高中数学《1.3弧度制》导学案 新人教版必修4
高中数学 112 弧度制导学案 新人教版必修4 学案
弧度制导学案1、弧度的定义：_______________________________________________,记作_________.2、特殊角的弧度数与角度制（1）_____360=︒ (2)rad rad ________1≈=︒ (3)︒≈=30.57____1度rad3、弧长公式: 扇形的面积公式:例1、把下列各角从弧度化为度，把下列各角从度化为弧度。
（1）53π（2）5.3 （3）︒252（4）'1511︒例2、已知扇形的周长为cm 8，圆心角为45，求该扇形的面积。
一、练习检测与拓展延伸 1．写出写列各角的弧度数： 角度 0153045607590120135150弧度角度 180210225240270300315330360弧度2.12π的角化成角度制是（ ） A 、︒15 B 、︒30 C 、︒60 D 、︒753、下列各角中与︒-120角终边相同的角为（ ） A 、π34 B 、π65-C 、π34-D 、π677.已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时， 才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？章节与课题1课时 总课时 062课时本课时学习目标或学习任务1．理解弧度制的意义，能正确进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数．2．了解角的集合与实数集R 之间的一一对应关系．3．掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题．本课时重点难点 弧度的意义，弧度与角度的换算每日一言如果命运是块顽石，我就化为大锤，将它砸得粉碎！——欧拉。
高中数学(1.1.2弧度制)教案新人教A版必修4
1.1.2 弧度制整体设计教学分析在物理学和日常生活中，一个量常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满足我们不同的需要•现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制，度量角的大小可以用度为单1位进行度量，并且一度的角等于周角的，记作1 °.360°通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出角度和弧度的换算方法•在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性•这样可以尽量自然地引入弧度制，并让学生在探究过程中，更好地形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的- 对应，为学习任意角的三角函数奠定基础.通过探究讨论，关键弄清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的•通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性•通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是互相联系、辩证统一的•进一步加强对辩证统一思想的理解，渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点三维目标1•通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制.2•通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣• 重点难点教学重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算•教学难点：弧度的概念及其与角度的关系• 课时安排1课时教学过程导入新课思路1.（类比导入）测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？度量角的大小除了以度为单位度量外，还可采用哪种度量角的单位制？它们是怎样换算的？思路2.（情境导入）利用古代度量时间的一种仪器一一日晷，或者利用普遍使用的钟表•实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪一种方法，度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的.在初中，已学过利用角度来度量角的大小，现在来学习角的另一种度量方法一一弧度制.要使学生真正了解弧度制，首先要弄清1弧度的含义，并能进行弧度与角度换算的关键.在引入弧度制后，可以引导学生建立弧与圆心角的联系一一弧的度数等于圆心角的度数随着角的概念的推广，圆心角和弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角,相应的，弧也就有正弧、零弧、负弧；从“数”上讲，圆心角与弧的度数有正数、0、负数. 圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”，就像三角函数值的正负可以用三角函数线（有向线段）的方向来表示一样.每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反之亦然.推进新课新知探究提出问题问题①：在初中几何里我们学习过角的度量,1。
高中数学1.1.2弧度制导学案新人教A版必修4
§1.1.2 弧度制1.理解弧度制的意义，正确地进行弧度制与角度制的换算，熟记特殊角的弧度数.2.了解角的集合与实数集R之间可以成立起一一对应关系.3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制、弧长公式、扇形面积公式解决某些简单的实际问题.69在初中，咱们常常利用量角器量取角的大小，那么角的大小的气宇单位为何？二、新课导学※探索新知问题1：什么叫角度制？问题2：角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式是什么？问题3：什么是1弧度的角？弧度制的概念是什么？问题4：弧度制与角度制之间的换算公式是如何的？问题5：角的集合与实数集R之间成立了________对应关系。
问题6：用弧度别离写出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限角的集合.问题7：回忆初中弧长公式，扇形面积公式的推导 进程。
回答在弧度制下的弧长公式，扇形面积公式。
※ 典型例题例1：把下列各角进行弧度与度之间的转化（用两种不同的方式） （1）53π（2） （3）252º （4）11º15¹变式训练：①填表②若6-=α，则α为第几象限角？③用弧度制表示终边在y 轴上的角的集合___ ____.用弧度制表示终边在第四象限的角的集合__ _____.例2: ①已知扇形半径为10cm,圆心角为60º，求扇形弧长和面积 ②已知扇形的周长为8cm , 圆心角为2rad,求扇形的面积变式训练（1）：一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求此扇形的最大面积.变式训练 (2)：A=()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⋅-+=Z k k x x k,21ππ, B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,22ππ则A 、B 之间的关系为 .※ 动手试试一、将下列弧度转化为角度：（1）12π= °；（2）－87π= ° ′； （3）613π= °；二、将下列角度转化为弧度：（1）36°= rad ； （2）－105°= rad ； （3）37°30′= rad ；3、已知集合M =｛x ∣x = 2π⋅k , k ∈Z ｝，N =｛x ∣x = 2ππ±⋅k , k ∈Z ｝，则 （ ）A ．集合M 是集合N 的真子集B ．集合N 是集合M 的真子集C ．M = ND ．集合M 与集合N 之间没有包括关系4、圆的半径变成原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变 C ．扇形的面积增大到原来的2倍 D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍三、小结反思角度制与弧度制是气宇角的两种制度。
