安徽省合肥一中高二数学上学期期中试题 理 新人教A版
2022-2023学年人教A版高二上数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 直线与轴交于点，把 绕点顺时针旋转得直线，的倾斜角为，则（ ）A.B.C.D.2. 下列直线与直线平行的是( )A.B.C.D.3. 在中，为线段的中点，点在边上，且，与交于点，则（ ）A.B.C.D.l :x −y +2=03–√x A l A 45∘m m αcos α=−+6–√2–√4−2–√6–√4+6–√2–√4−6–√2–√4x −2y +1=02x +y −1=0x +2y −1=02x −y −1=0x −2y −1=0△ABC D AC E BC =BE −→−13EC −→−AE BD O =AO −→−+25AB −→−45AC −→−AB +3515AC −→−+15AB −→−35AC −→−+25AB −→−25AC −→−4. （重庆南开中学二诊）已知为椭圆的一个焦点，且该椭圆的焦距为，若是过椭圆中心的弦，则面积的最大值是（ ）A.B.C.D.5. 在坐标平面内，过点且与点距离相等的直线方程是( )A.B.C.D.或6. 已知直线与单位圆相交于，两点，且圆心到的距离为，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.7. 如图，在长方体中，，，，为的中点，则直线与平面所成角的大小是( )A.B.F +=1(0<m <25)y 225x 2m 4AB △FAB 612421−−√221−−√P (−1,2)A (2,3),B (−4,5)x +3y −5=0x +3y −7=0x =−1x +3y −5=0x =−1l O A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2O l 3–√2|+|+|+|x 1y 1x 2y 2[,]6–√26–√[,]3–√6–√[,]6–√23–√[,]2–√3–√ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =2AD =1A =A 12–√E C 1D 1BE ABB 1A 1π6π4πC.D. 8. 已知、分别是双曲线：＝的左、右焦点，为轴上一点，为左支上一点，若（+）•＝，且周长最小值为实轴长的倍，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.9. 过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，若的焦点为，则( )A.B.C.D.10. 在平面直角坐标系中，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的最大值为( )A.B.C.D.11. 已知椭圆的焦距为，则 A.π3π2F 1F 2C 1(a >0,b >0)P y Q 0△P Q F 24C 2(−2，0)23C :=4x y 2M ，N C F ⋅=FM −→−FN −→−5678xOy y =kx −21C :+−8x +15=0x 2y 2k 34233243+=1(m >6)x 26y 2m2m =()37−−√B.C.D.12. 在直角坐标系中，定义两点，之间的“直角距离”为，现给出四个命题：①已知，，，则为定值；②用表示，两点间的“直线距离”，那么；③已知为直线上任一点，为坐标原点，则的最小值为；④已知，，三点不共线，则必有.(参考公式：) 则说法正确的是( )A.②③B.①④C.①②D.①②④卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知实数，，成等差数列，点在动直线（，不同时为零）上的射影点为，若点的坐标为，则线段长度的最大值是________．14. 设椭圆的焦点为 ，， 点在椭圆上，若 是直角三角形， 的面积为________．15. 在三棱柱中，底面，底面为正三角形，是的中点，若半径为的球与三棱柱的三个侧面以及上、下底面都相切，则________；若直线与球的球面交于两点，，则________．16. 已知点是椭圆 上的一点， 分别为椭圆的左、右焦点，已知 ，且 ，则椭圆的离心率为________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知椭圆的长轴长为，且经过点.求椭圆的标准方程.37749P(,)x 1y 1Q(,)x 2y 2d(P,Q)=|−|+|−|x 1x 2y 1y 2P(1,3)Q(x,x)sin 2cos 2x ∈R d(P,Q)|PQ |P Q |PQ |≥d(P,Q)2–√2P y =x +2O d(P,Q)2–√P Q R d(P,Q)+d(Q,R)>d(P,Q)+≥(a +b a 2b 212)2a b c P(−3,0)ax +by +c =0a b M N (2,3)MN +=1x 24y 23F 1F 2P △PF 1F 2△PF 1F 2ABC −A 1B 1C 1A ⊥A 1ABC ABC D BC 1O ABC −A 1B 1C 1BC =D A 1O M N MN =P +=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2，F 1F 2∠P =F 1F 2120∘|P |=2|P |F 1F 2C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b24(1，)32(1)C (2)l :y =k(x −4)C A ，B A设动直线交椭圆于两点，点与点关于轴对称.问：直线是否经过轴上一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.18. 已知点在圆上．求该圆的圆心坐标及半径长；过点，斜率为的直线与圆相交于，两点，求弦的长．19. 双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求其方程.20. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的一点，且直线，的斜率之积为.求椭圆的标准方程；直线过右焦点与椭圆交于，两点（，与不重合），不与轴垂直，若，求.21. 已知正方形，，分别是，的中点，将沿折起，如图所示，记二面角的大小为．证明：平面；若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求角的正弦值．22. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为且双曲线过点求双曲线的方程；若点 在双曲线上，（其中 ，求 的值．(2)l :y =k(x −4)C A ，B A D x BD x (2,−3)C :+−8x +6y +m =0x 2y 2(1)(2)M (−1,1)−43l C A B AB +=1x 227y 236(,4)15−−√C :+=1(a >)x 2a 2y 233–√A 1A 2P C A 1A 2PA 1PA 2−34(1)C (2)l F 2C M N M N A 1l x +=−k M A 1k N A 1k MN |MN|ABCD E F AB CD △ADE DE A −DE −C θ(0<θ<π)(1)BF //ADE (2)△ACD A BCDE G EF θF 1F 22–√P(4,−)10−−√(1)(2)M (3,m)m <0)⋅MF 1−→−−MF 2−→−−参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】设的倾斜角为，则，∴由题意知∴故选：．2.【答案】D【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【解析】分别求出各条直线的斜率，然后利用平行直线的斜率关系即可求解.【解答】解：由题意，直线的斜率为，直线的斜率为，故错误；直线的斜率为，故错误；直线的斜率为，故错误；直线的斜率为，故正确.所以与平行的是.故选.1θtan θ=3–√θ=60∘α=θ−=−45∘60∘45∘cos α=cos(−)=cos cos +sin sin sin 60∘45∘60∘45∘60∘45∘45∘=×+×=+122–√23–√22–√22–√44–√C x −2y +1=0122x +y −1=0−2A x +2y −1=0−12B 2x −y −1=02C x −2y −1=012D x −2y +1=0x −2y −1=0D3.【答案】B【考点】向量在几何中的应用【解析】设，，将分别用含有、的算式表示出来，根据向量相等得到关于、的方程组，解方程组得到、的值，即可表示出【解答】解：依题意，设，，则同理，所以 解得 所以．故选．4.【答案】D=λBO −→−OD −→−=μAO −→−AE −→−||AO −→−λμλμλμAO−→−=λBO −→−BD −→−=μAO −→−AE −→−=μ=μ(+)AO −→−AE −→−AB −→−BE −→−=μ(+)AB −→−14BC −→−=μ[+(−)]=+AB −→−14AC −→−AB −→−3μAB −→−4μ4AC −→−=+=+λAO −→−AB −→−BO −→−AB −→−BD −→−=+λ(−)=+λ(−)AB −→−AD −→−AB −→−AB −→−12AC −→−AB −→−=(1−λ)+AB −→−λ2AC −→− =1−λ,3μ4=,μ4λ2 λ=25μ=45=+AO −→−35AB −→−15AC −→−B椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】由已知得，所以椭圆方程为．设，的横坐标分别为，，则，即当点与点到轴的距离的和最大时，的面积取得最大值，所以当线段为椭圆短轴时，面积最大，此时最大值为，故选．【方法点拨方法点拨】求解本题的关键：一是会用待定系数法求出椭圆的标准方程；二是会转化，把所求的三角形面积的最值问题转化为两动点到轴距离的和的最值．本题考查椭圆的图象和性质、最值问题．5.【答案】D【考点】点到直线的距离公式【解析】当直线为时，满足条件，因此直线方程可以为；当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，可得，解出即可得出．【解答】解：①当所求直线方程为时，到点距离相等，∴所求直线方程为.②当所求直线的斜率存在时，设所求直线方程为：，整理得：，∴，整理得：，解得：，∴所求直线方程为：，即.综上，所求直线方程为：或．故选．6.c =2,m =25−=2122+=1y 225x 221A B x A x B =|OF|⋅(||+S △FAB 12x A ||)=||+||x B x A x B A B y △FAB AB △FAB |OF||AB|=×12122×2=221−−√21−−√D y l x =−1l x =−1l l y −2=k (x +1)=|2k −3+k +2|1+k 2−−−−−√|−4k −5+k +2|1+k 2−−−−−√x =−1A (2,3)，B (−4,5)x =−1y −2=k (x +1)kx −y +k +2=0=|2k −3+k +2|1+k 2−−−−−√|−4k −5+k +2|1+k2−−−−−√|3k −1|=|3k +3|k =−13y −2=−(x +1)13x +3y −5=0x +3y −5=0x =−1DA【考点】直线与圆相交的性质直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】17.【答案】A【考点】直线与平面所成的角【解析】取的中点，连接，，则为直线与平面所成的角，由此能求出直线与平面所成角的大小．【解答】解：如图，取的中点，连结，，则为直线与平面所成的角．由题意可得，，则，故.即直线与平面所成角的大小是．故选.8.【答案】BA 1B 1F EF BF ∠EBF BE ABB 1A 1BE ABB 1A 1A 1B 1F EF BF ∠EBF BE ABB 1A1EF =AD =1BF ==2+1−−−−√3–√tan ∠EBF ===EF BF 13–√3–√3∠EBF =π6BE ABB 1A 1π6A双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】D【考点】抛物线的性质数量积的坐标表达式直线的一般式方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，抛物线的焦点的坐标为，该条直线的方程为，联立得解得两点坐标分别为，所以.故选.10.【答案】D【考点】直线与圆的位置关系F (1，0)y =x +2343y =x +，2343=4x ，y 2M ，N (1,2)，(4,4)⋅=8FM −→−FN −→−D圆化成标准方程，得圆心为且半径，根据题意可得到直线的距离小于或等于，利用点到直线的距离公式建立关于的不等式，解之得，即可得到的最大值．【解答】解：由题意，圆的方程为，整理，得，则圆心为，半径．又直线上至少存在一点，使以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，所以点到直线的距离小于或等于，即，化简，得，解得，故的最大值是．故选．11.【答案】C【考点】椭圆的应用椭圆的定义和性质【解析】【解答】解：依题意可得，则．故选.12.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用进行简单的合情推理两点间的距离公式C C(4,0)r =1C y =kx −22k 0≤k ≤43k C +−8x +15=0x 2y 2(x −4+=1)2y 2C(4,0)r =1y =kx −21C C y =kx −22≤2|4k −0−2|+1k 2−−−−−√3−4k ≤0k 20≤k ≤43k 43D =m −6=1c 2m =7C先根据直角距离的定义分别表示出所求的问题的表达式，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．【解答】解：①若，，则为定值，故①正确；②表示，两点间的“直线距离”，那么，即，故②正确；③已知为直线上任一点，设，，则，表示数轴上的到和的距离之和，其最小值为，故③不正确；④∵，，三点不共线，且，故，故④正确.故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】实数，，成等差数列，可得，于是动直线（，不同时为零）化为：，即，利用直线系可得：动直线过定点：．因此点在以为直径的圆上，利用中点坐标公式可得：圆心为线段的中点：，半径．则线段长度的最大值．【解答】解：∵实数，，成等差数列，∴，∴动直线（，不同时为零）化为：，变形为，令，解得．∴动直线过定点：．∴点在以为直径的圆上，圆心为线段的中点：，半径．∴线段长度的最大值．故答案为：．P(1,3)Q(x,x)(x ∈R)sin 2cos 2d(P,Q)=|1−x |+|3−x |=4−(x +x)=3sin 2cos 2cos 2sin 2|PQ |P Q |PQ =|−+|−≥(|−|+|−||2x 1x 2|2y 1y 2|212x 1x 2y 1y 2)2|PQ |≥d(P,Q)2–√2P y =x +2P(x,x +2)O(0,0)d(P,Q)=|−|+|−|=|x |+|x +2|x 1x 2y 1y 2x −202P Q R d(Q,R)>0d(P,Q)+d(Q,R)>d(P,Q)D 5+5–√a b c 2b =a +c l :ax +by +c =0a b ax +y +c =0a +c 2a(2x +y)+c(y +2)=0l Q(1,−2)M PQ PQ C(−1,−1)r MN =|CN |+r a b c 2b =a +c l :ax +by +c =0a b ax +y +c =0a +c 2a(2x +y)+c(y +2)=0{2x +y =0y +2=0{x =1y =−2l Q(1,−2)M PQ PQ C(−1,−1)r ==+122−−−−−√5–√MN =|CN |+r =+=5++3242−−−−−−√5–√5–√5+5–√14.【答案】【考点】椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】解：当点为椭圆的上顶点时， 最大，根据椭圆的标准方程可求得 ,∴ 不可能是直角；∴只能是 轴，或 轴； 带入椭圆的标准方程可得；．故答案为：．15.【答案】,【考点】点到直线的距离公式多面体的内切球问题【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，过作与垂直的平面与三棱柱的棱，，分别交于点，，，对应圆与相切于点，32P ∠P F 1F 2∠P =F 1F 260∘∠P F 1F 2P ⊥x F 1P ⊥x F 2x =1y =±32=×2×=S △PF 1F 21232323223–√439−−√13(1)O AA 1ABC −A 1B 1C 1AA 1BB 1CC 1A 2B 2C 2O A 2B 2Q在中，因为，，所以，从而；过和作平面与交于点，如图，以为原点，，所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，则，，，的方程为，设的中点为，则，所以．故答案为：；．16.【答案】【考点】椭圆的离心率【解析】Rt △OQ A 2OQ =1∠O Q =A 230∘Q =A 23–√BC ==2A 2B 23–√AA 1D B 1C 1D 1(2)A AD AA 1x y (0,2)A 1D (3,0)O (2,1)D A 12x +3y −6=0MN G OG ==|2×2+3×1−6|13−−√113−−√MN =2MG =2=1−113−−−−−−√439−−√1323–√439−−√13此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：由题意得，所以.又椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为设则由，得则.由题可得直线的方程为又所以直线的方程为令，得，即直线过轴上的定点.【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程(1)2a =4a =2C (1，)32+=11494b 2=3b 2C +=1.x 24y 23(2)A (,),B (,),x 1y 1x 2y 2D(，−)x 1y 1{y =k(x −4)3+4=12x 2y 2(3+4)−32x +64−k 2x 2k 2k 212=0,Δ>0,+=,=x 1x 232k 23+4k 2x 1x 264−12k 23+4k 2BD y +=(x −)，y 1+y 2y 1−x 2x 1x 1=k (−4),=k (−4),y 1x 1y 2x 2BD y +k (−4)=(x −).x 1k (−4)+k (−4)x 2x 1−x 2x 1x 1y =0x =+−4−+4x 1x 2x 2x 21x 1+−8x 1x 2x 1=2−4(+)x 1x 2x 1x 2+−8x 1x 2=2×−4×64−12k 23+4k 232k 23+4k 2−832k 23+4k 2==1−243+4k 232−24−32k 2k23+4k 2BD x (1，0)【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，所以.又椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为设则由，得则.由题可得直线的方程为又所以直线的方程为令，得，即直线过轴上的定点.18.【答案】解：由题可知： ，解得，，所以圆的标准方程为，所以圆心坐标为，半径.由题意得，直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为：(1)2a =4a =2C (1，)32+=11494b 2=3b 2C +=1.x 24y 23(2)A (,),B (,),x 1y 1x 2y 2D(，−)x 1y 1{y =k(x −4)3+4=12x 2y 2(3+4)−32x +64−k 2x 2k 2k 212=0,Δ>0,+=,=x 1x 232k 23+4k 2x 1x 264−12k 23+4k 2BD y +=(x −)，y 1+y 2y 1−x 2x 1x 1=k (−4),=k (−4),y 1x 1y2x 2BDy +k (−4)=(x −).x 1k (−4)+k (−4)x 2x1−x 2x 1x 1y =0x =+−4−+4x 1x 2x 2x 21x 1+−8x 1x 2x 1=2−4(+)x 1x 2x 1x 2+−8x 1x 2=2×−4×64−12k 23+4k 232k 23+4k 2−832k 23+4k 2==1−243+4k 232−24−32k 2k 23+4k 2BD x (1，0)(1)+−8×2+6×(−3)+m =022(−3)2m =21C +=4(x −4)2(y +3)2C (4,−3)r =2(2)l y −1=(−)(x +1)434x +3y +1=0C l ==|4×4+3×(−3)+1|，所以弦长．【考点】圆的一般方程圆的标准方程直线和圆的方程的应用点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知： ，解得，，所以圆的标准方程为，所以圆心坐标为，半径.由题意得，直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为：，所以弦长．19.【答案】解：由题意得：，．∵，∴．∴椭圆的焦点，．设双曲线方程为，∵点在曲线上，代入双曲线的方程可得或（舍）．∴双曲线的方程为．【考点】椭圆的标准方程双曲线的标准方程d ==|4×4+3×(−3)+1|+4232−−−−−−√85|AB|=2=−r 2d 2−−−−−−√125(1)+−8×2+6×(−3)+m =022(−3)2m =21C +=4(x −4)2(y +3)2C (4,−3)r =2(2)l y −1=(−)(x +1)434x +3y +1=0C l d ==|4×4+3×(−3)+1|+4232−−−−−−√85|AB|=2=−r 2d 2−−−−−−√125=36a 2=27b 2=−=9c 2a 2b 2c =3(0,−3)F 1(0,3)F 2−=1y 2m x 29−m (，4)15−−√m =4m =36−=1y 24x 25【解析】【解答】解：由题意得：，．∵，∴．∴椭圆的焦点，．设双曲线方程为，∵点在曲线上，代入双曲线的方程可得或（舍）．∴双曲线的方程为．20.【答案】解：设，由题设知，，因为，所以，解得，所以椭圆的标准方程为．根据题意，设，，直线，由消去并整理，得，则，即，，因为，，所以，又，由，得，解得，所以，，=36a 2=27b 2=−=9c 2a 2b 2c =3(0,−3)F 1(0,3)F 2−=1y 2m x 29−m (，4)15−−√m =4m =36−=1y 24x 25(1)P(,)x 0y 0(−a,0)A 1(a,0)A 2⋅=⋅=k PA 1k PA 2y 0+a x 0y 0−a x 0y 20−x 20a 2==−3(1−)x 20a 2−x 20a 23a 2−=−3a 234=4a 2C +=1x 24y 23(2)M(,)x 1y 1N(,)x 2y 2MN ：x =my +1(m ≠0) +=1,x 24y 23x =my +1,x (3+4)+6my −9=0m 2y 2Δ=36+36(3+4)>0m 2m 2+=−y 1y 26m 3+4m 2=−y 1y 293+4m 2=k M A 1y 1+2x 1=k N A 1y 2+2x 2+=k M A 1k N A 1(+2)+(+2)y 1x 2y 2x 1(+2)(+2)x 1x 2=(m +3)+(m +3)y 1y 2y 2y 1(m +3)(m +3)y 1y 2==−m 2m +3(+)y 1y 2y 1y 2+3m(+)+9m 2y 1y 2y 1y 2=k MN 1m +=−k M A 1k N A 1k MN −m =01m =1m 2|+|=y 1y 267=−y 1y 297MN|=|−|=⋅=24故．【考点】椭圆的标准方程斜率的计算公式圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】左侧图片未给出解析．左侧图片未给出解析．【解答】解：设，由题设知，，因为，所以，解得，所以椭圆的标准方程为．根据题意，设，，直线，由消去并整理，得，则，即，，因为，，所以，又，由，得，解得，所以，，故．21.|MN|=|−|=⋅=1+m 2−−−−−−√y 1y 22–√(+−4y 1y 2)2y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√247(1)P(,)x 0y 0(−a,0)A 1(a,0)A2⋅=⋅=k PA 1k PA 2y 0+a x 0y 0−a x 0y 20−x 20a 2==−3(1−)x 20a 2−x 20a 23a 2−=−3a 234=4a 2C +=1x 24y 23(2)M(,)x 1y 1N(,)x 2y 2MN ：x =my +1(m ≠0) +=1,x 24y 23x =my +1,x (3+4)+6my −9=0m 2y 2Δ=36+36(3+4)>0m 2m2+=−y 1y 26m 3+4m 2=−y 1y 293+4m 2=k M A 1y 1+2x 1=k N A 1y 2+2x 2+=k M A 1k N A 1(+2)+(+2)y 1x 2y 2x 1(+2)(+2)x 1x 2=(m +3)+(m +3)y 1y 2y 2y 1(m +3)(m +3)y 1y 2==−m 2m +3(+)y 1y 2y 1y 2+3m(+)+9m 2y 1y 2y 1y 2=k MN 1m+=−k M A 1k N A 1k MN −m =01m =1m 2|+|=y 1y 267=−y 1y 297|MN|=|−|=⋅=1+m 2−−−−−−√y 1y 22–√(+−4y 1y 2)2y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√247【答案】证明：分别为正方形的边，的中点，∵，且，∴四边形为平行四边形．∴∵平面，而平面∴平面．解：如图，点在平面内的射影在直线上，过点作垂直于平面，垂足为，连接，．∵为正三角形，∴.∴.∵在的垂直平分线上，∴点在平面内的射影在直线上，过作垂直于于，连接，则，所以为二面角的平面角．即.设原正方体的边长为，连接.在折后图的中，，，即为直角三角形，.∴.在中，.∴.∴.．即.【考点】与二面角有关的立体几何综合题直线与平面平行的判定【解析】（1）根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面内找到与直线平行的直线就可以了，易证四边形为平行四边形；（2）判断点在平面内的射影是否在直线上，可以从两种角度去思考：方法一：过点作垂直于平面，垂足为，然后证明射影在直线上．方法二：连接，在平面内过点作，垂足为．然后再证明平面，即为在平面内的射影．二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．由前面“判断点在(1)E ，F ABCD AB CD EB //FD EB =FD EBFD BF //EDED ⊂AED BF ⊂AEDBF //ADE (2)A BCDE G EF A AG BCDE G GC GD △ACD AC =AD CG =GD G CD A BCDE G EF G GH ED H AH AH ⊥DE ∠AHG A −DE −C ∠AHG =θ2a AF △AEF AF =a 3–√EF =2AE =2a △AEF AG ⋅EF =AE ⋅AF AG =a 3–√2Rt △ADE AH ⋅DE =AE ⋅AD AH =a 25–√GH =a 25–√cos θ==GH AH 14sin θ=15−−√4ADE BF EBFD A BCDE G EF A AG BCDE G G EF AF AEF AG'⊥EF G'AG'⊥BCDE G'A BCDE G A BCDE G AG ⊥BCDE G GH平面内的射影是否在直线上”可知：平面，所以过作垂直于于，连接，则，所以为二面角的平面角．即【解答】证明：分别为正方形得边，的中点，∵，且，∴四边形为平行四边形．∴∵平面，而平面∴平面．解：如图，点在平面内的射影在直线上，过点作垂直于平面，垂足为，连接，．∵为正三角形，∴.∴.∵在的垂直平分线上，∴点在平面内的射影在直线上，过作垂直于于，连接，则，所以为二面角的平面角．即.设原正方体的边长为，连接.在折后图的中，，，即为直角三角形，.∴.在中，.∴.∴.．即.22.【答案】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，BCDE G EF AG ⊥BCDE G GH ED H AH AH ⊥DE ∠AHG A −DE −C ∠AHG =θ(1)EF ABCD AB CD EB //FD EB =FD EBFD BF //EDED ⊂AED BF ⊂AEDBF //ADE (2)A BCDE G EF A AG BCDE G GC GD △ACD AC =AD CG =GD G CD A BCDE G EF G GH ED H AH AH ⊥DE ∠AHG A −DE −C ∠AHG =θ2a AF △AEF AF =a 3–√EF =2AE =2a △AEF AG ⋅EF =AE ⋅AF AG =a 3–√2Rt △ADE AH ⋅DE =AE ⋅AD AH =a 25–√GH =a 25–√cos θ==GH AH 14sin θ=15−−√4(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=02即，∴．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，即，∴．−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−。
安徽省合肥一中-学年高二数学上学期期中试卷理(含解析)【含答案】.docx
安徽省合肥一中-学年高二数学上学期期中试卷理(含解析)【含答案】.d o c x2015-2016 学年安徽省合肥一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 每小题所给的四个选项中只有一个选项正确，请将正确的选项填入答题卡中，答错或不答不得分）1．下列结论中正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．当正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等时该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线2．直线 2x﹣ y+k=0 与 4x ﹣ 2y+1=0 的位置关系是（）A．平行 B ．不平行C．平行或重合D．既不平行也不重合3．已知 m，n 为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线 l 满足l ⊥m，l ⊥ n，l α ，l β ，则（）A．α ∥β 且l ∥ αB．α⊥ β 且l ⊥ βC．α 与β 相交，且交线垂直于l D．α 与β 相交，且交线平行于l4．已知不等式组表示的平面区域恰好被面积最小的圆C：（ x﹣a）2+（ y﹣ b）2=r 2及其内部所覆盖，则圆 C 的方程为（）A．（ x﹣ 1）2+（ y﹣ 2）2 =5 B．（ x﹣ 2）2+（ y﹣ 1）2=8 C．（ x﹣ 4）2+（ y﹣ 1）2=6 D．（ x﹣2）2+（ y﹣ 1）2=55．图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（）A．20+3πB．24+3πC．20+4πD．24+4π6．已知圆的方程为x2+y2﹣ 6x﹣ 8y=0，设圆中过点（2， 5）的最长弦与最短弦为分别为AB、CD，则直线AB 与 CD的斜率之和为（）A．0B．﹣ 1 C．1D．﹣ 27．已知一个正方体的所有棱与空间的某一平面成角为α，则cos α 的值为（）A．B．C．D．8．已知 A（ 2， 0）、B（ 0， 2），从点 P（1， 0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（）A． 3B． 2C．D．29．已知点22﹣ 2y=0的两P（x，y）是直线 kx+y+4=0 （ k＞ 0）上一动点， PA， PB是圆 C：x+y条切线，A， B 是切点，若四边形PACB的最小面积是 2，则 k 的值为（）A． 3B．C．D． 210．已知圆（ x﹣ 3）2+（ y+5）2=36 和点 A（ 2， 2）、B（﹣ 1，﹣ 2），若点 C 在圆上且△ ABC 的面积为，则满足条件的点 C 的个数是（）A．1B． 2C．3D．411．已知 A， B 是球 O的球面上两点，∠ AOB=90°， C 为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球 O的表面积为（）A．36π B ．64π C．144πD．256π12．如图，点 P（ 3， 4）为圆 x2+y2=25 的一点，点 E，F 为 y 轴上的两点，△ PEF 是以点 P 为顶点的等腰三角形，直线 PE， PF 交圆于 D， C两点，直线 CD交 y 轴于点 A，则cos ∠DAO的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 请将每小题对的答案填在答题卡中，答错或不答不得分）13．设直线3x﹣ 4y+5=0 的倾斜角为θ，则sin2 θ =．14．过点（ 1，）的直线 l 将圆（ x﹣ 2）2+y2=4 分成两段弧，当优弧所对的圆心角最大时，直线 l 的斜率 k=．215．如图，在直角三角形SOC中，直角边OC的长为 4，SC为斜边，OB⊥ SC，现将三角形SOC 绕 SO旋转一周，若△SOC形成的几何体的体积为V，△ SOB形成的体积为，则V=．16．已知正四面体ABCD的棱长为9，点 P 是三角形ABC内（含边界）的一个动点满足P 到面 DAB、面 DBC、面 DCA的距离成等差数列，则点 P 到面 DCA的距离最大值为．三、解答题（本大题共 6 小题，第 17 题 10 分， 18-22 ，每题 12 分，共 70 分 . 请写出详细地解答步骤或证明过程）17．如图，在梯形 ABCD中，AB∥ CD，E，F 是线段 AB上的两点，且DE⊥ AB，CF⊥ AB，AB=12，AD=5，BC=4 ， DE=4．现将△ ADE，△ CFB分别沿 DE， CF折起，使 A， B 两点重合与点 G，得到多面体CDEFG．（1）求证：平面DEG⊥平面 CFG；（2）求多面体 CDEFG的体积．18．已知两直线l 1： x﹣2y+4=0 和 l 2： x+y﹣ 2=0 的交点为P．（1）直线 l 过点 P 且与直线 5x+3y ﹣ 6=0 垂直，求直线 l 的方程；（2）圆 C过点（ 3，1）且与 l 1相切于点 P，求圆 C的方程．19．如图，已知三棱锥 O﹣ ABC的侧棱 OA， OB， OC两两垂直，且 OA=1， OB=OC=2， E 是 OC 的中点．（1）求异面直线 BE与 AC所成角的余弦值；（2）求直线 BE和平面 ABC的所成角的正弦值．20．已知过原点的动直线l 与圆 C1： x2+y2﹣6x+5=0 相交于不同的两点A， B．（1）求圆 C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点 M的轨迹 C 的方程；（3）是否存在实数 k ，使得直线 L：y=k（ x﹣ 4）与曲线 C 只有一个交点若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明理由．21．如图，在四棱锥 P﹣ ABCD中，底面 ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面 ABCD， AD=2，PD=2 ，AB=PB=4，∠ BAD=60°．（Ⅰ）求证：AD⊥ PB；（Ⅱ） E 是侧棱 PC上一点，记=λ ，当PB⊥平面 ADE时，求实数λ 的值．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆 C 经过 A（ 0， 2），O（ 0， 0）， D（ t ，0）（ t ＞ 0）三点， M是线段 AD上的动点， l 1，l 2是过点 B（ 1，0）且互相垂直的两条直线，其中l 1交 y 轴于点 E， l 2交圆 C 于 P、 Q两点．（1）若 t=|PQ|=6 ，求直线l 2的方程；（2）若 t 是使|AM| ≤2|BM|恒成立的最小正整数，求三角形EPQ的面积的最小值．2015-2016 学年安徽省合肥一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 每小题所给的四个选项中只有一个选项正确，请将正确的选项填入答题卡中，答错或不答不得分）1．