第4章扭转变形

对于塑性材料： [t ] (0.5 0.577)[ ] 对于脆性材料：
[t ] (0.8 1.0)[ ]
tu
n
二、强度条件
t max [t ]
等直圆轴
三、圆轴合理截面
tmax t
T O
材料的许用切应力
Tmax [t ] Wp
tmax
T
tmax
O d
t
tmax
T Me
Me B T图 x
T
1
Me
+
例 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输 入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分 别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。
解：
首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩 M2
1 1
M3 B
6.37
4.78 9.56 Tmax = 9.56 kN· m
T 图(kN· m) 在CA段内
§4-3 圆轴扭转时的应力· 强度条件
一、扭转试验与假设： 表面变形特点：
1、相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小 、形状、间距都未变； 2、纵向线倾斜了同一个角度g ，表面上所有矩形均 变成平行四边形。 平面假设：圆轴受扭转时其横截面如同刚性平面 一样绕杆的轴线转动。
m
2

比较空心轴与实心轴
实心轴截面积 空心轴截面积
A1 22.2 10 m
4
4
2
A2 6.87 10 m
2
空心轴与实心轴截面积比
A2 6.87 0.31 A1 22.2
例 圆柱螺旋弹簧如图(簧杆斜度 < 5°) 受轴向压 力(拉力) F 作用。已知：簧圈平均半径 R，簧杆直 径 d，弹簧的有效圈数 n，簧杆材料的切变模量G ， 且簧圈平均直径 D >> d 。 试推导弹簧丝横截面上 的应力并建立相应的强度条件。
圆轴扭转时横截面上切应力计算公式： t T

T O
tmax
Ip
1、T为横截面上的扭矩
tmax
t
2、Ip为截面参数，取决于截 面形状与尺寸 3、ρ 为所求点距圆心距离。
d
tmax t
T
tmax
O
最大切应力
r
t max
Tr T T I p I p / r Wp
令 Wp
Wt 29400 10
例 已知： 同上例。将空心轴 改为实心轴。要求与空心 轴有相同的强度。Tmax= 1.5kN· m。 求：实心轴的直径。
T 1500 6 解： t max 5110 3 Wt D1 16 比较空心轴与实心轴
实心轴截面积 A1 22.2 10
4
D1 0.0531 m
O2
G'
dx
dj g dx
dj dx
g
相对扭转角沿杆长的变化率，对于给 定的横截面为常量
B、物理方面
dj g dx
剪切胡克定律：（在弹性范围内，切应力与 切应变成正比。 ？ 横截面上各点的 t Gg t G d j 剪应力与点到截 t dx 面中心的间距成 正比，即剪应力 沿截面的半径呈 线性分布。
O
d
C、静力学方面
dj t G dx

A
t d A T
dj 2 G d AT dx A
称为横截面 的极惯性矩
T O
2 I 令 p A d A
得
dj T d x GI p
tdA
dj T d x GI p dj t G dx
T T t G GI I p p
d
D
例2 实心等截面直轴，d=110mm，
(1) 试求截面Ⅱ上距轴线40mm处的点的剪应力。
(2) 若已知[τ]=40MPa，试校核轴的强度。
解： (1)应力计算
由扭矩图得知T2=9.56kN.m
T2 ρ τρ Ip
9560 40103 26.6MPa 4 12 π 110 10 / 32
Tmax τ max 60.8MPa [τ ] Wt
∴强度不符合要求。
讨论:扭矩合理分配 一定使轴上的Tmax最小 MA MB Ⅰ M Ⅱ
C
A
22
B
C
MB A 36
Ⅰ
MA B
14 Ⅱ
MC
C
14
例4（同例2）若BD轴改用内外径之比为9:10的空心轴，在 保证同样强度条件下，试确定空心轴的内外径d与D；并计算 空心与实心轴的材料消耗之比。
O
t max t 1 t 2max
D F 4F 8FD d 2 2 (1 ) 3 3 d d 2D d 16
当D >> d 时可略去剪力的影响 8 FD t max d 3 当D / d <10时,不可略去剪力的 影响 8 FD 4m 2 t max m=D / d 3 d 4m 3
g
A B
D C
j
A1 A B1
D1 g D D1' D'
表面正方格子倾斜的角度— 直角的改变量g 切应变
B
C C'
C1 C1'
横截面上没有正应力产生，只有切应力，方向 与圆周相切，即与半径垂直。
单元体· 切应力互等定理
单元体—— 此处为以横截面、径截面以及与表面平 行的面从受扭的等直圆杆表面处截取一 微小的正六面体 M
T
A
O
§4. 5 圆轴扭转时的变形

扭转变形 扭转角 两个横截面绕轴线的相对转角。 微段的扭转角
a

b
T O2 dj b
d T d x GIp

T d dx GI p A
T O1
g
a
整体的扭转角
D D' dx
T dx 0 GI p
l

整体的扭转角
T dx 0 GI p
(2) 强度计算 危险横截面在AC段， Tmax=9.56kN.m
Tmax 9560 τ max 36.6MPa ＜[τ] 3 9 Wt π 110 10 / 16
轴的强度满足
例3（同例2）若AD轮互换位置，试校核轴的强度。 解：互调AD轮位置 后，扭矩图如图所 示: Tmax=15.9 kN.m
解： t max 36.6MPa
Tmax 9.56kN m
Wt
D3
16
(1 4 )
由
Tmax 16Tmax t max 3 D 157m m 得 4 Wt (1 ) t max
d=0.9D=141mm V空 A空 ( D2 d 2 ) / 4 0.235 2 V实 A实 d1 / 4
e
Me
y
t'
a
dy b
t t
d
t
O t'
t
c
x
z
dx
纯剪切应力状态： 单元体在其两对互相垂 直的平面上只有切应力而 无正应力的状态称为纯剪 切应力状态。
二、横截面上的应力公式 几何关系 物理方面 静力学方面 A、几何关系
Me Me
a
b
O1
O2
a
dx b
Me
Me
a
b T dx
T
E A O1
d
4 π D 4 Ip 2 d A 1 A 32
πD Wp 1 4 D/2 16
Ip
3