高中数学 112(弧度制)教案人教版必修4 教案
1.1.2弧度制一、教学目标：1．知识目标：（1）1弧度的角的定义；（2）弧度制的定义；（3）弧度与角度的换算；（4）角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系；（5）弧度制下的弧长公式、扇形面积公式。
2．能力目标：（1）理解弧度的意义，能正确地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数；（2）了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系；（3）掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式；（4）会利用弧度解决某些实际问题。
3．情感目标：（1）使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽然单位不同，但是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解；（2）使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣。
二、教学重点、难点：重点：弧度的意义，弧度与角度的换算方法；难点：理解弧度制与角度制的区别。
三、教学方法：通过几何画板多媒体课件的演示，给学生以直观的形象，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性和可行性。
从特殊到一般，是人类认识事物的一般规律，让学生从某一个简单的、特殊的情况开始着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度换算的方法。
通过设置问题启发引导学生观察、分析、归纳，使学生在独立思考的基础上更好地进行合作交流。
四、教学过程：=定定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1的角，弧度记作rad。
这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。
角，又是角，同一个非零角180π= rad换算公式：rad=180⎛⎝180nπ⋅．特殊角的角度数与弧度数的对应表角的集合与实数集立起一种一一对应关系。
．把角度值n的一个“算法”：）给变量n近似值赋值；如果角度值秒”形式给出，为以“度”为单位的计算180π︒赋给变量a；计算na，赋值给变量，半径AB的长米）。
利用弧度制推导扇形2,1lr其是扇形的弧长，是扇形的半径。
新人教A版必修四1.2《弧度制》word导学案
§1．1．2 弧度制导学案主编：段小文审核：彭小武班级姓名【学习目标】了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算。
【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习1、写出终边在下列位置的角的集合。
（1）x轴：；（2）y轴：。
复习2、角度制规定，将一个圆周分成份，每一份叫做度，故一周等于度，平角等于度，直角等于度。
（二）自主研讨：（预习教材P6-P9）探究一：弧度制定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，这种度量角的单位制称为。
新知：①正角的弧度数是数，负角的弧度数是数，零角的弧度数是。
②角α的弧度数的绝对值lrα=（l为弧长，r为半径）反思：① 1rad等于度，②1︒等于弧度。
试试：完成特殊角的度数与弧度数的对应表：二、合作探究1、按要求解答下列各题：（1）把3730'︒化成弧度，（2）把35radπ化成度。
2、用弧度制表示：（1）终边在x轴上的角的集合，（2）终边在y轴上的角的集合。
3、利用弧度制证明扇形面积公式：（1）12S lR=，（2）212S Rα=。
三、交流展示1、把2230'︒化成弧度表示是（ ） A. 4π B. 8π C. 16π D. 32π 2、下午正2点时，时针和分针的夹角为（ ） A. 6π B. 4π C. 3π D. 2π 3、半径为2的圆的圆心角所对弧长为6，则其圆心角为 rad 。
4、54π化为度表示是 。
四、达标检测（A 组必做，B 组选做）A 组：1、时钟经过一小时，时针转过了( ) A. 6πrad B.－6π rad C. 12πrad D.－12πrad2、若α＝－3，则角α的终边在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、半径为πcm ，中心角为120o的弧长为（ ） A ．cm 3π B ．cm 32π C ．cm 32π D ．cm 322π 4、若扇形的圆心角α＝2，弧长l ＝3π，则该扇形的面积S ＝（ ）A. 3πB. 32π C. 6π D. 6 B 组：1、已知集合M =｛x ∣x = 2π⋅k , k ∈Z ｝，N =｛x ∣x = 2ππ±⋅k , k ∈Z ｝，则（ ） A ．集合M 是集合N 的真子集 B ．集合N 是集合M 的真子集C ．M = ND ．集合M 与集合N 之间没有包含关系2、如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ）A ．｛α∣120°<α<330°｝B ．｛α∣k ·360°－30°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z ｝C ．｛α∣k ·360°＋120°≤α≤k ·360°＋330°，k ∈Z ｝D ．｛α∣k ·180°＋120°≤α≤k ·180°＋330°，k ∈Z ｝3、已知一个扇形的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。
高中数学必修4弧度值教案
高中数学必修4弧度值教案
课题：弧度值
目标：学生能够掌握弧度值的概念，能够转换角度和弧度的关系
教学重点：弧度的定义，角度和弧度的转换
教学难点：角度和弧度的转换
教学准备：教材、黑板、粉笔、教学PPT
教学步骤：
一、导入（5分钟）
老师通过引导学生回顾之前学过的角度的概念，让学生思考什么是角度，并与圆相关联。
二、讲解（15分钟）
1. 弧度的定义：引导学生思考圆周角的度量方式，并介绍弧度的定义为圆周的长度等于半径的角。
2. 角度和弧度的关系：通过示意图和实际问题，让学生理解角度与弧度的转换关系。
三、练习（25分钟）
1. 让学生完成几道简单的练习题，巩固弧度的概念及与角度的转换。
2. 让学生通过实际问题应用角度和弧度的计算方法。
四、总结（5分钟）
老师带领学生总结本节课学到的知识点，并强调弧度值在数学中的重要性。
五、作业布置（5分钟）
布置作业，巩固学生对弧度值的理解和运用。
板书设计：
1. 弧度的定义：圆周的长度等于半径的角
2. 角度和弧度的关系：1弧度=180°
3. 角度和弧度的转换公式：θ(弧度)=θ(角度) × π/180
反思：
