材料力学:第三章 扭 转
材料力学 第03章 扭转
sin 2 , cos 2
由此可知:
sin 2 , cos 2
(1) 单元体的四个侧面( = 0°和 = 90°)上切 应力的绝对值最大; (2) =-45°和 =+45°截面上切应力为零,而 正应力的绝对值最大;
[例5-1]图示传动轴,主动轮A输入功率NA=50 马力,从 动轮B、C、D输出功率分别为 NB=NC=15马力 ,ND=20马 力,轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解:
NA 50 M A 7024 7024 1170 N m n 300 NB 15 M B M C 7024 7024 351 m N n 300 NC 20 M D 7024 7024 468N m n 300
第3章
扭
转
§3.1
一、定义 二、工程实例 三、两个名词
概
述
一、定义
Me Me
扭转变形 ——在一对大小相等、转向相反的外力偶矩
作用下,杆的各横截面产生相对转动的
变形形式,简称扭转。
二、工程实例
1、螺丝刀杆工作时受扭。
Me
主动力偶
阻抗力偶
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
公式的使用条件:
1、等直的圆轴, 2、弹性范围内工作。
圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面:
2 A
I p d A (2π d )
2
d 2 0
O
2 π(
4
d /2
4
)
0
πd 4 32
d
d A 2π d
材料力学第三章 扭转
n
250
横截面上的最大切应力为
max
T Wt
T (D4 d 4)
16D
16 0.55573000 Pa 19.2MPa [ ] 50MPa (0.554 0.34 )
满足强度要求。
跟踪训练 7.机车变速箱第II轴如图所示,轴所传递的功率为
p 5.5KW,转速n 200r / min,材料为45钢,
(3)主动轮放在两从动轮之间可使最大扭矩取最小值
B
A
C
Me2
Nm
M e1
Me3
4220
2810
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
P M e 9549 n (N m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件的应用
' max
T
180 [']
(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。
再根据平衡条件,可得 Me1 Me2 Me3 (2810 4220)N m 7030N m
所作扭矩图如右图
(1)试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
根据强度条件确定AB直径d1
AB
TAB Wt
16TAB
d12
[ ]
根据刚度条件确定AB直径d1
mB
(a)
1
350 2
C
1
2
T1
11463
446
A
D
3
mB
(b)
(c) mB
mC
T2
mC
mA T3
mD
T1 350N m 350 1 350 2
材料力学:第三章扭转强度
解:
A
TA
Ip
1000 0.015 0.044 (1 0.54 )
63.66MPa32max来自T Wt1000
0.043 (1 0.54 )
84.88MPa
16
min
max
10 20
42.44 MPa
例:一直径为D1的实心轴,另一内外径之 比α=d2/D2=0.8的空心轴,若两轴横截面上 的扭矩相同,且最大剪应力相等。求两轴外直
NA=50 马力,从动轮B、C、D输出功率分 别为 NB=NC=15马力 ,ND=20马力,轴的 转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解:
mA
7024
NA n
7024 50 300
1170 N m
mB
mC
7024
NB n
7024 15 300
351 N m
mD
7024 NC n
/m
例:实心圆轴受扭,若将轴的直径减小一半
时,横截面的最大剪应力是原来的 8 倍?
圆轴的扭转角是原来的 16 倍?
max
T Wt
T
d3
16
Tl Tl
GIp
d4
G
32
例:图示铸铁圆轴受扭时,在_45_ 螺_旋_ 面上 发生断裂,其破坏是由 最大拉 应力引起的。 在图上画出破坏的截面。
例:内外径分别为20mm和40mm的空心圆截 面轴,受扭矩T=1kN·m作用,计算横截面上A 点的切应力及横截面上的最大和最小切应力。
7024 20 468 N m 300
N A 50 PS N B N C 15 PS N D 20 PS n = 300 rpm
mA 1170 N m mB mC 351 N m mD 468 N m
材料力学-第三章扭转
3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得: m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例:由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴,受扭矩 T, 两者之间无相对滑动,求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50~1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件
0.25~0.5 / m 精密轴
1.0 ~3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计,已知:n = 300r/m,P1 = 500kW,P2=200kW P3=300kW,G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求:轴的直径d 解:1、外力分析
圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件:
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3
4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2
Mn 0.208 0.886 d
b
6.913
材料力学第3章扭转
试问:纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的?
