材料力学第三章扭转
合集下载
材料力学 第三章 扭转
d T dx GI p
d t r Gr dx
Tr tr Ip
Tr tr Ip
上式为等直圆杆在扭转时横截面上任一点处切 应力的计算公式。
Tr tr Ip
2
b z
t'
dx
c c'
3.4 圆轴扭转时的应力 3.4.1 横截面上的应力 1) 变形几何关系 在小变形条件下, 等直圆杆在扭转时横截面上也 只有切应力。为求得此应力, 需从几何关系、物 理关系和静力关系三个方面着手。 为研究横截面上任一点处切应变随点的位臵而 变化的规律, 先观察一个实验。
3.4 圆轴扭转时的应力 实验:预先在等截面圆杆的表面画上任意两个相 邻的圆周线和纵向线。在杆的两端施加外 力偶矩Me。
3.3 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒扭转时, 横截面上 任一点处的切应力t都是相 等的, 而其方向与圆周相切。 横截面上的内力与应力间 的静力关系为:
n
r0 x
t dA
Me
n
t dA r
A
0
t r0 dA t r0 2 r d T
A
对于薄壁圆筒, r可由平均半径r0代替。
M x 0, T M e 0
T Me
取右侧为研究对象其扭矩与取左侧为研究对象 数值相同但转向相反。
3.2.2 扭矩及扭矩图 扭矩的符号规定如下: 采用右手螺旋法则, 如果 以右手四指表示扭矩的转向, 则姆指的指向离 开截面时的扭矩为正。
反之, 姆指指向截面时则扭矩为负。
3.2.2 扭矩及扭矩图
M2
M3
M1 n
A
M4
B
C
D
M2
M3
M1
材料力学 第03章 扭转
sin 2 , cos 2
由此可知：
sin 2 , cos 2
(1) 单元体的四个侧面( = 0°和 = 90°)上切 应力的绝对值最大； (2) =-45°和 =+45°截面上切应力为零，而 正应力的绝对值最大；
[例5-1]图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50 马力，从 动轮B、C、D输出功率分别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马 力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
NA 50 M A 7024 7024 1170 N m n 300 NB 15 M B M C 7024 7024 351 m N n 300 NC 20 M D 7024 7024 468N m n 300
第3章
扭
转
§3.1
一、定义 二、工程实例 三、两个名词
概
述
一、定义
Me Me
扭转变形 ——在一对大小相等、转向相反的外力偶矩
作用下，杆的各横截面产生相对转动的
变形形式，简称扭转。
二、工程实例
1、螺丝刀杆工作时受扭。
Me
主动力偶
阻抗力偶
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
公式的使用条件：
1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：
2 A
I p d A (2π d )
2
d 2 0
O
2 π(
4
d /2
4
)
0
πd 4 32
d
d A 2π d
材料力学第三章 扭转
n
250
横截面上的最大切应力为
max
T Wt
T (D4 d 4)
16D
16 0.55573000 Pa 19.2MPa [ ] 50MPa (0.554 0.34 )
满足强度要求。
跟踪训练 7.机车变速箱第II轴如图所示，轴所传递的功率为
p 5.5KW,转速n 200r / min，材料为45钢，
（3）主动轮放在两从动轮之间可使最大扭矩取最小值
B
A
C
Me2
Nm
M e1
Me3
4220
2810
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
P M e 9549 n (N m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件的应用
' max
T
180 [']
（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。
再根据平衡条件，可得 Me1 Me2 Me3 (2810 4220)N m 7030N m
所作扭矩图如右图
（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
根据强度条件确定AB直径d1
AB
TAB Wt
16TAB
d12
[ ]
根据刚度条件确定AB直径d1
mB
(a)
1
350 2
C
1
2
T1
11463
446
A
D
3
mB
(b)
(c) mB
mC
T2
mC
mA T3
mD
T1 350N m 350 1 350 2
材料力学：第三章扭转强度
解：
A
TA
Ip
1000 0.015 0.044 (1 0.54 )
63.66MPa32max来自T Wt1000
0.043 (1 0.54 )
84.88MPa
16
min
max
10 20
42.44 MPa
例：一直径为D1的实心轴，另一内外径之 比α＝d2／D2＝0.8的空心轴，若两轴横截面上 的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直