通过本节课的教学，学生对弧度值的概念有了更深入的认识，能够灵活运用角度和弧度的转换公式进行计算。
同时，本节课难度适中，但为了更好地巩固和理解弧度值的知识，可以设计更多场景化的问题，提高学生的实际运用能力。
人教版高中必修四《弧度制》教学设计
人教版高中必修四《弧度制》教学设计《人教版高中必修四《弧度制》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！教材地位：本节课是人教新课标A版必修四第一章第一节第二课时的内容。
在教材的结构上，本节课为后面内容学习做好了铺垫，之前的学习已经让学生了解了任意角和角度制，然而在后面研究三角函数的时候大多都用弧度制，因此本节内容起着承上启下的重要作用。
只有学生学好这一节才能更好的学习后面的三角函数，解三角形等知识。
在教学内容上弧度制是一个全新的研究角的单位，利用类比的思想方法让学生理解数学研究的互通性。
教学目标：1.知识与技能目标(1)理解1弧度角、弧度制的定义(2)掌握角度与弧度的换算公式并能熟练进行角度与弧度的互化。
2.过程与方法目标通过创设情境感知，设置问题启发、培养学生观察分析、类比发现、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观使学生领悟角度制、弧度制都是度量角的单位制，二者虽然单位不同，但是是互相联系的、辩证统一的。
进一步加强学生对辩证统一思想的理解，欣赏数学之美，从而激发学生的学习兴趣。
重点：(1)弧度制的概念，1弧度角的概念。
(2)弧长，半径，圆心角的联系(3)角度制与弧度制互化难点：弧度制定义的理解和探索弧长，半径，圆心角的联系策略(1)通过学生亲自进行数学实验，发现弧长与半径的比值为同一常数.(2)通过例题分析、进行小组挑战赛游戏、当堂练习，让学生真正掌握两种单位制的互化。
学情分析：1.学生已经学过角度制的有关知识2.学生基础一般3.尊重个体差异，循序渐进，因材施教学法指导：1.观察—归纳—检验—应用2.小组讨论3.学生发言4.当堂训练教学方法：引导发现法：举出实例，由多个标量的不同度量方法来引导学生思考，可能角也有其他的度量方法。
探索发现法：介绍弧度制后，学生分组讨论，共同思考,探讨出弧度制与角度制的互化。
教学过程：创设情景，引入新课说法一说法二身高()m 身高（）尺体重（）kg 体重（）斤鞋子（）cm 鞋子（)码我校占地（）平方米我校占地（）亩(启发式类比探究)通过这四组简单的问题，学生可以很容易的发现实际生活中对于同一个量，我们可以用不同的方法来度量它，请同学再举出一些我们身边的实例。
人教版高中数学弧度制教案
人教版高中数学弧度制教案
教学内容：弧度制
教学目标：
1. 理解弧度制的概念及与角度制的转换关系；
2. 掌握弧度制的计算方法；
3. 能够运用弧度制解决相关问题。
教学重点：
1. 弧度制的概念及运用；
2. 弧度制和角度制的转换。
教学难点：
1. 弧度制与角度制的转换；
2. 弧度制的计算方法。
教学过程：
一、导入新知识（5分钟）
教师引导学生回顾角度制的概念及计算方法，并提出弧度制的定义。
二、讲解弧度制的概念及计算方法（15分钟）
1. 教师讲解弧度制的定义及计算方法，强调弧度制的优势和应用范围；
2. 带领学生进行弧度制与角度制的转换练习，并解释计算过程。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 学生自主练习弧度制计算方法，并相互讨论解题思路；
2. 教师布置相关练习题，让学生在课后进行巩固练习。
四、检测与总结（10分钟）
1. 教师让学生进行弧度制的应用题练习，并及时纠正；
2. 学生合作讨论，总结本节课的知识点，提出问题并解决。
五、作业布置（5分钟）
布置相关作业，要求学生巩固掌握弧度制的概念和计算方法。
教学反思：
本节课主要围绕弧度制展开教学，通过讲解、练习和讨论，让学生充分理解弧度制的概念和计算方法，提高学生的数学运算能力和分析问题的能力。
在课后作业中，学生可以继续巩固弧度制的知识，提高解题的能力和速度。
新人教版高中数学 1-1《任意角和弧度制》导学案必修四-2019最新整理
新人教版高中数学 1-1《任意角和弧度制》导学案必修四-2019最新整理【学习目标】1.理解任意角的概念.2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写.3.了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.4.认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.5.了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.【导入新课】复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出问题：1．初中所学角的概念.2．实际生活中出现一系列关于角的问题.3. 初中的角是如何度量的？度量单位是什么？4.1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？5.角的范围是什么？如何分类的？新授课阶段一、角的定义与范围的扩大1．角的定义：一条射线绕着它的端点，从起始位置旋转到终止位置，形成一个角，点是角的顶点，射线分别是角的终边、始边.O OA OBαO,OA OBα说明：在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记为．αα∠α2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角.说明：零角的始边和终边重合.3．象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负轴重合，则x（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.例如：都是第一象限角；是第四象限角.30,390,330--300,60（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如：等等.90,180,270说明：角的始边“与轴的非负半轴重合”不能说成是“与轴的正半轴重合”.因为轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线.x x x。
人教版高中数学必修4-1.1《_弧度制》教学设计
《弧度制》教学设计一、教学目标：（一）核心素养通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，理解弧度制的定义，熟练角度制与弧度制的换算，掌握并运用弧度制的弧长公式和扇形的面积公式；在类比和数学运算过程中，更好的形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应的关系.（二）教学目标1.“为什么”——为什么要引入弧度制，理解引入弧度制的必要性；2.“是什么”——弧度是什么，理解弧度的定义；3.“如何化”——如何进行弧度与角度的转化，掌握弧度与角度之间的相互转化；4.“怎么用”——如何使用弧度制，学会使用弧度制下的新的弧长与扇形面积公式求解有关问题（三）学习重点1．理解弧度“是什么”；2．熟练弧度和角度之间“如何化”；3．掌握弧度制来计算弧长和扇形面积“怎么用”；（四）学习难点1．理解弧度“是什么”；2．理解角的集合与实数之间一一对应的关系二、教学过程（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第6页至第11页．（2）想一想：弧度制是如何定义的？弧度制和角度制之间是如何让转化的？如何将弧度制应用于弧长公式和扇形的面积公式中？2．预习自测=____________（1）已知圆O的半径为2，弧AB的长为2，则AOB【答案】1rad．（2）2π rad =（）A．