线面相对位置

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线面平行的性质

利用向量关系判定线面平行时，需要注意向量的运算
• 在判断方向向量与法向量是否垂直时，需要计算向量的点积 • 在判断方向向量与法向量所成的点积是否为零时，需要计算向量的点积
利用空间几何性质判定线面平行
利用空间几何性质判定线面平行的方法有以下几种
• 判断直线与平面内的任意一条直线是否不相交 • 判断直线与平面内的任意一条直线是否平行
• 判断一条直线是否与一个平面平行，需要考虑直线与平面内的其他直线的关系 • 判断一条直线是否与一个平面平行，需要考虑直线与平面内的其他直线的关系
线面平行的几何表示
线面平行的几何表示方法有多种
• 利用角度关系表示线面平行，即直线与平面内的任意一条直线所成的同位角相等 • 利用向量关系表示线面平行，即直线的方向向量与平面的法向量垂直 • 利用空间几何性质表示线面平行，即直线与平面内的任意一条直线都不相交
• 在工程制图中，往往需要判断线与平面是否平行 • 在工程制图中，往往需要利用线面平行的性质进行绘图和计算
线面平行在立体几何中有广泛应用
• 在求解立体几何问题时，往往需要判断直线与平面是否平行 • 在求解立体几何问题时，往往需要利用线面平行的性质进行推理和计算
线面平行在解析几何中也有广泛应用
• 在求解解析几何问题时，往往需要判断直线与平面是否平行 • 在求解解析几何问题时，往往需要利用线面平行的性质进行推理和计算
线面平行解题技巧主要包括：
• 熟练掌握线面平行的性质和判定方法 • 灵活运用线面平行的性质和判定方法解决问题 • 注意解题步骤，避免计算错误
线面平行相关习题精选与解答
线面平行相关习题精选包括：
• 判断直线与平面是否平行的题目 • 利用线面平行性质进行推理和计算的题目 • 求解线面平行问题的题目

