扭转变形

E 其中G是材料的剪切弹性模量 G 2(1 )
注解： 对比拉伸变形中的虎克定律
单位：MPa GPa
E l
pl EA
五、圆轴扭转时横截面上的剪应力分布规律及强度计算
（一）剪应力分布规律
1、变形几何关系 •试验现象
轴表面的轴向线ab变形后仍 近似为直线，只是倾斜一个 角度γ；圆周线形状、大小、 间距不变，只是绕轴线旋转 了不同的角度。
IP WP 定义 R
R
为轴抗扭截面模量（纯几何），单位是m3
1 1 4 IP d WP d 3 32 16 1 d 4 4 IP D [ 1 ( ) ] 32 D WP 1 d D 3 [ 1 ( ) 4 ] 16 D
实心圆形截面
空心圆形截面
讨论：
d T dx GI P
m
a
m n
γ
m
φ
b
b
x
m m a
n n
dx
•推论----变形几何关系

bb ab d R dx
其中
ab dx bb Rd
b γ d o
b
x
则
m dx n
注解：在横截面nn上，距离中心o为ρ的任一点，其对应的 d 剪应变为 也即γρ与ρ成正比 dx
2、物理关系----应力应变关系 剪切虎克定律--- 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时， 剪应力与剪应变之间的关系满足剪切 虎克定律。即
（二） 圆轴扭转时的强度及刚度条件及应用 1、强度条件 圆轴的抗扭截面模量为WP， 材料的许用剪应力为 则受扭圆轴的强度条件为 假设圆轴扭转时横截面上的最大扭矩为T
max
T 其中 塑性材料 ( 0.5 ~ 0.6 ) IP WP 脆性材料 ( 0.8 ~ 1.0 ) R T
2、刚度条件
假设材料的剪切弹性模量为G，轴横截面对形心的极惯性矩 为IP，轴的单位长度的许用扭转角为
则受扭圆轴的刚度条件为

T 180 [ ] GI p
3、应用
扭转强度条件 T max WP
•已知T 、D 和[τ]，校核强度 •已知T 和[τ]， 设计截面 •已知D 和[τ]，确定许可载荷
解题思路：
max
max
M 180 M max 180 max 1 GI P G d 2 4 32
M max 9550N A 16 3 Wp nd 1
d max(d 1 , d 2 )
3. 某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，传

m
各纵向线的长度、位置关系、 m 间距不变，但都同时倾斜了一 b 个角度γ 。 2、受力特点分析及推论
a
q
q
a1
b1
m
薄壁圆筒受扭时，其横截面上无轴向外力，也即横截面上 无正应力存在。
薄壁圆筒受扭时，各横截面上都有扭矩作用，因此产生扭矩 的只能是截面上的剪应力τ。 薄壁圆筒受扭时，各纵向线倾斜相同的角度，因此薄壁圆 筒截面上各点的剪应力都相等。 （二）纯剪切 剪应变 剪切虎克定律 1、纯剪切 受扭构件的横截面上只有剪应力而没有正应力 存在。 2、剪应变及剪应力互等定理 （1）剪应变（γ） 单元体在剪应力的作用下，原来的 直角将发生微小的改变，直角的改 变量即为剪应变。
空心轴较实心轴合理。
扭转刚度条件
T 180 [ ] GI p
•已知T 、D 和[ ]，校核刚度
•已知T 和[ ]，设计截面
•已知D 和[ ]， 确定许可载荷
六、例题讲解
1、强度、刚度校核型 NA NB 一传动轴如图所示，电动机将功率 输入B轮，再由A轮及C轮输出，已 知NB=7kW，NA=4.5kW，NC=2.5kW， 轴的直径d=40mm，转速n=50rpm， 1000 且不变，轴材料的许用应力 80MPa 许用扭转角 0.5 / m ,G 80GPa, 试校核轴的强度和刚度。 解: (1)强度校核 •计算各外力偶矩 由 MA= MB= M C=
故轴的强度足够.
M max 180 2.45 / m GI P
0.5 / m
故轴的刚度不能满足. 2、强度设计型 一传动轴如图所示，电动机将功率输入B轮，由A轮及C轮输 出，已知NB=7kW，NA=4.5kW，NC=2.5kW，轴转速n=50rpm， 且不变，轴材料的许用应力 80MPa 许用扭转角 0.5 / m, G 80GPa, 试设计轴的直径。
n
n
m
（图1） n m
n （图2） n
m
n
该力偶的力偶矩的大小为 T=Me T称为扭矩 同样取右段为研究对象，可得到
（图3）
n n
截面上的扭矩 T和T 关系
T
等值、反向，作用面相对平 行，为一对“作用力”和 “反作用力”
（2）扭矩的大小计算 •正负规定： 右手螺旋法则 右手四指指向扭矩的转向，如果大拇指的指向背离扭矩作用 面的方向，则扭矩为正，反之，为负。 •扭矩图： 扭矩的大小用扭矩图表示
故轴的强度满足要求。 若将空心轴改成实心轴，仍使 max 97.5MPa ，则
max
空心轴与实心轴的截 A空 ( D D 2t ) d 0.334 1 4 4 3 面面积比(重量比)为：A实 同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故
2 2 2
Tmax 1.98103 97.5MPa 由上式解出：d=46.9mm。 3 Wp d / 16
作法： 沿着轴的轴线方向为X轴，表示轴横截面的位置， 垂直于轴线的方向为扭矩轴，表示扭矩的大小， （3）实例： 将其关系用矩形图表示。 设某传动轴的转速n=80r/min， N4 各轮传递功率N1=7.5kW， N2=1.5kW，N3=4.5kW， N4=1.5kW，计算各段的扭矩, 画出扭矩图
N3 N1 N2
MT