NA=50 马力，从动轮B、C、D输出功率分 别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马力，轴的 转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
mA
7024
NA n
7024 50 300
1170 N m
mB
mC
7024
NB n
7024 15 300
351 N m
mD
7024 NC n
/m
例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半
时，横截面的最大剪应力是原来的 8 倍？
圆轴的扭转角是原来的 16 倍？
max
T Wt
T
d3
16
Tl Tl
GIp
d4
G
32
例：图示铸铁圆轴受扭时，在＿45＿ 螺＿旋＿ 面上 发生断裂，其破坏是由 最大拉 应力引起的。 在图上画出破坏的截面。
例：内外径分别为20mm和40mm的空心圆截 面轴，受扭矩T=1kN·m作用，计算横截面上A 点的切应力及横截面上的最大和最小切应力。
7024 20 468 N m 300
N A 50 PS N B N C 15 PS N D 20 PS n = 300 rpm
mA 1170 N m mB mC 351 N m mD 468 N m
材料力学力S03扭转
4M
2M
第三章
扭转
8
受扭杆件内力计算的例题
例1： ： 解： T1=M T2=2M T3=-2M 绘出扭矩图 最后总结规律： 最后总结规律： 左上右下” “左上右下” 自己证明。 自己证明。
M M 4M 2M
M
1 T1 1 M
M
2 T2
2
T3 3
2M
M
2M
3
T
第三章 扭转
−2 M
9
受扭杆件内力计算的例题
1.1 变形几何关系
通过实验知，圆截面杆发生扭转变形后： 通过实验知，圆截面杆发生扭转变形后：横截面仍 为平面，仍垂直于轴线，绕圆心刚体旋转； 为平面，仍垂直于轴线，绕圆心刚体旋转；横截面绕圆 心的角位移为扭转角；半径仍为直线段且长度不变。 心的角位移为扭转角；半径仍为直线段且长度不变。 这一规律称为圆截面杆扭转变形的平面假设。 这一规律称为圆截面杆扭转变形的平面假设。 平面假设
例2： ： 如图杆件，已知m，试绘制扭矩图。 如图杆件，已知 ，试绘制扭矩图。
Me
m
Me
l
第三章
扭转
10
受扭杆件内力计算的例题
例2： ： 解： 轴所受力系是连续分布的， 轴所受力系是连续分布的， 无须分段。默认坐标x轴起 无须分段。默认坐标 轴起 点左端，沿轴线向右。 点左端，沿轴线向右。 Me=ml/2 T=Me-mx=m(l/2-x) 该杆上的载荷力系关于杆中 截面对称 可以发现， 的 对称。 截面对称。可以发现，T的 分布关于杆中截面是反对称 分布关于杆中截面是反对称 的。
第三章
扭转
21
习题
• P84, 3-2 • P85, 3-5
第三章
材料力学-第三章扭转
3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得： m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例：由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T， 两者之间无相对滑动，求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件
0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析
圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件：
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3
4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2
Mn 0.208 0.886 d
b
6.913
材料力学第3章扭转
τ ρ = Gγ ρ
=G
ρdϕ
dx
22
C)静力平衡关系 C)静力平衡关系
T = ∫ A dA ⋅ τ ρ ⋅ ρ
2 dϕ = ∫ A Gρ dA dx
τ ρ = Gγ ρ
=G
dA
ρdϕ
dx
ρ
O
=G
dϕ ∫ A ρ 2dA dx
令
dϕ T = GI p dx
dϕ T = dx GIp
I p = ∫ A ρ 2dA
由公式
Pk/n
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (2)计算扭矩
(3) 扭矩图
12
§3-3、纯剪切
1、薄壁圆筒扭转：壁厚 、薄壁圆筒扭转：
t≤
1 r0 10
为平均半径） （r0：为平均半径）
A）观察实验： ）观察实验：
实验前： 实验前： ①绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。 。
16
纯剪切的概念： 纯剪切的概念：
当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 就称为纯剪切。 就称为纯剪切。
3、剪应变与扭转角
设轴长为L，半径为R 设轴长为L 半径为R Φ称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 且的剪应变 γ Φ的关系如下： 与 的关系如下：
