微积分基础知识 PPT

合集下载

微积分基本公式PPT课件

xa a
x
( x a) f ( x) f (t)dt
证 F ( x)
a
(x a)2
x
只要证明 ( x a) f ( x) f (t)dt 0 即可. a
令 g( x) ( x a) f ( x)
x
f (t)dt ,
a
则 g( x) f ( x) ( x a) f ( x) f ( x)
原函数.
该定理告诉我们, 连续函数一定有原函数.
6
变限积分函数的求导：
d x f (t)dt f ( x) ，
dx a
d
b
f (t)dt
d
x f (t)dt f ( x) ，
dx x
dx b
设(x) 在[a, b]上可导,则
d
(x)
f (t)dt f [( x)]( x) .
dx a
证设 Φ( x) x f (t)dt ，则 (x) f (t)dt Φ[( x)]，
a
a
所以
d
(x)
f (t)dt Φ[ ( x)] ( x) f [( x)]( x) .
dx a
7
更一般地，设 ( x) ， ( x) 在[a, b] 上可导,则
d (x)
f (t)dt
dx ( x)
§6.3 微积分基本定理
用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的方法
原函数存在定理牛顿-莱布尼茨公式
1
原函数存在定理
定理6.3 设函数f ( x)在[a, b]上连续, 则变上限积分
x
Φ( x) a f (t)dt
在[a, b]上可导, 且
Φ( x) d
x

微积分ppt课件

和趋势。
02
微积分在机器学习中的应用
利用微积分优化算法，提高机器学习的效率和准确性。
03
微积分在金融工程中的应用
研究微积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用，推动金融工程
的发展。
THANKS
感谢观看
用微积分解决经济学问题
总结词
微积分在经济学中用于研究经济现象的变化规律和优化资源配置。
详细描述
在经济学中，微积分被用于分析边际成本、边际收益、边际效用等问题，以及研究经济增长、通货膨胀、供需关系等经济现象的变化规律。此外，微积分还可以用于优化生产和分配资源，提高经济效率。
06
微积分的未来发展与展望
微积分与其他学科的交叉研究
微积分与物理学的交叉
01
研究微积分在解决物理问题中的应用，如流体力学、电磁学等
领域的数学模型。
微积分与经济学的交叉
02
探讨微积分在经济学理论和应用方面的作用，如最优控制理论
、动态规划等。
微积分与计算机科学的交叉
03
研究微积分在算法设计、数据科学、人工智能等领域的应用。
微积分的未来发展方向
上的整体性质，如求面积、体积等。
微积分提供了研究函数和解决实际问题的有效工具，是高等数学的重要基础。
微积分的发展历史
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微积分学，为微积分的发展奠定了基础。
19世纪，柯西、黎曼等数学家对微积分的概念和基础进行了深入的研究和探讨，进一步完善了微积分理
论。
微积分的发展经历了漫长的过程，最早可以追溯到古代数学家对面积、体积等问题的研究。
1 2
微积分的理论深化
进一步探索微积分的数学原理，发展新的理论和方法。

大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx

高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法或莱布尼茨公式等方法进行求解。需要注意的是，在计算过程中要遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。例如，在物理学中，加速度是速度的一阶导数，而速度是位移的一阶导数；在工程学中，梁的挠度是荷载的一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在该点有定义，且左右极限相等并等于函数值。连续性是函数的基本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在该点的切线斜率存在，即函数在该点有导数。可微性反映了函数局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连续。即函数的连续性是可微性的必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼茨独立发展。经过数百年的完善，已成为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了有效方法。