180°B．200°C．270°D．360°【答案】D．（3）把50°化为弧度制（）A．50B．5 18πC．18 5πD．9000π【答案】B．（4）扇形的圆心角为72°，半径为5，则它的弧长为______，面积为________ 【答案】2π；5π(二)课堂设计1．知识回顾（1）角的概念的推广；（2）终边相同的角的表示2．问题探究探究一结合实例，引入弧度制，理解引入弧度制的必要性；●活动结合实例，引入弧度制有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约270.4公里，但也有人回答约169英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程．探究二 弧度是什么，理解弧度的定义 ●活动① 回顾角度制的定义1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等. 【设计意图】从1角度过度到1弧度，更加的自然. ●活动② 探究弧度制的定义弧度制的定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角， 记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写).A【设计意图】让学生掌握弧度制的定义 探究三 探究如何进行弧度与角度的转化●活动① 通过具体的数据，探究弧度制和角度制之间的关系如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合,交圆于点A,终边与圆交于点B.请完成表格.xyαBOA【答案】我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角的正负主要由角的旋转方向来决定.【设计意图】一方面可以让学生加深对弧度制的理解，也为接下来推导弧度制和角度制的转化公式做准备.●活动② 在掌握了弧度制定义的基础上推导弧长，半径，和圆心角（弧度制）之间的关系思考：如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么α的弧度数是多少? 角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 【设计意图】既是对弧度制定义的巩固强化，加深学生对于弧长，半径以及圆心角（弧度数）三者关系的理解.●活动③ 通过活动①中表格的数据，推导出弧度制和角度制的转化公式.'360=2rad 180rad 1801rad 1rad=57.3=5718180ππππ︒∴︒=⎛⎫∴︒=︒≈︒︒ ⎪⎝⎭反过来 Q【设计意图】通过已有的数据推出角度制和弧度制相互转化的公式更容易被学生理解和接受. ●活动④ 快速抢答抢答特殊角的度数与弧度数的对应表:【答案】【设计意图】通过抢答环节，让学生迅速掌握弧度制和角度制的相互转换，也让学生熟悉特殊角对应的角度制和弧度制.探究四 探究弧度制下的弧长与扇形面积公式求解有关问题.●活动① 回顾初中已学的用角度制表示的弧长公式和扇形的面积公式.已知扇形的圆心角为n °，半径为R则弧长180n Rl π=，扇形的面积公式为2360n R S π=【设计意图】通过对已有知识的回顾，对接下来推出弧度制下的弧长与扇形面积公式做准备.●活动② 利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1)l R α=; (2)212S R α=; (3)12S lR =.其中R 是半径,l 是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积.lRl R αα==立即可得：证明：由公式 2ππ=360180n R n S α=又，Q221121802n S R R πα∴=⋅⋅= 1122l R S R R lRαα=∴=⋅⋅=又Q 【设计意图】以证明题的形式将弧度制应用于弧长和扇形的面积公式，有了推导过程，学生更容易理解和记忆.●活动③ 利用计算器比较sin1.5和sin85°的大小.【设计意图】弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别. ●活动④ 巩固基础，检查反馈 例1 下列说法不正确的是（ ）A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1度的角是圆周角的1360，1弧度的角是圆周角的12πC ． 根据弧度的定义，180°一定等于π弧度D ．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大【知识点】考察了弧度制和角度制的相互转换，弧度制的定义，以及弧度制和角度制都是度量角的两种方式 【数学思想】转换的思想【解题过程】当圆心角一定时，它所对的弧长与半径的比值是一定的，与所取圆的半径大小无关【思路点拨】通过弧度制的定义去判断 【答案】D同类训练 若扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也扩大到原来的2倍，则（ ） A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变C ． 扇形的面积扩大到原来的2倍D ．扇形的圆心角扩大到原来的2倍【知识点】扇形的圆心角，弧长，半径三者之间的关系 【数学思想】【解题过程】由公式lRα=，因此圆心角应该不变 【思路点拨】所对的弧长与半径的比值是一定值，则圆心角就不变 【答案】B例2：（1）将下列各角化为弧度：①'11230︒；②315-︒（2）将下列各弧度化为角度：①512rad π-；②193rad π【知识点】弧度制和角度制换算公式的应用 【数学思想】【解题过程】'511230112.5112.51808rad rad ππ︒=︒=⨯= 7315(315)1804551807512121919180114033rad radrad rad ππππππππ-︒=-⨯=-⎛⎫-=-⨯︒=-︒⎪⎝⎭⎛⎫=⨯︒=︒ ⎪⎝⎭【思路点拨】公式 1801 1=180rad rad ππ⎛⎫︒=︒ ⎪⎝⎭的应用 【答案】58rad π，74rad π-，75-︒，1140︒同类训练 将下列各角度与弧度互化'9(1)67.5; (2)15730; (3); (4)34π︒-︒ 【知识点】弧度制和角度制换算公式的应用 【数学思想】【解题过程】367.567.51808rad rad ππ︒=⨯= '715730157.5(157.5)1808991804054418054033()rad rad rad πππππππ-︒=-︒=-⨯=-⎛⎫=⨯︒=︒ ⎪⎝⎭⎛⎫=⨯︒=︒ ⎪⎝⎭【思路点拨】公式 1801 1=180rad rad ππ⎛⎫︒=︒ ⎪⎝⎭的应用 【答案】38rad π；78rad π-；405︒；540()π︒例3 半径为1cm ，圆心角为56π的弧长为（ ）A ．23cmB ．23cm πC ．56cmD ．56cm π【知识点】弧度制在弧长公式的应用 【数学思想】【解题过程】55166l aR cm ππ==⨯= 【思路点拨】公式l R α=的应用 【答案】D同类训练 若2rad 的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是（ ）A ．tan 2B ．1sin1 C ．21sin 1 D ．2cos1【知识点】圆中垂径定理的应用和三角函数以及弧度在扇形面积公式中的应用 【数学思想】【解题过程】半径1sin1R =，22112221sin1S R α⎛⎫==⨯⨯ ⎪⎝⎭【思路点拨】公式212S R α=的应用●活动5 强化提升、灵活应用例4 与1°角终边相同的角的集合为（ ）A ．360,180k k Z παα⎧⎫=⋅︒+∈⎨⎬⎩⎭B ．360,180k k Z παα⎧⎫=⋅︒+∈⎨⎬︒⎩⎭C ．