6.7角的和差
6.7角的和差
• 如图，已知∠A=45º ，∠B=65º ，∠C=110º 。 请你说说，这三个角的度数之间有怎样的 关系？
练习
如图，图中共有几个角？它们之间有什么关 系？
例1
已知∠1和∠2 ，用量角器作∠1与∠2的和。
1
2
思考如何画 ∠2－∠1 2∠1
1、如图，点A、O、B在同一条直线 上， ∠1=35º ， ∠2=55º ，则 ∠DOC= 90º.
动手做一做
请准备一张纸，在上面作任意∠AOB，你能想
到方法把角两等分吗？
B B
C
O O
A A
从一个角的顶点引出的一条射线，把这 个角分成两个相等的角，这条射线叫做 这个角的平分线。
B O A
数学语言： ∵OC平分∠AOB （已知） C ∴∠AOC=∠BOC（角平分线的意义） ∵∠AOC=∠BOC （已知） ∴OC平分∠AOB （角平分线的意义）
1、 如图
OB 是
BOC BOC
AOB =
BOC =
COD，
AOC
的平分线，
BOC =
BOD
1 = 2 AOC， =1 BOD 1 2 AOC = 2
=
1 3
AOD
巩固新知
A
2、
E
AD是 BAD
BAC的平分线 =
CAD （ 角平分线的意义 ）
ABC = 2 B D C BE 平分
ABE
ABC （ 角平分线的意义 ）
巩固新知
3、如图，∠AOB=130º ,∠BOC=80º ，OD平 分∠BOC。求 ∠AOD的度数。
巩固新知
4、如图，E是直线AC上一点，EF,EG分别是 ∠AEB,∠BEC的平分线。求∠GEF的度数。
苏科版九年级下册数学 6.7用相似三角形解决问题 同步测试(含解析)
6.7用相似三角形解决问题同步测试一．选择题1．有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm，∠B＝90°的Rt△ABC的铁片，现要按照如图所示方式截一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A．B．C．D．2．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（）A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m3．如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝90mm，要把它加工成矩形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC，且EH＝2EF，则这个矩形零件的长为（）A．36mm B．80mm C．40mm D．72mm4．如图，在△ABC，AB＝AC＝a，点D是边BC上的一点，且BD＝a，AD＝DC＝1，则a 等于（）A．B．C．1D．25．如图，某测量工作人员站在地面点B处利用标杆FC测量一旗杆ED的高度．测量人员眼睛处点A与标杆顶端处点F，旗杆顶端处点E在同一直线上，点B，C，D也在同一条直线上．已知此人眼睛到地面距离AB＝1.6米，标杆高FC＝3.2米，且BC＝1米，CD ＝5米，则旗杆的高度为（）A．8.4米B．9.6米C．11.2米D．12.4米6．如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料．已知∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一个形状为▱DEFG的工件，使GF在BC上，D，E两点分别在AB，AC上，且DE＝5cm，则▱DEFG的面积为（）A．24cm2B．12cm2C．9cm2D．6cm27．如图，小明为了测量高楼MN的高度，在离N点20米的A处放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到C点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M点，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则大楼MN的高度（精确到0.1米）约是（）A．18.75米B．18.8米C．21.3米D．19米8．如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高AB＝1.3m，当BC＝2.6m时，点B离地面的距离BE＝1m，则此时点A离地面的距离是（）A．2.2m B．2m C．1.8m D．1.6m9．《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（）A．360步B．270步C．180步D．90步10．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股””章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为（）步．A．B．C．D．700二．填空题11．如图，小明与大树之间放置了一面平面镜，平面镜到小明的距离是2米、到大树的距离是6米时，小明恰好能从平面镜中看见大树的树尖，若小明的眼睛距离地面1.5米，则大树的高为米．12．如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，已知∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一个形状为▱DEFG的工件，使GF在BC上，D，E两点分别在AB，AC上，且DE＝5cm，则▱DEFG的面积为．13．如图，A，B两点被池塘隔开，为测量A，B两点间的距离，在池塘边任选一点C，连接AC，BC，并延长AC到D，使CD＝AC，延长BC到E，使CE＝BC，连接DE，如果测量DE＝20m，则AB的长度为．14．如图，为了测量旗杆的高度，某综合实践小组设计了以下方案：用2.5m长的竹竿做测量工具，移动竹竿，保持竹竿与旗杆平行，使竹竿、旗杆的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距5m、与旗杆相距20m，则旗杆的高度为m．15．如图，小明用相似图形的知识测量旗杆高度，已知小明的眼睛离地面1.5米，他将3米长的标杆竖直放置在身前3米处，此时小明的眼睛、标杆的顶端、旗杆的顶端在一条直线上，通过计算测得旗杆高度为15米，则旗杆和标杆之间距离CE长米．三．解答题16．为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB′），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B′C′）为1.8米，求路灯离地面的高度．17．“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走3米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上），若测得FM＝1.5米，DN＝1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．18．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2cm，AB＝BC＝8cm，CD＝10cm．动点P 从点B出发，以1cm/s的速度，沿B﹣A﹣D﹣C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C﹣D﹣A方向向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时，另一点也同时停止，设运动时间为t秒．问：（1）当点P在边BA上运动，t＝时，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分；（2）在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；（3）在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值或取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．∵S△ABC＝•AB•BC＝•AC•BP，∴BP＝．∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴．设DE＝x，则有：，解得x＝，故选：D．2．解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴＝，∵BE＝1.5m，AB＝3m，BC＝7m，∴AC＝AB+BC＝10m，∴＝，解得，DC＝5，即建筑物CD的高是5m，故选：D．3．解：设边宽为xmm，则长为2xmm，∵四边形EFGH为矩形，∴EH∥BC，EF∥AD，∴，∵BE+AE＝AB，∴，∴，解得：x＝36mm，∴EF＝36mm，EH＝72mm，故选：D．