材料力学第4章扭转变形
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第四章 扭转(张新占主编 材料力学)
2M A M e M B 0 （2）
联立式（1）与式（2），得
Me MB 3
MA MB Me 3
26
4.6 等直圆轴扭转时的应变能
圆轴在外力偶作用下发生扭转变形，轴内将积蓄应变能。这种 应变能在数值上等于外力所做的功。
T1 在位移 d1上所做的功为 dW T1d1
PB M eB M eC 9549 n 796(N m) PA M eA 9549 1910(N m) n PD M eD 9549 318(N m) n
5
（2）求扭矩（扭矩按正方向假设） 1-1 截面
M M M
x
0
T1 M eB 0
T1 M eB 796N m
d1 85.3 mm
取 d1 85.3 mm。 BC段：同理，由扭转强度条件得 d2 67.4 mm ，由扭转刚度条件得
d 2 74.4 mm
取 d 2 74.4 mm。
23
（2）将轴改为空心圆轴后，根据强度条件和刚度条件确定轴的 外径D。 由强度条件得 D 96.3 mm 由刚度条件得 D 97.3 mm 取 D 97.3 mm ，则内径为
T Me
M e RdA RRd 2R 2
A 0
2
Me 2 2R
8
二、切应力互等定理
M
z
0
（dy）dx （ dx）dy
得到
切应力互等定理：在单元体在相互垂直的一对平面上，切应力 同时存在，数值相等，且都垂直于两个平面的交线，方向共同 指向或共同背离这一交线。 纯剪应力状态：单元体上四个侧面上只有切应力，而无正应力 作用
材料力学4.
1. 剪应力互等定理 由 MZ 0
'dxdz dy dydzdx 0
得： '
图4-1
2. 剪切虎克定律 在弹性范围内应有：
G G ——剪切弹性模量
图4-2
3.E、G、μ μ μ 的关系
G
E
21
低碳钢：
E 2 105 MPa
Mnmax 4.5KN m
max
M nmax Wn
Wn
D3
16
M nmax
解得： D 66mm
（三）由刚度条件设计 D 。
max
M nmax GI p
180
D4
32
Ip
M nmax
G
180
解得： D 102mm
从以上计算可知，该轴直径应由刚度条件确定，选用 D=102mm 。
六、矩形截面杆的自由扭转
1. 矩形截面杆的剪应力及扭转角计算
最大剪应力发生在长边中点处：
max
Mn
hb2
4
9
单位长度的扭转角为：
Mn
G hb3
4 10
剪应力分布图 图4-10
材料力学
第四章 扭转
一、扭转时的内力及扭矩图
扭转时横截面上的内力以 Mn 表示，称为扭矩。杆件 上各截面上的扭矩如果以图来表示，该图就是扭矩图。
下面结合实例来加以说明。
例1 传动轴受力如图示，试求各段内力并绘扭矩图。 例1图
'dxdz dy dydzdx 0
得： '
图4-1
2. 剪切虎克定律 在弹性范围内应有：
G G ——剪切弹性模量
图4-2
3.E、G、μ μ μ 的关系
G
E
21
低碳钢：
E 2 105 MPa
Mnmax 4.5KN m
max
M nmax Wn
Wn
D3
16
M nmax
解得： D 66mm
（三）由刚度条件设计 D 。
max
M nmax GI p
180
D4
32
Ip
M nmax
G
180
解得： D 102mm
从以上计算可知，该轴直径应由刚度条件确定，选用 D=102mm 。
六、矩形截面杆的自由扭转
1. 矩形截面杆的剪应力及扭转角计算
最大剪应力发生在长边中点处：
max
Mn
hb2
4
9
单位长度的扭转角为：
Mn
G hb3
4 10
剪应力分布图 图4-10
材料力学
第四章 扭转
一、扭转时的内力及扭矩图
扭转时横截面上的内力以 Mn 表示，称为扭矩。杆件 上各截面上的扭矩如果以图来表示，该图就是扭矩图。
下面结合实例来加以说明。
例1 传动轴受力如图示，试求各段内力并绘扭矩图。 例1图
材料力学中的四种基本变形举例
材料力学中的四种基本变形举例
材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏行为的学科，其中变
形是材料力学中的重要研究对象。
材料在受到外力作用时，会发生各
种形式的变形，其中最常见的四种基本变形包括拉伸变形、剪切变形、扭转变形和压缩变形。
一、拉伸变形
拉伸变形是指某个物体在受到外拉力作用时，其长度沿着外力方向发
生增加的现象。
例如，当我们把一根橡皮筋两端分别固定在两个支架上，并对其施加外拉力时，橡皮筋就会发生拉伸变形。
二、剪切变形
剪切变形是指某个物体在受到剪切应力作用时，其内部不同位置之间
产生相对错位或滑动的现象。
例如，在我们使用剪刀剪纸时，纸张就
会发生剪切变形。
三、扭转变形
扭转变形是指某个物体在受到扭矩作用时，在其截面内不同位置之间
产生相对错位或旋转的现象。
例如，在我们使用螺丝钉旋入木板时，螺丝钉就会发生扭转变形。
四、压缩变形
压缩变形是指某个物体在受到外压力作用时，其体积沿着外力方向发生减小的现象。
例如，在我们使用千斤顶压实土壤时，土壤就会发生压缩变形。
总之，以上四种基本变形是材料力学中最常见的变形类型，它们在材料工程领域中有着广泛的应用和研究。
了解这些基本变形类型对于深入理解材料的性能和行为具有重要意义。
材料力学之四大基本变形
内径d＝15mm，承受轴向载荷F＝20kN作用， 材料旳屈服应力σs＝235MPa，安全因数ns＝ 1.5。试校核杆旳强度。
解：杆件横截面上旳正应力为
N
A
4F
(D2 d2)
4(20103 N ) [(0.020m)2 (0.015m)2
]
1.45108 Pa 145MPa
材料旳许用压力为
IZ
(D4 d 4)
64
D4
64
(1 4 )
WZ
D3
32
(1 4 )
（1）求支座反力
M A 0, M 0 RBl 0 M B 0, RAl M 0 0
（2）列剪力方程和弯矩方程
RB
M0 l
RA
M0 l
AC段 :
Q1
RA
M0 l
M1
RA x
M0 l
x
