北京市石景山区2020届高三一模考试数学理试题Word版含答案
2020-2021学年北京市石景山区高三统一测试(一模)数学(理)试题及答案解析
高考数学模拟试题本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合}0|{≥=x x A ，且AB B =，则集合B 可能是（ ）A ．}2,1{B ．}1|{≤x xC ．}1,0,1{-D ． R 2．在极坐标系中，圆2ρ=被直线sin 1ρθ= 截得的弦长为（ ）AB ．2 C． D ．33．执行如右图的程序框图，若输出的48S =， 则输入k 的值可以为 （ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．104．已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．二项式621(2)x x +的展开式中，常数项的值是（ ） A ．240 B ．60 C ．192 D ．1806．等差数列{}n a 中，11,m k a a k m==()m k ≠，则该数列前mk 项之和为（ ） A ．12mk - B ．2mkC ．12mk +D ．12mk + 7．在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）② ③ ④A ．①和②B ．③和①C ．③和④D ．④和② 8．如果双曲线的离心率215+=e ，则称此双曲线为黄金双曲线．有以下几个命题： ①双曲线115222=--y x 是黄金双曲线； ②双曲线115222=+-x y 是黄金双曲线；③在双曲线22221x y a b-=中， F 1为左焦点， A 2为右顶点， B 1（0，b ），若∠F 1 B 1 A 290=︒,则该双曲线是黄金双曲线；④在双曲线22221x y a b-=中，过焦点F 2作实轴的垂线交双曲线于M 、N 两点，O 为坐标原点，若∠MON 120=︒，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确命题的序号为（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．1z i =+，z 为复数z 的共轭复数，则1z zz ⋅+-=___________．10．如图，AB 是半径等于3的圆O 的直径， CD 是圆O 的弦，BA 、DC 的延长线交于点P ，若PA ＝4，PC ＝5，则∠CBD ＝ ___________．11．设不等式组1,0,20y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一点M ，则点M 落在圆221x y +=内的概率为___________．12．如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量,,a b c 满足,(,)c xa yb x y R =+∈，则=xy． 13．若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的 课程中恰有2门相同的选法．．有 种（用数字作答）． 14．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，都存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①1{(,)|}M x y y x==； ②2{(,)|log }M x y y x ==； ③{(,)|2}xM x y y e ==-； ④{(,)|sin 1}M x y y x ==+． 其中是“垂直对点集”的序号是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+.(Ⅰ)求函数()f α的值域；(Ⅱ)设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()f C =，且a =1c =，求b .16．（本小题满分13分）a ．b ．c ．ACDE FB下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市3月某时刻实时监测到的数据：(Ⅰ) 求x 的值，（只需写出结果）；(Ⅱ)环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 17．（本小题满分14分）如图，多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，正方形ADEF 的边长为2，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB ＝2，CD ＝4． (Ⅰ)求证：BC ⊥平面BDE ；(Ⅱ)试在平面CDE 上确定点P ，使点P 到 直线DC 、DE 的距离相等，且AP 与平面BEF 所成的角等于30°．18．（本小题满分13分）已知函数1()ln ,()(0)af x x a xg x a x+=-=->． (Ⅰ)若1a =，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若存在0[1,]x e ∈，使得00()()f x g x <成立，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>离心率2e =，短轴长为(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ) 如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别 与y 轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过 定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．20．（本小题满分13分） 设数列{}n a 满足： ①11a =；②所有项*N a n ∈；③ <<<<<=+1211n n a a a a ．设集合{},*m n A n|a m m N =≤∈，将集合m A 中的元素的最大值记为m b ，即m b 是数列{}n a 中满足不等式n a m ≤的所有项的项数的最大值．我们称数列{}n b 为数{}n a 的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．(Ⅰ)若数列{}n a 的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{}n a ； (Ⅱ)设13n n a -=，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 的前30项之和；(Ⅲ)若数列{}n a 的前n 项和2n S n c =+（其中c 常数），求数列{}n a 的伴随数列{}m b 的前m 项和m T ．石景山区高三统一测试数 学（理）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．三、解答题共6小题，共80分．15．（本小题共13分）（Ⅰ）由题意，得12sin ,sin()cos 2y y πααα==+=， ………………3分所以()sin cos)4f παααα=+=+， ………………5分因为(0,)2πα∈，所以3(,)444πππα+∈，故()f α∈. ………7分 （Ⅱ）因为()sin()4f C C π=+= (0,)2C π∈，所以4C π=， ………………9分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 即2122b =+-，解得1b =. ……………13分 16．（本小题共13分）（Ⅰ）x =82 ………………2分D 东部<D 西部 ………………4分 （Ⅱ）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个．根据题意ξ的所有可能取值为：1,2,3． ………………5分1242361(1)5C C P C ξ===,2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===． …11分ξ∴的分布列为：所以1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………13分 17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，ED ⊥AB ．所以ED ⊥平面ABCD ………………1分 又因为BC ⊂平面ABCD ，所以ED ⊥BC ． ………………2分 在直角梯形ABCD 中,由已知可得BC 2=8，BD 2=8，CD 2=16，所以，CD 2=BC 2+BD 2，所以，BD ⊥BC ……………4分又因为EDBD=D ，所以BC ⊥平面BDE ． ……………5分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D -xyz ……6分 则()()()()(0,0,02,0,0,0,0,2,2,2,0,D A E B F ()()2,0,0,2,2,2EF EB ==-…………7分设()0,,P y z ，则y z =令(),,n x y z '''=是平面BEF 的一个法向量，则0n EF n Eb ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以202220x x y z '=⎧⎨'''+-=⎩，令1y '=，得011x y z '=⎧⎪'=⎨⎪'=⎩所以()0,1,1n = …………9分因为AP 与平面BEF 所成的角等于30， 所以AP 与(0,1,1)n =所成的角为60或120所以1cos ,24AP n AP n AP n⋅<>===⋅………11分所以22440(*)y z yz ++-=又因为y z =，所以y z =或y z =-………12分 当y z =-时，（*）式无解 当y z =时，解得：3y z ==±………13分所以，P 或(0,P --. ………14分 18.（本小题共13分）（Ⅰ）()ln f x x a x =-的定义域为(0,)+∞． ………1分 当1a =时，1()x f x x-'=． ………2分 由()0f x '=，解得1x =.当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减； 当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增；所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，极小值为(1)1ln11f =-=； ……..4分 （Ⅱ）1()()()ln ah x f x g x x a x x+=-=-+，其定义域为(0,)+∞． 又222(1)(1)[(1)]()x ax a x x a h x x x--++-+'==． …………..6分 由0a >可得10a +>，在(0,1)x a ∈+上()0h x '<，在(1,)x a ∈++∞上()0h x '>， 所以()h x 的递减区间为(0,1)a +；递增区间为(1,)a ++∞． ……..……7分 （III ）若在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，即在[1,]e 上存在一点0x ，使得0()0h x <．即()h x 在[1,]e 上的最小值小于零． …8分 ①当1a e +≥，即1a e ≥-时，由（II ）可知()h x 在[1,]e 上单调递减． 故()h x 在[1,]e 上的最小值为()h e ，由1()0a h e e a e+=+-<，可得211e a e +>-． ………9分因为2111e e e +>--．所以211e a e +>-； ………10分 ②当11a e <+<，即01a e <<-时，由（II ）可知()h x 在(1,1)+a 上单调递减，在(1,)a e +上单调递增．()h x 在[1,]e 上最小值为(1)2ln(1)h a +a a a +=-+． ………11分因为0ln(1)1a <+<，所以0ln(1)a a a <+<．2ln(1)2+a a a ∴-+>，即(1)2h a +>不满足题意，舍去． …………12分综上所述:a ∈21(,)1e e ++∞-． ………13分19．（本小题共14分） （Ⅰ）由短轴长为，得b =………………1分由c e a ===224,2a b ==． ∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ………………4分 （Ⅱ）以MN为直径的圆过定点(F ． ………………5分证明如下：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=， ∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +……………6分 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………7分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分 【或通过求得圆心00202(0,)4x y O x '-，204||4y r x =-得到圆的方程】 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ∵220042x y -=-，∴220220x x y y y ++-=， ………………12分令0y =，则220x -=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． …………14分 20．（本小题共13分）（Ⅰ）1,4,7 ……………………3分 （Ⅱ）由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m N ≤+∈当*12,m m N ≤≤∈时，121b b ==……………………4分 当*38,m m N ≤≤∈时，3482b b b ==⋅⋅⋅==……………………5分 当*∈≤≤N m m ,269时，326109==⋅⋅⋅==b b b ……………………6分 当*∈≤≤N m m ,3027时，430292827====b b b b ……………………7分∴844418362213021=⨯+⨯+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++b b b……………………8分（III ）∵1111a S c ==+= ∴0c = 当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-∴ *21()n a n n N =-∈ ……………………9分 由21n a n m =-≤得：*1()2m n m N +≤∈ 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -====⋅⋅⋅==∈当*21()m t t N =-∈时：221(1)12(1)(1)24m t T t t t m +-=⋅⋅-+==+……………………11分 当*2()m t t N =∈时：2112(2)24m t T t t t m m +=⋅⋅=+=+……………………12分 所以2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩……………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。
2020年北京石景山区高三一模数学试卷
（ 2 ） 证明：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值．
（ 3 ） 延长线段 与椭圆 交于点 ，若四边形
为平行四边形，求此时直线 的斜率．
20. 已知函数
，
．
（1） 若
恒成立，求实数 的取值范围．
（2） 当
时，过 上一点
作 的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．
21. 有限个元素组成的集合
，
，记集合 中的元素个数为
15. 石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由 名一线中小学教师组成的支教团队，记者
采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于
小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称
只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立．由此队
2. C
解析:
复数
，
对应的点分别为 （ ， ）， （ ， ），
∵ 为线段 的中点，
∴ （ ， ），
则点 对立的复数是
．
故选 ．
3. D 4. A
解析: 方法一： 将圆方程化为标准方程 圆心到直线的距离为
，解得圆心为
，半径为
，
，解得
．
方法二： 由 所以圆心为 因为圆 所以
配方得
，半径 ，
的圆心到直线
，解得
．
， 的距离为 ，
故选 ．
5. A
解析:
∵将 位志愿者分配到 个不同场馆服务，
每个场馆至少 人，
∴先从 个人中选出 个作为一个元素看成整体，
再把它同另外两个元素在三个位置全排列，共有
2020年北京市石景山区高考数学一模试卷 (含答案解析)
2020年北京市石景山区高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合P=[−1,3]，Q={x||x−1|≤1}，则P∩Q=()A. [−1,0]B. [0,2]C. [−2,3]D. [−1,3]2.在复平面上，复数3−2i对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是()A. y=x3B. y=ln|x|C. y=x−2D. y=|log2x|4.直线x−y+1=0与圆x2+y2=1的关系是()A. 相切B. 相交但不过圆心C. 相离D. 相交且过圆心5.将4名志愿者全部分配到三个不同的场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的分配方案总数为()A. 18B. 24C. 36D. 726.如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为()A. 2B. 83C. 6D. 87.设函数的最小正周期为π，且f(−x)=f(x)，则()A. f(x)在(0,π2)单调递减 B. f(x)在(π4,3π4)单调递减C. f(x)在(0,π2)单调递增 D. f(x)在(π4,3π4)单调递增8.已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S3+S5>2S4”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件9.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=e x(x+1)，给出下列命题：①当x>0时，f(x)=e x(1−x)；②f(x)>0的解集为(−1,0)∪(1,+∞)；③函数f(x)有2个零点；④∀x1，x2∈R，都有|f(x1)−f(x2)|<2，其中正确命题的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 410.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E,F分别是棱BC,CC1的中点，P是侧面BCC1B1内(含边界)一点，若，则线段A1P长度的取值范围是()A. (√22,√52) B. [3√24,√52] C. [1,√52] D. [0,√52]二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知向量a⃗=(1,√3)，向量a⃗,c⃗的夹角是π3，a⃗·c⃗=2，则|c⃗|等于________．12.已知首项为1的正项等比数列{a n}的前n项和为S n，a1+a3=10，则S4a4−2=_______．13.由命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a,+∞)，则实数a=______ ．14.M是抛物线y2=8x上一点，F是抛物线的焦点，若|FM|=8，则∠xFM的大小为______．15.某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共用17名，无论是否把我算在内，下面是否都是对的，在这些医务人员中：医生不少于护士，女护士多于男医生，男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形且AD=2AB，侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD是正三角形，E是AD中点．(1)证明：CE⊥平面PBE；(2)求二面角D−PC−B的余弦值．17.天津高考数学试卷共有8道选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，评分标准规定：“选对得5分，不选或选错得0分”.某考生已确定有4道题答案是正确的，其余题中：有两道只能分别判断2个选项是错误的，有一道仅能判断1个选项是错误的，还有一道因不理解题意只好乱猜，求：(Ⅰ)该考生得40分的概率；(Ⅱ)写出该考生所得分数孝的分布列，并求：①该考生得多少分的可能性最大？②该考生所得分数ξ的数学期望⋅18.已知，△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①A=π3；②cosB=−23；③a=7；④b=3．(Ⅰ)请指出这三个条件，并说明理由；(Ⅱ)求△ABC的面积．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线y=kx+√3与椭圆C交于M，N两点，若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k的值．20.已知函数f(x)=x−lnx−1．(Ⅰ)求函数f(x)在x=2处的切线方程；(Ⅱ)若x∈(0,+∞)时，f(x)≥ax−2恒成立，求实数a的取值范围．21.已知首项为3的等比数列{a n}的前n项和为S n(n∈N∗)，且−2S2，S3，4S4成等差数列．2(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对于数列{A n}，若存在一个区间M，均有A i∈M，(i=1,2，3…)，则称M为数列{A n}的“容，试求数列{b n}的“容值区间”长度的最小值．值区间”.设b n=S n+1Sn-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵集合P=[−1,3]，Q={x||x−1|≤1}={x|0≤x≤2}，∵P∩Q={x|0≤x≤2}=[0,2]．故选：B．先分别求出集合P，Q，由此能求出P∩Q．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：D解析：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．直接写出复数3−2i对应的点的坐标得答案．解：在复平面上，复数3−2i对应的点的坐标为(3,−2)，位于第四象限．故选：D．3.答案：B解析：本题考查函数的单调性与单调区间，函数的奇偶性，指数函数及其性质，对数函数及其性质．掌握奇偶函数的判定方法及常见函数的性质是解题的关键．解：A.y=x3为奇函数，故A错；B.y=ln|x|既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增，故B正确；C.y=x−2在(0,+∞)上是减函数，故C错；D.y=|log2x|，函数的定义域为(0,+∞)，不关于原点对称，不是偶函数，故D错．故选B．4.答案：B解析：本题主要考查了直线与圆位置关系，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道容易题．解：由圆的方程x2+y2=1，得圆心坐标为(0,0)，圆的半径r=1，圆心到直线x−y+1=0的距离为d=√1+1=√22<1=r，且d≠0所以直线与圆相交且不过圆心，故选B．