【材料课件】第四章-扭转
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材料力学 第四章 扭转
W = Me 2 n
60 外力偶每秒所做的功即为输入的功率
P 1000= Me 2 n
60
明德行远 交通天下
材料力学
P─kW
M e 9549
P n
n─r/min
M e ─N m
或
P─PS(马力）
Me
7024
P
n
n─r/min M e ─N m
明德行远 交通天下
材料力学
二、扭矩及扭矩图
D
2 d
2
2
2
d
32
(D4
d
4)
D4 (1 4 ) 0.1D4 (1 4 )
32
d
( Dd )
O
D
明德行远 交通天下
材料力学
④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
结构轻便，应用广泛。
明德行远 交通天下
材料力学
⑤ 确定最大剪应力：
由
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
Ip A 2dA
单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。
明德行远 交通天下
材料力学
对实心圆截面：
D
I p A 2dA
2 2 2 d
0
D4 0.1D4
32
d
O
D
对于空心圆截面：
d
I p A 2dA
A
B
M1 =9.55 103
P1 n
9.55
103
500 300
N
m=15.9kN
m
M 2 =M3 =9.55103
60 外力偶每秒所做的功即为输入的功率
P 1000= Me 2 n
60
明德行远 交通天下
材料力学
P─kW
M e 9549
P n
n─r/min
M e ─N m
或
P─PS(马力）
Me
7024
P
n
n─r/min M e ─N m
明德行远 交通天下
材料力学
二、扭矩及扭矩图
D
2 d
2
2
2
d
32
(D4
d
4)
D4 (1 4 ) 0.1D4 (1 4 )
32
d
( Dd )
O
D
明德行远 交通天下
材料力学
④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
结构轻便，应用广泛。
明德行远 交通天下
材料力学
⑤ 确定最大剪应力：
由
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
Ip A 2dA
单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。
明德行远 交通天下
材料力学
对实心圆截面：
D
I p A 2dA
2 2 2 d
0
D4 0.1D4
32
d
O
D
对于空心圆截面：
d
I p A 2dA
A
B
M1 =9.55 103
P1 n
9.55
103
500 300
N
m=15.9kN
m
M 2 =M3 =9.55103
材料力学 第四章扭转ppt课件
.
29
§4 — 4 圆轴扭转强度
1、强度条件： max
Tm a x WT
≤
2、强度计算：
1）校核强度:
max
Tmax ≤
WT
2）设计截面尺寸:W T
≥
T max [ ]
3）确定外荷载: Tmax ≤ WT []
WT
m
D3
16
D3
16
实,
(1 4 )
空.
.
30
已知：P＝7.5kW,n=100r/min,
5、剪应变的变化规律：
tg aa' Rd
dx dx
c
tg
bb 1 dx
d
dx
d
dx
二）物理关系：
弹性范围内 maxP
G → G
→
G
d
dx
方向垂直于半径。
.
ab
a’b '
18
应力分布
（实心截面）
（空心截面）
.
19
三）静力关系：
AdAdA dA
TAdAAG2
Gddx A2dA
ddA
dx
1、实验：
.
11
.
12
2、变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
3、剪应变（角应变）：直角角度的改变量。
4、定性分析横截面上的应力
（1） 0, 0
（2）0 0
'
'
因为圆周上剪应变相同，所以剪应力沿圆周均匀分布。
2、外力：m （外力偶矩）
材料力学-扭转课件
T3
材 料 力 学
Mechanics of Materials
外力偶矩、扭矩和扭矩图
绘制扭矩图。 最大扭矩产生
在CA段上，其值为
Tmax=7103 (N ·m)
MB 1 MC 2
MA 3
MD
1
2
T (N·m)
3.5103
7.0103
3
4.68103
x
材 料 力 学
Mechanics of Materials
外力偶矩、扭矩和扭矩图
扭转时的内力——扭矩和扭矩图
杆件在扭力矩的作用下产生扭转变形， 同时在轴内产生反抗扭转变形的内力偶 矩T，称为扭矩
扭矩T 的计算仍采用截面法
材 料 力 学
Mechanics of Materials
外力偶矩、扭矩和扭矩图
假想截面m-m将杆 件分为两部分，根据平 衡关系，有
Mechanics of Materials
外力偶矩、扭矩和扭矩图
在工程中，功率通用千瓦 PkW (kW) 给 出，角速度用转速 n（转/分钟）给出， 则外力偶矩的计算公式为
M9549PkW (Nm) n
1 P k W (千 瓦 ) 1 0 0 0 N m /s
材 料 力 学
Mechanics of Materials
学
Mechanics of Materials
各段的扭矩为
MB 1 MC 2
MA 3
MD
T1=MB=3.5103 N·m
1
2
3
T2=MB+ MC =7103 N·m T3= -MD= -4.68103 N·m
