第四章扭转(讲稿)材料力学教案(顾志荣)

第四章扭转同济大学航空航天与力学学院顾志荣一、教学目标与教学内容1、教学目标(1)掌握扭转的概念；(2)熟练掌握扭转杆件的内力（扭矩）计算和画扭矩图；(3)了解切应力互等定理及其应用，剪切胡克定律与剪切弹性模量；(4) 熟练掌握扭转杆件横截面上的切应力计算方法和扭转强度计算方法；(5) 熟练掌握扭转杆件变形（扭转角）计算方法和扭转刚度计算方法；(6)了解低碳钢和铸铁的扭转破坏现象并进行分析。

(7)了解矩形截面杆和薄壁杆扭转计算方法。

2、教学内容(1) 扭转的概念和工程实例；(2) 扭转杆件的内力（扭矩）计算,扭矩图；(3) 切应力互等定理, 剪切胡克定律;(4) 扭转杆件横截面上的切应力, 扭转强度条件；(5) 扭转杆件变形（扭转角）计算，刚度条件；(6) 圆轴受扭破坏分析；(7) 矩形截面杆的只有扭转；(8) 薄壁杆件的自由扭转。

二、重点和难点1、重点：教学内容中（1）～（6）。

2、难点：切应力互等定理，横截面上切应力公式的推导，扭转变形与剪切变形的区别，扭转切应力连接件中切应力的区别。

通过讲解，多媒体的动画演示扭转与剪切的变形和破坏情况，以及讲解例题来解决。

三、教学方式通过工程实例建立扭转概念，利用动画演示和实物演示表示扭转时的变形，采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。

四、建议学时6学时五、实施学时六、讲课提纲工程实例：图4-1**扭转和扭转变形1、何谓扭转？如果杆件受力偶作用，而力偶是作用在垂直于杆件轴线的平面内，则这杆件就承受了扭转。

换言之，受扭杆件的受力特点是：所受到的外力是一些力偶矩，作用在垂直于杆轴的平面内。

2、何谓扭转变形？在外力偶的作用下，杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。

杆件的这种变化形式称为扭转变形。

换言之，受扭转杆件的变形特点是：杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。

I 圆轴扭转时的应力和强度计算 一、外力偶矩、扭矩和扭矩图 1、外力偶矩(T )的计算nP T p⨯=02.7 KN ·m (7-1) P p 指轴所传递的功率（马力） n 指轴的转速（转/分、r/min ）nP T kW⨯=55.9 KN ·m (7-2)P kW 指轴所传递的功率（千瓦、Kw ） n 指轴的转速（转/分、r/min ）2、扭矩（M n ）的确定及其符号规定 （1）M n 的确定 截面法图4-30=∑x M0=-A n T M 左 A n T M =左0=∑x M0=+-B n T M 右 B n T M =右（2）M n 的符号规定 右手螺旋法则图4-43、扭矩图扭矩随轴线横截面位置改变而变化的规律图，称为扭矩图。

作法：轴线（基线）x ——横截面的位置纵坐标——M n的值正、负——正值画在基线上侧，负值画在基线下侧。

例题7-1 一传动轴作每分钟200转的匀速转动，轴上装有5个轮子（7-2,a）。

主动轮2输入的功率为60kW,从动轮1，3，4，5依次输出的功率为18kW,12kW,22kW和8kW。

试作出该轴的扭矩图。

图4-5解：（1）代入公式7-2，将计算所得的外力偶矩值标上各轮上。

（2）作扭矩图，见图4-5，b一、圆轴扭转时横截面上的应力1、实心圆轴（1）τ的分布规律(a) (b) 图4-6（2）τ的方向由M n 确定，τ与M n 同向（见图4-6，a ） 注意τ⊥半径 （3）τ的计算pn I M ρτρ=(7-3)式中M n ---- 横截面上的扭矩；ρ----指截面上所求应力的点到截面圆心的距离; I p ----指实心圆截面对其圆心的极惯性矩，其计算式为324D I p π=。

