《第24章+圆》2010年五三中学整章测试(A)1

《第24章圆》2010年五三中学整章测试（A）
15、如图，在同心圆⊙O中，AB是大圆的直径，AC是大圆的弦，AC与小圆相切于点D，若小圆的半径为3cm，则BC=6cm．
考点：切线的性质。

分析：连接OD，因为D点小圆的切线，故OD⊥AC；根据垂径定理可证D点为AC的中点，又O点为AB的中点，所以OD为△ABC的中位线；又因为OD=3，根据中位线定理，可知BC=2OD=6cm．
解答：解：连接OD，
根据题意，D点为小圆的切点，
故OD⊥AC，
在大圆中，有D点为AC的中点．
所以OD为△ABC的中线，
且OD=3cm，
故BC=2OD=6cm．
点评：本题考查了切线和垂径定理以及三角形中位线定理在圆中的综合运用．
16、如图，⊙O1与⊙O2相交与点A B，且O1A是⊙O2的切线，O2A是⊙O1的切线，A是切点，若⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和4cm，则公共弦AB的长为错误！未找到引用源。

cm．
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考点：相交两圆的性质。

分析：连接O1O2交AB于C，由题可知∠O1AO2=90°，然后利用勾股定理求解．
解答：解：连接O1O2交AB于C
∵O1A是⊙O2的切线，O2A是⊙O1的切线，
∴∠O1AO2=90°，
∴O1O2=错误！未找到引用源。

=5，
∴AC=3×4÷5=2.4，
∴AB=2AC=4.8．
点评：此题综合运用了相交两圆的性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．
二、解答题（共12小题，满分60分）
17、如图已知A、B两点，
求作（1）经过A、B两点的圆⊙O；（要求写作法）
（2）Rt△ABC，使得Rt△ABC内接于⊙O．
考点：三角形的外接圆与外心。

专题：作图题。

分析：使以O为圆心的圆经过A、B、C三点，即作直角三角形的外接圆，圆心是Rt△ABC斜边的中点．
解答：解：作法如下：
以AB的中点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆．
点评：此题主要考查了如何确定直角三角形外接圆的圆心：直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点．
18、（2002•扬州）如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24cm，CD=8cm．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径．
考点：确定圆的条件。

专题：作图题。

分析：（1）、由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心；
（2）、在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半径OA的长．
解答：解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．
（2）连接OA，设OA=x，AD=12cm，OD=（x﹣8）cm，
则根据勾股定理列方程：
x2=122+（x﹣8）2，
解得：x=13．
答：圆的半径为13cm．
点评：本题利用了垂径定理，中垂线的性质，勾股定理求解．
22、如图所示，⊙O的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD．
考点：垂径定理；勾股定理。

分析：根据AE=6cm，EB=2cm，可求出圆的半径=4，从点O向CD作垂线，交点为F则OF=2，再根据勾股定理求CF 的长，从而求出CD的长．
解答：解：∵AE=6cm，EB=2cm，
∴OA=（6+2）÷2=4，
∴OE=4﹣2=2，
过点O作OF⊥CD于F，
∵∠CEA=30°，
∴OF=1，
连接OC，
根据勾股定理可得CD=2CF=2错误！未找到引用源。

=2错误！未找到引用源。

=2错误！未找到引用源。

cm．
点评：本题的关键是作OF⊥CD于F，先求OE，再求OF，最后用勾股定理求CD．
23、如图，⊙O的半径是5，P是⊙O外一点，PO=8，∠OPA=30°，求AB和PB的长．
考点：垂径定理；切割线定理。

分析：延长PO交⊙O于点C，过点O作OE⊥AB于E，∠OPA=30°，PO=8，可得OE=4；在Rt△OBE中，OB为半径，可以得出BE的长度，即可得到AB；再根据割线定理，有PD•PC=PB•PA，即可得出PB．
解答：解：延长PO交AB=6，⊙O与点C，过点O作OE⊥AB于E
根据题意，∠OPA=30°，且PO=8，在Rt△OPE中，
OE=错误！未找到引用源。

