材料力学：第三章扭转强度
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材料力学 第03章 扭转
sin 2 , cos 2
由此可知：
sin 2 , cos 2
(1) 单元体的四个侧面( = 0°和 = 90°)上切 应力的绝对值最大； (2) =-45°和 =+45°截面上切应力为零，而 正应力的绝对值最大；
[例5-1]图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50 马力，从 动轮B、C、D输出功率分别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马 力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
NA 50 M A 7024 7024 1170 N m n 300 NB 15 M B M C 7024 7024 351 m N n 300 NC 20 M D 7024 7024 468N m n 300
第3章
扭
转
§3.1
一、定义 二、工程实例 三、两个名词
概
述
一、定义
Me Me
扭转变形 ——在一对大小相等、转向相反的外力偶矩
作用下，杆的各横截面产生相对转动的
变形形式，简称扭转。
二、工程实例
1、螺丝刀杆工作时受扭。
Me
主动力偶
阻抗力偶
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
公式的使用条件：
1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：
2 A
I p d A (2π d )
2
d 2 0
O
2 π(
4
d /2
4
)
0
πd 4 32
d
d A 2π d
材料力学第三章 扭转
n
250
横截面上的最大切应力为
max
T Wt
T (D4 d 4)
16D
16 0.55573000 Pa 19.2MPa [ ] 50MPa (0.554 0.34 )
满足强度要求。
跟踪训练 7.机车变速箱第II轴如图所示，轴所传递的功率为
p 5.5KW,转速n 200r / min，材料为45钢，
（3）主动轮放在两从动轮之间可使最大扭矩取最小值
B
A
C
Me2
Nm
M e1
Me3
4220
2810
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
P M e 9549 n (N m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件的应用
' max
T
180 [']
（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。
再根据平衡条件，可得 Me1 Me2 Me3 (2810 4220)N m 7030N m
所作扭矩图如右图
（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
根据强度条件确定AB直径d1
AB
TAB Wt
16TAB
d12
[ ]
根据刚度条件确定AB直径d1
mB
(a)
1
350 2
C
1
2
T1
11463
446
A
D
3
mB
(b)
(c) mB
mC
T2
mC
mA T3
mD
T1 350N m 350 1 350 2
材料力学第四版课件 第三章 扭转
2
例1：图示空心圆轴外径D=100mm,内径 图示空心圆轴外径D=100mm,内径 d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变 =6kN· 模量 G=80GPa. （1） 试画轴的扭矩图； 试画轴的扭矩图； （2） 求轴的最大切应力,并指出其位置. 求轴的最大切应力,并指出其位置.
平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。
横截面上无σ 1）横截面上无σ 2）横截面上只有τ
F O1 a d dφ d1 dx O2
dd1 ρdφ γ ρ ≈ tanγ ρ = = ad dx
4
πd
3 0
(
)
16T ∴d0 ≥ 3 = 76.3mm 4 π (1−α )[τ ]
取 d0 = 76.3mm、 、 (3)比较空心轴与实心轴的重量 比较空心轴与实心轴的重量 积之比： 二者重量之比等于横截面 积之比：
π (d − di ) 4 = 0.395 β= 2 4 πd
2 0 2
可见空心轴比实心轴的重量轻 可见空心轴比实心轴的重量轻
任一点处的切应变 切应变与到 距圆心为 ρ 任一点处的切应变与到 成正比。 圆心的距离ρ成正比。
2. 物理方面
dφ γρ = ρ dx
dφ τ ρ = Gρ dx
3. 静力学方面
dφ 2 T = ∫ ρτ ρ dA = G ∫ ρ dA dx A A
Ip = ∫ ρ dA 称为极惯性矩
2 A
ρ
dA
MB
1
MC
MA
2 2
A
3
MD
例1：图示空心圆轴外径D=100mm,内径 图示空心圆轴外径D=100mm,内径 d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变 =6kN· 模量 G=80GPa. （1） 试画轴的扭矩图； 试画轴的扭矩图； （2） 求轴的最大切应力,并指出其位置. 求轴的最大切应力,并指出其位置.
