7.微积分基本定理练习题
定积分及微积分基本定理练习题及答案
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x2－x)dx B ．S ＝⎠⎛01(x －x2)dxC ．S ＝⎠⎛01(y2－y)dyD ．S ＝⎠⎛01(y －y)dy [答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x2)dx.2．(2010·日照模考)a ＝⎠⎛02xdx ，b ＝⎠⎛02exdx ，c ＝⎠⎛02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b [答案] D[解读] a ＝⎠⎛02xdx ＝12x2|02＝2，b ＝⎠⎛02exdx ＝ex|02＝e2－1>2，c ＝⎠⎛02sinxdx ＝－cosx|02＝1－cos2∈(1,2)，∴c<a<b.3．(2010·理，7)由曲线y ＝x2，y ＝x3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.712 [答案] A[解读] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x2－x3)dx ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x3－14x401＝112.[点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：(2010·师大附中)设点P 在曲线y ＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S1，S2.如图所示，当S1＝S2时，点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，169 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，157 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，137 [答案] A[解读] 设P(t ，t2)(0≤t ≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S1＝⎠⎛0t (tx －x2)dx ＝t36；S2＝⎠⎛t 2(x2－tx)dx ＝83－2t ＋t36，若S1＝S2，则t ＝43，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.4．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x3所围成的图形的面积为( ) A ．4 B.43C.185D ．6[答案] A[解读] S ＝⎠⎛02x3dx ＝⎪⎪⎪x4402＝4. 5．(2010·省考试院调研)⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos1 [答案] B[解读] ⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx ＝(－cosx ＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.6．曲线y ＝cosx(0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π2D ．π [答案] A [解读] 如右图， S ＝∫02π(1－cosx)dx ＝(x －sinx)|02π＝2π.[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π，则对称性就无能为力了． 7．函数F(x)＝⎠⎛0xt(t －4)dt 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 [答案] B[解读] F ′(x)＝x(x －4)，令F ′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4， ∵F(－1)＝－73，F(0)＝0，F(4)＝－323，F(5)＝－253.∴最大值为0，最小值为－323. [点评] 一般地，F(x)＝⎠⎛0x φ(t)dt 的导数F ′(x)＝φ(x)．8．已知等差数列{an}的前n 项和Sn ＝2n2＋n ，函数f(x)＝⎠⎛1x 1t dt ，若f(x)<a3，则x的取值围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫36，＋∞B ．(0，e21) C ．(e －11，e) D ．(0，e11) [答案] D[解读] f(x)＝⎠⎛1x 1t dt ＝lnt|1x ＝lnx ，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，0<x<e11.9．(2010·一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC ，曲线y ＝sinx(0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 随机投一点(该点落在矩形OABC 任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π4 [答案] A[解读] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsinxdx ＝－cosx|0π＝－(cos π－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝S S 矩形OABC ＝22π＝1π.10．(2010·质检)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－2≤x<02cosx 0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的图形面积S为( )A.32B ．1 C ．4 D.12 [答案] C[解读] 面积S ＝∫π2－2f(x)dx ＝⎠⎛0－2(x ＋2)dx ＋∫π202cosxdx ＝2＋2＝4.11．(2010·二十中)设函数f(x)＝x －[x]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g(x)＝－x3，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g(x)dx 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－76[答案] A[解读] 由题意可得，当0<x<1时，[x]＝0，f(x)＝x ，当1≤x<2时，[x]＝1，f(x)＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎠⎛m n g(x)dx ＝⎠⎛14⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 3dx ＝⎪⎪⎪－x2614＝－52.11．(2010·调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.34 [答案] A[解读] 方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b2－4c ≥0，即b2≥c ，由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝⎠⎛01b2db 1×1＝13.12．(2010·省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y ＝x2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 的概率是( )A.12B.14C.13D.25 [答案] C[解读] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝⎠⎛01x2dx＝13x3|01＝13，故所求概率p ＝13.2．如图，阴影部分面积等于( )A ．23B ．2－ 3 C.323D.353 [答案] C[解读] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31 (3－x2－2x)dx ＝(3x －13x3－x2)|1－3＝323.3.⎠⎛024－x2dx ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2[答案] C[解读] 令y＝4－x2，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案] A[解读] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间行驶的路程就是该时间段速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．(2012·日照模拟)向平面区域Ω＝{(x ，y)|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4B.12 C.π2－1 D.2π [答案] D [解读]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6． (sinx －cosx)dx 的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2[答案] D[解读] (sinx －cosx)dx ＝(－cosx －sinx) ＝－2.7．(2010·模拟)⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝________.[答案] 3[解读] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝⎠⎛01(1＋x)dx ＋⎠⎛12(3－x)dx＝(x ＋12x2)|10＋(3x －12x2)|21＝32＋32＝3.8．(2010·十二中)已知函数f(x)＝3x2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解读] ∵⎠⎛1－1f(x)dx ＝⎠⎛1－1(3x2＋2x ＋1)dx ＝(x3＋x2＋x)|1－1＝4，⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)，∴6a2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.9．已知a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x2项的系数是________．[答案] －192[解读] 由已知得a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ＝(－cosx ＋sinx)|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是Tr ＋1＝(－1)r ×Cr 6×26－r ×x3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解读] 设直线与抛物线的两个交点分别为A(a ，a2)，B(b ，b2)，不妨设a<b ， 则直线AB 的方程为y －a2＝b2－a2b －a(x －a)， 即y ＝(a ＋b)x －ab.则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛a b[(a ＋b)x －ab －x2]dx ＝(a ＋b2x2－abx －x33)|b a ＝16(b －a)3，∴16(b －a)3＝43， 解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P(x ，y)，其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x2＋1.能力拓展提升11.(2012·二测)等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝⎠⎛034xdx ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12[答案] C[解读] 因为S3＝⎠⎛034xdx ＝2x2|30＝18，所以6q ＋6q2＋6＝18，化简得2q2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．(2012·模拟)已知(xlnx)′＝lnx ＋1，则⎠⎛1elnxdx ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解读] 由(xlnx)′＝lnx ＋1，联想到(xlnx －x)′＝(lnx ＋1)－1＝lnx ，于是⎠⎛1elnxdx ＝(xlnx －x)|e 1＝(elne －e)－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18[解读] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y)－y22]dy ＝(4y －y22－y36)|2－4＝18.14.已知函数f(x)＝ex －1，直线l1：x ＝1，l2：y ＝et －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2表示．直线l2，y 轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解读] 由题意得S1＋S2＝⎠⎛0t (et －1－ex ＋1)dx ＋⎠⎛t 1(ex －1－et ＋1)dx ＝⎠⎛0t (et －ex)dx＋⎠⎛t 1(ex －et)dx ＝(xet －ex)|t 0＋(ex －xet)|1t ＝(2t －3)et ＋e ＋1，令g(t)＝(2t －3)et ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t)＝2et ＋(2t －3)et ＝(2t －1)et ，令g ′(t)＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t)<0，g(t)是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t)>0，g(t)是增函数，因此g(t)的最小值为g(12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2. 15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x|dx 。
微积分考试试题及答案
微积分考试试题及答案一、选择题1. 下列哪个是微积分的基本定理？A. 韦达定理B. 牛顿-莱布尼兹公式C. 洛必达法则D. 极限定义答案：B. 牛顿-莱布尼兹公式2. 对于函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$，求其导数$f'(x)$。
A. $3x^2 - 2x$B. $6x - 2$C. $6x - 2x$D. $6x - 2$答案：D. $6x - 2$3. 已知函数$y = 2x^3 + 4x - 1$，求其在点$(1, 5)$处的切线斜率。
A. 6B. 8C. 10D. 12答案：B. 8二、填空题1. 函数$y = \sin x$在$x = \pi/2$处的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$1$2. 函数$y = e^x$的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$e^x$3. 函数$y = \ln x$的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$\frac{1}{x}$三、简答题1. 请解释一下微积分中的基本概念：导数和积分的关系。
答：导数和积分是微积分的两个基本概念，导数表示函数在某一点上的变化率，而积分表示函数在某一区间上的累积效果。
导数和积分互为逆运算，导数可以用来求解函数的斜率和最值，积分可以用来求解函数的面积和定积分。
2. 为什么微积分在物理学和工程学中如此重要？答：微积分在物理学和工程学中具有重要作用，因为微积分提供了一种精确的方法来描述和分析连续变化的过程。
通过微积分，可以求解物体在运动过程中的速度、加速度、轨迹等物理量，以及工程中涉及到的曲线、曲面、体积等问题。
微积分为物理学和工程学提供了丰富的数学工具，可以更准确地描述和解决实际问题。
四、计算题1. 计算定积分$\int_{0}^{1} x^2 dx$。