∑ mz = 0
a dy
γ τ´
dx
τ´
b
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
故
τ
c z
τ
d t
τ =τ′
上式称为剪应力互等定理。 上式称为剪应力互等定理。 为剪应力互等定理
第三章扭转
T=Fs×r
材料力学
0
Fs=2 r
0
扭转/圆轴扭转时的应力
一.圆轴扭转时的应力分布规律
T
T
材料力学
扭转/圆轴扭转时的应力
1. 单元格的变化
A
B
C
A B
C
D
D
现象一： 方格的左右两边发生相对错动
横截面上存在切应力
方格的左右两边距离没有发生改变 现象二：
材料力学
横截面上没有正应力
2. 半径的变化
材料力学
扭转/纯剪切
§3.3 纯剪切
材料力学
相关概念
纯剪切：单元体各个面上只承受切应力而没有正应力。
单元体：是指围绕受力物体内一点截取一边长为无限小 的正立方体，以表示几何上的一点。
材料力学
扭转/纯剪切
一.薄壁圆筒扭转时的切应力
纯剪切的变形规律通过薄壁圆筒的纯扭转进 行研究。 受扭前，在薄壁圆筒的表面上用圆周线和 纵向线画成方格。
扭转/圆轴扭转时的变形
两横截面间相对扭转角的计算：
=TL/GIP
T：扭矩；
L：两横截面间的距离； G：切变模量； IP：极惯性矩。
材料力学
扭转/圆轴扭转时的变形
=TL/GIP
GIP越大，则越小。 GIP称为抗扭刚度。
材料力学
扭转/圆轴扭转时的变形
`=/L
`：单位长度扭转角（rad/m）。
思路：
最大扭矩
最大切应力
max
校核强度
相等
强度相同，则两轴的最大切应力 求出实心轴直径
材料力学
两轴面积比即为重量比
扭转/圆轴扭转时的应力
计算Wt:
3 Wt=D
材料力学第三章扭转
传动轮的转速n 、功率P 及其上的外力偶矩Me之
间的关系：
Me
=
P ×103 × 60 2πn
=
9.549 ×103
P n
(N • m)
Me2
Me1nMe3Fra bibliotek从动轮
主动轮 从动轮
主动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相同， 从动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相反。
12
二、扭矩及扭矩图
圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩， 用符号T表示。
τ dA r0 x
∫ T = τr0 A d A = τr0 A
n δ
A = 2πr0δ
A：平均半径所作圆的面积。
r0
得
τ
=
T r0 A
=
T
2πr02δ
28
思考：竹竿扭转破坏沿纵向还是沿横向开 裂？纵向截面上是否存在应力？
微体互垂面 上切应力的 关系?
dx
τ1
τ2，
τ1，dy
τ2 dz
x
z
29
二、单元体·切应力互等定理
得 τ′=τ
30
切应力互等定理
y
dz
τ'
dy
z
aτ
b
O τ'
dx
d c
τ
该定理表明：在单元体
相互垂直的两个平面上，剪 应力必然成对出现，且数值 相等，两者都垂直于两平面 的交线，其方向则共同指向 x 或共同背离该交线。
τ =τ′
τ'
a
d
单元体在其两对互相 垂直的平面上只有切应力
τ
而无正应力的状态称为纯
4.78
T 图(kN·m)
材料力学第3章 扭转
第3章 扭转
第一节 概 述 扭转是杆件变形的基本形式之一。在日常生活 和工程中，以扭转变形为主的杆件比较常见，如钥 匙、汽车转向轴、螺丝刀、钻头、皮带传动轴或齿 轮传动轴、门洞上方的雨篷梁、主梁等。
1
图3.1
图3.2
2
图3.3
3
第二节 外力偶矩计算 扭矩与扭矩图 一、外力偶矩计算 作用在扭转杆件上的外力偶矩Me，常可以由 外力向杆的轴线简化而得。但是，对于传动轴，通 常知道它所传递的功率P（常用单位为kW）和转 速n（常用单位为r/min）。由理论力学知识
11
图3.9
图3.10
12
三、剪切胡克定律 对于线弹性材料，试验表明，当切应力不超过 材料的剪切比例极限τp时，切应力τ与切应变γ保持 线性关系。如图3.10所示为低碳钢试件测得的τγ图， 可得
13
第四节 圆轴扭转时横截面上的切应力 对于实心圆轴和空心圆轴（非薄壁圆筒），扭 转时不能再假设切应力沿半径方向为均匀分布。这 时需要从圆轴的变形入手，综合考虑几何、物理、 静力学3个方面，推导圆轴扭转时横截面上切应力 的计算公式。
14
一、扭转试验及假设 取一等截面圆轴，在其表面等间距地画上纵向 线和圆周线，形成大小相同的矩形网格，如图3.11 (a)所示。在两端施加力偶Me后，从试验中观察到 的现象与薄壁圆筒相同。根据这些试验现象，由表 及里，可以推断：横截面上无正应力；横截面上必 有切应力存在，其方向垂直于半径。
15
图3.11
若圆轴的扭矩和抗扭刚度分段为常数，则
27
二、刚度条件 机械工程中某些受力较大的主轴，除了满足扭 转强度条件以外，还需要对其扭转变形加以限制， 这就是扭转刚度条件。工程中常限制轴的单位长度 扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为
第一节 概 述 扭转是杆件变形的基本形式之一。在日常生活 和工程中，以扭转变形为主的杆件比较常见，如钥 匙、汽车转向轴、螺丝刀、钻头、皮带传动轴或齿 轮传动轴、门洞上方的雨篷梁、主梁等。
1
图3.1