《微积分的基本定理》课件

物理
在物理学科中，该定理可以用来解决各种物理量如质量、速度、力等的积分问题，例如计算物体的动量、动能等。
工程
在工程领域，该定理可以用来解决各种实际问题的积分计算，例如计算电路中的电流、求解流体动力学中的压力分布等。
02 定理的证明
定理证明的思路
明确问题
首先，我们需要明确微积分的基本定理是关于什么的，以及它要解决的问题是什么。
难点2
如何利用积分运算法则简化每个小部分的积分。
关键点1
理解定积分的定义和性质，以及它们在证明定理中的作用。
关键点2
掌握导数的定义和性质，以及它们在推导原函数值增量中的应用。
03 定理的推论和扩展
推论一：积分中值定理
总结词
积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它表明在闭区间上连续的函数一定存在至少一个点，使得该函数在此点的值为该区间上函数积分的平均值。
详细描述
积分中值定理是微积分中的一个基本定理，它表明如果一个函数在闭区间上连续，那么在这个区间内一定存在至少一个点，使得该函数在这一点处的值等于该函数在整个区间上的平均值。这个定理在解决一些微积分问题时非常有用，因为它可以帮助我们找到函数在某个点处的值，而不需要计算整个区间的积分。
推论二：洛必达法则
个定积分的值就是曲边梯形的面积。
应用实例二：求解不定积分
总结词
微积分的基本定理是求解不定积分的关键工具。
VS
详细描述
不定积分是微分学的逆运算，其求解过程需要用到微积分的基本定理。根据基本定理，不定积分∫f(x)dx = F(x) + C，其中 F(x)是f(x)的一个原函数，C是常数。通过基本定理，我们可以找到一个函数F(x)，使得F'(x) = f(x)。这样，我们就可以求解不定积分了。

( 人教A版)微积分基本定理课件 (共38张PPT)

2
2
答案：D
3．设 f(x)＝x22－，x0，≤1x<≤x≤1，2，
则2f(x)dx 等于________． 0
解析：2f(x)dx＝1x2dx＋2(2－x)dx
0
0
1
＝x3310 ＋(2x－x22)21
＝13＋[(2×2－222)－(2－12)]＝56.
答案：56
探究一计算简单函数的定积分
[自主梳理]
如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x) 内容＝ f(x)，那么bf(x)dx＝ F(b)－F(a)
a
符号
bf(x)dx＝F(x)ba ＝ F(b)－F(a)
a
二、定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面积为 S 下，则 1．当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图(1)，则bf(x)dx＝ S 上．
(7)baxdx＝lnaxaba (a>0 且 a≠1)． a
1．计算下列定积分．
(1)1(x3－2x)dx； 0
(2)
2 0
(x＋cos
x)dx；
(3
解析：(1)∵(14x4－x2)′＝x3－2x，
∴1(x3－2x)dx＝(14x4－x2)10 ＝－34. 0
2．(1)若
f(x)＝x2 cos
x≤0 x－1
x>0
2．常见函数的定积分公式： (1)bCdx＝Cxba (C 为常数)．
a
(2)abxndx＝n＋1 1xn＋1ba (n≠－1)． (3)bsin xdx＝－cos xba .
a
(4)bcos xdx＝sin xba . a
(5)b1xdx＝ln xba (b>a>0)． a

微积分讲解ppt课件

多元函数的表示方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义域
使多元函数有意义的自变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合。
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将方程转化为可积分的形式
二阶常微分方程解法
可降阶的二阶微分方程
通过变量替换或分组，将方程降为一阶微分方程求解
二阶线性微分方程法
利用特征根的性质，求解二阶线性常系数齐次和非齐次微分方程
常系数线性微分方程组法
在经济学中的应用
边际分析
通过求导计算边际成本、边际收益等，为企业的决策提供依据。
弹性分析
研究价格、需求等经济变量之间的相对变化关系，微积分可用于计算弹性系数。
最优化问题
在资源有限的情况下，通过微积分求解最大化或最小化某一经济指标的问题。
在工程学中的应用
结构力学
分析建筑、桥梁等结构的受力情况和稳定性，微积分可用于求解复杂的力学方程。
通过消元法或特征根法，求解常系数线性微分方程组
05
多元函数微积分
多元函数的基本概念
多元函数的定义
设D为一个非空的n元有序数组的集合，f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组 (x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在 D上的n元函数。

大学微积分课件(PPT版)