点线面的关系

点线面的关系在几何学中，点、线和面构成了基本的几何要素，它们之间存在着紧密的关系。

点是最基本的元素，它是没有长度、宽度和高度的，只有位置。

线是由一系列相邻点组成的，它具有长度但没有宽度和高度。

面由若干条线段相交形成的封闭区域，它具有长度和宽度但没有高度。

点、线和面之间的关系可以通过以下几个方面来描述。

1. 点与线的关系点与线之间的关系比较简单。

一条线段由两个端点组成，而一个点可以是一条线段的一个端点。

点可以在线上或者线的延长线上，也可以不在线上。

点的位置相对于线的位置有多种可能：在线的中间、在线的一端或者在线的外部。

点和线之间的关系可以通过点是否在线上来判断。

2. 点与面的关系点和面之间的关系也比较简单。

点可以在面上、在面的边界上或者在面的外部。

如果一个点在面上，则称该点在该面内。

点和面之间的关系可以通过点是否在面上来判断。

3. 线与线的关系线与线之间的关系有多种情况。

两条线可以相交，也可以平行或重合。

线与线之间的关系可以通过它们的位置关系来描述：如果两条线没有任何交点，则它们平行；如果两条线有且仅有一个交点，则它们相交；如果两条线的所有点都重合，则它们重合。

4. 线与面的关系线和面之间的关系也有多种情况。

线可以位于面内、跨越面或者位于面的边界上。

当一条线既在面内又与面相交时，它被称为切线。

线和面之间的关系可以通过它们的位置关系来判断。

5. 面与面的关系面与面之间的关系也有多种情况。

两个面可以平行，也可以相交。

两个相交的面可以有共线的边，也可以没有共线的边。

两个面之间的关系可以通过它们的位置关系来描述。

综上所述，点、线和面之间存在着丰富的关系。

它们相互作用和相互影响，形成了几何学中复杂而有趣的结构。

通过研究点、线和面之间的关系，我们可以深入理解几何学的基本原理，并将其应用于实际问题的解决中。

几何学作为数学的一部分，对于我们认识和探索世界具有重要的意义。

因此，我们应该充分理解和运用点、线和面之间的关系，以拓宽我们的视野和思维方式。

工程制图课程案例-第5章-直线与平面及两平面相对位置

➢5. 1 平行问题
• 直线与平面平行 • 两平面平行
⒈ 直线与平面平行
A
B 若：AB∥CD
C
则：AB∥P
D
几何条件：
P
若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。有关线、面平行的作图问题有：
判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。
[例1] 试判断直线AB是否平行于定平面
g f
f g
结论：直线AB不平行于定平面
[例2] 过M点作直线MN平行于平面ABC。
b
d
n
c m
a
●
X
b
d
n
a
●
m
c
有无数解
[例3] 过M点作直线MN平行于V面和平面 ABC。
b
正平线
d
c m
n
a
●
X
c
a
d
m●
n
b
唯一解
[例4] 试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面
的一切直线。
n
V C
A
k a
e
c b
d
E
X
O
B
D
a
kd
ec
b
H
n
定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属
于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直
于属于该平面的正平线的正面投影。
n
V
f
A
C
E
D
a
B Xd
a d H
c b
f c b

三视图投影画法

三、点的投影特性和坐标
a
点A的水平投影
X
Z V a A o a H Y a W
a 点A的正面投影 a 点A的侧面投影
空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。
返回本章目录
1、投影面的展开
不动
Z
Z A
向右翻
V
a ax a
az
O
a ay
W X
V a
YW
X
o a H
a W
ay
YH
H
Y
向下翻
注意：OY轴分成OYH和OYW，其实还是一个轴。
返回本章目录
2、点的投影特性和坐标:
Z
Z V
a
X
az
O
a
ay
YW
X
a
A
az a
O
W
ax
ax
a
ay
YH
a
H
ay
Y
（1） aa⊥OX轴
aa⊥OZ轴
即：点的投影到投影轴的距离等于点的坐标。
返回本章目录
即：点的投影连线垂直于相应的投影轴
3.综合起来想整体
在看懂每部分基本体的基础上，进一步分析它们之间的组合方式和相对位置关系，从而想象出整个组合体的形状。
返回本章目录
4.线面分析攻难点
一般情况下，形体清晰的形体，用上述形体分析方法看图就可以解决。但对于一些较复杂的形体，特别是由切割体组成的形体，单用形体分析法还不够，需采用线面分析法。
二、三投影面体系
1、投影面
◆正立投影面（简称正面或V面） ◆水平投影面（简称水平面或H面） ◆侧立投影面（简称侧面或W面）

线面分析法识图

2、从划分清晰的水平面图上1、2、3、、4：水平面。分为H面反映实形的矩形和梯形。 2、正垂面。在H、W面反映类似梯形。 3、5、侧垂面。在H、V面反映类似梯形和平行四边形
5
Z1
1
补充：从1、2、3、4、5、6六个面不能形成完整立体，还要从外部各表面积聚的线来分，这样可再找到7－11表面。
进一步的线、面分析
①铅垂面另二个面投影
②正垂面另二面投影
通过上述线面分析，确定视图中各线和平面的含义，从而想象出由这些线面围成的物体的真实形状
四.组合体投影图的识读（P90）
读图和画图是相反的思维过程。必须通过大量的绘图和读图实践，才能掌握。识读时注意：三面投影图必须相互对照识读，读图最基本的方法：形体分析法、线面分析法各种方法的应用场所：形体分析法一般用于组合规则、叠加综合类组合体；线面分析法一般用于斜面多、组合不规则的切割类组合体。（一）形体分析法：
作业分析：
1、从形状特征明显的侧面开始，对照三面投影图可读出：形状为台阶形棱柱，但中间有三棱柱（正面反映）
2、综合一起可确认为：L型棱柱前面叠加三棱柱而组合形成。轴测图如下：
3、由分析的轴测图，可补出各个面漏线
最初形状删除中间部分放入三棱柱
进一步的线、面分析
①铅垂面另二个面投影
②正垂面另二面投影
通过上述线面分析，确定视图中各线和平面的含义，从而想象出由这些线面围成的物体的真实形状
在大致了解组合体投影的基础上，假设将投影图形分解为若干组成部分，读出各部分所代表的空间形状及相对位置，最后由位置综合想象出整体形状。
例：识读台身的投影图（如右图）分析时，可配合轴测图表达各个部分形状。识读步骤： 1、从反映位置清晰的正面投影图着手，将图形分解成若干部分，如图中的1（基础）、2（前墙）、3（后墙）三个部分 2

