微积分入门的两个热身问题

微积分入门的两个热身问题问题1：曲线的切线问题如何作出一条给定曲线在某点处的切线，是引发微积分诞生的问题之一。

我们先从一个简单例子说起。

222A ，OA 与x 轴的夹角为θ。

求A 点处的圆的切线。

本例可以用解析几何方法求解。

如图所示，设AB 是过圆上一点A 的切线，那么半径OA 就是过A 的圆的法线。

根据曲线在一点处的切线与法线的斜率之积等于—1的原理，只须计算出AB 的斜率值，然后用点斜式直线方程不难写出AB 的方程。

这个计算过程留给大家，因为这是中学生可以求解的问题。

当曲线是一般形式时，中学的初等数学关于圆的切线的定义就成问题了，因为对圆的切线的定义是：与圆只有一个交点的直线。

见下图，若用这样的定义就遇到了困惑：A 点处的切线与曲线不止一个交点。

所以，一般曲线的切线的定义必须另行考虑，研究对象改变了，定义也应与时俱进地变。

高等数学一般用“运动”或“变化”的思想加以考虑，因为高等数学希望致力于寻求普遍地解决问题的方法，而不是一个一个例子地讨论。

考虑左图一个典型问题。

设()y f x =是定义在(,)a b 上的函数，它在坐标系O xy -中为一条曲线。

问题：过此曲线上的已知点000(,())P x f x 作该曲线的切线。

思想：作出过0P 点的任意一条割线，使之运动到“极限”位置，这个极限位置的割线就是所求的切线。

实现的方法：设所求切线为0PT （见图）。

考虑曲线上的任一点(,())P x f x ，连接0P P 作曲线的割线，显然，这样的割线是任意的。

容易知，此割线的斜率等于00()()f x f x k x x -=-。

（+） 现在使P 点沿曲线变动，那么割线的位置也随之变动。

我们取这样的变动方式：使P 点逐步接近0P 点，则割线0P P 将接近0PT 。

用极限的思想，P 无限接近0P 的过程的极限位置，就是所求切线0PT 。

联系到（+）式，也就是说，割线的斜率的极限值就是所求切线的斜率0k ，用数学式子说，便是00000()()lim lim P P x x f x f x k k x x →→-==-。

（*） 于是，利用直线的点斜式方程，不难写出所求的切线方程！这么看来，求切线的关键是计算（*）式的极限。

不过，在上述叙述的过程中，还隐含着许多疑问。

比如，割线存在不存在极限位置？也就是极限的存在性。

以后我们将会看到，对于相当普遍的函数（包括中学里学过的所有初等函数），当P 无限接近0P 时，割线0PP 确实存在一个极限位置，所以（*）所示的极限在大多数情况下可以计算出来。

当然，存在是一回事，如何计算又是另一回事。

有的同学可能思路很活跃，他会说，我们在中学里学过如何求极限了，因此求切线的问题不在话下了。

需要注意极限式（*）的特点：它的分母是0x x -，分子是0()()f x f x -，它们在0x x →的过程中都是趋向于0（但不是0!），大家想过没有：这样的分子分母相除的结果会是什么呢？这些都是在微积分的发展进程中逐步解决了的问题，但对我们初学者来说，还是问题。

有问题不怕，学习的过程就是逐步前进的过程。

有一点很重要，即应带着疑问来学。

疑问从何而来，要在解决问题中提炼出来。

也就是说，需要我们学会题的出疑问。

只有题的出疑问的学生，才是有希望的。

好！我们就用上面的思想与方法来解决实际问题。

例2 求抛物线2y x =在点0(1,1)P 处的切线方程。

解：先写出过0P 点的任意割线0P P 的斜率：200()()111f x f x x k x x x x --===+--。

再求其极限：020111lim lim lim(1)21P P x x x k k x x →→→-===+=- 最后一步极限计算，我们直接用了中学里介绍的计算方法（代入法），至于为什么可以这样算，将是我们这门课程要研究的。

于是，所求的切线方程（用点斜式方程）为12(1)y x -=-，即 21y x =-。

但是，千万不要就这个例子解决得很顺利，就误以为万事大结。

比如回到一开始的例1求2种变量。

方法1：设定点A 对应角为0θ，且设圆上动点B 对应的θ。

则 0000000sin sin sin sin lim lim cos cos cos cos a a k a a θθθθθθθθθθθθ→→--==--。

这个极限我们还不会求！不过对于中学里学过导数的同学，可能000000sin cos lim cot cos cos sin θθθθθθθθθθ→→-==---至于为什么可以这样计算，则是本课程的重要任务之一。