（4）τ计算公式的讨论：①对于某一根受扭的圆轴而言，m ax τ一定发生在max n M 所在段； ②在确定的截面上，m ax τ一定发生在ρm ax 处（周边上）； ③I p 的意义从τ的计算公式讨论I p ：I p 愈大，τ愈小；从应力分布状况讨I p ：靠近圆心的材料，承受较小的应力。

设想：把实心轴内受应力较小部分的材料移到外层，做成空心，达到充分利用材料、减轻自重的目的。

2、空心圆轴 （1）τ的分布规律 （2）τ的计算图4-7计算式与实心圆轴的相同，只是极惯性矩的计算不同 空心圆轴的I p 空计算()()44411.01324ααπ-≈-=D DI p 空式中的Dd =α （3）τ的方向仍旧由扭矩的转向确定，垂直半径。

3、薄壁圆筒 （1） 界限及误差 当9.0≥=Ddα时，可用薄壁圆筒公式计算τ，用空心、薄壁计算公式之误差仅为3%左右。

（2） τ的分布规律图4-8（3）τ的计算tr M n 202πτ=（r 0见图4-8） （7-4）三、圆轴扭转时斜截面上的应力横截面上：m ax τ发生在周边各点，σ=0圆轴扭转时，轴内的最大应力如何？需要研究任意点、任意截面上的应力情况，即需要研究斜截面上的应力情况。

在任意一点取一微小的正六面体abcdefgh:图4-9分析垂直于前后两个面的任一斜截面mn 上的应力： 设斜截面mn 的面积为dA,则mb 面和bn 面的面积：αcos ⋅=dA A mb αsin ⋅=dA A bn选取参考轴η、ξ 写出平衡方程：∑=0nF0cos )sin (sin )cos (=⋅'+⋅⋅⋅+ααταατσαdA dA dA∑=0ξF 0sin )sin (cos )cos (=⋅'+⋅⋅⋅-ααταατταdA dA dA利用ττ'=，整理上两式，得：ατσα2sin -= (a)αττα2cos = (b)据此(a)(b)两式，可确定单元体内的最大剪应力、最大和最小正应力以及它们所在截面的方位：（1）由(b)式知，单元体的四个侧面上的剪应力的绝对值最大，且均等于τ。

ττταα=⋅===)0(2cos 01800ττταα-=⋅===)90(2cos 027090（2）由（a ）式知：ττσα-=-==)45(2sin 0450τττσα=-⋅-=-==)1()135(2sin 01350即：图4-11这一结论可以从扭转试验中试件的破坏现象得到验证。

（低碳钢）（ 铸铁 ）图4-11四、圆轴扭转时强度条件()[]ττ≤=pn W M maxmax （7-5）----等直圆轴受扭时的强度条件对于实心圆截面 332.016d d W p ≈=π对于空心圆截面 )1(2.0)1(164343ααπ-≈-=D D W p 空而 []τ：（1）可通过扭转试验测定：τS ---塑性材料 τb ---脆性材料（2）[]][6.05.0στ）（-=例题4-2 已知：主传动轴AB 由45#钢的无缝钢管制成。

外径D=90mm,壁厚t=2.5mm,[τ]=60MPa,工作时承受M nmax =1.5KN ·m试：校核该轴的强度。

图4-12解：945.0905902=-=-==D t D D d α 1、 按薄壁圆管公式计算τ：[]τππτ<=⨯⨯⨯-⋅⋅==--MPa 50105.210)25.290(21500236220tr M n2、 按空心圆轴公式计算τ：334343m m 1029)945.01(1690)1(16⨯=-⨯=-=παπD W p 空[]ττ<=⨯⨯⨯==-MPa 7.51101029105.1933max空p n W M 校核结果：强度足够。

两种计算方法的误差比较：%4.3%10050507.51=⨯-例题4-3 若将AB 轴改为实心轴，应力条件相同（即MPa 7.51=τ），试确定实心轴的直径D 1=？并比较空心轴和实心轴的重量。

