基本初等函数(Ⅰ)知识点
高中数学第三章基本初等函数(ⅰ)3.1.1实数指数幂及其运算bb高一数学
第二十六页，共四十三页。
计算：
(1)(－1．8)0＋32－2·3
3382－
1＋ 0.01
93；
(2)14－12·0.1（－2·4（aba－31b）－33）12(a＞0，b＞0)．
12/10/2021
第二十七页，共四十三页。
解：(1)原式＝1＋232·28732－10＋923 ＝1＋232·322－10＋27＝29－10＝19． (2)原式＝412·0．12·23·a32·a32·b－b32 －32
12/10/2021
第三十一页，共四十三页。
条件求值问题的解法 (1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的 式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系， 可考虑使用整体代换法． (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完 全平方公式及其变形公式．
12/10/2021
4 （－3）4×2． A．0 个 C．2 个
B．1 个 D．3 个
12/10/2021
第十三页，共四十三页。
解析：选 A．3 6a3＝3 6·a≠2a；3 －2<0，而6 （－2）2>0； －34 2<0，而4 （－3）4×2>0．
12/10/2021
第十四页，共四十三页。
3．把根式 a a化成分数指数幂是( )
12/10/2021
第二十一页，共四十三页。
2．把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示 为根式的形式：
3
(1)(a－b)－4(a＞b)；(2)
5
（ab）2；(3)
3
（x－1）5；
(4) 1 ；(5)(a－b)37． 3 a2
12/10/2021
基本初等函数(必修1)知识点与练习
第二章 基本初等函数知识点1.指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于 ．0的负分数指数幂②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn a a m n N a -+==>∈且1)n >．（3）分数指数幂的运算性质2指数函数及其性质3对数与对数运算（1）对数的定义.①若(0,1)xaN a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N的对数，作 ，其中a 叫做 ，N 叫做 ．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x ax N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法： ②减法： ③数乘： ④log a Na N =⑤loglog (0,)bn a a n M M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a=>≠且 4对数函数及其性质（5）反函数的性质 ①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于 对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．AB C5幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象，性质6〖补充知识〗二次函数图像及性质第二章 基本初等函数练习题log 1a ------= log a a ------= 12log 2------= 32log 2-------= 3log 27-------= 2log 52------=221log log 612------+= lg 25lg 4------+=2ln e -------=1. 函数y =的定义域是 （ ）A ．[1,)+∞B ．2(,)3+∞C ．2[,1]3D ．2(,1]32．函数log (32)2a y x =-+的图象必过定点 ( )A ．(1,2)B ．(2,2)C ．(2,3)D ．2(,2)33．已知幂函数()y f x =的图象过点，则(4)f 的值为 （ ）A ．1B ． 2C ．12D ．84. 已知f (x )=(m -1)x 2-2mx +3是偶函数，则在(-∞, 3)内此函数 （ ） A.是增函数 B.不是单调函数 C.是减函数 D.不能确定5. 下列图形表示具有奇偶性的函数可能是 （ ）6(2)log (5)x y x -=-的定义域是 （ ） A ．(3,4) B ．(2,5) C ．(2,3)(3,5) D ．(,2)(5,)-∞+∞7. 若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(1,0)-和(0,1)，则 （ ）A ．2,2a b == B．2a b = C ．2,1a b == D．a b ==8. 函数22log (1)y x x =+≥的值域为 （ ）A 、()2,+∞B 、(),2-∞C 、[)2,+∞D 、[)3,+∞9. 若21025x=，则10x -等于 （ ）A 、15B 、15-C 、150D 、162510. 与函数()2xf x =的图像关于直线y x =对称的曲线C 对应的函数为()g x ，则1()2g 的值为 （ ）AB ．1；C ．12； D ．1-11. 已知13x x -+=，则22x x -+值为 （ ）A 5B 6 C. 7 D. 812. 三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为 （ ）A. 60.70.70.7log 66<<B. 60.70.70.76log 6<< C ．0.760.7log 660.7<<D. 60.70.7log 60.76<<13. 在统一平面直角坐标系中，函数ax x f =)(与x a x g =)(的图像可能是 （ ）14. 已知偶函数f (x )在区间(－∞，0]上为增函数，下列不等式一定成立的是( )A ．f (－3)>f (2) B ．f (－π)>f (3)C ．f (1)>f (a 2＋2a ＋3)D ．f (a 2＋2)>f (a 2＋1)15. 函数log a y x =，log b y x =，log c y x =，log d y x =的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小顺序是 ( )．A ．1＜d ＜c ＜a ＜bB ．c ＜d ＜1＜a ＜bC ．c ＜d ＜1＜b ＜aD ．d ＜c ＜1＜a ＜b二、填空题16，已知函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧，≤ ，，＞，020log 3x x x x 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛91f f 的值为___ __17，不论a 为何正实数,函数12x y a +=-的图象一定通过一定点,则该定点的坐标是_____ 18，函数log (1)a y x =-恒过 点19．计算：459log 27log 8log 625⨯⨯= ．20．若函数()log (01)f x ax a =<<在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍，a = ．21，已知函数f (x )＝a －121+x ，若f (x )为奇函数，则a ＝___ _____三、解答题22. 计算（1）4160.253216(24()849-+-⨯．（2）125552log 2log log 34e ++21log32-⨯23，函数()(0,1)x f x a a a =>≠在区间[1,2]上的最大值比最小值大2a，求a 的值为25， 设函数421()log 1x x f x x x -⎧<=⎨≥⎩．（Ⅰ）求方程1()4f x =的解． （Ⅱ）求不等式()2f x ≤的解集．26．解不等式2121()x x a a--> (01)a a >≠且．27.设集合2{|log (2)2}S x x =+≤，集合1{|()1,2}2xT y y x ==-≥-求S T ，S T ．。
专题0 基本初等函数(Ⅰ)(知识梳理)
专题02基本初等函数(知识梳理)第一节 指数与指数函数1．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂： am n＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．②负分数指数幂： a －m n＝1am n＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q)； ②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q)； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q)． 2．指数函数的图象与性质R1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.[谨记通法]指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 考点二 指数函数的图象及应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2018·嘉兴能力测试)若函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，则( )A ．a >1，b >1B ．a >1,0<b <1C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1,0<b <1解析：选D 由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1，又函数f (x )＝a x －b 的图象是在y ＝a x 的基础上向下平移b 个单位长度得到的，所以0<b <1.2．已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．解析：①当0<a <1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象，如图a.若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －2|(0<a <1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，所以0<a <23.②当a >1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象，如图b ，若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －2|(a >1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，此时无解．所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23. 答案：⎝⎛⎭⎫0，23[由题悟法]指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．[即时应用]1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )解析：选A 将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2若函数y ＝|3x －1|在(－∞，k ]上单调递减，求k 的取值范围．解：函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k 的取值范围是(－∞，0]． 考点三 指数函数的性质及应用题点多变型考点——多角探明[锁定考向]高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题． 常见的命题角度有： (1)比较指数式的大小；(2)简单指数方程或不等式的应用； (3)探究指数型函数的性质．[通法在握]应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略题型 求解策略比较幂值的大小(1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小解简单指数不等式先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致[提醒]在研究指数型函数的单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．第二节对数与对数函数1．对数概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，log a N 叫做对数式性质对数式与指数式的互化：a x＝N⇔x＝log a N log a1＝0，log a a＝1，a log a N＝N运算法则log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0，且a≠1，M>0，N>0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)换底公式换底公式：log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)2.对数函数的图象与性质y＝log a x a>10<a<1图象性质定义域为(0，＋∞)值域为R过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在区间(0，＋∞)上是增函数在区间(0，＋∞)上是减函数3．反函数指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．1．在运算性质log a Mα＝αlog a M中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为log a Mα＝αlog a|M|(α∈N*，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．[谨记通法]对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；(2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．如“题组练透”第1题易错．考点二对数函数的图象及应用重点保分型考点——师生共研[典例引领](2018·杭州模拟)设f(x)＝|ln(x＋1)|，已知f(a)＝f(b)(a<b)，则()A．a＋b>0B．a＋b>1C．2a＋b>0 D．2a＋b>1解析：选A 作出函数f (x )＝|ln(x ＋1)|的图象如图所示，由f (a )＝f (b )，得－ln(a ＋1)＝ln(b ＋1)，即ab ＋a ＋b ＝0.所以0＝ab ＋a ＋b <a ＋b 24＋a ＋b ，即(a ＋b )(a ＋b ＋4)>0，显然－1<a <0，b >0，∴a ＋b ＋4>0.∴a ＋b >0.故选A.[由题悟法]应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[即时应用]1．函数f (x )＝ln|x －1|的图象大致是( )解析：选B 当x >1时，f (x )＝ln(x －1)，又f (x )的图象关于x ＝1对称，故选B.2．(2018·温州适应性训练)若x 1满足2x ＋2x ＝5，x 2满足2x ＋2log 2(x －1)＝5，则x 1＋x 2＝( ) A.52 B ．3 C.72D ．4解析：选C 2x ＝5－2x,2log 2(x －1)＝5－2x ，即2x －1＝52－x ，log 2(x －1)＝52－x ，作出y ＝2x －1，y ＝52－x ，y ＝log 2(x －1)的图象(如图)． 由图知y ＝2x－1与y ＝log 2(x －1)的图象关于y ＝x －1对称，它们与y ＝52－x 的交点A ，B 的中点为y ＝52－x 与y ＝x －1的交点C ，x C ＝x 1＋x 22＝74，∴x 1＋x 2＝72，故选C.[通法在握]1．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤2．比较对数值大小的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．第三节幂函数1．五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0)减，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．[小题纠偏]1．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是________． 答案：⎝⎛⎭⎫120，＋∞ 2．给出下列命题： ①函数y ＝2x 是幂函数；②如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点； ③当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数； ④二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[m ，n ]的最值一定是4ac －b 24a. 其中正确的是________(填序号)． 答案：②考点一 幂函数的图象与性质基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )解析：选C 令f (x )＝x α，则4α＝2， ∴α＝12，∴f (x )＝x 12.2．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋1为偶函数，则m ＝( ) A ．1 B ．2 C ．1或2D ．3解析：选A ∵幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋1为偶函数，∴m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，幂函数f (x )＝x 2为偶函数，满足条件．当m ＝2时，幂函数f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件．故选A.3．若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________． 解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.答案：⎣⎡⎭⎫－1，23 [谨记通法]幂函数的指数与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)若幂函数y ＝x α(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0. 考点二 求二次函数的解析式重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．解：法一：(利用二次函数的一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用二次函数的顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n .∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋－12＝12. ∴m ＝12，又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：(利用两根式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值y max＝8，即4a－2a－1－a24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍去)，故所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.[由题悟法]求二次函数解析式的方法[通法在握]1．二次函数最值问题的3种类型及解题思路(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)思路：抓“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．2．由不等式恒成立求参数取值范围的2大思路及1个关键(1)思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)关键：两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否可分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.。
