北师大九年级下《1.1锐角三角函数》课时练习含答案解析

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北师大版九年级数学下册练习：1.1 锐角三角函数

第一章直角三角形的边角关系1.1 锐角三角函数第1课时正切基础题知识点1 正切(tanA ＝∠A 的对边∠A 的邻边)1.如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，则tanA 的值为(B) A .2 B.12C.55 D.2552.在△ABC 中，若BC ∶CA ∶AB ＝3∶4∶5，则tan B ＝(C) A.45 B.35 C.43 D.343.如图，点A(t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tanα＝32，则t 的值是(C)A .1B .1.5C .2D .34.(教材P4习题T2变式)(2019·广州)如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tanA ＝158，则AB ＝17.5.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12 cm ，AB ＝20 cm ，求tanA 和tanB 的值. 解：∵∠C ＝90°，BC ＝12 cm ， AB ＝20 cm ，∴AC ＝AB 2－CB 2＝16 cm. ∴tanA ＝BC AC ＝1216＝34，tanB ＝AC BC ＝1612＝43.知识点2 坡度(坡度i ＝铅直高度h水平长度l)6.为测量如图所示的上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道的坡度是(A)A.14 B .4 C.117 D.4177.都匀市某新修“商业大厦”的一处自动扶梯如图，已知扶梯的长l 为10米，该自动扶梯到达的高度h 为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于34.8.如图，斜坡AB 的坡度是1∶4，如果从点B 测得离地面的铅垂线高度BC 是6米，那么斜坡AB 的长度是.易错点对正切的概念理解不清9.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若三角形各边同时扩大三倍，则tanA 的值(B) A .扩大为原来的三倍 B .不变 C .缩小为原来的13 D .不确定中档题10.如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝5，AC ＝6，则tan ∠DBC 的值是(D) A.45 B.35 C.43 D.3411.如图，一座公路桥离地面高度AC 为6米，引桥AB 的水平宽度BC 为24米，为降低坡度，现决定将引桥坡面改为AD ，使其坡度为1∶6，则BD 的长是(C)A .36米B .24米C .12米D .6米12.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边.若c ＝4a ，则tanA 1513.(教材P4练习T1变式)如图，等腰△ABC 的腰AB ，AC 的长为5，底边长为6，则tanC ＝43.14.已知∠B 是Rt △ABC 的一个锐角，且AB ＝5，AC ＝3，则tanB 的值为34或35.15.(教材P3例1变式)如图所示，方方和圆圆分别将两根木棒AB ，CD 斜立在墙AE 上，其中AB ＝10 cm ，CD ＝6 cm ，BE ＝6 cm ，DE ＝2 cm ，你能判断谁的木棒更陡吗？请说明理由. 解：∵AB ＝10 cm ，BE ＝6 cm ， ∴AE ＝AB 2－BE 2＝8 cm. ∴斜坡AB 的坡度为AE BE ＝43.∵CD ＝6 cm ，DE ＝2 cm ， ∴CE ＝CD 2－DE 2＝4 2 cm. ∴斜坡CD 的坡度为CE DE ＝422＝2 2.∵43＜22， ∴圆圆的木棒CD 更陡.16.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，求tan ∠CBE 的值. 解：由折叠性质，得BE ＝AE. 设CE ＝x ，则BE ＝AE ＝8－x. 在Rt △BCE 中，根据勾股定理，得BE 2＝BC 2＋CE 2，即(8－x)2＝62＋x 2，解得x ＝74.∴tan ∠CBE ＝CE CB ＝724.综合题17.如图，在Rt △BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使DC ＝12BD ，连接AC.若tanB ＝53，则tan ∠CAD的值为(D) A.33 B.35C.13D.15第2课时锐角三角函数基础题知识点1 正弦和余弦(sinA ＝∠A 的对边斜边，cosA ＝∠A 的邻边斜边)1.(2019·孝感)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则sinA 等于(A)A.35B.45C.34 D.432.(2019·哈尔滨)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，AC ＝1，则cosB 的值为(A) A.154 B.14C.1515 D.417173.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝35，BC ＝6，则AB ＝(D)A .4B .6C .8D .104.(2019·怀化)如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3，4)，那么sinα的值是(C) A.35 B.34 C.45 D.435.(教材P6练习T1变式)已知，如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝8，AD ⊥BC 于点D. (1)求AD 的值； (2)求sinB ，cosC 的值. 解：(1)∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴BD ＝CD ＝12BC ＝12×8＝4.∴AD ＝AB 2－BD 2＝62－42＝2 5. (2)sinB ＝AD AB ＝256＝53，cosC ＝CD AC ＝46＝23.知识点2 锐角三角函数6.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝α，AC ＝3，则AB 的长可以表示为(A) A.3cos α B.3sin α C .3sin α D .3cos α7.(2019·滨州)在△ABC 中，∠C ＝90°.若tanA ＝12，则sinB 5知识点3 互余两角之间正、余弦，正切之间的关系8.(教材P7习题T3变式)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别表示Rt △ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边. (1)求sinA ，cosB ； (2)求tanA ，tanB ；(3)观察(1)(2)中的计算结果，你能发现sinA 与cosB ，tanA 与tanB 之间有什么关系吗？①在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sinA ＝23，则cosB 的值为23；②在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tanA ＝2，则tanB ＝12.解：(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∴sinA ＝BC AB ＝a c ，cosB ＝BC AB ＝ac.(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∴tanA ＝BC AC ＝a b ，tanB ＝AC BC ＝b a.(3)由(1)知sinA ＝cosB ，由(2)知tanA·tanB ＝1. 易错点点的位置不确定9.已知，正方形ABCD 的边长为2，点P 是直线CD 上一点.若DP ＝1，则sin ∠BPC 5或13中档题10.如图，点A 为∠α边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cosα的值，错误的是(C)A.BD BCB.BCAB C.AD AC D.CD AC11.如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，EC ＝4，sinB ＝45，则菱形ABCD 的周长是(C)A .10B .20C .40D .28 12.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，现给出下列结论：①sinA ＝32；②cosB ＝12；③tanA ＝33；④tanB ＝3，其中正确的结论是②③④(只需填上正确结论的序号).13.如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D.若AB ＝12，CD ＝6，tanA ＝32，求sinA ＋cosB 的值.解：在Rt △ACD 中，CD ＝6，tanA ＝CD AD ＝32，∴BD ＝AB －AD ＝8.在Rt △BCD 中，BC ＝82＋62＝10. ∴cosB ＝BD BC ＝45.在Rt △ADC 中，AC ＝42＋62＝213. ∴sinA ＝DC AC ＝6213＝31313.∴sinA ＋cosB ＝31313＋45.14.如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，E 为AC 的中点，BC ＝14，AD ＝12，sinB ＝45.求：(1)线段CD 的长； (2)tan ∠EDC 的值.解：(1)∵AD 是边BC 上的高， ∴△ADB 为直角三角形. ∵AD ＝12，sinB ＝45，∴AB ＝AD sinB ＝1245＝15.∴BD ＝AB 2－AD 2＝152－122＝9. ∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5.(2)∵E 是Rt △ADC 斜边AC 的中点， ∴DE ＝EC. ∴∠EDC ＝∠C.∴tan ∠EDC ＝tanC ＝AD DC ＝125.综合题15.如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cosA 的值为(D) A.33 B.55C.233D.255。

九年级数学下册 1.1《锐角三角函数》典型例题 (新版)北师大版

《锐角三角函数》典型例题
例1 在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A 的正弦值和余弦值（）
（A ）都没有变化（B ）都扩大2倍
（C ）都缩小2倍（D ）不能确定
分析与解答当Rt △ABC 的各边长度都扩大二倍，所得新三角形与原三角形相似，故锐角A 大小不变，因此选（A ）．
例2 写出下图中∠A ，∠B 的四个锐角三角函数值：
解：∵ ；
∴ ；；
；．
；；
；．
说明：本题主要考查锐角三角函数的概念，关键是熟练掌握锐角三角函数的概念．例3 在△ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则有（）
A ．
B ．
C ．
D ．
解本题主要考查锐角三角函数的定义，同学们只要依据
的图形，不难写出b
a A c a B c a A ===tan ,cos ,sin ，从而可判断C 正确. 例4 计算：
（1）；
（2）；
（3）
；（4）；
分析：本题综合考查特殊角的三角函数值，将特殊角的三角函数值代入化简，并注意分母有理化的情况．
解（1）原式22
314)2
1(110)21
(⨯+-+=8144081=+-+= （2）原式
（3）原式=
（4）原式
说明：三角函数的计算要遵循以下原则：当所给的角是特殊角时，只要把特殊角的三角函数值代入计算即可．
例5 学习四边形时，我们知道四边形是不稳定的．如图，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出的值吗？
解设原矩形边长分别为，则面积为，由题意得，平行四边形的面积
．又，
∴．
即．
∴．。

北师大版九年级数学下册第一章1 锐角三角函数 1.1正切练习题(含答案)

北师大版九年级数学下第一章1 锐角三角函数 1.1正切练习题（含答案）一、选择题1．如图1，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝3，则tanA 的值为( )图1A ．3B.13C.1010D.3 10102．如图2，已知山坡AB 的坡度为1∶2，坡高BC ＝1 m ，则坡长AB 为( )图2A. 3 mB. 5 mC ．2 mD ．4 m3．如图3，点A(t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tanα＝32，则t 的值是( )图3A ．1B ．1.5C ．2D ．34．如图4，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则tanC 的值为( )图4A.12B.55C.53D.2 555．如图5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，tanA ＝34，则AC 的长是( )图5A ．3B ．4C ．6D ．86．如图6所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝5，AC ＝6，则tanB 的值为( )图6A.45B.35C.34D.437．直角三角形纸片ABC 的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 按图7中所示的方式折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是( )图7A.247B.73C.724D.13二、填空题8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若△ABC 各边的长度同时扩大为原来的10倍，则tanA 的值________．(填“变大”“不变”或“变小”)9．如图8，一座公路桥离地面的高度AC 为6米，引桥AB 的水平宽度BC 为24米，为降低坡度，现决定将引桥坡面改为AD ，使其坡度为1∶6，则BD 的长是________．图8三、解答题10．如图9，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，CD ⊥AB 于点D ，求tan ∠BCD 的值．图911．如图10所示，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm，宽为30 cm.为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起点为C.现设计斜坡BC的坡度为1∶5，求AC的长．图1012．如图11所示，全全和品品分别将两根木棒AB，CD斜立在竖直的墙AE上，其中AB＝10 cm，CD＝6 cm，BE＝6 cm，DE＝2 cm，你能判断谁的木棒更陡吗？请说明理由．图11附加题1.如图12，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，顶点A ，B 分别在反比例函数y ＝1x (x ＞0)与y ＝－5x (x ＜0)的图象上，则tan ∠BAO 的值为________．图122．数学老师布置了这样一个问题：如果α，β都为锐角，且tanα＝13，tanβ＝12，求α＋β的度数．甲、乙两名同学想利用正方形网格图来解决这个问题，他们分别设计了图13①和②. (1)请你分别利用图①、图②求出α＋β的度数；(2)请参考以上解决问题的方法，选择一种方法解决下面的问题：如果α，β都为锐角，当tanα＝5，tanβ＝23时，在图③的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON ，使得∠MON ＝α－β，并求出α－β的度数．图13参考答案1．[答案] A2．[解析] B ∵山坡AB 的坡度为i ＝1∶2，坡高BC ＝1 m ，∴BC AC ＝12，∴AC ＝2 m ．根据勾股定理，得AB＝AC 2＋BC 2＝22＋12＝5(m)．故选B.3．[解析] C 过点A 作AB ⊥x 轴于点B . ∵点A (t ，3)在第一象限，∴AB ＝3，OB ＝t . 又∵tan α＝AB OB ＝32，∴t ＝2.4．[答案] A5．[解析] D 因为tan A ＝34＝BCAC，所以设BC ＝3x ，AC ＝4x (x >0)．由勾股定理，得BC 2＋AC 2＝AB 2，即(3x )2＋(4x )2＝100，解得x ＝2，所以AC ＝4x ＝4×2＝8.故选D.6．[解析] C ∵CD 是斜边AB 上的中线，CD ＝5，∴AB ＝2CD ＝10. 在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得BC ＝AB 2－AC 2＝102－62＝8， ∴tan B ＝AC BC ＝68＝34.故选C.7．[解析] C 设CE ＝x ，根据折叠的性质，得BE ＝AE ＝8－x .在Rt △BCE 中，根据勾股定理列出关于x 的方程，得x 2＋62＝(8－x )2，解得x ＝74(负值已舍去)，即可计算出tan ∠CBE ＝724.8．[答案] 不变 9．[答案] 12米10．解：∵∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3， ∴AC ＝52－32＝4. ∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠BCD ＋∠B ＝90°，∠A ＋∠B ＝90°， ∴∠A ＝∠BCD ，∴tan ∠BCD ＝tan A ＝BC AC ＝34.11．解：如图，过点B 作BD ⊥AC 于点D .依题意可求得AD ＝60 cm ，BD ＝54 cm.因为斜坡BC 的坡度i ＝1∶5，所以BD CD ＝15，所以CD ＝270 cm ，故AC ＝CD －AD ＝270－60＝210(cm)．12．解：能．品品的木棒CD 更陡．理由：∵AB ＝10 cm ，BE ＝6 cm ，∠AEB ＝90°， ∴AE ＝AB 2－BE 2＝8 cm ， ∴tan B ＝AE BE ＝43.∵CD ＝6 cm ，DE ＝2 cm ，∠CED ＝90°， ∴CE ＝CD 2－DE 2＝4 2 cm ， ∴tan D ＝CE DE ＝4 22＝2 2.∵43＜2 2，即tan B <tan D ， ∴品品的木棒CD 更陡．附加题 1．[答案] 5[解析] 过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，则∠BDO ＝∠ACO ＝90°.∵顶点A ，B 分别在反比例函数y ＝1x (x >0)与y ＝－5x (x <0)的图象上，∴S △BDO ＝52，S △OCA ＝12.∵∠BDO ＝∠AOB ＝90°，∴∠BOD ＋∠DBO ＝∠BOD ＋∠AOC ＝90°， ∴∠DBO ＝∠AOC ，∴△BDO ∽△OCA ， ∴S BDO S △OCA ＝(OBOA)2＝5212＝5，∴OB OA ＝5，∴tan ∠BAO ＝OBOA＝ 5. 故答案为 5. 2．解：(1)如图①. 在△AMC 和△CNB 中，∵AM ＝CN ，∠AMC ＝∠CNB ＝90°，MC ＝NB ， ∴△AMC ≌△CNB ， ∴AC ＝CB ，∠ACM ＝∠CBN . ∵∠BCN ＋∠CBN ＝90°，∴∠ACM＋∠BCN＝90°，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，即α＋β＝45°.如图②，连接BE.设每个小正方形的边长均为1，则CE＝1，AE＝2，BE＝2，∴CEBE＝12＝22，BEAE＝22，∴CEBE＝BEAE.又∵∠CEB＝∠BEA，∴△CEB∽△BEA，∴∠CBE＝∠BAE＝α，∴∠BED＝∠CBE＋∠ECB＝α＋β.∵DE＝DB，∠D＝90°，∴∠BED＝45°，∴α＋β＝45°.(2)如图③，∠MOE＝α，∠NOH＝β，∠MON＝α－β.在△MFN和△NHO中，∵MF＝NH，∠MFN＝∠NHO＝90°，FN＝HO，∴△MFN≌△NHO，∴MN＝NO，∠MNF＝∠NOH.∵∠NOH＋∠ONH＝90°，∴∠ONH＋∠MNF＝90°，∴∠MNO＝90°，∴∠MON＝∠NMO＝45°，即α－β＝45°.。