(0 x a)
CB段 :
许用剪应力
其中，F 为剪切力——剪切面上内力旳合力
A 为剪切面面积
可见，该实用计算措施以为剪切 剪应力在剪切面上是均匀分布旳。
2、挤压强度旳工程计算
由挤压力引起旳应力称为挤压应力 bs
与剪切应力旳分布一样，挤压应力旳分布
也非常复杂，工程上往往采用实用计算旳
方法，一般假设挤压应力平均分布在挤压
面上
首先计算各杆旳内力：
需要分析B点旳受力
X 0
F1 cos 30 F2 0
Y 0
F1 cos 60 Q 0
F1 2Q 20KN
30 B
A
y
F1
F2
x
Q
1 F2 2 3F1 17.32KN
F1 2Q 20KN
F2
解：杆件横截面上旳正应力为
N
A
4F
(D2 d2)
4(20103 N ) [(0.020m)2 (0.015m)2
]
1.45108 Pa 145MPa
材料旳许用压力为
IZ
(D4 d 4)
64
D4
64
(1 4 )
WZ
D3
32
(1 4 )
（1）求支座反力
M A 0, M 0 RBl 0 M B 0, RAl M 0 0
（2）列剪力方程和弯矩方程
RB
M0 l
RA
M0 l
AC段 :
Q1
RA
M0 l
M1
RA x
M0 l
x
(0 x a)
CB段 :
许用剪应力
其中，F 为剪切力——剪切面上内力旳合力
A 为剪切面面积
可见，该实用计算措施以为剪切 剪应力在剪切面上是均匀分布旳。
2、挤压强度旳工程计算
由挤压力引起旳应力称为挤压应力 bs
与剪切应力旳分布一样，挤压应力旳分布
也非常复杂，工程上往往采用实用计算旳
方法，一般假设挤压应力平均分布在挤压
面上
首先计算各杆旳内力：
需要分析B点旳受力
X 0
F1 cos 30 F2 0
Y 0
F1 cos 60 Q 0
F1 2Q 20KN
30 B
A
y
F1
F2
x
Q
1 F2 2 3F1 17.32KN
F1 2Q 20KN
F2
材料力学第四章 扭转
则上式改写为
max
T GI p
180
(/m)
×
例５ 图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
=2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。
mA
mB mC 解： ⑴按强度条件
A
l1
B l2 C
max
9.55
200 300
6.37
(kN m)
×
n D
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , T1 m2 0, T1 m2 4.78kN m m 0; T2 m1 m2 0
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T
2 r02
t
T 2 A0
t
T
A0为平均半径所作圆的面积。
×
三、切应力互等定理：
´
a
b
dy
´
c
z
dx
d t
mz 0; t dxdy t dxdy
'
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面
上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平
面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
×
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成
结果为一合力偶，合力偶的力偶 矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m
max
T GI p
180
(/m)
×
例５ 图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
=2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。
mA
mB mC 解： ⑴按强度条件
A
l1
B l2 C
max
9.55
200 300
6.37
(kN m)
×
n D
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , T1 m2 0, T1 m2 4.78kN m m 0; T2 m1 m2 0
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T
2 r02
t
T 2 A0
t
T
A0为平均半径所作圆的面积。
×
三、切应力互等定理：
´
a
b
dy
´
c
z
dx
d t
mz 0; t dxdy t dxdy
'
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面
上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平
面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
×
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成
结果为一合力偶，合力偶的力偶 矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m
材料力学 第4章_扭转
z
d x d z d y d y d z d x 0
返回
4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
返回
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
返回总目录
一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
返回总目录
工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
