mathematica教程7

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第七讲 中值定理与导数应用
(一)运用Mathematica 讨论微分中值定理
f[x_]:=Log[Sin[x]];(#Rolle 中值定理#);
Plot[{f[x],f'[x]},{x,Pi/6,5Pi/6},PlotStyle {RGBColor[1,0,1],Thickness[0.01]}];　
Clear[a,b,f];(*Lagrange 中值定理*);
f[x_]:=Sin[x];
a=0;b=5Pi/6;k=(f[b]-f[a])/(b-a);
th1=FindRoot[f'[]k,{,.4}];
Plot[{f[x],(f[]+k*(x -))/.th1,f[a]+k*(x -a)},{x,a,b},PlotStyle {{RGBColor[1,0,1],Thickness
　[0.01]},{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.02]},{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.01]}}];
(二)运用Mathematica 讨论泰勒公式
1.幂级数展开:Series[f[x],{x,x0,n}]
Series[Exp[x],{x,0,4}]
Series[Sin[x],{x,1,3}]
Series[f[x],{x,0,3}]
Series[Exp[x]/x^2,{x,0,2}]
a=Series[Exp[Sqrt[x]],{x,0,2}]
(#把幂级数转换为一般表达式#);Normal[a ]
Series[Exp[1/x],{x,0,2}]
Clear[f,g,x];
f[x_]:=Sin[x];
g[x_]:=Series[f[x],{x,0,6}];
g=Normal[g[x]];
Plot[{f[x],g},{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle {RGBColor[1,0,1],Thickness[0.01]}];　
2.幂级数的分项图形
f[x_]:=Sin[x];n=9;x0=1;
　(#求各阶导数
d=Table[D[f[x],{x,i}]/.{x x0},{i,1,n}];
#);ftu={Plot[f[x0],{x,-2Pi,2Pi},DisplayFunction Identity,PlotStyle{RGBColor[1,0,1],Thic kness[0.01]}]};(#画水平直线#);
　-i/n],Thic Do[ftu=Append[ftu,Plot[d[[i]](x-x0)^i/i!,{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle{RGBColor[i/n,1,1
　(#作图形表
kness[0.01]},DisplayFunction Identity]],{i,1,n,2}];
　[0,0, #);ztu=Plot[{f[x],f[x0]+Sum[d[[j]](x-x0)^j/j!,{j,1,n}]},{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle{RGBColor
　(#综合作图#);
0],{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.015]}},DisplayFunction Identity];
Show[{ftu,ztu},PlotRange{
　-3,3},DisplayFunction$DisplayFunction];
Clear[f,g,x,i];
f[x_]:=Sin[x];
For[i=1 ,i<11,i=i+2,g=Normal[Series[f[x],{x,0,i}]];
Plot[{f[x],g},{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle{RGBColor[1,0,1],Thickness[0.01]}]];
f[x_]:=Sin[x];n=17;x0=0;
d=Table[D[f[x],{x,i}]/.{x x0},{i,1,n}];
ztu=Table[Plot[{f[x],f[x0]+Sum[d[[j]](x-x0)^j/j!,{j,1,i}]},{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle{RGBColor[
0,0,0],{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.01]}},DisplayFunction Identity],{i,1,n,2}];
　-3,3},DisplayFunction$DisplayFunction],{i,1,n/2}];
Do[Show[{ztu[[i]]},PlotRange{
3.幂级数的运算
Series[Exp[x],{x,0,4}]
x^2+Series[Exp[x],{x,0,4}]
a=Sin[x]+Series[Exp[x],{x,0,4}]
D[a,x]
Integrate[a,x]
(三)函数单调性和凹凸性
Clear[f,x];
f[x_]:=2x^3-9x^2+12x-3;
　-1,3},{-5,5}},PlotStyle{{RGBColor[1,0,0],Thick
Plot[{f[x],f'[x],f''[x]},{x,-1,3},PlotRange{{
ness[0.01]},{RGBColor[0,1,0],Thickness[0.01]},{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.01]}}];
a=Solve[f'[x]0,x];b=Solve[f''[x]0,x];
f[x]/.a[[1]]
f[x]/.a[[2]]
f[x]/.b[[1]]
2 1。