5.答案：C解析：本题考查排列、组合的运用，为基础题．根据题意，分2步进行分析，先将4人分为2、1、1的三组，再将分好的3组对应3个场馆，由排列、组合公式可得每一步的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．解：首先把4名志愿者分为3组，则有一个组有2人，共有C42种分法，再把分好的3组分到不同的3个场馆，则有A33种分法，所以共有C42A33=36种分法．故选C．6.答案：A解析：本题考查几何体的体积、几何体的三视图，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键.直观图如图所示，底面为梯形，面积为(1+2)×22=3，四棱锥的高为2，即可求出几何体的体积．解：直观图为四棱锥F−ABHI，如图所示：=3，四棱锥的高为2，底面为梯形，面积为(1+2)×22×3×2=2．∴几何体的体积为13故选A．7.答案：A解析：本题主要考查了辅助角公式以及三角函数的图象和性质，属于基础题．首先根据辅助角将其变成，根据函数周期求出ω，再结合其为偶函数，，再利用余弦函数的图象解答．求出φ=π4解：f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0)，且函数f(x)的最小正周期为π，=π，解得ω=2，∴2πω，∵f(−x)=f(x)，，即，，∴取k=0，可得，则f(x)=√2cos2x．)单调递减，则f(x)在(0,π2故选A．8.答案：C解析：【试题解析】本题考查充要性，以及数列，属于基础题．化简求解S3+S5>2S4，再判断充要性．解：∵等差数列{a n}的公差为d，S3+S5>2S4，∴S3+S4+a5>S3+a4+S4，∴a5−a4=d>0，则“d>0”是“S3+S5>2S4”的充要条件，故选：C．9.答案：B解析：解：设x>0，则−x<0，故f(−x)=e−x(−x+1)，又f(x)是定义在R上的奇函数，故f(−x)=−f(x)=e−x(−x+1)，所以f(x)=e−x(x−1)，故①错误；因为当x<0时，由f(x)=e x(x+1)>0，解得−1<x<0，当x>0时，由f(x)=e−x(x−1)>0，解得x>1，故f(x)>0的解集为(−1,0)∪(1,+∞)，故②正确；令e x(x+1)=0可解得x=−1，当e−x(x−1)=0时，可解得x=1，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(0)=0，故函数的零点由3个，故③错误；④∀x1，x2∈R，都有|f(x1)−f(x2)|<2，正确，因为当x>0时f(x)=e−x(x−1)，图象过点(1,0)，又f′(x)=e−x(2−x)，可知当0<x<2时，f′(x)>0，当x>2时，，f′(x)<0，故函数在x=2处取到极大值f(2)=1，e2且当x趋向于0时，函数值趋向于−1，当当x趋向于+∞时，函数值趋向于0，由奇函数的图象关于原点对称可作出函数f(x)的图象，可得函数−1<f(x)<1，故有|f(x1)−f(x2)|<2成立．综上可得正确的命题为②④，故选B逐个验证：①为函数对称区间的解析式的求解；②为不等式的求解，分段来解，然后去并集即可；③涉及函数的零点，分段来解即可，注意原点；④实际上是求函数的取值范围，综合利用导数和极值以及特殊点，画出函数的图象可得范围．本题考查命题真假的判断，涉及函数性质的综合应用，属中档题．10.答案：B解析：本题考查点、线、面间的距离问题，线面平行，属中档题．分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN//平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，由此可解．解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN//BC1，EF//BC1，∴MN//EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN//平面AEF；∵AA1//NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N//AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N//平面AEF，又A1N∩MN=N，∴平面A1MN//平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P//平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，A1M=√A1B12+B1M2=√52，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=√52，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，A1O=√A1M2−OM2=3√24，A1M=A1N=√52，所以线段A1P长度的取值范围是[3√24,√5 2].故选B．11.答案：2解析：本题考查向量的坐标以及向量数量积的定义，由向量的坐标可求的向量的模再由向量数量积的定义即可得出答案．解：∵|a⃗|=√12+(√3)2=2又∵a⃗⋅c⃗=|a⃗|⋅|c⃗|⋅cosπ3=2即：2×|c⃗|×12=2∴|c⃗|=2故答案为2.12.答案：85解析：本题考查等比数列通项和求和，属于基础题．先求出公比q，再利用等比数列通项和求和化简求解即可．解：等比数列{a n}中，a1=1，a1+a3=10，由题意设公比为q(q>0)，故1+q²=10，解得q=3(q=−3舍去)，故S4a4−2=1−341−333−2=85．故答案为85．13.答案：1解析：解：存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，∴其否命题为真命题，即是说“∀x∈R，都有x2+2x+m>0”，∴△=4−4m<0，∴m>1，m的取值范围为(1,+∞)．则a=1存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，其否命题为真命题，即是说“∀x∈R，都有x2+2x+m> 0”，根据一元二次不等式解的讨论，可知△=4−4m<0，所以m>1，则a=1．考察了四种命题间的关系和二次函数的性质，属于常规题型．14.答案：60°解析：解：M是抛物线y2=8x上一点，F是抛物线的焦点，若|FM|=8，可得M(6,4√3).|FM|=8，则∠xFM的大小，可得cos∠xFM=6−28=12，则∠xFM的大小为：60°．故答案为：60°．求出抛物线中的M的坐标，然后求解∠xFM的大小．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．15.答案：女医生解析：解：设男医生人数为a，女医生人数为b，女护士人数为c，男护士人数为d，则有：①a+b≥c+d②c>a，③a>b④d≥2得出：c>a>b>d≥2，假设：d=2，仅有：a=5，b=4，c=6，d=2时符合条件，又因为使abcd中一个数减一人符合条件，只有b−1符合，即女医生．假设：d>2则没有能满足条件的情况．综上，这位说话的人是女医生．故答案为：女医生．设男医生人数为a，女医生人数为b，女护士人数为c，男护士人数为d，根据已知构造不等式组，推理可得结论．本题考查逻辑推理，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．16.答案：解：(1)证明：∵侧面△PAD 是正三角形，E 是AD 中点，∴PE ⊥AD ，∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD =AD ， ∴PE ⊥底面ABCD ，∴PE ⊥CE ， ∵底面ABCD 是矩形且AD =2AB ， ∴AE =DE =AB =CD ， ∴∠AEB =∠DEC =45°， ∴∠AEB +∠DEC =90°， ∴∠BEC =90°，∴BE ⊥CE ， ∵PE ∩BE =E ，∴CE ⊥平面PBE ．(2)解：以E 为原点，以ED ，EP 所在直线，AD 的垂直平分线为x ，z ，y 轴，建立空间直角坐标系， 设AD =2AB =2，则点D(1,0，0)，C(1,1，0)，P(0,0，√3)，B(−1,1，0)， ∴PD⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−√3)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−√3)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−√3)， 设平面PCB 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y −√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y −√3z =0，取z =1，得m ⃗⃗⃗ =(0,√3,1)， 设平面PCD 的法向量n ⃗ =(a,b ，c)， 则{n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −√3c =0n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b −√3c =0，取c =1，得n ⃗ =(√3,0,1)，设二面角D −PC −B 的平面角为θ，则θ为钝角， ∴二面角D −PC −B 的余弦值为：cosθ=−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−14．解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出PE ⊥AD ，从而PE ⊥底面ABCD ，PE ⊥CE ，AE =DE =AB =CD ，BE ⊥CE ，由此能证明CE ⊥平面PBE ．(2)以E 为原点，以ED ，EP 所在直线，AD 的垂直平分线为x ，z ，y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D −PC −B 的余弦值．17.答案：解：(Ⅰ)设选对一道“可判断2个选项是错误的”题目为事件A ，“可判断1个选项是错误的”该题选对为事件B ， “不能理解题意的”该题选对为事件C ， 则P(A)=12，P(B)=13，P(C)=14， ∴该考生得40分的概率：P =[P(A)]2⋅P(B)⋅P(C)=14×13×14=148．(Ⅱ)①该考生所得分数ξ=20，25，30，35，40， P(ξ=20)=[P(A .)]2P(B .)P(C .)=14×23×34=648，P(ξ=25)=C 21P(A)P(A .)P(B .)P(C .)+[P(A .)]2P(B)P(C .)+[P(A .)]2P(B .)P(C .)=2×(12)2×23×34+14×13×34+14×23×14=1748，P(ξ=30)=[P(A)]2P(B .)P(C .)+C 21P(A .)P(A)P(B .)P(C)+[P(A .)]2P(B)P(C)=(12)2×23×34+2×12×12×23×14+2×12×12×13×34+(12)2×13×14=1748，P(ξ=35)=C 21P(A)P(A .)P(B)P(C)+[P(A)]2P(B .)P(C .)=2×12×12×13×14+(12)2×13×34+(12)2×23×14=748， P(ξ=40)=1−648−1748−1748−748=148，∴该考生得25分或30分的可能性最大． ②Eξ=20×648+25×1748+30×1748+35×748+40×148=33512．解析：(Ⅰ)设选对一道“可判断2个选项是错误的”题目为事件A ，“可判断1个选项是错误的”该题选对为事件B ，“不能理解题意的”该题选对为事件C ，则P(A)=12，P(B)=13，P(C)=14，由此能求出该考生得40分的概率．(Ⅱ)①该考生所得分数ξ=20，25，30，35，40，分别求出相应的概率，由此能求出该考生得25分或30分的可能性最大． ②由①能求出Eξ．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题．18.答案：(Ⅰ)解：△ABC 同时满足①，③，④.理由如下：若△ABC 同时满足①，②．因为cosB =−23<−12，且B ∈(0,π)，所以B >23π． 所以A +B >π，矛盾．所以△ABC 只能同时满足③，④．因为a >b ，所以A >B ，故△ABC 不满足②． 故△ABC 满足①，③，④．(Ⅱ)解：因为a 2=b 2+c 2−2bccosA ， 所以72=32+c 2−2×3×c ×12． 解得c =8，或c =−5(舍)．所以△ABC 的面积S =12bcsinA =6√3．解析：(Ⅰ)判断三角形的满足的条件，推出结果即可； (Ⅱ)利用余弦定理求出c ，利用面积公式求解△ABC 的面积．本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查分析问题解决问题的能力．19.答案：解：(Ⅰ)由题意得a =2，e =c a =√32，所以c =√3．因为a 2=b 2+c 2， 所以b =1， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)若四边形PAMN 是平行四边形， 则 PA//MN ，且|PA|=|MN|． 所以 直线PA 的方程为y =k(x −2)， 所以 P(3,k)，|PA| =√k 2+1． 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2). 由{y =kx +√3x 2+4y 2=4得 (4k 2+1)x 2+8√3kx +8=0， 由Δ>0，得 k 2>12，且x 1+x 2=−8√3k4k 2+1，x 1x 2=84k 2+1．所以|MN|=√(k 2+1)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√(k 2+1)64k 2−32(4k 2+1)2．因为|PA|=|MN|， 所以 √(k 2+1)64k 2−32(4k 2+1)2=√k 2+1．整理得 16k 4−56k 2+33=0，解得 k =±√32，或 k =±√112．经检验均符合Δ>0，但k =− √32时不满足PAMN 是平行四边形，舍去．所以 k =√32，或 k =±√112．解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．(Ⅰ)利用已知条件求出a ，b ，即可得到椭圆的方程；(Ⅱ)直线PA 的方程为y =k(x −2)，得到 P(3,k)，求出|PA| =√k 2+1，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式转化求解即可．20.答案：解：(Ⅰ)由题意得，f′(x)=1−1x ，∴f′(2)=1−12=12，f(2)=1−ln2，∴函数f(x)在x =2处的切线方程为：y −(1−ln2)=12(x −2) 即x −2y −ln4=0(Ⅱ)当x ∈(0,+∞)时，f(x)≥ax −2恒成立， ∴a ≤1+1x −lnx x ，令g(x)=1+1x −lnx x，则g′(x)=lnx−2x 2=0，即x =e 2，可得g(x)在(0,e 2)上单调递减，在(e 2,+∞)上单调递增， ∴g(x)min =g(e 2)=1−1e 2，即a ≤1−1e 2故实数a 的取值范围是(−∞,1−1e 2]．解析：(Ⅰ)求切线方程，关键是求斜率，也就是求f(x)在x =2时的导数，然后利用点斜式，问题得以解决；(Ⅱ)求参数的取值范围，转化为a ≤1+1x −lnx x，也就是求最值的问题，问题得以解决．本题综合考察函数的单调性、导数的应用以及恒成立问题，中等题．21.答案：解：(1)设等比数列{a n }的公比为q(q ≠0)，由−2S 2，S 3，4S 4成等差数列， 知2S 3=−2S 2+4S 4，即a 1+a 2+a 3=−(a 1+a 2)+2(a 1+a 2+a 3+a 4)， ∴a 4a 3=−12=q ，又a 1=32，∴a n =32⋅(−12)n−1；(2)由(1)可知S n =1−(−12)n ，当n 为偶数时，S n =1−(12)n ，易知S n 随n 增大而增大， ∴S n ∈[34,1)，此时b n =S n +1S n∈(2,2512]，当n 为奇数时，S n =1+(12)n ，易知S n 随n 增大而减小， ∴S n ∈(1,32]，此时b n =S n +1S n∈(2,136]，又136>2512，∴b n ∈(2,136]，故数列{b n }的“容值区间”长度的最小值为16．解析：本题考查等差数列的中项的性质和等比数列的通项公式，考查新定义的理解和运用，以及分类讨论的思想方法，注意运用单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)设等比数列{a n }的公比为q(q ≠0)，运用等差数列的中项的性质，以及等比数列的通项公式，解方程可得q ，即可得到所求通项公式；(2)运用等比数列的求和公式，讨论n 为偶数，n 为奇数，结合数列的单调性，以及“容值区间”的定义，即可得到所求区间的最小值．。
北京市2020年石景山区高三统一测试数学附答案与评分标准
17.（本小题 14 分）
2020 年，北京将实行新的高考方案.新方案规定：语文、数学和英语是考生的必考科 目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考 科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确 定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考 科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．
1 两名男生选考案相同
18.（本小题 14 分）
已知锐角 △ABC ，同时满足下列四个条件中的三个：
2020 年石景山区高三统一测试
数学
本试卷共 6 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟．请务必将答案答在答题卡上， 在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项．
f
(
x)
1 x
0
x 0 ；② f (x) x2 ；③ f (x) | x2 1| ； x0
具有性质 P 的函数的个数为
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
高三数学试题第 2页（共 6页）
10. 点 M ，N 分别是棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中棱 BC,CC1 的中点，动点
1. 设集合 P {1，2，3，4} ， Q {x || x | 3, x R} ，则 P Q 等于
A. 1
B. 1, 2，3
C. 3，4
D. 3, 2, 1, 0,1, 2,3
2. 在复平面内，复数 5+6i , 3-2i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是
北京市石景山区高三一模考试数学(理)试题 及答案
北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|2x﹣1＜0}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．D．{x|0≤x＜}2．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值是（）A．4 B．6 C．10 D．123．直线被圆ρ=1所截得的弦长为（）A．1 B．C．2 D．4 4．设θ∈R，“sinθ=cosθ“是“cos2θ=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．我国南宋数学家秦九韶（约公元1202﹣1261年）给出了求n（n∈N*）次多项式a n x n+a n﹣1x n﹣1+…+a1x+a0，当x=x0时的值的一种简捷算法．该算法被后人命名为“秦九韶算法”，例如，可将3次多项式改写为a3x3+a2x2+a1x+a0=（（a3x+a2）x+a1）x+a0，然后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（）的值．A．x4+x3+2x2+3x+4 B．x4+2x3+3x2+4x+5C．x3+x2+2x+3 D．x3+2x2+3x+46．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．B．C．D．57．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若•=，则•的值是（）A．2﹣B．1 C．D．28．如图，将正三角形ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成n个边长为1的小正三角形．若m：n=47：25，则三角形ABC的边长是（）A．10 B．11 C．12 D．13二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．若复数是纯虚数，则实数a的值为．=﹣2（n=1，2，3，…），那么a8等于．10．在数列{a n}中，a1=1，a n•a n+111．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右顶点重合，则p= ．12．如果将函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称，那么φ=．13．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是．（用数字作答）14．已知．①当a=1时，f（x）=3，则x= ；②当a≤﹣1时，若f（x）=3有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a= ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的三条对边，且c2=a2+b2﹣ab．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求cosA+cosB的最大值．16．（12分）某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间（0，50]内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按（0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，整理如下图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（图乙）中a的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为，，试比较与的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）从甲种酸奶日销售量在区间（0，20]的数据样本中抽取3个，记在（0，10]内的数据个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）估计1200个日销售量数据中，数据在区间（0，10]中的个数．17．（14分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E为PC中点，点F在PB上，且PB⊥平面DEF，连接BD，BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅲ）已知AD=2，，求二面角F﹣AD﹣B的余弦值．18．（14分）已知函数f（x）=1nx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x＞0时，；（Ⅲ）若x﹣1＞a1nx对任意x＞1恒成立，求实数a的最大值．19．（14分）已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）过点（0，1），且离心率为． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线l ：y=+m 与椭圆E 交于A 、C 两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B ，N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．20．（14分）已知集合R n ={X |X=（x 1，x 2，…，x n ），x i ∈{0，1}，i=1，2，…，n }（n ≥2）．对于A=（a 1，a 2，…，a n ）∈R n ，B=（b 1，b 2，…，b n ）∈R n ，定义A 与B 之间的距离为d （A ，B ）=|a 1﹣b 1|+|a 2﹣b 2|+…|a n ﹣b n |=．（Ⅰ）写出R 2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）若集合M 满足：M ⊆R 3，且任意两元素间的距离均为2，求集合M 中元素个数的最大值并写出此时的集合M ；（Ⅲ）设集合P ⊆R n ，P 中有m （m ≥2）个元素，记P 中所有两元素间的距离的平均值为，证明．北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|2x﹣1＜0}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．D．{x|0≤x＜}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|2x﹣1＜0}={x|x＜），B={x|0≤x≤1}∴A∩B={x|0≤x＜}故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值是（）A．4 B．6 C．10 D．12【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为10．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3．直线被圆ρ=1所截得的弦长为（）A．1 B．C．2 D．4【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】首先把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出弦长．【解答】解：圆ρ=1的极坐标方程转化成直角坐标方程为：x2+y2=1．直线转化成直角坐标方程为：x=．所以：圆心到直线x=的距离为．则：弦长l=2=．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离及勾股定理的应用．4．设θ∈R，“sinθ=cosθ“是“cos2θ=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可．【解答】解：若sinθ=cosθ，则θ=kπ+，（k∈z），故2θ=2kπ+，故cos2θ=0，是充分条件，若cos2θ=0，则2θ=kπ+，θ=+，（k∈z），不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是一道基础题．5．我国南宋数学家秦九韶（约公元1202﹣1261年）给出了求n（n∈N*）次多项式a n x n+a n﹣x n﹣1+…+a1x+a0，当x=x0时的值的一种简捷算法．该算法被后人命名为“秦九韶算法”，例如，1可将3次多项式改写为a3x3+a2x2+a1x+a0=（（a3x+a2）x+a1）x+a0，然后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（）的值．A．x4+x3+2x2+3x+4 B．x4+2x3+3x2+4x+5C．x3+x2+2x+3 D．x3+2x2+3x+4【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的k，S的值，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=0，S=1，k=1，S=x+1，满足条件k＜4，执行循环体，k=2，S=（x+1）x+2=x2+x+2满足条件k＜4，执行循环体，k=3，S=（x2+x+2）x+3=x3+x2+2x+3满足条件k＜4，执行循环体，k=4，S=（x3+x2+2x+3）x+4=x4+x3+2x2+3x+4不满足条件k＜4，退出循环，输出能求得多项式x4+x3+2x2+3x+4的值．故选：A．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图应用问题，是基础题目．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．B．C．D．5【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是侧棱垂直于底面的三棱锥，画出图形，结合图形求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的三棱锥，且侧棱PC⊥底面ABC；=×2×2=2，所以，S△ABCS△PAC=S△PBC=×1=，S△PAB=×2=；所以，该三棱锥的表面积为S=2+2×+=2+2．故选B．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题时应根据三视图画出几何图形，求出各个面的面积和，是基础题7．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若•=，则•的值是（）A．2﹣B．1 C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，可分别以边AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，然后可得出点A，B，E的坐标，并设F（x，2），根据即可求出x值，从而得出F点的坐标，从而求出的值．【解答】解：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2）；∴；∴x=1；∴F（1，2），；∴．故选C．【点评】考查通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，向量数量积的坐标运算．8．如图，将正三角形ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成n个边长为1的小正三角形．若m：n=47：25，则三角形ABC的边长是（）A．10 B．11 C．12 D．13【考点】三角形中的几何计算．【分析】设正△ABC的边长为x，根据等边三角形的高为边长的倍，求出正△ABC的面积，再根据菱形的性质结合图形表示出菱形的两对角线，然后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半表示出菱形的面积，然后根据所分成的小正三角形的个数的比等于面积的比列式计算即可得解．【解答】解：设正△ABC的边长为x，则高为x，S△ABC=x•x=x2，∵所分成的都是正三角形，∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为x﹣，较短的对角线为（x﹣）×=﹣1；∴黑色菱形的面积S′=（x﹣）（﹣1）=（x﹣2）2，若m：n=47：25，则=，解可得x=12或x=（舍），所以，△ABC的边长是12；故选：C．【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握有一个角等于60°的菱形的两条对角线的关系是解题的关键，本题难点在于根据三角形的面积与菱形的面积列出方程．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．若复数是纯虚数，则实数a的值为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则求得z的值，再根据它是纯虚数，求得实数a 的值．【解答】解：∵复数==为纯虚数，故有a﹣1=0，且a+1≠0，解得a=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．10．在数列{a n}中，a1=1，a n•a n+1=﹣2（n=1，2，3，…），那么a8等于﹣2．【考点】数列递推式．【分析】由已知求得a2，且得到a n﹣1•a n=﹣2（n≥2），与原递推式两边作比可得（n ≥2），即数列{a n}中的所有偶数项相等，由此求得a8的值．【解答】解：由a1=1，a n•a n+1=﹣2，得a2=﹣2，•a n=﹣2（n≥2），又a n﹣1∴（n≥2），∴数列{a n}中的所有偶数项相等，则a8=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，是中档题．11．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右顶点重合，则p=4．【考点】抛物线的标准方程．【分析】确定双曲线﹣y2=1的右顶点坐标，从而可得抛物线y2=2px的焦点坐标，由此可得结论．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右顶点坐标为（2，0），∵抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右顶点重合，∴=2，∴p=4．故答案为：4．【点评】本题考查双曲线、抛物线的几何性质，确定双曲线的右焦点坐标是关键．12．如果将函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称，那么φ=﹣．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的值．【解答】解：将函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的图象向左平移个单位，所得到y=sin[3（x+）+φ]=sin（3x++φ）的图象，若所得图象关于原点对称，则+φ=kπ，k∈Z，又﹣π＜φ＜0，∴φ=﹣，故答案为：．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．13．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是36．（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】本题是一个分步计数问题，先选两个元素作为一个元素，问题变为三个元素在三个位置全排列，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，4位同学分到三个不同的班级，每个班级至少有一位同学，先选两个人作为一个整体，问题变为三个元素在三个位置全排列，共有C42A33=36种结果，故答案为：36．【点评】本题考查分步计数原理，是一个基础题，也是一个易错题，因为如果先排三个人，再排最后一个人，则会出现重复现象，注意不重不漏．14．已知．①当a=1时，f（x）=3，则x=4；②当a≤﹣1时，若f（x）=3有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a=．【考点】分段函数的应用．【分析】①当a=1时，f（x）=3，利用分段函数建立方程，即可求出x的值；②由f（x）=3，求得x=﹣1，或x=4，根据x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列，可得a≤﹣1，f（﹣6）=3，由此求得a的值．【解答】解：①x≥1，x﹣=3，可得x=4；x＜1，2﹣（x+）=3，即x2+x+4=0无解，故x=4；②由于当x＞a时，解方程f（x）=3，可得x﹣=3，求得x=﹣1，或x=4．∵x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列，∴x2=﹣1，x3=4，x1 =﹣6，∴a≤﹣1．∴x＜a时，方程f（x）=3只能有一个实数根为﹣6，再根据f（﹣6）=2a+6+=3，求得a=，满足a≤﹣1．故答案为4，．【点评】本题主要考查分段函数，利用函数的单调性求函数的最值，等差数列的性质，体现了分类讨论以及转化的数学思想，属于中档题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（12分）（2017•石景山区一模）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的三条对边，且c2=a2+b2﹣ab．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求cosA+cosB的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）根据余弦定理直接求解角C的大小．（Ⅱ）根据三角形内角和定理消去B，转化为三角函数的问题求解最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）c2=a2+b2﹣ab．即ab=a2+b2﹣c2由余弦定理：cosC==，∵0＜C＜π，∴C=．（Ⅱ）∵A+B+C=π，C=．∴B=，且A∈（0，）．那么：cosA+cosB=cosA+cos（）=sin（），∵A∈（0，）．∴，故得当=时，cosA+cosB取得最大值为1．【点评】本题主要考查了余弦定理的运用和三角函数的有界限求解最值问题．属于基础题．16．（12分）（2017•石景山区一模）某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间（0，50]内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按（0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，整理如下图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（图乙）中a的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为，，试比较与的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）从甲种酸奶日销售量在区间（0，20]的数据样本中抽取3个，记在（0，10]内的数据个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）估计1200个日销售量数据中，数据在区间（0，10]中的个数．【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率和为1，列方程求出a的值，根据图甲的频率分布比图乙分散些，它的方差较大，得出；（Ⅱ）根据X的所有可能取值，计算对应的概率，写出分布列；（Ⅲ）由甲种和乙种酸奶的日销售量数据在区间（0，10]内的频率和频数，计算在1200个数据中应抽取的数据个数．【解答】解：（Ⅰ）由图（乙）知，10（a+0.02+0.03+0.025+0.015）=1，解得a=0.01，根据图甲的频率分布比图乙分散些，它的方差较大，∴；（Ⅱ）X的所有可能取值1，2，3；则，，，其分布列如下：（Ⅲ）由图（甲）知，甲种酸奶的数据共抽取2+3+4+5+6=20个，其中有4个数据在区间（0，10]内，又因为分层抽样共抽取了1200×5%=60个数据，乙种酸奶的数据共抽取60﹣20=40个，由（Ⅰ）知，乙种酸奶的日销售量数据在区间（0，10]内的频率为0.1，故乙种酸奶的日销售量数据在区间（0，10]内有40×0.1=4个．故抽取的60个数据，共有4+4=8个数据在区间（0，10]内．所以，在1200个数据中，在区间（0，10]内的数据有160个．【点评】本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列问题，是综合题．17．（14分）（2017•石景山区一模）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E为PC中点，点F在PB上，且PB⊥平面DEF，连接BD，BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅲ）已知AD=2，，求二面角F﹣AD﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出BC⊥PD．BC⊥DC，从而BC⊥面PDC，进而DE⊥BC，再求出DE⊥PC，由此能证明DE⊥面PBC．（Ⅱ）四面体DBEF是鳖臑，，．（Ⅲ）以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣AD﹣B的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）因为PD⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，所以BC⊥PD．因为四边形ABCD为矩形，所以BC⊥DC．PD∩DC=D，所以BC⊥面PDC．DE⊂面PDC，DE⊥BC，在△PDC中，PD=DC，E为PC中点，所以DE⊥PC．又PC∩BC=C，所以DE⊥面PBC．解：（Ⅱ）四面体DBEF是鳖臑，其中，．（Ⅲ）以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则D（0，0，0），A（2，0，0），，，．设，则．DF⊥PB得，解得．所以．设平面FDA的法向量，则，令z=1得x=0，y=﹣3．平面FDA的法向量，平面BDA的法向量，，．二面角F﹣AD﹣B的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．（14分）（2017•石景山区一模）已知函数f（x）=1nx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x＞0时，；（Ⅲ）若x﹣1＞a1nx对任意x＞1恒成立，求实数a的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出导函数，求出斜率f'（1）=1，然后求解切线方程．（Ⅱ）化简=．求出，令，解得x=1．判断函数的单调性求出极小值，推出结果．（Ⅲ）设h （x ）=x ﹣1﹣a1nx （x ≥1），依题意，对于任意x ＞1，h （x ）＞0恒成立．，a ≤1时，a ＞1时，判断函数的单调性，求解最值推出结论即可．【解答】解：（Ⅰ），f'（1）=1，又f （1）=0，所以切线方程为y=x ﹣1；（Ⅱ）证明：由题意知x ＞0，令=．令，解得x=1．易知当x ＞1时，g'（x ）＞0，易知当0＜x ＜1时，g'（x ）＜0． 即g （x ）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增， 所以g （x ）min =g （1）=0，g （x ）≥g （1）=0即，即x ＞0时，；（Ⅲ）设h （x ）=x ﹣1﹣a1nx （x ≥1）， 依题意，对于任意x ＞1，h （x ）＞0恒成立．，a ≤1时，h'（x ）＞0，h （x ）在[1，+∞）上单调递增，当x ＞1时，h （x ）＞h （1）=0，满足题意．a ＞1时，随x 变化，h'（x ），h （x ）的变化情况如下表：h （x ）在（1，a ）上单调递减，所以g （a ）＜g （1）=0 即当a ＞1时，总存在g （a ）＜0，不合题意． 综上所述，实数a 的最大值为1．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．19．（14分）（2017•石景山区一模）已知椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）过点（0，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）设直线l ：y=+m 与椭圆E 交于A 、C 两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B ，N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意可知b=1，e===，即可求得a 的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得丨AC 丨及丨MN 丨，丨BN丨2=丨AC 丨2+丨MN 丨2=，即可求得B ，N 两点间距离是否为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的焦点在x 轴上，过点（0，1），则b=1，由椭圆的离心率e===，则a=2，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段中点M （x 0，y 0），则，整理得：x 2+2mx +2m 2﹣2=0，由△=（2m ）2﹣4（2m 2﹣2）=8﹣4m 2＞0，解得：﹣＜m ＜，则x 1+x 2=﹣2m ，x 1x 2=2m 2﹣2，则M （﹣m ， m ），丨AC 丨=•=•=由l 与x 轴的交点N （﹣2m ，0），则丨MN 丨==，∴丨BN 丨2=丨BM 丨2+丨MN 丨2=丨AC 丨2+丨MN 丨2=，∴B ，N 两点间距离是否为定值．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．20．（14分）（2017•石景山区一模）已知集合R n={X|X=（x1，x2，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）．对于A=（a1，a2，…，a n）∈R n，B=（b1，b2，…，b n）∈R n，定义A与B之间的距离为d（A，B）=|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…|a n﹣b n|=．（Ⅰ）写出R2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）若集合M满足：M⊆R3，且任意两元素间的距离均为2，求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M；（Ⅲ）设集合P⊆R n，P中有m（m≥2）个元素，记P中所有两元素间的距离的平均值为，证明．【考点】函数的最值及其几何意义；集合的包含关系判断及应用．【分析】（Ⅰ）根据集合的定义，写出R2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，即可求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M；（Ⅲ），其中表示P中所有两个元素间距离的总和，根据，即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）R2={（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}，A，B∈R2，d（A，B）=2．max（Ⅱ）R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，所以M={（0，0，0），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}或M={（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0），（1，1，1）}，集合M中元素个数最大值为4．（Ⅲ），其中表示P中所有两个元素间距离的总和．设P中所有元素的第i个位置的数字中共有t i个1，m﹣t i个0，则由于（i=1，2，…，n）所以从而【点评】本题考查新定义，考查函数的最值，考查集合知识，难度大．。
2020年石景山区高三数学一模试题(含答案)
21.（本小题 14 分）
有限个元素组成的集合 A {a1, a2 ,, an } ， n N* ，记集合 A 中的元素个数为
card (A) ，即 card (A) n .定义 A A {x y | x A, y A} ，集合 A A 中的元素个数
记为 card (A+A) ,当 card (A+A)= n(n 1) 时，称集合 A 具有性质 P . 2
（Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有 8 人选择物理、化学和生物；有 4 人选择
物理、化学和历史；有 2 人选择物理、化学和地理；有 2 人选择物理、化学和政
治.