2,180k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．2,180k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬︒⎩⎭【知识点】终边相同角的表示，同一个式子中角度制和弧度制不能混用 【数学思想】 【解题过程】1180π︒=Q ，3602π︒=，13602180k k ππ∴︒+︒=+【思路点拨】将角度制转换为弧度制:1180π︒=【答案】C同类训练 第四象限角的集合可写为（ ）A ．360360,2k k k Z πααα⎧⎫=⋅︒-<<⋅︒∈⎨⎬⎩⎭B ．{}2902,k k k Z ααπαπ=-︒<<∈C ．,2k k k Z πααπαπ⎧⎫=-<<∈⎨⎬⎩⎭D ．22,2k k k Z πααπαπ⎧⎫=-<<∈⎨⎬⎩⎭【知识点】第四象限角的表示，同一个式子中角度制和弧度制不能混用 【数学思想】【解题过程】{}36090360,k k k Z ααα=⋅︒-︒<<⋅︒∈Q 3602,π︒=902π︒=22,2k k k Z πααπαπ⎧⎫∴=-<<∈⎨⎬⎩⎭【思路点拨】将角度制转换为弧度制:1180π︒=【答案】D 3.课堂总结（1）长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写).（2）弧度制和角度制之间的转换公式为：1801rad 1rad=180ππ⎛⎫︒=︒ ⎪⎝⎭（3）弧度制在扇形相关公式中的应用为：l R α= ；212S R α=； 12S lR =.重难点归纳（1）生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程． （2）当圆心角一定时，它所对的弧长与半径的比值是一定的，与所取圆的半径大小无关.（3）同一个式子中角度制和弧度制不能混用.（4）在选择弧长和扇形的面积公式时，一定要理清楚题目所给圆心角是弧度制还是角度制. （三）课后作业 基础型 自主突破1．在半径不相等的两个圆内，1弧度的圆心角（ ） A ．所对的弧长相等 B ．所对的弦长相等C ．所对的弦长等于各自的半径D ．所对的弧长等于各自的半径 【知识点】弧长的定义【解题过程】长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角 【思路点拨】1弧度的圆心角所对的弧长始终等于半径 【答案】D2．把'5615︒化为弧度是（ ）A ．58πB ．54πC ．56πD ．516π 【知识点】角度制和弧度制的相互换算 【解题过程】'5561556.2556.2518016rad rad ππ︒=︒=⨯= 【思路点拨】先将角度的单位化为“°”【答案】D3．若=4α-，则α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【知识点】了解每个象限角对应的范围【数学思想】数形结合 【解题过程】342ππ-<-<- 【思路点拨】342ππ-<-<- 【答案】B4．若角α与β的终边互相垂直，则α与β的关系是（ ）A ．2πβα=+B ．2πβα=±C ．2()2k k Z πβαπ=++∈ D ．2()2k k Z πβαπ=±+∈ 【知识点】对于角的表示【数学思想】【解题过程】B 选项忽略了终边相同应该加上圆周角2π的整数倍【思路点拨】角α与β的终边互相垂直的本质是将角α的终边绕着原点顺时针或者逆时针旋转90°，即2π±，但要注意终于边相同要加圆周角2π的整数倍【答案】D5．已知一扇形的圆心角3πα=，扇形所在圆的半径10R =，则这个扇形的弧长为____________，该扇形对应的弓形的面积为_________．【知识点】弧度制在弧长公式中的应用【数学思想】转化的思想，将弓形的面积转化为扇形的面积—三角形的面积 【解题过程】1010,33l R ππα==⨯= 110150==10102323S S S ππ-⨯⨯-⨯⨯=-弓扇三角形 【思路点拨】弓形的面积=扇形的面积—三角形的面积【答案】103π；503π- 6．在单位圆上有两个动点P Q ，，它们同时从(10)A ，出发沿圆周运动，已知点P 按逆时针方向每秒转3π，点Q 按顺时针方向每秒转6π，试求它们从出发后到第五次相遇时各自走过的弧长．【知识点】行程问题中的相遇问题【数学思想】数形结合 【解题过程】102036t t t πππ+=∴=Q 201020203363P Q l l ππππ∴=⨯==⨯=， 【思路点拨】第五次相遇即两点的路程和恰好是圆周2π的5倍 【答案】201033P Q l l ππ==， 能力型 师生共研7．已知扇形的周长为6cm ，面积为22cm 则扇形的圆心角的弧度数为（ ）A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4 【知识点】12,2C l R S lR =+= 【数学思想】【解题过程】12,2C l R S lR =+=Q 26121(62)2142222l R R R R R l l lR +=⎧==⎧⎧⎪∴∴⋅-⋅=∴⎨⎨⎨===⎩⎩⎪⎩或 =4(=1απα∴>舍）或【思路点拨】一定要考虑最终求出的圆心角的弧度数不能超过π【答案】A8．集合{}{}2(21),,44P k k k Z Q απαπαα=≤≤+∈=-≤≤，则P Q =I （ ）A ．∅B ．{}40ααπαπ-≤≤-≤≤或C ．{}44αα-≤≤D ．{}0ααπ≤≤【知识点】交集的定义【数学思想】【解题过程】P 集合中的k 分别取0或1-，0απ≤≤或2παπ-≤≤-分别和Q 取公共部分【思路点拨】要找出P Q ，P 集合中的k 只能取0和1-【答案】B探究型 多维突破9．圆弧长等于其圆内接正方形的边长，则其所对的圆心角的弧度数为______ 【知识点】rl =α的应用 【数学思想】数形结合【解题过程】α==【思路点拨】有图有真相自助餐1．35π弧度化为角度是（ ） A ．110°B ．160°C ．108°D ．218°【知识点】弧度制化为角度制的应用【数学思想】 【解题过程】33180()10855πππ=⨯︒=︒ 【思路点拨】1801=rad π⎛⎫︒ ⎪⎝⎭【答案】C2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为（ ）A ．143π B ．143π- C ．718π D ．718π- 【知识点】分针每走一分钟，走过的弧度数为30π 【解题过程】14140303ππ⨯= 【思路点拨】分针走60分钟走过的弧度数为2π【答案】B3．角的集合2A x x k k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，与集合22B x x k k Z ππ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭，之间的关系为_____________【知识点】根据集合看角的终边所处的位置【解题过程】A ，B 集合表示的都是终边在y 轴上的角【思路点拨】注意“k π+”和“2k π+”的区别【答案】A B =4．若角α的终边与角6π的终边关于直线y x =对称，且(44)αππ∈-，，则α=_______【知识点】轴对称的特征以及终边相等的角的特征【数学思想】数形结合【解题过程】在0~2π中与角6π的终边关于直线y x =对称的是3π 在2~4ππ中与角3π终边相同的角是7233πππ+=在2~0π-中与角3π终边相同的角是5233πππ-=- 在4~2ππ--中与角3π终边相同的角是11433πππ-=- 【思路点拨】(44)αππ∈-，有4个圆周【答案】7511,,,3333ππππ-- 5．如图，圆上一点A 以逆时针方向作匀速圆周运动，已知点A 每分钟转过θ角(0)θπ<≤，经过2分钟到达第三象限，经过14分钟回到原来位置，求θ的大小． xyO A【知识点】象限角的范围【数学思想】【解题过程】14=2,,7k k k Z k Z πθπθ∈∴=∈Q3332224274721,24454577k k k Z k πππππππθθππθθ<<∴<<<<∴<<∈∴=∴==Q 又即或或 【思路点拨】回到原位，即所走的角度是圆周2π的整数倍 【答案】4577ππθθ==或 6．在扇形AOB 中，90AOB ∠=°，弧AB 的长为l ，求此扇形内切圆的面积．【知识点】勾股定理，弧长公式l R α=以及圆的面积公式2S R π=【数学思想】数形结合【解题过程】设扇形AOB 所在圆半径为R ，此扇形内切圆的半径为r ，则有R r =，π2AB l R ==·．由此可得r =．则内切圆的面积22πS r ==． 【思路点拨】将内切圆的半径r 用弧长l 表示2。
