九年级数学(下)直角三角形边角关系测试试题B(卷)

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北师大九年级下第一章直角三形的边角关系测试题

数学培优拔尖试题说明：1---8题各2分，9、10题各12分，共40分1、在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（）A.扩大2倍B.缩小2倍C.扩大4倍D.没有变化2、等腰三角形的底角为30°，底边长为，则腰长为3、如图1，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，AC =4，则BD 长为4、△ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有2|tan 2sin 0B A +=（，则△ABC 是（）A ．直角（不等腰）三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰（不等边）三角形D ．等边三角形 5、已知tan 1α=，那么2sin cos 2sin cos αααα-+的值等于（） A ．13 B ．12 C ．1 D ．166、如图2，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC 上的一点B ，取∠ABD =145°，BD =500米，∠D =55°，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（）A ．500sin55°米B ．500cos55°米C ．500tan55°米D ．500tan35°米7、如图3，在矩形ABCD 中，D E ⊥AC ，垂足为E ，设∠ADE =α，且cos α=35，AB =4，则AD 的长为 .8、如图4，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于 .9、如图所示，A 、B 两地之间有一条河，原来从A 地到B 地需要经过DC ，沿折线A →D →C →B 到达，现在新建了桥EF ，可直接沿直线AB 从A 地到达B地．一直BC=11km，∠A=45°，∠B=37°．桥DC和AB平行，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km．参考数据： 1.412 ，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）10、今年五、六月份，我省各地、市普遭暴雨袭击，水位猛涨．某市抗洪抢险救援队伍在B处接到报告：有受灾群众被困于一座遭水淹的楼顶A处，情况危急！救援队伍在B处测得A在B的北偏东600的方向上（如图所示），队伍决定分成两组：第一组马上下水游向A 处就人，同时第二组从陆地往正东方向奔跑120米到达C处，再从C 处下水游向A处救人，已知A在C的北偏东300的方向上，且救援人员在水中游进的速度均为1米/秒．在陆地上奔跑的速度为4米/秒，试问哪组救援队先到A1.732）。

(北师大版)长春市九年级数学下册第一单元《直角三角形的边角关系》检测卷(有答案解析)

一、选择题1．下列不等式成立的是（） A ．sin60°<sin45°<sin30° B ．cos30°<cos45°<cos60° C ．tan60°<tan45°<tan30° D ．sin30°<cos45°<tan60°2．sin45cos45︒+︒的值为（） A ．1B ．2C ．2D ．223．如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，//DE AC 交AB 于点E ，//DF AB 交AC 于点F ，且AD 交EF 于点O ，若8AF EF ==，则sin DAC ∠的值为（）A ．13B ．32C ．12D ．224．关于直角三角形，下列说法正确的是（） A ．所有的直角三角形一定相似B ．如果直角三角形的两边长分别是3和4，那么第三边的长一定是5C ．如果已知直角三角形两个元素（直角除外），那么这个直角三角形一定可解D ．如果已知直角三角形一锐角的三角函数值，那么这个直角三角形的三边之比一定确定 5．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A 滑行至B ，已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下降了__米．(sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67) ( )A ．415B ．280C ．335D ．2506．Rt ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，sin A =（） A 5B ．2 C ．32D ．127．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，BPC △是等边三角形，连接DP 并延长交CB 的延长线于点H ，连接BD 交PC 于点Q ，下列结论：①135BPD ︒∠=；②BDP HDB △∽△；③:1:2DQ BQ =；④314BDPS-=．其中正确的有（）A ．①②③B ．②③④C ．①②③④D ．①②④8．如图，直线123////l l l ，ABC 的三个顶点分别落在123,,l l l 上，AC 交2l 于点D ，设1l 与2l 的距离为12,h l 与3l 的距离为2h ．若12,:1:2AB BC h h ==，则下列说法正确的是（）A ．:2:3ABDABCSS=B ．:1:2ABD ABC S S =△△ C ．sin :sin 2:3ABD DBC ∠∠=D ．sin :sin 1:2ABD DBC ∠∠=9．如图，等边OAB ∆的边OB 在x 轴的负半轴上，双曲线ky x=过OA 的中点，已知等边三角形的边长是4，则该双曲线的表达式为（）A ．3y =B ．3y =-C ．23y =D ．23y =-10．在ΔABC 中，∠C ＝90º，AB ＝5，BC ＝3，则cos A 的值是（） A ．34B ．43C ．35D ．4511．如图，直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 顺时针旋转60°后得到△AO'B'，则点B'的坐标是（） A ．(4，23)B ．(23，4)C ．（3，3）D ．（23＋2，2）12．在ABC 中，AB 122=，AC 13=，2cos B 2∠=，则BC 边长为（） A ．7B ．8C ．8或17D ．7或17二、填空题13．已知α，β均为锐角，且满足cos 0.5tan 30αβ-+-=，则αβ+的度数为_______．14．一运动员乘雪橇以10米/秒的速度沿坡比1:3的斜坡匀速滑下，若下滑的垂直高度为1000米，则该运动员滑到坡底所需的时间是______秒．15．在AOB 中，90AOB ∠=︒，30ABO ∠=︒，将AOB 绕顶点O 顺时针旋转，旋转角为()0180θθ︒<<︒，得到11AOB ．（1）如图1，连接1AA 、1BB ，设1AOA 和1BOB 的面积分别为1S 、2S ．则12:S S =__________．（2）如图2，设OB 中点为Q ，11A B 中点为P ，连接QP ，若1AO =，当θ=_______︒时，线段QP 长度最小，最小值为_____________．16．如图，矩形纸片ABCD 中，6AB =，8AD =，按下列步骤进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，如图（1）所示；第二步：再把B 点叠在折痕线MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为'B ，得Rt 'AB E △，如图（2）所示；第三步：沿'EB 折叠折痕为EF ，且AF 交B N '的延长线于点G ，如图（3）所示；则由纸片折叠成的图形中，'AB G S △为____．17．如图是一个海绵施把，图1、图2是它的示意图，现用线段BC 表示拉手柄，线段DE 表示海绵头，其工作原理是：当拉动BC 时线段OA 能绕点O 旋转（设定转角AOQ∠大于等于0°且小于等于180°），同时带动连杆AQ 拉着DE 向上移动．图1表示拖把的初始位置（点O 、A 、Q 三点共线，P 、Q 重合），此时45cm OQ =，图2表示拉动过程中的一种状态图，若DE 可提升的最大距离10cm PQ =．（1）请计算：OA =______cm ；AQ =_____cm ．（2）当1sin 10OQA ∠=时，则PQ =______cm ． 18．2cos302sin303tan45︒-+︒=______．19．已知等腰ABC ，AB AC =，BH 为腰AC 上的高，3BH =，3tan ABH ∠=，则CH 的长为______．20．已知在Rt ABC 中，90C ∠=︒，1cot 3B =，2BC =，那么AC =_____________. 三、解答题21．如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，E 为BC 上一点，∠BDE=∠BAD=90°，（1）求证：BD 2=BA·BE ；（2）若AB=6，BE=8，求CD 的长．22．如图，已知甲、乙两栋楼的楼间距AB 30=米，小明在甲楼的楼下A 点处测得乙楼的楼顶点C 的仰角为63.5°（1）求乙楼的高BC ．（参考数据：sin63.50.89︒≈，cos63.50.45︒≈，tan63.52︒≈）（2）小明发现在甲楼的中间外墙有一巨幅广告DE ，为了测量巨幅广告的宽度DE ，小明先在乙楼的楼底B 点测得点E 的仰角为45°，然后小明到楼顶点C 处，测得点D 的俯角为30°，根据小明测量的数据，请你帮助小明计算巨幅广告的宽度DE （结果保留根号）23．如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点,,A D G 在同一直线上，且5,3AD DE ==，连接,,AC CG AE ，并延长AE 交CG 于点H ．（1）求sin EAC ∠的值．（2）求线段AH 的长．24．在ABC 中，90ACB ∠=︒，2CA CB ==，点P 是边AB 的中点，连接CP ．（1）如图①，B 的大小＝______（度），AB 的长＝______；CP 的长＝______；（2）延长BC 至点O ，使2OC BC =，将ABC 绕点O 逆时针旋转()0180αα︒<︒<︒得到A B C '''，点A ，B ，C ，P 的对应点分别为A '，B '，C '，P '． ①如图②，当30α=︒时，求点C '到直线OB 的距离及点C '到直线AB 的距离；②当C P ''与ABC 的一条边平行时，求点P '到直线AC 的距离（直接写出结果即可）．25．如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶8m BC =，坝高30m ，斜坡CD 的坡度1:3,30i A =∠=︒，求坝底DA 的长．（3 1.732≈，结果精确到0.01m ）26．（1）计算：022sin 30(2021)tan 60π︒+--︒．（2）已知线段4a =，9b =，求线段a ，b 的比例中项．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【详解】解：A 、sin60°=32，sin45°=22，sin30°=12 ，故A 不成立；B 、cos30°3cos45°=22，cos60°=12，故B 不成立；C 、tan60°3，tan45°=1，tan30°=33，故C 不成立； D 、sin30°=12，cos45°=22，tan60°3D 成立；故选：D ．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．2．C解析：C 【分析】直接用特殊的锐角三角函数值代入求值即可；【详解】∵ sin45°=2 ，cos45°=2，∴sin45°+ cos45°=2+2，故选：C ．【点睛】本题考查了特殊的锐角三角函数值，正确记忆锐角三角函数值是解题的关键．3．C解析：C 【分析】先证明四边形AEDF 是平行四边形，在根据题意得到四边形AEDF 是菱形，即可得到结果；【详解】由题意：//DE AC ，//DF AB ，即//DE AF ，//DF EA ， ∴四边形AEDF 是平行四边形，又∵AD 平分BAC ∠， ∴BAD CAD ∠=∠， ∵//AE DF ， ∴BAD ADF ∠=∠， ∴DAF FDA ∠=∠，∴FA FD =， ∴四边形AEDF 是菱形，∴EF AD ⊥，且O 为EF 的中点，8EF =， ∴4OF =，∴在Rt △OAF 中，41sin 82OF DAF AF ∠===； ∴1sin 2DAC ∠=；故答案选C ．【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质，结合三角函数计算是解题的关键．4．D解析：D 【分析】根据题目条件，利用举反例的方法判断即可. 【详解】∵因为等腰直角三角形和一般直角三角形是不相似的， ∴选项A 错误；若斜边长为4， ∴选项B 错误；已知两个角分别为45°，45°，这个直角三角形是无法求解的，缺少解直角三角形需要的边元素， ∴选项C 错误；∵已知直角三角形的一个锐角的三角函数值， ∴就能确定斜边与直角边的比或两直角边的比，根据勾股定理可以确定第三边的量比， ∴直角三角形的三边之比一定确定，故选D. 【点睛】本题考查了命题的真伪，以数学基本概念，基本性质，基本法则为基础，通过举反例的方法判断是解题的关键.5．B解析：B 【分析】根据正弦的定义求解即可；【详解】由题可知sin 340.56500280AC AB =︒=⨯=（米）；故选B ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确计算是解题的关键．6．A解析：A 【分析】求出斜边AB ，再求∠A 的正弦值．【详解】解：∵90C ∠=︒，2AC =，1BC =， ∴AB ==sinBC A AB ===，故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理和锐角的正弦函数值的求法，解题关键是求出斜边长，熟知正弦的意义．7．D解析：D【分析】由等边三角形及正方形的性质求出∠CPD＝∠CDP＝75°、∠PCB＝∠CPB＝60°，从而判断①；证∠DBH＝∠DPB＝135°可判断②；作QE⊥CD，设QE＝DE＝x，则QD＝2x，CQ＝2QE＝2x，CE＝3x，由CE＋DE＝CD求出x，从而求得DQ、BQ的长，据此可判断③，证DP＝DQ＝6-22，根据BDPS＝12BD•PDsin∠BDP求解可判断④．【详解】解：∵△PBC是等边三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠PCB＝∠CPB＝60°，∠PCD＝30°，BC＝PC＝CD，∴∠CPD＝∠CDP＝75°，则∠BPD＝∠BPC＋∠CPD＝135°，故①正确；∵∠CBD＝∠CDB＝45°，∴∠DBH＝∠DPB＝135°，又∵∠PDB＝∠BDH，∴△BDP∽△HDB，故②正确；如图，过点Q作QE⊥CD于E，设QE＝DE＝x，则QD2x，CQ＝2QE＝2x，∴CE3，由CE＋DE＝CD知x3x＝1，解得x＝3-12，∴QD2＝6-22，∵BD2∴BQ＝BD−DQ26-232-6，则DQ∶6-2∶32-6∶2，故③错误；∵∠CDP＝75°，∠CDQ＝45°，∴∠PDQ＝30°，又∵∠CPD ＝75°， ∴∠DPQ ＝∠DQP ＝75°， ∴DP ＝DQ ＝6-22， ∴BDP S＝12BD•PDsin ∠BDP ＝12×2×6-22×12=314- ，故④正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形和正方形的性质、等腰三角形的判定与性质及相似三角形的判定等知识点．8．D解析：D 【分析】作2⊥AE l ，2⊥CF l ，如图，则1AE h =，2CF h =，利用三角形面积公式可得到12::1:2ABD BCD S S h h ∆∆==，则可对A 、B 进行判断；利用正弦的定义得到1sin h ABD AB ∠=，2sin hDBC BC∠=，利用AB CB =可对C 、D 进行判断．【详解】解：作2⊥AE l ，2⊥CF l ，如图，则1AE h =，2CF h =，11122ABD S BD AE BD h ∆==，21122BCE S BD CF BD h ∆==， 12::1:2ABD BCD S S h h ∆∆∴==，:1:3ABD ABC S S ∆∆∴=，所以A 、B 选项错误；在Rt ABE ∆中，1sin h AE ABD AB AB ∠==，在Rt BCF ∆中，2sin h CFDBC BC BC∠==，而AB CB =，12sin :sin :1:2ABD DBC h h ∴∠∠==，所以C 选项错误，D 选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了考查了解直角三角形，也考查了平行线之间的距离和等腰直角三角形的性质，难度一般．9．B解析：B【分析】如图，过点C 作CD ⊥OB 于点D ．根据等边三角形的性质、中点的定义可以求得点C 的坐标，然后把点C 的坐标代入双曲线方程，列出关于系数k 的方程，通过解该方程即可求得k 的值．【详解】解：如图，过点C 作CD ⊥OB 于点D ．∵△OAB 是等边三角形，该等边三角形的边长是4，∴OA=4，∠COD=60°，又∵点C 是边OA 的中点，∴OC=2，∴OD=OC•cos60°=2×12=1，33． ∴C （-13 31k -，解得，3，∴该双曲线的表达式为3y =．故选：B ．【解答】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质．解题的关键是求得点C 的坐标． 10．D解析：D【分析】利用勾股定理可求出AC 的长，根据余弦函数的定义即可得答案．【详解】∵∠C=90°，AB=5，BC=3，∴22AB BC -=4，∴cosA=AC AB =45．故选：D ．【点睛】考查勾股定理及锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的余弦是角的邻边与斜边的比；熟练掌握各三角函数的定义是解题的关键.11．B解析：B【分析】根据直线解析式求出点A 、B 的坐标，从而得到OA 、OB 的长度，再求出∠OAB ＝30°，利用勾股定理列式求出AB ，然后根据旋转角是60°判断出AB′⊥x 轴，再写出点B′的坐标即可．【详解】令y ＝0，则−x ＋2＝0，解得x ＝，令x ＝0，则y ＝2，所以，点A （0），B （0，2），所以，OA ＝OB ＝2，∵tan ∠OAB ＝3OB OA ==， ∴∠OAB ＝30°，由勾股定理得，AB 4==，∵旋转角是60°，∴∠OAB′＝30°＋60°＝90°，∴AB′⊥x 轴，∴点B′（4）．故选：B ．【点睛】本题考查了坐标与图形性质−旋转，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，三角函数的应用，求出AB′⊥x 轴是解题的关键． 12．D解析：D【分析】首先根据特殊角的三角函数值求得B ∠的度数，然后分锐角三角形和钝角三角形分别求得BD 和CD 的长后即可求得线段BC 的长．【详解】解：∵2 cos B2∠=，∴B45∠=，当ABC为钝角三角形时，如图1，∵AB122=，B45∠=，∴AD BD12==，∵AC13=，∴由勾股定理得CD5=，∴BC BD CD1257=-=-=；当ABC为锐角三角形时，如图2，BC BD CD12517=+=+=，故选D．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确余弦定理的内容、利用锐角三角函数解答．二、填空题13．【分析】根据非负数的性质列出算式根据特殊角的三角函数值计算即可【详解】解：由题意得cosα-05=0tanβ-=0∴cosα=05tanβ=解得α=60°β=60°则α+β的度数为120°故答案为：解析：120︒【分析】根据非负数的性质列出算式，根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：由题意得，cosα-0.5=0，tanβ3，∴cosα=0.5，3解得，α=60°，β=60°，则α+β的度数为120°，故答案为：120°．【点睛】本题考查的是非负数的性质和特殊角的三角函数值，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．14．200【分析】由坡比可得垂直高度与对应的水平宽度的比值因而可求出垂直高度为1000米对应的水平宽度再用勾股定理求出斜坡长；在已知速度的条件下即可求出时间【详解】解：由已知得：垂直高度1000米与水平解析：200【分析】由坡比可得垂直高度与对应的水平宽度的比值，因而可求出垂直高度为1000米对应的水平宽度，再用勾股定理求出斜坡长；在已知速度的条件下即可求出时间．【详解】解：由已知得：垂直高度1000米与水平宽度之比为1∴水平宽度为2000m =； ∴200020010s t s v ===．故答案为：200．【点睛】此题考查了解直角三角形−坡度坡角问题，正确理解坡比的定义是解题的关键． 15．1∶330【分析】（1）由旋转的性质解得继而证明结合30°的正切值再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解题即可；（2）连接根据三角形三边关系得到当在同一直线上时线段长度最小由直角三角形斜边中线的解析：1∶3 30 12-．【分析】（1）由旋转的性质，解得1111,,OA OA OB OB AOA BOB θ==∠=∠=，继而证明11()AOA BOB SAS ，结合30°的正切值，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解题即可；（2）连接OP ，根据三角形三边关系得到当O Q P 、、在同一直线上时，线段QP 长度最小，由直角三角形斜边中线的性质结合含30°角的直角三角形性质，可证1OA P 是等边三角形，继而解得OP 、OQ 的长，最后由=PQ OP OQ -解题即可．【详解】解：（1）旋转1111,,OA OA OB OB AOA BOB θ∴==∠=∠=11AOA BOB ∴、均是等腰三角形11tan 30OA OA OB OB ==︒=11AOA BOB ∴相似比3k =22133k ∴== 12:13S S ∴=：故答案为：1∶3；（2）连接OP ，在OQP 中，OQ QP OP +>当O Q P 、、在同一直线上时，OP 有最小值，即=PQ OP OQ -有最小值，当O Q P 、、在同一直线上时， P 是11A B 的中点，1111=2=O B P P A A ∴ 1130A B O ABO ∠=∠=︒ 1112OA A B ∴=11==P OP A OA ∴1OA P ∴是等边三角形，160OP A ∴∠=︒1906030AOA ∴∠=︒-︒=︒30θ∴=︒1OA =∴1OP =，tan 30OA OB ==︒Q 为OB 中点，122OQ OB ∴==12PQ ∴=-．【点睛】本题考查旋转的性质、直角三角形斜边的中线、含30°角的直角三角形、正切、三角形三边关系、等边三角形的判定与性质等知识，在重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．16．【分析】根据折叠得到△AEF是等边三角形再根据Rt△ABE中求得AE=根据相似三角形的性质可得到的长即可求解【详解】如图所示将图3展开可得下图由折叠可得Rt△AMB中AM=AB==3∴∠ABM=30解析：33【分析】根据折叠得到△AEF是等边三角形，再根据Rt△ABE中，求得AE=43，根据相似三角形的性质可得到B G 的长，即可求解．【详解】如图所示，将图3展开，可得下图，由折叠可得，Rt △AMB'中，AM=12AB=12AB '=3， ∴∠AB'M=30°，∴∠AA'B=30°，∴∠A'AB=60°，∴∠BAE=∠B'AE=30°， ∴∠EAF=60°，∠AEB=60°=∠AEB'，∴△AEF 是等边三角形，又∵Rt △ABE 中，AB=6，∠BAE=30°，∴EF=AE=cos30AB ︒= ∵∠B'AE=∠AA'B=30°， ∴AE= A'E=∵B'G ∥A'E ，∴~FB G FEA ''， ∴1EF 2B G FB EA ''=='， ∴B G '=，∵△A B G ''的高为BM=3，∴'1'2AB G S B G BM =⨯⨯=△．故答案为：【点睛】本题属于折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．得到△AEF 是等边三角形是解决问题的关键． 17．40或【分析】（1）由题意可知：OA 定义DE 使得最大值的一半AQ ＝OQ-OA 即可解决问题（2）分两种情形分别画出图形解直角三角形即可解决问题【详解】解：（1）由题意故答案为540（2）当是钝角时如图解析：40 42-48-【分析】（1）由题意可知：OA 定义DE 使得最大值的一半，AQ ＝OQ -OA 即可解决问题．（2）分两种情形分别画出图形，解直角三角形即可解决问题．【详解】解：（1）由题意11052OA cm =⨯=，45540AQ cm =-=，故答案为5，40．（2）当OAQ ∠是钝角时，如图1中，作AH PQ ⊥于H ．在Rt AHQ ∆中，1sin 10AH AQH AQ ∠==，40AQ =， 4AH ∴=，22224041211QH AQ AH ∴=-=-=，在Rt QOH ∆中，223OHOA AH ，31211OQ ∴=+，45(31211)(421211)PQ cm ∴=-+=-，当OAQ ∠是锐角时，如图2中，作AH OP ⊥交PO 的延长线于H ．同法可得：12113OQ =-，45(12113)(481211)PQ cm ∴=--=-．故答案为：421211-或481211-．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．18．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算熟记特殊角的三角函数值是解题关键32【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【详解】解：312cos302sin 303tan 4522313133222︒-+︒=⨯-⨯+⨯=-+=+，故答案为：32+．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 19．或【分析】如图所示分两种情况利用特殊角的三角函数值求出的度数利用勾股定理求出所求即可【详解】当为钝角时如图所示在中根据勾股定理得：即；当为锐角时如图所示在中设则有根据勾股定理得：解得：则故答案为或【解析：33或3【分析】如图所示，分两种情况，利用特殊角的三角函数值求出ABH ∠的度数，利用勾股定理求出所求即可．【详解】当BAC ∠为钝角时，如图所示，在Rt ABH 中，3tan 3AH ABH BH ∠==，3BH =， 3AH ∴=，根据勾股定理得：22(3)323AB =+=，即23AC =，23333CH CA AH ∴=+=+=；当BAC ∠为锐角时，如图所示，在Rt ABH 中，3tan ABH ∠=， 30ABH ∴∠=，1122AH AB AC ∴==，设AH x =，则有2AB AC x ==，根据勾股定理得：222(2)3x x =+，解得：x =则HC AC AH =-=故答案为【点睛】此题属于解直角三角形题型，涉及的知识有：等腰三角形的性质，勾股定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握直角三角形的性质及分类的求解的数学思想是解本题的关键． 20．6【分析】根据三角函数的定义即可求解【详解】∵cotB=∴AC==3BC=6故答案是：6【点睛】此题考查锐角三角函数的定义及运用解题关键在于掌握在直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边余弦为邻边比斜边正解析：6【分析】根据三角函数的定义即可求解．【详解】∵cotB=BC AC， ∴AC=13BC BC cotB= =3BC=6．故答案是：6．【点睛】此题考查锐角三角函数的定义及运用，解题关键在于掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边．三、解答题21．（1）见解析；（2）【分析】（1）根据角平分线定义可证得∠ABD=∠EBD ，再根据相似三角形的判定证明△BAD ∽△BDE ，然后根据相似三角形的性质即可证得结论；（2）根据（1）中结论求得BD 长，再根据勾股定理求得AD 长，进而可求得∠ABD=30°，即∠ABC=60°，利用锐角三角函数求得AC 长，即可求得CD 长．【详解】解：（1）∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠EBD ，又∵∠BDE=∠BAD=90°，∴△BAD ∽△BDE ，∴BD ：BE=BA ：BD ，即BD 2=BA·BE ；（2）∵由（1）可知，BD 2=BE·BA ，且AB=6，BE=8 ，∴BD=43，∴AD2=BD2-AB2=12 即AD=23，∵sin∠ABD=ADBD=12，∴∠ABD=30°，又∠ABD=∠EBD，∴∠ABC=60°，∴CA=BA×tan60°=63，∴CD=43．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理、角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．22．（1）乙楼的高为BC为60米；（2）巨幅广告的宽度DE为（30-103）米．【分析】（1）在Rt△ABC中，由tan∠BAC=BCAB，得到BC的值．（2）在图中的两个直角三角形，Rt△ABE，Rt△DFC，利用45°，30°角的正切值，分别求出AE，DF的长，再得到DE的长度．【详解】（1）在Rt△ABC中，∵tan∠BAC=BCAB，∴BC=AB·tan∠BAC=30×2 =60（米），答：乙楼的高为BC为60米．（2）如图，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于F，在Rt △ABE 中，∵∠AEB=90°-∠ABE=90°-45°=45°，∴∠AEB=∠ABE ，∴AE=AB=30 （米），在Rt △DFC 中，∵tan ∠FCD=DF CF ， ∴DF=CF·tan ∠FCD=30×33=103， ∴DE=AF-AE-DF=60-30-103=30-103（米），答：巨幅广告的宽度DE 为（30-103）米．【点睛】本题考查解直角三角形，以及仰角，俯角的定义，解题的关键是利用仰角，俯角构造直角三角形并解直角三角形．23．（1）17；（2）203417【分析】（1）作EM AC ⊥于M ，根据sin EM EAM AE∠=求出EM 、AE 即可解决问题．（2）先证明GDC EDA ∆≅∆，得GCD EAD ∠=∠，推出AH GC ⊥，再根据1122AGC S AG DC GC AH ∆=⋅⋅=⋅⋅，即可解决问题．【详解】解：（1）作EM AC ⊥于M ．四边形ABCD 是正方形，90ADC ∴∠=︒，5AD DC ，45DCA ∠=︒，∴在RT ADE ∆中，90ADE ∠=︒，5AD =，3DE =，2234AE AD DE ∴=+=，在RT EMC ∆中，90EMC ∠=︒，45ECM ∠=︒，2EC =，2EM CM ∴==， ∴在RT AEM ∆中，217sin 34EM EAC AE ∠===．（2）在GDC ∆和EDA ∆中，DG DE GDC EDA DC DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，GDC EDA ∴∆≅∆，GCD EAD ∴∠=∠，GC AE =90DAE AED ∠+∠=︒，DEA CEH ∠=∠，90DCG HEC ∴∠+∠=︒，90EHC ∴∠=︒，AH GC ∴⊥，1122AGC S AG DC GC AH ∆=⋅⋅=⋅⋅，∴118522AH ⨯⨯=，AH ∴=【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形面积等知识，添加常用辅助线是解决问题的关键，学会用面积法求线段，属于中考常考题型．24．（1）45°，；（2）①∴点C '到直线OB 的距离为2；点C '到直线AB 的距离为②4-4+5【分析】（1）根据三角形内角和定理以及勾股定理，直角三角形斜边中线的性质求解即可（2）①过点C '作C D OB '⊥，垂足为点D ，过点C '作C E AB '⊥，交BA 的延长线于点E ，连接AC '，解直角三角形求出C D '、C E '即可；②分三种情况：当//P C AC ''时，延长P C ''交OB 于H ；当//P C AB ''时，过点P '作P H OB '⊥交BO 的延长线于点H ，交A C ''于T ；当//P C AC ''时，延长P C ''交OB 于H 分别画出图形求解即可【详解】解：（1）在ABC 中，90ACB ∠=︒，2CA CB ==45B A ∴∠=∠=︒sin 2CA B AB == 点P 是AB 的中点12CP AB ∴==故答案为：45°，．（2）①过点C '作C D OB '⊥，垂足为点D ，过点C '作C E AB '⊥，交BA 的延长线于点E ，连接AC '，将ABC 绕点O 逆时针旋转α得到A B C '''，2224OC OC BC '∴===⨯=．在Rt OC D '△中，30O ∠=︒，114222C D OC ''∴==⨯=． ∴点C '到直线OB 的距离为2.2222421223OD OC C D ''=-=-==C D OB '⊥，90ACB ∠=︒，90C DB ACB '∴∠=∠=︒．//AC C D '∴．2C D '=，2AC =，C D AC '∴=．∴四边形C DCA '是平行四边形．423C A DC OC OD '∴==-=-，//C A DC '，45EAC B '∴∠=∠=︒．90904545EC A EAC ''∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．EAC EC A ''∴∠=∠．C E AE '∴=．在Rt AC E '△中，222C E AE C A ''+=，222C A C E ''∴=．()2242322622C E C A ''==-=-． ∴点C '到直线AB 的距离为226-．②如图：当//P C AC ''时，延长P C ''交OB 于H//AC P H '90OHC AOC '∴∠=∠=︒45OC H B C P ''''=∠=︒cos 4522OH OC '∴=⋅︒=422CH OC OH ∴=-=-∴点P '到直线AC 的距离为422-如图，当//P C AB ''时，过点P '作P H OB '⊥交BO 的延长线于点H ，交A C ''于T ，由题意可得四边形OHTC '是矩形，1OH C T '==145CH OC OH ∴=+=+=∴点P '到直线AC 的距离为5如图，当//P C BC ''时，延长B A ''交BO 于点H ，可得cos 4532OH OB '=⋅︒=324CH ∴=∴点P '到直线AC 的距离为432+综上所述，点P '到直线AC 的距离为422-432+5．【点睛】本题考查了作图—旋转变换，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质，解题关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．25．96m【分析】在Rt △DCF 中利用DC 的坡度和CF 的长求得线段DF 的长，根据30A ∠=︒，求AE ，然后与AE 、EF 相加即可求得AD 的长．【详解】解：∵坝高BE ＝CF ＝30米，斜坡AB 的坡角∠A ＝30°，∴tan30°＝BE AE ，即303AE =， ∴AE ＝m ），∵斜坡CD 的坡度i ＝1：3，∴DF ＝3×30＝90（m ），∴AD ＝AE +EF +DF ＝＝（m ），答：坝底宽AD 的长约为149.96m ．【点睛】本题考查了坡度、坡角的知识，解答本题的关键是理解掌握坡度、坡角的定义，能正确解直角三角形．26．（1）1-；（2）6．【分析】（1）先计算特殊角的正弦与正切值、零指数幂，再计算实数的混合运算即可得；（2）根据比例中项的定义列出式子计算即可得．【详解】（1）原式21212⨯+-= 113=+-1=-；（2）设线段a ，b 的比例中项为x ，则::a x x b =，4a =，9b =，4::9x x ∴=，解得6x =或6x =-（不符题意，舍去），即线段a ，b 的比例中项为6．【点睛】本题考查了特殊角的正弦与正切值、零指数幂、比例中项，熟记各定义和运算法则是解题关键．。