平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。
横截面上无σ 1）横截面上无σ 2）横截面上只有τ
F O1 a d dφ d1 dx O2
dd1 ρdφ γ ρ ≈ tanγ ρ = = ad dx
4
πd
3 0
(
)
16T ∴d0 ≥ 3 = 76.3mm 4 π (1−α )[τ ]
取 d0 = 76.3mm、 、 (3)比较空心轴与实心轴的重量 比较空心轴与实心轴的重量 积之比： 二者重量之比等于横截面 积之比：
π (d − di ) 4 = 0.395 β= 2 4 πd
2 0 2
可见空心轴比实心轴的重量轻 可见空心轴比实心轴的重量轻
任一点处的切应变 切应变与到 距圆心为 ρ 任一点处的切应变与到 成正比。 圆心的距离ρ成正比。
2. 物理方面
dφ γρ = ρ dx
dφ τ ρ = Gρ dx
3. 静力学方面
dφ 2 T = ∫ ρτ ρ dA = G ∫ ρ dA dx A A
Ip = ∫ ρ dA 称为极惯性矩
2 A
ρ
dA
MB
1
MC
MA
2 2
A
3
MD
材料力学第3章扭转
τ ρ = Gγ ρ
=G
ρdϕ
dx
22
C)静力平衡关系 C)静力平衡关系
T = ∫ A dA ⋅ τ ρ ⋅ ρ
2 dϕ = ∫ A Gρ dA dx
τ ρ = Gγ ρ
=G
dA
ρdϕ
dx
ρ
O
=G
dϕ ∫ A ρ 2dA dx
令
dϕ T = GI p dx
dϕ T = dx GIp
I p = ∫ A ρ 2dA
由公式
Pk/n
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (2)计算扭矩
(3) 扭矩图
12
§3-3、纯剪切
1、薄壁圆筒扭转：壁厚 、薄壁圆筒扭转：
t≤
1 r0 10
为平均半径） （r0：为平均半径）
A）观察实验： ）观察实验：
实验前： 实验前： ①绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。 。
16
纯剪切的概念： 纯剪切的概念：
当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 就称为纯剪切。 就称为纯剪切。
3、剪应变与扭转角
设轴长为L，半径为R 设轴长为L 半径为R Φ称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 且的剪应变 γ Φ的关系如下： 与 的关系如下：
∑ mz = 0
a dy
γ τ´
dx
τ´
b
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
故
τ
c z
τ
d t
τ =τ′
上式称为剪应力互等定理。 上式称为剪应力互等定理。 为剪应力互等定理
材料力学 第三章 扭 转
T2
T1
d
T3
Mx1=0.5kN· m
Mx2 =0.32kN· m lAB=300mm G=80GPa d=50mm
B
T2
φAB
lAB
A T1
lAC d φAC
C T3
B
lAB
A
lAC
C
M x1l AB j AB = GI P 500 0.3 = 9 80 10 0.054 32
r O
Mx
几何分析
变 形 应变分布
物理关系
应力分布
平面假定 静力学方程
应力公式
1. 变形几何关系
周线
a b c d
T
周线
a c d
γ
T
φ
b
纵线
dx
纵线
dx
a
c
a
γ
c c' d d'
b
d
b
（1）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变，绕杆轴线相对转动。 （2）所有的纵线都转过了同一角度g。
T
周线
A
dρ
ρ o
ρ2dA
∫ 0ρ2·2πρdρ =
π d = 32
4
d/2
d
3 Ip π d Wp = r = 16
2. 空心圆截面
π D 4 - π d 4 π D 4(1-α4) Ip= 32 32 = 32 α=d/D
ρ o
dρ
π D3 Wp = 16 (1-α4)
d D
3.薄壁圆环截面
I P = 2r0
故该轴满足切应力强度要求。
二、刚度计算 等直圆杆扭转的刚度条件为
θ max = Mxmax ≤[θ] GI
材料力学-第三章
21
第三章 扭转
3.5 圆轴扭转强度计算
22
扭转失效与扭转极限应力
扭转屈服应力：s 扭转强度极限：b 扭转强度极限：b 扭转屈服应力（s ）和扭转强度极限（b ），统 称为材料的扭转极限应力u。