答：$\frac{1}{3}$2. 求函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$在区间$[1, 2]$上的定积分。
答：$\frac{19}{3}$以上就是微积分考试的试题及答案，希望对你的复习有所帮助。
微积分基本定理1
31
(2x )dx 2xdx ( )dx
1
x2
1
1 x2
x2
|13
1 x
|13
(9 1) (1 3
1)
22 3
F ( x)
|ba
F (b)
F (a)
例1 计算下列定积分：
21
(1)
1
dx x
3
1
(2) (2x )dx
1
x2
求出f(x)的原 函数是关键
f (x)dx F(
a
计算定积分
1
1
x)
x
|ba
dx
F (b)
F
(a)
解：1 x dx
0
( x)dx
1
xdx
1
1
0
1 2
x2
|01
1 2
x2
|10
11 1 22
练习：计算定积分 3 x2 4 dx 0
析：原式=
（2 4-x2）dx
0
（3 x2 -4）dx
2
(4x
1 3
lim lim S
Sn
n
[ 1 (1 6 n
1 )(2 n
1 ) 2] n
5 3
1.已知汽车作变速直线运动，在时刻t(单位：h)的速 度为v(t)＝－t2＋2 (单位：km/h)，那么它在0≤t≤1时 段内行驶的位移S(单位：km)是多少？
S 1(t 2 2)dt 5
0
3
直接用定义计算比较麻烦！
解：（1）分割：在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个分点，将区间等分成个n小
区间：[0, 1 ],[ 1 , 2 ], [ i 1 , i ], ,[ n 1 ,1], 每个小区间的长度为 t 1
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
年 级 高二 学科数学内容标题 定积分的计算 编稿老师马利军一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题.2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题.二、知识要点分析1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：⎰badx x f )(2. 定积分的几何意义：（1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是：y=f（x ）与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.⎰badx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号.在图（1）中：0s dx )x (f ba>=⎰，在图（2）中：0s dx )x (f ba<=⎰，在图（3）中：dx)x (f ba⎰表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和.注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于⎰badx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于⎰badx x f )(.3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）⎰⎰⎰±=±bab aba dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [（2）⎰⎰=baba dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）（3）⎰⎰⎰+=bcbac adx x f dx x f dx x f )()()(（4）若在区间［a ，b ］上，⎰≥≥badx x f x f 0)(,0)(则推论：（1）若在区间［a ，b ］上，⎰⎰≤≤babadx x g dx x f x g x f )()(),()(则（2）⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(||)(|（3）若f （x ）是偶函数，则⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=⎰-aadx x f4. 微积分基本定理：一般地，若)()()(],[)(),()('a Fb F dx x f b a x f x f x F ba-==⎰上可积，则在且注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据导数定义知：F （x ）+C 也是f （x ）的原函数，求定积分⎰badx x f )(的关键是求f （x ）的原函数，可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求F （x ）.（2）求导运算与求原函数的运算互为逆运算.【典型例题】知识点一：定积分的几何意义例1．根据⎰=π200sin xdx 推断：求直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积下列结论正确的是（ ）A ．面积为0B ．曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积C ．曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积D ．曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积题意分析：本题考查定积分的几何意义，注意dx x ⎰π20sin 与y=sinx 及直线x=a ，x=b 和x轴围成的面积的区别.思路分析：作出函数y=sinx 在区间[0，π2]内的图象及积分的几何意义及函数的对称性可判断.解：对于（A ）：由于直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积为正可判断A 错.对于（B ），（C ）根据y=sinx 在[0，π2]内关于（)0,π对称知两个答案都是错误的. 根据函数y=sinx 的图象及定积分的几何意义可知：答案（D ）是正确的.解题后的思考：本题主要考查定积分的几何意义，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是混淆函数y=sinx 与x 轴、直线x=0，x=π2围成的面积等于⎰π20)(dx x f .例2．利用定积分的几何意义，说明下列等式的合理性 （1）121=⎰xdx（2）⎰=-1241πdx x .题意分析：本题主要考查定积分的几何意义：在区间[0，1]上函数y=2x ，及y=21x -恒为正时，定积分⎰102xdx 表示函数y=2x 图象与x=0，x=1围成的图形的面积，dx x ⎰-121表示函数y=21x -图象与x=0，x=1围成的图形的面积.思路分析：分别作出函数y=2x 及y=21x -的图象，求此图象与直线x=0，x=1围成的面积.解：（1）在同一坐标系中画出函数y=2x 的图象及直线x=0，x=1（如图），它们围成的图形是直角三角形.其面积∆S =11221=⨯⨯.由于在区间[0，1]内f （x ）恒为正，故1210=⎰xdx .（2）由]1,0[,11222∈=+⇒-=x y x x y ，故函数y 21x -=（]1,0[∈x 的图象如图所示，所以函数y 21x -=与直线x=0，x=1围成的图形面积是圆122=+y x 面积的四分之一，又y 21x -=在区间［0，1］上恒为正.⎰=-1241πdx x解题后的思考：本题主要考查利用定积分的几何意义来验证函数y=2x 及函数y=21x -在区间［0，1］上的定积分的值，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是画函数图象的不准确造成错误的结果.例3．利用定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.题意分析：本题考查定积分的几何意义，⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值是函数|3||1|-+-=x x y 的图象与直线x=0，x=4所围成图形的面积.思路分析：首先把区间［0，4］分割为［0，1］，［1，3］，［3，4］，在每个区间上讨论x －1，x －3的符号，把函数|3||1|-+-=x x y 化为分段函数，再根据定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.解：函数|3||1|-+-=x x y 化为⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y由于函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y 在区间［0，1］，［1，3］，［3，4］都恒为正.设函数y=－2x+4的图象与直线x=0，x=1围成的面积为S 1 函数y=2的图象与直线x=1，x=3围成的面积是S 2 函数y=2x －4的图象与直线x=3，x=4围成的面积是S 3 由图知：S 1=S 3=,31)24(21=⨯+S 2=422=⨯ 由定积分的几何意义知：⎰-+-4|)3||1(|dx x x =10231=++S S S解题后的思考：本题考查的知识点是定积分的几何意义，利用其几何意义求定积分⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值，体现了等价转化的数学思想（把区间［0，4］分割，把函数y=|x －1|+|x －3|化成分段函数）、数与形结合的思想的应用.易错点是：区间［0，4］分割不当及画函数图象不准确，造成错误的结果.当被积函数含有绝对值时，常采用分割区间把函数化为分段函数的方法求定积分的值.小结：本题主要考查定积分的几何意义，要分清在区间［a ，b ］上f （x ）恒为正时，f （x ）在区间[a ，b]上定积分值才等于函数图象与直线x=a ，x=b 围成的面积.在画函数图象时注意x 的取值区间.当被积函数含有绝对值时，恰当的分割区间把函数画为分段函数再求定积分的值.高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解一、选择题1．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝⎠⎛02e xd x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b2．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.712(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，169C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，157D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，137 3．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4B.43C.185D ．64．(2010·湖南省考试院调研)⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos15．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2πB ．3πC.3π2D ．π6．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1x 1td t ，若f (x )<a 3，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e )D ．(0，e 11)8．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π49．(2010·吉林质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－2≤x <02cos x 0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( )A.32B ．1C ．4D.1210．(2010·沈阳二十中)设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g (x )d x 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－7611．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.3412．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12 B.14 C.13D.25二、填空题13．(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.14．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2项的系数是________．15．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．16．(2010·安徽合肥质检)抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．17．(2010·福建福州市)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．三、解答题18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S1＋S2最小．。
1_定积分与微积分基本定理(理)含答案版
定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d x B ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d y D ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案]B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析]两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．如图，阴影部分面积等于( )A ．23B ．2－ 3 C.323D.353 [答案]C[解析]图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323. 3.⎠⎛024－x 2d x ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2 [答案]C[解析]令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案]A[解析]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间行驶的路程就是该时间段速度函数的定积分，即速度函数v (t )的图象与t 轴以与时间段围成区域的面积．从图象知：在t 0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积，因此，在t 0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t 1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，所以，可以断定：在t 1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4B.12C.π2－1D.2π [答案]D[解析]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6．的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2 [答案]D[解析]2(cos sin )2x x ππ---＝2(cos sin )2x x ππ---＝－2. 7．⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案]3[解析]∵y ＝⎩⎨⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3. 9．