2024年九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元测试北师大版

直角三角形的边角关系(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．2cos45°的值等于(B )A．22B．2C．24D．222．在Rt△ABC 中，若∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，则sin A 的值为(C )A．45B．34C．35D．433．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，各边都扩大2倍，则∠A 的锐角三角函数值(C )A．扩大2倍B．缩小12C．不变D．无法确定4．(2023·威海)如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28°，高为7米．用计算器求AB 的长，下列按键顺序正确的是(B )A．7×sin 28＝B．7÷sin 28＝C．7×tan28＝D．7÷tan28＝第4题图第6题图第7题图5．在△ABC 中，若|sin A －12|＋(33－tan B )2＝0，则∠C 的度数为(A )A．120°B．90°C．60°D．30°6．(2023·南充)如图，小兵同学从A 处出发向正东方向走x 米到达B 处，再向正北方向走到C 处，已知∠BAC ＝α，则A ，C 两处相距(B )A．x sin α米B．x cos α米C．x ·sin α米D．x ·cos α米7．在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos B 的值为(B )A．12B．22C．32D．338．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A 处，底端落在水平地面的点B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sin α＝cos β＝35，则梯子顶端上升了(C )A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米第8题图第9题图第10题图9．如图，小岛在港口P 的北偏西60°方向，距港口56海里的A 处，货船从港口P 出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P ，4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是(A )A．72海里/时B．73海里/时C．76海里/时D．282海里/时10．如图，Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，cos B ＝14，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使∠ADE ＝∠B ，连接CE ，则CEAD的值为(D )A．32B．3C．152D．2二、填空题(每小题3分，共15分)11．如图，已知在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，AB ＝2，则sin B 的值是__12__．第11题图第13题图第14题图第15题图12．已知，在△ABC 中，∠C ＝90°，3BC ＝3AC ，则tan A ＝__33__，∠B ＝__60°__．13．如图，在△ABC 中，cos B ＝22，sin C ＝35，AC ＝10，则△ABC 的面积为__42__．14．(2023·济宁)某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A ，在点A 和建筑物之间选择一点B ，测得AB ＝30m，用高1m(AC ＝1m)的测角仪在A 处测得建筑物顶部E 的仰角为30°，在B 处测得仰角为60°，则该建筑物的高是__(153＋1)_m__．(结果保留根号)15．(2023·广元)如图，在平面直角坐标系中，已知点A (1，0)，点B (0，－3)，点C在x 轴上，且点C 在点A 右方，连接AB ，BC ，若tan ∠ABC ＝13，则点C 的坐标为__(94，0)__.三、解答题(共75分)16．(8分)计算：2cos 230°－2sin60°·cos45°.解：原式＝2×(32)2－2×32×22＝32－62＝3－6217．(9分)已知，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝332，AB ＝3，利用三角函数知识，求∠A ，∠B 的度数．解：在△ABC 中，∵∠C ＝90°，AC ＝332，AB ＝3，∴sin B ＝AC AB ＝32.∴∠B ＝60°.∴∠A ＝90°－∠B ＝30°.∴∠A ，∠B 的度数分别为30°，60°18．(9分)如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D .若AB ＝12，CD ＝6，tan A ＝32，求sinA ＋cosB 的值．解：在Rt△ACD 中，CD ＝6，tan A ＝CD AD ＝32，∴AD ＝4.∴BD ＝AB －AD ＝8.在Rt△BCD 中，BC ＝82＋62＝10.∴cos B ＝BD BC ＝45.在Rt△ADC 中，AC ＝42＋62＝213.∴sin A ＝DCAC ＝6213＝31313.∴sin A ＋cos B ＝31313＋4519．(9分)(2023·通辽)如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东72°方向，距离灯塔100海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东40°方向上的B 处．这时，B 处距离灯塔P 有多远？(结果取整数．参考数据：sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)解：由题意得PC ⊥AB ，EF ∥AB ，∴∠A ＝∠EPA ＝72°，∠B ＝∠BPF ＝40°，在Rt△APC中，AP ＝100海里，∴PC ＝AP ·sin 72°≈100×0.95＝95(海里)，在Rt△BCP 中，BP ＝PCsin40°≈950.64≈148(海里)，∴B 处距离灯塔P 约有148海里20．(9分)(2023·湖北)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，斜面坡度i ＝3∶4是指坡面的铅直高度AF 与水平宽度BF 的比．已知斜坡CD 长度为20米，∠C ＝18°，求斜坡AB 的长．(结果精确到0.1米．参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)解：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，由题意得AF ⊥BC ，DE ＝AF ，∵斜面AB 的坡度i ＝3∶4，∴AF BF ＝34，∴设AF ＝3x 米，则BF ＝4x 米，在Rt△ABF 中，AB ＝AF 2＋BF 2＝（3x ）2＋（4x ）2＝5x (米)，在Rt△DEC 中，∠C ＝18°，CD ＝20米，∴DE ＝CD ·sin18°≈20×0.31＝6.2(米)，∴AF ＝DE ＝6.2米，∴3x ＝6.2，解得x ＝3115，∴AB ＝5x ≈10.3(米)，∴斜坡AB 的长约为10.3米21．(10分)(永州中考)已知锐角△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，边角总满足关系式：a sin A ＝b sin B ＝csin C.(1)如图1，若a ＝6，∠B ＝45°，∠C ＝75°，求b 的值；(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC 中建一座小型景观桥CD (如图2所示)，若CD ⊥AB ，AC ＝14米，AB ＝10米，sin ∠ACB ＝5314，求景观桥CD 的长度．解：(1)∵∠B ＝45°，∠C ＝75°，∴∠A ＝60°，∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，∴6sin60°＝bsin45°，∴b ＝26(2)∵AB sin ∠ACB ＝AC sin B ，∴105314＝14sin B ，∴sin B ＝32，∴∠B ＝60°，∴tan B ＝CDBD ＝3，∴BD ＝33CD ，∵AC 2＝CD 2＋AD 2，∴196＝CD 2＋(10－33CD )2，∴CD ＝83或CD ＝－33(舍去)，∴CD 的长度为83米22．(10分)(2023·衡阳)随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼AB 的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部243米的C 处，遥控无人机旋停在点C 的正上方的点D 处，测得教学楼AB 的顶部B 处的俯角为30°，CD 长为49.6米．已知目高CE 为1.6米．(1)求教学楼AB 的高度；(2)若无人机保持现有高度沿平行于CA 的方向，以43米/秒的速度继续向前匀速飞行．求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB .解：(1)过点B 作BM ⊥CD 于点M ，则∠DBM ＝∠BDN ＝30°，在Rt△BDM 中，BM ＝AC ＝243米，∠DBM ＝30°，∴DM ＝BM ·tan ∠DBM ＝243×33＝24(米)，∴AB ＝CM ＝CD －DM ＝49.6－24＝25.6(米).答：教学楼AB 的高度为25.6米(2)连接EB 并延长交DN 于点G ，则∠DGE ＝∠MBE ，在Rt△EMB 中，BM ＝AC ＝243米，EM ＝CM－CE ＝24米，∴tan ∠MBE ＝EM BM ＝24243＝33，∴∠MBE ＝30°＝∠DGE ，∵∠EDG ＝90°，∴∠DEG ＝90°－30°＝60°，在Rt△EDG 中，ED ＝CD －CE ＝49.6－1.6＝48(米)，∴DG ＝ED ·tan60°＝483(米)，∴483÷43＝12(秒)，∴经过12秒时，无人机刚好离开了圆圆的视线23．(11分)如图，斜坡AB 的坡角∠BAC ＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A ，过其另一端D 安装支架DE ，DE 所在的直线垂直于水平线AC ，垂足为点F ，E 为DF 与AB 的交点．已知AD ＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC ＝28°.锐角A三角函数13°28°32°sin A0.220.470.53cos A0.970.880.85tan A0.230.530.62(1)求AE的长(结果取整数)；(2)冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少？(结果取整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)解：(1)在Rt△ADF中，cos∠DAF＝AFAD，∴AF＝AD·cos∠DAF＝100cos28°≈100×0.88＝88(cm)，在Rt△AEF中，cos∠EAF＝AFAE，∴AE＝AFcos∠EAF＝88cos13°≈880.97≈91(cm)(2)设DG交AB于M，过点A作AN⊥DG于N，∴∠AMN＝∠MAG＋∠DGA＝13°＋32°＝45°，在Rt△ADF中，DF＝AD·sin∠DAC＝100sin28°≈100×0.47＝47(cm)，在Rt△DFG中，tan∠DGA＝DFFG，∴FG＝47tan32°≈470.62≈75.8(cm)，∴AG＝AF＋FG≈88＋75.8＝163.8(cm)，在Rt△AGN中，AN＝AG·sin∠DGA＝163.8×sin32°≈163.8×0.53≈86.8(cm)，∵∠AMN＝45°，∴△AMN为等腰直角三角形，∴AM＝2AN≈1.41×86.8≈122.4(cm)，∴EM＝AM－AE≈122.4－91≈31.4(cm)，∴EM≈32cm.当M、H重合时，EH的值最小，∴EH的最小值约为32cm。

北师大新版数学九年级下册第1章直角三角形的边角关系(练习题)

第1章直角三角形的边角关系（练习题）北师大新版数学九年级下册一．选择题1．如图中的每个小正方形的边长均相等，则sin∠BAC的值为（）A．1B．C．D．2．如图，∠ACB＝45°，∠PRQ＝125°，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有（）A．h1＝h2B．h1＜h2C．h1＞h2D．以上都有可能3．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sin B的值是（）A．B．C．D．4．在高为60m的小山上，测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别是30°和60°，则这个建筑物的高度是（）A．20m B．30m C．40m D．50m5．如图，山顶有一座电视塔BC，在地面上一点A处测得塔顶B的仰角α＝60°，在塔底C 处测得A点俯角β＝45°，已知塔高BC为60m，则山高CD等于（）A．m B．m C．30m D．m 6．北京2022年冬奥会计划于2月4日开幕，2月20闭幕．如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为40°，底端点C与顶端点B的距离为50米．则赛道AB 的长度为（）A．50sin40°米B．50cos40°米C．米D．米7．在△ABC中，AB＝4，BC＝5，sin B＝，则△ABC的面积等于（）A．15B．C．6D．8．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cos B 的是（）A．B．C．D．9．如图，小东在教学楼距地面8米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.5米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放46秒结束时到达旗杆顶端，则国旗匀速上升的速度为（）米/秒．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．0.3B．0.2C．0.25D．0.3510．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，连接AB，AC，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．二．填空题11．如图，在Rt△ABD中，AB＝6，tan∠ADB＝，点C为斜边BD的中点，P为AD上任一点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF＝．12．如果一个斜坡的坡度i＝1：，那么该斜坡的坡角为度．13．2cos45°﹣（π+1）0＝．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝6，则AB＝．15．某滑雪运动员沿着坡比为1：的斜坡向下滑行了100米，则运动员下降的垂直高度为米．三．解答题16．学好数学，就是为能更好解决生活中遇到的问题，如图所示，为了测量山的高度AC，在水平面E处测得山顶A的仰角为30°，AC⊥EC，自E沿着EC方向向前走100m，到达D处，又测得山顶A的仰角为45°，求山高．（结果保留根号）17．如图，在离铁塔20m的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为53°，测倾仪高AD为1.52m．求铁塔高BC（参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．18．如图，在高度为100米的小山上竖直建有一座铁塔，小明为测得铁塔的高度，先在山脚C处测得铁塔底部B的仰角为30°，后沿坡度i＝1：2的山坡向上行走10米到达点D处，在点D处测得铁塔顶部A的仰角为30°，求铁塔AB的高度．19．如图，九年级数学兴趣小组要测量嵌在某大楼前面的电子屏高度CD．在该大楼正前方的A处测得电子屏CD顶端C的仰角为45°，底端D的仰角为30°．从A处沿水平地面向正前方走18米到达B处，测得顶端C的仰角为68.2°．求电子屏的高度CD．（结果保留整数）参考数据：sin68.2°≈0.93，≈1.41，cos68.2°≈0.37，≈1.73，tan68.2°≈2.5020．如图，小兵同学利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C 处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为120米，且AB垂直于桥面．（点A，B，C，M在同一平面内）（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）（2）求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米）（参考数据sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73）。

北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系测试题 (含答案)