返回
4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
d x d z d y d y d z d x 0
返回
4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
返回
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
返回总目录
一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
返回总目录
工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
返回
4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
材料力学—扭转变形(建筑力学)
§6.3 扭转
扭矩图
§6.3 圆轴扭转时的应力
T Ip
公式适用于：
1）圆杆
2） max
p
横截面上某点的切应力的方 向与扭矩方向相同，并垂直于 半径。切应力的大小与其和圆 心的距离成正比。
max
T Wt
令
Wt
Ip R
抗扭截面系数
在圆截面边缘上， 有最大切应力
§6.4 圆轴扭转时的强度计算
扭转强度条件：
max
Tmax Wt
1. 等截面圆轴：
2. 阶梯形圆轴：
max
Tmax Wt
max
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(Tmax Wt
)max
§6.4 圆轴扭转时的应力
强度条件的应用
（1）校核强度
max
Tmax Wt
max
Tmax Wt
（2）设计截面
Wt
Tmax
（3）确定载荷
Tmax Wt
§补充 非圆截面杆扭转的概念
平面假设不成立。变形后横截面成为一个 凹凸不平的曲面，这种现象称为翘曲。
自由扭转 （截面翘曲不受约束）
约束扭转 （各截面翘曲不同）
§补充 非圆截面杆扭转的概念
杆件扭转时，横截面上边缘各点的切应力 都与截面边界相切。
§6.3 扭转
汽车传动轴
§6.3 扭转
汽车方向盘
§6.3 扭转
扭转受力特点 及变形特点:
杆件受到大小相等,方向相反且作用平 面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截 面绕轴线产生相对转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。
§6.3 扭转
1.外力偶矩 直接计算
§6.3 扭转
材料力学-第4章 扭转 ppt课件
dA
T
O
dA
23
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
A dA T
代入：
G
G
d dx
得到：
G d 2dA T dx A
记： IP －2dA称为圆截面的极惯性矩
A
则：圆轴扭转角的变化率 d T
dx GIP
圆截面切应力
采用右手螺旋法则，如果用四指表示扭矩的转向， 拇指的指向与截面的外法线n的方向相同时，该扭矩为 正；反之，规定扭矩为负
正扭矩
负扭矩
——保证了无论从哪一段计算，扭矩的大小和符号 都相同
12
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
讨论：如图受扭圆轴，m-m截面上扭矩为多少？
Me
m
2M e
m m
T Me
17
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
几何变形：
1. 横截面绕圆轴的轴线转动
？
主要
2. 圆轴中段的横截面缩小 几何变形特征
有剪切应变 rz 次要
3. 圆轴的长度略有增长
有轴向应变 z 次要
– 变形后，横截面仍保持为平面，其形状和大小均不
改变，半径仍为直线
– 变形后，相邻横截面的间距保持不变，相邻横截面 绕圆轴轴线转动一定的角度
外力偶矩的计算
• 工程中的传动轴，通常给出传动轴所传递的功率和转 速，而不直接给出外力偶矩的数值
• 设外力偶矩为Me，传动轴的功率为P，角速度为w，则
有（理论力学）
Me
P
w
外力偶矩Me 单位：N·m (牛顿·米) 功率为P 单位：J (焦耳)
材料力学第四章 扭转
扭转轴的内力偶矩称为扭矩
3、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到
m
m
x
m
Mn
MX 0 Mnm0
Mn m
8
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
4 扭矩的符号规定—右手螺旋法则
mI
扭
矩
符 号 规
Mn I
离M开n截 面
定 ：
mI
I
m
Mn
I
I
m
Mn
Mn I
指向M 截n 面
I
右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的
m
转速：n (转/分)
1分钟输入功： 1分钟m 作功：
W W '
W 6 N 0 10 60 0 N 0 000
W m m 2 n 1 2 nm
m955N0 Nm 单位
n
7
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
2、扭矩的概念
扭转变形的杆往往称之为扭转轴
Mn
Mn
(r )
A
B
(r )
C
C
D d
D
b
x
d
d
d
dx
d
dx
dx
d
称为单位长度相对扭转角
dx
对于同一截面，
d 常量 dx
上式表明：圆轴扭转时，其横截面上任意点处的剪应变与该点至截 面中心之间的距离成正比。上式即为圆轴扭转时的变形协调方程。
32
§3-4 等值圆杆扭转时的应力强度条件
dAsin
d d A cA s o i s d n sA i c n o 0
《材料力学》第四章 扭转
第四章 扭转§4—1 工程实例、概念一、工程实例1、螺丝刀杆工作时受扭。
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