4．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，∴∠DAC＝∠B，∵∠C＝∠C，∴△CDA∽△CAB，∴＝，∴CA2＝CD•CB，∵CA＝a，BD＝a，CD＝1，∴CB＝1+a，∴a2＝1•（1+a），∴a2﹣a﹣1＝0，∴a＝或（舍弃），故选：A．5．解：作AH⊥ED交FC于点G，如图所示：∵FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED交FC于点G，∴FG∥EH，∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC，∴AH＝BD，AG＝BC，∵AB＝1.6，FC＝3.2，BC＝1，CD＝5，∴FG＝3.2﹣1.6＝1.6，BD＝6，∵FG∥EH，∴，＝解得：EH＝9.6，∴ED＝9.6+1.6＝11.2（m）答：电视塔的高ED是11.2米，故选：C．6．解：过点A作AM⊥BC，交DE于点N，∵∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，∴BC＝＝10cm，∴AM＝＝4.8（cm），∵四边形DEFG是平行四边形，∴DE∥BC，DE＝FG＝5cm，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴AN＝MN＝2.4cm，∴▱DEFG的面积为：5×2.4＝12（cm2）．故选：B．7．解：∵BC⊥CA，MN⊥AN，∴∠C＝∠MNA＝90°，∵∠BAC＝∠MAN，∴△BCA∽△MNA．∴＝，即，∴MN＝1.6×20÷15≈21.3（m），答：楼房MN的高度为21.3m．故选：C．8．解：由题意可得：AD∥EB，则∠CFD＝∠AFB＝∠CBE，△CDF∽△CEB，∵∠ABF＝∠CEB＝90°，∠AFB＝∠CBE，∴△CBE∽△AFB，∴＝＝，∵BC＝2.6m，BE＝1m，∴EC＝2.4（m），即＝＝，解得：FB＝，AF＝，∵△CDF∽△CEB，∴＝，即＝解得：DF＝，故AD＝AF+DF＝+＝2.2（m），答：此时点A离地面的距离为2.2m．故选：A．9．解：如图，设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE＝x，∵AE∥CD，∴∠BEA＝∠EDC，∴Rt△BEA∽Rt△EDC，∴＝，即＝，∴x＝360，即正方形城池的边长为360步．故选：A．10．解：DH＝100，DK＝100，AH＝15，∵AH∥DK，∴∠CDK＝∠A，而∠CKD＝∠AHD，∴△CDK∽△DAH，∴＝，即＝，∴CK＝．答：KC的长为步．故选：A．二．填空题11．解：根据题意可得：AB＝1.5，AP＝2，CP＝6，∠BP A＝∠DPC，∠A＝∠C＝90°，∴△ABP∽△CDP，∴＝，即：＝，∴AB＝4.5（米），故答案为：4.5．12．解：过点A作AM⊥BC，交DE于点N，∵∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，∴BC＝＝10cm，∴AM＝＝4.8（cm），∵四边形DEFG是平行四边形，∴DE∥BC，DE＝FG＝5cm，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴AN＝MN＝2.4cm，∴▱DEFG的面积为：5×2.4＝12（cm2）．故答案为：12cm2．13．解：∵CD＝AC，CE＝BC，∴＝＝，又∵∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△DEC，∴＝＝，∵DE＝20m，∴AB＝40m，故答案为：40m．14．解：由图可知：设旗杆的高度为x米，，解得x＝12.5．故答案为12.5．15．解：如图，延长FB交EA的延长线于T，设TA＝x米，EC＝y米．由题意，AB＝1.5米，AC＝CD＝3米，EF＝15米．∵AB∥CD，∴△TAB∽△TCD，∴＝，∴＝，解得x＝3，经检验x＝3是分式方程的解，∵CD∥EF，∴△TCD∽△TEF，∴＝，∴＝，∴y＝24，经检验y＝24是分式方程的解，∴EC＝24（米），故答案为：24．三．解答题16．解：∵AB⊥OC′，OS⊥OC′，∴SO∥AB，∴△ABC∽△SOC，∴＝，即＝，解得OB＝h﹣1①，同理，∵A′B′⊥OC′，∴△A′B′C′∽△SOC′，∴＝，＝②，把①代入②得，＝，解得h＝9（米）．答：路灯离地面的高度是9米．17．解：设NB的长为x米，则MB＝x+1+3﹣1.5＝（x+2.5）米．由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，∴△CND∽△ANB，∴＝．同理，△EMF∽△AMB，∴＝．∵EF＝CD，∴＝，即＝．解得x＝5，∵＝，∴＝．解得AB＝8．答：大树AB的高度为8米．18．解：（1）∵BP＝CQ＝t，∴AP＝8﹣t，DQ＝10﹣t，∵AP+AD+DQ＝PB+BC+CQ，∴8﹣t+2+10﹣t＝t+8+t，∴t＝3＜8，∴当t＝3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．故答案为3．（2）第一种情况：如图1中，当0＜t≤8时，若△P AD∽△QEC，则∠ADP＝∠C，∴tan∠ADP＝tan∠C＝＝，∴＝，∴t＝．若△P AD∽△CEQ则∠APD＝∠C，∴tan∠APD＝tan∠C＝，∴＝，∴t＝．第二种情况：当8＜t≤10时，P、A、D三点不能组成三角形．第三种情况：当10＜t≤12时，△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似．∴t＝或t＝时，△P AD与△CQE相似．（3）第一种情况：如图2中，当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．∵AP＝8﹣t，AD＝2，∴PD＝＝，∵CE＝t，QE＝t，∴QH＝BE＝8﹣t，BH＝QE＝t，∴PH＝t﹣t＝t，∴PQ＝＝，DQ＝10﹣t，当DQ＝DP，10﹣t＝，解得t＝8秒，当DQ＝PQ，10﹣t＝，化简得：3t2﹣52t+180＝0，解得：t＝或＞8（不合题意舍去），∴t＝．第二种情况：如图3中，8≤t≤10时．DP＝DQ＝10﹣t．∴当8≤t＜10时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．第三种情况：如图4中，10＜t≤12时．DP＝DQ＝t﹣10．∴当10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．综上所述，t＝或8≤t＜10或10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．。
九下 图形的相似 6.7 用相似三角形解决问题(2) 含答案
6.7 用相似三角形解决问题(2)学习目标：1．掌握中心投影的概念，对比、总结平行投影与中心投影的区别；2．运用相似三角形的知识，建构中心投影的数学模型，辅助解决实际问题；3．感受相似三角形的运用价值，深化对核心数学知识的理解，培养学习兴趣，增强合作意识． 学习重点：掌握中心投影的相关知识，用相似三角形的知识解决问题． 学习难点：将实际问题抽象、建模，辅助解题． 学习过程： 导学预习：1．如图1是用杠杆撬石头的示意图， C 是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C 点转动，另一端B 向上翘起，石头就被撬起．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B 端必须上翘起10cm ，己知杠杆的AB =2m ，BC =40cm ，则要这块石头滚动，至少要将杠杆的A 端向下压 cm ．2．晚上，小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影是（ ）A.变长B.变短C.先变长后变短D.先变短后变长3．夜晚在亮有路灯的路上，若想没有影子，你应该站的位置是（ ）A .路灯的左侧B .路灯的右侧C .路灯的下方D .以上都可以4．如图2，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的（ ）Ａ．91 Ｂ．92 Ｃ．31 Ｄ．32合作探究：活动一 自主学习 讨论分享阅读阅读教材83页，了解中心投影，说说自己的体会．_______________________________________________________称为中心投影。