直角三角形的边角关系测试题一、选择题1.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，cos A ＝1213，则tan A 的值为( )A.125B.1312C.1213D.512第1题图第2题图第3题图第4题图2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )A.53 B.255 C.52 D.233.如图，在△ABC 中，点E 在AC 上，点G 在BC 上，连接EG ，AE ＝EG ＝5，过点E 作ED ⊥AB ，垂足为D ，过点G 作GF ⊥AC ，垂足为F ，此时恰有DE ＝GF ＝4.若BG ＝25，则sin B 的值为( )A.2510B.510C.255D.55 4.如图，直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，则点O ′的坐标是( )A ．(3，3)B ．(3，3)C ．(2，23)D ．(23，4) 5．tan45°的值为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 6．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin B 的值为( ) A.12 B.22 C.32D ．1第6题图第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是( ) A ．m sin35° B ．m cos35° C.m sin35° D.mcos35°8．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝⎛⎭⎫33－tan B 2＝0，则∠C 的度数为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 二、填空题9.运用科学计算器计算：317sin73°52′≈________(结果精确到0.1)． 10.计算：cos30°－sin60°＝________.11.如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1∶1.5，上底宽为6m ，路基高为4m ，则路基的下底宽为________m.12.如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，tan A ＝43，AB ＝15，AC ＝________．第11题图第12题图第13题图第14 题图13.如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，AN ⊥CM ，交BC 于点N .若CM ＝3，AN ＝4，则tan ∠CAN 的值为________．14.如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里(结果取整数，参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)．三、解答题15.如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的一棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角β＝60°，求树高AB (结果保留根号)．16.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．17.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A＝bsin B＝csin C，利用上述结论可以求解如下题目，如：在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b的值．解：在△ABC中，∵asin A＝bsin B，∴b＝a sin Bsin A＝6sin30°sin45°＝6×1222＝3 2.解决问题：如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟后到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明；(2)乙船每小时航行多少海里？参考答案与解析1.D2.A3．C 解析：在Rt △ADE 与Rt △EFG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝EG ，DE ＝GF ， ∴Rt △ADE ≌Rt △EFG (HL)，∴∠A ＝∠GEF .∵∠A ＋∠AED ＝90°，∴∠GEF ＋∠AED＝90°，∴∠DEG ＝90°.过点G 作GH ⊥AB 于点H ，则四边形DEGH 为矩形，∴GH ＝DE ＝4.在Rt △BGH 中，sin B ＝GH BG ＝425＝255.故选C.4．A 解析：过点O ′作O ′C ⊥x 轴于点C .∵直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，∴点A ，B 的坐标分别为(23，0)，(0，2)，∴tan ∠BAO ＝OB OA ＝223＝33，∴∠BAO＝30°.∵把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，∴O ′A ＝OA ＝23，∠O ′AO ＝60°，∴CA ＝12O ′A ＝3，O ′C ＝O ′A ·sin ∠O ′AC ＝23×32＝3，∴OC ＝OA －CA ＝23－3＝3，∴点O ′的坐标为(3，3)．故选A. 5．B 6.B 7.A 8.D 9.11.9 10．0 11.18 12.913.23 解析：∵∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，∴AB ＝2CM ＝6，CM ＝BM ，∴∠B ＝∠MCB .∵AN ⊥CM ，∴∠CAN ＋∠ACM ＝90°.又∵∠ACM ＋∠MCB ＝90°，∴∠CAN ＝∠MCB ，∴∠B ＝∠CAN .又∵∠ACN ＝∠BCA ，∴△CAN ∽△CBA ，∴CN CA ＝AN BA ＝46＝23，∴tan ∠CAN ＝CN AC ＝23.14．11 解析：过点P 作PC ⊥AB 于点C .依题意可得∠A ＝30°，∠B ＝55°.在Rt △P AC 中，∵P A ＝18海里，∠A ＝30°，∴PC ＝12P A ＝12×18＝9(海里)．在Rt △PBC 中，∵PC ＝9海里，∠B ＝55°，∴PB ＝PC sin B ≈90.8≈11(海里)．15．解：过点C 作CF ⊥AB 于点F ，则BF ＝CD ＝4米，CF ＝BD .设AF ＝x 米．在Rt △ACF 中，tan ∠ACF ＝AF CF ，∠ACF ＝α＝30°，则CF ＝AF tan30°＝3x 米．在Rt △ABE 中，AB ＝AF ＋BF ＝(x ＋4)米，tan ∠AEB ＝AB BE ，∠AEB ＝β＝60°，则BE ＝AB tan60°＝33(x ＋4)米．∵CF ＝BD ＝DE ＋BE ，∴3x ＝3＋33(x ＋4)，解得x ＝33＋42.则AB ＝33＋42＋4＝33＋122(米)．答：树高AB 是33＋122米．16．解：(1)∵新坡面的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33，∴α＝30°； (2)文化墙PM 不需要拆除．理由如下：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝6米．∵坡面BC 的坡度为1∶1，新坡面AC 的坡度为1∶3，∴BD ＝CD ＝6米，AD ＝3CD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，∴文化墙PM 不需要拆除．17．解：(1)△A 1A 2B 2是等边三角形．证明如下：由题意可得A 2B 2＝102海里，A 1A 2＝302×2060＝102(海里)，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∵∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形；(2)由(1)可知△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝102海里，∠A 2A 1B 2＝60°，∴∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°.由题意可知∠CB 1A 1＝180°－105°＝75°，∴∠B 2B 1A 1＝75°－15°＝60°.在△A 1B 2B 1中，由正弦定理得B 1B 2sin45°＝A 1B 2sin60°，∴B 1B 2＝A 1B 2sin60° ·sin45°＝10232×22＝2033(海里)．乙船的速度为2033÷2060＝203(海里/时)．答：乙船每小时航行203海里.。

2023年北师大版九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系》复习题附答案解析

2023年九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系》复习题一、单选题1．如图，在ABC ∆中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5,则tan B 的值是（）A ．34B ．43C ．35D ．452．定义：圆心在原点，半径为1的圆称为单位圆.如图，已知点()(),0,0P x y x y >>在单位圆上，则sin POA ∠等于（）A ．x B ．yC ．x y D ．y x 3（）A ．3B ．1C ．2D ．124．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A ＝α，AB ＝3，那么AC 等于（）A ．3sinαB ．3cosαC ．3sin αD ．3cos α5．tan60°的值等于()A ．1BC ．D ．26．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=α，BC=m ，则AB 的长为（）A ．m sinαB ．C ．m cosαD ．7．如图，网格中的每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1，ABC 的顶点均在格点上，则∠ABC 的正弦值为（）A ．12B ．5C ．35D ．108．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6，sinA=35，则AB=（）A ．8B ．9C ．10D ．129．如图，冬奥会滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道的长AC 为100米，则BC 的长为（）米．A ．100cos 20︒B ．100cos 20︒C ．100sin 20︒D ．100sin 20︒10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （1，2），点P 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为α（0°<α<90°），那么tanα的值是（）A ．2B ．12C ．2D 二、填空题11．计算：012⎛⎫ ⎪⎝⎭–2cos60°=.12．cos30°+sin45°=13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，AD=95，BD=165，则sinB=.14．如图，已知斜坡AC 的坡度i ＝1：2，小明沿斜坡AC 从点A 行进10m 至点B ，在这个过程中小明升高m.三、计算题15．计算：0(3)4sin601π-+--16．计算：0(3)22cos30π---︒．四、解答题17．今年五、六月份，我省各地、市普遭暴雨袭击，水位猛涨.某市抗洪抢险救援队伍在B 处接到报告：有受灾群众被困于一座遭水淹的楼顶A 处，情况危急！救援队伍在B 处测得A 在B 的北偏东60 的方向上（如图所示），队伍决定分成两组：第一组马上下水游向A 处救人，同时第二组从陆地往正东方向奔跑120米到达C 处，再从C 处下水游向A 处救人，已知A 在C 的北偏东30 的方向上，且救援人员在水中游进的速度均为1米/秒.在陆地上奔跑的速度为4米/秒，试问哪组救援队先到A 处？请说明理由.（参1.732=）18．如图，升国旗时，某同学站在离国旗20m 的E 处行注目礼（即BE=20m ），当国旗升至旗杆顶端A 时，该同学视线的仰角∠ADC=42°，已知他的双眼离地面的高度DE=1.60m ．求旗杆AB 的高度（结果精确到0.01m ）．参考数据：sin42°≈0.6691，cos42°≈0.7431，tan42°≈0.9004．19．如图，小明站在A 处，准备测量教学楼CD 的高度．此时他看向教学楼CD 顶部的点D ，发现仰角为45°．他向前走30m 到达A '处，测得点D 的仰角为67.5°．若小明的身高AB 为1.8m （眼睛与头顶的距离忽略不计），则教学楼CD 的高度为多少？（计算结果精确到0.1m ，参考数据：67.50.924sin ︒≈，67.50.383cos ︒≈，67.5 2.414tan ︒≈，1.414≈）20．先化简，再求代数式262393a a a a -÷+--的值，其中a ＝tan60°﹣6sin30°．21．先化简，再求代数式23211m m m m m m-+-÷-的值，其中60230m tan sin =︒-︒五、综合题22．五一期间，数学兴趣小组的几位同学到公园游玩，看到公园内宝塔耸立，几人想用所学知识测量宝塔的高度．为此，他们在距离宝塔中心18m 处（AC ＝18m ）的一个斜坡CD 上进行测量．如图，已知斜坡CD 的坡度为i ＝1斜坡CD 长12m ，在点D 处竖直放置测角仪DE ，测得宝塔顶部B 的仰角为37°，量得测角仪DE 的高为1.5m ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内．（1）求点D 距地面的高度；（2）求宝塔AB 的高度．（结果精确到0.1，参考数据；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）23．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长120mm AB =，支撑板长80mm CD =，底座长90mm DE =，托板AB 固定在支撑板顶端点C 处，且40mm CB =，托板AB 可绕点C 转动，支撑板CD 可绕点D 转动．（结果保留小数点后一位）（参考数据：40400.766sin ︒︒≈≈，，400.839tan ︒≈，26.60.448sin ≈ ，26.60.89426.60.500cos tan ︒︒≈≈，3 1.732≈）（1）若80DCB ︒∠=，60CDE ︒∠=，求点A 到直线DE 的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB 绕点C 逆时针旋转10 后，再将CD 绕点D 顺时针旋转，使点B 落在直线DE 上即可，求CD 旋转的角度．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：在△ABC 中，∵AC=3,BC=4,AB=5，又因32+42=52，即AC 2+BC 2=AB 2,∴△ABC 是直角三角形，且∠C=90°，∴tanB=34AC BC =.故答案为：A.【分析】首先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC 是直角三角形，再根据正切函数的定义即可得出答案.2．【答案】B【解析】【解答】解：过P 作PE OA ⊥于E ，则PO=1,PE=y,OE=x,∴sin 1PE yPOA y PO ∠===，故答案为：B.【分析】过P 作OA 的垂线构造直角三角形，利用正弦的定义可得答案.3．【答案】C 【解析】【解答】解：∵sin45°=2.故答案为：C.【分析】根据特殊角的三角函数值即可求得答案.4．【答案】B 【解析】【解答】解：如图，∵ACcosαAB=,∴AC=3cosα.故答案为：B.【分析】根据余弦等于邻边比斜边即可求解.5．【答案】C 【解析】【解答】C 。

北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合题训练

北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合压轴题专项训练试题1、如图,MN是表示某引水工程的一段设计路线,从M到N的走向为南偏东30°,在M的南偏东60°方向上有一点A,以A为圆心,500 米为半径的圆形区域为居民区,取MN上另一点B,测得BA的方向为南偏东75°,已知MB=400米,通过计算回答,如果不改变方向,输水路线是否会穿过居民区?2、如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D 是BC的中点，且AD⊥BC.(1)求sin B的值；(2)现需要加装支架DE，EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为点F.求支架DE的长．3、如图，拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽BC为6 m，坝高为3.2 m，为了提高水坝的拦水能力需要将水坝加高2 m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的1∶2变成1∶2.5(坡度是坡高与坡的水平长度的比)．求加高后的坝底HD的长为多少．4、小红家的阳台上放置了一个晒衣架(如图∶)，图∶是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O ，B ，D 两点立于地面，经测量：AB ＝CD ＝136 cm ，OA ＝OC ＝51 cm ，OE ＝OF ＝34 cm ，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF 成一条线段，且EF ＝32 cm (参考数据：sin 61.9°≈0.882，cos 61.9°≈0.471，tan 28.1°≈0.534)．(1)求证：AC ∶BD .(2)求扣链EF 与立杆AB 的夹角∶OEF 的度数(结果精确到0.1°)．(3)小红的连衣裙穿在晒衣架上的总长度达到122 cm ，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．5、如图，在电线杆上的C 处引拉线CE ，CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米的点B 处安置测角仪，在点A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°.已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长(结果保留根号)．6、如图，两条笔直的公路AB CD 、相交于点O ，AOC ∠为36°，指挥中心M 设在OA 路段上，与O 地的距离为18千米．一次行动中，王警官带队从O 地出发，沿OC 方向行进，王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在10千米之内进行通话，通过计算判断王警官在行进过程中能否实现与指挥中心用对讲机通话．【参考数据：sin360.59cos360.81tan360.73===°，°，°．】7、在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度和占地面积，如图1—136(1)所示，虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为锐角θ，一般情况下，锐角θ愈小，楼梯的安全程度愈高，但占地面积较多，如图l—136(2)所示，为提高安全程度，把倾角由θ1减至θ2，这样楼梯占用地板的长度由d1增加到d2，已知d1＝4 m，θ1＝40°，θ2＝36°，求楼梯占用地板的长度增加了多少．(精确到0.01 m，参考数据：sin36°≈0.5878，cos36°≈0.8090，tan 36°≈0.7265，sin 40°≈0.6428，cos 40°≈0.7660，tan 40°≈0.8391)8、在旧城改造中，要拆除一烟囱AB，如图1—137所示，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形区域为危险区，现在从与B地水平距离相距(BD＝21米)21米远的建筑物CD的顶端C点测得A点的仰角为45°，B点的俯角为30°，现在离B点25米远的地方有一受保护的文物，则该文物是否在危险区内?试说明理由．，精确到0.01米)9、通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1，在∶ABC中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA ＝底边腰＝BC AB .容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad 60°＝____________；(2)对于0°＜∶A ＜180°，∶A 的正对值sadA 的取值范围是____________；(3)如图2，已知sinA ＝35，其中∶A 为锐角，试求sadA 的值． 10、根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速站点M 距离羲皇大道l (直线)的距离MN 为30米(如图8所示)．现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从点A 行驶到点B 所用时间为6秒，∠AMN ＝60°，∠BMN ＝45°.(1)计算AB 的长；(2)通过计算判断此车是否超速．11、如图所示，港口B 位于港口O 正西方向120 km 处，小岛C 位于港口O 北偏西60°的方向．一艘游船从港口O 出发，沿OA 方向(北偏西30°)以v km /h 的速度驶离港口O ，同时一艘快艇从港口B 出发，沿北偏东30°的方向以60 km /h 的速度驶向小岛C ，在小岛C 用1 h 加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去．(1)快艇从港口B 到小岛C 需要多长时间？(2)若快艇从小岛C 到与游船相遇恰好用时1 h ，求v 的值及相遇处与港口O 的距离．12、如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道，为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C 在AB 的延长线上，设想过C 点作直线AB 的垂线l ，过点B 作一直线(在山的旁边经过)，与l 相交于D 点，经测量∶ABD ＝135°，BD ＝800米，求直线l 上距离D 点多远的C 处开挖？(2≈1.414，结果精确到1米)13、已知：如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为 45°，沿着坡度为30°的斜坡前进400米到D 处（即 ∠，CD =400米），测得A 的仰角为，求山的高度AB ．14、如图，在南北方向的海岸线MN 上，有A ，B 两艘巡逻船，现均收到故障船C 的求救信号．已知A ，B 两船相距1003+1）海里，船C 在船A 的北偏东60°方向上，船C 在船B 的东南方向上，MN 上有一观测点D ，测得船C 正好在观测点D 的南偏东75°方向上．（1）分别求出A 与C ，A 与D 间的距离AC 和AD （如果运算结果有根号，请保留根号）.（2）已知距观测点D 处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A 沿直线AC 去营救船C ，在23≈1.73）6015、如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i＝1∶，且AB＝30 m，李亮同学在大堤上A点处用高1.5 m的测量仪测出高压电线杆CD顶端D的仰角为30°，已知地面BC宽30 m，求高压电线杆CD的高度．(结果保留三位有效数字，≈1.732)16、如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发，沿斜面坡度为i＝1∶的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值)．17、如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6 m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.(1)求∠BP Q的度数；(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1 m)．(参考数据：≈1.7，≈1.4)18、乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分组成(如图所示)．建造前工程师用以下方式做了测量：无人机在A处正上方97 m处的P点，测得B处的俯角为30°(当时C处被小山体阻挡无法观测)．无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处的俯角为80°36′.(1)求主桥AB的长度；(2)若两观察点P，D的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC的长度．(长度均精确到1 m，参考数据：3≈1.73，sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163，tan80°36′≈6.06)。

(好题)初中数学九年级数学下册第一单元《直角三角形的边角关系》检测卷(含答案解析)