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件:杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件:杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线,例如:工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件:杆件的截面中线是封闭的折线或曲线,
例如:封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
= Tl
GI t
变形特点:截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率: P(kW) 角速度:ω 外力偶矩:Me
P = Meω
转速:n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P=9549
P n
(N
m)
内力偶矩:扭矩 T 求法:截面法
符号规则: 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“-”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中:ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布:
例: 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示,设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ,试 比较两者的扭转强度和刚度。
开=3 r 闭 开=3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转:翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同,纵向纤维无伸缩, 所以,无正应力,仅有切应力。
材料力学第3章扭转
τ ρ = Gγ ρ
=G
ρdϕ
dx
22
C)静力平衡关系 C)静力平衡关系
T = ∫ A dA ⋅ τ ρ ⋅ ρ
2 dϕ = ∫ A Gρ dA dx
τ ρ = Gγ ρ
=G
dA
ρdϕ
dx
ρ
O
=G
dϕ ∫ A ρ 2dA dx
令
dϕ T = GI p dx
dϕ T = dx GIp
I p = ∫ A ρ 2dA
由公式
Pk/n
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (2)计算扭矩
(3) 扭矩图
12
§3-3、纯剪切
1、薄壁圆筒扭转:壁厚 、薄壁圆筒扭转:
t≤
1 r0 10
为平均半径) (r0:为平均半径)
A)观察实验: )观察实验:
实验前: 实验前: ①绘纵向线,圆周线; 绘纵向线,圆周线; ②施加一对外力偶 m。 。
16
纯剪切的概念: 纯剪切的概念:
当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时, 当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时, 就称为纯剪切。 就称为纯剪切。
3、剪应变与扭转角
设轴长为L,半径为R 设轴长为L 半径为R Φ称为扭转角,是用来表示轴变形的量; 称为扭转角,是用来表示轴变形的量; 且的剪应变 γ Φ的关系如下: 与 的关系如下:
∑ mz = 0
a dy
γ τ´
dx
τ´
b
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
故
τ
c z
τ
d t
τ =τ′
上式称为剪应力互等定理。 上式称为剪应力互等定理。 为剪应力互等定理
第三章扭转
T=Fs×r
材料力学
0
Fs=2 r
0
扭转/圆轴扭转时的应力
一.圆轴扭转时的应力分布规律
T
T
材料力学
扭转/圆轴扭转时的应力
1. 单元格的变化
A
B
C
A B
C
D
D
现象一: 方格的左右两边发生相对错动
横截面上存在切应力
方格的左右两边距离没有发生改变 现象二:
材料力学
横截面上没有正应力
2. 半径的变化
材料力学
扭转/纯剪切
§3.3 纯剪切
材料力学
相关概念