思考：在点光源的照射下，不同物体的物高与影长成比例吗？结论：一般地，在点光源的照射下，同一个物体在不同的位置，它的高与影长____________． 活动二 尝试交流如图，某人身高CD ＝1.6m ，在路灯A 照射下影长为DE ，他与灯杆AB 的距离BD ＝5m ． （1）AB ＝6m ，求DE （精确到0．01m ）； （2）DE ＝2.5m ，求A B ．图1E HFG CB A）活动三例题学习如图，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小丽在点D处测得自己的影长DF＝3 m，沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG＝4 m．设小丽的身高为1．6 m，求灯杆AB的高度．变式练习1：已知为了测量路灯CD的高度，把一根长1.5m的竹竿AB竖直立在水平地面上．测得竹竿的影子长为1m，然后拿竹竿向远处路灯的方向走了4m．再把竹竿竖直立在地面上，竹竿的影长为1.8m，求路灯的高度．变式练习2：小华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后的影子顶部刚好触到AC的底部，当他向前再步行12m到达Q点时，发现身前的影子的顶端接触到路灯BD的底部．已知小华身高为1.6m，两个路灯的高度都是9.6m．（1）求两个路灯之间的距离．（2）当小华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？练一练：1．3根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上，第1、第2根旗杆在同一灯光下的影子如图．请在图中画出光源的位置，并画出第3根旗杆在该灯光下的影子（不写画法）．ABO 1O 2．如图，某同学身高AB ＝1.70m ，在灯光下，他从灯杆底部点D 处沿直线前进4m 到达点B 时，测得他的影长PB ＝2m ．求灯杆CD 的高度．3．如图，圆桌正上方的灯泡O （看成一个点）发出的光线照射到桌面后，在地上形成影．设桌面的半径AC ＝0.8 m ，桌面与地面的距离AB ＝1m ，灯泡与桌面的距离OA ＝2m ，求地面上形成的影的面积．小结：课堂作业：课本习题6．7第4、5、6题． 课后练习：1．如图1，A 、B 两点被池塘隔开，在AB 外任选一点C ，连结AC 、 BC 分别取其三等分点M 、N 量得 MN ＝38m ．则AB 的长是 （ ）A ． 152mB ．114mC ．76mD ．104m2．小明身高为1.6米，他在距路灯5米处的位置发现自己的影长为1米，他在向前走距离路灯为7米时，他的影长将（ ）A .增长0.4米B .减少0.4米C .增长1.4米D .减少1.4米图43．如图2，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为 ．4．如图3，为了测量水塘边A 、B 两点之间的距离，在可以看到的A 、B 的点E 处，取AE 、BE延长线上的C 、D 两点,使得CD ∥AB ，若测得CD ＝5m ，AD ＝15m ，ED =3m ,则A 、B 两点间的距离为________．图1图3D FA B C E G 5．如图4，是一盏圆锥形灯罩AOB ，两母线的夹角90AOB ∠=︒，若灯炮O 离地面的高OO 1是2米时，则光束照射到地面的面积是 米6．在6米高的路灯下，身高1.5米的哥哥的影长为1米，身高1.2米的弟弟的影长为2米，那么哥哥和弟弟之间的距离x 的取值范围是 .7．小明、小亮在高为8米的路灯下做游戏，他们发现身高为1.6米的小明在路灯下的影长为1米，身高为1.65米的小亮要想在该路灯下得到一个3.1米长的影子，而且两人的影子要保证在同一直线上，那么两人应该相距 米.8．如图，路灯（P 点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O 点 ）20米的A 点，沿OA 所在的直线行走14米到B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？9．如图，有一路灯杆AB (底部B 不能直接到达)，在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG ＝4m ，如果小明得身高为1.6m ，求路灯杆AB 的高度．10．如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB 、PQ ，并且AB ∥PQ ，建筑物的一端DE 所在的直线MN ⊥AB 于点M ，交PQ 于点N ，小亮从胜利街的A 处，•沿着AB 方向前进，小明一直站在点P 的位置等候小亮．（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在的位置（•用点C 标出）； （2）已知：MN =20m ，MD =8m ，PN=24m ．求（1）中的点C 到胜利街口的距离CM ．P 第8题图参考答案导学预习：1．40cm 2.D 3.C 4.C活动二尝试交流(1)1.82m(2)4.8m活动三例题学习AB=6.4m变式练习1：路灯离地面的高度是9米．变式练习2：解：（1）由对称性可知AP=BQ，设AP=BQ=xm∵MP∥BD∴△APM∽△ABD∴∴∴x=3∴AB=2x+12=2×3+12=18（m）答：两个路灯之间的距离为18米．（2）设王华走到路灯BD处头的顶部为E，连接CE并延长交AB的延长线于点F，则BF即为此时他在路灯AC的影子长，设BF=ym∵BE∥AC∴△EBF∽△CAF∴，即解得y=3.6，经检验y=3.6是分式方程的解．答：当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是3.6米．练一练：2．5.1m 3.1.44π课后练习：1．B 2.A 3.0.81π 4.20m 5. 解：由题意知，圆锥的正截面是等腰直角三角形，所以光束照射到地面的半径=OO1=2m，那么光束照射到地面的面积=4π≈12.6米2．6.8. 解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP．∴，即，解得，MA=5米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，∴小明的身影变短了5-1.5=3.5米．9. 解：由AB∥CD，得△ABF∽△CDF所以即①由AB∥EF，得△ABG∽△EFG所以即②由①、②得BD=9代入①，得∴AB=6（m）答：路灯杆AB的高度为6m。
6.1.2两角和与差的正弦公式
6.1.2 两角和与差的正弦公式
（）°
（）°° + °°
思考：如 何 求 °, ° ?
下面我们就一起探讨两角和与差的正弦公式
( + ) =?
( + ) = [ − ( + )]
( − ) = −
+ = ( + )
− = ( − )
1.求°的值.
2.求下列各式的值.
() °° + ° °= ° ° − ° Nhomakorabea°
=
×
−
×
=
−
=
−
例5.已知 =
,
= − ,并且和都是第二象限角,
求( + )的值.
练习:已知 =
− ,且
<<
,求(
−
)的值.
() °° − ° °
练习6.1.2
2.求下列各式的值.
()
−
() ° −
°
3.已知 = − , = − ,且、都是第三象限角,
求( + )和( − )的值.
动脑思考,探索新知
= ( − )
= [( − ) − ]
= ( − ) + ( − )
6.7角的和差
27°
O A
先用量角器量出这个角的大小，再以这个角的 顶点为顶点，一边为始边，在角的内部画一条射线， 使它与始边所成的角的大小是原角的一半，这条射 线就是这个角的平分线。
C
例2 如图， ∠ABC=90°，∠CBD=30°，
BP平分∠ABD，求∠ABP的度数.
C D P
解：∵∠ABD=∠ABC+ ∠CBD
角的和与差
一般地，如果一个角的度数是另两个角 的度数之和，那么这个角叫做另两个角的和； 如果一个角的度数是另两个角的度数之差， 那么这个角叫做另两个角的差。 注意：两个角的和与差仍是一个角. 角的和差表示
如是与的和， 记做 ； 如是与的差， 记做 .
3、根据图形填空 ∠BOC = ∠ AOD -∠COD （1）∠AOC=∠AOB -____ ____
ห้องสมุดไป่ตู้
B
D C O A
(2)若∠AOC=30°，∠BOC=80°，射线OC平分∠AOD， 30° 50° 则∠COD=______,∠BOD=______,并说明理由．
变式1:已知O为直线AB上一点，OE平分∠AOC，
1、作业本6.7 2、达标6.7
课堂检测
1、如图，OC平分∠AOB，下列说法错误的是( D ) A.∠1=∠2 B. ∠AOB=2∠1 C.∠1+∠2=∠AOB D. ∠1=∠AOB
A
C
1
O
2
B
2、下列说法中正确的是( B ) A 两个角的和为180°，那么这两个角都是直角 B 一个钝角一定大于一个锐角 C 大于90°的角叫做钝角 D 钝角与锐角的差为90°
OF平分 ∠COB,求∠EOF的度数．
C E F
浙教版2019-2020学年七年级数学上册第6章图形的初步知识6.7角的和差学案(有答案)