图3.2
2
图3.3
3
第二节 外力偶矩计算 扭矩与扭矩图 一、外力偶矩计算 作用在扭转杆件上的外力偶矩Me，常可以由 外力向杆的轴线简化而得。但是，对于传动轴，通 常知道它所传递的功率P（常用单位为kW）和转 速n（常用单位为r/min）。由理论力学知识
11
图3.9
图3.10
12
三、剪切胡克定律 对于线弹性材料，试验表明，当切应力不超过 材料的剪切比例极限τp时，切应力τ与切应变γ保持 线性关系。如图3.10所示为低碳钢试件测得的τγ图， 可得
13
第四节 圆轴扭转时横截面上的切应力 对于实心圆轴和空心圆轴（非薄壁圆筒），扭 转时不能再假设切应力沿半径方向为均匀分布。这 时需要从圆轴的变形入手，综合考虑几何、物理、 静力学3个方面，推导圆轴扭转时横截面上切应力 的计算公式。
14
一、扭转试验及假设 取一等截面圆轴，在其表面等间距地画上纵向 线和圆周线，形成大小相同的矩形网格，如图3.11 (a)所示。在两端施加力偶Me后，从试验中观察到 的现象与薄壁圆筒相同。根据这些试验现象，由表 及里，可以推断：横截面上无正应力；横截面上必 有切应力存在，其方向垂直于半径。
15
图3.11
若圆轴的扭矩和抗扭刚度分段为常数，则
27
二、刚度条件 机械工程中某些受力较大的主轴，除了满足扭 转强度条件以外，还需要对其扭转变形加以限制， 这就是扭转刚度条件。工程中常限制轴的单位长度 扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为
材料力学-第三章
21
第三章 扭转
3.5 圆轴扭转强度计算
22
扭转失效与扭转极限应力
扭转屈服应力：s 扭转强度极限：b 扭转强度极限：b 扭转屈服应力（s ）和扭转强度极限（b ），统 称为材料的扭转极限应力u。
23
圆轴扭转强度条件
材料的扭转许用应力为：
u
n
n为安全系数。
强度条件为：
max
（2) 若将轮1与轮2的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
（3) 若将轮1与轮3的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
33
提高圆轴扭转时强度和刚度的措施
• 提高轴的转速 • 合理布局主动轮和被动轮的位置 • 采用空心轴 • 选用优质材料，提高剪切模量
34
例3-8：图示圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向载荷F作用。 所谓密圈螺旋弹簧，是指螺旋升角α很小（例如小于5º ）的 弹簧。设弹簧的平均直径D，弹簧丝的直径d，试分析弹簧 丝横截面上的应力并建立相应的强度条件。
第三章 扭转
3.1 扭转的概念
1
扭转的概念
以横截面绕轴 线作相对旋转为 主要特征的变形 形式，称为扭转。
2
受力特点： 变形特点：
受到垂直于构件轴线的外力偶 矩的作用。
构件的轴线保持不变，各横截面绕 轴线相对转动 截面间绕轴线的相对角位移，称为扭转角
使杆发生扭转变形的外力偶，称为扭力偶，其矩 称为扭力偶矩。 凡是以扭转为主要变形的直杆，称为轴。
公式的适用条件：以平面假设为基础；适用胡克定律。
18
圆轴截面的极惯性矩和抗扭截面模量
IP
d4
32
WP
d3
16
19
空心圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量
材料力学——第三章 扭转
33
材 料 力 学
表明： 当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截
面上都没有正应力； 横截面上便只有切于截面的切应力；
34
材 料 力 学
4、切应力分布规律假设
因为筒壁的厚度很小，可以认为沿筒壁厚度切应力均匀分布；
35
材 料 力 学
5、薄壁圆筒的扭转切应力
T
rm
2 rm t T
m1
m4
15.9(kN m)
A
P2 m2 m3 9.549 4.78 (kN m) n P4 m4 9.549 6.37 (kN m) n
17
B
C
D
材 料 力 学
2、求扭矩
m2
T1 m2 0
T1 4.78kN m
T2 m2 m3 0
材 料 力 学
三、切应变
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动， a
´
c
´
b
d
t
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
圆筒两端的相对扭转角为υ，圆筒 的长度为L，则切应变为
L r
r L
39
材 料 力 学
四、剪切虎克定律：
当剪应力不超过材料的剪切比例
齿轮轴
9
材 料 力 学
§3-2、外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
一.外力偶矩的计算 ——直接计算
M=Fd
10
材 料 力 学
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 计算：力偶矩M
电机每秒输入功： 外力偶作功：
W P 1000(N.m)
材料力学第3章 扭转
2π
ρ2 ⋅ ρdρdθ ∫0
R
π
2
R4 =
π
32
4
D4
4
I 空心圆轴： 空心圆轴： p = （R − r ) =
π
π
32
薄壁杆： 薄壁杆：I p =
π
2
(D + d )(D+ d)(D− d) = D3t 32 4