23
圆轴扭转强度条件
材料的扭转许用应力为：
u
n
n为安全系数。
强度条件为：
max
（2) 若将轮1与轮2的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
（3) 若将轮1与轮3的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
33
提高圆轴扭转时强度和刚度的措施
• 提高轴的转速 • 合理布局主动轮和被动轮的位置 • 采用空心轴 • 选用优质材料，提高剪切模量
34
例3-8：图示圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向载荷F作用。 所谓密圈螺旋弹簧，是指螺旋升角α很小（例如小于5º ）的 弹簧。设弹簧的平均直径D，弹簧丝的直径d，试分析弹簧 丝横截面上的应力并建立相应的强度条件。
第三章 扭转
3.1 扭转的概念
1
扭转的概念
以横截面绕轴 线作相对旋转为 主要特征的变形 形式，称为扭转。
2
受力特点： 变形特点：
受到垂直于构件轴线的外力偶 矩的作用。
构件的轴线保持不变，各横截面绕 轴线相对转动 截面间绕轴线的相对角位移，称为扭转角
使杆发生扭转变形的外力偶，称为扭力偶，其矩 称为扭力偶矩。 凡是以扭转为主要变形的直杆，称为轴。
公式的适用条件：以平面假设为基础；适用胡克定律。
18
圆轴截面的极惯性矩和抗扭截面模量
IP
d4
32
WP
d3
16
19
空心圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量
材料力学——第三章 扭转
33
材 料 力 学
表明： 当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截
面上都没有正应力； 横截面上便只有切于截面的切应力；
34
材 料 力 学
4、切应力分布规律假设
因为筒壁的厚度很小，可以认为沿筒壁厚度切应力均匀分布；
35
材 料 力 学
5、薄壁圆筒的扭转切应力
T
rm
2 rm t T
m1
m4
15.9(kN m)
A
P2 m2 m3 9.549 4.78 (kN m) n P4 m4 9.549 6.37 (kN m) n
17
B
C
D
材 料 力 学
2、求扭矩
m2
T1 m2 0
T1 4.78kN m
T2 m2 m3 0
材 料 力 学
三、切应变
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动， a
´
c
´
b
d
t
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
圆筒两端的相对扭转角为υ，圆筒 的长度为L，则切应变为
L r
r L
39
材 料 力 学
四、剪切虎克定律：
当剪应力不超过材料的剪切比例
齿轮轴
9
材 料 力 学
§3-2、外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
一.外力偶矩的计算 ——直接计算
M=Fd
10
材 料 力 学
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 计算：力偶矩M
电机每秒输入功： 外力偶作功：
W P 1000(N.m)
河海大学 , 材料力学 , 课件 , 第3章 , 扭转
又
Mx 2 2r0
(a)
l r0
r0 l
b
τ b τs a τp O
τp——剪切比例极限 τs——剪切屈服极限
γ
α
低碳钢τ-γ曲线
切变模量 G = τ/ γ= tanα
α——直线的倾角
各向同性材料：
E G 21
铸铁扭转破坏试验：
τ
τb——剪切强度极限
∴ 横截面上最大切应力发生在厚度δi 最大的狭 长矩形的长边中点处。
max
MX 1 3 max 3 hi i
例3-5：两薄壁钢管。（a）为闭口薄同，且δ / D0= 1 / 10，试求在相同的外力偶
矩作用下，哪种截面形式较好。
P(kW) T 9.55 (kN m) n(rpm)
§3-2 圆杆扭转时的应力
一、横截面上的应力
Mx
分析步骤？
变形分析→应变分布
应力应变关系→应力分布 静力学关系→应力值
周线 T
纵线 T υ 轴线
1、几何方面
a
b
c
γ
d
（1）变形现象
A、周线大小、形状和周线间距不变，只是绕
轴线作相对转动。
d dx
—单位长度相对扭转角
γρ——切应变
dυ
2、物理方面
γρ
e e`
弹性变形时: τ= Gγ