浙教版2019－2020学年度七年级数学上册第6章图形的初步知识6.7 角的和差【知识清单】1.两个角的和：一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫做另两个角的和；2.两个角的差：一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫做另两个角的差.3.角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.4.角的三等分线：从一个角的顶点出发的两条射线，如果把这个角分成三个相等的角，这两条射线就叫这个角的三等分线.5.角的四等分线：从一个角的顶点引出三两条射线，把这个角分成四个相等的角，这些射线叫做这个角的四等分线.6.同样也可以定义角的五等分线，角的六等分线，角的n等分线.【经典例题】例题1、下列说法中正确的是A．两个锐角相加一定是直角B．比锐角大的角一定钝角C．钝角与锐角的差一定小于直角D．钝角与直角的差一定是锐角【考点】角的和差与角的大小比较．【分析】根据钝角、直角、锐角的定义：锐角是大于0°小于90°的角；钝角是大于90°小于180°的角；直角是等于90°的角；据此解答即可.【解答】A、两个都大于45°的角相加大于直角，故A错；B、比锐角大的角也可能还是锐角，故B错；C、如175°的角与1°的角的差一定大于直角，故C错；D、钝角与直角的差一定小于直角，故D正确.故选D．【点评】此题主要考查钝角、直角和锐角的定义，理解和掌握钝角、直角、锐角的定义是解决此题的关键．例题2、将长方形ABCD沿DE折叠，使点C恰好落在AB边上一点F，若∠ADF=58°，则∠FDE 的度数为．【考点】角的计算；翻折变换(折叠问题)．【分析】先根据四边形ABCD是长方形得出∠ADC=90°，再由∠ADF=58°求出∠FDC的度数，由图形翻折变换的性质即可得出结论．【解答】∵四边形ABCD是长方形，∴∠ADC=90°，∵∠ADF=58°，∴∠FDC=90°－58°=32°，例题2图∵由折叠可知DE 是∠FDC 的平分线， ∴∠FDE =21∠FDC =16°． 故答案是∠FDE =16°．【点评】本题考查的是角的和差以及角的计算，熟知角平分线的定义和图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 【夯实基础】1．如图所示，下列结论错误是是( )A ．∠AOB +∠COB =∠AOD －∠DOC B ．∠DOB +∠AOC =∠DOA +∠COB C ．∠DOB +∠AOC －2∠COB =∠AOD D ．∠AOD －∠DOB =∠AOC －∠COB 2．如图，下列表示不正确的是( )A ．∠B =∠ABD =∠C B A B ．∠C =36° C ．∠ADB +∠ADC =180°D ．∠α+∠β=∠A3．已知∠AOB =56°，从∠AOB 的顶点O 引一条射线OC ，使∠AOC =18°，则∠BOC 的度数 为( )A ．38°B ．74°C ．38°或74°D ．无法确定4．如图所示，点A ，O ，B 在同一直线上，OD 平分∠AOC ，OE 平分∠BOC ，则∠DOE 为( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．平角 5．(1)如图，∠BOD =∠COE =Rt ∠，则∠1______∠2(填“>”“<”或“=”) . (2)已知OC 是∠AOB 的三等分线，若∠AOC =32°，则∠AOB 的大小为 .6．(1)如图，已知∠AOC 直角， ∠COB=38°， ，则∠BOD =_______°. (2)如图所示，OC 是∠AOD 的平分线，OB 平分∠AOC ，且∠COB =23°，则∠AOD 的度数为 .第1题图第4题图第2题图第5题图(1)7．如图，已知∠AOD =120°，∠AOC 是直角，OB 为∠AOD 的平分线，根据图形填空：解：(1)∵∠AOD =120°，∠AOC = °， ∴∠DOC =∠AOD － = ∵OB 平分∠AOD ，8．已知∠α，∠β，∠γ，用量角器作一个角∠AOB ，使∠AOB =29．如图∠BOC =4∠AOC ，OD 平分∠AOB ，(1)若∠COD =33°，求∠AOB 的度数．(2)请画出∠BOD 的角平分线OE ，∠DOC 的角平分线OF ， 试猜想∠EOF 与∠AOC 的数量关系，并说明理由．【提优特训】10．如图，∠AOB =3∠BOC ，∠AOD =8∠BOC ，若∠DOC =60°，则∠BOC 的度数为( )A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°11.若∠AOB 是平角，射线OC 将∠AOB 分为∠AOC 与∠COB 两个角，若∠∠AOC ，射第12题图 第10题图第7题图第6题图(2)第8题图第9题图线OD 是∠AOC 的平分线，则∠COD 的度数为( ).A ．67.5°B ．72.5°C ．78.75°D ．79.5°12．如图所示，射线OB 、OC 、OD 在∠AOE 的内部，若∠AOE =75°，∠BOD =28° ，则图中所 有角的和为( )A ．300°B ．356°C ．360°D ．无法求出13. 如图所示，OD ，OC 是∠AOB 的任意两条射线，OP 平分∠AOC ，OQ 平分∠BOD ，若∠POQ =α，∠DOC =β，则表示∠AOB 的代数式是( )A ．2α－βB ．α－βC ．α+βD ．以上都不正确14．(1)已知∠AOB =90°，射线OC 平分∠AOB ，射线OD 平分∠BOC ，射线OE 平分∠AOD ，则∠COE 的度数等于 .(2)若∠AOC =∠BOD =90°，∠AOD =130°，则∠BOC 的度数为 .15．(1) 如图，将长方形纸片的角A 、E 分别沿着BC 、BD 折叠，则∠CBD = ． (2) 如图是3×3网格图，每个小正方形的边长为1，则∠1+∠2+∠3+…+∠7+∠8+∠9的和16．射线OE 在∠AOB 的内部，下列四个式子中：① ∠AOE =∠EOB ；②∠AOE +∠EOB =∠AOB ；③∠AOB =2∠BOE ；④∠AOE =12∠AOB ；⑤∠BOE :∠AOB =1:2.能判断OE 是∠AOB 的平分线的是 (填序号). 17．已知∠AOB 是Rt ∠.请回答下列问题：(1) 如图(1)，OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ，直接写出∠DOE 的度数为 ． (2) 如图(2) OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ，若∠BOC =40°，猜想∠DOE 的度数为 ．(3)试问在(2)的条件下，如果将题目中∠BOC =40°改成∠BOC =α(锐角)，其他条件不变，你能求出∠DOE 的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．18．如图(1)所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O 处．(1)①∠AOD 和∠BOC 相等吗？说明理由．②∠AOC 和∠BOD 在数量上有何关系？说明理由．(2)若将三角尺AOB 绕点O 旋转到第13题图第15题图(2)第15题图(1)第17题图(1)第17题图(2)如图(2)的位置．①∠AOD 和∠BOC 相等吗？说明理由．②∠AOC 和∠BOD 的以上关系还成立吗？说明理由．19．已知∠AOB =42°20．已知∠AOB =(n +1)°，在∠AOB 的内部引n 条射线分别为OA 1，OA 2，OA 3，…，OA n －1，OA n ，依据要求回答问题： (1)°. (2)°. (3)°. ……(4) °.【中考链接】21．(2019•模拟) 把一副三角尺按如图2所示拼在一起，则∠ACB 等于( ) A ．70° B ．90° C ．105° D ．120°22．(2019•模拟)如图所示，将长方形ABCD 沿AE 折叠，点D 落在长方形ABCD 的内部点F 处，若∠CEF =76°，则∠AED 的大小是 .第18题图(1)第18题图(2)第20题图第21题图第22题图23．(2019•模拟) 如图，已知∠AOB=m度，OA1平分∠AOB，OA2平分∠AOA1，OA3平分∠AOA2，OA4平分∠AOA3，…，OA n平分∠AOA n－1，则∠AOA n的度数为___度．第23题图参考答案1、C2、D3、C4、B5、(1) = (2) 96°或48°6、(1) 26 (2) 92°10、C 11、C 12、B 13、A 14、(1) 11.25°(2) 50°或130°14、(1) 90°(2) 405°、9×45°15、(1) 不变 (2) < 16、①③④⑤ 21、D 22、52° 23、n 21m 7．如图，已知∠AOD =120°，∠AOC 是直角，OB 为∠AOD 的平分线，根据图形填空：解：(1)∵∠AOD =120°，∠AOC = 90 °， ∴∠DOC =∠AOD －∠∵OB 平分∠AOD ，8．