MB
T1
若扭矩为正，表明
与所设方向相同（扭矩 MB MC
材料力学 第4章_扭转
z
d x d z d y d y d z d x 0
返回
4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
返回
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
返回总目录
一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
返回总目录
工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
返回
4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
d x d z d y d y d z d x 0
返回
4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
返回
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
返回总目录
一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
返回总目录
工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
返回
4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
材料力学课件-第四章-扭转
d :扭转角沿轴线的变化率 dx
单位 rad/m
工程常用单位 () / m
等截面圆轴:
Tmax GI P
一般传动轴， [ ] = 0.5 ~1/m 180 1 rad / m /m 注意单位换算: π
Page27
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
BUAA
Page31
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
例： l 2m ，均布力偶矩 m 60Nm m, G 80GPa, 30MPa, 1 / m ， 设计实心轴直径 d
A
m
l
B
解：最大扭矩发生在B端（危险截面）
Tmax ml 60 2 120N
Page11
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
1. 几何方面
dd ' tan ad
其中
dd ' d ad dx
由此得
d dx
Page12
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
d dx
2. 物理方面
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
§4-3 圆轴扭转横截面上的应力
M
1
2
T M
M
问题：横截面应力大小、方向、分布均未知，仅知合成扭矩T 。 连续体的静不定问题 。 分析方法：几何、物理、静力学三方面。关键是几何方面：
几何方面： 截面上各点变形的规律 物理方面： 变形与应力之间的关系 静力学方面： 合成扭矩等于扭力矩
M M
M
M
材料力学：第4章 扭转
例题 图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经由B、C、D轮 输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速n=300r/min，求作该轴 的扭矩图。如将A、D轮的位置更换放置是否合理？
A
B
C
D
I
II
III
I
II
III
第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图
解： 经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为
mA
9.549
PA n
9.549
10 300
318.3(N
m)
mB
9.549
PB n
9549 2 300
63.7(N m)
mC 95.5(N m),
M D 159.2(N m),
A
B
C
D
I
II
III
I
II
III
第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图
mB
I
I M n1
mB
MC
III
mn3
m2
9550 120
557 N .M
,m3ຫໍສະໝຸດ 9550360185.7
max(E)= m1
Wp1
1114
d 3
1114
(0.07)3
16
16
= 16.54 MPa
m2
max(H)=
= 22.69 MPa
d
dx
G
G
d
dx
Mn
IP
dA M n
A
G
d
dx
A
2dA
M
n
d MT n
dx GIP
Ip 截面的极惯性矩
(3)受扭圆轴横截面上的剪 应力计算公式
材料力学-第4章 扭转 ppt课件
dA
T
O
dA
23
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
A dA T
代入：
G
G
d dx
得到：
G d 2dA T dx A
记： IP －2dA称为圆截面的极惯性矩
A
则：圆轴扭转角的变化率 d T
dx GIP
圆截面切应力
采用右手螺旋法则，如果用四指表示扭矩的转向， 拇指的指向与截面的外法线n的方向相同时，该扭矩为 正；反之，规定扭矩为负
正扭矩
负扭矩
