数学建模

潍坊学院数学与信息科学学院数学建模实训论文实训题目：幸福感的评价与量化模型学生姓名、学号、专业班级1、2、3、指导教师：2012论文题目摘要问题一，采用加权平均的方法对主观指标进行分值量化（采取100到0分赋值法）利用熵值法求出二级指标对一级指标的权重向量，最后，建立了网民幸福指数的数学模型。

（单独一页，不得少于400字）关键字：二级模糊综合评价，层次分析法一问题重述改革开放三十多年，我国经济建设取得了巨大成就，人们物质生活得到了极大改善。

但也有越来越多的人开始思考：我们大力发展经济，最终目的是为了什么？温家宝总理近年来多次强调：我们所做的一切，都是为了让人民生活得更加幸福。

在今年的全国两会期间，“幸福感”也成为最热门词语之一。

幸福感是一种心理体验，它既是对生活的客观条件和所处状态的一种事实判断，又是对于生活的主观意义和满足程度的一种价值判断。

它表现为在生活满意度基础上产生的一种积极心理体验。

而幸福指数，就是衡量这种感受具体程度的主观指标数值。

美国、英国、荷兰、日本等发达国家都开始了幸福指数的研究，并创设了不同模式的幸福指数。

如果说GDP、GNP 是衡量国富、民富的标准，那么，百姓幸福指数就可以成为一个衡量百姓幸福感的标准。

百姓幸福指数与GDP一样重要，一方面，它可以监控经济社会运行态势；另一方面，它可以了解民众的生活满意度。

可以说,作为最重要的非经济因素，它是社会运行状况和民众生活状态的“晴雨表”，也是社会发展和民心向背的“风向标”。

国内学者也对幸福感指数进行了研究，试图建立衡量人们幸福感的量化模型，可参看附件的参考论文。

根据你自己对幸福感的理解，要求完成以下工作：1、附表给出了网上调查的一系列数据，根据这些数据，试建立网民幸福感的评价指标体系，并利用这些指标建立衡量幸福指数的数学模型。

2、试查找相关资料，分别建立某一地区或某一学校教师和学生的幸福指数的数学模型，并找出影响他们幸福感的主要因素。

3、你所建立的评价体系和模型，能否推广到更加普遍的人群，试讨论之。

4、根据你所建模型得出的结论，给相关部门(例如政府、或学校管理部门等)写一封短信(1页纸以内)，阐明你对幸福的理解和建议。

二问题分析在问题一中，由于幸福指数的影响因素较多，我们可以采用表（表5-1）二级分层结构，即采用二级模糊综合评判的方法，就足以解决问题了。

我们发现要通过模糊综合评价对网民幸福指数幸福感指数进行衡量，缺少了各个因素的权重值，所以就必须要求出影响网民幸福指数的一级指标的权重才能进行网民幸福指数的衡量。

因为网民幸福指数有每个一级指标构成，所以要求出每个一级指标对于幸福指数影响的权重，而每个一级指标又是有二级指标来决定的，也要求出一级指标下每个二级指标对于一级指标影响的权重。

对于此，我们引入熵权法先求解二级指标对于一级指标的权重，进而求解出一级指标对于网民幸福指数的权重。

三符号说明模型建立与求解1.问题一1.1建立网民幸福感的评价指标体系我们根据附表给出的数据进行指标体系的确立。

根据大量文献，我们筛选出具有公平合理选取指标的基本原则如下：（1）针对性原则。

紧扣政府可作为目标，侧重与对提升居民幸福感的政府公共管理可作为的方面环节筛选指标。

（2）科学性原则。

既能科学反映现阶段居民幸福感的内涵，又与构建指标体系的目标相一致，能借助与所选取指标的指标值统计表现，反映一定问题，为提升政府服务效能提供依据。

（3）可行性原则。

能组织实施所构建指标体系设计的调查，所选取指标容易被认知，能为被访者接受并有效反馈。

（4）简洁性原则。

指标选取紧扣目标，避繁就简，依据所建指标体系所要开展的调查，既能服务与调研预期目的，又尽可能节约成本。

因此，我们将附表所给的19个数据分为5个类别——社会环境，经济因素，生活质量，人际关系，自我评价，作为一级指标；将19个数据作为二级指标；得到如下的评价指标体系：1.2建立衡量幸福指数的数学模型(1)的票数所占的比例乘以其对应的量化值得到。

(2)对于5个一级指标，19个二级指标，把)19,,2,1;5,,2,1( ==j i H ij 作为第i 个一级指标的第j 个二级指标的量化值（例如二级指标幸福程度对一级指标自我审视的量化值为：2.6706.02012.04035.06034.08013.010011=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=H ）。

表 二级指标在一级指标中的量化值利用MATLAB 软件编程求权重根据熵权法原理，用MATLAB 编程求解（代码见附录），得到各个一级指标对幸福指数影响的权重如下表：（3）计算第j 个指标下第i 个一级指标占该指标的比重：)19,,2,1;5,,2,1(1===∑=j i HH p ni ijijij（4）计算第j 项指标的熵值。