一、选择题1．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若5sin 13A =，则cos A 的值为（） A ．512 B ．813 C ．1312 D ．12132．如图，传送带和地面所成斜坡AB 的坡度为1∶2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（）A ．5米B ．5米C ．25米D ．45米 3．如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 是BC 上一点，且FC=2BF ，连接AE ，EF ．若AB=2，AD=3，则cos ∠AEF 的值是（）A ．12B ．1C ．22D ．324．在Rt ABC 中，∠C ＝90º，下列关系式中错误的是（）A ．BC ＝AB•sinAB ．BC ＝AC•tanA C ．AC ＝BC•tanBD ．AC ＝AB•cosB 5．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，8BC =，D ，E 分别为边AB ，BC 上一点，且满足:1:3AD DB =．连接DE ，将ADBE 沿DE 翻折，点B 的对应点F 恰好落在边AC 上，则CF 的长度为（）A ．1952055B ．275C ．52055D ．3156．Rt ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，sin A =（）A ．55B ．2C ．32D ．127．如图，直线123////l l l ，ABC 的三个顶点分别落在123,,l l l 上，AC 交2l 于点D ，设1l 与2l 的距离为12,h l 与3l 的距离为2h ．若12,:1:2AB BC h h ==，则下列说法正确的是（）A ．:2:3ABD ABC S S =B ．:1:2ABD ABC S S =△△C ．sin :sin 2:3ABD DBC ∠∠=D ．sin :sin 1:2ABD DBC ∠∠= 8．在ABC 中，90,13,12C AB BC ∠=︒==，则sin B 的值为（）A ．1213B ．512 C ．513 D ．1359．在Rt ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，4BC =，则tan A 的值为（） A ．35 B ．45 C ．34 D ．4310．如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在BC 和CD 上，下列结论：①CE CF =；②75AEB ∠=︒；③BE DF EF +=；④正方形对角线：13AC =+，其中正确的序号是（）A ．①②④B ．①②C ．②③④D ．①③④ 11．如图，直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 顺时针旋转60°后得到△AO'B'，则点B'的坐标是（） A ．(4，23)B ．(23，4)C ．（3，3）D ．（23＋2，2） 12．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A B C D 、、、都在这些小正方形的顶点上，AB CD 、相交于点P ，则tan APD ∠=（）．A ．5B ．3C ．10D ．2二、填空题13．如图，测角仪CD 竖直放在距建筑物AB 底部8m 的位置，在D 处测得建筑物顶端A 的仰角为50°．若测角仪CD 的高度是1.5m ，则建筑物AB 的高度约为_____m ．（结果精确到个位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）14．如图，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，2AB =，1BC =．将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到''AB C ，连接'B C ，则tan 'ACB ∠=__________．15．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，BD 是AC 边上的中线，则tan ADB ∠的值是______．16．如图，点P (m ，1)是反比例函数3y x=图象上的一点，PT ⊥x 轴于点T ，把△PTO 沿直线OP 翻折得到△PT O '，则点T '的坐标为_______________．17．ABC ∆中，67.5A ，8BC =，BE AC ⊥交AC 于E ，CF AB ⊥交AB 于F ，点D 是BC 的中点．以点F 为原点，FD 所在的直线为x 轴构造平面直角坐标系，则点E 的横坐标为________．18．如图，四边形ABCD 中，AB=BC=3，∠A=∠C=90°，∠ABC=120°，点E 是对角线BD 上的一个动点，过点E 分别作AB ，BC ，CD ，AD 的垂线，垂足分别为点F ，H ，I ，G ，连结FG 和HI ，则FG+HI 的最小值为________．19．如图所示，在四边形ABCD 中，90B ∠=︒，2AB =，8CD =．连接AC ，AC CD ⊥，若1sin 3ACB ∠=，则AD 长度是_________．20．在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，3AB =，4BC =则cos B =______．三、解答题21．计算：20210＋|﹣3|﹣2sin60°．22．如图，根据道路管理规定，在某笔直的大道AB 上行驶的车辆，限速60千米/时，已知测速站点M 距大道AB 的距离MN 为30米，现有一辆汽车从A 向B 方向匀速行驶，测得此车从A 点行驶到B 点所用时间为6秒，已知60AMN ∠=︒，45BMN ∠=︒．（参考数据：3 1.732≈，2 1.414≈）（1）计算AB 的长度（结果保留整数）；（2）试判断此车是否超速，并说明理由．23．图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC 是可伸缩的（10m 20m AC ），且起重臂AC 可绕点A 在一定范围内转动，张角为()90150CAE CAE ∠∠︒︒，转动点A 距离地面BD 的高度AE 为3.5m ．（1）当起重臂AC 长度为12m ，张角CAE ∠为120︒时，求云梯消防车最高点C 距离地面的高度CF ；（2）某日、一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为18m ，请问该消防车能否实3 1.732≈）24．如图在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象与反比例函数()0m y m x=≠的图象交于第二、四象限内的A 、B 两点，与x 轴交于C 点，点B 的坐标为()6,n ．线段5OA =，E 为x 轴上一点，且4sin 5AOE ∠=．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求AOB的面积；25．（1）解方程：22360x x--=（2）计算：12cos301tan602sin30︒--︒+︒26．为了方便市民出行，县政府决定从“七星广场”河堤到对岸修建一座便民桥．为测量河的宽度，在河的对岸取一点A，在广场河边取两点,O B测得点A在点O的北偏东60︒方向，测得点A在点B北偏东45︒方向，量得OB长为50米，求河的宽度AC（结果保留根号）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】由三角函数的定义可知sinBCAAB=，可设BC=5k，AB=13k由勾股定理可求得12AC k=，再利用余弦的定义代入计算即可．【详解】解：如图:在Rt ABC 中，sin BC A AB =，可设BC=5k ，AB=13k ．由勾股定理可求得()()222213512AC AB BC k k k =-=-=．所以，1212cos =1313AC k A AB k ==．故选：D ．【点睛】本题主要考查三角函数的定义，掌握正弦、余弦函数的定义是解题的关键．2．C解析：C【分析】作BC ⊥底面于点C ，根据坡度的概念、勾股定理列式计算即可；【详解】作BC ⊥底面于点C ，设BC x =，∵传送带和底面所成斜坡AB 的坡度为1∶2，∴2AC x =，由勾股定理得：222AC BC AB +=，即()222210x x +=，解得：25x =，即25BC =．故答案选C ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，准确计算是解题的关键． 3．C解析：C【分析】连接AF ，根据题意可分别求出BF 、FC 、DE 的长，再利用勾股定理分别求出AF 、AE 、EF 的长，利用勾股定理的逆定理判断出AEF 为等腰直角三角形，再利用三角函数即可求得答案．【详解】如图：连接AF ，四边形ABCD 是矩形∴2,3AB DC AD BC ====∴∠B=∠C=∠D=90°FC=2BF∴BF=1，FC=2E 是CD 的中点∴DE=CE=1∴BF=CE=1在Rt ABF 中22222215AF AB BF =+=+=在Rt EFC 中22222215EF FC CE =+=+=在Rt ADE △中222223110AE AD DE =+=+=∴222AE EF AF =+且AF=EF∴△AEF 为等腰直角三角形∴∠AFE=90°，∠AEF=∠EAF=45°∴cos ∠AEF=cos45°=22故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理及其逆定理的运用，特殊角的三角函数值，解题关键是利用勾股定理逆定理判断出AEF 为等腰直角三角形． 4．D解析：D【分析】根据三角函数的定义即可作出判断．【详解】解：A 、∵sin BC A AB=， ∴sin BC AB A =，故正确，不符合题意；B 、∵tanA= BC AC， ∴BC=AC•tanA ，故正确，不符合题意；C 、∵tanB=AC BC， ∴AC=BC•tanB ，故正确，不符合题意；D 、∵cos BC B AB=， ∴cos BC AB B =，故错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．A解析：A【分析】如图，过D 作DM AC ⊥于,M 根据已知条件先求解：,,,AD BD AC 再利用A ∠的三角函数求解,,AM DM 由对折得到：,DF 再利用勾股定理求解MF ，从而由CF AC AM MF =--可得答案．【详解】解：如图，过D 作DM AC ⊥于,M4:1:3,AB AD DB ==，13AD DB ∴==，，90ABC ∠=︒，4AB =，8BC =，22224845,AC AB BC ∴=+=+=1,AD DM AC =⊥，sin ,45DM BC A AD AC ∴=== 255DM ∴=，同理：5cos ,545AM AB A AD AC ==== 55AM ∴=，由对折可得：3,DF DB == 22222520535MF DF DM ⎛⎫∴=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，520519520545CF AC AM MF -∴=--== 故选：.A【点睛】本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．6．A解析：A【分析】求出斜边AB ，再求∠A 的正弦值．【详解】解：∵90C ∠=︒，2AC =，1BC =，∴2222215AB AC BC +=+= 5sin 5BC A AB ===，故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理和锐角的正弦函数值的求法，解题关键是求出斜边长，熟知正弦的意义．7．D解析：D【分析】作2⊥AE l ，2⊥CF l ，如图，则1AE h =，2CF h =，利用三角形面积公式可得到12::1:2ABD BCD S S h h ∆∆==，则可对A 、B 进行判断；利用正弦的定义得到1sin h ABD AB ∠=，2sin h DBC BC∠=，利用AB CB =可对C 、D 进行判断．【详解】解：作2⊥AE l ，2⊥CF l ，如图，则1AE h =，2CF h =，11122ABD S BD AE BD h ∆==，21122BCE S BD CF BD h ∆==， 12::1:2ABD BCD S S h h ∆∆∴==，:1:3ABD ABC S S ∆∆∴=，所以A 、B 选项错误；在Rt ABE ∆中，1sin h AE ABD AB AB ∠==，在Rt BCF ∆中，2sin h CF DBC BC BC∠==，而AB CB =，12sin :sin :1:2ABD DBC h h ∴∠∠==，所以C 选项错误，D 选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了考查了解直角三角形，也考查了平行线之间的距离和等腰直角三角形的性质，难度一般．8．C解析：C【分析】先根据勾股定理求得AC ，再根据正弦的定义求解即可；【详解】∵在ABC 中，90C ∠=︒，13AB =,12BC =，∴2213125AC =-=，∴5sin 13AC B AB ==；故答案选C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理与解直角三角形，准确理解计算是解题的关键．9．D解析：D【分析】由勾股定理算出AC 的值，然后根据正切函数的定义即可得到解答．【详解】解：由勾股定理可得：2222543AC AB BC =-=-=，∴tanA=43BC AC =，故选D ．【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握勾股定理及三角函数的定义是解题关键．10．A解析：A【分析】证明()Rt ABE Rt ADF HL ≅△△即可证明①正确，由①的结论得到三角形CEF 是等腰直角三角形，即可证明②正确，根据AC 垂直平分EF 可以判断③错误，利用锐角三角函数值求出AC 的长度证明④正确．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90B D ∠=∠=︒，∵AEF 是等边三角形，∴AE AF =，在Rt ABE △和Rt ADF 中，AE AF AB AD =⎧⎨=⎩， ∴()Rt ABE Rt ADF HL ≅△△，∴BE DF =，∵BC CD =，∴BC BE CD DF -=-，即CE CF =，故①正确；∵CE CF =，90C ∠=︒，∴45CEF ∠=︒，∵60AEF ∠=︒，∴180604575AEB ∠=︒-︒-︒=︒，故②正确；如图，连接AC ，交EF 于点G ，∵AE AF =，CE CF =，∴AC 是EF 的垂直平分线，∵CAF DAF ∠≠∠，∴DF FG ≠，同理BE EG ≠，∴BE DF EF +≠，故③错误；∵AEF 是边长为2的等边三角形，ACB ACD ∠=∠，∵AC EF ⊥，EG FG =， ∴3sin 6023AG AE =⋅︒==112CG EF ==， ∴13AC AG CG =+=+，故④正确．故选：A ．【点睛】本题考查四边形综合题，解题的关键是掌握正方形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形的方法．11．B解析：B【分析】根据直线解析式求出点A 、B 的坐标，从而得到OA 、OB 的长度，再求出∠OAB ＝30°，利用勾股定理列式求出AB ，然后根据旋转角是60°判断出AB′⊥x 轴，再写出点B′的坐标即可．【详解】令y ＝0，则−3x ＋2＝0，解得x ＝，令x ＝0，则y ＝2，所以，点A （0），B （0，2），所以，OA ＝OB ＝2，∵tan ∠OAB ＝OB OA ==， ∴∠OAB ＝30°，由勾股定理得，AB 4==， ∵旋转角是60°，∴∠OAB′＝30°＋60°＝90°，∴AB′⊥x 轴，∴点B′（4）．故选：B ．【点睛】本题考查了坐标与图形性质−旋转，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，三角函数的应用，求出AB′⊥x 轴是解题的关键． 12．B解析：B【分析】设小正方形的边长为1，根据勾股定理可得AD 、AC 的值，进而可得△ADC 是等腰直角三角形，进而可得AD ⊥CD ，根据相似三角形的判定和性质可得PC ＝2DP ，根据等量代换和线段和差可得AD ＝CD ＝3DP ，继而即可求解．【详解】解析设小正方形的边长为1，由图形可知，2AD DC AC ===，ADC ∴是等腰直角三角形，AD DC ∴⊥．//AC BD ，2AC CP BD DP∴==， 2PC DP ∴=，3AD DC DP ∴==，tan 3AD APD DP∴∠==．故选B．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定及其性质以及锐角三角函数．此题难度适中，注意转化思想与数形结合思想的应用．二、填空题13．11【分析】根据题意作辅助线DE⊥AB然后根据锐角三角函数可以得到AE 的长从而可以求得AB的长本题得以解决【详解】解：作DE⊥AB于点E由题意可得DE＝CD＝8m∵∠ADE＝50°∴AE＝DE•ta解析：11【分析】根据题意，作辅助线DE⊥AB，然后根据锐角三角函数可以得到AE的长，从而可以求得AB 的长，本题得以解决．【详解】解：作DE⊥AB于点E，由题意可得，DE＝CD＝8m，∵∠ADE＝50°，∴AE＝DE•tan50°≈8×1.19＝9.52（m），∵BE＝CD＝1.5m，∴AB＝AE+BE＝9.52+1.52＝11.2≈11（m），故答案为：11．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14．【分析】如图延长与的延长线交于点证明四边形为正方形再求解过作于利用等面积法求解再利用勾股定理求解从而可得答案【详解】解：如图由题意得：延长与的延长线交于点则四边形为正方形过作于故答案为：【点睛】本题解析：4 3【分析】如图，延长C B''与BC的延长线交于点,G证明四边形ABGB'为正方形，再求解,B C AC '，过A 作AM B C '⊥于M ，利用等面积法求解,AM 再利用勾股定理求解,MC 从而可得答案．【详解】解：如图，由题意得：9090BAB B AB C '''∠=︒∠=∠=︒，， 2AB AB '==， 1BC =，22215,AC ∴=+=延长C B ''与BC 的延长线交于点,G 则90AB G '∠=︒，∴ 四边形ABGB '为正方形， 2211B G BG CG BG BC '∴===-=-=，，90B GB '∠=︒， 22215,B C '∴=+=过A 作AM B C '⊥于M ，11,22AB C S AB AB B C AM '''∴== 54AM =， 4555AM ∴==， ()224355555MC ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭， 4545tan '.3355AM ACB MC ∴∠=== 故答案为：4.3【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，正方形的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键． 15．2【分析】由题意得到则结合角的正切值即可得到答案【详解】解：∵是边上的中线∴∴∵∴∵在中∴；故答案为：2【点睛】本题考查了求角的正切值三角形中线的性质解题的关键是掌握三角形中线的性质正确得到解析：2【分析】由题意，得到12AD AC =，则2AC AD =，结合角的正切值tan AB ADB AD∠=，即可得到答案．【详解】解：∵BD 是AC 边上的中线，∴12AD AC =， ∴2AC AD=， ∵AB AC =，∴2AB AD=， ∵在Rt ABD 中，90A ∠=︒， ∴tan 2AB ADB AD ∠==；故答案为：2．【点睛】本题考查了求角的正切值，三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质，正确得到2AB AD=． 16．【分析】连接过点作于点C 先根据反比例函数解析式求出点P 坐标根据的正切值得到它的度数再根据折叠的性质证明是等边三角形再解直角三角形得到OC 和的长即可求出的坐标【详解】解：如图连接过点作于点C ∵点P(m解析：33,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】连接TT '，过点T '作T C OT '⊥于点C ，先根据反比例函数解析式求出点P 坐标，根据POT ∠的正切值得到它的度数，再根据折叠的性质证明TOT '是等边三角形，再解直角三角形得到OC 和CT '的长，即可求出T '的坐标．【详解】解：如图，连接TT '，过点T '作T C OT '⊥于点C ，∵点P (m ，1)是反比例函数y x =图象上的一点，∴1=m ，∴OT =，1PT =，∵tan 3POT ∠=， ∴30POT ∠=︒，由折叠的性质得：30,POT POT OT OT ∠=∠=︒='='∴60TOT '∠=︒，又∵OT OT '=，∴TOT '是等边三角形，∵T C OT '⊥，∴12OC OT ==，3sin 2CT OT TOT '''=⋅∠==，∴322T ⎛⎫' ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：322⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭．【点睛】本题考查反比例函数与几何，解题的关键是掌握反比例函数的性质，利用锐角三角函数值得到特殊角的度数，然后解直角三角形． 17．【分析】连接DE 过E 作EH ⊥OD 于H 求得∠EDO ＝45°即可得到Rt △DEH 中求得DH 进而得出OH 即可求解【详解】如图所示连接过作于于于是的中点中点的横坐标是【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上中解析：4-【分析】连接DE ，过E 作EH ⊥OD 于H ，求得∠EDO ＝45°，即可得到Rt △DEH 中，求得DH ，进而得出OH ，即可求解．【详解】如图所示，连接DE ，过E 作EH OD ⊥于H ，BE CA ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，D 是BC 的中点，142DE DC BC DO DB ∴=====， DCE DEC ∴∠=∠，DBO DOB ∠=∠，67.5A ∴∠=︒，112.5ACB ABC ∴∠+∠=︒，18021802()()CDE BDO DCE DBO ∴∠+∠=︒-∠+︒-∠ 3602()DCE DBO =︒-∠+∠3602112.5=︒-⨯︒135=︒，45EDO ∴∠=︒，Rt DEH ∴∆中，cos 4522DH DE =︒⨯=422OH OD DH ∴=-=-点E 的横坐标是422-【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．解决问题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形．18．3【分析】先证明得到再证明：四边形四边形为矩形得到所以只要求的最小值即可当时最小再利用锐角三角函数可得答案【详解】解：AB=BC=3∠A=∠C=90°由过点E 分别作ABBCCDAD 的垂线垂足分别为点解析：3【分析】先证明,Rt ABD Rt CBD ≌得到60,30,ABD CBD GDE IDE ∠=∠=︒∠=∠=︒再证明：,FG HI =四边形,AFEG 四边形CHEI 为矩形，得到AE FG =，所以只要求AE 的最小值即可，当AE BD ⊥时，AE 最小，再利用锐角三角函数可得答案．【详解】解： AB=BC=3，∠A=∠C=90°，,120,BD BD ABC =∠=︒,Rt ABD Rt CBD ∴≌60,30,ABD CBD GDE IDE ∴∠=∠=︒∠=∠=︒由过点E 分别作AB ，BC ，CD ，AD 的垂线，垂足分别为点F ，H ，I ，G ，,,EF EH EG EI ∴== 四边形,AFEG 四边形CHEI 为矩形，90,FEG HEI ∴∠=∠=︒,FEG HEI ∴≌∴ ,FG HI =当FG 最小，则FG HI +最小，四边形AFEG 为矩形，,AE FG ∴=所以：当AE BD ⊥时，AE 最小，3,60,AB ABE =∠=︒sin 60,AE AB ∴︒= 3333,AE ∴=⨯= 所以：FG 的最小值是：33, 所以：FG HI +的最小值是：3323 3.⨯= 故答案为：3 3.【点睛】本题考查的是点到直线的距离垂线段最短，三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．19．10【分析】根据直角三角形的边角间关系先计算再在直角三角形中利用勾股定理即可求出【详解】解：在中∵∴在中故答案为：10【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理利用直角三角形的边角间关系求出AC 是解决解析：10【分析】根据直角三角形的边角间关系，先计算AC ，再在直角三角形ACD 中，利用勾股定理即可求出AD ．【详解】解：在Rt ABC 中，∵12,sin3ABAB ACBAC=∠==，∴1263AC=÷=．在Rt ADC中，22AD AC CD=+2268=+10=．故答案为：10．【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，利用直角三角形的边角间关系，求出AC是解决本题的关键．20．【分析】根据题意画出图形进而得出cosB=求出即可【详解】解：∵∠A=90°AB=3BC=4则cosB==故答案为：【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义正确把握锐角三角函数关系是解题的关键解析：3 4【分析】根据题意画出图形，进而得出cosB=ABBC求出即可．【详解】解：∵∠A=90°，AB=3，BC=4，则cosB=ABBC=34．故答案为：34．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题的关键．三、解答题21．1【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式＝12×2＝1＝1．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，结合特殊角三角函数中、零指数幂计算是解题的关键． 22．（1）82米；（2）不超速，见解析【分析】（1）已知MN=30m ，∠AMN=60°，∠BMN=45°求AB 的长度，可以转化为解直角三角形；（2）求得从A 到B 的速度，然后与60千米/时≈16.66米/秒，比较即可确定答案．【详解】解：（1）由题意可得在Rt AMN △中，30MN =米，60AMN ∠=︒， ∴tan AN MN AMN =⋅∠=在Rt BMN 中，∵45BMN ∠=︒，∴30BN MN ==（米）． ∴3082AB AN BN =+=≈（米）．（2）此车不超速，理由如下：由题意可得，汽车从A 到B 为匀速行驶，用时为6秒，且82AB =米，则汽车的速度为()306513.66÷=≈（米/秒）．∵60千米/时≈16.67米/秒，13.6616.67<，∴此车不会超速．【点睛】本题考查了勾股定理以及解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形，难度不大．23．（1）9.5m ；（2）可以有效救援．【分析】（1）过点C 作CF ⊥BD ，垂足为F ，过点A 作AG ⊥CF ，垂足为G ，解直角三角形ACG 即可；（2）当起重臂最长，张角最大时，计算远臂点距离地面的最大高度，比较判断即可．【详解】（1）如图1，过点C作CF⊥BD，垂足为F，过点A作AG⊥CF，垂足为G，∵AE⊥BD，∴四边形AEFG是矩形，∴∠EAG=90°，FG=AE=3.5，∴∠CAG=30°，∵AC=12，∴CG=ACsin30°=12×1=6，2∴CF=CG+FG=6+3.5=9.5(米)；（2）如图2，过点C作CF⊥BD，垂足为F，过点A作AG⊥CF，垂足为G，∵AE⊥BD，∴四边形AEFG是矩形，∴∠EAG=90°，FG=AE=3.5，∴∠CAG=60°，∵AC=20，∴CG=ACsin60°3，∴CF=CG+FG=17.32+3.5=20.82＞18；∴能有效救援．【点睛】本题考查了生活实际问题中的解直角三角形，熟练把生活问题转化数学解直角三角形模型问题是解题的关键．24．（1）12y x =-，223y x =-+；（2）9 【分析】（1）过点A 作AH ⊥x 轴于H 点，由4sin 5AH ACE AO∠==，OA=5，根据正弦的定义可求出AH ，再根据勾股定理得到OH ，即得到A 点坐标（-3，4），把A （-3，4）代入y= ，确定反比例函数的解析式为y=- ；将B （6，n ）代入，确定点B 点坐标，然后把A 点和B 点坐标代入y=kx+b （k≠0），求出k 和b ．（2）先令y=0，求出C 点坐标，得到OC 的长，然后根据AOB BOC AOC SS S =+计算△AOB 的面积即可．【详解】解：（1）过A 作AH x ⊥轴交x 轴于H ，∴4sin 5AH ACE AO∠==，5OA =， ∴4AH =，∴223OH OA AH ，∴()3,4A -，将()3,4A -代入m y x=，得12=-m ， ∴反比例函数的解析式为12y x =-，将()6,B n 代入12y x=-，得2n =-， ∴()6,2B -，将()3,4A -和()6,2B -分别代入()0y kx b k =+≠，得3462k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得232k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线解析式：223y x =-+；（2）在直线223y x =-+中，令0y =，则有2203x -+=，解得3x =， ∴()3,0C ，即3OC =，∴13462AOC S =⨯⨯=△；同理3BOC S =△，则9AOB BOC AOC S S S =+=△△△．【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是作x 轴的垂线，解直角三角形求A 点坐标，用待定系数法求直线，双曲线的解析式．25．（1）134x +=，234x =；（2）5【分析】（1）用公式法解方程即可；（2）先求特殊角三角函数值，再进行实数计算．【详解】解：（1）22360x x --=， 2a =，3b =-，6c =-∴224(3)42(6)570b ac -=--⨯⨯-=>∴332224b x a -===⨯∴134x =，234x -=（2）原式)1122=-+⨯311=+5=-【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和含有特殊角三角函数值的实数计算，解题关键是选择恰当的方法解一元二次方程和熟记特殊角三角函数值并熟练进行计算．26．河的宽度AC 为(25+米【分析】根据点A 在点B 北偏东45°方向，结合方位角的知识可证AC BC =，利用三角函数解直角三角形，列关出方程，解方程即可．【详解】根据题意，有30,45AOC ABC ∠=︒∠=︒，又90ACB ∠=︒所以BC AC =，在Rt AOC ∆中，tan AC AOC OC ∠=，即tan 30AC OC ︒= 设AC x =米，则BC x =米，由题意得503x x =+ 解得x =化简得25x =+∴河的宽度AC 为(25+米.【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟记特殊角的三角函数值，灵活运用方位角的知识，规范解直角三角形是解题关键．。

九年级数学下册《直角三角形的边角关系》单元测试卷(附答案)

九年级数学下册《直角三角形的边角关系》单元测试卷（附答案）一．选择题（共10小题，满分30分）1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tan A的值为（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正切值（）A．都扩大2倍B．都扩大4倍C．没有变化D．都缩小一半3．在直角坐标系中，P是第一象限内的点，OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则cos α的值是（）A．B．C．D．4．计算sin45°的值等于（）A．B．C．D．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tan A的值是（）A．B．C．D．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos B的值是（）A．B．C．D．7．已知tan A＝0.85，用计算器求∠A的大小，下列按键顺序正确的是（）A．B．C．D．8．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是（）A．B．C．D．9．在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝4，sin A＝，那么BC边的长是（）A．2B．8 C．4D．1210．α为锐角，若sinα+cosα＝，则sinα﹣cosα的值为（）A．B．±C．D．0二．填空题（共10小题，满分30分）11．如图，在平面直角坐标系内有一点P（5，12），那么OP与x轴正半轴的夹角α的余弦值．12．若α为锐角，且，则m的取值范围是．13．用科学计算器计算： tan16°15′≈（结果精确到0.01）14．如果3sinα＝+1，则∠α＝．（精确到0.1度）15．计算：sin225°+cos225°﹣tan60°＝．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且c＝3a，则tan A 的值为．17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，sin B＝，那么AB＝．18．已知∠A是锐角，且tan A＝2，那么cos A＝．19．已知∠A+∠B＝90°，若，则cos B＝．20．化简＝．三．解答题（共7小题，满分60分）21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tan A＝．求AB的长和sin B的值．22．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．23．计算下列各题：（1）；（2）sin60°•cos60°﹣tan30°tan60°+sin245°+cos245°．24．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，求sin A，cos B，tan A的值．25．如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（6，y），且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是，求角α的正弦值．26．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求cos A的值．27．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE、PF的大小；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．参考答案与解析一．选择题1．解：如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴tan A＝＝．故选：B．2．解：根据锐角三角函数的定义，知各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的大小不变，所以其正切值不变．故选：C．3．解：如图：过点P作PE⊥x轴于点E，∵tanα＝，∴设PE＝4x，OE＝3x，在Rt△OPE中，由勾股定理得OP＝，∴cosα＝．故选：C．4．解：sin45°＝故选：C．5．解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，∴tan A＝＝，故选：D．6．解：Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴cos B＝sin A＝，故选：C．7．解：根据计算器功能键，先按反三角2ndF，再按正切值．故选：A．8．解：若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是．故选：C．9．解：由sin A＝＝，不妨设BC＝2k，则AB＝3k，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即（4）2+（2k）2＝（3k）2，解得k＝4（取正值），所以BC＝2k＝8，故选：B．10．解：∵sinα+cosα＝，∴（sinα+cosα）2＝2，即sin2α+cos2α+2sinαcosα＝2．又∵sin2α+cos2α＝1，∴2sinαcosα＝1．∴（sinα﹣cosα）2＝sin2α+cos2α﹣2sinαcosα＝1﹣2sinαcosα＝1﹣1＝0．∴sinα﹣cosα＝0．故选：D．二．填空题（共10小题，满分30分）11．解：过P作PA⊥OA，∵P点坐标为（5，12），∴OA＝5，PA＝12，由勾股定理得，OP＝＝＝13．∴cosα＝＝．故答案为：．12．解：∵0＜cosα＜1，∴0＜＜1，解得，故答案为：．13．解： tan16°15′≈0.71，故答案为：0.71．14．解：∵3sinα＝+1，∴sinα＝，解得，∠α≈65.5°，故答案为：65.5°．15．解：∵sin225°+cos225°＝1，tan60°＝，∴sin225°+cos225°﹣tan60°＝1﹣，故答案为：1﹣．16．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝3a，∴b＝＝＝2a，∴tan A＝＝＝，故答案为：．17．解：∵sin B＝，∴AB＝＝＝6．故答案是：6．18．解：设∠A所在的直角三角形为△ABC，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所得的边为a，b，c，∵tan A＝2，即＝2，设b＝k，则a＝2k，∴c＝＝k，∴cos A＝＝，故答案为：．19．解：由∠A+∠B＝90°，若，得cos B＝，故答案为：．20．解：∵tan30°＝＜1，∴原式＝1﹣tan30°＝1﹣＝．三．解答题（共7小题，满分60分）21．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tan A＝＝，∴AC＝12，∴AB＝＝＝6，∴sin B＝＝＝．22．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245 ＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．23．解：（1）＝（2×﹣）+＝2﹣+＝2；（2）sin60°•cos60°﹣tan30°tan60°+sin245°+cos245°．＝×﹣×+（）2+（）2＝﹣1++＝．24．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，根据勾股定理可得：AC＝4，∴sin A＝，cos B＝＝，tan A＝＝．25．解：作PC⊥x轴于C．∵tanα＝，OC＝6∴PC＝8．则OP＝10．则sinα＝．26．（1）证明：法一、连接AD、OD，∵AC是直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴D是BC的中点，又∵O是AC的中点，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．法二、连接OD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵AB＝AC，∴∠OCD＝∠B，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．（2）解：由（1）知OD∥AE，∴∠FOD＝∠FAE，∠FDO＝∠FEA，∴△FOD∽△FAE，∴，∴，∴，解得FC＝2，∴AF＝6，∴Rt△AEF中，cos∠FAE＝＝＝＝．27．解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝＝sin40°在Rt△BPF中，sin∠FBP＝＝sin20°又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根据（1）得sin∠EBP＝＝sinα，sin∠FBP＝＝sinβ又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．。