微分方程是包含未知函数及其导数的等式。
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微分方程，可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微分方程，可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公式等。通过这些方法，可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种类型。对于无穷积分，需要讨论其在有限的区间上收敛的情况；对于瑕积分，需要讨论其在某一点附近的收敛情况。反常积分的计算方法与定积分的计算方法类似，但需要注意收敛的条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势的一种数学工具。对于函数$f(x)$，如果当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值趋近于某个确定的常数$L$，则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和局部有界性等性质。这些性质有助于我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中，我们经常需要研究连续函数的性质和变化规律，以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。

大学微积分课件(PPT幻灯片版)

0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成n个小区间，各小区间的长度依次
为
一x点i i （xii xi1x，i ）(i，作1,乘2,积)f，(在i 各小(区i 间1上,2任,取)
)xi n
并作和S
记 x max{i1x1
,f(x2 ,i), xxin，}，
积分下限
被积函数
被积
积分
[a,b] 积分区间
表
变
达式
量
注意：
（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，
而与积分变量的字母无关.
b
b
b
a f ( x)dx a f (t)dt a f (u)du
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
（3）当函数 f ( x) 在区间[a, b]上的定积分存在时
)
x max{x1, x2 , xn }
趋近于零 ( x 0或者 n0) 时，
曲边梯形面积为 A lim0 i1 f (i )xi
实例2 （求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是
时间间隔 [T1 ,T2 ] 上 t 的一个连续函数，且 v(t) 0，求物体在这段时间内所经过的路程
b
k a f ( x)dx.
性质3 假设a c b
b
a
f
( x)dx

b
c
f
( x)dx .
补充：不论 a,b,c的相对位置如何, 上式总成立.
例若 a b c,
c
a
f ( x)dx

b
c

微积分基本公式ppt课件

热力学
温度与热量，熵与绝热过程，热力学第二定律
微积分在经济中的应用实例
01
总结词
边际分析，最优化问题，经济增长模型
最优化问题
最大利润，最小成本，最优解
03
02
边际分析
边际成本，边际收益，边际利润
经济增长模型
索洛模型，哈罗德-多马模型，内生增长模型
04
THANKS
感谢观看
微积分基本公式的应用实例
总结词
微积分基本公式在解决实际问题中有着广泛的应用，例如求解变速直线运动的位移、求解曲线的面积等。
详细描述
通过微积分基本公式，我们可以求解变速直线运动的位移。例如，假设一个物体以速度 v(t)运动，那么物体在时间t到时间t+Δt之间的位移就是∫(v(t)dt)，通过微积分基本公式可以求得该物体的位移。此外，微积分基本公式还可以用于求解曲线的面积，例如求解
要点二
高阶导数的几何意义
掌握高阶导数的计算方法，例如利用莱布尼茨公式计算二阶、三阶等高阶导数。
理解高阶导数在几何上的意义，例如二阶导数表示曲线的凹凸性，三阶导数表示曲线的拐点等。
05
定积分的计算
定积分的计算方法与技巧
积分公式
掌握积分公式是进行定积分计算的基础，包括幂函数的积分公式、三角函数的积分公式等。
微积分基本公式
微积分基本公式的内容与证明
总结词
微积分基本公式是微积分学的基础，它描述了函数在某一点处的导数与该函数在该点附近的变化率之间的关系。
详细描述
微积分基本公式通常表示为∫(f'(x))dx = f(b) - f(a)，其中∫代表积分，f'(x)代表函数f 在点x处的导数，b和a分别代表积分的上限和下限。这个公式在理解函数的积分和导数之间关系上起着关键作用。

微积分讲解ppt课件

3.2.1 原函数和不定积分的概念
一、案例二、概念和公式的引出
一、案例[路程函数]
已知物体的运动方程为 s(t) t2 ，则其速度为 v(t) s(t) (t 2 ) 2t
这里速度2t是路程t2的导数，反过来，路程t2又称为速度2t的什么函数呢？若已知物体运动的速度v(t)，又如何求物体的运动方程s(t)呢？
f xdx f x C 或 df x f x C
3.2.2 基本积分表
一、案例二、概念和公式的引出
一、案例[幂函数的不定积分]
因为

x 1

1

x
x 1
1 是 x 的一个原函数
于是
x dx x 1 C
32微积分基本公式321原函数和不定积分的概念322基本积分表323微积分基本公式321原函数和不定积分的概念一案例二概念和公式的引出一案例路程函数已知物体的运动方程为又称为速度2t的什么函数呢
3.2 微积分基本公式
3.2.1 原函数和不定积分的概念 3.2.2 基本积分表 3.2.3 微积分基本公式
1
1
类似地, 由基本初等函数的求导公式，可以写出与之对应的不定积分公式．
二、概念和公式的引出
1.基本积分表
(1)
kdx kx C ( k 为常数）
(2) x dx x 1 C
1
1
(3)