3.2.1特殊位置的线与面、面与面相交

直线、平面的相对关系特殊位置的线与面、面与面相交掌握线面相交求交点的方法；掌握面面相交求交线的方法；掌握可见性判别的方法。

目的和要求特殊位置的线与面、面与面相交Ø 直线与平面相交于一点,该点是直线与平面的共有点；Ø平面与平面相交于一直线,它是两平面的共有线；Ø当两个相交的几何元素中，其中一个的投影具有积聚性, 求交点交线时,可从积聚性投影入手，利用积聚性投影直接作图。

特殊位置的线与面、面与面相交1. 一般位置直线与特殊位置平面相交b’ba’acc’ m’mn n’VHP H PA BC acb kNKMkk’特殊位置的线与面、面与面相交1. 一般位置直线与特殊位置平面相交VHP H PA BCacb kN KMb’ba’acc’m’mn’kk’n特殊位置的线与面、面与面相交2. 特殊位置直线与一般位置平面相交aba ’(b ’)DEFdefd’e ’f’ABKk(k ’)特殊位置的线与面、面与面相交c d′c′e′eda′b′a(b) (k) k′2. 特殊位置直线与一般位置平面相交特殊位置的线与面、面与面相交3. 一般位置平面与特殊位置平面相交nlm m’l’n’ba cc’a’b’f k f ’ k’VHMmnlPB C acbP H kf FK NL特殊位置的线与面、面与面相交3. 一般位置平面与特殊位置平面相交VHMmnlB C a ck f F KNL b’ba c c’a’n'fk k l’b n lmm’anf ’k’特殊位置的线与面、面与面相交4. 特殊位置平面与特殊位置平面相交a’c’b’a bcp n’m’m(n)课程小结1. 特殊位置的直线与平面、平面与平面相交，求交点交线并判别可见性；2. 求交点交线时,可从积聚性投影入手，利用积聚性投影直接作图。

第4次课线面相对位置(相交、垂直问题)

（二）一般位置平面与特殊位置平面相交两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。
要讨论的问题：
① 求两平面的交线方法：确定两平面的两个共有点。 ② 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。
[例4] 求两平面的交线 MN并判别可见性。
e f
为什么?
e
f
[例题10] 试过定点A作直线与已知直线EF正交。
分析过已知点A作平面垂直于已知直线EF，并交于点K，连接AK，AK即为所求。
A
E
K F
作图
2
k
2
f
1
PV e
1
a
e
2
k
2
a
f 1
1
本次作业
1. P16：2-38、39、40、41、42、43; 2. P17：2-46、47、48。
交线是直线交线是直线去线面相交去面面相交特殊位置线面相交其交点的投影可利用直线或平面的积聚性投影直接求出当直线为一般位置平面的某个投影具有积聚性时交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点另一个投影可在直线的另一个投影上找到
第二章点、直线、平面和立体的投影
§2-1 投影法的基本知识 § 2-2 点的投影 § 2-3 直线的投影 § 2-4 平面的投影 § 2-5 直线、平面的相对位置
若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行
直线与平面相交：只有一个交点
二、相交问题
平面与平面相交：交线是直线
直线与平面、平面与平面不平行就相交。直线与平面的交点是直线与平面的共有点；两平面的交线是两个平面的共有线。因此，线面求交点、面面求交线实质上是求共有点、共有线的投影。（一）特殊位置线面相交（二）一般位置平面与特殊位置平面相交（三）一般位置直线与一般位置平面相交