……9 分
的可能取值为 0，1.
P(
0)
C81C81
C
41C
1 4
C126
C
21C
1 2
7 10
P(
1)
C82
C
2 4
C
2 2
A. 2 B. 4 C. 5 D. 8
7.
函数
f
x
cos x
6
（
0 ）的最小正周期为
，则
f
x
满足
A.
在
0,
3
上单调递增
B. 图象关于直线 x 对称 6
C.
f
3
3 2
D. 当 x 5 时有最小值 1 12
8. 设{an}是等差数列，其前 n 项和为 Sn . 则“ S1+S3 2S2 ”是“{an}为递增数列”的
1 两名男生选考方案相同
18.（本小题 14 分）
已知锐角 △ABC ，同时满足下列四个条件中的三个：
① A = p ② a = 13 ③ c = 15 ④ sin C = 1
北京市石景山区2020年高考一模 数学试卷 (解析版)
2020年北京市石景山区高考数学一模试卷一、选择题（共10小题）1．设集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{x|x|≤3，x∈R}，则P∩Q等于（）A．{1}B．{1，2，3}C．{3，4}D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}2．在复平面内，复数5+6i，3﹣2i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C 对应的复数是（）A．8+4i B．2+8i C．4+2i D．1+4i3．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝﹣x2+2B．y＝2﹣x C．y＝lnx D．4．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心到直线ax+y﹣1＝0的距离为1，则a＝（）A．B．C．D．25．将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（）种A．36B．64C．72D．816．如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．2B．4C．6D．87．函数（ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）满足（）A．在上单调递增B．图象关于直线对称C．D．当时有最小值﹣18．设{a n}是等差数列，其前n项和为S n．则“S1+S3＞2S2”是“{a n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．设f（x）是定义在R上的函数，若存在两个不等实数x1，x2∈R，使得，则称函数f（x）具有性质P，那么下列函数：①；②；f（x）＝x2③；f（x）＝|x2﹣1|，具有性质P的函数的个数为（）A．0B．1C．2D．310．点M，N分别是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱BD，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动．若PA1∥面AMN，则PA1的长度范围是（）A．B．C．D．[2，3]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知向量（，），（，），则∠ABC＝．12．已知各项为正数的等比数列{a n}中，a1＝1，其前n项和为，且，则S4＝．13．能够说明“设a，b是任意非零实数，若“a＞b，则”是假命题的一组整数a，b 的值依次为．14．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M 为FN的中点，则|FN|＝．15．石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立．由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是、．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，AB＝PB＝2，AC∩BD＝O．（Ⅰ）求证：BO⊥面PAC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．17．2020年，北京将实行新的高考方案，新方案规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定：否则，称该学生选考方案待确定，例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定．“物理、化学和生物”为其选考方案．某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选性别考科目人数如表：性别选考方案确定情况物理化学生物历史地理政治男生选考方案确定的有16人16168422选考方案待确定的有12人860200女生选考方案确定的有20人610201626选考方案待确定的有12人2810002（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（Ⅱ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，求恰好有一人选“物理、化学、生物”的概率；（Ⅲ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名．设随机变量，求ξ的分布列和期望．18．已知锐角△ABC，同时满足下列四个条件中的三个：①②a＝13③c＝15④（Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求△ABC的面积．19．已知椭圆的右焦点为F（1，0），离心率为．直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（Ⅲ）延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l 的斜率．20．已知函数，f（x）＝x2（x＞0），g（x）＝alnx（a＞0）．（Ⅰ）若f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，过f（x）上一点（1，1）作g（x）的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．21．有限个元素组成的集合A＝{a1，a2，…，a n}，n∈N*，记集合A中的元素个数为card（A），即card（A）＝n．定义A+A＝{x+y|x∈A，y∈A}，集合A+A中的元素个数记为card（A+A），当card（A+A）时，称集合A具有性质P．（Ⅰ）A＝{1，4，7}，B＝{2，4，8}，判断集合A，B是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）设集合A＝{a1，a2，a3，2020}．a1＜a2＜a3＜2020，且a i∈N*（i＝1，2，3），若集合A具有性质P，求a1+a2+a3的最大值；（Ⅲ）设集合A＝{a1，a2，…，a n}，其中数列{a n}为等比数列，a i＞0（i＝1，2，…，n）且公比为有理数，判断集合A是否具有性质P并说明理由．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{x|x|≤3，x∈R}，则P∩Q等于（）A．{1}B．{1，2，3}C．{3，4}D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}【分析】利用不等式的解法、集合运算性质即可得出．解：Q＝{x||x|≤3，x∈R}＝[﹣3，3]，P＝{1，2，3，4}，则P∩Q＝{1，2，3}．故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、集合运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．在复平面内，复数5+6i，3﹣2i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C 对应的复数是（）A．8+4i B．2+8i C．4+2i D．1+4i【分析】写出复数所对应点的坐标，有中点坐标公式求出C的坐标，则答案可求．解：因为复数5+6i，3﹣2i对应的点分别为A（5，6），B（3，﹣2）．且C为线段AB的中点，所以C（4，2）．则点C对应的复数是4+2i．故选：C．【点评】本题考查了中点坐标公式，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝﹣x2+2B．y＝2﹣x C．y＝lnx D．【分析】结合函数奇偶性及单调性的定义对各选项进行检验即可判断．解：y＝2﹣x2为偶函数，不符合题意；y＝2﹣x，y＝lnx为非奇非偶函数，不符合题意；结合反比例函数的性质可知，y为奇函数，且在（0，+∞）上单调递减．故选：D．【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础试题．4．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心到直线ax+y﹣1＝0的距离为1，则a＝（）A．B．C．D．2【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1＝0的距离d1，解得：a，故选：A．【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．5．将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（）种A．36B．64C．72D．81【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将4位志愿者分为3组，②，将分好的三组全排列，对应3个不同场馆服务，由分步计算原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，将4位志愿者分为3组，有C42＝6种情况，②，将分好的三组全排列，对应3个不同场馆服务，有A33＝6种情况，则有6×6＝36种不同的分配方案；故选：A．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．6．如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．2B．4C．6D．8【分析】由题意，直观图如图所示，由图可知该几何体的体积为为正方体的一半．解：由题意，直观图如图所示，由图可知该几何体的体积为为正方体的一半，即为2×2×2＝4．故选：B．【点评】本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，确定几何体的形状是关键．7．函数（ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）满足（）A．在上单调递增B．图象关于直线对称C．D．当时有最小值﹣1【分析】根据函数f（x）的最小正周期求出ω的值，写出f（x）的解析式，再判断四个选项是否正确即可．解：函数（ω＞0）的最小正周期为Tπ，∴ω＝2，∴f（x）＝cos（2x）；当x∈（0，）时，2x∈（，），f（x）单调递减，∴A错误；x时，2x，f（）＝0，其图象不关于直线对称，B错误；f（）＝cos（2），C错误；x时，f（x）＝cos（2）＝﹣1，D正确．故选：D．【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的问题，是基础题．8．设{a n}是等差数列，其前n项和为S n．则“S1+S3＞2S2”是“{a n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先化简，再判断单调性．解：由{a n}是等差数列，S1+S3＞2S2，化简得a3＞a2，即d＞0，则{a n}为递增数列，则“S1+S3＞2S2”是“{a n}为递增数列”的充分必要条件，故选：C．【点评】本题考查数列，以及充要性，属于基础题．9．设f（x）是定义在R上的函数，若存在两个不等实数x1，x2∈R，使得，则称函数f（x）具有性质P，那么下列函数：①；②；f（x）＝x2③；f（x）＝|x2﹣1|，具有性质P的函数的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据题意，找出存在的点，如果找不出则需证明．解：①：因为函数是奇函数，可找关于原点对称的点，比如f（）＝f（0），存在；②：假设存在x 1，x2∈R，使得，即，得x1＝x2，矛盾，故不存在；③：函数为偶函数，f（0）＝1，令f（x）＝|x2﹣1|＝0，x，则f（）＝f（0）＝1，存在．故选：C．【点评】本题考查学生的理解能力，以及证明，属于中档题．10．点M，N分别是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱BD，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动．若PA1∥面AMN，则PA1的长度范围是（）A．B．C．D．[2，3]【分析】取B1C1的中点E，BB1的中点F，连结A1E，A1F，EF，取EF中点O，连结A1O，推导出平面AMN∥平面A1EF，从而点P的轨迹是线段EF，由此能求出PA1的长度范围．解：取B1C1的中点E，BB1的中点F，连结A1E，A1F，EF，取EF中点O，连结A1O，∵点M，N分别是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，∴AM∥A1E，MN∥EF，∵AM∩MN＝M，A1E∩EF＝E，∴平面AMN∥平面A1EF，∵动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且PA1∥面AMN，∴点P的轨迹是线段EF，∵A1E＝A1F，EF，∴A1O⊥EF，∴当P与O重合时，PA1的长度取最小值A1O，当P与E（或F）重合时，PA1的长度取最大值为A1E＝A1F．∴PA1的长度范围为[，]．故选：B．【点评】本题考查线段长度的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知向量（，），（，），则∠ABC＝．【分析】运用向量的数量积的坐标表示可得可得•，由向量的模公式可得||＝||，再由cos∠ABC，计算即可得到所求值．解：向量（，），（，），可得•，||＝||1，可得cos∠ABC，由0≤∠ABC≤π，可得∠ABC．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示和模的公式，考查夹角的求法，以及化简整理的运算能力，属于基础题．12．已知各项为正数的等比数列{a n}中，a1＝1，其前n项和为，且，则S4＝15．【分析】由题意先求出公比，再根据前n项和公式计算即可．解：正项等比数列{a n}中，a1＝1，且，∴1，即q2﹣q﹣2＝0，解得q＝2或q＝﹣1（舍去），∴S415，故答案为：15．【点评】本题考查了等比数列的前n项和公式，属于基础题．13．能够说明“设a，b是任意非零实数，若“a＞b，则”是假命题的一组整数a，b 的值依次为2，﹣1．【分析】可看出，取a＝2，b＝﹣1时，可说明”a＞b，则”是假命题．解：取a＝2，b＝﹣1时，可得出“a＞b，则“不成立，即该命题为假命题．故答案为：2，﹣1．【点评】本题考查了真假命题的定义，举反例说明一个命题是假命题的方法，考查了推理能力，属于基础题．14．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M 为FN的中点，则|FN|＝3．【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可．解：抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：，则|FM|1＝1，|FN|＝2|FM|＝2×13．故答案为：3．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．15．石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立．由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是小学、中级．【分析】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为a，b，c，d，根据条件建立不等式组关系，分别讨论队长的学段和职称是否满足不等式组即可．解：设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为a，b，c，d，则，所以13﹣（a+b）≤a+b，a+b≥7，c+d≤6，若a+b＝7，则c+d＝6，∵a＜b，∴a＝3，b＝4，c＝5，d＝1，若a+b≥8，则c+d≤5，∵d≥1，∴c≤4，∵b＜c，∴b≤3，a≥5＞b矛盾，若队长为小学中级时，去掉队长则a＝2，b＝4，c＝5，d＝1，满足d＝1≥1，c+d＝6≤a+b＝4，b＝4≤c＝5，a＝2＜b＝4；若队长为小学高级时，去掉队长则a＝3，b＝3，c＝5，d＝1，不满足a＜b；若队长为中学中级时，去掉队长则a＝3，b＝4，c＝4，d＝1，不满足b＜c；若队长为中学高级时，去掉队长则a＝3，b＝3，c＝5，d＝0，不满足d≥1；综上可得队长为小学中级．故答案为：小学中级．【点评】本题主要考查合情推理的应用，结合不等式组，利用分类讨论的数学是解决本题的关键．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，AB＝PB＝2，AC∩BD＝O．（Ⅰ）求证：BO⊥面PAC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【分析】（Ⅰ）连结PO，推导出PO⊥BO，BO⊥AC，由此能证明BO⊥面PAC．（Ⅱ）由PO，AO，BO两两垂直，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法能法出二面角A﹣PC﹣B的余弦值．解：（Ⅰ）证明：连结PO，在正四棱锥P﹣ABCD中，PO⊥底面ABCD，∵BO⊂底面ABCD，∴PO⊥BO，在正方形ABCD中，BO⊥AC，∵PO∩AC＝O，∴BO⊥面PAC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知PO，AO，BO两两垂直，以O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，在正方形ABCD中，∵AB＝2，∴AO＝2，∵PB＝2，∴PO＝2，∴P（0，0，2），C（﹣2，0，0），B（0，2，0），∴（﹣2，0，﹣2），（2，2，0），由（1）知BO⊥平面PAC，∴平面PAC的一个法向量（0，2，0），设平面PBC的一个法向量（x，y，z），则，取x＝﹣1，得（﹣1，1，1），设二面角A﹣PC﹣B的平面角为θ，则cosθ．∴二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17．2020年，北京将实行新的高考方案，新方案规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定：否则，称该学生选考方案待确定，例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定．“物理、化学和生物”为其选考方案．某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选性别考科目人数如表：性别选考方案确定情况物理化学生物历史地理政治男生选考方案确定的有16人16168422选考方案待确定的有12人860200女生选考方案确定的有20人610201626选考方案待确定的有12人2810002（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（Ⅱ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，求恰好有一人选“物理、化学、生物”的概率；（Ⅲ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名．设随机变量，求ξ的分布列和期望．【分析】（Ⅰ）由数据知，60人中选考方案确定的学生中选考生物的学生有8+20＝28人，由此能求出该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生人数．（Ⅱ）选考方案中确定且为“物理、化学、生物”的男生共有8人，设“恰好有一人选考物理、化学、生物”为事件A，由此能求出恰好有一人选“物理、化学、生物”的概率．（Ⅲ）由数据知，选考方案确定的男生中有8人选择物理、化学和生物，有4人选择物理、化学和历史，有2人选择物理、化学和地理，有2人选择物理、化学和政治，ξ的可能取值为0，1，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．解：（Ⅰ）由数据知，60人中选考方案确定的学生中选考生物的学生有8+20＝28人，∴该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有：840392人．（Ⅱ）选考方案中确定且为“物理、化学、生物”的男生共有8人，设“恰好有一人选考物理、化学、生物”为事件A，则恰好有一人选“物理、化学、生物”的概率：P（A）．（Ⅲ）由数据知，选考方案确定的男生中有8人选择物理、化学和生物，有4人选择物理、化学和历史，有2人选择物理、化学和地理，有2人选择物理、化学和政治，ξ的可能取值为0，1，P（ξ＝0），P（ξ＝1），∴ξ的分布列为：ξ01P∴Eξ．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频数分布表、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．已知锐角△ABC，同时满足下列四个条件中的三个：①②a＝13③c＝15④（Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）根据内角和定理和正余弦定理进行推导即可；（Ⅱ）根据（Ⅰ）可知，同时满足①②③，所以先利用余弦定理求出b，然后代入面积公式即可．解：（Ⅰ）△ABC同时满足①②③．理由：若△ABC同时满足①④，因为是锐角三角形，所以sin C，∴，结合，∴B．与题设矛盾．故△ABC同时满足①④不成立；所以△ABC同时满足②③．因为c＞a，所以C＞A，满足④．则，∴，与题设矛盾，故此时不满足④．∴△ABC同时满足①②③．（Ⅱ）因为a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以．解得b＝8或7．当b＝7时，，C为钝角，与题设矛盾．所以b＝8，．【点评】本题考查利用正余弦定理、三角形中如内角和定理、大边对大角等基础知识．同时考查了学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养．属于中档题．19．已知椭圆的右焦点为F（1，0），离心率为．直线l过点F 且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（Ⅲ）延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l 的斜率．