材料力学第4章扭转变形

例7 如图传动轴，n=500r/min，N1=500马力， N2=300
马力， N3=200马力，已知[τ ] = 40MPa ，许可单位长 度扭转角[ ]=1 /m ，G=80GPa。求：确定AB和BC段直
径。
解： 1）计算外力偶矩
mA
7024
N1 n
7024Nm
mB
7024
N2 n
2809.6Nm
剪应力与点到截 面中心的间距成
正比，即切应力
沿截面的半径呈
线性分布。
O
d
C、静力学方面
A d A T
G
d
dx
G d 2 d A T
dx A
令
Ip
2 d A
A
称为横截面 的极惯性矩
得
d T
d x GIp
T
O dA
r
d T
d x GIp
G
d
dx
G
T GI
p
T
Ip
圆轴扭转时横截面上切应力计算公式：
压力(拉力) F 作用。已知：簧圈平均半径 R，簧杆 直径 d，弹簧的有效圈数 n，簧杆材料的切变模量 G ，且簧圈平均直径 D >> d 。 试推导弹簧丝横截
面上的应力并建立相应的强度条件。
解： 1、 求簧杆横截面上的内力 分离体的平衡
剪力 FS F
扭矩 T F D 2
2、求簧杆横截面上的应力
180
0.477
＝
CA
TCA lCA G IP
180
0.954
＝
AD
TAD G
lAD IP
180
0.635
轴两端截面之间的相对扭转角为：
BD＝
BC＋
CA＋
＝
AD
0.805
(2) 刚度计算
Tmax=9560N.m
max
Tmax GIP
180
0.48
[ ]
所以刚度符合要求。
(N
m)
(P —马力)
Ⅱ、扭矩及扭矩图 利用截面法来确定. 圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，
用符号T表示。
1
T Me
1
扭矩的符号规定
按右手螺旋法则确定:
扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。
仿照轴力图的做法，可作扭矩图，表明沿杆 轴线各横截面上扭矩的变化情况。
Me A
Me A
T
1
Me
BC段：同理，由扭转强度条件得 d2 67mm
由扭转刚度条件得 d2 74.5mm
选择d2 75mm
§4-6 扭转静不定问题
扭转静不定问题的解法，同样是综合考虑静力、
几何、物理三方面。其主要难点仍是由变形协调条件
建立补充方程。
例 两端固定的圆截面杆 AB ，在截面 C 处受一扭转
力偶矩 Me 作用如图。已知杆的扭转刚度为GIp，试
A
1
M2
A
M3 B
2
T2
2
x
T3 M 4 6.37kN m
T2 M 2 M 3 9.56kN m
3
T3
3
M4 x
D
扭矩图 M2
A
M3
M1
B
C
M4
D 6.37
4.78 9.56
Tmax = 9.56 kN·m
T 图(kN·m) 在CA段内
§4-3 圆轴扭转时的应力·强度条件
一、扭转试验与假设： 表面变形特点：
M3 2 M1
3
M4
A
1B
2C
3
D
M1
(9549
500 300
)N
m
15.9kN
m
M2
M3
(9549
150 )N m 300
4.78kN m
M4
(9549
200)N m 300
6.37kN m
分别计算各段的扭矩
M2 1
M3 2 M1
3
M4
A
1B
2C
3
D
M2
1
T1
x
T1 M 2 4.78kN m
mC
7024
N3 n
4214.4Nm
2）计算直径
AB段：由强度条件
max
T Wt
16T
d13
由刚度条件
d1 3
16T
3
16 7024
70 106
80mm
T
G
d
4 1
180
d1 4
32T 180
G 2[ ]
4
32 7024180
80109 21
84.6mm
32
d1 84.6mm 选择d1 85mm
B 0
按叠加原理：
B BB BM 0
BB、BM分别为MB、Me 引起的在杆端B的扭转角。
线弹性时，物理关系(胡克定理)为
BM
Mea , GI p
BB
M Bl GI p
代入上式 可解得
MB
Mea l
MA可平衡方程求得
。M A
M eb l
例 图示一长为l 的组合杆，由不同材料的实心圆截 面杆和空心圆截面杆套在一起而组成，内、外两杆 均在线弹性范围内工作，其扭转刚度分别为GaIpa和 GbIpb。当组合杆的两端面各自固结于刚性板上，并 在刚性板处受一对扭转力偶矩Me作用时，试求分别 作用在内、外杆上的扭转力偶矩。
A
D
d
G'
D'
tan
GG EG
d
dx
a
b
T
T
A
E O1 D
G O2
d
G'