机械制图-点线面关系

14
例:求一般位置直线AB和迹线平面Q的交点如图所示，作图过程与前述完全一样。
15
3. 直线与平面垂直
直线垂直（包括交错垂直）于平面上的两条相交直线，则该直线垂直于平面。如图，直线AB垂直于平面P上的相交直线L1、L2 （或交错垂直于直线l1、l2）,则AB垂直于P。反之，若直线垂直于平面，则直线必垂直于该平面上的所有直线。
38
三. 综合举例
39
常见综合几何问题有距离、角度的度量和轨迹作图等。距离的度量有一般位置直线的实长（两点之距）、点线、线线、两平行平面之间的距离等。角度的度量有直线、平面对投影面的倾角，两直线（相交或交错）的夹角，线面、面面夹角等。
40
轨迹作图可使许多几何问题迎刃而解。部分常见轨迹有：
分析：由于铅垂线EF的水平投影积聚成一点，利用其积聚性，它与平面的交点K的水平投影可直接得到，然后就可求得其他投影。可见性判别：求出交点后，为了使图形清晰，还需在线、面投影的重叠部分判别其可见性，并把被平面图形遮住的部分画成虚线。 66
11
3) 线、面均是一般位置例直线AB与三角形DEF均为一般位置，求AB与三角形CDE的交点K，并判别可见性。
44
拟定作图方法
根据以上分析，作图方法可拟定为：（1）过点D作三角形ABC的垂线，垂足M；（2）延长DM到F，并取DM=FM；（3）连接EF，作出EF与三角形ABC的交点即所求点G。
45
具体作图
如图所示，采用一次辅投影将三角形ABC 转化为投影面的垂直面，在一次辅投影中完成上述作图步骤，求作出点G的一次辅投影g1。返回求作g、 g′，应注意利用点G 在EF上且df//X1。如果不用辅投影，采用直接作垂线、求垂足，再求EF与三角形ABC的交点G，则作图较繁。

工程制图-5-点线面相对位置讲解学习

【例题1】求点K到直线AB的距离。
a′ m′
l′
△ZKL
k′
n′
b′
k
△ZKL
KL真长
b
m
l
a
nபைடு நூலகம்
作图步骤
1、过点K作直线AB 的垂面KM*KN；
2、求所作垂面与直线AB的交点L；
3、连接 KL ，用直角三角形法求KL的实长。
【例题2】已知直角三角形ABC的水平投影，及直角边AB的 V投影，试完成其正面投影。
d′
2′
d
1
n
e
2
c′ a m b
f
【例题4】过点M作直线，使其与△ABC平行，且与直线EF 相交。
a′
m′
f′
2′
e′ n′ 1′
c′
2
m
a
作图步骤
b′
1、过点M作平面MⅠⅡ平
行于已知平面
ABC；
2、求平面M
b ⅠⅡ与已知直
线EF的交点N；
3、连接MN
1 n
e
f
c
【例题5】过点K作直线KL与直线MN垂直，并与△ABC平行。
△ZB
b
D
【例题8】已知等腰△ＤＥＦ的顶点Ｄ和一腰DE在直线DG 上，另一腰ＤＦ∥△ＡＢＣ，且点Ｆ在ＭＮ上，试完成△ＤＥＦ的两面投影。
n′
b′
1′
作图步骤：
f′
1、过D作平面D12
c′
2′
m′
d′
e′
2、求D12与MN交点F g′ 3、求DF的实长
a
Q
B
C M KF
N
E
e
A
可见性判别方法

机械制图平面的投影及相对位置

H
c a
投影特性：
b
1. abc 积聚为一条线，与OX、 OZ的夹角反映α、角；
2.abc、abc为 ABC的类似形。
三峡大学
6
侧垂面
V
S B
b
SW
b
W a
b c β c
α a
c
C
a
A
H
b c
投影特性：
a
1、 abc积聚为一条线，与OYW 、 OZ 的夹角反映α、β角；
2 、 abc、 abc为 ABC的类似形。
1.空间及投影分析平面ABC与DEF都为正垂
面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线。
2.作图
① 求交线 ② 判别可见性（H面）从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。
三峡大学
40
（2）. 其中一平面为特殊平面
V
b n c H
m B
a
N
P
E
M
C
F
A
H
三峡大学
三峡大学
21
例3：作出三角形ABC平面内三角形DEF的水平投影。
b’ 1’
e’
d’
2’
a’
f’
a 2
d f
e
b1
求线先找两已知点，求点先找已知线。
c’
c
三峡大学
22
四、相互垂直的两直线的投影特性
⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。
⒉ 两直线中有一条平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。
三峡大学
17
例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。

