专题13 定积分与微积分基本定理知识点
解读定积分与微积分基本定理
解读定积分与微积分基本定理一、知识点精析知识点1 曲边梯形的面积曲边梯形是曲线()y f x =与平行于y 轴的直线x a =，x b =和x 轴所围成的图形，通常称为曲边梯形，求曲边梯形面积可分为四个步骤：（1）分割：将曲边梯形分割成有限个很细的小曲边梯形．从区间[]a b ，上看，用1n +个分点将区间[]a b ，分成n 个小区间（不一定相等）．（2）近似代替：在每个小区间1[](12)i i x x i n -=，，，，内任取一点11()i i i ξξξξ-+≤≤，以()i f ξ为高，1i i i x x x -∆=-为底的小矩形面积为()i i f x ξ∆，用它作为相应的小曲边梯形面积的近似值．（3）求和：将分割成的n 个矩形面积加起来，其和为1()niii f x ξ=∆∑，它是所求曲边梯形的面积的近似值．（4）取极限：将曲边梯形无限的细分（即分点越多），上面的近似值1()inix i f ξ=∆∑就越接近于曲边梯形的面积，当i x ∆中的最大值{}max 0i x λ=∆→时，1()niii f x ξ=∆∑的极限1lim ()ni i i i f x ξ→=∆∑存在，则这个极限值就是曲边梯形的面积．知识点2 定积分设函数()y f x =定义在区间[]a b ，上，用分点0121n n a x x x x x b -=<<<<=，把区间[]a b ，分成n 个小区间，其长度依次为1(0121)i i i x x x i n +∆=-=-，，，，记λ为这些小区间长度的最大值，当λ趋近于0时，所有的小区间的长度都趋近于0，在每个小区间内任取一点i ξ，作和式1()n n iii I f x ξ-==∆∑．当0λ→时，如果和式的极限存在，我们把和式nI的极限叫做函数()f x 在区间[]a b ，上的定积分，记作()baf x dx ⎰，即1()l i m ()n bi i ai f x dx f x λξ-→==∆∑⎰．其中，()f x 叫做被积函数，a 叫积分下限，b 叫积分上限， ()f x dx 叫做被积式，此时称函数()f x 在区间[]a b ，上可积．理解说明： （1）定积分()baf x dx ⎰是“和式”的极限值，它的值取决于被积函数()f x 和积分上限、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()bb baaaf x dx f u du f t dt ===⎰⎰⎰（称为积分形式的不变性）． （2）在定积分()ba f x dx ⎰的定义中，总是假设a b <，而当a b =及a b >时，不难验证()0abf x dx =⎰，()()ba abf x dx f x dx =-⎰⎰．这就是说当定积分的上限和下限相同时，定积分的值为零；当交换定积分的上限和下限时，定积分的绝对值相同，只相差一个负号． （3）在区间[]a b ，上求连续函数()f x 的定积分，可归结为：分割、近似代替、求和、取极限四步，因此用定义求定积分的一般步骤：①分割：将区间[]a b ，等分成n 个小区间； ②近似代替：取点1[](01231)i i i x x i n ξ+∈=-，，，，，，；③求和：1()n i i b af nξ-=-∑；④取极限：1()lim ()n bi ai b af x dx f nλξ-→=-=∑⎰． 知识点3 定积分的几何意义 一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是表示由x 轴、曲线()y f x =以及直线x a =，x b =所围成的曲边梯形的面积的代数和．在区间[]a b ，上，当函数()0f x ≥时，曲边梯形位于x 轴的上方，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是由x 轴、曲线()y f x =以及直线x a =，x b =所围成的曲边梯形的面积S ，即()baS f x dx =⎰．当函数()0f x ≤时，曲边梯形位于x 轴的下方，在()lim ()bi i ai f x dx f x ξ→=∆⎰右端的和式中，由于0i x ∆>，()0i f ξ≤，所以有()0i i f x ξ∆≤，从而定积分()baf x dx ⎰的值为负值，此时由x 轴、曲线()y f x =以及直线x a =，x b =所围成的曲边梯形的面积S 应是()baS f x dx -⎰或()baS f x dx =⎰．因此在用定积分求平面图形的面积时，首先要确定被积函数、积分变量、积分上限下限，其一般步骤为：①画出图形，将其适当分割成若干个曲边梯形；②对每一个曲边梯形确定其被积函数与积分上下限，用定积分表示其面积； ③计算各个定积分，求出所求的面积． 知识点4 微积分基本定理如果()()F x f x '=，且()f x 在[]a b ，上可积，则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰，这个结论叫微积分基本定理，其中()F x 叫做()f x 的一个原函数．也常记为()()()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰．理解说明：（1）由于[()]()F x C f x '+=，所以()F x C +也是函数()f x 的原函数，其中C 为常数．（2）利用微积分基本定理求定积分()baf x dx ⎰的关键是找出被积函数()f x 的一个原函数()F x ，通常我们运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出()F x ，因此可见求导运算与求原函数运算是互为逆运算．二、应注意的几点1．根据定积分定义求定积分，往往比较困难，利用微积分基本定理求定积分比较方便． 2．利用定积分求所围成的平面图形的面积，要用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限． 3．()baf x dx ⎰，()baf x dx ⎰与()baf x dx ⎰有不同的几何意义，绝不能等同看待，由于被积函数()f x 在闭区间[]a b ，上可正可负，因而它的图象可都在x 轴的上方，也可都在x 轴的下方，还可以在x 轴的上下两侧，所以()baf x dx ⎰表示x 轴、曲线()y f x =以及直线x a =，x b =所围成图形的面积的代数和；而被积函数()f x 是非负的，所以()b af x dx ⎰表示在区间[]a b ，上以()f x 为曲边的曲边梯形的面积，而()baf x dx ⎰则是()baf x dx ⎰的绝对值，三者的值一般是不相同的．。
定积分与微积分基本定理
如图，设阴影部分面积为 S.
b ① S ＝ f(x)dx；
a
b ②S＝－ f(x)dx；
a
c b ③ S ＝ f(x)dx－ f(x)dx；
a
c
b b b ④ S ＝ f(x)dx－ g(x)dx＝ [f(x)－g(x)]dx.
0
【解析】
3 1 T 3 T 2 ∵ ＝ ＝9，∴T＝3. x dx＝ x 3 3 0 0
T
【答案】
3
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π 4. (2014· 西安模拟)若∫ 0(sin x＋acos x)dx＝2， 则实数 a 等于( 2 A．－1 B．1 C. 3 D．－ 3
b | F ( x ) a 为了方便，常把 F(b)－F(a)记作_________ ，即
b
f(x)dx＝F(x)| b a＝F(b)－F(a)．
a
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三、定积分在物理中的应用 变速 作变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度 直线 函数 v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，
0
【解析】
2 y＝x 由 y＝x
x＝0 得 y＝0
x＝1 或 y＝ 1
，
2 1 ∴S＝ (x－x )dx，故选 B.
0
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2． (2013· 湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶， 由于遇到紧 25 急情况而刹车，以速度 v(t)＝7－3t＋ (t 的单位：s，v 的单位： 1＋t m/s) 行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离 ( 单位： m) 是 ( ) A．1＋25ln 5 C．4＋25ln 5 11 B．8＋25ln 3 D．4＋50ln 2
精品课件：定积分与微积分基本定理
• 1．定积分与曲边梯形的面积：
如图，设阴影部分面积为 S.
b
①S＝af(x)dx. ②S＝－abf(x)dx. ③S＝caf(x)dx－cbf(x)dx. ④S＝baf(x)dx－abg(x)dx＝ab[f(x)－g(x)]dx.
9－x2dx＝π·432＝94π，故
选 C.
• 答案 (1)C (2)B (3)C
• 规律方法 (1)定积分的计算方法有三个： 定义法、几何意义法和微积分基本定理法， 其中利用微积分基本定理是最常用的方法， 若被积函数有明显的几何意义，则考虑用 几何意义法，定义法太麻烦一般不用．
• (2)运用微积分基本定理求定积分时要注意 以下几点：
0
1
(2)令0f(x)dx＝m，则
f(x)＝x2＋2m，所以01f(x)dx＝10(x2＋2m)dx＝
13x3＋2mx10 ＝13＋2m＝m，解得 m＝－13，故选 B.
