扭转应力及变形

32
0.148rad 8.5
Tuesday, February 28,
Mechanics of Materials
31
2012
n
300
2、内力-----扭矩T
T M 10.54KN .m
3、由强度条件：
max
T Wt
16 10.54 103
d 3
[ ]
d 11.02 102 (m)
4、由刚度条件：
T 32 10.54 103 180 [ ] 0.5
2、强度校核
max1

T1 WP1

3000 16 3.14 753

36.2(MPa)
max 2
T2 WP 2

1200 16 3.14 503
48.9(MPa)
max1 [ ]
max2 [ ]
轴的强度足够! 3、刚度校核
1

d
dx

T1 GI P1
d
R
a

bA
T
b′ A′
x
c
d
d′
dx
T
τ


五、静力关系
横截面上内力系合成的结果 T
τ
内力合力T
xT
dA

dA
T
T
D
dA
T x

dA
T
T




T
dA


A

G


d
dx
dA
D
G d 2dA dx A
令 I P 2dA
0.069 750 103 1.402 50 103
0.589(o )
例题4 一圆轴以300转/分的转速传递331KW的功率，若 []=40×106MPa，[′]=0.5°/m，G=80GPa，试设计 轴的直径。
解：1、求外力偶矩
M 9549 N 9549 331 10540(N.m)
解：1、求外力偶矩
M 9549 N n
9549 150 1550N.m 15.4 60
2、作扭矩图 T
M
2=75
1=70
M
3=135
+1.55KN.m
3、计算并校核剪应力强度
max
T Wt

16 1.55 103 3.14 703
23MPa [ ]
x
满足强度要求。
GI p d 3 80 109
d 9.37 102 (m)
取d=12cm
*4、由刚度条件： 由强度设计，取d=12cm

T GI p

32 10.54 103
0.123 80 109
180

0.045( / m) [ ] 0.5 符合刚度条件
D12 d12 1002
d1
1 100(mm) 3
D1
2 100(mm) 3
Wt

1 16
D13
(1


4
)
m ax Wt
1 D3
16
0.693
max
Wt
1 16
D13
(1


4
)
m ax 0.693 71.3 49.4(MPa)
r
2
1 (D4 d 4 ) 1 D4 (1 4 )
32
32
Wt

1 D3 (1 4 )
16
d
D
例题1 实心圆轴的直径d=100mm，长L=1m，两端受力偶矩 m=14KN.m作用，设材料的剪变模量G=80×109N/m， 求：
1）最大剪应力τmax； 2）图示截面上A、B、C三点剪应力的数值; 3）若将圆轴在保持截面面积A相同时改为d1/D1=1/2
横截面对形心的极惯性矩
I P 2dA
仅与图形的面积分布有关而与外界条 件无关，反映截面性质的量。
T

G

d
dx

IP
d T
dx G I P

G d
dx

T
IP
max

TR IP

T Wt
Wt

IP R
抗扭截面系数，与截面的大 小、形状、尺寸等有关。
c
d
3）在圆筒的两端加上静载外力偶矩M，观察变形。
3）在圆筒的两端加上静载外力偶矩M，观察变形。
M
M
a′ b′
c′ d′
4）观察变形
a
b
c
d
a′ b′
c′
d′
abcd→a′b ′ c ′ d ′
ac、bd代表的是两个横截面
提出假设： 横截面似一刚性平面，在外力偶矩作用下绕轴
转过一定的角度，仍维持为圆截面。
的空心圆轴，其最大剪应力τ 。
max
m
m
A
B C
解：1）T=m=14KN.m
max
T Wt
14 103
1 D3
71.3 106(Pa)
16
A
2) A 71.3MPa
B C
B 71.3MPa
c

1 2
71.3MPa

35.7MPa
3) A相同，空心率d1/D1=1/2
80 109
1
3000 3.14 (75 103 )4
180

32
1 0 .069 ( O / m )
2

d
dx

T2 GI P 2
1.402 (O / m )
1 [ ] 2 [ ]
轴的刚度足够!
5、总变形 1 l1 2 l2
最大应力下降了30.7%！
思考:空心圆截面剪应力怎样分布?
O
T


O
T
O
T

§3-5 圆轴扭转时的变形
一、相对扭转角：两个一定距离的截面在外力偶作用下产生的
扭转变形，即相对转过的角度。用 表示。
d T
dx G I P
T dx l GI P
1）T不同分段积分
2）材料不同，分段积分
GI P
其中[′]称为许用单位长度相对扭转角。
★可进行如下三种刚度计算：
1、校核刚度：
m ax
2、设计截面尺寸：
T
IP

