第九章 扭转变形

扭转角 ⎯⎯ 两个横截面绕轴线的相对转角。
微段的扭转角
a
b
dϕ = T
T
dϕ = T d x O1
T O2
d x GIp
GI p A γ D dϕ
整体的扭转角
D' a dx b
∫ ϕ = l T d x
0 GI p
整体的扭转角
∫ ϕ = l T d x
0 GI p
等直圆轴且扭矩不变时
γρ ∝ρ
dϕ 相对扭转角沿杆长的变化率，对于给
d x 定的横截面为常量
B、物理方面
γρ
=
ρ
dϕ
dx
剪切胡克定律：（在弹性范围内，切应力与切应
变成正比。
τ = Gγ τ ρ
=
Gρ
？dϕ
dx
横截面上各点的
τρ ∝ ρ
剪应力与点到截 面中心的间距成
正比，即切应力
沿截面的半径呈
线性分布。
O
d
C、静力学方面
3
D
M2
1
T1
x
T1 = −M 2 = −4.78kN ⋅ m
A
1
M2
A
M3 B
2
T2
2
x
T3 = M 4 = 6.37kN ⋅ m
T2 = −M 2 − M3 = −9.56kN ⋅ m
3
T3
3
M4 x
D
扭矩图 M2
A
M3
M1
B
C
M4
D 6.37
4.78 9.56
Tmax = 9.56 kN·m
≈ 80mm
θ
=
T
G π d14
× 180o
π
≤ [θ ]
d1 ≥ 4
32T ×180
Gπ 2[θ ]
=
4
32 ×7024 ×180
80 ×10 9×π 2×1
=
84.6 mm
32
d1 = 84.6mm 选择d1 = 85mm
BC段：同理，由扭转强度条件得 d2 ≥ 67mm
由扭转刚度条件得 d2 ≥ 74.5mm
WP
=
π ⋅D3
16
(1 − α
4)
由
τ max
=
Tmax WP
得
D=3
16Tmax
π ⋅ (1 − α 4 ) ⋅τ max
= 157mm
d=0.9D=141mm
V空 V实
=
A空 A实
=
π (D2 − d2) / 4 π ⋅ d12 / 4
=
0.235
§9-7 圆轴扭转时的变形与刚度条件
一、圆轴的扭转变形
等直圆杆在扭转时的刚度条件：
θmax
=
Tmax GIp
×180 ≤ [θ]
π
例6（同例2）d=110mm，若各轮之间距离均为
l=2m，G=80GPa，[ θ ]=0.5°/m，(1) 计算相邻两轮
之间的扭转角和轴两端截面之间的相对扭转角。 (2) 试校核轴的刚度；
解:(1)变形计算
ϕ
BC＝
TBC G
θ max
=
Tmax GIP
⋅ 180o
π
= 0.48o
< [θ ]
所以刚度符合要求。
例7 如图传动轴，n=500r/min，N1=500马力， N2=300
马力， N3=200马力，已知[τ ] = 40MPa ，许可单位长 度扭转角[θ ]=1 °/m ，G=80GPa。求：确定AB和BC段直
∑
台阶轴ϕ或=扭G矩TIl分p 段变G化Ip ⎯ϕ⎯=圆n轴的Ti抗li 扭刚度。
i=1 GI pi
二、刚度条件（注意单位的统一）
θ = dϕ
dx
称为单位长度扭转角。
θmax ≤ [θ ]
对于精密机器的轴
常用单位：°/m
[θ ] ≈ 0.15 ~ 0.30o / m
对于一般的传动轴 [θ ] ≈ 0.5 − 2o / m
γ
ϕ
AD
BC
表面正方格子倾斜的角度—
直角的改变量γ 切应变
A1 A
γD D'
D1 D1'
B
B1 C
C1 C1'
C'
横截面上没有正应力产生，只有切应力，方向与圆 周相切，即与半径垂直。（纯剪切应力状态）
二、切应力互等定理
y
由切应力 τ 构成的剪力 τdydz
τ′
由切应力τ ′ 构成的剪力 τ ′dxdy
⋅ lBC ⋅ IP
⋅ 180o
π
=
−0.477 o
ϕCA＝
TCA ⋅ lCA G ⋅ IP
⋅ 180o
π
=
−0.954o
ϕ
AD＝
TAD G
⋅ lAD ⋅ IP
⋅ 180o
π
= 0.635o
轴两端截面之间的相对扭转角为：
ϕBD＝ ϕBC＋ ϕCA＋ ϕAD＝− 0.805o
(2) 刚度计算
Tmax=9560N.m
同样适用于空心圆截面杆受扭的情形
T
τmax
τρ
O
τmax
ρ
D
d
τρ
= Tρ
Ip
τ max
=
T Wp
§9-5 极惯性矩与抗扭截面系数
圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp —几何性质
实心圆截面：
空心圆截面：
dρ ρ
O
dρ
ρ
O
d D d
∫ Ip =
ρ 2 d A= πd 4
A
32
Wp
=
Ip d /2
I
Me
II
设想解除固定端
A
C
a
B
b
B处的约束，代之
MA A
l
以约束力偶矩MB.