北师大版九年级下《1.1锐角三角函数》同步练习含答案

1.1锐角三角函数同步练习一、单选题1、把三角形三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的正弦函数值A、扩大为原来的2倍B、缩小为原来的C、不变D、不能确定2、梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A、sinA的值越大，梯子越陡B、cosA的值越大，梯子越陡C、tanA的值越小，梯子越陡D、陡缓程度与∠A的函数值无关3、已知Rt△ABC中，∠C=90º，那么cosA表示（）的值A、B、C、D、4、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，BE=2，则tan∠DBE的值（）B、2C、D、5、在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB=（）A、B、C、D、6、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=，则tan∠DBE（）A、B、2C、D、7、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是（）A、B、C、8、如图，两条宽都为1的纸条交叉重叠地放在一起，且它们的夹角为α，则它们重叠部分的面积为( )A、B、C、sinαD、19、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则cosA的值为（）A、B、C、D、10、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（）A、C、D、11、在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是（）A、B、3C、D、212、已知α＞45°，下列各式：tanα、sinα、cosα由小到大排列为（）A、tanα＜sinα＜cosαB、cosα＜tanα＜sinαC、cosα＜sinα＜tanαD、sinα＜cosα＜tanα13、若sinA=，则A的取值范围是（）A、0°＜∠A＜30°B、30°＜∠A＜45°C、45°＜∠A＜60°D、60°＜∠A＜90°14、在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则sinB的值为（）A、B、C、D、15、如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=4，OA=3，则cos∠APO的值为( )A、B、C、D、二、填空题16、在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanA等于________ ．17、已知一个直角三角形的一边长等于另一边长的2倍，那么这个直角三角形中较小锐角的正切值为________18、如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30o得到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于________ 。

北师大版数学九年级下册第一章1.1锐角三角函数(2)同步练习(含答案)

A
B
参考答案： 1~8 ABBAC ABB
9、 5 ； 10、 2 21 ； 11、 2 5 ； 12、 5 ；
13
5
5
4
3
4
13、sinB= ， cosB= ， tanB= ；
5
5
3
14、 3 ； 5
15、 21 ； 2
C D
16、（ 1）略；（ 2） 24 ； 3
1 11、在 Rt△ ABC 中，若∠ C=90°，若 sin A ，则 sinB 的值为 _______；
2
12、如图，在 4×4 的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，△
ABC 的顶点都在格点上，则 sin
∠ BAC=______ ；
三、解答题： 13、在 Rt△ ABC 中，若∠ C=90°， AB=10 ，AC=8 ，求 sinB， cosB， tanB 的值； 14、如图，在 Rt△ ABC 中，若∠ ACB=90°， AB=10 ， BC=6 ， CD ⊥ AB 于 D，求 sin∠ BCD ；
3
A、
5
4
B、
5
3
C、
4
4
D、
3
3、在 Rt△ ABC 中，若∠ C=90°，BC=12 ， AB=13 ，则下列三角函数值正确的是（
）
12 A 、 sin A
5
5 B、 cos A
13
12 C、 tan A
13
12 D、 tan B
5
4、在 Rt△ ABC 中，若∠ C=90°，AB=4 ， AC=1 ，则 cosB=（）
2019~2020 பைடு நூலகம்年北师大版九年级（下）第一章

北师大版九年级数学下册第一章《锐角三角形》课时练习题(含答案)

北师大版九年级数学第一章《1.锐角三角形》课时练习题（含答案）一、单选题1．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝32，则cos A 等于（） A ．12B ．22 C ．32D ．12．如图，在ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，则（）A ．c ＝b sin BB ．b ＝c sin BC ．a ＝b tan BD ．b ＝c tan B3．在Rt ABC ∆中，AC =4， BC =3，则cos A 的值等于（）A ．35B ．74C ．45或74D ．45或2774．如图，ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则cos ABC ∠等于（）A ．5B ．55C ．255D ．35105．如图，EF 与AB ，BC ，CD 分别交于点E ，G ，F ，且1230∠=∠=︒，EF AB ⊥，则下列结论错误的是（）A ．//AB CDB ．360∠=︒C ．12FG FC =D ．GF CD ⊥6．如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂1cos L L α=⋅，阻力臂2cos L l β=⋅，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（）A ．越来越小B ．不变C ．越来越大D ．无法确定7．如图，在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点D 为BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，则tan ∠BDE 的值等于（）A ．1013B ．1310C ．512D ．1258．如图，在BAC 中，90BAC ∠=︒，2AB AC =，将BAC 绕点A 顺时针旋转至DAE ，点D 刚好落在BC 直线上，则BDE △的面积为（）A ．24BDB ．22BCC ．4BC BD ⋅D ．22AB二、填空题9．如图，将ABC 绕点B 顺时针旋转()90αα︒<得到A BC ''△．请比较大小：sin ABA '∠______tan CBC '∠．10．如图，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝10，AB ＝8，将AB 沿AE 翻折，使点B 落在B '处，AE 为折痕；再将EC 沿EF 翻折，使点C 恰好落在线段EB '上的点C '处，EF 为折痕，连接AC '．若CF ＝3，则tan B AC ''∠＝_____．11．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝1213，则tan B 的值为______． 12．如图，矩形ABCD 中，点G ，E 分别在边,BC DC 上，连接,,AG EG AE ，将ABG 和ECG 分别沿,AG EG 折叠，使点B ，C 恰好落在AE 上的同一点，记为点F ．若3,4CE CG ==，则sin DAE ∠=_______．13．如图．在44⨯的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点.ABC ∆的顶点都在格点上,则BAC ∠的正弦值是__________．14．如图，点B 在x 的正半轴上，且BA OB ⊥于点B ，将线段BA 绕点B 逆时针旋转60︒到BB '的位置，且点B '的坐标为()1,1．若反比例函数ky x=()0x >的图象经过A 点，则k =______．三、解答题15．已知：如图，在Rt ABC 中，90,30∠=︒∠=︒C A ．()1作AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ；交AC 于点E (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法)；()2连接BE ，若1BC =，求BCE 的周长．16．如图，在ABCD 中，O 是对角线AC 、BD 的交点，BE AC ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E 、F ．（1）求证：OE OF =．（2）若5BE =，2OF =，求tan OBE ∠的值．17．如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，求BD 的长．18．如图，在△ABC 中，CB =CA ，(1)求作四边形ABCD ，使得AC ⊥BD ，CD ∥AB ．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)设BD ，AC 相交于点O ，若∠ADC =90°，求sin ∠DBC 的值．19．如图，在矩形ABCD 中，()1AD nAB n =>，点E 是AD 边上一动点（点E 不与A ，D 重合），连接BE ，以BE 为边在直线BE 的右侧作矩形EBFG ，使得矩形EBFG ∽矩形ABCD ，EG 交直线CD 于点H ．(1)【尝试初探】在点E 的运动过程中，ABE 与DEH △始终保持相似关系，请说明理由． (2)【深入探究】若2n =，随着E 点位置的变化，H 点的位置随之发生变化，当H 是线段CD 中点时，求tan ABE ∠的值．(3)【拓展延伸】连接BH ，FH ，当BFH △是以FH 为腰的等腰三角形时，求tan ABE ∠的值（用含n 的代数式表示）参考答案 1．A2．B3．C4．C5．C6．A7．C8．A 9．＜10．1411．512 12．72513．5514．223+15． ()1AB 的垂直平分线DE 如图所示；()2DE 垂直平分AB ，BE AE ∴=，BCE ∴△的周长BE EC BC AE EC BC AC BC =+-++=+＋．在Rt ABC 中，330BCAC tan ==︒BCE ∴△的周长为1316．解：（1）证明：在ABCD 中，OD OB =∵BE AC ⊥，DF AC ⊥ ∴DF BE ∥ ∴FDO EBO ∠=∠ 又∵DOF BOE ∠=∠ ∴()DFO BEO ASA ∆∆≌ ∴OE OF =（2）∵OE OF =，2OF = ∴2OE = ∵BE AC ⊥ ∴90OEB ∠=︒在Rt OBE ∆中，5BE =，2tan 5OE OBE BE ∠==. 17．解：如图延长BA 、CD 交于E ， ∵∠C=90°，∠ABC=60°， ∴∠E=180°-90°-60°=30°， ∴DE=2AD=8， ∴CE=10+8=18， ∵tan ∠ABC=CEBC∴tan60°=18BC, ∴63BC =在Rt △BCD 中，由勾股定理得：BD=()22226310413BC CD +=+=18．（1）解：如图，四边形ABCD 即为所求作．（2）解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，∵CB =CA ， ∴AE =BE ，∵∠ADC =90°，CD ∥AB ， ∴四边形AECD 是矩形， ∴AD =CE ，CD =AE ，设CD =AE =a ，CO =b ，则AB =2a ， ∵CD ∥AB ， ∴△DOC ∽△BOA ， ∴122CO CD a OA AB a ===， ∴OA =2b ，则CB =CA =3b ， ∵AC ⊥BD ，则∠BOC =90°， ∴sin ∠DBC =133OC b CB b ==； ∴sin ∠DBC 的值为13．19．解．（1）解：根据题意得：∠A =∠D =∠BEG =90°， ∴∠AEB +∠DEH =90°，∠AEB +∠ABE =90°， ∴∠DEH =∠ABE ， ∴△ABE ∽△DEH ；（2）解：根据题意得：AB =2DH ，AD =2AB ， ∴AD =4DH ，设DH =x ，AE =a ，则AB =2x ，AD =4x ， ∴DE =4x -a ，∵△ABE ∽△DEH ， ∴AB AEDE DH=， ∴24x a x a x =-，解得：()222a x +=或()222a-， ∴()22AB a =+或()22a -， ∴22tan 2AE ABE AB -∠==或222+；（3）解：∵矩形EBFG ∽矩形ABCD ，()1AD nAB n =>， ∴EG =nBE ，如图，当FH =BH 时，∵∠BEH =∠FGH =90°，BE =FG ， ∴Rt △BEH ≌Rt △FGH ， ∴EH =GH=12EG ，∴2nEH BE =， ∵△ABE ∽△DEH ， ∴2DE EH n AB BE ==，即2nDE AB =， ∴2nAE AD DE AB =-=， ∴tan 2AE nABE AB ∠==；如图，当FH =BF =nBE 时，222211HG FH FG n FG n BE ---，∴(21EH EG HG n n BE =-=-，∵△ABE ∽△DEH ， ∴21DE EHn n AB BE==-(21DE n n AB =-， ∴21AE AD DE n AB =--， ∴2tan 1AEABE ABn ==-∠ 综上所述，tan ABE ∠的值为2n21n -。