下列结论中正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．当正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等时该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；数学模型法；空间位置关系与距离；简易逻辑；立体几何．【分析】根据棱锥，圆锥的几何特征，逐一分析四个答案的真假，可得结论．【解答】解：正八面体的各个面都是三角形，但不是三棱锥，故 A 错误；以锐角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是两个圆锥形成的组合体，故 B 错误；正六棱锥圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母棱锥的侧棱长一定大于底面多边形的边长，故 C 错误；圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线，故 D 正确；故选： D【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了棱锥和圆锥的几何特征，熟练掌握棱锥和圆锥的几何特征，是解答的关键．2．直线 2x﹣ y+k=0 与 4x ﹣ 2y+1=0 的位置关系是（）A．平行 B ．不平行C．平行或重合D．既不平行也不重合【考点】方程组解的个数与两直线的位置关系．【专题】计算题．【分析】化简方程组得到2k﹣ 1=0，根据 k 值确定方程组解的个数，由方程组解得个数判断两条直线的位置关系．【解答】解：∵由方程组，得 2k﹣ 1=0，当 k=时，方程组由无穷多个解，两条直线重合，当k≠时，方程组无解，两条直线平行，综上，两条直线平行或重合，故选 C．【点评】本题考查方程组解得个数与两条直线的位置关系，方程有唯一解时，两直线相交，方程组有无穷解时，两直线重合，方程组无解时，两直线平行．3．已知 m，n 为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线 l 满足l ⊥m，l ⊥ n，l α ，l β ，则（）A．α ∥ β 且l ∥ αB．α⊥ β 且l ⊥ βC．α 与β 相交，且交线垂直于 l D．α 与β 相交，且交线平行于 l【考点】平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．【解答】解：由m⊥平面α ，直线 l 满足l ⊥ m，且l α ，所以 l∥α ，又n⊥平面β ，l ⊥ n，l β ，所以l ∥ β．由直线 m，n 为异面直线，且m⊥平面α ，n⊥平面β ，则α 与β 相交，否则，若α∥ β 则推出m∥n，与 m， n 异面矛盾．故α 与β 相交，且交线平行于l ．故选 D．【点评】本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．4．已知不等式组表示的平面区域恰好被面积最小的圆C：（ x﹣a）2+（ y﹣ b）2=r 2及其内部所覆盖，则圆 C 的方程为（）A．（ x﹣ 1）2+（ y﹣ 2）2 =5B．（ x﹣ 2）2+（ y﹣ 1）2=8C．（ x﹣ 4）2+（ y﹣ 1）2=6 D．（ x﹣2）2+（ y﹣ 1）2=5【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；圆的标准方程．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；直线与圆．【分析】根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，进而可推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而求得圆心和半径，则圆的方程可得【解答】解：由题意知此平面区域表示的是以O（0， 0）， P（4， 0）， Q（ 0， 2）构成的三角形及其内部，且△ OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2， 1），半径是，所以圆 C 的方程是（ x﹣ 2）2+（y﹣ 1）2=5．故选： D【点评】本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了数形结合的思想，转化和化归的思想．5．图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（）A．20+3πB．24+3πC．20+4πD．24+4π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由几何体的三视图，知该几何体的上半部分是棱长为 2 的正方体，下半部分是半径为 1，高为 2 的圆柱的一半，由此能求出该几何体的表面积．【解答】解：由几何体的三视图，知该几何体的上半部分是棱长为 2 的正方体，下半部分是半径为1，高为 2 的圆柱的一半，∴该几何体的表面积22=20+3π ．S=5×2+π×1+故选 A．【点评】本题考查由几何体的三视图求几何体的表面积的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．6．已知圆的方程为x2+y2﹣ 6x﹣ 8y=0，设圆中过点（2， 5）的最长弦与最短弦为分别为AB、CD，则直线AB 与 CD的斜率之和为（）A．0B．﹣ 1 C．1D．﹣ 2【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率．【专题】计算题．【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，由（2，5）在圆内，故过此点最长的弦为直径，最短弦为与这条直径垂直的弦，所以由圆心坐标和（2， 5）求出直线AB的斜率，再根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣ 1 求出直线 CD的斜率，进而求出两直线的斜率和．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（ x﹣ 3）2+（ y﹣ 4）2=25，∴圆心坐标为（3， 4），∴过（ 2， 5）的最长弦 AB 所在直线的斜率为=﹣ 1，又最长弦所在的直线与最短弦所在的直线垂直，∴过（ 2， 5）最短弦CD所在的直线斜率为1，则直线 AB与 CD的斜率之和为﹣1+1=0．故选 A【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，直线斜率的计算方法，以及两直线垂直时斜率满足的关系，其中得出过点（ 2，5）最长的弦为直径，最短弦为与这条直径垂直的弦是解本题的关键．7．已知一个正方体的所有棱与空间的某一平面成角为α，则cos α 的值为（）A．B．C．D．【考点】二面角的平面角及求法．【专题】探究型；数形结合；转化思想；综合法；空间角．【分析】由棱 A1A， A1B1，A1D1与平面 AB1D1所成的角相等，知平面 AB1D1就是与正方体的 12 条棱的夹角均为α 的平面．由此能求出结果．【解答】解：因为棱A1A， A1B1， A1D1与平面 AB1D1所成的角相等，所以平面AB1D1就是与正方体的12 条棱的夹角均为α 的平面．设棱长为： 1，∴sin α ==，∴cos α =．故选： B．【点评】本题考查直线与平面所成的角的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．8．已知 A（ 2， 0）、B（ 0， 2），从点 P（1， 0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（）A．3B． 2C．D．2【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】数形结合；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】设点 P 关于 y 轴的对称点P′，点 P 关于直线 AB：x+y﹣ 4=0 的对称点P″，由对称特点可求P′和P″的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程|P ′P″| ．【解答】解：点 P（1， 0）关于 y 轴的对称点P′坐标是（﹣1， 0），设点 P 关于直线AB：x+y﹣ 2=0 的对称点P″（ a，b）∴，解得，∴光线所经过的路程|P ′P″|==，故选： C．【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的方法（利用垂直及中点在轴上），入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，把光线走过的路程转化为|P ′P″| 的长度，属于中档题．9．已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0 （ k＞ 0）上一动点， PA， PB是圆 C：x2+y2﹣ 2y=0 的两条切线， A， B 是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则 k 的值为（）A．3B．C．D． 2【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】计算题；转化思想．【分析】先求圆的半径，四边形 PACB的最小面积是 2，转化为三角形PBC的面积是1，求出切线长，再求PC的距离也就是圆心到直线的距离，可解k 的值．【解答】解：圆 C：x2+y2﹣ 2y=0 的圆心（ 0，1），半径是 r=1 ，由圆的性质知： S四边形=2S ，四边形 PACB的最小面积是 2，PACB△ PBC∴S△PBC的最小值 =1= rd （d 是切线长）∴d 最小值 =2圆心到直线的距离就是PC的最小值，∵k＞ 0，∴ k=2故选 D．【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识，是中档题．10．已知圆（ x﹣ 3）2+（ y+5）2=36 和点 A（ 2， 2）、B（﹣ 1，﹣ 2），若点 C 在圆上且△ ABC 的面积为，则满足条件的点 C 的个数是（）A． 1B． 2C．3D． 4【考点】圆的标准方程．【分析】由已知得 |AB|=5 ，C 到 AB距离是1，直线 AB的方程为 4x﹣ 3y﹣ 2=0，圆心到 AB 距离 d==5＜ 6，直线 AB 和圆相交，由此能求出满足条件的点 C 的个数．【解答】解：∵点 A（ 2， 2）、B（﹣ 1，﹣ 2），若点 C 在圆上且△ ABC的面积为，∴|AB|=5 ，∴△ ABC的高 h==1，即 C 到 AB距离是 1，直线 AB的方程为，即 4x﹣ 3y﹣ 2=0，圆心到 AB距离 d==5＜ 6，∴直线 AB和圆相交，过 AB做两条距离 1 的平行线，∵ 6﹣ 5=1，∴一条相切，∴满足条件的点 C 的个数有 3 个．故选： C．【点评】本题考查满足条件的点的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．11．已知 A， B 是球 O的球面上两点，∠ AOB=90°， C 为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球 O的表面积为（）A．36π B ．64π C．144πD．256π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】当点 C 位于垂直于面 AOB的直径端点时，三棱锥 O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为 36，求出半径，即可求出球 O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时 V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故 R=6，则球 O的表2面积为4πR =144π ，【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点 C 位于垂直于面 AOB的直径端点时，三棱锥 O﹣ABC的体积最大是关键．12．如图，点 P（ 3， 4）为圆 x2+y2=25 的一点，点 E，F 为 y 轴上的两点，△ PEF 是以点 P 为顶点的等腰三角形，直线 PE， PF 交圆于 D， C两点，直线 CD交 y 轴于点 A，则cos ∠DAO的值为（）A．B．C．D．【考点】圆方程的综合应用．【专题】转化思想；数形结合法；三角函数的求值；直线与圆．【分析】要求cos ∠DAO的值，由于 A 为一动点，故无法直接解三角形求出答案，我们可以构造与∠ DAO相等的角，然后进行求解，过P 点作 x 轴平行线，交圆弧于G，连接 OG根据等腰三角形性质及垂径定理，结合同角或等角的余角相等，我们可以判断∠DAO=∠ PGO，进而得到结论．【解答】解：过 P 点作 x 轴平行线，交圆弧于G，连接 OG．则： G点坐标为（﹣ 3， 4），PG⊥ EF，∵PEF是以 P 为顶点的等腰三角形，∴PG就是角 DPC的平分线，∴G就是圆弧CD的中点．∴OG⊥ CD，∴∠ DAO+∠GOA=90°．而∠ PGO+∠GOA=90°．∴∠ DAO=∠PGO∴cos ∠ DAO=cos∠ PGO= ．故选 B．【点评】本题考查的知识点是三角函数求值，其中利用等腰三角形性质及垂径定理，结合同角或等角的余角相等，构造与∠DAO相等的角∠ PGO，是解答本题的关键．二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 请将每小题对的答案填在答题卡中，答错或不答不得分）13．设直线3x﹣ 4y+5=0 的倾斜角为θ，则sin2 θ =．【考点】三角函数的化简求值；直线的倾斜角．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；直线与圆．【分析】由直线 3x﹣ 4y+5=0 的倾斜角为θ ，利用直线的斜出tan θ= ，再由万能公式sin2 θ =，能求出结果．【解答】解：∵直线3x﹣ 4y+5=0 的倾斜角为θ，∴ tan θ=，∴sin2 θ ===．故答案为：．【点评】本题考查正弦值的求法，是基础题，解题时要注意直线的倾斜角和万能公式的合理运用．14．过点（ 1，）的直线 l 将圆（ x﹣ 2）2+y2=4 分成两段弧，当优弧所对的圆心角最大时，直线 l 的斜率 k=．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】本题考查的是直线垂直时斜率之间的关系，及直线与圆的相关性质，要处理本题我们先要画出满足条件的图形，数形结合容易得到符合题目中的条件的数理关系，由优弧所对的圆心角最大，劣弧所对的圆心角最小弦长最短，及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直，易得到解题思路．【解答】解：如图示，由图形可知：点 A（1，）在圆（ x﹣ 2）2+y2=4 的内部，圆心为 O（ 2，0），要使得优弧所对的圆心角最大，则劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l ⊥OA，所以 k=﹣=．故答案为：．【点评】垂径定理及其推论是解决直线与圆关系时常用的定理，要求大家熟练掌握，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．相关推论，过圆内一点垂直于该点直径的弦最短，且弦所对的劣弧最短，优弧最长，弦所对的圆心角、圆周角最小．15．如图，在直角三角形SOC中，直角边OC的长为 4，SC为斜边，OB⊥ SC，现将三角形SOC 绕 SO旋转一周，若△ SOC形成的几何体的体积为V，△ SOB形成的体积为，则 V=．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】旋转一周后，△SOC形成的几何体为底面半径为 4 的圆锥，△ SOB形成的几何体为两个同底的圆锥，根据他们的体积关系求出 B 到 SO的距离，再根据相似三角形解出SO的长，代入体积公式计算．【解答】解：过 B 作BA⊥ SO于点 A，则 V=π 42SO=SO，=π BA2SA+ π BA2OA= π BA2SO．∴B A=2，∴BA 是△ SOC的中位线，即 A 是 SO的中点，∵SO⊥ SC，∴△ SAB∽△ BAO，2∴，即 SAAO=AB=4，∵SA=AO，∴ SA=AO=2，∴ SO=2SA=4，∴V=SO=．故答案为．【点评】本题考查了旋转体的体积，求出AB 的长是关键．16．已知正四面体ABCD的棱长为9，点 P 是三角形ABC内（含边界）的一个动点满足P 到面 DAB、面 DBC、面 DCA的距离成等差数列，则点P 到面 DCA的距离最大值为2．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】设动点 P 到面 DAB、面 DBC、面 DCA的距离分别为h1， h2， h3，由正四面体ABCD的棱长为 9，求出每个面面积 S=，高 h=3，由正四面体ABCD的体积得到h1+h2+h3=3，再由满足 P 到面 DAB、面 DBC、面 DCA的距离成等差数列，能求出点 P 到面 DCA的距离最大值．【解答】解：设动点P 到面 DAB、面 DBC、面 DCA的距离分别为h1， h2，h3，∵正四面体ABCD的棱长为9，每个面面积为S==，取 BC中点 E，连结 AE．过 S 作SO⊥面 ABC，垂足为 O，则AO==3，∴高 h=SO==3，∴正四面体ABCD的体积 V== S（ h1+h2+h3），∴h1+h2+h3=3 ，∵满足 P 到面 DAB、面 DBC、面 DCA的距离成等差数列，∴h +h +h =3h =3 ，∴， h +h =2，123223∴点 P 到面 DCA的距离最大值为2．故答案为： 2．【点评】本题考查点到平面的距离的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、正四面体性质等知识点的合理运用．三、解答题（本大题共 6 小题，第 17 题 10 分， 18-22 ，每题 12 分，共 70 分 . 请写出详细地解答步骤或证明过程）17．如图，在梯形 ABCD中，AB∥ CD，E，F 是线段 AB上的两点，且DE⊥ AB，CF⊥ AB，AB=12，AD=5， BC=4 ， DE=4．现将△ ADE，△ CFB分别沿 DE， CF折起，使 A， B 两点重合与点 G，得到多面体 CDEFG．（1）求证：平面DEG⊥平面 CFG；（2）求多面体 CDEFG的体积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；证明题．【分析】（ 1）判断四边形 CDEF为矩形，然后证明EG⊥ GF，推出CF⊥ EG，然后证明平面DEG ⊥平面 CFG．（2）在平面 EGF中，过点 G作GH⊥ EF 于 H，求出 GH，说明GH⊥平面 CDEF，利用求出体积．【解答】解：（ 1）证明：因为DE⊥ EF，CF⊥ EF，所以四边形CDEF为矩形，由 AD=5， DE=4，得 AE=GE==3，由 GC=4， CF=4，得 BF=FG==4，所以 EF=5，22在△ EFG中，有 EF =GE+FG，所以EG⊥ GF，又因为CF⊥ EF，CF⊥ FG，得CF⊥平面 EFG，所以CF⊥ EG，所以EG⊥平面 CFG，即平面DEG⊥平面 CFG．（2）解：在平面EGF中，过点G作GH⊥ EF 于 H，则 GH==，因为平面CDEF⊥平面 EFG，得GH⊥平面 CDEF，=16．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查逻辑推理能力，计算能力．18．已知两直线l 1： x﹣2y+4=0 和 l 2： x+y﹣ 2=0 的交点为P．（1）直线 l 过点 P 且与直线 5x+3y ﹣ 6=0 垂直，求直线 l 的方程；（2）圆 C过点（ 3，1）且与 l 1相切于点 P，求圆 C的方程．【考点】圆的切线方程．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（ 1）联立方程组，求出直线l 1：x﹣ 2y+4=0 和 l 2：x+y﹣ 2=0 的交点，再求出直线l的斜率，可得直线l 的方程；（2）设圆方程为标准方程，求出圆心与半径，即可求得圆的方程．【解答】解：（ 1）联立方程组，解得 x=0， y=2，∴直线 l 1： x﹣ 2y+4=0 和 l 2： x+y﹣ 2=0 的交点 P（ 0， 2），又∵直线5x+3y ﹣ 6=0 的斜率为﹣，∴直线l 的斜率为，∴直线 l 的方程为y﹣ 2=（ x﹣ 0），化为一般式可得3x﹣ 5y+10=0．（2）方程准方程（x a）2+（ y b）2=r 2，∴a2+（ b 2）2=（ a 3）2+（ b 1）2==r 2，∴a=1， b=0，∴ 的方程（x 1）2+y2=5．【点】本考直、的方程，考直与的位置关系，考学生分析解决的能力，属于中档．19．如，已知三棱 O ABC的棱 OA， OB， OC两两垂直，且 OA=1， OB=OC=2， E 是 OC 的中点．（1）求异面直 BE与 AC所成角的余弦；（2）求直 BE和平面 ABC的所成角的正弦．【考点】直与平面所成的角；异面直及其所成的角．【分析】根据中的条件可建立以 O 原点， OB、 OC、 OA分 X、 Y、 Z 的空直角坐系然后利用空向量行求解：（1）根据建立的空直角坐系求出然后再利用向量的角公式cos=求出 cos ＜＞然后根据cos ＜＞≥0 异面直BE与 AC所成角即＜＞，若 cos ＜＞＜ 0 异面直BE与 AC所成角即π ＜＞而可求出异面直BE与 AC所成角的余弦．（2）由（ 1）求出和平面 ABC的一个法向量然后再利用向量的角公式cos=求出 cos ＜，＞再根据若 cos ＜，＞≥0 直 BE和平面 ABC的所成角＜，＞，若 cos＜，＞＜ 0 直 BE 和平面 ABC的所成角＜，＞然后再根据公式和cos ＜，＞的即可求出直 BE和平面 ABC的所成角的正弦．【解答】解：（ 1）以 O 原点， OB、 OC、OA分 X、 Y、 Z 建立空直角坐系．16∴COS＜＞==?（ 5 分）所以异面直BE 与 AC所成角的余弦?（ 6 分）（2）平面ABC的法向量知知取，?（8分）?（ 10 分）故 BE和平面 ABC的所成角的正弦?（ 12 分）【点】本主要考察了空中异面直所成的角和直与平面所成的角，属立体几何中的常考型，．解的关是首先正确的建立空直角坐系然后可将异面直所成的角化所的向量的角或其角而于利用向量法求面角关是正确求解平面的一个法向量！20．已知原点的直l 与 C1： x2+y2 6x+5=0 相交于不同的两点A， B．1（1）求 C 的心坐；（2）求段 AB 的中点 M的迹 C 的方程；（3）是否存在数 k ，使得直 L：y=k（ x 4）与曲 C 只有一个交点若存在，求出k 的取范；若不存在，明理由．【考点】迹方程；直与的位置关系．【】新型；开放型；曲的定、性与方程．【分析】（ 1）通将 C1的一般式方程化准方程即得；（2）当直 l 的方程 y=kx ，通立直l 与 C 的方程，利用根的判式大于0、1达定理、中点坐公式及参数方程与普通方程的相互化，算即得；（3）通立直 L 与 C1的方程，利用根的判式△=0 及迹 C的端点与点（ 4，0）决定的直斜率，即得．【解答】解：（ 1）∵ C1： x2+y2 6x+5=0，整理，得其准方程：（ x 3）2+y2=4，∴ C1的心坐（3，0）；（2）当直 l 的方程 y=kx 、 A（ x ，y ）、 B（ x ， y ），1122立方程，消去 y 可得：（ 1+k2） x2﹣6x+5=0，由△ =36﹣ 4（ 1+k2）× 5＞ 0，可得 k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段 AB的中点 M的轨迹 C 的参数方程为，其中﹣＜ k＜，∴线段 AB的中点 M的轨迹 C 的方程为：（ x﹣）2+y2= ，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈ [ ﹣，] ∪ { ﹣，} 时，直线L： y=k（ x﹣ 4）与曲线 C 只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去 y，可得：（ 1+k2）x2﹣（ 3+8k2） x+16k 2=0，令△ =（ 3+8k2）2﹣ 4（ 1+k2）16k 2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（ 4， 0）决定的直线斜率为±，∴当直线L： y=k （ x﹣ 4）与曲线C只有一个交点时，k 的取值范围为 [ ﹣，] ∪ { ﹣，} ．【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于难题．21．如图，在四棱锥P﹣ ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面 ABCD， AD=2，PD=2 ，AB=PB=4，∠ BAD=60°．（Ⅰ）求证：AD⊥ PB；（Ⅱ） E 是侧棱 PC上一点，记=λ ，当PB⊥平面 ADE时，求实数λ 的值．【考点】直线与平面垂直的性质；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】综合题；空间位置关系与距离．18【分析】（Ⅰ）明AD⊥ BD，利用平面PBD⊥平面 ABCD，交 BD，可得AD⊥平面 PBD，从而AD⊥ PB；（Ⅱ）作EF∥ BC，交 PB于点 F，接 AF，接 DF，△ PBD中，由余弦定理求得，即可得出．【解答】（Ⅰ）明：在△ABD中，∵ AD=2， AB=4，∠ BAD=60°，∴由余弦定理求得．222∴AD+BD=AB，∴ AD⊥ BD．∵平面PBD⊥平面 ABCD，交 BD，∴AD⊥平面 PBD，∴AD⊥ PB．?6分（Ⅱ）解：作EF∥ BC，交 PB于点 F，接 AF，由EF∥ BC∥ AD可知 A， D， E，F 四点共面，接 DF，所以由（Ⅰ）的可知，PB⊥平面 ADE当且当PB⊥ DF．在△ PBD中，由 PB=4，，，余弦定理求得，∴在RT△ PDF中，PF=PDcos∠BPD=3，因此．? 12 分．【点】本考立体几何有关知，考面、面面垂直，考运算能力，属于中档．22．在平面直角坐系xOy 中，已知C A（ 0， 2），O（ 0， 0）， D（ t ，0）（ t ＞ 0）三点， M是段 AD上的点， l 1，l 2是点 B（ 1，0）且互相垂直的两条直，其中 l 1交 y 于点E， l 2交 C 于 P、 Q两点．（1）若 t=|PQ|=6 ，求直 l 2的方程；（2）若 t 是使|AM| ≤2|BM|恒成立的最小正整数，求三角形EPQ的面的最小．【考点】直与的位置关系．【】合；化思想；合法；直与．【分析】（ 1）求出心坐与半径，直l 2的方程 y=k（ x 1），利用 PQ=6，可得心到直的距离d==，即可求直l 2的方程；19（2）设 M （ x ，y ），由点 M 在线段 AD 上，得 2x+ty ﹣ 2t=0 ，由 AM≤2BM，得（ x ﹣ ）2+（ y+ ）22 2至多有一个公共点， 故，≥ ，依题意，线段 AD 与圆（ x ﹣ ）+（ y+）= 由此入手能求出△EPQ 的面积的最小值．【解答】 解：（ 1）由题意，圆心坐标为（ 3， 1），半径为 ，则设直线 l 2 的方程 y=k （x ﹣ 1），即 kx ﹣ y ﹣k=0，∴圆心到直线的距离d= = ，∴k=0 或，（ 3 分）当 k=0 时，直线 l 1 与 y 轴无交点，不合题意，舍去． ∴k= 时直线 l 2 的方程为 4x ﹣ 3y ﹣ 4=0．（ 6 分）（2）设 M （ x ， y ），由点 M 在线段 AD 上，得 ， 2x+ty ﹣ 2t=0 ．由 AM≤2BM，得（ x ﹣ ）2+（ y+） 2≥．（ 8 分）依题意知，线段 AD 与圆（ x ﹣ ）2+（ y+ ） 2=至多有一个公共点，故 ，解得或 t ≥．因为 t 是使 AM≤2BM 恒成立的最小正整数，所以t=4 ．所以圆圆 C 的方程为（ x ﹣ 2）2+（ y ﹣ 1）2=5．①当直线 l ：x=1 时，直线 l 1的方程为 y=0，此时， S=2；（10 分）2DEPQ②当直线 l 2 的斜率存在时，设 l 2 的方程为 y=k （ x ﹣ 1），k≠0，则 l 1 的方程为 y=﹣ （ x ﹣ 1），点 E （ 0，），∴ BE= ，又圆心到 l 2 的距离为，∴PQ=2，∴S =2=≥．△ EPQ∵＜ 2，20∴（ S△EPQ）min =．（ 14 分）【点评】本题考查直线方程，考查三角形面积的最小值的求法，确定三角形面积是关键．21。
高二数学上学期期中考试 理 新人教A版
【2019最新】精选高二数学上学期期中考试 理 新人教A 版高二级数学科（理）试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共3页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1. 答第I 卷前，务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管．第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑． 1. “”是“”的（ ）.3x >24x >A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2. 已知，那么下列不等式成立的是（ ）0a b >>3. 设是等差数列的前项和，若，则（ ）.n S {}n a n 735S =4a =A ．B ．C ．D ．87654. 已知命题:所有有理数都是实数，命题:正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题p q的是 （ ）A ．B ．C ．D ．q p ∨⌝)(q p ∧)()(q p ⌝∧⌝)()(q p ⌝∨⌝5. 小明在玩投石子游戏，第一次走1米放2颗石子，第二次走2米放4颗石子,…,第次走米放颗石子，当小明一共走了36米时，他投放石子的总数是（ ）n n 2n A ．36 B ．254 C ．510 D ．5126. 锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，则的取值范围是（ ）ABC ∆A B C a b c 2C A=c a7. 有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产地以相同的价格购进粮食，他们共购进粮食两次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮10000千克，乙每次购粮食10000元，在两次统计中，购粮的平均价格较低的是（ ）A.甲B.乙C.一样低D.不确定 8. 设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )1F 2F 22221(0,0)x y a b a b-=＞＞P 212PF F F =2F 1PFA. B. C. D.340x y ±=350x y ±=430x y ±=540x y ±=第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共有6个小题，每小题5分，共30分。
安徽省合肥市2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题含解析