已知∠α，∠β，∠γ，用量角器作一个角∠AOB ，使∠AOB =2作法1：如图(1)①用量角器量得∠α=25°，∠β=40°，∠γ=120°，所以2∠α=50° ②作射线OA .③用量角器作射线OB ，使∠AOB =50°.④用量角器在∠AOB 的外部以射线OC 为边作射线OC ，使∠BOC =20°. ⑤用量角器在∠AOC 的内部以射线OA 为边作射线OD ，使∠AOD =40°.∠DOC =30°23.作法2①用量角器量得∠α=25°=40°，∠γ=120°， 所以. 第8题图(2)第8题图②作射线OA .③用量角器作射线OB ，使∠AOB =30°.∠AOB =30°. 9．如图∠BOC =4∠AOC ，OD 平分∠AOB ，(1)若∠COD =33°，求∠AOB 的度数．(2)请画出∠BOD 的角平分线OE ，∠DOC 的角平分线OF ，试猜想∠EOF 与∠AOC 的数量关系，并说明理由． 解：(1)∵OD 平分∠AOB ，∴∠BOD =∠AOD =∠AOB ， 设∠AOB =x ， 则∠BOD =∠AOD =∠AOB =∵∠BOC =4∠AOC ， ∴∠AOC =∵∠AOD －∠AOC =∠COD =33°. . 解得x =110°，∴∠AOB =110°. (2)结论：∠EOF =2∠AOC . 理由：设∠AOC =y ， 则∠AOB =5y ，∠BOC =∠AOB －∠AOC =4y ， ∵OE 平分∠BOD ， ∴∠EOD =∠BOD . ∵OF 平分∠DOC ， ∴∠DOF =∠DOC . ∴∠EOF =∠EOD +∠DOF =∠BOD +∠DOC ) ∠BOC =2y ∴∠EOF =2∠AOC . 17．解：第9题图第9题图(1)∵OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ，∠AOB =90°， ∴∠DOC =21∠COB ， ∠COE =21∠COA ， ∴∠DOE =∠DOC +∠COE =21∠BOC +21∠COA =21(∠BOC +∠COA ) =21∠AOB =45°； (2)∵∠AOB =90°，∠BOC =40°，∴∠AOC =∠AOB +∠BOC =90°+40°=130°. ∵OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ， ∴∠COD =∠DOB =21∠BOC =20°，∠COE =21∠AOC =65°， ∴∠DOE =∠COE －∠COD =65°－20°=45°. (3)∵∠AOB =90°，∠BOC =α， ∴∠AOC =90°+α，∵OD 、OE 分别是∠BOC 、∠AOC 平分线， ∴∠COD =∠DOB =21∠BOC =2α，∠COE =21∠AOC =45°+2α， ∴∠DOE =∠COE －∠COD =45°+2α－2α=45°. 18．解：(1)①∠AOD =90°+∠AOC∠BOC =90°+∠AOC ， ∴∠AOD 和∠BOC 相等．②∵∠AOC +∠AOB +∠BOD +∠DOC =1个周角， ∴∠AOC +90 +∠BOD +90 =360°. ∴∠AOC +∠BOD =180°； (2)①∵∠AOD =90°－∠BOD ，∠BOC =90°－∠BOD ， ∴∠AOD 和∠BOC 相等． ②成立．第18题图(1)∵∠AOC +∠BOD =∠AOB +∠BOC +∠BOD =∠AOB +∠DOC =90°+90°=180°， ∴∠AOC +∠BOD =180°．19．已知∠AOB =42°解：根据题意可以作出图(1)与图(2)的两种图形. 由图(1)设∠BOC =x °， ∵∠AOB =42°=∠AOC +∠COB ，+x =42， 解得，x =12°.由图(2)设∠BOC =x °，则∠AOC =(x +42) °， ∴x =， 解得，x =28°.∴∠BOC 的度数的为12°或28°.20．已知∠AOB =(n +1)°，在∠AOB 的内部引n 条射线分别为OA 1，OA 2，OA 3，…，OA n －1，OA n ，依据要求回答问题： (1))°. (2))°. (3) 第19题图(2)第19题图(1)第20题图浙教版2019-2020学年七年级数学上册第6章图形的初步知识6.7角的和差学案(有答案） 11 / 11 ……(4)23．(2019•模拟) 如图，已知∠AOB =m 度，OA 1平分∠AOB ，OA 2平分∠AOA 1，OA 3平分∠AOA 2，OA 4平分∠AOA 3，…，OA n 平分∠AOA n －1，则∠AOA n 的度数为 度． 解：∵∠AOB = m ，OA 1平分∠AOB ，∴∠AOA 1=21∠AOB = ∵OA 2平分∠AOA 1，∴∠AOA 2=21∠AOA 1m ，同理∠AOA 3=81m =∠AOA 4……∴∠AOA n第23题图。
MAPGIS6.7技巧和使用方法
一、如何将mapgis的图形插到word、excel、PowerPoint中首先点取mapgis菜单“其他拷贝”，接着打开word，点取“粘贴”。
Mapgis数据就复制到word文档里。
二、空心字格式使用空心字时，字体采用相应字体编号的负数。
如：-3表示黑体空心字。
三、合并区1、可以在屏幕上开一个窗口，系统就会将窗口内的所有区合并，合并后区的图形参数及属性与左键弹起时所在的区相同。
2、也可以先用菜单中的选择区功能将要合并的区拾取到，然后再使用合并区功能实现。
3、还可以先用光标单击一个区，然后按住CTRL键，在用光标单击相邻的区即可。
四、翻转图形在Mapgis中的其它下面整图变换中比例参数的X比例中输入法-1或Y 比例中输入-1l 后确定。
五、CAD转化为MAPGIS1．将CAD文件另存为2004／2000 DXF格式。
2．在MAPGIS主程序中选择“文件转换”。
3．输入中选择转入DXF文件，确定并复位4．保存点线文件（面无法转化）六、MAPGIS转化为CAD1．在MAPGIS主程序中选择“文件转换"。
2．分别装入点线文件，复位并全选。
3．输出中选择“部分图形方式输入DXF”全选并确定。
4．打开保存的DXF文件，用CAD复位显示图形，并改字体样式。
5．保存成CAD格式。
七、如何把JPG格式的转成MSI 格式图象处理………图象分析模块。
在里面点：文件……数据输入……转换数据类型(选JPG)………添加文件………转换转换后的格式为mapgis的msi影像文件!转换为MSI文件格式后再在输入编辑里，导入后矢量化。
八、在电脑里如何做剖面图，不用手画，而且精度更高l1、先把MAPGIS图生成JPG格式，在PHOTOSHOP中图像一图像太小一文挡大小中输入经过变化后的宽度和高度数字(根据剖面图的比例和JPG图的比例关系得出)；然后按需要裁剪，以减少图形的所占内存；2、裁剪后旋转使剖面线处于水平位置；3、在MAPGIS中插入裁剪旋转后光栅文件，新建线和点文件，以剖面线为水平的X轴，而垂直X轴的线为Y轴，以剖面线起点的位置为坐标原点，以剖面线起点的高程为起始Y 轴刻度，在X和Y轴上标上相对应比例尺的刻度。
九年级数学下第6章图形的相似6.7用相似三角形解决问题6.7.1用平行投影解决问题习题苏科
∴旗杆的影长为 3＋191＝398(米)．
∴3h8＝01.9，解得 h＝3.8.即旗杆高 FP 为 3.8 米． 9
8 【2020秋·镇江期末】如图，某同学想测量旗杆的高度， 在阳光下，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时 影长为1.5米，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆 靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上， 他测得落在地面上的影长为21米，留在墙上的影高为2 米，求旗杆的高度．
解：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，如图． ∵CD⊥BD，AB⊥BD， ∴∠EBD＝∠CDB＝∠CEB＝90°. ∴四边形 CDBE 为矩形． ∴BD＝CE＝21 米，CD＝BE＝2 米．
设 AE＝x 米，∴11.5＝2x1，解得 x＝14. ∴旗杆的高 AB＝AE＋BE＝14＋2＝16(米)．
【2020秋·扬州期末】如图，小明(用CD表示)站在旗杆(用 3
AB表示)的前方8 m处，某一时刻小明在地面上的影子EC 恰好与旗杆在地面上的影子EA重合．若CD＝1.6 m，CE ＝2 m，则旗杆AB的高度为( B ) A．6.4 m B．8 m C．9.6 m D．10 m
【点拨】∵AC＝8 m，EC＝2 m， ∴AE＝AC＋EC＝2＋8＝10(m)． ∵CD⊥AE，AB⊥AE，∴DC∥AB. ∴△DCE∽△BAE.∴AABE＝CCDE，
解：∵在阳光下，同一时刻物高与影长成正比，
∴AABC＝GNHG，即00..43＝N1.G8 ， 解得 NG＝2.4 米．
在 Rt△ NGH 中，NH＝ NG2＋HG2＝3 米．
设⊙O 的半径为 r，连接 OM，如图． ∵MH 与⊙O 相切于点 M，∴OM⊥NH. ∴∠NMO＝∠NGH＝90°.