4、钻井中的钻杆工作时受扭。
二、扭转的概念受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用面垂直杆的轴线。
变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
轴：主要发生扭转变形的杆。
§4—2 外力偶矩、扭矩一、外力：m （外力偶矩）1、已知：功率 P 千瓦(KW ），转速 n 转／分(r ／min ； rpm)。
外力偶矩：m)(N 9549⋅=nPm 2、已知：功率 P 马力(Ps)，转速 n 转／分(r ／min ；rpm)。
外力偶矩：m)(N 7024⋅=nPm 二、内力：T （扭矩） 1、内力的大小：（截面法）mT m T mx==-=∑002、内力的符号规定：以变形为依据，按右手螺旋法则判断。
（右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。
）3、注意的问题：（1）、截开面上设正值的扭矩方向；（2）、在采用截面法之前不能将外力简化或平移。
4、内力图（扭矩图）：表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。
作法：同轴力图：§4—3 薄壁圆筒的扭转 一、薄壁圆筒横截面上的应力(壁厚0101r t ≤,0r ：为平均半径） 实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。
1、实验：2、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
3、切应变（角应变、剪应变）：直角角度的改变量。
4、定性分析横截面上的应力(1) 00=∴=σε ；（2）00≠∴≠τγ因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等。
⑶ 因为壁厚远小于直径，所以可以认为切应力沿壁厚均匀分布,而且方向垂直于其半径方向。
材料力学课件 第四章扭转
4. 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
17
Ip A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：
m
9.55
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.024
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.121
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（HP） n — 转速，转/分（rpm）
22
[例2]有一阶梯形圆轴，如图(a)所示轴的直径分别d为1 50mm,d2 80mm 。扭转力偶矩分别为 Me1 0.8kN m ，Me2 1.2kN m ，M e3 2kN m。若 材料的许用切应力 [ ] 40MPa ，试校核该轴的强度。
解： 方法一（理论计算法） 用截面法求出圆轴各段的扭矩，如图(b)所示。 由扭矩图可见，CD段和DB段的直径相同，但DB段的扭矩大 于CD段，故这两段只要校核DB段的强度即可。AC段的扭矩 虽然也小于DB段，但其直径也比DB段小，故AC段的强度也 需要校核。
2GI p
W
U ;
64PR3n Gd 4
P K
;
K
Gd 4 64R3n
为弹簧常数。
36
[例3] 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力 的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
17
Ip A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：
m
9.55
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.024
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.121
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（HP） n — 转速，转/分（rpm）
22
[例2]有一阶梯形圆轴，如图(a)所示轴的直径分别d为1 50mm,d2 80mm 。扭转力偶矩分别为 Me1 0.8kN m ，Me2 1.2kN m ，M e3 2kN m。若 材料的许用切应力 [ ] 40MPa ，试校核该轴的强度。
解： 方法一（理论计算法） 用截面法求出圆轴各段的扭矩，如图(b)所示。 由扭矩图可见，CD段和DB段的直径相同，但DB段的扭矩大 于CD段，故这两段只要校核DB段的强度即可。AC段的扭矩 虽然也小于DB段，但其直径也比DB段小，故AC段的强度也 需要校核。
2GI p
W
U ;
64PR3n Gd 4
P K
;
K
Gd 4 64R3n
为弹簧常数。
36
[例3] 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力 的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？
材料力学扭转
材料力学扭转材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏规律的一门学科，而扭转则是材料力学中非常重要的一种变形形式。
在工程实践中，我们经常会遇到各种扭转现象，比如轴承、螺纹、螺栓等零部件的扭转变形。
因此，了解材料力学中的扭转现象对于工程设计和实际应用具有重要意义。
首先，我们来看一下什么是扭转。
扭转是指材料在外力作用下沿着一定轴线发生的旋转变形。
在扭转过程中，材料内部会受到剪切应力的作用，从而导致材料发生扭转变形。
