2020高考数学第一轮总复习 3-2(基础巩固强化+能力拓展提升+备选题库+优化指导,含解析)新人教版B版
2020届高三数学一轮复习 解析几何初步巩固与练习 精品
巩固1．条件p ：“直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍”；条件q ：“直线l 的斜率为－2”，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分也非必要条件解析：选B.主要考虑直线l 在x 、y 轴上的截距都为0时，满足条件p 但不能推出q . 2．(原创题)过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( ) A ．6 B. 2C ．2D ．不确定解析：选B.由题意得k AB ＝b －a5－4＝1，即b －a ＝1，所以|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2.3．已知直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量为b ＝(－1，k )．若直线l 2经过点(0,5)且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程为( )A ．x ＋3y －5＝0B ．x ＋3y －15＝0C ．x －3y ＋5＝0D ．x －3y ＋15＝0解析：选B.∵l 2经过(0,5)且方向向量b ＝(－1，k )，∴l 2的方程为y －5＝－kx ，又∵l 1的方向向量a ＝(1,3)，l 1⊥l 2，∴－k ·3＝－1⇒k ＝13，即l 2为y －5＝－13x ，∴x ＋3y －15＝0.4．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是________．解析：圆x 2＋2x ＋y 2＝0可化为(x ＋1)2＋y 2＝1， ∴C (－1,0)．∵直线x ＋y ＝0的斜率为－1， ∴所求直线斜率为1，∴所求直线方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝05．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)，且与经过点(－2,1)，斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值为________．解析：直线l 的斜率k ＝2－a －2－a ＋2＝－1a(a ≠0)，∴－1a ·(－23)＝－1，∴a ＝－23.答案：－236．△ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边上的垂直平分线DE 的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0. (2)设BC 中点D 的坐标为(x ，y )，则 x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2，由斜截式得直线DE 的方程为y ＝2x ＋2.练习1．与直线x ＋4y －4＝0垂直，且与抛物线y ＝2x 2相切的直线方程为( ) A ．4x －y ＋1＝0 B ．4x －y －1＝0 C ．4x －y －2＝0 D ．4x －y ＋2＝0 答案：C2．直线2x cos α－y －3＝0(α∈[π6，π3])的倾斜角的变化范围是( )A ．[π6，π3] B. [π4，π3]C ．[π4，π2)D ．[π4，2π3]解析：选B.直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，由于α∈[π6，π3]，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]，由于θ∈[0，π)，所以θ∈[π4，π3]，即倾斜角的变化范围是[π4，π3]．3．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( ) A ．1 B ．2C ．－12D ．2或－12解析：选D.当2m 2＋m －3≠0时，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12.4．若点A (a,0)，B (0，b )，C (1，－1)(a ＞0，b ＜0)三点共线，则a －b 的最小值等于( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．0 解析：选A.∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即b －00－a ＝－1－01－a ，∴1a －1b ＝1，∴a －b ＝(a －b )(1a －1b )＝2－b a －ab ＝2＋[(－b a )＋(－ab)]≥2＋2＝4.(当a ＝－b ＝2时取等号)5.已知直线l 1，l 2的方程分别为x ＋ay ＋b ＝0，x ＋cy ＋d ＝0，其图象如图所示，则有( )A ．ac ＜0B ．a ＜cC ．bd ＜0D ．b ＞d 解析：选C.直线方程化为l 1：y ＝－1a x －b a，l 2：y ＝－1c x －dc.由图象知，－1c ＜－1a ＜0，－b a ＞0＞－dc，∴a ＞c ＞0，b ＜0，d ＞0.6．设点A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－52]∪[43，＋∞)B ．(－43，52)C ．[－52，43]D ．(－∞，－43]∪[52，＋∞)解析：选B.直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)， 且斜率为－a ，∵k MA ＝3－(－2)－2－0＝－52，k MB ＝2－(－2)3－0＝43，由图可知：－a ＞－52且－a ＜43，∴a ∈(－43，52)，故选B.7．已知a ＝(6,2)，b ＝(－4，12)，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的一般方程是____________________．解析：a ＋2b ＝(－2,3)，设P (x ，y )为直线l 上任意一点，由(a ＋2b )⊥PA →，得直线l 的一般方程是2x －3y －9＝0.答案：2x －3y －9＝08．从点(2,3)射出的光线沿与直线x －2y ＝0平行的直线射到y 轴上，则经y 轴反射的光线所在的直线方程为________________．