北师大版九年级下《1.1锐角三角函数》同步练习含答案第二课时

第2课时正弦和余弦..知识点 1 正弦..1．2017·安顺模拟在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则下列等式成立的是( ) A ．sin A ＝AC AB B ．sin A ＝BC ABC ．sin A ＝AC BCD ．sin A ＝BCAC.图1－1－132．如图1－1－13，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则sin A 的值是..( ) A .34 B .43 C .35 D .453．[2017·日照] 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则sin A 的值为( ) A .513B .1213C .512D .1254．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，sin B ＝45，则BC ＝________．知识点 2 余弦图1－1－145．[2017·湖州] 如图1－1－14，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos B 的值是( )A .35B .45C .34D .436．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2AB ，则cos A ＝( ) A .52B .12C .2 55D .557．在等腰三角形ABC 中，若AB ＝AC ＝4，BC ＝6，则cos B 的值是________． 8．如图1－1－15，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC ＝3 m ，cos ∠BAC ＝34，则梯子长AB ＝________m .图1－1－15 1－1－169．如图1－1－16，∠AOB 放置在正方形网格中，则cos ∠AOB 的值为________．知识点 3 锐角三角函数10．在△ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝3，AB ＝4，则下列说法正确的是( ) A ．sin B ＝35B ．cos B ＝34C ．tan B ＝34D ．tan B ＝4311．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.若sin A ＝513，则cos A 的值是( )A .512B .813C .23D .121312．已知∠α是锐角，且cos α的值为45，则tan α＝________．13．2017·贵阳模拟在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，下列结论中，正确的是( ) A ．AB ＝2sin A B ．AB ＝2cos AC ．BC ＝2tan AD ．BC ＝2cot A14．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，CD ＝4，AC ＝6，则sin B 的值是________．15．如图1－1－17所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为________．1－1－17 1－1－1816．如图1－1－18，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，过点D 作AB 的垂线交AC 于点E.若BC ＝6，sin A ＝35，则DE ＝________．17．如图1－1－19，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且BD 平分AC.若BD ＝8，AC ＝6，sin ∠AOB ＝32，则四边形ABCD 的面积为________．(结果保留根号)图1－1－1918．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，且sin B ＝35，试分别求出AC ，AB 的长．19．已知：如图1－1－20，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，E 为边AC 的中点，BC＝14，AD ＝12，sin B ＝45.(1)求线段DC 的长； (2)求tan ∠EDC 的值．图1－1－2020．如图1－1－21，矩形ABCD 的周长为30 cm ，两条邻边AB 与BC 的长度之比为2∶3. 求：(1)AC 的长；(2)∠α的正弦、余弦和正切．图1－1－2121．如图1－1－22，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5.(1)求sin2A＋cos2A的值；(2)比较sin A和cos B的大小；(3)想一想，对于任意直角三角形中的锐角，是否都有与上述两问题相似的结果？若有，请说明理由．图1－1－221．B [解析] 如图所示，sin A ＝BCAB.故选B.2．C 3.B 4.6 5.A 6.D7.34[解析] 如图，作AD ⊥BC 于点D ，∵AB ＝AC ＝4，BC ＝6， ∴BD ＝12BC ＝3.在Rt △ABD 中，cos B ＝BD AB ＝34.故答案为34.8．4 9.55[解析] 将∠AOB 放在一直角三角形中，相邻的直角边为1，对边为2，由勾股定理得斜边为5，则cos ∠AOB ＝15＝55. 10．B 11.D 12.3413．C [解析] 如图，∵∠C ＝90°，AC ＝2，∴cos A ＝AC AB ＝2AB ，故AB ＝2cos A，故选项A ，B 错误；tan A ＝BC AC ＝BC2，则BC ＝2tan A ，故选项C 正确，选项D 错误．故选C.14．3415．55 [解析] 设每个小正方形的边长为1，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝2，AC ＝10.在Rt △ACD 中，sin A ＝CD AC ＝210＝55.16．15417．12 3[解析] 如图，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，∵sin ∠AOB ＝32，OA ＝3， ∴AE ＝3×sin ∠AOB ＝3 32，∴S △ABD ＝12BD ·AE ＝12×8×3 32＝6 3，同理S △BCD ＝6 3.∴四边形ABCD 的面积为12 3. 18．解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∴sin B ＝AC AB ＝35.设AC ＝3x ，则AB ＝5x .又由AB 2＝AC 2＋BC 2，知 (5x )2＝(3x )2＋62＝9x 2＋36，解得x ＝32(负值已舍去)．∴AC ＝3x ＝92，AB ＝5x ＝152.19．解：(1)在Rt △ABD 中，∵AD ＝12，sin B ＝45，即AD AB ＝45，∴AB ＝5AD4＝15.由勾股定理，得BD ＝AB 2－AD 2＝152－122＝9， ∴DC ＝BC －BD ＝14－9＝5.(2)在Rt △ACD 中， ∵DE 是斜边AC 上的中线， ∴DE ＝12AC ＝EC ，∴∠EDC ＝∠C ，∴tan ∠EDC ＝tan C ＝AD DC ＝125.20．解：(1)∵AB ＋BC ＝15 cm ，AB ∶BC ＝2∶3， ∴AB ＝6 cm ，BC ＝9 cm ， ∴AC ＝AB 2＋BC 2＝313cm. (2)在Rt △ABC 中， sin α＝AB AC ＝21313，cos α＝BC AC ＝31313，tan α＝AB BC ＝23. 21．[全品导学号：77264016]解：∵∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝122＋52＝13.∴sin A ＝BC AB ＝513，cos A ＝AC AB ＝1213，cos B ＝BC AB ＝513.(1)∵sin 2A ＝(513)2＝25169，cos 2A ＝(1213)2＝144169，∴sin 2A ＋cos 2A ＝25169＋144169＝1.(2)sin A ＝cos B .(3)由这个特例的解答过程可猜想，对于任意直角三角形中的锐角，都有与上述两问题相似的结果，即对任意直角三角形中的锐角A ，有sin 2A ＋cos 2A ＝1；在Rt △ABC 中，若∠C 为直角，则sin A ＝cos B .理由如下：设在任意Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin 2A ＝⎝⎛⎭⎫BC AB 2，cos 2A ＝⎝⎛⎭⎫AC AB 2， ∴sin 2A ＋cos 2A ＝⎝⎛⎭⎫BC AB 2＋⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝BC 2＋AC 2AB 2＝AB2AB 2＝1.∵sin A ＝BC AB ，cos B ＝BCAB ，∴sin A ＝cos B .。

专题01 锐角三角函数(解析版)