扭转变形不仅会影响材料的外观和尺寸，还会对材料的力学性能产生影响。
在材料力学中，我们通常用剪切模量来描述材料的扭转性能。
剪切模量是指材料在扭转过程中所表现出的抗扭转能力。
剪切模量越大，材料的抗扭转能力就越强，反之则越弱。
因此，在工程设计中，我们需要根据材料的剪切模量来选择合适的材料，以满足工程的扭转性能要求。
除了剪切模量，材料的断裂韧性也是影响材料扭转性能的重要因素。
断裂韧性是指材料在扭转过程中抵抗断裂的能力。
材料的断裂韧性越大，其扭转性能就越好，能够更好地抵抗扭转变形和破坏。
因此，在工程设计中，我们还需要考虑材料的断裂韧性，以确保材料在扭转过程中不会发生过早的断裂。
此外，材料的微观结构也会对其扭转性能产生影响。
晶粒的大小、形状以及晶界的性质都会影响材料的扭转性能。
一般来说，晶粒越细小，晶界越强化，材料的扭转性能就会越好。
因此，在材料的制备过程中，我们需要通过控制材料的微观结构来提高其扭转性能。
总的来说，材料力学中的扭转现象是工程设计中不可忽视的重要问题。
了解材料的扭转性能，选择合适的材料，并通过控制材料的微观结构来提高其扭转性能，对于保证工程零部件的稳定性和可靠性具有重要意义。
希望本文能够对大家对材料力学中的扭转问题有所帮助。
材料力学扭转变形
非圆截面杆扭转的研究方法：弹性力学的方法研究
非圆截面杆扭转的分类： 1、自由扭转（纯扭转）， 2、约束扭转。
自由扭转：各横截面翘曲程度不受任何约束（可自由凹凸）， 任意两相邻截面翘曲程度相同。
约束扭转：由于约束条件或受力限制，造成杆各横截面翘 曲程度不同。
矩形截面杆自由扭转时应力分布特点
1 2 0
§3-5 扭转变形和刚度计算
1、扭转变形：（相对扭转角）
d T 扭转变形与内力计算式
dx GI P
d T dx
GI P
T dx
L GI P
扭矩不变的等直轴
Tl
GI p
各段扭矩为不同值的阶梯轴
Tili
扭转角单位：弧度（rad）
d T
dx GI P
d
dx
2
T2 GIp
因 T1 T2
故
max
d
dx max
1
T1 GIp
max
180 N m
180
(80 109 Pa)(3.0 105 10-12 m4 ) π
0.43 () / m [ ]
轴的刚度足够
例2 传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率P1=400kW， 从动轮B，C 分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知 [τ]=70MPa， [ ]=1º/m ，G=80GPa。
试求：两者的最大扭转切应力与扭转变形，并进行比较。
解：1)圆截面 circular
d
a
c max
16T
d 3
,
c
32Tl
材料力学-圆杆扭转时的变形及刚度条件
扭转剪应力公式是圆轴在弹性范围内导出的，其适用条件是：
1. 必须是圆轴，否则横截面将不再保持平面，变形协调公式
将不再成立。
d
dx
2. 材料必须满足胡克定律，而且必须在弹性范围内加载，只有
这样，剪应力和剪应变的正比关系才成立：
G
d
dx
二者结合才会得到剪应力沿半径方向线性分布的结
何斌
Page 28
材料力学
第4章 圆轴扭转
连接件强度计算的工程意义
两个或多个构件相连 —— 1. 用 钉子、铆钉等联结 2. 焊接 3. 其它
联接件体系（联接件、被联接构件）的受力特点： 力在一条轴线上传递中有所偏离（与拉压情况不同）
问题：1. 力传递的偏离引起什么新的力学现象？ 2. 如何计算联接件、被联接构件的强度？
何斌
Page 12
材料力学
例 题1
第4章 圆轴扭转
θ M x θ ＝1.5 ＝1.5 π rad / m
GIp
2m 2 180
I
＝π D4 p 32
1－α 4
，α＝ d D
轴所能承受的最大扭矩为
M x
θ
GI
＝1.5 p2
π 180
rad/m G
π D4 32
1－α 4
1.5π
受扭圆轴的相对扭转角
圆杆受扭矩作用时，dx微段的两截面绕轴线相对转动 的角度称为相对扭转角
d M x dx
GIP沿轴线方向积分，得到源自d M x dxl
l GIp
何斌
Page 6
材料力学
第4章 圆轴扭转
圆杆扭转时的变形及刚度条件
受扭圆轴的相对扭转角
对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，两端面的相
4、材料力学性能-压缩与扭转性能
应力状态系数
对材料单向静拉伸试验的分析研究表明， 材料的塑性变形和断裂方式( 材料的塑性变形和断裂方式(韧性或脆性断 裂)除与材料本身的性质有关外，主要与应 力状态有关。 力状态有关。切应力主要引起材料的塑性 变形和韧性断裂，正应力容易导致材料的 脆性断裂。 脆性断裂。
应力状态系数
对某种材料而言，在一定承载条件下产 生何种失效形式，主要与承载条件下所产 生的应力状态有关。 不同的应力状态，其最大正应力σ 不同的应力状态，其最大正应力σmax与 最大切应力τ 的相对大小是不一样的。因 最大切应力τmax的相对大小是不一样的。因 此，对材料的变形和断裂性质将产生不同 的影响。为此，需要知道在不同的静加载 方式下试样中σ 与和τ 方式下试样中σmax与和τmax的计算方法及其 相对大小的表示方法。
α值越大的试验方法，试样中最大切应力分量 值越大的试验方法，试样中最大切应力分量 对金属材料，如取ν 0.25，则在单向拉伸 对金属材料，如取ν=0.25，则在单向拉伸 越大，表示应力状态越“ 越大，表示应力状态越“软”，材料越易于产生 条件下，三个主应力中只有σ 不为零，而σ 条件下，三个主应力中只有σ1不为零，而σ2 塑性变形和韧性断裂。 ＝σ3α值越小的试验方法，试样中最大正应力分量 ＝0，代入上式后可得α=0.5，即单向拉 ，代入上式后可得α=0.5，即单向拉 值越小的试验方法，试样中最大正应力分量 伸条件下的应力状态系数为0.5。 伸条件下的应力状态系数为0.5。 越大，应力状态越“ 越大，应力状态越“硬”，材料越不易产生塑性 变形而易于产生脆性断裂。
材料的其他力学性能
1. 2. 3. 4.