——剪切胡克定律。 G—材料的切变模量。
d G G －－－（a） dx
τmax τ
O
3、静力学方面
A
dA M x
2
τ
r
ρ
dA
d （b ）式代入， A G dA M x dx
Mx 2 2r0
(a)
l r0
r0 l
b
τ b τs a τp O
τp——剪切比例极限 τs——剪切屈服极限
γ
α
低碳钢τ-γ曲线
切变模量 G = τ/ γ= tanα
α——直线的倾角
各向同性材料：
E G 21
铸铁扭转破坏试验：
τ
τb——剪切强度极限
∴ 横截面上最大切应力发生在厚度δi 最大的狭 长矩形的长边中点处。
max
MX 1 3 max 3 hi i
例3-5：两薄壁钢管。（a）为闭口薄同，且δ / D0= 1 / 10，试求在相同的外力偶
矩作用下，哪种截面形式较好。
P(kW) T 9.55 (kN m) n(rpm)
§3-2 圆杆扭转时的应力
一、横截面上的应力
Mx
分析步骤？
变形分析→应变分布
应力应变关系→应力分布 静力学关系→应力值
周线 T
纵线 T υ 轴线
1、几何方面
a
b
c
γ
d
（1）变形现象
A、周线大小、形状和周线间距不变，只是绕
轴线作相对转动。
d dx
—单位长度相对扭转角
γρ——切应变
dυ
2、物理方面
γρ
e e`
弹性变形时: τ= Gγ
——剪切胡克定律。 G—材料的切变模量。
d G G －－－（a） dx
τmax τ
O
3、静力学方面
A
dA M x
2
τ
r
ρ
dA
d （b ）式代入， A G dA M x dx
工程力学材料力学(3)
§3-1 工程实际中的扭转问题
在工程实际中，尤其是在机械传动中的许多构件，其主要变形是 扭转。例如丝锥攻丝和转动轴的工作情况。
受力特点： 受力特点 ： 在垂直于扭转构件轴线的平面内作用有两个大小相等， 转向相反的力偶。 变形特点： 变形特点 ： 在上述两力偶的作用下，各横截面绕轴线发生相对转 动。这时任意两横截面间将有相对的角位移，这种角位移称为扭转 扭转 角。图中的φAB就是截面B相对于截面A的转角
∑M
x
= 0, T = M A
取右段为研究对象，可得相同的结果 由此可见，杆扭转时，其横截面上的内力，是一个在截面平面内 的力偶，其力偶矩称为扭矩 扭矩。 扭矩 左右两截面上的扭矩是一对作用和反作用力，它们的大小相等、转 向相反。为了使轴的同一截面上的扭矩的正负号相同，可采用右手螺 右手螺 旋法则规定其正负号。 旋法则
工程力学课件
2、静力学关系 、 圆轴扭转时，平衡外力偶矩的扭矩，是由横截面上无数的微剪力 组成的。如图所示，设距圆心ρ处的切应力为τp，如在此处取一微面 积dA，则此微面积上的微剪力为τρdA 。各微剪力对轴线之矩的总和， 即为该截面上的扭矩，即
T = ∫ ρτ ρ dA
dφ τ ρ = Gρ dx 因此 T = Gρ 2 dφ dA = G dφ ∫A dx dx
(a)
(b)
(c)
工程力学课件
由图可知：当切应力不超过材料的 剪切比例极限 (τp)时，切应力与切应变 之间成正比关系，这个关系称为剪切 剪切 胡克定律，可用下式表示： 胡克定律
τ = G ⋅γ
式中，G为材料的剪切弹性模量 剪切弹性模量，单位与弹性模量E相同，其 剪切弹性模量 数值可通过试验确定，钢材的G值约为80 GPa。 理论与试验表明：剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料 弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在如 下关系：
材料力学 第三章 扭转
为一很小的量，所以
tan 1.0103rad
G
(80 109 Pa)(1.0 103rad) 80 MPa
注意： 虽很小，但 G 很大，切应力 不小
例 3-3 一薄壁圆管，平均半径为R0，壁厚为，长度为l， 横截面上的扭矩为T，切变模量为G，试求扭转角。
解：
T
2πR02
G
T
2πGR02
塑性材料：[] =（0.5~0.6）[s] 脆性材料：[] = （0.8~1.0）[st]
例 3-1 已知 T=1.5 kN . m，[τ] = 50 MPa，试根据强度条 件设计实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。 解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
max
T Wp
T πd 3
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
