知识讲解_微积分基本定理

微积分基本定理

编稿：赵雷 审稿：李霞

【学习目标】1．理解微积分基本定理的含义。

2．能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题。

【要点梳理】

要点一、微积分基本定理的引入

我们已学过过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

（1）导数和定积分的直观关系：

如下图：一个做变速直线运动的物体的运动规律是s=s （t ），由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度v （t ）=s ＇（t ）。设这个物体在时间段[a ，b]内的位移为s ，你能分别用 s （t ）、v （t ）表示s 吗？

一方面，这段路程可以通过位置函数S （t ）在[a ，b]上的增量s （b ）－s （a ）来表达， 即 s=s （b ）－s （a ）。 另一方面，这段路程还可以通过速度函数v （t ）表示为 ()d b

a

v t t ⎰

,

即 s =

()d b

a

v t t ⎰

。

所以有： ()d b

a

v t t =⎰

s （b ）－s （a ）

（2）导数和定积分的直观关系的推证：

上述结论可以利用定积分的方法来推证，过程如下：

如右图：用分点a=t 0＜t 1＜…＜t i －1＜t i ＜…＜t n =b ， 将区间[a ，b]等分成n 个小区间：

[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，…，[t i ―1，t i ]，…，[t n ―1，t n ]， 每个小区间的长度均为

1i i b a

t t t n

--∆=-=

。 当Δt 很小时，在[t i ―1，t i ]上，v （t ）的变化很小，可以认为物体近似地以速度v （t i ―1）做匀速运动，物体所做的位移

111()'()'()i i i i i b a

s h v t t s t t s t n

----∆≈=∆=∆=

。 ② 从几何意义上看，设曲线s=s （t ）上与t i ―1对应的点为P ，PD 是P 点处的切线，由导数的几何意义知，切线PD 的斜率等于s ＇（t i ―1），于是

1tan '()i i i s h DPC t s t t -∆≈=∠⋅∆=⋅∆。

结合图，可得物体总位移

111

1

1

1

()'()n n n n

i i i i i i i i s s h v t t s t t --=====∆≈=∆=∆∑∑∑∑。

显然，n 越大，即Δt 越小，区间[a ，b]的分划就越细，1

11

1

()'()n

n

i i i i v t

t s t t --==∆=∆∑∑与s

的近似程度就越好。由定积分的定义有

11lim ()n

i n i b a s v t n -→∞=-=∑11

lim '()n i n i b a

s t n -→∞=-=∑()d '()d b b a a v t t s t t ==⎰⎰。

结合①有

()d '()d ()()b b

a

a

s v t t s t t s b s a ===-⎰⎰。

上式表明，如果做变速直线运动的物体的运动规律是s=s （t ），那么v （t ）=s ＇（t ）在

区间[a ，b]上的定积分就是物体的位移s （b ）―s （a ）。

一般地，如果()f x 是区间[a ，b]上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么

()d ()()b

a

f x x F b F a =-⎰

。

这个结论叫做微积分基本定理。

要点二、微积分基本定理的概念

微积分基本定理：

一般地，如果'()()F x f x =，且()f x 在[a ，b]上可积，则()d ()()b

a

f x x F b F a =-⎰

。

这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼兹公式。

其中，()F x 叫做()f x 的一个原函数。为了方便，我们常把()()F b F a -记作()b

a F x ，即

()d ()()()b

b

a a

f x x F x F b F a ==-⎰

。

要点诠释：（1）根据定积分定义求定积分，往往比较困难，而利用上述定理求定积分比较方便。

（2）设()f x 是定义在区间I 上的一个函数，如果存在函数()F x ，在区间I 上的任何一点x 处都有'()()F x f x =，那么()F x 叫做函数()f x 在区间I 上的一个原函数。根据定义，求函数()f x 的原函数，就是要求一个函数()F x ，使它的导数'()F x 等于()f x 。由于

[()]''()()F x c F x f x +==，所以()F x c +也是()f x 的原函数，其中c 为常数。

（3）利用微积分基本定理求定积分

()d b

a

f x x ⎰

的关键是找出使'()()F x f x =的函数

()F x 。通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从

反方向求出()F x 。

要点三、定积分的计算

1. 求定积分的一般步骤是：

（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； （2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； （3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；

（4）利用牛顿―――莱布尼兹公式求出各个定积分的值； （5）计算原始定积分的值。 2. 定积分的运算性质。

①有限个函数代数和（或差）的定积分等于各个函数定积分的代数和（或差），即

1212[()()()d ]()d ()d ()d b

b b

b

n n a

a

a

a

f x f x f x x f x x f x x f x x ±±

±=±±

±⎰

⎰⎰⎰。

②常数因子可提到积分符号前面，即

()d ()d b

b

a

a

kf x x k f x x =⎰

⎰。

③当积分上限与下限交换时，积分值一定要反号，即()d ()d b

a

a

b

f x x f x x =-⎰

⎰。

④定积分的可加性，对任意的c ，有

()d ()d ()d b

c

b a

a

c

f x x f x x f x x =+⎰

⎰⎰。

3. 定积分的计算技巧：

（1）对被积函数，要先化简，再求积分。

（2）求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再

求和。

（3）对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分。 要点诠释：

① 求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.因此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.

② 把积分上、下限代入原函数求差时，要按步骤进行，以免发生符号错误。

③ 由于[]()'(),F x c f x +=()F x c +也是)(x f 的原函数，其中c 为常数.