高中数学知识点总结(第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节 函数及其表示)
第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示一、基础知识1．函数与映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一 函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln1－x x ＋1＋1x的定义域是( ) A ．[－1,0)∪(0,1) B ．[－1,0)∪(0,1] C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0， 得－1<x <－12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1．使函数解析式有意义的一般准则(1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [题组训练] 1.函数f (x )＝1lnx ＋1＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2] C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln x ＋1≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是________________．解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，所以若g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，所以0≤x ≤2 018，且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}． 答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )． [解] (1)法一：待定系数法因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法二：换元法令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法三：配凑法因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．(2)解方程组法由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，② ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R)．[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________.解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．答案：12x 2＋12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)． 答案：lg2x －1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f x ＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f x ＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x (x ≠0)考点三 分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，①f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[解析] 法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0， ∴x <0，故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2x －1，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f x －1，x >1，则f (f (3))＝________.解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2， ∴f (f (3))＝f (2)＝2. 答案：23．(2017·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，故－14<x ≤0.②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a－7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0； 若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1. 答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f 2x ＋1log 2x ＋1的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]， 得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]， ∴要使函数f 2x ＋1log 2x ＋1有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1. 所以该函数的定义域为(0,1]．答案：(0,1]10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg 1－x ，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________. 解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg 1－x ，x <0，－2x ，x ≥0，∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2. 答案：－211．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0. 依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3.答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1，x ≤0，－x －12，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________． 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，－x －12≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故所求x 的取值范围是[－4,2]．答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0. (2)函数f (x )的图象如图所示．。
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点1.函数的定义：函数是一种特殊的关系，它将一个或多个输入数值映射到唯一的输出数值。
函数通常用f(x)来表示，其中x是输入变量，f(x)是输出变量。
函数可以用图形、符号或表格来表示。
2.定义域和值域：函数的定义域是所有可输入的数值的集合，而函数的值域是所有可能的输出数值的集合。
定义域可写作D(f)，值域可写作R(f)。
3.线性函数：线性函数是一种具有常数斜率的函数。
它的形式为f(x) = mx + b，其中m是斜率，b是截距。
线性函数的图形是一条直线。
4.幂函数：幂函数是一种形如f(x) = ax^b的函数，其中a和b是常数。
幂函数的图形通常是一条平滑的曲线。
当b为正偶数时，曲线在x轴的正半轴都是上升的；当b为负偶数时，曲线在x轴的正半轴是下降的。
5.指数函数：指数函数是以常数e为底的函数，它的形式为f(x)=a^x，其中a是指数底数。
指数函数的图形为一条逐渐增长（或逐渐减小）的曲线。
6.对数函数：对数函数是指以常数a为底的对数函数，它的形式为f(x) =log_a(x)，其中a为底数，x为函数的输入值。
对数函数是指数函数的反函数，即f(x) = a^x的反函数。
7.三角函数：三角函数是有关三角形角度与边长之间的关系的函数。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
三角函数的图形是周期性的曲线，周期为2π。
8.反函数：反函数是指满足f(f^(-1)(x))=x和f^(-1)(f(x))=x的函数对。
反函数可以通过交换函数的输入和输出得到。
9.复合函数：复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入的函数关系。
复合函数可以表示为f(g(x))，其中g(x)是一个函数，f(x)是另一个函数。
10.奇偶函数：奇函数是满足f(-x)=-f(x)的函数，而偶函数是满足f(-x)=f(x)的函数。
奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y轴对称。
这些是基本初等函数的一些常见知识点，掌握了这些知识点可以帮助你理解函数的基本概念、性质和图像，为进一步学习更高级的数学知识打下坚实的基础。
必修①第二章 基本初等函数(Ⅰ)
第11讲 §2.1.1 指数与指数幂的运算¤学习目标：理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算.¤知识要点：1. 若n x a =，则x 叫做a 的n次方根，记为n >1，且n N *∈. n 次方根具有如下性质：（1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零.（2）n 次方根（*1,n n N >∈且）有如下恒等式：na =；,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数；a ≥0）.2.规定正数的分数指数幂：m na =（0,,,1a m n N n *>∈>且）；1m nmnaa -==.¤例题精讲：【例1】求下列各式的值：（1）（*1,n n N >∈且）； （2）. 解：（1）当n为奇数时，3π=-； 当n为偶数时，|3|3ππ=-=-.（2）||x y =-.当x y ≥时，x y =-；当x y <时，y x =-.【例2】已知21na =，求33n n nn aaa a --++的值.解：332222()(1)1111n n nnnnnnnnnnaaa a aaaaa aa a------++-+==-+=-+=++.【例3】化简：（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷-； （2）（a ＞0，b ＞0）； （3解：（1）原式=211115326236[2(6)(3)]44abab a +-+-⨯-÷-==.（2）原式=1312322123[()](/)a b ab ab b a ⋅⋅=1136322733a b a ba b ⋅=104632733a ba b =a b.（3）原式==22111144336444(33)(3)(3)33=⨯=⨯=⨯=.点评：根式化分数指数幂时，切记不能混淆，注意将根指数化为分母，幂指数化为分子，根号的嵌套，化为幂的幂. 正确转化和运用幂的运算性质，是复杂根式化简的关键.【例4】化简与求值： （1）+（2）++⋅⋅⋅+解：（1）原式===22+-（2）原式=315375(21)(21)n n +++⋅⋅⋅+---+--=11+-⋅⋅⋅+=11)2.点评：2A B -是一个平方数时，则能通过配方法去掉双重根号，这也是双重根号能否开方的判别技巧. 而分母有理化中，常常用到的是平方差公式，第2小题也体现了一种消去法的思想. 第（1）小题还可用平方法，即先算得原式的平方，再开方而得.第11练 §2.1.1 指数与指数幂的运算※基础达标 1．化简1327()125-的结果是（ ）.A.35B. 53C. 3D.52．下列根式中，分数指数幂的互化，正确的是（ ）.A. 12()(0)x x ->B.13(0)y y <C.340)xx -=>D.130)xx -=≠3．下列各式正确的是（ ）. A.35a -=B.32x = C. 111111()824824a a aa-⨯⨯-⋅⋅= D. 112333142(2)12xx xx---=-4．计算10()22-+- ）.A.1B.C. D. 122-5．化简111113216842(12)(12)(12)(12)(12)-----+++++，结果是（ ）.A.11321(12)2---B. 1132(12)--- C. 13212-- D.1321(12)2--6．化简44的结果是 . 7．计算2110332464()( 5.6)()0.125927--+--+= .※能力提高8．化简求值：（1）211132221566()(3)13a b a b a b- ； （2）9．已知1122x x-+=3，求下列各式的值：（1）1x x -+；（2）33222223x x x x--++++.※探究创新 10．已知函数11331()()5f x x x -=-，11331()()5g x x x-=+.（1）判断()f x 、()g x 的奇偶性；（2）分别计算(4)5(2)(2)f f g -和(9)5(3)(3)f f g -，并概括出涉及函数()f x 和()g x 对所有不为0的实数x 都成立的一个等式，并加以证明.第12讲 §2.1.2 指数函数及其性质（一）¤学习目标：理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，掌握指数函数的性质.¤知识要点：1. 定义：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R .2. 以函数2x y =与1()2x y =的图象为例，观察这一对函数的图象，可总结出如下性质：定义域为R ，值域为(0,)+∞；当0x =时，1y =，即图象过定点(0,1)；当01a <<时，在R 上是减函数，当1a >时，在R 上是增函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域：（1）132xy -=； （2）1(3y = （3）1010010100xxy +=-.解：（1）要使132xy -=有意义，其中自变量x 需满足30x -≠，即3x ≠. ∴ 其定义域为{|3}x x ≠.（2）要使1(3y =x 需满足50x -≥，即5x ≤. ∴ 其定义域为{|5}x x ≤. （3）要使1010010100xxy +=-有意义，其中自变量x 需满足101000x -≠，即2x ≠. ∴其定义域为{|2}x x ≠.【例2】求下列函数的值域： （1）2311()3x y -=； （2）421x x y =++解：（1）观察易知2031x ≠-， 则有203111()()133x y -=≠=. ∴ 原函数的值域为{|0,1}y y y >≠且. （2）2421(2)21x x x x y =++=++. 令2x t =，易知0t >. 则22131()24y t t t =++=++.结合二次函数的图象，由其对称轴观察得到213()24y t =++在0t >上为增函数，所以221313()(0)12424y t =++>++=. ∴ 原函数的值域为{|1}y y >.【例3】（05年福建卷.理5文6）函数()x b f x a -=的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）.A ．1,0a b ><B ．1,0a b >>C ．01,0a b <<>D ．01,0a b <<<线位置解：从曲线的变化趋势，可以得到函数()f x 为减函数，从而0<a <1；从曲b <0. 看，是由函数(01)x y a a =<<的图象向左平移|-b |个单位而得，所以-b >0，即所以选D.点评：观察图象变化趋势，得到函数的单调性，结合指数函数的单调性，得到参数a 的范围. 根据所给函数式的平移变换规律，得到参数b 的范围. 也可以取x =1时的特殊点，得到01b a a -<=，从而b <0.