项目6 应力与变形分析

三、圆轴扭转的变形计算
扭转变形用两个截面的相对扭转角 来表示。
Tl
Me
Me
GI P
单位 ：弧度（rad )， 与Tl 成正比，与GIP 成反比，GIP 称为
圆轴截面的扭转刚度。
G：材料的切变模量，单位是GPa ，实验测得。
Ip ：横截面对圆心O点的极惯性矩。
四、圆轴扭转的刚度条件
三、横力弯曲时梁横截面上的正应力 横力弯曲：梁的横截面上既有弯矩又有剪力。此时，横 截面是不仅有正应力，而且有切应力。 横截面上的正应力近似地按纯弯曲正应力公式计算，满 足工程上的精度要求。
My Iz
四、梁的弯曲强度计算
一般情况下，最大正应力 max 发生于弯矩最大的横截面上 矩中性轴最远处。 习惯上把产生最大应力的截面称为危险截面，产生最大应 力的点称为危险点。
三、梁的刚度条件 梁的弯曲变形过大，将影响梁的正常工作，其变形应 控制在一定的限度之内，即满足刚度条件，梁的刚度条件 为：
max
max
在设计梁的截面时，既要保证其具有足够的强度，又 要保证其具有足够的刚度。
任务6.9 提高梁弯曲强度和刚度的措施
max
M max [ ] Wz
σmax是杆件的最大工作应力，可能是拉应力，也可能是
压应力。[σ ]为许用应力。
2、强度条件在工程中的应用 根据强度条件，可以解决三类强度计算问题： 1、强度校核： 2、设计截面：
FN max A FN A
3、确定许可载荷：
FN A
任务6.5
剪切和挤压的实用计算

[ ]：许用切应力
许用切应力是仿照联接件的实际受力情况进行剪切试 验而测定的。实验表明：金属材料的许用切应力[τ]与许 用拉应力[σt ]间有下列关系： 塑性材料： [τ]=（0.6～0.8）[σt ] 脆性材料： [τ]=（0.8～1.0）[σt ] 剪切强度条件在工程中也能解决三类问题：
受压区 z 中 受拉区 性 层 y 中性轴
二、纯弯曲时梁横截面上的正应力
经推导，得纯弯曲时横截面上任一点正应力的计算公式：
My Iz
横截面上任一点的正应力与该横截面 上的弯矩和该点到中性轴的距离成正比， 而与该截面对中性轴的惯性矩成反比。即 弯曲正应力沿截面高度成线性分布。 中性轴上各点处的正应力等于零，距 中性轴最远的上、下边缘上各点处正应力 最大，其它点的正应力介于零到最大值。
FN A
F

FN
FN---轴力 A---横截面面积 σ---正应力 正应力方向离开截面（拉力）为正； 正应力方向指向截面（压力）为负。 σ的符号与FN轴力符号相同。
任务6.2
轴向拉压杆的变形
一、拉压杆的变形及应变
a1 l l1 a
FP
FP
纵向变形
l l1 - l
横向变形
a a1 - a
设计截面:
确定许用荷载 :
任务6.8
一、挠度与转角
直梁弯曲的变形
梁在受到荷载作用产生平 面弯曲时，它的轴线由原来的 直线变成了一条光滑而连续的 平面曲线。梁变形后的轴线称 为挠曲线。
A
FP B x
ω
挠曲线是x的函数用方程ω = f (x)表示，称为梁的挠曲 线方程。 量度弯曲变形有两个基本量挠度和转角。
二、叠加法求梁的变形
所谓叠加法，就是指结构在多个荷载作用下产生的某量 值（包括反力、内力或变形等）等于在每个荷载作用下产生 的该量值的代数和。
用叠加法求挠度和转角的步骤是： ⑴ 将作用在梁上的复杂荷载分解成几个简单荷载，简 称荷载分组。 ⑵ 查表求梁在简单荷载作用下的挠度和转角。 ⑶ 叠加简单荷载作用下的各挠度和转角，求出复杂荷 载作用下的挠度和转角。
一、圆轴扭转时横截面上的切应力
T：横截面上的扭矩 Wp ：扭转截面系数，单位为m3。
3 d 实心圆截面 W p 16 3 D (1 4 ) 空心圆截面 W p 16
d D
切应力τ分布图
实心截面
空心截面
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重 量轻，结构轻便，应用广泛。
为了消除原始尺寸对杆件变形量的影响，准确说明杆 件的变形程度，将杆件的纵向变形量△l 除以杆的原长l， 得到杆件单位长度的纵向变形。 纵向线应变
l l
横向线应变
FP a1
d d
a l l1
线应变--每单位长度 的变形，无量纲。
FP
从上述分析我们已经知道：杆件在轴向拉（压）变形 时，纵向线应变ε与横向线应变ε′总是正、负相反的。 通过实验表明：当轴向拉（压）杆的应力不超过材料 的比例极限时，横向线应变ε′与纵向线应变ε的比值的绝对 值为一常数，通常将这一常数称为泊松比或横向变形系数。 用μ表示。
+
直梁弯曲的强度计算
F
P
F
P
a D
CD梁段横截面上只
C
B
有弯矩,而没有剪力，这
种平面弯曲称为纯弯曲。 AC和DB 梁段横截
面上不仅有弯矩还伴有
FP
剪力，这种平面弯曲称 为横力弯曲。
中性层：梁的下部纵向纤维伸长，而上部纵向纤维缩 短，由变形的连续性可知，梁内肯定有一层长度不变的纤 维层，称为中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴，
支座的安排
降低 Mmax 载荷的布置 增大Wz
同样面积 —— 选 Wz 大的截面
一、合理安排梁的支承 降低M max
qL2 8
q L
M
x
q L/5 L/5
M
2 qL 50
qL2 40
x
二、合理布置载荷 降低M max
P M L/2 P 对称 L/5 4L/5 L/2 PL/4
x
M
PL/10
x
三、选择梁的合理截面