3
(3)由定积分的几何意义知，0
9－x2dx 是由曲线 y＝
9－x2，直线
3
x＝0，x＝3，y＝0 围成的封闭图形的面积，故0
• ①对被积函数要先化简，再求积分．
• ②求被积函数为分段函数的定积分，依据 定积分“对区间的可加性”，分段积分再 求和．
利用定积分求平面图形的面积(师生共研)
例 2 (2014 年高考山东卷)直线 y＝4x 与曲线 y＝x3 在第一象限内围
成的封闭图形的面积为( )
A．2 2
B．4 2
C．2 解析
•• AC．．35 BD．．46 秒内行驶的路程为t010tdt，所以0t (3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)t0 ＝t3＋t－
定积分和微积分
知识点一：定积分的概念如果函数在区间上连续，用分点将区间分为n个小区间，在每个小区间上任取一点（i=1,2,3…,n），作和式，当时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做在区间上的定积分.记作.即＝，这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.说明：（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限. 知识点二：定积分的几何意义设函数在区间上连续.在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积；在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示曲边梯形面积的相反数；在上，当既取正值又取负值时，曲线的某些部分在轴的上方，而其他部分在轴下方，如果我们将在轴上方的图形的面积赋予正号，在轴下方的图形的面积赋予负号；在一般情形下，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和.知识点三：定积分的性质（1）（为常数），（2），（3）（其中），（4）利用函数的奇偶性求积分：若函数在区间上是奇函数，则；若函数在区间上是偶函数，则.知识点四：微积分基本定理微积分基本定理（或牛顿－莱布尼兹公式）:如果在上连续，且，则。
其中叫做的一个原函数.注意：①求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.②由于也是的原函数，其中c为常数.知识点五：应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：2．如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：3．由三条直线轴及一条曲线（不妨设在区间上，在区间上）围成的图形的面积：＝＋.4. 如图，由曲线及直线，围成图形的面积：知识点六：定积分在物理中的应用①变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即.②变力作功物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功.规律方法指导1．如何正确理解定积分的概念定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即（称为积分形式的不变性），另外定积分与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如与的值就不同。
定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理1．定积分的概念在⎠⎛ab f (x )dx 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式． 2．定积分的几何意义设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒有f (x )≥0，则定积分⎠⎛ab f (x )dx表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积． 3．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )dx ＝k ⎠⎛ab f (x )dx (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]dx ＝⎠⎛ab f 1(x )dx ±⎠⎛ab f 2(x )dx ；(3)⎠⎛ab f (x )dx ＝⎠⎛ac f (x )dx ＋⎠⎛cb f (x )dx (其中a <c <b )．4．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )dx ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )⎪⎪⎪ba ，即⎠⎛abf (x )dx ＝F (x )⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛ab f (x )dx ＝⎠⎛ab f (t )dt .( )(2)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )dx ＝2⎠⎛0a f (x )dx .( )(3)若f (x )是奇函数，则⎠⎛－aa f (x )dx ＝0.( )(4)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的区域面积是⎠⎛01(x 2－x )dx .( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×⎠⎛01e x dx 的值等于( )A ．eB ．1－eC ．e －1 D.12(e －1)解析：选C.⎠⎛01e x dx ＝e x |10＝e 1－e 0＝e －1.如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是()A ．1 B.43 C. 3 D ．2解析：选B .由⎩⎨⎧y ＝－x 2＋2x ＋1，y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.所以S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x ＋1－1)dx ＝⎠⎛02(－x 2＋2x )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋x 2|20＝－83＋4＝43.若∫π20(sin x －a cos x )dx ＝2，则实数a 等于________．解析：由题意知(－cos x －a sin x )|π20＝1－a ＝2，a ＝－1. 答案：－1设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e ](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )dx 的值为________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e ]，所以⎠⎛0e f (x )dx ＝⎠⎛01x 2dx ＋⎠⎛1e 1x dx＝13x 3⎪⎪⎪10＋ln x ⎪⎪⎪e 1＝13＋ln e ＝43.答案：43定积分的计算[典例引领]利用微积分基本定理求下列定积分： (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋1)dx ；(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )dx ； (3)⎠⎛02|1－x |dx ；(4)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x dx . 【解】 (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋1)dx＝⎠⎛12x 2dx ＋⎠⎛122xdx ＋⎠⎛121dx＝x 33⎪⎪⎪21＋x 2⎪⎪⎪21＋x ⎪⎪⎪21＝193. (2)⎠⎜⎛π(sin x －cos x )dx＝⎠⎜⎛0πsin xdx －⎠⎜⎛0πcos xdx ＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪π0－sin x ⎪⎪⎪⎪π0＝2. (3)⎠⎛02|1－x |dx ＝⎠⎛01(1－x )dx ＋⎠⎛12(x －1)dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x |21 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12－1＝1. (4)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x dx ＝⎠⎛12e 2x dx ＋⎠⎛121x dx＝12e 2x ⎪⎪⎪21＋ln x ⎪⎪⎪21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1＝12e 4－12e 2＋ln 2.若本例(3)变为“⎠⎛03|x 2－1|dx ”，试求之．解：⎠⎛03|x 2－1|dx＝⎠⎛01(1－x 2)dx ＋⎠⎛13(x 2－1)dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪31 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋23＝223.计算定积分的解题步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分． (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．[通关练习]1.⎠⎛－11e |x |dx 的值为( )A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋2解析：选C.⎠⎜⎛－11e |x |dx ＝⎠⎜⎛－1e －x dx ＋⎠⎛01e x dx ＝－e －x |0－1＋e x |10＝[－e 0－(－e)]＋(e －e 0)＝－1＋e ＋e －1＝2e －2，故选C .2．若⎠⎛01(x ＋mx )dx ＝0，则实数m 的值为( )A ．－13B ．－23C ．－1D ．－2解析：选B.由题意知⎠⎛01(x 2＋mx )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33＋m x 22|10＝13＋m2＝0，得m ＝－23.3．(优质试题·泉州模拟)⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫1－x 2＋12x dx ＝________．解析：⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫1－x 2＋12x dx ＝⎠⎛011－x 2dx ＋⎠⎛0112xdx ，⎠⎛0112xdx ＝14，⎠⎛011－x 2dx 表示四分之一单位圆的面积，为π4，所以结果是π＋14.答案：π＋14利用定积分计算平面图形的面积(高频考点)利用定积分计算平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考向；主要以选择题、填空题的形式出现，一般难度较小．高考对定积分求平面图形的面积的考查有以下两个命题角度： (1)根据条件求平面图形的面积；(2)利用平面图形的面积求参数．[典例引领]角度一 根据条件求平面图形的面积(优质试题·新疆第二次适应性检测)由曲线y ＝x 2＋1，直线y ＝－x ＋3，x 轴正半轴与y 轴正半轴所围成图形的面积为( ) A ．3 B.103 C.73D.83【解析】 由题可知题中所围成的图形如图中阴影部分所示，由⎩⎨⎧y ＝x 2＋1y ＝－x ＋3，解得⎩⎨⎧x ＝－2y ＝5(舍去)或⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，即A (1，2)，结合图形可知，所求的面积为⎠⎛01(x 2＋1)dx ＋12×22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x |10＋2＝103，选B .【答案】B角度二 利用平面图形的面积求参数已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．【解析】 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(0)＝0，所以b ＝0，所以f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a ＜0)．S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)dx ＝112a 4＝112，所以a ＝－1. 【答案】 －1用定积分求平面图形面积的四个步骤(优质试题·山西大学附中第二次模拟)曲线y ＝2sinx (0≤x ≤π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积为________． 解析：令2sin x ＝1，得sin x ＝12， 当x ∈[0，π]时，得x ＝π6或x ＝5π6，所以所求面积S ＝⎠⎜⎛π65π6 (2sin x －1)dx ＝(－2cos x －x ) ⎪⎪⎪5π6π6＝23－2π3.答案：23－2π3定积分在物理中的应用[典例引领]设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J (x 的单位：m ；力的单位：N )．