——保证了无论从哪一段计算，扭矩的大小和符号 都相同
12
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
讨论：如图受扭圆轴，m-m截面上扭矩为多少？
Me
m
2M e
m m
T Me
17
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
几何变形：
1. 横截面绕圆轴的轴线转动
？
主要
2. 圆轴中段的横截面缩小 几何变形特征
有剪切应变 rz 次要
3. 圆轴的长度略有增长
有轴向应变 z 次要
– 变形后，横截面仍保持为平面，其形状和大小均不
改变，半径仍为直线
– 变形后，相邻横截面的间距保持不变，相邻横截面 绕圆轴轴线转动一定的角度
外力偶矩的计算
• 工程中的传动轴，通常给出传动轴所传递的功率和转 速，而不直接给出外力偶矩的数值
• 设外力偶矩为Me，传动轴的功率为P，角速度为w，则
有（理论力学）
Me
P
w
外力偶矩Me 单位：N·m (牛顿·米) 功率为P 单位：J (焦耳)
第四章 扭转PPT课件
②两端施加一对外力偶 m。
× 第12页/共49页
2.实验后： ①圆周线不变； ②纵向线变成螺旋线。
3.结果： ①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相 对转动。圆周线实际代表一个横截面，此结果表明横截面仍保持平面，且大小、 形状不变，满足平面假设。
②各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度 。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
§4–1 扭转的概念
× 第1页/共49页
扭转：
直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，则杆件发生 的变形为扭转变形。
B
A
O
A
m ——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
× 第2页/共49页
O
B
m
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩
圆杆扭转横截面的内力合成结果为一合 力偶，合力偶的力偶矩称为截面的扭矩，用 T 表示之。
T
T
max
max
实心圆截面切应力分布图 最大切应力在外圆处。
空心圆截面切应力分布图
× 第24页/共49页
⒌ 最大切应力
max
T IP
max
I 令：
W , t
P
Wt 称为抗扭截面模量，单位：m3
max
max
T Wt
Wt
1 6
D3
16 D3 (1
d4 D4
)
× 第25页/共49页
实心圆截面 空心圆截面
扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力偶矩可通过传递功率和转 数来换算。
若传动轴的传递功率为P，每分钟转数为n ，则每分钟
功率作功： 力偶作功：
× 第12页/共49页
2.实验后： ①圆周线不变； ②纵向线变成螺旋线。
3.结果： ①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相 对转动。圆周线实际代表一个横截面，此结果表明横截面仍保持平面，且大小、 形状不变，满足平面假设。
②各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度 。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
§4–1 扭转的概念
× 第1页/共49页
扭转：
直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，则杆件发生 的变形为扭转变形。
B
A
O
A
m ——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
× 第2页/共49页
O
B
m
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩
圆杆扭转横截面的内力合成结果为一合 力偶，合力偶的力偶矩称为截面的扭矩，用 T 表示之。
T
T
max
max
实心圆截面切应力分布图 最大切应力在外圆处。
空心圆截面切应力分布图
× 第24页/共49页
⒌ 最大切应力
max
T IP
max
I 令：
W , t
P
Wt 称为抗扭截面模量，单位：m3
max
max
T Wt
Wt
1 6
D3
16 D3 (1
d4 D4
)
× 第25页/共49页
实心圆截面 空心圆截面
扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力偶矩可通过传递功率和转 数来换算。
若传动轴的传递功率为P，每分钟转数为n ，则每分钟
功率作功： 力偶作功：
第四章__扭转-75页PPT资料
AB段： T1 x mx
BC段： T2 m l CD段： T3 2ml
A
l
B l2 C l2 D
T1 x
x
T2
x
T
•试与轴力图比较
ml
x
2m l
3. 对应的轴力图与扭矩图
M3ml
m
A
B
C
D
对应拉压问题 与轴力图
q
F 3ql
l
l/2 l/2
T
ml
x
2m l
l
l/2 l/2
二、轴的强度条件
许用切应力： u
n
n
安全因数
工作应力：
max
T
W
P
max
强度条件：
max
T Wp
max
等截面圆轴： T m ax
WP
[ ]与 [s ]关系 详细讨论见第九章