1 x
dx

ln
x

C
(4) a xdx a x C
即两个函数和(差)的定积分等于它们定积分的和(差)．性质１可推广到有限个函数的情形．
(2) 性质2 kf xdx k f xdx k为常数

《微积分入门》课件

《微积分入门》ppt课件
目录
• 微积分简介 • 极限与连续性 • 导数与微分 • 积分 • 微分方程
01
微积分简介
微积分的起源
01
微积分的起源可以追溯到古代数学，如希腊数学家阿基米德对面积和体积的研究。
02
微积分的发展在17世纪取得了突破，以牛顿和莱布尼茨
的工作为基础。
03
微积分在18世纪和19世纪得到了进一步的发展和完善，成为现代数学的重要分支。
反常积分
反常积分的定义
反常积分又称为瑕积分，它是在一个区间上定义的，但与常规的定积分有所不同。反常积分分为两种：一种是无穷区间上的反常积分，另一种是有限区间上无界函数的反常积
分。
反常积分的性质
反常积分也具有一些重要的性质，如可加性、区间可加性等。这些性质在处理一些特殊函数或解决一些实际问题时非常有用。
微积分的应用
01
微积分在物理学、工程学、经济学、生物学等领域有着广泛的应用。
02
微积分可以用来解决速度、加速度、功率、电流、压力、密度等问题。
03
微积分在金融领域中可以用来计算股票价格、投资回报率等。
微积分的基本概念
01
极限
极限是微积分的基本概念之一，它描述了函数在某一点的变
化趋势。
02
05
微分方程
微分方程的建立与求解
总结词
理解微分方程的建立过程，掌握求解微分方程的基本方法。
VS
详细描述
微分方程是描述数学模型中变量之间变化关系的工具，通过理解问题背景和数学模型，可以建立微分方程。求解微分方程的方法包括分离变量法、常数变异法、参数变异法等，这些方法能够求解各种类型的微分方程。

-微积分的基本公式 31页PPT文档

a
b
b
x
xf(t)dtbf(t)dt,
所以，我们只需讨论积分上限函数.
bf (t)dt 称为积分下限函 . 数 x
定理 1 若 f( x ) R ( a , b [ ]则 ) ( x , ) x f( t ) d t C ( a , b [ ].) a 证 x [ a ,b ] ,且 x x [ a ,b ] ,则
(其中 , C为任意常.)数
定积分的计算归结为求相应的原函数的计算.
什么样的函数的原函数一定存在？
问题
定理若 f ( x ) C ( a , b [ ]则 )F ( , x ) x f ( t ) d t ,x [ a , b ] a 为f(x)在[a,b]上的一个原. 函数
分上限函数:
x
x
( x ) a f( x ) d x a f( t) d t x [ a ,b ] .
积分上限函数的几何意义 y
yf(x)
aO
xx b x
积分上限函数的几何意义 y
x
a f (t)dt
yf(x)
aO
xx b x
曲边梯形的面积的代数和随 x 的位置而变化。
由积分bf的 (x)dx性 a质 f(x)dx ： ,有
这是复合函数求导, 你能由此写出它的一般形式吗?
一般地,
若 (x )可 ,f(x 导 ) C ,则
( x )
( x ) ( a f( t) d t) f(( x )) ( x ) .
例3
e 1 t2 dt
计算lx im 0 coxsx2 .
解
1et2dt
定积分的计算问题转化为:已知函数的导函数,求原来函数的问题 .