【解析】 变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )dx ＝⎠⎛110(x 2＋1)dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪101＝342(J )． 【答案】342定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )dt .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )dx .以初速40 m /s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( ) A.1603 m B.803 m C.403 mD.203 m解析：选A.由v ＝40－10t 2＝0， 得t 2＝4，t ＝2.所以h ＝⎠⎛02(40－10t 2)dt ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40t －103t 3⎪⎪⎪20＝80－803＝1603(m).求定积分的方法(1)利用微积分基本定理求定积分步骤如下： ①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )； ②计算F (b )－F (a )．(2)利用定积分的几何意义求定积分．求曲边多边形面积的步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形． (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限． (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和． (4)计算定积分．易错防范(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是积分变量． (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积为正，而定积分的结果可以为负．1．定积分⎠⎛01(3x ＋e x )dx 的值为( )A ．e ＋1B ．eC ．e －12D ．e ＋12。
非常好的定积分与微积分基本定理复习讲义
定积分与微积分基本定理复习讲义备考方向要明了考什么怎么考1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义.1.考查形式多为选择题或填空题．2.考查简单定积分的求解．3.考查曲边梯形面积的求解．4.与几何概型相结合考查．归纳·知识整合1．定积分1 定积分的相关概念：在错误!错误!f x d x中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间a,b叫做积分区间,f x叫做被积函数,x叫做积分变量,f x d x叫做被积式．2 定积分的几何意义①当函数f x在区间a,b上恒为正时,定积分错误!错误!f x d x的几何意义是由直线x＝a,x＝b a≠b,y＝0和曲线y＝f x所围成的曲边梯形的面积左图中阴影部分．②一般情况下,定积分错误!错误!f x d x的几何意义是介于x轴、曲线f x以及直线x＝a,x＝b之间的曲边梯形面积的代数和右上图中阴影所示 ,其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．3 定积分的基本性质：①错误!错误!kf x d x＝k错误!错误!f x d x.②错误!错误!f1x±f2x d x＝错误!错误!f1x d x±错误!错误!f2x d x.③错误!错误!f x d x＝错误!错误!f x d x＋错误!错误!f x d x.探究 1.若积分变量为t,则错误!错误!f x d x与错误!错误!f t d t是否相等提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯一吗提示：一个函数的导数是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算．3．定积分错误!错误!f x－g x d x f x >g x的几何意义是什么提示：由直线x＝a,x＝b和曲线y＝f x ,y＝g x所围成的曲边梯形的面积．2．微积分基本定理：如果f x是区间a,b上的连续函数,并且F′ x＝f x ,那么错误!错误!f x d x＝F b－F a ,这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便,常把F b－F a记成F x错误!错误!,即错误!错误!f x d x＝F x错误!错误!＝F b－F a．课前预测：错误!错误!d x等于A．2ln 2 B．－2ln 2 C．－ln 2 D．ln 22．教材习题改编一质点运动时速度和时间的关系为V t＝t2－t＋2,质点作直线运动,则此物体在时间 1,2 内的位移为3．教材习题改编直线x＝0,x＝2,y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积为________．4．教材改编题错误!错误!错误!d x＝________.5．由y＝错误!,直线y＝－x＋错误!所围成的封闭图形的面积为________考点一利用微积分基本定理求定积分例1 利用微积分基本定理求下列定积分：1 错误!错误! x 2＋2x ＋1 d x ；2 错误!错误! sin x －cos x d x ；3 错误!错误!x x ＋1 d x ；4 错误!错误!错误!d x ；5 20π⎰ sin 2错误!d x . ——————————————————— 求定积分的一般步骤：1 把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；2 把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；3 分别用求导公式找到一个相应的原函数；4 利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；5 计算原始定积分的值．强化训练：1．求下列定积分： 1 错误!错误!|x －1|d x ； 2 20π⎰错误!d x .考点二 利用定积分的几何意义求定积分例2 错误!错误!错误!d x ＝________.变式：在本例中,改变积分上限,求错误!错误!错误!d x 的值．———————————————————利用几何意义求定积分的方法1 当被积函数较为复杂,定积分很难直接求出时,可考虑用定积分的几何意义求定积分．2 利用定积分的几何意义,可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．强化训练：2． 2014·福建模拟 已知函数f x ＝错误!错误! cos t －sin t d t x >0 ,则f x 的最大值为________．考点三：利用定积分求平面图形的面积例3 2014·山东高考由曲线y＝错误!,直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为A.错误!B．4 D．6变式训练：若将“y＝x－2”改为“y＝－x＋2”,将“y轴”改为“x轴”,如何求解———————————————————利用定积分求曲边梯形面积的步骤1 画出曲线的草图．2 借助图形,确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限．3 将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．4 计算定积分,写出答案．强化训练：3． 2014·郑州模拟如图,曲线y＝x2和直线x＝0,x＝1,y＝错误!所围成的图形阴影部分的面积为考点四：定积分在物理中的应用例4 列车以72 km/h的速度行驶,当制动时列车获得加速度a＝－ m/s2,问列车应在进站前多长时间,以及离车站多远处开始制动———————————————————1．变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v t v t ≥0 ,那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为错误!错误!v t d t；如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v t v t≤0 ,那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为－错误!错误!v t d t.2．变力做功问题物体在变力F x的作用下,沿与力F x相同方向从x＝a到x＝b所做的功为错误!错误!F x d x.强化训练：4．一物体在力F x＝错误!单位：N 的作用下沿与力F x相同的方向运动了4米,力F x做功为A．44 J B．46 J C．48 J D．50 J1个定理——微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数,由此可知,求导与积分是互为逆运算．3条性质——定积分的性质1 常数可提到积分号外；2 和差的积分等于积分的和差；3 积分可分段进行．3个注意——定积分的计算应注意的问题1 若积分式子中有几个不同的参数,则必须分清谁是积分变量；2 定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限；3 面积非负, 而定积分的结果可以为负.易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点典例 2013·上海高考已知函数y＝f x的图象是折线段ABC,其中A 0,0 ,B错误!,C 1,0 ．函数y＝xf x0≤x≤1 的图象与x轴围成的图形的面积为________．1．本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误,实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时,应处理好以下两个问题：1 熟悉常见曲线,能够正确作出图形,求出曲线交点,必要时能正确分割图形；2 准确确定被积函数和积分变量．变式训练：1．由曲线y＝x2,y＝x3围成的封闭图形面积为2． 2014·山东高考设a>0.若曲线y＝错误!与直线x＝a,y＝0所围成封闭图形的面积为a2,则a＝________.定积分与微积分基本定理检测题一、选择题本大题共6小题,每小题5分,共30分错误!错误!d x＝A．ln x＋错误!ln2x－12．2012·湖北高考已知二次函数y＝f x的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为3．设函数f x＝ax2＋b a≠0 ,若错误!错误!f x d x＝3f x0 ,则x0等于A．±1 C．±错误!D．24．设f x＝错误!则错误!错误!f x d x＝D．不存在5．以初速度40 m/s竖直向上抛一物体,t秒时刻的速度v＝40－10t2,则此物体达到最高时的高度为m m m m6．2013·青岛模拟由直线x＝－错误!,x＝错误!,y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为B．1二、填空题本大题共3小题,每小题5分,共15分7．设a ＝错误!错误!sin x d x ,则曲线y ＝f x ＝xa x ＋ax －2在点 1,f 1 处的切线的斜率为________．8．在等比数列{a n }中,首项a 1＝错误!,a 4＝错误!错误! 1＋2x d x ,则该数列的前5项之和S 5等于________．9． 2013·孝感模拟 已知a ∈错误!,则当错误!错误! cos x －sin x d x 取最大值时,a ＝________.三、解答题 本大题共3小题,每小题12分,共36分10．计算下列定积分： 1 20π⎰ sin 2x d x ； 2 错误!错误!错误!2d x ； 3 120⎰e 2x d x . 11．如图所示,直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分,求k 的值．12．如图,设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A 2,4 移动,直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1,直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2,若S 1＝S 2,求点P的坐标．备选习题1．一物体做变速直线运动,其v －t 曲线如图所示,则该物体在错误! s ～6 s 间的运动路程为________．2．计算下列定积分：1 31-⎰ 3x 2－2x ＋1 d x ；2 错误!错误!错误!d x . 3．求曲线y ＝错误!,y ＝2－x ,y ＝－错误!x 所围成图形的面积．4．某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时,得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪,其运动规律属于变速直线运动,且速度v 单位：m/s 与时间t 单位：s 满足函数关系式v t ＝错误!某公司拟购买一台颗粒输送仪,要求1 min 行驶的路程超过7 673 m,问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一 定积分与微积分基本定理复习讲义答案前测：1.Ｄ ２.Ａ ３.错误! ４.错误!π ５.错误!－2ln 2 例１： 1 错误!. 2 2. 3 错误!. 4 错误!e 4－错误!e 2＋ln 2. 5 错误!.变式１：解： 1 |x －1|＝错误!故错误!错误!|x －1|d x ＝错误!错误! 1－x d x ＋错误!错误! x －1 d x ＝错误!错误!错误!＋错误!错误!错误!＝错误!＋错误!＝1. 2 20π⎰错误!d x ＝20π⎰|sin x －cos x |d x ＝40π⎰ cos x －sin x d x ＋24ππ⎰ sin x －cos x d x ＝ sin x ＋cos x 40π＋ －cos x －sin x 24ππ＝错误!