塑性材料： =（0.5－0.577）s
FN q l
x
2ql
§4-3 圆轴扭转横截面上的应力
问题分析与研究思路
M
1
T M
2
M
问题：横截面应力大小、方向、分布均未知，仅知合成扭矩T。
连续体的静不定问题 。
分析方法：静力学、几何、物理三方面。 关键是几何方面：建立单变量的变形协调条件
几何方面：实观观测
合理假设
连续体的变形协调条件(数学公式)
归纳与比较： 1、由实例归纳受扭圆轴的外力与变形特征； 2、与拉压杆比较。
扭转及其特征
外力：作用面垂直于杆轴线的力偶，称为扭力偶， 扭力偶之矩称为扭力偶矩或扭力矩。
材料力学课件 第四章扭转
4. 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
17
Ip A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：
m
9.55
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.024
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.121
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（HP） n — 转速，转/分（rpm）
22
[例2]有一阶梯形圆轴，如图(a)所示轴的直径分别d为1 50mm,d2 80mm 。扭转力偶矩分别为 Me1 0.8kN m ，Me2 1.2kN m ，M e3 2kN m。若 材料的许用切应力 [ ] 40MPa ，试校核该轴的强度。
解： 方法一（理论计算法） 用截面法求出圆轴各段的扭矩，如图(b)所示。 由扭矩图可见，CD段和DB段的直径相同，但DB段的扭矩大 于CD段，故这两段只要校核DB段的强度即可。AC段的扭矩 虽然也小于DB段，但其直径也比DB段小，故AC段的强度也 需要校核。
2GI p
W
U ;
64PR3n Gd 4
P K
;
K
Gd 4 64R3n
为弹簧常数。
36
[例3] 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力 的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
17
Ip A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：
m
9.55
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.024
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.121
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（HP） n — 转速，转/分（rpm）
22
[例2]有一阶梯形圆轴，如图(a)所示轴的直径分别d为1 50mm,d2 80mm 。扭转力偶矩分别为 Me1 0.8kN m ，Me2 1.2kN m ，M e3 2kN m。若 材料的许用切应力 [ ] 40MPa ，试校核该轴的强度。
解： 方法一（理论计算法） 用截面法求出圆轴各段的扭矩，如图(b)所示。 由扭矩图可见，CD段和DB段的直径相同，但DB段的扭矩大 于CD段，故这两段只要校核DB段的强度即可。AC段的扭矩 虽然也小于DB段，但其直径也比DB段小，故AC段的强度也 需要校核。
2GI p
W
U ;
64PR3n Gd 4
P K
;
K
Gd 4 64R3n
为弹簧常数。
36
[例3] 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力 的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？
材料力学课件(路桥)第4章扭转
计算过程中需要考虑材料的弹性模量、泊松比、剪切模量等参数，以及 结构的几何尺寸和边界条件。
强度条件的工程意义
满足强度条件是保证路桥工程安全性和 稳定性的基础。
通过满足强度条件，可以防止桥梁结构 在承受外力矩和扭矩时发生破坏或过度
变形。
在路桥工程的设计、施工和运营过程中 ，需要定期进行检测和维护，以确保结
扭矩的量纲
扭矩的量纲是力和长度（L）的乘积，表示为ML^2。
量纲是描述物理量本质属性的方式，通过量纲可以判断物理量的性质和相互关系 。
03
扭转的应力分析
切应力与剪切应变的关系
切应力与剪切应变的关系是线 性的，即剪切应变与切应力成 正比。
在剪切弹性范围内，切应力与 剪切应变之间的关系可以用剪 切弹性模量来描述。
扭转过程中，杆件上各点的角位移和 剪切变形程度不同，导致杆件横截面 绕其自身轴线发生转动。
扭转的物理现象
01
杆件在扭转时，横截面上的正应 力分布不均匀，呈现出剪切变形 的特点。
02
杆件上各点的剪切变形程度与该 点到轴线的距离成正比，导致横 截面上的切向力分布不均匀。
扭转的分类
根据杆件上所受外力矩的方向， 扭转可分为左旋和右旋两种类型
构的强度和稳定性。
05
扭转的刚度条件
刚度条件的定义
刚度条件是指在材料力学中，杆件在受到扭矩作用时，其横 截面上的剪切应力和剪切变形之间的关系。
刚度条件是材料力学中一个重要的基本概念，它描述了杆件 在扭矩作用下抵抗变形的能力。
刚度条件的计算方法
根据材料力学的基本理论，刚度条件可以通过杆件的剪切 弹性模量和剪切应变来计算。
材料力学课件(路桥)第4章 扭转
目录 CONTENTS
强度条件的工程意义
满足强度条件是保证路桥工程安全性和 稳定性的基础。