Tmax ml
[例3-1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
解：1、计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
m1
9.55
P1 n
9.55
一、薄壁圆筒扭转时的应力
t
1、试验现象
壁厚
t
1 10
r0（r0：平均半径）
rO
各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动，距离不变。 当变形很小时，各纵向平行线仍然平行，倾斜一定的角度。
由于管壁薄，可近似认 为管内变形与管表面相 同，均仅存在切应变γ 。
2、应力公式 微小矩形单元体如图所示：
´
①无正应力
d T
dx GI p
材料力学 第 三 章 扭转
扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
材料力学教案 第3章 扭转
第3章扭转教学目的：理解圆轴扭转的受力和变形特点，剪应力互等定理；掌握圆轴受扭时的内力、应力、变形的计算；熟练掌握圆轴受扭时的强度、刚度计算。
教学重点：外力偶矩的计算、扭矩图的画法；纯剪切的切应力；圆杆扭转时应力和变形；扭转的应变能。
教学难点：圆杆扭转时截面上切应力的分布规律；切应力互等定理，横截面上切应力公式的推导，扭转变形与剪切变形的区别；掌握扭转时的强度条件和刚度条件，能熟练运用强度和刚度计算。
教具：多媒体。
通过工程实例建立扭转概念，利用幻灯片演示和实物演示表示扭转时的变形。
教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
通过例题、练习和作业熟练掌握强度和刚度计算。
本章中给出了具体情形下具体量的计算公式，记住并会使用这些公式，强调单位的统一，要求学生在学习和作业中体会。
教学内容：扭转的概念；扭转杆件的内力（扭矩）计算和画扭矩图；切应力互等定理及其应用，剪切胡克定律与剪切弹性模量；扭转时的切应力和变形，圆杆扭转时截面上切应力的分布规律；扭转杆件横截面上的切应力计算方法和扭转强度计算方法；扭转杆件变形（扭转角）计算方法和扭转刚度计算方法。
教学学时：6学时。
教学提纲：3.1 扭转的概念和实例工程实际中，有很多构件，如车床的光杆、搅拌机轴、汽车传动轴等，都是受扭构件。
还有一些轴类零件，如电动机主轴、水轮机主轴、机床传动轴等，除扭转变形外还有弯曲变形，属于组合变形。
例如，汽车方向盘下的转向轴，攻螺纹用丝锥的锥杆（图3-1）等，其受力特点是：在杆件两端作用大小相等、方向相反、且作用面垂直于杆件轴线的力偶。
在这样一对力偶的作用下，杆件的变形特点是：杆件的任意两个横截面围绕其轴线作相对转动，杆件的这种变形形式称为扭转。
扭转时杆件两个横截面相对转动的角度，称为扭转角，一般用φ表示（图3-2）。
以扭转变形为主的杆件通常称为轴。
截面形状为圆形的轴称为圆轴，圆轴在工程上是常见的一种受扭转的杆件。
材料力学（扭转）
τ
dy
τ
τ´
c
t
z
dx d
3 剪切胡克定律
τ =τ′
当τ ≤τp ，切应力与切应变成正比关系
τ = G ⋅γ
剪切弹性模量
26
§3–4 等直圆杆扭转时的应力和变形
一 等直圆杆横截面应力
①变形几何方面 ②物理关系方面 ③静力学方面
27
无数薄壁圆筒
表
里
28
等直圆杆扭转实验观察： 1. 平截面假设； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍平行。
P P
二 受力特点 构件两端受到两个在垂直于轴线 平面内的力偶作用，两力偶大小 相等，转向相反。
3
三 变形特点 各横截面绕轴线发生相对转动 即：任意两截面间有相对的角位移 — 扭转角
扭转角（ϕAB）：B截面绕轴线相对A截面转动的角位移。 切应变（γ）：直角的改变量。
ϕAB
A
O B
A
γ
O
B
M
M
4
四轴 工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。
γ =ϕ⋅RL
l
2 剪切胡克定律
τT
当τ ≤τp ，切应力与切应变成正比关系
τ = G ⋅γ
剪切弹性模量 Pa
ϕγ
21
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个 常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系
G= E
2(1 + ν )
22