【例4】已知函数23()(0,1)x f x a a a -=>≠且.（1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性. 解：（1）当230x -=，即23x =时，2301x a a -==.所以，该函数的图象恒过定点2(,1)3.（2）∵ 23u x =-是减函数，∴ 当01a <<时，()f x 在R 上是增函数；当1a >时，()f x 在R 上是减函数.点评：底数两种情况的辨析，实质就是分类讨论思想的运用. 而含参指数型函数的研究，要求正确处理与参数相关的变与不变.第12练 §2.1.2 指数函数及其性质（一）※基础达标1．下列各式错误的是（ ）.A. 0.80.733>B. 0.40.60.50.5>C. 0.10.10.750.75-<D. 1.6 1.4> 2．已知0c <，在下列不等式中成立的是（ ）.A. 21c >B. 1()2c c > C. 12()2c c < D. 12()2c c >3．函数y =a x +1（a ＞0且a ≠1）的图象必经过点（ ）.A.（0，1）B. （1，0）C.（2，1）D.（0，2） 4．设,a b 满足01a b <<<，下列不等式中正确的是（ ）.A. a b a a <B. a b b b <C. a a a b <D. b b b a <5．世界人口已超过56亿，若千分之一的年增长率，则两年增长的人口可相当于一个（ ）.A. 新加坡(270万)B. 香港(560万)C. 瑞士(700万)D. 上海(1200万)6．某地现有绿地100平方公里，计划每年按10%的速度扩大绿地，则三年后该地的绿地为_____平方公里.7．函数21232x x y --=的定义域为 ；函数2231()2xx y -+=的值域为 .※能力提高8．已知,a b 为不相等的正数，试比较a b a b 与b a a b 的大小.9．若已知函数23()(0,1)x f x a a a -=>≠且，()x g x a =. （1）求函数()f x 的图象恒过的定点坐标；（2）求证：1212()()()22x x g x g x g ++≤.※探究创新 10．讨论函数21(01)x y a a a +=>≠，且的值域.第13讲 §2.1.2 指数函数及其性质（二）¤学习目标：在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型. 掌握指数函数的性质及应用.¤知识要点：以函数2x y =与1()2x y =的图象为例，得出这以下结论：（1）函数()y f x =的图象与()y f x =-的图象关于y 轴对称.（2）指数函数(0,1)x y a a a =>≠且的图象在第一象限内，图象由下至上，底数由下到大. ¤例题精讲：【例1】按从小到大的顺序排列下列各数：，解：构造四个指数函数，分别为3x y =，0.3x y =，2x y =，0.2x y =，它们在第一象限内，图象由下至上，依次是0.2x y =，0.3x y =，2x y =，3x y =. 如右图所示.由于0x =，所以从小到大依次排列是：，点评：利用指数函数图象的分步规律，巧妙地解决了同指数的幂的大小比较问题. 当然，我们在后面的学习中，可以直接利用幂函数的单调性来比较此类大小.【例2】已知21()21xxf x -=+. （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）讨论()f x 的单调性.解：（1）()f x 的定义域为R . ∵ 21(21)21221()()21(21)21221x x x x xxxxxxf x f x ---------====-=-++++ .∴ ()f x 为奇函数.（2）设任意12,x x R ∈，且12x x <，则121212121221212(22)()()2121(21)(21)x x x xx x x x f x f x ----=-=++++.由于12x x <，从而1222x x <，即12220x x -<.∴ 12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <. ∴ ()f x 为增函数.点评：在这里，奇偶性与单调性的判别，都是直接利用知识的定义来解决. 需要我们理解两个定义，掌握其运用的基本模式，并能熟练的进行代数变形，得到理想中的结果.【例3】求下列函数的单调区间：（1）223x x y a +-=； （2）10.21xy =-.解：（1）设2,23u y a u x x ==+-.由2223(1)4u x x x =+-=+-知，u 在(,1]-∞-上为减函数，在[1,)-+∞上为增函数. 根据u y a =的单调性，当1a >时，y 关于u 为增函数；当01a <<时，y 关于u 为减函数. ∴ 当1a >时，原函数的增区间为[1,)-+∞，减区间为(,1]-∞-； 当01a <<时，原函数的增区间为(,1]-∞-，减区间为[1,)-+∞. （2）函数的定义域为{|0}x x ≠. 设1,0.21xy u u ==-. 易知0.2xu =为减函数.而根据11y u =-的图象可以得到，在区间(,1)-∞与(1,)+∞上，y 关于u 均为减函数. ∴在(,0)-∞上，原函数为增函数；在(0,)+∞上，原函数也为增函数.点评：研究形如()(01)f x y a a a =>≠，且的函数的单调性，可以有如下结论：当1a >时，函数()f x y a =的单调性与()f x 的单调性相同；当01a <<时，函数()f x y a =的单调性与()f x 的单调性相反. 而对于形如()(01)xy a a a ϕ=>≠，且的函数单调性的研究，也需结合xa 的单调性及()t ϕ的单调性进行研究.复合函数(())y f x ϕ=的单调性研究，遵循一般步骤和结论，即：分别求出()y f u =与()u x ϕ=两个函数的单调性，再按口诀“同增异减”得出复合后的单调性，即两个函数同为增函数或者同为减函数，则复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 为何有“同增异减”？我们可以抓住 “x 的变化→()u x ϕ=的变化→()y f u =的变化”这样一条思路进行分析.第13练 §2.1.2 指数函数及其性质（二）※基础达标1．如果指数函数y =(2)xa -在x ∈R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）.A ．a ＞2B ．a ＜3C ．2＜a ＜3D ．a ＞32．使不等式31220x -->成立的x 的取值范围是（ ）. A. 3(,)2+∞ B. 2(,)3+∞ C. 1(,)3+∞ D.1(,)3-+∞3．某工厂去年12月份的产值是去年元月份产值的m 倍，则该厂去年产值的月平均增长率为（ ）. A. mB.12mC.1D.1-4．函数2651()()3xx f x -+=的单调递减区间为（ ）.A. (,)-∞+∞B. [3,3]-C. (,3]-∞D. [3,)+∞5．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(2m )与时间t (月) 的关系:t y a =,有以下叙述: ① 这个指数函数的底数是2;② 第5个月时,浮萍的面积就会超过230m ; ③ 浮萍从24m 蔓延到212m 需要经过1.5个月; ④ 浮萍每个月增加的面积都相等.其中正确的是（ ）.A. ①②③B. ①②③④C. ②③④D. ①②6．我国的人口约13亿，如果今后能将人口数年平均增长率控制在1%，那么经过x 年后我国人口数为y 亿，则y 与x 的关系式为 .7．定义运算()() , .a ab a b b a b ≤⎧⎪*=⎨>⎪⎩ 则函数()12x f x =*的值域为 .※能力提高 8．已知()f x =. （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）讨论()f x 的单调性.9．求函数2233x x y -++=的定义域、值域并指出单调区间．※探究创新 10．函数23()2xax f x --=是偶函数. （1）试确定a 的值及此时的函数解析式；（2）证明函数()f x 在区间(,0)-∞上是减函数；（3）当[2,0]x ∈-时，求函数23()2x ax f x --=的值域.第14讲 §2.2.1 对数与对数运算（一）¤学习目标：理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题.¤知识要点：1. 定义：一般地，如果xa N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N1 0 t/月2 32. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln3. 根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当0,1a a >≠时，log b a N b a N =⇔=.4. 负数与零没有对数；log 10a =， log 1a a = ¤例题精讲：【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）712128-=； （2）327a =； （3）1100.1-=；（4）12log 325=-； （5）lg 0.0013=-； （6）ln100=4.606.解：（1）21log 7128=-； （2）3log 27a =； （3）lg 0.11=-；（4）51()322-=； （5）3100.001-=； （6） 4.606100e =.【例2】计算下列各式的值：（1）lg 0.001； （2）4log 8； （3）ln 解：（1）设lg 0.001x =，则100.001x =，即31010x -=，解得3x =-. 所以，lg 0.0013=-. （2）设4lo g 8x =，则48x =，即2322x =，解得32x =. 所以，43log 82=. （3）设ln x =，则xe =12xe e =，解得12x =.所以，1ln 2=.【例3】求证：（1）log n a a n =； （2）log log log a a a M M N N-=.证明：（1）设log n a a x =，则n x a a =，解得x n =. 所以log n a a n =.（2）设lo g a M p =，log a N q =，则p a M =，q a N =. 因为p p qqM a aN a-==，则log log log aa a M p q M N N =-=-.所以，log log log a a aM M N N-=.点评：对数运算性质是对数运算的灵魂，其推导以对数定义得到的指对互化关系为桥梁，结合指数运算的性质而得到. 我们需熟知各种运算性质的推导.【例4】试推导出换底公式：log log log c a c b b a=（0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）.证明：设log c b m =，log c a n =，log a b p =， 则m c b =，n c a =，p a b =. 从而()n p m c b c ==，即np m =. 由于log log 10c c n a =≠=，则m p n=.所以，log log log c a c b b a=.点评：换底公式是解决对数运算中底数不相同时的核心工具. 其推导也密切联系指数运算性质，牢牢扣住指对互化关系.第14练 §2.2.1 对数与对数运算（一）※基础达标1．log (0,1,0)b N a b b N =>≠>对应的指数式是（ ）.A. b a N =B. ab N = C. N a b = D. N b a =2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）.A. 01ln10e ==与 B. 1()381118log 223-==-与C. 123log 9293==与 D. 17log 7177==与 3．设lg 525x =，则x 的值等于（ ）.A. 10B. 0.01C. 100D. 1000 4．设13log 82x=，则底数x 的值等于（ ）.A. 2B. 12C. 4D.145．已知432log [log (log )]0x =，那么12x -等于（ ）.A.13B.C.D.6．若21log 3x =，则x = ； 若log 32x =-，则x = .7．计算：= ； 6l g 0.1= .※能力提高8．求下列各式的值：（1）8； （2）9log9．求下列各式中x 的取值范围：（1）1log (3)x x -+； （2）12log (32)x x -+.※探究创新10．（1）设log 2a m =，log 3a n =，求2m n a +的值.（2）设{0,1,2}A =,{log 1,log 2,}a a B a =，且A B =，求a 的值.第15讲 §2.2.1 对数与对数运算（二）¤学习目标：通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；理解推导这些运算性质的依据和过程；能较熟练地运用运算性质解决问题.¤知识要点：1. 对数的运算法则：lo g ()lo g lo g a aa M N M N =+ ，log log log aa a M M N N=-，log log na a Mn M =，其中0,1a a >≠且，0,0,M N n R >>∈. 三条法则是有力的解题工具，能化简与求值复杂的对数式.2. 对数的换底公式log log log b a b N N a=. 如果令b =N ，则得到了对数的倒数公式1log log a b b a=. 同样，也可以推导出一些对数恒等式，如log log nn a a N N =，log log mn a a n N N m=，log log log 1a b c b c a = 等.¤例题精讲：【例1】化简与求值：（1）21(lg lg 2lg 52++ ；（2）2log .解：（1）原式=211(lg 2)lg 2lg 522++=211lg 2lg 2lg 5(lg1)42+-=2111lg 2lg 2lg 5lg 21422+-+ =1lg 2(lg 22lg 52)14+-+=1lg 2(lg 1002)10114-+=+=.（2）原式=1222log ⨯=221log 2=21log (442+-=21log 142.【例2】若2510a b ==，则11a b+= . （教材P 83 B 组2题）解：由2510a b ==，得2log 10a =，5log 10b =. 则251111lg 2g 5lg 101log 10log 10a b +=+=+==.【例3】 （1）方程lg lg(3)1x x ++=的解x =________；（2）设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x 的值是 . 解：（1）由lg lg (3)1x x ++=，得lg[(3)]lg10x x +=， 即(3)10x x +=，整理为23100x x +-=.解得x =－5或x =2. ∵ x ＞0， ∴ x =2.（2）设lg x t =，则原方程化为20t at b ++=，其两根为1122lg ,lg t x t x ==. 由121212lg lg lg()lg10b t t x x x x b +=+=== ，得到1210b x x = .点评：同底法是解简单对数方程的法宝，化同底的过程中需要结合对数的运算性质. 第2小题巧妙利用了换元思想和一元二次方程根与系数的关系.【例4】（1）化简：532111log 7log 7log 7++；（2）设23420052006lo g 3lo g 4lo g 5lo g 2006lo g 4m ⋅⋅⋅= ，求实数m 的值. 解：（1）原式=77777log 5log 3log 2log (532)log 30++=⨯⨯=. （2）原式左边=2222222222log 4log 5log 2006log log 3log log 3log 4log 2005log 2006mm ⋅⋅⋅=, ∴ 422log 4log 2m ==， 解得16m =.点评：换底时，一般情况下可以换为任意的底数，但习惯于化为常用对数. 换底之后，注意结合对数的运算性质完成后阶段的运算.第15练 §2.2.1 对数与对数运算（二）※基础达标 1．）. A. 1B. －1C. 2D. －2 2．25log()a -（a ≠0）化简得结果是（ ）. A. －aB. a 2C. ｜a ｜D. a3．化简3lg log 1+的结果是（ ）.A.12B. 1C. 2D.4．已知32()log f x x =, 则(8)f 的值等于（ ）. A. 1 B. 2 C. 8 D. 125．化简3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅的结果是 （ ）. A .1 B.32C. 2D.36．计算2(lg 5)lg 2lg 50+⋅＝ . 7．若3a ＝2，则log 38－2log 36＝ . ※能力提高8．（1）已知18log 9a =，185b =，试用a 、b 表示18log 45的值； （2）已知1414log 7log 5a b ==，，用a 、b 表示35log 28.9．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度(/)v m s 和燃料的质量()M kg 、火箭（除燃料外）的质量()m kg 的关系是2000ln(1)M v m=+. 当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达到10/k m s ？※探究创新10．（1）设,,x y z 均为实数，且34x y =，试比较3x 与4y 的大小.（2）若a 、b 、c 都是正数，且至少有一个不为1，1x y z y z x z x y a b c a b c a b c ===，讨论x 、y 、z 所满足的关系式.第16讲 §2.2.2 对数函数及其性质（一）¤学习目标：通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.¤知识要点：1. 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞）.2. 由2log y x =与12log y x =的图象，可以归纳出对数函数的性质：定义域为(0,)+∞，值域为R ；当1x =时，0y =，即图象过定点(1,0)；当01a <<时，在(0,)+∞上递减，当1a >时，在(0,)+∞上递增.¤例题精讲：【例1】比较大小：（1）0.9log 0.8，0.9log 0.7，0.8log 0.9； （2）3log 2，2log 3，41log 3.解：（1）∵ 0.9log y x =在(0,)+∞上是减函数，且0.90.80.7>>， ∴ 0.90.91log 0.8log 0.7<<. 