2021-2022学年北师大版数学九年级下册压轴题专题精选汇编专题01 锐角三角函数一．选择题1．（2021春•金台区期末）如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，直线MN垂直平分AB交AB于M，交BC于N，且∠B＝15°，AC＝3，则BC的长为（）A．6B．6+3C．6+2D．9【思路引导】如图，连接AN．证明AN＝BN，推出∠B＝∠NAB＝15°，推出∠ANC＝30°，再求出AN，CN，可得结论．【完整解答】如图，连接AN．∵MN垂直平分线段AB，∴NA＝NB，∴∠B＝∠BAN＝15°，∴∠ANC＝∠B+∠NAB＝30°，∵AC＝3，∠C＝90°，∴AN＝2AC＝6，CN＝＝＝3，∴BC＝CN+BN＝3+6，故选：B．2．（2020秋•南召县期末）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的格点上，那么tan∠ABC的值为（）A．B．C．4D．【思路引导】过点A作AE⊥BC于E．根据，tan∠ABC＝，求解即可．【完整解答】过点A作AE⊥BC于E．在Rt△ABE中，tan∠ABC＝＝＝4，故选：C．3．（2020秋•仁寿县期末）等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则它的顶角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°【思路引导】证明△ABC是等边三角形，可得结论．【完整解答】如图，AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC：AD＝2：，∴tan B＝＝，∴∠B＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，故选：C．4．（2020秋•紫金县期末）如图，点A（3，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，则cosα＝（）A．B．C．D．【思路引导】过点A作AE⊥x轴于E．利用勾股定理求出OA，再根据cosα＝，可得结论．【完整解答】如图，过点A作AE⊥x轴于E．∵A（3，4），∴OE＝3，AE＝4，∴OA＝＝＝5，∴cosα＝＝，故选：B．5．（2021•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC 于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（）A．B．C．D．【思路引导】根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得CE ＝AE ＝BE ＝AB ，进而得到∠BEC ＝2∠A ＝∠BFC ，从而有∠CEF ＝∠CBF ，根据三角形的面积公式求出AF ，由勾股定理，在Rt △BCF 中，求出CF ，再根据锐角三角函数的定义求解即可．【完整解答】连接BF ，∵CE 是斜边AB 上的中线，EF ⊥AB ，∴EF 是AB 的垂直平分线，∴S △AFE ＝S △BFE ＝5，∠FBA ＝∠A ，∴S △AFB ＝10＝AF •BC ，∵BC ＝4，∴AF ＝5＝BF ，在Rt △BCF 中，BC ＝4，BF ＝5，∴CF ＝＝3，∵CE ＝AE ＝BE ＝AB ，∴∠A ＝∠FBA ＝∠ACE ，又∵∠BCA ＝90°＝∠BEF ，∴∠CBF ＝90°﹣∠BFC ＝90°﹣2∠A ，∠CEF ＝90°﹣∠BEC ＝90°﹣2∠A ，∴∠CEF ＝∠FBC ，∴sin ∠CEF ＝sin ∠FBC ＝＝，故选：A ．6．（2021•宜兴市模拟）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，tan ∠BAC ＝，AD ＝2，BD ＝4，连接CD ，则CD 长的最大值是（）A ．2+B ．2+1C ．2+D ．2+2【思路引导】如图，在AD 的下方作Rt △ADT ，使得∠ADT ＝90°，DT ＝1，连接CT ，则AT ＝，证明△DAB ∽△TAC ，推出＝＝，推出TC ＝2，再根据CD ≤DT +CT ，可得CD ≤1+2，由此即可解决问题．【完整解答】如图，在AD 的下方作Rt △ADT ，使得∠ADT ＝90°，DT ＝1，连接CT ，则AT ＝，∵＝＝2，∴＝，∵∠ADT ＝∠ABC ＝90°，∴△ADT ∽△ABC ，∴∠DAT ＝∠BAC ，＝∴∠DAB ＝∠TAC ，∵＝，∴△DAB ∽△TAC ，∴＝＝，∴TC ＝2，∵CD≤DT+CT，∴CD≤1+2，∴CD的最大值为1+2，故选：B．7．（2020秋•北碚区校级期末）北碚区政府计划在缙云山半山腰建立一个基站AB，其设计图如图所示，BF，ED与地面平行，CD的坡度为i＝1：0.75，EF的坡角为45°，小王想利用所学知识测量基站顶部A 到地面的距离，若BF＝ED，CD＝15米，EF＝3米，小王在山脚C点处测得基站底部B的仰角为37°，在F点处测得基站顶部A的仰角为60°，则基站顶部A到地面的距离为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．21.5米B．21.9米C．22.0米D．23.9米【思路引导】延长AB交过点C的水平线于M，交DE延长线于点N，作DG⊥MC于G，FH⊥DN于H，根据锐角三角函数即可求出结果．【完整解答】如图，延长AB交过点C的水平线于M，交DE延长线于点N，作DG⊥MC于G，FH⊥DN于H，∵CD的坡度为i＝1：0.75＝，∴＝，设DG＝4k，CG＝3k，则CD＝5k，∴5k＝15，∴k＝3，∴DG＝12，CG＝9，∵EF的坡角为45°，EF＝3，∴EH＝FH＝3，∵四边形BNHF和四边形DGMN是矩形，∴BF＝NH＝DE，BN＝FH＝3，DN＝MG，NM＝DG＝12，∴BM＝BN+NM＝15，在Rt△BCM中，∠BCM＝37°，MC＝MG+CG＝DN+CG＝NH+HE+DE+CG＝2BF+3+9＝2BF+12，∴BM＝CM•tan∠BCM，∴15＝（2BF+12）×0.75，∴BF＝4，在Rt△ABF中，∠AFB＝60°，∴AB＝BF•tan60°＝4≈6.92（米），∴AM＝AB+BM＝6.92+15≈21.9（米）．故选：B．8．（2021•渝中区校级二模）如图，旗杆AB竖立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为65米，坡度为i＝．小明从与点C相距115米的点D处向上爬12米到达建筑物DE的顶端点E，在此测得旗杆顶端点A的仰角为39°，则旗杆的高度AB约为（）米．（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）A．12.9B．22.2C．24.9D．63.1【思路引导】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度即可求出答案．【完整解答】过点B作BF⊥CD，垂足为F，过点E作EG⊥BF，垂足为G，在Rt△BCF中，由斜坡BC的坡度i＝，得，＝，又BC＝65，设BF＝12x，FC＝5x，由勾股定理得，（12x）2+（5x）2＝652，∴x＝5，∴BF＝60，FC＝25，又∵DC＝115，∴DF＝DC﹣FC＝115﹣25＝90＝EG，在Rt△AEG中，AG＝EG•tan39°≈90×0.81＝72.9，∴AB＝AG+FG﹣BF＝72.9+12﹣60＝24.9（米），故选：C．二．填空题（共11小题）9．（2021春•沙河口区期末）如图，从一艘船A上测得海岸上高为42米的灯塔顶部B的仰角∠BAC＝30°，求船离灯塔的水平距离AC的长度是　71　米（参考数据：≈1.7，≈2.2，结果取整数）．【思路引导】由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2BC＝84（米），再由勾股定理即可求解．【完整解答】由题意得：∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝42米，∴AB＝2BC＝84（米），∴AC＝＝＝42≈71（米），故答案为：71．10．（2020秋•肥城市期末）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则cos B+sin B的值为　　．【思路引导】如图，过点A作AE⊥BC交BC的延长线于E．利用勾股定理求出AB，可得结论．【完整解答】如图，过点A作AE⊥BC交BC的延长线于E．在Rt△ABE中，∠E＝90°，AE＝3，BE＝4，∴AB＝＝＝5，∴cos B＝＝，sin B＝＝，∴cos B+sin A＝+＝，故答案为：．11．（2020秋•崇川区期末）如图，若A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则∠BOD的余弦值为．【思路引导】如图，取格点T，连接CT．DT．利用平行线的性质证明∠BOD＝∠TCD，求出CT，CD，可得结论．【完整解答】如图，取格点T，连接CT．DT．观察图象可知，CT∥AB，CT⊥DT，∴∠BOD＝∠TCD，∠CTD＝90°，∵CT＝＝，CD＝＝5，∴cos∠BDO＝cos∠TCD＝＝＝，故答案为：．12．（2020秋•锡山区期末）如图的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为　　．【思路引导】如图，过点A作AH⊥BC于H．利用面积法求出AH，再利用勾股定理求出BH，CH，可得结论．【完整解答】如图，过点A作AH⊥BC于H．∵AB＝2，BC＝5，＝×2×4＝•BC•AH，∴S△ABC∴AH＝，∴BH＝＝＝，∴CH＝BC﹣BH＝5﹣＝，∴tan∠ACB＝＝＝，故答案为：．13．（2020秋•龙口市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为边AC上一点，∠A＝∠CBD，若AC＝8cm，cos∠CBD＝，则边AB＝　10　cm．【思路引导】根据锐角三角函数即可求出AB的值．【完整解答】∵∠C＝90°，∠A＝∠CBD，cos∠CBD＝，∴cos∠A＝＝，∵AC＝8cm，∴AB＝10cm．故答案为：10．14．（2020秋•德江县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC＝6，tan B＝，则CE＝　3　．【思路引导】过点F作FG⊥AB于点G，根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF＝∠CFE，即可得出EC＝FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【完整解答】过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠FAD，∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，∴CE＝CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，∴FC＝FG，∵∠B＝∠B，∠FGB＝∠ACB＝90°，∴△BFG∽△BAC，∴＝，∵AC＝6，∠ACB＝90°，∴tan B＝＝∴BC＝8，AB＝＝＝10，∴＝，∵FC＝FG，解得：FC＝3，即CE的长为3．故答案为：3．15．（2020秋•新吴区期末）如图，△ABC的顶点都在正方形网格纸的格点上，则sin＝．【思路引导】如图，取格点T，连接AT，BT，设BT的中点为H，连接CH．证明CB＝CT，利用等腰三角形的性质求解即可．【完整解答】如图，取格点T，连接AT，BT，设BT的中点为H，连接CH．∵BC＝＝5，CT＝＝5，∴CB＝CT，∵BH＝HT，∴∠HCA＝∠HCB，CH⊥BT，∵HT＝，∴sin＝＝＝，故答案为：．16．（2021春•瑞安市月考）如图，在河对岸有一等腰三角形场地EFG，FG＝EG，为了估测场地的大小，在笔直的河岸上依次取点C，D，B，A，使FC⊥l，BG⊥l，EA⊥l，点E，G，D在同一直线上，在D观测F后，发现∠FDC＝∠EDA，测得CD＝12米，DB＝6米，AB＝12米，则FG＝　8　米．【思路引导】过点G作GM⊥AE于G．GN⊥EF于N，过点D作DJ⊥l，过点F作FT⊥AE于T．利用相似三角形的性质证明DF＝FG，再证明∠DEA＝∠DEF，推出EN＝EM＝FN，证明△EGM≌△EGN （AAS），推出EM＝EN，设AM＝m，在Rt△ETF中，利用勾股定理求出方程求出m，即可解决问题．【完整解答】过点G作GM⊥AE于G．GN⊥EF于N，过点D作DJ⊥l，过点F作FT⊥AE于T．∵FC⊥l，BG⊥l，EA⊥l，∴∠FCD＝∠EAD＝90°，BG∥AE，∵∠FDC＝∠EDA，∴△FCD∽△EAD，△GBD∽EAD，∴＝＝2，＝＝，∴DF＝2DG，DE＝3DG，∴EG＝FG＝2DG，∴FD＝FG，∴∠FDG＝∠FGD＝∠GFE+∠GEF，∵GE＝GF，∴∠GEF＝∠GFE，∵∠FDJ+∠FDC＝90°，∠EDJ+∠EDA＝90°，∠FDC＝∠EDA，∴∠FDJ＝∠EDJ，∴2∠EDJ＝2∠GEF，∴∠EDJ＝∠DEF，∵DJ∥AE，∴∠EDJ＝∠AED，∴∠DEA＝∠DEF，∵GM⊥AE，GN⊥EF，∴∠EMG＝∠ENG＝90°，∵EG＝EG，∴△EGM≌△EGN（AAS），∴EM＝EN，∵GE＝GF，GN⊥EF，∴FN＝EN＝EM，∵四边形ABGM，四边形CFTA都是矩形，∴AB＝GM＝CD＝6（米），∵DF＝EG，∠FCD＝∠GME＝90°，∴Rt△FCD≌Rt△EMG（HL），∴CF＝EM，设AM＝m米则AE＝3m米，EM＝CF＝AT＝FN＝EN＝2m米，∴ET＝AE﹣AT＝m（米），在Rt△EFT中，FT2+ET2＝EF2，∴302+m2＝（4m）2，∴m＝2或﹣2（舍弃），∴FN＝4（米），∵GN＝GM＝12米，∴FG＝＝＝8（米），故答案为：8．17．（2021•道里区三模）△ABC中，AB＝8，∠B＝60°，AC＝7，则∠BAC的余弦值为　或　．【思路引导】分两种情况进行解答，即当△ABC是锐角三角形和△ABC是钝角三角形，分别画出相应的图形，通过做高，利用直角三角形的边角过程求出相应的边长，再根据锐角三角函数的意义求出答案．【完整解答】（1）如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CE⊥AC，垂足为E，在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，AB＝8，∴BD＝AB＝4，AD＝AB＝4，在Rt△ACD中，CD＝＝1，由三角形的面积公式得，BC•AD＝AC•BE，即（4+1）×4＝7BE，∴BE＝，在Rt△ABE中，AE＝＝，∴cos∠BAC＝＝＝；（2）如图2，过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CF⊥AB，垂足为F，由题意得，BC＝4﹣1＝3，在Rt△BCF中，∠FBC＝60°，BC＝3，∴BF＝BC＝，∴AF＝AB﹣FB＝8﹣＝，在Rt△AFC中，cos∠BAC＝＝；故答案为：或．18．（2021•新洲区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，M是射线AB上的一动点，以AM为斜边在△ABC外作Rt△AMN，且使tan∠MAN＝，O是BM的中点，连接ON．则ON长的最小值为　2　．【思路引导】作NP⊥AB于点P，设AM长为x，用含x代数式表示出ON，然后通过配方求解．【完整解答】作NP⊥AB于点P，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，设AM长为x，则BM＝5﹣x，∵tan∠MAN＝＝，∴AN＝2MN，∴AM＝＝MN，∴MN＝AM＝x，AN＝2MN＝x，同理，在Rt△ANP中可得NP＝＝x，AP＝2NP＝x，∵O为BM中点，∴BO＝BM＝，∴AO＝AB﹣BO＝，∴OP＝AO﹣AP＝﹣x＝，在Rt△ONP中，由勾股定理得ON2＝OP2+NP2，即ON2＝（）2+（x）2＝（25x2﹣150x+3125）＝（x2﹣6x+125）＝（x﹣3）2+20，∴当x＝3时，ON2取最小值为20，∴ON最小值为2．故答案为：2．19．（2021•乐山）如图，已知点A（4，3），点B为直线y＝﹣2上的一动点，点C（0，n），﹣2＜n＜3，AC⊥BC于点C，连接AB．若直线AB与x正半轴所夹的锐角为α，那么当sinα的值最大时，n的值为．【思路引导】当sinα的值最大时，则tanα＝值最大，即当BG最大时，sinα的值最大，设BG＝y，由tan∠CAM＝tan∠BCG，得到y＝﹣（n﹣3）（n+2），进而求解．【完整解答】过点A作AM⊥y轴于点M，作AN⊥BN交于点N，∵直线y＝﹣2∥x轴，故∠ABN＝α，当sinα的值最大时，则tanα＝值最大，故BN最小，即BG最大时，tanα最大，即当BG最大时，sinα的值最大，设BG＝y，则AM＝4，GC＝n+2，CM＝3﹣n，∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠BCG＝90°，∴∠CAM＝∠BCG，∴tan∠CAM＝tan∠BCG，∴，即，∴y＝﹣（n﹣3）（n+2），∵﹣＜0，故当n＝（3﹣2）＝时，y取得最大值，故n＝，故答案为：．三．解答题20．（2021•河池）如图，小明同学在民族广场A处放风筝，风筝位于B处，风筝线AB长为100m，从A处看风筝的仰角为30°，小明的父母从C处看风筝的仰角为50°．（1）风筝离地面多少m？（2）A、C相距多少m？（结果保留小数点后一位，参考数据：sin30°＝0.5，cos30°≈0.8660，tan30°≈0.5774，sin50°≈0.7760，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918）【思路引导】（1）过B作BD⊥AC于D，由含30°角的直角三角形的性质即可求解；（2）由锐角三角函数定义求出CD、AD的长，即可求解．【完整解答】（1）过B作BD⊥AC于D，如图所示：则∠ADB＝∠CDB＝90°，∵∠BAD＝30°，∴BD＝AB＝50（m），即风筝离地面50m；（2）由（1）得：BD＝50m，在Rt△BCD中，∠BCD＝50°，∵tan∠BCD＝＝tan50°≈1.1918，∴CD≈＝≈41.95（m），在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，∵tan∠BAD＝＝tan30°≈0.5774，∴AD≈≈86.60（m），∴AC＝AD+CD≈41.95+86.60≈128.6（m），即A、C相距约128.6m．21．（2020秋•长沙期末）如图，A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A＝45°，∠CBD＝75°，AB＝60m．（1）求∠ACB的度数；（2）求线段CB的长度．【思路引导】（1）利用三角形的外角的性质求解即可．（2）如图，过点B作BH⊥AC于H，利用等腰直角三角形的性质求出BH，再根据BC＝2BH，可得结论．【完整解答】（1）∵∠CBD＝∠A+∠ACB，∠A＝45°，∠CBD＝75°，∠∠ACB＝75°﹣45°＝30°．（2）如图，过点B作BH⊥AC于H．∵∠BHA＝90°，AB＝60m，∠A＝45°，∴BH＝AB•sin45°＝60（m），∵∠BCH＝30°，∴BC＝2BH＝120（m）．22．（2021•朝阳）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）【思路引导】过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由锐角三角函数定义求出BD＝CH＝AH，再证△EFG∽△ABG，得＝，求出AH＝（8+4）m，即可求解．【完整解答】如图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由题意得：DF＝9m，∴DG＝DF﹣FG＝6（m），在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，∵tan∠ACH＝＝tan30°＝，∴BD＝CH＝AH，∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°．由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，∴△EFG∽△ABG，∴＝，即＝，解得：AH＝（8+4）m，∴AB＝AH+BH＝（9+4）m，即这棵古树的高AB为（9+4）m．23．（2021•锦州）如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC∥MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1：3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【思路引导】先求出BC＝4.8m，再由锐角三角函数定义即可求解．【完整解答】∵山坡BM的坡度i＝1：3，∴i＝1：3＝tan M，∵BC∥MN，∴∠CBD＝∠M，∴tan∠CBD＝＝tan M＝1：3，∴BC＝3CD＝4.8（m），在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan50°≈1.19，∴AB≈1.19BC＝1.19×4.8≈5.7（m），即树AB的高度约为5.7m．24．（2020秋•阜宁县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝30°，a﹣b＝2﹣2，解这个直角三角形．【思路引导】利用三角形内角和定理构建方程组求出∠A，∠B的值，推出a＝b，解方程组求出a，b，即可解决问题．【完整解答】∵，∴，∵，∴，由，解得，∵，∴c＝2b＝4．25．（2021•荆门）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3+）海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．（1）求A，P之间的距离AP；（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B 处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？【思路引导】（1）通过作垂线构造直角三角形，求出小岛P到航线AB的最低距离PC，与暗礁的半径比较即可得出答案；（2）规划新航线BD，使小岛P到新航线的距离PE等于暗礁的半径，进而求出∠PBD，进而求出∠CBD，确定方向角．【完整解答】（1）过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，由题意得，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝20，设PC＝x，则BC＝x，在Rt△PAC中，∵tan30°＝＝＝，∴x＝10+10，∴PA＝2x＝20+20，答：A，P之间的距离AP为（20+20）海里；（2）因为PC﹣10（3+）＝10+10﹣30﹣10＝10（+1）（﹣）＜0，所以有触礁的危险；设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，作PE⊥BD，垂足为E，当P到BD的距离PE＝10（3+）海里时，有sin∠PBE＝＝＝，∴∠PBD＝60°，∴∠CBD＝60°﹣45°＝15°，90°﹣15°＝75°即海监船由B处开始沿南偏东至多75°的方向航行能安全通过这一海域．26．（2021•天津）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长．（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，取1.73．【思路引导】通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数的意义列方程求解即可．【完整解答】如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，由题意得，∠BAC＝60°，∠BCA＝40°，AC＝257海里，在Rt△ABH中，∵tan∠BAH＝，cos∠BAH＝，∴BH＝AH•tan60°＝AH，AB＝＝2AH，在Rt△BCH中，∵tan∠BCH＝，∴CH＝＝（海里），又∵CA＝CH+AH，∴257＝+AH，所以AH＝（海里），∴AB＝≈＝168（海里），答：AB的长约为168海里．27．（2021•资阳）资阳市为实现5G网络全覆盖，2020﹣2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为i＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB 行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求D处的竖直高度；（2）求基站塔AB的高．【思路引导】（1）通过作垂线，利用斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，CD＝13，由勾股定理可求出答案；（2）设出DE的长，根据坡度表示BE，进而表示出CF，由于△ACF是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADE中由锐角三角函数可列方程求出DE，进而求出AB．【完整解答】（1）如图，过点C、D分别作AB的垂线，交AB的延长线于点E、F，过点D作DM⊥CF，垂足为M，∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，∴＝，即＝，设DM＝5k米，则CM＝12k米，在Rt△CDM中，CD＝13米，由勾股定理得，CM2+DM2＝CD2，即（5k）2+（12k）2＝132，解得k＝1，∴DM＝5（米），CM＝12（米），答：D处的竖直高度为5米；（2）斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，设DE＝12a米，则BE＝5a米，又∵∠ACF＝45°，∴AF＝CF＝（12+12a）米，∴AE＝AF﹣EF＝12+12a﹣5＝（7+12a）米，在Rt△ADE中，DE＝12a米，AE＝（7+12a）米，∵tan∠ADE＝tan53°≈，∴＝，解得a＝，∴DE＝12a＝21（米），AE＝7+12a＝28（米），BE＝5a＝（米），∴AB＝AE﹣BE＝28﹣＝（米），答：基站塔AB的高为米．28．（2021•莱芜区二模）如图，为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某段限速道路AB＝328米，当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°．求无人机距离地面道路的高度和飞行距离各为多少米．（均精确到1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）【思路引导】通过作垂线构造直角三角形，在不同的直角三角形中，利用边角关系进行计算即可．【完整解答】（1）如图，由题意得：∠ECA＝37°，∠CDA＝30°，∠FDB＝45°，CD∥AB，AB＝328米，过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，则四边形CDNM是矩形，∵∠ECA＝37°，∠CDA＝30°，∠FDB＝45°，CD∥AB，∴∠CAM＝∠ECA＝37°，∠DAN＝∠CDA＝30°，∠B＝∠FDB＝45°，即无人机距离地面道路的高度为120米，∴，∴CD＝MN＝AN﹣AM＝207.6﹣160≈48米，即无人机的飞行距离为48米．29．（2021•碑林区校级模拟）学校“科技创新小团队”设计的智能照明家居（如图①）的设计方案（如图②）所示：MN为台灯底座，支架AB与MN的夹角为60°．支架AB与BC的夹角可以调节的．试用后发现，当支架AB与BC的夹角为108°时，可以达到较好的照明效果．若AB＝21cm，BC＝28cm．此时点C离底座MN的距离为多少？（结果精确到0.1cm．参考数据：≈1.41；≈1.73；sin48°≈0.74；cos48°≈0.67；tan48°≈1.11）【思路引导】过点C作CE⊥MN于点M，过点B作BF⊥MN于点F，作BG⊥CE于点G，得矩形EGBF，根据锐角三角函数即可求出CG和BF的值，进而可得结果．【完整解答】如图，过点C作CE⊥MN于点M，过点B作BF⊥MN于点F，作BG⊥CE于点G，得矩形EGBF，在Rt△ABF中，∵∠BAF＝60°，AB＝21cm，∴∠ABF＝30°，∴AF＝AB＝cm，∴BF＝AF＝≈18.165（cm），∴GE＝BF≈18.165（cm），在Rt△CGB中，∵∠CBG＝108°﹣60°＝48°，BC＝28cm．∴CG＝BC×sin48°≈28×0.74≈20.72（cm），∴CE＝CG+GE＝20.72+18.165≈38.9（cm），答：此时点C离底座MN的距离为38.9cm．。