4-4 圆轴扭转强度条件与合理设计
一、扭转失效 塑性材料扭转失效时，先发生屈服，最终沿 横截面断裂。 脆性材料扭转失效时，变形很小，最终沿与 轴线成45°螺旋面断裂。
[t ]
解:(1)变形计算
TBC lBC 180 BC＝ 0.477 G IP TCA lCA 180 CA＝ 0.954 G IP TAD l AD 180 AD＝ 0.635 G IP

轴两端截面之间的相对扭转角为：
BD＝BC＋CA＋ AD＝ 0.805
(2) 刚度计算
Tmax=9560N.m
Tmax 180 max 0.48 [ ] GI P
所以刚度符合要求。
例 如图传动轴，n=500r/min，N1=500马力， N2=300马 力， N3=200马力，已知[τ ] = 40MPa ，许可单位长度扭 转角[ ]=1 /m ，G=80GPa。求：确定AB和BC段直径。 解： 1）计算外力偶矩
分别计算各段的扭矩 M3 M2 1
A M2 A
1
1 1
2 2
源自文库
M1 C
3
3
M4
D
B T1 x M3 B
T1 M 2 4.78kN m
2 2
M2
T2
T2 M 2 M 3
x T3
9.56kN m
3 3
A
M4 D
T3 M 4 6.37kN m
x
扭矩图
M2 A B M3 M1 C D M4
g
D D' dx
G G'
O2 dj b A
E
O1
g
G
D
g
a
g
dj
O2
D'
G'
DD ' R d j g tang dx AD
GG d j g tan g EG dx
a T E A O1
b
T
g
D
G D'
G'
g
a
dj b
d
O2
E A
O1
g
dx
G
g
D
D'
dj
解： 1、 求簧杆横截面上的内力
分离体的平衡
剪力 FS F
D 扭矩 T F 2
2、求簧杆横截面上的应力
F 4F a) 剪力相应的切应力(假 t 1 s 2 A d 定均匀分布)
b)扭矩相应的切应力
t 2max
T
D F T 8FD 2 Wp d 3 d 3 16
A
对于一般的传动轴 [ ] 0.5 2 / m 等直圆杆在扭转时的刚度条件：
Tmax 180 max [ ] GIp π
例5（同例2）d=110mm，若各轮之间距离均为 l=2m， G=80GPa，[ ]=0.5°/m，(1) 计算相邻两轮之间的 扭转角和轴两端截面之间的相对扭转角。 (2)试校核 轴的刚度；
§4-2 传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
Ⅰ、传动轴的外力偶矩 Me A B
已知： Me
传动轴的转速 n ；所传递的 功率P (kW)
求： 作用在该轮上的外力偶矩Me。 传动轮的转速n 、功率P 及其上的外力偶矩Me之 间的关系： P(kW ) M e 9549 n(r / min) P Me 7024 ( N m) (P —马力) n
Ⅱ、扭矩及扭矩图 利用截面法来确定. 圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用 符号T表示。
1 1
T Me
扭矩的符号规定
按右手螺旋法则确定:
扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。
仿照轴力图的做法，可作扭矩图，表明沿杆 轴线各横截面上扭矩的变化情况。
Me
A
1
1 1
Me
B T
x
Me
A T
1 1
l

等直圆轴且扭矩不变时
Ti li 台阶轴或扭矩分段变化 i 1 GI p i
Tl GI p
GIp 圆轴的抗扭刚度。
n
二、刚度条件
d dx
称为单位长度扭转角。 常用单位：/m
max [ ]
对于精密机器的轴
[ ] 0.15 ~ 0.30 / m
Ip r
d
称为扭转 截面系数
即
t max
T Wp
发生在横截面周边上各点处。
同样适用于空心圆截面杆受扭的情形
tmax
O d
t tmax
T
T t Ip
t max
D
T Wp
圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp —几何性质 实心圆截面：
D d
O
O
d
4 π d I p 2 d A A 32 Ip πd 3 Wp d / 2 16
华北电力大学力学教研室
§ 4-1 扭转的概念 一、扭转实例：
华北电力大学力学教研室
齿轮传动示意图
受力特点： 圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面 垂直于杆的轴线的外力偶作用（矢量与轴线一致） Me Me
变形特点： 圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动 工程中主要承受扭转的构件称为“轴”，实际构 件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯曲、 拉压等其他变形形式。
例 已知： 传动轴为无缝钢 管，D=90mm，t = 2.5 mm，Tmax= 1.5kN· m, [t]=60MPa。 求：校核轴的强度。 解： 计算Wt d D 2t 0.944
D D 3 3 D 90 4 4 3 Wt (1 ) (1 0.944 ) 29400 mm 16 16 1500 T 51 MPa [t ] 切应力 t max 9
3
2 2
M1 C
3 3
M4 D
A
500 M 1 (9.55 10 ) N m 15.9kN m 300 3 150 M 2 M 3 (9.55 10 ) N m 4.78kN m 100 200 3 M 4 (9.55 10 ) N m 6.37kN m 300