正投影与三视图正确地分析和判断空间中的点线面的位置

2、三视图的形成将物体放在三面投影体系内，分别向三个投影面投射，V 面保持不动，H面向下绕OX轴旋转90˚，W面向右绕OZ 轴旋转90˚。得到物体的三视图：主视图（V面上）、俯视图（H面上）、左视图（W面上），如图所示。
图2-3 三视图的形成
三视图画图要求： 1、投影面边框及投影轴不画。 2、三个视图相对位置不能变动。 3、三个视图名称不必标。
2
2
正投影的基本投影特性
2.2 三视图的基本原理视图：据制图标准规定，用正投影法所绘制的物体图形。 1、三投影面体系
一般只用一个方向的投影来表达形体是不确定的，通常须将形体向几个方向投影，才能完整清晰地表达出形体的形状和结构。
设立三个互相垂直的平面，叫做三投影面。这三个平面将空间分为八个部分，每一部分叫做一个分角，分别称为Ⅰ 分角、Ⅱ分角…… Ⅷ分角，如图所示。我们把这个体系叫三投影面体系，国家标准《机械制图》(GB4458.1–84)规定“采用第一角投影法”
三视图配置
3、三视图的投影关系（1）每个视图所反映的形体尺寸情况
主视图 —— 反映了形体的高度尺寸和的长度尺寸。俯视图 —— 反映了形体的长度尺寸和的宽度尺寸。左视图 —— 反映了形体的高度尺寸和的宽度尺寸。
（2）投影规律（尺寸关系）投影规律：主、俯视图长对正，主、左视图高平齐，俯、左视图宽相等，即“长对正，高平齐，宽相等”。特别提示：画图、读图时都应严格遵循和应用。（3）位置关系：如图（4）方位关系任何形体在空间都具有上、下、左、右、前、后六个方位，形体在空间的六个方位和三视图所反映形体的方位主视图—反映了形体的上、下和左、右方位关系；俯视图—反映了形体的左、右和前、后方位关系；左视图—反映了形体的上、下和前、后位置关系。

第3次课平面的投影及线面相对位置(平行问题)

YH
1.侧面投影积聚成一线；且反映平面的倾角、 2.正面投影、水平投影为类似形。
2、投影面的平行面：以水平面为例
a' A b' c' B a b" b' c b"
a"
c"
a"
C c" b a c
b a
实形
c
投影特性： 1) abc、 abc积聚为一条线，具有积聚性 2) 水平投影 abc反映 ABC实形
2. 线段的投影加深成粗实线；
s n r
m
n m
s
r
结论：两平面平行
例题4
已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。
s f k
m
n
r r n
e
e k f s
m
作业：P14：
2-26；2-27（2、3）；
2-28、2-29、2-30；
P15（全部）。要求：1. 作图线为细实线,保留并擦去多余的作图线;
3、属于平面的投影面平行线
平面上投影面的平行线 — 是既在平面上又//于投影面的直线。因此，它既具有投影面平行线的投影特性，又与所属平面保持从属关系。在一个平面上对V、H、W投影面分别有三组投影面平行线。
属于平面的水平线和正平线参看：例题7 例题8
属于平面的水平线和正平线
PV
P
PH
[例题7]已知ABC 给定一平面，试过点C 作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面的水平线。
例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。
有多少解？ a b