机械加工通用技术规范DOC
机械加⼯通⽤技术规范DOC机械加⼯通⽤技术规范1.⽬的1.1 对机加⼯产品质量控制，以确保满⾜公司的标准和客户的要求。
1.2 本标准规定了各种机械加⼯应共同遵守的基本规则。
2.范围适⽤所有机加⼯产品，和对供应商机加⼯产品的要求及产品的检验。
3.定义A级表⾯：产品⾮常重要的装饰表⾯，即产品使⽤时始终可以看到的表⾯。
B级表⾯：产品的内表⾯或产品不翻动时客户偶尔能看到的表⾯。
C级表⾯：仅在产品翻动时才可见的表⾯，或产品的内部零件。
4.规范性引⽤⽂件下列⽂件对于本⽂件的应⽤是必不可少的。
凡是注⽇期的引⽤⽂件，仅注⽇期的版本适⽤于本⽂件。
凡是不注⽇期的引⽤⽂件，其最新版本（包括所有的修改单）适⽤于本⽂件。
GB/T 3-1997 普通螺纹收尾、肩距、退⼑槽和倒⾓GB/T 145-2001 中⼼孔GB/T 197-2003 普通螺纹公差GB/T 1031-2009 产品⼏何技术规范（GPS) 表⾯结构轮廓法表⾯粗糙度参数及其数值GB/T 1182-2008 产品⼏何技术规范（GPS) ⼏何公差形状、⽅向、位置和跳动公差标注GB/T 1184-1996 形状和位置公差未注公差值GB/T 1568-2008 键技术条件GB/T 1804-2000 ⼀般公差未注公差的线性和⾓度尺⼨的公差GB/T 2828.1-2003 计数抽样检验程序第1部分：按接收质量限（AQL）检索的逐批检验抽样计划GB/T 4249-2009 产品⼏何技术规范（GPS) 公差原则GB/T 5796.4-2005 梯形螺纹第4部分：公差Q/JS Jxx.xx-2012 不合格品控制程序Q/JS Jxx.xx-2012 机柜半成品钣⾦件下料技术要求5.术语和定义给出的术语和定义及下列术语和定义适⽤于本⽂件。
GB/T 1182-2008．5.1切削加⼯⽤切削⼯具（包括⼑具、磨具和磨料）把坯料或⼯件上多余的材料层切去成为切屑，使⼯件获得规定的⼏何形状、尺⼨和表⾯质量的加⼯⽅法。
6.7用相似三角形解决问题教学设计
然后，我会给出相似三角形的定义，并引导学生思考相似三角形的特点和性质。通过这一环节，学生将自然地进入新课的学习状态，为后续的学习打下基础。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对几何图形的兴趣，培养学生的审美观念，提高学生对数学美的感知能力。
2.培养学生善于观察、勇于探索的精神，使学生在面对未知问题时，敢于尝试、勇于挑战。
3.通过小组合作、讨论交流等形式，培养学生的团队协作意识和沟通能力，使学生学会倾听、尊重他人，形成积极向上的人际关系。
e)小结反馈：对学生的学习情况进行总结，针对存在的问题进行反馈和指导。
3.教学评价：
a)过程性评价：关注学生在课堂上的参与度、合作交流、实践操作等方面的表现，鼓励学生积极参与。
b)终结性评价：通过课后作业、单元测试等形式，评价学生对相似三角形知识点的掌握程度。
c)差异化评价：根据学生的个体差异，制定合适的评价标准，关注每个学生的成长。
1.理解并掌握相似三角形的定义、性质和应用。
2.学会运用相似三角形的知识解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的观察能力、分析能力、归纳总结能力和团队协作能力。
（二）教学难点
1.相似三角形的性质及其应用，特别是实际问题的建模和求解。
2.学生在解决相似三角形问题时，对尺规作图、计算等方面的熟练程度。
3.提交作业时，请注意书写工整，保持作业整洁。
4.教学资源：
a)利用多媒体教学资源，如PPT、动画等，直观展示相似三角形的性质和应用。
b)提供丰富的实际案例，帮助学生更好地理解相似三角形在现实生活中的应用。
《角的度量》教案((精选4篇))
《角的度量》教案（（精选4篇））（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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角的和差(48张PPT)数学
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解
(2)若OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，直接写出∠DOE的度数为________.
解 ∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
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14.如图，点O是直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝110°.(1)∠BOC＝_____°.
70
解析 ∠BOC＝180°－∠AOC＝70°，故答案为70.
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答案
解析
(2)现将射线OA绕点O以每秒10°角的速度顺时针旋转至与射线OB重合为止.设运动时间为t秒.当射线OA，射线OB，射线OC分别构成两个相等的角(重合除外)时，此时t的值为____________.
A
答案
解析 ∠1＝180°－∠COB＝180°－27°29′＝179°60′－27°29′＝152°31′.故选A.
解析
从一个角的 引出的一条射线，把这个角分成两个 的角，这条射线叫做这个角的平分线.
顶点
知识点2 角的平分线
答案
相等
自我检测
3.如图所示，OB是∠AOC的平分线，∠COD＝ ∠BOD，∠COD＝17°，则∠AOD的度数是( )A.70° B.83° C.68° D.85°
6.7 用相似三角形解决问题
6.7 用相似三角形解决问题学习目标：1.了解相似三角形的概念，掌握判定三角形相似的方法；会用相似三角形性质证明角相等或线段成比例，或进行角的度数和线段长度的计算等．2.了解图形的位似及性质，能够利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小．3.在利用图形的相似解决一些实际问题的过程中，进一步学习分析问题和解决问题的能力．一、课前预习（一）知识梳理1．相等，成比例的两个三角形相似，相似比是1的两个三角形是三角形。
2．相似三角形的判定：①对应相等的两个三角形相似．②两边对应成，且相等的两个三角形相似．③三边的两个三角形相似．④如果一个直角三角形的和一条边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．⑤平行于三角形一边的直线，截其它两边所得三角形与原三角形 .3.相似三角形的性质①相似三角形的相等，成比例．②相似三角形对应的比，对应的比和对应的比都等于相似比．③相似三角形周长的比等于．面积的比等于．4. 位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形．而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做图形，这个点叫做，这时的相似比又叫做位似比．（二）基础训练1．如图是小明做的一个风筝的支架，AB=40cm，BP=60cm，△ABC∽△APQ的相似比是（）A．3：2 B．2：3 C．2：5 D．3：52．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于________.3. 如图，D 、E 两点分别在△CAB 上，且 DE 与BC 不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE ∽△ABC ．4. 下列说法中正确的是（ ）A ．两个直角三角形一定相似；B ．两个等腰三角形一定相似C ．两个等腰直角三角形一定相似；D ．两个等腰梯形一定相似5. 厨房角柜的台面是三角形，如图，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色大理石．（图中阴影部分）其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是（ ）A ．14B ．41C ．13D ．346. 在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ，如果△ABC 的周长是16，面积是12，那么△DEF 的周长、面积依次为 ( )A ．8，3B ．8，6C ．4，3D ．4，67. 如图，点P 是Rt △ABC 的斜边 BC 上异于 B 、C 的一点，过P 点作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ）条．A ．1B ．2C ．3D ．4二、例题精讲例1如图，⊙O 中的弦AB 截另一弦CD 成CE 、DE 两部分，已知AB=7，CE=2，DE=6，求AE 长A E D C B例2如图27－105所示，九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD ＝3 m ，标杆与旗杆的水平距离BD ＝15 m ，人的眼睛与地面的高度EF ＝1．