又 0.80.8log 0.9log 0.81<=， 所以0.80.90.9log 0.9log 0.8log 0.7<<. （2）由 333log 1log 2log 3<<，得30log 21<<. 又22log 3log 21>=，441log log 103<=，所以4321log log 2log 33<<.【例2】求下列函数的定义域：（1）y =（2）y =解：（1）由22log (35)0log 1x -≥=，得351x -≥，解得2x ≥. 所以原函数的定义域为[2,)+∞.（2）由0.5lo g (4)30x -≥，即30.50.5log (4)3log 0.5x ≥=， 所以3040.5x <≤，解得1032x <≤. 所以，原函数的定义域为1(0,]32.【例3】已知函数()log (3)a f x x =+的区间[2,1]--上总有|()|2f x <，求实数a 的取值范围. 解：∵ [2,1]x ∈--， ∴ 132x ≤+≤当1a >时，log 1log (3)log 2a a a x ≤+≤，即0()log 2a f x ≤≤. ∵ |()|2f x <， ∴{1log 22a a ><，解得a >当01a <<时，log 2log (3)log 1a a a x ≤+≤，即log 2()0a f x ≤≤. ∵ |()|2f x <， ∴{01log 22a a <<>-，解得02a <<综上可得，实数a的取值范围是)2+∞ .点评：先对底数a 分两种情况讨论，再利用函数的单调性及已知条件，列出关于参数a 的不等式组，解不等式（组）而得到参数的范围. 解决此类问题的关键是合理转化与分类讨论，不等式法求参数范围.【例4】求不等式log (27)log (41)(0,1)a a x x a a +>->≠且中x 的取值范围.解：当1a >时，原不等式化为2704102741x x x x +>⎧⎪->⎨+>-⎪⎩，解得144x <<.当01a <<时，原不等式化为 2704102741x x x x +>⎧⎪->⎨+<-⎪⎩，解得4x >.所以，当1a >时，x 的取值范围为1(,4)4；当01a <<时，x 的取值范围为(4,)+∞.点评：结合单调性，将对数不等式转化为熟悉的不等式组，注意对数式有意义时真数大于0的要求. 当底数a 不确定时，需要对底数a 分两种情况进行讨论.第16练 §2.2.2 对数函数及其性质（一）※基础达标1．下列各式错误的是（ ）.A. 0.80.733>B. 0.10.10.750.75-<C. 0..50..5log 0.4log 0.6>D. lg1.6lg1.4>.2．当01a <<时,在同一坐标系中,函数log xa y a y x -==与的图象是（ ）.A B C D 3．下列函数中哪个与函数y =x 是同一个函数（ ）A.lo g (0,1)a xy a a a =>≠ B. y =2xxC. log (0,1)x a y a a a =>≠D. y =4．函数y =）.A. (1,)+∞B. (,2)-∞C. (2,)+∞D. (1,2] 5．若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ）.A. 1 m n >>B. 1n m >>C. 01n m <<<D. 01m n <<<6．函数y = . （用区间表示）7．比较两个对数值的大小：ln 7 ln 12 ； 0.5log0.7 0.5log 0.8.※能力提高8．求下列函数的定义域：（1） ()()3log 11f x x x =+-； （2）y =9．已知函数2()3log ,[1,4]f x x x =+∈，22()()[()]g x f x f x =-，求： （1）()f x 的值域； （2）()g x 的最大值及相应x 的值.※探究创新10．若,a b 为不等于1的正数，且a b <，试比较log a b 、1log a b、1log bb.第17讲 §2.2.2 对数函数及其性质（二）¤学习目标：掌握对数函数的性质，并能应用对数函数解决实际中的问题. 知道指数函数y =a x 与对数函数y =log ax 互为反函数. （a > 0, a ≠1）¤知识要点：1. 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function ）. 互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称.2. 函数(0,1)x y a a a =>≠与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数.3. 复合函数(())y f x ϕ=的单调性研究，口诀是“同增异减”，即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是：（i ）求定义域；（ii ）拆分函数；（iii ）分别求(),()y f u u x ϕ==的单调性；（iv ）按“同增异减”得出复合函数的单调性.¤例题精讲：【例1】讨论函数0.3log (32)y x =-的单调性. 解：先求定义域，由320x ->, 解得32x <. 设332,(,)2t x x =-∈-∞，易知为减函数.又∵ 函数0.3log y t =是减函数，故函数0.3log (32)y x =-在3(,)2-∞上单调递增.【例2】（05年山东卷.文2）下列大小关系正确的是（ ）. A. 30.440.43log 0.3<< B. 30.440.4log 0.33<< C. 30.44log 0.30.43<< D. 0.434log 0.330.4<<变量x解：在同一坐标系中分别画出40.4,3,log x x y y y x ===的图象，分别作出当自取3，0.4，0.3时的函数值.观察图象容易得到：30.44log 0.30.43<<. 故选C.【例3】指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象有何关系？ 解：在指数函数x y a =的图象上任取一点00(,)M x y ，则00x y a =.由指对互化关系，有00log a y x =.所以，点00'(,)M y x 在对数函数log a y x =的图象上. 因为点00(,)M x y 与点00'(,)M y x 关于直线y x =对称，所以指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象关于直线y x =对称. 点评：两个函数的对称性，由任意点的对称而推证出来. 这种对称性实质是反函数的图象特征，即函数x y a =与log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数，而互为反函数的两个函数图象关于直线y x =对称.【例4】2005年10月12日，我国成功发射了“神州”六号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步.已知火箭的起飞重量M 是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m 和燃料重量x 之和.在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y 关于x的函数关系式为：[ln())]4ln 2(0)y k m x k =+-+≠其中. 当燃料重量为1)m 吨（e 为自然对数的底数， 2.72e ≈）时，该火箭的最大速度为4（km/s ）.（1）求火箭的最大速度(/)y km s 与燃料重量x 吨之间的函数关系式()y f x =；（2）已知该火箭的起飞重量是544吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8km/s ，顺利地把飞船发送到预定的轨道？解：（1）依题意把1),4x m y ==代入函数关系式[ln())]4ln 2y k m x =+-+，解得8k =.所以所求的函数关系式为8[ln())]4ln 2,y m x =+-+ 整理得8ln().m x y m+=（2）设应装载x 吨燃料方能满足题意，此时，544,8m x y =-= 代入函数关系式8544ln(),ln1,344().544m x y x mx+===-得解得吨所以，应装载344吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道.点评：直接给定参数待定的函数模型时，由待定系数法的思想，代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数. 一般求出函数模型后，还利用模型来研究一些其它问题. 代入法、方程思想、对数运算，是解答此类问题的方法精髓.第17练 §2.2.2 对数函数及其性质（二）※基础达标 1．函数1lg1x y x+=－的图象关于（ ）. A. y 轴对称B. x 轴对称C. 原点对称D. 直线y ＝x 对称2．函数212log (617)y x x =-+的值域是（ ）.A. RB. [8,)+∞C. (,3]-∞-D. [3,)+∞3．（07年全国卷.文理8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ）.A. B. 2C. D. 44．图中的曲线是log a y x =的图象，已知a的值为，43，310，15，则相应曲线1234,,,C C C C 的a 依次为（ ）.A.43，15，310B. ，43，310，150 x C 1C 2C 4C 3 1yC.15，310，43， D.43310，155．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是（ ）.A. 12log (1)y x =+ B. 2log y = C. 21log y x= D.20.2log (4)y x =-6． 函数())f x x =是 函数. （填“奇”、“偶”或“非奇非偶”） 7．函数x y a =的反函数的图象过点(9,2)，则a 的值为 . ※能力提高 8．已知6()log ,(0,1)a f x a a x b=>≠-，讨论()f x 的单调性.9．我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系. 声音的强度I 用瓦/平方米 （2/W m ）表示. 但在实际测量中，常用声音的强度水平1L 表示，它们满足以下公式：1010lgI L I = （单位为分贝），10L ≥，其中120110I -=⨯，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端. 回答以下问题：（1）树叶沙沙声的强度是122110/W m -⨯，耳语的强度是102110/W m -⨯，恬静的无限电广播的强度为82110/W m -⨯. 试分别求出它们的强度水平. （2）在某一新建的安静小区规定：小区内的公共场所声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I 的范围为多少？※探究创新10． 已知函数()log (1),()log (1)a a f x x g x x =+=-其中(01)a a >≠且．（1）求函数()()f x g x -的定义域； （2）判断()()f x g x -的奇偶性，并说明理由；（3）求使()()0f x g x ->成立的x 的集合.第18讲 §2.3 幂函数¤学习目标：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x 2, y=x 3, y =1/x , y=x 1/2 的图像，了解它们的变化情况.知识要点：1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x=，1y x -=这五个常用幂函数的图象.2. 观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0α>时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0,)+∞上是增函数.（2）当0α<时，图象过定点(1,1)；在(0,)+∞上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数α由小到大. y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α由小到大.¤例题精讲：【例1】已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3)，试讨论其单调性.解：设y x α=，代入点(27,3)，得327α=，解得13α=，所以13y x =，在R 上单调递增.【例2】已知幂函数6()m y xm Z -=∈与2()my x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且2()m y xm Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．解：∵ 幂函数图象与x 、y 轴都没有公共点，∴{6020m m -<-<，解得26m <<.又 ∵ 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称， ∴ 2m -为偶数，即得4m =. 【例3】幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象如图所示，则（ ）. A ．101n m -<<<< B ．1,01n m <-<<C ．10,1n m -<<>D ．1,1n m <->解：由幂函数图象在第一象限内的分布规律，观察第一象限内直线1x =的右侧，图象由下至上，依次是n y x =，1y x -=，0y x =，m y x =，1y x =，所以有101n m <-<<<. 选B.点评：观察第一象限内直线1x =的右侧，结合所记忆的分布规律. 注意比较两个隐含的图象1y x =与0y x =.【例4】本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区2a m 的老房子进行平改坡（“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为），且每年平改坡面积的百分比相等. 若改造到面积的一半时，所用时间需10年. 已知到今年为止，平改坡剩余面积为原来的2.（1）求每年平改坡的百分比；（2）问到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年？ （3）若通过技术创新，至少保留24a m 的老房子开辟新的改造途径. 今后最多还需平改坡多少年？解：（1）设每年平改坡的百分比为(01)x x <<，则 101(1)2a x a -=，即11011()2x -=，解得11011()0.0670 6.702x =-≈=%.（2）设到今年为止，该工程已经进行了n年，则(1)2na x -=，即110211()()22n =，解得n =5.所以，到今年为止，该工程已经进行了5年. （3）设今后最多还需平改坡m 年，则 51(1)4m a x a +-=，即521011()()22m +=，解得m =15. 所以，今后最多还需平改坡15年.点评：以房屋改造为背景，从中抽象出函数模型，结合两组改造数据及要求，通过三个等式求得具有实际意义的底数或指数.※基础达标1．如果幂函数()f x x α=的图象经过点 A. 16 B. 2 C.1162．下列函数在区间(0,3) A. 1y x=B. 12y x = C. y =3．设120.7a =，120.8b =，c 3log 0.7= A. c <b <a B. c <a <b C. a <b <4．如图的曲线是幂函数ny x =应的n 依次为（ ）.A ．112,,,222-- B. 12,,2,2-C. 11,2,2,22-- D. 112,,,222--5．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（ ）.A.12y x = B. 4y x = C. 2y x-= D.13y x =6．幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2，则(8)f 的值为 .7．比较下列各组数的大小： 32(2)a + 32a ； 223(5)a -+ 235-； 0.50.4 0.40.5.※能力提高8．幂函数273235()(1)t tf x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.9．1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的平均增长率为x %，2008年底世界人口数为y （亿）.（1）写出1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数； （2）求2008年底的世界人口数y 与x 的函数解析式. 如果要使2008年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？※探究创新10．请把相应的幂函数图象代号填入表格.① 23y x =； ② 2y x -=；③ 12y x =； ④ 1y x -=；⑤ 13y x =；⑥ 43y x =；⑦ 12y x-=；⑧ 53y x =.第19讲 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 复习¤学习目标：理解掌握指数函数、对数函数和幂函数的性质、图象及运算性质. 突出联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力. 通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深对函数概念的理解.¤例题精讲：【例1】若()(0,1)x f x a a a =>≠且，则1212()()()22x x f x f x f ++≤.证明：121212122()()()222x x x x f x f x x x aa f a++++-=-022==≥.∴ 1212()()()22x x f x f x f ++≤. （注：此性质为函数的凹凸性）【例2】已知函数2()(0,0)1bxf x b a ax =≠>+.（1）判断()f x 的奇偶性； （2）若3211(1),log (4)log 422f a b =-=，求a ，b 的值.解：（1）()f x 定义域为R ，2()()1bx f x f x ax --==-+，故()f x 是奇函数.（2）由1(1)12b f a ==+，则210a b -+=.又log 3(4a -b )=1，即4a -b =3.由{21043a b a b -+=-=得a =1，b =1.【例3】（01天津卷.19）设a ＞0， ()xxeaf x a e=+是R 上的偶函数.（1）求a 的值； （2）证明()f x 在(0,)+∞上是增函数．