精品试题北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测评试题(含解析)

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，则 tan B 的值为（）A B ．1 C D ．22、在Rt ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则下列式子一定成立的是（）A ．sin a cB =⋅ B ．cos a c B =⋅C ．tan a c B =D ．sin c a A =⋅3、如图要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，点P 位于点A 正北方向，点C 位于点A 的北偏西46°，若测得PC ＝50米，则小河宽PA 为（）A ．50sin44°米B ．50cos44°C ．50tan44°米D ．50tan46°米4、tan 45︒的值为（）A ．1B ．2CD ．5、某人沿坡度1:2i =的斜坡向上前进了10米，则他上升的高度为（）A ．5米B ．C ．D ．6、如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，O 为对角线BD 的中点，2OA =，5BC =，3CD =，则tan DCB ∠等于（）A ．43B ．34C ．45 D ．357、如图，某建筑物AB 在一个坡度为i ＝1：0.75的山坡BC 上，建筑物底部点B 到山脚点C 的距离BC ＝20米，在距山脚点C 右侧同一水平面上的点D 处测得建筑物顶部点A 的仰角是42°，在另一坡度为i ＝1：2.4的山坡DE 上的点E 处测得建筑物顶部点A 的仰角是24°，点E 到山脚点D 的距离DE ＝26米，若建筑物AB 和山坡BC 、DE 的剖面在同一平面内，则建筑物AB 的高度约为（）（参考数据：sin 24°≈0.41，cos 24°≈0.91，tan 24°≈0.45，sin 42°≈0.67．cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90）A ．36.7米B ．26.3 米C ．15.4米D ．25.6 米8、如图，E 是正方形ABCD 边AB 的中点，连接CE ，过点B 作BH ⊥CE 于F ，交AC 于G ，交AD 于H ，下列说法：①AH HG AB BG =； ②点F 是GB 的中点；③AG AB =；④S △AHG =16S △ABC ．其中正确的结论的序号是（）A ．①②③B ．①③C ．②④D ．①③④ 9、在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，sin A ＝23，则边AC 的长是（）A B ．3 C ．43 D 10、如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线14y k x =+与y 轴交于点C ，与反比例函数2k y x =在第一象限内的图象交于点B ，连接BO ，若2OBC S ∆=，1tan 5BOC ∠=，则2k 的值是（）A ．-20B ．20C ．－5D ．5第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、等腰ABC ，底角是30ABC 的周长是_____________2、如图，矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，∠ADE ＝α，cosα＝35，AB ＝4，AD 长为_____．3、cos30°的相反数是 _____．4、构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至D ，使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°AC CD ====2tan22.5°的值为 _____．5、如图, 在 Rt ABC △ 中, 390,tan ,2ACB BAC CD ∠∠== 是斜边 AB 上的中线, 点 E 是直线 AC 左侧一点, 联结 AE CE ED 、、, 若 ,EC CD EAC B ∠∠⊥=, 则 CDEABC SS 的值为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，平地上两栋建筑物AB 和CD 相距30m ，在建筑物AB 的顶部测得建筑物CD 底部的俯角为26.6°，测得建筑物CD顶部的仰角为45°．求建筑物CD 的高度．（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）2、如图，等腰Rt△ABC 中，AB ＝AC ，D 为线段BC 上的一个动点，E 为线段AB 上的一个动点，使得CD=．连接DE ，以D 点为中心，将线段DE 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接线段EF ，过点D 作射线DR ⊥BC 交射线BA 于点R ，连接DR ，RF ．（1）依题意补全图形；（2）求证：△BDE ≌△RDF ；（3）若AB ＝AC ＝2，P 为射线BA 上一点，连接PF ，请写出一个BP 的值，使得对于任意的点D ，总有∠BPF 为定值，并证明．3、小明周末沿着东西走向的公路徒步游玩，在A 处观察到电视塔在北偏东37度的方向上，5分钟后在B 处观察到电视塔在北偏西53度的方向上．已知电视塔C 距离公路AB 的距离为300米，求小明的徒步速度．（精确到个位，sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，sin530.8︒≈，cos530.6︒≈，tan370.75︒≈，tan53 1.3︒≈）4、如图, 在 ABC 中，90,3C AC BC ∠===，点 D E 、分别在 AC 边和 AB 边上，沿着直线 DE 翻折 ADE ，点 A 落在 BC 边上，记为点 F ，如果 1CF =，则 BE =_______．5、计算：（1）22390x x +-=；（21016sin 453)2-⎛⎫+- ⎪⎝⎭︒．-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据直角三角形的两个锐角互余即可求得30B ∠=︒，根据特殊角的三角函数值即可求解【详解】∵∠C =90°，∠A =60°，∴30B ∠=︒又tan 30︒=故选A【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，求特殊角的三角函数值，理解特殊角的三角函数值是解题的关键．2、B【分析】根据题意，画出直角三角形，再根据锐角三角函数的定义对选项逐个判断即可．【详解】解：由题意可得，如下图：sinaAc=，则sina c A=⋅，A选项错误，不符合题意；cosaBc=，则cosa c B=⋅，B选项正确，符合题意；tanbBa=，则tanacB≠，C选项错误，不符合题意；sinaAc=，则sinacA=，D选项错误，不符合题意；故选B，【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是画出图形，根据锐角三角函数的定义进行求解．3、C【分析】先根据AP⊥PC，可求∠PCA=90°-46°=44°，在Rt△PCA中，利用三角函数AP=tan4450tan44PC︒⨯=︒米即可．【详解】解：∵AP⊥PC，∴∠PCA+∠A=90°，∵∠A=46°，∴∠PCA=90°-46°=44°，在Rt△PCA中，tan∠PCA=APCP，PC=50米，∴AP=tan4450tan44PC︒⨯=︒米．故选C．【点睛】本题考查测量问题，掌握测量问题经常利用三角函数求边，熟悉锐角三角函数定义是解题关键．4、A【分析】直接求解即可．【详解】解：tan45︒=1，故选：A．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．5、B【分析】由坡度定义可得位置升高的高度即为坡角所对的直角边．根据题意可得BC：AC=1：2，AB=10m，可解出直角边BC，即得到位置升高的高度．【详解】解：由题意得，BC：AC=1：2．∴设BC=x，则AC=2x．∵AB=10，BC2+ AC2=AB2，∴x2+ (2x)2=102，解得：x=．故选：B．【点睛】本题主要考查了坡度的定义和解直角三角形的应用，注意画出示意图会使问题具体化．6、A【分析】先根据平行线的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BD ，再根据勾股定理的逆定理判断出∠BDC =90°，由正切定义求解即可．【详解】解：∵AD ∥BC ，∠ABC =90°，∴∠BAD =90°，∵O 为对角线BD 的中点，OA =2，∴BD =2OA =4，∵BC =5，CD =3，∴BD 2+CD 2=BC 2，∴∠BDC =90°，∴tan∠DCB =BD CD =43，故选：A ．【点睛】本题考查平行线的性质、直角三角形的斜边中线性质、勾股定理的逆定理、正切，熟练掌握勾股定理的逆定理是解答的关键．7、D【分析】如图所示，过E 点做CD 平行线交AB 线段为点H ，标AB 线段和CD 线段相交点为G 和H 由坡度为i ＝1：0.75，BC ＝20可得BG =16,GC =12,由坡度为 i ＝1：2.4，DE ＝26可得DF =24,EF =10，分别在在AGB 中满足tan 42AG GD =︒，在AEH △中满足tan 24AH HE =︒化简联立得AB =25.6．【详解】如图所示，过E 点做CD 平行线交AB 线段为点H ，标AB 线段和CD 线段相交点为G 和H∵在BGC 中BC ＝20，坡度为i ＝1：0.75，∴222BG GC BC +=， ∴2223()4BG BG BC +=， ∴222916BG BG BC +=， ∴22252016BG =， ∴22540016BG =， ∴21640025BG =⨯， ∴2256BG =，∴16BG =， ∴3124CG BG ==．在BGC 中DE ＝26，坡度为 i ＝1：2.4，∴222DF EF DE +=， ∴22212()5EF EF DE +=， ∴22214425EF EF DE +=， ∴221692625EF =， ∴225676169EF =⨯，∴2100EF =，∴10EF =， ∴12245DF EF ==， ∴在AGB 中满足tan 42AG GD =︒，在AEH △中满足tan 24AH HE =︒, 即0.9AB BG GC CD +=+,0.45AB BH GC CD DF+=++ 其中BG =16、BG =12、BH =BG -EF =6、DF =24，代入化简得160.9(12)60.45(36)AB CD AB CD +=+⎧⎨+=+⎩①②，令2②-①有2261620.45360.91220.450.9AB AB CD CD -+⨯-=⨯⨯-⨯+⋅⋅-∴421.6AB -=，∴AB =25.6．故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用三角形的坡度和斜边长通过勾股定理可以求得三角形各边长度，再根据角度列含两个未知数的二元一次方程组，正确的列方程求解是解题的关键．8、D 【分析】①先证明△ABH≌△BCE，得AH=BE，则1122AH AD BC==，即12AHAB=，再根据平行线分线段成比例定理得：12HGBG=即可判断；②设BF=x，CF=2x，则BC，计算FG=23x即可判断；③根据等腰直角三角形得：AC，根据①中得：13AGAC=即可判断；④根据11,22HG AGBG CG==，可得同高三角形面积的比，然后判断即可．【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠HAB=∠ABC=90°，∵CE⊥BH，∴∠BFC=∠BCF+∠CBF=∠CBF+∠ABH=90°，∴∠BCF=∠ABH，∴△ABH≌△BCE，∴AH=BE，∵E是正方形ABCD边AB的中点，∴BE=12AB，∴1122AH AD BC==，即12AHAB=∵AH//BC，∴12 AH HG BC BG==∴AH HGAB BG=，故①正确；②1 tan tan2AH BF ABH BCFAB CF ∠=∠===设BF=x，CF=2x，则BC，∴AHx∴52 BH x=∴552263x x xFG BH GH BF x BF=--=--=≠，故②不正确；③∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴AC，∵12 AG AH CG BC==∴13 AG AC=∴13AG AC AB==，故③正确；④∵12GH AG BG CG==∴11,22 AHG ABGABG BCGS SS S∆∆∆∆==∴13 ABGABCSS∆∆=∴16AHG ABCS S=，故④正确．故选D．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．9、A【分析】先根据BC＝2，sin A＝23求出AB的长度，再利用勾股定理即可求解．【详解】解：∵sin A＝BCAB =23，BC＝2，∴AB＝3,∴AC故选：A．【点睛】本题考查正弦的定义、勾股定理等知识，是重要考点，难度较小，掌握相关知识是解题关键．10、D【分析】先根据直线解析式求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，利用待定系数法将点B坐标代入即可求得结论．【详解】解：∵直线y=k1x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，4），∴OC=4，过B作BD⊥y轴于D，∵S △OBC =2， ∴114222OC BD BD ⋅=⨯⋅=， ∴BD =1，∵tan∠BOC =15， ∴15BD OD =， ∴OD =5，∴点B 的坐标为（1，5）， ∵反比例函数2k y x=在第一象限内的图象交于点B ， ∴k 2=1×5=5．故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，锐角三角函数，三角形面积，待定系数法求分别列函数解析式，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．二、填空题140 【分析】设腰长为x ，则等腰三角形的高为2x ，三角形的面积为122x ⨯=x 的值，进而求出周长2x +的值．【详解】解：设等腰三角形的腰长为x ，高为sin 302x x ︒=，底边长为2cos30x ︒=122x S ∴=⨯=解得x =∴周长为240x =40+．【点睛】本题考查了锐角三角函数值，等腰三角形．解题的关键在于利用三角函数值将边长表示出来． 2、163【分析】将已知角度的三角函数转换到所需要的三角形中，得到∠ADE =∠DCE =α，求出AC 的值，再由勾股定理计算即可．【详解】∵∠ADC =∠AED =90°，∠DAE +∠ADE =∠ADE +∠CDE =90°∴∠DAE =∠CDE又∵∠DCE +∠CDE =90°∴∠ADE =∠DCE =α∴cosα＝35=CD AC又∵矩形ABCD中AB=CD=4∴AC=20 3在ADC中满足勾股定理有163AD=故答案为：163．【点睛】本题考查了已知余弦长求边长，将已知余弦长转换到所需要的三角形中是解题的关键．3、【分析】先将特殊角的三角函数值代入求解，再求出其相反数．【详解】所以其相反数为故答案为：【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及相反数的概念．41##【分析】在等腰直角△ABC 中，∠C =90°，延长CB 至点D ，使得AB =BD ，则∠BAD =∠D ．设AC =1，求出CD ，可得结论．【详解】解：如图，在等腰直角△ABC 中，∠C =90°，延长CB 至点D ，使得AB =BD ，则∠BAD =∠D ．∵∠ABC =45°，∴45°=∠BAD +∠D =2∠D ，∴∠D =22.5°，设AC =1，则BC =1，AB =∴1CD CB BD CB AB =+=+=∴tan 22.5tan 1AC D CD ︒====．1．【点睛】本题考查解直角三角形，分母有理化，特殊直角三角形的性质，三角函数等知识，解题的关键是学会利用特殊直角三角形解决问题．5、1336【分析】先证明Rt AED Rt CED ≌，则AED CED S S =，进而证明DAE BCA ∽，据3tan 2BAC ∠=求得相似比，根据面积比等于相似比的平方即可求解【详解】解：CD 是Rt ABC 斜边 AB 上的中线， 12CD AB AD ∴== DCA DAC ∴∠=∠ 90ACB ∠=︒90CAB B ∴∠+∠=︒ EAC B ∠=∠90EAC DAC ∴∠+∠=︒ 即90EAD ∠=︒ 又EC CD ⊥90ECD ∴∠=︒EAD ECD ∴∠=∠ Rt AED Rt CED ∴≌ AED CED S S ∴= ,DA DC EA EC == ED AC ∴⊥又90ACB ∠=︒ BC AC ∴⊥//ED BC ∴ADE B ∴∠=∠又90EAD ACB ∠=∠=︒ DAE BCA ∴∽2ADC ABC S AD S BC ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ 3tan 2BAC ∠= 32CB CA ∴= 设3CB k =，则2AC k =AB ∴=12AD AB ∴== AED CED S S =2CDE ADC ABC ABC SS AD S SBC ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭2132336k ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭故答案为：1336【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形全等的性质与判定，相似三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质与判定，正切的定义，证明AED CED SS =是解题的关键．三、解答题1、建筑物CD 的高度约为45m ．【分析】如图所示，过点A 作AE ⊥CD 于E ，先证明AE =CE ，然后证明四边形ABDE 是矩形，则AE =BD =30m ，CE =AE =30m ，tan =30tan26.615m DE AE EAD =⋅︒≈∠，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点A作AE⊥CD于E，∴∠AEC=∠AED=90°，∵∠CAE=45°，∴∠C=45°，∴∠C=∠CAE，∴AE=CE，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD=∠BDE=90°，∴四边形ABDE是矩形，∴AE=BD=30m，∴CE=AE=30m，tan=30tan26.615m∠，=⋅︒≈DE AE EAD∴CD=CE+DE=45m，答：建筑物CD的高度约为45m．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于能够正确作出辅助线求解．2、（1）见解析；（2）见解析；（3）当4BP=，使得对于任意的点D，总有∠BPF为定值，证明见解析【分析】（1）根据题意作出图形连接,DR RF ；（2）根据BDR EDF ∠=∠可得BDE RDF ∠=∠，证明BRD 是等腰直角三角，可得BD DR =，根据旋转的性质可得ED DR =，进而根据边角边即可证明△BDE ≌△RDF ；（3）当24PB AB ==时，设DE a =，则CD =，分别求得,FR RP ,根据1tan 22RF a BPF RP a ∠===即可求解【详解】（1）如图，（2）DR ⊥BC90RDB ∴∠=︒将线段DE 顺时针旋转90°得到线段DF ，90,EDF ED FD ∴∠=︒=BDR EDF ∴∠=∠即BDE EDR EDR RDF ∠+∠=∠+∠BDE RDF ∴∠=∠ ABC 是等腰直角三角形45B ∴∠=︒90BDR ∠=︒45BRD ∴∠=︒BRD∴是等腰直角三角形∴=BD DR∴△BDE≌△RDF；（2）如图，当24==时，使得对于任意的点D，总有∠BPF为定值，证明如下，PB ABAB AC==ABC是等腰直角三角形，2∴=BCDC==，则CD，设DE a△BDE≌△RDF,==DR BD∴==，FR BR aABC是等腰直角三角形，∴∠=︒45EBD⊥DR BC∴∠=︒BRD45∴是等腰直角三角形，BDR∴==-BR a42()∴=-=--=4422PR BP BR a a△BDE ≌△RDF ,45FRD EBD ∴∠=∠=︒90BRF BRD DRF ∴∠=∠+∠=︒即FR AB ⊥1tan 22RF a BPF RP a ∴∠=== BPF ∴∠为定值【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质，正切的定义，旋转的性质，掌握以上知识是解题的关键．3、126米/分钟【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，则300CD =米，由解直角三角形求出AD 和BD 的长度，则求出AB 的长度，即可求出小明的速度．【详解】解：过C 作CD AB ⊥于D ，则300CD =米，∴903753CAD ∠=︒-︒=︒， ∴300tan tan 53 1.3CAD AD∠=︒=≈， ∴231AD ≈，同理：400BD ≈631AB AD BD =+=速度：631÷5≈126（米/分钟）．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，以及解直角三角形，解题的关键是正确求出AD 和BD 的长度．4【分析】过点F 作FG AB ⊥于点G ，设BE x =，则AE x =，EG BE BG x =-=EGF △即可求得x ，即BE 的值【详解】解：如图，过点F 作FG AB ⊥于点G在 ABC 中，90,3C AC BC ∠===，AB ∴=tan 1AC B BC ==45A B ∠FGB ∴是等腰直角三角形BG FG ∴==sin FB B ⋅=设BE x =，则AE x =，EG BE BG x =-=沿着直线DE 翻折ADE ，点A 落在BC 边上，记为点F ，EA EF ∴=x在Rt EFG 中，222EF EG FG =+即()(222x x =+解得x =【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，解直角三角形，根据题意构造直角三角形是解题的关键．5、（1）123,32x x ==-；（2）1 【分析】（1）用公式法求解即可；（2）根据特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂、二次根式的性质计算即可．【详解】（1）∵2a =，3b =，9c =-24972810b ac -=+=>，∴x ==∴123,32x x ==-．（2）原式621=-01=+1=．【点睛】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂、二次根式的性质等知识，熟练掌握并灵活运用这些知识是关键．。

(必考题)初中数学九年级数学下册第一单元《直角三角形的边角关系》测试卷(包含答案解析)(3)