通过满足强度条件，可以防止桥梁结构 在承受外力矩和扭矩时发生破坏或过度
变形。
在路桥工程的设计、施工和运营过程中 ，需要定期进行检测和维护，以确保结
扭矩的量纲
扭矩的量纲是力和长度（L）的乘积，表示为ML^2。
量纲是描述物理量本质属性的方式，通过量纲可以判断物理量的性质和相互关系 。
03
扭转的应力分析
切应力与剪切应变的关系
切应力与剪切应变的关系是线 性的，即剪切应变与切应力成 正比。
在剪切弹性范围内，切应力与 剪切应变之间的关系可以用剪 切弹性模量来描述。
扭转过程中，杆件上各点的角位移和 剪切变形程度不同，导致杆件横截面 绕其自身轴线发生转动。
扭转的物理现象
01
杆件在扭转时，横截面上的正应 力分布不均匀，呈现出剪切变形 的特点。
02
杆件上各点的剪切变形程度与该 点到轴线的距离成正比，导致横 截面上的切向力分布不均匀。
扭转的分类
根据杆件上所受外力矩的方向， 扭转可分为左旋和右旋两种类型
构的强度和稳定性。
05
扭转的刚度条件
刚度条件的定义
刚度条件是指在材料力学中，杆件在受到扭矩作用时，其横 截面上的剪切应力和剪切变形之间的关系。
刚度条件是材料力学中一个重要的基本概念，它描述了杆件 在扭矩作用下抵抗变形的能力。
刚度条件的计算方法
根据材料力学的基本理论，刚度条件可以通过杆件的剪切 弹性模量和剪切应变来计算。
材料力学课件(路桥)第4章 扭转
目录 CONTENTS
第四章：扭转
2 2
64.22
45.02
0.611
A1
d12
58.62
小 结 在最大切应力相同的情况下，空心轴所用的材料是实心轴的
61.1%，自重也减轻了 38.9%。其原因是：圆轴扭转时，横截面上应力
呈线性分布，越接近截面中心，应力越小，此处的材料就没有充分发挥 作用。做成空心轴，使得截面中心处的材料安置到轴的外缘，材料得到 了充分利用，而且也减轻了构件的自重。但空心轴的制造要困难些，故 应综合考虑。
解：1）用截面法求各段扭矩 AB 段：
1
2
T1 MA 900 N m
BC 段：
T
T2 M c 600 N m
600Nm
画出扭矩图如图所示
900Nm
第五节：圆轴扭转时的变形
AB 截面 极惯性矩
I P1
πd14 32
BC 截面 极惯性矩
2）C 截面相对于 A 截面的转角
IP2
πd
4 2
32
第一节：扭转的概念
扭转：是杆的又一种基本变形形式。其受力特点是：构件两 端受到两个作用面与杆的轴线垂直的、大小相等的、转向相 反的力偶矩作用，使杆件的横截面绕轴线发生相对转动。
扭转角：任意两横截面间的相对角位移。如图所示的 φ 角。
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如钻探机的钻杆，电 动机的主轴及机器的传动轴等。
叠加原理
CA CB BA
AB 段：
BA =
T1l1 GI P1
×
1800
=-0.8110
BC 段：
CB =
T2l2 GI P2
×
1800
=0.9810
CA CB BA 0.9810 (0.8110 ) 0.17 0
材料力学课件-第四章 扭转-薄壁杆件的扭转
部分加厚由于最小壁厚不变，最大应力不变。部分加厚后甚至由于应力集中更危险。
例2：某等壁厚d闭口薄壁杆受扭矩T，中心线周长S，轴的最大扭转切应力与扭转变形:(1)在 S/2中心线长度上壁厚增加一倍到2d；(2)在很小的局部受损伤壁厚减薄到d/2。
解：(2)第2种情形
局部减薄对积分值影响甚微，可以忽略不计。
最大应力增加一倍。
定性研究结论：强度是局部量，刚度是整体量。
例3：比较扭转切应力与扭转变形
解：
R0
R0
比较
（1）闭口薄壁圆管
（2）开口薄壁圆管
(狭长矩形)
作业 4-22 4-27 4-35 4-36
谢谢
薄壁圆管
思考：公式的精度？
在线弹性情况下，精确解为
思考：公式（1）和（2）的适用范围？
(1)
(2)
误差
T
dx
a
b
c
d
二、闭口薄壁杆的扭转变形
dx
ds
分析方法讨论:
由静力学、几何和物理三方面求解所遇到的困难：几何形状复杂。
新方法探索：
尝试能量法。
一未知量
无未知量
问题可解
二、闭口薄壁杆的扭转变形
假设：切应力沿壁厚均匀分布，其方向平行于中心线 假设依据：
T
dx
a
b
c
d
a
b
c
d
2
1
dx
1
1
2
2
薄，切应力互等定理
利用切应力互等定理，转化为研究纵向截面切应力，利用平衡方程求解.
截面中心线所围面积 的2倍
思考：O点位置可否任选，如截面外？
ds
o
ds
例2：某等壁厚d闭口薄壁杆受扭矩T，中心线周长S，轴的最大扭转切应力与扭转变形:(1)在 S/2中心线长度上壁厚增加一倍到2d；(2)在很小的局部受损伤壁厚减薄到d/2。
解：(2)第2种情形
局部减薄对积分值影响甚微，可以忽略不计。
最大应力增加一倍。
定性研究结论：强度是局部量，刚度是整体量。
例3：比较扭转切应力与扭转变形
解：
R0
R0
比较
（1）闭口薄壁圆管
（2）开口薄壁圆管
(狭长矩形)
作业 4-22 4-27 4-35 4-36
谢谢
薄壁圆管
思考：公式的精度？
在线弹性情况下，精确解为
思考：公式（1）和（2）的适用范围？
(1)
(2)
误差
T
dx
a
b
c
d
二、闭口薄壁杆的扭转变形
dx
ds
分析方法讨论:
由静力学、几何和物理三方面求解所遇到的困难：几何形状复杂。
新方法探索：
尝试能量法。
一未知量
无未知量
问题可解
二、闭口薄壁杆的扭转变形
假设：切应力沿壁厚均匀分布，其方向平行于中心线 假设依据：
T
dx
a
b
c
d
a
b
c
d
2
1
dx
1
1
2
2
薄，切应力互等定理
利用切应力互等定理，转化为研究纵向截面切应力，利用平衡方程求解.