人教新课标版数学高一必修4导学案 弧度制
1．1.2弧度制导学案周；使用时间17 年月日；使用班级；姓名（配合配套课件、限时练使用效果更佳）【学习目标】1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．【检查预习】预习相应课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答.【自主学习】知识点一角度制与弧度制思考1在初中学过的角度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少度？思考2长度等于半径长的弧所对的圆心角有多大？是否有其他单位制来度量该角？1．角度制和弧度制2.角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r.知识点二角度制与弧度制的换算思考角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？1．角度与弧度的互化2.知识点三 扇形的弧长及面积公式思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？【合作探究】类型一 角度与弧度的互化 例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.类型二 利用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角： (1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4.类型三 扇形的弧长及面积公式的应用例3 已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．【学生展示】探究点一、二【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题 【当堂检测】1.时针经过一小时，时针转过了( ) A.π6 rad B ．－π6 radC.π12rad D ．－π12rad2．若θ＝－5，则角θ的终边在( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限D ．第一象限3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或44．已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角分别为____________． 5．将－1 485°化成2k π＋α，(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式为________．【小结作业】小结：作业：本节限时练。
高中数学 弧度制学案 新人教A版必修4 学案
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数学必修4学案第一章1.弧度制
一、学习目标：
1、知识与技能：从明确引入弧度制的必要性，理解新单位制意义.
2、过程与方法：学生经历熟练掌握角度制与弧度制的换算.
3、情感态度与价值观：学生经历数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性.
二、重点与难点：
重点：理解弧度制引入的必要性，掌握定义，能熟练地进行角度制与弧度制的互化。
难点：用弧度制定义的理解。
三、课前学习：
在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？从中能发现什么？
四、课中学习：
对课前的学习，进一步分析：
1、复习角度制的定义：
2、正确理解弧度制定义的含义。
3、掌握角度制与弧度制的互换方法。
4、分析例题1，总结方法
5、总结弧度制的作用：
8、第9页，练习1-6,
五、课后反思
对这一节的收获是什么？有什么问题期待解决？
六、作业设计：
P10习题A组4-10
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人教版高中数学高一A版必修4课堂导学案 弧度制
课堂导学 三点剖析 1.理解弧度的意义，角度与弧度的换算 【例1】设角α1=-570°，2α=750°，β1=35π弧度，β2=π37-弧度. （1）将α1，2α用弧度表示出来，并指出它们各自所在的象限； （2）将β1、β2用角度制表示出来，并在-720°—0°之间找出与它们有相同终边的所有角. 思路分析：涉及到角度与弧度的互化关系和终边相同的角的概念，其基本公式360°=2π弧度在解题中起关键作用.解：(1)∵180°=π弧度,∴-570°=-ππ619180570-=. ∴α1=-2×2π+65π, 同理2α=2×2π+6π, ∴α1在第二象限，2α在第一象限. （2）∵5353=π×180°=108°, 设θ=k·360°+β1(k ∈Z ),由-720°≤θ＜0°,∴-720°≤k·360°+108°＜0°,∴k=-2或k=-1，∴在-720°—0°之间与β1有相同终边的角是-612°和-252°.同理 β2=-360°-60°=-420°，且在-720°—0°间与β2有相同的终边的角是-420°和-60°.温馨提示迅速进行角度与弧度的互化，准确判明角所在的象限是学习三角函数知识的必备基本功.若需要在某一指定范围内求具有某种特性的角，通常可象上例一样化为解不等式去求对应的k 值.2.弧度制的概念及与角度的关系【例2】一条弦的长度等于半径r,求：(1)这条弦所对的劣弧长；（2）这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.思路分析：由已知可知圆心角的大小为3π，然后用公式求解. 解：（1）如下图所示，半径为r 的⊙O 中弦AB=r,则△OAB 为等边三角形，所以∠AOB=3π，则弦AB 所对的劣弧长为3πr.(2)∵S △AOB =21×|AB|×|OD|=21×r×43232r r = S 扇形OAB =21lr=21×3r π×r=62r π ∴S 弓形=S 扇形OAB -S △AOB =6πr 2-243r =(6π-43)r 2. 3.弧度制表示角及终边相同的角【例3】 集合M={x|x=2πk +4π,k ∈Z },N={x|x=4πk +2π,k ∈Z },则有（ ） A.M=N B.M N C.M N D.M∩N=∅思路分析：本题是考查用弧度制表示角的集合之间的关系.可以用取特殊值法分别找到集合M 、N 所表示的角的终边的位置.解：对集合M 中的整数k 依次取0,1,2,3,得角4π,43π,45π,47π.于是集合M 中的角与上面4个角的终边相同，如图（1）所示.同理，集合N 中的角与0,4π,2π,43π,π,45π,23π,47π,2π角的终边相同，如下图（2）所示.故M N.∴选C.答案：C温馨提示在今后表示角时，常常使用弧度制.但要注意，弧度制与角度制不能混用，例如α=2kπ+30°(k ∈Z),β=k·360°+π23（k ∈Z ）都不正确. 