线面相对位置

解：
b' a'
b a
c' n' m'
nm c
正平线
因为△ABC为正垂面，所 以直线MN的正面投影m'n' 必定平行于a'b'c'。 又因为MN为正平线，所 以mn平行于OX轴。
例 判别直线MN.DE与三角形ABC平面是否平行 ?
n' e'
b' k'
作图 方法:
\
\
c'
d'e'//a'b' de//ac
第七章 直线、平面的相互关系
第一节 平行关系 第二节 相交关系 第三节 垂直关系
第一节 平行关系
一、直线与平面平行
1. 几何条件：若一直线与平面上任一直线平行，则此
直线与该平面互相平行。
B
A
E
c' n'
a'
m'
DF
b
C ae
X
d'
b' b
O
H dcf
d a
EF ABC 上的直线 AD
m cn
所以EF ABC
b e
c
am
nf
EFG// ABC
g' O g
例 已知 ：MN、PQ决定的平面与平面ABC平行， 试补全三角形ABC的正面投影。
n'
b'
q'
做图步骤： 作n1//bc m'
n2//ab nn' 11' //b'c' X
~
2' p'
n' 2´// b'a'
n
~
m 2
p
1' ~
a'
b
q
~
1
a
c' O
c
D
b' d' g'
G
BE
F
A
d(e)
a' x
e' c'
f' o
a
d(e)
a
C g(f)
H
b c
b
c
g(f)
例题 试判断两平面是否平行。
s
a
d
e
f
r
b c
es
SH d a
f r PH
结论：两平面平行
c b
第二节 直线与平面相交、两平面相交
直线与平面相交——求交点 平面与平面相交——求交线
并判别可见性
一般直线与一般位置平面相交 判别可见性
B NR
GK源自文库
C
AM
F
a g
kb
f RcH
H
b' g' 3‘(4’) 1' n'
k'
2' c'
a'
m'
f'
X
b
4
O
RH f
作图方法1：
a
包含直线GF作铅垂面R 求出R平面与ABC的交线MN
g
MN与GF的交点K即为所求。
k 3m
n 1,(2) c
直线与一般位置平面相交
作图方法2：
用换面法求 倾斜线与 倾斜 面的交线。
3'4'
n'
b'
聚投影及平面
X
O
c
上取点的方法
a
4k m (n)
1
求解。
3
b
三、一般位置平面与特殊位置(垂直)平面相交
b
V M
m
k
P
c
f
l
B
K
m C
c PH
F Nk
fb n
L
a l
a
n
m
kb a
f
l
c
H
n
一般位置平面与特殊位置(垂直)平面相交
B
Q
N
M A
C a'
a
b mn
q
c
X
H
a
b' n'
f RcH
H
作图方法1：
包含直线GF作铅垂面R 求出R平面与ABC的交线MN MN与GF的交点K即为所求。
f b PH f b
以铅垂面为辅助平面求线面交点 。
c
2 k
步骤： 1、 过EF作铅 垂平面P。
2、求P平面与
1
ΔABC的交线
a
ⅠⅡ。
e
3、求交线
ⅠⅡ与EF的交
1
a
点K。
k
2
e c
以正垂面为辅助平面求线面交点
m'
判断 DE // ABC
d'
a'
X
O 1 过a'作a'b'//a'b'
b
2 由k'求出k；
n a
k
3 连接ak
结果: M N// ABC
m
d\
\
e
c
例 过直线AB作三角形ABC平面平行于直线DE。
a' X
a
b'
d'
c'
b d c
作图步骤：
b'
作b'c' // d'b'
O
bc//de
e
例 过M点作水平线 MN平行已知平面 ABC。
bk
C
n a
kb
M
c
Hm
c
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。
例 求直线与平面的交点，并判别可见性。
QV
a' X
a
b' k'
q'
b k
q
b' n'
a' k'
m' 2‘(1’)
c' O
a
n
1
k b
2
m
c
二、垂直线与一般平面相交
m'
c'
1'
a'
k'
作图方法：
利用直线的积
例题 试判断两平面是否平行
a
f
s
b
n
r
e
m c
c m
d
n a d
e s
r
f
b
结论：两平面平行
例题 已知平面由平行两直线AB和CD给定。试过点
K作一平面平行于已知平面 。
a
s
d
f
k
e
m
n
b
c
r
c
b m
r n
d
f
a
e k
s
2。特殊位置情况
若一投影面的两个垂直面相互平行，则该两平
面有积聚性的同面投影必相互平行。
c'
m'
1‘(2’)
q'
O
b q2
n
m 1c
四、一般直线与一般位置平面相交
过MN作平面Q垂直于V投影面
A
M
C
B N
以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图
以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图
A
M
K E
F C
B N
过MN作平面P垂直于H投影面
一般直线与一般位置平面相交
B NR
GK
C
AM
F
a g
b k
b'
a'
d' m'
n'
作图步骤：
X
c'
O
b
n
d
m c a
①在平面ABC内 任作一条水平 线(AD)；
②过M点作直线 MN//AD。
二、平面与平面平行
1. 几何条件：若一平面上的两条相交直线对应平行
于另一平面上的两条相交直线，则该两平面互相平行。
P B
N M H
R E
G F
b'
e'
a' m'
X
f' n' c'
投影图
⒉ 特殊情况：若直线与投影面垂直面平行，则该
平面的积聚投影与直线的同面投影平行。
M
m H
P N n PH
c' m'
a'
b'
X
a
m
n'
O
PH PH mn 则 P MN
c
n
b
MN ABC
例：过点M作直线MN平行于平面△ABC。
解：
b'
有多少解？
c'
a'
n' m'
b a
n m
c
无数解
例：过点M作直线MN平行于V面和△ABC。
关键：求直线与平面的交点---共有点
求平面与平面的交线---共有线
求解方法：1. 积聚投影法 2. 辅助平面法 3.换面法
直线与平面相交
K B
P A
直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。
平面与平面相交
B
M
K A
L
F
N
C
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有
一、直线与特殊位置(垂直)平面相交
A Ha
C K
F k
B D
b E
分析：
利用平面的积聚性求交点
交点——线面的公共点
交点——可见与不可见 的分界点
c' k'
d' b'
a' f'
X c(f)
e' O
b
k d(e) a
作图步骤： 1、求交点（k，求k'） 2、判别可见性（远离坐标轴—- 可见）
判断直线的可见性
b
V
n
N
a
k
B
m
P
A
K
c
PH a
QV f
c
1
步骤： 1、 过EF作正
垂平面Q。
k b
2、求Q平面与
2
ΔABC的交线
ⅠⅡ。
a
e
3、求交线
ⅠⅡ与EF的交
f
2
a 点K。
b k
1
c
e
直线EF与平面Δ ABC相交，判别可见性示意图
f
V
c
1 (2)
利
用
b
k F
重 影
a e
Ⅱ
Ⅰ
C
Ⅲ
点。 判 别
可
B f
K
Ⅳ
A a
见 性
b
k3 E
c (4) e
H