绝密★启用前合肥2023~2024学年度第一学期高二年级期中考试（学考模拟）数学（答案在最后）本试卷共4页.全卷满分100分，考试时间90分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题共54分)一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，满分54分.每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求，多选不给分)1.已知集合{}1,2A =，{}1,3B =，则A B ⋃=（）A.{}1 B.{}1,2 C.{}1,3 D.{}1,2,3【答案】D 【解析】【分析】利用并集运算求解.【详解】解：因为集合{}1,2A =，{}1,3B =，所以A B ⋃={}1,2,3，故选：D2.下列函数中，在其定义域上单调递减的是（）A.y x=- B.²y x = C.sin y x= D.cos y x=【答案】A 【解析】【分析】利用幂函数与正余弦函数的单调性一一判定即可.【详解】由幂函数的单调性可知y x =-在定义域上单调递减，故A 正确；²y x =在(),0∞-上单调递减，()0,∞+上单调递增，不符题意，sin y x =在()ππ2π,2πZ 22k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，不符题意，cos y x =在[]()π2π,2πZ k k k -+∈上单调递增，不符题意，即B 、C 、D 错误.故选：A3.在平面直角坐标系中，下列与角420o 终边相同的角是（）A.20B.60C.120D.150【答案】B 【解析】【分析】利用终边相同的角的定义计算即可.【详解】由题意可知42036060=+ ，所以60 与420o 终边相同.故选：B4.若12i z =+，则4i 1zz =-A.1 B.-1C.iD.-i【答案】C 【解析】【详解】试题分析：()()4i 4ii 112i 12i 1zz ==-+--，故选C ．【考点】复数的运算、共轭复数．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．5.下列函数为奇函数的是（）A.1y x=B.y x= C.2xy = D.y =log ₂x【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求求解.【详解】对于A 中，函数1y x=为奇函数，符合题意；对于B 中，函数y x =为偶函数，不符合题意；对于C 中，函数2x y =为非奇非偶函数，不符合题意；对于D 中，函数2log y x =为非奇非偶函数，不符合题意.故选：A.6.已知函数()f x 对于任意实数x 满足()()2f x f x +=，若()13f -=，则()5f =（）A.-5B.-3C.3D.5【答案】C 【解析】【分析】首先判断函数的周期，利用周期求函数值.【详解】由R x ∀∈，()()2f x f x +=，可知，函数()f x 的周期2T =，()()()513213f f f =-+⨯=-=.故选：C7.已知a +b >0，b <0，那么a ，b ，-a ，-b 的大小关系是（）A.a >b >-a >-bB.a >b >．-b >-aC.a >-b >-a >bD.a >-b >b >-a【答案】D 【解析】【分析】根据题目信息，a +b >0，b <0，则可知0a >且a b >，在对内容排序即可【详解】因为a +b >0，b <0，则可知0a >且a b >，则a b b a >->>-，因此D 正确.故选：D.8.已知向量()(),1,1,2a b λλ=-=- ，若a b ⊥，则实数λ的值是（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据a b ⊥，由()()1120λλ⨯-+-⨯=求解.【详解】解：因为向量()(),1,1,2a b λλ=-=- ，且a b ⊥，所以()()1120λλ⨯-+-⨯=，解得2λ=，故选：D9.已知函数()()0,1xf x a a a =>≠的图象过点()2,9P ，则()1f -=（）A.3 B.-3C.13D.13-【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数的定义求底数，再计算函数值即可.【详解】由题意可知()()2293,3xf a a f x ==⇒==，所以()113f -=.故选：C10.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB ＝AD ＝2，13AA =，则四棱锥1D ABCD -的体积为（）A.3B.4C.6D.9【答案】B 【解析】【分析】根据长方体的特殊线面关系，结合棱锥体积公式求得结果.【详解】在长方体中，1DD ⊥底面ABCD ，则四棱锥1D ABCD -的体积为122343⨯⨯⨯=.故选：B11.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1sin 2a b A ===，则C =（）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】B 【解析】【分析】根据正弦定理，即可求解.【详解】根据正弦定理sin sin a bA B =，即sin sin 1b A B a==，则π2B =，sin 2A =，a b <，则π4A =，所以π4C B A π=--=.故选：B12.若函数21y x kx =++的图象与x 轴没有交点，则k 的取值范围是（）A.()2,2- B.()2,+∞C.(),2-∞- D.()(),22,∞∞--⋃+【答案】A 【解析】【分析】利用二次函数的性质计算即可.【详解】由题意可知210y x kx =++=无解，即()2Δ402,2k k =-<⇒∈-.故答案为：A13.已知AB=(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅ =A.-3B.-2C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=- ，1BC == ，得3t =，则(1,0)BC = ，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．14.在篮球选修课上，男、女生各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如图所示，试根据折线图通过计算比较本次投篮练习中男、女生的投篮水平，则（）A.男生投篮水平比女生投篮水平高B.女生投篮水平比男生投篮水平高C.男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定D.男女同学投篮命中数的极差相同【答案】C 【解析】【分析】根据平均数和方差计算公式结合图表数据计算出x 男，x 女，2s 男，2s 女，然后进行比较即可求得结果.【详解】由图可知1(45286)55x =++++=男，1(53764)55x =++++=女，222222(45)(55)(25)(85)()14565s -+-+-⎡⎤==⎣++-⎦-男，2222221(55)(35)(75)(65)(45)25s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦女，所以x x =男女，22s s >男女，所以本次投篮练习中男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定，故选：C.15.向如图放置的空容器中匀速注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分析容器的形状，结合匀速注水的条件可以直接得到答案.【详解】由于容器上粗下细，所以匀速注水的过程中，高度的增长会越来越慢，只有C 选项的图象符合条件，故选：C.16.函数()22log f x x =-零点所在的区间是（）A.()1,2 B.()2,4 C.()4,8 D.()8,16【答案】B 【解析】【分析】根据零点存在性定理，即可判断选项.【详解】函数()f x 在()0,∞+上单调递减，()120f =>，()2210f =->，()4220f =-<，()()240f f <，且函数单调递减，连续不断，所以函数的零点所在的区间是()2,4.故选：B17.从2名男生和2名女生中任选2人参加社区活动，那么互斥而不对立．．．．．．的两个事件是（）A.“恰有1名男生”与“全是男生”B.“至少有1名男生”与“全是女生”C.“至少有1名男生”与“全是男生”D.“至少有1名男生”与“至少有1名女生”【答案】A 【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的概念结合选项进行判断.【详解】对于A ，“恰有1名男生”与“全是男生”不能同时发生，但不一定必有其一发生，所以是互斥而不对立事件；对于B ，“至少有1名男生”与“全是女生”是对立事件；对于C ，“至少有1名男生”与“全是男生”能同时发生，所以不是互斥事件；对于D ，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”能同时发生，所以不是互斥事件；故选：A.18.如图，在长方形ABCD 中，6,4AB AD ==，点P 满足DP DC λ= ，其中20,3λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则PA PB+ 的取值范围是（）A.[]4,5B.[]8,10C.⎡⎣D.⎡⎤⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到()6,4P λ，20,3λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，从而求出PA PB +=，求出最值.【详解】以A 为坐标原点，,AB AD 所在直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,6,0,0,4,6,4A B D C ，设(),P s t ，因为DP DC λ=，所以()(),46,0s t λ-=，即6,4s t λ==，故()6,4P λ，20,3λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()6,466,4612,8PA PB λλλ+=--+--=--，则PA PB +=，因为20,3λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]6122,6λ-∈-，()[]26120,36λ-∈，故[]8,10PA PB +=.故选：B第Ⅱ卷(非选择题共46分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，满分16分，把答案填在题中的横线上)19.若a >0，则1a a+的最小值是___________.【答案】2【解析】【分析】利用基本不等式求解.【详解】解：∵a >0，∴12a a +≥=（当且仅当a =1时取“=”）.故答案为：220.某校高一年级有学生1000人，高二年级有学生800人，为制订学生课外活动方案，采用分层抽样的方法从两个年级分别抽取学生参加问卷调查，若从高一年级抽取学生50人，则应从高二年级抽取的学生人数是_______________.【答案】40【解析】【分析】根据分层抽样计算公式，即可求解.【详解】设高二年级抽取的学生人数为x ，则100050800x=，则40x =.故答案为：4021.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是___________.【答案】【解析】【分析】正方体外接球球心为其体对角线的中点，体对角线即为外接球的直径.【详解】设正方体棱长为a ，则2262442a a a =⇒=⇒=，根据正方体和球的对称性可知，正方体外接球球心为其体对角线的中点，其体对角线即为外接球的直径，设外接球半径为R ，则22(2)32R a R a =⇒==，∴外接球体积334433V R ππ==⋅=.故答案为：.22.在精准扶贫工作中，某单位帮助农户销售当地特色产品，该产品的成本是30元/千克，产品的日销售量P (千克)与销售单价x (元/千克)满足关系式()1623,30501122,5056x x P x x x -≤<⎧=⎨-≤≤⎩，要使农户获得日利润最大，则该产品销售单价x (元/千克)为_______________.【答案】42【解析】【分析】利用分段函数、二次函数的性质计算即可.【详解】由题意可知农户的日利润()()()()22342432,305030243338,5056x x W x P x x x ⎧--+≤<⎪=-⋅=⎨--+≤≤⎪⎩，由二次函数的单调性可知：若3050x ≤<，有42x =时，max 432W =；若5056x ≤≤，有50x =时，max 240432W =<；故42x =时，日利润取得最大值432.故答案为：42三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，满分30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)23.已知函数()sin 2f x x =.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）已知π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2cos 2θ=，求()f θ的值.【答案】（1）π（2）1【解析】【分析】（1）根据周期公式求解即可；（2）先根据平方关系求得sin θ，进而结合二倍角的正弦公式求解即可.【小问1详解】函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.【小问2详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则212sin 1cos 122θθ=-=-=，所以()22sin 22sin cos 2122f θθθθ===⨯⨯=.24.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，ABC 为等边三角形，点D 为棱AB 的中点，3,2PA AB ==（1）求证:CD ⊥平面PAB ；（2）求三棱锥P BCD -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质可得PA CD ⊥，再根据线面垂直的判定定理即可得证；（2）根据棱锥的体积公式计算即可.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以PA CD ⊥，因为ABC 为等边三角形，点D 为棱AB 的中点，所以CD AB ⊥，又,,PA AB A PA AB ⋂=⊂平面PAB ，所以CD ⊥平面PAB ；【小问2详解】CD =13122BCD S =⨯= ，因为PA ⊥平面ABC ，所以1132P BCD BCD V PA S -=⋅=.25.某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)0,0.1[)0.1,0.2[)0.2,0.3[)0.3,0.4[)0.4,0.5[)0.5,0.6[)0.6,0.7频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)0,0.1[)0.1,0.2[)0.2,0.3[)0.3,0.4[)0.4,0.5[)0.5,0.6频数151310165（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：0.35m的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于3（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）47.45m.【答案】（1）直方图见解析；（2）0.48；（3）3【解析】【分析】（1）根据题中所给的使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，算出落在相应区间上的频率，借助于直方图中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率，从而确定出对应矩形的高，从而得到直方图；（2）结合直方图，算出日用水量小于0.35的矩形的面积总和，即为所求的频率；（3）根据组中值乘以相应的频率作和求得50天日用水量的平均值，作差乘以365天得到一年能节约用水m，从而求得结果.多少3【详解】（1）频率分布直方图如下图所示：（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=；因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48；（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为()110.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为()210.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．估计使用节水龙头后，一年可节省水()()30.480.3536547.45m -⨯=．【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分布直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果.。
安徽省合肥一中高二数学上学期期中试题 理 新人教A版
合肥一中2013—2014第一学期段二考试高二理科数学试卷时间：120分钟 满分：150分一、 选择题（共10小题，每题5分）1.直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A. 90，不存在B. 45，1C. 135，-1D. 180，不存在2. 下面四个命题,其中正确命题的个数是（ ）①若直线a 与b 异面，b 与c 异面，则直线a 与c 异面；②若直线a 与b 相交，b 与c 相交，则直线a 与c 相交；③若直线a ∥b ，b ∥c ，则直线a ∥c ;④若直线a ∥b ，则a ，b 与c 所成角相等．A. 1B. 2C. 3D. 43. 一平面截球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离为4，则该球的表面积为（ ）A.20πB.50πC. 100πD.206π4.如右图所示，三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为4，且侧棱1AA ABC ⊥底面，且正视图是边长为4的正方形，则此三棱柱的侧视图的面积为（ ）A.16B.48C.5. 若直线20x y --=被圆()224x a y -+=所截得的弦长为a 为（ ）A. 1- 13或 C.2-或6 D. 04或6. 如果两条直线210x ay +-=与(1)10a x ay --+=互相平行，则a 为（ ）A. 0B. 102或 C. 12D. 2- 7. 直线cos 30x y α--=倾斜角的范围是（ ）A. 30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B. []1,1-C. ,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为（ ）A. 36aB. 312aC. 312D. 312 9. 已知A BC D ，，，是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AB AD ⋅=，则BCD ∆为（ ）A.钝角三角形B.锐角三角形C. 直角三角形D.不确定10. 在平面直角坐标系中，如果x y 与都是整数，就称点(),x y 为整点，下列命题正确的个数是（ ）①存在这样的直线，既不与坐标轴平行也不经过任何整点；②如果k b 与都是无理数，则直线=y kx b +不经过任何整点；③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；④直线=y kx b +经过无穷多个整点，当且仅当k b 与都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线；A. 1B. 2C. 3D. 4二、 填空题（共5小题，每题5分）11.直线:20l ax y +-=在x y 轴和轴上的截距相等，则a =______ ;12.点A 是圆22:450C x y ax y +++-=上任意一点，点A 关于直线210x y +-=的对称点也在圆C 上，则实数a =__________ ;13.将棱长为a 的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了__________ ;14.正六棱锥的高为3，底面最长的对角线为_________ ;15.过点(2,1)P 作直线l ，与x y 轴，轴的正半轴分别交于,A B 两点，则使PA PB ⋅取得最小值时的直线l 的方程是_________________;三、 解答题（共5题，共 75分）16.（本小题12分）已知直线:210l x y -+=，求：(1)过点(3,1)P 且与直线l 垂直的直线方程；（写成一般式）(2)点(3,1)P 关于直线l 的对称点.17.（本小题12分）已知圆C 经过点(4,1)A -，并且与圆22:2650M x y x y ++-+=相切于点(1,2)B ，求圆C 的方程.18.（本小题12分）如图，三棱锥P ABC -，D AC 为的中点，PA PB PC ==，AC =AB =BC =(1)求证：PD ABC ⊥底面；(2)求二面角P AB C --的正切值.（第18题图）19.（本小题13分）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ABCD ⊥底面，E F AB PD ，分别为，的中点，且二面角P CD B --的大小为45，(1)求证：AF ∥ PEC 平面；(2)求证：PEC PCD ⊥面底面；(3)若2,AD CD ==A PEC 到面的距离.20.（本小题13分）已知曲线22:240C x y x y m +--+=(1)当m 为何值时，曲线C 表示圆；(2) 若曲线C 与直线240x y +-=交于M N 、两点，且OM ON ⊥（O 为坐标原点），求m 的值.21.（本小题13分）如图在直角坐标系xoy 中，圆O 与x 轴交于A B 、两点，且4AB =，定直线l 垂直于x 轴正半轴，且到圆心O 的距离为4，点P 是圆O 上异于A B 、的任意一点，直线PA PB 、分别交l 于点M N 、.(1)若30PAB ∠=，求以MN 为直径的圆的方程；(2) 当点P 变化时，求证：以MN 为直径的圆必过圆O 内一定点.合肥一中2013—2014第一学期段二考试高二数学试卷时长：120分钟 满分：150分选择题（共10小题，每题5分）1.直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ A ）A. 90，不存在B. 45，1C. 135，-1D. 180，不存在2.下面四个命题,其中正确命题的个数是（ B ）①若直线a 与b 异面，b 与c 异面，则直线a 与c 异面；②若直线a 与b 相交，b 与c 相交，则直线a 与c 相交；③若直线a b ，b c ，则直线a c;④若直线a b ，则a ，b 与c 所成角相等。
合肥市数学高二上学期理数期中考试试卷A卷
合肥市数学高二上学期理数期中考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是（）A . 2B . 3C . 4D . 52. （1分）为了估计某水池中鱼的尾数，先从水池中捕出2000尾鱼，并给每尾鱼做上标记（不影响存活），然后放回水池，经过适当的时间，再从水池中捕出500尾鱼，其中有标记的鱼为40尾，根据上述数据估计该水池中鱼的尾数为（）A . 10000B . 20000C . 25000D . 300003. （1分） (2019高二上·南充期中) 下图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为（）A . 8B . 9C . 10D . 124. （1分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,y,10,11,9。
已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x-y|的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （1分） (2019高三上·沈阳月考) 高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）A . 16种B . 18种C . 37种D . 48种6. （1分）从一个正方体的8个顶点中任取3个，则以这3个点为顶点构成直角三角形的概率为（）A .B .C .D .7. （1分） (2017高一上·山西期末) 程序框图如图所示，现输入如下四个函数：f（x）= ，f（x）=x4 ，f（x）=2x ， f（x）=x﹣，则可以输出的函数是（）A . f（x）=B . f（x）=x4C . f（x）=2xD . f（x）=x﹣8. （1分）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有（）①A:“所取3件中至多2件次品”，B :“所取3件中至少2件为次品”；②A:“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”；③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”；④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”；A . ①③B . ②③C . ②④D . ③④9. （1分）组合式﹣2 +4 ﹣8 +…+（﹣2）n 的值等于（）A . （﹣1）nB . 1C . 3nD . 3n﹣110. （1分） (2018高二上·河北月考) 利用秦九韶算法求当时的值为（）A . 121B . 321C . 283D . 23911. （1分）设集合，集合，，满足且，那么满足条件的集合A的个数为（）A . 76B . 78C . 83D . 8412. （1分）已知集合M=N={x∈N|0≤x≤3}，定义函数f：M→N，且以AC为底边的等腰△ABC的顶点坐标分别为A（0，f（0）），B（1，f（1）），C（2，f（2）），则在所有满足条件的等腰△ABC中任取一个，取到腰长为的等腰三角形的概率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·淮北模拟) 已知随机变量的分布列如下表，又随机变量，则的均值是________．14. （1分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费x（万元）2345利润y（万元）264956根据表格已得回归方程为=9.4x+9.1，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为________15. （1分） (2018高二上·黑龙江月考) 将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的办法分成50个部分如果第一部分编号为0001，0002，，0020，从中随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为________．16. （1分） (2018高二下·牡丹江月考) 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件．再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件。
2022-2023学年人教A版高二上数学期中考试(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学期中考试学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知集合，，则( )A.B.C.D.2. 函数的定义域为A.B.C.D.3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.B.A ={x ∈Z||x|<5}B ={x|≥4}2x A ∩B =(2,5)[2,5){2,3,4}{3,4,5}y =12+x −x 2−−−−−−−−−√lg(2x −2)()(1,)∪(,4]3232(1,4][−3,4][−3,)∪(,4]3232434C.D.4. 乔家大院是我省著名的旅游景点，在景点的一面墙上，雕刻着如图所示的浮雕，很好地展现了我省灿烂辉煌的“晋商文化”．某陶艺爱好者，模仿着烧制了一个如图的泥板作品，但在烧制的过程中发现，直径为的作品烧制成功后直径缩小到．若烧制作品的材质、烧制环境均不变，那么想烧制一个体积为的正四面体，烧制前的陶坯棱长应为（ ）A.B.C.D.5. 命题：，的否定是( )A.，B.，C.，D.，6. “”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 下列命题中，真命题是（ ）A.函数＝的周期为B.，223(1)(2)12cm 9cm 18c 2–√m 36cm7cm8cm9cm∃>0x 0−−2>0x 20x 0∀x ≤0−x −2≤0x 2∃≤0x 0−−2≤0x 20x 0∀x >0−x −2≤0x 2∃>0x 0−−2≤0x 20x 0x <2lg(x −1)<0y sin |x |2π∀x ∈R >2x x 2C.“＝”的充要条件是“”D.函数＝是奇函数 8. 在中，角，，所对的边是，，，若，且，则等于( )A.B.C.D.9. 等比数列中，若，，则其前项的积为( )A.B.C.D.10. 瑞士数学家欧拉（）年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心﹑重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是( )．A.B.C.D.11. ""是"方程 表示的曲线为椭圆"的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件a +b 0y ln△ABC A B C a b c c ⋅cos B =b ⋅cos C cos A =23sin B 6–√63–√2130−−√6{}a n +=a 1a 294+=18a 4a 556481192243LeonhardEuler 1765△ABC A (−4,0),B (0,4)x −y +2=0C (2,0)(0,2)(−2,0)(0,−2)n >m >0+=1x 2m y 2n()D.既不充分也不必要条件12. 在四棱锥中，已知平面平面, 是以为底边的等腰三角形，是矩形，且，则四棱锥的外接球的表面积为 （ A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知异面直线，的方向向量分别为，，若异面直线，所成角的余弦值为，则的值为________.14. 设为等差数列的前项和，，则________，若，则使得不等式成立的最小整数________．15. 已知平面向量， ， ，若，则________．16. 已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 在直角坐标系中，以原点为圆心的圆与直线相切．（1）求圆的方程；（2）若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程．18. 已知向量．（1）求向量与的夹角；（2）若，求实数的值． 19. 在平面四边形中，，，，．P −ABCD ABCD ⊥PAD △PAD AD ABCD AB =AP =2AD =2P −ABCD O )π12415π3115π25615π6415m n =(2,−1,1)a →=(1,λ,1)b →m n 6–√6λS n {}a n n +a 6a 7=1S 12=<0a 7<0S n n==(2,λ)a →=(−3,6)b →=(4,2)c →//a →b →(−)⋅=a →c →b →△ABC B C +=1x 23y 2A BC △ABC xOy O x −y −4=03–√O P(3,2)P O θλABCD ∠BAD =∠BCD =90∘AB =5BC =8AC =7(1)∠ADC求的大小；求的长度．20. 已知两直线：，，当为何值时，与，（1）相交，（2）平行，（3）重合，（4）垂直． 21. 已知命题：函数且 在定义域上单调递增；命题：不等式对任意实数恒成立.若为真命题,求实数的取值范围；若为真命题,求实数的取值范围.22. 已知数列的前项和为，且，，成等差数列．求数列的通项公式；数列满足，求数列的前项和．(1)∠ADC (2)CD L 1(m +3)x +5y =5−3m:2x +(m +6)y =8L 2m L 1L 2p y =(x +1)(a >0，log a a ≠1)q (a −2)+2(a −2)x +1>0x 2x (1)q a (2)“p ∧(¬q)”a {}a n n S n 2a n S n (1){}a n (2){}b n =b n ++⋯+log 2a 1log 2a 2log 2a n {}1b n n Tn参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期中考试一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】据题意，分析可得，，，进而求其交集可得答案．【解答】解：集合，，则．故选．2.【答案】A【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据条件可得解不等式可得结果．【解答】解：由已知可根据条件可得解不等式可得.故选.A ={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}B ={x|x ≥2}A ={x ∈Z||x|<5}={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}B ={x|≥4}={x|x ≥2}2x A ∩B ={2,3,4}C 12+x −≥0x 22x −2>02x −2≠112+x −≥0,x 22x −2>0,2x −2≠1,{x |1<x ≤4且x ≠}32A3.【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可知，该几何体为正四棱锥，再求体积即可.【解答】解：由已知中几何体的三视图，可得该几何体为正四棱锥，且底面正方形边长为，高为，所以该几何体的体积为.故选.4.【答案】C【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】设烧制后正四面体的边长为，由题意得到，，求出，再利用烧制前后边长的变化，即可得到答案.【解答】解：设烧制后正四面体的边长为，由题意得到，，解得.∵在烧制的过程中发现，直径为 的作品烧制成功后直径缩小到．那么烧制前正四面体陶坯棱长为.故选.5.【答案】C【考点】21V =×2×2×1=1343A acm ==18V 正四面体2–√12a 32–√a acm ==18V 正四面体2–√12a 32–√a =612cm 9cm 6×=8cm 129C命题的否定【解析】命题 ， 为特称量词命题，其否定为全称量词命题，写出其否定即可.【解答】解：命题，为特称量词命题，所以其否定为全称量词命题，其否定为，.故选.6.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由，可得，再利用集合之间的包含关系求充分必要条件即可.【解答】解：由，可得，解得，因为，所以“”是“”的必要不充分条件.故选.7.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】分析函数的周期性，可判断；举出反例＝，可判断；根据充要条件的定义，可判断；分析函数的奇偶性，可判断．【解答】函数＝不是周期函数，故是假命题；当＝时＝，故是假命题；“＝”的必要不充分条件是“”，故是假命题；∃>0x 0−−2>0x 20x 0∃>0x 0−−2>0x 20x 0∀x >0−x −2≤0x 2C lg(x −1)<00<x −1<1lg(x −1)<00<x −1<11<x <2{x|x <2} {x|1<x <2}x <2lg(x −1)<0B A x 2B C D y sin |x |A x 22x x 2B a +b 0C函数＝＝的定义域关于原点对称，且满足＝，故函数是奇函数，即是真命题．8.【答案】D【考点】正弦定理两角和与差的正弦公式诱导公式半角公式【解析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式整理后得到，用表示出，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：在中，，利用正弦定理化简得：,即，∴，即，则.故选．9.【答案】D【考点】等比数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，得，解得，又，y f(x)ln (−2,2)f(−x)−f(x)f(x)D B =C A B △ABC c cos B =b cos C sin C cos B =sin B cos C sin C cos B −sin B cos C =sin(C −B)=0C −B =0C =B sin B =sin =cos =π−A 2A 21+cos A 2−−−−−−−−√=30−−√6D ==8+a 4a 5+a 1a 2q 3q =2+=+2=a 1a 2a 1a 1943所以，所以.故选.10.【答案】A,D【考点】三角形五心【解析】此题暂无解析【解答】解：设的垂直平分线为，的外心为欧拉线方程为与直线的交点为∴，①由重心为，代入欧拉线方程，得，②由①②可得或.故选.11.【答案】A【考点】椭圆的定义必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：若方程表示的曲线为椭圆，则 ，，且，故" "是“方程"表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件.=a 134==×=243a 1a 2a 3a 4a 5a 51q 10()345210D C (x,y),AB y =−x △ABC x −y +2=0y =−x M (−1,1),MC|=,∴+=1010−−√(x +1)2(y −1)2A (−4,0),B (0,4),△ABC (,)x −43y +43x −y +2=0x −y −z =0x =2,y =0x =0,y =−2AD +=1x 2m y 2n m >0n >0m ≠n n >m >0+=1x 2m y 2nA故选.12.【答案】A【考点】球内接多面体球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，将四棱锥补为一个三棱柱，∵是以为底边的等腰三角形，，∴的外接圆的半径为，∴球的半径的平方，∴球的表面积为.故选.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】数量积表示两个向量的夹角A P −ABCD PAD −QBC △PAD AD AP =2AD =2△PAD 415−−√O =+1=R 216153115O S =4π=R 2124π15A 76【解析】此题暂无解析【解答】略14.【答案】,【考点】等差数列的前n 项和等差数列的性质【解析】根据题意，由等差数列的前项和公式和性质可得＝＝，代入数据可得第一空答案，同理可得，即可得第二空答案．【解答】解：因为，所以；因为，所以，所以为递减数列，又，，所以.故答案为：；.15.【答案】【考点】平面向量的坐标运算平面向量数量积的运算【解析】根据，求得 ，进而求得的坐标，然后利用数量积求解．【解答】解：因为向量， ，且，613n S 12<0S 13+=1a 6a 7=6(+)=6S 12a 6a 7<0a 7>0a 6{}a n =6>0S 12=13<0S 13a 7=13n min 613−30//a →b →λ−a →c →=(2,λ)a →=(−3,6)b →//a →b →所以，所以.故答案为：．16.【答案】【考点】椭圆的定义【解析】设另一个焦点为，根据椭圆的定义可知，最后把这四段线段相加求得的周长．【解答】解：椭圆中，．设另一个焦点为，则根据椭圆的定义可知，．∴三角形的周长为：．故答案为：．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：（1）设圆的方程为，由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故，∴圆的方程是．（2）∵，∴点在圆外．显然，斜率不存在时，直线与圆相离．故可设所求切线方程为，即．又圆心为，半径，而圆心到切线的距离，即，∴或，故所求切线方程为或．【考点】直线与圆相交的性质圆的切线方程−=(−2,−6)a →c →(−)⋅=−30a →c →b →−3043–√F |AB |+|BF |=2a|AC |+|FC |=2a △ABC +=1x 23y 2a =3–√F |AB |+|BF |=2a =23–√|AC |+|FC |=2a =23–√|AB |+|BF |+|AC |+|FC |=43–√43–√+=x 2y 2r 2r ==244–√+=4x 2y 2|OP |==>29+4−−−−√13−−√P y −2=k(x −3)kx −y +2−3k =0O(0,0)r =2d ==2|2−3k |+1k 2−−−−−√|3k −2|=2+1k 2−−−−−√k =125k =012x −5y −26=0y −2=0（1）根据半径即为圆心到切线的距离求得半径的值，可得所求的圆的方程．