一、选择题1．如图，在Rt ABC 中，90,4,3ACB AC BC ∠=︒==，将ABC 绕直角边AC 的中点O 旋转，得到DEF ，连接AD ，若DE 恰好经过点C ，且DE 交AB 于点G ，则tan DAG ∠的值为（）A ．524B ．513C ．512D ．7242．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，设A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，则下面四个等式一定成立的是（）A ．sin c bB =⋅ B ．cos a c B =⋅C ．tan a b B =⋅D ．tan b c B =⋅ 3．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（）A ．34B ．43 C ．35D ．45 4．在Rt ABC 中，90,3,2C BC AC ∠=︒==，则sin A 的值为（）A ．32B ．23C ．21313D ．31313 5．在Rt ABC 中，90,2,6C AC AB ∠=︒==，则下列结论正确的是（） A ．1sin 3A = B ．2cos 4B = C ．tan 22A = D ．22tan 3B = 6．如图，边长为23的等边三角形AOB 的顶点B 在x 轴的正半轴上，点C 为AOB 的中心，将AOB 绕点O 以每秒60︒的速度逆时针旋转，则第2021秒，AOB 的中心C 的对应点2021C 的坐标为（）A ．()0,2-B ．()3,1-C ．()1,3D ．()1,3- 7．Rt ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，sin A =（）A ．5B ．2C ．3D ．128．如图，在直角△BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使得BD=2DC ，连接AC ，如果5tanB 3=，则tan CAD ∠的值是（）A 3B 3C ．13D ．15 9．在ABC 中，90C ∠=︒，tan 2A =，则sin A 的值是（） A ．23 B ．13 C 25 D 5 10．如图，在44⨯的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，ABC 的顶点都在格点上，则BAC ∠的正弦值是（）A ．12B ．55C ．255D ．无法确定 11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若1cos 2B =，则sin A 的值为（） A ．1 B ．12 C ．32 D ．3312．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，若5AC =，BC=2，则sin ∠A 的值为（）A ．5B ．5C ．23D ．25 二、填空题13．江堤的横断面如图，堤高BC 10=米，迎水坡AB 的坡比是1:3，则堤脚AC 的长是______．14．如图，在平面直角坐标系中，点B 在第一象限，BA x ⊥轴于点A ，反比例函数()0k y x x=>的图象与线段AB 相交于点C ，且C 是线段AB 的中点，点C 关于直线y x =的对称点'C 的坐标为()()1,1n n ≠，若OAB 的面积为4．则下列结论：①2n =；②4k =；③不等式k x x <的解集是2x >；④tan 2ABO ，其中正确结论的序号是________．15．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，BD 是AC 边上的中线，则tan ADB ∠的值是______．16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝9，AC ＝6，则cos ∠DCB ＝________________ ．17．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，BC ＝6cm ，则AB 的长为_____．18．如图，在菱形ABCD 中，4AB =，45ABC ∠=︒，菱形ABCD 的对角线交于点O ，则ABO 的面积为__________．19．在菱形ABCD 中，AB=4cm ，AB=BD ，则菱形ABCD 的面积是______．20．2sin30°+tan60°×tan30°＝_____．三、解答题21．如图，在河流的右岸边有一高楼AB ，左岸边有一坡度1:2i =的山坡CF ，点C 与点B 在同一水平面上，CF 与AB 在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB 的高度，在坡底C 处测得楼顶A 的仰角为45︒，然后沿坡面CF 上行了205米（即205CD =米）到达点D 处，此时在D 处测得楼顶A 的仰角为26.7︒．（参考数据：sin26.70.45︒≈，cos26.70.89︒≈，tan26.70.50︒≈）（1）求点C 到点D 的水平距离CE 的长；（2）求楼AB 的高度． 22．如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点,,A D G 在同一直线上，且5,3AD DE ==，连接,,AC CG AE ，并延长AE 交CG 于点H ．（1）求sin EAC ∠的值．（2）求线段AH 的长．23．如图，建设“五化东安”，打造“绿色发展样板城市”．在数学课外实践活动中，小薇在紫水河北岸的自行车绿化道AC 上，在A 处测得对岸的吴公塔D 位于南偏东60°方向，往东走300米到达B 处，测得对岸的吴公塔D 位于南偏东30°方向．（1）求吴公塔D 到紫水河北岸AC 的距离约为多少米？（精确到13≈1.73）（2）小薇继续向东走到轮船码头C 处，测得对岸的吴公塔D 位于西南方向．已知小薇的平均速度为每小时5千米，小薇从B 处到轮船码头大约几分钟？（精确到1分钟） 24．某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB 是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB 上方150米的点C 处悬停，此时测得桥两端,A B 两点的俯角分别为65°和45°，求桥AB 的长度．（参考数据：sin650.91︒≈，cos650.42︒≈，tan65 2.14︒≈；结果精确到0.1米）25．如图，在东西方向的海岸线l 上有长为300米的码头海岸AB ，在码头的最西端A 处测得轮船M 在它的北偏东45︒方向上；同一时刻，在A 处正东方向距离A 处50米的C 处测得轮船M 在北偏东37︒方向上．（1）求轮船M 到海岸线l 的距离；（结果保留整数米）（2）如果轮船M 沿着南偏东22︒的方向就行，那么该轮船能否行至码头海岸AB 靠岸？请说明理由．（参考数据：sin370.60︒≈，tan370.75︒≈，sin 220.37︒≈，tan220.40︒≈）26．（1）计算：230360245sin tan cos ︒+-︒．（2）已知32a b =，求22a b a b -+的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】连接OG ，由勾股定理求出AB=5，由直角三角形的性质求出CG ，CD ，AD 的长，由锐角三角函数的定义可得出答案．【详解】解：连接OG ，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴222243AC BC+=+，∵点O是AC边的中点，∴OC=OA=OD=12AC=2，∴∠GCO=∠ODC=∠BAC，∠ADC=90°，∴AG=CG，∴OG⊥AC，在Rt△ABC中，sin∠BAC=35BCAB=，cos∠BAC=45ACAB=，∴sin∠OCG=35，cos∠OCG=45，在Rt△OCG中，CG=5 cos2OCOCG=∠，在Rt△ACD中，CD=AC•cos∠OCG=165，AD=AC•sin∠OCG=125，∴DG=CD-CG=165-52=710，∴tan∠DAG=771012245DGAD==．故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．2．B解析：B【分析】根据∠B的正弦、余弦、正切的定义列式，根据等式的性质变形，判断即可．【详解】解：在△ABC 中，∠C=90°，∵sinB=b c ， ∴c=sin b B，A 选项等式不成立； ∵cosB=a c ， ∴a=c•cosB ，B 选项等式成立；∵tanB=b a ， ∴a=tan b B，C 选项等式不成立； ∵tanB=b a ， ∴b=a•tanB ，D 选项等式不成立；故选：B ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角是三个三角函数的定义是解题的关键． 3．C解析：C【分析】将α∠转换成β∠去计算正弦值．【详解】解：如图，βα∠=∠，4AB =，3BC =，∴5AC =，则3sin sin 5BC AC αβ===．故选：C ．【点睛】本题考查正弦值的求解，解题的关键是掌握网格图中三角函数值的求解．4．D解析：D【分析】根据勾股定理求出斜边AB ，再根据锐角三角函数的意义求出结果即可；【详解】在Rt ABC 中，由勾股定理可得，AB ==∴sinBC A AB === 故答案选D ．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，准确计算是解题的关键．5．C解析：C【分析】根据勾股定理求出BC =【详解】∵在Rt ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，6AB =， ∴BC =∴sin 63BC A AB ===，故A 错误；cos sin B A ==，故B 错误；tan ===BC A AC C 正确；tan===AC B BC ，故D 错误；故选：C ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，结合勾股定理进行计算是解题的关键．6．B解析：B【分析】通过计算画出第2021秒，AOB 的位置，过C′作C′D ⊥x 轴于点D ，连接OC′，BC′，求出DC′的长，即可求解．【详解】∵360°÷60°=6，∴AOB 的位置6秒一循环，而2021=6×336+5，∴第2021秒，AOB 的位置如图所示，设点C 的对应点C′，过C′作C′D ⊥x 轴于点D ，连接OC′，BC′，则∠DOC′=30°，OD=DB=3， ∴DC′=OD∙tan ∠DOC′=3×tan30°=3×33=1， ∴C′()3,1-．故选B ．【点睛】本题主要考查图形于=与坐标，等边三角形的性质，锐角三角函数，找到图形的变化规律，画出图形，是解题的关键．7．A解析：A【分析】求出斜边AB ，再求∠A 的正弦值．【详解】解：∵90C ∠=︒，2AC =，1BC =，∴2222215AB AC BC +=+= 5sin 5BC A AB ===，故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理和锐角的正弦函数值的求法，解题关键是求出斜边长，熟知正弦的意义．8．D解析：D【分析】延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，由5tanB 3=，即53AD AB =，设AD ＝5x ，则AB ＝3x ，利用相似三角形的判定可证△CDE ∽△BDA ，由相似三角形的性质可得：12CE DE CD AB AD BD ===，进而可得CE ＝32x ，DE ＝52x ，从而可求得tan ∠CAD 的值．解：如图，延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，∵5tanB 3=，即53AD AB =， ∴设AD ＝5x ，则AB ＝3x ， ∵∠CDE ＝∠BDA ，∠CED ＝∠BAD ，∴△CDE ∽△BDA ， ∴12CE DE CD AB AD BD ===， ∴CE ＝32x ，DE ＝52x ， ∴AE ＝152x ， ∴tan ∠CAD ＝15CE AE =．故选：D ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD 放在直角三角形中．9．C解析：C【分析】由tanA=BC AC=2，设BC=2x ，可得AC=x ，Rt △ABC 中利用勾股定理算出5x ，然后利用三角函数在直角三角形中的定义，可算出sinA 的值．【详解】解：由tanA=BC AC=2，设BC=2x ，则AC=x ， ∵Rt △ABC 中，∠C=90°，∴根据勾股定理，得()222225BC AC x x x +=+=，因此，sinA=255BC AB x== 故选：C ．本题已知正切值，求同角的正弦值．着重考查了勾股定理、三角函数的定义等知识，属于基础题．10．B解析：B【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出ABC 的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：2223425AB =+=，2222420AC =+=，222125BC =+=，222AC BC AB ∴+=，ABC ∴为直角三角形，且90ACB ∠=︒，则sin BC BAC AB ∠==，故选：B ．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理以及锐角三角函数的定义，熟知在一个三角形中，如果两条边长的平方之和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形是解答此题的关键． 11．B解析：B【分析】根据互余角的三角函数间的关系：sin （90°-α）=cosα，cos （90°-α）=sinα解答即可．【详解】解：解：∵在△ABC 中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴sinA= cosB=12，故选：B ．【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系式，掌握当∠A+∠B=90°时， sinA= cosB 是解题的关键． 12．C解析：C【分析】先利用勾股定理求出AB 的长，然后再求sin ∠A 的大小．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，AC =BC=2∴3=∴sin ∠A=23BC AB = 故选：C ．【点睛】本题考查锐角三角形的三角函数和勾股定理，需要注意求三角函数时，一定要是在直角三角形当中．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．米【分析】在Rt △ABC 中已知了坡面AB 的坡比是铅直高度BC 和水平宽度AC 的比值据此即可求解【详解】解：根据题意得：BC ：AC=1：解得：AC=BC=10（米）故答案为：10米【点睛】本题考查了解直解析：【分析】在Rt △ABC 中，已知了坡面AB 的坡比是铅直高度BC 和水平宽度AC 的比值，据此即可求解．【详解】解：根据题意得：BC ：AC=1解得：故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，理解坡度坡角定义是关键． 14．②④【分析】根据对称性求出C 点坐标进而得OA 与AB 的长度再根据已知三角形的面积列出n 的方程求得n 进而用待定系数法求得k 再利用相关性质即可判断【详解】解：∵点C 关于直线y=x 的对称点C 的坐标为（1n ）解析：②④【分析】根据对称性求出C 点坐标，进而得OA 与AB 的长度，再根据已知三角形的面积列出n 的方程求得n ，进而用待定系数法求得k ，再利用相关性质即可判断．【详解】解：∵点C 关于直线y=x 的对称点C'的坐标为（1，n ）（n≠1），∴C （n ，1），∴OA=n ，AC=1，∴AB=2AC=2，∵△OAB 的面积为4，2解得，n=4，故①不正确；∴C（4，1），B（4，1），∴k=4×1=4，故②正确；解方程组4y xyx=⎧⎪⎨=⎪⎩，得：22xy=⎧⎨=⎩(负值已舍)，∴直线y=x反比例函数(0)ky xx=>的图象的交点为（2，2），观察图象，不等式kxx<的解集是02x<<，故③不正确；∵B（4，1），∴OA=4，AB=2，∴tan ABO2OAAB∠==，故④正确；故答案为：②④．【点睛】本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，对称性质，正切函数等，关键是根据对称求得C点坐标及由三角形的面积列出方程．15．2【分析】由题意得到则结合角的正切值即可得到答案【详解】解：∵是边上的中线∴∴∵∴∵在中∴；故答案为：2【点睛】本题考查了求角的正切值三角形中线的性质解题的关键是掌握三角形中线的性质正确得到解析：2【分析】由题意，得到12AD AC=，则2ACAD=，结合角的正切值tanABADBAD∠=，即可得到答案．【详解】解：∵BD是AC边上的中线，∴12AD AC=，AD∵AB AC =， ∴2AB AD=， ∵在Rt ABD 中，90A ∠=︒， ∴tan 2AB ADB AD ∠==；故答案为：2．【点睛】本题考查了求角的正切值，三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质，正确得到2AB AD=． 16．【分析】首先利用等角的余角得到∠A=∠DCB 然后根据余弦的定义求出cosA 即可【详解】解：在Rt △ABC 中∵CD ⊥AB ∴∠DCB+∠B=90°∵∠ACB ＝90°∴∠A+∠B=90°∴∠A=∠DCB 而解析：23【分析】首先利用等角的余角得到∠A=∠DCB ，然后根据余弦的定义求出cosA 即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，∵CD ⊥AB ，∴∠DCB+∠B=90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠DCB ，而cosA=AC AB ＝69=23， ∴cos ∠DCB=23．故答案为：23．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的邻边a 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ．17．【分析】根据题意过点C 作CD ⊥AB 根据∠B ＝45°得CD ＝BD 根据勾股定理和BC ＝得出BD 再根据∠A ＝30°得出AD 进而分析计算得出AB 即可【详解】解；过点C 作CD ⊥AB 交AB 于D ∵∠B ＝45°∴C 解析：33+【分析】根据题意过点C 作CD ⊥AB ，根据∠B ＝45°，得CD ＝BD ，根据勾股定理和BC ＝6得出BD ，再根据∠A ＝30°，得出AD ，进而分析计算得出AB 即可．【详解】解；过点C 作CD ⊥AB ，交AB 于D ．∵∠B ＝45°，∴CD ＝BD ，∵BC 6，∴BD 3∵∠A ＝30°， ∴tan30°＝CD AD， ∴AD ＝30CD tan ︒33＝3， ∴AB ＝AD+BD ＝33．故答案为：33．【点睛】本题考查解直角三角形，熟练应用三角函数的定义是解题的关键．18．【分析】过A 作AE ⊥BC 于点E 则由题意可得AE 的值进一步可求得△ABO 的面积【详解】解：如图过A 作AE ⊥BC 于点E ∵AB=4∠ABC=45°∴AE=AB=∴故答案为【点睛】本题考查菱形性质和解直角三解析：2【分析】过A 作AE ⊥BC 于点E ，则由题意可得AE 的值，进一步可求得△ABO 的面积．【详解】解：如图，过A 作AE ⊥BC 于点E ，∵AB=4，∠ABC=45°，∴AE=AB sin 45︒=24222⨯= ∴1111·422222224ABO ABC S S BC AE ==⨯=⨯⨯= 故答案为22 ．【点睛】本题考查菱形性质和解直角三角形的综合应用，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 19．【分析】根据菱形的性质结合AB=BD 得到△ABD 是等边三角形再利用锐角三角函数关系得出BE 的长即可得出菱形的面积【详解】∵在菱形ABCD 中AB=BD ∴AB=AD=BD=4(cm)∴△ABD 是等边三角解析：283cm【分析】根据菱形的性质结合AB=BD ，得到△ABD 是等边三角形，再利用锐角三角函数关系得出BE 的长，即可得出菱形的面积．．【详解】∵在菱形ABCD 中，AB=BD ，∴AB=AD=BD=4(cm)，∴△ABD 是等边三角形，∴∠A=60°，过点B 作BE ⊥AD 于E ，∴BE=AB•sin60°=433=， ∴菱形ABCD 的面积S=AD×BE 42383=⨯=(2cm )，故答案为：283cm【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，得出BE 的长是解题关键．20．2【分析】特殊值：sin30°=tan60°=tan30°=本题是特殊角将特殊角的三角函数值代入求解【详解】解：2sin30°+tan60°×tan30°=2×+×=1+1=2【点睛】本题考查了特殊解析：2【分析】特殊值：sin 30° =12，ta n 60°ta n 30°本题是特殊角，将特殊角的三角函数值代入求解．【详解】解：2sin30°+ta n60°×ta n30°=2×123=1+1=2【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．三、解答题21．（1）40米；（2）楼AB 的高度为80米．【分析】（1）由CF 的坡度1:2i =，,DE CE ⊥可得1,2DE CE = 设,DE x = 则2,CE x = 由勾股定理可得,CD == = 解方程可得答案；（2）如图，过D 作DH AB ⊥于,H 先证明四边形DEBH 是矩形，可得2040,BH DE DH BE CE BC BC ====+=+，设,AB m = 证明,BC AB m == 可得20,40,AH m DH m =-=+ 由26.7,ADH ∠=︒ 建立方程，再解方程检验即可得到答案．【详解】解：（1） CF 的坡度1:2i =，,DE CE ⊥1,2DE CE ∴= 设,DE x = 则2,CE x =,CD ∴===20,x ∴=240.CE x ∴==（2）如图，过D 作DH AB ⊥于,H,,DE BE AB BE ⊥⊥∴ 四边形DEBH 是矩形，2040,BH DE DH BE CE BC BC ∴====+=+，设,AB m =45,ACB AB BE ∠=︒⊥，45,ACB BAC ∴∠=∠=︒,BC AB m ∴==20,40,AH m DH m ∴=-=+由26.7,ADH ∠=︒tan 26.7,AH DH ∴︒=200.5,40m m -∴=+ 解得：80.m =经检验：80m =符合题意，所以：建筑物AB 的高为：80米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，坡度的含义，掌握利用解直角三角形测量建筑物的高是解题的关键．22．（1）1717；（2）3417【分析】（1）作EM AC ⊥于M ，根据sin EM EAM AE∠=求出EM 、AE 即可解决问题．（2）先证明GDC EDA ∆≅∆，得GCD EAD ∠=∠，推出AH GC ⊥，再根据1122AGC S AG DC GC AH ∆=⋅⋅=⋅⋅，即可解决问题．【详解】解：（1）作EM AC ⊥于M ．四边形ABCD 是正方形，90ADC ∴∠=︒，5AD DC ，45DCA ∠=︒，∴在RT ADE ∆中，90ADE ∠=︒，5AD =，3DE =， 2234AE AD DE∴=+=，在RT EMC ∆中，90EMC ∠=︒，45ECM ∠=︒，2EC =，2EM CM ∴==， ∴在RT AEM ∆中，217sin 34EM EAC AE ∠===．（2）在GDC ∆和EDA ∆中，DG DE GDC EDA DC DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，GDC EDA ∴∆≅∆， GCD EAD ∴∠=∠，34GC AE =90DAE AED ∠+∠=︒，DEA CEH ∠=∠，90DCG HEC ∴∠+∠=︒，90EHC ∴∠=︒，AH GC ∴⊥，1122AGC S AG DC GC AH ∆=⋅⋅=⋅⋅， ∴11853422AH ⨯⨯=， 2034AH ∴=【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形面积等知识，添加常用辅助线是解决问题的关键，学会用面积法求线段，属于中考常考题型．23．（1）260，（2）5；【分析】（1）如图，过点D 作DH ⊥AC 于点H ．设DH=x 米，通过解直角三角形列方程，得到DH 的长度．（2）求出BC 长，再求时间即可．【详解】解：过点D 作DH ⊥AC 于点H ．由题意可知，∠HBD＝60°，∠DAC＝30°，AB＝300，设DH=x米，在直角△BHD中，tan60°＝DH BH，BH= 3x，tan30°＝DH AH，AH=3x，300=3x-3x，解得，x=1503，∴DH＝1503≈150×1.73≈260．答：求吴公塔D到紫水河北岸AC的距离约为260米．（2）由（1）可知，BH=150米，小薇继续向东走到轮船码头C处，测得对岸的吴公塔D位于西南方向，可知DH=HC=260米，BC=150+260=410（米），410米=0.41千米，小薇从B处到轮船码头的时间为0.410.0825（小时），0.082×60=4.92≈5（分钟），小薇从B处到轮船码头的时间为5分钟．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题关键是构造直角三角形，熟练运用解直角三角形的知识进行计算．24．1米【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据在C处测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，可得∠CAD=∠MCA=65°，∠CBD=∠NCB=45°，利用角的三角函数求解即可．【详解】解：如图，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，由题意得65MCA A ∠=∠=︒，45NCB B ∠=∠=︒，150CD =（米），在Rt ACD ∆中，015070.1tan 65 2.14CD AD ==≈（米），在Rt BCD ∆中，45CBD ∠=︒， ∴150BD CD ==（米）∴70.1150220.1AB AD BD =+=+=（米）答：桥AB 的长度约为220.1米．【点睛】本题考查了三角函数的运算，构造直角三角形，利用解直角三角形求边是解题的关键． 25．（1）轮船M 到海岸线l 的距离为200米；（2）该轮船能行至码头海岸AB 靠岸【分析】（1）过点M 作MD ⊥AC 交AC 的延长线于D ，设DM=x ，解直角三角形即可得到结论；（2）作∠DMF=22°，交l 于点F ．解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）过点M 作MD ⊥AC 交AC 的延长线于D ，设DM=x ，∵在Rt △CDM 中，CD=DM•tan ∠CMD=x•tan37°，又∵在Rt △ADM 中，∠MAC=45°，∴AD=DM ，∵AD=AC+CD=50+x•tan37°，∴50+x•tan37°=x ，∴50502001tan 3710.75x ︒=≈=--，答：轮船M 到海岸线l 的距离约为200米；（2）作∠DMF=22°，交l 于点F ，在Rt △DMF 中，DF=DM•tan ∠FMD=DM•tan22°≈200×0.40=80（米），∴AF=AC+CD+DF=DM+DF≈200+80=280＜300，所以该轮船能行至码头AB 靠岸．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，读懂题目信息并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键．26．（1）3；（2）47【分析】（1）将这些特殊角的三角函数值代入求解即可；（2）将比例式转换为等积式后得到a 、b 之间的关系，然后求得两个的比值即可．【详解】（1）23060245sin cos ︒+-︒1222=⨯+ 131=+-3=；（2）设32a x b x ==，，则26242347a b x x a b x x --==++. 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，比例的基本性质以及实数的运算，解题的关键是熟记这些特殊角的三角函数值．。

【完整版】北师大版九年级下册数学第一章直角三角形的边角关系含答案

北师大版九年级下册数学第一章直角三角形的边角关系含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，关于∠α与∠β的同一种三角函数值，有三个结论：①tanα＞tanβ，②sinα＞sinβ，③cosα＞cosβ．正确的结论为（）A.①②B.②③C.①③D.①②③2、如果∠A为锐角，sinA=，那么（）A.0°＜∠A＜30°B.30°＜∠A＜45°C.45°＜∠A＜60° D.60°＜∠A＜90°3、如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为( )A.4 米B.6 米C.12 米D.24米4、如图，在▱ABCD中，，，分别切边AB，AD于点E，F，且圆心O恰好落在DE上现将沿AB方向滚动到与边BC相切点O在的内部，则圆心O移动的路径长为A.4B.6C.D.5、如图，在△ABC中，∠C=90o， AC=3，BC=4，则sinB的值是（）A. B. C. D.6、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.英国佩里加（H.Perigal，1801﹣1898）用“水车翼轮法”（图1）证明了勾股定理.该证法是用线段QX，ST，将正方形BIJC分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（图2）.若AD＝，tan∠AON＝，则正方形MNUV的周长为（）A. B.18 C.16 D.7、如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标＝（x＞0）的图象上，顶点B在原点，斜边AB垂直x轴，顶点A在函数y1＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝30°，则＝（）函数y2A.﹣B.﹣C.﹣D.﹣8、如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（）A. B. C.1600sinα(m 2) D.1600cosα(m 2)9、如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（）A. B. C. D.10、如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（）A. B. C. D.111、小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A. B. C. D.12、sin45°=（）A. B. C.1 D.13、如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（）A.100 mB.50 mC.50 mD. m14、如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A. B. C. D.15、如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是3米.若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离BC为（）A. 米B. 米C. 米D. 米二、填空题(共10题，共计30分)16、在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=4，BD=10，sin∠BDC=，则▱ABCD的面积是________．17、如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB= 米，背水坡CD的坡度i=1：（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为________米．18、在Rt△ABC中，,BC=2,，则AB=________19、已知⊙O半径为，AB是⊙O的一条弦，且AB=3，则弦AB所对的圆周角度数是________.20、小明在学习“锐角三角函数”中发现，用折纸的方法可求出tan22.5°，方法如下：将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC 上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以知道tan22.5°=________21、在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝________.22、在Rt△ABC中，∠C=90°，2a=c，则∠A=________23、如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在格点上，则cosA=________24、将矩形纸片ABCD按如图M2-5方式折叠，M，N分别为AB，CD的中点。