【分析】（Ⅰ）由题可知，c＝1，，再结合a2＝b2+c2，解出a和b的值即可得解；（Ⅱ）设直线l的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l的方程和椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，写出两根之和与系数的关系；由于M为线段AB的中点，利用中点坐标公式可用k表示点M的坐标，利用可求出直线OM的斜率，进而得解；（Ⅲ）若四边形OAPB为平行四边形，则，利用平面向量的线性坐标运算可以用k表示点P的坐标，再将其代入椭圆方程即可得到关于k的方程，解之即可得解．解：（Ⅰ）由题意可知，c＝1，，∵a2＝b2+c2，∴，∴椭圆的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y得，（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，则，∵M为线段AB的中点，∴，，∴，∴为定值．（Ⅲ）若四边形OAPB为平行四边形，则，∴，，∵点P在椭圆上，∴，解得，即，∴当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的斜率为．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及曲直联立、中点坐标公式、平面向量的坐标运算等知识点，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20．已知函数，f（x）＝x2（x＞0），g（x）＝alnx（a＞0）．（Ⅰ）若f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，过f（x）上一点（1，1）作g（x）的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．【分析】（Ⅰ）令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣alnx（x＞0），则h′（x），利用当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况可得当0＜a＜2e时，h（x）＞0恒成立，即f（x）＞g（x）恒成立；（Ⅱ）当a＝1时，g（x）＝lnx，设过点（1，1）的直线l与g（x）＝lnx相切于点P（x0，y0），则，整理得x0lnx0﹣2x0+1＝0，令m（x）＝xlnx﹣2x+1，则m（x）在（0，+∞）上的零点个数与切点P的个数一一对应，m′（x）＝lnx﹣1，令m′（x）＝lnx﹣1＝0解得x＝e．通过对x变化时，m′（x），m（x）的变化情况的分析，可得答案．解：令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣alnx（x＞0），所以h′（x）＝2x，令h′（x）0，解得x，当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：x（0，）（，+∞）h′（x），﹣0+h （x），减极小值增所以在（0，+∞）的最小值为h （）aln ln，令h （）＞0，解得0＜a＜2e，所以当0＜a＜2e时，h（x）＞0恒成立，即f（x）＞g（x）恒成立．（Ⅱ）可作出2条切线．理由如下：当a＝1时，g（x）＝lnx，设过点（1，1）的直线l与g（x）＝lnx相切于点P（x0，y0），g′（x0），即，整理得x0lnx0﹣2x0+1＝0，令m（x）＝xlnx﹣2x+1，则m（x）在（0，+∞）上的零点个数与切点P的个数一一对应，m′（x）＝lnx﹣1，令m′（x）＝lnx﹣1＝0解得x＝e．当x变化时，m′（x），m（x）的变化情况如下表：x（0，e）e（e，+∞）m′（x）﹣0+m（x）减极小增值所以m（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，且m （）ln 11＞0，m（e）＝elne﹣2e+1＝﹣e+1＜0，m（e2）＝e2lne2﹣2e2+1＝1＞0，所以m（x ）在（，e）和（e，e2）上各有一个零点，即xlnx﹣2x+1＝0有两个不同的解，所以过点（1，1）可以作出2条切线．【点评】本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程，利用导数求不等式恒成立问题，考查逻辑思维能力与综合运算能力，属于难题．21．有限个元素组成的集合A＝{a1，a2，…，a n}，n∈一、选择题*，记集合A中的元素个数为card（A），即card（A）＝n．定义A+A＝{x+y|x∈A，y∈A}，集合A+A中的元素个数记为card（A+A），当card（A+A ）时，称集合A具有性质P．（Ⅰ）A＝{1，4，7}，B＝{2，4，8}，判断集合A，B是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）设集合A＝{a1，a2，a3，2020}．a1＜a2＜a3＜2020，且a i∈N*（i＝1，2，3），若集合A具有性质P，求a1+a2+a3的最大值；（Ⅲ）设集合A＝{a1，a2，…，a n}，其中数列{a n}为等比数列，a i＞0（i＝1，2，…，n）且公比为有理数，判断集合A是否具有性质P并说明理由．【分析】（Ⅰ）由已知集合结合定义求得A+A与B+B，再由性质P的概念判断；（Ⅱ）首先说明若三个数a，b，c成等差数列，则A＝{a，b，c}不具有性质P，由a1＜a2＜a3＜2020，得a3≤2019，结合集合A具有性质P依次求出a3＝2019，a2＝2017，a1＝2014，可得a1+a2+a3的最大值；（Ⅲ）设等比数列的公比为q ，得（a1＞0）且q为有理数，假设当i＜k≤l＜j时有a i+a j＝a k+a l成立，则有q j﹣i＝q k﹣i+q l﹣i﹣1，设q（m，n∈N*且m与n互质），因此有1，整理后出现矛盾，说明a i+a j＝a k+a l不成立，得到card（A+A），说明集合A具有性质P．解：（Ⅰ）集合A不具有性质P，集合B具有性质P．事实上，∵A＝{1，4，7}，∴A+A＝{2，5，8，11，14}，card（A+A）＝5，故A不具有性质P；∵B＝{2，4，8}，∴B+B＝{4，6，8，10，12，16}，card（B+B）＝6，故B 具有性质P．（Ⅱ）若三个数a，b，c成等差数列，则A＝{a，b，c}不具有性质P，理由是a+c＝2b．∵a1＜a2＜a3＜2020，且a i∈N*（i＝1，2，3），∴a3≤2019，要使a1+a2+a3取最大，则a3＝2019，a2≤2018，易知{2018，2019，2020}不具有性质P，要使a1+a2+a3取最大，则a2＝2017，a1≤2016，要使a1+a2+a3取最大，检验可得a1＝2014；∴（a1+a2+a3）max＝6050；（Ⅲ）集合A具有性质P．设等比数列的公比为q，∴（a1＞0）且q为有理数．假设当i＜k≤l＜j时有a i+a j＝a k+a l成立，则有q j﹣i＝q k﹣i+q l﹣i﹣1．∵q为有理数，设q（m，n∈N*且m与n互质），因此有1，即m j﹣i＝m k﹣i n j﹣k+m l﹣i n j﹣l﹣n j﹣i．上式左边是m的倍数，右边是n的倍数，而m与n互质，显然a i+a j＝a k+a l不成立．∴card（A+A），故集合A具有性质P．【点评】本题是新定义题，考查等差数列与等比数列的性质，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．。
2020北京市石景山区高三一模拟数学(含答案)
2020北京市石景山区高三一模拟数学（含答案）本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.设集合}4321{，，，=P ，},3|||{R x x x Q ∈≤=，则Q P ⋂等于 A. {}1 B. {}1,23，C. {}34，D. {}3,2,1,0,1,2,3---2. 在复平面内，复数5+6i , 3-2i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C对应的复数是 A. 8+4iB. 2+8iC. 4+2iD. 1+4i3.下列函数中，既是奇函数又在区间()0,+∞上单调递减的是A. 22y x =-+B. 2xy -=C. ln y x =D. 1y x=4.圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a = A. 43-B. 34-C.D. 25.将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配 方案有（ ）种 A. 36B. 64C. 72D. 816. 如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为 A. 2 B. 4 C. 5 D. 87. 函数()cos6f x xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π，则()f x满足A.在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B. 图象关于直线6xπ=对称C.32fπ⎛⎫=⎪⎝⎭D. 当512xπ=时有最小值1-8. 设{}n a是等差数列，其前n项和为n S. 则“132+2S S S>”是“{}na为递增数列”的A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 设()f x是定义在R上的函数，若存在两个不等实数12,x x∈R，使得1212()()()22x x f x f xf++=，则称函数()f x具有性质P，那么下列函数：①1()00xf x xx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；②2()f x x=；③2()|1|f x x=-；具有性质P的函数的个数为A.0B. 1C. 2D. 310. 点M N，分别是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中棱1,BC CC的中点，动点P在正方形11BCC B（包括边界）内运动.若1PA∥面AMN，则1PA的长度范围是A.⎡⎣B.2⎡⎢⎣1AN第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11.已知向量1(2BA =uu v，1)2BC =uu u v ，则ABC ∠=__________． 12. 已知各项为正数的等比数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为()*n S n N ∈，且123112a a a -=，则4S =_________． 13. 能够说明“设,ab 是任意非零实数，若“a b >，则11a b<”是假命题的一组 整数,a b 的值依次为______________．14. 已知F 是抛物线C:24y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于 点N ．若M 为FN 的中点，则FN =__________．15. 石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师C.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]2,3组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立.由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是_______、_______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题14分）如图，在正四棱锥P ABCD -中，AB PB ==AC BD O ⋂=． （Ⅰ）求证：BO ⊥面PAC ；（Ⅱ）求二面角A PC B --的余弦值．17.（本小题14分）2020年，北京将实行新的高考方案.新方案规定：语文、数学和英语是考生的必考科C目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：(Ⅰ)估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？(Ⅱ)从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，求恰好有一人选“物理、化学、生物”的概率；（Ⅲ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，设随机变量⎩⎨⎧=两名男生选考方案相同两名男生选考方案不同10ξ，求ξ的分布列和期望.18.（本小题14分）已知锐角ABC △，同时满足下列四个条件中的三个： ①3A p =② 13a = ③ 15c = ④1sin 3C = (Ⅰ)请指出这三个条件，并说明理由； (Ⅱ)求ABC △的面积.19.（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F . 直线l 过点F 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅲ）延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线l 的斜率．20. （本小题14分）已知函数2()(0),()ln (0)f x x x g x a x a =>=>． （Ⅰ）若()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当1a =时，过()f x 上一点11（，）作()g x 的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．21.（本小题14分）有限个元素组成的集合},,,{21n a a a A Λ=，*N ∈n ，记集合A 中的元素个数为()card A ，即()card A n =.定义{|,}A A x y x A y A +=+∈∈，集合A A +中的元素个数记为(+)card A A ,当(1)(+)=2n n card A A +时，称集合A 具有性质P . (Ⅰ)}7,4,1{=A ，}8,4,2{=B ，判断集合B A ,是否具有性质P ，并说明理由；（Ⅱ）设集合}2020,,,{321a a a A =，2020321<<<a a a 且)3,2,1(*=∈i N a i ，若集合A 具有性质P ，求321a a a ++的最大值；（Ⅲ）设集合},,,{21n a a a A Λ=，其中数列}{n a 为等比数列，),,2,1(0n i a i Λ=>且公比为有理数，判断集合集合A 是否具有性质P 并说明理由.。
2020年石景山高三一模数学
2020年石景山区高三统一测试数 学本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.设集合}4321{，，，=P ，},3|||{R x x x Q ∈≤=，则Q P ⋂等于 A. {}1 B. {}1,23，C. {}34，D. {}3,2,1,0,1,2,3---2. 在复平面内，复数5+6i , 3-2i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C对应的复数是 A. 8+4iB. 2+8iC. 4+2iD. 1+4i3.下列函数中，既是奇函数又在区间()0,+∞上单调递减的是A. 22y x =-+B. 2xy -=C. ln y x =D. 1y x=4.圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =A. 43-B. 34-C.D. 25.将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配 方案有（ ）种 A. 36B. 64C. 72D. 816. 如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 2B. 4C. 5D. 87. 函数()cos6f x xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π，则()f x满足A.在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B. 图象关于直线6xπ=对称C.3fπ⎛⎫=⎪⎝⎭D. 当512xπ=时有最小值1-8. 设{}n a是等差数列，其前n项和为n S. 则“132+2S S S>”是“{}na为递增数列”的A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 设()f x是定义在R上的函数，若存在两个不等实数12,x x∈R，使得1212()()()22x x f x f xf++=，则称函数()f x具有性质P，那么下列函数：①1()00xf x xx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；②2()f x x=；③2()|1|f x x=-；具有性质P的函数的个数为A.0B. 1C. 2D. 310. 点M N，分别是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中棱1,BC CC的中点，动点P在正方形11BCC B（包括边界）内运动.若1PA∥面AMN，则1PA的长度范围是A.⎡⎣B.⎣1A第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11.已知向量1(2BA =uu v，1)2BC =uu u v ，则ABC ∠=__________． 12. 已知各项为正数的等比数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为()*n S n N ∈，且123112a a a -=，则4S =_________． 13. 能够说明“设,ab 是任意非零实数，若“a b >，则11a b<”是假命题的一组 整数,a b 的值依次为______________．14. 已知F 是抛物线C:24y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于 点N ．若M 为FN 的中点，则FN =__________．15. 石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师C.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]2,3组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立.由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是_______、_______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题14分）如图，在正四棱锥P ABCD -中，AB PB ==AC BD O ⋂=． （Ⅰ）求证：BO ⊥面PAC ；（Ⅱ）求二面角A PC B --的余弦值．17.（本小题14分）2020年，北京将实行新的高考方案.新方案规定：语文、数学和英语是考生的必考科C目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：(Ⅰ)估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？(Ⅱ)从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，求恰好有一人选“物理、化学、生物”的概率；（Ⅲ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，设随机变量⎩⎨⎧=两名男生选考方案相同两名男生选考方案不同10ξ，求ξ的分布列和期望.18.（本小题14分）已知锐角ABC △，同时满足下列四个条件中的三个： ①3A p =② 13a = ③ 15c = ④1sin 3C = (Ⅰ)请指出这三个条件，并说明理由； (Ⅱ)求ABC △的面积.19.（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F . 直线l 过点F 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅲ）延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线l 的斜率．20. （本小题14分）已知函数2()(0),()ln (0)f x x x g x a x a =>=>． （Ⅰ）若()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当1a =时，过()f x 上一点11（，）作()g x 的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．21.（本小题14分）有限个元素组成的集合},,,{21n a a a A Λ=，*N ∈n ，记集合A 中的元素个数为()card A ，即()card A n =.定义{|,}A A x y x A y A +=+∈∈，集合A A +中的元素个数记为(+)card A A ,当(1)(+)=2n n card A A +时，称集合A 具有性质P . (Ⅰ)}7,4,1{=A ，}8,4,2{=B ，判断集合B A ,是否具有性质P ，并说明理由；（Ⅱ）设集合}2020,,,{321a a a A =，2020321<<<a a a 且)3,2,1(*=∈i N a i ，若集合A 具有性质P ，求321a a a ++的最大值；（Ⅲ）设集合},,,{21n a a a A Λ=，其中数列}{n a 为等比数列，),,2,1(0n i a i Λ=>且公比为有理数，判断集合集合A 是否具有性质P 并说明理由.2020年石景山区高三统一测试数学试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分． 11．6π； 12．15； 13． 21，-；答案不唯一 14．3； 15. 小学中级 ．三、解答题：本大题共6个小题，共85分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题14分）（Ⅰ）证明：联结PO ．在正四棱锥P ABCD -中， PO ⊥底面ABCD ．因为BO ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥BO ． …………3分 在正方形ABCD 中，BO AC ⊥， 又因为PO AC O =I ，所以BO ⊥面PAC ． …………6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，PO ，AO ，BO 两两垂直，以O 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系 . …………7分 在正方形ABCD 中，因为AB = 所以2AO =． 又因为PB = 所以2PO =．所以点P 的坐标为(0,0,2)P ，点C 的坐标为(2,0,0)C -，点B 的坐标为(0,2,0)B ． …………8分则(2,0,2)PC =--u u u r ，(2,2,0)CB =u u u r． …………9分由（Ⅰ）知，BO ⊥平面PAC ．所以平面PAC 的一个法向量为1(0,2,0)n OB ==u r u u u r． …………10分 设平面PBC 的一个法向量2(,,)n x y z =u u r．则220,0,n PC n CB ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r u u u r g u u r u u u r g 即220,220.x z x y --=⎧⎨+=⎩ 令1y =，则1x =-，1z =．故平面PBC 的一个法向量2(1,1,1)n =-u u r． …………13分121212cos ,3||||n n n n n n <>==u r u u ru r u u r g u ru u r所以二面角A PC B --的余弦值为3． …………14分17.（本小题14分）解：(Ⅰ)由数据知，60人中选考方案确定的学生中选考生物的学生有8+20=28人 …1分所以该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有 3926028840=⨯人 ………4分 (Ⅱ)选考方案确定且为“物理，化学，生物”的男生共有8人。