材料的扭转 材料的弯曲 材料的压缩 材料的剪切
材料的扭转
应力应力-应变分析 当一等直径的圆柱试样受到扭矩T作用 当一等直径的圆柱试样受到扭矩T 时，试样表面的应力状态如图(a)所示。材 时，试样表面的应力状态如图(a)所示。材 料的应力状态为纯剪切，切应力分布在纵 向与横向两个垂直的截面上。
第四章：扭转
2 2
64.22
45.02
0.611
A1
d12
58.62
小 结 在最大切应力相同的情况下，空心轴所用的材料是实心轴的
61.1%，自重也减轻了 38.9%。其原因是：圆轴扭转时，横截面上应力
呈线性分布，越接近截面中心，应力越小，此处的材料就没有充分发挥 作用。做成空心轴，使得截面中心处的材料安置到轴的外缘，材料得到 了充分利用，而且也减轻了构件的自重。但空心轴的制造要困难些，故 应综合考虑。
解：1）用截面法求各段扭矩 AB 段：
1
2
T1 MA 900 N m
BC 段：
T
T2 M c 600 N m
600Nm
画出扭矩图如图所示
900Nm
第五节：圆轴扭转时的变形
AB 截面 极惯性矩
I P1
πd14 32
BC 截面 极惯性矩
2）C 截面相对于 A 截面的转角
IP2
πd
4 2
32
第一节：扭转的概念
扭转：是杆的又一种基本变形形式。其受力特点是：构件两 端受到两个作用面与杆的轴线垂直的、大小相等的、转向相 反的力偶矩作用，使杆件的横截面绕轴线发生相对转动。
扭转角：任意两横截面间的相对角位移。如图所示的 φ 角。
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如钻探机的钻杆，电 动机的主轴及机器的传动轴等。
叠加原理
CA CB BA
AB 段：
BA =
T1l1 GI P1
×
1800
=-0.8110
BC 段：
CB =
T2l2 GI P2
×
1800
=0.9810
CA CB BA 0.9810 (0.8110 ) 0.17 0
材料力学课件-第四章 扭转-薄壁杆件的扭转
部分加厚由于最小壁厚不变，最大应力不变。部分加厚后甚至由于应力集中更危险。
例2：某等壁厚d闭口薄壁杆受扭矩T，中心线周长S，轴的最大扭转切应力与扭转变形:(1)在 S/2中心线长度上壁厚增加一倍到2d；(2)在很小的局部受损伤壁厚减薄到d/2。
解：(2)第2种情形
局部减薄对积分值影响甚微，可以忽略不计。
最大应力增加一倍。
定性研究结论：强度是局部量，刚度是整体量。
例3：比较扭转切应力与扭转变形
解：
R0
R0
比较
（1）闭口薄壁圆管
（2）开口薄壁圆管
(狭长矩形)
作业 4-22 4-27 4-35 4-36
谢谢
薄壁圆管
思考：公式的精度？
在线弹性情况下，精确解为
思考：公式（1）和（2）的适用范围？
(1)
(2)
误差
T
dx
a
b
c
d
二、闭口薄壁杆的扭转变形
dx
ds
分析方法讨论:
由静力学、几何和物理三方面求解所遇到的困难：几何形状复杂。
新方法探索：
尝试能量法。
一未知量
无未知量
问题可解
二、闭口薄壁杆的扭转变形
假设：切应力沿壁厚均匀分布，其方向平行于中心线 假设依据：
T
dx
a
b
c
d
a
b
c
d
2
1
dx
1
1
2
2
薄，切应力互等定理
利用切应力互等定理，转化为研究纵向截面切应力，利用平衡方程求解.
截面中心线所围面积 的2倍
思考：O点位置可否任选，如截面外？
ds
o
ds
例2：某等壁厚d闭口薄壁杆受扭矩T，中心线周长S，轴的最大扭转切应力与扭转变形:(1)在 S/2中心线长度上壁厚增加一倍到2d；(2)在很小的局部受损伤壁厚减薄到d/2。
解：(2)第2种情形
局部减薄对积分值影响甚微，可以忽略不计。
最大应力增加一倍。
定性研究结论：强度是局部量，刚度是整体量。
例3：比较扭转切应力与扭转变形
解：
R0
R0
比较
（1）闭口薄壁圆管
（2）开口薄壁圆管
(狭长矩形)
作业 4-22 4-27 4-35 4-36
谢谢
薄壁圆管
思考：公式的精度？
在线弹性情况下，精确解为
思考：公式（1）和（2）的适用范围？
(1)
(2)
误差
T
dx
a
b
c
d
二、闭口薄壁杆的扭转变形
dx
ds
分析方法讨论:
由静力学、几何和物理三方面求解所遇到的困难：几何形状复杂。
新方法探索：
尝试能量法。
一未知量
无未知量
问题可解
二、闭口薄壁杆的扭转变形
假设：切应力沿壁厚均匀分布，其方向平行于中心线 假设依据：
T
dx
a
b
c
d
a
b
c
d
2
1
dx
1
1
2
2
薄，切应力互等定理
利用切应力互等定理，转化为研究纵向截面切应力，利用平衡方程求解.