【经典原创】学年北师大版初中数学九年级下册锐角三角函数专题练习及答案解析

北师大版数学九年级下册锐角三角函数课时练习一、单选题（共15题）1．在Rt△ABC 中，∠C=90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tanB 的值是（）A ．13B ．3C ．24 D ．22答案：D解析：解答：设BC=x ，则AB=3x ，由勾股定理得，AC=22x ，tanB=2222AC x BC x == 故选：D ．分析: 设BC=x ，则AB=3x ，由勾股定理求出AC ，根据三角函数的概念求出tanB 。

2. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA 的值是（）A ．34B ． 43C ．35D ．45答案：D解析：解答: ∵AB=5，BC=3，∴AC=4，∴cosA=45AC AB 故选D ．分析:根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可3.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（）A ．2B ．255 C ．55 D ．12答案：D解析：解答:如图，由勾股定理，得AC=2，AB=22．tan∠B=12AC AB 故选：D ．分析:根据勾股定理，可得AC 、AB 的长，根据正切函数的定义，可得答案。

4.如图，点A 为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC 于点C ，CD⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A ．BD BCB ．BC AB C ．AD AC D ．CD AC答案：C解析：解答:∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠α+∠BCD=∠ACD+∠BCD，∴∠α=∠ACD，∴cosα=cos∠ACD=BD BC DC==，BC AB AC只有选项C错误，符合题意．分析:利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α=∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出答案．5.已知sin6°=a，sin36°=b，则sin26°=（）A．a2 B．2a C．b2 D．b答案：A解析：解答: ∵sin6°=a，∴sin26°=a2．故选：A．分析:根据一个数的平方的含义和求法，由sin6°=a，可得sin26°=a2，据此解答即可．6.在Rt△ABC中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A的各三角函数值（）A．都扩大两倍B．都缩小两倍C．不变D．都扩大四倍答案：C解析：解答:∵各边的长度都扩大两倍，∴扩大后的三角形与Rt△ABC相似，∴锐角A的各三角函数值都不变．故选C．分析:根据三边对应成比例，两三角形相似，可知扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．7.△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（）A．bcosB=c B．csinA=a C．atanA=b D．tanB＝bc答案：B解析：解答：∵a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，即csinA=a，∴sinA=ac∴B选项正确．故选B．分析: 由于a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠C=90°，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项．8.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是（）D．a=bcosAA．b=atanB B．a=ccosB C．c＝asinA答案：D解析：解答: ∵∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，，则b=atanB，故本选项正确，∴A.tanB=baB.cosB=a，故本选项正确，c，故本选项正确，C.sinA=acD.cosA=b，故本选项错误，c故选D．分析:根据三角函数的定义就可以解决.9.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cosA=（）A ．513B ．512C ．1213D ．125答案：C解析：解答:∵Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=12， ∴cosA=1213AC AB 故选C ．分析:直接根据余弦的定义即可得到答案．10.如果∠A 为锐角，且sinA=0.6，那么（）A ．0°＜A≤30° B．30°＜A ＜45° C．45°＜A ＜60° D．60°＜A≤90°答案：B解析：解答:∵sin30°=12 =0.5，sin45°=22≈0.707，sinA=0.6，且sinα随α的增大而增大，∴30°＜A ＜45°．故选B ．分析:此题考查了正弦函数的增减性与特殊角的三角函数值．此题难度不大，注意掌握sinα随α的增大而增大.11.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（）A.扩大2倍B．缩小2倍C．扩大4倍D．没有变化答案：D解析：解答:根据锐角三角函数的概念，知若各边长都扩大2倍，则sinA的值不变．故选D．分析:理解锐角三角函数的概念：锐角A的各个三角函数值等于直角三角形的边的比值．12.如图，梯子跟地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A．sinA的值越小，梯子越陡B．cosA的值越小，梯子越陡C．tanA的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与上A的函数值无关答案：B解析：解答: sinA的值越小，∠A越小，梯子越平缓；cosA的值越小，∠A就越大，梯子越陡；tanA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，所以B正确．故选B．分析: 根据锐角三角函数的增减性即可得到答案13.sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（）A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70° C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70°答案：D解析：解答：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1．又cos70°=sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°=sin20°．故选D．分析: 首先根据锐角三角函数的概念，知：sin70°和cos70°都小于1，tan70°大于1，故tan70°最大；只需比较sin70°和cos70°，又cos70°=sin20°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较14.随着锐角α的增大，cosα的值（）A．增大B．减小C．不变D．增大还是减小不确定答案：B解析：解答：随着锐角α的增大，cosα的值减小．故选B．分析: 当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大而减小，依此求解即可．15.当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是（）A．正弦和余弦B．正弦和正切C．余弦和正切D．正弦、余弦和正切答案：B解析：解答：当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是正弦和正切．故选B．分析:当角度在0°到90°之间变化时，正弦和正切函数值随着角度的增大而增大．二、填空题（共5题）1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7，则sinB=____________答案：713解析：解答:∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7，∴sinB=ACAB =7 13故答案是：713分析: 根据锐角三角函数定义直接进行解答。

北师大版九年级数学下册《1.1锐角三角函数》同步测试题及答案

北师大版九年级数学下册《1.1锐角三角函数》同步测试题及答案1.如图，在Rt ABC △中，AC=4，BC=3，90C ∠=︒则sin A 的值为( )A.34B.53C.43D.352.在Rt ABC △中90C ∠=︒ 3cos 5A =，AB=10，则BC 的( ) A.3 B.4 C.6 D.83.在Rt ABC △中，各边的长度都扩大4倍，那么锐角A 的余弦值( )A.扩大4倍B.保持不变C.缩小4倍D.扩大2倍4.如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的高，则下列正确的是( )A.3tan 4DCB ∠=B.5tan 3DCB ∠=C.4cos 5DCB ∠=D.4sin 5DCB ∠= 5.已知A B ∠∠=︒+90，且3cos 5A =，则tanB 的值为( ). A.45 B.35 C.34 D.43 6.ABC △中，A ∠和B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c .已知6810a b c ===，，，则cos A ∠的值为( )A.35B.34C.45D.43 7.如图,在44⨯网格正方形中,每个小正方形的边长为1,顶点为格点,若ABC △的顶点均是格点,则cos BAC ∠的值是( )A.55B.105C.255D.458.如图，的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则sin BAC∠的值为( ) A. B.55C. D.2539.已知ABC△中，90C∠=︒和3cos5A=，AC=6，那么AB的长是___________.10.在等腰三角形ABC中10AB AC==，BC=12，则tan B=_____________.11.如图，在44⨯网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若ABC△的顶点均是格点，则sin∠的值为_____.12.如图，在ACD中90C∠=︒，15A∠=︒点B在边AC上，且2AB BD==，则BC= _______________，tan CAD∠=_______________.ABC△51213.如图，在四边形ABCD 中90ABC ∠=︒ 45C ∠=︒ 2CD 3BD =.(1)求sin CBD ∠的值；(2)若3AB =，求AD 的长.14.如图，在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 的坐标为(10,0)，点B 在第一象限内5BO = 3sin 5BOA ∠=求：(1)点B 的坐标；(2)cos BAO ∠的值.参考答案及解析1.答案：D解析：=4AC =3BC 90C ∠=︒∴2222345AB AC BC =++= ∴3sin 5BC A AB ==；故选：D.2.答案：D解析：如图在Rt ABC △中 3cos 5AC A AB ==10AB =6AC ∴=在Rt ABC △中 22221068BC AB AC =-=-=. 故选：D.3.答案：B解析：在Rt ABC △中，各边的长度都扩大4倍 ∴各角的大小不变，即A ∠大小不变.一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关∴锐角A 的余弦值保持不变.故选：B.4.答案：D解析：Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的高，AC=3，CB=4 5AB ∴= DCB DBC DBC A ∠+∠=∠+∠DCB A ∴∠=∠4tan tan 3DCB CAD ∴∠=∠=，故A 选项不正确； 4tan 3DCB ∴∠=，故B 选项不正确；3cos 5DCB ∴∠，故C 选项不正确； 4sin 5DCB ∴∠=，故D 选项正确故选：D.5.答案：C解析：如图A B ∠∠=︒+90∴90C ∠=︒3cos5A =∴设3AC x = 5AB x =∴224BC AB AC x =-=∴33tan 44xB x ==故选：C.6.答案：C解析：在ABC △中6a = 8b = 10c =2222683664100a b ∴+=+=+=2100c = 222a b c ∴+=ABC ∴△是直角三角形84cos 105b A c ∴===.故选：C.7.答案：C解析：过点C 作AB 的垂线交AB 于一点D ,如图所示∵每个小正方形的边长为1∵5AC = 10= 5AB =设AD x =,则5BD x =-在Rt ACD △中 222DC AC AD =-在Rt BCD △中 222DC BC BD =-∵2210(5)5x x --=-解得2x =∵25cos 55AD BAC AC ∠=== 故选：C.8.答案：B解析：如图，过B 作BD AC ⊥于点D根据勾股定理得：22345AB =+= 223635AC =+=11111546313463,22222ABC S AC BD ∴=⋅=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△ 5BD ∴=5sin 5BD CAB AB ∴∠== 故选：B.9.答案：10解析：在Rt ABC △中3cos 5AC A AB == 6AC = 10AB ∴=故答案为：10.10.答案：43解析：本题易因忽略求tan B 的前提是将B ∠放在一个直角三角形中而出错. 11.答案：55解析：延长AC 到D ，连接BD ，如图：220AD = 25BD = 225AB = 222AD BD AB ∴+=90ADB ∴∠=︒55sin 525BD BAC AB ∴∠===. 故答案为：55. 12.答案：323/32解析：2AB BD ==∴15A ADB ∠=∠=︒∴30DBC A ADB ∠=∠+∠=︒ 90C ∠=︒∴112CD BD ==在Rt DBC △中，由勾股定理得：2222213BC BD CD =--= ∴23AC AB BC =+= ∴tan 2323CD CAD AC ∠===-+ 故答案为：3 3.13.答案：(1)1sin 3CBD ∠= (2)23AD =解析：(1)如图，过点D 作DE BC ⊥于点E .在Rt CED △中45C ︒∠= 2CD = 1CE DE ∴==.在Rt BDE △中1sin 3DE CBD BD ∠==. (2)如图，过点D 作DF AB ⊥于点F ，则90BFD BED ABC ∠=∠=∠=︒. ∴四边形BEDF 为矩形.1BF DE ∴==.2AF AB BF ∴=-= 2222DF BD BF =-=2223AD AF DF ∴=+.14.答案：(1)(4,3)B (2)2cos 55BAO ∠= 解析：(1)如图，过点B 作BC OA ⊥于点C . 3sin 5BCBOA BO ∠==.22534OC ∴=-=. .(2)易知10OA =.4OC = . 226335AB ∴=+5BO =3BC ∴=(4,3)B ∴6AC ∴=2cos 5535AC BAO AB ∴∠===。

