－4ac＞0 点 （2）b2－4ac＝0 点 （3）b2－4ac＜0 函数与x轴有两个交 函数与x轴有一个交
函数与x轴没有交点
例题精讲 2. 判断下列二次函数图象与x轴的交点情况 （1）y＝x2－1； （2）y＝－2x2＋3x－9； （3）y＝x2－4x＋4； （4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数，a≠0） 解：（1）∵ b2－4ac＝02 －4×1×（ －1） ＞0 ∴函数与x轴有两个交点
X2， A（ X1，0 ）， B（
）
0
练习： 求函数图像与x轴的交点坐标是 什么？试试看！
y＝－x2＋6x－9 y＝2x2＋3x-5
探究二：二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程的解有关系吗？
b2-4ac＞0
b2-4ac=0
b2-4ac＜0
与x轴的公共点个数
2个
1个 2个等根
0个
0个
一元二次方 程根的个数
初中数学 九年级(下册)
5.4 二次函数与一元二次方 程
温故知新
（1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为 －2 －2 （ ， ） 一元一次方程x＋2＝0的根为________ 0 （2）2 一次函数 y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为 2 （ ， ） 一元一次方程－3x＋6＝0的根为________
∴函数与x轴有一个交点
例题精讲 2. 判断下列二次函数与x轴的交点情况 （1）y＝x2－1； （2）y＝－2x2＋3x－9； （3）y＝ x2－4x＋4 ； （4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数， a≠0） 解：（4） ∵ b2－4ac＝（a＋b）2 －4× （ －a ）×（ －b） ＝（ a － b）2 ≥0 ∴函数与x轴x－3和一次函数y＝x＋b 有一个公共点（即相切），求出b的值. 解：由题意，得
y＝x2－x－3 y＝x＋b
消元，得 x2－x－3 ＝x＋b 整理，得x2－2x －（3 ＋ b） ＝0 ∵有唯一交点 ∴（－2）2 ＋4（ 3 ＋ b） ＝0 解之得，b ＝－4
(a≠0)的图象与x轴的交点 坐标为(x1,0),(x2,0),你能否讨论当x为何值 时,y﹥0.y=0.y﹤0呢?
2个不等根
结论2： 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由
1、b2-4ac＞0 一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根 抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点 2、 b2-4ac =0 一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根 抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点 3、 b2-4ac ＜0 一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根 抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点