机械制图 5 直线、平面间的相对位置

5/45
a
Chapter 5 Positions between Lines and Planes
6/45
c
Liu Wei, Beijing Jiaotong University
Liu Wei, Beijing Jiaotong University
1
例过点K作一平面，平行于由AB、CD两平行直线构成的平面。
2. 两平面相交
B
三面共点的思想可有效地用于求两平面的交线。
界
前，可见
k
c
作图步骤
V 投影投
射方向
还可由V面重影点确定线段在V面的可见性。
交线的求解方法： ⑴ 确定两平面的两个共有点； ⑵ 确定一个共有点及交线的方向。判别可见性，即平面间的遮挡关系，交线是可见性的分界线
1) 用线上取点法求出交点的正面投影k 2)可直接从水平投影看出：KB段在平面前，即V面投影k’b’为可见。
分为：直线与平面平行，以及平面与平面平行
⒈ 直线与平面平行几何条件是：
直线与平面的平行问题
若平面外的一直线与平面内的某一直线平行，则该直线与该平面平行。两直线的平行问题
L
A
反之，如果直线与平面平行，那么在该平面内一定有直线与该直线平行。
EF∥△ABC
Chapter 5 Positions between Lines and Planes Liu Wei, Beijing Jiaotong University Chapter 5 Positions between Lines and Planes
选择辅助平面的原则? 有利于解题。
Chapter 5 Positions between Lines and Planes

画法几何线面相对位置例题

b m n
● ●
作图
h
1(2)
a f
c
① 求交线 ② 判别可见性点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上，上上在上，在下，点Ⅰ在上，点Ⅱ在下，故fh 可见，不可见不可见。可见，n2不可见。
⑶
f′ ′ a′ ′ m′ d′ ′ ′ ●
b′ ′ k′ ′ ● n′ ′ c′ ′ b m● e
●
投影分析
dΧ Χ a d
●
e
●
n c
作图
① 求交线 ② 判别可见性在交线左侧，平面在交线左侧，平面ABC 在上，其水平投影可见。在上，其水平投影可见。
能否不用重从正面投影上可看出，能! 从正面投影上可看出，影点判别？影点判别？
m f
b
如何判别？如何判别？可通过正面投影直观地进行判别。直观地进行判别。
(4)
d’
b’
c’ f’ a’ e’
d a f
c
e
b
如互相垂直两平面垂直于同一投影面，定理如互相垂直两平面垂直于同一投影面，它们在这个投影面上的投影也互相垂直。
K A X
K A
H
例习题37例习题37-1：过M点作平面ABC的垂线，并求垂足。 37 点作平面ABC的垂线，并求垂足。 ABC的垂线
例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。点作直线MN平行于平面ABC。 MN平行于平面ABC
有多少解？有多少解？ a′ ′ b n a c
●
b′ ′ c′ m′ ′ ′
●
有无数解
n′ ′
m
例2：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。点作直线MN平行于V面和平面ABC。 MN平行于 ABC

线面角的求法

03
线面角的应用
平面几何中的应用
01
直线和平面的交点
02
三角形的高线
通过线面角，可以确定一条直线和一个平面的交点位置。
在三角形中，可以使用线面角确定高线的位置，从而求得三角形的面积。
03
圆和直线的位置关系
通过线面角，可以确定一条直线和一个圆的位置关系。
空间几何中的应用
确定空间中点的位置
通过线面角，可以确定一个点在三个平面上的位置。源自空间几何体的表面积和体积
通过线面角，可以确定一个几何体的表面积和体积。
异面直线的距离
通过线面角，可以确定两条异面直线之间的距离。
物理学中的应用
弹性碰撞
在弹性碰撞中，可以通过线面角确定入射和反射的角度。
光的反射和折射
在光学中，可以通过线面角确定光的反射和折射角度。
波的传播
在波的传播过程中，可以通过线面角确定波的方向。
利用圆的性质
在圆中，利用圆的性质可以求出圆的半径和圆心坐标等。
利用向量求解的技巧
01
02
03
向量的数量积
利用向量的数量积可以求出两个向量的夹角，进而求出线面角。
向量的向量积
利用向量的向量积可以求出两个向量的外积，进而求出线面角。
向量的模长
利用向量的模长可以求出线段或平面的长度等。
06
计算点的坐标
根据题目所给条件，计算出线段或平面上的点的坐标。
计算向量
利用向量的坐标运算性质，计算出线段或平面上的向量的坐
标。
利用几何定理求解的技巧
利用勾股定理
在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段或平面上的点到原点的距离。