2 2 3
π
2
(D4 − d4 )
π
W 圆轴： 圆轴： t = R =
π
16
D3
π (D4 − d4 ) = πD3 (1−α4 ) Wt = π (D3 − d3 ) 空心圆轴： 空心圆轴： Wt =16D 16
弹簧丝横截面上的应力(α<5º) 一、 弹簧丝横截面上的应力
F F
内力： 内力： FS＝F T＝FD/2 ＝ 应力： 应力：
FS
8FD d 8FD τmax = 3 ( +1) ≈ 3 πd 2D πd
FS 4F τ1 = = 2 A πd T 8FD τ 2max = = 3 Wt πd
8FD d 8FD τmax = 3 ( +1) ≈ 3 πd 2D πd
3) 矩形截面杆的扭转
切应力与截面边界相切
b
角点切 角点切应力为零 中点切 中点切应力最大
h
τmax
T τmax = 2 αhb
τ1 =ντmax
τ1
Tl Tl 中： = 其 ：t = βhb3 中 I φ= 3 Gβhb GIt
α、β与h/b有关 、 与 有关 当h>>b时， α=β=1/3 时
钻头横截面直径为20mm， ， 钻头横截面直径为 在顶部受均匀的阻抗扭矩 (Nm/m)的作用，许用切 的作用， m 的作用 应力[τ]=70MPa，(1)求许可 应力 ， 求许可 的m。(2)若G＝80GPa，求 。 若 ＝ ， 上端对下端的相对扭转角。 上端对下端的相对扭转角。 mmax= [τ]Wt=110Nm
材料力学 第三章 扭转
为一很小的量，所以
tan 1.0103rad
G
(80 109 Pa)(1.0 103rad) 80 MPa
注意： 虽很小，但 G 很大，切应力 不小
例 3-3 一薄壁圆管，平均半径为R0，壁厚为，长度为l， 横截面上的扭矩为T，切变模量为G，试求扭转角。
解：
T
2πR02
G
T
2πGR02
塑性材料：[] =（0.5~0.6）[s] 脆性材料：[] = （0.8~1.0）[st]
例 3-1 已知 T=1.5 kN . m，[τ] = 50 MPa，试根据强度条 件设计实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。 解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
max
T Wp
T πd 3
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
Tmax ml
[例3-1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
解：1、计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
m1
9.55
P1 n
9.55
一、薄壁圆筒扭转时的应力
t
1、试验现象
壁厚
t
1 10
r0（r0：平均半径）
rO
各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动，距离不变。 当变形很小时，各纵向平行线仍然平行，倾斜一定的角度。
由于管壁薄，可近似认 为管内变形与管表面相 同，均仅存在切应变γ 。
2、应力公式 微小矩形单元体如图所示：
´
①无正应力
d T
dx GI p
材料力学 第 三 章 扭转
扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
材料力学第三章扭转
材料力学
中南大学土木工程学院
三、扭 矩
x 扭矩的矢量表示
Me
Me
Me
T
定义：扭转内力偶矩， 1、定义：扭转内力偶矩，用T表示 大小： 2、大小：可用截面法取局部平衡求出 扭矩大小= 截面一侧所有外扭转力偶矩之代数和 T =ΣMe 正负号： 3、正负号：扭矩矢与截面外法线一致为正 （图中T为正，必须按“设正法”画扭矩） 为正，必须按“设正法”画扭矩） 单位： 4、单位：N·m 或 kN·m
τ =τ′
切应力互等定理
在单元体相互垂直的两个平面上， 在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出 且数值相等，两者都垂直于两平面的交线， 现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方 向则共同指向或共同背离该交线。 向则共同指向或共同背离该交线。
材料力学
中南大学土木工程学院
单元体的四个侧面上只有切应力而无正应 纯剪切应力状态。 力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态 力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。
O
定义内径与 外径的比值
d α= D
D d
πD πD 4 Ip = (1 − α 4 ) 32
I p π(D 4 − d 4 ) πD 3 Wp = = = (1 − α 4 ) D 16 D 16 2
特别注意：抗扭截面系数不满足叠加法的计算，括号里的仍是四次方。 特别注意：抗扭截面系数不满足叠加法的计算，括号里的仍是四次方。
材料力学 中南大学土木工程学院
分布如图所示。 横截面上各点处的切应力τ 分布如图所示 取微面积dA，则横截面上的分布 的合成其主矢为零， 力系τ dA的合成其主矢为零，主矩就 是扭矩T。
δ
r0
O
τ
∫
