第四章 扭转变形
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9
二、扭矩
截面法 1 1
T
1.定义：杆件承受外力偶作用 mx 后，横截面上将产生一个连 续分布的内力系，该内力系 A 必组成一力偶与外力偶平衡， 横截面上的内力偶矩称为 mx A “扭矩”。用符号 T 表示。 2.大小： 列平衡方程
mx
B
x
x
T
mx
mx—T = 0；T = mx
10
x
mx
3.正负号：按照右手螺旋定则，扭矩矢量方向与横截面外 法向方向一致，扭矩为正；反之，扭矩为负。
rpm （转/分）
式中：N 为传递功率，单位 kW 或 PS n 为每分转数，单位
8
mx 为外扭转力偶矩，单位
N· m
如：某传动轴 传递功率 N = 30 kW， 转数 n = 300 rpm， 该轴所受的外扭转力偶矩为：
A
B
N m x 9549 n 30 9549 300 954 .9 N m
T T 2 2 r0 t 2 A 0 t
A0：平均半径所作圆的面积。 ②剪应变
L R R/ L
A
m
O B m
18
三、切应力互等定理：
a dy
´
dx
´
b
mz 0
c z
d
t dxdy t dxdy
D Ip 32
4
D Wp 16
3
对于圆环截面
D 4 Ip (1 4 ) 32 D 3 Wp (1 4 ) = d / D 16
40
圆轴扭转时的强度条件
max
式中
T W P max
扭转许用剪应力[ ]与拉伸许用应力[s ]的关系：
变与该柱面到轴线的距离成正比，
最大剪应变发生在圆轴表面，圆轴 中心处剪应变为零。
28
二、物理关系（剪切虎克定律）(Hooke’s law in shear)
纯剪切应力状态 剪应变： 在剪应力作用下，单元体直角边的角位移。 用 表示。
29
'
dz
O
dy
'
dx
M oz 0 dxdz dy dydz dx 0
20
T=m
在一定范围内
T ( 2 A 0t ) ( L / R)
剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时 （τ ≤τp) (在弹性范围内)，切应力与剪应变成正比关系。
21
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无 量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢
'
1、剪应力互等定理： 在相互垂直的两个面上，剪应力必然成对出现，而 且大小相等，方向指向（或背离）两面的交线。
30
2、 剪切虎克定律 (Hooke′s law in shear)
当： ≤ P
＝G
——剪切胡克定律
式中：P —剪切比例极限
G —剪切弹性模量 单位：GPa， 钢材：G = 80 GPa 弹性常数之间的关系
布，轴线处为零，外边缘
处最大。
34
T
圆截面 T
圆环截面
35
四、极惯性矩计算 圆截面
I P dA
2 A
D/2
0
4
2d
2
圆环截面
2
D
32
D/2 4 4 ( D d ) 2 2d 32
I P dA
A
4
d /2
D 4 (1 ) 32
T(N· m)
1170 702
+
351
x
14
§4–3 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒：壁厚 t 1 r0 （r0：为平均半径） 10 一、实验：
1.实验前：
①绘纵向线，圆周线；
②施加一对外力偶 m。
15
2.实验后： ①圆周线的大小、形状、
间距不变； ②纵 倾
向线变成斜直线， 角相同。
3.结论：①各圆周线的间距均未改变→横截面上无正应力. ②圆周线的形状、大小均未改变，只是绕轴线作了相对 转动→周向无正应力 ③纵向线倾斜→横截面上有切应力. ④各纵向线均倾斜了同一微小角度 →切应力均匀分布.