6 m ，人与标杆CD 的水平距离DF ＝2 m ，求旗杆AB 的高度．例3如图所示，在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，PQ ∥AB ，点P 在AC 上，点Q 在BC 上．(1)当△PQ C 的面积与四边形P ABQ 的面积相等时，求CP 的长；(2)当△PQ C 的周长与四边形P ABQ 的周长相等时，求CP 的长；(3)在AB 上是否存在点M ，使△PQM 为等腰直角三角形?若存在，求出PQ 的长；若不存在，请说明理由．例4 如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1)求直线AB 的解析式；(2)当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？(3)当t 为何值时，△APQ 的面积为245个平方单位？CA P QB三、当堂反馈1．如图，D 是△ABC 的边AB 上的点，请你添加一个条件，使△ACD 与△ABC 相似．你添加的条件是___________2．如图27－99所示，在△ABC 中，有DE ∥BC ，12AD BD ，DE ＝4 cm ， 则BC 的长为 ( )A ．8 cmB ．12 cmC ．11 cmD ．10 cm3．（2011贵州毕节）两个相似三角形的面积比是16:9，其中较小三角形周长为36cm ，则较大三角形周长为( )A ．48cmB ．54cmC ．56cmD ．64cm4．要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边长分别为50 cm ，60 cm ，80 cm ，三角形框架乙的一边长为20 cm ，那么符合条件的三角形框架乙共有( )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种5.如图，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，交 AD 于F ，图中相似三角形的对数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．王明同学为了测量河对岸树AB 的高度．他在河岸边放一面平面镜，他站在C 处通过平面镜看到树的顶端A ．如图，然后他量得B 、P 间的距离是56米，C 、P 间距离是 12米，他的身高是1．74米． ⑴他这种测量的方法应用了物理学科的什么知识？请简要说明；⑵请你帮他计算出树AB 的高度．CB AP D7．如图所示，在房子外的屋檐E 处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区在△ABD 。
河南省洛阳市偃师区实验小学2023届三年级数学第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析
河南省洛阳市偃师区实验小学2023届三年级数学第二学期期末学业质量监测模拟试题一、我会选。
1．被减数减少10，要使差减少10，减数应（）．A．不变B．增加10 C．减少102．有一批同学参加跑步、跳远比赛，其中参加跑步的同学有42名，参加跳远的同学有38名，两项都参加的同学有18名。
共有（）名同学参加了比赛。
A．61 B．62 C．633．下午3时40分，用24时记时法表示为（）。
A．3：40 B．14：40 C．15：404．一个长方形的长增加6厘米，宽减少6厘米，它的周长（）。
A．不变B．增加C．减少5．把2个边长是3厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的面积是（）．A．18厘米B．24平方厘米C．18平方厘米D．36厘米二、我会判断。
6．小数不一定比整数小．（_____）7．所有的小数都比0大,都比1小．（____）8．现在是下午3时,7小时前是上午8时．（________）.9．用0、4、7、8可以组成8个不同的两位数。
（____）10．三位数减两位数，差不是三位数，就是两位数。
（______）三、我能填。
11．□2×35，当□里填（_________）时，这个算式的积是三位数。
12．北京申办奥运会成功的时间是2001年7月13日。
到今年的7月13日经过了（____）年。
13．梅山小学三年级20名男生实心球投掷测试成绩如下表：编号成绩/米编号成绩/米编号成绩/米编号成绩/米1 7.3 6 6.7 11 6.9 16 6.62 6.5 7 7.7 12 8.2 17 5.73 5.8 8 9.5 13 6.5 18 7.14 8.6 9 6.2 14 5.2 19 6.45 5.4 10 4.8 15 7.5 20 6.7（1）这20名男生中，实心球投掷成绩最好的是（________）米，成绩最差的是（________）米，最好成绩与最差成绩相差（________）米。
（2）这20名男生中，投掷成绩低于6.0米的有（________）人，高于7.0米的有（________）人。
大学物理学之角动量守恒
h
m' v m
v
例6.5：在图示装置中，盘与重物的质 ：在图示装置中， 量均为m，胶泥的质量为m’, 原来重 量均为 ，胶泥的质量为 物与盘静止，让胶泥从h高处自由落 物与盘静止，让胶泥从 高处自由落 求胶泥粘到盘上后获得速度。 下，求胶泥粘到盘上后获得速度。
vo 6.8、 6.5图 图6.8、题6.5图
o
F
mg
图6.4、题6.1图 、 图
5
例6.2：在图示情况下，已知圆锥摆的质量为 ， ：在图示情况下，已知圆锥摆的质量为m， 速率为v，求圆锥摆对 点 点 轴的角动量。 速率为 ，求圆锥摆对o点,o’点,oo’轴的角动量。 轴的角动量 在讨论质点的角动量时， 在讨论质点的角动量时，必须指明是对 那点或那个轴的角动量
守恒条件: 守恒条件
M x = 0 ⇒ Lx = const M y = 0 ⇒ Ly = const M z = 0 ⇒ Lz = const
北师大版三年级下册元角分
【教师寄语：既然选择了远方，便只顾风雨兼程。
】元角分与小数姓名：【基础再现】【知识点一】元、角、分单位换算1元=（）角 1角=（）分 1元=（）分【知识点二】小数的认识1、小数的组成小数由两部分组成：（）部分和（）部分小数点右边起依次为（）位、（）位、（）位2、小数的读写（1）读法：从左往右，整数部分按照整数的读法来读（整数部分是0的读作“零”），小数点读作“点”，小数部分顺次读出每一个数位上的数字，即使连续的0，也要依次读出来。
（2）写法：写小数：是从左往右，整数部分按照整数的写法来写（整数部分是零的写作“0”），小数点点在个位的右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
3、比较小数的大小①（）对齐，其余各部分相应对齐。
②先比较整数部分，再比较小数部分。
③从（）位开始比较。
④带单位的数之间的比较，要先（），再开始比较。
4、小数加减法注意事项（）对齐，其余各位依次对齐，缺位的可用（）补位，然后按照整数加减法开始计算。
【重难考点】1、掌握元角分之间的互换。
2、掌握小数的相关概念。
【典型例题】【例1】选择题1、把5元8分写成用“元”作单位的小数是（）A、0.58元B、5.8元C、5.08元2、把3元2分改写成小数是（）A、3.2元B、3.02元C、3.0002元D、0.32元3、计算钱应只算到分，所以以“元”为单位的钱数应保留（）A、一位小数B、两位小数C、三位小数4、妈妈买了1块3元5角的香皂，付钱后，售货员找回5角钱．妈妈付了（）钱．A、8元5角B、4元C、4元5角D、3元5、30分=（）元．A、0.3B、3C、0.036、用元作单位计算“2元5分+4元5分”，正确的算式是（）A、2.5+4.5B、2.05+4.50C、2.05+4.057、李小丽共有85枚1角的硬币，如果把这些硬币都换成5角的硬币，一共可以换成（）枚5角的硬币．A、43枚B、86枚C、17枚8、一张20元，一张2元和一枚5角硬币合起来是（）A、20.25元B、22.05元C、22.50元9、1把尺子2.2元，下列组合中不是2.2元的是（）A、2张1元，2张1角B、1张2元，1张2角C、1张1元，2张1角10、20元4角用小数表示是（）A、2004元B、20.04元C、20.4元【例2】填空题1、妈妈买了3元4角的西红柿，又买了5元7角的黄瓜，她一共花了元。
九年级数学下册 6.7 用相似三角形解决问题 解读投影知识及典型例题素材
学习投影的技巧一、归纳概念㈠投影：用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影.其中光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.如我们看电影时,就是通过放映机把影像投射在幕布上形成的影子，幕布所在的平面即为投影面。