－1＋ －1＋错误! ＝2错误!－2.例２： 自主解答 错误!错误!错误!d x 表示y ＝错误!与x ＝0,x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积由y ＝错误!得 x －1 2＋y 2＝1 y ≥0 ,又∵0≤x ≤1,∴y ＝错误!与x ＝0,x ＝1及y ＝0所围成的图形为错误!个圆,其面积为错误!. ∴错误!错误!错误!d x ＝错误!.互动：解：错误!错误!错误!d x 表示圆 x －1 2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积,即半圆的面积,所以 错误!错误!错误!d x ＝错误!.变式２. 错误!－1 例３.Ｃ 互动：错误!. 变式３.Ｄ 例４： 自主解答 a ＝－ m/s 2,v 0＝72 km/h ＝20 m/s.设t s 后的速度为v ,则v ＝20－.令v ＝0,即20－ t ＝0得t ＝50 s ．设列车由开始制动到停止所走过的路程为s ,则s ＝错误!错误!v d t ＝错误!错误! 20－d t ＝ 20t －错误!错误!＝20×50－×502＝500 m ,即列车应在进站前50 s 和进站前500 m 处开始制动．变式４.46典例： 解析 由题意可得f x ＝错误!所以y ＝xf x ＝错误!与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰ 10x －10x 2 d x ＝错误!x 3120＋错误!112错误!＝错误!. 答案 错误! 变式5. １.Ａ ２. 错误!检测题答案 ＣＢＣＣＡＤ ７.4＋2ln 2 ８.错误! ９.错误!10.解： 1 错误!. 2 错误!＋ln 错误!. 3 错误!e －错误!.11.解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0,x 2＝1,所以,抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝错误!错误! x －x 2 d x ＝错误!错误!错误!＝错误!. 又错误! 由此可得,抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0,x 4＝1－k ,所以,错误!＝错误!错误! x －x 2－kx d x ＝错误!错误!错误!＝错误! 1－k 3.又知S ＝错误!,所以 1－k 3＝错误!,于是k ＝1－ 错误!＝1－错误!.12.解：设直线OP 的方程为y ＝kx ,点P 的坐标为 x ,y ,则错误!错误! kx －x 2 d x ＝错误!错误! x 2－kx d x ,即错误!错误!错误!＝错误!错误!错误!,解得错误!kx 2－错误!x 3＝错误!－2k －错误!,解得k ＝错误!,即直线OP 的方程为y ＝错误!x ,所以点P 的坐标为错误!. 备选题：1.解析：由题图可知,v t ＝错误!因此该物体在错误! s ～6 s 间运动的路程为s ＝612⎰v t d t ＝112⎰2t d t ＋错误!错误!2d t ＋错误!错误!错误!d t ＝t 2112＋2t |错误!＋错误!错误!错误!＝错误! m ． 答案：错误! m 2.解： 1 31-⎰ 3x 2－2x ＋1 d x ＝ x 3－x 2＋x 31-＝24.2 错误!错误!错误!d x ＝错误!错误!x d x ＋错误!错误!错误!d x ＋错误!错误!错误!d x＝错误!x2错误!错误!＋ln x错误!错误!－错误!错误!错误!＝错误! e2－1 ＋ ln e－ln 1 －错误!＝错误!e2－错误!＋错误!.3.解：由错误!得交点A 1,1 由错误!得交点B 3,－1 ．故所求面积S＝错误!错误!错误!d x＋错误!错误!错误!d x ＝错误!错误!错误!＋错误!错误!错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.4.解：由变速直线运动的路程公式,可得s＝错误!错误!t2d t＋错误!错误! 4t＋60 d t＋错误!错误!140d t＝错误!t3错误!错误!＋ 2t2＋60t错误!错误!＋140t错误!错误!＝7 133 错误! m <7 676 m ．∴这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪不能被列入拟挑选的对象之一．。
定积分与微积分基本定理讲义
定积分与微积分基本定理讲义一、知识梳理1．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑n i ＝1b －a n f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃb a f (x )d x ＝lim n →∞∑n i ＝1 b －a nf (ξi )．在ʃb a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)；(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ；(3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )． 3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．注意：1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．若函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有(1)若f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0.题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则ʃb a f (x )d x ＝ʃb a f (t )d t .( )(2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒正，则ʃb a f (x )d x >0.( )(3)若ʃb a f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( )(4)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积是ʃ10(x 2－x )d x .( )题组二：教材改编2．ʃe ＋121x －1d x ＝________.3.ʃ0－11－x 2d x ＝________. 4．[汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是________ m. 题组三：易错自纠5．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．46．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为________． 三、典型例题题型一：定积分的计算1．定积分ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝______.2．ʃ1－1e |x |d x 的值为( )A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋23．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( ) A.34B.45C.56 D ．不存在思维升华：运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分．题型二：定积分的几何意义命题点1：利用定积分的几何意义计算定积分典例 (1)计算：ʃ313＋2x －x 2 d x ＝________.(2)若ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m ＝________. 命题点2：求平面图形的面积典例由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的封闭平面图形的面积为________．思维升华：(1)根据定积分的几何意义可计算定积分．(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案．跟踪训练 (1)定积分ʃ309－x 2d x 的值为________． (2)如图所示，由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (0，－3)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为______．题型三：定积分在物理中的应用典例 一物体作变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为____ m.思维升华：定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃb a F (x )d x .跟踪训练 一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( )A. 3 JB.233 JC.433J D ．2 3 J答案 C 四、反馈练习1．π220sin d 2x x 等于( ) A ．0 B.π4－12C.π4－14D.π2－1 2．ʃ1－1(1－x 2＋x )d x 等于( )A ．πB.π2 C ．π＋1 D ．π－13.已知函数y ＝f (x )的图象为如图所示的折线ABC ，则ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x 等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1 5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为( ) A.43B.54C.65D.76 6．设a ＝ʃ10cos x d x ，b ＝ʃ10sin x d x ，则下列关系式成立的是( )A ．a >bB ．a ＋b <1C ．a <bD ．a ＋b ＝17．定积分ʃ20|x －1|d x 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．28．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止，则在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2 9．π20π2sin()d 4x x +=⎰ ________. 10．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为________． 11．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.12.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为________．13.由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( ) A.13B.310C.14D.1514．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 115．ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝______. 16．若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则ʃ20f (x )d x ＝________.。
高考定积分与微积分基本定理
a
做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼兹公式．为了方
便，我们常常把 F(b)－F(a)记成 F(x)|ab，
即b
f(x)dx＝F(x)|ba＝
a
F(b)－F(a)．
其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数．
思想方法技巧
一、思想方法 (1)数形结合思想：求曲线围成图形的面积，要画出草 图，寻找积分上限和积分下限，以及被积函数的形式． (2)极限的思想：求曲边梯形的面积时，分割，近似代 替，求和，取极限，采用的是以直代曲，无限逼近的极限思 想． (3)公式法：套用公式求定积分，避免繁琐的运算，是求 定积分常用的方法． (4)定义法：用定义求定积分是最基本的求定积分方法．
D. 3
解析：如图为y＝cosx在[－3π，π3]上的图象． 答案：D
[例4] 如图所示，已知曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝－ x2＋2ax(a>1)交于点O、A，直线x＝t(0<t≤1)与曲线C1、C2 分别相交于点D、B，连结OD、DA、AB.
(1)写出线段OD、DA、AB和曲线 OB 所围成的曲．边．四．边． 形．ABOD(阴影部分)的面积S与t的函数关系式S＝f(t)；
S＝b[f(x)－g(x)]dx(如图)． a
考点典例讲练
定积分的几何意义
[例 1] (2011·潍坊二模)曲线 y＝sinx，y＝cosx 与直线 x ＝0，x＝2π所围成的平面区域的面积为( )
解析：当 x∈[0，2π]时，y＝sinx 与 y＝cosx 的图象的交点坐标为 π4， 22，作图可知曲线 y＝sinx，y＝cosx 与直线 x＝0，x＝π2所围成 的平面区域的面积可分为两部分：一部分是曲线 y＝sinx，y＝cosx 与直线 x＝0，x＝π4所围成的平面区域的面积；另一部分是曲线 y＝ sinx，y＝cosx 与直线 x＝π4，x＝π2所围成的平面区域的面积．且这两 部分的面积相等，结合定积分定义可知选 D.
