2018年人教版高三理科数学高考复习_(31)(专题拔高特训-通用版)PPT课件

题型一
用均值不等式证明不等式 a＋b ① ≥ ab(a，b∈R＋)； 2
思维提示
②注意配凑均值不等式中的 “和”与“积”的定值.
• 例1 已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1. • 求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8(1－a)(1－b)(1－c)． • [分析] 本题可采用分析法，充分利用已知条件及 均值不等式的证明． • [解] ∵a＞0，b＞0，c＞0且a＋b＋c＝1， • ∴要证原不等式成立， • 即证[(a＋b＋c)＋a]·[(a＋b＋c)＋b]·[(a＋b＋c)＋c] • ≥8[(a＋b＋c)－a]·[(a＋b＋c)－b]·[(a＋b＋c)－c]．
1 1 1 b a (3)(a＋ )(b＋ )＝ab＋ ＋ ＋ a b ab a b
2 1 (a＋b) －2ab ＝ab＋ ＋ ab ab
2 ＝ ＋ab－2. ab 令 t＝ab，则 a＋b 2 1 0＜t＝ab≤( )＝ ， 2 4
2 1 不难证明 f(t)＝ ＋t 在(0， ]上单调递减， t 4 1 2 33 ∴当 t＝ 时，f(t)＝ ＋t 取最小值 ， 4 t 4 1 1 1 25 ∴当 a＝b＝ 时，(a＋ )(b＋ )取最小值 . 2 a b 4
[解]
(1)( 2a＋1＋ 2b＋1)2
＝2a＋1＋2b＋1＋2 (2a＋1)(2b＋1) ＝2(a＋b)＋2＋2 4ab＋2(a＋b)＋1 ＝4＋2 4ab＋3. 因为 a，b 是正数，且 a＋b＝1， a＋b 2 1 所以 ab≤( )＝ ， 2 4 ∴( 2a＋1＋ 2b＋1)2≤8， ∴0＜ 2a＋1＋ 2b＋1≤2 2， 1 当且仅当 a＝b＝ 时，( 2a＋1＋ 2b＋1)max＝2 2. 2
• 第三个)正数的 算术平均数不小于它们的几何 平均数的定理，并会简单的应 用．
1.以选择题或填空题的形式考查 利用基本不等式求最值问题． 2．以解答题形式考查求函数最 值、证明不等式及解决实际问 题.
高考热点
1.基本不等式 设 a、b∈R 则①a2≥0；②a2＋b2≥2ab，a，b∈R，要认 识到 a 和 b 代表的实数既可以是具体数字，也可以是比较复 杂的变量式，应用广泛． 2．均值不等式 a＋b 设 a、 b∈(0， ＋∞)， 则 ≥ ab， 当且仅当 a＝b 2 时，
≥
4ab.
当且仅当 a＝b 时，各式中等号成立．
4．利用两个定理求最大、最小值问题 (1)x，y∈(0，＋∞)，且 xy＝P(定值)，那么当 x＝y 时， x＋y 有最 小 值 2 P. (2)x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)，那么当 x＝y 时， S2 xy 有最 大 值 . 4
1．两个重要不等式成立的条件不同， a＋b 在“a ＋b ≥2ab”中， a， b∈R， 而在“ 2
[规律总结]
证明不等式时，除了已知基本不等式的直 a2＋b2 b a (a＞ 0，b＞0)； ＋ 2 a b
接使用，还应掌握由已知不等式简单变形而得到的一些常用 a＋b 结论，如 ≤ ab≤ ≤ 1 1 2 ＋ a b 2
b a 1 1 ≥2(ab＞0)或 ＋ ≤－2(ab＜0)；(a＋b)( ＋ )≥4(a＞0，b＞ a b a b 0)； a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca 等.
2 2
≥ ab”中，a，b∈{正实数}．
2． “等号成立的条件”是掌握重要不等式的关键． “当 且仅当 a＝b 时，取‘＝’号”含有两层意思：一是当 a＝b 时，取“＝”，二是取到“＝”时，必有 a＝b.复习时应注 1 意体会，因为有些式子虽可写成 a＋ 的形式，但“＝”却永 a 远取不到，这时就不能用重要不等式求最值． 3．利用均值不等式求最值时，必须满足三个条件：① 正数；②定值；③相等．其中正数一般是给定的，往往要进 行添项、拆项等构造出定和或定积，才能应用．
• [规律总结] 用基本不等式求函数的最值时，关键 在于将函数变形为两项的和或积，使这两项的和 或积或平方和为定值，然后用基本不等式求出最 值；在求条件最值时，一种方法是消元，转化为 函数的最值，另一种方法是将要求最值的表达式 变形，然后用基本不等式使要求最值的表达式放 缩为一个定值．不管哪种题，哪种方法，在用基 本不等式求最值时都必须要验证等号成立的条件.
(2)∵a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1， 1 2 1 2 b 2a ∴ ＋ ＝( ＋ )(a＋b)＝1＋2＋ ＋ a b a b a b ≥3＋2 b 2a · ＝3＋2 2， a b
a＋b＝1 a＝ 2－1 当且仅当b 2a ，即 时， ＝ b＝2－ 2 a b 1 2 ( ＋ )min＝3＋2 2. a b
备选例题 1
1 1 1 若本例条件不变， 求证： ( －1)( －1)( －1)≥8. a b c
题型二
思维提示
利用均值不等式求最值或取值范围
①和定积有最大值，积定和有最小值； ②注意均值不等式应用的条件.
例 2 已知两正数 a，b 满足 a＋b＝1. (1)求 2a＋1＋ 2b＋1的最大值； 1 2 (2)求 ＋ 的最小值； a b 1 1 (3)求(a＋ )(b＋ )的最小值． a b
[分析] (1)观察条件和结论可知， 将 2a＋1＋ 2b＋1平 方后，可以用条件和均值不等式求出最值； (2)观察条件和结论知， 将条件和结论相乘可出现积为定 值的和式，然后用均值不等式可求出最值； x＋y 2 k (3)把所求式展开，利用 xy≤( ) 或 f(x)＝x＋ 的单调 2 x 性求出最值．
也就是证[(a＋b)＋(c＋a)][(a＋b)＋(b＋c)][(c＋a)＋(b＋ c)]≥8(b＋c)(c＋a)(a＋b)① ∵(a＋b)＋(b＋c)≥2 (a＋b)(b＋c)＞0， (b＋c)＋(c＋a)≥2 (b＋c)(c＋a)＞0， (c＋a)＋(a＋b)≥2 (c＋a)(a＋b)＞0， 三式相乘得①式成立，故原不等式得证．
不等式取等号．它的证明要能从 1 中得出，既是对 1 中 a，b 的灵活变式，又具有自身特点：a，b∈(0，＋∞)．
3．灵活变式 ①a2＋b2
≥
a＋b 2 ( ) ；②ab ≤ 2
a2＋b2 ； 2 a2＋b2 ； 2
③ab ≤ ⑤(a＋b)2
a＋b 2 a＋b 2 ( ) ；④( ) ≤ 2 2