16
微小矩形单元体如图所示： ①横截面上无正应力 ②周向无正应力 ③横截面上各点处，只产生 垂直于半径的均匀分布的切应力
a
c
b
d
，沿周向大小不变，方向与该
截面的扭矩方向一致。
17
二、薄壁圆筒切应力 与剪应变： ①切应力
A
dA r0 T
r0 AdA r0 2 r0 t T
塑性材料： [ ] = ( 0.5 – 0.6 ) [s ]
脆性材料： [ ] = ( 0.8 – 1.0 ) [s ]
41
例题4.2 已知：汽车传动轴，最大外力偶矩 Mx＝1.5kN· m， D=90 mm， t =2.5 mm，[ ] = 60 MPa, 试求：1、校核空心轴强度 2、 max相等条件下，确定实心轴直径； 并确定空心轴与实心轴的重量比。
43
§4-6 圆周扭转变形 一、扭转变形 (twist deformation)
刚度条件
1、单位长度扭转角(angle of twist per unit length of the shaft)
d T dx GI p
相距为 dx 的两个截面 的相对扭转角为：
T
T
T d dx GI p
功率输出轴
4
工程中的扭转构件
5
受力特点： 等值、反向的一对外扭转力偶， 作用面与轴线垂直。 变形特点： 横截面绕轴线转过不同角度。 各横截面绕轴线作相对转动。 相对扭转角 AB : B 截面相对A 截面绕轴线转过的角度。 m 轴(shaft) ： A 以扭转变形为主的杆件，如圆轴。 截面形状多为圆形或圆环形。
1
主要内容
§4-1 扭转的概念与实例 §4-2 外力偶矩 扭矩 扭矩图 §4-3 薄壁圆筒的扭转 §4-4 圆轴扭转时横截面上的应力 §4-5 圆轴扭转强度计算 §4-6 圆轴扭转变形 刚度条件 §4-7 非圆截面杆的扭转简介
2
§4-1 扭转的概念与实例 工程中的扭转构件
传动轴
3
工程中的扭转构件
36
d D
五、扭转剪应力应用条件
T Ip
1、扭转变形与应力公式是在平
面假设的基础上得出的,只有当 平面假设成立时，上述结果才是
正确的。实验结果表明，只有对
等截面圆杆，平面假设才成立， 对于非圆截面杆，平面假设并不 成立。
37
Tຫໍສະໝຸດ Baidu Ip
2、推导过程应用了剪切胡克定律，
所以纯剪状态必须处于弹性范围 内，最大剪应力不得超过材料剪 切比例极限。
4.单 位： N· m 或 kN· m
11
例题4.1 已知：mA= 1170 N· m； mB= 468 N· m mC = mD =351 N· m 试求：作扭矩图 解：1、计算各段扭矩 T1=－mB=－468 N· m T 2= m A － mB
=1170－468
=702 N· m
T N· m
31
P
p
E G 21
d ()= dx
＝G
d ＝ G ＝ G dx
d /dx 确定平面为常量，所以横截面上各点的剪应
力与该点到截面中心的距离成正比，即剪应力沿半径方向 线性分布，其方向与半径垂直，且与扭转方向一致。
32
三、静力关系（确定剪应力与扭矩的关系）
46
例题4.3 已知: d1=100 mm，d2=60 mm， [ ] = 60 MPa, [ ] =1 º /m, G = 80 GPa 求 ：校核强度、刚度 解：1、内力分析 T1=10 kN· m， T2=3 kN· m 作扭矩图
T
(kN· m)
7kN· m 2
3kN· m
A
800
10
+
25
3、平面假设: 横截面变形前为平面，变形后仍保持为 平面，截面半径保持为直线，只是相邻的截面相 对转过一个角度。
26
d
R
R
d d
dx
() × dx= × d
27
() dx = d d ()=
dx
d / dx 为截面相对扭转角的变 化率，或单位长度相对扭转角。 任意同轴圆柱面上微元的剪应
B
800
C
3
2、校核强度 3 T 16 10 10 16 T1 1 max 1 ＜ [ ] 3 3 9 WP1 d1 100 10 50 . 9 MPa 3 3 10 16 max 2 T2 T2 16 ＞ [ ] 70 . 7 MPa 3 3 9 WP 2 d 2 60 10
材的G值约为80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三
个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系
（推导详见后面章节）：
E G 2(1 )
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量 就可以推算出来。
22
§4-4 圆轴扭转横截面上的应力 1、根据试验观定圆轴表面变形情形，假定圆轴内部
故
t
上式称为切应力互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应 力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交 线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
19
单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这 种应力状态称为纯剪切应力状态。 四、剪切虎克定律：
薄壁圆筒体扭转实验
变形情形；
几何关系
2、应用应力—应变关系确定应力分布；
物理关系 3、最后确定扭矩与应力关系。 平衡关系
23
一、变形几何关系
1、试验现象: 圆周线的形状、大小、间距不变； 纵向线间距不变，转过一个相同角度。
24
2、推论： 横截面上没有正应力，只有剪应力； 剪应力方向与所在半径垂直，指向扭矩的转向。
( dA) = T A dA d ＝ G dx O d 2 T G dA dx A 2 I P dA 称为极惯性矩，单位：m4 。
d T dx GI p
33
A
T 扭转剪应力 IP
T 扭转剪应力： Ip
剪应力沿半径线性分
44
2、相对扭转角
T dx l GI p
当 T 是常数
Tl GI p
单位：rad