2020届北京市石景山区高三4月统一测试数学试题(含答案)
2020年石景山区高三统一测试数学一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合{}1,2,3,4P =，{}3,Q x x x R =≤∈，则P Q 等于（ ）A. {}1B. {}1,2,3C. {}3,4D. {}3,2,1,0,1,2,3---2.在复平面内，复数56i +，32i -对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（ ） A. 84i +B. 28i +C. 42i +D. 14i +3.下列函数中，既是奇函数又在区间()0,∞+上单调递减的是（ ） A. 22y x =-+B. 2xy -=C. ln y x =D. 1y x=4.圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ） A. 43-B. 34-C.3D. 25.将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（ ）种． A. 72B. 36C. 64D. 816.如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 2B. 4C. 5D. 87.函数()cos 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0>ω）的最小正周期为π，则()f x 满足（ ） A. 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B. 图象关于直线6x π=对称C. 332f π⎛⎫=⎪⎝⎭D. 当512x π=时有最小值1- 8.设{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S .则“1322S S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数12,x x R ∈，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数：①()1,00,0x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；②()2f x x =；③()21f x x =-；具有性质P 的函数的个数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 310.点M ，N 分别是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中棱BC ，1CC 的中点，动点P 在正方形11BCC B (包括边界)内运动.若1//PA 面AMN ，则1PA 的长度范围是（ ）A .5⎡⎣B. 3252⎡⎢⎣C. 322⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. []2,3二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知向量13,22BA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，3122BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则ABC ∠=______.12.已知正项等比数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为()*n S n N ∈，且123112aa a -=，则4S =__________． 13.能够说明“设a ，b 是任意非零实数”，若“a b >，则11a b<”是假命题的一组整数a ，b 的值依次为______.14.已知F 是抛物线C ：24y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则FN =______.15.长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____．三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在正四棱锥P ABCD -中，22AB PB ==，ACBD O =.（1）求证：BO ⊥平面PAC ； （2）求二面角A PC B --的余弦值.17.2020年，北京将实行新的高考方案.新方案规定：语文､数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理､化学､生物､历史､地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定，例如，学生甲选择“物理､化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理､化学和生物”为其选考方案. 某校为了解高一年级840名学生选考科目意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：性别 选考方案确定情况物理 化学 生物 历史 地理 政治（1）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（2）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，求恰好有一人选“物理､化学､生物”的概率； （3）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，设随机变量01ξ⎧=⎨⎩两名男生选考方案不同两名男生选考方案相同，求ξ的分布列和期望.18.已知锐角ABC ，同时满足下列四个条件中的三个： ①3A π=②13a =③15c =④1sin 3C =（1）请指出这三个条件，并说明理由； （2）求ABC的面积.19.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为()1,0F .直线l 过点F 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M . （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线l 的斜率. 20.已知函数()2f x x =(0x >)，()lng x a x =(0a >).（1）若()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当1a =时，过()f x 上一点()1,1作()g x 切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由.21.有限个元素组成的集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，n *∈N ，记集合A 中的元素个数为()card A ，即()card A n =.定义{},A A x y x A y A +=+∈∈，集合A A +中的元素个数记为()card A A +，当()()12n n card A A ++=时，称集合A 具有性质P .（1）{}1,4,7A =，{}2,48B =,，判断集合A ，B 是否具有性质P ，并说明理由； （2）设集合{}123,,,2020A a a a =，1232020a a a <<<且i a N *∈(1,2,3i =)，若集合A 具有性质P ，求123a a a ++的最大值；（3）设集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，其中数列{}n a 为等比数列，0i a >(1,2,,i n =⋅⋅⋅)且公比为有理数，判断集合A 是否具有性质P 并说明理由.2020年石景山区高三统一测试数学一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】B 【解析】 【分析】由333x x ≤⇒-≤≤，又因为{}1,2,3,4P =.所以PQ ={}1,2,3.【详解】由{}3,Q x x x R =≤∈得：333x x ≤⇒-≤≤，又因为{}1,2,3,4P = 所以P Q ={}1,2,3.故选：B【点睛】本题主要考查两个集合的交集，属于基础题目. 2.【答案】C 【解析】 【分析】根据复数z a bi =+ 在复平面内所对应点的坐标为(,)a b ，得出A ，B 的坐标，进而得出点C 的坐标，进而得出答案.【详解】因为复数56i +，32i -对应的点分别为A ，B ，所以在复平面内点A 的坐标为()5,6A ， 点B 的坐标为()3,2B -，又因为C 为线段AB 的中点，所以点C 的坐标为5362,(4,2)22+-⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以点C 对应的复数是42i +. 故选：C【点睛】主要考查复数在复平面内所对应点的坐标知识，属于基础题目. 3.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及单调性对4个选项一一判断，即可得出答案.【详解】由基本函数的性质得：22y x =-+为偶函数，2x y -=为非奇非偶函数，ln y x =为非奇非偶函数，1y x=为奇函数，且在区间()0,∞+上单调递减. 故选：D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题目. 4.【答案】A 【解析】试题分析：由2228130x y x y +--+=配方得22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心为(1,4)，因为圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为11=，解得43a =-，故选A.【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．5.【答案】B 【解析】 【分析】先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步乘法原理得到结果. 【详解】解：将4位志愿者分配到3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，∴先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，共有234336C A =．【点睛】本题考查排列组合及简单的计数问题，是一个基础题，本题又是一个易错题，排列容易重复，注意做到不重不漏． 6.【答案】B 【解析】如图所示，题中的几何体是棱长为2的正方体被平面ABCD 截得的正方体的下部分，很明显截得的两部分是完全一致的几何体，则该几何体的体积为31242V =⨯=. 本题选择B 选项.7.【答案】D 【解析】由函数()cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π得2ω=，则()cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 当(0,)3x π∈时，52(,)666x πππ+∈，显然此时()f x 不单调递增，A 错误；当6x π=时，()cos062f ππ==，B 错误；53()cos 362f ππ==-，C 错误；故选择D. 8.【答案】C 【解析】 【分析】先由1322S S S +>进行化简，能推出0d >，即{}n a 为递增数列. 再由{}n a 为递增数列，得321a a a >>，能推出1322S S S +>故“1322S S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分必要条件. 【详解】设{}n a 的公差为d .充分性证明：由1322S S S +>得：112312322()a a a a a a a a +++>+⇒> ，即：0d >. 所以{}n a 为递增数列.必要性证明：由{}n a 为递增数列得：321a a a >> ，所以11231122122132()2a a a a a a a a a S S a S =+++>+++=+=+所以“1322S S S +>”是“{}n a 为递增数列的充分必要条件 故选：C.【点睛】本题主要结合等差数列考查充分条件及必要条件的判断.属于基础题目. 9.【答案】C 【解析】 【分析】对于①，取121,1x x ==-便可得出答案.对于②，运用反证法，即可证明()2f x x =不具有性质P .对于③，取12x x ==.【详解】对于①：取121,1x x ==-，则 12()1,()1f x f x ==- 此时，12(0)02x x f f +⎛⎫==⎪⎝⎭，()()121(1)022f x f x ++-==. 所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭故函数①具有性质P .对于②：假设存在两个不等实数12,x x R ∈，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭， 则222121211222224x x x x x x x x f +++⋅+⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ()()22121222f x f x x x ++=.所以22112224x x x x +⋅+22122x x +=，化简得：2221212122()0044x x x x x x +--=⇒=即：12x x =.与“存在两个不等实数12,x x R ∈，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭” 矛盾. 故函数②不具有性质P .对于③：取12x x == 12()1,()1f x f x ==此时，12(0)12x x f f +⎛⎫==⎪⎝⎭，()()1211122f x f x ++== 所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭故函数③具有性质P . 故选：C.【点睛】本题主要考查对函数性质的理解，属于中档题目. 10.【答案】B 【解析】 【分析】取11B C ，1B B 中点E ，F ，得平面1A EF ∥平面AMN .进而得到点P 的轨迹为线段EF ， 又因为1A EF 为等腰三角形，进而便可得出答案. 【详解】取11B C ，1B B 中点E ，F ， 连接1A E 、1A F . 则1A E ∥AM .EF ∥MN .又因为1A E EF E ⋂= . 所以平面1A EF ∥平面AMN .又因为动点P 在正方形11BCC B (包括边界)内运动， 所以点P 的轨迹为线段EF .又因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以11A E A F ==EF =所以1A EF 为等腰三角形.故当点P 在点E 或者P 在点F 处时，此时1PA 最大，最大值5.当点P 为EF 中点时，1PA 最小，最小值为22232(5)()22-= . 故选：B.【点睛】本题主要考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属于中档题目，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找点P 的位置.二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】6π； 【解析】 【分析】由向量的数量积公式得：cos BA BC ABC BA BC⋅∠=⋅，代入化简，便可求得答案.【详解】由13,22BA ⎛= ⎝⎭，31,22BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭得：332cos 12BA BC ABC BA BC⋅∠===⋅ 又因为[]0,ABC π∠∈，所以6ABC π∠=.故答案：6π. 【点睛】本题主要考查向量的数量积知识，属于基础题目. 12.【答案】15 【解析】解：由题意可知：2111111a a q a q -= ，结合11,0a q => 解得：2q ，则4124815S =+++= .13.【答案】2，1-；(答案不唯一) 【解析】 【分析】取2,1a b ==-，再使用反证法即可得出答案.【详解】取2,1a b ==- ，则a b >，但是1121>-，即11.a b> 故答案为：2，1-.【点睛】本题考查了真假命题的定义及反例的应用，属于基础题目. 14.【答案】3； 【解析】 【分析】由题意得：(1,0)F ，又因为M 为FN 的中点，且点N 在y 轴上，设点(0,)N N y ，所以点M 为1(,)22Ny ，又因为点M 在抛物线上，代入抛物线便可得出N y ，进而求得 3FN =. 【详解】根据题意画出图象，如下图所示：因为F 是抛物线C ：24y x =的焦点，所以点F 坐标为(1,0)F . 设点N 为(0,)N N y ，因为M 为FN 的中点，所以点M 为1(,)22Ny ，因为点M 在抛物线上，则214()22N y =⨯.则28Ny = .故：3FN === . 故答案为：3.【答案】小学中级 【解析】 【分析】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为a b c d ,,,，根据条件列不等式组，推出a b c d ,,,取法，根据取法推测队长的学段及职称.【详解】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为a b c d ,,,， 则13,1,,,a b c d d c d a b b c a b +++=≥+≤+<< 所以13(),7,6a b a b a b c d -+≤+∴+≥+≤， 若7,a b +=则6,3,4,5,1c d a b a b c d +=<∴====，若8,a b +≥则5,14,3,5c d d c b c b a b +≤≥∴≤∴≤≥矛盾队长为小学中级时，去掉队长则2,4,5,1a b c d ====， 满足11,64,45,24d c d a b b c a b =≥+=≤+==<==<=； 队长为小学高级时，去掉队长则3,3,5,1a b c d ====，不满足a b <； 队长为中学中级时，去掉队长则3,4,4,1a b c d ====，不满足b c <； 队长为中学高级时，去掉队长则3,3,5,0a b c d ====，不满足1d ≥； 综上可得队长为小学中级.【点睛】本题考查不等式性质，考查论证推理能力，属难题.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）证明见解析.（2）3【解析】 【分析】（1）P ABCD -为正四棱锥.所以ABCD 为正方形，PO ⊥面ABCD ，PO BO ⊥. 因为ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥ . POAC O =，所以BO ⊥面PAC .（2）要求二面角A PC B --的余弦值，通过建立空间直角坐标系，运用向量法即可得出答案. 【详解】（1）证明：联结PO.在正四棱锥P ABCD -中，PO ⊥底面ABCD . 因为BO ⊂平面ABCD ，所以PO BO ⊥. 在正方形ABCD 中，BO AC ⊥， 又因为POAC O =，所以BO ⊥面PAC .（2）解：由（1）知，PO ，AO ，BO 两两垂直， 以O 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系. 在正方形ABCD 中，因为22AB = 所以2AO =. 又因为22PB = 所以2PO =.所以点P 的坐标为()002P ,,，点C 的坐标为()2,0,0C -， 点B 的坐标为()0,2,0B .则()2,0,2PC =--，()2,2,0CB =. 由（1）知，BO ⊥平面PAC .所以平面PAC 的一个法向量为()10,2,0n OB ==. 设平面PBC 的一个法向量()2,,n x y z =.则2200n PC n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220,220.x z x y --=⎧⎨+=⎩令1y =，则1x =-，1z =.故平面PBC 的一个法向量()21,1,1n =-. 1212123cos ,3n n n n n n ⋅==所以二面角A PC B --的余弦值为3. 【点睛】本题主要考查线面垂直及空间向量求面面角的应用，属于中档题目.17.2020年，北京将实行新的高考方案.新方案规定：语文､数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理､化学､生物､历史､地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定，例如，学生甲选择“物理､化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理､化学和生物”为其选考方案. 某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：（1）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（2）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，求恰好有一人选“物理､化学､生物”的概率；（3）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，设随机变量01ξ⎧=⎨⎩两名男生选考方案不同两名男生选考方案相同，求ξ的分布列和期望.【答案】（1）392人.（2）815.（3）分布列答案见解析，期望为310【解析】 【分析】（1）计算男生和女生确定选考生物的人数，进行估算即可.（2）根据表格数据可得选考方案确定的男生中选择“物理､化学､生物”的人数，进而得到答案. （3）求出随机变量的数值和对应的概率，即可得到分布列和期望.【详解】（1）由数据知，60人中选考方案确定的学生中选考生物的学生有82028+=人 所以该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有2884039260⨯=人 （2）选考方案确定且为“物理，化学，生物”的男生共有8人. 设“恰好有一人选物理､化学､生物”为事件A()1188216815C C C P A ==（3）由数据可知，选考方案确定的男生中有8人选择物理､化学和生物；有4人选择物理､化学和历史；有2人选择物理､化学和地理；有2人选择物理､化学和政治.ξ的可能取值为0，1.