ρ
dA
O
τρ
T dT dA
A A
2
d 其中 G dx
则
d T dA G dA A A dx
d 由于当截面位置确定以后， dx
为常数， G是材料的剪切弹性模量，
d T G dx
定义

A
dA
2
2 dA I p
M i 9549
MT
NC
2000
X
Ni n
得
•画扭矩图,确定最大扭矩Mmax
•强度校核 M 9550N A 16 9550 4.5 16 max max 68.3 MPa 3 3 Wp nd 50 0.04
由于 80MPa （2）刚度校核 由于 max

T Ip
R0 min 0
•当ρ=0时（横截面中心） ， •由
定义 GIP为构件的抗扭刚度，表示构件抵 抗扭转变形的能力。
d •定义 dx
为受扭轴单位长度的扭转角，单位是°/m
对于长度为L的受扭圆轴，单位长度的扭转角

d T l l dx GI P
受扭轴
二、受力特点及变形特点
1、受力特点 受扭轴两端的截面上均受到平行力偶的作用，两外力偶大 小相等转向相反，作用面相互平行。 2、变形特点 受扭构件的各横截面将绕轴线发生相对转动，原来与轴 线平行的各纵向线均变成螺旋线。
三、圆轴遭受扭转时所受外力和内力计算
1、外力偶矩的计算
W F l F 2r n 2n F r 2n M e W 60P
τ
τ γ
τ
（2）剪应力互等定理 在单元体的两个相互垂直的截面上，剪应力同时存在，且大小 相等，方向同时指向或背离两个截面的交线。 即 1 2 τ 3、剪切虎克定律 τρ 当剪应力不超过材料的剪切比例 极限时，剪应力与剪应变成正比。 G 即 G
（纯剪切试验）
G G
推论1 受扭轴横截面上任意点的剪应力与该点 到圆心的距离成正比，在截面圆周上各 点的剪应力最大，在圆心处为零。
d dx
τmax
MT
τmax
τmax
推论2
横截面上任一点的剪应力的方向是顺着扭 矩的转向，垂直于过该点的圆半径。
3、静力学关系 如右图所示，设轴横截面上的扭矩为T， 距离中心O的ρ处取微小面积dA，作用于 其上的剪应力为τρ。 则整个横截面上各微剪力对圆心O的力矩 之和应等于横截面上的扭矩T 即
递扭矩T=1.98kN· m，[]=100MPa，试校核轴的强度。
D 4 (1 4 ) 77.1104 m m4 解：计算截面参数： I p 32 W I p 20.3 103 m m3 p D/2
由强度条件：
max
Tmax 97.5MPa [ ] WP
计算各段的扭矩 据右手螺旋法则，各段的扭矩依此为
M n12 M 2 179N m M n13 M 2 M 1 179 895 716N m
矩为各外力矩代数和，
即
M n M i
M n 34 M 2 M 1 M 3 179 895 537 179N m
A
其中Ip为横截面对圆心的极惯性矩， 单位是m4
d T dx GI P
得剪应力的计算公式
代入
d G dx

T Ip
max
TR Ip
讨论：

T Ip
TR T IP IP
•当 R 时，（横截面边缘上各点） R max
解： 计算轴的外力矩