纯剪切:单元体各个面上只承受切应力而没有正应力。
单元体:是指围绕受力物体内一点截取一边长为无限小 的正立方体,以表示几何上的一点。
材料力学
扭转/纯剪切
一.薄壁圆筒扭转时的切应力
纯剪切的变形规律通过薄壁圆筒的纯扭转进 行研究。 受扭前,在薄壁圆筒的表面上用圆周线和 纵向线画成方格。
扭转/圆轴扭转时的变形
两横截面间相对扭转角的计算:
=TL/GIP
T:扭矩;
L:两横截面间的距离; G:切变模量; IP:极惯性矩。
材料力学
扭转/圆轴扭转时的变形
=TL/GIP
GIP越大,则越小。 GIP称为抗扭刚度。
材料力学
扭转/圆轴扭转时的变形
`=/L
`:单位长度扭转角(rad/m)。
思路:
最大扭矩
最大切应力
max
校核强度
相等
强度相同,则两轴的最大切应力 求出实心轴直径
材料力学
两轴面积比即为重量比
扭转/圆轴扭转时的应力
计算Wt:
3 Wt=D
材料力学第3章扭转总结
5 圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wt
πd 4 实心圆截面: I P 32
πd 3 Wt 16
πD4 空心圆截面: I ( 4) 1 P 32
πd 3 Wt ( 4) 1 16
6. 强度条件
max [ ]
对于等直圆轴亦即
Tmax [ ] Wt
7. 刚度条件 等直圆杆在扭转时的刚度条件:
圆周扭转时切应力分布特点:
T
max
Tr r Ip
max
d
圆周扭转时切应力分布特点:在横截面的同一半径 r 的圆周上各点处的切应力r 均相同,其值 与r 成正比,
其方向垂直于半径。
横截面周边上各点处(r r)切应力最大。
即单元体的两个相互垂直的面上,与该两个面的交线 垂直的切应力 和 数值相等,且均指向(或背离)该两个 面的交线——切应力互等定理。
Tmax
180 [ ] GI p
l
Ti li *若为阶梯扭矩、阶梯截面 GI i 1 pi
总结
1 扭转外力特点:
垂直轴线的平面内受一对大小相等、转向相反 力偶作用
变形特点: 杆件的任意两个横截面围绕其轴线作相对转动
外力矩计算
{M e }Nm
{P}kw 9.55 10 {n} r
3
min
2 扭转时内力:扭矩
扭矩(torque)--其力偶作用面与横截面平行
Me
T(+) T
T(-)
3
材料力学 第三章 扭 转
T2
T1
d
T3
Mx1=0.5kN· m
Mx2 =0.32kN· m lAB=300mm G=80GPa d=50mm
B
T2
φAB
lAB
A T1
lAC d φAC
C T3
B
lAB
A
lAC
C
M x1l AB j AB = GI P 500 0.3 = 9 80 10 0.054 32
r O
Mx
几何分析
变 形 应变分布
物理关系
应力分布
平面假定 静力学方程
应力公式
1. 变形几何关系
周线
a b c d
T
周线
a c d
γ
T
φ
b
纵线
dx
纵线
dx
a
c
a
γ
c c' d d'
b
d
b
(1)变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变,绕杆轴线相对转动。 (2)所有的纵线都转过了同一角度g。
T
周线
A
dρ
ρ o
ρ2dA
∫ 0ρ2·2πρdρ =
π d = 32
4
d/2
d
3 Ip π d Wp = r = 16
2. 空心圆截面
π D 4 - π d 4 π D 4(1-α4) Ip= 32 32 = 32 α=d/D
ρ o
dρ
π D3 Wp = 16 (1-α4)
d D
3.薄壁圆环截面
I P = 2r0
故该轴满足切应力强度要求。
二、刚度计算 等直圆杆扭转的刚度条件为
θ max = Mxmax ≤[θ] GI
材料力学-第三章
21
第三章 扭转
3.5 圆轴扭转强度计算
22
扭转失效与扭转极限应力
扭转屈服应力:s 扭转强度极限:b 扭转强度极限:b 扭转屈服应力(s )和扭转强度极限(b ),统 称为材料的扭转极限应力u。
23
圆轴扭转强度条件
材料的扭转许用应力为:
u
n
n为安全系数。
强度条件为:
max
(2) 若将轮1与轮2的位置对调,试求轴内的最大扭矩。
(3) 若将轮1与轮3的位置对调,试求轴内的最大扭矩。
33
提高圆轴扭转时强度和刚度的措施
• 提高轴的转速 • 合理布局主动轮和被动轮的位置 • 采用空心轴 • 选用优质材料,提高剪切模量
34