㈡中心投影和平行投影1、平行投影:由平行光线形成的投影是平行投影。
如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影.物体所处的位置、方向及时间影响该物体的平行投影：①不同时刻、同一地点、同一物体的影子的长度不同；②同一时刻、同一地点、不同物体的影子的长度与它们的物体的长度成正比。
例1:四副图形中，表示两颗小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是(）图1分析：太阳光是平行光，因而投影是平行投影.在平行投影中,物体的影子应在同一个方向，且高的物体的投影也应较长.选A.反思:掌握平行投影的特征，理解在实例中探究的物体在太阳光下所形成的影子的大小及方向.2、中心投影:由同一点（点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.如物体在灯泡发出光的照射下形成影子就是中心投影。
光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影：①同一物体相对同一光源的距离近时的影子比远时的影子短；②光源方向或物体的位置改变,则该物体与影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分居物体的两侧.3、平行投影与中心投影的关系⑴联系:平行投影与中心投影都是投影，都是物体在光线下形成的影子.⑵区别：平行投影是在平行光线下所形成的投影，同一时刻，同一地点上的物体与物体若平行，则它们的影子与影子平行或在同一条直线上，且物体的长与影子成比例.中心投影是从一点出发的光线所形成的投影,同一光源下,物体与影子所在直线交于一点，过影子顶端与物体顶端的直线相交于光源处。
例2:如图2,小亮同学在晚上由路灯A 走向路灯B,当他走到点P 时，发现他的身影顶部正好接触路灯B 的底部,这时他离路灯A25米，离路灯B5米，如果小亮的身高为1。
6米，那么路灯高度为（ ）A 。
三角函数公式大全(全Mathtype6.7编辑)
倒数关系:tanα·cotα＝1sinα·cscα＝1cosα·secα＝1商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα平方关系：sin2α＋cos2α＝11＋tan2α＝sec2α1＋cot2α＝csc2αsin(－α)＝－sinαsin(π/2－α)＝cosαcos(π/2－α)＝sinαtan(π/2－α)＝cotαcot(π/2－α)＝tanαsin(π/2＋α)＝cosαcos(π/2＋α)＝－sinαtan(π/2＋α)＝－cotαcot(π/2＋α)＝－tanαcos(－α)＝cosαsin(π－α)＝sinαcos(π－α)＝－cosαtan(π－α)＝－tanαcot(π－α)＝－cotαsin(π＋α)＝－sinαcos(π＋α)＝－cosαtan(π＋α)＝tanαcot(π＋α)＝cotαtan(－α)＝－tanαsin(3π/2－α)＝－cosαcos(3π/2－α)＝－sinαtan(3π/2－α)＝cotαcot(3π/2－α)＝tanαsin(3π/2＋α)＝－cosαcos(3π/2＋α)＝sinαtan(3π/2＋α)＝－cotαcot(3π/2＋α)＝－tanαcot(－α)＝－cotαsin(2π－α)＝－sinαcos(2π－α)＝cosαtan(2π－α)＝－tanαcot(2π－α)＝－cotαsin(2kπ＋α)＝sinαcos(2kπ＋α)＝cosα tan(2kπ＋α)＝tanα cot(2kπ＋α)＝cotα (其中k ∈Z)两角和与差的三角函数公式 sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβtan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-gtan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+g万能公式：22tan2sin 1tan 2ααα=+221tan 2cos 1tan 2ααα-=+ 22tan2tan 1tan2ααα=-半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α22tan tan 21tan ααα=-三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin3α＝3sinα－4sin 3α cos3α＝4cos 3α－3cosα323tan tan tan 313tan αααα-=- 三角函数的和差化积公式sin sin 2sin cos 22αβαβαβ+-+=g sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=g cos cos 2coscos22αβαβαβ+-+=g cos cos 2sinsin22αβαβαβ+--=-g三角函数的积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=•)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=•)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=•)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=•化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式)已知三角形的2边和其夹角，求第3边的长度：222cos c a b ab α=+-。
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七年级（上）6.7角的和差
主备人：张巧红审核人：
【学习目标】
1、理解角的和差概念。
2、会表示两个角的和差，并会在图中辨认角的和差。
3、会用量角器作两个角的和或差。
4、★理解角平分线定义，会用量角器画角的平分线
5、会进行有关角的和差倍分的简单计算
【重点难点】重点：角的和差概念及辨认难点：例题2
【学习过程】
探究活动一
1准备：请在所给的半透明纸上任意画一个角。
2自主学习书本P160部分，完成下列问题：
（1）理解角的和差定义及表示方法（注意角的和或差仍是一个角）
（2）做一做：同一端点的三条射线如图.
请完成下面的填空：
∠AOB＋∠BOC＝∠________＝__________ 度；
∠AOC－∠BOC＝∠______ ＝______度；
∠BOC＝∠AOC－∠______ ＝_______ 度.
（3）再一试：根据图形填空：
①∠ＡＯＢ＝∠ＡＯＣ＋______
②∠ＡＯＤ＝∠ＡＯＢ－_______ ＝_______ －∠ＣＯＤ．
③∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＤ－∠ＡＯＢ＝ _________
探究活动二：
角的和或差作图
1、一副三角板，你能根据上节课知识继续利用本课所学角的和或差，继续做出一些角吗？
2、已知如图∠α，∠β，用量角器作∠AOB=∠α+∠β
3、练习：（1）已知∠α，∠β如图，用量角器求作∠AOC=∠α－∠β（2）用量角器求作∠AOM=2∠β.
4、OA、OB、OC是从同一端点出发的三条射线，已知∠AOB=60°，∠BOC=20°，请你画出图形，并求∠AOC 的度数。
角的平分线
1、把所给半透明纸上画好的角，折叠使得角的两边重合，然后展开铺平，并请画出折痕，你发现了什么？
2、角的平分线定义：
3、根据书本图6-39完成下列填空：
4、用量角器作角平分线
探究活动三：
新知应用：（自学例题2）如图 6-40，∠ＡＢＣ＝90°，∠ＣＢＤ＝30°，ＢＰ平分∠ＡＢＤ，求∠ＡＢＰ的度数．
解∵∠ＡＢＤ＝∠＋∠
＝°+ °= °
又∵ＢＰ平分∠ＡＢＤ
∴∠ＡＢＰ＝∠ＡＢＤ
＝1
2
× =
当堂检测
1、如图，∠ＡＢＣ＝60°，∠ＡＢＤ＝145°，ＢＥ平分∠ＡＢＣ. 求∠ＤＢＥ的度数．
2、如图，点O在直线AC上，∠AOB＝55°.用量角器作出∠BOC的角平分线OD，并计算∠AOD的度数.
3、如图，Ｅ是直线ＡＣ上一点，ＥＦ，ＥＧ分别是∠ＡＥＢ，∠ＢＥＣ的平分线.求∠ＧＥＦ的度数．
参考答案
1、∵∠ABC=60°,BE平分∠ABC
∴∠CBE=30°
∵∠DBC=∠ABD－∠ABC=145°－60°=85°
∴∠DBE=85°+30°=115°
2、∵∠AOB=55°
∴∠BOC=180°－55°=125°
∵OD平分∠BOC
∴∠BOD=125°÷2=62.5°
∵∠AOB=55°
∴∠AOD=55°﹢62.5°=117.5°
3、∵EF、EG分别是∠AEB、∠BEC的角平分线
∴∠GEB=∠AEB÷2，∠BEF=∠BEA÷2
∴∠GEF=∠GEB+∠BEF=(∠AEB+∠BEA) ÷2=∠CEA÷2=90°。