定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理知识点一:定积分的概念如果函数在区间上连续，用分点将区间分为n个小区间，在每个小区间上任取一点(i=1,2,3…,n)，作和式，当时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做在区间上的定积分.记作.即,，这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.说明:(1)定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零;(2)用定义求定积分的四个基本步骤:?分割;?近似代替;?求和;?取极限.知识点二:定积分的几何意义设函数在区间上连续.在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积;在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示曲边梯形面积的相反数;在上，当既取正值又取负值时，曲线的某些部分在轴的上方，而其他部分在轴下方，如果我们将在轴上方的图形的面积赋予正号，在轴下方的图形的面积赋予负号;在一般情形下，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和.知识点三:定积分的性质(1)(为常数)，(2)，(3)(其中)，(4)利用函数的奇偶性求积分:若函数在区间上是奇函数，则;若函数在区间上是偶函数，则.知识点四:微积分基本定理微积分基本定理(或牛顿,莱布尼兹公式):如果在上连续，且，则。
其中叫做的一个原函数.注意:求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.由于也是的原函数，其中c为常数.知识点五:应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图，由三条直线，，轴(即直线)及一条曲线()围成的曲边梯形的面积:2(如图，由三条直线，，轴(即直线)及一条曲线()围成的曲边梯形的面积:3(由三条直线轴及一条曲线(不妨设在区间上，在区间上)围成的图形的面积:,，.4. 如图，由曲线及直线，围成图形的面积: 知识点六:定积分在物理中的应用变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即.变力作功物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功.规律方法指导1(如何正确理解定积分的概念定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即(称为积分形式的不变性)，另外定积分与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如与的值就不同。
精简版：定积分与微分基本定理知识总结
考点十六 定积分与微积分定理【2014年高考会这样考】1．考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理．2．利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程．【复习指导】定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等．抓重点1.定积分的运算性质1212(1)()()().(2)[()()]()().(3)()()()().b ba ab b b a a a bc ba a c kf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰为常数其中a<c<b2．微积分基本定理如果()f x 是区间[a ，b ]上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么()()()ba f x d x Fb F a =-⎰，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式。
3.求定积分的方法（1）利用微积分基本定理就定积分（2）利用定积分的几何意义求定积分 如定积分12014x dx π-=⎰，其几何意义就是单位圆面积的14。
(3)利用被积函数的奇偶性a. 若()f x 为奇函数，则()0aa f x dx -=⎰； b. 若()f x 为偶函数，则0()()a aa f x dx f x dx -=⎰⎰2； 其中0a >。
4．利用定积分求曲边多边形的面积在直角坐标系中，要结合具体图形来定：(1)();(2)()();(3)()()()();(4)[()()]ba bb a ac b c ba c a c ba S f x dx S f x dx f x dx S f x dx f x dx f x dx f x dx S f x g x dx ===-=+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法总结：求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤(1)画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标．定出积分的上、下限；(2)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；(3)写出平面图形面积的定积分的表达式；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积． 高考分析：定积分的考查在试卷中不是必然出现的，一般以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大，在近两年的高考中，考查的一般是定积分的计算和定积分在求曲边图形面积中的应用等，如2011年福建卷，陕西卷考查的是定积分的计算，新课标全国卷、湖南卷、山东卷考查的是定积分求曲边形的面积．5.定积分在物理中的应用（1）变速直线运动问题如果作变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是()()()0v v t v t =>，那么物体从时刻()t a t b a b ==<到所经过的路程为：()ba s v t dt =⎰ （2）变力做功问题()ba W F x dx =⎰。
定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理1．定积分(1)定积分的相关概念： 在()baf x dx ⎰中，∫叫作积分号，a 叫作积分的下限，b 叫作积分的上限，f(x)叫作被积函数．(2)定积分的性质： ①∫b a 1d x ＝b －a ；②⎠⎛a bkf (x )d x ＝k ⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)；③⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x ；④⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x . (3)定积分的几何意义：①当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(如图中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．2．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则()baf x dx ⎰＝F (b )－F (a )．这个式子称为牛顿——莱布尼茨公式．通常称F (x )是f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )|b a ，即∫b a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．1.()baf x dx ⎰与()baf t dt ⎰相等吗？相等．2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？ 3．定积分[()()]baf xg x dx -⎰ (f (x )>g (x ))的几何意义是什么？提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积．1．(2013·江西高考)若S 1＝221x dx ⎰，S 2＝211dx x⎰，S 3＝21e x dx ⎰，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析：选B S 1＝32113x ＝83－13＝73，S 2＝2ln 1x ＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝2e 1x ＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.2．已知质点的速度v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( )A ．10t 20B ．5t 20 C.103t 20 D.53t 20 解析：选B S ＝10t tdt ⎰＝0250t t ＝5t 20.3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)2x (x <0)，则11()f x dx -⎰的值是( )A. 121x dx -⎰ B. 112x dx -⎰C.21x dx -⎰＋102x dx ⎰ D. 012x -⎰d x ＋120x ⎰d x解析：选D11()f x dx -⎰＝012x -⎰d x ＋120x ⎰d x .4．直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________． 解析：22x dx ⎰＝32103x ＝83.5．(2013·湖南高考)若20Tx dx ⎰＝9，则常数T 的值为________．解析：20Tx dx ⎰＝3103T x ＝13T 3＝9，解得T ＝3.[例1] (1) 120(2)x x dx -+⎰； (2) 0(sin cos )x x dx π-⎰；(3)2211(e )x dx x+⎰; (4) 201x dx -⎰.[自主解答] (1) 120(2)x x dx -+⎰＝120()x dx -⎰＋102xdx ⎰＝31103x -＋210x ＝－13＋1＝23.(2)(sin cos )x x dx π-⎰＝0sin xdx π⎰－0cos xdx π⎰＝(cos )x π-－sin 0xπ＝2.(3)2211(e )x dx x +⎰＝221e x dx ⎰＋211dx x ⎰＝221e 12x ＋2ln 1x ＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1＝12e 4－12e 2＋ln 2.(4)|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x (0≤x <1)，x －1 (1≤x ≤2)，故10(1)x dx -⎰＝10(1)x dx -⎰＋21(1)x dx -⎰＝2102x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋2212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12＋12＝1.【互动探究】若将本例(1)中的“－x 2＋2x ”改为“－x 2＋2x ”，如何求解？解：⎰表示y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积．由y ＝－x 2＋2x ，得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，故⎰表示圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14，即⎰＝14π.定积分的求法(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (3)若y ＝f (x )为奇函数，则()aaf x dx -⎰＝0.1.＝________.解析：＝20sin cos x x dx π-⎰＝()40cos sin d x x x π-⎰＋()24sin cos d x x x ππ-⎰＝()sin cos 40x x π+＋()2cos sin 4x x ππ--＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.2．若()20sin cos d x a x x π+⎰＝2，则实数a ＝________.解析：∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x ，∴46212243(34)d 4()d 22x x x x v t t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰＝(sin cos )20a x x π-＝⎝⎛ a sin π2－⎭⎫cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1＝2，∴a ＝1. 3.x ⎰＝________.解析：由定积分的几何意义知，x ⎰是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故x ⎰＝π·324＝9π4.[例2] v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( C ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2 1)由v (t )＝7－3t ＋151＋t＝0，可得t ＝4⎝⎛⎭⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋151＋t d t ＝⎣⎡⎦⎤7t －32t 3＋25ln (1＋t ) 40＝4＋25ln 5. (2)一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( B )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J [自主解答](2)力F (x )做功为2010d x ⎰＋42(34)d x x +⎰＝10x 20＋243422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝20＋26＝46.一物体做变速直线运动，其v -t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为________．解析：由图象可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t <3，13t ＋1，3≤t ≤6，所以12s ～6 s 间的运动路程s ＝()331122322222021022132()d d e 33363kx xx x kx x x x x x x kx x x ππ-⎡⎤''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥--=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎣⎦⎰⎰则＝1122d t t ⎰＋312d t ⎰＋6311d 3t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰＝t 2112＋2t 31＋⎝⎛⎭⎫16t 2＋t 63＝494.1(1)知图形求曲线围成图形的面积；(2)知函数解析式求曲线围成图形的面积； (3)知曲线围成图形的面积求参数的值．[例3] (1)(2012·湖北高考)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43 C.32 D.π2(2)(2011·新课标全国卷)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )A.103 B ．4 C.163D ．6 (3)(2012·山东高考)设a >0.若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. [自主解答] (1)由题意知二次函数f (x )＝－x 2＋1，它与x 轴所围图形的面积为11()d f x x -⎰＝102()d f x x ⎰＝2 120(1)d x x -+⎰＝2⎝⎛⎭⎫x －13x 3 10＝2⎝⎛⎭⎫1－13＝43.(2)作出曲线y ＝x ，直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A (4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为 4(2)d x x ⎤-⎦⎰＝)42d x x +⎰＝3224212032x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝23×8－12×16＋2×4＝163.(3)由题意知x ⎰＝a 2.又332222033a x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭则＝a 2.即23a 32＝a 2，所以a ＝49.1．