s
s
s
Fbs为挤压力
Abs为挤压面积
铆钉、销钉等圆柱形联接件的挤压面为半圆柱侧面，在 挤压的实用计算中，挤压面积用 A d 来计算。
bs

d
挤压强度条件在工程中同样可以解决三类问题。 但工程中构件产生单纯挤压变形的情况较少，挤压强 度的计算问题往往是和剪切强度计算同时进行。
任务6.6
圆轴扭转的强度计算
一、剪切的实用计算 F m F
m
F
Fs
Fs
F
剪力Fs :剪切面上分布内力的合力。 用截面法计算剪切面上的内力。 ∑Fx=0 Fs -F=0 Fs =F
解得
假设：假设剪力在剪切面上呈均匀分布。
构件在工作时不发生剪切破坏的强度条件为:
Fs A

：切应力 Fs ：剪力 A ：剪切面面积
极限应力

塑性材料 脆性材料
0 S
b
0

n —安全系数
0
n

—许用应力。
塑性材料的许用应力

s
ns
b 脆性材料的许用应力 nb
选取安全系数的原则是：在保证构件安全可靠的前提下， 尽可能减小安全系数来提高许用应力。 确定安全系数时要考虑的因素，如：材料的均匀程度、荷 载的取值和计算方法的准确程度、构件的工作条件等。 塑性材料 nS 取1.5～2.2； 脆性材料 nb 取3.0～5.0。 某些构件的安全系数和许用应力可以从有关的规范中查到。
从抗弯截面系数的计算可以推知：一般情况下，抗弯截面系 数与截面高度的平方成正比，所以，合理的截面形状应该是在横 截面面积A相等的条件下，比值Wz / A尽量大些。 通过对矩形、圆形、工字形、正方形截面进行理论计算发 现：在横截面的面积A相等的情况下，比值Wz / A从大到小的截 面依次是：工字形、矩形、正方形、圆形。
强度校核 设计截面 计算许用荷载
二、挤压的实用计算
当构件承受的挤压力Fbs过大而发生挤压破坏时，会使联 接松动，构件不能正常工作。因此，对发生剪切变形的构件， 通常除了进行剪切强度计算外，还要进行挤压强度计算。
实用计算法，即认为挤压应力在挤压面上的分布是均匀 的。故挤压强度条件为 :
bs
Fbs ≤ [ bs ] Abs

实验测出。
或
-
泊松比μ是一个无单位的量。它的值与材料有关，可由
二、胡克定律 经实验：当杆内应力不超过材料的某一极限值（比例极 限）时
FN l l EA
——胡克定律
E称为材料的弹性模量，可由实验测出。量纲与应力相同。 从式可推断出：对于长度相同，轴力相同的杆件，分母 EA越大，杆的纵向变形△l就越小，可见EA反映了杆件抵抗 拉（压）变形的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度。