解：（1）∵ ()xxea f x ae=+是R 上的偶函数，∴ ()()0f x f x --=.∴110()()xxxxxxea ea a e a eaeaeaa---+--=⇒-+-10()()0x xa e ea-=⇒--=.e x －e -x 不可能恒为“0”， ∴ 当1a－a ＝0时等式恒成立， ∴a ＝1．（2）在(0,)+∞上任取x 1＜x 2，1212121212111()()()()x x x xx x x x ef x f x eee aeeee -=+--=-+-12121()(1)x xxx ee e e=--∵ e ＞1，x 1＜x 2， ∴ 121x x e e>>， ∴12x x e e ＞1，121212()(1)x xxx xx ee e ee e--＜0，∴ 12()()0f x f x -<， ∴ ()f x 是在(0,)+∞上的增函数．点评：本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的基础知识．此题中的函数，也可以看成指数函数x y a =与x a y a x=+的复合，可以进一步变式探讨x a y ax=+的单调性.【例4】已知1992年底世界人口达到54.8亿.（1）若人口的平均增长率为1.2%，写出经过t 年后的世界人口数y （亿）与t 的函数解析式；（2）若人口的平均增长率为x %，写出2010年底世界人口数为y （亿）与x 的函数解析式. 如果要使2010年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？解：（1）经过t 年后的世界人口数为 *54.8(1 1.2)54.8 1.012,t t y t N =⨯+%=⨯∈. （2）2010年底的世界人口数y 与x 的函数解析式为 1854.8(1)y x =⨯+%.由1854.8(1)y x =⨯+%≤66.8， 解得1001) 1.1x ≤⨯≈.所以，人口的年平均增长率应控制在1.1%以内.点评：解应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案. 此题由增长率的知识，可以得到指数型或幂型函数，并得到关于增长率的简单不等式，解决实际中增长率控制问题.第19练 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 复习※基础达标1．（06年全国卷II.文2理1）已知集合{}2{|3},|log 1M x x N x x =<=>，则M N = （ ）. A. ∅ B. {}|03x x << C. {}|13x x << D. {}|23x x << 2．（08年北京卷.文2）若372lo g πlo g 6lo g 0.8a b c ===，，，则（ ）. A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. b c a >>3.（05年福建卷）函数()x b f x a -=的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）.A. 1,0a b ><B. 1,0a b >>C. 01,0a b <<>D. 01,0a b <<< 4．（06年广东卷）函数2()lg(31)f x x =+的定义域是（ ）.A.1(,)3-+∞ B. 1(,1)3- C. 11(,)33- D. 1(,)3-∞-5．（06年陕西卷）设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a b +等于（ ）.A. 3B. 4C. 5D. 66．（06年辽宁卷.文14理13）设,0(),0x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩，则1(())2g g = .。
必修1基本初等函数(Ⅰ)知识要点
必修１基本初等函数(Ⅰ)知识要点〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的nn 是偶数时，正数a 的正的n表示，负的n次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=． ③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=． （4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②0x ->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()mf q = ②02b x a->，则()m f p =．xxxxx x(q)0x xf xfxfxxx。
基本初等函数知识点
4.对数的运算性质 如果 ，那么①ห้องสมุดไป่ตู้法：
②减法：
③数乘：
④
⑤
⑥换底公式：
知识点四：对数函数及其性质
2
1.对数函数定义 一般地，函数 2.对数函数性质： 函数名称 定义 函数 对数函数 且 叫做对数函数 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域 .
图象
定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 上是增函数 图象过定点 ，即当 非奇非偶 在 上是减函数 时， .
4
4.函数值域： ①y
3 2x
②y
x3 5 x
5、函数图像变换知识 ①平移变换： 形如：y=f(x+a)：把函数 y=f(x)的图象沿ｘ轴方向向左或向右平移｜a｜个单位，就得到 y=f(x+a)的图象。 形如：y=f(x)+a：把函数 y=f(x)的图象沿ｙ轴方向向上或向下平移｜a｜个单位，就得到 y=f(x)+a 的图象 ②.对称变换 y=f(x)→ y=f(－x),关于ｙ轴对称 y=f(x)→ y=－f(x) ,关于ｘ轴对称 ③.翻折变换 y=f(x)→y=f|x|, (左折变换) 把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称 y=f(x)→y=|f(x)|（上折变换） 把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称 在第一象限内，底数越大，图像（逆时针方向）越靠近 y 轴。 6 函数的表示方法 ①列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法 ②图像法：如果图形 F 是函数 y f ( x) 的图像，则图像上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点 都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法. ③如果在函数 y f ( x) ( x A) 中， f ( x) 是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法 7．分段函数 在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。 8 函数单调性及证明方法: ①增函数：一般地 , 设函数 f(x) 的定义域为 D, 如果对于定义域 D 内的某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2 , 当 x1<x2 时 , 都有 f(x1)< f(x2), 那么就说 f(x) 在这个区间上是增函数。 此区间就叫做函数 f(x) 的单调增区间。 ②减函数： 一般地 , 设函数 f(x) 的定义域为 D, 如果对于定义域 D 内的某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2 , 当 x1<x2 时 , 都有 f(x1)> f(x2), 那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数。此区间叫做函数 f(x) 的单调减区间。 ③证明方法 第一步：设 x1、x2 是给定区间内的两个任意的值，且 x1<x2； 第二步：作差 f(x2)-f(x1)，并对“差式”变形，主要采用的方法是“因式分解”或“配方法”； 第三步：判断差式 f(x2)-f(x1)的正负号，从而证得其增减性 9.函数的奇偶性 ⑴奇函数 ①设函数 y=f（x）的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x，都有-x∈D，且 f(-x)=-f(x)，则这个函数叫做奇函数。 ②奇函数图象关于原点（0，0）中心对称。
数学必修一基本初等函数知识点
数学必修一基本初等函数知识点
1. 线性函数：y = kx + b（k和b为常数），其中k称为斜率，b称为截距。
2. 幂函数：y = x^n（n为常数），其中n可以是正整数、零、负整数。
3. 指数函数：y = a^x（a为正实数且a≠1）。
4. 对数函数：y = loga(x)（a为正实数且a≠1），其中x为正实数。
5. 三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等）：y = sinx，y = cosx，y = tanx，y = cotx等。
6. 反三角函数（反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数等）：y = arcsinx，y = arccosx，y = arctanx，y = arccotx等。
7. 绝对值函数：y = |x|。
8. 双曲函数（双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲正切函数等）：y = sinh(x)，y = cosh(x)，y = tanh(x)等。
9. 分段函数：根据不同条件定义函数的不同表达式，例如：y = f(x) =
{ x+1, (x≤0)
{ x^2, (0<x≤1)
{ 2x-1, (x>1)
10. 复合函数：将一个函数的输出作为另一个函数的输入进行运算，例如：f(g(x))。
以上是数学必修一中较为基本的初等函数知识点，只覆盖了一部分内容。
学习初等函数的重点是掌握其基本性质、图像和应用。
知识点整理-[高中数学]第三章 基本初等函数(I)
![知识点整理-[高中数学]第三章 基本初等函数(I)](https://img.taocdn.com/s3/m/c6d1d775524de518964b7da7.png)
如果 a=1，y=1x=1，是一个常量，对它就没有研究的必要。
为了避免上述各种情况，所以规定 a＞0 且 a≠1。
1
③如 y=2·3x，y= 2 x ，y= 3 x2 ，y=3x+1 等函数都不是指数函数，要注意区分。
（2）指数函数的图象和性质
y=ax
0＜a＜1
a＞1
图 象
定义域为 R，值域为(0,+∞)
质对于无理指数幂也适用，这样，指数概念就扩充到了整个实数范围。
（3）利用分数指数进行根式与幂的计算
在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指
数幂，并尽可能的统一成分数指数幂形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值、计算，
以利于运算、达到化繁为简的目的。
对于根式计算结果，并不强求统一的表示形式，一般用分数指数幂的形式来表示，如
a0=1，即 x=0 时，y=1，图像都过点(0,1)
性 a1=a，即 x=1 时，y 等于底数 a，图像都经过点(1,a)
质 在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数
x＜0 时，ax＞1；
x＜0 时，0＜ax＜1；
x＞0 时，0＜ax＜1
x＞0 时，ax＞1
既不是奇函数，也不是偶函数
4
学习指数函数的图象和性质，需要注意的几个问题： ①当底数 a 大小不定时，必须分“a＞1”和“0＜a＜1”两种情况讨论。 ②当 0＜a＜1 时，x→+∞，y→0；当 a＞1 时，x→-∞，y→0。当 a＞1 时 a 的值越大， 图象越靠近 y 轴，递增速度越快；当 0＜a＜1 时，a 的值越小，图象越靠近 y 轴，递减的 速度越快。（其中“x→+∞”意义是：“x 接近于正无穷大”）。 ③在同一直角坐标系中指数函数图象的位置与底数大小的关系：在 y 轴右侧，图象从 上到下相应的底数由大变小；在 y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小。 规律：当 a＞1，b＞1 时，指数函数 y=ax，y=bx 的图象在同一坐标系中，在直线 x=0 的右边，当 a＞b 时，y=ax 的图象在 y=bx 的图象上方，在直线 x=0 的左边正好相反。 当 0＜a＜1，0＜b＜1 时，指数函数 y=ax，y=bx 的图象的关系与 a＞1，b＞1 正好相反。 （3）指数函数的定义域与值域 指数函数 y=ax（a＞0 且 a≠1）的定义域是(-∞,+∞)，值域是(0,+∞)。 求由指数函数构成的复合函数的定义域时，可能涉及解指数不等式（即未知数在指数 上的不等式）。解指数不等式的基本方法是把不等式两边化为同底的幂的形式，利用指数 函数的单调性脱去幂的形式，从而转化为熟悉的不等式。同时还应注意负数不能开偶次方， 分母不能为零，限制 x 的取值。 求由指数函数构成的复合函数的值域，一般用换元法即可，但应注意在中间变量的值 域以及指数函数的单调性的双重作用下，函数值域的变化情况。 （4）指数函数图象的变换规律 ①平移规律 若已知 y=ax 的图象，则把 y=ax 的图象向左平移 b（b＞0）个单位，则得到 y=ax+b 的图 象，向右平移 b（b＞0）个单位，则得到 y=ax-b 的图象，向上平移 b（b＞0）个单位，则得 到 y=ax+b 的图象，向下平移 b（b＞0）个单位，则得到 y=ax-b 的图象。 一般的，把函数 y=f(x)图象向右平移 m 个单位得到函数 y=f(x-m)的图象（m∈R，m＜ 0，就是向左平移|m|个单位）；把函数 y=f(x)的图象向上平移 n 个单位，得函数 g(x)=f(x)+n 的图象（n∈R，n＜0，就是向下平移|n|个单位）。
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点一、引言在数学中，初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）以及复合运算得到的函数。
基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及反三角函数。
本文将详细介绍这些基本初等函数的定义、性质和图像。
二、常数函数定义：常数函数 \( f(x) = c \)，其中 \( c \) 是一个实数常数。
性质：常数函数的图像是一条平行于 \( x \) 轴的直线，其所有点的函数值都等于常数 \( c \)。
图像：见附录图1。
三、幂函数定义：幂函数 \( f(x) = x^n \)，其中 \( n \) 是实数。
性质：幂函数的性质取决于指数 \( n \) 的值。
当 \( n \) 为正整数时，函数图像是 \( n \) 次幂的曲线；当 \( n \) 为负整数时，函数图像是倒数的幂函数曲线。
图像：见附录图2。
四、指数函数定义：指数函数 \( f(x) = a^x \)，其中 \( a > 0 \) 且 \( a\neq 1 \)。
性质：指数函数的底数 \( a \) 决定了函数图像的形状。
当 \( a > 1 \) 时，函数是增长的；当 \( 0 < a < 1 \) 时，函数是衰减的。
图像：见附录图3。
五、对数函数定义：对数函数 \( f(x) = \log_a(x) \)，其中 \( a > 0 \) 且\( a \neq 1 \)。
性质：对数函数是指数函数的逆函数。
当 \( a > 1 \) 时，函数是单调增加的；当 \( 0 < a < 1 \) 时，函数是单调减少的。
图像：见附录图4。
六、三角函数1. 正弦函数 \( \sin(x) \)2. 余弦函数 \( \cos(x) \)3. 正切函数 \( \tan(x) \)定义：这些函数与单位圆上的点的坐标有关。
性质：三角函数具有周期性，它们的周期为 \( 2\pi \)。
基本初等函数知识点大一
基本初等函数知识点大一初等函数是数学中最基础的一类函数，也是我们在大一学习数学中首要接触的内容。
初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
它们在数学、物理、工程等众多领域都有广泛的应用。
本文将以大一课程中的基本初等函数知识点为重点，进行全面的介绍和细致的解析。
一、常数函数常数函数是最简单的初等函数形式，其表达式为f(x) = c，其中c为常数。
常数函数的图像始终平行于x轴，例如当函数为f(x) = 3时，其图像为一条平行于x轴且与x轴距离为3的直线。
常数函数的特点是在定义域上的每一个点的函数值都相等。
二、幂函数幂函数是形如f(x) = x^n的函数，其中n为常数。
幂函数的图像形状与n的正负、奇偶有关。
当n为正数时，随着x的增大，函数值也随之增大，图像呈现出右上方向延伸的趋势；当n为负数时，随着x的增大，函数值变小，图像呈现出右下方向延伸的趋势；当n为偶数时，图像关于y轴对称；当n为奇数时，图像则不对称。
三、指数函数指数函数是形如f(x) = a^x的函数，其中a为底数，且a不等于0且不等于1。
指数函数的图像与底数a的大小有关。
当0<a<1时，函数值随着x的增大而迅速减小，图像接近于x轴；当a>1时，函数值随着x的增大而迅速增大，图像上升较快。
指数函数的特点是它们增长或减小的速度非常快，因此在许多领域中有广泛的应用。
四、对数函数对数函数是指满足f(x) = logₐ(x)的函数，其中a为底数。
对数函数是指数函数的反函数，它们具有互为反函数的关系。
对数函数的图像与底数a的大小和函数定义域相关。
当0<a<1时，函数图像下降；当a>1时，函数图像上升。
对数函数的特点是其定义域为正实数集合，值域为实数集合。
五、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数是以弧度为单位的角度度量的三角函数。
它们在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。
高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.1.2指数函数及其性质(第1课时)指数函数的图象及性质
12/13/2021
第十二页，共三十八页。
(1)判断一个函数是指数函数的方法 ①看形式：只需判断其解析式是否符合 y＝ax(a>0，且 a≠1)这 一结构特征； ②明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要 有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．
12/13/2021
第十三页，共三十八页。
解析：选 B.法一：由图象可知③④的底数必大于 1，①②的底
数必小于 1.