《微积分》PPT课件

x x0
f (x)
f
(x0 )
何时函数f(x)在点处间断？
(1)f(x)在点 x0 处无定义；
(2)f(x)在点
x0 处有定义，但
时，函数f（x)以常数A为极限，记作
lim f (x) A或f (x) A(x )
x
定义 2 . 5 ：若对于任意给定的正数，总存
在一个正数M，使得当x＞M（x＜-M）时，
恒有 f (x) A＜成立，则称当 x （x )
时，函数f（x)以常数A为极限，记作
y=arcsinx x [1,1], y [ , ]
22
y=arccos x [-1,1], y [0, ]
y=arctanx X R, y ( , ) 22
y=arccotx X R，y （0，）
1.4 初等函数（三角函数）
正弦函数和余弦函数
正切函数和余切函数
正割函数与余割函数
三角函数的基本关系式：
xx0
ua
2.4
被迫性定理若在某个变化过程中，
恒有y≤x≤z，且 limy=limz=A,则limx=A
两个重要极限（必考）
单调有界定理
单调有界的数列
必有极限
} 单调增 + 有上界
单调减+有下界
数列收敛
定理 2.12
定义 2.9
定理 2.13
若数列 {an}满足 an an1(或an an1）（n N）则称数列 {an}为单调增加(或单调减少)数列。
当x 0时，等价无穷小量：
sinx~x tanx~x
arcsinx~x 1-cosx~x2

微积分基础知识ppt课件

M{xP(x)} P（x)表示元素具有性质
.
9
2.邻域:
设 a与是两个 , 且实 0.数
数{x集 xa()}称为 a的邻点 ,域
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径.
a
a
a x
点 a的去心邻的 ,域记U 作 (a,).
U (a , ) {x0 x a }.
.
10
二、函数
１．定义设数集 D，若存在对应法则 f ，使对 x D ，
矛盾取 . 故 N b 假 2 a设m 不xn 真 N b a 1 ! , a N b 因b 2 2 2 a a 此 ,收则x 敛当数n 3列a>a22bN的b时极xnx,限nx必n3满ba2唯2a足b一的. 不等式
.
37
两边夹准则
( 1 ) y n x n z n ( n 1 ,2 , )
n 1 1
2
.
7
具备的数学素质： ➢ 从实际问题抽象出数学模型的能力 ➢ 计算与分析的能力 ➢ 了解和使用现代数学语言和符号的能力 ➢ 使用数学软件学习和应用数学的能力
.
8
第0章基本知识
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的对象的全体. 组成集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A { a 1 ,a 2 , ,a n }
基本初等函数（幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数）.
.
12
几个特殊的函数举例 (1) 符号函数
1 当x0 ysgnx 0 当x0
1 当x0
y
1
o
x
-1
xsgxn x
.
13
(2) 取整函数 y=[x]

《微积分》课件

微分学主要研究函数在某一点附近的局部行为，包括切线、函数的变化率等；积分学则研究函数在某个区间上的整体行为，包括面积、体积等。
微积分的历史背景
01
微积分的发展可以追溯到古代数学，如希腊数学家阿基米德在求面积和体积时已经有了积分学的萌芽。
02
微积分的真正奠基人是牛顿和莱布尼茨，他们分别独立地发展出了微积分的基本理论，为后来的数学发展奠定了基础。
《微积分》PPT课件
contents
目录
• 微积分的定义与历史 • 微积分的基本概念 • 微积分的应用 • 微积分的解题技巧 • 微积分的重点与难点解析 • 微积分的习题与答案解析
01
微积分的定义与历史
微积分的定义
微积分是研究函数、极限和连续性的数学分支，通过微分和积分的方法来研究函数的性质和变化规律。
极限的运算性质与法则
1 2
极限的运算性质
极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则等。
极限的法则
极限的保号性、极限的局部有界性等。
3
注意事项
理解极限的运算法则和性质是解决极限问题的关键，需要注意运算过程中的等价变换和放缩技巧。
导数的几何意义与运算性质
导数的几何意义
切线的斜率、函数图像的变化率等。
习题一：极限的运算
$lim_{x to infty} frac{1}{x}$
判断下列叙述是否正确，并说明理由
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x}$
习题一：极限的运算
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x} = e$