T
GIp：圆轴抗扭刚度。 反映了材料性质和截面尺 寸对轴扭转变形的影响。 正负号：同扭矩 T
45
T
二、刚度条件
单位长度相对扭转角 ：
d dx
T 180 GI p
单位：度/米（°/m） [ ] 值一般为： 精密机器的轴：( 0.25～0.5)°/m 一般传动轴： (0.5 ～1.0)°/m 较低精度的轴：(1.0 ～2.5)°/m
P
38
p
§4-5 圆轴扭转时的强度条件
圆轴扭转时横截面上的最大剪应 力发生在距截面中心最远处。
T
当 ＝ max 时， ＝ max
max
Wp
39
T T T max Wp I p / max Ip
Wp 抗扭截面系数，单位：m3。
Ip
max
对于实心圆截面
42
结论：空心轴满足强度条件。
2、实心轴的直径d
max 实心
T 16T max 空心 3 WP D
16T 16 1500 D3 3 53mm 6 max 空心 51.27 10
空心轴与实心轴的重量比
A空心 90 2 82 2 0.31 2 A实心 53
-
702 351
+
T3= mD =351 N· m x 2、作扭矩图
-468
12
作扭矩图步骤 1. 计算各段扭矩 2. 作扭矩图 内力图要求 1.标明内力性质 2.正确画出内力沿杆、轴分布规律 3.标明特殊截面的内力数值 4.标明正负号 5.注明单位(只在内力标志后面写一个亦可）
13
上题若把 A 轮置于左端， 则其扭矩图变为 最大扭矩为：Tmax=1170 N· m 从受力角度看显然不如原来 布置合理。
解：1、校核空心轴强度
T M x 1500 N m 3 D 3 90 85 4 4 4 3 WP (1 ) (1 ( ) ) 2.93 10 mm 16 16 90 T 1500 max 51 .27 MPa 60 MPa 4 9 WP 2 .93 10 10
6
A
B
m
B
AB
A
B
研究内容： 1、圆轴扭转时的应力 和变形分析； 2、圆轴扭转时的强度 计算和刚度计算。
m
A
m
B
AB
7
§4-2 外力偶矩 扭矩 扭矩图 一、外力偶矩
当已知传递功率和转数时 (kW) A B
N (N ·m) m x 9549 (r/min) n
m x 7024
N (PS) (N ·m) n (r/min)
二、扭矩
截面法 1 1
T
1.定义：杆件承受外力偶作用 mx 后，横截面上将产生一个连 续分布的内力系，该内力系 A 必组成一力偶与外力偶平衡， 横截面上的内力偶矩称为 mx A “扭矩”。用符号 T 表示。 2.大小： 列平衡方程
mx
B
x
x
T
mx
mx—T = 0；T = mx
10
x
mx
3.正负号：按照右手螺旋定则，扭矩矢量方向与横截面外 法向方向一致，扭矩为正；反之，扭矩为负。
rpm （转/分）
式中：N 为传递功率，单位 kW 或 PS n 为每分转数，单位
8
mx 为外扭转力偶矩，单位
N· m
如：某传动轴 传递功率 N = 30 kW， 转数 n = 300 rpm， 该轴所受的外扭转力偶矩为：
A
B
N m x 9549 n 30 9549 300 954 .9 N m
T T 2 2 r0 t 2 A 0 t
A0：平均半径所作圆的面积。 ②剪应变
L R R/ L
A
m
O B m
18
三、切应力互等定理：
a dy
´
dx
´
b
mz 0
c z
d
t dxdy t dxdy
D Ip 32
4
D Wp 16
3
对于圆环截面
D 4 Ip (1 4 ) 32 D 3 Wp (1 4 ) = d / D 16
40
圆轴扭转时的强度条件
max
式中
T W P max
扭转许用剪应力[ ]与拉伸许用应力[s ]的关系：
变与该柱面到轴线的距离成正比，
最大剪应变发生在圆轴表面，圆轴 中心处剪应变为零。
28
二、物理关系（剪切虎克定律）(Hooke’s law in shear)
纯剪切应力状态 剪应变： 在剪应力作用下，单元体直角边的角位移。 用 表示。
29
'
dz
O
dy
'
dx
M oz 0 dxdz dy dydz dx 0
20
T=m
在一定范围内
T ( 2 A 0t ) ( L / R)
剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时 （τ ≤τp) (在弹性范围内)，切应力与剪应变成正比关系。
21
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无 量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢
'
1、剪应力互等定理： 在相互垂直的两个面上，剪应力必然成对出现，而 且大小相等，方向指向（或背离）两面的交线。
30
2、 剪切虎克定律 (Hooke′s law in shear)
当： ≤ P
＝G
——剪切胡克定律
式中：P —剪切比例极限
G —剪切弹性模量 单位：GPa， 钢材：G = 80 GPa 弹性常数之间的关系
布，轴线处为零，外边缘
处最大。
34
T
圆截面 T
圆环截面
35
四、极惯性矩计算 圆截面
I P dA
2 A
D/2
0
4
2d
2
圆环截面
2
D
32
D/2 4 4 ( D d ) 2 2d 32
I P dA
A
4
d /2
D 4 (1 ) 32
T(N· m)
1170 702
+
351
x
14
§4–3 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒：壁厚 t 1 r0 （r0：为平均半径） 10 一、实验：
1.实验前：
①绘纵向线，圆周线；
②施加一对外力偶 m。
15
2.实验后： ①圆周线的大小、形状、
间距不变； ②纵 倾
向线变成斜直线， 角相同。
3.结论：①各圆周线的间距均未改变→横截面上无正应力. ②圆周线的形状、大小均未改变，只是绕轴线作了相对 转动→周向无正应力 ③纵向线倾斜→横截面上有切应力. ④各纵向线均倾斜了同一微小角度 →切应力均匀分布.
