第4章扭转变形

华北电力大学力学教研室第四章扭转

§4-1 扭转的概念一、扭转实例：

圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动受力特点：

圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆的轴线的外力偶作用（矢量与轴线一致）

变形特点：M e

M e

工程中注意承受扭转的构件称为“轴”，实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯曲、拉压等其他变形形式。

§4-2 传动轴的外力偶矩· 扭矩及扭矩图

Ⅰ、传动轴的外力偶矩传动轴的转速n ；所传递的功率P (kW)

作用在该轮上的外力偶矩M e 。

已知：

求：传动轮的转速n 、功率P 及其上的外力偶矩M e 之间的关系：

)(024m N ⋅=n

P

7M e (P —马力)

)(550m N ⋅=n P

9M e (P —kW)

M e

M e

A

B

Ⅱ、扭矩及扭矩图

圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号T 表示。

e

M T 扭矩大小可利用截面法来确定。11

T

T

M e M e

A

B

11

B

M e A

M e

1

1x

扭矩的符号规定按右手螺旋法则确定:

扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。

仿照轴力图的做法，可作扭矩图，表明沿杆轴线各横截面上扭矩的变化情况。

T

T

T (+)

T

T

T (-)

e

M T 1

1T

T

M e

M e

A

B

11

B

M e A

M e

1

1x

M e

T 图

+

例一传动轴如图，转速n = 300r/min ；主动轮输入的功率P 1= 500kW ，三个从动轮输出的功率分别为：P 2= 150kW ，P 3= 150kW ，P 4= 200kW 。试作轴的扭矩图。

首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩m

kN 9.15m N )300

500

1055.9(3

1⋅=⋅⨯⨯=M m kN 78.4m N )1001501055.9(332⋅=⋅⨯⨯==M M m

kN 37.6m N )300

2001055.9(3

4⋅=⋅⨯⨯=M 解：

22

11

33

M 1M 2

M 3M 4

A B

C

D

分别计算各段的扭矩

m

kN 78.421⋅-=-=M T m

9.56kN 3

22⋅=+=M M T m

kN 37.643⋅==M T 22

113

3

M 1

M 2M 3M 4A B C

D

T 11

1

x

M 2A

T 2

A

M 2

B

M 3

22

x

T 3

33

D

M 4x

扭矩图T max = 9.56 kN·m 在CA 段内

M 1

M 2M 3M 4A

B

C

D 4.78

9.56

6.37

T 图(kN·m)

表面变形特点及分析：

§4-3 圆轴扭转时的应力·强度条件

g j

A B D C

1、相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小、形状、间距都未变；

2、纵向线倾斜了同一个角度g ，表面上所有矩形均变成平行四边形。

平面假设：圆轴受扭转时其横截面如同刚性平面

一样绕杆的轴线转动。

表面正方格子倾斜的角度—直角的改变量g 切应变g

g

j

A B

D C

g A

B

C D

B 1

A 1

D 1

C 1D'

D 1'C 1'

C'横截面上没有正应力产生，只有切应力，方向与圆周相切，即与半径垂直。

此处为以横截面、径截面以及与表面平

行的面从受扭的等直圆杆表面处截取一微小的正六面体单元体·切应力互等定理

单元体——M e

M

e

x

y

z

a

b

O c

d

d x

d y

t '

t

t

t 't

t ='纯剪切应力状态：

单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为纯剪切应力状态。

EG G G '=≈ρρg g tan AD DD '

=≈g g tan x

d d j

ρ=

M e

M e

d j g

D'G'

G E T

T O 1

O 2

a b a

b

d x

D A

g ρ

d j

g

D'

G'

G

E

O 1

O 2D A

g ρ

d x

d

Ⅰ、横截面上的应力公式

物理方面静力学方面几何关系A 、几何关系

x

R d d j ⨯=