九年级数学下册第一章检测题及答案解析

第一章直角三角形的边角关系检测题【本检测题满分:120分；时间:120分钟】一、选择题（每小题3分；共30分）1.计算：A.B.232+ C.23 D.231+2.在△ABC 中；若三边BC 、CA 、AB 满足 BC ∶CA ∶AB =5∶12∶13；则cos B （）A ．125 B ．512 C ．135 D ．13123.（2015·浙江丽水中考）如图；点A 为∠α边上的任意一点；作AC ⊥BC 于点C ；CD ⊥AB 于点D ；下列用线段比表示cos α的值；错误的是（） A . B.C .D.第3题图第4题图第5题图4.如图；在△ABC 中；∠BAC =90゜；AB =AC ；点D 为边AC 的中点；DE ⊥BC 于点E ；连接BD ；则tan ∠DBC 的值为（）A. B.-1 C.2- D.5.如图；在网格中；小正方形的边长均为1；点A ；B ；C 都在格点上；则∠ABC 的正切值是( ) A.2B.C.D.6.已知在Rt ABC △中；390sin 5C A ∠==°，；则tan B 的值为（） A.43 B.45C.54D.347.如图；一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了10 m ；此时小球距离地面的高度为( )A.5 mB.25 mC.45 mD.310 m8.如图；在菱形中；；3cos 5A =；；则tan ∠的值是（）A ．12 B ．2 C ．52 D ．559.直角三角形两直角边和为7；面积为6；则斜边长为（） A. 5 B. C. 7 D.10.（2015·哈尔滨中考）如图；某飞机在空中A 处探测到它的正下方地平面上目标C ；此第7题图时飞行高度AC＝1 200 m；从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝30°；则飞机A与指挥台B的距离为（）A.1 200 mB.1 200mC. 1 200mD.2 400 m第10题图二、填空题（每小题3分；共24分）11.如图；有两棵树；一棵高12米；另一棵高6米；两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢；问小鸟至少飞行_________米．12.（2015·陕西中考）如图；有一滑梯AB；其水平宽度AC为5.3米；铅直高度BC为2.8米；则∠A的度数约为________.（用科学计算器计算；结果精确到0.1°）第12题图13.如图；小兰想测量南塔的高度.她在处仰望塔顶；测得仰角为30°；再往塔的方向前进50 m至处；测得仰角为60°；那么塔高约为_________ m.（小兰身高忽略不计；7323 ）.114.等腰三角形的腰长为2；腰上的高为1；则它的底角等于________ ．15.如图；已知Rt△中；斜边上的高；；则________.16.如图；△ABC的顶点都在方格纸的格点上；则_ ．17如图①是小志同学书桌上的一个电子相框；将其侧面抽象为如图②所示的几何图形；已知BC=BD＝15 cm；∠CBD=40°；则点B到CD的距离为___________cm(参考数据：sin 20°≈0.342；cos 20°≈0.940；sin 40°≈0.643；cos 40°≈0.766；结果精确到0.1 cm；可用科学计算器).①②第17题图18.如图；在四边形中；；；；；则__________.三、解答题（共66分） 19.（8分）计算下列各题： (1)()42460sin 45cos 22+- ；（2）2330tan 3)2(0-+--.20.（7分）在数学活动课上；九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度；设计的方案及测量数据如下：(1)在大树前的平地上选择一点A ；测得由点看大树顶端C 的仰角为35°； (2)在点A 和大树之间选择一点B （A ；B ；D 在同一直线上）；测得由点B 看大树顶端C 的仰角恰好为45°；(3)量出A ；B 两点间的距离为4.5 .请你根据以上数据求出大树CD 的高度.(精确到0.1 m)21.（7分）每年的5月15日是“世界助残日”.某商场门前的台阶共高出地面1.2米；为帮助残疾人便于轮椅行走；准备拆除台阶换成斜坡；又考虑安全；轮椅行走斜坡的坡角不得超过；已知此商场门前的人行道距商场门的水平距离为8米(斜坡不能修在人行道上)；问此商场能否把台阶换成斜坡? （参考数据：)22.（8分）如图；为了测量某建筑物CD 的高度；先在地面上用测角仪自A 处测得建筑物顶部的仰角是30°；然后在水平地面上向建筑物前进了100 m ；此时自B 处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5 m ；请你计算出该建筑物的高度．（取3≈1.732；结果精确到1 m ）23.（8分）已知：如图；在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为 45°；沿着坡度为30°的斜坡前进400米到D 处（即 ∠；米）；测得A 的仰角为︒60；求山的高度AB ．24.（8分）一段路基的横断面是直角梯形；如左下图所示；已知原来坡面的坡角α的正弦值为0.6；现不改变土石方量；全部充分利用原有土石方进行坡面改造；使坡度变小；达到如右下图所示的技术要求．试求出改造后坡面的坡度是多少？25.（10分）如图；已知在Rt △ABC 中；∠ACB ＝90°；CD 是斜边AB 上的中线；过点A作AE ⊥CD ；AE 分别与CD ；CB 相交于点H ；E ；AH ＝2CH . （1）求sin B 的值；（2）如果CD ＝5；求BE 的值.26.（10分）如图；在南北方向的海岸线MN 上；有A ；B 两艘巡逻船；现均收到故障船C 的求救信号．已知A ；B 两船相距100（3+1）海里；船C 在船A 的北偏东60°方向上；船C 在船B 的东南方向上；MN 上有一观测点D ；测得船C 正好在观测点D 的南偏东75°方向上．（1）分别求出A 与C ；A 与D 间的距离AC 和AD （如果运算结果有根号；请保留根号）. （2）已知距观测点D 处100海里范围内有暗礁；若巡逻船A 沿直线AC 去营救船C ；在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据：2≈1.41；3≈1.73）第一章直角三角形的边角关系检测题参考答案一、选择题 1.C 解析：2.C 解析：设；则；；则；所以△是直角三角形；且∠．所以在Rt △ABC 中；135135==x x AB BC ． 3.Ｃ解析：在Rt △BCD 中；cos BDBCα=；故A 项正确；在Rt △ABC 中；cos BCABα=；故B 项正确； 90BAC α∠+∠=︒；90DAC DCA ∠+∠=︒；∴DCA α∠=∠；∴cos cos CD DCA ACα=∠=；故D 项正确；而sin sin AD DCA ACα=∠=；故C 项错误.4.A 解析：根据题意DE ⊥BC ；∠C =45°；得DE =CE ；设DE =CE =x ；则CD =2x ；AC =AB =22x ；BC =4x ；所以BE =BC -CE =3x .根据锐角三角函数；在Rt △DBE 中；tan ∠DBE =BE DE =3x x =31；即tan ∠DBC =. 5.D 解析：如图所示；连接AC ；则AC；2；AB 2 ；8； BC ；10.∵；∴ △ABC 是直角三角形；且∠BAC 是直角；第5题答图∴ tan ∠ABC . 6.A 解析：如图；设则由勾股定理知；所以tan B .7.B 解析：设小球距离地面的高度为则小球水平移动的距离为所以解得8.B 解析：设又因为在菱形中；所以所以所以由勾股定理知所以29.A 解析：设直角三角形的两直角边长分别为则所以斜边长10. D 解析：根据题意；得∠B ==30°；在Rt △ABC 中；∠C =90°；∴ AB =2AC .ABC第6题答图∵AC=1 200 m；∴AB=2 400 m.故选D.二、填空题11.10 解析：如图；过点A作AC⊥BC；则AC= 8米；BC=12-6=6（米）.在Rt△ACB中；根据勾股定理；得AB =22BC AC =2268+=100=10（米）.12. 27.8°解析：根据正切的定义可知2.8tan0.528 35.3BCAAC==≈；然后使用计算器求出A∠的度数约为27.8°.13.43.3 解析：因为；所以所以所以).14.15°或75°解析：如图；.在图①中；；所以∠∠；在图②中；；所以∠∠.15.解析：在Rt△中；∵；∴sin B=；．在Rt△中；∵；sin B=；∴．在Rt△中；∵；∴．16.55解析：设每个小方格的边长为1；利用网格；从点向所在直线作垂线；利用勾股定理得；所以sin A =55.第14题答图BCD②AAB CD①17. 14.1 解析：如图；过点B 作BE ⊥CD 于点E ；∵ BC =BD ；根据等腰三角形的“三线合一”性质；得∠CBE =12∠CBD =20°. 在Rt △BCE 中；cos ∠CBE =BE BC；∴ BE =BC ·cos ∠CBE ≈15×0.940=14.1（cm ）.第17题答图18. 解析：如图；延长、交于点；∵ ∠；∴ ．∵ ；∴ ；∴ ．∵；∴．三、解答题19.解：（1）()46223222242460sin 45cos 22+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=+-.226262262322=+-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（2）2330tan 3)2(0-+--3231-+-=.323-=20.解：∵ ∠90°； ∠45°；∴∵ ；∴则 m ；∵ ∠35°； ∴ tan ∠tan 35°5.4+x x.整理；得35tan 135tan 5.4-⨯=x ≈10.5. 故大树的高约为10.521.解：因为所以斜坡的坡角小于；故此商场能把台阶换成斜坡. 22.解：设；则由题意可知；m ．在Rt △AEC 中；tan ∠CAE ＝AE CE；即tan 30°＝100+x x ； ∴33100=+x x ；即3x 3(x ＋100)；解得x 50＋503.经检验；50＋503是原方程的解．∴故该建筑物的高度约为 23.解:如图；过点D 分别作⊥于点；⊥于点；在Rt △中； ∠；米；所以（米）；（米）.在Rt △ADE 中；∠ADE =60°；设米；则（米）.在矩形DEBF 中；BE =DF =200 米；在Rt △ACB 中； ∠；∴；即x x +=+32002003； ∴； ∴米．24.解：由原题左图可知：BE ⊥DC ； m ；.在Rt △BEC 中；)(506.030sin sin m BE BC BC BE ===∴=αα，（m ）. 由勾股定理得；m.在不改变土石方量；全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造；使坡度变小；则梯形的面积＝梯形的面积．1202120204030213020EC ⋅⨯+⨯=⨯⨯+⨯∴；解得＝80（m ）.∴ 改造后坡面的坡度4:180:20:11===EC E B i .25.分析：(1)根据已知条件得出∠B ＝∠DCB ＝∠CAE ；可以在Rt △ACH 中求出sin B 的值.（2）通过解Rt △ABC 求出AC 与BC 的长；解Rt △ACH 求出CE 的长；利用BE =BC -CE 得到答案. 解：（1）∵ CD 是斜边AB 上的中线； ∴ CD =BD ；∴ ∠B ＝∠DCB. ∵ ∠ACB ＝90°；AE ⊥CD ；∴ ∠DCB =∠CAE ；∴ ∠B =∠DCB =∠CAE . ∵ AH ＝2CH ； ∴ sin B =sin ∠CAE =CHAC=22CHAH CH+＝55. （2）∵ CD =5；∴ AB =25. ∴ BC =25·cos B =4；AC =25·sin B =2； ∴ CE =AC ·tan ∠CAE =1； ∴ BE =BC -CE =3.点拨：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；即直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形. 26.分析：（1）过点C 作CE ⊥AB 于点E ；构造直角三角形.设AE =a 海里；通过解直角三角形；用含a 的代数式表示出CE ；AC.在Rt △BCE 中；根据BE =CE ；列出方程；求出a ；进而求出A C.(2)判断巡逻船A 在沿直线AC 去营救船C 的途中有无触礁危险；只要求出观测点D 到AC 的距离；然后与100海里比较即可.因此；过点D 作DF ⊥AC ；构造出Rt △ADF ；求出DF ；将DF 与100海里进行比较. 解：（1）如图；过点C 作CE ⊥AB 于点E ；设AE =a 海里；则BE =AB -AE =100(3+1)-a （海里）. 在Rt △ACE 中；∠AEC =90°；∠EAC =60°； ∴ AC =cos 60AE ︒=12a=2a （海里）；CE =AE ·tan 60°=3a （海里）. 在Rt △BCE 中；BE =CE ；∴ 100(3+1)-a = 3a ；∴ a =100（海里）. ∴ AC =2a =200（海里）.在△ACD 和△ABC 中；∠ACB =180°-45°-60°=75°=∠ADC ；∠CAD =∠BAC ；∴ △ACD ∽△ABC ；∴ AD AC =AC AB ；即200AD =200100(31)+.∴ AD =200(3-1)(海里).答：A 与C 间的距离为200海里；A 与D 间的距离为200(3-1)海里. （2）如图；过点D 作DF ⊥AC 于点F . 在Rt △ADF 中；∠DAF =60°；∴ DF =AD ·sin 60°=200(3-1)×32=100(3-3)≈127>100. ∴ 船A 沿直线AC 航行；前往船C 处途中无触礁危险. 点拨：（1）解斜三角形的问题时；一般通过作高构造直角三角形求解；（2）已知两个直角三角形边长的和或边长的差；常通过列方程的方法解直角三角形.第一章直角三角形的边角关系检测题参考答案一、选择题 1.C 解析：2.C 解析：设；则；；则；所以△是直角三角形；且∠．所以在Rt △ABC 中；135135==x x AB BC ． 3.Ｃ解析：在Rt △BCD 中；cos BDBCα=；故A 项正确；在Rt △ABC 中；cos BCABα=；故B 项正确；90BAC α∠+∠=︒；90DAC DCA ∠+∠=︒；∴DCA α∠=∠；∴cos cos CD DCA ACα=∠=；故D 项正确；而sin sin AD DCA ACα=∠=；故C 项错误.4.A 解析：根据题意DE ⊥BC ；∠C =45°；得DE =CE ；设DE =CE =x ；则CD =2x ；AC =AB =22x ；BC =4x ；所以BE =BC -CE =3x .根据锐角三角函数；在Rt △DBE 中；tan ∠DBE =BE DE =3x x =31；即tan ∠DBC =. 5.D 解析：如图所示；连接AC ；则AC ；2；AB 2 ；8； BC ；10. ∵ ；∴ △ABC 是直角三角形；且∠BAC 是直角；第5题答图∴ tan ∠ABC.6.A 解析：如图；设则由勾股定理知；所以tan B.7.B 解析：设小球距离地面的高度为则小球水平移动的距离为所以解得 8.B 解析：设又因为在菱形中；所以所以所以由勾股定理知所以 29.A 解析：设直角三角形的两直角边长分别为则所以斜边长10. D 解析：根据题意；得∠B ==30°；在Rt △ABC 中；∠C =90°；∴ AB =2AC . ∵ AC =1 200 m ；∴ AB =2 400 m.故选D. 二、填空题11.10 解析：如图；过点A 作AC ⊥BC ；则AC = 8米；BC =12-6=6（米）.在Rt △ACB 中；根据勾股定理；得AB =22BC AC =2268+=100=10（米）.12. 27.8° 解析：根据正切的定义可知 2.8tan 0.528 35.3BC A AC ==≈；然后使用计算器求出A ∠的度数约为27.8°. 13.43.3 解析：因为；所以所以所以).14.15°或75° 解析：如图；.在图①中；；所以∠∠；在图②中；；所以∠∠.15. 解析：在Rt △中；∵；∴ sin B =；．在Rt △中；∵；sin B =；∴．ABC第6题答图第14题答图 B CD ②A ABCD ①在Rt △中；∵ ；∴ ．16.55解析：设每个小方格的边长为1；利用网格；从点向所在直线作垂线；利用勾股定理得；所以sin A =55. 17. 14.1 解析：如图；过点B 作BE ⊥CD 于点E ；∵ BC =BD ；根据等腰三角形的“三线合一”性质；得∠CBE =12∠CBD =20°. 在Rt △BCE 中；cos ∠CBE =BE BC；∴ BE =BC ·cos ∠CBE ≈15×0.940=14.1（cm ）.第17题答图18. 解析：如图；延长、交于点；∵ ∠；∴ ． ∵ ；∴ ； ∴ ．∵； ∴．三、解答题19.解：（1）()46223222242460sin 45cos 22+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=+-.226262262322=+-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（2）2330tan 3)2(0-+--3231-+-=.323-=20.解：∵ ∠90°； ∠45°；∴ ∵ ；∴则 m ； ∵ ∠35°； ∴ tan ∠tan 35°5.4+x x.整理；得35tan 135tan 5.4-⨯=x ≈10.5. 故大树的高约为10.521.解：因为所以斜坡的坡角小于；故此商场能把台阶换成斜坡. 22.解：设；则由题意可知；m ．在Rt △AEC 中；tan ∠CAE ＝AE CE；即tan 30°＝100+x x ；∴33100=+x x ；即3x 3(x ＋100)；解得x 50＋503.经检验；50＋503是原方程的解．∴故该建筑物的高度约为 23.解:如图；过点D 分别作⊥于点；⊥于点；在Rt △中； ∠；米；所以（米）；（米）.在Rt △ADE 中；∠ADE =60°；设米；则（米）. 在矩形DEBF 中；BE =DF =200 米；在Rt △ACB 中； ∠；∴；即x x +=+32002003； ∴； ∴米．24.解：由原题左图可知：BE ⊥DC ； m ；.在Rt △BEC 中；)(506.030sin sin m BE BC BC BE ===∴=αα，（m ）. 由勾股定理得；m.在不改变土石方量；全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造；使坡度变小；则梯形的面积＝梯形的面积．1202120204030213020EC ⋅⨯+⨯=⨯⨯+⨯∴；解得＝80（m ）.∴ 改造后坡面的坡度4:180:20:11===EC E B i .25.分析：(1)根据已知条件得出∠B ＝∠DCB ＝∠CAE ；可以在Rt △ACH 中求出sin B 的值.（2）通过解Rt △ABC 求出AC 与BC 的长；解Rt △ACH 求出CE 的长；利用BE =BC -CE 得到答案. 解：（1）∵ CD 是斜边AB 上的中线； ∴ CD =BD ；∴ ∠B ＝∠DCB. ∵ ∠ACB ＝90°；AE ⊥CD ；∴ ∠DCB =∠CAE ；∴ ∠B =∠DCB =∠CAE .∵ AH ＝2CH ；∴ sin B =sin ∠CAE =CHAC=22CHAH CH +＝55.（2）∵ CD =5；∴ AB =25. ∴ BC =25·cos B =4；AC =25·sin B =2； ∴ CE =AC ·tan ∠CAE =1； ∴ BE =BC -CE =3.点拨：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；即直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形. 26.分析：（1）过点C 作CE ⊥AB 于点E ；构造直角三角形.设AE =a 海里；通过解直角三角形；用含a 的代数式表示出CE ；AC.在Rt △BCE 中；根据BE =CE ；列出方程；求出a ；进而求出A C.(2)判断巡逻船A 在沿直线AC 去营救船C 的途中有无触礁危险；只要求出观测点D 到AC 的距离；然后与100海里比较即可.因此；过点D 作DF ⊥AC ；构造出Rt △ADF ；求出DF ；将DF 与100海里进行比较. 解：（1）如图；过点C 作CE ⊥AB 于点E ；设AE =a 海里；则BE =AB -AE =100(3+1)-a （海里）. 在Rt △ACE 中；∠AEC =90°；∠EAC =60°； ∴ AC =cos 60AE ︒=12a=2a （海里）；CE =AE ·tan 60°=3a （海里）. 在Rt △BCE 中；BE =CE ；∴ 100(3+1)-a = 3a ；∴ a =100（海里）. ∴ AC =2a =200（海里）.在△ACD 和△ABC 中；∠ACB =180°-45°-60°=75°=∠ADC ；∠CAD =∠BAC ；∴ △ACD ∽△ABC ；∴ AD AC =AC AB ；即200AD =200100(31)+.∴ AD =200(3-1)(海里).答：A 与C 间的距离为200海里；A 与D 间的距离为200(3-1)海里. （2）如图；过点D 作DF ⊥AC 于点F . 在Rt △ADF 中；∠DAF =60°；∴ DF =AD ·sin 60°=200(3-1)×32=100(3-3)≈127>100. ∴ 船A 沿直线AC 航行；前往船C 处途中无触礁危险. 点拨：（1）解斜三角形的问题时；一般通过作高构造直角三角形求解；（2）已知两个直角三角形边长的和或边长的差；常通过列方程的方法解直角三角形.。