（2）由题意可得点在圆外，用点斜式设出切线的方程，再根据圆心到切线的距离等于半径，求得斜率的值，可得所求切线方程．【解答】解：（1）设圆的方程为，由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故，∴圆的方程是．（2）∵，∴点在圆外．显然，斜率不存在时，直线与圆相离．故可设所求切线方程为，即．又圆心为，半径，而圆心到切线的距离，即，∴或，故所求切线方程为或．18.【答案】∵向量，∵这两个向量的夹角为，，则＝＝＝，∴＝．若，则（+）-•-，∴＝．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系数量积表示两个向量的夹角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】..r P k +=x 2y 2r 2r ==244–√+=4x 2y 2|OP |==>29+4−−−−√13−−√P y −2=k(x −3)kx −y +2−3k =0O(0,0)r =2d ==2|2−3k |+1k 2−−−−−√|3k −2|=2+1k 2−−−−−√k =125k =012x −5y −26=0y −2=0θθ∈[0cos θθ⋅(λ+(λ−7)λ余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】解：（1）当时，直线方程为，方程为，显然两直线相交；当时，由解得，，所以，时直线与相交．（2）由（1）知当时，直线与相交；当时，由得（舍去），或，所以时直线与平行．（3）由得，所以时直线与重合．（4）由 得，所以时直线与垂直．【考点】两条直线平行的判定两条直线垂直的判定【解析】（1）两直线与相交；（2）两直线与平行；（3）两直线与重合；（4）两直线与垂直．【解答】解：（1）当时，直线方程为，方程为，显然两直线相交；当时，由解得，，所以，时直线与相交．m =−6L 1−3x +5y =23L 2x =4m ≠−6≠m +325m +6m ≠−1m ≠−8m ≠−1m ≠−8L 1L 2m =−6L 1L 2m ≠−6=≠m +325m +65−3m 8m =−1m =−8m =−8L 1L 2==m +325m +65−3m 8m =−1m =−1L 1L 22(m +3)+5(m +6)=0m =−367m =−367L 1L 2ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔≠(m ≠0,n ≠0)a m b n ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔=≠(m ≠0,n ≠0,d ≠0)a m b n c d ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔==(m ≠0,n ≠0,d ≠0)a m b n c d ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔am +bn =0m =−6L 1−3x +5y =23L 2x =4m ≠−6≠m +325m +6m ≠−1m ≠−8m ≠−1m ≠−8L 1L 2当时，由得（舍去），或，所以时直线与平行．（3）由得，所以时直线与重合．（4）由 得，所以时直线与垂直．21.【答案】解:因为命题为真命题，所以或得，即实数的取值范团是.因为 " "为真命题，故真假.因为命题:函数 在定义域上单调递增，所以 ，因为命题为假,由可知， 或 ，所以 即，所以实数的取值范围为 .【考点】复合命题及其真假判断【解析】此题暂无解析【解答】解:因为命题为真命题，所以或得，即实数的取值范团是.因为 " "为真命题，故真假.因为命题:函数 在定义域上单调递增，所以 ，因为命题为假,由可知， 或 ，所以 即，所以实数的取值范围为 .22.【答案】解：，，成等差数列，可得，m ≠−6=≠m +325m +65−3m 8m =−1m =−8m =−8L 1L 2==m +325m +65−3m 8m =−1m =−1L 1L 22(m +3)+5(m +6)=0m =−367m =−367L 1L 2(1)q a =2{a −2>0，Δ=4(a −2−4(a −2)×1<0，)22≤a <3[2,3)(2)p ∧(¬q)p q p y =(x +1)log a a >1q (1)a <2a ≥3{a <2或a ≥3，a >1，a ∈(1,2)∪[3,+∞)a (1,2)∪[3,+∞)(1)q a =2{a −2>0，Δ=4(a −2−4(a −2)×1<0，)22≤a <3[2,3)(2)p ∧(¬q)p q p y =(x +1)log a a >1q (1)a <2a ≥3{a <2或a ≥3，a >1，a ∈(1,2)∪[3,+∞)a (1,2)∪[3,+∞)(1)2a n S n 2=a n 2+S n化为，可得数列为首项为，公比为的等比数列，即有，.，，，即数列的前项和．【考点】等差中项数列的求和等比数列的通项公式【解析】（1）由题意可得＝，运用数列的递推式：当＝时，＝，时，＝，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；（2）求得＝＝，，，由数列的裂项相消求和，化简整理，可得所求和．【解答】解：，，成等差数列，可得，当时，，解得，时，，化为，可得数列为首项为，公比为的等比数列，即有，.，，，即数列的前项和．n n n−1n n−1=a n 2a n−1{}a n 22=a n 2n n ∈N ∗(2)=log 2a n =log 22n n =b n ++⋯+log 2a 1log 2a 2log 2a n =1+2+⋯+n =n(n +1)12==2(−)1b n 2n(n +1)1n 1n +1{}1b n n =T n 2(1−+−+⋯+−)1212131n 1n +1=2(1−)=1n +12n n +12a n 2+S n n 1a 1S 1n ≥2a n −S n S n−1log 2a n log 22n n =n(n +1)b n 12==2(−)1b n 2n(n +1)1n 1n +1(1)2a n S n 2=a n 2+S n n =1=a 1=S 12−2a 1=a 12n ≥2=a n −=S n S n−12−2−2+2a n a n−1=a n 2a n−1{}a n 22=a n 2n n ∈N ∗(2)=log 2a n =log 22n n =b n ++⋯+log 2a 1log 2a 2log 2a n =1+2+⋯+n =n(n +1)12==2(−)1b n 2n(n +1)1n 1n +1{}1b n n =T n 2(1−+−+⋯+−)1212131n 1n +1=2(1−)=1n +12n n +1。
2023-2024学年安徽省合肥市重点中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省合肥市重点中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．若直线l 的倾斜角α满足0＜α＜2π3，且α≠π2，则其斜率k 满足（ ） A ．−√3＜k ＜0 B ．k ＞−√3C ．k ＞0或k ＜−√3D ．k ＞0或k ＜−√332．直线l 过点（﹣1，2）且与直线2x ﹣3y +1＝0垂直，则l 的方程是（ ） A ．3x +2y +7＝0B ．2x ﹣3y +5＝0C ．3x +2y ﹣1＝0D ．2x ﹣3y +8＝03．已知a →，b →，c →是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A ．3a →，a →−b →，a →+2b →B ．2b →，b →−2a →，b →+2a →C ．a →，2b →，b →−c →D ．c →，a →+c →，a →−c →4．在平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，向量AB ′→、AD ′→、BD →、是（ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长的向量 C ．共面向量D ．不共面向量5．如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱桥离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ）A ．14米B ．15米C ．√51米D ．2√516．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →=AD →+m AB →−n AA 1→，则m ，n 的值分别为（ ）A ．12，−12B ．−12，−12C ．−12，12D ．12，127．四棱锥P ﹣ABCD 中，AB →=（2，﹣1，3），AD →=（﹣2，1，0），AP →=（3，﹣1，4），则这个四棱锥的高为（ ） A ．√55B ．15C ．25D ．2√558．已知⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点．过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣1＝0C ．2x ﹣y +1＝0D ．2x +y +1＝0二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．下列说法正确的是（ ）A ．直线y ＝ax ﹣2a +1必过定点（2，1）B ．直线3x ﹣2y +4＝0在y 轴上的截距为﹣2C ．直线√3x +y +1=0的倾斜角为120°D ．若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l 的斜率为−2310．已知a →=(1，0，1)，b →=(−1，2，−3)，c →=(2，−4，6)，则下列结论正确的是（ ） A ．a →⊥b →B ．b →∥c →C ．＜a →，c →＞为钝角D ．c →在a →方向上的投影向量为（4，0，4）11．圆C ：x 2+y 2+4x ﹣6y ﹣3＝0，直线l ：3x ﹣4y ﹣7＝0，点P 在圆C 上，点Q 在直线l 上，则下列结论正确的是（ ） A ．直线l 与圆C 相交 B ．|PQ |的最小值是1C ．若P 到直线l 的距离为2，则点P 有2个D ．从Q 点向圆C 引切线，则切线段的最小值是312．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中（ ）A ．AC 与BD 1的夹角为60°B ．三棱锥B 1﹣ACD 1外接球的体积为√32πC ．AB 1与平面ACD 1所成角的正切值√2 D ．点D 到平面ACD 1的距离为√33三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x 、y 满足x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，则√x 2+y 2的最大值是 ．14．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，若∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，且A 1A ＝3，则A 1C 的长为 ．15．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC =√3，沿对角线AC 将△ABC 折起，若二面角B ﹣AC ﹣D 的大小为120°，则B ，D 两点之间的距离为 ．16．瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A （﹣4，0），B （0，4），其欧拉线方程为x ﹣y +2＝0，则顶点C 的坐标可以是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知空间向量a →=（2，4，﹣2），b →=（﹣1，0，2），c →=（x ，2，﹣1）． （Ⅰ）若a →∥c →，求|c →|；（Ⅱ）若b →⊥c →，求cos ＜a →，c →＞的值．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣5＝0．求： （1）顶点C 的坐标； （2）直线BC 的方程．19．（12分）已知以点C （﹣1，1）为圆心的圆与直线m ：3x +4y +4＝0相切． （1）求圆C 的方程；（2）过点P （﹣2，3）的作圆C 的切线，求切线方程．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，AB ＝AP ＝2，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：CD ⊥AE ；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）求点A 到平面PBD 的距离．21．（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，DD1＝3，AD＝2，∠BCD=π3，E为棱BB1上一点，BE＝1，过A，E，C1三点作平面α交DD1于点G．（1）求点D到平面BC1G的距离；（2）求平面AEC与平面BEC夹角的余弦值．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的圆心在直线x+y﹣3＝0上，圆C经过点A（0，4），且与直线3x﹣4y+16＝0相切．（1）求圆C的方程；（2）设直线l交圆C于P，Q两点，若直线AP，AQ的斜率之积为2，求证：直线l过一个定点，并求该定点坐标．2023-2024学年安徽省合肥市重点中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．若直线l 的倾斜角α满足0＜α＜2π3，且α≠π2，则其斜率k 满足（ ） A ．−√3＜k ＜0 B ．k ＞−√3C ．k ＞0或k ＜−√3D ．k ＞0或k ＜−√33解：因为0＜α＜2π3，且α≠π2，所以tan α＞0或tan α＜−√3，所以k ＞0或k ＜−√3， 故选：C ．2．直线l 过点（﹣1，2）且与直线2x ﹣3y +1＝0垂直，则l 的方程是（ ） A ．3x +2y +7＝0B ．2x ﹣3y +5＝0C ．3x +2y ﹣1＝0D ．2x ﹣3y +8＝0解：∵直线2x ﹣3y +1＝0的斜率为23， 由垂直可得所求直线的斜率为−32， ∴所求直线的方程为y ﹣2=−32（x +1）， 化为一般式可得3x +2y ﹣1＝0 故选：C ．3．已知a →，b →，c →是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A ．3a →，a →−b →，a →+2b →B ．2b →，b →−2a →，b →+2a →C ．a →，2b →，b →−c →D ．c →，a →+c →，a →−c →解：对于选项A ，由3a →=2（a →−b →）+（a →+2b →），即3a →，a →−b →，a →+2b →共面，不能构成空间的一个基底；对于选项B ，由2b →=(b →−2a →)+(b →+2a →)，即2b →，b →−2a →，b →+2a →共面，不能构成空间的一个基底； 对于选项C ，设a →=x （2b →）+y(b →−c →)，又a →，b →，c →是不共面的三个向量，则x 、y 无解，即a →，2b →，b →−c →不共面，能构成空间的一个基底；对于选项D ，由c →=12(a →+c →)−12(a →−c →)，则c →，a →+c →，a →−c →共面，不能构成空间的一个基底， 故选：C ．4．在平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，向量AB ′→、AD ′→、BD →、是（ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长的向量 C ．共面向量D ．不共面向量解：向量AB ′→、AD ′→、BD →显然不是有相同起点的向量，A 不正确； 等长的向量，不正确；是共面向量，D 不正确； 选项A 、B 、D 结合图形，明显错误．又∵AD ′→−AB ′→=B ′D ′→=BD →，∴AB ′→、AD ′→、BD →共面． 故选：C ．5．如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱桥离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ）A ．14米B ．15米C ．√51米D ．2√51解：以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直直线为y 轴，建立直角坐标系， 设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则由已知可得：A （6，﹣2）， 设圆的半径为r ，则C （0，﹣r ），即圆的方程为x 2+（y +r ）2＝r 2， 将A 的坐标代入圆的方程可得r ＝10， 所以圆的方程是：x 2+（y +10）2＝100则当水面下降1米后可设A ′的坐标为（x 0，﹣3）（x 0＞0） 代入圆的方程可得x 0=√51，所以当水面下降1米后，水面宽为2√51米．故选：D ．6．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →=AD →+m AB →−n AA 1→，则m ，n 的值分别为（ ） A ．12，−12B ．−12，−12C ．−12，12D ．12，12解：由于AF →=AD →+DF →=AD →+12（DC →+DD 1→）=AD →+12AB →+12AA 1→，所以m =12，n =−12，故选：A ．7．四棱锥P ﹣ABCD 中，AB →=（2，﹣1，3），AD →=（﹣2，1，0），AP →=（3，﹣1，4），则这个四棱锥的高为（ ） A ．√55B ．15C ．25D ．2√55解：设平面ABCD 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⊥AB →n →⊥AD→， ∴{2x −y +3z =0−2x +y =0，令x ＝1可得y ＝2，z ＝0，即n →=（1，2，0）， ∴cos ＜n →，AP →＞=n →⋅AP→|n →||AP →|=15×26，设AP 与平面ABCD 所成角为α，则sin α=1√5×√26，于是P 到平面ABCD 的距离为|AP →|sin α=√55，即四棱锥P ﹣ABCD 的高为√55．故选：A ．8．已知⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点．过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣1＝0C ．2x ﹣y +1＝0D ．2x +y +1＝0解：化圆M 为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4， 圆心M （1，1），半径r ＝2．∵S 四边形PAMB =12|PM|⋅|AB|=2S △P AM ＝|P A |•|AM |＝2|P A |=2√|PM|2−4． ∴要使|PM |•|AB |最小，则需|PM |最小，此时PM 与直线l 垂直． 直线PM 的方程为y ﹣1=12（x ﹣1），即y =12x +12， 联立{y =12x +122x +y +2=0，解得P （﹣1，0）．则以PM 为直径的圆的方程为x 2+(y −12)2=54．联立{x 2+y 2−2x −2y −2=0x 2+y 2−y −1=0，相减可得直线AB 的方程为2x +y +1＝0．故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．下列说法正确的是（ ）A ．直线y ＝ax ﹣2a +1必过定点（2，1）B ．直线3x ﹣2y +4＝0在y 轴上的截距为﹣2C ．直线√3x +y +1=0的倾斜角为120°D ．若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l 的斜率为−23解：对于A ：直线y ＝ax ﹣2a +1，整理得y ﹣1＝a （x ﹣2），所以该直线经过（2，1）点，故A 正确； 对于B ：直线3x ﹣2y +4＝0，令x ＝0，解得y ＝2，故直线在y 轴上的截距为2，故B 错误；对于C ：直线√3x +y +1=0，所以直线的斜率k =−√3，所以tanθ=−√3，由于θ∈[0°，180°），故θ＝120°，故C 正确；对于D ：直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则v →=(−3，1)，所以直线的斜率为−13，故D 错误． 故选：AC ．10．已知a →=(1，0，1)，b →=(−1，2，−3)，c →=(2，−4，6)，则下列结论正确的是（ ） A ．a →⊥b →B ．b →∥c →C ．＜a →，c →＞为钝角D ．c →在a →方向上的投影向量为（4，0，4）解：对于A ：a →=(1，0，1)，b →=(−1，2，−3)，a →•b →=−1+0﹣3＝﹣4≠0，故A 错误； 对于B ：c →=(2，−4，6)=−2（﹣1，2，﹣3）＝﹣2b →，故b →∥c →，故B 正确；a →•c →=2+0+6＝8＞0，故＜a →，c →＞不为钝角，故C 错误，c →在a →方向上的投影为c →⋅a →|a →|=√2=4√2，故c →在a →方向上的投影向量与a →共线同向且模为4√2， 故可得c →在a →方向上的投影向量为（4，0，4），故D 正确． 故选：BD ．11．圆C ：x 2+y 2+4x ﹣6y ﹣3＝0，直线l ：3x ﹣4y ﹣7＝0，点P 在圆C 上，点Q 在直线l 上，则下列结论正确的是（ ） A ．直线l 与圆C 相交 B ．|PQ |的最小值是1C ．若P 到直线l 的距离为2，则点P 有2个D ．从Q 点向圆C 引切线，则切线段的最小值是3解：由圆C ：x 2+y 2+4x ﹣6y ﹣3＝0，得圆C 的标准方程为（x +2）2+（y ﹣3）2＝16， 圆心C （﹣2，3）到直线l ：3x ﹣4y ﹣7＝0的距离d =|−6−12−7|√3+(−4)2=5＞4，所以直线与圆相离，故A 错误；圆心到直线l ：3x ﹣4y ﹣7＝0的距离d ＝5，所以|PQ |的最小值为5﹣4＝1， 若点P 到直线l 的距离为2，则点P 有2个，故B 正确，C 正确； 根据图形知，点Q 到圆心C 的最小值为圆心到直线的距离d ＝5， 由勾股定理得切线长的最小值为√25−16=3，故D 正确． 故选：BCD ．12．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中（ ）A ．AC 与BD 1的夹角为60°B ．三棱锥B 1﹣ACD 1外接球的体积为√32πC ．AB 1与平面ACD 1所成角的正切值√2 D ．点D 到平面ACD 1的距离为√33解：如图建立空间直角坐标系，则A （1，0，0），C （0，1，0），B （1，1，0），D 1（0，0，1），B 1（1，1，1）， 对于A ，AC →=(−1，1，0)，BD 1→=(−1，−1，1)，则AC →⋅BD 1→=0，即AC →⊥BD 1→，AC 与BD 1的夹角为90°，故A 错误； 对于B ，三棱锥B 1﹣ACD 1外接球与正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的外接球相同， 又正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的外接球的直径等于体对角线的长， 所以三棱锥B 1﹣ACD 1外接球的半径为√32，所以三棱锥B 1﹣ACD 1外接球的体积为V =43π×(√32)3=√32π，故B 正确； 对于C ，设平面ACD 1的法向量为m →=(x ，y ，z)，AC →=(−1，1，0)，AD 1→=(−1，0，1)，所以{m ⋅AC →=−x +y =0m →⋅AD 1→=−x +z =0，令x ＝1，得到，y ＝z ＝1，则m →=(1，1，1)，因为AB 1→=(0，1，1)，设AB 1与平面ACD 1所成角为α，则sin α=|cos⟨AB 1→，m →⟩|=2⋅3=√63，cos α=√33，tan α=√2，故C 正确； 因为DA →=(1，0，0)，设点D 到平面ACD 1的距离为d ，则d =|DA →⋅m →|m →||=13=√33，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x 、y 满足x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，则√x 2+y 2的最大值是 √5+3 ．解：x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0 即 （x +2）2+（y ﹣1）2＝9，表示一个圆心在（﹣2，1），半径等于3的圆， √x 2+y 2表示圆上的点与原点之间的距离，原点到圆心的距离为√5，结合图形知，√x 2+y 2的最大值是√5+3，故答案为 √5+3．14．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，若∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，且A 1A ＝3，则A 1C 的长为 √5 ．解：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，∠A 1AB =∠A 1AD =600，∴∠BCC 1＝∠DCC 1＝120°， 又∵A 1A ＝3，BC ＝DC ＝1，∴CB →⋅CC 1→=CD →⋅CC 1→=|CD →||CC 1→|cos120°=−32．∵底面是边长为1的正方形，∴∠BCD ＝90°，∴CB →⋅CD →=|CB →||CD →|cos90°=0．∵CA 1→=CB →+CD →+CC 1→，∴CA 1→2=(CB →+CD →+CC 1→)2=CB →2+CD →2+CC 1→2+2CB →⋅CC 1→+2CD →⋅CC 1→+2CB →⋅CD →=12+12+32+2×(−32)×2+0=5．∴|CA 1→|=√5．故答案为√5．15．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC =√3，沿对角线AC 将△ABC 折起，若二面角B ﹣AC ﹣D 的大小为120°，则B ，D 两点之间的距离为 √132 ． 解：过B 和D 分别作BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，由AB ＝1，BC =√3，则AC ＝2，∵12AB •BC =12AC •BE =12AC •DF ， ∴BE ＝DF =√32，则AE ＝CF =12，则EF ＝2−12−12=1，∵二面角B ﹣AC ﹣D 的大小为120°，∴＜EB →，FD →＞=120°，即＜BE →，FD →＞=60°，∵BD →=BE →+EF →+FD →，∴BD →2＝（BE →+EF →+FD →）2=BE →2+EF →2+FD →2+2BE →•EF →+2FD →•BE →+2EF →•FD →=BE →2+EF →2+FD →2+2FD →•BE → =34+1+34+2×√32×√32×12=1+94=134， 即|BD →|=√134=√132，即B ，D 之间的距离为√132． 故答案为：√132．16．瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A （﹣4，0），B （0，4），其欧拉线方程为x ﹣y +2＝0，则顶点C 的坐标可以是 （0，﹣2）或（2，0） ．解：∵A （﹣4，0），B （0，4），∴AB 的垂直平分线方程为x +y ＝0，又外心在欧拉线x ﹣y +2＝0上，联立{x +y =0x −y +2=0，解得三角形ABC 的外心G （﹣1，1）， 又r ＝|GA |=√(−1+4)2+(1−0)2=√10，∴△ABC 外接圆的方程为（x +1）2+（y ﹣1）2＝10．设C （x ，y ），则三角形ABC 的重心（x−43，y+43）在欧拉线上，即x−43−y+43+2＝0，整理得x ﹣y ﹣2＝0．联立{(x +1)2+(y −1)2=10x −y −2=0，解得{x =0y =−2或{x =2y =0． 所以顶点C 的坐标可以是（0，﹣2）或（2，0），故答案为：（0，﹣2）或（2，0），四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知空间向量a →=（2，4，﹣2），b →=（﹣1，0，2），c →=（x ，2，﹣1）．（Ⅰ）若a →∥c →，求|c →|；（Ⅱ）若b →⊥c →，求cos ＜a →，c →＞的值．解：（Ⅰ）空间向量a →=（2，4，﹣2），b →=（﹣1，0，2），c →=（x ，2，﹣1），因为a →∥c →，所以存在实数k ，使得c →=ka →，所以{x =2k2=4k −1=−2k，解得x ＝1，则|c →|=√12+22+(−1)2=√6；（Ⅱ）因为b →⊥c →，则b →⋅c →=−x +0−2=0，解得x ＝﹣2，所以c →=(−2，2，−1)，故cos ＜a →，c →＞=a →⋅c →|a →||c →|=−2×2+2×4+(−1)×(−2)√4+16+4×√4+4+1=√66． 18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣5＝0．求：（1）顶点C 的坐标；（2）直线BC 的方程．解：（1）设C （m ，n ），∵AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣5＝0．∴{2m −n −5=0n−1m−5×12=−1，解得{m =4n =3． ∴C （4，3）．（2）设B （a ，b ），则{a −2b −5=02×a+52−1+b 2−5=0，解得{a =−1b =−3． ∴B （﹣1，﹣3）．∴k BC =3+34+1=65∴直线BC 的方程为y ﹣3=65（x ﹣4），化为6x ﹣5y ﹣9＝0．19．（12分）已知以点C （﹣1，1）为圆心的圆与直线m ：3x +4y +4＝0相切．（1）求圆C 的方程；（2）过点P （﹣2，3）的作圆C 的切线，求切线方程．解：（1）根据题意，圆C 的半径r =|−3+4+4|9+16=1， 故圆C 的方程为（x +1）2+（y ﹣1）2＝1；（2）根据题意，由（1）的结论，圆C 的方程为（x +1）2+（y ﹣1）2＝1，若切线的斜率不存在，则切线的方程为x ＝﹣2，符合题意，若切线的斜率存在，设切线的斜率为k ，则切线的方程为y ﹣3＝k （x +2），即kx ﹣y +2k +3＝0， 则有√1+k 2=1，解可得k =−34， 此时切线的方程为3x +4y ﹣6＝0，综合可得：切线的方程为x ＝﹣2或3x +4y ﹣6＝0．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，AB ＝AP ＝2，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：CD ⊥AE ；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）求点A 到平面PBD 的距离．（Ⅰ）证明：因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ，因为AD ⊥CD ，P A ∩AD ＝A所以CD ⊥平面P AD ．因为AE ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AE ．（Ⅱ）解：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），不妨设AB ＝AP ＝2，可得B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2），由E 为棱PD 的中点，得E （0，1，1）． AE →=(0，1，1)，向量BD →=(−2，2，0)，PB →=(2，0，−2)．设平面PBD 的一个法向量n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅BD →=−2x +2y =0n →⋅PB →=2x −2z =0，令y ＝1，可得n →=（1，1，1），所以 cos〈AE →，n →〉=|AE →⋅n →||AE →|⋅|n →|=√63．所以直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值为√63． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知：AE →=(0，1，1)，平面PBD 的一个法向量n →=（1，1，1），所以点A 到平面PBD 的距离 d =|AE →⋅n →||n →|=2√3=2√33． 21．（12分）如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，DD 1＝3，AD ＝2，∠BCD =π3，E 为棱BB 1上一点，BE ＝1，过A ，E ，C 1三点作平面α交DD 1于点G ．（1）求点D 到平面BC 1G 的距离；（2）求平面AEC 与平面BEC 夹角的余弦值．解：（1）连接AC ，BD 交于点O ，由直棱柱的结构特征知：平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1，又AG ⊂平面ADD 1A 1，∴AG ∥平面BCC 1B 1，∵平面AGC 1∩平面BCC 1B 1＝C 1E ，AG ⊂平面AGC 1，∴AG ∥C 1E ，同理可得C 1G ∥AE ，∴四边形AGC 1E 为平行四边形，∴AG ＝C 1E ，又AD ＝B 1C 1，∠ADG ＝∠C 1B 1E =π2，DG ＝B 1E ＝2，∴D 1G ＝1，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，以OA →，OB →正方向为x ，y 轴，作z 轴∥DD 1，可建系如图，∵AB ＝BC ＝2，∠BCD =π3，∴BD ＝2，AC ＝2√4−1=2√3，∴B （0，1，0），D （0，﹣1，0），C 1（−√3，0，3），G （0，﹣1，2），∴DB →=（0，2，0），BC 1→=（−√3，﹣1，3），BG →=（0，﹣2，2），设平面BC 1G 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅BC 1→=−√3x −y +3z =0n →⋅BG →=−2y +2z =0，取 n →=（2，√3，√3），∴点D 到平面BC 1G 的距离d =|DB →⋅n →||n →|=2310=√305； （2）由（1）知E （0，1，1），又A （√3，0，0），B （0，1，0），C （−√3，0，0），∴AE →=（−√3，1，1），CE →=（√3，1，1），BE →=（0，0，1），设平面AEC 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AE →=−√3x +y +z =0n →⋅CE →=√3x +y +z =0，取n →=（0，1，﹣1），设平面BEC 的法向量m →=（a ，b ，c ），则{m →⋅BE →=c =0m →⋅CE →=√3a +b +c =0，取m →=（1，−√3，0）， ∴|cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=√32×2=−√64， ∴平面AEC 与平面BEC 夹角的余弦值为√64． 22．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的圆心在直线x +y ﹣3＝0上，圆C 经过点A （0，4），且与直线3x ﹣4y +16＝0相切．（1）求圆C 的方程；（2）设直线l交圆C于P，Q两点，若直线AP，AQ的斜率之积为2，求证：直线l过一个定点，并求该定点坐标．解：（1）因为圆心C在直线x+y﹣3＝0上，所以设C（a，3﹣a），因为圆C经过点A（0，4），所以圆C的半径r=AC=√a2+(a+1)2，因为圆C和直线3x﹣4y+16＝0相切，所以圆C的半径r=√3+(−4)，所以√a2+(a+1)2=|3a−4(3−a)+16|√3+(−4)2．化简得a2﹣6a+9＝0，解得a＝3．所以C（3，0），半径r＝5．所以圆C的方程为（x﹣3）2+y2＝25．（2）若直线l的斜率不存在，则可设P（x0，y0），Q（x0，﹣y0），x0≠0，所以(x0−3)2+y02=25，k AP⋅k AQ=y0−4x0⋅−y0−4x0=16−y02x02=2，消去y0得x0＝﹣6，再代入(x0−3)2+y02=25，y0不存在，所以直线l的斜率存在；设直线l的方程y＝kx+t（t≠4），P（x1，kx1+t），Q（x2，kx2+t），所以k AP⋅k AQ=kx1+t−4x1⋅kx2+t−4x2=2，整理得，(k2−2)x1x2+k(t−4)(x1+x2)+(t−4)2=0①直线方程与圆C方程联立，{y=kx+t，(x−3)2+y2=25，消去y得（k2+1）x2+（2kt﹣6）x+t2﹣16＝0，所以x1+x2=−2kt−6k2+1，x1x2=t2−16k2+1代入①，得（k2﹣2）（t2﹣16）﹣k（t﹣4）（2kt﹣6）+（t﹣4）2（k2+1）＝0，由于t≠4，整理得6k﹣t﹣12＝0，即t＝6k﹣12，所以直线l的方程为y＝kx+6k﹣12，即y＝k（x+6）﹣12，令{x+6=0，y=−12，解得{x=−6，y=−12，所以直线l过一个定点，该定点坐标为（﹣6，﹣12）．。
