4.4两个三角形相似的判定(2)同步导学练(有答案)-(浙教版数学九年级)

4.4 两个三角形相似的判定（2）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．1.如图所示，如果∠BAD=∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能判定△ABC ∽△ADE 的是(C ). A.∠B=∠DB.∠C=∠AEDC.AD AB =BC DE D.AD AB =ACAE （第1题）（第2题）（第3题）2.如图所示，在方格纸中，△ABC 和△EPD 的顶点均在格点上，要使△ABC ∽△EPD ，则点P 所在的格点为(C ).A.P 1B.P 2C.P 3D.P 43.如图所示，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 上，且AC AD =31，AE=BE ，则有(B ). A.△AED ∽△BEDB.△AED ∽△CBDC.△AED ∽△ABDD.△BAD ∽△BCD4.如图所示，在△ABC 中，∠B=70°，AB=4，BC=6，将△ABC 沿图示中的虚线DE 剪开，剪下的三角形与原三角形相似的有(C ).(第4题) A.1个B.2个C.3个D.4个5.如图所示，在边长为1的正方形网格中有点P ，A ，B ，C ，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是△APB ∽△CPA ．（第5题）（第6题）6.如图所示，已知△ABC 中，D 为边AC 上一点，P 为边AB 上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP 的长度为 4或9 时，△ADP 和△ABC 相似．7.如图所示，在△ABC 和△ADE 中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．（第7题）（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）．（2）请分别说明两对三角形相似的理由．【答案】(1)△ABC ∽△ADE ，△ABD ∽△ACE.(2)∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE.∵∠ABC=∠ADE，∴△ABC ∽△ADE.∴AD AB =AE AC .∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD ∽△ACE.8.如图所示，AB=3AC ，BD=3AE ，BD∥AC，点B ，A ，E 在同一条直线上．（第8题）（1）求证：△ABD ∽△CAE ． （2）如果AC=BD ，AD=22BD ，设BD=a ，求BC 的长．【答案】(1)∵BD∥AC，点B ，A ，E 在同一条直线上，∴∠DBA=∠CAE.∵AC AB =AEBD =3，∴△ABD ∽△CAE. (2)∵AB=3AC=3BD，AD=22BD ，∴AD 2+BD 2=8BD 2+BD 2=9BD 2=AB 2.∴∠D=90°.∵△ABD ∽△CAE ， ∴∠E=∠D=90°.∵AE=31BD ，EC=31AD=322BD ，AB=3BD ，∴BC 2=（AB+AE ）2+EC 2=(3BD+31BD)2+(322BD)2=12BD 2=12a 2.∴BC=23a.9.如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，P 为AB 边上一动点，若△PAD与△PBC 是相似三角形，则满足条件的点P 有(C ).A.1个B.2个C.3个D.4个（第9题）（第10题）（第11题）（第12题）（第13题） 10.如图所示，AB 是半圆O 的直径，D ，E 是半圆上任意两点，连结AD ，DE ，AE 与BD 交于点C ，要使△ADC 与△ABD 相似，可以添加一个条件.下列添加的条件中，错误的是(D ).A.∠ACD=∠DABB.AD=DEC.AD 2=BD·CDD.CD·AB=AC·BD11.如图所示，在两个直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90°，AC=6，AD=2.当AB= 3或2时，这两个直角三角形相似．12.如图所示，P 为∠MON 平分线OC 上一点，以点P 为顶点的∠APB 两边分别与射线OM ，ON 相交于点A ，B ，如果∠APB 在绕点P 旋转时始终满足OA·OB=OP 2，我们就把∠APB 叫做∠MON 的关联角.如果∠MON=50°，∠APB是∠MON 的关联角，那么∠APB 的度数为155° .13.如图所示，ABCD 中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°，P 是射线AD 上的一个动点（与点A 不重合），BP 与AC 交于点E.设AP=x ，当x= 8 时，△ABP 与△EBC 相似．14.如图所示，已知△ABC ，△DCE，△FEG 是三个全等的等腰三角形，底边BC ，CE ，EG 在同一条直线上，且AB=3，BC=1，连结BF 分别交AC ，DC ，DE 于点P ，Q ，R ．（1）求证：△BFG ∽△FEG ，并求出BF 的长．