北师大新版数学九年级下第1章直角三角形的边角关系单元练习卷含解析

第1章直角三角形的边角关系一．选择题（共15小题）1．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，sin A＝，则BC等于（）A．B．4 C．36 D．2．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin A的值为（）A．B．C．D．3．已知0＜α＜45°，关于角α的三角函数的命题有：①0＜sinα＜，②cosα＜sinα，③sin2α＝2sinα，④0＜tanα＜1，其中是真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在△ABC中，若∠C＝Rt∠，则（）A．B．C．D．5．Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝，c＝4，则sin A的值是（）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是（）A．m sin35°B．m cos35°C．D．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则tan B的值为（）A．B．C．D．8．对于任意锐角α，下列结论正确的是（）A．sinα＜tanαB．sinα≤tanαC．sinα＞tanαD．sinα≥tanα9．在△ABC中，tan C＝，cos A＝，则∠B＝（）A．60°B．90°C．120°D．135°10．已知：α为锐角，且＝1，则tanα的值等于（）A．﹣1 B．2 C．3 D．2.511．在△ABC中，AC≠BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足为D，则下列比值中不等于sin A的是（）A．B．C．D．12．如图在△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE∥BC交AC于点E，若BD＝6，AE＝5，则sin∠EDC的值为（）A．B．C．D．13．在Rt△ABC中，若∠B＝75°，∠C＝90°，BC＝1，则Rt△ABC的面积是（）A．B．C．D．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠A＝，AB＝8cm，则△ABC的面积是（）A．6cm2B．24cm2C．2cm2D．6cm215．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据长春的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC的高为a…，已知冬至叫长春的正午光人射角∠ABC约为23°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（距BC的长）约为（）A．m B．a sin23°m C．m D．a tan23°m二．填空题（共5小题）16．比较大小：cos36°cos37°．17．已知α为锐角，sin（α﹣15°）＝，则α＝度．18．若坡度i＝，则坡角为α＝19．计算；sin30°•tan30°+cos60°•tan60°＝．20．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若tan A＝3，AB＝，则BC＝三．解答题（共7小题）21．如图，一座堤坝的横断面为梯形，AD∥BC，AB坡坡角为45°，DC坡坡度为1：2，其他数据如图所示，求BC的长．（结果保留根号）22．如图，在△ABC中，∠A＝30°，cos B＝，AC＝6，求△ABC的面积．23．如图所示，一艘轮船在近海处由西向东航行，点C处有一灯塔，灯塔附近30海里的圆形区域内有暗礁，轮船在A处测得灯塔在北偏东60°方向上，轮船又由A向东航行40海里到B处，测得灯塔在北偏东30°方向上．（1）求轮船在B处时到灯塔C处的距离是多少？（2）若轮船继续向东航行，有无触礁危险？24．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）25．如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了40m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（结果精确到1m）（参考数据：≈1.732，≈1.414）26．如图，一艘渔船以30海里/h的速度由西向东追赶鱼群．在A处测得小岛C在船的北偏东60°方向；40min后渔船行至B处，此时测得小岛C在船的北偏东30°方向．已知以小岛C为中心，周围10海里内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？27．直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和60°，求飞机的高度PO．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，sin A＝，则BC等于（）A．B．4 C．36 D．【分析】根据正弦的定义列式计算即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴＝，解得，BC＝4，故选：B．2．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin A的值为（）A．B．C．D．【分析】直接连接DC，得出CD⊥AB，再结合勾股定理以及锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：连接DC，由网格可得：CD⊥AB，则DC＝，AC＝，故sin A＝＝＝．故选：B．3．已知0＜α＜45°，关于角α的三角函数的命题有：①0＜sinα＜，②cosα＜sinα，③sin2α＝2sinα，④0＜tanα＜1，其中是真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据锐角函数的正弦是增函数，余弦是减函数，正切是增函数，可得答案．【解答】解：由0＜α＜45°，得0＜sinα＜，故①正确；cosα＞sinα，故②错误；sin2α＝2sinαcosα＜2sinα，故③错误；0＜tanα＜1，故④正确；故选：B．4．如图，在△ABC中，若∠C＝Rt∠，则（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：在△ABC中，若∠C＝Rt∠，sin A＝，cos B＝，故选：A．5．Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝，c＝4，则sin A的值是（）A．B．C．D．【分析】由三角函数的定义，在直角三角形中，正弦等于对边比斜边易得答案．【解答】解：如图，AC＝b＝，AB＝c＝4，所以BC＝a＝＝1，由三角函数的定义可得sin A＝＝，则sin A＝，故选：A．6．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是（）A．m sin35°B．m cos35°C．D．【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．【解答】解：sin∠A＝，∵AB＝m，∠A＝35°，∴BC＝m sin35°，故选：A．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则tan B的值为（）A．B．C．D．【分析】因为∠A与∠B互余，则tan A•tan B＝1，代入计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴tan A•tan B＝1，∵tan B＝＝，故选：D．8．对于任意锐角α，下列结论正确的是（）A．sinα＜tanαB．sinα≤tanαC．sinα＞tanαD．sinα≥tanα【分析】直接利用锐角三角函数关系分析得出答案．【解答】解：∵sinα＝，tanα＝，且斜边＞α的邻边，∴sinα＜tanα．故选：A．9．在△ABC中，tan C＝，cos A＝，则∠B＝（）A．60°B．90°C．120°D．135°【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠C＝30°，∠A＝30°，进而得出答案．【解答】解：∵tan C＝，cos A＝，∴∠C＝30°，∠A＝30°，∴∠B＝120°．故选：C．10．已知：α为锐角，且＝1，则tanα的值等于（）A．﹣1 B．2 C．3 D．2.5【分析】根据同角三角函数关系tanα＝进行解答．【解答】解：由＝1，得＝1．所以＝1．解得tanα＝2.5．故选：D．11．在△ABC中，AC≠BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足为D，则下列比值中不等于sin A的是（）A．B．C．D．【分析】利用锐角三角函数定义判断即可．【解答】解：在Rt△ABC中，sin A＝，在Rt△ACD中，sin A＝，∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，在Rt△BCD中，sin A＝sin∠BCD＝，故选：D．12．如图在△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE∥BC交AC于点E，若BD＝6，AE＝5，则sin∠EDC的值为（）A．B．C．D．【分析】由等腰三角形三线合一的性质得出AD＝DB＝6，∠BDC＝∠ADC＝90°，由AE＝5，DE∥BC知AC＝2AE＝10，∠EDC＝∠BCD，再根据正弦函数的概念求解可得．【解答】解：∵△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，∴AD＝DB＝6，∠BDC＝∠ADC＝90°，∵AE＝5，DE∥BC，∴AC＝2AE＝10，∠EDC＝∠BCD，∴sin∠EDC＝sin∠BCD＝＝＝，故选：A．13．在Rt△ABC中，若∠B＝75°，∠C＝90°，BC＝1，则Rt△ABC的面积是（）A．B．C．D．【分析】根据锐角三角形的定义可求出AC的长度，然后根据三角形的面积公式即可求出答案．【解答】解：∵tan∠B＝，∴＝，∴AC＝＝2+，∴Rt△ABC的面积为：×1×（2+）＝，故选：D．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠A＝，AB＝8cm，则△ABC的面积是（）A．6cm2B．24cm2C．2cm2D．6cm2【分析】在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题．【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AB＝8cm，∴sin A＝＝，∴BC＝6（cm），∴AC＝＝＝2（cm），∴S△ABC＝•BC•AC＝×6×2＝6（cm2）．故选：D．15．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据长春的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC的高为a…，已知冬至叫长春的正午光人射角∠ABC约为23°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（距BC的长）约为（）A．m B．a sin23°m C．m D．a tan23°m【分析】根据题意和图形，可以用含a的式子表示出BC的长，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，立柱根部与圭表的冬至线的距离为：＝m，故选：C．二．填空题（共5小题）16．比较大小：cos36°＞cos37°．【分析】根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）求解．【解答】解：cos36°＞cos37°．故答案为＞．17．已知α为锐角，sin（α﹣15°）＝，则α＝75 度．【分析】利用特殊角的三角函数值求出α的度数即可．【解答】解：∵α是锐角，且sin（α﹣15°）＝，∴α﹣15°＝60°，即α＝75°，故答案为：7518．若坡度i＝，则坡角为α＝30°【分析】根据坡度i与坡角α之间的关系计算，得到答案．【解答】解：∵坡度i＝，∴tanα＝，∴α＝30°，故答案为：30°．19．计算；sin30°•tan30°+cos60°•tan60°＝．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：sin30°•tan30°+cos60°•tan60°＝×+×＝．故答案为：．20．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若tan A＝3，AB＝，则BC＝ 3【分析】由tan A＝＝3可设BC＝3x，则AC＝x，依据勾股定理列方程求解可得．【解答】解：∵在Rt△ABC中，tan A＝＝3，∴设BC＝3x，则AC＝x，由BC2+AC2＝AB2可得9x2+x2＝10，解得：x＝1（负值舍去），则BC＝3，故答案为：3．三．解答题（共7小题）21．如图，一座堤坝的横断面为梯形，AD∥BC，AB坡坡角为45°，DC坡坡度为1：2，其他数据如图所示，求BC的长．（结果保留根号）【分析】根据题意可以作辅助线AE⊥BC，作DF⊥BC，然后根据AB坡坡角为45°，DC 坡坡度为1：2和题目中的数据可以分别求得CF和BE的长，从而可以求得BC的长．【解答】解：作AE⊥BC于点E，作DF⊥BC于点F，如右图所示，由题意可得，tan∠C＝，CD＝10m，∠B＝45°，AD＝6m，∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB＝∠DFC＝90°，AE＝DF，设DF＝x，则CF＝2x，∴＝102，解得，x＝2，∴DF＝2m，CF＝4m，AE＝2m，∵∠AEB＝90°，∠ABE＝45°，AE＝2m，∴BE＝2m，∴BC＝BE+EF+CF＝2+6+4＝（6+6）m，即BC的长是（6+6）m．22．如图，在△ABC中，∠A＝30°，cos B＝，AC＝6，求△ABC的面积．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据直角三角形的性质求出CD，根据余弦的定义求出AD，根据余弦的定义求出BD，计算即可．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D．∵∠A＝30°，∴CD＝AC＝3，AD＝AC•cos A＝3，∵cos B＝，∴设BD＝4x，则BC＝5x，由勾股定理得，CD＝3x，由题意的，3x＝3，解得，x＝1，∴BD＝4，∴AB＝AD+BD＝3+4，CD＝3，∴S△ABC＝•AB•CD＝×（3+4）×3＝6+．23．如图所示，一艘轮船在近海处由西向东航行，点C处有一灯塔，灯塔附近30海里的圆形区域内有暗礁，轮船在A处测得灯塔在北偏东60°方向上，轮船又由A向东航行40海里到B处，测得灯塔在北偏东30°方向上．（1）求轮船在B处时到灯塔C处的距离是多少？（2）若轮船继续向东航行，有无触礁危险？【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据等腰三角形的判定定理解答；（2）作CE⊥AB交AB的延长线于E，根据正弦的定义求出CE，比较得到答案．【解答】解：（1）由题意得，∠CAB＝30°，∠ABC＝120°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣120°＝30°，∴∠ACB＝∠CAB，∴BC＝AB＝40（海里）；（2）作CE⊥AB交AB的延长线于E，在Rt△CBE中，sin∠CBE＝，∴CE＝BC•sin∠CBE＝40×＝20，∵20＞30，∴轮船继续向东航行，无触礁危险．24．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）【分析】（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H，利用斜坡AP的坡度为1：2.4，得出AH，PH，AP的关系求出即可；（2）利用矩形性质求出设BC＝x，则x+10＝24+DH，再利用tan76°＝，求出即可．【解答】解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴＝，设AH＝5km，则PH＝12km，由勾股定理，得AP＝13km．∴13k＝26m．解得k＝2．∴AH＝10m．答：坡顶A到地面PQ的距离为10m．（2）延长BC交PQ于点D．∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ．∴四边形AHDC是矩形，CD＝AH＝10，AC＝DH．∵∠BPD＝45°，∴PD＝BD．设BC＝x，则x+10＝24+DH．∴AC＝DH＝x﹣14．在Rt△ABC中，tan76°＝，即≈4.0，解得x＝，即x≈19，答：古塔BC的高度约为19米．25．如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了40m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（结果精确到1m）（参考数据：≈1.732，≈1.414）【分析】在Rt△CBE中，由于∠CBE＝45°，所以BE＝CE，AE＝40+x，在Rt△ACE中，利用30°的锐角三角函数求出x，加上测角仪的高度就是CD．【解答】解：设CE的长为xm，在Rt△CBE中，∵∠CBE＝45°，∴∠BCD＝45°，∴CE＝BE＝xm，∴AE＝AB+BE＝40+x（m）在Rt△ACE中，∵∠CAE＝30°，∴tan30°＝即＝，解得，x＝20+20≈20×1.732+20＝54.64（m）所以CD＝CE+ED＝54.65+1.5＝56.15≈56（m）答：该建筑物的高度约为56m．26．如图，一艘渔船以30海里/h的速度由西向东追赶鱼群．在A处测得小岛C在船的北偏东60°方向；40min后渔船行至B处，此时测得小岛C在船的北偏东30°方向．已知以小岛C为中心，周围10海里内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？【分析】根据题意可知，实质是比较C点到AB的距离与10的大小．因此作CD⊥AB于D 点，求CD的长．【解答】解：作CD⊥AB于D，根据题意，AB＝30×＝20（海里），∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，在Rt△ACD中，AD＝＝CD，在Rt△BCD中，BD＝＝CD，∵AB＝AD﹣BD，∴CD﹣CD＝20（海里），解得：CD＝10＞10，所以不可能．27．直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和60°，求飞机的高度PO．【分析】过P作PC⊥AB交BA的延长线于C，连接PA，PB，于是得到∠PBO＝∠CPB＝60°，∠CPA＝30°，求得∠APB＝30°，根据余角的定义得到∠ABP＝90°﹣60°＝30°，求出∠ABP＝∠APB，根据等腰三角形的判定得到AP＝AB＝200，在Rt△APC中，根据含30°角的直角三角形的性质得到AC＝AP＝100，即可得到结论．【解答】解：过P作PC⊥AB交BA的延长线于C，连接PA，PB，则∠PBO＝∠CPB＝60°，∠CPA＝30°，∴∠APB＝30°，∵∠ABP＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABP＝∠APB，∴AP＝AB＝200，在Rt△APC中，AC＝AP＝100，∴PO＝AC+AB＝300米．答：飞机的高度PO为300米．。

九年级数学三角函数练习题及答案

数学北师九年级下第一章直角三角形的边角关系单元检测(时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)1．在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则cos A 等于( )．A ．2．12 C ．32．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB∶AC＝2∶1，则∠A 的度数是( )．A ．30° B．45° C．60° D．75°3．已知α为锐角，且tan (90°－α)α的度数为( )． A ．30° B．60° C．45° D．75°4．如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC 等于( )．A ．5 C ．5D ．235．如图，在Rt△AB C 中，CD 是斜边AB 上的高，则下列线段的比中不等于sin A 的是( )．A ．CD AC B ．DB CB C ．CB AB D ．CDCB6．等腰三角形底边与底边上的高的比是2( )． A ．60° B．90° C．120° D．150°7．如图，一个小球由地面沿着坡度i ＝1∶2的坡面向上前进了10 m ，此时小球距离地面的高度为( )．A ．5 mB ．．．103m 8．如图，已知梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B＝45°，∠C＝120°，AB ＝8，则CD 的长为( )．A ．．．二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)9．在直角坐标系x O y 中，点P(4，y )在第一象限内，且OP 与x 轴的正半轴的夹角为60°，则y 的值是__________．10．在锐角三角形ABC 中，已知∠A，∠B 满足2sin 2A ⎛- ⎝⎭＋tan B|＝0，则∠C＝______. 11．如图，一轮船由南向北航行到O 处时，发现与轮船相距40海里的A 岛在北偏东33°方向．已知A 岛周围20海里水域有暗礁，如果不改变航向，轮船__________(填“有”或“没有”)触暗礁的危险．(sin 33°≈0.545)12．“平阳府有座大鼓楼，半截子插在天里头”．如图，为测量临汾市区鼓楼的高AB ，在距B 点50 m 的C 处安装测倾器，测得鼓楼顶端A 的仰角为40°12′，测倾器的高CD 为1.3 m ，则鼓楼高AB 约为__________ m ．(tan 40°12′≈0.85)三、解答题(本大题共5小题，共52分) 13．(12分)计算：(1)－22(－2 010)0＋4sin 45°；(2)|3－＋0⎛⎫＋cos 230°－4sin 60°；14．(8分)如图，已知∠ACB＝90°，AB ＝13，AC ＝12，∠BCM＝∠BAC，求点B 到直线MC 的距离．15．(10分)如图，已知在△ABC 中，∠A＝60°，∠B＝45°，AB ＝8，求△ABC 的面积．16．(10分)如图，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋大楼顶部B 的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度．17．(12分)某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为1米的不锈钢架杆AD和BC(杆子的底端分别为D，C)，且∠DAB＝66.5°.(1)求点D与点C的高度差DH；(2)求所用不锈钢材料的总长度l(即AD＋AB＋BC，结果精确到0.1米)．(参考数据：sin 66.5°≈0.92，cos 66.5°≈0.40，tan 66.5°≈2.30)参考答案1．解析：由于∠C＝90°，由∠B＝2∠A 可知∠A＝30°，所以cos A ＝2. 答案：A2．解析：由AB∶AC＝2∶1知，12AC AB =，即cos A ＝12. ∴∠A＝60°.故选C ．答案：C3．解析：∵tan (90°－α)α＝60°. ∴α＝30°.故选A ．答案：A 4．答案：C5．解析：在Rt△ABC 中，sin A ＝CBAB；在Rt△ACD 中，sin A ＝CDAC. 又∵∠A＝∠BCD，∴在Rt△BCD 中，sin A ＝sin∠BCD＝DBCB. 答案：D6．解析：如图，通过作高将等腰三角形转化为两个直角三角形，设BC=2，AD= 则BD=1.在Rt △ABD 中，tan ∠BAD=BD AD ==∴∠BAD=30°.∴∠BAC=60°.答案：A7．解析：由坡度i ＝1∶2，设竖直高度为x m ，则水平距离为2x m ，根据勾股定理得x 2＋(2x )2＝102，解得x ＝答案：B8．解析：过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 于F(如图)．在Rt△ABE中，∵AB=8，∠B=45°，∴AE=ABsin 45°=8=在Rt△CFD中，∠FCD=∠BCD-∠FCE=120°-90°=30°，CF=AE=4，∴CD=cosCFFCD==∠.答案：A9．解析：y＝4tan 60°＝答案：10．解析：∵2sin2A⎛-⎝⎭＋|tan B|＝0，∴sin A＝2，tan B∴∠A＝45°，∠B＝60°.∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝75°.答案：75°11．解析：过A作AB⊥OB，垂足为B．在Rt△AOB中，sin 33°＝AB AO，∴AB＝sin 33°·AO≈21.8＞20. ∴没有触礁危险．答案：没有12．解析：过D作DE⊥AB于E.在Rt△ADE中，tan 40°12′＝AEDE，∴AE＝DEtan40°12′≈50×0.85＝42.5(m)．∴鼓楼高AB＝AE＋BE≈42.5＋1.3＝43.8(m)．答案：43.813．解：(1)原式＝－4＋1＋4×2＝3；(2)原式＝3＋1＋3544-=-；(3)35212 2222+=-+=.14．解：在Rt△ABC中，∵AB＝13，AC＝12，5.∴sin ∠BAC＝513BC AB =. ∵∠BCM＝∠BAC，∴sin ∠BCM＝513. 过点B 作BH⊥CM 于H ，在Rt△BCH 中，sin ∠BCH＝BHBC＝sin ∠BCM， ∴BH＝BCsin ∠BCM＝5×5251313=. ∴点B 到直线MC 的距离为2513.15．解：过点C 作CD⊥AB 于D ，设AD ＝x . 在Rt △ACD 中， ∵∠A=60°，∴CD＝AD tan 60°＝.在Rt△BCD 中，∵∠B＝45°，∠CDB＝90°， ∴∠BCD＝45°.∴∠B＝∠BCD．∴BD＝CD ＝. ∵AB＝8，即AD ＋BD ＝8，∴x ＝8.∴x ＝1)．∴S △ABC ＝12AB×CD＝1248－16．解：过点A 作直线BC 的垂线，垂足为D ．则∠CDA=90°，∠CAD=60°，∠BAD=30°，CD=240米．在Rt △ACD 中，tan ∠CAD=CDAD ，∴AD＝tan 60CD ==︒. 在Rt△ABD 中，tan∠BAD＝BDAD，∴BD＝AD·tan 30°＝80， ∴BC＝CD －BD ＝240－80＝160(米)．答：这栋大楼的高为160米． 17．解：(1)DH ＝1.6×34＝1.2(米)．(2)过B 作BM ⊥AH 于M ，则四边形BCHM 是矩形． MH=BC=1米，∴AM=AH-MH=1+1.2-1=1.2(米)．在R t △AMB 中，∵∠A=66.5°， ∴AB=cos 66.5AM ≈1.20.40=3.0(米)．∴S=AD+AB+BC ≈1+3.0+1=5.0(米)．答：点D 与点C 的高度差DH 为1.2米；所用不锈钢材料的总长度约为5.0米．。

九下直角三角形的边角关系测试卷

直角三角形的边角关系测试班级：__________ 学号：姓名____________ 成绩________________ 一、选择题（每题4分，共32分）1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，那么tanB 的值是（） A. 1 B.21 C. 3 D. 33 2、在一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大2倍，那么它的两个锐角的余弦值（）.A ．都没有变化B ．都扩大2倍C ．都缩小为原来的一半D ．不能确定是否发生变化3、在△ABC 中，AC=BC ，D 为AB 中点连接CD ，那么tanB 是（）A. CB CDB.BD CDC. BC ACD. ABAC4、某人从山脚下点A 走了100米后到达山顶的点B ，已知点B 到山脚的垂直距离为50米，则山的坡度为（）A.30°B.60°C.21 D. 335、在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=35°，AB ＝7，则BC 的长为（）A.7sin35°B.︒35cos 7C.7cos35°D.7tan35°6、三个梯子A,B,C 靠在墙上，同时与地面形成的夹角为α，β，γ，已知sin α=0.5， cos β=322，tan γ=1515，那么梯子与地面形成的夹角最大的是（） A.A B.B C. C D. 无法确定7、如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m ，那么这棵树高是（）A 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛+23335m B 、⎪⎭⎫⎝⎛+2335m C 、335m D 、4 m8、在ABC ∆中，,A B ∠∠都是锐角，且sinA ＝21， cosB ＝23，则ABC ∆的形状（） A ．直角三角形 B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定第7题第4题DB AC二、填空题（每小题4分，共24分）9、比较大小: sin400 cos400（＞，＜，=）10、如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则αsin = ．11、某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形，D 是AB 的中点，中柱CD = 1米，∠A=30°，则跨度AB 的长为 (用含有根号的式子表示)。

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九年级数学(下)直角三角形边角关系测试试题B （卷）
班级姓名
一、填空题：
1、在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则A sin = ；
2、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝
,3,5cm BC cm =则A sin = ，
B cos = ；
3、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，A sin =
5
4
，AB =10，则BC ＝； 4、α是锐角，若︒=15cos sin α,则α＝若8018.0'1853sin =︒，则'4236cos ︒= ；
5、∠B 为锐角，且01cos 2=-B ，则∠B ＝；
6、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，12,9==b a 则A sin = ，B sin = ；
7、Rt △ABC 中，∠C ＝900，21
tan =A ，则=A cot ；
8、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=则_____tan =A ；
9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是； 10、若∠A 为锐角，且03tan 2tan 2=-+A A ，则∠A ＝
11、Rt △ABC 中，8,60=︒=∠c A ，则__________,
==b a ； 12、在△ABC 中，若2,32==b c ,，则____tan =B ，面积S ＝； 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝，AC ＝ BC ＝
14、在△ABC 中，︒=∠90B ，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则ACB ∠tan = ；二、选择题 1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值（）（A ）都扩大2倍（B ）都扩大4倍（C ）没有变化（D ）都缩小一半 2、若∠A 为锐角，且3cot <，则∠A （）（A ）小于300 （B ）大于300 （C ）大于450且小于600 （D ）大于600 3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为（）
（A ） a A sin （B ）
A
a sin （C ） a A cos （D ） A a
cos
4、等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为（）（A ） 600 （B ） 900 （C ） 1200 （D ） 1500
5、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有 B A cos sin =，则这个三角形是（）（A ）等腰三角形（B ）直角三角形（C ）钝角三角形（D ）锐角三角形
6、有一个角是︒30的直角三角形，斜边为cm 1，则斜边上的高为（）（A ）
cm 41 （B ） cm 21 （C ） cm 43 （D ） cm 2
3
三、求下列各式的值
1、︒+︒60cos 60sin 22
2、︒︒-︒30cos 30sin 260sin
3、︒-︒45cos 30sin 2
4、3245cos 2-+︒
5、0
45cos 360sin 2+ 6、 1
30sin 560cos 30
-
7、︒30sin 22·︒+︒60cos 30tan ·︒30cot 8、︒-︒30tan 45sin 22
四、解答下列各题
1、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，，AB ＝13，BC ＝5，求A sin , A cos ，A tan ，A cot ；
2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若13
12
sin =A 求 A cos ，B sin ，B cos ；
3. 在Rt △ABC 中，︒=∠=︒=∠45,17,90B b C ,求a 、c 与A ∠；
四、根据下列条件解直角三角形。

在Rt △ABC 中。

1、︒=∠=45,20A c 2. ︒=∠=30,36B a
3. ,19=a 219=c
4. a =66,26=b
五、等腰梯形的一个底角的余弦值是23
2
，腰长是6，上底是22求下底及面积
六、补充题：如图，
海岛A 的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B 处测得海岛A 位于北偏东60º，航行12海里后到达点C 处，又测得海岛A 位于北偏东30º，如果渔船不改变航向继续向东航行.有没有触礁的危险？。