对于各种型钢的惯性矩和抗弯截面系数可从书后“ 附录”型钢表中查出。
对于抗拉和抗压能力相同的塑性材料（如低碳钢），梁 横截面上绝对值最大的正应力不超过材料的弯曲许用应力。 其正应力强度条件为：
M max max Wz
强度条件应用 强度校核:
M max max [ ] Wz
p



K
总应力分解为
正应力σ
剪应力τ
与截面垂直
与截面相切
工程中应力的单位常用Pa或MPa。 1Pa=1N/m2 情况如下： 1kPa=103Pa， 1GPa=109Pa=103MPa
p

1MPa=1N/mm2
另外，应力的单位有时也用kPa和GPa，各单位的换算

K
1MPa=106Pa

二、 轴向拉伸和压缩时横截面上的正应力 1、拉压杆横截面上只有正应力。 2、拉压杆横截面上的正应力是均匀分布的。 3、正应力的计算公式：
M max ymax max Iz
令：
I z ymax Wz
M max max Wz
式中WZ仅与截面的几何形状及尺寸有关，称为截面对中性轴 的抗弯截面模量。单位：m3或mm3 。
若截面是高为h ，宽为b的的矩形，则
bh Iz 12
3
I z bh3 12 bh2 Wz h2 h2 6
梁弯曲时，任一横截面的形心（即 轴线上的各点）在垂直于x轴方向（即 A A 沿y轴方向）的线位移，称为该截面的 挠度，一般用ω表示。 ω
C
FP
θC
C’
B
x
任一横截面绕其中性轴相对于原来位置所转过的角度，称为该 截面的转角，一般用θ表示。转角的单位常用弧度（rad）。 对挠度的符号规定为：向下的挠度为正，向上的挠度为负。 对转角的符号规定为：顺时针转动为正，逆时针转动为负。 经推导，转角与挠度的关系是： f x 称为转角方程。
对于等截面直杆，最大正应力一定发生在轴力最大的截 面上。
max
FN max A
习惯上把杆件在荷载作用下产生的应力，称为工作应 力。 通常把产生最大工作应力的截面称为危险截面，产生 最大工作应力的点称为危险点。
二、轴向拉压杆的强度计算 1、强度条件 σmax≤[σ]
max
FN A
单位长度扭转角θ： 圆轴扭转刚度条件：
T l GI P Tmax [ ] (rad m) max
GI P

[ ]称为许用单位扭转角。
max
Tmax 180 GI P
(
0
m)
刚度计算的三方面：校核刚度 设计截面尺寸 确定许可荷载
百度文库
任务6.7
一、梁的纯弯曲 a A FP FS M FPa
二、圆轴扭转时的强度计算
等直圆杆扭转时，强度条件应该是横截面上的最大工作
剪应力 max 不超过材料的许用剪应力 [ ] ，即
max
Tmax [ ] Wp
Tmax 校核强度： max [ ] Wp T 设计截面尺寸： W p max [ ]
确定许可载荷：
Tmax Wp[ ]
项目6
应力与变形分析
任务6.1 轴向拉压杆的应力
一、应力的概念
F F
F F
1、内力大小不能衡量构件强度的大小。 2、强度 (1)内力在截面分布集度应力。 (2)材料承受荷载的能力。
受力杆件截面上某一点处的内力集度称为该点的应力。
总应力p是一个矢量，通常情况下，它既不与截面垂直， 也不与截面相切。 为了研究问题时方便起见，习惯上常将它分解为与截面垂 直的分量σ和与截面相切的分量τ。
FN l l ——胡克定律 EA
若将上式的两边同时除以杆件的原长l，并将代入，于 是得


E
或 E
表明：在弹性范围内，正应力与线应变成正比。比例系 数即为材料的弹性模量E。
任务6.4
轴向拉压杆的强度计算
一、许用应力和安全系数
任何一种材料都存在一个能承受应力的上限，这个上 限称为极限应力，常用符号σo表示。
若截面是直径为d的圆形，则
Iz
d
4
64
Iz d 4 64 d 3 Wz d 2 d 2 32
若截面是外径为D、内径为d 的空心圆形，则
D 4 I z 1 4 64
Iz D 4 d 4 64 D3 Wz 1 4 D2 D2 32
d
D d D