例3-8:图示圆柱形密圈螺旋弹簧,承受轴向载荷F作用。 所谓密圈螺旋弹簧,是指螺旋升角α很小(例如小于5º )的 弹簧。设弹簧的平均直径D,弹簧丝的直径d,试分析弹簧 丝横截面上的应力并建立相应的强度条件。
第三章 扭转
3.1 扭转的概念
1
扭转的概念
以横截面绕轴 线作相对旋转为 主要特征的变形 形式,称为扭转。
2
受力特点: 变形特点:
受到垂直于构件轴线的外力偶 矩的作用。
构件的轴线保持不变,各横截面绕 轴线相对转动 截面间绕轴线的相对角位移,称为扭转角
使杆发生扭转变形的外力偶,称为扭力偶,其矩 称为扭力偶矩。 凡是以扭转为主要变形的直杆,称为轴。
公式的适用条件:以平面假设为基础;适用胡克定律。
18
圆轴截面的极惯性矩和抗扭截面模量
IP
d4
32
WP
d3
16
19
空心圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量
材料力学——第三章 扭转
33
材 料 力 学
表明: 当薄壁圆筒扭转时,其横截面和包含轴线的纵向截
面上都没有正应力; 横截面上便只有切于截面的切应力;
34
材 料 力 学
4、切应力分布规律假设
因为筒壁的厚度很小,可以认为沿筒壁厚度切应力均匀分布;
35
材 料 力 学
5、薄壁圆筒的扭转切应力
T
rm
2 rm t T
m1
m4
15.9(kN m)
A
P2 m2 m3 9.549 4.78 (kN m) n P4 m4 9.549 6.37 (kN m) n
17
B
C
D
材 料 力 学
2、求扭矩
m2
T1 m2 0
T1 4.78kN m
T2 m2 m3 0
材 料 力 学
三、切应变
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动, a
´
c
´
b
d
t
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ;
圆筒两端的相对扭转角为υ,圆筒 的长度为L,则切应变为
L r
r L
39
材 料 力 学
四、剪切虎克定律:
当剪应力不超过材料的剪切比例
齿轮轴
9
材 料 力 学
§3-2、外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
一.外力偶矩的计算 ——直接计算
M=Fd
10
材 料 力 学
按输入功率和转速计算
已知 轴转速-n 转/分钟 输出功率-P 千瓦 计算:力偶矩M
电机每秒输入功: 外力偶作功:
W P 1000(N.m)
材料力学 第三章 扭转
为一很小的量,所以
tan 1.0103rad
G
(80 109 Pa)(1.0 103rad) 80 MPa
注意: 虽很小,但 G 很大,切应力 不小
例 3-3 一薄壁圆管,平均半径为R0,壁厚为,长度为l, 横截面上的扭矩为T,切变模量为G,试求扭转角。
解:
T
2πR02
G
T
2πGR02
塑性材料:[] =(0.5~0.6)[s] 脆性材料:[] = (0.8~1.0)[st]
例 3-1 已知 T=1.5 kN . m,[τ] = 50 MPa,试根据强度条 件设计实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴,并进行比较。 解:1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
max
T Wp
T πd 3
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线(T-x曲线)-扭矩图
Tmax ml
[例3-1]已知:一传动轴, n =300r/min,主动轮输入 P1=500kW, 从动轮输出 P2=150kW,P3=150kW,P4=200kW,试绘制扭矩图。
解:1、计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
m1
9.55
P1 n
9.55
一、薄壁圆筒扭转时的应力
t
1、试验现象
壁厚
t
1 10
r0(r0:平均半径)
rO
各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动,距离不变。 当变形很小时,各纵向平行线仍然平行,倾斜一定的角度。
由于管壁薄,可近似认 为管内变形与管表面相 同,均仅存在切应变γ 。
2、应力公式 微小矩形单元体如图所示:
´
①无正应力
d T