1.1 锐角三角函数北师大版九年级数学下册课时同步练习(含答案)

北师大版九下 1.1 锐角三角函数一、选择题（共12小题）1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=4，AC=2，则tan A等于( )A. 12B. 2 C. 55D. 52. 若∠A是锐角，且sin A=cos A，则∠A的度数是( )A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘3. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，sin A=35，则cos B的值为( )A. 35B. 45C. 34D. 434. 梯子跟地面的夹角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是( )A. sin A的值越小，梯子越陡B. cos A的值越小，梯子越陡C. tan A的值越小，梯子越陡D. 陡缓程度与∠A的函数值无关5. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tan C等于( )A. 34B. 43C. 35D. 456. 如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sin A的值为( )A. 55B. 255C. 225D. 1057. 如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD于点E，BE=2，DE=8，设∠ACE=α，则tanα的值为( )A. 12B. 43C. 34D. 28. 在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，AB =3BC ，则 tan B 的值为 ( )A. 13B. 3C. 24D. 229. 在 Rt △ABC 中， ∠C =90∘ ，下列各式中正确的是 ( )A. sin A =sin BB. tan A =tan BC. sin A =cos BD. cos A =cos B10. 如图所示，△ABC 的项点在正方形网格的格点上，则 tan A 的值为 ( )A. 12B. 22C. 2D. 2211. 如果 ∠A 为锐角，且 cos A =14，那么 ( )A. 0∘<∠A <30∘B. 30∘<∠A <45∘C. 45∘<∠A <60∘D. 60∘<∠A <90∘12. 规定：sin (―x )=―sin x ，cos (―x )=cos x ，cos (x +y )=cos x cos y ―sin x sin y ，给出以下四个结论：（1）sin (―30∘)=―12；（2）cos2x =cos 2x ―sin 2x ；（3）cos (x ―y )=cos x cos y +sin x sin y ；（4）cos15∘=6―24．其中正确的结论的个数为 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（共5小题）13. 在△ABC中，∠C=90∘，AB=13，BC=5，则sin A的值是．14. 在平面直角坐标系中，请任意写出一个y轴上的点的坐标．15. 在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，直角三角形中较小的锐角为α，那么tanα的值是．16. 如图所示的网格是正方形网格，∠BAC∠DAE．（填“>”“=”或“<”）17. 在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则BC的长为．三、解答题（共7小题）18. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=8，AC=4，求tan A和cot B的值．19. 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”.Rt△ABC中，∠ACB=90∘，若AC=b，BC=a，请你利用这个图形说明a2+b2=c2．20. 如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线BD所在直线上的两点，且DE=BF，求证：四边形AECF是平行四边形．21. 实验中学八年级数学兴趣小组进行活动时，姚老师在黑板上给出了这样一道题目：设 A =333，B =222，C =111，试比较 A ，B ，C 的大小．同学们议论纷纷，共得出了三种答案：（1）A >B >C ；（2）B >A >C ；（3）C >A >B ．那么你认为哪种答案正确呢?请说出你的理由．22. 比较下列个组函数值的大小：sin19∘ 与 cos70∘．23. 已知在 △ABC 中，∠BAC =90∘，D ，E 在 BC 上，且 BD =DE =BC ．（1）设 AB =AC ，求证：tan ∠BAD ⋅tan ∠CAE =14；（2）设 AB ≠AC ，第（1）题中结论是否仍成立?如成立，请证明；如不成立，请说明理由．24. 矩形 ABCD 中，AB =5，BC =4，E 为 BC 边上一点，将 △AEB 沿 AE 翻折得 △AEBʹ，点 Bʹ恰好落在 CD 边上，求 ∠BAE 的余切值．答案1. B【解析】在Rt△ABC中，∠C=90∘，所以tan A=BCAC=2．2. B3. A【解析】在Rt△ABC中，sin A=BCAB =35，∴cos B=BCAB =35．4. B5. B6. A【解析】本题考查了锐角三角函数与勾股定理，如图，可构造格点直角三角形ABD，由勾股定理可得AD=25，BD=5，AB=5，∴sin A=BDAB =55．7. C8. D9. C10. A【解析】如图所示，连接BD，由网格的特点可得BD⊥AC，AD=22+22=22，BD=12+12=2，在Rt△ABD中，tan A=BDAD =222=12．11. D12. C【解析】（1）sin(―30∘)=―sin30∘=―12，故此结论正确；（2）cos2x=cos(x+x)=cos x cos x―sin x sin x=cos2x―sin2x，故此结论正确；（3）cos(x―y)=cos[x+(―y)]=cos x cos(―y)―sin x sin(―y)=cos x cos y+sin x sin y,故此结论正确；（4）cos15∘=cos(45∘―30∘)=cos45∘cos30∘+sin45∘sin30∘=22×32+22×12=64+24=6+24,故此结论错误所以正确的结论有3个．13. 51314. (0,―1)15. 3416. >【解析】方法1：如图1所示，连接BC，在AD上取一网格点G，在网格点处取点F，构建等腰直角三角形AFG，∵tan∠BAC=BCAC=1，tan∠EAD<1，∴∠BAC>∠EAD．方法2：如图2所示，在AD上取网格点H，在AE上取网格点N，连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，则S△ANH=2×2―12×1×2×2―12×1×1=12AH⋅NP，∴PN=35．在Rt△ANP中，sin∠NAP=PNAN =355=35，在Rt△ABC中，sin∠BAC=BCAB =222=22．∵22>35，∴∠BAC>∠DAE．17. 4或1418. tan A=2，cot B=2．19. ∵大正方形的面积为c2，一个直角三角形的面积为12ab，小正方形的面积为(b―a)2，∴c2=4×12ab+(b―a)2=2ab+b2―2ab+a2，即c2=a2+b2．20. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=CB，∴∠ADE=∠CBF，∵DE=BF，∴△ADE≌△CBF(SAS)，∴AE=CF，∠DEA=∠BFC，∵∠DEA+∠AEF=∠BFC+∠CFE=180∘，∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．21. （2）正确．理由：∵A =333=(2―1)―333=2333=(23)111=8111，B =222=(3―1)―222=3222=(32)111=9111，C =111=(5―1)―111=5111，而 9111>8111>5111，∴B >A >C ．22. 因为 cos70∘=cos (90∘―20∘)=sin20∘，而 sin19∘<sin20∘，所以 sin19∘<cos70∘．23. （1） tan ∠BAD =tan ∠CAE =12（2）仍成立，tan ∠BAD =12⋅ACAB ，tan ∠CAE =12⋅ABAC ．24. 2。

北师大九年级数学下册《1.1锐角三角函数》同步训练含参考答案

北师大九年级数学下册 1.1 锐角三角函数同步训练学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分，）1. 如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则A. B. C. D.2. 若为锐角，且，则A.小于B.大于C.大于且小于D.大于3. 若，则下列说法不正确的是（）A.随的增大而增大B.随的增大而减小C.随的增大而增大D.、、的值都随的增大而增大4. 如果在中，，，，那么下列各式正确的是（）A. B.C. D.5. 若把一个直角三角形的两条直角边都扩大倍，（是大于的自然数），则两个锐角的三角函数值（）A.都变大为原来的倍B.都缩小为原来的C.不变化D.各个函数值变化不一致6. 比较，，的大小关系是（）A. B.C. D.7. 如图，在中，，，的平分线与的外角平分线交于，连接，则的值是（）A. B. C. D.8. 如图，在中，点在上，，垂足为，若，，则等于（）A. B. C. D.二、填空题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分，）9. ________ （填大小关系）10. 在中，，如果，，那么________．11. 在中，，当已知和时，求，则、、关系式是________．12. 已知在中，为直角，，，________．13. 已知为锐角，且，那么的范围是________．14. 在中，，、、分别是、、的对边，下列式子：① ，② ，③ ，④，必定成立的是________．15. 如图，是的边上一点，且点坐标为，则________________．16. 如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是________．三、解答题（本题共计 8 小题，每题 9 分，共计72分，）17. 在中，，若，写出的四个三角函数的值．18. 分别求出图中、的正弦值、余弦值和正切值．19. 在中，，、、分别是、、的对边．请利用三角函数的定义探讨能否用边的式子表示？请写出你必要的理由．20. 如图，点在第一象限，与轴所夹的锐角为，，求的值．21. 在中，，，，求的值．22. 如图，在中，，是直角边上一点，于点，，，求的值．23. 如图，在中，，，．求的长；利用此图形求的值（精确到，参考数据：，，）24. 如图，在四边形中，平分，，，求的值．答案1. D2. D3. D4. A5. C6. D7. D8. D9.10.11.12.13.②15.16.17. 解：，，由勾股定理，得，，，．18. 解：如图，，，，，，，．如图，，，，，，，．如图，，，，，，，．19. 解：∵ ，，∴，即．20. 解：过作轴于．∴，∵，∴，∵ ，∴ ，∴ ，∴．21. 解：在中，，，，∵，∴，则．22. 解：∵ ，，∴ ，又∵ ，∴ ，∴，设，，由勾股定理得：，在中，．23. 解：过作，交的延长线于点，如图所示：在中，，∵ ，∴ ，∴，，在中，，∴ ，∴；在边上取一点，使得，连接，如图所示：∵ ，∴ ，．24. 解：∵ 平分，∴ ．又∵ ，∴ ．∴，在中，∵，∴．。

北师大版数学九年级下《1.1锐角三角函数》同步练习含答案

第一章直角三角形的边角关系博士寄语亲爱的同学，前面我们已经探索过直角三角形的边与边之间的关系、角与角之间的关系，并利用它们之间的这种关系解决了有关直角三角形的实际问题，但是在生话中有许多关于直角三角形的应用问题，仅仅用前面学到的知识来解决是不够的.因此，学习本章知识，将会更好地帮助你了解、掌握直角三角形的边角关系，并利用它们更好地认识、观察社会．为更有效地学好本章内容，博士还想告诉你：本章学习目标1.通过生活中的实例认识锐角三角函数(sin A 、cos A 、tan A )，探索30︒，45︒，60︒角的三角函数值，并会计算．2.会用计算器由已知的锐角求它的三角函数值，或由已知的三角函数值求它对应的锐角．3.会运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题，体会数形之间的联系，会将实际问题抽象为数学问题并加以解决．本章重点难点本章重点：1.锐角三角函数的概念和直角三角形的解法.2.会利用计算器求所给出锐角的三角函数值及由已知的三角函数值求它对应的锐角；特别应牢记30︒，45︒，60︒角的三角函数值.3.适当地选择锐角三角函数解决实际问题.本章难点：如何理解锐角三角函数的概念，运用三角函数解决相关的实际问题，养成运用数学知识的思想意识.本章学习建议解直角三角彤达一章的学习关键是锐角三角函数的概念，只有正确理解锐角三角函数的概念，才能正确理解直角三角形中边、角之间的关系，并利用它们的这些关系解直角三角形．因此学习本章应注意以下几点：1.数形结合的思想．通过本章的学习，会使你进一步体会数形结合这一重要数学思想方法．2.解直角三角形的知识有较多的实际应用价值，应注意解直角三角形在实际问题中的应用.3.将直角三角形的判定、性质、作图与直角三角形中边、角之间的数量关系统一起来，才能对直角三角形的概念有较为完整的认识，因此应当循序渐进.4.树立数学来源于生活，又为实际生活服务的思想意识.1.锐角三角函数学习目标1.通过对生活中实例的分析，经历探索直角三角形中边角关系的过程，初步掌握锐角三角函数正切的意义；2.在具体情境中体会正切值与倾斜程度（或坡度）的关系，能够运用tan A 表示直角三角形中两边的比：3.经历具体实例的抽象概括过程，进一步发展抽象思维能力.第一课时同步练习1.如图，在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，12AC =，13AB =，则tan B 等于_______.C BA2.已知Rt ABC △中，90C ∠=︒，4AC =，1tan 2A =，则BC 的长是_______. 3.河堤横断面如图所示，堤高6BC =米，迎水坡AB的坡比为AB 的长为（）A.12米B.米C.D.米4.如图，在等腰ABC △中，25AB AC ==，14BC =，求tan B.观察与思考5.小明从黄山百步云梯脚下的点A 约走了1000m 后，到达山顶的点B .已知山顶B 到山脚下的垂直距离约是600m ，求山坡的坡度.6.某建筑物的楼顶是“人”字型，并铺上红瓦装饰.现知道楼顶的坡度超过0.5时，瓦片会滑落下来.请你根据图中数据说明这个楼顶铺设的瓦片是否会搬落面来.走进生活7.如图，某公园人口处原有点级台阶，每级台阶高为18cm ，宽为30cm .为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度1:5i =，求AC 的长度.第二课时学习目标1.在了解正切的概念的基础上，进一步探索和掌握正弦和余弦的意义，并能够举例说明；2.在具体情境中体会正弦值、余弦值与倾斜程度的关系，能够运用sin A 、cos A 表示直角三角形中两边的比；3.能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算.同步练习1.在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，则sin A 等于（） A.43 B.34 C.35D.45 2.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos α的值是（）A.12D.1 3.如图，为了测量河两岸A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向点C 处测得AC a =，ACB α∠=，那么AB 等于（）A.sin a α⋅B.tan a α⋅C.cos a α⋅D.tan a α4.如图，梯子（长度不变）与地面所成的角为α，下面关于α的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是_______.（只填序号）①sin α越大，梯子越陡②cos α越大，梯子越陡③tan α越大，梯子越陡. α5.在ABC △中，4AB AC ==，2BC =，则sin B =_______.6.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5cos 13B =，10BC =，求AB 和sin A.拓展与延伸7.如图，在平行四边形ABCD 中，AB a =，BC b =，ABC β∠=，试用a ，b ，β表示平行四边形ABCD 的面积.βDCB A走进生活8.如图，沿AC 方向开山修一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E 同时施工，从AC 上的一点B 处取127ABD ∠=︒，沿BD 方向前进，取37BDE ∠=︒，测得520m BD =，并且AC 、BD 和DE 在同一平面内.问：施工点E 离D 多远正好能使A 、C 、E 成一直线？（结果保留整数；参考数据：sin 370.60≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈）答案第一课时同步练习 1.1252.23.A4.247观察与思考 5.346.瓦片不会滑落下来，说明过程略. 走进生活7.作BD AC ⊥于D ，54cm BD = 270cm CD =∴，210cm AC =∴.第二课时同步练习1.D2.C3.B4.①③6.26AB =，5sin 13A = 拓展与延伸7.sin ABCD S ab β=平行四边形走进生活8.若A 、C 、E 共线，则90E ∠=︒，由cos ED D BD=，得()416m ED ≈.。