截面中心线所围面积 的2倍
思考：O点位置可否任选，如截面外？
ds
o
ds
《材料力学》第4章 扭转
第4章 扭转§4-1 概述工程上的轴是承受扭转变形的典型构件，如图4-1所示的攻丝丝锥，图4-2所示的桥式起重机的传动轴以及齿轮轴等。
扭转有如下特点：1．受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶——扭转力偶。
其相应内力分量称为扭矩。
2．变形特点：横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。
若杆件横截面上只存在扭矩一个内力分量，则这种受力形式称为纯扭转。
§4-2 外力偶矩与扭矩的计算 扭矩图1．外力偶矩 m如图4-3所示的传动机构，通常外力偶矩不是直接给出的，而是通过轴所传递的功率mN和转速n 由下列关系计算得到的。
nN m 9550= (4-1a) 如轴在m 作用下匀速转动φ角，则力偶做功为φm A =，由功率定义ωφm dtd m dt dA N =⋅==。
角速度ω与转速n （单位为转/分，即r/min ）。
关系为60/2n πω=（单位为弧度/秒，rad/s ）。
由于1kW=1000N ·m/s ，N 千瓦的功率相当于每秒钟作功N W ×=1000，单位为N ·m ；而外力偶在1秒钟内所作的功为m n 2m W ⋅=⋅=πω/60 （N ·m ）由于二者作的功应该相等，则有m n N ⋅=×π21000/60由此便得（4-1）式。
式中：N —传递功率（千瓦，kW ） —转速（r/min ）n 如果传递功率单位是马力(PS)，由于1PS=735.5 N ·m/s ，则有nN m 7024=（N ·m ） (4-1b) 式中：N —传递功率（马力，PS ）n —转速（r/min ）2．扭矩T求出外力偶矩后，可进而用截面法求扭转内力——扭矩。
如图4-4所示圆轴，由m 0=∑x m ，从而可得A —A截面上扭矩T−m T ， m T =0=T 称为截面A —A 上的扭矩；扭矩的正负号规定为：按右手螺旋法则，T 矢量离开截面为正，指向截面为负。
4 扭转 武汉理工大学 材料力学课件
O
dA
d GI p dx
Ip为横截面的极惯性矩 。
d T dx GI pBiblioteka T Ip33
应力分布
T Ip
（实心截面）
（空心截面）
34
[例4.4] 判别下面截面上剪应力分布是否正确。
T
T
T
T
a
√
b
c
d
×
×
×
35
三、等直圆杆扭转时的变形 1. 相对扭转角 ：
d t dx
z
在单元体相互垂直的两个截面上，剪应力必然成对 出现，且数值相等，两者都垂直于两个面的交线， 其方向则共同指向或共同背离该交线。 纯剪切应力状态——单元体的四个侧面上只有剪应 力而无正应力。
26
三、剪切虎克定律： 剪切虎克定律：当剪应力不超过材
料的剪切比例极限时（ ≤p)，剪
应力与剪应变成正比。
CD段 :
T3 m1 m2 m3 30 20 15 5kN m
4
15kNm
DE段 :
T4 m1 m2 m3 m4
T
30 20 15 10 15kN m
10kNm 30kNm
17
（2）画扭矩图
画熟后可不画坐标轴，但需注意以下几点：
定标出参考正向
参考正向
A
B
C
2kN· m
D
1kN· m
2kN· m
19
[练习1] 已知m0, 试求各段扭矩并画扭矩图。
D C B A 解：（1）求各段扭矩
2m0
m0 4m0 2m 2m00
m0
m m00
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• 外力偶矩 ( Torsion couple ) 力偶（ Force couple )作用下产生的力矩 ( Force moment)
• 扭矩 ( Torsion torque ) 使杆绕轴线发生扭转变形的外力偶矩
• 扭矩图( Torsion torque graph)
2020/10/23 7
电机传递扭矩 转动机器
11
图（c）中最大切应力对应于图（b）哪一个切应力？ 答：图（c）最大切应力对应于图（b）右边切应力。
注意：图（c）切应力按线性分布，原因再讲
切应2020变/10/2的3 定义
(d)y /d xb'b /ba12
郑玄—虎克剪切定律
G
E
Gtg
Etg
G E
说明3个性能只有2个独立
2(1 ) 此式在第9章给出证明
4
扭转的例子
2020/10/23 5
本章主要内容
• 4.1 外力偶矩、扭矩和扭矩图 • 4.2 纯剪切、切应力互等定理、剪切胡克定律 • 4.3 圆轴扭转横截面应力和强度条件 • 4.4 圆轴扭转时的变形和刚度条件 • 4.5 圆轴扭转斜截面上的应力
2020/10/23 6
4.1 外力偶矩、扭矩和扭矩图
T600N 00954N9(牛顿米）
2n
n
8
•当N为千瓦
扭矩 T 9549NkW（N m)
n
•当N为马力
扭矩 T7024NH.P.（N m)
注意：第2个公式不需要记，因为 n
1 H. P.(马力, horsepower) = 0.7355 kW(千瓦特, k-watt )
所以 N H .P .(H .P . )0 .73 N H 5 .P .(k 5W )