dx GI p
材料力学 第 三 章 扭转
以及间距不变,半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
(1)∵ε = 0∴σ = 0
(2)∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同,所以同 一圆周上切应力大小相等,并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律:
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx-扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
(二)物理关系:由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴,里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2,且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时,里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布,有图中(A)、(B)、 (C)、(D)所示的四种结论,请判断哪一种是正 确的。
材料力学课件第三章 扭转
工程上采用空心截面构件:提高强度,节约材料,重量轻, 结构轻便,应用广泛。
3.4 圆轴扭转时横截面上的应力
3.4.2 最大扭转切应力和强度条件
第三章 扭转
1. 最大扭转切应力:
由
T
Ip
知:当
R , max
max
TR Ip
T Ip R
T Wp
(令 Wp I p R )
max
T Wp
Wp — 扭转截面系数,单位:mm3或m3。
对于实心圆截面: 对于空心圆截面:
Wp
d3
16
Wp
(D4
16
d4)
D3(1 4 )
16
3.4 圆轴扭转时横截面上的应力
2、强度条件
强度条件:
max
Tm a x Wp
[ ]
第三章 扭转
许用切应力 u
n
τ s---- 扭转屈服极限 ——塑性材料 τ b---- 扭转强度极限 ——脆性材料 τ u---- 扭转极限应力 ——τs和τb的统称
MB
MC
MA
MD
B
C
解:计算外力偶矩
A
D
MA
9549 PA n
1592N m
MB
MC
9549 PB n
477.5N m
MD
9549 PD n
637N m
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
第三章 扭转
3.2.2 扭矩和扭矩图
1 扭矩:构件受扭时,横截面上的内力偶矩,记作“T”。
2 截面法求扭矩
剪应力在互相垂直的面上同时存在,数值相等,其方向都垂直于这 两个面的交线,且都指向或者都背离该交线。
材料力学_扭转
2
A1 =
πD12
4
= 2122mm 2
因此在承载能力相同的条件下,使用空心轴比较节约材料,比较经济. 因此在承载能力相同的条件下,使用空心轴比较节约材料,比较经济.
3.4 圆轴扭转时的变形 刚度条件
一,扭转变形 圆轴扭转的变形用相对扭转角度量
d T = dx GI p
d =
T dx GI p
Tdx l GI p Tl = GI p
用截面法计算各段轴内的扭矩
T = MB = 1637Nm 1 T2 = MB MC = 3274Nm T3 = MD = 2183Nm
根据扭矩方程画扭矩图 从图上可看出,最大扭矩发生在 段内各截面 从图上可看出,最大扭矩发生在CA段内各截面 扭矩方程
1637
3274 ( Nm )
Tmax = 3274Nm
例: 某传动轴,用45号钢无缝钢管制成,其外径D =66mm,壁厚 t=5 某传动轴, 45号钢无缝钢管制成,其外径 =66 , =5mm,使用时 , 号钢无缝钢管制成 =5 最大扭矩为T =1500N.m,试校核此轴的强度.已知[τ]=60 最大扭矩为 =1500 ,试校核此轴的强度.已知[ ]=60MPa.若此轴改为实心轴, .若此轴改为实心轴, 并要求强度仍与原空心轴相当, 为多少? 并要求强度仍与原空心轴相当,则实心轴的直径 D1为多少? 解:计算传动轴的抗扭截面模量
Ip R
=
πD / 32
4
D/2
=
πD
3
16
空心圆截面: 空心圆截面:
Ip = ∫
D/2
d /2
2πρ 3dρ =