()1111118844222167010C C C C C C P C ξ++=== ()222284222163110C C C C P C ξ+++=== 所以ξ的分布列为：73301101010E ξ=⨯+⨯= 【点睛】本题主要考查统计与概率的综合知识，涉及到离散型随机变量、数学期望的求法，考查了频数分布表、古典概型的知识，题目难度稍大.18.【答案】（1）ABC 同时满足①，②，③，理由见解析.（2）【解析】 【分析】（1）判断三角形的满足条件，推出结果即可.（2）利用余弦定理求出b ，利用面积公式求解ABC 的面积. 【详解】（1）ABC 同时满足①，②，③. 理由如下：若ABC 同时满足①，④，则在锐角ABC 中，11sin 32C =<，所以06C π<< 又因为3A π=，所以32A C ππ<+<所以2B π>，这与ABC 是锐角三角形矛盾，所以ABC 不能同时满足①，④， 所以ABC 同时满足②，③.因为c a >所以C A >若满足④. 则6A C π<<，则2B π>，这与ABC 是锐角三角形矛盾.故ABC 不满足④.故ABC 满足①，②，③.（2）因为2222cos a b c bc A =+-， 所以222113152152b b =+-⨯⨯⨯. 解得8b =或7b =.当7b =时，22271315cos 02713C +-=<⨯⨯所以C 为钝角，与题意不符合，所以8b =. 所以ABC的面积1sin 2S bc A ==【点睛】本题主要考查解三角形中余弦定理的应用及面积公式的应用，属于中档题目.19.【答案】（1）2212x y +=.（2）证明见解析.（3）直线l的斜率：【解析】 【分析】（1）由题意知1c =，2c a =，可得a =1c =，1b =.故得到椭圆方程. （2）设直线l 的方程为()1y k x =-(0k ≠)，将直线与椭圆进行联立，利用中点坐标公式，结合韦达定理得到12M OM M y k x k-==，进而得解.（3）四边形OAPB 为平行四边形，则OA OB OP +=.所以2122421P k x x x k =+=+，2221P ky k -=+，又因为点P 在圆上，把点P 坐标代入椭圆方程，即可得出答案. 【详解】（1）由已知1c =，2c e a ==， 又222a b c =+，解得a =1b =所以椭圆方程为2212x y +=.（2）设直线l 的方程为()1y k x =-(0k ≠)联立()()221210x y y k x k ⎧+=⎪⎨⎪=-≠⎩消去y 得()2222214220kx k x k +-+-=，不妨设()11,A x y ，()22,B x y 则2122421k x x k ，因为M 为线段AB 的中点所以21222221M x x k x k +==+，()2121M M k y k x k -=-=+ 所以12M OM M y k x k-== 所以1122OM l k k k k -⨯=⨯=-为定值. （3）若四边形OAPB 为平行四边形，则OA OB OP +=所以2122421P k x x x k =+=+ ()()()1212122211221P ky y y k x k x k x x k -=+=-+-=+-=+因为点P 在椭圆上，所以2222242222121k k k k ⎛⎫-⎛⎫+⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭解得212k =，即2k =±所以当四边形OAPB 为平行四边形时，直线l的斜率为2k =±【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题目. 20.【答案】（1）02e a <<.（2）2条切线，理由见解析 【解析】 【分析】（1）把()()f x g x >转化为：()()()h x f x g x =-，要使得()()f x g x >恒成立，即满足()h x 的最小值大于0.（2）设切点()00,P x y ，则()00011y g x x -'=-，对方程化简，判断0x 的个数即可，得出切线的条数. 【详解】（1）令()()()2ln h x f x g x x a x =-=-(0x >)所以()2222a x a x x h x x='-=-令()2220x x xh a -'==，解得x =当x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表：⎫+∞⎪⎪⎭所以在()0,∞+的最小值为ln ln 2222a a a ah a =-=- 令0h >，解得02e a <<. 所以当02e a <<时，()0h x >恒成立，即()()f x g x >恒成立. （2）可作出2条切线.理由如下：当1a =时，()ln g x x =.设过点()1,1的直线l 与()ln g x x =相切于点()00,P x y ， 则()00011y g x x -'=-即000ln 111x x x -=-整理得000ln 210x x x -+=令()ln 21x x m x x -=+，则()m x 在()0,∞+上的零点个数与切点P 的个数一一对应.()ln 1m x x '=-，令()ln 10x m x '=-=解得x e =.当x 变化时，()m x '，()m x 的变化情况如下表：)所以()m x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增. 且2222211124ln 110m e e e e e ⎛⎫=⨯-+=-+>⎪⎝⎭()ln 2110m e e e e e =⨯-+=-+<()2222ln 2110m e e e e =⨯-+=>所以()m x 在21,e e ⎛⎫⎪⎝⎭和()2,e e 上各有一个零点，即ln 210x x x -+=有两个不同的解. 所以过点()1,1可作出ln y x=2条切线.【点睛】本题主要考查利用导数解决恒成立问题及切线的问题，考查了逻辑思维能力，属于中档题目. 21.【答案】（1）集合A 不具有性质P ，集合B 具有性质P ，理由见解析.（2）6050.（3）集合A 具有性质P ，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据定义即可判断，进而得出答案.（2）运用反证法即可得出答案.（3）设11n n a a q -=，假设当i k l j <≤<时有i j l k a a a a +=+成立，进而结合反证法证明假设不成立，进而得出答案.【详解】（1）集合A 不具有性质P ，集合B 具有性质P .{}2,5,8,11,14A A +=，()()33152card A A ++=≠不具有性质P ； {}4,6,8,10,12,16B B +=，()()33162card B B ++==具有性质P . （2）若三个数a ，b ，c 成等差数列，则{},,A a b c =不具有性质P ，理由是2a c b +=.因为1232020a a a <<<且i a N *∈(1,2,3i =)所以32019a ≤，要使123a a a ++取最大，则32019a =；22018a ≤，易知{}2018,2019,2020不具有性质P ，要使123a a a ++取最大，则22017a =；12016a ≤，要使123a a a ++取最大，检验可得12014a =；()123max 6050a a a ++=（3）集合A 具有性质P .设等比数列的公比为为q ，所以11n n a a q -=(10a >)且q 为有理数，假设当i k l j <≤<时有i j l k a a a a +=+成立，则有1j i k i l i q q q ---=+-因为q 为有理数，设m q n=(m ，n *∈N )且(m ，n 互质)，因此有 1j i k i l i m m m n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即j i k i j k l i j l j i m m n m n n ------=+-（1）， （1）式左边是m 的倍数，右边是n 的倍数，又m ，n 互质，显然i j l k a a a a +=+不成立.所以()() 1212n nn ncard A A C C ++=+=，所以集合A具有性质P.【点睛】本题考查了集合新定义问题，考查了等比数列的应用，以及学生的阅读能力，属于难题.。
石景山2020届高三一模数学试卷及答案
2020年石景山区高三统一测试数 学本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.设集合}4321{，，，=P ，},3|||{R x x x Q ∈≤=，则Q P ⋂等于 A. {}1 B. {}1,23，C. {}34，D. {}3,2,1,0,1,2,3---2. 在复平面内，复数5+6i , 3-2i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C对应的复数是 A. 8+4iB. 2+8iC. 4+2iD. 1+4i3.下列函数中，既是奇函数又在区间()0,+∞上单调递减的是A. 22y x =-+B. 2xy -=C. ln y x =D. 1y x=4.圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =A. 43-B. 34-C.D. 25.将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配 方案有（ ）种 A. 36B. 64C. 72D. 816. 如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 2B. 4C. 5D. 87. 函数()cos6f x xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π，则()f x满足A.在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B. 图象关于直线6xπ=对称C.3fπ⎛⎫=⎪⎝⎭D. 当512xπ=时有最小值1-8. 设{}n a是等差数列，其前n项和为n S. 则“132+2S S S>”是“{}na为递增数列”的A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 设()f x是定义在R上的函数，若存在两个不等实数12,x x∈R，使得1212()()()22x x f x f xf++=，则称函数()f x具有性质P，那么下列函数：①1()00xf x xx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；②2()f x x=；③2()|1|f x x=-；具有性质P的函数的个数为A.0B. 1C. 2D. 310. 点M N，分别是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中棱1,BC CC的中点，动点P在正方形11BCC B（包括边界）内运动.若1PA∥面AMN，则1PA的长度范围是A.⎡⎣B.⎣1A第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11.已知向量1(2BA =uu v，1)2BC =uu u v ，则ABC ∠=__________． 12. 已知各项为正数的等比数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为()*n S n N ∈，且123112a a a -=，则4S =_________． 13. 能够说明“设,ab 是任意非零实数，若“a b >，则11a b<”是假命题的一组 整数,a b 的值依次为______________．14. 已知F 是抛物线C:24y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于 点N ．若M 为FN 的中点，则FN =__________．15. 石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师C.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]2,3组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立.由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是_______、_______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题14分）如图，在正四棱锥P ABCD -中，AB PB ==AC BD O ⋂=． （Ⅰ）求证：BO ⊥面PAC ；（Ⅱ）求二面角A PC B --的余弦值．17.（本小题14分）2020年，北京将实行新的高考方案.新方案规定：语文、数学和英语是考生的必考科C目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：(Ⅰ)估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？(Ⅱ)从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，求恰好有一人选“物理、化学、生物”的概率；（Ⅲ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，设随机变量⎩⎨⎧=两名男生选考方案相同两名男生选考方案不同10ξ，求ξ的分布列和期望.18.（本小题14分）已知锐角ABC △，同时满足下列四个条件中的三个： ①3A p =② 13a = ③ 15c = ④1sin 3C = (Ⅰ)请指出这三个条件，并说明理由； (Ⅱ)求ABC △的面积.19.（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F . 直线l 过点F 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅲ）延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线l 的斜率．20. （本小题14分）已知函数2()(0),()ln (0)f x x x g x a x a =>=>． （Ⅰ）若()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当1a =时，过()f x 上一点11（，）作()g x 的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．21.（本小题14分）有限个元素组成的集合},,,{21n a a a A Λ=，*N ∈n ，记集合A 中的元素个数为()card A ，即()card A n =.定义{|,}A A x y x A y A +=+∈∈，集合A A +中的元素个数记为(+)card A A ,当(1)(+)=2n n card A A +时，称集合A 具有性质P . (Ⅰ)}7,4,1{=A ，}8,4,2{=B ，判断集合B A ,是否具有性质P ，并说明理由；（Ⅱ）设集合}2020,,,{321a a a A =，2020321<<<a a a 且)3,2,1(*=∈i N a i ，若集合A 具有性质P ，求321a a a ++的最大值；（Ⅲ）设集合},,,{21n a a a A Λ=，其中数列}{n a 为等比数列，),,2,1(0n i a i Λ=>且公比为有理数，判断集合集合A 是否具有性质P 并说明理由.2020年石景山区高三统一测试数学试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分． 11．6π； 12．15； 13． 21，-；答案不唯一 14．3； 15. 小学中级 ．三、解答题：本大题共6个小题，共85分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题14分）（Ⅰ）证明：联结PO ．在正四棱锥P ABCD -中， PO ⊥底面ABCD ．因为BO ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥BO ． …………3分 在正方形ABCD 中，BO AC ⊥， 又因为PO AC O =I ，所以BO ⊥面PAC ． …………6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，PO ，AO ，BO 两两垂直，以O 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系 . …………7分 在正方形ABCD 中，因为AB = 所以2AO =． 又因为PB = 所以2PO =．所以点P 的坐标为(0,0,2)P ，点C 的坐标为(2,0,0)C -，点B 的坐标为(0,2,0)B ． …………8分则(2,0,2)PC =--u u u r ，(2,2,0)CB =u u u r． …………9分由（Ⅰ）知，BO ⊥平面PAC ．所以平面PAC 的一个法向量为1(0,2,0)n OB ==u r u u u r． …………10分 设平面PBC 的一个法向量2(,,)n x y z =u u r．则220,0,n PC n CB ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r u u u r g u u r u u u r g 即220,220.x z x y --=⎧⎨+=⎩ 令1y =，则1x =-，1z =．故平面PBC 的一个法向量2(1,1,1)n =-u u r． …………13分121212cos ,3||||n n n n n n <>==u r u u ru r u u r g u ru u r所以二面角A PC B --的余弦值为3． …………14分17.（本小题14分）解：(Ⅰ)由数据知，60人中选考方案确定的学生中选考生物的学生有8+20=28人 …1分所以该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有 3926028840=⨯人 ………4分 (Ⅱ)选考方案确定且为“物理，化学，生物”的男生共有8人。
北京市石景山区2020届高三数学3月统一测试(一模)试题 理
2020年石景山区高三统一测试数 学（理）本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{|1}P x x =∈R ≥，{2,3}Q =，则下列关系中正确的是 A. P ＝QB. P ÜQC. Q ÜPD. P Q =R U2. 设i 是虚数单位，若复数(1i)2i z -=，则复数z 的模为 A. 1B. 2C. 3D. 23. 某几何体的三视图如右图所示，该几何 体的体积为 A. 2 B. 6 C. 10 D. 244. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用n a 表示解下*(9,)n n n ∈N ≤个圆环所需的移动最少次数，{}n a 满足11a =，且1121,22,n n n a a a ---⎧=⎨+⎩ ，则解下4个圆环所需的最少移动次数为 A. 7B. 10C. 12D. 225. 中国南宋时期的数学家秦九韶提出了一种多项式简化算法，右图是实现该算法的程序框图，如输入的1,2x n ==，依次输入的a 为1，2，3，运行程序，n 为偶数输出的s 的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 66. 已知平面向量(,2),(1,),a k b k k ==∈R r r ，则k =a r 与b r同向的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 若1x y a b >>>>，则下列各式中一定正确的是 A. x y a b >B. ln ln x y <C. sin sin x y >D.a b x y<8. 已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为π6x =-，12()()0f x f x +=， 且函数()f x 在12(,)x x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为 A.π6B.π3C.2π3D.4π3第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 若变量,x y 满足约束条件1,1,1,x y y x x +⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤则2z x y =-的最小值为_________．10. 等比数列{}n a 的首项12a =，416a =，则其前n 项和n S =_______．11. 在极坐标系中，直线sin 2ρθ=与圆4sin ρθ=的位置关系为______．（填“相交”、 “相切”或“相离”）12. 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能是 ______．（只需写出一个可能的值）13. 过双曲线22221x y a b-=的一个焦点F 作其渐近线的平行线l ，直线l 与y 轴交于点P ，若线段OP 的中点为双曲线的虚轴端点（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为____． 14.在直角坐标系xOy 中，点()11,A x y 和点()22,B x y ，设集合(){}22=,|1M x y x y +=， 且,A B M ∈，=1AB ，则1212=x x y y +；点A , B 到x 轴距离之和的最小值为 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. （本小题13分）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，b =3c=，1cos 3B =-． （Ⅰ）求sinC 的值； （Ⅱ）求ABC △的面积．16. （本小题13分）某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除颜色外均相同． （Ⅰ）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；（Ⅱ）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记得到红球的次数为ξ，求ξ的分布列；（Ⅲ）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取100次，得到几次红球的概率最大？只需写出结论．17. （本小题14分）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ABCD ⊥平面AEB ，且四边形ABCD 为矩形，120BAE=∠︒，4AE=AB=，2AD=，F G ，分别为BE AE ，的中点，H 在线段BC 上（不包括端点）．（Ⅰ）求证：CD ∥平面FGH ； （Ⅱ）求证：平面DAF ⊥平面CEB ；（Ⅲ）是否存在点H ，使得二面角H GF B --的大小为π6？若存在，求BH BC； 若不存在，说明理由．18.（本小题13分）设函数()1x f x e ax =-+，0a >．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅱ）当1x <时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求a 的最大值．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为(,0)F c ，左顶点为A ，右顶点B 在直线l :2x =上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，直线AP 交直线l 于点D ，当点P 运动时，判断HE以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．