2022-2023学年安徽省合肥市高二上学期期中数学质量检测试题(含解析)
2022-2023学年安徽省合肥市高二上册期中数学质量检测试题一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线50x +-=的倾斜角为()A.30︒-B.60︒C.120︒D.150︒2.圆22(1)1x y ++=的圆心到直线y =的距离是()A.B.1C.32D. 3.已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则实数的值是()A.B. C. D.4.已知12(1,0),(1,0)F F -是椭圆的两个焦点，过1F 的直线l 交椭圆于,M N 两点，若的周长为8，则椭圆方程为()A.22143x y += B.22143y x += C.2211615x y += D.2211615y x +=5.已知双曲线22=1259x y -上有一点M 到右焦点1F 的距离为18，则点M 到左焦点2F 的距离是()A.8B.28C.12D.8或286.若点(2,1)a a +在圆22+(1)=5x y -的内部，则a 的取值范围是()A.(1,1)- B.(0,1)C.1(1,5- D.1(,1)5-7.9k >是方程22+=194x y k k --表示双曲线的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件8.P 是椭圆221169x y +=上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，若12||||12PF PF ⋅=，则12F PF ∠的大小为()A.60︒B.30︒C.120︒D.150︒9.若点(2,3)A --，(3,2)B --，直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是()A. B.C. D.10.已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是，则圆M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是()A.内切B.相离C.外切D.相交11.以下四个命题表述错误的的是()A.圆222x y +=上有且仅有3个点到直线:10l x y -+=的距离都等于22B.曲线221:20C x y x ++=与曲线222:480C x y x y m +--+=，恰有四条公切线，则实数m 的取值范围为4m >C.已知圆22:2C x y +=，P 为直线0x y ++=上一动点，过点P 向圆C 引一条切线PA ，其中A 为切点，则||PA 的最小值为2D.已知圆22:4C x y +=，点P 为直线:280l x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过点1(1,)212.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，点A 是椭圆C 的上顶点，直线l ：2y x=与椭圆C 相交于M ，N 两点．若点A 到直线l 的距离是1，且，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）13.以点(2,3)P -为圆心，并且与y 轴相切的圆的方程是__________.14.设m 是常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m =__________.15.已知直线过点(2,3)，它在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍，则此直线的方程为__________.16.在平面直角坐标系Oxy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是__________.17.直线l 过点(4,0)-且与圆22(1)(2)9x y ++-=相切，那么直线l 的方程为__________.18.设圆2242110x y x y +-+-=的圆心为A ，点P 在圆上，则PA 的中点M 的轨迹方程是__________.19.已知F 为双曲线:C 22x a -22y b1(0,0)a b =>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为__________.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2228x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作一直线与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，使得190F PQ ︒∠=，则1F PQ 的内切圆的半径为__________.三、解答题（本大题共4小题，共50.分。
2024-2025学年安徽省十校联考合肥一中高二上学期期中联考数学试卷(含答案)
2024-2025学年安徽省十校联考合肥一中高二上学期期中联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x +3y +2=0的倾斜角为( )A. 150°B. 120°C. 60°D. −30°2.给出下列命题，其中是真命题的是( )A. 已知向量组{a ,b ,c }是空间的一个基底，若m =a +c ，则{a ,b ,m }不是空间的一个基底．B. 若a ⊥b ，b ⊥c ，则a //c ．C. 若a ⋅b <0，则⟨a ,b⟩是钝角．D. 若对空间中任意一点O ，有OP =13OA−16OB +56OC ，则P ，A ，B ，C 四点共面．3.已知直线l 1:mx +2y−2=0与直线l 2:5x +(m +3)y−5=0，若l 1//l 2，则m =( )A. −5B. 2C. 2或−5D. 54.如图，在四面体A−BCD 中，点O 为底面三角形BCD 的重心，P 为AO 的中点，设AB =a ，AC =b ，AD =c ，则BP 在基底{a ,b ,c }下的有序实数组为( )A.(23,−13,−13) B. (−23,13,13) C.(56,−16,−16) D. (−56,16,16)5.已知圆C ：x 2+y 2−4y +3=0，一条光线从点P (2,1)射出经x 轴反射，则下列结论不正确的是( )A. 圆C 关于x 轴的对称圆的方程为x 2+y 2+4y +3=0B. 若反射光线平分圆C 的周长，则入射光线所在直线方程为3x−2y−4=0C. 若反射光线与圆C 相切于A ，与x 轴相交于点B ，则|PB |+|PA |=2D. 若反射光线与圆C 交于M ，N 两点，则▵CNM 面积的最大值为126.已知圆C 1：(x−1)2+y 2=1，圆C 2：(x−a )2+(y−b )2=4，其中a ，b ∈R ，若两圆外切，则b−3a−5的取值范围为( )A. [−247,0]B. [−125,0]C. [0,247]D. [0,125]7.阅读材料：空间直角坐标系O−xyz中，过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面α的方程为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0；过点P(x0,y0,z0)且一个方向向量为d=(u,v,w)(uvw≠0)的直线l的方程为x−x0 u =y−y0v=z−z0w.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为3x−5y+z−7=0，直线l是平面x−3y+7=0与4y+2z+1=0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为( )A. 1035B. 75C. 715D. 1058.在平面直角坐标系中，A(2,0)，B(3,3)，点M在圆C：(x+2)2+y2=4上运动，则|MB|+12|MA|的最小值为( )A. 6B. 5C. 4D. 3二、多选题：本题共3小题，共18分。
安徽省合肥市重点中学2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题含解析
2023-2024学年第一学期安徽省合肥市重点中学期中联考试题高二数学（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.若直线l 的倾斜角α满足203πα<<，且2πα≠，则其斜率k 满足（）A.0k <<B.k >C.0k >或k <D.0k >或3k <-【答案】C 【解析】【分析】根据倾斜角和斜率关系可求斜率的范围.【详解】斜率tan k α=，因为203πα<<，且2πα≠，故tan 0α>或tan α<，即0k >或k <，故选：C.【点睛】本题考查倾斜角与斜率的关系，一般地，如果直线的倾斜角为θ，则当2πθ=时，直线的斜率不存在，当0,,22ππθπ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭时，斜率tan θk =.2.直线l 过点()1,2-且与直线2310x y -+=垂直，则l 的方程为（）A.3210x y +-=B.3270x y ++=C.2350x y -+=D.2380x y -+=【答案】A 【解析】【分析】求出直线l 的斜率，然后利用点斜式可写出直线l 的方程，化为一般式可得出答案.【详解】直线2310x y -+=的斜率为2233k =-=-，则直线l 的斜率为32-，因此，直线l 的方程为()3212y x -=-+，即3210x y +-=.故选：A.【点睛】本题考查垂线方程的求解，一般要求出直线的斜率，也可以利用垂直直线系方程来求解，考查计算能力，属于基础题.3.已知a ，b ，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（）A.3a ，a b - ，2a b +B.2b ，2b a - ，2b a +C.a，2b ，b c- D.c ，a c + ，a c- 【答案】C 【解析】【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答.【详解】向量,,a b c是不共面的三个向量，对于A ，32()(2)a a b a b =-++ ，则向量3,,2a a b a b -+共面，A 不能构成空间基底；对于B ，2(2)(2)b b a b a =-++ ，则向量2,2,2b b a b a -+共面，B 不能构成空间基底；对于D ，2()()c a c a c =+-- ，则向量,,c a c a c +-共面，D 不能构成空间基底；对于C ，假定向量,2,a b b c -共面，则存在不全为0的实数12,λλ，使得122()a b b c λλ=+- ，整理得122(2)0a b c λλλ-++= ，而向量,,a b c 不共面，则有12210200λλλ=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，显然不成立，所以向量,2,a b b c -不共面，能构成空间的一个基底，C 能构成空间基底.故选：C4.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，向量11AB AD BD､､是（）A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量的概念和共面定理判断.【详解】如图所示：向量11AB AD BD､､显然不是有相同起点的向量，A 不正确；由该平行六面体不是正方体可知，这三个向量不是等长的向量，B 不正确.又因为1111AD AB B D BD -== ，所以11AB AD BD､､共面，C 正确，D 不正确.故选：C5.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为A .14米B.15米C.51 D.251米【答案】D 【解析】【详解】以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直直线为y 轴，建立直角坐标系，设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则由已知可得：A （6，﹣2），设圆的半径为r ，则C （0，﹣r ），即圆的方程为x 2+（y +r ）2＝r 2，将A 的坐标代入圆的方程可得r ＝10，所以圆的方程是：x 2+（y +10）2＝100则当水面下降1米后可设A ′的坐标为（x 0，﹣3）（x 0＞0）代入圆的方程可得x 051=，所以当水面下降1米后，水面宽为251米．故选：D ．6.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且1AF AD mAB nAA =+-则m ，n 的值分别为()A.12，－12B.－12，－12C.－12，12D.12，12【答案】A 【解析】【分析】直接利用向量的线性运算化简得11122AF AD AB AA =++ ,比较系数得11,22m n ==-.【详解】由于11111()222AF AD DF AD DC DD AD AB AA =+=++=++，所以11,22m n ==-.故选：A【点睛】本题主要考查向量的线性运算和空间向量的基本定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7.四棱锥P ABCD -中，(2,1,3),(2,1,0),(3,1,4)AB AD AP =-=-=-，则这个四棱锥的高为（）A.55B.15C.25D.55【答案】A 【解析】【分析】求出平面ABCD 的法向量n ，计算法向量n与AP的夹角得出AP 与平面ABCD 的夹角，从而可求出P 到平面ABCD 的距离．【详解】解：设平面ABCD 的法向量为(n x =，y ，)z ，则n AB n AD⎧⊥⎨⊥⎩，∴23020x y z x y -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =可得2y =，0z =，即(1n =，2，0)，cos ,||||526n AP n AP n AP ∴<>==⨯，设AP 与平面ABCD 所成角为α，则sin α=，于是P 到平面ABCD的距离为||sin 5AP α= ，即四棱锥P ABCD -的高为5．故选：A ．【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题．8.已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（）A.210x y --=B.210x y +-= C.210x y -+= D.210x y ++=【答案】D 【解析】【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据44PAM PM AB S PA ⋅== 可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d ==>，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.直线21y ax a =-+必过定点()21，B.直线3240x y -+=在y 轴上的截距为2-C.10y ++=的倾斜角为120D.若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l 的斜率为23-【答案】AC 【解析】【分析】直接利用直线的方程，直线的倾斜角和斜率之间的关系逐项判断即可得结论．【详解】对于A ：直线21y ax a =-+，整理得()12y a x -=-，所以该直线经过()2,1点，故A 正确；对于B ：直线3240x y -+=，令0x =，解得2y =，故直线在y 轴上的截距为2，故B 错误；对于C ：10y ++=，所以直线的斜率k =所以tan θ=，由于0180θ≤< 故120θ= ，故C 正确；对于D ：直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则()31v =-，，所以直线的斜率为13-，故D 不正确．故选：AC.10.已知()1,0,1a =r，()1,2,3b =-- ，()2,4,6c =- ，则下列结论正确的是（）A.a b⊥ B.b c∥C.,a c为钝角D.c 在a方向上的投影向量为()4,0,4【答案】BD 【解析】【分析】利用向量垂直，平行的坐标关系判断A ，B ，根据向量夹角公式判断C ，根据投影向量和投影数量的关系计算求解判断D.【详解】因为()()11021340⨯-+⨯+⨯-=-≠，所以a ，b不垂直，A 错，因为2c b =- ，所以b c ∥，B 对，因为()1204168a c ⋅=⨯+⨯-+⨯=，所以cos ,0a c > ，所以,a c 不是钝角，C 错，因为c 在a方向上的投影向量()()28cos ,1,0,14,0,42a a c c a c a a a⋅⋅⋅===，D 对，故选：BD .11.圆C ：224630x y x y ++--=，直线:3470l x y --=，点P 在圆C 上，点Q 在直线l 上，则下列结论正确的是（）A.直线l 与圆C 相交B.||PQ 的最小值是1C.若P 到直线l 的距离为2，则点P 有2个D.从Q 点向圆C 引切线，则切线段的最小值是3【答案】BCD 【解析】【分析】对于A:求出圆心C 到直线l 的距离54d =>，即可判断直线与圆相离；对于B:利用几何法求出||PQ 的最小值，即可判断；对于C:设直线m 与l 平行，且m 到l 的距离为2.求出m 的方程，判断出直线m 与圆C 相交，有两个交点，即可判断；对于D:根据图形知,过Q 作QR 与圆C 相切于R ，连结CR .要使切线长最小，只需CQ 最小.利用几何法求出切线段的最小值，即可判断.【详解】对于A:由圆C ：224630x y x y ++--=，得圆C 的标准方程为()()222316x y +-=+，圆心()2,3C -到直线:3470l x y --=的距离54d==>，所以直线与圆相离.故A 错误；对于B:圆心()2,3C -到直线:3470l x y --=的距离5d =,所以||PQ 的最小值为541-=.故B 正确;对于C:设直线m 与l 平行，且m 到l 的距离为2.则可设:340m x y n -+=.()227234n +=+-，解得：3n =或17n =-.当3n =时，直线:3430m x y -+=，圆心()2,3C -到直线:3430m x y -+=()2261233434--+=<+-,所以直线m 与圆C 相交，有两个交点，且这两个点到直线l 的距离为1.当17n =-时，直线:34170m x y --=，圆心()2,3C -到直线:34170m x y --=的距离()22612177434---=>+-,所以直线m 与圆C 相离，不合题意.综上所述，圆上到直线l 的距离为1的点有且只有2个.故C 正确.对于D:根据图形知,过Q 作QR 与圆C 相切于R ，连结CR .则切线长22224QR CQ CR CQ =-=-要使切线长最小，只需CQ 最小.点Q 到圆心C 的最小值为圆心到直线的距离d =5,22543-=,故D 正确.故选：BCD12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中（）A.AC 与1BD 的夹角为60︒B.三棱锥11B ACD -外接球的体积为π2C.1AB 与平面1ACDD.点D 到平面1ACD 的距离为3【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法逐项判断即得．【详解】如图建立空间直角坐标系，则()()()()()111,0,0,0,1,0,1,1,0,0,0,1,1,1,1A C B D B ，对于A ，()()11,1,0,1,1,1AC BD =-=--，则10AC BD ⋅= ，即1AC BD ⊥，所以AC 与1BD 的夹角为90︒，故A 错误；对于B ，三棱锥11B ACD -外接球与正方体1111ABCD A B C D -的外接球相同，又正方体1111ABCD A B C D -的外接球的直径等于体对角线的长，所以三棱锥11B ACD -外接球的半径为2，所以三棱锥11B ACD -外接球的体积为34π(π322V =⨯=，故B 正确；对于C ，设平面1ACD 的法向量为(),,m x y z = ，()()11,1,01,0,1AC AD =-=-，，所以100m AC x y m AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得到，1y z ==，则()1,1,1m = ，因为()10,1,1AB =，设1AB 与平面1ACD 所成角为α，则111sin cos ,AB m AB m AB m α⋅==3==，则3cos ,tan 3αα==，故C 正确；因为()1,0,0DA =，设点D 到平面1ACD 的距离为d ，则33DA m d m ⋅===，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0的最大值是____.【答案】＋3【解析】【详解】将方程x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0化为22(2)(1)9x y ++-=，表示以(2,1)-为圆心，半径为3的圆，=表示圆上的点与原点之间的距离，容易判断原点（0,0）在圆内，且原点与=，所以3+．点睛：本题主要考查圆内的点与圆上的点之间的距离最大值问题，属于中档题．本题注意数形结合，将代数问题转化为几何问题求解．14.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=︒，且13A A =，则1AC 的长为_________．【答案】5【解析】【详解】试题分析：因为，所以22221111A C A A AB AD 2A 22A AB A A AD AB AD =+++⋅+⋅+⋅，即，故．15.已知矩形ABCD ，1AB =，3BC =，沿对角线AC 将ABC 折起，若二面角B AC D --的大小为120︒，则B ，D 两点之间的距离为______.【答案】132【解析】【分析】过,B D 分别作,,BE AC DF AC ⊥⊥由题意可求得1,1,2AE CF EF ===由二面角B AC D --的大小为120︒，得到3·cos120,8EB FD EB FD ︒==- 再利用BD BE EF FD =++ 可求得结果.【详解】过,B D 分别作,,BE AC DF AC ⊥⊥1,3,2,AB BC AC ==∴=111···,222AB BC AC BE AC DF ==,2BE DF ∴==则1,1,2AE CF EF === 二面角B AC D --的大小为120︒,3·cos120,8EB FD EB FD ︒∴==-BD BE EF FD =++,22222()2·2·2·BD BE EF FD BE EF FD BE EF EF FD BE FD ∴=++=+++++ 3331314444=+++=,则2BD =,即,B D 两点间的距离为2.故答案为：2.16.瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC 的顶点()4,0-A ，()0,4B ，其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标可以是_________【答案】()2,0或()0,2-【解析】【分析】设(,)C x y ，依题意可确定ABC ∆的外心为(0,2)M ，可得出,x y 一个关系式，求出ABC ∆重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出,x y 另一个关系式，解方程组，即可得出结论.【详解】设(,),C x y AB 的垂直平分线为y x =-，ABC 的外心为欧拉线方程为20x y -+=与直线y x =-的交点为(1,1)M -，∴22||||(1)(1)10MC MA x y ==++-=①由()4,0-A ，()0,4B ，ABC 重心为44(,)33x y -+，代入欧拉线方程20x y -+=，得20x y --=②由①②可得2,0x y ==或0,2x y ==-.故答案为：()2,0或()0,2-.【点睛】本题以数学文化为背景，考查圆的性质和三角形的外心与重心，考查逻辑思维能力和计算能力，属于较难题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知空间向量()2,4,2a =- ，()1,0,2b =- ，(),2,1c x =-．（1）若//a c，求c ；（2）若bc⊥，求cos ,a c 的值．【答案】（1；（2）66．【解析】【分析】（1）利用空间向量共线定理，列式求解x 的值，由向量模的坐标运算求解即可；（2）利用向量垂直的坐标表示，求出x 的值，从而得到()2,2,1c =--，由空间向量的夹角公式求解即可．【详解】解：（1）空间向量()2,4,2a =- ，()1,0,2b =- ，(),2,1c x =-，因为//a c ，所以存在实数k ，使得c ka =，所以22412x kk k =⎧⎪=⎨⎪-=-⎩，解得1x =，则c ==．（2）因为bc⊥，则020b c x ⋅=-+-=，解得2x =-，所以()2,2,1c =--，故222412cos ,6a c a c a c -⨯+⨯+-⨯-⋅==．18.已知 ABC 的顶点()5,1A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 的边上的高BH 所在直线方程为250x y = --．（1）求顶点C 的坐标；（2）求直线BC 的方程．【答案】（1）()4,3C（2）6590x y --=【解析】【分析】（1）设(),C m n ，利用点C 在AB 边上的中线CM 上和直线AC 与高线BH 垂直求解；（2）设(),B a b ，利用点B 在BH 上和AB 的中点M 在直线CM 上求解；【小问1详解】解：设(),C m n ，∵AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=．∴25011152m n n m --=⎧⎪-⎨⨯=-⎪-⎩，解得43m n =⎧⎨=⎩．∴()4,3C ．【小问2详解】设(),B a b ，则2505125022a b a b--=⎧⎪⎨++⨯--=⎪⎩，解得13a b =-⎧⎨=-⎩．∴()1,3B --．∴336415BC k +==+．∴直线BC 的方程为()6345y x -=-，即为6590x y --=．19.已知以点(1,1)C -为圆心的圆与直线:3440m x y ++=相切．（1）求圆C 的方程；（2）过点(2,3)P -的作圆C 的切线，求切线方程．【答案】（1）22(1)(1)1x y ++-=；（2）3460x y +-=和2x =-．【解析】【分析】（1）由点到直线距离公式得圆半径后可得圆方程；（2）分类讨论，检验斜率不存在的直线是否为切线，斜率存在时设出切线方程，由圆心到切线的距离等于半径得结论．【小问1详解】由题意，圆半径不1r ==，所以圆方程为22(1)(1)1x y ++-=；【小问2详解】易知过P 点斜率不存在的直线2x =-是圆的切线，再设斜率存在的切线方程为3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=，1=，解得34k =-，直线方程为363044x y ---+=，即3460x y +-=．所以切线方程是3460x y +-=和2x =-．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =，E 为棱PD 的中点．（1）证明：AE CD ⊥；（2）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质与判定，证明CD ⊥平面PAD 即可；（2）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面夹角即可.【小问1详解】因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故PA CD ⊥.又ABCD 为正方形，故AD CD ⊥.又PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD ，故CD ⊥平面PAD .又AE ⊂平面PAD ，故AE CD ⊥.【小问2详解】以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立如图空间直角坐标系.设2AB AP ==，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0D ，()002P ,,，()0,1,1E .()0,1,1AE = ，()2,0,2BP =- ，()0,2,2DP =-.设平面PBD 的法向量(),,n x y z = ，则00n BP n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即220220x z y z -+=⎧⎨-+=⎩，设1x =则()1,1,1n = .设直线AE 与平面PBD 所成角为θ，则sin 3AE nAE nθ⋅==⋅uu u r ruu u r r.21.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，13DD =，2AD =，π3BCD ∠=，E 为棱1BB 上一点，1BE =，过A ，E ，1C 三点作平面α交1DD 于点G.（1）求点D 到平面1BC G 的距离；（2）求平面AEC 与平面BEC 夹角的余弦值.【答案】（1）5（2）4【解析】【分析】（1）如图所示建立空间直角坐标系，确定各点坐标，根据1AG AE AC λμ=+得到()0,0,2G ，确定平面1BC G 的法向量，再利用点到平面的距离公式计算得到答案.（2）确定平面AEC 与平面BEC 的法向量，再根据向量的夹角公式计算即可.【小问1详解】如图所示：取F 为AB 中点，ABCD 为菱形，π3BCD ∠=，则222π21221cos33DF =+-⨯⨯⨯=，故DF =，222DA DF AF =+，DF AB ⊥，以DF ，DC ，1DD 为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则)1,0A-，)B，()0,2,0C，)E，()10,2,3C ，设()0,0,G a ，则1AG AE AC λμ=+，即()()()()0,2,1,32,3a λμμλμλ=+=++，故1323a μλμλ⎧=-⎪=+⎨⎪=+⎩，解得112a μλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故()0,0,2G ，设平面1BC G 的法向量为(),,n x y z =，则13020n BC y z n BG y z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取1y =-，得到,1,23n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，点D 到平面1BC G 的距离为52303DB nn⋅==.【小问2详解】设平面AEC 的法向量为()1111,,n x y z ，则1111112030n AE y z n AC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11y =，得到)12n =-；设平面BEC 的法向量为()2222,,n x y z ，则2222200n BE z n BC y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取21x =，得到()2n =；平面AEC 与平面BEC夹角为锐角，余弦值为1212126cos ,4n n n n n n ⋅===⋅.22.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的圆心在直线x ＋y －3＝0上，圆C 经过点A (0，4)，且与直线3x －4y ＋16＝0相切．（1）求圆C 的方程；（2）设直线l 交圆C 于P ，Q 两点，若直线AP ，AQ 的斜率之积为2，求证：直线l 过一个定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）(x －3)2＋y 2＝25；（2）证明见解析，定点为(6,12)--.【解析】【分析】（1）由圆心在直线上，可设圆心坐标C (a ，3－a )，由圆心到切线的距离等于半径列方程解得a 后可得圆方程；（2）分类讨论，直线l 斜率不存在时，设()00,P x y ，()00,Q x y -，x 0≠0，由已知求出x 0，但此直线与圆无交点，不合题意；直线l 的斜率存在．设直线l 的方程y ＝kx ＋t (t ≠4)，()11,P x kx t +，()22,Q x kx t +，把已知2AP AQ k k ⋅=用坐标表示出来，记为①式，由直线与圆相交，直线方程与圆方程联立，消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入①式，得出,k t 的关系式，代入直线方程整理可得直线过定点的坐标．【详解】（1）因为圆心C 在直线x ＋y －3＝0上，所以设C (a ，3－a )，因为圆C 经过点A (0，4)，所以圆C 的半径r ＝AC，因为圆C 和直线3x －4y ＋16＝0相切，所以圆C 的半径r化简，得a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3．所以C (3，0)，半径r ＝5．所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝25．（2）若直线l 的斜率不存在，则可设()00,P x y ，()00,Q x y -，x 0≠0，所以(x 0－3)2＋y 02＝25，2000200044162AP AQy y y k k x x x ----⋅=⋅==，消去y 0得x 0＝－6，再代入(x 0－3)2＋y 02＝25，y 0不存在，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程y ＝kx ＋t (t ≠4)，()11,P x kx t +，()22,Q x kx t +，所以1212442AP AQ kx t kx t k k x x +-+-⋅=⋅=，整理得，()()()()2212122440k x x k t x x t -+-++-=①直线方程与圆C 方程联立，()22,325,y kx t x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩消去y 得()()222126160k x kt x t ++-+-=，所以122261kt x x k -+=-+，2122161t x x k -=+代入①得()()()()()()2222216426410k t k t kt t k -----+-+=，由于t ≠4，整理得6120k t --=，即612t k =-，所以直线l 的方程为612y kx k =+-，即()612y k x =+-，令60,12,x y +=⎧⎨=-⎩解得6,12,x y =-⎧⎨=-⎩--．所以直线l过一个定点，该定点坐标为(6,12)。