材料力学第三章
等直圆杆扭转时的应力·强度条件 §3-4 等直圆杆扭转时的应力 强度条件
3.理论分析 3.理论分析 变形几何关系： (1) 变形几何关系： G1G′ ρ ⋅ dϕ γ ρ ≈ tanγ ρ = =
dϕ γρ = ρ dx dϕ ：扭转角 沿x轴的变化 轴的变化 ϕ dx 率。对给定截面上的各 它是常量。 点，它是常量。
28
等直圆杆扭转时的应力·强度条件 §3-4 等直圆杆扭转时的应力 强度条件
5
§3-2 薄壁圆筒的扭转
1 为平均半径） 薄壁圆筒： 薄壁圆筒：壁厚 δ ≤ r0 （r0：为平均半径） 10
实验： 实验：
实验前：绘纵向线，圆周线； 实验前：绘纵向线，圆周线；
然后施加一对外力偶 Me。
6
§3-2 薄壁圆筒的扭转
当其两端面上作用有外力 偶矩时，任一横截面上的 内力偶矩——扭矩(torque) T = Me
4
§3.1 概述
工程实际中，有很多构件，如车床的光杆、 工程实际中，有很多构件，如车床的光杆、搅拌机 轴、汽车传动轴等，都是受扭构件。 汽车传动轴等，都是受扭构件。 还有一些轴类零件，如电动机主轴、水轮机主轴、 还有一些轴类零件，如电动机主轴、水轮机主轴、 机床传动轴等，除扭转变形外还有弯曲变形， 机床传动轴等，除扭转变形外还有弯曲变形，属于组合 变形。 变形。 本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略 的情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为 主要研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范 围内工作的情况。
Ⅰ. 横截面上的应力 表面 变形 情况 横截面 上应力 变化规 律 内力与应力的关系 横截面上应 力的计算公 式
23
横截 推断 面的 变形 情况
横截面 上应变 应力-应变关系 的变化 规律
材料力学第3章-扭转
第3章 扭转1、扭转的概念：杆件的两端个作用一个力偶，其力偶矩大小相等、转向相反且作用平面垂直于杆件轴线，致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，即为扭转变形。
2、外力偶矩的计算{}{}{}min /95491000602r KW m N e e n P M P M n=⇒⨯=⨯⨯⋅π 式中，e M 为外力偶矩。
又由截面法：e e M T M T =⇒=-0 T 称为n n -截面上的扭矩。
规定：若按右手螺旋法则把T 表示为矢量，当矢量方向与研究部分中截面的外法线的方向一致时，T 为正；反之为负。
3、纯剪切（1）薄壁圆筒扭转时的切应力 δπττδπ222r M r r M ee =⇒••=（2）切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于平面的交线，方向则共同指向或背离这一交线。
（3）切应变 剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变γ与切应力τ成正比。
γτG = G 为比例常数，称为材料的切变模量。
弹性模量E 、泊松比μ和切变模量G 存在关系：)1(2μ+=EG 4、圆轴扭转时的应力（1）变形几何关系：距圆心为ρ处的切应变为dxd ϕργρ=（2）物理关系：ρτ为横截面上距圆心为ρ处的切应力。
dxd G G ϕρτγτρρρ=⇒= （3）静力关系：内力系对圆心的力矩就是横截面的扭矩：dA d d GdA T AxA⎰⎰==2ρρτϕρ 以p I 表示上式右端的积分式：dA I Ap ⎰=2ρ p I 称为横截面对圆心O 点的极惯性矩（截面二次极矩）横截面上距圆心为ρ的任意点的切应力：pI T ρτρ=ρ最大时为R ，得最大切应力：pI TR =max τ引用记号RI W p t =t W 称为抗扭截面系数。
则tW T =max τp I 和t W 的计算（1）实心轴：3224420032D R d d dA I RAp ππθρρρπ====⎰⎰⎰16233D R RI W p t ππ===（2）空心轴：)1(32)(324444202/2/32αππθρρρπ-=-===⎰⎰⎰D d D d d dA I D d Ap)1(16)(164344αππ-=-==D d D DRI W p t5、圆轴扭转时的变形pGI Tl =ϕ ϕ为扭转角，l 为两横截面间的距离。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
应力是原来的 8 倍？圆轴的扭转角是原来的 16 倍？
解：
max
T Wt
T
d3
16
6.一直径为D1的实心轴，另一内外径之比α＝d2／D2＝0.8的空 心轴，若两轴横截面上的扭矩相同，且最大切应力相等。求两 轴外直径之比D2/D1。 解：
由
得：
7.在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴 ，可节省材料的百分比为多少? 解： 设实心轴的直径为 d1 ，由
第三章 扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
例题3.1 传动轴,已知转速 n=300r/min,主动轮A输入功率
PA=45kW,三个从动轮输出功率分别为 PB=10kW,PC=15kW, PD=20kW.试绘轴的扭矩图.