解：53mm m 053.016105.1107.5113136max ==⇒⨯=⨯⇒=D D W M p n πτ 两轴长度相等，材料相同，则重量之比=面积之比 则：()2.3859053442222221=-=-=d D D A A ππ空心实心 （用料） ()31.0538590442222122=-=-=D d D A A ππ实心空心（重量） 小结：⑴在载荷相同的条件下，空心轴的重量只为实心轴的31%；⑵截面如何合理，一方面要考虑强度、刚度因素，同时也要考虑加工工艺和制造成本等因素；⑶空心圆轴的壁厚也不能过薄，否则会发生折皱而丧失承载能力；⑷应注意的是：若沿薄壁管轴线方向切开，则其扭转的承载能力将大为降低。

图4-13Ⅱ、圆轴扭转时的变形计算 1、扭转角与剪切角的概念图4-14⎪⎩⎪⎨⎧--的角度。

杆表面纵向直线所转过γ截面A转过的角度；扭转角，截面B相对于ϕ 2、圆轴扭转时的变形计算⑴扭转角的计算pn GI lM =ϕ （7-6） πϕ180⋅=p n GI l M（7-7）⑵单位长度扭转角的计算pn GI M l ==ϕθ（7-8）rad （弧度） °（度）Rad/mπϕθ180⋅==p n GI M l（7-9）3、扭转时刚度条件[]θθ≤=pn GI M max max（7-10） []θπθ≤⋅= 180max maxp n GI M（7-11）例题4-4 某轴AB 段是空心轴，内外径之比8.0==Ddα；BC 段是实心轴（其倒角过度忽略不计），承受的外力偶矩及其长度如图示，已知轴材料的[τ]=80MPa 、[θ]=1m 、G=80GPa,试设计D 和d 应等于多少？图4-15解：1、作扭矩图2、根据强度条件设计D 、d°/mRad/m°/mAB 段：MPa 80][)1(16114643max =≤-==ταπτD W Mn p 空mm6.491080)8.01(114616364=⨯⨯-⨯⨯≥πDBC 段：MPa 80][167643max =≤==τπτd W Mn p 实36.5mmm 0365.010807641636==⨯⨯⨯≥πd3、根据刚度条件设计D 、d AB 段：m1][180)1(3210801146180449=≤⋅-⨯⨯=⋅=θπαππθD GI Mn p 空61.1mmm 0611.01801)8.01(1080114632449==⋅⨯-⨯⨯⨯⨯≥ππDBC 段：m 1][180=≤⋅=θπθ空p GI Mn118032108076449=⋅⨯⨯ππd48.6mmm 0486.0180110807643249==⋅⨯⨯⨯⨯≥ππd4 结论：D=61.1mm – 刚度条件确定。

d=48.1mm – 刚度条件确定。

Ⅲ 扭转超静定例题4-5 圆轴受力如图4-15 所示。

已知：D=3cm ，d=1.5cm, [τ]=50MPa 、[θ]=2.5m 、G=Pa 10809⨯,试对此轴进行强度和刚度校核。

图4-16解：①截面的几何性质计算： AC 段：488484441045.710325.1103233232m d D I P ---⨯=⨯⨯-⨯⨯=-=ππππ空CE 段：488441095.71032332m D I P --⨯=⨯⨯==ππ实②求约束反力:解除A 端约束，建立变形协调条件：图4-170=-E A ϕ，即：1025500104030010153001040104022222=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=------实实空实空P P P P A P A EA GI GI GI GI T GI T ϕ将G 、空P I 、实P I 代入上式运算，得 M N 52⋅-=A T再由静力平衡方程解出 M N 252⋅-=E T③强度校核 BC 段： 364343m 1097.4])35.1(1[16)03.0()1(16D -⨯=-⨯=-=παπ空p W50MPa][MPa 9.491097.42486max ==⨯==-ττ 空p n W MDE 段： 3633m 103.516)03.0(16D -⨯=⨯==ππ实p W50MPa ][MPa 5.47103.52486max ==⨯==-ττ 实p n W M④刚度校核 BC 段： m GI M P n 38.21801045.7108024818089max =⨯⨯⨯⨯=⨯=-ππθ空DE 段： m GI M P n 27.21801095.7108025218089max=⨯⨯⨯⨯=⨯=-ππθ实 均 m 27.2][=θⅣ 矩形截面杆在自由扭转时的应力和变形。