已知a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案]－192 [解析]由已知得a ＝2(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析]设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a 2b －a (x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b )x －ab －x 2]d x＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|ba ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )， 其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b 22.将b －a ＝2代入得⎩⎨⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12 [答案]C [解析]因为S 3＝⎠⎛034x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q 2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案]A[解析]由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e ln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案]18[解析]由方程组⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|2－4＝18.14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案](e －1)2[解析]由题意得S 1＋S 2＝⎠⎛0t (e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x＝⎠⎛0t (e t －e x )d x ＋⎠⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)e t ＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t ＝(2t －1)e t，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分． (1)⎠⎛1－1|x |d x; (2)⎠⎛πcos 2x2d x ；(3)∫e ＋121x －1d x . [解析](1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎛1x d x ＝2×12x 2|10＝1.(2)⎠⎛πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π0＝π2. (3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1. 16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析]f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． ∴S 阴影＝⎠⎛a0[0－(－x 3＋ax 2)]d x＝(14x 4－13ax 3)|0a ＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1.1．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求22()f x dx ππ-⎰的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案]B[解析]22()f x dx ππ-⎰＝22ππ-⎰sin 5x d x ＋22ππ-⎰1d x ，由于函数y ＝sin 5x 是奇函数，所以22ππ-⎰sin 5x d x ＝0，而22ππ-⎰1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x －1 (－1≤x <0)，cos x (0≤x <π2)，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )A.2＋π4B.12 C ．1 D.32 [答案]D[解析]由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案]22[解析]∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22. 4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． [答案]33[解析]⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a 3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a 3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33. 5．设n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x)n 展开式中含x 2项的系数是________．[答案]40[解析]∵(x 3－2x )′＝3x 2－2， ∴n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5.∴(x －2x )5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r (－2x)r ＝(－2)r C r 5x 5－3r 2 ，令5－3r2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。
高考数学定积分与微积分基本定理选择题
高考数学定积分与微积分基本定理选择题1. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值2. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法错误的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值3. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法错误的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值4. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值5. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值6. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值7. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值8. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值9. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值10. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值11. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值12. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值13. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值14. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值15. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值16. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值17. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值18. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值19. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值20. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值21. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值22. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值23. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值24. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值25. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值26. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值27. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值28. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值29. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值30. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值31. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值32. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值33. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值34. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值35. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值36. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值37. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值38. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值39. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值40. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值41. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值42. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值43. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值44. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值45. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值46. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值47. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值48. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值49. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值50. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值。
2020年高考数学 考点15 定积分与微积分基本定理必刷题 理(含解析)
【答案】
【解析】
因为 ；
所以 的展开式的通项公式为:
，
令 ，则 ，所以常数项为 。
故答案为 ．
22．直线 与抛物线 围成的封闭图形的面积为______．
【答案】
【解析】
由题意,联立方程组 ，解得 或 ，
所以直线 与抛物线 围成的封闭图形的面积为：
。
23．设 ，则 的展开式中的常数项为_____.（用数字填写）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由题知A(1,1），阴影部分的面积为S
则S= =
故选：A．
6．如图所示，点 ， 是曲线 上一点，向矩形 内随机投一点，则该点落在图中阴影内的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
阴影部分面积为 ，
所以所求概率为 ，选A。
7．已知 ，则多项式 的展开式中 的系数为( )
故选：B．
14．二次函数 的图象如图所示，则定积分 （ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】
由图象可知，二次函数 的零点为1，2
即方程 的根为1,2坐标原点 作曲线 的切线 ,则曲线 、直线 与 轴所围成的封闭图形的面积为______
【答案】 .
【解析】
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵A（﹣1，﹣1)，B（1，﹣1),C(1，1),D（﹣1，1），
∴正方体的ABCD的面积S＝2×2＝4,
根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积:
S＝2 [1﹣ ］dx＝2（ x3） 2[(1 ）﹣0]＝2 ，
微积分基本定理及应用练习(含答案)
微积分基本定理及应用练习（含答案）班级 姓名一、填空题1．⎰-11xdx = 0 2.y=⎰+-102)13(dx x x ,则y ’= 0 3.dx e x x )(01⎰--= -e 123+ 4.⎰+20)sin 3(πdx x x = 1832+π 5.设函数y=⎰-x dt t 0)1((x>0),则该函数的极小值是 -21 6.dx xx x )32(212⎰--= 2ln 321-- 7.⎰4122cos ππxdx = 41 二、解答题8.求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积。
解：332|)33)323132231=-+=--⎰x x x dx x x S （－＋（＝ 9.设f(x)是连续函数，且f(x)=x+2⎰10)(dt t f ，求f(x)解:由题意可知f(x)=x+c (c 是一个常数)f(x)=x+2⎰10)(dt t f =x+2⎰+10)(dt c t =x+1+2c x+c=x+1+2cc=-1f(x)=x-110.A 、B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站B 开往站，电车开出ts 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到C 点的速度为24m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经ts 后，速度为（24-1.2t ）m/s ，在B 点恰好停车，试求（1）A 、C 间的距离；（2）B 、D 间的距离；（3）电车从A 站到B 站所需的时间。
解：（1）设A 到C 的时间为t1则1.2t=24, t1=20(s),则AC ＝⎰==2002002)(240|6.02.1m t tdt（2）设D 到B 的时间为t21则24-1.2t2=0, t21=20(s),则DB ＝⎰==2002002)(240|6.02.124m t dt t ）－（ （3）CD=7200-2⨯240=6720(m),则从C 到D 的时间为280(s),则所求时间为20+280+20=320（s ）。
高中高三数学 定积分与微积分基本定理练习题-人教版高三全册数学试题
4.若 x2dx＝9，则常数T的值为________．
解析：∵ ′＝x2，
∴ x2dx＝ x3 ＝ T3－0＝9，∴T＝3.
答案：3
5.如右图所示，则由两条曲线y＝－x2，x2＝－4y及直线y＝－1所围成图形的面积为________．
解析：由图形的对称性，知所求图形的面积是位于y轴右侧图形面积的2倍．由 得C(1，－1)．
同理，得D(2，－1)．
故所求图形的面积S＝2 [－ －(－x2)]dx＋ [－ －(－1)]dx ＝2 dx－ ( －1)dx ＝2 －( －x) ＝ .