九年级数学下册第一章求锐角的三角函数值课时作业(新版)北师大版

小专题(一) 求锐角的三角函数值求锐角三角函数值的方法很多,且方法灵活,是中考中常见的题型,可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法.现将求锐角三角函数值的常用方法总结如下:①直接根据定义求三角函数值,首先求出相应边的长度,然后代入三角函数公式计算即可;②若已知两边的比值或一个三角函数值,而不能直接求出对应边的长,则可采用设元的方法求解;③利用互余两角的三角函数关系式,改求其余角的三角函数值;④当直接用三角函数定义求某锐角的三角函数值较为困难时,可通过相等角进行转换求解.类型1 运用定义求三角函数值1.在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的高线,已知∠ACD 的正弦值是23,则AAAA的值是 (D )A.25B.35C.√52D.232.如图,在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,则下列线段的比等于sin A 的是 (A )A.AAAA B.AAAA C.AA AAD.AAAA3.一个等腰三角形的腰是10,底边是12,求这个三角形顶角的正弦值、余弦值和正切值. 解:设三角形顶角为∠A ,底角为∠B ,∠C.则有AB=AC=10,BC=12,作AD ⊥BC 于点D ,作CE ⊥AB 于点E.∵AB=AC ,AD ⊥BC ,∴BD=CD=6.在Rt △ABD 中,AD=√AA 2-AA 2=√102-62=8,又∵S △ABC =12AB ·CE=12BC ·AD ,∴CE=9.6.在Rt△ACE中,AE=√AA2-AA2=√10-9.6=2.8,∴sin ∠BAC=AAAA =9.610=0.96,cos ∠BAC=AAAA=2.810=0.28,tan ∠BAC=AAAA=9.62.8=247.类型2巧设参数求三角函数值4.若a,b,c是△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,且a∶b∶c=1∶√2∶√3,则cos B的值为(B)A.√63B.√33C.√22D.√245.如图,在△ABC中,∠B=90°,C是BD上一点,DC=10,∠ADB=45°,∠ACB=60°,求AB的长.解:设AB=x,在△ABD中,∵∠ADB=45°,∠B=90°,∴AB=BD=x.∵∠B=90°,∠ACB=60°,∴BC=Atan60°=√33x.又∵BD=BC+DC,∴x=√33x+10,∴x=15+5√3,∴AB的长为15+5√3.6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点E,EF⊥AB于点F,F恰好是AB的一个三等分点(AF>BF).(1)求证:AC=AF;(2)求tan ∠CAE的值.解:(1)∵∠C=90°,∴EC⊥AC.∵AE平分∠BAC,EF⊥AB,∴EC=EF.在Rt△ACE和Rt△AFE中,EC=EF,AE=AE,∴Rt△ACE≌Rt△AFE,∴AC=AF.(2)∵F是AB的一个三等分点(AF>BF),∴设BF=x,AF=2x,则AC=2x,AB=3x.在Rt△ACB中,由勾股定理得BC=√(3A)2-(2A)2=√5x.∵tan B=AAAA =√5A=√5,∴在Rt△EFB中,EF=BF·tan B=5,∴CE=EF=√5,∴tan ∠CAE=AAAA=√55.类型3利用互余的两角的三角函数关系求锐角三角函数值7.在△ABC中,∠C=90°,则下列式子成立的是(A)A.sin A=cos BB.sin A·tan A=cos AC.sin A·cos B=1D.sin A=sin (90°-A)8.在△ABC中,∠A,∠B为锐角,且有sin A=cos B,则这个三角形是(B)A.等腰三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形类型4等角代换求三角函数值9.在△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,那么c等于(B)A.a·cos A+b·sin BB.a·sin A+b·sin BC.Asin A +Asin AD.Acos A+Asin A10.(咸宁中考)如图,已知直线l1∥l2∥l3∥l4,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,则sin α=√55.11.请你画出一个以BC为底边的等腰△ABC,使底边上的高AD=BC.(1)求tan ∠ABC和sin ∠ABC的值;(2)在你所画的等腰△ABC中,假设底边BC=5,求腰上的高BE.解:图略.(1)tan ∠ABC=2,sin ∠ABC=2√55.(2)BE=2√5.类型5构造法求三角函数值12.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sin α的值是(C)A.35B.34C.45D.4313.如图,在△ABC中,∠B=135°,tan A=25,BC=6√2.(1)求AC的长;(2)求△ABC 的面积.解:(1)过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D.∵在△ABC 中,∠ABC=135°, ∴∠CBD=45°,∴BD=CD. ∵BC=6√2,∴BD=CD=6. ∵tan A=25,∴AD=AAtan A =15,∴AB=AD-BD=9.∴AC=√152+62=3√29.(2)S △ABC =12·AB ·CD=12×9×6=27.14.学习过三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的,可以在等腰三角形中建立边角之间的联系,我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图,在△ABC 中,AB=AC ,顶角A 的正对记作sad A ,这时sad A=底边腰=AAAA.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述对角的正对的定义,解下列问题: (1)sad 60°的值为 (B )A.12B.1C.√32D.2(2)对于0°<∠A<180°,∠A 的正对值sad A 的取值范围是 0<sad A<2 . (3)已知sin α=35,其中α为锐角,试求sad α的值. 解:(3)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,sin A=35.在AB 上取点D ,使AD=AC ,作DH ⊥AC ,H 为垂足,令BC=3k ,AB=5k ,则AD=AC=√(5A )2-(3A )2=4k ,又∵在△ADH 中,∠AHD=90°,sin A=35.∴DH=AD ·sin A=125k ,AH=√AA 2-AA 2=165k.则在△CDH 中,CH=AC-AH=45k ,CD=√AA 2+AA 2=4√105k.于是在△ACD 中,AD=AC=4k ,CD=4√105k.由正对的定义可得,sad A=AA AA=√105,即sad α=√105.。

1.1 锐角三角函数课时练习(含答案解析)

北师大版数学九年级下册1.1锐角三角函数课时练习一、单选题（共15题）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是（）A．13B．3 C．24D．22答案：D解析：解答：设BC=x，则AB=3x，由勾股定理得，AC=22x，tanB=2222AC xBC x==故选：D．分析: 设BC=x，则AB=3x，由勾股定理求出AC，根据三角函数的概念求出tanB。

2. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA的值是（）A．34B．43C．35D．45答案：D解析：解答: ∵AB=5，BC=3，∴AC=4，∴cosA=45ACAB=故选D．分析: 根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可3. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B．255C．55D．12答案：D解析：解答:如图，由勾股定理，得AC=2，AB=22．tan∠B=12 ACAB=故选：D．分析: 根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案。

4. 如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A．BDBCB．BCABC．ADACD．CDAC答案：C解析：解答: ∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠α+∠BCD=∠ACD+∠BCD，∴∠α=∠ACD，∴cosα=cos∠ACD=BD BC DC BC AB AC==，只有选项C错误，符合题意．分析: 利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α=∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出答案．5. 已知sin6°=a，sin36°=b，则sin26°=（）A．a2 B．2a C．b2 D．b答案：A解析：解答: ∵sin6°=a，∴sin26°=a2．故选：A．分析: 根据一个数的平方的含义和求法，由sin6°=a，可得sin26°=a2，据此解答即可．6.在Rt△ABC中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A的各三角函数值（）A．都扩大两倍B．都缩小两倍C．不变D．都扩大四倍答案：C解析：解答: ∵各边的长度都扩大两倍，∴扩大后的三角形与Rt△ABC相似，∴锐角A的各三角函数值都不变．故选C．分析: 根据三边对应成比例，两三角形相似，可知扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．7.△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（）A．b cosB=c B．c sinA=a C．a tanA=b D．tanB＝b c答案：B解析：解答：∵a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，∴sinA=ac即csinA=a，∴B选项正确．故选B．分析: 由于a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠C=90°，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项．8.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是（）A．b=a tanB B．a=c cosB C．c＝asinAD．a=b cosA答案：D解析：解答: ∵∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，∴A.tanB=ba，则b=a tanB，故本选项正确，B.cosB=ac，故本选项正确，C.sinA=ac，故本选项正确，D.cosA=bc，故本选项错误，故选D．分析: 根据三角函数的定义就可以解决.9. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cosA=（）A．513B．512C．1213D．125答案：C解析：解答: ∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，∴cosA=1213 ACAB故选C．分析: 直接根据余弦的定义即可得到答案．10. 如果∠A为锐角，且sinA=0.6，那么（）A．0°＜A≤30° B．30°＜A＜45° C．45°＜A＜60° D．60°＜A≤90°答案：B解析：解答: ∵sin30°=12=0.5，sin45°=22≈0.707，sinA=0.6，且sinα随α的增大而增大，∴30°＜A＜45°．故选B．分析:此题考查了正弦函数的增减性与特殊角的三角函数值．此题难度不大，注意掌握sinα随α的增大而增大.11. 在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（）A.扩大2倍B．缩小2倍C．扩大4倍D．没有变化答案：D解析：解答: 根据锐角三角函数的概念，知若各边长都扩大2倍，则sinA的值不变．故选D．分析: 理解锐角三角函数的概念：锐角A的各个三角函数值等于直角三角形的边的比值．12.如图，梯子跟地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A．sinA的值越小，梯子越陡B．cosA的值越小，梯子越陡C．tanA的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与上A的函数值无关答案：B解析：解答: sinA的值越小，∠A越小，梯子越平缓；cosA的值越小，∠A就越大，梯子越陡；tanA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，所以B正确．故选B．分析: 根据锐角三角函数的增减性即可得到答案13. sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（）A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70°C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70°答案：D解析：解答：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1．又cos70°=sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°=sin20°．故选D．分析: 首先根据锐角三角函数的概念，知：sin70°和cos70°都小于1，tan70°大于1，故tan70°最大；只需比较sin70°和cos70°，又cos70°=sin20°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较14. 随着锐角α的增大，cosα的值（）A．增大B．减小C．不变D．增大还是减小不确定答案：B解析：解答：随着锐角α的增大，cosα的值减小．故选B．分析: 当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大而减小，依此求解即可．15. 当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是（）A．正弦和余弦B．正弦和正切C．余弦和正切D．正弦、余弦和正切答案：B解析：解答：当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是正弦和正切．故选B．分析: 当角度在0°到90°之间变化时，正弦和正切函数值随着角度的增大而增大．二、填空题（共5题）1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7，则sinB=____________答案：7 13解析：解答: ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7，∴sinB=ACAB=713故答案是：7 13分析:根据锐角三角函数定义直接进行解答。

北师大版九年级数学下册1.1 第1课时正切与坡度(含答案)

1
B． C．
D．
A．
6.如图，△ ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则 tanA=______．
7.在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，若 AC=5，tanA=2，则 BC= ． 8.如图，已知梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，且 AD⊥BD，若 CD=1，BC=3，那么∠A 的正切值为．
1.1 锐角三角函数
第 1 课时正切与坡度
1.在△ ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则 tanA 的值是（） A． B． C． D．
2.如图，在 3×3 的正方形的网格中标出了∠1，则 tan∠1 的值为（）
A．
B．
C． D．
3.如图，河坝横断面迎水坡 AB 的坡比1: 3 （坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽°，BC=8cm，tanA= ，求 AC 的长．
10.如图,某大楼的顶部树有一块广告牌 CD,小李在山坡的坡脚 A 处测得广告牌底部 D 的仰角为 600．沿坡面 AB 向上走到 B 处测得广告牌顶部 C 的仰角为 450，已知山坡 AB 的坡度 i 1 : 3 ，
之比），坝高 BC=3m，则坡面 AB 的长度是（）
A．9m B．6m C． 6 3 m D． 3 3 m
4.如图是拦水坝的横断面，斜坡 AB 的水平宽度为 12 米，斜面坡度为 1∶2，则斜坡 AB 的长为（） A. 4 3 米 B. 6 5 米 C.12 5 米 D．24 米
5.如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标是（2，3），则 tanα 的值是（）
AB=10 米,AE=15 米．（ i 1: 3 是指坡面的铅直高度 BH 与水平宽度 AH 的比）（1）求点 B 距水平面 AE 的高度 BH；（2）求广告牌 CD 的高度．