α =d/D πD 4 πd 4 πD 4
32 32 = 32
材料力学第三章扭转
材料力学
中南大学土木工程学院
三、扭 矩
x 扭矩的矢量表示
Me
Me
Me
T
定义:扭转内力偶矩, 1、定义:扭转内力偶矩,用T表示 大小: 2、大小:可用截面法取局部平衡求出 扭矩大小= 截面一侧所有外扭转力偶矩之代数和 T =ΣMe 正负号: 3、正负号:扭矩矢与截面外法线一致为正 (图中T为正,必须按“设正法”画扭矩) 为正,必须按“设正法”画扭矩) 单位: 4、单位:N·m 或 kN·m
τ =τ′
切应力互等定理
在单元体相互垂直的两个平面上, 在单元体相互垂直的两个平面上,切应力必然成对出 且数值相等,两者都垂直于两平面的交线, 现,且数值相等,两者都垂直于两平面的交线,其方 向则共同指向或共同背离该交线。 向则共同指向或共同背离该交线。
材料力学
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单元体的四个侧面上只有切应力而无正应 纯剪切应力状态。 力作用,这种应力状态称为纯剪切应力状态 力作用,这种应力状态称为纯剪切应力状态。
O
定义内径与 外径的比值
d α= D
D d
πD πD 4 Ip = (1 − α 4 ) 32
I p π(D 4 − d 4 ) πD 3 Wp = = = (1 − α 4 ) D 16 D 16 2
特别注意:抗扭截面系数不满足叠加法的计算,括号里的仍是四次方。 特别注意:抗扭截面系数不满足叠加法的计算,括号里的仍是四次方。
材料力学 中南大学土木工程学院
分布如图所示。 横截面上各点处的切应力τ 分布如图所示 取微面积dA,则横截面上的分布 的合成其主矢为零, 力系τ dA的合成其主矢为零,主矩就 是扭矩T。
δ
r0
O
τ
∫
材料力学第3章-扭转
第3章 扭转1、扭转的概念:杆件的两端个作用一个力偶,其力偶矩大小相等、转向相反且作用平面垂直于杆件轴线,致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动,即为扭转变形。
2、外力偶矩的计算{}{}{}min /95491000602r KW m N e e n P M P M n=⇒⨯=⨯⨯⋅π 式中,e M 为外力偶矩。
又由截面法:e e M T M T =⇒=-0 T 称为n n -截面上的扭矩。
规定:若按右手螺旋法则把T 表示为矢量,当矢量方向与研究部分中截面的外法线的方向一致时,T 为正;反之为负。
3、纯剪切(1)薄壁圆筒扭转时的切应力 δπττδπ222r M r r M ee =⇒••=(2)切应力互等定理:在单元体相互垂直的两个平面上,切应力必然成对存在,且数值相等;两者都垂直于平面的交线,方向则共同指向或背离这一交线。
(3)切应变 剪切胡克定律:当切应力不超过材料的剪切比例极限时,切应变γ与切应力τ成正比。
γτG = G 为比例常数,称为材料的切变模量。
弹性模量E 、泊松比μ和切变模量G 存在关系:)1(2μ+=EG 4、圆轴扭转时的应力(1)变形几何关系:距圆心为ρ处的切应变为dxd ϕργρ=(2)物理关系:ρτ为横截面上距圆心为ρ处的切应力。
dxd G G ϕρτγτρρρ=⇒= (3)静力关系:内力系对圆心的力矩就是横截面的扭矩:dA d d GdA T AxA⎰⎰==2ρρτϕρ 以p I 表示上式右端的积分式:dA I Ap ⎰=2ρ p I 称为横截面对圆心O 点的极惯性矩(截面二次极矩)横截面上距圆心为ρ的任意点的切应力:pI T ρτρ=ρ最大时为R ,得最大切应力:pI TR =max τ引用记号RI W p t =t W 称为抗扭截面系数。
则tW T =max τp I 和t W 的计算(1)实心轴:3224420032D R d d dA I RAp ππθρρρπ====⎰⎰⎰16233D R RI W p t ππ===(2)空心轴:)1(32)(324444202/2/32αππθρρρπ-=-===⎰⎰⎰D d D d d dA I D d Ap)1(16)(164344αππ-=-==D d D DRI W p t5、圆轴扭转时的变形pGI Tl =ϕ ϕ为扭转角,l 为两横截面间的距离。
材料力学课件第3章扭转