答案：
《定积分与微积分基本定理》
1.若S1＝ x2dx，S2＝ dx，S3＝ exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A. S1<S2<S3B. S2<S1<S3
C. S2<S3<S1D. S3<S2<S1
解析：S1＝ x2dx＝ x3 ＝ ，
S2＝ dx＝lnx ＝ln2，
S3＝ exdx＝ex ＝e2－e＝e(e－1)>e> ，
所以S2<S1<S3，故选B.
答案：B
2.设f(x)＝ 则
f(x)dx等于( )
A. B.
C. D. 不存在
解析：本题画图求解，更为清晰，如图，
f(x)dx＝ x2dx＋ (2－x)dx
＝ x3＋ )＝ .
答案：C
3.计算定积分 dx＝________.
解析： dx表示圆x2＋y2＝22与x＝0，x＝2，y＝0围成的图形的面积．根据定积分的几何意义，得 dx＝π.
微积分考试题目及答案
微积分考试题目及答案一、选择题1. 下列哪个选项描述了微积分的基本思想？A. 求导运算B. 求积分运算C. 寻找极限D. 都是答案：D2. 求函数f(x) = 2x^3 + 3x^2的导数是多少？A. f'(x) = 4x^2 + 6xB. f'(x) = 6x^2 + 3xC. f'(x) = 6x^2 + 6xD. f'(x) = 4x^2 + 3x答案：A3. 计算积分∫(2x^2 + 3x)dxA. x^3 + 2x^2B. x^3 + 2x + CC. (2/3)x^3 + (3/2)x^2D. (2/3)x^3 + 3x^2答案：C二、填空题4. 函数f(x) = 3x^2 + 2x的导数为_________答案：f'(x) = 6x + 25. 计算积分∫(4x^3 + 5x)dx = __________答案：x^4 + (5/2)x^2 + C6. 函数y = x^2在点x=2处的切线斜率为_________答案：4三、解答题7. 求函数y = x^3 + 2x^2在x=1处的切线方程。
解：首先求函数在x=1处的导数，f'(x) = 3x^2 + 4x。
代入x=1得斜率为7。
又因为该点经过(1,3)，故切线方程为y = 7x - 4。
8. 求曲线y = x^3上与x轴围成的面积。
解：首先确定曲线截距为(0,0)，解方程得x=0。
利用定积分区间求解：∫[0,1] x^3dx = 1/4。
以上为微积分考试题目及答案，希望对您的学习有所帮助。
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3-3定积分与微积分基本定理(理)
3-3定积分与微积分基本定理(理)基 础 巩 固一、选择题1.⎠⎛05(2x －4)d x ＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2[答案] A[解析] ⎠⎛05(2x －4)d x ＝(x 2－4x )|50＝(52－4×5)－(02－4×0)＝5.2．若⎠⎛1a (2x ＋1x )d x ＝3＋ln2，且a >1，则a 的值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2[答案] D[解析] ⎠⎛1a (2x ＋1x )d x ＝(x 2＋ln x )|a1＝a 2＋ln a －1，故有a 2＋ln a －1＝3＋ln2，即a ＝2.3．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.712[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x 3得交点为(0,0)，(1,1)． ∴S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 410＝112.4．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛-66f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16 [答案] D[解析] ∵原函数为偶函数， ∴在y 轴两侧的图像对称． ∴对应的面积相等． 原式＝2⎠⎛06f (x )d x ＝8×2＝16.5．图中阴影部分的面积是( )A ．16B ．18C ．20D ．22[答案] B[解析] S ＝⎠⎛－24 (y ＋4－y22)d y＝(y 22＋4y －y 36)|4－2＝18.6．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323 C ．有最小值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值 [答案] B[解析] F ′(x )＝x (x －4)令F ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4，由F ′(x )得F (x )＝13x 3－2x 2. ∵F (－1)＝－73，F (0)＝0， F (4)＝－323，F (5)＝－253. ∴最大值为0，最小值为－323. 二、填空题7. ⎠⎛－43|x ＋2|d x ＝________.[答案] 292[解析] 原式＝⎠⎜⎛－4－2(－x －2)d x ＋⎠⎛－23(x ＋2)d x ＝292.8．(2012·山东理，15)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a ，则a ＝________.[答案] 94[解析] 本题考查了定积分求解封闭图形的面积．S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x32|a0＝23a32＝a ，解得a ＝94.三、解答题 9．求下列定积分：(1)⎠⎛01(x 2－x )d x ；(2) ⎠⎜⎜⎛－π2π2cos 2x 2d x ； (3) ⎠⎜⎜⎛－π2π2 (3x 3＋4sin x )d x ；(4)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，(x ≤0)cos x －1，(x >0)，求⎠⎛-11f (x )d x .[解析] (1)⎠⎛01(x 2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 2⎪⎪1＝－16.(3)令f (x )＝3x 3＋4sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上为奇函数，∴⎠⎜⎜⎛－π2π2 (3x 3＋4sin x )d x ＝0.(4) ⎠⎛-11f (x )d x ＝⎠⎛-10x 2d x ＋⎠⎛01(cos x －1)d x＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|10＝sin1－23.能 力 提 升一、选择题1．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值等( )A.56B.12C.23D.16[答案] A[解析] 由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1， 所以f (x )＝x 2＋x ，于是⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x＝(13x 3－12x 2)|21＝56.2．(2012·淮南模拟)定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3π C.94π D.92π[答案] C[解析] 由定积分的几何意义知⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛039－x 2d x ＝π·324＝94π.故选C.二、填空题3．(2012·江西理，11)计算定积分⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝________.[答案] 23[解析] 本题考查了定积分的知识， ⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝(13x 3－cos x )|1－1 ＝13－cos1－(－13－cos1)＝23.4．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛－11f (x )d x ＝2f (a )，则a ＝________.[答案] －1或13[解析] ⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－11 (3x 2＋2x ＋1)d x＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4＝2f (a )． f (a )＝3a 2＋2a ＋1＝2，解得a ＝－1或13. 三、解答题5．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a b ＝0， ∴f (x )＝ax 2＋(2－a )． 又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01[ax 2＋(2－a )]d x＝[13ax 3＋(2－a )x ]|10＝2－23a ＝－2，∴a ＝6， 从而f (x )＝6x 2－4.(2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]． ∴当x ＝0时，f (x )min ＝－4； 当x ＝±1时，f (x )max ＝2.6．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．[解析] 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 310＝16. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2y ＝kx可得， 抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S 2＝∫1－k 0(x －x 2－kx )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 31－k 0＝16(1－k )3.又知S ＝16，所以(1－k )3＝12， 于是k ＝1－342.7．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2.(1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图像与两坐标轴所围成图形的面积．(3)若直线x ＝－t (0<t <1)，把y ＝f (x )的图像与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 又已知f ′(x )＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等的实根， ∴判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意，所求面积＝⎠⎛－10(x 2＋2x ＋1)d x＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x 0－1＝13. (3)依题意有⎠⎜⎛－1－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝⎠⎛－t 0 (x 2＋2x ＋1)d x . ∴⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x －t －1＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x 0－t ，∴－13t 3＋t 2－t ＋13＝13t 3－t 2＋t ， ∴2t 3－6t 2＋6t －1＝0 ∴2(t －1)3＝－1，于是t ＝1－132.。
高中数学定积分与微积分基本定理练习题