(aa b b t) b c (bb c tc ) ab
故得 ab bc
类似可证明 —— 每两个邻近边切应力值相等
注意：不仅纯剪切，而且任何平衡力作用，
都成立切应力互等定理 2020/10/23
( Reciprocal theorem of shear stresses
或 Theorem of conjugate shearing stress )
stresses 郑玄—胡克剪切定律 Zhengxuan — Hooke’s
law in shear • 纯剪切: 只有切应力的应力状态
2020/10/23
切 应 力 互 等 定 理
10
• 切应力互等定理
单元体上两个互垂面上剪应力的大小相等、方向相反
（共同指向交线或背离交线）
证明：以 d 轴取矩 ，得上面剪力和右面剪力平衡方程
代入第1式，得
T 95490.7355NH .P. n
例4.1[P90] （1）算出外力偶矩7024 NH .P. n
（2）外力偶矩要平衡
2020/10/23
（3）双箭头矢量做，同轴力图类似
9
4.2 纯剪切 Pure shear 切应力互等定理 Reciprocal theorem of shear
2020/10/23 15
•静力平衡
微元 dA 对轴心产生的力矩
dMdA
dA
TdMdA r
A
A
因切应力是个未知函数——无穷个未知数
而方程只有一个，故为 超静定问题
2020/10/23 16
2020/10/23 17
•变形协调
平衡不足变形补 —— 先实验，后（推广得）假定
2020/10/23 18
2020/10/23 13
郑玄—虎克剪切定律只是弹性阶段
本构关系全程本构关系如何？
要做纯剪切实验 b
（如薄壁圆管扭转）
得到 图
s p
其中
p —— 剪切比例极限应力（线弹性阶段）
s —— 剪切屈服极限应力（进入塑性阶段）
b —— 剪切强度极限应力（破坏阶段）
2020/10/23 14
4.3 圆轴扭转横截面应力和强度条件 受扭圆轴截面上切应力分布
GI p
Ip
还是通过静力、变形、本构三方面解决了问题
对圆截面 dA2d 于是
I2p 020 /10/22 3 D d//2 23d(D 3 4d 2 4)3 D 4( 2 14) 22
圆轴扭转的强度条件
r
轴半径 r = D/2
T Ip
最大切应力在截面边缘
其中
2020/10/23
Wt
Ip r
匀速转速—n转/分钟
输出功率—N千瓦
求扭矩T（图中 T是机器对于
电机扭矩的反作用力矩）
解:
《出发点 —— 计算一分钟的功 W 》
从电机看 WN(千瓦） 6（ 0 秒）
N(100牛 0 顿米 6（ ） 0 秒）
从扭矩看 WT(牛顿米 ） （弧度 ）
T(牛顿米 2） n（弧度）
两式得扭矩
2020/10/23
•本构关系
上面求出了
T dA A
d
dx
因变量不统一，还是解不出
如何把切应变 切应力？
根据本构关系（郑玄—胡克定律）
G G d
dx
代入平衡公式
d
TG
2020/10/23
dxA
2dA Gd dxIp
21
其中
Ip 2dA
A
代入应变公式 d
d T
dx GI p
得
dx
T
T
图(b)是实验结果： 1、圆周线保持形状、大小、间距不变，仅绕轴转动 2、母线仍是直线，仅绕轴转动
图(c)是由表及里的想象 —— 假定：
1、横截面保持为平面，形状、大小、间距不变
2、20半20/10径/23 保持为直线
19
dxd
d
dx
切应变沿半径线性变化，虽然函数解出了， 但是系数尚不知
2020/10/23 20
不用切应力相等，用抗扭模 量相等去求解,可否？ （2）注意重量的增加，为什么？
maxrTImpaxITpm/arxTW mtax
23
max[]
注意
max
Tm a x Wt
1、对阶段轴，要选大的 max 不是看 Tmax
2、对塑性材料 [](0.50.6) [t]
3、轴类零件考虑到动荷因素，许用切应力值比 静荷下的值小
2020/10/23 24
例4.2 [P99] 最好会推出抗扭模量的公式 例4.3 [P99] （1）有没有更好的解法？
【材料课件】第四章－扭转
• （2）（剪子剪）（6）（扭）的共同点 —— 剪力作用 • （2）（剪子剪）（6）（扭）的不同点 ——
（2）的剪切面相邻两侧平行错动 （6）的剪切面相邻两侧转动错动 可见扭转现象同剪切相关，本章专门研究它 三、常见的扭转现象 • 扭水龙头 • 用钥匙扭转开门 • 酒瓶软木塞的开瓶器 • 小轿车的方向盘工作 • 自行车的脚蹬工作 • 机器轴的转动 • 202改0/10锥/23 上螺丝钉
• 扭矩 ( Torsion torque ) 使杆绕轴线发生扭转变形的外力偶矩
• 扭矩图( Torsion torque graph)
2020/10/23 7
电机传递扭矩 转动机器
11
图（c）中最大切应力对应于图（b）哪一个切应力？ 答：图（c）最大切应力对应于图（b）右边切应力。
注意：图（c）切应力按线性分布，原因再讲
切应2020变/10/2的3 定义
(d)y /d xb'b /ba12
郑玄—虎克剪切定律
G
E
Gtg
Etg
G E
说明3个性能只有2个独立
2(1 ) 此式在第9章给出证明
4
扭转的例子
2020/10/23 5
本章主要内容