杆件受到大小相等,方向相反且作用平 面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截 面绕轴线产生相对转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件,其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
第3章-扭 转
圆轴扭转的内力
3-2 圆轴扭转的内力
1.外力偶矩 直接计算
3-2 圆轴扭转的内力
dx
也发生在垂直于
半径的平面内。
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
2.物理关系
根据剪切胡克定律
G
距圆心为
处的切应力:
G
G
d
dx
垂直于半径
横截面上任意点的切应力 与该点到圆心的距离 成正比。
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
3.静力学关系
T A dA
T A dA
令
Wt
Ip R
抗扭截面系数
在圆截面边缘上,有最 大切应力
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
I
与
p
Wt
的计算
实心轴
T
Ip
max
T Wt
Wt I p / R 1 D3
16
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
空心轴
则
令
Wt I p /(D / 2)
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
实心轴与空心轴 I p 与 Wt 对比
m1=1000Nm,m2=600Nm,m3=200Nm,m4=200Nm,G=79GPa,试求:
(1)各段轴内的最大切应力 (2)若将外力偶m1和m2的位置互换一下,问轴的直径可否减小
3-4 圆轴扭转的强度条件和强度计算
4.强度条件及应用
B
C
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边缘上a点的错动距离:
aa' Rd dx
边缘上a点的切应变:
R d
dx
发生在垂直于半径的平面内。
§3.4 圆轴扭转时的应力
p
q
d
ae
d
c
a ' e′O b
R
p
b′ q
dx
R dx
d
d
距圆心为的圆周上e点的错动距离:
距圆心为处的切应变:
d —扭转角 沿x轴的变化率。
d
dx
dx
cc' d dx
I p
2dA
A
Ip
横截面对形心的极惯性矩
T
GI p
d
dx
G
d
dx
T Ip
§3.4 圆轴扭转时的应力
公式适用于:
1)圆杆
2) max
p
横截面上某点的切应力的方向与扭矩 方向相同,并垂直于半径。切应力的大 小与其和圆心的距离成正比。
令
Wt
Ip R
抗扭截面系数
max
T Wt
在圆截面边缘上, 有最大切应力
变与切应力τ成正比,这
各向同性材料, 三个弹性常数之间的 关系:
个关系称为剪切胡克定律。 G E
2(1 )
§3.4 圆轴扭转时的应力
1.变形几何关系
Me
Me
pq
观察变形:
x
圆周线长度形状不变,各圆周线间 距离不变,只是绕轴线转了一个微小角 度;纵向平行线仍然保持为直线且相互 平行,只是倾斜了一个微小角度。
§3.4 圆轴扭转时的应力
I
与
p
Wt
的计算
实心轴
T
I R 1 D3
16
§3.4 圆轴扭转时的应力
空心轴
则
令
Wt I p /(D / 2)
§3.4 圆轴扭转时的应力
实心轴与空心轴 I p 与 Wt 对比
Wt
Ip
/R
1 D3
16
Wt I p /(D / 2)
应力必然成对存
在,且数值相等;
两者都垂直于两
个平面的交线,
方向则共同指向
各个截面上只有切应
或共同背离这一 力没有正应力的情况称为
交线。
纯剪切
§3.3 纯剪切
三、切应变 剪切胡克定律
在切应力的作用下,单 元体的直角将发生微小的
G
τ
改变,这个改变量
应变。
称为切
G
—
剪切弹性模量(GN/m2)
当切应力不超过材料 的剪切比例极限时,切应
第三章 扭转
第三章 扭 转
§3.1 扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3.3 纯剪切 §3.4 圆轴扭转时的应力 §3.5 圆轴扭转时的变形 §3.7 非圆截面杆扭转的概念
§3.1 扭转的概念和实例
汽车传动轴
§3.1 扭转的概念和实例
汽车方向盘
§3.1 扭转的概念和实例
§3.4 圆轴扭转时的应力
扭转强度条件:
max
Tmax Wt
