宁夏大学附属中学2021届高三上学期第三次月考数学(文)试卷(有答案)

宁夏大学附属中学2021届高三上学期第三次月考数学（文）试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}0,1,2,3,|02A B x R x ==∈≤≤，则A B 的子集个数为A ．2B ．4C ．7D ．82．下列命题中错误的是A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“pV(¬q)”为真命题B ．命题“若a+b≠7，则a≠2或b≠5”为真命题C ．命题“若x 2-x=0，则x=0或x=1”的否命题为“若x 2-x=0，则x≠0且x≠1”D ．命题p ：∃x>0，sinx>2x -1，则⌝p 为∀x>0，sinx≤2x -13．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图 是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称 统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆O (O 为坐标原点)的 周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题： ①对于任意一个圆O ，其“优美函数”有无数个；②函数22()ln(1)f x x x =+可以是某个圆的“优美函数”； ③正弦函数sin y x =可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数()y f x =是“优美函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形． 其中正确的是 A ．①④B ．①③④C ．②③D ．①③4．对于实数a ，b ，c ，下列命题中正确的是 A ．若 a b >，则22ac bc > B ．若22ac bc >，则 a b > C ．若0a b <<，则11a b < D ．若0a b <<，则b a a b< 5．若函数()22ln f x x x a x =++在0,1 上单调递减， 则实数a 的取值范围是A ．4a ≤B ．4a ≥ C.4a ≤- D ．4a ≥-6．将函数sin 2y x =的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是A ．cos 2y x =B ．1cos2y x =+C ．1si π24n y x =++⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．cos21y x =-7．设向量(0,1)b =，11,22a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是 A ．//a b B ．a b ⊥C ．a 与b 的夹角为34π D ．b 在a 方向上的投影为228．已知正项数列{}n a 满足：11a =，2212n n a a +-=，则使7n a <成立的n 的最大值为A ．3B ．4C ．24D ．259．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）10．已知函数()cos()f x x ωϕ=-(04,0)ωϕπ<<<<的部分图象如图所示，(0)cos2f =，则下列判断正确的是A ．函数()f x 的最小正周期为4B ．函数()f x 的图象关于直线61x π=-对称C ．函数()f x 的图象关于点(1,0)4π+对称D ．函数()f x 的图象向左平移2个单位得到一个偶函数的图象 11．在边长为2的正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，AE 交BD 于F .若23AF x AB y AD =+，则x y +=A ．1B ．718 C ．1-3D ．59-12．若函数()sin xxf x e e x x -=-+-，则满足2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭恒成立的实数a 的取值范围为 A ．12ln 2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B ．1ln 2,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C ．7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知2()3(2)f x x xf '=+，则(2)f '=________.14．已知复数342iz i-=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于第 象限.15．在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．若tan C =cos A =，b =时，则ΔABC 的面积为________.16．已知正项等比数列{}n a （*n N ∈）满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a使得14a =，则15m n+的最小值为________. 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分) 17．（本题满分12分）在递增的等比数列{a n }中，a 3=16．a 2+a 4=68．S n 为等差数列{b n }的前n 项和，b 1=a 1 ，S 2=a 2． （1）求{a n }，{b n }的通项公式； （2）求数列}的前n 项和T n ．18.（本题满分12分）在三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3sin 5A =，1tan()3A B -=，角C 为钝角，5b =． （1）求sin B 的值； （2）求边c 的长． 19．（本题满分12分）已知数列}{n a 满足0),,2(2,41*111≠∈≥⋅=-=--n n n n n a N n n a a a a a （1）证明数列)}(11{*N n a n∈-为等比数列，求出}{n a 的通项公式； （2）数列}{n a 的前项和为T n ，求证：对任意32,*<∈n T N n . 20．（本题满分12分）已知函数()()22cos 1f x p x x =-，在R 上的最大值为3．