16
微小矩形单元体如图所示： ①横截面上无正应力 ②周向无正应力 ③横截面上各点处，只产生 垂直于半径的均匀分布的切应力
a
c
b
d
，沿周向大小不变，方向与该
截面的扭矩方向一致。
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二、薄壁圆筒切应力 与剪应变： ①切应力
A
dA r0 T
r0 AdA r0 2 r0 t T
塑性材料： [ ] = ( 0.5 – 0.6 ) [s ]
脆性材料： [ ] = ( 0.8 – 1.0 ) [s ]
41
例题4.2 已知：汽车传动轴，最大外力偶矩 Mx＝1.5kN· m， D=90 mm， t =2.5 mm，[ ] = 60 MPa, 试求：1、校核空心轴强度 2、 max相等条件下，确定实心轴直径； 并确定空心轴与实心轴的重量比。
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§4-6 圆周扭转变形 一、扭转变形 (twist deformation)
刚度条件
1、单位长度扭转角(angle of twist per unit length of the shaft)
d T dx GI p
相距为 dx 的两个截面 的相对扭转角为：
T
T
T d dx GI p
功率输出轴
4
工程中的扭转构件
5
受力特点： 等值、反向的一对外扭转力偶， 作用面与轴线垂直。 变形特点： 横截面绕轴线转过不同角度。 各横截面绕轴线作相对转动。 相对扭转角 AB : B 截面相对A 截面绕轴线转过的角度。 m 轴(shaft) ： A 以扭转变形为主的杆件，如圆轴。 截面形状多为圆形或圆环形。
1
主要内容
§4-1 扭转的概念与实例 §4-2 外力偶矩 扭矩 扭矩图 §4-3 薄壁圆筒的扭转 §4-4 圆轴扭转时横截面上的应力 §4-5 圆轴扭转强度计算 §4-6 圆轴扭转变形 刚度条件 §4-7 非圆截面杆的扭转简介
2
§4-1 扭转的概念与实例 工程中的扭转构件
传动轴
3
工程中的扭转构件
36
d D
五、扭转剪应力应用条件
T Ip
1、扭转变形与应力公式是在平
面假设的基础上得出的,只有当 平面假设成立时，上述结果才是
正确的。实验结果表明，只有对
等截面圆杆，平面假设才成立， 对于非圆截面杆，平面假设并不 成立。
37
Tຫໍສະໝຸດ Baidu Ip
2、推导过程应用了剪切胡克定律，
所以纯剪状态必须处于弹性范围 内，最大剪应力不得超过材料剪 切比例极限。
4.单 位： N· m 或 kN· m
11
例题4.1 已知：mA= 1170 N· m； mB= 468 N· m mC = mD =351 N· m 试求：作扭矩图 解：1、计算各段扭矩 T1=－mB=－468 N· m T 2= m A － mB
=1170－468
=702 N· m
T N· m
31
P
p
E G 21
d ()= dx
＝G
d ＝ G ＝ G dx
d /dx 确定平面为常量，所以横截面上各点的剪应
力与该点到截面中心的距离成正比，即剪应力沿半径方向 线性分布，其方向与半径垂直，且与扭转方向一致。
32
三、静力关系（确定剪应力与扭矩的关系）
46
例题4.3 已知: d1=100 mm，d2=60 mm， [ ] = 60 MPa, [ ] =1 º /m, G = 80 GPa 求 ：校核强度、刚度 解：1、内力分析 T1=10 kN· m， T2=3 kN· m 作扭矩图
T
(kN· m)
7kN· m 2
3kN· m
A
800
10
+
25
3、平面假设: 横截面变形前为平面，变形后仍保持为 平面，截面半径保持为直线，只是相邻的截面相 对转过一个角度。
26
d
R
R
d d
dx
() × dx= × d
27
() dx = d d ()=
dx
d / dx 为截面相对扭转角的变 化率，或单位长度相对扭转角。 任意同轴圆柱面上微元的剪应
B
800
C
3
2、校核强度 3 T 16 10 10 16 T1 1 max 1 ＜ [ ] 3 3 9 WP1 d1 100 10 50 . 9 MPa 3 3 10 16 max 2 T2 T2 16 ＞ [ ] 70 . 7 MPa 3 3 9 WP 2 d 2 60 10