I
Me
II
MB
C
B
x 设固定端A的支反力偶 为MA ,方向同MB
MA A
I
Me
C
II
MB
B
x
列出平衡方程：
ΣM x = 0 , M A + M B − M e = 0
变形协调条件：根据原静不定杆的约束情况，B端 的扭转角应等于零, 即补充方程为
Wp
三、圆轴合理截面
T
τmax
T
τmax
ρ
τρ
O
τmax
τρ
O
τmax
ρ
d
D
d
例2 实心等截面直轴，d=110mm， (1) 试求截面Ⅱ上距轴线40mm处的点的切应力。
(2) 若已知[τ]=40MPa，试校核轴的强度。
解： (1)应力计算
由扭矩图得知T2=9.56kN.m
τρ
=
T⋅ρ
IP
=
9560 × 40×10−3 π ×1104 ×10−12 / 32
Wp = 2π R02δ
§ 9-6 圆轴扭转强度条件与合理设计
一、扭转失效
低碳钢扭转破坏
塑性材料扭转失效时，先发生屈服，最终沿横截面断裂。
铸铁扭转破坏
脆性材料扭转失效时，变形很小，最终沿与轴线成 45°螺旋面断裂。
铸铁扭转破坏
脆性材料扭转失效时，变形很小，最终沿与轴线成 45°螺旋面断裂。
§ 9-6 圆轴扭转强度条件与合理设计
M2 1
M3 2 M1
3
M4
A
1B
2C
3
D
M1
=
(9549
×
500 300
)N
⋅
m
=
15.9kN
⋅
m
M2
=
M3
=
(9549 ×
150 )N ⋅ m 300
=
4.78kN ⋅ m
M4
=
(9549 ×
200)N ⋅ m 300
=
6.37kN ⋅ m
分别计算各段的扭矩
M2 1
M3 2 M1
3
M4
A
1B
2C
=
26.6MPa
(2) 强度计算 危险横截面在AC段，
Tmax=9.56kN.m
τ max
=
Tmax WP
=
9560 π ×1103 ×10−9 /16
= 36.6MPa
＜[τ]
轴的强度满足要求。
例3（同例2）若A轮和D轮互换位置，试校核轴的强度。
解：互调AD轮位置 后，扭矩图如图所 示:
Tmax=15.9 kN.m
第九章 扭 转
§9-1 引 言
工程问题中，有很多杆件是受扭转的。
自行车的中轴受扭转。
齿轮传动示意图
受力特点：
圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面 垂直于杆的轴线外力偶作用（矢量与轴线一致）
Me
Me
变形特点：圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动
工程中主要承受扭转的构件称为“轴”，实际构件 工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯曲、拉 压等其他变形形式。
τρ
= Tρ
Ip
T
ρ
O
τmax
τρ
τmax 1、T为横截面上的扭矩
2、Ip为截面参数，取决于截 面形状与尺寸
3、ρ为所求点距圆心距离。
d
T
ρ
O
τmax
τρ
d
最大切应力 ρ = r
τmax
τ max
= Tr Ip
=T Ip /r
=T Wp
令
Wp
=
Ip r
称为扭转 截面系数
即
τ max
=
T Wp
发生在横截面周边上各点处。
G'
D'
a
dx
b
γ ≈ tan γ = DD' = R × dϕ
AD d x
d
dx
ρ E O1 γρ G O2
Aγ
D
dϕ
G'
D'
γρ
≈
tan γ ρ
=
GG′ EG
=
ρ dϕ
dx
a
b
T
T
ρ
A
E O1 γρ γD
G O2
dϕ
G'
D'
a
dx
b
d
dx
ρ
A
E O1
γ
γρ
D
G O2
dϕ
G'
D'
γρ
=
ρ
dϕ
dx
Me A
Me A
T
1
Me
1 1
T
1 1
T
1
Me
+
B
x
T = Me
Me
B
T图 x
例1: 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输入 的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。
解： 首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩
T 图(kN·m) 在CA段内
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
一、扭转试验与假设： 表面变形特点：
拉压杆：正应力
1、相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小 、形状、间距都未变；（各横截面如同刚性圆片）
2、纵向线倾斜了同一个角度γ ，表面上所有矩形均