定积分与微积分基本定理自我检测：1.设连续函数f(x)>0,则当a<b 时,定积分∫()ba f x dx 的符号( )A.一定是正的B.一定是负的C.当0<a<b 时是正的,当a<b<0时是负的D.以上结论都不对 2. ∫22ππ- (1+cosx)dx 等于( )A.πB.2C.π-2D.π+23.用S 表示图中阴影部分的面积,则S 的值是( )A. ∫()c a f x dxB.| ∫()c a f x dx|C. ∫()b a f x dx+∫()c b f x dxD. ∫()c b f x dx-∫()ba f x dx4.设函数()m f x x ax =+的导函数f′(x)=2x+1,则∫21()f x -dx 的值等于( )A.56 B.12 C.23 D.165.直线y=2x+3与抛物线2y x =所围成的图形面积为 .巩固练习：1. ∫412x dx 等于( )A.-2ln2B.2ln2C.-ln2D.ln22. ∫10(e 2)xx +dx 等于( )A.1B.e-1C.eD.e+13.已知f(x)= 210101x x x ⎧,-≤≤,⎨,<<,⎩则∫11()f x -dx 的值为 ( )A.32B.23-C.23 D.434.函数f(x)= 2110cosx 0x x x π+,-≤<,⎧⎨,≤≤⎩ 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.32 B.1 C.2 D.125.函数y=∫(x x -cos 22)t t ++dt( )A.是奇函数B.是偶函数C.是非奇非偶函数D.以上都不正确6.由直线330x x y ππ=-,=,=与曲线y=cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B.1 C.32 D.3 7.由曲线32y x y x =,=围成的封闭图形的面积为( )A.112B.14 C.13 D.7128.曲线1x y =与直线y=x,x=2所围成的图形面积为 .9.如果∫10()f x dx=1, ∫20()f x dx=-1,则∫21()f x dx= .10.由曲线2y x =和直线x=0,x=1,y=2(01)t t ,∈,所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为 .11.计算下列定积分.(1) ∫2211(2)x x -dx; (2) ∫3212()x x +dx; (3) ∫30π (sinx-sin2x)dx.12.已知f(x)为二次函数,且f(-1)=2,f′(0)=0,∫10()f x dx=-2.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.。
微积分入门基本公式例题
微积分入门基本公式例题微积分是数学中的一个重要分支，它涉及到函数的极限、连续性、导数、积分等概念。
以下是一些微积分的基本公式及其例题：1.导数的基本公式导数描述了函数值随自变量变化的速率。
基本的导数公式包括：(1) 常数导数：f'(x) = 0，其中f(x)是一个常数；(2) 正比例函数导数：f'(x) = k，其中f(x) = kx；(3) 幂函数导数：f'(x) = nx^(n-1)，其中f(x) = x^n；(4) 对数函数导数：f'(x) = 1/x，其中f(x) = ln x；(5) 三角函数导数：f'(x) = cos x，其中f(x) = sin x；以及f'(x) = -sin x，其中f(x) = cos x。
例题：求f(x) = 3x^2 + 5x + 2的导数。
解：根据幂函数导数的公式，f'(x) = 2*3x + 5 = 6x + 5。
2.积分的基本公式积分是微分的逆运算，它可以用来计算曲线下面积、求解定积分等。
基本的积分公式包括：(1) 常数积分：∫ a dx = ax + C，其中a是常数；(2) 正比例函数积分：∫ x dx = x^2/2 + C，其中C是积分常数；(3) 幂函数积分：∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C，其中n是正整数；(4) 对数函数积分：∫ ln x dx = x ln x - x + C，其中C是积分常数；(5) 三角函数积分：∫ sin x dx = -cos x + C，以及∫ cos x dx = sin x + C，其中C是积分常数。
例题：计算∫ (3x^2 + 5x + 2) dx。
解：根据积分的基本公式，∫ (3x^2 + 5x + 2) dx = (3/3) * x^3 + (5/2) * x^2 + 2x + C = x^3 + (5/2)*x^2 + 2x + C。
微积分考试试题及答案
微积分考试试题及答案一、选择题1. 设函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，那么 f'(1) 的值是多少？A. -1B. -4C. -3D. 0答案：C2. 给定曲线 y = 2e^x - x，求当 x = 0 时，曲线的切线方程为？A. y = 1 - xB. y = x - 1C. y = e - xD. y = x - e答案：A3. 对于函数 f(x) = 3x^2 + 2x + 1，在 [0,2] 区间上的定积分为？A. 12B. 10C. 14D. 16答案：C二、填空题1. 设函数 g(x) = 2x^3 - 6x + 5 的不定积分为 F(x)，那么 F(2) 的值为________。
答案：272. 设函数 h(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 + 5x - 2，那么 h'(x) 的导函数为_________。
答案：4x^3 - 6x^2 + 6x + 5三、解答题1. 计算函数f(x) = ∫[0,2] (3x^2 + 2x + 1) dx 的值。
解答步骤：首先对 f(x) 进行积分得到 F(x) = x^3 + x^2 + x + C。
然后将积分上下限代入 F(x)，得到 F(2) = 2^3 + 2^2 + 2 + C = 14 + C。
由于题目没有给定积分常数 C，所以无法具体计算 F(2) 的值。
2. 求函数g(x) = ∫[-1,1] (2x^3 - 6x + 5) dx 的值。
解答步骤：首先对 g(x) 进行积分得到 G(x) = x^4 - 3x^2 + 5x + C。
然后将积分上下限代入 G(x)，得到 G(1) - G(-1) = (1^4 - 3(1)^2 +5(1)) - ((-1)^4 - 3(-1)^2 + 5(-1))= (1 - 3 + 5) - (1 - 3 - 5) = 3 - (-7) = 10。
微积分练习题
微积分练习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数是：A. -4B. 0C. 4D. 82. 曲线 \( y = x^3 - 6x^2 + 9x \) 在点 \( P(3,0) \) 处的切线斜率是：A. -18B. -9C. 0D. 93. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 在区间 \( [0, \pi] \) 上的定积分是：A. 2B. \( \pi \)C. \( 2\pi \)D. 04. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的原函数是：A. \( x \)B. \( x^2 \)C. \( e^x \)D. \( x\ln(x) - x \)5. 曲线 \( y = x^2 \) 与直线 \( y = 4x \) 相切的点的横坐标是：A. 0B. 2C. 4D. 8二、填空题（每题2分，共10分）6. 函数 \( f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 5 \) 的二阶导数是__________。
7. 若 \( \int_{0}^{1} f(x)dx = 2 \) 且 \( f(0) = 0 \)，则\( f(1) \) 等于 __________。
8. 函数 \( g(x) = \frac{1}{x} \) 在 \( x = 1 \) 处的切线方程是 __________。
9. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \) 等于 __________。
10. 函数 \( h(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 \) 的极小值点是__________。
三、简答题（每题10分，共30分）11. 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在区间 \( [0, 3] \)上的最大值和最小值。
定积分、微积分基本定理-高中数学知识点讲解(含答案)
定积分、微积分基本定理（北京习题集）（教师版）一．选择题（共6 小题）1)101．（2018 春•海淀区期中）dx (1xA．1 B．ln 10 1 C．ln10 D．101 1a 1 a ( )a2．（2018 春•海淀区校级期中）若(x )dx 1ln3 ，且，则的值为1 x2A． 3 B．1n3 C． 3 D．31)33．（2017•丰台区一模）定积分(2x ) dx (1xA．B．C．D．10 ln3 8 ln3 223 649f (x) g(x) [ 1 1]14．（2017 春•丰台区期末）若函数f x ，g(x) 满足 f (x)g(x)dx 0 ，则称，在区间，上是“互为( )1正交函数”．现给出三组函数：①f (x ) 2 ，g(x ) e x ．②f (x ) x 1，g(x ) x 1；③f (x ) x ，g(x ) x2 其中“互为正交函数”的组数是 ( )A．0 B．1 C．2 D．31( )45．（2017 春•西城区校级期中）dx 等于2xA．21n 2 B． 21n 2 C．ln 2 D．ln 21a b( ) 6．（2017 春•朝阳区期末）若a xdx ，b sin xdx ，则的值是1 0A． 2 B．0 C．2 D．3二．填空题（共7 小题）1 37．（2017 秋•海淀区期中）定积分x dx 的值等于．12 28．（2017 秋•海淀区校级月考）计算：3x dx ．2139．（2017 秋•东城区校级期中）定积分(2x )dx ．1x3 210．（2017 秋•崇文区校级期中）x dx 的值等于．311．（2017 秋•西城区校级月考）如图中的曲线为( ) 2 ，则阴影部分面积为．f x x2 x第1页（共7页）3 212．（2017 春•西城区校级期中）x dx ．213．（2017 春•海淀区校级期末）sin xdx ．3三．解答题（共2 小题）14．（2013•宣武区校级模拟）计算下列定积分的值3 2（1）(4x x )dx ；12 5（2）(x 1) dx ；1（3）(x sin x)dx ；2（4）．2 cos xdx2215．（2013•北京校级模拟）计算下列定积分（1）；2 (3x sin x)dx2（2）．323 9 x dx第2页（共7页）定积分、微积分基本定理（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共6 小题）1)101．（2018 春•海淀区期中）dx (1xA．1 B．ln10 1 C．ln10 D．10【分析】根据定积分的计算法则计算即可．110 10【解答】解：dx lnx | ln10 ln1ln10 ，11x故选：C ．【点评】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．1 1a 1 a ( )a2．（2018 春•海淀区校级期中）若(x )dx 1ln3 ，且，则的值为1 x2A． 3 B．1n3 C． 3 D．3【分析】根据微积分基本定理，计算即可．1 1 1 1 1 1 1a x dx x lnx a a lna a lna ln【解答】解：( ) ( ) | ( ) ( 0) 13，2 2 211x 2 2 2 2 2 21 a 1 13 2 1 lnaln且，2 2 2解得a 3 ，故选：C ．【点评】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．1)33．（2017•丰台区一模）定积分(2x ) dx (1xA．B．C．D．10 ln3 8 ln3 223 64 9【分析】求出原函数，即可求出定积分．13 2 3【解答】解：(2x ) dx (x lnx ) | 8 ln3 ，11x故选：B ．【点评】本题考查定积分，考查学生的计算能力，确定原函数是关键．f (x) g(x) [ 1 1]14．（2017 春•丰台区期末）若函数f x ，g(x) 满足 f (x)g(x)dx 0 ，则称，在区间，上是“互为( )1正交函数”．现给出三组函数：①f (x ) 2 ，g(x ) e x ．