（2）观察图形，请你提出一个与点P 相关的问题，并进行解答.（第14题）【答案】(1)∵△ABC ≌△DCE ≌△FEG ，∴BC=CE=EG=31BG=1,FG=AB=3.∴BG=3.∴EGFG = FG BG =33=3.∵∠BGF=∠FGE，∴△BFG ∽△FEG.∵△FEG 是等腰三角形，∴△BFG 是等腰三角形.∴BF=BG=3.(2)略15.如图所示，已知点D ，E 分别在△ABC 的边AC ，BC 上，线段BD 与AE 交于点F ，且CD·CA=CE·CB.（1）求证：∠CAE=∠CBD.（2）若EC BE =ACAB ，求证：AB·AD=AF·AE. （第15题）（第15题答图） 【答案】(1)∵CD·CA=CE·CB，∴CD CE =CBCA .∵∠ECA=∠DCB，∴△CAE ∽△CBD.∴∠CAE=∠CBD. (2)如答图所示，过点C 作CG∥AB，交AE 的延长线于点G.∴.∴CG=CA.∴∠G=∠CAG.∵∠G=∠BAG，∴∠CAG=∠BAG.∵∠CAE=∠CBD，∠AFD=∠BFE，∴∠ADF=∠BEF.∴△ADF ∽△AEB.∴AE AD =ABAF .∴AB·AD=AF·AE. 16.【随州】在△ABC 中，AB=6，AC=5，点D 在边AB 上，且AD=2，点E 在边AC 上，当AE=512或35时，以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似. 17.【宿迁】如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，点E 在边BC 上移动（点E 不与点B ，C 重合），满足∠DEF=∠B，且点D ，F 分别在边AB ，AC 上.（1）求证：△BDE ∽△CEF.（2）当点E 移动到BC 的中点时，求证：FE 平分∠DFC.（第17题）【答案】(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵∠BDE=180°-∠B -∠DEB，∠CEF=180°-∠DEF -∠DEB，∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF.∴△BDE ∽△CEF.(2)∵△BDE ∽△CEF ，∴CF BE =EF DE .∵点E 是BC 的中点，∴BE=CE.∴CF CE =EFDE .∵∠DEF=∠B=∠C，∴△DEF ∽△ECF.∴∠DFE=∠CFE.∴FE 平分∠DFC.18.如图所示，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=8cm.点E ，F ，G 分别从点A ，B ，C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动.点E ，G 的速度均为2cm/s ，点F 的速度为4cm/s ，当点F 追上点G （即点F 与点G 重合）时，三个点随之停止移动.设移动开始后第t （s ）时，△EFG 的面积为S （cm 2）.（1）当t=1(s)时，S 的值是多少？（2）写出S 关于t 的函数表达式，并指出自变量t 的取值范围．（3）若点F 在矩形的边BC 上移动，当t 为何值时，以点E ，B ，F 为顶点的三角形与以点F ，C ，G 为顶点的三角形相似？请说明理由．（第18题）(第18题答图)【答案】(1)当t=1(s)时，AE=2(cm)，EB=10(cm)，BF=4(cm)，FC=4(cm)，CG=2(cm)，S=S 梯形GCBE -S △EBF -S △FCG =21 (EB+CG)×BC -21EB×BF -21FC×CG=21×（10+2）×8-21×10×4-21×4×2 =24（cm 2）.(2)①如答图1所示，当0s ≤t ≤2s 时，点E ，F ，G 分别在边AB ，BC ，CD 上移动，此时AE=2t(cm)，EB=(12-2t)(cm)，BF=4t(cm)，FC=(8-4t)(cm)，CG=2t(cm)，S=S 梯形GCBE -S △EBF -S △FCG =21（EB+CG ）×BC -21EB×BF -21FC×CG=21×8×（12-2t+2t ）-21×4t （12-2t ）-21×2t （8-4t ）=8t 2-32t+48.②当点F 追上点G 时，4t=2t+8，解得t=4(s).如答图2所示,当2s ＜t ≤4s 时，点E 在边AB 上移动，点F ，G 都在边CD 上移动，此时CF=(4t-8)(cm)，CG=2t(cm)，FG=CG-CF=2t-（4t-8）=8-2t(cm)，S=21FG×BC=21（8-2t ）×8=-8t+32.∴S=()()⎩⎨⎧≤≤+-≤≤+-4232820483282t t t t t .(3)如答图1所示，当点F 在矩形BC 上移动时，0≤t ≤2.在△EBF 和△FCG 中，∠B=∠C=90°. ①若FC EB =CG BF ，即t t 48212--=t t 24，解得t=32.当t=32时，△EBF ∽△FCG. ②若GC EB =CF BF ,即t t 2212-=tt 484-，解得t=23.当t=23时，△EBF ∽△GCF. 综上所述，当t=32或t=23时，以点E ，B ，F 为顶点的三角形与以F ，C ，G 为顶点的三角形相似.。