材的G值约为80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三
个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系
（推导详见后面章节）：
E G 2(1 )
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量 就可以推算出来。
22
§4-4 圆轴扭转横截面上的应力 1、根据试验观定圆轴表面变形情形，假定圆轴内部
故
t
上式称为切应力互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应 力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交 线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
19
单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这 种应力状态称为纯剪切应力状态。 四、剪切虎克定律：
薄壁圆筒体扭转实验
变形情形；
几何关系
2、应用应力—应变关系确定应力分布；
物理关系 3、最后确定扭矩与应力关系。 平衡关系
23
一、变形几何关系
1、试验现象: 圆周线的形状、大小、间距不变； 纵向线间距不变，转过一个相同角度。
24
2、推论： 横截面上没有正应力，只有剪应力； 剪应力方向与所在半径垂直，指向扭矩的转向。
( dA) = T A dA d ＝ G dx O d 2 T G dA dx A 2 I P dA 称为极惯性矩，单位：m4 。
d T dx GI p
33
A
T 扭转剪应力 IP
T 扭转剪应力： Ip
剪应力沿半径线性分
44
2、相对扭转角
T dx l GI p
当 T 是常数
Tl GI p
单位：rad
T
GIp：圆轴抗扭刚度。 反映了材料性质和截面尺 寸对轴扭转变形的影响。 正负号：同扭矩 T
45
T
二、刚度条件
单位长度相对扭转角 ：
d dx
T 180 GI p
单位：度/米（°/m） [ ] 值一般为： 精密机器的轴：( 0.25～0.5)°/m 一般传动轴： (0.5 ～1.0)°/m 较低精度的轴：(1.0 ～2.5)°/m
P
38
p
§4-5 圆轴扭转时的强度条件
圆轴扭转时横截面上的最大剪应 力发生在距截面中心最远处。
T
当 ＝ max 时， ＝ max
max
Wp
39
T T T max Wp I p / max Ip
Wp 抗扭截面系数，单位：m3。
Ip
max
对于实心圆截面
42
结论：空心轴满足强度条件。
2、实心轴的直径d
max 实心
T 16T max 空心 3 WP D
16T 16 1500 D3 3 53mm 6 max 空心 51.27 10
空心轴与实心轴的重量比
A空心 90 2 82 2 0.31 2 A实心 53
-
702 351
+
T3= mD =351 N· m x 2、作扭矩图
-468
12
作扭矩图步骤 1. 计算各段扭矩 2. 作扭矩图 内力图要求 1.标明内力性质 2.正确画出内力沿杆、轴分布规律 3.标明特殊截面的内力数值 4.标明正负号 5.注明单位(只在内力标志后面写一个亦可）
13
上题若把 A 轮置于左端， 则其扭矩图变为 最大扭矩为：Tmax=1170 N· m 从受力角度看显然不如原来 布置合理。
解：1、校核空心轴强度
T M x 1500 N m 3 D 3 90 85 4 4 4 3 WP (1 ) (1 ( ) ) 2.93 10 mm 16 16 90 T 1500 max 51 .27 MPa 60 MPa 4 9 WP 2 .93 10 10
6
A
B
m
B
AB
A
B
研究内容： 1、圆轴扭转时的应力 和变形分析； 2、圆轴扭转时的强度 计算和刚度计算。
m
A
m
B
AB
7
§4-2 外力偶矩 扭矩 扭矩图 一、外力偶矩
当已知传递功率和转数时 (kW) A B
N (N ·m) m x 9549 (r/min) n
m x 7024
N (PS) (N ·m) n (r/min)