②f (x ) x 1，g(x ) x 1；③f (x ) x ，g(x ) x2 其中“互为正交函数”的组数是 ( )第3页（共7页）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用题意将原问题转化为考查函数奇偶性的问题，据此整理计算即可求得最终结果．y f (x)g(x)1【解答】解：函数，满足( ) ( ) 0 ，则为奇函数，f (x) g(x) f xg x dx1对于①：( ) 2 ，，不是奇函数，，不是区间，上的一组正交函数；f x g(x) e x y 2e x f (x) g(x) [ 1 1]对于②：，，则为偶函数，，不是区间，上的一组f (x) x 1 g(x) x 1 y (x 1)(x 1) x2 1 f (x) g(x) [ 1 1]正交函数；对于③：，，，为奇函数，，为区间，上的一组正交函数，f (x) x g(x) x2 y x3 f (x) g(x) [ 1 1]正交函数有 1 组，故选：B ．【点评】本题考查定积分的性质，函数的奇偶性及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．1( )45．（2017 春•西城区校级期中）dx 等于2xA．21n 2 B． 2 C． 2 D． 221n ln ln【分析】根据定积分的计算法则计算即可14 4【解答】解：dx lnx | ln4 ln2 2ln2 ln2 ln2 ，22x故选：D ．【点评】本题考查了定积分的计算，属于基础题1a b( ) 6．（2017 春•朝阳区期末）若a xdx ，b sin xdx ，则的值是1 0A． 2 B．0 C．2 D．3【分析】根据定积分的定义计算即可．1 11 2 1 2 2【解答】解：a xdx x |[1 ( 1) ] 0 ，112 2，b sin xdx cos x | cos cos 0 2则0 2 2 ．a b故选：C ．【点评】本题考查了定积分的定义与计算问题，是基础题．二．填空题（共7 小题）1 37．（2017 秋•海淀区期中）定积分x dx 的值等于0．111 3 4 1【分析】由已知可得x dx x ，进而得到答案．|114第4页（共7页）1 1 1【解答】解：Q1 3 4 1x dx x |114 4 4故答案为：0【点评】本题考查的知识是定积分，求出原函数是解答的关键．2 28．（2017 秋•海淀区校级月考）计算：3x dx 16．2【分析】结合积分公式进行计算即可．2 23 2 3 3【解答】解：3x dx x | 2 ( 2) 8 8 16 ，22故答案为：16．【点评】本题主要考查积分的计算，结合积分公式是解决本题的关键．18 ln339．（2017 秋•东城区校级期中）定积分(2x )dx ．1x1 33 2 3【分析】，由此能求出结果．(2x )dx (x lnx)x |x 1111 33 2 3【解答】解：(2x )dx (x lnx)x |x 111(3 ln3) (1 ln1)2 28 ln3．故答案为：8 ln3．【点评】本题考查函数的定积分的求法，考查导数、不定积分、定积分等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3 210．（2017 秋•崇文区校级期中）x dx 的值等于18．3【分析】利用微积分基本定理即可得出．x 27 2733 2 3【解答】解：．x dx | () 18333 3 3故答案为：18．【点评】本题考查了微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（2017 秋•西城区校级月考）如图中的曲线为( ) 2 ，则阴影部分面积为．f x x x 823第5页（共7页）【分析】根据积分的几何意义求对应阴影部分的面积，即可得到结论．S f x dx fx dx 【解答】解：由积分的意义得阴影部分的面积 1 ( ) 0( )0 20 2 2 21(x 2x)dx 0 (x 2x)dx1 1( x x ) |( x x ) |3 2 0 3 2 21 03 31 1，4 48(1)( 8 4)()3 33 338故答案为：．3【点评】本题主要考查阴影部分面积是计算，利用积分的应用，建立积分关系是解决本题的关键．193 212．（2017 春•西城区校级期中）x dx ．23【分析】根据定积分的运算法则，求解即可．1 1 193 2 3 3【解答】解：x dx x | (27 8) ．223 3 319故答案为：．3【点评】本题考查了定积分的计算问题，是基础题．313．（2017 春•海淀区校级期末）sin xdx ．23【分析】找出被积函数y sin x 的原函数，然后利用牛顿莱布尼兹公式计算即可得出答案．3 3【解答】解：sin xdx cos x ，故答案为：．2 233【点评】本题考查定积分的计算，找出被积函数的原函数，是解本题的关键，属于基础题．三．解答题（共2 小题）14．（2013•宣武区校级模拟）计算下列定积分的值3 2（1）(4x x )dx ；12 5（2）(x 1) dx ；1第6页（共7页）（3）(x sin x)dx ；2（4）cos xdx ．222【分析】利用微积分基本定理和导数的运算法则即可得出．x 2033 2 2 3【解答】解：（1）x x dx x ；(4 ) (2 ) |113 3( 1) (x 1)6 1x 62 5 2（2）Q ( ) ( 1) ，(x 1) dx | ；5x16 16 62 2x（3）( sin ) ( cos ) | 1；2 x x dx x 22 81 cos 2x x sin 2x（4）cos xdx dx ( ) | ．2 2 222 2 4 22 2 2【点评】熟练掌握微积分基本定理和导数的运算法则是解题的关键．15．（2013•北京校级模拟）计算下列定积分（1）；2 (3x sin x)dx2（2） 3 9 x dx ．32【分析】利用微积分基本定理和定积分的几何意义即可求出．3【解答】解：（1），原式；Q (x 3 cos x) |2 1(x 3 cos x ) 3x 2 sin x8（2）令，则，9 x 2 y… 0 x 2 y 2 9(y…0)3 29 xdx3 表示的是上半圆的面积，x 2 y 2 9(y…0)3 29 x dx392．【点评】熟练掌握微积分基本定理是解题的关键．第7页（共7页）。
微积分公式与定积分计算练习
微积分公式与定积分计算练习（附加三角函数公式）一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '=⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()xxe e '= ⑽()ln xx a a a'= ⑾()1ln x x '=⑿()1log ln x ax a '=⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arccot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则（1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑四、基本初等函数的n 阶导数公式（1）()()!n nx n = （2）()()n ax bn ax be a e ++=⋅ (3)()()ln n xx n a a a=(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7)()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dxμμμ-= ⑶()sin cos d x xdx= ⑷()cos sin d x xdx=- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx=-⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx=-⋅⑼()xxd ee dx = ⑽()ln xxd a aadx= ⑾()1ln d x dx x =⑿()1log ln xa d dx x a = ⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arccot 1d x dx x =-+六、微分运算法则 ⑴()d u v du dv±=± ⑵()d cu cdu=⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dx x c x =+⎰⑷ln xxa a dx c a =+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰ ⑽21arctan 1dx x c x =++⎰⑾arcsin x c=+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan x dx c a x a a =++⎰2211ln 2x adx c x a a x a -=+-+⎰arcsinxca=+ln x c=+十、分部积分法公式⑴形如n axx e dx⎰，令nu x=，axdv e dx=形如sinnx xdx⎰令nu x=，sindv xdx=形如cosnx xdx⎰令nu x=，cosdv xdx=⑵形如arctannx xdx⎰，令arctanu x=，ndv x dx=形如lnnx xdx⎰，令lnu x=，ndv x dx=⑶形如sinaxe xdx⎰，cosaxe xdx⎰令,sin,cosaxu e x x=均可。
定积分及微积分基本定理练习题及答案
定积分与微积分基本定理练习题及答案1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x2－x)dxB ．S ＝⎠⎛01(x －x2)dxC ．S ＝⎠⎛01(y2－y)dyD ．S ＝⎠⎛01(y －y)dy [答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x2)dx.2．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛02xdx ，b ＝⎠⎛02exdx ，c ＝⎠⎛02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b [答案] D[解读] a ＝⎠⎛02xdx ＝12x2|02＝2，b ＝⎠⎛02exdx ＝ex|02＝e2－1>2，c ＝⎠⎛02sinxdx ＝－cosx|02＝1－cos2∈(1,2)，∴c<a<b.3．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x2，y ＝x3围成的封闭图形面积为( )[答案] A[解读] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x2－x3)dx ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x3－14x401＝112. [点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S1，S2.如图所示，当S1＝S2时，点P 的坐标是( )[答案] A[解读] 设P(t ，t2)(0≤t≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S1＝⎠⎛0t (tx －x2)dx ＝t36；S2＝⎠⎛t2(x2－tx)dx ＝83－2t ＋t36，若S1＝S2，则t ＝43，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.4．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x3所围成的图形的面积为( ) A ．4 D ．6 [答案] A[解读] S ＝⎠⎛02x3dx ＝⎪⎪⎪x4402＝4. 5．(2010·湖南省考试院调研)⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos1 [答案] B[解读] ⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx ＝(－cosx ＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.6．曲线y ＝cosx(0≤x≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B．