曲线y ＝x 2和曲线y 2＝x 围成的图形的面积是( ) A.13 B.23 C ．1 D.43解析：选A 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y 2＝x ，得两曲线的交点为(0,0)，(1,1)．所以)120d x x ⎰＝332121033x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝13，即曲线y ＝x 2和曲线y 2＝x 围成的图形的面积是13. 2．由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为________．解析：如图所示，由y ＝x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点分别为(－1,0)和(1,0)．所以S ＝2201d x x -⎰＝()1201d x x -⎰＋()2211d x x -⎰＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －x 3310＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 33－x 21＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎣⎡⎦⎤83－2－⎝⎛⎭⎫13－1＝2. 2条结论——定积分应用的两条常用结论(1)当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．(2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程． 4条性质——定积分的性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差；(3)积分可分段进行；(4)f (x )在区间[－a ，a ]上连续，若f (x )为偶函数，则()d aaf x x -⎰＝2()d af x x ⎰；若f (x )为奇函数，则()d aaf x x -⎰＝0.利用定积分求平面图形面积的易错点[典例] (2012·上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1与x 轴围成图形的面积为122010d x x ⎰＋()12121010d x x x -⎰＝3110230x ＋⎝⎛⎭⎫5x 2－103x 3112＝54.曲线y ＝x 2＋2与直线5x －y －4＝0所围成的图形的面积等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋2，5x －y －4＝0，消去y ，得x 2－5x ＋6＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.如图所示，当2<x <3时，直线5x －y －4＝0在曲线y ＝x 2＋2的上方，所以所求面积为()32254(2)d x x x ⎡⎤--+⎣⎦⎰＝()32256d x x x ⎡⎤--⎣⎦⎰＝⎝⎛⎭⎫52x 2－13x 3－6x ⎪⎪⎪32＝⎝⎛⎭⎫52×32－13×33－6×3－⎝⎛⎭⎫52×22－13×23－6×2＝⎝⎛⎭⎫－92－⎝⎛⎭⎫－143＝16. [冲击名校]1．一物体在变力F (x )＝5－x 2(x 的单位：m ，F 的单位：N)的作用下，沿着与F (x )成30°角的方向做直线运动，则从x ＝1处运动到x ＝2处时变力F (x )所做的功为( )A.233 JB. 3 JC.433 J D ．2 3 J解析：选C 由已知条件可得，F (x )所做的功为32()2215d x x -⎰＝433J. 2．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1，直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2，若S 1＝S2，则点P 的坐标为________．解析：设直线OP 的方程为y ＝kx ，点P 的坐标为(x ，y )，则()20d xkx x x -⎰＝()22d x x kx x -⎰，即⎝⎛⎭⎫12kx 2－13x 30x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12kx 22x，整理得12kx 2－13x 3＝83－2k －⎝⎛⎭⎫13x 3－12kx 2， 解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，169. [高频滚动]已知函数f (x )＝ax 2－b ln x 在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝3x －1.(1)若f (x )在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，求实数k 的取值范围； (2)若对任意x ∈(0，＋∞)，均存在t ∈[1,3]，使得13t 3－c ＋12t 2＋ct ＋ln2＋16≤f (x )，试求实数c 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝2ax －b x ，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3，f (1)＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，f (x )＝2x 2－ln x ，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，令f ′(x )＝0，得x ＝12，则函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1≥0，k －1<12，解得1≤k <32.k ＋1>12，故实数k 的取值范围为⎣⎡⎭⎫1，32. (2)设g (t )＝13t 3－c ＋12t 2＋ct ＋ln 2＋16，根据题意可知g (t )min ≤f (x )min ，由(1)知f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12＋ln 2，g ′(t )＝t 2－(c ＋1)t ＋c ＝(t －1)(t －c )， 当c ≤1时，g ′(t )≥0，g (t )在t ∈[1,3]上单调递增，g (t )min ＝g (1)＝c2＋ln 2，满足g (t )min ≤f (x )min .当1<c <3时，g (t )在t ∈[1，c ]时单调递减，在t ∈[c,3]时单调递增，g (t )min ＝g (c )＝－16c 3＋12c 2＋ln 2＋16，由－16c 3＋12c 2＋ln 2＋16≤12＋ln 2，得c 3－3c 2＋2≥0，(c －1)(c 2－2c －2)≥0，此时1＋3≤c <3.当c ≥3时，g ′(t )≤0，g (t )在t ∈[1,3]上单调递减，g (t )min ＝g (3)＝－3c 2＋143＋ln 2，g (3)＝－3c 2＋143＋ln 2≤－3×32＋143＋ln 2≤12＋ln 2.综上，c 的取值范围是(－∞，1]∪[1＋3，＋∞)．。
定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理一：曲边梯形面积与定积分 1．函数定积分：设函数()y f x =定义在区间[]a b ，上．用分点0121n n a x x x x x b -=<<<<<= ，把区间[]a b ，分为n 个小区间，其长度依次为10121i ii x x x i n +∆=-=- ，，，，，． 记λ为这些小区间长度的最大值，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0．在每个小区间内任取一点i ξ，作和式10()n n i i i I f x ξ-==∆∑．当0λ→时，如果和式的极限存在，我们把和式n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作()d baf x x ⎰，即1()d l i m ()n bi i ai f x x f x λξ-→==∆∑⎰． 其中()f x 叫做被积函数，a 叫积分下限，b 叫积分上限．()d f x x 叫做被积式．此时称函数()f x 在区间[]a b ，上可积． 2．曲边梯形：曲线与平行于y 轴的直线和x 轴所围成的图形，通常称为曲边梯形．根据定积分的定义，曲边梯形的面积S 等于其曲边所对应的函数()y f x =在区间[]a b ，上的定积分，即()d ba S f x x =⎰．二：微积分基本定理1．求积分与求导数互为逆运算．()d ()()baF x x F b F a '=-⎰，即()F x '从a 到b 的积分等于()F x 在两端点的取值之差．2．微积分基本定理如果()()F x f x '=，且()f x 在[,]a b 上可积，则()d ()()baf x x F b F a =-⎰，其中()F x 叫做()f x 的一个原函数．由于[()]()F x c f x '+=，()F x c +也是()f x 的原函数，其中c 为常数．一般地，原函数在[,]a b 上的改变量()()F b F a -简记作()b aF x ，因此，微积分基本定理可以写成形式：()d ()()()bb aa f x x F x Fb F a ==-⎰．考点1： 定积分定义与曲边梯形的面积【例1】 ⑴根据定义计算定积分①21(1)d x x +⎰，②2x -⎰；⑵ 求曲线sin y x =与x 轴在区间[02π]，上所围成阴影部分的面积S⑶ 曲线3πcos 02y x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤≤与坐标轴围成的面积是（）．A ．4B ．52C ．3D ．2【解析】 ⑴①52．②2π⑵⑶ C ；【拓展1】由曲线2y x =，3y x =围成的封闭图形面积为（）A ．112B ．14C ．13D ．712【解析】 A ；考点2： 定积分计算【例2】 计算下列定积分⑴321(4)d x x x --⎰； ⑵()π20sin d x x x +⎰；⑶10(e e )d x x x -+⎰； ⑷2231111d x x xx ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎰．【解析】 ⑴203；⑵2π18+；⑶1e e -；⑷1ln 28+．【拓展2】120|8|d x x -=⎰（）A ．213 B ．223C ．233D ．253【解析】 C ；【拓展3】设函数()y f x =的定义域为+R ，若对于给定的正数K ，定义函数()()()(),,,,K K f x K f x f x f x K ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤则当函数()1f x x =，1K =时，()214d K f x x ⎰的值为（） A ．2ln22+B ．2ln21-C ．2ln2D ．2ln21+【解析】 D ；【例3】 如图，求曲线1y x=及直线y x =，2y =所围成的图形的面积S ． 【解析】 3ln 22-．练习1.从如图所示的长方形区域内任取一个点()M x y ，，则点M 取自阴影部分的概率为． 【解析】 13；2.求22002y x x y x =-=，，≤≤围成图形面积． 【解析】 43．3.设函数2()(0)f x ax c a =+≠．若100()d ()f x x f x =⎰，001x ≤≤，则0x 的值为________．【解析】。
第13节 定积分与微积分基本定理
第十三节 定积分与微积分基本定理知识点一 定积分 1．定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x .(3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )． 2．定积分的几何意义(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(图(1)中阴影部分)．(2)一般情况下，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图(2)中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ≥0)，2x (x <0)，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值是( ) A.⎠⎛1－1x 2d x B.⎠⎛1－12xd x C.⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛102x d x D.⎠⎛0－12xd x ＋⎠⎛10x 2d x2．已知f (x )是偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．6 D ．16知识点二 微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )．那么⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )| ba，即⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )| ba ＝F (b )－F (a )．3．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a4．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( )A.112 B.14 C.13D.712考点一 定积分的计算|1．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3π C.94π D.92π2．若∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1 C. 3 D ．－ 33．已知A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ，则A ＝________.考点二 利用定积分求平面图形的面积|设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于( ) A ．1 B.13 C.23D.431．由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．考点三 定积分物理意义的应用|一物体做变速直线运动，其v -t 曲线如图所示，则该物体在12 s ～6 s 间的运动路程为________．2．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，(0≤x ≤2)，3x ＋4，(x >2)，(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J【典例】 已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[跟踪练习]函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．1．已知t >0，若⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8，则t ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．42．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为( )A.43 B.54 C.65D.763．设a ＝⎠⎛12(3x 2－2x )d x ，则⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6的展开式中的第4项为( )A ．－1 280x 3B ．－1 280C ．240D ．－2404．如图所示，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x >0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln 22B.1－ln 22C.1＋ln 22D.2－ln 225．已知数列{a n }是等差数列，且a 2 013＋a 2 015＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)的值为( )A ．π2B ．2πC ．πD ．4π26．直线y ＝13x 与抛物线y ＝x －x 2所围图形的面积等于________．7．已知a >0且曲线y ＝x 、x ＝a 与y ＝0所围成的封闭区域的面积为a 2，则a ＝________.8．已知a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则⎠⎛0a(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.9．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．10．汽车以54 km/h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3 m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？B 组 高考题型专练1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －12．