• 4.1 外力偶矩、扭矩和扭矩图 • 4.2 纯剪切、切应力互等定理、剪切胡克定律 • 4.3 圆轴扭转横截面应力和强度条件 • 4.4 圆轴扭转时的变形和刚度条件 • 4.5 圆轴扭转斜截面上的应力
2020/10/23 6
4.1 外力偶矩、扭矩和扭矩图
T600N 00954N9(牛顿米）
2n
n
8
•当N为千瓦
扭矩 T 9549NkW（N m)
n
•当N为马力
扭矩 T7024NH.P.（N m)
注意：第2个公式不需要记，因为 n
1 H. P.(马力, horsepower) = 0.7355 kW(千瓦特, k-watt )
所以 N H .P .(H .P . )0 .73 N H 5 .P .(k 5W )
(aa b b t) b c (bb c tc ) ab
故得 ab bc
类似可证明 —— 每两个邻近边切应力值相等
注意：不仅纯剪切，而且任何平衡力作用，
都成立切应力互等定理 2020/10/23
( Reciprocal theorem of shear stresses
或 Theorem of conjugate shearing stress )
stresses 郑玄—胡克剪切定律 Zhengxuan — Hooke’s
law in shear • 纯剪切: 只有切应力的应力状态
2020/10/23
切 应 力 互 等 定 理
10
• 切应力互等定理
单元体上两个互垂面上剪应力的大小相等、方向相反
（共同指向交线或背离交线）
证明：以 d 轴取矩 ，得上面剪力和右面剪力平衡方程
代入第1式，得
T 95490.7355NH .P. n
例4.1[P90] （1）算出外力偶矩7024 NH .P. n
（2）外力偶矩要平衡
2020/10/23
（3）双箭头矢量做，同轴力图类似
9
4.2 纯剪切 Pure shear 切应力互等定理 Reciprocal theorem of shear
2020/10/23 15
•静力平衡
微元 dA 对轴心产生的力矩
dMdA
dA
TdMdA r
A
A
因切应力是个未知函数——无穷个未知数
而方程只有一个，故为 超静定问题
2020/10/23 16
2020/10/23 17
•变形协调
平衡不足变形补 —— 先实验，后（推广得）假定
2020/10/23 18
2020/10/23 13
郑玄—虎克剪切定律只是弹性阶段
本构关系全程本构关系如何？
要做纯剪切实验 b
（如薄壁圆管扭转）
得到 图
s p
其中
p —— 剪切比例极限应力（线弹性阶段）
s —— 剪切屈服极限应力（进入塑性阶段）
b —— 剪切强度极限应力（破坏阶段）
2020/10/23 14
4.3 圆轴扭转横截面应力和强度条件 受扭圆轴截面上切应力分布
GI p
Ip
还是通过静力、变形、本构三方面解决了问题
对圆截面 dA2d 于是
I2p 020 /10/22 3 D d//2 23d(D 3 4d 2 4)3 D 4( 2 14) 22
圆轴扭转的强度条件
r
轴半径 r = D/2
T Ip
最大切应力在截面边缘
其中
2020/10/23
Wt
Ip r
匀速转速—n转/分钟
输出功率—N千瓦
求扭矩T（图中 T是机器对于
电机扭矩的反作用力矩）
解:
《出发点 —— 计算一分钟的功 W 》
从电机看 WN(千瓦） 6（ 0 秒）
N(100牛 0 顿米 6（ ） 0 秒）
从扭矩看 WT(牛顿米 ） （弧度 ）
T(牛顿米 2） n（弧度）
两式得扭矩
2020/10/23
•本构关系
上面求出了
T dA A
d
dx
因变量不统一，还是解不出
如何把切应变 切应力？
根据本构关系（郑玄—胡克定律）
G G d
dx
代入平衡公式
d
TG
2020/10/23
dxA
2dA Gd dxIp
21
其中
Ip 2dA
A
代入应变公式 d
d T
dx GI p
得
dx
T
T
图(b)是实验结果： 1、圆周线保持形状、大小、间距不变，仅绕轴转动 2、母线仍是直线，仅绕轴转动
图(c)是由表及里的想象 —— 假定：
1、横截面保持为平面，形状、大小、间距不变
2、20半20/10径/23 保持为直线
19
dxd
d
dx
切应变沿半径线性变化，虽然函数解出了， 但是系数尚不知
2020/10/23 20
不用切应力相等，用抗扭模 量相等去求解,可否？ （2）注意重量的增加，为什么？
maxrTImpaxITpm/arxTW mtax
23
max[]
注意
max
Tm a x Wt
1、对阶段轴，要选大的 max 不是看 Tmax
2、对塑性材料 [](0.50.6) [t]
3、轴类零件考虑到动荷因素，许用切应力值比 静荷下的值小
2020/10/23 24
例4.2 [P99] 最好会推出抗扭模量的公式 例4.3 [P99] （1）有没有更好的解法？
【材料课件】第四章－扭转
• （2）（剪子剪）（6）（扭）的共同点 —— 剪力作用 • （2）（剪子剪）（6）（扭）的不同点 ——
（2）的剪切面相邻两侧平行错动 （6）的剪切面相邻两侧转动错动 可见扭转现象同剪切相关，本章专门研究它 三、常见的扭转现象 • 扭水龙头 • 用钥匙扭转开门 • 酒瓶软木塞的开瓶器 • 小轿车的方向盘工作 • 自行车的脚蹬工作 • 机器轴的转动 • 202改0/10锥/23 上螺丝钉