我们不仅要知道怎么做，更需要理解为什么这么做。

这才是大学的学习之道！方法2：用动点B 的x 坐标：000lim x x k →= 这个极限我们还不会计算。

因此，用高等数学的方法，求圆的切线问题反而比求抛物线的切线更困难！这里的困难在于计算极限值。

如何计算极限，是微积分的一个重要内容。

还是回到式子（+）。

大家一定要熟悉这样形式的极限，因为它与微积分课程的一个极其重要的概念——导数，发生着关系。

而导数的概念，我们将在第2次课上与它亲密接触！也就是说，我们已经不知不觉走进了微积分的第一部分内容——微分学！回想一下刚才求切线斜率的过程，体会其中的思想精华。

用割线代替切线，是一种“倒退”行为，是明显的近似，但这样的“倒退”看似无奈，却是以退求进。

“退”是因为我们一下子求不出切线的斜率，但我们可以运用极限这个工具，来逼近切线的斜率，实质上，是用了“近似”这个“桥梁”到达了精确的彼岸。

你看，在近似和精确这一对矛盾之间，看到了辩证法的威力了吧！这种辩证思想，在下一个积分问题的处理上，更是达到了顶峰。

你能找些你熟悉的函数，来试着计算（+）吗？体会体会看！科学就是这样试出来的，牛顿们当初是这样开辟新天地的！你动手吧！问题2 曲边四边形的面积问题我们在中学里学会了求一些比较规则的几何图形的面积，比如正方形，长方形，三角形和圆，在此基础上，稍复杂些的平行四边形，菱形乃至多边形等也会计算器面积。

现在考虑下面一个曲边梯形的面积问题。

所谓曲边梯形是如图所示的图形，即由直线,x a x b ==，x 轴和曲线()y f x =所围成的图形。

怎么计算它的面积大小呢？首先得承认，这样的图形的面积肯定是客观存在着的，它总有占有平面上的一定大小。

问题是如何把它计算出来！初等数学是没有办法的。

那么，高等数学是按什么思想来计算？ 也是先做我们能够计算的近似值作为桥梁，再运用极限为工具，达到精确的面积值！我们之所以不能直接计算上述这个曲边梯形的面积S ，困难在于有最上面的曲线()y f x =。

绕开它，想办法用我们能计算的近似值来近似！下面来一步一步来分解这个过程。

近似的第一步是“构造”有限个小的矩形。

因为有限个矩形的面积我们可以求出来。

为此，将区间[,]a b 中任意插入1n -个点：1231n x x x x -<<<< ，并记0,n a x b x ==。

第二步，在各小区间1[,]i i x x -上(1,2,,)i n = ，记1i i i x x x -∆=-， 并取i ξ∈1[,]i i x x -，以()i f ξ，作为小矩形的高，这个小矩形的面积为()i i f x ξ∆， 那么这n 个小矩形面积之和就是10()n n i ii S f x ξ-==∆∑ 第三步，也是最重要的一步，我们取区间[,]a b 上的点越来越多，乃至于n →∞，那么直观上n S 的值将会逼近所要求的曲边梯形的面积，也就是10lim lim ()n n i i n n i S f x S ξ-→∞→∞==∆=∑ （2.1）这就是微积分中的第二大部分——积分学——的基本框架，其思想和实现方法的内容基本包括在内。

当然还存在很多理论上必须解决的问题，比如， （2.1）的极限是否存在的问题。

因为一开始10()n n i i i S f x ξ-==∆∑只是有限项之和，而到了10lim ()n i in i f x ξ-→∞=∆∑，则是无限项的极限，其中的每一项由于i x ∆越来越小，趋于0（但不等于0），那么极限是否存在，是需要严格论证的，否则我们在做无聊的游戏。

这些问题随着课程的深入，都会明确的解答。

好，理解上述积分的思想没有？如果基本有点认识，我们来做一个能求出极限的例子。

例3 求0,1x x ==，x 轴与 2y x =所围成的曲边三角形的面积S 。

[0,1]n 等分，得分点 123110,,,,,,,,,1i i n n n n n n n n n--= ， 1n。

n 个小矩形组成阶梯形的图形，i 个小矩形的面积为211()i i i t f x n n n⎛⎫== ⎪⎝⎭， （#） 211001n n i i i i T t n n--==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑。

我们若取等分数n →∞，那么有理由认为2130lim lim n n n i i S T n-→∞→∞===∑。

上述极限我们每一位同学可以计算：2112233330011111lim lim lim lim (1)(21)6n n n n n i i k i S i k n n n n n n n --→∞→∞=======++∑∑∑ 11211111lim lim(1)(2)663n n n n n n n n →∞→∞++=⋅=++= 好，我们用积分的思想和中学介绍的计算极限的方法，得出所求的曲边三角形的面积为13。

当然对积极思考的同学而言，这里实际上还存在一个疑问：为什么lim n S T →∞=是成立的？问得好！为了解决这个疑问，我们还可以用另一种方法——从两边夹过来的方法，确定S 的值。

在上面的（#）中，我们还可以用另一个“大”的小矩形面积来近似第i 个曲边梯形的面积：2213111(1)()i i i i u f x n n n n+++⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 显然，第i 个曲边小梯形的面积i s 是介于i t 和i u 之间： ,0,1,2,,1i i i t s u i n ≤≤=-所以所有小曲边梯形的面积之和S ，正好介于两个阶梯形的面积之间：221100111n n i i i i T S U n n n n--==+⎛⎫⎛⎫=≤≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑我们在上述不等式的两边取n →∞的极限：221100111lim lim lim lim n n n n n n i i i i T S U n n n n--→∞→∞→∞→∞==+⎛⎫⎛⎫=≤≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 我们已经求出左边的极限为13，容易求出右边的和式在n →∞的极限也是13，所以有 1133S ≤≤ 从而有 13S =。