解: (1)计算外力偶矩 由公式 M e 9549P / n
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
4、圆轴扭转时的变形及刚度计算
Tl
GI P
T 180
GIP
4.图示等截面圆轴上装有四个皮带轮，如何合理安排，现有四种答
案： (A) 将轮C与轮D对调；
1.0
0.2
0.2
0.6
(B) 将轮B与轮D对调；
(C) 将轮B与轮C对调；
(D) 将轮B与轮D对调，然后再将
A
B
C
轮B与轮C对调。
(单位 : kN m) D
5.实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大切
500
AB
T1l1 GIP1
2.5103 750103 80109 π 754 1012
7.55 103
rad
32
BC
T2l2 GIP2
1.5103 500103 80109 π 504 1012
15.28103 rad
40MPa
D2
3
π
16 716.2
1- 4 40106
0.046m=46mm
d2＝0.5D2=23 mm
确定实心轴与空心轴的重量之比
实心轴
空心轴
d1=45 mm
D2＝46 mm d2＝23 mm
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：
A1
d2 1
32
AC AB BC 7.55103 15.28103 7.73103 rad
§3.5 圆=200Nm，轴的直径d=40mm，材
料的[τ]=40MPa，剪切弹性模量G=80GPa，许可单位长度转 角[φ/]=1 ⁰/m。试校核轴的强度和刚度。
解：1.外力
2.扭矩图
3.直径d1的选取
按强度条件
按刚度条件
4.直径d2的选取
按强度条件
按刚度条件
5.选同一直径时
6.将主动轮按装在两从 动轮之间
受力合理
小结
1、受扭物体的受力和变形特点 2、扭矩计算，扭矩图绘制
3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算
T
IP
max
T Wt
得：
§3.4 圆轴扭转时的应力
例题3.4
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最
大切应力不得超过40MPa,空心圆轴
的内外直径之比 = 0.5。二轴长
度相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。
解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩
P
7.5
Mx
T
(2)计算扭矩 (3) 扭矩图
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
传动轴上主、 从动轮安装的位 置不同，轴所承 受的最大扭矩也 不同。
MB
MC
B
C
MD
MA
D
A
T3
MA
A
T3 M A 1432N m
Tmax 1432N m
318N.m
795N.m
1432N.m
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
9549
n
9549 100
716.2N m
实心轴
max1
T
WP1
16T πd13
40MPa
d1
3
16 716.2 π 40 106
0.045m=45mm
§3.4 圆轴扭转时的应力
空心轴
max2
T
WP 2
16T
πD23 1 4
45 103
2
1
＝1.28
A2
D2 2
12
46103 1 0.52
传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率
P1=400kW，从动轮C，B 分别输出功率P2=160kW，
P3=240kW。已知[τ]=70MPa，[θ]=1°/m，G=80GPa。 (1)试确定AC 段的直径d1 和BC 段的直径d2； (2)若AC 和BC 两段选同一直径，试确定直径d； (3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?
max
T Wt
1.分别画出图示三种截面上扭转切应力沿半径各点处的分布规律。
T
T
T
(a) 圆截面
(b) 空心圆截面 (c) 薄壁圆截面
T Ip
2. 切应力互等定理是由单元体：
(A) 静力平衡关系导出的； (B) 几何关系导出的；
(C) 物理关系导出的；
(D) 强度条件导出的。
3.切应力互等定理适用情况有下列四种答案： （A）纯剪切应力状态； （B）平面应力状态，而不论有无正应力作用； （C）弹性范围； （D）空间任意应力状态。
例题3.6 已知:传动轴m1=2.5kNm， m2=4kNm， m3=1.5kNm， G=80GPa
求：截面A相对截面C的扭转角 AC
75
解：（1）计算扭矩
50
T1 m1 2.5k N m
T2 m3 1.5kN m
A
（2）计算A、C两截面间的相对扭转角
750
B
C
解：
max
T Wt
T
d3
16
6.一直径为D1的实心轴，另一内外径之比α＝d2／D2＝0.8的空 心轴，若两轴横截面上的扭矩相同，且最大切应力相等。求两 轴外直径之比D2/D1。 解：
由
得：
7.在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴 ，可节省材料的百分比为多少? 解： 设实心轴的直径为 d1 ，由
第三章 扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
例题3.1 传动轴,已知转速 n=300r/min,主动轮A输入功率
PA=45kW,三个从动轮输出功率分别为 PB=10kW,PC=15kW, PD=20kW.试绘轴的扭矩图.