20.（本小题13分）若项数为n 的单调递增数列{}n a 满足： ①11a =；②对任意k （*k ∈N ，2k n ≤≤），存在,i j （**,i j ∈∈N N ，1i j n ≤≤≤）使得k i j a a a =+，则称数列{}n a 具有性质P .（Ⅰ）分别判断数列1,3,4,7和1,2,3,5是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅱ）若数列{}n a 具有性质P ，且36n a =，（ⅰ）证明数列{}n a 的项数7n ≥； （ⅱ）求数列{}n a 中所有项的和的最小值．2020年石景山区高三统一测试 数学（理）试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBBADCAC二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 9．1-； 10．122n +-； 11．相交； 12．15232+或15 或3315+； 13．2 ； 14．12，3．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）解：(Ⅰ)在ABC V 中，1cos 3-B =， ∴2212sin 1cos 1()33--=B =B ， ∵23b =3c=，由正弦定理sin sin =b cB C 233sin 22=C，∴6sin C =(Ⅱ)由余弦定理222+2cos -b =a c ac B 得2112+923()3-⨯⨯-=a a ，∴2230+-a a =，解得1a=或3-a=（舍） ∴1sin 2ABC S =ac B V 1213223=⨯⨯⨯= 16．（本小题13分）解：(Ⅰ)设“一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出2个红球”为事件A ．则23241()2C P A C ==．(Ⅱ)ξ可能取0，1，2，3，4．0044331(0)()(1)44256P C ξ==-=，1134333(1)()(1)4464P C ξ==-=， 22243327(2)()(1)44128P C ξ==-=，33143327(3)()(1)4464P C ξ==-=， 44043381(4)()(1)44256P C ξ==-=． 所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3 4P1256 364 27128 2764 81256（Ⅲ）75． 17．（本小题14分）（Ⅰ）证明：在矩形ABCD 中，CD ∥AB ，∵F G ，分别为BE AE ，的中点，∴FG ∥AB ，且FG 12=AB ， ∴CD ∥FG ， ∵⊄CD 平面FGH ，⊂FG 平面FGH ，∴CD ∥平面FGH ．（Ⅱ）证明：在矩形ABCD 中，⊥AD AB ，∵矩形⊥ABCD 平面AEB ，且平面ABCD I 平面AEB=AB ， ∴⊥AD 平面AEB ， 又⊂BE 平面AEB ， ∴⊥AD BE ，∵AE =AB ，F 为BE 的中点， ∴⊥AFBE ，又AD AF =A I ，∴⊥BE 平面ADF ，∵⊂BE 平面CEB ， ∴平面⊥DAF平面CEB ．（Ⅲ）在平面ABE 内作AB 的垂线，如图建立空间直角坐标系A xyz -，∵o 120∠BAE =，4AE=AB=，2AD=， ∴(000)A ，，，(040)B ，，，(042)C ，，，(2320)-E ，，，(310)-G ，，，(310)F ，，，设BH =BCλ，∴(002)(002)λλλ==BH =BC u u u r u u u r ，，，，， ∴(042)λH ，，，∴=(020)GF ，，u u u r ，(332)λ-FH =u u u r ，，， 设平面FGH 的法向量为=()n x y z r，，，∴00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n GF n FH r uu u r r uuu r ，，即203320λ=⎧⎪⎨-=⎪⎩y x+y+z ，， 令2λ=x ，则3=z ，∴=(203)λn r，，是平面FGH 的一个法向量，∵⊥AD 平面AEB ，∴平面AEB 的法向量为(002)=AD uuu r，，，∵二面角--H GF B 的大小6π∴2233|cos >|=(2)32λ<=+⋅n AD r uuu r，，解得12λ=±，∵H 在BC 上，∴12λ=． 18．（本小题13分）解：（Ⅰ）()e 1=-+xf x ax Qa e x f x -='∴)(，a e f -='∴)1(，由题设知(1)0f '=，即0=-a e ，解得e a =．经验证e a=满足题意。
北京市2020年石景山区高三统一测试数学试题(含标准答案)
21.（本小题 14 分）
解：(Ⅰ)集合 A 不具有性质 P ，集合 B 具有性质 P . A A {2,5,8,11,14} , card (A+A)=5 3(3 1) 不具有性质 P ; 2 B B {4,6,8,10,12,16} , card (B+B)=6 3(3 1) ,具有性质 P . 2
所以 PO BO ．
…………3 分
在正方形 ABCD 中， BO AC ，
又因为 PO AC O ， 所以 BO 面 PAC ． …………6 分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知， PO ， AO ， BO 两两垂直， 以 O 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系 .
在正方形 ABCD 中，因为 AB 2 2 ， 所以 AO 2 ． 又因为 PB 2 2 ， 所以 PO 2 ．
…………3 分
（Ⅱ）若三个数 a, b, c 成等差数列，则 A {a, b, c}不具有性质 P ，理由是 a c 2b .
因为 a1 a2 a3 2020 且 ai N * (i 1,2,3) 所以 a3 2019 ，
要使 a1 a2 a3 取最大，则 a3 2019 ；
所以该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有
840 28 392 人 60
………4 分
(Ⅱ)选考方案确定且为“物理，化学，生物”的男生共有 8 人。
……5 分
设“恰好有一人选物理、化学、生物”为事件 A
……6 分
p( A)
C81C81 C126
8 15
……8 分
高三数学答案第 2页（共 8页）
1)
k ( x2
1)
k ( x1
x2
2)
2k 2k 2 1
【2020年数学高考】2020年3月石景山高三数学(理)试题.doc
2020年石景山区高三统一测试数学（理）试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则AB =（ ）A ．{|13}x x -<<B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x << 2.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A．y B ．3y x =- C ．12log y x = D ．1y x x =+3.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（ A ．1 B ．2 C ．4 D ．74.在ABC △中，60A =︒，4AC =，BC =，则ABC △的面积为（ ）A ．B ．4C ．D ．5.若某多面体的三视图（单位：cm ）如图所示， 则此多面体的体积是（ ）A.378cmB. 323cmC. 356cmD.312cm6.现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行 涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色， 则不同的涂色方法共有（ ）A ．24种B ．30种C ．36种D ．48种 7.设,a b ∈R ，则“a b >”是“a a b b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8.如图，已知线段AB 上有一动点D （D 异于A B 、）,线段CD AB ⊥,且满足2CD AD BD λ=⋅（λ是大于0且不等于1的常数），则点C 的运动轨迹为（ ）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.双曲线2212x y -=的焦距是________,渐近线方程是________.10.若变量,x y 满足2,239,0,x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥则22x y +的最大值是____________.B ACD11.已知圆C 的参数方程为cos ,sin 2,x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为sin cos 1ρθρθ+=，则直线截圆C 所得的弦长是_____________．12. 已知函数31,1(),1x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩≥，若关于x 的方程()f x k =有两个不同零点，则k 的取值范围是_____________．13.如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上 再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股 树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长________． 14.设W 是由一平面内的(3n n ≥）个向量组成的集合．若a W ∈，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量.有下列命题： ①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量,a b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c a b =--，使得{}=,,W a b c 中的每个元素都是极大向量；③若{}{}11232123=,,=,,W a a a W b b b ，中的每个元素都是极大向量，且12,W W 中无公共元素，则12W W 中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是_______________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期;（Ⅱ）求函数()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值.16．（本小题共13分）抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内 20名同学今年春节期间抢到红包金额x （元）如下（四舍五入取整数）：102 52 41 121 72 162 50 22 158 46 43 136 95 192 59 99 22 68 98 79对这20个数据进行分组，各组的频数如下：组别 红包金额分组 频数 A 0≤x ＜40 2 B 40≤x ＜80 9 C 80≤x ＜120 m D 120≤x ＜160 3 E160≤x ＜200n（Ⅰ）写出m ，n 的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别； （Ⅱ）记C 组红包金额的平均数与方差分别为1v 、21s ，E 组红包金额的平均数与方差分别为2v 、22s ，试分别比较1v 与2v 、21s 与22s 的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从A ，E 两组的所有数据中任取2个数据，记这2个数据差的绝对值为ξ，求ξ的分布列和数学期望．17．（本小题共14分）如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，EB //PA ，4AB PA ==，2EB =，F 为PD 的中点．（Ⅰ）求证：AF PC ⊥； （Ⅱ）求证：BD //平面PEC ； （Ⅲ）求二面角D PC E --的大小．18．（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，动点E 到定点(1,0)的距离与它到直线1x =-的距离相等．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设动直线:l y kx b =+与曲线C 相切于点P ，与直线1x =-相交于点Q ．证明：以PQ 为直径的圆恒过x 轴上某定点．19．（本小题共14分）已知2()x f x e ax =-，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1y bx =+. （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）求()f x 在[0,1]上的最大值；（Ⅲ）当x ∈R 时，判断()y f x =与1y bx =+交点的个数.（只需写出结论，不要求证明）20．（本小题共13分）对于项数为m （1m >）的有穷正整数数列{}n a ,记12max{,,,}k k b a a a =（1,2,,k m =），即k b 为12,,k a a a 中的最大值，称数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”.比如1,3,2,5,5的“创新数列”为1,3,3,5,5.（Ⅰ）若数列{}n a 的“创新数列”{}n b 为1,2,3,4,4，写出所有可能的数列{}n a ； （Ⅱ）设数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”，满足12018k m k a b -++=（1,2,,k m =），求证：k k a b =（1,2,,k m =）；（Ⅲ）设数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”，数列{}n b 中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列{}n a .。
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北京市石景山区2020届高三一模考试
数学理试题
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
1.设集合{}240A x x x =+<，集合{}21,B n n k k ==-∈Z ，则A B =I
(A){}1,1- (B){}1,3 (C){}3,1--
(D){}3,1,1,3-- 2.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为2x y θθ
⎧=+⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数），则C 曲线是
(A)关于x 轴对称的图形
(B)关于y 轴对称的图形 (C) 关于原点对称的图形 (D)关于y x =对称的图形
3.如果()f x 是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是
(A) ()y x f x =+ (B)()y xf x = (C)()2y x f x =+ (D)()2
y x f x = 4.在平面直角坐标系xOy 中，向量()1,2OA =-u u u r ,()2,OB m =u u u r ，若O ，A ，B 三点构成的
三角形，则
(A) 4m =-
(B)4m ≠- C)1m ≠ (D)m ∈R 5.执行如图所示的程序库按图，若输入的A 、S 分别为0，1则输出的S = (A)4 (B)16 (C)27 (D)36 6.设10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则“(),0a ∈-∞ ”是“12
log x x a >+”的
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
7.设函数()()sin f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>），且函数()f x 的
部分图像如图所示，则有
(A)357436f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(B)375463f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (C) 573364f f f π
ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (D)537346f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-<
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 8.如图，在棱长为()0a a >的正四面体ABCD 中，点B ，C ，D 分别在棱AB ，AC ，AD
上，且平面111B C D ∥平面BCD ，1A 为BCD △内一点，记三棱锥1111A B C D -的体积为V ，设1AD x AD =，对于函数()V F x =，则 (A)当23x = 时，函数()f x 取得最大值 (B)函数()f x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数 (C)函数()f x 的图像关于直线12
x =对称 (D)存在0x ，使得()013
A BCD f x V ->（其中A BCD V -为四面体ABCD
的体积） A
D C B
D 1C 1B 1
A 1
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．
9.在复平面内，复数1z 与2z 对应的点关于虚轴对称，且11i z =-+，则12
z z = . 10.已知等差数列{}n a 的公差0d >，33a =-，245a a =，则n a = ；记{}n a 的前项和为n S ，则n S 的最小值为 .
11.若圆()22
21x y -+=与双曲线()2
22:10x C y a a -=>的渐近线相切，则a = ；双曲线C 的渐近线方程是 .
12.一个棱长为4的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积是
.
俯视图
13.在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A ，B ，C 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者工作，且甲不能参加A ，B 项目，乙不能参加B ，C 项目，共有 种不同的志愿者分配方案.（用数字作答）
14.一辆赛车在一个周长为3km 的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系.
根据图1，有一些四个说法：
①在这第二圈的2.6km 到2.8km 之间，赛车速度逐渐增加；
②在整个跑道中，最长的直线路程不超过0.6km ；
③大约在这第二圈的0.4km 到0.6km 之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶；
④在图2的四条曲线（注：s 为初始记录数据位置）中，曲线B 最能符合赛车的运动轨迹. 其中，所有正确说法的序号是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题满分13分）
在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设3A π=
，sin 3sin B C =. （Ⅰ）若7a =b 的值；
（Ⅱ）求tan C 的值.
16．（本小题满分13分）
某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.
（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被成为“体育良好”.已知该校高一年级有1000名学生，试估计，高一全年级中“体育良好”的学生人数；
（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[)60,70和[)80,90的样本学生中随机抽取2人，至少有1人体育成绩在[)60,70的概率；
（Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a ，b ，c ，且分别在[)70,80，[)80,90，[]90,100三组中，其中a ，b ，c ∈N ，当数据a ，b ，c 的方差2s 最小时，写出a ，b ，c 的值.（结论不要求证明） （注：()()()
2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，其中x 为数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数）
17．（本小题满分14分）
如图，四边形为梯形ABCD ，DAD BC ∥，90BAD ∠=o
，四边形11CC D D 为矩形，已知1AB BC ⊥，4AD =，2AB =，1BC =.
（Ⅰ）求证：1BC ∥平面1ADD ；
（Ⅱ）若12DD =，求平面11AC D 与平面1ADD 所成的锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）设P 为线段1C D 上的一个动点（端点除外），判断直线1BC 与直线CP 能否垂直？并说明理由.
D 1
C 1
D C B
A
18．（本小题满分13分） 已知函数()1e e x x f x x a -=- ，且()'1e f =.
（Ⅰ）求a 的值及()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若关于x 的方程()()2
22f x kx k =->存在两不相等的正实数根1x ，2x ，证明：124ln e
x x ->.
19．（本小题满分14分）
已知椭圆()22:310C mx my m +=>
的长轴长为O 为坐标原点
（Ⅰ）求椭圆C 的方程和离心率；
（Ⅱ）设点()3,0A ，动点B 在y 轴上，动点P 在椭圆C 上，且P 在y 轴的右侧，若BA BP =，求四边形OPAB 面积的最小值.
20．（本小题满分13分）
设数列{}n a 和{}n b 的项均为m ，则将数列和的距离定义为
1m i i i a b =-∑.
（Ⅰ）该出数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离
（Ⅱ）设A 为满足递推关系111n n n
a a a ++=-的所有数列{}n a 的集合，{}n
b 和{}n
c 为A 中的两个元素，且项数均为m ，若12b =，13c =，{}n b 和{}n c 的距离小于2016，求m 得最大值；
素的距离大于或等于3，证明：中的元素个数小于或等于16.
北京市石景山区2020届高三一模考试数学理试题参考答案。