OP=4；
在Rt△OBE中，OB=5，OE=4，
所以BE=3，即AB=2BE=6；
又PD•PC=PB•PA，
即PD•PC=PB•（PB+AB），
即得PB=错误！未找到引用源。

．
即AB=6；
PB=错误！未找到引用源。

．
点评：本题综合考查了垂径定理和割线定理在圆中的应用．
24、如图，在⊙O中，∠B=50°，∠C=20°，求∠BOC的大小．
考点：圆周角定理。

分析：欲求∠BOC的度数，只需求出∠BAC即可，连接OA，即△OAB和△OAC均为等腰三角形，且∠B和∠C已知，即得∠BAC=∠B+∠C．
解答：解：连接OA，
∴∠BAO=∠B=50°，
∠CAO=∠C=20°
∴∠BAC=70°，
∴∠BOC=2∠BAC=140°．
点评：考查了圆周角和圆心角之间的关系，要求熟练运用．
25、已知：如图，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足是D．
求证：AC平分∠DAB．
考点：切线的性质。

专题：证明题。

分析：连接OC，易得OC∥AD，根据平行线的性质就可以得到∠DAC=∠ACO，再根据OA=OC得到∠ACO=∠CAO，就可以证出结论．
解答：解：连接OC，
∵直线l与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD；
又∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO；
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB．
点评：本题主要考查了切线长定理，常用辅助线是连接过切点的半径，利用切线的性质解决问题．
26、如图，AB是⊙O的直径，直线PQ过⊙O上的点C，PQ是⊙O的切线．求证：∠BCP=∠A．
考点：切线的性质。

专题：证明题。

分析：连接OC，满足切线的性质定理．再根据直径所对的边是直角就可以证出结论．
解答：证明：连接OC．
∵PQ是⊙O的切线，
∴∠OCP=∠OCB+∠BCP=90°．
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB∠B+∠BCP=90°．
∵AB是圆的直径，
∴∠B+∠A=90°，
∴∠BCP=∠A．
点评：本题主要考查了圆的切线的性质定理，以及圆的直径所对的圆周角是直角．
28、（2001•福州）不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．
（1）如图，在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；
（2）请你观察（1）中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论（不再标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程）；
（3）请你选择（1）中的一个图形，证明（2）所得出的结论．
考点：垂径定理。

专题：作图题；证明题。

分析：（1）考查你的画图能力和思维能力，这里要渗透发散思维，要分情况而论；
（2）利用平行线的性质即可找出EC=FD；
（3）利用垂径定理即可证明．
解答：解：（1）如下图所示．
（2）EC=FD或ED=FC．
证明：①EC=FD．
根据垂径定理，CH=DH，
根据中位线定理，EH=FH，
所以EH﹣CH=FH﹣DH，
故EC=DF．
②ED=FC．
因为ED=EF+DF，
FC=EF+EC，
由①可得，
EC=DF，
所以ED=FC．
（3）以①图为例来证明．
过O作OH⊥l于H，
∵AE⊥l，BF⊥l，
∴AE∥OH∥BF，
又∵OA=OB，
∴EH=HF，再由垂径定理可得CH=DH，
∴EH﹣CH=FH﹣DH，
即EC=FD．
以②图为例来证明．
过O作OH⊥l于H，
∵AE⊥l，BF⊥l，
∴AE∥OH∥BF，
又∵OA=OB，
∴EH=HF，再由垂径定理可得CH=DH，
∴EH﹣CH=FH﹣DH，
即EC=FD．
点评：本题综合考查了学生的几何知识，做几何题画图是关键，所以学生一定要养成画图的习惯．
参与本试卷答题和审题的老师有：
mmll852；心若在；gsls；张鑫扬；lanchong；HLing；bjf；kuaile；CJX；zhehe；ww461284285；mengcl；zjy；zhangCF；dddccc；开心；星期八；算术；zhjh；caicl；Liuzhx；73zzx；ln_86。

（排名不分先后）
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2011年10月22日。