D'
a
dx
b
d
dx
A
E O1
D
G O2
d
G'
D'
d
dx
d 相对扭转角沿杆长的变化率，对于给
d x 定的横截面为常量
B、物理方面
d
dx
剪切胡克定律：（在弹性范围内，切应力与
切应变成正比。
G G
？d
dx
横截面上各点的
1、相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小 、形状、间距都未变；
2、纵向线倾斜了同一个角度，表面上所有矩形均
变成平行四边形。 平面假设：圆轴受扭转时其横截面如同刚性平面 一样绕杆的轴线转动。
AD
BC
表面正方格子倾斜的角度—
直角的改变量 切应变
A1 A
D D'
D1 D1'
B
B1 C
C1 C1'
C'
§4-2 传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图
Ⅰ、传动轴的外力偶矩 Me
A
Me B
已知：
传动轴的转速 n ；所传递的 功率P (kW)
求： 作用在该轮上的外力偶矩Me。
传动轮的转速n 、功率P 及其上的外力偶矩Me之
间的关系：
P M
Me
9549
P(kW ) n(r / min)
MP
Me
7024
P n
T
max
O
max
D
d
T
Ip
max
T Wp
圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp —几何性质 实心圆截面：
d
O
d
O
d D d
Ip
2 d A πd 4
A
32
Wp
Ip d /2
πd 3 16
Ip
2 d A πD4
A
32
1 4
Wp
Ip D /2
πD 3 16
1 4
4-4 圆轴扭转强度条件与合理设计
A
O
影响
max
8FD
d 3
4m 2 4m 3
m=D / d
§4. 5 圆轴扭转时的变形
扭转角 两个横截面绕轴线的相对转角。
微段的扭转角
a
b
d T
T
d T d x O1
T O2
d x GIp
GIp A D d
整体的扭转角
D' a dx b
l T d x
0 GI p
整体的扭转角
由扭矩图得知T2=9.56kN.m
T
IP
9560 40103 π 1104 1012 / 32
26.6MPa
(2) 强度计算 危险横截面在AC段，
Tmax=9.56kN.m
τ max
Tmax WP
9560 π 1103 109 /16
36.6MPa
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＜[τ]
轴的强度满足要求。
例3（同例2）若AD轮互换位置，试校核轴的强度。
解： max 36.6MPa
Tmax 9.56kN m
WP
D3
16
(1
4)
由
max
Tmax WP
得
D3
16Tmax
(1 4 ) max
157mm
d=0.9D=141mm
V空 V实
A空 A实
(D2 d2) / 4 d12 / 4
0.235
例5 圆柱螺旋弹簧如图(簧杆斜度< 5°) 受轴向
2 T
1
1 T
1
材料不同），可见在两
杆交界处的切应力是不
同的。
d
D
§4. 7 非圆截面杆扭转的概念
对非圆截面杆的扭转问题，主要介绍矩形截面 杆的扭转。
试验现象
横向线变 成曲线
横截面发生 翘曲不再保 持为平面
平面假设不再 成立，可能产 生附加正应力
自由扭转 翘曲不受限制。 纵向纤维无伸长 横截面上无正应力
T
Ip
T
max 1、T为横截面上的扭矩
2、Ip为截面参数，取决于截
O
面形状与尺寸
max
3、ρ为所求点距圆心距离。
d
T
O
max
d
最大切应力 r
max
max
Tr Ip
T Ip /r
T Wp
令
Wp
Ip r
称为扭转 截面系数
即
max
T Wp
发生在横截面周边上各点处。
同样适用于空心圆截面杆受扭的情形
二、强度条件 max [ ] 材料的许用切应力
工作应力
等直圆轴 Tmax [ ]
Wp
三、圆轴合理截面
T
max
T
max
O
max
O
max
d
D
d
例2 实心等截面直轴，d=110mm， (1) 试求截面Ⅱ上距轴线40mm处的点的切应力。 (2) 若已知[τ]=40MPa，试校核轴的强度。 解： (1)应力计算
1 1
T
1 1
T
1
Me
+
B
x
T Me
Me
B
T图 x
例 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输 入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分 别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。