截面中心线所围面积 的2倍
思考：O点位置可否任选，如截面外？
ds
o
ds
材料力学中的四种基本变形举例
材料力学中的四种基本变形举例
1.拉伸变形：
拉伸变形是指在外力的作用下，物体的长度增加或变长的过程。
这种
变形常见于拉伸试验中的拉力加载中，例如在拉伸试验机上施加外力，拉
伸材料直至材料的断裂点。
一个常见的例子是橡皮筋，当我们拉伸橡皮筋时，它的长度会增加。
2.压缩变形：
压缩变形是指在外力的作用下，物体的长度减少或变短的过程。
这种
变形常见于承受压力的构件中，例如梁柱结构承受竖向荷载时会产生压缩
变形。
一个典型的例子是弹簧，当我们用力将弹簧压缩时，它的长度会变短。
3.剪切变形：
剪切变形是指在外力的作用下，物体的平行侧面发生相对位移的过程。
这种变形常见于切削和金属加工中，例如在使用剪切机切割金属板材时，
金属板材的平行侧面会产生相对的移动。
另一个例子是在泥土工程中，当
土壤受到剪切力时，会发生剪切变形。
4.扭转变形：
扭转变形是指在外力作用下，物体沿纵轴发生旋转的过程。
这种变形
常见于旋转机械中，例如在使用螺旋桨驱动船只前进时，船体会发生扭转
变形。
另一个例子是在汽车悬挂系统中，当车辆转弯时，车身会发生扭转
变形。
这四种基本变形在材料力学中都具有重要的意义，并广泛应用于工程设计和材料选型过程中。
通过对这些变形的认识和理解，我们能够更好地预测和控制材料的行为和性能。
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1 1
T
1 1
T
1
Me
+
B
x
T Me
Me
B
T图 x
例 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输 入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分 别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。
解： 首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩
M2 1
2 T
1
1 T
1
材料不同），可见在两
杆交界处的切应力是不
同的。
d
D
§4. 7 非圆截面杆扭转的概念
对非圆截面杆的扭转问题，主要介绍矩形截面 杆的扭转。
试验现象
横向线变 成曲线
横截面发生 翘曲不再保 持为平面
平面假设不再 成立，可能产 生附加正应力
自由扭转 翘曲不受限制。 纵向纤维无伸长 横截面上无正应力
T
max
O
max
D
d
T
Ip
max
T Wp
圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp —几何性质 实心圆截面：
d
O
d
O
d D d
Ip
2 d A πd 4
A
32
Wp
Ip d /2
πd 3 16
Ip
2 d A πD4
A
32
1 4
Wp
Ip D /2
πD 3 16
1 4
4-4 圆轴扭转强度条件与合理设计
B 0
按叠加原理：
B BB BM 0
BB、BM分别为MB、Me 引起的在杆端B的扭转角。
线弹性时，物理关系(胡克定理)为
BM
Mea , GI p
BB
M Bl GI p
代入上式 可解得
MB
Mea l
MA可平衡方程求得
。M A
M eb l
例 图示一长为l 的组合杆，由不同材料的实心圆截 面杆和空心圆截面杆套在一起而组成，内、外两杆 均在线弹性范围内工作，其扭转刚度分别为GaIpa和 GbIpb。当组合杆的两端面各自固结于刚性板上，并 在刚性板处受一对扭转力偶矩Me作用时，试求分别 作用在内、外杆上的扭转力偶矩。
A
D
d
G'
D'
tan
GG EG
d
dx
a
b
T
T
A
E O1 D
G O2
d
G'
D'
a
dx
b
d
dx
A
E O1
D
G O2
d
G'
D'
d
dx
d 相对扭转角沿杆长的变化率，对于给
d x 定的横截面为常量
B、物理方面
d
dx
剪切胡克定律：（在弹性范围内，切应力与
切应变成正比。
G G
？d
dx
横截面上各点的
a) 剪力相应的切应力(假 定均匀分布)
1
Fs A
4F
d 2
b)扭矩相应的切应力
2max
T Wp
F
D 2 d3
8FD
d 3
16
T
A
O
max 1 2max
4F
d 2
F
D 2 d3
8FD
d 3
(1
d) 2D
16
当D >> d 时可略去剪力的影响
max
8FD
d 3
T
当D / d <10时,不可略去剪力的
由扭矩图得知T2=9.56kN.m
T
IP
9560 40103 π 1104 1012 / 32
26.6MPa
(2) 强度计算 危险横截面在AC段，
Tmax=9.56kN.m
τ max
Tmax WP
9560 π 1103 109 /16
36.6MPa
＜[τ]
轴的强度满足要求。
例3（同例2）若AD轮互换位置，试校核轴的强度。
第四章 扭转
§4-1 扭转的概念
工程问题中，有很多杆件是受扭转的。 自行车的中轴受扭转。
齿轮传动示意图
受力特点：
圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面 垂直于杆的轴线的外力偶作用（矢量与轴线一致）
Me
Me
变形特点：圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动
工程中主要承受扭转的构件称为“轴”，实际构件 工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯曲、拉 压等其他变形形式。
求杆两端的支反力偶矩。
解： 一次超静定
I
Me
II
设想解除固定端
A
C
a
B
b
B处的约束，代之以
MA A
l
约束力偶矩MB.