一 受力特点 构件两端受到两个在垂直于轴线平面内的力偶作用，两力偶 大小相等，转向相反。
24
三 薄壁圆筒的扭转 1 实验结论 ① 无轴向正应力 ② 无径向正应力 ③ 切应力环向均布 ④ 切应力径向均布
材料力学第5版(孙训方编)第三章
A t dA T
即
G dj 2dA T dx A
其中 2 d A A
称为横截面的极惯性矩Ip，
单位 m4。它是横截面几何性质。
以Ip
2 d A 代入上式得：
A
dj T
d x GI p
从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点
处切应力计算公式
tρ
3. 作扭矩图
第三章 扭转
由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其 值为9.56 kN·m。
第三章 扭转
思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭 矩图。这样的布置是否合理？
第三章 扭转
4.78
6.37
15.9
4.78
第三章 扭转
§3-4 等直圆杆扭转时的应力·强度条件
{M
e }Nm
2π
{n} r m in 60
103
因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的
转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，即可由下式
计算作用于每一轮上的外力偶矩：
{M e}Nm
{P}kw 103 2π{n} r
60
9.55 103
{P}kw {n} r
m in
本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的
情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要
研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工
作的情况。
水轮发电机
第三章 扭转
§3-2 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒——通常指 r0 的圆筒
10
Me
m
Me
材料力学第三章扭转
材料力学
中南大学土木工程学院
三、扭 矩
x 扭矩的矢量表示
Me
Me
Me
T
定义：扭转内力偶矩， 1、定义：扭转内力偶矩，用T表示 大小： 2、大小：可用截面法取局部平衡求出 扭矩大小= 截面一侧所有外扭转力偶矩之代数和 T =ΣMe 正负号： 3、正负号：扭矩矢与截面外法线一致为正 （图中T为正，必须按“设正法”画扭矩） 为正，必须按“设正法”画扭矩） 单位： 4、单位：N·m 或 kN·m
τ =τ′
切应力互等定理
在单元体相互垂直的两个平面上， 在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出 且数值相等，两者都垂直于两平面的交线， 现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方 向则共同指向或共同背离该交线。 向则共同指向或共同背离该交线。
材料力学
中南大学土木工程学院
单元体的四个侧面上只有切应力而无正应 纯剪切应力状态。 力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态 力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。
O
定义内径与 外径的比值
d α= D
D d
πD πD 4 Ip = (1 − α 4 ) 32
I p π(D 4 − d 4 ) πD 3 Wp = = = (1 − α 4 ) D 16 D 16 2
特别注意：抗扭截面系数不满足叠加法的计算，括号里的仍是四次方。 特别注意：抗扭截面系数不满足叠加法的计算，括号里的仍是四次方。
材料力学 中南大学土木工程学院
分布如图所示。 横截面上各点处的切应力τ 分布如图所示 取微面积dA，则横截面上的分布 的合成其主矢为零， 力系τ dA的合成其主矢为零，主矩就 是扭矩T。
δ
r0
O
τ
∫
材料力学课件：第3章 圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度计算计算
韧性材料:不耐剪,最大剪应力所处截面是”最短木板”! 破坏方式是被剪断!
脆性材料:不耐拉,最大拉应力所处截面是”最短木板”! 破坏方式是被拉断!