合肥市高二上学期期中数学试卷(理科)A卷
合肥市高二上学期期中数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） A平面若AB与所成角正弦值为0.8，AC与成450角，则BC距离的范围（）A .B .C .D . ∪2. （2分） (2017高二上·湖北期末) 下列命题中真命题为（）A . 过点P（x0 ， y0）的直线都可表示为y﹣y0=k（x﹣x0）B . 过两点（x1 ， y1），（x2 ， y2）的直线都可表示为（x﹣x1）（y2﹣y1）=（y﹣y1）（x2﹣x1）C . 过点（0，b）的所有直线都可表示为y=kx+bD . 不过原点的所有直线都可表示为3. （2分）已知点Q(-2,0)及抛物线x2=﹣4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是（）A .B . 1C . 2D . 34. （2分）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A . 2x+y﹣3=0B . 2x﹣y﹣3=0C . 4x﹣y﹣3=0D . 4x+y﹣3=05. （2分） (2018高二上·鹤岗期中) 若直线过点，斜率为1，圆上恰有个点到的距离为1，则的值为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二上·青岛期中) 若m，n满足m+2n﹣1=0，则直线mx+3y+n=0过定点（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高二上·四川期中) 已知过点(1，-2)的直线与圆交于，两点，则弦长的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高一上·福州期末) 圆上存在两点关于直线对称，则实数的值为（）A . 6B . －4C . 8D . 无法确定9. （2分） (2016高三上·遵义期中) 已知双曲线 =1（a＞0，b＞0）的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高三上·蕉岭开学考) 已知点F1是抛物线C：x2=4y的焦点，点F2为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过F2作抛物线C的切线，切点为A，若点A恰好在以F1 ， F2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A .B . ﹣1C . +1D .11. （2分） (2016高二下·吉林开学考) 己知直线l的斜率为k，它与抛物线y2=4x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，则|k|=（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二上·哈尔滨月考) 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A .B .C . 3D . 2二、填空题 (共4题；共7分)13. （4分）设直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，当m=________时l1∥l2；当m=________时l1⊥l2；当m________时l1与l2相交；当m=________时l1与l2重合．14. （1分） (2016高二上·蕉岭开学考) 已知圆C：（x﹣2）2+（y+m﹣4）2=1，当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是________．15. （1分） (2017高二下·潍坊期中) 已知圆的方程式x2+y2=r2 ，经过圆上一点M（x0 ， y0）的切线方程为x0x+y0y=r2 ，类别上述方法可以得到椭圆类似的性质为：经过椭圆上一点M（x0 ， y0）的切线方程为________．16. （1分） (2016高三上·虎林期中) 已知抛物线 y2=8x的焦点与双曲线﹣y2=1的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为________．三、计算题 (共6题；共50分)17. （10分） (2018高一下·三明期末) 已知直线与 .（1）若，求与的交点坐标；（2）若，求与的距离.18. （5分）如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；（Ⅱ）当|PQ|=2时，求直线l的方程19. （5分）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．20. （10分） (2019高二上·哈尔滨期中) 已知在平面直角坐标系中，抛物线的准线方程是 .（1）求抛物线的方程；（2）设直线与抛物线相交于两点，为坐标原点，证明：以为直径的圆过原点.21. （10分） (2016高三上·厦门期中) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的右焦点为F，上顶点为A，短轴长为2，O为原点，直线AF与椭圆C的另一个交点为B，且△AOF的面积是△BOF的面积的3倍．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于P，Q两点，若在椭圆C上存在点R，使OPRQ为平行四边形，求m的取值范围．22. （10分） (2015高二上·滨州期末) 如图，等边三角形OAB的边长为8 ，且三个顶点均在抛物线E：y2=2px（p＞0）上，O为坐标原点．（1）证明：A、B两点关于x轴对称；（2）求抛物线E的方程．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共7分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、计算题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
2023-2024学年合肥一中高二数学上学期期中考试卷附答案解析
2023-2024学年合肥一中高二数学上学期期中考试卷（试卷满分150分．考试用时120分钟）2023.11本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第一章、第二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若0AB <，0BC >，则直线0Ax By C --=不经过的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若点()1,1P 在圆22:20C x y x y k +---=的外部，则实数k 的取值范围是（）A ．(),1-∞-B ．5,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．41,5⎛⎫-- ⎪⎝⎭3．已知O ，A ，B ，C 为空间中不共面的四点，且()1,3OP OA OB OC λμλμ=++∈R，若P ，A ，B ，C 四点共面，则函数()()[]()2311,2f x x x x λμ=-+-∈-的最小值是（）A ．2B ．1C ．1-D ．2-4．已知()1,2,1A 是平面α内一点，()1,1,1n =--是平面α的法向量，若点()2,0,3P 是平面α外一点，则点P 到平面α的距离为（）A ．3B ．233C 3D ．235．已知点()1,3A -，()3,1B ，直线:20l mx y ++=与线段AB 有公共点，则实数m 的取值范围为（）A ．(][)1,5,∞-⋃-+∞B ．[]5,1-C ．(][),15,-∞-⋃+∞D ．[]1,5-6．已知圆22:8120C x y x +-+=，点P 在圆C 上，点()6,0A ，M 为AP 的中点，O 为坐标原点，则tan MOA∠的最大值为（）A ．612B ．7C ．64D ．637．如图，在四面体ABCD 中，DA ⊥平面ABC ，CA CB ⊥，CA CB AD ==，E 为AB 的中点，F 为DB 上靠近B 的三等分点，则直线DE 与CF 所成角的余弦值为（）A ．32B ．2C ．15D ．168．已知圆()()22:349C x y -+-=和两点(),0A t ，()(),00B t t ->，若圆C 上至少存在一点P ，使得0PA PB ⋅<，则实数t 的取值范围是（）A ．()2,8B ．()2,+∞C ．()3,+∞D ．()1,3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．如图，在四棱锥P ABCD -中，AP a = ，AB b = ，AD c = ，若PE ED = ，2CF FP =，则（）A ．1122BE a b c=-+ B ．221333BF a b c =-+ C ．212333DF a b c =+- D ．111636EF a b c=-+10．已知直线1:30l ax y a +-=，直线()2:2160l x a y +--=，则（）A ．当3a =时，1l与2l 的交点为()3,0B ．直线1l 恒过点()3,0C ．若12l l ⊥，则13a =D ．存在a ∈R ，使12l l ∥11．已知x 、y 满足226210x y x y +-++=，则（）A ．22x y +103-B ．1yx +的最大值为6247C ．2x y +的最小值为135-D ()()()2222313x y x y -+++-512．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为3，2AB =，空间中一点P 满足[]()1,0,1AP xAB y AA x y =+∈，则（）A ．若12x =，则三棱锥1P AAC -的体积为定值B ．若12y =，则点P 的轨迹长度为3C ．若1x y +=，则1PB的最小值为61313D ．若x y =，则点P 到BC 的距离的最小值为32三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l 过点()1,2，且在y 轴上的截距为在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程是.14．已知点()0,5A ，()1,2B -，()3,4C --，()2,D a 四点共圆，则=a .15．如图，已知二面角l αβ--的大小为60，A α∈，B β∈，,C D l ∈，,AC l BD l ⊥⊥且2==AC BD ，4CD =，则AB =.16．在ABC 中，顶点()2,3A ，点B 在直线:310l x y -+=上，点C 在x 轴上，则ABC 周长的最小值为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知ABC 的三个顶点是()1,2A -，()2,2B -，()3,5C .(1)求边AC 上的高所在直线的方程；(2)求BAC ∠的角平分线所在直线的方程.18．已知圆()()22:119C x y -+-=.(1)直线1l 过点()2,0A -，且与圆C 相切，求直线1l的方程；(2)设直线2:3420l x y +-=与圆C 相交于E ，F 两点，点P 为圆C 上的一动点，求PEF !的面积S 的最大值.19．不同材质的楔形零配件广泛应用于生产生活中，例如，制作桌凳时，利用楔形木块可以防止松动，使构件更牢固.如图是从棱长为3的正方体木块中截出的一个楔形体ABCD MNPQ -，将正方体的上底面平均分成九个小正方形，其中,,,M N P Q 是中间的小正方形的顶点.(1)求楔形体的表面积；(2)求平面APQ 与平面BNQ 的夹角的余弦值.20．已知圆C 过()1,3M -，()1,1N 两点，且圆心C 在直线250x y +-=上.(1)求圆C 的方程；(2)设直线3y kx =+与圆C 交于A ，B 两点，在直线3y =上是否存在定点D ，使得直线AD ，BD 的倾斜角互补？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD 为等边三角形，顶点P 在底面上的射影在正方形ABCD 外部，设点E ，F 分别为PA ，BC 的中点，连接BE ，PF .(1)证明：//BE 平面PDF ；(2)若四棱锥P ABCD -的体积为42，设点G 为棱PB 上的一个动点（不含端点），求直线AG 与平面PCD所成角的正弦值的最大值.22．已知点()4,0E -，()1,0F -，动点P 满足2PEPF=，设动点P 的轨迹为曲线C ，过曲线C 与x 轴的负半轴的交点D 作两条直线分别交曲线C 于点,A B （异于D ），且直线AD ，BD 的斜率之积为13-.(1)求曲线C 的方程；(2)证明：直线AB 过定点.1．A【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及纵截距，再判断正负即可得解.【详解】由0Ax By C --=，得A C y x B B =-，又0AB <，0BC >，则直线的斜率0A B <，在y 轴上的截距0CB -<，所以直线0Ax By C --=经过第二、三、四象限，不经过第一象限.故选：A 2．B【分析】由方程表示圆可得54k >-，再由点在圆外即可得1k <-，求得实数k 的取值范围是5,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【详解】易知圆C 可化为()2215124x y k ⎛⎫-+-=+⎪⎝⎭，可得504k +>，即54k >-；又()1,1P 在圆C 外部，可得11120k +--->，解得1k <-；可得514k -<<-.故选：B.3．D【分析】根据点共面可得系数和为1，即可结合二次函数的性质求解最值.【详解】因为P ，A ，B ，C 四点共面，所以存在,R x y ∈，使得AP xAB yAC =+，故()()OP O x OB OA A Ay OC O --=-+ ,整理得()1OP OA x y OA xOB yOC-=--++ ，又()1,3OP OA OB OC λμλμ=++∈R，所以113x yx y λμ+=+⎧⎪⎨--=⎪⎩，所以23λμ+=，所以()()222112f x x x x =--=--，当1x =时，函数取最小值，且最小值为2-.故选:D.4．C【分析】根据点到平面的距离公式即可求出.【详解】由题意得()1,2,2AP =-，故点P 到平面α的距离333n AP d n⋅== ，故选：C.5．C【分析】先求出直线l 的定点，再求出,PA PBk k ，数形结合，得出结果.【详解】如图由题意知直线l 过定点()0,2P -，易求PA 的斜率()32510PA k --==---，PB 的斜率()12130PB k --==-，直线l 的斜率l k m=-，所以1m -≥或5m -≤-，即1m ≤-或5m ≥故选：C.6．A【分析】根据中点坐标公式结合相关点法可得M 的轨迹方程为()2251x y -+=，即可根据相切求解最值.【详解】由题意知圆C 的方程为()2244x y -+=，设()00,P x y ，(),M x y ，则006,20,2x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,所以0026,2,x x y y =-⎧⎨=⎩,又P 在圆C 上，所以()220044x y -+=，即()()2221024x y -+=，即M 的轨迹方程为()2251x y -+=.如图所示，当OM 与圆()2251x y -+=相切时，tan MOA ∠取得最大值，此时25126OM =-=，6tan 1226MOA ∠==，所以tan MOA ∠的最大值为612.故选:A7．D【分析】以A 为坐标原点，AC 为y 轴，AD 为z 轴，过A 垂直于平面CAD 的直线为x 轴建立空间直角坐标系（如图所示），设1CA =，求得11,,122DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，211,,333CF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据线线角的向量公式即可求解.【详解】以A 为坐标原点，AC 为y 轴，AD 为z 轴，过A 垂直于平面CAD 的直线为x 轴建立空间直角坐标系（如图所示），设1CA =，则()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,1D ，11,,022E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11,,122DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()1,1,1BD =--，()1,0,0CB = ，所以1211,,3333CF CB BF CB ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭ .设直线DE 与CF 所成角的大小为θ，则1cos cos ,6DE CF DE CF DE CF θ⋅===.故选：D.8．B【分析】根据题意可知，圆C 与圆()2220:O x y t t +=>的位置关系为相交、内切或内含，利用圆心距和两圆半径之间的关系即可求得2t >.【详解】圆()()22:349C x y -+-=的圆心()3,4C ，半径为3r =，因为圆C 上至少存在一点P ，使得0PA PB ⋅<，则90APB ∠>︒，所以圆C 与圆()2220:O x y t t +=>的位置关系为相交、内切或内含，所以可得3OC t<+，又因为22345OC =+，所以53t <+，即2t >.即实数t 的取值范围是()2,+∞.故选：B.9．BC【分析】利用空间向量的基本定理可得出BE 、BF 、DE 、EF 关于{},,a b c的表达式.【详解】对于A 选项，()()1122BE PE PB PD PB AD AP AB AP=-=-=--- 11112222AP AB AD a b c =-+=-+，故A 错误；对于B 选项，()2233BF BC CF AD CP AD AP AC=+=+=+- ()22212213333333AD AP AB AD AP AB AD a b c=+--=-+=-+，故B 正确；对于C 选项，()()221212333333DF BF BD BF AD AB a b c c b a b c=-=--=-+--=+- ，故C 正确；对于D 选项，2211111133322636EF BF BE a b c a b c a b c⎛⎫⎛⎫=-=-+--+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故D 错误.故选：BC.10．ABC【分析】将3a =代入解得两直线交点坐标为()3,0可判断A ；令30,0,x y -=⎧⎨=⎩解得3,0,x y =⎧⎨=⎩可判断B ，由直线垂直的条件可判断C ，由直线平行的条件可判断D.【详解】对于A ，当3a =时，直线1:390l x y +-=，直线2:2260l x y +-=，联立390,2260,x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得3,0,x y =⎧⎨=⎩所以两直线的交点为()3,0，故A 正确；对于B ，直线()1:30l x a y -+=，令30,0,x y -=⎧⎨=⎩解得3,0,x y =⎧⎨=⎩即直线1l 恒过点()3,0，故B 正确；对于C ：若12l l ⊥，则()2110a a ⨯+⨯-=，解得13a =，故C 正确；对于D ，假设存在a ∈R ，使12l l ∥，则()120a a ⨯--=，解得2a =或1a =-，当2a =时，1:260l x y +-=，2:260l x y +-=，两直线重合，舍去，当1a =-时，直线1:30l x y --=，直线2:2260l x y --=，两直线重合，舍去，所以不存在a ∈R ，使12l l ∥，故D 错误.故选：ABC.11．BCD【分析】利用距离的几何意义结合圆的几何性质可判断AD 选项；设1yk x =+，可知直线0kx y k -+=与圆C 有公共点，利用直线与圆的位置关系求出k 的取值范围，可判断B 选项；设2x y t +=，可知直线20x y t +-=与圆C 有公共点，利用直线与圆的位置关系求出t 的取值范围，可判断C 选项.【详解】方程226210x y x y +-++=可变形为()()22319x y -++=，则方程226210x y x y +-++=表示的曲线是以()3,1C -为圆心，以3为半径的圆，对于A 选项，设点(),P x y ，则22x y +表示圆C 上的点P 到原点O 的距离的平方，因为()()2203019-++>，则原点O 在圆C 外，所以，()22min 3313103OP OC =-=+-=，当且仅当P 为线段OC与圆C 的交点时，OP取最小值，所以，22x y +的最小值为)210319610=-A 错误；对于B 选项，设1yk x =+，则0kx y k -+=，由题意知直线0kx y k -+=与圆C 有公共点，23131k kk ++≤+，即27880k k +-≤，解得46246277k ---+≤≤，即1yx +的最大值为6247，故B 正确；对于C 选项，设2x y t +=，即20x y t +-=，由题意知直线20x y t +-=与圆C 有公共点，3235t--≤，解得135135t -≤≤+，故2x y +的最小值为135-，故C 正确；因为()()22319x y -++=，()()()()22222231333x y x y x y -+++-=+-()223x y +-表示点P 到点()0,3M 的距离，因为()()2203319-++>，所以，()()22min 303313532MP MC =-=-++=-=，当且仅当点P 为线段MC 与圆C 的交点时，MP取最小值，()()()2222313x y x y -+++-325+=，故D 正确.故选：BCD.12．ACD【分析】A ：做出图像，由已知和选项找到点P 的位置，判断P 到平面1AA C的距离为定值，又1AA C△的面积为定值可求出；B ：作图找到点P 位置，判断轨迹长度即可；C ：由向量共线得到P 的位置，再点到直线的距离求1PB 最小值；D ：建系，用空间向量关系求出P 到BC 的距离，再用二次函数的性质求出最值.【详解】对A ，若12x =，分别作棱AB ，11A B 的中点D ，E ，连接DE ，则P 在线段DE 上，易知DE ∥平面1AA C ，故点P 到平面1AA C的距离为定值，又1AA C△的面积为定值，所以三棱锥1P AAC -的体积为定值，故A正确；若12y =，分别作1AA ，1BB 的中点M ，N ，则点P 的轨迹为线段MN ，易知2MN AB ==，故B 错误；若1x y +=，则1A ，P ，B 三点共线，即点P 在线段1A B 上，易求点1B 到1A B 的距离为1313，故1PB的最小值为61313，故C 正确；若x y =，则点P 在线段1AB上，易证DB ，DC ，DE 两两垂直，以D 为坐标原点，DB ，DC ，DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A -，()1,0,0B ，()3,0C ，()11,0,3A -，()11,0,3B ，所以()2,0,0AB =，()3,0AC =，()3,0BC =-，()10,0,3AA =，()()12,0,3AP x AB AA x x =+=，所以()22,0,3BP AP AB x x =-=-，所以1cos ,x BP BC BP-=，所以点P 到BC 的距离()222221191112631244x d BP x x x x BP ⎛⎫-⎛⎫ ⎪=-=--=-+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以当14x =时，min 32d =，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：本体考查平面向量关系和空间立体几何的位置关系判定和体积，距离的求法，利用点到直线的距离和二次函数和建立空间直角坐标系解答，计算量大，属于比较难的试题.13．2y x =或240x y +-=【分析】当纵截距为0时，设直线方程为y kx =，代入点()1,2求得k 的值，当纵截距不为0时，设直线的截距式方程，代入点()1,2求解.【详解】①当直线l 在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为y kx =，因为直线过点()1,2，所以2k =，所以直线l 的方程为2y x =；②当直线l 在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线l 在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为2a ，则直线l 的方程为12x y a a +=，又因为直线l 过点()1,2，所以1212a a +=，解得：2a =，所以直线l 的方程为124x y +=，即240x y +-=，综上所述：直线l 的方程为2y x =或240x y +-=，故答案为：2y x =或240x y +-=．14．1【分析】设出圆的一般方程，带入A ，B ，C 坐标，求出圆的方程，再带入点()2,D a 求出答案.【详解】设过A ，B ，C 的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，()2240D E F +->，则255052025340E F D E F D E F ++=⎧⎪+-+=⎨⎪--+=⎩，解得6215D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以过A ，B ，C 的圆的方程为2262150x y x y ++--=，又点D 在此圆上，所以24122150a a ++--=，即2210a a -+=，所以1a =，故答案为：115．25【分析】根据题意，得到AB AC CD DB =++ ，利用()22AB AC CD DB=++，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】因为二面角l αβ--的大小为60 ，所以AC 与DB 的夹角为120，又因为AB AC CD DB =++，所以()22222222AB AC CD DBAC CD DB AC CD CD DB DB AC=++=+++⋅+⋅+⋅ 1416400222202⎛⎫=+++++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以5AB = 故答案为：516．213【分析】拆线段之和最值问题，利用对称，将直线:310l x y -+=同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知.【详解】设A 关于直线l 的对称点为P ，关于x 轴的对称点为Q ，PQ 与l 的交点即为B ，与x 轴的交点即为C .如图，,P Q 两点之间线段最短可知，PQ 的长即为ABC 周长的最小值.设(),P x y ，则331,223310,22y x x y -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪⨯-+=⎪⎩解得2,519,5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即219,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，A 关于x 轴的对称点为()2,3Q -，故ABC 周长的最小值为222192321355PQ ⎛⎫⎛⎫=--++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：1317．(1)4320x y +-=(2)7130x y +-=【分析】（1）根据垂直满足的斜率关系，即可由点斜式求解直线方程，（2）根据两点距离可得三角形为等腰三角形，进而得中点坐标，根据两点斜率公式即可求解斜率.【详解】（1）设AC 边上的高所在直线的斜率为k ，直线AC 的斜率()523314AC k -==--，所以1AC k k ⋅=-，所以43k =-，故所求直线方程为()4223y x +=--，即4320x y +-=.（2）由题意得()22345AB =-+=，22435AC =+，所以5AB AC ==，则ABC 为等腰三角形，BC 的中点为53,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()32125712ADk -==---，由等腰三角形的性质知，AD 为BAC ∠的平分线，故所求直线方程为()1217y x -=-+，即7130x y +-=.18．(1)2x =-或4380x y ++=(2)82【分析】（1）分类讨论直线1l的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解；（2）根据垂径定理求弦长，结合圆的性质求面积最大值.【详解】（1）由题意得()1,1C ，圆C 的半径3r =，当直线1l 的斜率存在时，设直线1l的方程为()2y k x =+，即20kx y k -+=，由直线1l与圆C 21231k kk -+=+，解得43k =-，所以直线1l的方程为4380x y ++=；当直线1l 的斜率不存在时，直线1l的方程为2x =-，显然与圆C 相切；综上，直线1l的方程为2x =-或4380x y ++=.（2）由题意得圆心C 到直线2l 的距离22342134d +-=+，所以222312EF =-点P 到直线2l 的距离的最大值为314r d +=+=，则PEF !的面积的最大值()max 114248222S EF r d =⨯⨯+=⨯=.19．(1)10810+32626【分析】（1）由题意可知求出楔形体侧面等腰梯形的高即可求出表面积为10810+（2）以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量即可求出平面APQ 与平面BNQ的夹角的余弦值为32626.【详解】（1）易得该楔形体的上底面为边长为1的正方形，下底面是边长为3的正方形，侧面是等腰梯形，其上底面边长为1，下底面边长为3()223211 +=10，所以该楔形体的表面积为()1 113341310108102⨯+⨯+⨯+=+（2）以点D为坐标原点，分别以DA，DC，1DD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()3,0,0A，()3,3,0B，()1,2,3P，()1,1,3Q，()2,2,3N，则()2,2,3AP=-，()2,1,3AQ=-，()1,1,3BN=--，()2,2,3BQ=--.设平面APQ的法向量为()1111,,n x y z=，平面BNQ的法向量为()2222,,n x y z=，则111111112230230AP n x y zAQ n x y z⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，解得1y=，令12z=，则13x=，，所以平面APQ的一个法向量为()13,0,2n=，同理得22221222302230BN n x y zBQ n x y z⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，解得2z=，令21x=，则21y=-；即平面BNQ的一个法向量为()21,1,0n=-.设平面APQ与平面BNQ的夹角为θ，则12123326cos26132n nn nθ⋅==⨯，所以平面APQ与平面BNQ的夹角的余弦值为32626.20．(1)()()22134x y -+-=(2)存在定点()3,3D -满足条件【分析】（1）先求MN 的中垂线所在直线方程，根据圆的性质求圆心和半径，即可得结果；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，根据题意可得()121220kx x kt x x -+=，联立方程，利用韦达定理运算求解.【详解】（1）由题意得MN 的中点E 的坐标为()0,2，直线MN 的斜率为1-，因为CE MN ⊥，所以直线CE 的斜率为1，所以直线CE 的方程为2y x -=，即2y x =+，解方程组2250y x x y =+⎧⎨+-=⎩得13x y =⎧⎨=⎩，故()1,3C ，所以圆C 的半径()()2211332r CM ==++-=，所以圆C 的方程为()()22134x y -+-=.（2）由()()223134y kx x y =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩消去y 整理得()221230k x x +--=，可得()241210k ∆=++>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12221x x k +=+，12231x x k =-+.（*）设(),3D t ，则113AD y k x t -=-，223BD y k x t -=-（AD k ，BD k 分别为直线AD ，BD 的斜率）.因为直线AD ，BD 的倾斜角互补，所以0AD BDk k +=，即121233y y x t x t--+=--，即()()()()1221330y x t y x t --+--=，即()121220kx x kt x x -+=，将（*）式代入得2262011k ktk k --=++，整理得()2301k t k +=+对任意实数k 恒成立，故30t +=，解得3t =-，故点D 的坐标为()3,3-.所以在直线3y =上存在定点()3,3D -满足条件..21．(1)证明见解析；(2)223.【分析】（1）取AD 的中点M ，利用线面平行的判定、面面平行的判定、性质推理即得.（2）利用给定体积求出锥体的高，以点M 为坐标原点建立空间直角坐标系，再利用线面角的向量求法求解即得.【详解】（1）取AD 的中点M ，连接EM ，BM ，如图，由E 为PA 的中点，得//EM PD ，而EM ⊄平面PDF ，PD ⊂平面PDF ，则//EM 平面PDF ，又//MD BF ，且MD BF =，即四边形BMDF 为平行四边形，则//MB DF ，又MB ⊄平面PDF ，DF ⊂平面PDF ，于是//MB 平面PDF ，显然MB EM M = ，,MB EM ⊂平面BEM ，因此平面//BEM 平面PDF ，又BE ⊂平面BEM ，所以//BE 平面PDF .（2）连接MF ，设该四棱锥的高为h ，则体积为2142233h ⨯⨯=，2h 连接PM ，则,PM AD FM AD ⊥⊥，,,FM PM M FM PM ⋂=⊂平面PMF ，于是AD ⊥平面PMF ，而AD ⊂平面ABCD ，则平面PMF ⊥平面ABCD ，在平面PMF 内过M 作Mz FM ⊥，而平面PMF 平面ABCD FM =，从而Mz ⊥平面ABCD ，显然,,MA MF Mz 两两垂直，以点M 为坐标原点，直线,,MA MF Mz 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系Mxyz ，则3PM =(0,2P -，()1,0,0A ，()1,2,0B ，()1,2,0C -，()1,0,0D -，则(1,3,2PB =- ，(1,3,2PC =- ，()0,2,0DC = ，设()01PG PB λλ=<< ，则(),3,2PG λλλ=，点)(),321G λλλ--，)()1,321AG λλλ=---，设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z = ，则32020n PC x y z n DC y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1z =，得()2,0,1n =- ，设直线AG 与平面PCD 所成的角为θ，则222222(1)61sin cos ,33(1)(31)2(1)331n AG n AG n AG θλλλλλ⋅=〈〉===⋅⋅-+-+--+令1t λ-=，则1t λ=-，且01t <<，因此222666sin 333311333313()24t t t t t θ===-+-+-+所以当23t =，即13λ=时，sin θ取得最大值，且最大值为223.22．(1)224x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据2PEPF=设点代入即可得到曲线C 的方程；（2）先考虑斜率存在的情况，设直线联立，得到AB 方程，进而得到AB 过定点，再考虑斜率不存在的情况，也得到AB 过该定点即可.【详解】（1）设(),P x y ，由2PEPF=，得2PE PF=()()2222421x y x y ++=++两边平方并化简，得曲线C 的方程为224x y +=.（2）由（1）得()2,0D -，设直线AD 、BD 的斜率分别为1k ，()212k k k >，如图所示，当AB 不垂直于x 轴时，设()1:2AD y k x =+，联立()22142x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，整理得()222211114440k x k x k +++-=，解得2x =-（舍）或2121221k x k -+=+，当2121221k x k -+=+时，21112211224211k k y k k k ⎛⎫-+=+= ⎪++⎝⎭，所以2112211224,11k k A k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理得2222222224,11k k B k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，所以AB 的斜率()()()()()()122222122112222222121221221244414111222221121111ABk k k k k k k k k k k k k k k k k -+-+++==---+--+-++()()()()1221122121124414k k k k k k k k k k k k ---==+-+，因为1213k k =-，代入可得()1243AB k k k =-+，故AB 的方程为()2112211214224131k k y x k k k k ⎛⎫--=-- ⎪+++⎝⎭，即()()()()()()()2211112222121121211218148412443133131k k k k k y x x k k k k k k k k k k k -++=-++=-++++++++，()()()()1212124441,333x x k k k k k k =-+=--+++故AB 过定点()1,0；当AB x ⊥轴时，设()00,A x y ，则()00,B x y -，所以0012001223y y k k x x -=⋅=-++，即()220032y x =+，又因为2222000044x y y x +=⇒=-，代入可得20020x x +-=，解得01x =或02x =-（舍），所以((3,1,3A B -（或((1,3,3A B ），所以AB 的方程为1x =，过点()1,0.综上，直线AB 过定点()1,0T。