作直线 x＝1，在第一象限内直线 x＝1 与各曲线的交点的纵坐
标即各指数函数的底数，则 1＜d＜c，b＜a＜1，从而可知 a，b，
c，d 与 1 的大小关系为 b＜a＜1＜d＜c.
法二：根据图象可以先分两类：
③④的底数大于 1，①②的底数小于 1，再Байду номын сангаас③④比较 c，d 的
12/13/2021
第十八页，共三十八页。
求解指数函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
12/13/2021
第十九页，共三十八页。
1．指数函数①f(x)＝mx，②g(x)＝nx 满足不等式 0<m<n<1，则 它们的图象是( )
第二十一页，共三十八页。
2．已知 0＜a＜1，b＜－1，则函数 y＝ax＋b 的图象必定不经过
() A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选 A.函数恒过点(0，1＋b)，因为 b＜－1，所以点(0，1 ＋b)在 y 轴负半轴上．故图象不经过第一象限．
12/13/2021
(完整版)基本初等函数知识点及函数的基本性质
指数函数及其性质一、指数与指数幂的运算 （一）根式的概念1、如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a的n次方根用符号n 是偶数时，正数a 的正的n的n次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．2n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．3、根式的性质：na =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （二）分数指数幂的概念1、正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． 2、正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,mm nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 3、a 0=1 (a ≠0) a -p = 1/a p (a ≠0；p ∈N *) 4、指数幂的运算性质(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。
二、指数函数的概念一般地，函数)1a ,0a (a y x≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：○1 指数函数的定义是一个形式定义； ○2 注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1．（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [ （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈ （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x≠>=且，总有a )1(f =（4）当1a >时，若21x x <，则)x (f )x (f 21< 四、底数的平移对于任何一个有意义的指数函数：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.1 指数与指数函数 3.1.1 有理指数幂及其运算学习导航学
3.1.1 有理指数幂及其运算1.整数指数正整数指数幂的定义:在初中我们学习了a n=个n a a a ∙∙∙(n∈N *). 其中，a n 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数,并规定a 1=a. 在上述定义中，n 必须是整数，所以这样的幂叫做正整数指数幂. 正整数指数幂的运算满足如下法则：(1)a m ·a n =a m+n;(2)(a m )n=a mn,n m aa =a m-n(m>n,a≠0);(3)(ab)m =a m b m.如此规定零指数幂和负整数指数幂，就把正整数指数幂推广到整数指数幂.并且正整数指数幂的运算法则对整数指数幂仍然成立. 并且我们规定: a 0=1(a≠0),a -n=n a1(a≠0,n∈N *). 2.分数指数 （1）根式①方根的概念：我们知道，如果x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根（quadratic root ）;如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根（cubic root ）.一般地，如果一个实数x 满足x n =a(n>1且n∈N *)，那么x 叫做a 的n 次方根（nthroot ）. 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.此时，a 的n 次方根只有一个，记为x=n a ；当n 是偶数时，正数的n 次实数方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数a 的正的n 次实数方根用符号n a 表示，负的n 次实数方根用符号n a -表示.正的n 次实数方根与负的n (a>0).由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n 0=0. ②根式的概念式子n a 叫做根式（radical ），这里n 叫做根指数（radical exponent ），a 叫做被开方数（radicand ）. ③根式的性质当n 是奇数时，n a n =a ；当n 是偶数时，n a n=|a|=a,⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a（2）分数指数幂①正数a 的正分数指数幂我们规定：a nm =n m a (a>0,m 、n∈N *,n>1).②正数a 的负分数指数幂 anm -=nm a1=nma 1(a>0,m 、n∈N *,n>1).③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （3）有理数指数幂的运算性质 ①a r ·a s =a r+s(a>0,r 、s∈Q );②(a r )s =a rs(a>0,r 、s∈Q );③(ab)r =a r b r(a>0,b>0,r∈Q ). （4）无理数指数幂教材中通过实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义.一般地，无理数指数幂a α(a>0,α是无理数)是一个确定的实数. 高手笔记1.对根式的学习，要注意与所学过的平方根、立方根的概念以及二次根式、三次根式的性质进行类比，有利于我们正确地理解n 次方根的概念以及n 次根式的性质；要能够灵活地将分数指数幂与根式相互转化.2.在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有指数幂又有分母的形式,如a32b 、2-ba都不是最简形式.应该注意，分数指数的分子和分母与根式的根指数和被开方式的指数之间的对应关系不可颠倒. 3.经常要用的公式:（1）a-b ＝（b a -）（b a +）(a>0,b>0)；（2）a±2ab ＋b ＝（a ±b ）2(a>0,b>0)；（3）a±b＝（3a ±3b ）（32322b ab a + ）(a>0,b>0). 4.npmp a =n m a （a≥0）,其中的a≥0十分重要，无此条件则公式不成立.例如62)8(-≠38-.5.分数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质完全一样.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 名师解惑1.为什么正数的偶次方根有两个并且互为相反数，而负数没有偶次方根？在以前学习的正整数指数幂中运算法则a m ÷a n =a m-n中为什么会限定m>n ？剖析：（1）根据方根定义，若x 是a(a>0)的n 次方根（n 为偶数），则x n =a ，这时（-x ）n=a ，即-x 也是a(a>0)的n 次方根.假设x 是a(a<0)的n 次方根（n 为偶数）,则x n=a.因为x n ≥0，若a<0，则x n=a 不成立，且与方根定义矛盾.（2）因为是正整数指数幂，如果没有m>n 的限定,m-n 可能等于0或者m-n<0.为了取消m>n 的限制，才定义了0次幂和负整数指数幂.这样m 、n 的大小就任意了，这样有可能产生负整数，也就把正整数指数幂扩充到了整数指数幂.2.引入分数指数幂之后，任何根式都能化成分数指数幂的形式吗？在分数指数幂a nm中为什么限定a>0？剖析：（1）引入分数指数幂之后，任何有意义的根式都能化成分数指数幂，即n a =a n1，这时被开方数a 即是分数指数幂的底数，根指数的倒数即是分数指数幂的幂指数，显然a n1是a nm 当m=1时的特例.（2）分数指数幂的意义来源于根式，而要使n a m对任意的n∈N *且n>1都有意义，必须限定a>0，否则,当a=0时，若m=0或nm为分母是偶数的负分数，a n m没有意义；当a<0时，若m 为奇数，n 为偶数，a nm 没有意义.（3）我们可以从一实例看看为什么会加上这个限制条件，如-3=327-=(-27)31=(-27)62=62)27(-=6729=3.为什么会出现-3=3这种情况？看看错在了哪里？因为这里的-3＜0,在(-27)31=(-27)62中发生的错误，分数的分子、分母扩大相同的倍数分数值不变，有这个性质，必须限制条件“a>0”或“a>0,b>0”. 讲练互动【例题1】计算：（1）（27125）32-；（2）0.00832-；（3）（240181）43-；（4）（2a+1）0； （5）［65-（53）-1］-1.分析:在幂的运算中，首先观察幂的底数，如果幂的底数能化成幂的形式时〔如（1）（2）（3）〕，就先把幂的底数写成幂的形式，再进行幂的乘、除、乘方、开方运算，这样比较简便.在幂的运算中，对于形如m 0的式子，要注意对底数m 是否为零进行讨论，因为只有在m≠0时，m 0才有意义；而对于形如（a b ）-n 的式子，我们一般是先变形为（ba ）n，然后再进行运算.解：（1）（27125)32-=（3335）32-=2235--=2253=259.（2）0.00832-=（0.23）32-=0.2-2=（51）-2=52=25. （3）（240181）43-=（4473）43-=3373--=3337=27343.（4）（2a+1）0=⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠.21,,21,1a a 无意义（5）［65-（53）-1］-1=（6535-）-1=（65-）-1=56-.绿色通道在进行有关幂的运算时，要注意化归思想的运用；另外化繁为简一直是我们解题的一条基本原则.熟悉幂的运算条件和幂的运算性质是正确解题的关键. 变式训练 1.计算：（1）（-383）32-＋（0.002）21--10（5-2）-1＋（32-）0=__________.（2）（41）2121432231)(1.0)4(---b a ab =____________.解析：（1）原式＝（-1）32-（827）32-＋（5001）21-2510--＋1＝［（23）3］32-＋（102×5）21-10（5+2）＋1＝916712051051094-=+--+; （2）原式＝24232323223211044+--⨯b a =b b 25125121=. 答案：(1)9167- (2)b 251【例题2】化简322234)210()323(27622----+-的结果是( ) A.35B.-3C.3D.9 解析：先将式子中的根式逐个化简，后进行运算. 原式＝31132126)311(278323+-=---+-+6=9. 答案：D绿色通道对多个根式组成的式子进行化简，我们解题的一般原则是先算根号内的，后进行根式运算.在进行根式运算时，要注意根指数为奇数的情况，如3a ，若a ＞0，则3a ＞0，若a ＜0，则3a ＜0；但对根指数为偶数的根式，只有当a≥0时，对a 才有意义. 变式训练2.化简：(1)432981⨯=____________;（2）3131421413223)(ba b a ab b a -(a>0,b>0)=____________.解析：（1）原式＝421322)9(9⨯＝431299⨯＝4379＝67127413739)9(==；（2）原式＝3131221323123)(ba ab b a b a -=3123113116123--++-+b a=ab -1.答案：（1）367 （2）ab -1【例题3】已知a=278-，b=7117，求333131343233232793ba a ba ab ab a -÷-++的值. 分析:化简、求值一类问题，往往是先将被求代数式化简，然后再代入已知字母的值，求得代数式的值.解：∵a≠0，∴原式=)27()3(331231313123b a a b b a a -++×3131313ab a -.又∵a -27b≠0，∴原式=)27()3()(32331331b a a b a --=a32-=32)278(--=2)32(--=（23-）2=49. 黑色陷阱本题容易直接将a 、b 的值代入，后化简，因为运算烦琐，不容易做出正确的结果,所以在解决问题时，一定要先审题，比较一下各种思路的优劣，然后再动手做题,这样才能养成良好的思维习惯. 变式训练3.已知a=-1，b=7163，求)21(483323323134abbab a a b a a -÷++-×3a =___________. 解析：原式=313131132313131231312)2(2)()8(a ba ab b a a b a a ⨯-⨯++-=331331313131)2()()8(b a b a a--++=a.∵a=-1,∴原式=a=-1. 答案：-14.已知x+y=12,xy=9且x<y,且21212121yx y x +-=________.解析：∵x+y=12,xy=9且x<y ， ∴x>0,y>0,x -y<0.∴x -y=2)(y x --=xy y x 4)(2-+-=94122⨯--=36-,x 21y 21=9xy ==3.∴原式＝))(())((2121212121212121y x y x y x y x -+--=36321222121-⨯-=-+-y x y y x x =33-. 答案：33-。
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