各个击破类题演练1（1）把112°30′化成弧度（精确到0.001）；（2）把112°30′化成弧度（用π表示）；（3）把-125π化成度. 解：(1)①n=112°30′,π=3.141 6; ②n=6030112=112.5 ③α=180π≈0.017 5④α=na=1.968 75α≈1.969 rad (2)112°30′=(2252)°=2252×180π=85π (3)-125π=-(125π×π180)°=-75° 变式提升1判断下列各角所在的象限:（1）9；（2）-4；（3）51999π-. 解：（1）因为9=2π+(9-2π),而2π＜9-2π＜π，所以9为第二象限角. (2)因为-4=-2π+（2π-4），而2π＜2π-4＜π,所以-4为第二象限角. (3) 51999π-=-200×2π+π5,所以51999π-为第一象限角. 温馨提示(1)角度数的单位不能省略、弧度数的单位可以省略.(2)一般情况下没有精确度要求，保留π即可，不必将π化成小数.(3)判断α所在的象限时，一般是把α表示成α=2kπ+α′,k ∈Z ,α′∈［0,2π)的形式，根据α和α′角终边相同作出判断.类题演练2一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？解：设扇形的圆心角是θ弧度，则扇形的弧长是rθ，扇形的周长是2r+rθ.由题意可知2r+rθ=πr.∴θ=π-2（弧度）.扇形的面积为S=21r 2θ=21r 2(π-2). 变式提升2一扇形周长为20 cm ，问扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？ 解：设扇形中心角为θ，半径为r ，则 2r+θr=20,θ=r r 220-. S 扇形=21θr 2 =12·rr 220-·r 2 =(10-r)r=10r-r 2.当r=)1(210-⨯- =5时，S 扇形最大=25，此时θ=2.答：扇形的半径为5 cm ，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大，最大值为25 cm 2.类题演练3已知α角的终边与3π的终边相同，在［0，2π）内哪些角的终边与3α角的终边相同？ 解：∵α角的终边与3π的终边相同， ∴α=2kπ+3π(k ∈Z ). ∴3α=2k 3π+π9(k ∈Z ). 又0≤3α＜2π, ∴0≤32πk +9π＜2π(k ∈Z ). 当k=0、1、2时，有3α=9π、97π、913π，它们满足条件. ∴9π、97π、913π为所求. 变式提升3若α是第四象限角，则π-α是（ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解法1：∵α为第四象限角.∴2kπ-2π＜α＜2kπ,k ∈Z . ∴-2kπ＜-α＜-2kπ+2π,k ∈Z . ∴-2kπ+π＜π-α＜-2kπ+23π,k ∈Z . ∴π-α是第三象限角.解法2：∵角α与角-α的终边关于x 轴对称，又∵角α的终边在第四象限， ∴角-α终边在第一象限，又角-α与π-α的终边关于原点对称，∴角π-α的终边在第三象限.答案：C。
高中人教版数学必修4《弧度制》精品导学案(含答案)
1.1.2 弧度制课前预习学案一、预习目标：1.了解弧度制的表示方法；2.知道弧长公式和扇形面积公式.二、预习内容初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：1、角的弧度制是如何引入的？2、为什么要引入弧度制？好处是什么？3、弧度是如何定义的？4、角度制与弧度制的区别与联系?三、提出疑惑1、平角、周角的弧度数？2、角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？课内探究学案一、学习目标1.理解弧度制的意义；2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；3.记住公式||lα=（l为以.α作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆r半径）；4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。
二、重点、难点弧度与角度之间的换算；弧长公式、扇形面积公式的应用。
三、学习过程（一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？（二）为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。
<我们规定> 叫做1弧度的角，用符号表示，读作。
r的弧所对的圆心角分练习：圆的半径为r，圆弧长为2r、3r、2别为多少？<思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？由上可知：如果半径为r的园的圆心角α所对的弧长为l,那么，角α的弧度数的绝对值是：，α的正负由决定。
正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。
<说明>：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。
例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是 4||4l rr rπαπ-=-=-=-． （三）角度与弧度的换算3602π=rad 180π=rad 1801π=︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180(π5718'≈归纳：把角从弧度化为度的方法是： 把角从度化为弧度的方法是：例1、把下列各角从度化为弧度：(1)0252 （2）0/1115 (3) 030 (4)'3067︒变式练习：把下列各角从度化为弧度：(1)22 º30′ （2）—210º (3)1200º例2、把下列各角从弧度化为度： （1）35π (2) 3.5 (3) 2 (4)4π变式练习：把下列各角从弧度化为度： （1）12π （2）—34π （3）103π（四）弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.（五） 弧度下的弧长公式和扇形面积公式弧长公式：||l r α=⋅因为||l rα=（其中l 表示α所对的弧长），所以，弧长公式为||l r α=⋅．扇形面积公式：．说明：以上公式中的α必须为弧度单位．例3、知扇形的周长为8cm ，圆心角α为2rad ，，求该扇形的面积。
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1.3 弧度制 导学案
一、课前自主导学
【学习目标】
1.理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；
2.掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式 ； 【重点、难点】
弧度与角度的换算及弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式 【温故而知新】 1.复习填空
（1）角度制规定，将一个圆周分成
360 份，每一份叫做 1 度，故一周等于
360 度，平角等于
180 度，直角等于
90度.
（2）所有与角终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合=S
{}Z k k ∈⋅+=,360
αβ .
【教材助读】
1.认真阅读课本P9—11，理解弧度制，并思考完成以下问题 (1)角的弧度制是如何引入的？
(2)为什么要引入弧度制？好处是什么？ (3)弧度是如何定义的？ (4)规定：周角
360
1
为1度的角； π21 叫做1弧度的角.