(北师大版)九年级数学下册 (课时训练)1.1.1锐角三角函

第一章直角三角形边角关系1.1.1 锐角三角函数（一）1、如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗?2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.(结果精确到0.001)3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tan θ＝______.5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号)6、填空：⑴、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______.⑵、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______.⑶、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.7、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB的值.8、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值.9、如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于E,EC=1,tanB=, 求菱形的边长和四边形AECD的周长.10、已知:如图,斜坡AB的倾斜角a,且tanα=,现有一小E DB A C球从坡底A处以20cm/s 的速度向坡顶B处移动,则小球以多大的速度向上升高?11、探究:⑴、a克糖水中有b克糖(a>b>0),则糖的质量与糖水质量的比为_______; 若再添加c克糖(c>0),则糖的质量与糖水的质量的比为________.生活常识告诉我们: 添加的糖完全溶解后,糖水会更甜,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式: ____________.⑵、我们知道山坡的坡角越大,则坡越陡,联想到课本中的结论:tanA的值越大, 则坡越陡,我们会得到一个锐角逐渐变大时,它的正切值随着这个角的变化而变化的规律,请你写出这个规律:_____________.⑶、如图,在Rt△A BC中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延长BA、BC,使AE=CD=c, 直线CA、DE交于点F,请运用(2) 中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式.。

(含答案)九年级数学北师大版下册课时练第1章《锐角三角函数》(2)

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练第1单元直角三角形的边角关系锐角三角函数一、单选题1.如图，在Rt ABC 中，90C Ð=°，13AB =，12BC =，5AC =，则下列三角函数表示正确的是()A.12sin 13A =B.12cos 13A =C.5tan 12A =D.12tan 5B =2.在Rt ABC △中，90C Ð=°，若2AC BC =，则sin A 的值是()A.12B.2C.5D.23.已知a ，b ，c 是ABC △的A Ð，B Ð，C Ð的对边，且::a b c =cos B 的值为()C.22D.244.如图，在平面直角坐标系中，直线OA 过点(2)1，，则tan a 的值是()A.2B.125.一人乘雪橇沿坡度为1:的斜坡滑下72m ，则此人下降的高度为()A.72mB.36mC.mD.18m6.在Rt ABC △中，90C Ð=°，9AC =，3sin 5B =，则AB 等于()A.15B.12C.9D.67.如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200m 的P ，Q 两点分别测定对岸一棵树T 的位置，T 在P 的正北方向，且T 在Q 的北偏西70°方向，则河宽（PT 的长）可以表示为()A.200tan 70°mB.200tan 70°mC.200sin 70°mD.200sin 70°m8.如图，ABC △的顶点在正方形网格的格点上，则tan A 的值为()A.12B.2C.2D.9.如图，在ACB △中，90C Ð=°，1sin 2B =，若6AC =，则BC 的长为()A.8B.12C.D.10.如图，Rt ABC △中，90C Ð=°，点D 在AC 上，DBC A Ð=Ð，若4AC =，4cos 5A =，则BD 的长度为()A.94B.125C.154D.4二、填空题11.小明沿着坡度i 为的坡路向上走了50m ，则小明沿垂直方向升高了________m .12.如图，在ABC △中，90ACB Ð=°，点D 为AB 边的中点，连接CD ，若4BC =，3CD =，则cos DCB Ð的值为_____________.13.如图，已知在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，1AC =，2AB =，则sin B 的值是_____________.14.如图，在ABC 中，6AB AC ==，2sin 3B =，则ABC 的面积=___________.15.如图，在四边形ABCD 中，90B Ð=°，2AB =，8CD =，AC CD ^.若1sin 3ACB Ð=，则tan D =______________.三、解答题16.在ABC 中，90C Ð=°，10AB =，5BC =，求A Ð的正弦值、余弦值和正切值.17.如图，在ABC △中，90C Ð=°，tan A =ABC Ð的平分线BD 交AC 于点D ，CD =，求AB 的长.18.如图，在Rt ABC △中，90A Ð=°，作BC 的垂直平分线交AC 于点D ，延长AC 至点E ，使CE AB =.（1）若1AE =，求ABD △的周长；（2）若13AD BD =，求tan ABC Ð的值.19.如图，已知ABC △中，5AB BC ==，3tan 4ABC Ð=.(1)求边AC的长和cos C的值；(2)设边BC的垂直平分线与边AB，BC的交点分别为D，F，求DF的长.20.问题呈现如图①，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan CPNÐ的值.方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形.观察发现问题中CPNÐ不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN EC，则DNM CPNÐ=Ð，连接DM，那么CPNÐ就变换到Rt DMN中.问题解决（1）直接写出图①中tan CPNÐ的值：____________；（2）如图②，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos CPNÐ的值；思维拓展（3）如图③，AB BC=，延长CB到N，=，点M在AB上，且AM BC^，4AB BC使2Ð的BN BC=，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求CPN度数.参考答案1.A2.C3.B4.B5.C6.A7.B8.A9.C 10.C 11.2512.2313.1214.15.3416. 在ABC △中，90C Ð=°，10AB =，5BC =，AC \==.51sin 102BC A AB \===，533cos 102AC A AB ===，tan3BC A AC ===.17.在Rt ABC △中，90C Ð=°，tan A =30A \Ð=°.60ABC \Ð=°.BD 是ABC Ð的平分线，30CBD ABD \Ð=Ð=°.又CD = ，3tan 30CDBC °\==.在Rt ABC △中，90C Ð=°，30A Ð=°，6sin 30BCAB \=°=.18.（1）如图，设BC 的垂直平分线交BC 于点F ，BD CD \=.ABD C AB AD BD AB AD CD AB AC =++=++=+△.AB CE = ，1ABD C AC CE AE \=+==△，即ABD △的周长为1.（2）设AD x =，则3BD x =.BD CD = ，4AC AD CD AD BD x \=+=+=.在Rt ABD △中，AB ===，tanAC ABC AB \Ð===.19.(1)如图，过点A 作AE BC ^于点E ，则90AEB AEC Ð=Ð=°.在Rt ABE △中，3tan 4AE ABC BE Ð==，设3AE x =，则4BE x =.222AE BE AB += ，222(3)(4)5x x \+=，解得1x =.3AE \=，4BE =.541EC BC BE \=-=-=.AC \===，cosEC C AC ===(2)DF 垂直平分BC ，90BFD \Ð=°，1522BF BC ==.在Rt BFD △中，3tan 4DF ABC BF Ð==，335154428DF BF \==´=.20.（1）2（2）如图①，取格点B ，连接格点A ，B ，可得//AB MC ，连接BN ，CPN BAN \Ð=Ð.易知ABN △为直角三角形.在Rt ABN △中，AB BN ==AN =，cos cos 2AB CPN BAN AN \Ð=Ð===.（3）设BC 的长为单位1，构造如图②所示的网格图，取格点D ，连接格点A ，D ，可得//AD CM ，连接DN ，CPN DAN \Ð=Ð.易知ADN △为直角三角形.在Rt ADN △中，AD DN ==AN =，cos cos2AD CPN DAN AN \Ð=Ð===.45CPN \Ð=°.。

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4. 如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A．BDBCB．BCABC．ADACD．CDAC答案：C解析：解答: ∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠α+∠BCD=∠ACD+∠BCD，∴∠α=∠ACD，∴cosα=cos∠ACD=BD BC DC BC AB AC==，只有选项C错误，符合题意．分析: 利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α=∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出答案．5. 已知sin6°=a，sin36°=b，则sin26°=（）A．a2 B．2a C．b2 D．b答案：A解析：解答: ∵sin6°=a，∴sin26°=a2．故选：A．分析: 根据一个数的平方的含义和求法，由sin6°=a，可得sin26°=a2，据此解答即可．6.在Rt△ABC中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A的各三角函数值（）A．都扩大两倍B．都缩小两倍C．不变D．都扩大四倍答案：C解析：解答: ∵各边的长度都扩大两倍，∴扩大后的三角形与Rt△ABC相似，∴锐角A的各三角函数值都不变．故选C．分析: 根据三边对应成比例，两三角形相似，可知扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．7.△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（）A．b cosB=c B．c sinA=a C．a tanA=b D．tanB＝b c答案：B解析：解答：∵a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，∴sinA=ac即csinA=a，∴B选项正确．故选B．分析: 由于a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠C=90°，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项．8.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是（）A．b=a tanB B．a=c cosB C．c＝asinAD．a=b cosA答案：D解析：解答: ∵∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，∴A.tanB=ba，则b=a tanB，故本选项正确，B.cosB=ac，故本选项正确，C.sinA=ac，故本选项正确，D.cosA=bc，故本选项错误，故选D．分析: 根据三角函数的定义就可以解决.9. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cosA=（）A．513B．512C．1213D．125答案：C解析：解答: ∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，∴cosA=1213 ACAB故选C．分析: 直接根据余弦的定义即可得到答案．10. 如果∠A为锐角，且sinA=0.6，那么（）A．0°＜A≤30° B．30°＜A＜45° C．45°＜A＜60° D．60°＜A≤90°答案：B解析：解答: ∵sin30°=12=0.5，sin45°=22≈0.707，sinA=0.6，且sinα随α的增大而增大，∴30°＜A＜45°．故选B．分析:此题考查了正弦函数的增减性与特殊角的三角函数值．此题难度不大，注意掌握sinα随α的增大而增大.11. 在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（）A.扩大2倍B．缩小2倍C．扩大4倍D．没有变化答案：D解析：解答: 根据锐角三角函数的概念，知若各边长都扩大2倍，则sinA的值不变．故选D．分析: 理解锐角三角函数的概念：锐角A的各个三角函数值等于直角三角形的边的比值．12.如图，梯子跟地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A．sinA的值越小，梯子越陡B．cosA的值越小，梯子越陡C．tanA的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与上A的函数值无关答案：B解析：解答: sinA的值越小，∠A越小，梯子越平缓；cosA的值越小，∠A就越大，梯子越陡；tanA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，所以B正确．故选B．分析: 根据锐角三角函数的增减性即可得到答案13. sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（）A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70°C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70°答案：D解析：解答：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1．又cos70°=sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°=sin20°．故选D．分析: 首先根据锐角三角函数的概念，知：sin70°和cos70°都小于1，tan70°大于1，故tan70°最大；只需比较sin70°和cos70°，又cos70°=sin20°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较14. 随着锐角α的增大，cosα的值（）A．增大B．减小C．不变D．增大还是减小不确定答案：B解析：解答：随着锐角α的增大，cosα的值减小．故选B．分析: 当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大而减小，依此求解即可．15. 当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是（）A．正弦和余弦B．正弦和正切C．余弦和正切D．正弦、余弦和正切答案：B解析：解答：当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是正弦和正切．故选B．分析: 当角度在0°到90°之间变化时，正弦和正切函数值随着角度的增大而增大．二、填空题（共5题）1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7，则sinB=____________答案：7 13解析：解答: ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7，∴sinB=ACAB=713故答案是：7 13分析:根据锐角三角函数定义直接进行解答。

2. 如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan∠AOB=_______________.答案:1 2解析：解答: 过点A作AD⊥OB垂足为D，如图，在直角△ABD中，AD=1，OD=2，则tan∠AOB=ADOD=12故答案为：1 2分析：先在图中找出∠AOB所在的直角三角形，再根据三角函数的定义即可求出tan∠AOB的值3.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么cosA的值等于_________答案:4 5解析：解答: ∠C=90°，BC=3，AC=4，由勾股定理得，AB=5，cosA=45 ACAB=故答案为：4 5分析: 根据勾股定理求出斜边AB的长，根据余弦的概念求出cosA．4. 比较下列三角函数值的大小：sin40°___________sin50°答案：＜解析：解答：∵40°＜50°，∴sin40°＜sin50°．故答案为＜．分析: 根据当0＜α＜90°，sinα随α的增大而增大即可得到sin40°＜sin505. 比较下列三角函数值的大小：sin40°______cos40°（选填“＞”、“=”、“＜”）答案：＜解析：解答：∵cos40°=sin50°，正弦值随着角的增大而增大，又∵40°＜50°，∴sin40°＜cos40°分析: 首先根据正余弦的转换方法，得cos40°=sin50°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析．三、解答题（共5题）1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，求sinB的值答案：解答: ∵AB=2BC，∴AC=22(2)3BC BC BC-=∴sinB=3322 AC BCAB BC==故答案为3 2解析：分析: 利用勾股定理求出AC的长（用BC表示），然后根据正弦函数的定义求比值即可．2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，如果CD=3，BD=2．求cos∠A的值. 答案：解答：如图所示：∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°，∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠BCD=∠A，∵CD=3，BD=2，∴BC=13∴cosA=cos∠BCD=33131313DCBC==故答案为：313 13解析：分析：根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系得出cosA=cos∠BCD进而求出即可．3. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的正弦值答案：解答：AB2=32+12=10，BC2=22+12=5，AC=22+12=5，∴AC=CB，BC2+AC2=AB2，∴∠BCA=90°，∴∠ABC=45°，∴∠ABC的正弦值为2 2解析：分析: 此题主要考查了锐角三角函数，以及勾股定理逆定理，关键是掌握特殊角的三角函数4. Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，求cosB的值答案：4 5解析：解答：如图所示：∵∠C=90°，AB=10，BC=8，∴cosB=84105 BCAB==故答案为：4 5分析: 直接利用锐角三角函数关系得出cosB5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC：BC=3：4，求cosA的值答案：解答：如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC：BC=3：4，∴设AC=3x，BC=4x，故AB=5x，则cosA=3355 AC x AB x==故答案为：3 5解析：分析:根据题意设AC=3x，BC=4x，故AB=5x，进而利用锐角三角函数关系求出答案．。