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13 D ．13．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 24．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．45．曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．6．如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．第十三节 定积分与微积分基本定理参考答案知识点一 定积分 1．定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x .(3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )． 2．定积分的几何意义(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(图(1)中阴影部分)．(2)一般情况下，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图(2)中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)，2x (x <0)，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值是( ) A.⎠⎛1－1x 2d x B.⎠⎛1－12xd x C.⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛102x d x D.⎠⎛0－12xd x ＋⎠⎛10x 2d x 解析：由分段函数的定义及积分运算性质，∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－12xd x ＋⎠⎛10x 2d x . 答案：D2．已知f (x )是偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．6D ．16解析：因为函数f (x )是偶函数，所以函数f (x )在y 轴两侧的图象对称，所以⎠⎛6－6f (x )d x ＝⎠⎛0－6f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.答案：D知识点二 微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )．那么⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )| ba，即⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )| ba ＝F (b )－F (a )．3．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a解析：a ＝⎠⎛01x －13d x ＝32x 23| 10＝32， b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－23x 32| 10＝13，c ＝⎠⎛01x 3d x ＝14x 4| 10＝14，因此a >b >c ，故选A. 答案：A4．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( )A.112B.14C.13D.712解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x 3得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. 结合图形知(图略)所求封闭图形的面积为 ⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 4| 10＝112，故选A. 答案：A考点一 定积分的计算|1．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3π C.94π D.92π 解析：由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛039－x 2d x ＝π·324＝9π4，故选C.答案：C2．若∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1 C. 3D ．－ 3解析：∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x . ∴∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝(a sin x －cos x )⎪⎪π20 ＝⎝⎛⎭⎫a sin π2－cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1＝2. ∴a ＝1. 答案：B3．已知A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ，则A ＝________.解析：A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛13(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3| 10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x | 31＝223. 答案：223考点二 利用定积分求平面图形的面积|设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于( ) A ．1 B.13 C.23D.43[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1，得x ＝±1.如图，由对称性可知，S ＝2()1×1－⎠⎛01x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎫1×1－13x 3| 10＝43，选D.[答案] D1．由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．解析：把阴影部分分成两部分求面积． S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛0－2(2－x 2)d x ＋⎠⎛01(2－x 2－x )d x＝⎝⎛⎭⎫2x －x 33| 0－2＋⎝⎛⎭⎫2x －x 33－x 22| 10 ＝22－(2)33＋2－13－12＝423＋76. 答案：423＋76考点三 定积分物理意义的应用|一物体做变速直线运动，其v -t 曲线如图所示，则该物体在12 s ～6 s 间的运动路程为________．[解析] 由图象可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t <3，13t ＋1，3≤t ≤6，所以12s ～6 s 间的运动路程s ＝⎠⎜⎛126 v (t )= ⎠⎜⎛1262t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t ＝36111322149264t t t ⎛⎫+++=⎪⎝⎭. [答案]4942．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，(0≤x ≤2)，3x ＋4，(x >2)，(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：力F (x )做功为⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42 ＝20＋26＝46. 答案：B【典例】 已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(10x －10x 2)d x ＝103x 3112012231053x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝54. [答案] 54[跟踪练习]函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意知，所求面积为⎠⎛0－1(x ＋1)d x ＋⎠⎛01e xd x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x | 0－1＋e x | 10＝－⎝⎛⎭⎫12－1＋(e －1)＝e －12.答案：e －121．已知t >0，若⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8，则t ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4解析：由⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8得(x 2－2x )| t 0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)，故选D.答案：D2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为( )A.43 B.54 C.65D.76解析：⎠⎛0ef (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛1ef (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e1x d x ＝x 33| 10＋ln x | e1＝13＋ln e ＝43，故选A.答案：A3．设a ＝⎠⎛12(3x 2－2x )d x ，则⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6的展开式中的第4项为( ) A ．－1 280x 3 B ．－1 280 C ．240D ．－240解析：本题考查定积分的计算与二项式定理．依题意得a ＝(x 3－x 2)| 21＝4，二项式⎝⎛⎭⎫4x 2－1x 6的展开式的第四项是T 4＝C 36·(4x 2)3·⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－1 280x 3，故选A. 答案：A4．如图所示，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x >0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln 22B.1－ln 22C.1＋ln 22D.2－ln 22解析：本题考查定积分的计算与几何概率的意义．依题意，题中的矩形区域的面积是1×2＝2，题中的阴影区域的面积等于2×12＋ eq \a\vs4\al(\i\in(1x d x ＝1＋ln x eq \b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,＝1＋ln 2，因此所求的概率等于1＋ln 22，故选C.答案：C5．已知数列{a n }是等差数列，且a 2 013＋a 2 015＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)的值为( )A ．π2B ．2πC ．πD ．4π2解析：⎠⎛024－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝4在第一象限的面积，即⎠⎛024－x 2d x ＝π，又数列{a n }是等差数列，所以a 2 013＋a 2 015＝a 2 012＋a 2 016＝2a 2 014，所以得a 2 014·(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)＝π2×2π＝π2，故选A.答案：A6．直线y ＝13x 与抛物线y ＝x －x 2所围图形的面积等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ，y ＝x －x 2，解得x ＝0或23，所以所求面积为∫230⎝⎛⎭⎫x －x 2－13x d x ＝∫230⎝⎛⎭⎫23x －x 2d x＝⎝⎛⎭⎫13x 2－13x 3⎪⎪230＝13×⎝⎛⎭⎫232－13×⎝⎛⎭⎫233－0＝481. 答案：4817．已知a >0且曲线y ＝x 、x ＝a 与y ＝0所围成的封闭区域的面积为a 2，则a ＝________.解析：由题意a 2＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32| a 0，所以a ＝49.答案：498．已知a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则⎠⎛0a(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________. 解析：⎠⎛0a(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )| a0＝sin a ＋cos a －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4－1.∵a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴当a ＝π4时，[]⎠⎛0a(cos x －sin x )d x max ＝2－1.答案：π49．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：如图，由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2| 10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2| 31＝23＋16＋43＝136. 10．汽车以54 km/h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3 m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？解：由题意，得v 0＝54 km/h ＝15 m/s. 所以v (t )＝v 0＋at ＝15－3t . 令v (t )＝0，得15－3t ＝0.解得t ＝5. 所以开始刹车5 s 后，汽车停车． 所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为 s ＝⎠⎛05v (t )d t ＝⎠⎛05(15－3t )d t＝⎝⎛⎭⎫15t －32t 2| 50＝37.5(m)． 故汽车走了37.5 m.B 组 高考题型专练1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )| 10＝1＋e 1－1＝e.答案：C2．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：令⎠⎛01f (x )d x ＝m ，则f (x )＝x 2＋2m ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2mx | 10＝13＋2m ＝m ，解得m ＝－13，故选B. 答案：B3．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2解析：由v (t )＝0得t ＝4.故刹车距离为s ＝⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎡⎦⎤－32t 2＋7t ＋25ln (1＋t )| 40＝4＋25ln 5. 答案：C4．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)．∴S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4| 20＝4. 答案：D5．曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意，可得封闭图形的面积为 ⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3| 10＝12－13＝16. 答案：166．如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．解析：建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，由图易知(5,2)在抛物线上，可得p ＝254，抛物线方程为x 2＝252y ，所以当前最大流量对应的截面面积为2⎠⎛05⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝403，原始的最大流量对应的截面面积为2×(6＋10)2＝16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为16403＝1.2.答案：1.2。
第二章 第十三节 定积分与微积分基本定理
解析
(3) 定 积 分
题组训练
2 0
|1 － x|dx ＝
2 0
1 2 |1－ x|dx＝ (1－ x)dx＋ (x－ 1)dx
0
1
1 ________.