（1）求p 的值及函数()f x 的周期与单调递增区间；（2）若锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()0f A =，求b c的取值范围． 21．（本题满分12分）已知函数f （x ）＝lnx +ax 2﹣3x （a ∈R ）．（1）函数f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y ＝﹣2，求函数f （x ）的极值；（2）当a ＝1时，对于任意x 1，x 2∈[1，10]，x 2＞x 1时，不等式121221)()()(x x x x m x f x f ->-恒成立，求出实数m 的取值范围．(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为22212cos ρθ=-，射线()π03θρ=≥与曲线C 交于点P ，点Q 满足23PQ PO =，设倾斜角为α的直线l 经过点Q ． （1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的参数方程；（2）直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，当α为何值时，QM QN ⋅最大？求出此最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()225=+-f x x ． （1）解不等式()1≥-f x x ；（2）当m≥－1时，函数()()=+-g x f x x m 的图象与x 轴围成一个三角形，求实数m 的取值范围．数学(文科)参考答案一、选择题：只有一项符合题目要求（共12小题，每小题5分，共60分）13．-2 14．一15.16．47三、解答题18.解：（1）因为角C 为钝角，3sin 5A =，所以4cos 5A ==，……2分又1tan()3A B -=，所以02A B π<-<，且sin())A B A B -=-= ………………………4分 所以sin sin[()]sin cos()cos sin()B A AB A A B A A B =--=---…………6分3455==． ………………………8分 （2）因为sin sin a A b B ==，且5b =，所以a =……………………10分又cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+=，……………12分则2222cos 902525(169c a b ab C =+-=+-⨯=， 所以13c =． 19.（1）由有数列是首项为，公比为的等比数列.（2），， ==20．解：（1）依题意()()22cos 1f x p x x =-22cos cos p x x x =--1cos22p x x =---π12sin 26p x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，∵()f x 的最大值为3，∴123p -+=，∴2p =， ∴()π12sin 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中ππ2x k ≠+，k ∈Z ，其周期为2ππ2T ==． 已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡π+π∈π+23262k x ，Z k ∈时，()f x 单调递增，解得⎥⎦⎤⎢⎣⎡π+ππ+π∈32,6k k x ．17．∴()f x 的单调递增区间为⎪⎭⎫⎢⎣⎡π+ππ+π2,6k k ，⎪⎭⎫ ⎝⎛π+ππ+π32,2k k ，Z k ∈．（2）∵()π12sin 206f A A ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，且A 为锐角，∴π5π266A +=，∴π3A =，∴2π3BC +=．又∵B ，C 为锐角，∴ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．∴2π1sin sin sin 1322sin sin sin 2tan 2C C Cb Bc C C C C ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭====+，其中tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，∴1,22b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 21.解：（1）函数的定义域（0，+∞），，f ′（1）＝2a ﹣2＝0可得a ＝1， 故f （x ）＝lnx +x 2﹣3x ，＝0所以x ＝1或x ＝， 当时，f ′（x ）＞0，函数单调递增，当x时，f ′（x ）＜0，函数单调递减，当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0，函数单调递增，故当x ＝1时，函数取得极小值f （1）＝﹣2，当x ＝时，函数取得极大值f （）＝21ln ﹣， （2）由可变为f （x 1）﹣f （x 2），即，所以f （x ）﹣在[1，10]上单调递减， 令h （x ）＝f （x ）﹣＝lnx +，则≤0在[1，10]上恒成立，所以m ≤﹣2x 3+3x 2﹣x ，令F （x ）＝﹣2x 3+3x 2﹣x ，则F ′（x ）＝﹣6x 2+6x ﹣1＝＜0，∴F （x ）在[1，10]上单调递减，F （x ）min ＝F （10）＝﹣1710，故m ≤﹣1710，故m 的范围（﹣∞，﹣1710] 22．解：（1）∵()2222222212cos 222xy x x y ρθ=-=+-=+，∴曲线C 的直角坐标方程为22221x y +=． ∵点P =，又∵23PQ PO =，∴点Q 的极径为13⨯=∴点Q 的直角坐标为⎫⎪⎪⎝⎭，∴直线l 的参数方程为cos 31sin x t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，其中t 为参数． （2）将l 的参数方程代入22221x y +=， 得()22561sin4sin 03t t ααα⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， 设交点M ，N 所对应的参数分别为1t ，2t ，则()1225631sin t t α-=+，∴()1225628331sin QM QN t t α-⋅==≤-+，当2sin 1α=时取得．。