1 指数与指数运算疑点透析1.如何理解n 次方根的概念若一个数x 的n 次方等于a ，那么x 怎么用a 来表示呢？是x ＝n a 吗？这个回答是不完整的.正确表示应如下：x ＝⎩⎪⎨⎪⎧na ，n 为奇数±n a ，n 为偶数，a ＞0不存在，n 为偶数，a ＜00，a ＝0 主要性质： ①当n 为奇数时，n a n ＝a ； ②当n 为偶数时，n a n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≥0，－a ，a ＜0. 2.如何理解分数指数幂的意义 分数指数幂m n a 不可以理解为m n 个a 相乘，它是根式的一种新的写法.规定m n a ＝n a m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)，m n a -＝1mn a＝1n a m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)，在这样的规定下，根式与分数指数幂表示相同意义的量，它们只是形式上不同而已.0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂无意义，负数的分数指数幂是否有意义，应视m ，n 的具体数而定.3.分数指数幂和整数指数幂有什么异同相同：分数指数幂与整数指数幂都是有理数指数幂，都可以利用有理数指数幂的运算性质进行运算.其运算形式为a r ·a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r ·b r ，式中a ＞0，b ＞0，r 、s ∈Q ，对于这三条性质，不要求证明，但需记准.不同：整数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂是根式的一种新的写法，它表示的是根式.4.指数幂的运算在这里要注意的是，对于计算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.例1÷3a －73a 13. 解 原式＝()()()1191113237132233a a a a --⎡⎤⎡⎤÷⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ＝971316662a a a a --⎛⎫⎛⎫÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝973136666a +--＝a 0＝1.例2 求.解 原式＝114424333⎡⎤⎛⎫⎢⎥⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝121417443346333+⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭＝363. 例1、例2两道例题都既含有分数指数幂又有根式，应该把根式统一化成分数指数幂的形式，便于计算.2 解读指数函数的四个难点在学习了指数函数的性质后，下面来分析突破指数函数的几大难点，供同学们学习掌握. 难点之一：概念指数函数y ＝a x 有三个特征：①指数：指数只能是自变量x ，而不能是x 的函数；②底数：底数为常数，大于0且不等于1；③系数：系数只能是1.例1 给出五个函数：①y ＝2×6x ；②y ＝(－6)x ；③y ＝πx ；④y ＝x x ；⑤y ＝22x ＋1. 以上是指数函数的个数是________.分析 根据所给的函数对系数、底数、指数三个方面进行考察，是否满足指数函数的定义. 解析 对于①，系数不是1；对于②，底数小于0；对于④，底数x 不是常数；对于⑤，指数是x 的一次函数，故①、②、④、⑤都不是指数函数.正确的是③，只有③符合指数函数的定义.答案 1难点之二：讨论指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，当a ＞1时，是增函数；当0＜a ＜1时，是减函数.例2 函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a 2，求a 的值. 分析 遇到底数是参数时，应优先分类讨论，此题应先对a 进行分类讨论，再列出方程并求出a .解 当a ＞1时，函数y ＝a x 在[1,2]上的最大值是a 2，最小值是a ，依题意得a 2－a ＝a 2，即a 2＝3a 2，所以a ＝32；当0＜a ＜1时，函数y ＝a x 在[1,2]上的最大值是a ，最小值是a 2，依题意得a －a 2＝a 2，即a 2＝a 2，所以a ＝12. 综上可知，a ＝32或a ＝12. 难点之三：复合指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与一次函数、反比例函数及二次函数等进行复合时，特别是研究单调性时，应掌握好“同增异减”法则.例3 求函数y ＝13⎛ ⎪⎝⎭的单调递减区间.分析 指数函数与指数型复合函数的区别在于，指数自变量是x 还是x 的函数.此题先求出函数的定义域，再利用复合函数的“同增异减”法则求解.解 由－x 2＋x ＋2≥0知，函数的定义域是[－1,2].令u ＝－x 2＋x ＋2＝－(x －12)2＋94，则y ＝13⎛ ⎪⎝⎭，当x ∈[－1，12]时，随x 的增大，u 增大，y 减小，故函数的递减区间为[－1，12]. 难点之四：图象指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象特征是：当a ＞1时，在y 轴的右侧，a 越大，图象越往上排；在y 轴左侧，a 越大，图象越往下排.当0＜a ＜1时恰好相反.例4 利用指数函数的图象比较0.7－0.3与0.4－0.3的大小.分析可在同一坐标系中作出y＝0.7x及y＝0.4x的图象，从图象中得出结果.解如图所示，作出y＝0.7x、y＝0.4x及x＝－0.3的图象，易知0.7－0.3＜0.4－0.3.评注图象应记忆准确，在第二象限中靠近y轴的函数应是y＝0.4x，而不是y＝0.7x，这一点应注意.3对数与对数运算学习讲解1.对数的定义一般地，如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.解读：(1)由对数定义可以知道，当a＞0，且a≠1时，a x＝N⇔x＝log a N，也就是说指数式与对数式实际上是表示a、N之间的同一种关系的两种形式，因此可以互相转化；(2)根据对数定义可以知道，a log a N＝N，即a的log a N次方等于N，对数恒等式也是化简或计算的重要公式.2.对数的性质(1)零和负数没有对数，由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以a x＝N(a＞0，且a≠1)中N总是正数；(2)1的对数为0，由于任何非零实数的零次幂都等于1，所以log a1＝0；(3)底数的对数等于1，由于a1＝a对于任何非零实数都成立，所以log a a＝1.3.对数的运算性质若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：(1)log a(MN)＝log a M＋log a N，即正数积的对数，等于同一底数的各个数的对数和；(2)log a MN＝log a M－log a N，即两个正数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；(3)log a M n＝n log a M，正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数.这些性质一般运用于对数的计算、化简或证明中.例1 将下列对数式化成指数式、指数式化成对数式：(1)log 3127＝－3；(2)log 232＝5； (3)63＝216；(4)10－3＝0.001. 解 (1)3－3＝127；(2)25＝32；(3)log 6216＝3； (4)log 100.001＝－3，也可写成lg 0.001＝－3.评注 本题考查了对数式与指数式的互化.解题所用知识都是依据对数的定义，要注意对数的真数是指数的幂，对数的值是指数式中的指数.例2 求下列各式的值：(1)3log 72－log 79＋2log 7322； (2)lg 25＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. 解 (1)原式＝log 723－log 79＋log 7(322)2 ＝log 723×(322)29＝log 71＝0； (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5·(lg 5＋2lg 2)＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝2＋(lg 5＋lg 2)2＝3.评注 利用对数的运算性质求值和化简，是对数运算常见的题型，对数运算性质的正向运用可以把真数的乘、除、乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算，这样就简化了计算，体现了利用对数运算的优越性.4 换底公式的证明及其应用换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助.一、换底公式及证明换底公式：log b N ＝log a N log a b. 证明 设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边均取以a 为底的对数，得log a b x ＝log a N ，∴x log a b ＝log a N .∴x ＝log a N log a b ，即log b N ＝log a N log a b. 二、换底公式的应用举例1.乘积型例1 (1)计算：log 89·log 2732；(2)求证：log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .分析 先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决.解 (1)换为常用对数，得log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝23×53＝109. (2)由换底公式，得log a b ·log b c ·log c d ＝lg b lg a ·lg c lg b ·lg d lg c＝log a d . 评注 此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决.2.知值求值型例2 已知log 1227＝a ，求log 616的值.分析 本题可选择以3为底进行求解.解 log 1227＝log 327log 312＝a ，解得log 32＝3－a 2a. 故log 616＝log 316log 36＝4log 321＋log 32＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a＝4(3－a )3＋a . 评注 这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决.3.综合型例3 设A ＝1log 519＋2log 319＋3log 219，B ＝1log 2＋1log 5，试比较A 与B 的大小. 分析 本题可选择以19及π为底进行解题.解 A 换成以19为底，B 换成以π为底，则有A ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 19360＜2，B ＝log π2＋log π5＝log π10＞log ππ2＝2.故A ＜B .评注 一般也有倒数关系式成立，即log a b ·log b a ＝1，log a b ＝1log b a.5 精析对数函数一、对数函数的概念函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为(0，＋∞). 由对数的定义容易知道对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)是指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数.在对数函数中自变量是对数式中的真数，函数值为对数，这一点在运用对数时要谨记.若对数式中的底数为自变量时，此函数不是对数函数.二、对数函数的图象和性质1.对数函数性质的记忆与运用的注意事项(1)数形结合——利用图象记忆性质.x ＝1是“分水岭”；(2)函数的单调性决定于底数a 大于1还是大于0小于1；(3)指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x (其中a ＞0，且a ≠1)互为反函数，它们的概念、图象、性质，既有密切的联系又有本质的区别.2.对数函数图象分布规律如图所示，在同一坐标系中多个对数函数底数的变化规律是：在直线x ＝1的右边区域，在x 轴上方，对数函数的图象越靠近x 轴，底数越大，且底数均大于1；在x 轴下方，对数函数的图象越靠近x 轴，底数越小，且底数均在(0,1)之间.图中的对数函数的底数a ，b ，c ，d 的大小关系是0＜a ＜b ＜1＜c ＜d .在具体解题时，还可利用特殊值法.例1 函数y ＝log (x －1)(4－x )的定义域是________.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＞0x －1≠14－x ＞0可得⎩⎨⎧ x ＞1x ≠2x ＜4，所以函数的定义域是{x |1＜x ＜4，且x ≠2}.答案 {x |1＜x ＜4，且x ≠2}评注 函数定义域就是使函数解析式有意义的自变量x 的集合，若出现对数，要使其真数大于0，底数大于0且不等于1.例2 函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象如图所示，则a、b、c、d与正整数1的大小顺序是()A.1＜d＜c＜a＜bB.c＜d＜1＜a＜bC.c＜d＜1＜b＜aD.d＜c＜1＜a＜b解析作出直线y＝1，可知其与对数函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的交点的横坐标分别就是该对数函数的底数a、b、c、d，于是c＜d＜1＜a＜b.答案 B评注利用特殊值的办法解决有关对数函数的图象问题，可减轻记忆的负担，使问题得到迅速的解决.6三类抽象函数问题的解法大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本初等函数为背景抽象而得.解题时，若能从研究抽象函数的背景入手，通过类比、猜想出它们可能为某种基本初等函数，常可找到解题的切入点，进而加以解决.一、以正比例函数为模型的抽象函数例1 已知f(x)的定义域为实数集R，对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2，求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值.分析由条件f(x＋y)＝f(x)＋f(y)联想正比例函数f(x)＝kx，其中k<0，满足已知条件.由此猜想函数f(x)是区间[－3,3]上的减函数且又为奇函数，这样问题的解决就有了方向.解因为对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，于是取x＝0，可得f(0)＝0，同时设y ＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，知函数f(x)为奇函数.下面证明它是减函数：任取－3≤x1<x2≤3，则x2－x1>0，又x>0时，f(x)<0，即f(x2－x1)<0，f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)<0.所以函数f(x)在区间[－3,3]上是减函数.当x ＝－3时，函数f (x )取最大值；当x ＝3时，函数f (x )取最小值.f (x )max ＝f (－3)＝－f (3)＝－f (1＋2)＝－[f (1)＋f (2)]＝－[f (1)＋f (1)＋f (1)]＝－3f (1)＝6；f (x )min ＝f (3)＝3f (1)＝－6.评注 本题求解有两个特点：一是赋值；二是在求最值时，反复运用条件.这是求解抽象函数问题时常用的方法.二、以指数函数为模型的抽象函数例2 设函数f (x )的定义域为实数集R ，满足条件：存在x 1≠x 2，使得f (x 1)≠f (x 2)，对任意x 和y ，有f (x ＋y )＝f (x )·f (y ).