变成平行四边形。
平面假设：圆轴受扭转时其横截面如同刚性平面一 样绕杆的轴线转动。
扭力偶：使杆产生扭转变形的外力偶Me 扭转角：轴的变形以横截面间绕轴变形的相对角位移。
§9-2 动力传递与扭矩
Ⅰ、传动轴的外力偶矩 Me
A
Me B
已知：
传动轴的转速 n ；所传递的 功率P (kW)
求： 作用在该轮上的外力偶矩Me。
传动轮的转速n 、功率P 及其上的外力偶矩Me之
间的关系：
P = Mω
∫Aρτ ρ d A= T
τρ
=
Gρ
dϕ
dx
∫ G dϕ ρ 2 d A = T
dx A
∫ 令
Ip =
ρ2 d A
A
称为横截面 的极惯性矩
得
dϕ = T
d x GIp
T
Oρ τρdA
r
dϕ = T
d x GIp
τρ
=
Gρ
dϕ
dx
τρ
=
Gρ
⎜⎜⎝⎛
T GI
p
⎟⎟⎠⎞
=
Tρ
Ip
圆轴扭转时横截面上切应力计算公式：
径。
解： 1）计算外力偶矩
mA
=
7024
N1 n
=
7024Nm
mB
= 7024
N2 n
=
2809.6Nm
mC
= 7024
N3 n
=
4214.4Nm
2）计算直径
AB段：由强度条件
[ ] τ max
=T Wp
=
16T
π d13
≤
τ
由刚度条件
d1 ≥ 3
16T
π [τ ]
=
3
16 × 7024
π × 70 ×106
Me
=
9549
P(kW ) n(r / min)
M=P
ω
Me
=
7024
P n
(N
⋅ m)
(P —马力)
Ⅱ、扭矩及扭矩图 利用截面法来确定. 圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，
用符号T表示。
1wk.baidu.com
T = Me
1
扭矩的符号规定
按右手螺旋法则确定:
扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。
仿照轴力图的做法，可作扭矩图，表明沿杆 轴线各横截面上扭矩的变化情况。
dy
τ
dz x
由于微单元体处于平衡状态，则
dx
z
τ ′dxdydz = τ dxdydz
τ′ =τ
切应力互等定理：在微体的两个互垂截面上，垂直于截面 交线的切应力数值相等，而方向均指向或均离开该交线。
切应力互等定理：适用于空间任意应力状态。
三、剪切胡克定律
当切应力不超过材料的剪切比例极限 τ p τ = Gγ
选择d2 = 75mm
§9-8 扭转静不定问题 （了解）
扭转静不定问题的解法，同样是综合考虑静力、
几何、物理三方面。其主要难点仍是由变形协调条
件建立补充方程。
例 两端固定的圆截面杆 AB ，在截面 C 处受一扭转
力偶矩 Me 作用如图。已知杆的扭转刚度为GIp，试
求杆两端的支反力偶矩。
解： 一次超静定
在剪切弹性范围内，切应力与切应变成正比
对于各向同性材料，弹性模量E、泊松比μ与切变模量G
之间存在如下关系
G= E
2(1+ μ)
§9-4 圆轴扭转横截面上的应力
A、几何关系
几何关系 物理方面 静力学方面
根据平面假设
ab O1 O2 a dx b
Me
Me
γ
a
b
T
T
ρ
A
E O1 γρ γD
G O2
dϕ
ϕAB = 0
按叠加原理：
ϕAB ϕ = B ,MB ϕ − B ,Me = 0
ϕB, MB、ϕB, Me分别为MB、
Me引起的在杆端B的扭转
角。
τmax
=
Tmax Wp
= 60.8 MPa
>
[τ]
∴强度不符合要求。
扭矩合理分配： 使轴上的Tmax最小
例4（同例2）若BD轴改用内外径之比为9:10的空心轴，在 保证同样强度条件下，试确定空心轴的内外径d与D；并计算 空心与实心轴的材料消耗之比。
解： τ max = 36.6MPa
Tmax = 9.56kN ⋅ m
=
πd 3 16
∫ ( ) Ip =
ρ 2 d A= πD4
A
32
1−α 4
( ) Wp
=
Ip D /2
=
πD 3 16
1−α 4
§9-5 极惯性矩与抗扭截面系数
圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp —几何性质
薄壁圆截面（了解）
dA = δ R0dθ
dθ
R0
θ
∫ ∫ Ip = A ρ 2 d A ≈ R02 A d A = 2π R03δ
一、扭转失效
[τ ] = τ u
n
对于塑性材料： 对于脆性材料：
τu =τs τu =τb
对于塑性材料： [τ ] = (0.5 − 0.577)[σ ] 对于脆性材料： [τ ] = (0.8 −1.0)[σ t ]
二、强度条件 τ max ≤ [τ ] 材料的许用切应力
工作应力
等直圆轴 Tmax ≤ [τ ]