1ln(),(0,1/ln(),0)mj ij ij j i e k p p k k n e ==->=≥∑（5）计算第j 个指标的差异系数。

对于第j 个指标，指标值的差异越大，对方案评价的作用就越大，熵值就越小。

定义差异系数：1,j i ee g m E -=-式中11,01,1mme jj j j j E eg g ===≤≤=∑∑（6）求权数：1(1)jj mjj g w j m g==≤≤∑（7）：计算各指标的综合得分：1(1,2,...)mi jijj s wp i n ==∙=∑第一步：将因素集{}12,,,n U u u u = 按某种属性分成s 个子因素集12,,,s U U U ，其中{}12,,,,1,2,,i i i in U u u u i s == ，且满足：① 12s n n n n ++= ② 12s U U U U = ③ 对任意的,i j i j U U ≠=∅第二步：对每一个因素集i U ，分别做出综合评判。

设{}12,,,m V v v v = 为评语集，i U 中各因素相对于V 的权重分配是：()12,,,i i i in A a a a =若i R 为单因素评判矩阵，则得到一级评判向量：()12,,,, 1,2,,i i i i i im B A R b b b i s ===第三步：将每个i U 看作一个因素，记为：{}12,,,s K u u u =这样，K 又是一个因素集，K 的单因素评判矩阵为：11112122122212m ms s sm s B b b b B b b b R b b b B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦每个i U 作为U 的部分，反映了U 的某种属性，可以按它们的重要性给出权重分配()12,,,s A a a a = ，于是得到二级评判向量：()12,,,m B A R b b b ==如果每个子因素集,1,2,,i U i s = ，含有较多的因素，可将i U 再进行划分，于是有三级评判模型，甚至四级、五级模型等。

根据熵权法原理，用MATLAB 编程求解（代码见附录） 计算出各个二级指标所占一级指标的权重，结果如下表2.问题2.1 建立教师与学生的幸福指数的评价体系教师的幸福指数的评价体系学生的幸福指数的评价体系2.2 建立教师和学生的幸福指数的数学模型模型的建立一、层次分析法求权重我们将决策问题化为三个层次：目标成、准则层、方案层，每层都有若干元素，各层之间的关系用直线将其连起，通过一一比较得出各层对目标的权重及若干元素在上层中的权重，并将这两种权重组合确定对幸福度目标的。

运用层次分析模型，大致分为4个基本步骤。

1)建立递阶层结构模型（见图1）根据所给因素的属性将其分为最高层，中间层和最底层。

在相同一层的元素是一类标准，对同时对下一层元素有支配作用，同时有受上一层至支配，这种从上到下的关系就叫做一种地接层次。

最高一层只有一个元素，他是问题的预定目标，表示解决问题的目的，因此被称为目标层。

中间层为要实现目标可以采纳的方案、措施，它可以包含若干层次，但是同一层次必须为同等条件下的影响目标层的因素。

最底层即为实现目标可供选择的方案，解决措施，所以称为方案层。

2）构造两两比较判断矩形设要对比n 个因素X={x 1, x 2…。

x n }对目标Z 的影响之比 ，两两比较判断的矩阵：A = （a ij ）n * n (1) 其中a ij > 0, a ji = 1/a ij （ i ≠j ）a ij = 1 （i,j = 1,2,… n ） (2)使（2）成立的矩阵称为正反比较判断矩阵： 其中a ij 采用传统的1-9 及其倒数作为标度，如介于临届值，则采用中间值2,4,6,8.（见表 1） 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个。

用1~3,1~5,…1~17,…,1p ~9p(p =2,3,4,5), d +0.1~d +0.9 (d =1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现， 1~9尺度较优3）层次单排序及其一致性检验（1）层次单排序。

先接触判断矩阵A 的最大特征值λmax,再利用：AW = λmax W (3)⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n nn n w w w w w w w w w w w w w w w w w w A212221212111(2)一致性检验。

首先计算A 的一致性指标CI ，定义 CI =1-n n-max λ (4)式中，n 为A 的阶数。

当CI – 0 ，即max λ = n 时，A 有完全一致性。

CI越大，A 的一致性越差。

将CI 于平均随机一致指标RI 进行比较，令CR =RICI ,称RI 为随机性一致性比率。

当CR < 0.10 时，A 具有满意的一致性，否则要对A 重新调整，知道具有满意的一致性。

这样便计算出max λ所对应的特征向量W ，经过标准化后，才可以作为层次单排序的权值。

（4）层次总排序及其一致性的检验 利用同一层中所有层次单排序的结果，计算对上一层而言本层次所有元素重要性的权值，这就是层次总排序。

设上一层次所有元素A 1A 2，…A m的总排序已经完成，七权值对应分别为a 1a 2…a m 与本岑元素B 1B 2B n 1单排序结果为.21,,,nj jj b b b 。

层次总排序一致性指标为CI =∑=mj ajCIj1（6）式中RIj 为于aj 对应的B 层次中判断矩阵的随机一致性指标。

层次综排序随机一致性比率为 RICI CR =(7)当10.0≤CR 时，认为总排序的计算结果有满意一致性表3 平均随机一致性指标R.I.表（1000次正互反矩阵计算结果）第三步，计算一致性比例C.R.（consistency ratio ）并进行判断......I R I C R C =当C.R.<0.1时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，C.R.>0.1时，认为判断矩阵不符合一致性要求，需要对该判断矩阵进行重新修正。