I
Me
II
MB
C
B
x 设固定端A的支反力偶 为MA ,方向同MB
MA A
I
Me
C
II
MB
B
x
列出平衡方程：
M x 0 , M A M B M e 0
变形协调条件：根据原静不定杆的约束情况，B端 的扭转角应等于零, 即补充方程为
压力(拉力) F 作用。已知：簧圈平均半径 R，簧杆 直径 d，弹簧的有效圈数 n，簧杆材料的切变模量 G ，且簧圈平均直径 D >> d 。 试推导弹簧丝横截
面上的应力并建立相应的强度条件。
解： 1、 求簧杆横截面上的内力 分离体的平衡
剪力 FS F
扭矩 T F D 2
2、求簧杆横截面上的应力
(N
m)
(P —马力)
Ⅱ、扭矩及扭矩图 利用截面法来确定. 圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，
用符号T表示。
1
T Me
1
扭矩的符号规定
按右手螺旋法则确定:
扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。
仿照轴力图的做法，可作扭矩图，表明沿杆 轴线各横截面上扭矩的变化情况。
Me A
Me A
T
1
Me
M3 2 M1
3
M4
A
1B
2C
3
D
M1
(9549
500 300
)N
m
15.9kN
m
M2
M3
(9549
150 )N m 300
4.78kN m
M4
(9549
200)N m 300
6.37kN m
分别计算各段的扭矩
M2 1
M3 2 M1
3
M4
A
1B
2C
3
D
M2
1
T1
x
T1 M 2 4.78kN m
解： max 36.6MPa
Tmax 9.56kN m
WP
D3
16
(1
4)
由
max
Tmax WP
得
D3
16Tmax
(1 4 ) max
157mm
d=0.9D=141mm
V空 V实
A空 A实
(D2 d2) / 4 d12 / 4
0.235
例5 圆柱螺旋弹簧如图(簧杆斜度< 5°) 受轴向
例7 如图传动轴，n=500r/min，N1=500马力， N2=300
马力， N3=200马力，已知[τ ] = 40MPa ，许可单位长 度扭转角[ ]=1 /m ，G=80GPa。求：确定AB和BC段直
径。
解： 1）计算外力偶矩
mA
7024
N1 n
7024Nm
mB
7024
N2 n
2809.6Nm
1、相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小 、形状、间距都未变；
2、纵向线倾斜了同一个角度，表面上所有矩形均
变成平行四边形。 平面假设：圆轴受扭转时其横截面如同刚性平面 一样绕杆的轴线转动。
AD
BC
表面正方格子倾斜的角度—
直角的改变量 切应变
A1 A
D D'
D1 D1'
B
B1 C
C1 C1'
C'
Me
Me
解：
rb
写出独立平衡方程
r
a
A
B
l
MA MB Me 0
一次静不定问题。
变形协调条件：原杆两端各自与刚性板固结在一 起，故内、外杆的扭转变形相同。即补充方程为
Ba Bb
代入物理关系(胡克定理)，与平衡方程联立，即
2min
1max2max源自可求得Ma和Mb。并可进一步求得杆中切 应力如图（内、外两杆
二、强度条件 max [ ] 材料的许用切应力
工作应力
等直圆轴 Tmax [ ]
Wp
三、圆轴合理截面
T
max
T
max
O
max
O
max
d
D
d
例2 实心等截面直轴，d=110mm， (1) 试求截面Ⅱ上距轴线40mm处的点的切应力。 (2) 若已知[τ]=40MPa，试校核轴的强度。 解： (1)应力计算
§4-2 传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图
Ⅰ、传动轴的外力偶矩 Me
A
Me B
已知：
传动轴的转速 n ；所传递的 功率P (kW)
求： 作用在该轮上的外力偶矩Me。
传动轮的转速n 、功率P 及其上的外力偶矩Me之
间的关系：
P M
Me
9549
P(kW ) n(r / min)