2023-2024学年安徽省A10联盟(人教A版)高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省A10联盟（人教A 版）高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．直线√3x +y ﹣1＝0的倾斜角是（ ） A ．π3B ．π6C ．2π3D ．5π62．若双曲线y 22−x 2m=1的焦点与椭圆x 24+y 29=1的焦点重合，则m 的值为（ ） A ．2B ．3C ．6D ．73．以A （2，0），B （0，4）为直径端点的圆方程是（ ） A ．（x +1）2+（y +2） 2＝20 B ．（x ﹣1） 2+（y ﹣2） 2＝20C ．（x +1） 2+（y +2） 2＝5D ．（x ﹣1） 2+（y ﹣2） 2＝54．堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB =π2，若AA 1＝2AC ＝2BC ＝2，则异面直线B 1C 与A 1B 所成角的余弦值为（ ）A ．√3010B ．−√3010C ．√7010D ．−√70105．已知椭圆C ：x 225+y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 两点都在C 上，且A ，B 关于坐标原点对称，下列说法错误的是（ ） A ．|AB |的最大值为10 B ．|AF 2|+|BF 2|为定值C ．C 的焦距是短轴长的34D ．存在点A ，使得AF 1⊥AF 26．已知在△ABC 中，顶点A （1，1），点B 在直线l ：x ﹣y +2＝0上，点C 在x 轴上，则△ABC 的周长的最小值为（ ） A ．√5B ．2√5C ．4√5D ．5√527．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，E ，F 分别为PD ，PB 的中点，点G 满足AG →=λAP →（0＜λ＜1），P A ＝4，AB ＝2，若OG ∥平面CEF ，则λ＝（ ）A ．14B ．13C ．12D ．238．已知底边BC 长为2的等腰直角三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足DB ：DC =√3：1，则△ABD 面积的最大值是（ ） A ．3+√62B ．3−√62C ．3√2+2√32D ．3√2−2√32二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）9．直线l 的方向向量为a →，平面α，β的法向量分别为n →，m →，则下列命题为真命题的是（ ） A ．若m →⊥n →，则α⊥β B ．若l ∥α，则a →⊥n →C ．若cos〈a →，n →〉=√32，则直线l 与平面α所成角的大小为π6D ．若cos〈m →，n →〉=12，则平面α，β的夹角大小为π310．若方程x 25−t+y 2t−1=1所表示的曲线为C ，则（ ）A ．曲线C 可能是圆B ．若1＜t ＜5，则C 为椭圆C ．若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则1＜t ＜3D ．若C 为双曲线，且焦点在y 轴上，则t ＜1 11．下列有关直线与圆的结论正确的是（ ）A ．过点（3，4）且在x ，y 轴上的截距相等的直线方程为x ﹣y ﹣7＝0B ．若直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0和以M （2，1），N （3，2）为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为[32，2]C ．若点P （a ，b ）是圆x 2+y 2＝r 2（r ＞0）外一点，直线l 的方程是ax +by ＝r 2，则直线l 与圆相离D ．若圆（x ﹣1）2+y 2＝4上恰有3个点到直线y ＝x +b 的距离等于1，则实数b =−1±√2 12．已知O 为坐标原点，F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y =√3x ，且F 1到l 的距离为3√3，P 为C 在第一象限上的一点，点Q 的坐标为（2，0），PQ 为∠F 1PF 2的平分线，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线C 的方程为x 29−y 227=1 B ．双曲线C 的离心率为2 C ．|PF 1|＝3|PF 2|D ．点P 到x 轴的距离为3√152三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知圆C ：x 2+y 2＝4，过点P （1，1）的直线被圆C 截得弦长最短时，直线的方程为 ． 14．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，AA 1＝2，E 为A 1D 的中点，F 为CC 1上靠近点C 的三等分点，则点E 到平面BDF 的距离为 ． 15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的离心率是√5，F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，过点F 2且垂直于x 轴的垂线在x 轴上方交双曲线C 于点M ，则tan ∠MF 1F 2的值为 ．16．过直线l ：x ﹣y +4＝0上任意点P 作圆O ：x 2+y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 过定点 ；记线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的最小值为 ． 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知△ABC 的三个顶点分别是A （4，0），B （6，7），C （0，3）． （1）求边BC 的高所在的直线方程；（2）求平分△ABC 的面积且过点B 的直线的方程． 18．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线x +2y ＝0垂直，且右顶点A 到该条渐近线的距离为2√55． （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M （3，2），求直线l 的斜率． 19．（12分）已知点P （4，0），圆C 的圆心在直线x ﹣y ﹣4＝0上，且圆C 与y 轴切于点M （0，﹣2）． （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 过点P 且被圆C 截得的弦长为2√2，求直线l 的方程．20．（12分）一动圆与圆C 1：x 2+y 2+6x +5＝0外切，同时与圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣91＝0内切，动圆圆心的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）点P 为E 上一动点，点O 为坐标原点，曲线E 的右焦点为F ，求|PO |2+|PF |2的最小值．21．（12分）如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，△SAB 是边长为2的等边三角形，AC ⊥平面SAB ，M ，N ，P ，Q 分别是SB ，BC ，SA ，CN 的中点． （1）求证：PQ ∥平面AMN ；（2）若AC ＝2，求平面AMN 与平面SAC 夹角的余弦值．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，该椭圆的离心率为12，且椭圆上动点M 与点F 1的最大距离为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，若直线l 与x 轴、椭圆C 顺次交于P ，Q ，R （点P 在椭圆左顶点的左侧），且∠PF 1Q +∠PF 1R ＝π，求△RQF 1面积的最大值．2023-2024学年安徽省A10联盟（人教A 版）高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．直线√3x +y ﹣1＝0的倾斜角是（ ） A ．π3B ．π6C ．2π3D ．5π6解：由直线√3x +y ﹣1＝0，得y =−√3x +1，可得直线的斜率为−√3，设倾斜角为α（0≤α＜π），则tan α=−√3，α=2π3． 故选：C ． 2．若双曲线y 22−x 2m=1的焦点与椭圆x 24+y 29=1的焦点重合，则m 的值为（ ） A ．2 B ．3C ．6D ．7解：因为椭圆x 24+y 29=1的焦点为(0，√5)，(0，−√5)，所以双曲线y 22−x 2m=1的焦点为(0，√5)，(0，−√5)，故2+m ＝5，解得m ＝3．故选：B ．3．以A （2，0），B （0，4）为直径端点的圆方程是（ ） A ．（x +1）2+（y +2） 2＝20 B ．（x ﹣1） 2+（y ﹣2） 2＝20C ．（x +1） 2+（y +2） 2＝5D ．（x ﹣1） 2+（y ﹣2） 2＝5解：∵A （2，0），B （0，4），∴AB 的中点坐标为（1，2），由|AB |=√22+42=2√5， ∴以A （2，0），B （0，4）为直径端点的圆方程是（x ﹣1） 2+（y ﹣2） 2＝5． 故选：D ．4．堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB =π2，若AA 1＝2AC ＝2BC ＝2，则异面直线B 1C 与A 1B 所成角的余弦值为（ ）A ．√3010B ．−√3010C ．√7010D ．−√7010解：以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B 1（0，1，2），C （0，0，0），A 1（1，0，2），B （0，1，0）， 所以CB 1→=（0，1，2），BA 1→=（1，﹣1，2）， 所以cos ＜CB 1→，BA 1→＞=CB 1→⋅BA 1→|CB 1→|⋅|BA 1→|=−1×1+2×2√5×√6=√3010， 因为异面直线夹角的取值范围为（0，π2]， 所以异面直线B 1C 与A 1B 所成角的余弦值为√3010． 故选：A ．5．已知椭圆C ：x 225+y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 两点都在C 上，且A ，B 关于坐标原点对称，下列说法错误的是（ ） A ．|AB |的最大值为10 B ．|AF 2|+|BF 2|为定值C ．C 的焦距是短轴长的34D ．存在点A ，使得AF 1⊥AF 2解：由题意得，a 2＝25，b 2＝16，c 2＝a 2﹣b 2＝9，所以a ＝5，b ＝4，c ＝3，而|AB |≤2a ＝10，2c 2b=34，故选项A ，C 正确；由椭圆的对称性知，|AF 2|+|BF 2|＝|BF 1|+|BF 2|＝2a ＝10，故选项B 正确；当A 在y 轴上时，cos ∠F 1AF 2=52+52−622×5×5＞0，则最大角∠F 1AF 2为锐角，所以不存在点A ，使得AF 1⊥AF 2，故选项D 错误． 故选：D ．6．已知在△ABC 中，顶点A （1，1），点B 在直线l ：x ﹣y +2＝0上，点C 在x 轴上，则△ABC 的周长的最小值为（ ） A ．√5 B ．2√5C ．4√5D ．5√52解：如图示：，设A （1，1）点关于直线x ﹣y +2＝0的对称点为A ′（a ，b ），则{b−1a−1=−1a+12−b+12+2=0，解得：{a =−1b =3，故A ′（﹣1，3），点A 关于x 轴的对称点A ″（1，﹣1）， 则|A ′A ″|=√4+16=2√5，故A ′A ″的长即△ABC 周长的最小值． 故选：B ．7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，E ，F 分别为PD ，PB 的中点，点G 满足AG →=λAP →（0＜λ＜1），P A ＝4，AB ＝2，若OG ∥平面CEF ，则λ＝（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23解：因为P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以AB ，AD ，AP 两两互相垂直， 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ．，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因为E ，F 分别为PD ，PB 的中点，点G 满足AG →=λAP →（0＜λ＜1），P A ＝4，AB ＝2，所以B （2，0，0），D （0，2，0），C （2，2，0），P （0，0，4），E （0，1，2），F （1，0，2），O （1，1，0），G （0，0，4λ），所以OG →=(−1，−1，4λ)，CE →=(−2，−1，2)，CF →=(−1，−2，2)， 设平面CEF 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅CE →=−2x −y +2z =0n →⋅CF →=−x −2y +2z =0，解得{y =xz =32x， 令x ＝2，得y ＝2，z ＝3，所以n →=(2，2，3)，因为OG ∥平面CEF ，所以OG →⊥n →，即OG →⋅n →=−2−2+12λ=0， 解得λ=13． 故选：B ．8．已知底边BC 长为2的等腰直角三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足DB ：DC =√3：1，则△ABD 面积的最大值是（ ） A ．3+√62B ．3−√62C ．3√2+2√32D ．3√2−2√32解：以BC 的中点O 为原点，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，如图，则A （0，1），B （﹣1，0），C （1，0），设D （x ，y ）， 因为DB ：DC =√3：1，所以√(x+1)2+y 2√(x−1)2+y 2=√3，化简整理得：（x +1）2+y 2＝3（x ﹣1）2+3y 2，即（x ﹣2）2+y 2＝3， 所以点D 的轨迹为以（2，0）为圆心，以√3为半径的圆， 当点D 与直线AB 距离最大时，△ABD 面积最大， 直线AB 的方程为x ﹣y +1＝0，且|AB|=√2，设圆心到直线的距离为d ，则点D 到直线AB 的最大距离为d +r =|2−0+1|2+√3=3√2+2√32，所以△ABD 面积的最大值为12×√2×3√2+2√32=3+√62．故选：A ．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）9．直线l 的方向向量为a →，平面α，β的法向量分别为n →，m →，则下列命题为真命题的是（ ） A ．若m →⊥n →，则α⊥β B ．若l ∥α，则a →⊥n →C ．若cos〈a →，n →〉=√32，则直线l 与平面α所成角的大小为π6D ．若cos〈m →，n →〉=12，则平面α，β的夹角大小为π3解：对于选项A ，若m →⊥n →，则α⊥β，即A 正确； 对于选项B ，若l ∥α，则a →⊥n →，即B 正确；对于选项C ，若cos〈a →，n →〉=√32，则a →与n →的夹角为π6，因为直线与平面所成角的取值范围为[0，π2]，所以直线l 与平面α所成角的大小为π3，即C 错误；对于选项D ，若cos〈m →，n →〉=12，则n →与m →的夹角为π3，因为两平面夹角的取值范围为[0，π2]，所以平面α与β的夹角大小为π3，即D 正确．故选：ABD ． 10．若方程x 25−t+y 2t−1=1所表示的曲线为C ，则（ ）A ．曲线C 可能是圆B ．若1＜t ＜5，则C 为椭圆C ．若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则1＜t ＜3D ．若C 为双曲线，且焦点在y 轴上，则t ＜1 解：A 选项，当5﹣t ＝t ﹣1＞0，即t ＝3时，方程x 25−t+y 2t−1=1为x 2+y 2＝2，表示圆心为原点，半径为√2的圆，故选项A正确，选项B错误；C选项，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则5﹣t＞t﹣1＞0，解得1＜t＜3，故选项C正确；D选项，若C为双曲线，且焦点在y轴上，方程x25−t +y2t−1=1即y2t−1−x2t−5=1，则{t−1＞0t−5＞0，解得t＞5，故选项D错误．故选：AC．11．下列有关直线与圆的结论正确的是（）A．过点（3，4）且在x，y轴上的截距相等的直线方程为x﹣y﹣7＝0B．若直线kx﹣y﹣k﹣1＝0和以M（2，1），N（3，2）为端点的线段相交，则实数k的取值范围为[32，2]C．若点P（a，b）是圆x2+y2＝r2（r＞0）外一点，直线l的方程是ax+by＝r2，则直线l与圆相离D．若圆（x﹣1）2+y2＝4上恰有3个点到直线y＝x+b的距离等于1，则实数b=−1±√2解：当截距不为0时，设直线xa+ya=1，将点（3，4）代入得，3a+4a=1，∴a＝7，则直线方程为x+y ﹣7＝0，当截距为0时，设直线y＝kx，将点（3，4）代入得，4＝3k，∴k=43，则直线方程为4x﹣3y＝0，则直线方程为x+y﹣7＝0和4x﹣3y＝0，∴A错误．对于B，已知直线kx﹣y﹣k﹣1＝0过定点A（1，﹣1），又直线AM，AN的斜率为k AM=1+12−1=2，k AN=2+13−1=32，所以直线kx﹣y﹣k﹣1＝0和以M（2，1），N（3，2）为端点的线段相交，实数k的取值范围为[32，2]，故B正确；对于C，点P（a，b）是圆x2+y2＝r2外一点，所以a2+b2＞r2，所以圆心（0，0）到直线的距离d=r2√a2+br，所以直线与圆相交，故C不正确；因为圆C：（x﹣1）2+y2＝4上恰有三个点到直线l：y＝x+b的距离等于1，所以圆心（1，0）到直线的距离等于半径的一半，所以√2=1，解得b＝﹣1±√2，故D正确．故选：BD．12．已知O 为坐标原点，F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y =√3x ，且F 1到l 的距离为3√3，P 为C 在第一象限上的一点，点Q 的坐标为（2，0），PQ 为∠F 1PF 2的平分线，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线C 的方程为x 29−y 227=1 B ．双曲线C 的离心率为2 C ．|PF 1|＝3|PF 2|D ．点P 到x 轴的距离为3√152解：对于A ，由F 1（﹣c ，0）到渐近线y =√3x 的距离为3√3，得√3c2=3√3，解得c ＝6， 由渐近线方程为y =√3x ，得ba =√3，结合a 2+b 2＝c 2可得a ＝3，b =3√3，则双曲线C 的方程为x 29−y 227=1，故A 正确．对于B ，e =ca =2，故B 正确． 对于C ，PQ 为∠F 1PF 2的平分线，则|PF 1||PF 2|=|QF 1||QF 2|=84=2，故C 错误．对于D ，由双曲线定义可得|PF 1|﹣|PF 2|＝6，则可得|PF 1|＝12，|PF 2|＝6，在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2=122+62−1222×12×6=14，sin ∠F 1PF 2=√1−cos 2∠F 1PF 2=√154，设点P 到x 轴的距离为d ，则|PF 2|•sin ∠F 1PF 2 即12×12×d =12×12×6×√154，解得d =3√152，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知圆C ：x 2+y 2＝4，过点P （1，1）的直线被圆C 截得弦长最短时，直线的方程为 x +y ﹣2＝0 ． 解：显然点P 在圆C 内，过点P 且弦长最短的弦应是垂直于直线CP 的弦， 又直线CP 的斜率为1，所以所求直线的斜率为﹣1， 故所求直线的方程为y ﹣1＝﹣（x ﹣1），即x +y ﹣2＝0． 故答案为：x +y ﹣2＝0．14．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，AA 1＝2，E 为A 1D 的中点，F 为CC 1上靠近点C 的三等分点，则点E 到平面BDF 的距离为4√1717． 解：以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D ﹣xyz ，可得D （0，0，0），B （1，1，0），F （0，1，23），E （12，0，1），则DE →=（12，0，1），DB →=（1，1，0），DF →=（0，1，23），设平面BDF 的法向量为n →=（x ，y ，z ），由n →•DB →=n →•DF →=0，即x +y ＝y +23z ＝0，可取z ＝﹣3，则y ＝2，x ＝﹣2， 即n →=（﹣2，2，﹣3），则点E 到平面BDF 的距离为|n →⋅DE →|n →|||√4+4+9|4√1717． 故答案为：4√1717． 15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的离心率是√5，F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，过点F 2且垂直于x 轴的垂线在x 轴上方交双曲线C 于点M ，则tan ∠MF 1F 2的值为 2√55 ．解：将x ＝c 代入双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1中，可得|MF 2|=b2a ，又|F 1F 2|＝2c ，∴tan ∠MF 1F 2=|MF 2||F 1F 2|=b 22ac =c 2−a 22ac =12(e −1e )=12(√515)=2√55．故答案为：2√55． 16．过直线l ：x ﹣y +4＝0上任意点P 作圆O ：x 2+y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 过定点 （﹣1，1） ；记线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的最小值为 √2 ． 解：设P （x 0，y 0），因为P 是直线l ：x ﹣y +4＝0上一点，所以y 0＝x 0+4，以OP 为直径的圆的方程为x （x ﹣x 0）+y （y ﹣y 0）＝0， 即x 2+y 2﹣x 0x ﹣y 0y ＝0，所以x 0x +y 0y ＝4，即直线AB 的方程为x 0x +y 0y ＝4，又y 0＝x 0+4，∴直线AB 的方程为x 0（x +y ）+4y ﹣4＝0，故直线AB 过定点（﹣1，1）． 设Q （x ，y ），直线AB 过定点为M ，则M （﹣1，1）， 由MQ →⋅OQ →=0，得（x +1）x +（y ﹣1）y ＝0， 整理得点Q 的轨迹方程为(x +12)2+(y −12)2=12，因为点(−12，12)到直线l ：x ﹣y +4＝0的距离d =|−12−12+4|√2=3√22＞√22，所以直线l ：x ﹣y +4＝0与圆(x +12)2+(y −12)2=12相离， 所以点Q 到直线l 的距离的最小值为|−12−12+4|√2−√22=√2．故答案为：（﹣1，1），√2．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知△ABC 的三个顶点分别是A （4，0），B （6，7），C （0，3）． （1）求边BC 的高所在的直线方程；（2）求平分△ABC 的面积且过点B 的直线的方程． 解：（1）由题意可得：直线BC 的斜率k BC =3−70−6=23， 则边BC 的高所在的直线的斜率k =−32，所求直线方程为y −0=−32(x −4)，即3x +2y ﹣12＝0． （2）由题意可知：所求直线即为边AC 的中线所在的直线，则线段AC 的中点为D(2，32)，可得直线BD 的斜率k BD =7−326−2=118，所以直线BD 的方程为y −32=118(x −2)，即11x ﹣8y ﹣10＝0． 18．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线x +2y ＝0垂直，且右顶点A 到该条渐近线的距离为2√55． （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M （3，2），求直线l 的斜率． 解：（1）因为双曲线C 的一条渐近线与直线x +2y ＝0垂直，且直线x +2y ＝0的斜率为−12，因为双曲线C 的渐近线为y =±b a x ，所以−12⋅ba =−1，解得ba=2，则双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，即2x ±y ＝0， 因为右顶点（a ，0）到该条渐近线的距离为2√55，所以√5=2√55，解得a ＝1，可得b ＝2， 所以双曲线C 的方程为x 2−y 24=1； （2）若直线l ⊥x 轴， 此时A ，B 两点关于x 轴对称，可得线段AB 的中点在x 轴上，不符合题意； 若直线l 与x 轴不垂直，不妨设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），直线l 的斜率为k ，此时{x 12−y 124=1x 22−y 224=1，即(x 12−x 22)−y 12−y 224=0， 此时(x 1+x 2)(x 1−x 2)−(y 1+y 2)(y 1−y 2)4=0，整理得y 1+y 2x 1+x 2⋅y 1−y 2x 1−x 2=4．因为线段AB 的中点为M （3，2），所以x 1+x 2＝6，y 1+y 2＝4，则46⋅k =4，解得k ＝6，故直线l 的斜率为6．19．（12分）已知点P （4，0），圆C 的圆心在直线x ﹣y ﹣4＝0上，且圆C 与y 轴切于点M （0，﹣2）． （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 过点P 且被圆C 截得的弦长为2√2，求直线l 的方程． 解：（1）设圆心坐标为C （a ，b ），因为圆C 的圆心在直线x ﹣y ﹣4＝0上，且圆C 与y 轴切于点M （0，﹣2）， 所以{a −b −4=0b =−2，解得{a =2b =−2，所以C （2，﹣2），半径r ＝|MC |＝2， 所以圆C 的方程为（x ﹣2）2+（y +2）2＝4；（2）由题意得，圆心C （2，﹣2）到直线l 的距离为√4−2=√2， 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣4），则√k 2+1=√2，解得k =2+√3或k =2−√3，当直线l 的斜率不存在，l 的方程为x ＝4，此时圆心C （2，﹣2）到直线l 的距离为2，不满足题意，舍去， 综上，直线l 的方程为y =(2+√3)(x −4)或y =(2−√3)(x −4)．20．（12分）一动圆与圆C 1：x 2+y 2+6x +5＝0外切，同时与圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣91＝0内切，动圆圆心的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）点P 为E 上一动点，点O 为坐标原点，曲线E 的右焦点为F ，求|PO |2+|PF |2的最小值． 解：（1）不妨设动圆圆心为M （x ，y ），半径为R ，易知圆C 1：(x +3)2+y 2=4，圆C 2：(x −3)2+y 2=100， 当动圆M 与圆C 1外切时，|C 1M |＝R +2； 当动圆M 与圆C 2内切时，|C 2M |＝10﹣R ， 所以|C 1M |+|C 2M |＝12＞|C 1C 2|，则点M 的轨迹是焦点为C 1（﹣3，0），C 2（3，0），长轴长为12的椭圆， 不妨设该椭圆的长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ， 此时2c ＝6，2a ＝12，解得c ＝3，a ＝6，则b 2＝36﹣9＝27， 故动圆圆心轨迹方程为x 236+y 227=1；（2）由（1）知F （3，0），不妨设P （x ，y ）， 此时|PO |2+|PF |2＝x 2+y 2+（x ﹣3）2+y 2＝2x 2﹣6x +9+2y 2， 因为点P 在椭圆上，所以x ∈[﹣6，6]，y 2=27−34x 2， 此时|PO|2+|PF|2=12x 2−6x +63=12(x −6)2+45， 易知当x ＝6时，|PO |2+|PF |2取得最小值，最小值为45．21．（12分）如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，△SAB 是边长为2的等边三角形，AC ⊥平面SAB ，M ，N ，P ，Q 分别是SB ，BC ，SA ，CN 的中点． （1）求证：PQ ∥平面AMN ；（2）若AC ＝2，求平面AMN 与平面SAC 夹角的余弦值．（1）证明：连接BP 交AM 于点I ，连接NI ， 因为M ，P 分别为SB ，SA 的中点， 所以I 为△SBA 的重心，所BI BP=23，因为N 为BC 的中点，Q 为CN 的中点， 所以BN BQ=23，所以BIBP=BN BQ，所以NI ∥PQ ，又因为PQ ⊄平面AMN ，NI ⊂平面AMN ， 所以PQ ∥|平面AMN ；（2）解：由AC ⊥平面SAB ，可得AC ⊥AB ，平面SAB ⊥平面ABC ， 故可建立以A 为坐标原点，以AB ，AC 所在直线为x 轴，y 轴， 过A 作垂直于AC 的直线Az 为z 轴的空间直角坐标系，如图所示， 则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0），S (1，0，√3)， M (32，0，√32)，N （1，1，0），Q (12，32，0)，所以AM →=(32，0，√32)，AN →=（1，1，0），AS →=(1，0，√3)，AC →=(0，2，0)， 设平面AMN 的法向量为m →=(a ，b ，c)，则{m →⋅AM →=32a +√32c =0m →⋅AN →=a +b =0，取a ＝1，可得m →=(1，−1，−√3)，设平面SAC 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AS →=x +√3z =0n →⋅AC →=2y =0，取x =√3，可得n →=(√3，0，−1)， 设平面AMN 与平面SAC 夹角为θ，则cos θ＝|cos ＜m →⋅n →＞|=|m⋅n →||m →||n →|=2√3√5×2=√155，所以平面AMN 与平面SAC 夹角的余弦值为√155．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，该椭圆的离心率为12，且椭圆上动点M 与点F 1的最大距离为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，若直线l 与x 轴、椭圆C 顺次交于P ，Q ，R （点P 在椭圆左顶点的左侧），且∠PF 1Q +∠PF 1R ＝π，求△RQF 1面积的最大值．解：（1）因为椭圆C 的离心率为12，所以e =c a =12， 即a ＝2c ，①因为椭圆上动点M 与点F 1的最大距离为3， 所以a +c ＝3，② 又b =√a 2−c 2，③联立①②③，解得a ＝2，c ＝1，b =√3， 则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；（2）不妨设Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2）， 由（1）知F 1（﹣1，0）， 因为∠PF 1Q +∠PF 1R ＝π， 所以k QF 1+k RF 1=0，即y 1x 1+1+y 2x 2+1=0，整理得x 1y 2+y 2+x 2y 1+y 1＝0，不妨设直线PQ 的方程为x ＝my +n （m ≠0），联立{x =my +n x 24+y 23=1，消去x 并整理得（3m 2+4）y 2+6mny +3n 2﹣12＝0，此时Δ＝36m 2n 2﹣4（3m 2+4）（3n 2﹣12）＞0， 解得n 2＜3m 2+4， 由韦达定理得y 1+y 2=−6mn 3m 2+4，y 1y 2=3n 2−123m 2+4， 又x 1＝my 1+n ，x 2＝my 2+n ，所以x 1y 2+y 2+x 2y 1+y 1＝2my 1y 2+（n +1）（y 1+y 2）＝0， 即2m ⋅3n 2−123m 2+4+(n +1)(−6mn3m 2+4)=0，因为m ≠0， 所以n ＝﹣4，则直线PQ 的方程为x ＝my ﹣4（m ≠0）， 此时点F 1（﹣1，0）到直线PQ 的距离d =|−1+4|√1+m 2=3√1+m 2，所以S △F 1QR=12|QR|d =12√1+m 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2⋅3√1+m 2=18√m 2−43m 2+4，因为n 2＜3m 2+4，n ＝﹣4， 所以3m 2+4＞16， 即m 2＞4，不妨令√m 2−4=t ，t ＞0， 此时m 2＝t 2+4， 所以√m 2−43m 2+4=t 3(t 2+4)+4=t 3t 2+16=13t+16t≤2√3t⋅t=8√3，当且仅当3t =16t 时，等号成立， 此时m 2=t 2+4=283，直线l 存在， 综上，△RQF 1面积的最大值为18×18√3=3√34．。
安徽省合肥市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