1 1 2 1 2 1 2 ＝ x－2x |0 ＋ 2x －x |1 ＝ 1－2 －0 1 1 2 2 ＋ 2×2 －2－2×1 －1 ＝1.
1 3 ln 3(3
24 －31)＝ln 3.
知识点三
第十三节 定积分与微积分基本定理
抓主干 知识回顾
研考向 考点研究
思想与方 法系列7
课时 跟踪检测
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知识点三
知识点一
微积分基本定理
一般地，如果 f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且 F′(x)＝f(x)，那
b 么 f(x)dx＝ F(b)－F(a) ，这个结论叫作微积分基本定理，又叫作
0
a (2)若 f(x)是奇函数，则 f(x)dx＝0.
－ a
知识点三
第十三节 定积分与微积分基本定理
抓主干 知识回顾
研考向 考点研究
思想与方 法系列7
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知识点二
知识点一
解析
[自测练习]
1 x 2. (e ＋2x)dx 等于( C ) 0
1 0
(ex ＋ 2x)dx ＝ (ex ＋ x2) |0 ＝ (e1 ＋ 1)
思想与方 法系列7
课时 跟踪检测
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知识点一
2．定积分的几何意义：
知识点一
定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理1．定积分的概念 在⎰b af (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质 (1)⎰b akf (x )d x ＝k⎰b af (x )d x (k 为常数)；(2)⎰b a[f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎰baf 1(x )d x ±⎰b af 2(x )d x ；(3⎰b af (x )d x ＝⎰b af (x )d x ＋⎰b af (x )d x (其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎰baf (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数． 为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即f ⎰b a(x )d x ＝F (x ) |b a ＝F (b )－F (a )．基本积分公式表⑴C dx =⎰0 ⑵C x m dx x m m++=+⎰111 ⑶C x dx x+=⎰ln 1⑷C e dx e xx+=⎰⑸C aa dx a xx+=⎰ln ⑹⎰+=C x xdx sin cos ⑺⎰+-=C x x cos sin ⑻⎰+-=C x x x xdx ln ln 1．(2013·江西高考)若S 1＝⎰21x 2d x ，S 2＝⎰211xd x ，S 3＝⎰21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3 .C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 12．（2013北京，5分）直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直， 则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43B ．2 C.83 . D. 16233．（2013湖南，5分）若∫T 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．4．（2012福建，5分）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取 一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( ) A.14 B.15 C.16 D.175．（2012湖北，5分）已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( ) A.2π5 B.43 . C.32 D.π26．（2011湖南，5分）由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12B ．1 C.32D.3. 7．（2010山东，5分）由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )A.112B.14C.13D.712 8.（2010湖南，5分）⎰421xd x 等于( ) A ．－2ln2 B ．2ln2 C ．－ln2 D ．ln2.9．(2009·福建，5分)⎰-22ππ(1＋cos x )d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2.10．（2011陕西，5分）设f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧≤+>⎰0,30,lg 2x dt t x x x a 若f (f (1))＝1，则a ＝________. 11、(2008海南)由直线21=x ，x=2，曲线x y 1=及x 轴所围图形的面积为（ ） A.415B. 417 C. 2ln 21 D. 2ln 2.12、(2010海南)设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y …，由此得到N 个点11(,)(1,2,)x y i N =…,，再数出其中满足11()(1,2,)y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分10()f x dx ⎰的近似值为 。
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考点13 定积分与微积分基本定理
一、定积分 1．曲边梯形的面积
（1）曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． （2）求曲边梯形面积的方法与步骤：
①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；
②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；
③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；
④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．
2．求变速直线运动的路程 3．定积分的定义和相关概念
（1）如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0<x 1<…<x i −1<x i <…<x n =b 将区间[a ,b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i −1,x i ]上任取一点ξi (i =1,2, …,n )，作和式
1
1
()()n
n
i i i i b a
f x f n
ξξ==-∆=∑
∑
；当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分，记作
()d b
a
f x x ⎰
，即
()d b
a
f x x ⎰
=1
lim ()n
i n i b a
f n
ξ→∞
=-∑
. （2）在
()d b
a
f x x ⎰
中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被
积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 4．定积分的性质 （1）()()d d b
b
a a
kf x x k f x x =⎰⎰(k 为常数)；
（2）[()()]d ()d ()d b
b b
a a
a
f x
g x x f x x g x x ±=±⎰
⎰⎰；
（3）
()d =()d +()d b
c b
a
a
c
f x x f x x f x x ⎰
⎰⎰(其中a <c <b )．
【注】定积分的性质（3）称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD 的面积等于曲边梯形AEFD 与曲边梯形EBCF 的面积的和．
5．定积分的几何意义
（1）当函数f (x )在区间[a ,b ]上恒为正时，定积分
b
a ⎰ f (x )d x 的几何意义是由直线x =a ，x =
b (a ≠b )，y =0和
曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)． （2）一般情况下，定积分
b
a ⎰ f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x =a ，x =
b 之间的曲边梯
形面积的代数和(图②中阴影部分所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
6．定积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论)
定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来确定：
设阴影部分面积为S ,则 （1）()d b
a S f x x =⎰； （2）()d b
a
S f x x =-⎰；
（3）()()d d c
b a
c
S f x x f x x =
-⎰
⎰； （4）()()()()d d []d b b b
a
a
a
S f x x g x x f x g x x =-=-⎰⎰⎰.
二、微积分基本定理
一般地，如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数，且F ′(x )=f (x )，那么
()d b
a
f x x ⎰
=F (b )−F (a )．这个结论叫做
微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式，其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，我们常把
—
F (b )−F (a )记作()|b a
F x ，即
()d b
a
f x x ⎰
=()|b a F x =F (b )−F (a )．学.科*网
【注】常见的原函数与被积函数的关系 （1）d |(b
b a a C x Cx C =⎰
为常数)； （2）11d |(1)1
b
n n b
a a
x x x n n +=
≠-+⎰
； （3）sin d cos |b
b a a x x x =-⎰
； （4）cos d sin |b
b a a x x x =⎰
； （5）1
d ln |(0)b
b a a
x x b a x
=>>⎰
； （6）
e d e |b
x x b a a x =⎰
；
（7）d |(0,1)ln x b
x
b
a a a a x a a a
=
>≠⎰； （8）
3
22d |(0)3
b
b a a
x x x b a =>≥⎰
.
1．
π
cos d x x =⎰
A ．1
B ．2-
C ．0
D ．π
2．若
()π40
2
sin cos d 2
x a x x -=-
⎰，则实数a 等于 A ．1 B 2 C ．1-
D ．3-3．直线34x y x y ==与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 A ．22 B ．24 C ．2
D ．4
—
4．定义
a b ad bc c d
=-，如
121423234
=⨯-⨯=-，那么
2
1
d 31
2
x x =⎰
A ．6
B ．3
C ．
3
2
D ．0 5．设实数2log 3a =，1
3
1
log 2
b =，π0
1
sin d c x x
=⎰
，则
A ．b a c >>
B ．b c a >>
C ．a b c >>
D ．a c b >>
6．（2015年高考湖南卷）
2
(1)d x x -=⎰
．
7．（2015年高考天津卷）曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ．
8．（2015年高考福建卷）如图,点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(2,4),函数f (x )=x 2.若在矩形ABCD 内随机取
一点,则此点取自阴影部分的概率等于 ．。