1. 等截面圆轴:
2. 阶梯形圆轴:
max
Tmax Wt
max
(Tmax Wt
)max
§3.4 圆轴扭转时的应力
强度条件的应用
(1)校核强度
max
Tmax Wt
max
Tmax Wt
(2)设计截面
Wt
Tmax
(3)确定载荷
解: (1)计算外力偶矩 由公式 M e 9549P / n
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (3) 扭矩图
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
MB
MC
MD
MA
T3 M A 1432N m
Tmax 1432N m
传动轴上主、 从动轮安装的位 置不同,轴所承 受的最大扭矩也 不同。
Me
pq
pq
Me
x
圆轴扭转的平面假设:
pq
圆轴扭转变形前原为平面的横截面,变形后仍 保持为平面,形状和大小不变,半径仍保持为直线; 且相邻两截面间的距离不变。
§3.4 圆轴扭转时的应力
Me
pq
Me
_扭转角(rad)
pq p
q
d
a
d
c
a' O b
R
p
b′ q
dx
d _ dx微段两截面的
x
相对扭转角
B
C
D
MA A
T3
A
318N.m
795N.m
1432N.m
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的切应力
将一薄壁圆筒表面用纵向平行线和圆 周线划分;两端施以大小相等方向相反一 对力偶矩。
观察到:
圆周线大小形状不变,各圆周线间距 离不变;纵向平行线仍然保持为直线且 相互平行,只是倾斜了一个角度。
也发生在垂直于 半径的平面内。
§3.4 圆轴扭转时的应力
2.物理关系
根据剪切胡克定律
距圆心为 处的切应力:
横截面上任意点的切应力
G
G
G
d
dx
垂直于半径
与该点到圆心的距离 成正比。
§3.4 圆轴扭转时的应力
3.静力关系
T A dA
T A dA
G d 2dA dx A
结果说明横截面上没有正应力
§3.3 纯剪切
采用截面法将圆筒截开,横截面 上分布有与截面平行的切应力。由于 壁很薄,可以假设切应力沿壁厚均匀 分布。
二、切应力互等定理
由平衡方程
,得Mz 0
Me 2 r r
Me 2 r 2
'
§3.3 纯剪切
切应力互等定理:
纯剪切
在相互垂直的
两个平面上,切
按输入功率和转速计算
已知 轴转速-n 转/分钟 输出功率-P 千瓦 求:力偶矩Me
电机每秒输入功: 外力偶作功完成:
W P 1000(N m)
W
Me
2
n 60
P
P
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
2.扭矩和扭矩图 用截面法研究横 截面上的内力
T = Me
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
扭矩正负规定
右手螺旋法则 右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
扭矩图
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
例题3.1 传动轴,已知转速 n=300r/min,主动轮A输入功率
PA=45kW,三个从动轮输出功率分别为 PB=10kW,PC=15kW, PD=20kW.试绘轴的扭矩图.
Tmax Wt
§3.4 圆轴扭转时的应力
例3.2 由无缝钢管制成的汽车传动轴,外径 D=89mm、壁厚=2.5mm,材料为20号钢,使用 时的最大扭矩T=1930N·m,[]=70MPa.校核此轴 的强度。
解:(1)计算抗扭截面模量
d 0.945
D
Wt 0.2D3 (1 4 ) 0.2 8.93 (1 0.9454 ) 29 cm3
扭转受力特点 及变形特点:
杆件受到大小相等,方向相反且作用平 面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截 面绕轴线产生相对转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件,其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩 直接计算
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图