3π D ．π [答案] A [解读] 如右图， S ＝∫02π(1－cosx)dx ＝(x －sinx)|02π＝2π.[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π，则对称性就无能为力了． 7．函数F(x)＝⎠⎛0x t(t －4)dt 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 [答案] B[解读] F′(x)＝x(x －4)，令F′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4， ∵F(－1)＝－73，F(0)＝0，F(4)＝－323，F(5)＝－253.∴最大值为0，最小值为－323. [点评] 一般地，F(x)＝⎠⎛0x φ(t)dt 的导数F′(x)＝φ(x)．8．已知等差数列{an}的前n 项和Sn ＝2n2＋n ，函数f(x)＝⎠⎛1x 1t dt ，若f(x)<a3，则x的取值范围是( )B ．(0，e21)C ．(e －11，e)D ．(0，e11) [答案] D[解读] f(x)＝⎠⎛1x 1t dt ＝lnt|1x ＝lnx ，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，0<x<e11.9．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sinx(0≤x≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )[答案] A[解读] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsinxdx ＝－cosx|0π＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝S S 矩形OABC ＝22π＝1π.10．(2010·吉林质检)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－2≤x<02cosx 0≤x≤π2的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( )B ．1C ．4 [答案] C[解读] 面积S ＝∫π2－2f(x)dx ＝⎠⎛0－2(x ＋2)dx ＋∫π202cosxdx ＝2＋2＝4.11．(2010·沈阳二十中)设函数f(x)＝x －[x]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[－]＝－2，[]＝1，[1]＝1.又函数g(x)＝－x3，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g(x)dx 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－76[答案] A[解读] 由题意可得，当0<x<1时，[x]＝0，f(x)＝x ，当1≤x<2时，[x]＝1，f(x)＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎠⎛m n g(x)dx ＝⎠⎛14⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 3dx ＝⎪⎪⎪－x2614＝－52. 11．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )[答案] A[解读] 方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b2－4c≥0，即b2≥c，由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝⎠⎛01b2db1×1＝13.12．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y ＝x2(x≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )[答案] C[解读] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝⎠⎛01x2dx＝13x3|01＝13，故所求概率p ＝13.2．如图，阴影部分面积等于( )A ．23B ．2－3[答案] C[解读] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31 (3－x2－2x)dx ＝(3x －13x3－x2)|1－3＝323.4－x2dx ＝( ) A ．4π B．2π C ．π [答案] C[解读] 令y ＝4－x2，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案] A[解读] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大于v乙的图象与t 轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．(2012·山东日照模拟)向平面区域Ω＝{(x ，y)|－π4≤x≤π4，0≤y≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )－1 [答案] D[解读] 平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6． (sinx －cosx)dx 的值是( )A ．0 C ．2 D ．－2 [答案] D[解读] (sinx －cosx)dx ＝(－cosx －sinx) ＝－2.7．(2010·惠州模拟)⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝________.[答案] 3[解读] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x≤13－x 1<x≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝⎠⎛01(1＋x)dx ＋⎠⎛12(3－x)dx＝(x ＋12x2)|10＋(3x －12x2)|21＝32＋32＝3.8．(2010·芜湖十二中)已知函数f(x)＝3x2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解读] ∵⎠⎛1－1f(x)dx ＝⎠⎛1－1(3x2＋2x ＋1)dx ＝(x3＋x2＋x)|1－1＝4，⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)，∴6a2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.9．已知a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x2项的系数是________．[答案] －192[解读] 由已知得a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ＝(－cosx ＋sinx)|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是Tr ＋1＝(－1)r×C r 6×26－r×x3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解读] 设直线与抛物线的两个交点分别为A(a ，a2)，B(b ，b2)，不妨设a<b ， 则直线AB 的方程为y －a2＝b2－a2b －a(x －a)， 即y ＝(a ＋b)x －ab.则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛a b [(a ＋b)x －ab －x2]dx ＝(a ＋b2x2－abx －x33)|b a ＝16(b －a)3， ∴16(b －a)3＝43， 解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P(x ，y)， 其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b2，y ＝a2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x2＋1.能力拓展提升11.(2012·郑州二测)等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝⎠⎛034xdx ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12[答案] C[解读] 因为S3＝⎠⎛034xdx ＝2x2|30＝18，所以6q ＋6q2＋6＝18，化简得2q2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．(2012·太原模拟)已知(xlnx)′＝lnx ＋1，则⎠⎛1e lnxdx ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解读] 由(xlnx)′＝lnx ＋1，联想到(xlnx －x)′＝(lnx ＋1)－1＝lnx ，于是⎠⎛1e lnxdx＝(xlnx －x)|e 1＝(elne －e)－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18[解读] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y 作为积分变量x＝y22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y)－y22]dy ＝(4y －y22－y36)|2－4＝18.14.已知函数f(x)＝ex －1，直线l1：x ＝1，l2：y ＝et －1(t 为常数，且0≤t≤1)．直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2表示．直线l2，y 轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解读] 由题意得S1＋S2＝⎠⎛0t (et －1－ex ＋1)dx ＋⎠⎛t 1(ex －1－et ＋1)dx ＝⎠⎛0t (et －ex)dx ＋⎠⎛t 1(ex －et)dx ＝(xet －ex)|t 0＋(ex －xet)|1t ＝(2t －3)et ＋e ＋1，令g(t)＝(2t －3)et ＋e ＋1(0≤t≤1)，则g′(t)＝2et ＋(2t －3)et ＝(2t －1)et ，令g′(t)＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g′(t)<0，g(t)是减函数，当t ∈(12，1]时，g′(t)>0，g(t)是增函数，因此g(t)的最小值为g(12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x|dx 。
定积分与微积分基本定理 (1)