解： 首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩
M2 1
Me
Me
解：
rb
写出独立平衡方程
r
a
A
B
l
MA MB Me 0
一次静不定问题。
变形协调条件：原杆两端各自与刚性板固结在一 起，故内、外杆的扭转变形相同。即补充方程为
Ba Bb
代入物理关系(胡克定理)，与平衡方程联立，即
2min
1max
2max
可求得Ma和Mb。
并可进一步求得杆中切 应力如图（内、外两杆
l T d x
0 GI p
等直圆轴且扭矩不变时
台阶轴或扭G矩TIl分p 段变G化Ip 圆轴n 的Ti抗li 扭刚度。
i1 GI pi
二、刚度条件
d
dx
称为单位长度扭转角。
max [ ]
对于精密机器的轴
常用单位：/m
[ ] 0.15 ~ 0.30 / m
对于一般的传动轴 [ ] 0.5 2 / m
等直圆杆在扭转时的刚度条件：
max
Tmax GIp
180 []
π
例6（同例2）d=110mm，若各轮之间距离均为 l=2m，G=80GPa，[ ]=0.5°/m，(1) 计算相邻两轮 之间的扭转角和轴两端截面之间的相对扭转角。 (2)试 校核轴的刚度；
解:(1)变形计算
＝
BC
TBC G
lBC IP
一、扭转失效 低碳钢扭转破坏
塑性材料扭转失效时，先发生屈服，最终沿横截面 断裂。
铸铁扭转破坏
脆性材料扭转失效时，变形很小，最终沿与轴线成 45°螺旋面断裂。
4-4 圆轴扭转强度条件与合理设计
一、扭转失效
[ ] u
n
对于塑性材料： 对于脆性材料：
u s u b
对于塑性材料： [ ] (0.5 0.577)[ ] 对于脆性材料： [ ] (0.8 1.0)[ ]
第四章 扭转
§4-1 扭转的概念
工程问题中，有很多杆件是受扭转的。 自行车的中轴受扭转。
齿轮传动示意图
受力特点：
圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面 垂直于杆的轴线的外力偶作用（矢量与轴线一致）
Me
Me
变形特点：圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动
工程中主要承受扭转的构件称为“轴”，实际构件 工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯曲、拉 压等其他变形形式。
解：互调AD轮位置 后，扭矩图如图所 示:
Tmax=15.9 kN.m
τ max
Tmax Wt
60.8 MPa
[τ]
∴强度不符合要求。
扭矩合理分配 使轴上的Tmax最小
例4（同例2）若BD轴改用内外径之比为9:10的空心轴，在保 证同样强度条件下，试确定空心轴的内外径d与D；并计算空心 与实心轴的材料消耗之比。
横截面上没有正应力产生，只有切应力，方向 与圆周相切，即与半径垂直。
二、横截面上的应力公式
A、几何关系
几何关系 物理方面 静力学方面
ab O1 O2 a dx b
Me
Me
a
b
T
T
A
E O1 D
G O2
d
G'
D'
a
dx
b
tan DD' R d
AD d x
d
dx
E O1 G O2
a) 剪力相应的切应力(假 定均匀分布)
1
Fs A
4F
d 2
b)扭矩相应的切应力
2max
T Wp
F
D 2 d3
8FD
d 3
16
T
A
O
max 1 2max
4F
d 2
F
D 2 d3
8FD
d 3
(1
d) 2D
16
当D >> d 时可略去剪力的影响
max
8FD
d 3
T
当D / d <10时,不可略去剪力的
限制扭转 横截面上有正应力。
此时相邻两横截面的翘曲 程度不同，横截面上有附 加正应力产生
对实体杆，正应力可忽略。
二、矩形截面杆自由扭转时的应力和变形
≤p时 1、 max发生在横截面的长边
中点处；
2、横截面周边各点的切应力 必定与周边相切，沿周边形 成与扭矩同向的顺流；
求杆两端的支反力偶矩。
解： 一次超静定
I
Me
II
设想解除固定端
A
C
a
B
b
B处的约束，代之以
MA A
l
约束力偶矩MB.
I
Me
II
MB
C
B
x 设固定端A的支反力偶 为MA ,方向同MB
MA A
I
Me
C
II
MB
B
x
列出平衡方程：
M x 0 , M A M B M e 0
变形协调条件：根据原静不定杆的约束情况，B端 的扭转角应等于零, 即补充方程为