解: (1)计算外力偶矩 由公式 M e 9549P / n
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
4、圆轴扭转时的变形及刚度计算
Tl
GI P
T 180
GIP
4.图示等截面圆轴上装有四个皮带轮，如何合理安排，现有四种答
案： (A) 将轮C与轮D对调；
1.0
0.2
0.2
0.6
(B) 将轮B与轮D对调；
(C) 将轮B与轮C对调；
(D) 将轮B与轮D对调，然后再将
A
B
C
轮B与轮C对调。
(单位 : kN m) D
5.实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大切
500
AB
T1l1 GIP1
2.5103 750103 80109 π 754 1012
7.55 103
rad
32
BC
T2l2 GIP2
1.5103 500103 80109 π 504 1012
15.28103 rad
40MPa
D2
3
π
16 716.2
1- 4 40106
0.046m=46mm
d2＝0.5D2=23 mm
确定实心轴与空心轴的重量之比
实心轴
空心轴
d1=45 mm
D2＝46 mm d2＝23 mm
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：
A1
d2 1
32
AC AB BC 7.55103 15.28103 7.73103 rad
§3.5 圆=200Nm，轴的直径d=40mm，材
料的[τ]=40MPa，剪切弹性模量G=80GPa，许可单位长度转 角[φ/]=1 ⁰/m。试校核轴的强度和刚度。
解：1.外力
2.扭矩图
3.直径d1的选取
按强度条件
按刚度条件
4.直径d2的选取
按强度条件
按刚度条件
5.选同一直径时
6.将主动轮按装在两从 动轮之间
受力合理
小结
1、受扭物体的受力和变形特点 2、扭矩计算，扭矩图绘制
3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算
T
IP
max
T Wt
得：
§3.4 圆轴扭转时的应力
例题3.4
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最
大切应力不得超过40MPa,空心圆轴
的内外直径之比 = 0.5。二轴长
度相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。
解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩
P
7.5
Mx
T
(2)计算扭矩 (3) 扭矩图
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
传动轴上主、 从动轮安装的位 置不同，轴所承 受的最大扭矩也 不同。
MB
MC
B
C
MD
MA
D
A
T3
MA
A
T3 M A 1432N m
Tmax 1432N m
318N.m
795N.m
1432N.m
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
9549
n
9549 100
716.2N m
实心轴
max1
T
WP1
16T πd13
40MPa
d1
3
16 716.2 π 40 106
0.045m=45mm
§3.4 圆轴扭转时的应力
空心轴
max2
T
WP 2
16T
πD23 1 4
45 103
2
1
＝1.28
A2
D2 2
12
46103 1 0.52
传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率
P1=400kW，从动轮C，B 分别输出功率P2=160kW，
P3=240kW。已知[τ]=70MPa，[θ]=1°/m，G=80GPa。 (1)试确定AC 段的直径d1 和BC 段的直径d2； (2)若AC 和BC 两段选同一直径，试确定直径d； (3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?
max
T Wt
1.分别画出图示三种截面上扭转切应力沿半径各点处的分布规律。
T
T
T
(a) 圆截面
(b) 空心圆截面 (c) 薄壁圆截面
T Ip
2. 切应力互等定理是由单元体：
(A) 静力平衡关系导出的； (B) 几何关系导出的；
(C) 物理关系导出的；
(D) 强度条件导出的。
3.切应力互等定理适用情况有下列四种答案： （A）纯剪切应力状态； （B）平面应力状态，而不论有无正应力作用； （C）弹性范围； （D）空间任意应力状态。
例题3.6 已知:传动轴m1=2.5kNm， m2=4kNm， m3=1.5kNm， G=80GPa
求：截面A相对截面C的扭转角 AC
75
解：（1）计算扭矩
50
T1 m1 2.5k N m
T2 m3 1.5kN m
A
（2）计算A、C两截面间的相对扭转角
750
B
C