承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计
扭转强度设计
承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计
扭转强度设计
与拉伸强度设计相类似，扭转强度设计时，首先需要根 据扭矩图和横截面的尺寸判断可能的危险截面；然后根据 危险截面上的应力分布确定危险点（即最大剪应力作用 点）；最后利用试验结果直接建立扭转时的强度设计准则。
承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计
扭转实验与扭转破坏现象
韧性材料与脆性材料扭 转破坏时，其试样断口有着 明显的区别。韧性材料试样 最后沿横截面剪断，断口比 较光滑、平整。
铸铁试样扭转破坏时沿 45°螺旋面断开，断口呈细 小颗粒状。
经济学术语中的“木桶效应”，是说对于一个沿口 不齐的木桶而言，它盛水的多少并不在于木桶上那 块最长的木板，而在于木桶上最短的那块木板。
已知：钢制空心圆轴的外直径D＝100 mm，内直径d＝50 mm。若要求轴在2 m长度内的最大相对扭转角不超过1.5()，材 料的切变模量G＝80.4 GPa。
试： 1． 求该轴所能承受的最大扭矩； 2． 确定此时轴内最大剪应力。
解： 1．确定轴所能承受的最大扭矩 根据刚度设计准则，有
承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计
＝
max
Mx WP
＝16M x πd13
＝16
1.5kN πd13
m
103
＝50.9
106
Pa
据此，实心轴的直径
d1＝3
16 1.5kN m 103＝53.1103 m＝53.1mm π 50.9 106 Pa
脆性材料:不耐拉,最大拉应力所处截面是”最短木板”! 破坏方式是被拉断!
承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计
扭转强度设计
承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计
扭转强度设计
与拉伸强度设计相类似，扭转强度设计时，首先需要根 据扭矩图和横截面的尺寸判断可能的危险截面；然后根据 危险截面上的应力分布确定危险点（即最大剪应力作用 点）；最后利用试验结果直接建立扭转时的强度设计准则。
承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计
扭转实验与扭转破坏现象
韧性材料与脆性材料扭 转破坏时，其试样断口有着 明显的区别。韧性材料试样 最后沿横截面剪断，断口比 较光滑、平整。
铸铁试样扭转破坏时沿 45°螺旋面断开，断口呈细 小颗粒状。
经济学术语中的“木桶效应”，是说对于一个沿口 不齐的木桶而言，它盛水的多少并不在于木桶上那 块最长的木板，而在于木桶上最短的那块木板。
已知：钢制空心圆轴的外直径D＝100 mm，内直径d＝50 mm。若要求轴在2 m长度内的最大相对扭转角不超过1.5()，材 料的切变模量G＝80.4 GPa。
试： 1． 求该轴所能承受的最大扭矩； 2． 确定此时轴内最大剪应力。
解： 1．确定轴所能承受的最大扭矩 根据刚度设计准则，有
承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计
＝
max
Mx WP
＝16M x πd13
＝16
1.5kN πd13
m
103
＝50.9
106
Pa
据此，实心轴的直径
d1＝3
16 1.5kN m 103＝53.1103 m＝53.1mm π 50.9 106 Pa
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解：
A
TA
Ip
1000 0.015 0.044 (1 0.54 )
63.66MPa32max来自T Wt1000
0.043 (1 0.54 )
84.88MPa
16
min
max
10 20
42.44 MPa
例：一直径为D1的实心轴，另一内外径之 比α＝d2／D2＝0.8的空心轴，若两轴横截面上 的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直
NA=50 马力，从动轮B、C、D输出功率分 别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马力，轴的 转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
mA
7024
NA n
7024 50 300
1170 N m
mB
mC
7024
NB n
7024 15 300
351 N m
mD
7024 NC n
/m
例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半
时，横截面的最大剪应力是原来的 8 倍？
圆轴的扭转角是原来的 16 倍？
max
T Wt
T
d3
16
Tl Tl
GIp
d4
G
32
例：图示铸铁圆轴受扭时，在＿45＿ 螺＿旋＿ 面上 发生断裂，其破坏是由 最大拉 应力引起的。 在图上画出破坏的截面。