G
max

3、设计载荷：
T max I PG
例题2 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图， 许用剪应力 []=30M Pa, 试校核其强度。
内部A： A→A′
AA' dx AA' d
d
ρ

A
x
A′
dx
R d
dx




d
dx
d
d
R
a

bA
b′ A′
x
c
d
d′
dx
ρ

A
x
A′
dx
★ 变形几何规律：

d
dx
★ d ---单位长度上横截面的相对扭转角
dx
d
★同一截面上（选择了参考面后）， 相同 dx
3）截面不同，分段积分
4）若在某一范围内T一样，截面一样，材料相同，则
Tl
GI P
GI P ----材料的抗扭刚度
二、单位长度上的相对扭转角 -----相对变形

d
dx

T GI P
§3-6 圆轴扭转时的强度与刚度计算
一、强度设计准则：
max

T WP
max

取d=12cm
[例] 如图,已知钻探机杆的外径D=60mm，内径=50mm，功率 P=7.35kW，转速n=180r/min，钻杆入土深度L=40m，G=80GPa， [τ]=40MPa。设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求 （1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度； （2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；
a

bA
b′ A′
x
c
d
d′
dx
d
ρ

A
x
A′
dx
1）dx小段上，两个横截面相对转过的角度 d
2）abcd→a′b ′ c ′ d ′，则产生γ的角变形
3) 在dx小段的内部，半径为ρ的位置上，产生的角变形
d
R
a

bA
b′ A′
x
c
d
d′
dx
bb' dx 外表面上：b→b′ bb' R d
（3）求A、B两截面相对扭转角。
T
Mt
A
A
Mt (x)
l x
B
B
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Mechanics of Materials
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[解] (1)外力矩
T 9.55 103 P 390Nm
n
而
tl T
单位长度上土壤对钻杆的阻力矩
t T / l 390 9.76Nm m1 40
平面假设成立!
观察到的变形：
a
b
1）平面假设成立
2）轴向无伸缩
c
d
a′ b′
c′
d′
3）纵向线变形后仍为平行直线 4）横截面上同一圆周上所有的点绕轴心转过相同的角度
二、变形几何规律
M
M

x
d
dx
d
R
a

bA
b′ A′
x
c
d
d′
ρ

A
x
A′
dx
dx 取一小段dx圆轴研究之，如上图示
d
R
三、物理关系
当 时 G （剪切胡克定律）
， 剪应力分布规律：

G
d
dx
1）同一截面上， 与 成正比，即 沿半径线线性分布
2）同一截面上，在同一圆周上有相同的大小。 3）从变形可以看出，没有长度的变化，只有相对的转动，
横截面上点沿圆周线位移， 与半径线垂直，且顺着 T的方向。

其中[]称为许用剪应力。依此强度准则可进行三种强度计算：
1、校核强度：
max
2、设计截面尺寸：
来自百度文库
W t

T ,max

3、设计载荷： T max W t ; P f (Tmax )
二 、 扭 转 刚 度 条 件 ： T [ ]
第三章 扭 转
§3-4 圆轴扭转时的应力 §3-5 圆轴扭矩的变形 §3-6 圆轴扭转时的强度与刚度
§3-4 圆轴扭转时的应力
★分析思路：
应力
内力分布
一、实验观察
静力关系 几何关系 物理关系
实验观察 变形几何规律
ab cd
1）在圆轴的外表面上纵向作平行直线
a
b
2）在圆轴的外表面上横向作平行圆周线
例题3 已知阶梯轴如图示，m1=1800N.m,m2=1200N.m,
G=80GPa,[τ]=80MPa, 1) 试求τmax的值，并作强度校核；
2）若[′ ]=1.5 o /m,试校其刚度；3）轴的总变形。
m1
m2
75 50
750
50
T
-3000N.m
解：1、求内力，作扭矩图
x
-1200N.m
Mechanics of Materials
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(3)A、B两截面相对扭转角
AB
40 M t (x)dx 0 GI P
40 txdx tx 2 0 GI P 2GI P
40 0

2 80 109
9.725 402
604 504
1012
六、公式的适用范围
1、圆轴扭转 2、弹性范围内
max p
五、 IP、Wt的计算
d
1、实心圆轴
IP
2dA R 2 2 d 0

1 R4 1 D4
2
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Wt

1 D3
16
D
2、空心圆轴
IP
2dA R 2 2 d 1 (R4 r 4 )
(2)扭矩图略
M x tx
扭矩在入土深度以内为线性分布
max
M t max W
T WP

1
M t max

D（3 1 4）
16 0.39 103 3.14 (60 103)[1 ( 50)4 ]
16
60
17.74MPa
轴的强度足够!
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