(1)求f (0)；(2)对任意x ∈R ，判断f (x )值的正负.分析 由已知猜想f (x )是指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的抽象函数，从而猜想f (0)＝1且f (x )>0. 解 (1)将y ＝0代入f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，得f (x )＝f (x )·f (0)，于是有f (x )[1－f (0)]＝0.若f (x )＝0，则对任意x 1≠x 2，有f (x 1)＝f (x 2)＝0，这与已知题设矛盾，所以f (x )≠0，从而f (0)＝1.(2)设x ＝y ≠0，则f (2x )＝f (x )·f (x )＝[f (x )]2≥0，又由(1)知f (x )≠0，所以f (2x )>0，由x 为任意实数，知f (x )>0.故对任意x ∈R ，都有f (x )>0.评注 从已知条件联想到指数函数模型，为问题的解决指出了方向.但在推导过程中，说理的严密性是很重要的，如不能由f (x )[1－f (0)]＝0，直接得出f (0)＝1，这是求解有关抽象函数问题时必须注意的地方.三、以对数函数为模型的抽象函数例3 设函数f (x )是定义域(0，＋∞)上的增函数，且f (x y)＝f (x )－f (y ).(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，求不等式f (x ＋3)＋f (1x)≤2的解集. 分析 由已知猜想f (x )是对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的抽象函数.解 (1)将x ＝y ＝1代入f (x y)＝f (x )－f (y )， 得f (1)＝f (1)－f (1)，所以f (1)＝0.(2)因为f (6)＝1，所以2＝f (6)＋f (6)，于是f (x ＋3)＋f (1x )≤2等价于f (x ＋3)－f (6)≤f (6)－f (1x )，即f (x ＋36)≤f (6x )， 而函数f (x )是定义域(0，＋∞)上的增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋36≤6x ，x ＋36>0，解得x ≥335， 因此满足已知条件的不等式解集为[335，＋∞). 评注 (1)对不等式右端的“2”进行变形是本题求解的关键之处；(2)本题是增函数概念“若x 1<x 2，则f (x 1)<f (x 2)”的逆用.利用这个性质可以去掉函数的符号“f ”，从而使问题得以解决.7 巧解指数、对数函数综合题指数函数y ＝a x 和对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们有共同的底数，且底数起了核心作用，其变化规律是：当a ＞1时，它们在各自的定义域内都是增函数；当0＜a ＜1时，它们在各自的定义域内都是减函数，因此在解决指数、对数函数型问题时，以底数为突破口，往往能够快速解题.1.共享底数对数式与指数式互化，其底数一致，即log a N ＝b ，a b ＝N .利用它可以解决指数、对数方程及互化等问题.例1 方程log 3(1－2·3x )＝2x ＋1的解x ＝________.解析 将对数式化为指数式，得32x ＋1＝1－2· 3x ，即3·(3x )2＋2·3x －1＝0，得3x ＝13，故x ＝－1. 答案 －12.亮出底数在有些指数、对数函数问题，特别是图象问题中，只要突出底数作用，即亮出底数，根据函数的单调性，就可解决.例2 当a ＞1时，在同一坐标系中，能表示函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图象的是( )解析 由a ＞1时，有0＜1a ＜1，则指数函数y ＝a －x ＝(1a)x 在R 上是减函数，对数函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，故排除B 、C 、D.答案 A3.变换底数对数或指数运算最怕是不同底，这时可利用换底公式等手段变换底数.例3 若log a 2＜log b 2＜0，则( )A.0＜a ＜b ＜1B.0＜b ＜a ＜1C.a ＞b ＞1D.b ＞a ＞1解析 化为同底，有1log 2a ＜1log 2b＜0， 从而log 2b ＜log 2a ＜0，即log 2b ＜log 2a ＜log 21.∵对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数.∴0＜b ＜a ＜1.答案 B4.讨论底数当底数不定时，常分0＜a ＜1与a ＞1两种情况进行讨论.例4 函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的差为5，则a ＝________.解析 由题意知，a ＞0，且a ≠1.①当a ＞1时，有a 1－a 0＝5，即a ＝6；②当0＜a ＜1时，有a 0－a 1＝5，即a ＝－4(舍去).综上知，a ＝6.答案 65.消去底数有时候指数及对数问题的底数存在，会给解题带来一定的麻烦，我们还可利用转化的思想(如用同底法、换底法等)消去底数，使问题简化.例5 设0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1.试比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小.解 作商⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a (1－x )log a (1＋x )＝|log (1＋x )(1－x )|， ∵0＜x ＜1，∴0＜1－x ＜1,1＜1＋x ＜2,0＜1－x 2＜1，∴|log (1＋x )(1－x )|＝－log (1＋x )(1－x )＝log (1＋x )11－x＝log (1＋x )1＋x 1－x 2＞log (1＋x )(1＋x )＝1. ∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)章末总结课件新人教A版必修12(1)
专题二 指数函数、对数函数及幂函数的图象与性质 指数函数、对数函数、幂函数是中学数学中重要的基本初等 函数．它们的图象与性质始终是高考考查的重点．由于指数函数 y＝ax，对数函数 y＝logax(a>0，a≠1)的图象与性质都与 a 的取 值有密切的联系，幂函数 y＝xα 的图象与性质与 α 的取值有关， a，α 变化时，函数的图象与性质也随之改变；因此，在 a，α 的 值不确定时，要对它们进行分类讨论．
当 t≥1 时，点 M(1,4)在曲线 y＝(12)t－a 上，则(12)1－a＝4，得 a ＝3，这时 y＝(12)t－3，
4t0≤t≤1， 所以 f(t)＝12t－3t>1.
(2)由题意知，需 f(t)≥0.25，当 0≤t≤1 时，由 4t≥0.25，得 t≥116，所以116≤t≤1；当 t>1 时，由(12)t－3≥0.25＝(12)2，得 t≤5， 所以 1<t≤5.所以满足 f(t)≥0.25 时，116≤t≤5.由此知，服药一次 治疗疾病有效的时间为 5－116＝41156小时．
[例 4] 方程 log2(x＋2)＝ －x的实数解有( B )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
[分析] 令 y1＝log2(x＋2)，y2＝ －x，分别作出两个函数图 象，利用数形结合的方法解题．
[解析]
令 y1＝log2(x＋2)，y2＝ －x，分别画出两个函数图象，如 图所示．
函数 y1＝log2(x＋2)的图象是由函数 y＝log2x 的图象向左平 移 2 个单位长度得到．
4．对数的运算性质：logaMN ＝logaM－logaN，loga(MN)＝logaM ＋logaN，logaMn＝nlogaM(n∈R)，其中 a>0，且 a≠1，M>0，N>0.
《函数的概念与基本初等函数Ⅰ》
2.对数的运算性质:
对数运算有如下性质: log a MN log a M log a N , M log a log a M log a N N 其中 a 0, a 1, M 0, N 0
1 2
当a 0, a 1, M 0时, log a M n n log a M , n R .
proper num ber .
通常将以10为底的对数称为常用对数 commonlog arithm.
在科学技术中 常常使用以e 为底的对 , 数, 这 种 对数 称为自然对数 ( natural log arithm) , e 2.71828 是 一个无理 数 .正数N 的自然对数loge N 一般记为 ln N .
对数函数的图象与性质
a 1
0 a 1
图象见几 何画板 图象见几 何画板
图 象
1定义域: 0,; 2值域: R ; 性 3图象过点1,0; 4 在0,上是
质
单调增函数;
在0,上是 单调减函数;
那么它的反函数记作 f 1 x . y
为y a x的反函数.一般地, 如果y f x 存在反函数,
yx
1
(1,1)
1 2
2 在第一象限内, 函数的图
象随 x 的增大而上升 函数在 , 区间0,上是单调增函数.
y x3
O
1
x
§2.5函数与方程
1.二次函数与一元二次方程
当a 0 时, 可以得到方程ax2 bx c 0的根与函数 y ax2 bx c 的图象之间的关系如下表所示. ,
1
1 定义域: R ; 2 值域: 0, ; 性 3图象过定点0,1; 质 4 在R上 在R上是
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基本初等函数(Ⅰ)知识点
〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
（1）根式的概念
①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇
数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n
表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．
②式子
n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为
任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．
③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，
a =；当n 为偶数时，
(0)
|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩
．
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m
n a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分
数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是：
1
()0,,,m m
n
n a
a m n N a
-+==
>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
①(0,,)r
s
r s
a a a
a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs
a a a r s R =>∈
③()(0,0,)r
r
r
ab a b a b r R =>>∈
【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数
〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义
①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式
log 10a =，log 1a a =，log b
a a
b =．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质
如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么
①加法：log log log ()a a a M N M N += ②减法：log log log a a a M M N N
-=
③
数
乘
：l
o g
l n
a
a
n M M
n R =∈④log a N
a
N
=⑤
log log (0,)b n
a a n M
M b n R b
=≠∈
⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a
=
>≠且
【2.2.2】对数函数及其性质
（5）对数函数
(6)反函数的概念
设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子
()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确
定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数
()y f x =的反函数，记作1
()x f
y -=，习惯上改写成1
()y f
x -=．
（7）反函数的求法
①确定反函数的定义域，即原函数的值域； ②从原函数式()y f x =中反解出1
()x f y -=；
③将1
()x f
y -=改写成1
()y f
x -=，并注明反函数的定义域．
（8）反函数的性质
①原函数()y f x =与反函数1
()y f
x -=的图象关于直线y x =对称．
②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1
()y f x -=的值域、定义域．
③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1
()y f x -=的图象
上．
④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．
〖2.3〗幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．
①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三
象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．
③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．
④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当
q p
α=
（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q
p y x =是奇函数，
若p 为奇数q 为偶数时，则q
p y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q
p y x =是非奇非偶函数．
⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线
y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直
线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．。