例：内外径分别为20mm和40mm的空心圆截 面轴，受扭矩T=1kN·m作用，计算横截面上A 点的切应力及横截面上的最大和最小切应力。
7024 20 468 N m 300
N A 50 PS N B N C 15 PS N D 20 PS n = 300 rpm
mA 1170 N m mB mC 351 N m mD 468 N m
T1 mB 351 N m T2 702 N m T3 mD 468 N m
I p
2dA
D/2
22
d
(D4
d4)
A
d /2
32
D4 (1 4 )
32
Wt
Ip
max
Ip D
D3
(1
2
4
)
16
极惯性矩：
实心圆：
Ip
d4
32
空心圆：I p
(D4 d 4) 32
D4
32
(1 4 )
抗扭截面模量：
实心圆：
Wt
d3
16
空心圆：
Wt
D3
16
(1 4 )
外力偶矩m所作的功：
W = m2 n
(2)
(1) = (2) 得
N×1000×60 = m 2 n
m 9549 N n
m 7024 N n
N ─ kW
n
─
rpm
m ─ N m
N ─ PS
n
─
rpm
m ─ N m
§2 扭矩和扭矩图
Tm
T m
扭矩
例： 图示传动轴，主动轮A输入功率
离没有改变 根据以上实验现象,可得结论：
圆筒横截面上没有正应力，只有剪应 力。剪应力在截面上均匀分布，方向垂直 于半径。
剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径
m
m
TT
dA
dA
r
r dA T
A
r dA T
A
r 2rt T
T 2 r2t
根据精确的理论分析,当t≤r/10时,上式 的误差不超过4.52%,是足够精确的。
二、剪应力互等定理
dy
t dx
微元体 单元体
( t dy)dx ( t dx)dy
剪应力互等定理 : 在相互垂直的两个平面上, 剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同 时指向或背离两平面的交线。
三、剪切胡克定律
薄壁圆筒的实验, 证实了剪应力与剪应变之间 存在着象拉压胡克定律类似的关系, 即当剪应力 不超过材料的剪切比例极限τp时,剪应力与剪应 变成正比
T Wt
Wt
Ip
max
抗扭截面模量
T Ip
max
T Wt
max
max
下面求极惯性矩I p 和抗扭截面模量Wt
d /2
d /2
I p 2dA 2 2 d 2 3d
A d4 0
2 2
d4
4 32
Wt
Ip
max
Ip d
d3
16
0
d
o
2
对于空心圆，外径为D，内径为d
扭转
§1 扭转的概念
一、扭转的概念及实例
汽车的转向操纵杆
丝锥、电动机轴
受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的 力偶，力偶作用面垂直于轴线。
变形特征：横截面绕轴线转动。
二、外力偶矩的计算
设某轮所传递的功率是N kW，轴的转 速是 n rpm
N kW的功率相当于每分钟作功：
W = N×1000×60 (1)
G
G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪切 胡克定律
剪切弹性模量G 材料常数：拉压弹性模量E
泊松比μ
对于各向同性材料,可以证明:E、G、μ 三个弹 性常数之间存在着如下关系
G E
2(1 )
§4 圆轴扭转时的应力和强度计算
一、圆轴扭转时横截面上的应力
变形几何关系 从三方面考虑：物理关系
静力学关系
径之比D2/D1。
解：由
T
T
D13 D23 (1 0.84 )
1.变形几何关系
观察到下列现象: (1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距
离没有变化 (2)纵向线仍近似为直线, 但都倾斜了同一角度γ
平面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它
像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。
d
dx d
d
dx
在外表面上
r d
dx
2. 物理关系 根据剪切胡克定律, 当剪应力不超过材料
二、圆轴扭转时的变形
d T
d x GI p
d T d x
d
GI p
T d x
l GI p
若T const，则 T l
GIp l N l
EA
圆轴扭转时的强度条件和刚度条件
强度条件：
max
刚度条件：
T
Wt
[ ]
d T [] rad / m
d x GIp
T 180 [] GI p
T(N m)
T1 351 N m T2 702 N m T3 468 N m
§3 薄壁圆筒的扭转实验
一、薄壁圆筒的扭转应力分析 等厚度的薄壁圆筒,平均半径为 r,壁厚为 t
受扭前在其表面上用圆周线和纵向线画成 方格,然后加载。
m
m
观察到如下现象：
(1) 纵向线倾斜了同一微小角度γ (2) 圆周线的形状、大小及圆周线之间的距
的剪切比例极限时
G
G d
dx
剪应力方向垂直于半径
3.静力学关系
dA
dA T
A
A
G
d
dx
dA
T
dA
o
G
d
dx
2dA
T
A
令 I p 2dA
A
I p 2dA 极惯性矩
A
则 d T
dx G I p
d T
dx G I p
G
d
dx
G T
GIp
T
Ip
max
T max
Ip