(5)角度制与弧度制相互换算： 1弧度=
π
180 （度）；1度=
180π
（弧度） (6)弧长公式： r r
n l ⋅==
απ180
(7)扇形面积公式： lr r r n S 2
1
2136022=⋅==
απ 【预习自测】
1.将下列表格中特殊角的度数转化为弧度制
2、下列说法中，叙述错误的是( D ) A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B ．1度的角是周角的
360
1，1弧度的角是周角的π21
C ．根据弧度的定义， 180一定等于π弧度
D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关 3、求半径为2，圆心角为2所对应的弧长和扇形的面积。
【我的疑惑】
二、课堂互动探究
【例1】1.把下列各角从度化为弧度：
（1） 030 （2）075 （3）0210- （4）︒-135 （5）0'
2230
解：(1)0
306180π
π
=
⨯
(2)12518075ππ
=
⨯
(3)6
7180210ππ-=⨯-
(4)47180315ππ=⨯- (5)8
1803022'
ππ=⨯- 2.把下列各角从弧度化为角度： （1）
12π （2）25π （3）5.3 （4）12π- （5）10
3π
解：（1）
1518012
=⨯
π
π
（2）
7218052=⨯ππ （3）
π
π6301805.3=
⨯ （4）
216018012-=⨯
-π
π （5）
54180103=⨯π
π
【例2】将下列各角化成)20,(2πααπ<≤∈+Z k k 的形式,并确定其所在的象限．
319)
1(π
； 631)2(π-． 解: (1),672319πππ+= 而
67π是第三象限的角,319π
∴是第三象限角. (2) 6
31,656631π
πππ-
∴+-=- 是第二象限角. 【变式训练1】用弧度制分别表示终边在x 轴的非正、非负半轴，y 轴的非正、非负半轴，y 轴上的角的集合。
【例3】在平面直角坐标系中，3
2π
α-=，角β的终边与角α的终边分别有如下关系时，求角β.
（1）若α，β两角的终边关于x 轴对称； 3
2πβ=
（2）若α，β两角的终边关于y 轴对称； 3
π
β-
=
（3）若α，β两角的终边关于原点对称； 3
π
β=
（4）若α，β两角的终边关于0=+y x 对称； 6
5πβ-= 【例4】（1）已知半径为mm 120的圆上，有一条弧的长为mm 144,求该弧所对的圆心角的
弧度数的绝对值。
（2）知扇形的周长为cm 8，圆心角α为rad 2，，求该扇形的面积。
解：（1）5
6
120144===
r l α（弧度） （2）由题意有：82=⋅+r r α即)(2822cm r r r =∴=+ 则：)(4222
1
21222cm r S =⨯⨯=⋅=α
【我的收获】
三、课后知能检测
1.
5
3π
弧度化为角度是( C ) A ．110° B ．160° C ．108° D ．218° 2. －105°转化为弧度数为( B ) A.712π B ．－712π C ．－76π D ．－73
π 3.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( B ) A.143π B ．－143π C.718π D ．－718π
4.若圆的半径变成原来的2倍，扇形的弧长也增加到原来的2倍，则( B ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变
C ．扇形的面积增加到原来的2倍
D ．扇形的圆心角增加到原来的2倍 5.半径为1 cm ，中心角为150°的角所对的弧长为( D ) A.23cm B.2π3cm C.56cm D.5π6cm 6.在半径为1的圆中，面积为1的扇形的圆心角的弧度数为( B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
7．若α＝3，则角α的终边所在的象限为__第二象限______．
8．若角α的终边在如右图所示的阴影部分，则用弧度制表示角α的取值范围是_{α|2k π＋2π3≤α≤2k π＋7π
6
，k ∈Z } 9．在与2 010°角终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数是___－5π
6_____．
10.已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求： (1)弧AB 的长；(2)扇形所含弓形的面积．
解：(1)∵120°＝120180π＝23π，∴l ＝|α|·r ＝6×2
3
π＝4π，
∴AB 的长为4π.
(2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝1
2
×4π×6＝12π，
如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于D 点，
于是有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝1
2
×2×6cos 30°×3＝
9 3.
∴弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3.
∴弓形的面积是12π－9 3. 11.已知α＝－800°.
(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)求角γ，使γ与角α的终边相同，且γ∈(－π2，π
2)．
解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝14
9
π.
∴α＝－800°＝14
9
π＋(－3)×2π.
∵角α与14
9
π终边相同，∴角α是第四象限角．
（2）∵与角α终边相同的角可写为2k π＋14
9π，k ∈Z 的形式，
由γ与α终边相同，∴γ＝2k π＋14π
9
，k ∈Z .
又∵γ∈(－π2，π2)，∴－π2<2k π＋14π9<π
2，k ∈Z ，解得k ＝－1，
∴γ＝－2π＋14π9＝－4π
9
.
12.已知扇形的周长为20 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S .
∵l ＝20－2r
∴S ＝12lr ＝12
(20－2r )· r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2
＋25(0＜r ＜10)．
∴当半径r ＝5 cm 时，，扇形的面积最大，为25 cm 2
.
此时α＝l r ＝20－2×5
5
＝2(rad)．
∴当它的半径为5 cm ，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大，最大值为25 cm 2
.
13. 如图，圆心在原点，半径为R 的圆交x 轴正半轴于A 点，P ，Q 是圆上的两个动点，它
们同时从点A 出发沿圆周做匀速运动．OP 逆时针方向每秒转π3，OQ 顺时针方向每秒转π
6
.
试求P ，Q 出发后每五次相遇时各自转过的弧度数及各自走过的弧长．
解：易知，动点P ，Q 由第k 次相遇到第k ＋1次相遇所走过的弧长之和恰好等于 圆的一个周长R π2，因此当它们第五次相遇时走过的弧长之和为R π10.
设动点P ，Q 自A 点出发到第五次相遇走过的时间为t 秒，走过的弧长分别为1l ，
2l ，则1l ＝π3tR ，l 2＝|－π6|·tR ＝π
6
tR .
因此1l ＋2l ＝π3tR ＋π
6tR ＝R π10，
所以t ＝10πR
π3＋π6
R ＝20(秒)，
1l ＝203R π，2l ＝10
3
R π.
由此可知，P 转过的弧度数为20π3，Q 转过的弧度数为10π3，P ，Q 走过的弧长分别为
20π
3
R 和10π3R .。