安徽省合肥2023-2024学年上学期高二年级数学期中考试（答案在最后）（考试总分：150分考试时长：120分钟）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.经过((),3,0A B 两点的直线的倾斜角为（）A.5π6 B.π6 C.2π3D.π3【答案】A 【解析】【分析】根据直线上任意两点可求出斜率，从而求出倾斜角.【详解】由题意得033303AB k -==--，所以直线的倾斜角为5π6；故选：A2.以点()1,2A -为圆心，且与直线0x y +=相切的圆的方程为（）A.221(1)(2)2x y -++=B.229(1)(2)2x y -++=C.221(1)(2)2x y ++-=D.229(1)(2)2x y ++-=【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式求出圆的半径即可得解.【详解】由直线0x y +=为圆的切线，得圆的半径r ==所以所求圆的方程为221(1)(2)2x y -++=.故选：A3.已知(2,1,3),(1,3,9)a x b == ，如果a 与b为共线向量，则x =（）A.1B.12C.13 D.16【答案】D 【解析】【分析】由a 与b为共线向量则a b λ= 求解即可.【详解】因为a 与b 为共线向量，所以a b λ=，即21339x λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得1316x λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故选：D4.经过两条直线1:2l x y +=，2:21l x y -=的交点，且直线的一个方向向量()3,2v =-的直线方程为（）A.2350x y +-=B.220x y ++=C.220x y +-=D.70x y --=【答案】A 【解析】【分析】联立方程组求得两直线的交点坐标为(1,1)，再由题意，得到23k =-，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】联立方程组221x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得1,1x y ==，即两直线的交点坐标为(1,1)，因为直线的一个方向向量(3,2)v =- ，可得所求直线的斜率为23k =-，所以所求直线方程为21(1)3y x -=--，即2350x y +-=.故选：A.5.如图，在正方体1111ABCD A B C D －中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点，若AB ＝a ，则MN 的长为（）A.32a B.33a C.55a D.155a 【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，用AB ，AD ，1AA表示MN ，将线段长度问题转换为向量模长问题.【详解】设AB i = ，AD j = ，1AA k =，则{},,i j k 构成空间的一个正交基底.()1111122222MN MB BC CN i j j k i j k =++=++-+=++，故2222211134444MN a a a a =++= ，所以MN ＝32a .故选：A6.已知()22112225,24x y x y ++=+=，则()()221212x x y y -+-的最小值为（）A.55B.15C.655D.365【答案】B 【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系及两点距离公式计算即可.【详解】易知()()221212x x y y -+-为圆()2225x y ++=上一点()11,A x y 与直线24x y +=上一点()22,B x y 的距离的平方，易知圆心()2,0C -，半径5r =，点C 到直线24x y +=的距离222465512d --==+，则()22min15ABd r =-=.故选：B7.在我国古代的数学名著《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，190,2,4ACB AB AA ︒=∠==，当鳖臑1A ABC -的体积最大时，直线1B C 与平面11ABB A 所成角的正弦值为（）A.346B.31010C.26D.1010【答案】C 【解析】【分析】先根据鳖臑1A ABC -体积最大求出AC 和BC 的值，建系求出各点坐标，利用向量即可求出直线1B C 与平面11ABB A 所成角的正弦值.【详解】在堑堵111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，2AB =，14AA =，1112||||||||||2313ABC A V AC BC AA AC BC -⋅⋅⋅⋅==⋅ ，222||||||||||()2||||2||4AC BC B C AC B B A C C C C A ++=+⋅⋅≤ ，22||4||BC AC += ，||||2AC BC ∴⋅≤，当且仅当||||2AC BC ==是等号成立，即当鳖臑1A ABC -的体积最大时，||||2AC BC ==，以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z轴，建立空间直角坐标系，14)B ，(0,0,0)C，A，B，1(0,4)B C =-，BA =，1(0,0,4)BB = ，设平面11ABB A 的法向量n(,,)x y z =，则1040n BA n BB z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取1x =，得(1,1,0)n = ，设直线1B C 与平面11ABB A 所成角为θ，则11||6|s |in ||C C B n B n θ⋅==⋅，∴直线1B C 与平面11ABB A 所成角的正弦值为26．故选：C ．8.已知椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ∠=，则||PO =（）A.25B.2C.35D.2【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出221212,PF PF PF PF +的值，利用()1212PO PF PF =+，根据向量模的计算即可求得答案.【详解】由题意椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，可得3,a b c ===则1226PF PF a +==①，即221212236PF PF PF PF ++=，由余弦定理得2222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠=，123cos 5F PF ∠=，故212123()2(1)125PF PF PF PF +-+=，②联立①②，解得：22121215,212PF PF PF PF =∴+=，而()1212PO PF PF =+ ，所以1212PO PO PF PF ==+，即12122PO PF PF =+===，故选：B【点睛】方法点睛：本题综合考查了椭圆和向量知识的结合，解答时要注意到O 为12F F 的中点，从而可以利用向量知识求解||PO .二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.已知平面α的一个法向量为()1,2,1n =-，以下四个命题正确的有（）A.若直线l 的一个方向向量为()2,4,2u =--，则//l αB.若直线l 的一个方向向量为()2,4,2u =--，则l α⊥C.若平面β的一个法向量为()1,0,1m =，则//αβD.若平面β的一个法向量为()1,0,1m =，则αβ⊥【答案】BD 【解析】【分析】由0n u ⋅≠ ，2u n =- 可判断AB ；由0n m ⋅=可判断CD【详解】对于AB ：平面α的一个法向量为()1,2,1n =-，直线l 的一个方向向量为()2,4,2u =--，所以282120n u ⋅=---=-≠，所以n 与u不垂直，又2u n =-，所以//u n，所以l α⊥，故A 错误，B 正确；对于CD ：平面α的一个法向量为()1,2,1n =-，平面β的一个法向量为()1,0,1m =，，所以1010n m ⋅=+-=，所以n m ⊥ ，所以αβ⊥，故C 错误，D 正确；故选：BD10.已知方程224820x y x y a +-++=，则下列说法正确的是（）A.当10a =时，表示圆心为(2,4)-的圆B.当10a <时，表示圆心为(2,4)-的圆C.当0a =时，表示的圆的半径为D.当8a =时，表示的圆与y 轴相切【答案】BCD 【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，方程224820x y x y a +-++=，可化为()()2224202x y a -++=-，可圆的圆心坐标为(2,4)-，A 中，当10a =时，此时半径为2020a -=，所以A 错误；B 中，当10a <时，此时半径大于2020a ->，表示圆心为(2,4)-的圆，所以B 正确；C 中，当0a =时，表示的圆的半径为r =，所以C 正确；D 中，当8a =时，可得2024a -=，方程表示的圆半径为2r =，又圆心坐标为()2,4-，所以圆心到y 轴的距离等于半径，所以圆与y 轴相切，所以D 正确．故选：BCD.11.已知()1,,m a b a b =+- （a ，b ∈R ）是直线l 的方向向量，()1,2,3n =是平面α的法向量，则下列结论正确的是（）A.若l α∥，则510a b -+=B.若l α∥，则10a b +-=C .若l α⊥，则20a b +-= D.若l α⊥，则30a b --=【答案】ACD 【解析】【分析】选项A 、B ：根据0m n ⋅=求解；选项C 、D ：根据m n ∥，向量的平行求解；【详解】对于A ，B ，若l α∥则m n ⊥ ，所以0m n ⋅=，即()()1230a b a b +++-=，即510a b -+=，A 正确，B 错误；对于C 、D ，若l α⊥，则m n∥，所以1123a b a b+-==，即20a b +-=且30a b --=，C 、D 正确.故选：ACD.12.的圆柱被与其底面所成的角为45θ=︒的平面所截，截面是一个椭圆，则（）A.椭圆的长轴长为4B.椭圆的离心率为4C.椭圆的方程可以为22142x y +=D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2-【答案】ACD 【解析】【分析】结合图象根据椭圆的长轴，短轴的几何意义求椭圆的a b ，，由此判断各选项.【详解】设椭圆的长半轴长为a ，椭圆的长半轴长为b ，半焦距为c ，由图象可得2cos 45a = ∴2a =，又b =，222c a b =-，∴c =∴椭圆的长轴长为4，A 对，椭圆的离心率为2，B 错，圆的方程可以为22142x y +=，C 对，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2D 对，故选：ACD .三、填空题（本题共计4小题，总分20分）13.两直线330x y +-=与640x my ++=平行，则它们之间的距离为__________．【答案】2【解析】【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式求解即得.【详解】两直线330x y +-=与640x my ++=平行，则36m =，即2m =，直线640x my ++=化为：320x y ++=2=.所以所求距离为102.故答案为：214.圆224x y +=与圆22260x y y ++-=的公共弦长为__________.【答案】【解析】【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆224x y +=的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长.【详解】设圆221:4C x y +=与圆222:260C x y y ++-=相交于A ，B 两点，圆1C 的半径12r =，将两圆的方程相减可得1y =，即两圆的公共弦所在的直线方程为1y =，又圆心1C 到直线AB 的距离1d =，12r =，所以22212AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得AB =故答案为：15.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为1的正方形，且1160A AD A AB ∠=∠=o，12AA =，则线段1AC 的长为_____．【答案】【解析】【分析】以1,,AB AD AA 为基底表示出空间向量1AC uuu r ，利用向量数量积的定义和运算律求解得到21AC ，进而得到1AC 的长.【详解】()()222111AC AB BC CC AB AD AA =++=++ 222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅ 1140212cos 60212cos 6010=++++⨯⨯+⨯⨯=，1AC ∴=，即线段1AC..16.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值λ（0λ>且1λ≠）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿氏圆”.在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，满足2=MA MO 的动点M 的轨迹为C ，若在直线:30l ax y a -+=上存在点P ，在C 上存在两点A 、B ，使得PA PB ⊥，则实数a 的取值范围是______.【答案】[7,1]-【解析】【分析】根据求轨迹方程的步骤：1.设点的坐标；2.找等量关系列方程；3.化简.先求出动点M 的轨迹方程，然后根据题意要使在直线:30l ax y a -+=上存在点P ，在C 上存在两点A 、B ，使得PA PB ⊥成立，则点P到圆心的距离小于等于，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】设(,)M x y ，因为()0,3A ，()0,0C ，又因为2=MA MO ，所以2222(3)4()x y x y +-=+，化简整理可得：22(1)4x y ++=，动点M 的轨迹是以(0,1)C -为圆心，以2为半径的圆，因为直线:30l ax y a -+=过定点(3,0)-，若在直线:30l ax y a -+=上存在点P ，在C 上存在两点A 、B ，使得PA PB ⊥，由数形结合可知：当A 、B 为圆的切点时点P，所以点P，2≤，解之可得：71a -≤≤，所以实数a 的取值范围是[7,1]-，故答案为：[7,1]-.四、解答题（本题共计6小题，总分70分）17.在平行四边形ABCD 中，(1,2)A -，()1,3B ，(3,1)C -，点E 是线段BC 的中点．（1）求直线CD 的方程；（2）求过点A 且与直线DE 垂直的直线．【答案】（1）250x y --=；（2）350x y +-=.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出点D 的坐标，再求出直线CD 的方程作答.（2）求出点E 坐标及直线DE 的斜率，再利用垂直关系求出直线方程作答.【小问1详解】在平行四边形ABCD 中，(1,2)A -，()1,3B ，(3,1)C -，则(2,4)AD BC ==-，则点(1,2)D -，直线CD 的斜率2(1)1132CD k ---==-，则有1(1)(3)2y x --=-，即250x y --=，所以直线CD 的方程是250x y --=.【小问2详解】依题意，点(2,1)E ，则直线DE 的斜率21312DE k --==-，因此过点A 且与直线DE 垂直的直线斜率为113DE k -=-，方程为12(1)3y x -=-+，即350x y +-=，所以所求方程是350x y +-=.18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点.（1）证明：直线1//BD 平面ACE ；（2）求异面直线1CD 与AE 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1010【解析】【分析】（1）根据线线平行，结合线面平行的判定即可求证，（2）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解线线角.【小问1详解】如图，连接BD 交AC 于点O ，连接EO ，由于E 为1DD 的中点，O 为AC 的中点,则//EO 1BD ,又因为EO ⊂平面1,ACE BD ⊄平面ACE ，所以1BD //平面ACE【小问2详解】以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线为x 轴､y 轴､z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2a ，则()0,2,0C a ()()()10,0,2,2,0,0,0,0,D a A a E a ，所以()10,2,2CD a a =- ，()2,0,AE a a =-，设1CD 与AE 所成角为θ,则111cos cos ,10CD AE CD AE CD AEθ⋅===所以1CD 与AE所成角的余弦值为10.19.已知圆C 的圆心坐标()1,1，直线:1l x y +=被圆C．（1）求圆C 的方程；（2）从圆C 外一点()2,3P 向圆引切线，求切线方程．【答案】（1）()()22111x y -+-=（2）2x =或3460x y -+=【解析】【分析】（1）计算出圆心C 到直线l 的距离，利用勾股定理求出圆C 的半径，由此可得出圆C 的方程；（2）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在第一种情况下，写出切线方程，直接验证即可；在第二种情况下，设出切线方程为()32y k x -=-，利用圆心到切线的距离等于圆的半径，由此可得出所求切线的方程.【小问1详解】解：圆心C 到直线l的距离为2d ==，所以，圆C的半径为1r ==，因此，圆C 的方程为()()22111x y -+-=.【小问2详解】解：当切线的斜率不存在时，则切线的方程为2x =，且直线2x =与圆C 相切，合乎题意；当切线的斜率存在时，设切线方程为()32y k x -=-，即320kx y k -+-=，1=，解得34k =，此时，切线的方程为3460x y -+=.综上所述，所求切线的方程为2x =或3460x y -+=.20.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面为矩形，平面11AAD D ⊥平面11CC D D ，且1111122CC CD DD C D ====.（1）证明：AD ⊥平面11CC D D ；（2）若11π3A CD ∠=，求平面1A AC 与平面ABC 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）连结1DC ，进而利用勾股定理证明11DC DD ⊥，结合题中条件利用线面垂直的判断定理证明即可；（2）以1D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面1A AC 与平面ABC 的法向量，计算即可.【小问1详解】如图，在梯形11CC D D 中，因为1111122CC CD DD C D ====，作11DH D C ⊥于H ，则11D H =，所以11cos 2DD H ∠=，所以11π3DD C ∠=，连结1DC ，由余弦定理可求得123DC =因为2221111DC DD D C +=，所以11DC DD ⊥，因为平面11AA D D ⊥平面11CC D D 且交于1DD ，1DC ⊂平面11CC D D ，所以1DC ⊥平面11AA D D因为AD ⊂平面11AA D D ，所以1AD DC ⊥，因为1,AD DC DC DC D ⊥⋂=，1DC DC ⊂，平面11CC D D ，所以AD ⊥平面11CC D D .【小问2详解】连结11A C ，由（1）可知，11A D ⊥平面11CC D D ，所以1AC 与平面11CC D D 所成的角为11A CD ∠，即11π3A CD ∠=，在11Rt ACD △中，因为123CD =，所以116A D =因为11//A C AC ，所以平面1A AC 与平面11A ACC 是同一个平面.以1D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，()(()116,0,0,3,0,4,0A C C 所以()(1116,4,0,3AC AC =-=-设平面1A AC 的法向量为(),,n a b c =，则有，1110n A C n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即3206330a b a b c -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令2a =，则3,3b c ==，故(3n =由题意可知()0,0,1m =是平面ABC 的一个法向量所以33cos ,144m n m n m n ⋅===⨯，故平面1A AC 与平面ABC 夹角的余弦夹角的值为4.21.如图，相距14km 的两个居民小区M 和N 位于河岸l （直线）的同侧，M 和N 距离河岸分别为10km 和8km ．现要在河的小区一侧选一地点P ，在P 处建一个生活污水处理站，从P 排直线水管PM ，PN 分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ 段长为t km （0<t <8）．（1）求污水处理站P 到两小区的水管的总长最小值（用t 表示）；（2）请确定污水处理站P 的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度．【答案】（1）)08t <<（2）P 点距河岸5km ，距小区M 到河岸的垂线km ，此时污水处理站到小区M 和N 的水管长度分别为10km 和6km ．【解析】【分析】（1）本题实质为在一直线上求一点到两定点距离之和最小，其求法为利用三角形两边之和大于第三边：先作N 关于直线的对称点1N ，再利用11PM PN PM PN MN +=+≥得最小值)08t <<（2）由（1）知三段水管的总长)108L PM PN PQ MN PQ t t =++≥+=+<<，因此总长最小就是求)08y t t =+<<最小值，这种函数最小值可利用判别式法求解，即从方程有解出发，利用判别式不小于零得解．【详解】（1）如图，以河岸l 所在直线为x 轴，以过M 垂直于l 的直线为y 轴建立直角坐标系，则可得点()()0,10,M N ，设点(,)P s t ，过P 作平行于x 轴的直线m ，作N 关于m 的对称点1N ，则()13,28N t -．所以2211(830)(12810)PM PN PM PN MN t +=+≥=-+--)21812908t t t =-+<<即为所求．（2）设三段水管总长为L ，则由（1）知)2121812908L PM PN PQ MN PQ t t t t =++≥+=+-+<<，所以22()4(18129)L t t t -=-+在()0,8t ∈上有解．即方程223(272)(516)0t L t L +-+-=在()0,8t ∈上有解．故22(272)12(516)0L L ∆=---≥，即218630L L --≥，解得21L ≥或3L ≤-，所以L 的最小值为21，此时对应的5(0,8)t =∈．故()13,2N ，1MN 方程为3103y x =-，令5y =得3x =，即()53,5P ，从而22(53)(510)10PM =+-=，22(5383)(58)6PN =-+-=．所以满足题意的P 点距河岸5km ，距小区M 到河岸的垂线53km ，此时污水处理站到小区M 和N 的水管长度分别为10km 和6km ．22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点与左､右焦点连线的斜率之积为45-.（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知椭圆C 的左､右顶点分别为,A B ，且6AB =，点M 是C 上任意一点（与,A B 不重合），直线,MA MB 分别与直线:5l x =交于点,,P Q O 为坐标原点，求OP OQ ⋅ .【答案】（1）3（2）1619【解析】【分析】（1）由椭圆标准方程可写出顶点以及焦点坐标，由斜率之积可得2245b c =，即可求出离心率；（2）设出点M 坐标，写出直线MA 和MB 的方程求出交点,P Q 坐标，利用223649x y -=化简OP OQ ⋅ 的表达式即可求得结果.【小问1详解】根据题意可得椭圆C 的上顶点的坐标为()0,b ，左､右焦点的坐标分别为()(),0,,0c c -，由题意可知45b b c c ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，即2245b c =，又222a b c =+，所以2295a c =，即225,93c c a a ==，可得椭圆C 的离心率3e =.【小问2详解】由6AB =，得26a =，即3,2a c b ===，所以椭圆C 的方程为22194x y +=.如图所示：设()00,M x y ，则2200194x y +=，即22003649x y -=，又()(),3,03,0A B -，则直线MA 的方程为()0033y y x x =++，直线MB 的方程为()0033y y x x =--；因为直线,MA MB 分别与直线:5l x =交于点,P Q ，可得0000825,,5,33y y P Q x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，所以()()220000220000163648216641615,5,2525253399999x y y y OP OQ x x x x -⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+=+=-= ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭.。
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合肥一中2013—2014第一学期段二考试高二理科数学试卷时间：120分钟 满分：150分一、 选择题（共10小题，每题5分）1.直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A. 90，不存在B. 45，1C. 135，-1D. 180，不存在2. 下面四个命题,其中正确命题的个数是（ ）①若直线a 与b 异面，b 与c 异面，则直线a 与c 异面；②若直线a 与b 相交，b 与c 相交，则直线a 与c 相交；③若直线a ∥b ，b ∥c ，则直线a ∥c ;④若直线a ∥b ，则a ，b 与c 所成角相等．A. 1B. 2C. 3D. 43. 一平面截球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离为4，则该球的表面积为（ ）A.20πB.50πC. 100πD.206π4.如右图所示，三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为4，且侧棱1AA ABC ⊥底面，且正视图是边长为4的正方形，则此三棱柱的侧视图的面积为（ ）A.16B.48C.5. 若直线20x y --=被圆()224x a y -+=所截得的弦长为a 为（ ）A. 1- 13或 C.2-或6 D. 04或6. 如果两条直线210x ay +-=与(1)10a x ay --+=互相平行，则a 为（ ）A. 0B. 102或 C. 12D. 2- 7. 直线cos 30x y α--=倾斜角的范围是（ ）A. 30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B. []1,1-C. ,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为（ ）A. 36aB. 312aC. 312D. 312 9. 已知A BC D ，，，是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AB AD ⋅=，则BCD ∆为（ ）A.钝角三角形B.锐角三角形C. 直角三角形D.不确定10. 在平面直角坐标系中，如果x y 与都是整数，就称点(),x y 为整点，下列命题正确的个数是（ ）①存在这样的直线，既不与坐标轴平行也不经过任何整点；②如果k b 与都是无理数，则直线=y kx b +不经过任何整点；③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；④直线=y kx b +经过无穷多个整点，当且仅当k b 与都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线；A. 1B. 2C. 3D. 4二、 填空题（共5小题，每题5分）11.直线:20l ax y +-=在x y 轴和轴上的截距相等，则a =______ ;12.点A 是圆22:450C x y ax y +++-=上任意一点，点A 关于直线210x y +-=的对称点也在圆C 上，则实数a =__________ ;13.将棱长为a 的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了__________ ;14.正六棱锥的高为3，底面最长的对角线为_________ ;15.过点(2,1)P 作直线l ，与x y 轴，轴的正半轴分别交于,A B 两点，则使PA PB ⋅取得最小值时的直线l 的方程是_________________;三、 解答题（共5题，共 75分）16.（本小题12分）已知直线:210l x y -+=，求：(1)过点(3,1)P 且与直线l 垂直的直线方程；（写成一般式）(2)点(3,1)P 关于直线l 的对称点.17.（本小题12分）已知圆C 经过点(4,1)A -，并且与圆22:2650M x y x y ++-+=相切于点(1,2)B ，求圆C 的方程.18.（本小题12分）如图，三棱锥P ABC -，D AC 为的中点，PA PB PC ==，AC =AB =BC =(1)求证：PD ABC ⊥底面；(2)求二面角P AB C --的正切值.（第18题图）19.（本小题13分）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ABCD ⊥底面，E F AB PD ，分别为，的中点，且二面角P CD B --的大小为45，(1)求证：AF ∥ PEC 平面；(2)求证：PEC PCD ⊥面底面；(3)若2,AD CD ==A PEC 到面的距离.20.（本小题13分）已知曲线22:240C x y x y m +--+=(1)当m 为何值时，曲线C 表示圆；(2) 若曲线C 与直线240x y +-=交于M N 、两点，且OM ON ⊥（O 为坐标原点），求m 的值.21.（本小题13分）如图在直角坐标系xoy 中，圆O 与x 轴交于A B 、两点，且4AB =，定直线l 垂直于x 轴正半轴，且到圆心O 的距离为4，点P 是圆O 上异于A B 、的任意一点，直线PA PB 、分别交l 于点M N 、.(1)若30PAB ∠=，求以MN 为直径的圆的方程；(2) 当点P 变化时，求证：以MN 为直径的圆必过圆O 内一定点.合肥一中2013—2014第一学期段二考试高二数学试卷时长：120分钟 满分：150分选择题（共10小题，每题5分）1.直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ A ）A. 90，不存在B. 45，1C. 135，-1D. 180，不存在2.下面四个命题,其中正确命题的个数是（ B ）①若直线a 与b 异面，b 与c 异面，则直线a 与c 异面；②若直线a 与b 相交，b 与c 相交，则直线a 与c 相交；③若直线a b ，b c ，则直线a c;④若直线a b ，则a ，b 与c 所成角相等。
A. 1B. 2C. 3D. 43. 一平面截球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离为4，则该球的表面积为（ C ）A.20πB.50πC. 100πD.206π4.如右图所示，三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为4，且侧棱1AA ABC ⊥底面，且正视图是边长为4的正方形，则此三棱柱的侧视图的面积为（ D ）A.16B.48C.5. 若直线20x y --=被圆()224x a y -+=所截得的弦长为a 为（ D ）A. 1- 13或 C.2-或6 D. 04或6. 如果直线210x ay +-=与(1)10a x ay --+=平行，则a 为（ C ）A. 0B. 102或 C. 12D. 2- 7. 直线cos 30x y α--=倾斜角的范围是（ A ）A. 30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B. []1,1-C. ,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为（ D ）A. 36aB. 312a 9. 已知A BC D ，，，是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AB AD ⋅=，则BCD ∆为（ B ）A.钝角三角形B.锐角三角形C. 直角三角形D.不确定10. 在平面直角坐标系中，如果x y 与都是整数，就称点(),x y 为整点，下列命题正确的个数是（ C ）①存在这样的直线，既不与坐标轴平行也不经过任何整点；②如果k b 与都是无理数，则直线=y kx b +不经过任何整点；③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；④直线=y kx b +经过无穷多个整点， 当且仅当k b 与都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线；A. 1B. 2C. 3D. 4四、 填空题（共5小题，每题5分）11.直线:20l ax y +-=在x y 轴和轴上的截距相等，则a =______ ; 112.点A 是圆22:450C x y ax y +++-=上任意一点，点A 关于直线210x y +-=的对称点也在圆C 上，则实数a =__________ ; -1013.将棱长为a 的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了__________ ; 122a14.正六棱锥的高为3，底面最长的对角线为__________ ; 3436π15.过点(2,1)P 作直线l ，与x y 轴，轴的正半轴分别交于,A B 两点，则使PA PB ⋅取得最小值时的直线l 的方程是_________________; 30x y +-=五、 解答题（共5题，共 75分）16.（12分）已知直线:210l x y -+=，求：（1）过点(3,1)P 且与直线l 垂直的直线方程；（写成一般式）250x y +-=（2）点(3,1)P 关于直线l 的对称点.917(,)55- 17.（12分）已知圆C 经过点(4,1)A -，并且与圆22:2650M x y x y ++-+=相切于点(1,2)B ，求圆C 的方程. ()()22315x y -+-=18.（12分）如图，三棱锥P ABC -，D AC 为的中点，PA PB PC ===AC =AB =BC =(1)求证：PD ABC ⊥底面；(2)求二面角P AB C --的正切值.19.（13分）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ABCD ⊥底面，E F AB PD ，分别为，的中点，且二面角P CD B --的大小45，(1)求证：AF PEC 平面；(2)求证：PEC PCD ⊥面底面；(3)若2,AD CD ==A PEC 到面的距离.20.（13分）已知曲线22:240C x y x y m +--+=(1)当m 为何值时，曲线C 表示圆； 5m <(2) 若曲线C 与直线240x y +-=交于M N 、两点，且OM ON ⊥()O 为坐标原点，求m 的值.8m =21.（13分）在直角坐标系中，圆O 的圆心在坐标原点，与x 轴交于A B 、点，且4AB =，定直线l 垂直于x 轴正半轴，且到圆心的距离为4，点P 是圆O 上异于A B 、的任意一点，直线PA PB 、分别交l 于M N 、点.(1)若30PAB ∠=，求以MN 为直径的圆的方程；()22412x y -+= (2) 当点P 变化时，求证：以MN 为直径的圆必过圆O 内一定点.(4-。