第3讲 定积分与微积分基本定理一、选择题1.(2017·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( ) A.e ＋2 B.e ＋1C.eD.e －1 解析 ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪10)＝1＋e 1－1＝e.故选C. 答案 C2.若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( ) A.2 B.3C.4D.6 解析 ⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )⎪⎪⎪a 1＝a 2＋ln a －1， ∴a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，则a ＝2.答案 A3.从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( ) A.12g B.gC.32gD.2g 解析 电视塔高h ＝⎠⎛12gt d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12gt 221＝32g . 答案 C4.如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A.⎠⎛02|x 2－1|d x B.⎪⎪⎪⎪⎠⎛02（x 2－1）d x C.⎠⎛02(x 2－1)d x D.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x 解析 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即⎠⎛02|x 2－1|d x .答案 A5.若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A.S 1<S 2<S 3B.S 2<S 1<S 3C.S 2<S 3<S 1D.S 3<S 2<S 1解析S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e 2－e ， ∵e 2－e ＝e(e －1)＞e ＞73＞ln 2，∴S 2＜S 1＜S 3.答案 B二、填空题6.已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝________. 解析 由⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8得，(x 2－2x ) ⎪⎪⎪t 0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去). 答案 47.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为________.解析 根据f (x )的图象可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0).因为f (x )的图象过(0，1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1.所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43. 答案 438.(2017·济南模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析 封闭图形如图所示，则⎠⎛0a x d x ＝＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.答案 49三、解答题9.计算下列定积分：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x d x ； (2)⎠⎛02－x 2＋2x d x ；(3) 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4d x ； (4)⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ； (5)⎠⎛－22|x 2－2x |d x . 解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 1＝32－ln 2； (2)由定积分的几何意义知，所求定积分是由x ＝0，x ＝2，y ＝－x 2＋2x ，以及x 轴围成的图象的面积，即圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的一半，∴⎠⎛02－x 2＋2x ＝π2；(3)原式＝ (sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π2＋sin π2－(－cos 0＋sin 0)＝2；(4)原式＝⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3)d x ＋⎠⎛－111d x ＝0＋x ⎪⎪⎪1-1＝2； (5)∵|x 2－2x |＝⎩⎨⎧x 2－2x ，－2≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2， ∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2⎪⎪⎪20＝8.10.求曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 围成的图形的面积.解 作出曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 的图象，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝x ，得交点(1，1)，解方程组⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝3x ，得交点(3，9)，因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(3x －x )d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x ＝x 2⎪⎪⎪10 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2－13x 3⎪⎪⎪31＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32×32－13×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×12－13×13＝133.11.若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A.－1B.－13C.13D.1解析 由题意知f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，∴f (x )＝x 2＋2m ，⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2mx ⎪⎪⎪113＋2m＝m，∴m＝－1 3.＝。
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7、微积分基本定理
一、选择题
1.⎠⎛0
1(x 2
＋2x )d x 等于( )
A.13
B.23 C ．1 D.43 2．∫2π
π(sin x －cos x )d x 等于( )
A ．－3
B ．－2
C ．－1
D ．0
3．自由落体的速率v ＝gt ，则落体从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B ．gt 2
0 C.12gt 20 D.16gt 20 4．曲线y ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( )
A ．4
B ．2 C.5
2 D ．3
5．如图，阴影部分的面积是( )
A ．2 3
B ．2－ 3 C.323 D.35
3
6.⎠⎛0
3|x 2－4|d x ＝( )
A.213
B.223
C.233
D.25
3 7．⎠⎛241
x
d x 等于( )
A ．－2ln2
B ．2ln2
C ．－ln2
D ．ln2 8．若⎠⎛1a ⎝
⎛⎭
⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln2，则a 等于( )
A ．6
B ．4
C ．3
D ．2
9．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2
，y ＝x 3
围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7
12
10．设f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
0≤x <12－x
1<x ≤2
，则⎠⎛0
2f (x )d x 等于( )
A.34
B.45
C.5
6 D ．不存在
[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2
d x ＋⎠⎛1
2(2－x )d x ，
二、填空题
11．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________． 12．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________．
13．求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝5
4π，y ＝0所围图形的面积为________．
14．若a ＝⎠⎛02x 2
d x ，b ＝⎠⎛02x 3
d x ，c ＝⎠⎛0
2sin x d x ，则a 、b 、c 大小关系是________．
三、解答题 15．求下列定积分：
①⎠⎛0
2(3x 2＋4x 3
)d x ； ②
sin 2
x
2
d x .
17．求直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2
所围成的图形的面积． 18．(1)已知f (a )＝⎠⎛0
1(2ax 2
－a 2
x )d x ，求f (a )的最大值；
(2)已知f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛0
1f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c
的值．
DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132－1) 13.4－2
2
[解析] 所求面积为
＝1＋2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1－22＝4－22. 14.[答案] c <a <b 三、解答题
15．①⎠⎛0
2(3x 2＋4x 3
)d x ；②
sin 2
x
2
d x .
[解析] ①⎠⎛02(3x 2
＋4x 3
)d x ＝⎠⎛023x 2
d x ＋⎠⎛0
24x 3
d x ＝x 3
| 2
0＋x 4
| 2
0＝24.
＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－0－1
2
(1－0)＝π－24. 17．求直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2
所围成的图形的面积．
[解析] 由方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝2x ＋3
y ＝x 2
得x 1＝－1，x 2＝3，则所求图形的面积为
＝(x 2
＋3x )| 3－1－13x 3| 3－1＝323
.
18.(1)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫23ax 3－12a 2x 2′＝2ax 2－a 2x ，所以⎠
⎛0
1(2ax 2－a 2
x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23ax 3－12a 2x 2| 10＝23a －12a 2.所以
f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－43a ＋49＋29＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －232＋29.所以当a ＝23时，f (a )有最大值2
9
.
(2)∵f (－1)＝2，f ′(0)＝0，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a －
b ＋
c ＝2
b ＝0 ①而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛0
1(ax 2
＋bx ＋c )d x ，
取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ，则F ′(x )＝ax 2
＋bx ＋c .∴⎠
⎛0
1f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c ＝－
2②
解①②得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.。