第4章 扭转

I
第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图
例题 已知圆轴受外力偶矩mA 、mB 、mC 作用而处于 匀速转动平衡状态，试求1-1、2-2截面上的扭矩。
mA
１
２
mC
１
mB
２
第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图
mA
１ ２
mC
已知圆轴受外力偶矩作 用，匀速转动。则
１
mB
２
用截面法求内力(根据已知扭矩的方向判断 截面所需内力矩的方向)：
m1
d1
m2
d2
m3
A
0.8m
B
1.0m
C
0.8kN· m
1.5kN· m
m1
d1
m2
d2
m3
I P1 I P2
d14
A
0.8m
B
1.0m
C
32 4 d 2 236cm 4 32
25.1cm 4
AB
BC
1.5kN· m
M n1 L1 0.0318rad GI P1
的扭矩图。如将A、D轮的位置更换放置是否合理？
A
II
B
I
C
D
III
I
II
III
第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图
解：
经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为
mA 9549 PA 10 9549 318.3( N m) n 300
mB 9549
PB 2 9549 63.7( N m) n 300
第四章 扭转/三 圆轴扭转时的强度计算
低碳钢
铸铁
塑性材料受扭时,先发生屈服,继续增大扭力偶矩,沿横截面被剪断;脆性材料受扭 时,变形始终小,最后在与轴线约成45度倾角的螺旋面发生断裂.
因此,受扭轴破坏的标志仍为屈服或断裂.试样扭转屈服时横截面上的最大切应力, 称为扭转屈服应力;试样扭转断裂时横截面上的最大切应力,称为扭转强度极限. 扭转屈服应力和扭转强度极限,统称为扭转极限应力.
M n 2 L2 GI P 2
AC AB BC 0.0318rad 0.0079rad 0.0239rad
图示一空心传动轴，轮1为主动轮，力偶矩m1＝9KN·m，轮2、轮3、轮4为从动轮,力偶矩 分别为m2＝4KN·m，m3＝3.5KN·m，m4＝1.5KN·m。已知空心轴内外径之比d/D＝1/2， 试设计此轴的外径D，并求出全轴两端的相对扭转角φ 24。G＝80GPa，［τ ］＝60MPa。
第四章 扭转/三 圆轴扭转时的强度计算
N p1 14 m1 9550 9550 9550 1114 N .M n n1 120 7 7 m2 9550 557 N .M , m3 9550 185.7 120 360 m1 1114 1114 d 3 ( 0.07)3 = 16.54 MPa max(E)= Wp1 16 16 m2 max(H)= = 22.69 MPa Wp2 m3 max(C)= = 21.98 MPa Wp3
mC 95.5( N m),
M D 159.2( N m),
C A III D
B
I
II
I
II
III
第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图
mB
I
M n1 M B 63.7( N m)
I
M n1
II
mB
MC
III
II
M n2
M n 2 M B M C 159.2( N m)
Mn
m
A
A
解:(1)
P 390 Nm M n 9.55 10 n
3
l
M n (x)
单位长度阻力矩:
x
B
Mn 390 Nm m 9.75 Nm m 40m L
B
390 103 50 4 603 1 60 16
M n x Mx M n x (2): L Mn max 17.7 MPa WP




(3)受扭圆轴横截面上的剪 应力计算公式
Mn Mn G GI P IP

(3)受扭圆轴横截面上 的剪应力计算公式(与
所在半径成正比):
M n IP
max
M nr IP Mn WP
max
IP WP r
扭转(抗扭)截面系数
实心圆截面
已知钻探机杆的外径D=60mm，内径d=50mm，功率P=7.35kW，转速n=180r/min，钻 杆入土深度L=40m，G=80GPa，[τ ]=40MPa。设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分 布的，试求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩m；（2）作钻杆的扭矩图， 并进行强度校核；（3）求A、B两截面相对扭转角。
d dx
(2)物理方面，由虎克定律有： (G为切变模量或剪切弹性摸量)
G
d G dx
(3)静力学方面(横截面上所有的切应力对轴心取矩后等于内力矩)：
dA M n
A
d G 2 dA M n dx A
Ip
d M n dx GI P
截面的极惯性矩
4
第四章 扭转/三 圆轴扭转时的强度计算
例题 已知：P1＝14kW, n1= n2= 120r/min, z1=36, z3=12; d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm. P2＝p3＝p1／2。 求: 各轴横截面上的最大切应力。
解： P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW n1=n2= 120r/min n3= n1 z1 =12036 =360r/min 12 z3
将A、D轮的位置更换，则
B
I
C
II
D
III
A
I
II
III
63.7
（-）
最大内力矩 增大不利于 轴,因此将A、 D轮的 位置更换不 合理。
159.2
扭矩Mn-图
M n,max 318.3( N m) （AD段）
318.3
第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图
课堂练习 图示圆轴中，各轮上的转矩分别为mA＝4kN·m， mB＝10kN·m, mC＝6kN · m，试求1－1截面和2－2截面上的 轮 扭矩，并画扭矩图。
d
d

2 3 d I P dA 2 d
2
2
d 2
A
A
0
IP
d 4
32
WP
d 3
16
空心圆截面
D
d
I P 2 d
3 d 2
D 2
D 32
4

4
d
4

D 3
16
d D
IP
D
4
32
1
WP
1
5 扭矩随圆轴横截面的位置变化的图线—扭矩图
１ ２
mA
mC
１
M n1 M A
mB
２
（+）
扭矩图 （-）
M n 2 M C
第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图
例题 图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经由B、C、D轮 输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速n=300r/min，求作该轴
第四章 扭转
一 扭转的概念和实例 二 外力偶矩、扭矩和扭矩图
三 圆轴扭转时的强度计算
四 圆轴扭转时的变形计算
第四章 扭转
一、 扭转的概念和实例
第四章 扭转/一 扭转的概念和实例
承受扭转变形的构件
（在与螺帽接触处以及与 扳手连接处各 作用有一扭矩）
对称扳手拧紧镙帽
第四章 扭转/一 扭转的概念和实例
四 圆轴扭转时的刚度计算
第四章 扭转/四 圆轴扭转时的刚度计算
1 扭转角 与剪切角
m

m
第四章 扭转/四 圆轴扭转时的刚度计算
2 圆轴扭转时的变形计算
d M n dx GI P
Mn d dx GI P
若二截面间扭矩M n＝const，轴为等直杆，则有：
Mn Mn ＝ d＝ dx＝ GI P GI P l 0
d 39mm
(2)由变形公式:
21
13
M n 21L GI P M n13 L GI P
0.00734rad 0.00917rad
34
M n 34 L GI P
0.00275rad
24 21 13 34 0.00458rad
例题3
Ⅰ
Ⅰ
3、 受扭圆轴横截面上的内力—扭矩
I
Mn
I
第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图
4、扭矩的符号规定—右手螺旋法则
mI I
m
Mn
扭 矩 符 号 规 定 ：
Mn
I mI
Mn

I I
m
Mn
Mn
I
Mn

右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的 指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相 同，规定扭矩为正，反之为负。
MA １
１
1
MC
M n1
M n1
1
MB
扭矩（按矩矢方向）
M n1 M A M B M C
第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图
MA １
１
２
MC
MB
２
２
截面2-2上的内力(下图内力方向有误)：