解析：由题意得，射出的光线方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0，与y 轴交点为(0,2)，又(2,3)关于y 轴对称点为(－2,3)， ∴反射光线所在直线过(0,2)，(－2,3)，故方程为y －2＝3－2－2x ，即x ＋2y －4＝0.答案：x ＋2y －4＝0 9．与直线3x ＋4y ＋12＝0平行，且与坐标轴构成的三角形的面积是24的直线l 的方程是____________________．解析：设直线l 的方程为3x ＋4y ＝a (a ≠0)，则直线l 与两坐标轴的交点分别为(a 3，0)，(0，a4)，∴12×|a 3|·|a4|＝24，解得a ＝±24， ∴直线l 的方程为3x ＋4y ＝±24.答案：3x ＋4y ＋24＝0或3x ＋4y －24＝010．(1)求经过点A (－5,2)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程． (2)过点A (8,6)引三条直线l 1，l 2，l 3，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l 2的方程是y ＝34x ，求直线l 1，l 3的方程．解：(1) ①当横截距、纵截距都为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5,2)代入y＝kx 中，得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1， 将(－5,2)代入所设方程， 解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0. 综上所述，所求直线方程为 x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.(2)设直线l 2的倾斜角为α，则tan α＝34.于是tan α2＝1－cos αsin α＝1－4535＝13，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×341－(34)2＝247， 所以所求直线l 1的方程为y －6＝13(x －8)，即x －3y ＋10＝0，l 3的方程为y －6＝247(x －8)，即24x －7y －150＝0.11.在△ABC 中，已知A (5，－2)、B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的方程．解：(1)设C (x ，y )，M (0，b )，N (a,0)，则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＋52＝0y －22＝b x ＋72＝a y ＋32＝0，解得x ＝－5，y ＝－3，a ＝1，b ＝－52.∴C (－5，－3)．(2)由(1)知M (0，－52)，N (1,0)，∴k MN ＝52，∴MN 的方程为y ＝52(x －1)，即5x －2y －5＝0.12．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴、y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4，由已知，得|(3k ＋4)(－4k－3)|＝6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.所以直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.。
2020版江苏高考数学复习：基础夯滚天天练(共60练)含答案
目录高考数学一轮复习基础夯滚天天练(1) 集合的基本运算高考数学一轮复习基础夯滚天天练(2) 命题和逻辑联结词高考数学一轮复习基础夯滚天天练(3) 充分条件和必要条件高考数学一轮复习基础夯滚天天练(4) 函数及其表示方法高考数学一轮复习基础夯滚天天练(5) 函数的解析式和定义域高考数学一轮复习基础夯滚天天练(6) 函数的值域和最值高考数学一轮复习基础夯滚天天练(7) 函数的单调性和奇偶性高考数学一轮复习基础夯滚天天练(8) 函数的图象高考数学一轮复习基础夯滚天天练(9) 二次函数高考数学一轮复习基础夯滚天天练(10) 函数的应用高考数学一轮复习基础夯滚天天练(11) 指数与对数高考数学一轮复习基础夯滚天天练(12) 幂函数、指数函数与对数函数高考数学一轮复习基础夯滚天天练(13) 函数与方程高考数学一轮复习基础夯滚天天练(14) 导数的概念及运算高考数学一轮复习基础夯滚天天练(15) 导数在研究函数中的简单应用高考数学一轮复习基础夯滚天天练(16) 同角三角函数的关系及诱导公式高考数学一轮复习基础夯滚天天练(17) 三角函数的图象高考数学一轮复习基础夯滚天天练(18) 三角函数的性质(1)高考数学一轮复习基础夯滚天天练(19) 三角函数的性质(2)高考数学一轮复习基础夯滚天天练(20) 和差倍角的三角函数高考数学一轮复习基础夯滚天天练(21) 正弦定理和余弦定理高考数学一轮复习基础夯滚天天练(22) 三角函数及解三角形高考数学一轮复习基础夯滚天天练(23) 一元二次不等式高考数学一轮复习基础夯滚天天练(24) 简单的线性规划高考数学一轮复习基础夯滚天天练(25) 基本不等式及其应用高考数学一轮复习基础夯滚天天练(26) 直线的斜率和直线的方程高考数学一轮复习基础夯滚天天练(27) 两条直线的位置关系高考数学一轮复习基础夯滚天天练(28) 圆的方程高考数学一轮复习基础夯滚天天练(29) 直线与圆、圆与圆的位置关系高考数学一轮复习基础夯滚天天练(30) 直线与圆的综合运用高考数学一轮复习基础夯滚天天练(31) 椭圆(1)高考数学一轮复习基础夯滚天天练(32) 椭圆(2)高考数学一轮复习基础夯滚天天练(33) 双曲线高考数学一轮复习基础夯滚天天练(34) 抛物线高考数学一轮复习基础夯滚天天练(35) 圆锥曲线高考数学一轮复习基础夯滚天天练(36) 向量的概念与线性运算高考数学一轮复习基础夯滚天天练(37) 平面向量的基本定理与坐标运算高考数学一轮复习基础夯滚天天练(38) 平面向量的数量积高考数学一轮复习基础夯滚天天练(39) 平面向量的应用高考数学一轮复习基础夯滚天天练(40) 复数的概念、几何意义及运算高考数学一轮复习基础夯滚天天练(41) 数列的概念高考数学一轮复习基础夯滚天天练(42) 等差数列高考数学一轮复习基础夯滚天天练(43) 等比数列高考数学一轮复习基础夯滚天天练(44) 等差数列与等比数列高考数学一轮复习基础夯滚天天练(45) 数列的通项与求和高考数学一轮复习基础夯滚天天练(46) 数列综合题高考数学一轮复习基础夯滚天天练(47) 平面的基本性质、空间两直线高考数学一轮复习基础夯滚天天练(48) 直线与平面的位置关系高考数学一轮复习基础夯滚天天练(49) 平面与平面的位置关系高考数学一轮复习基础夯滚天天练(50) 柱、锥、台、球的表面积与体积高考数学一轮复习基础夯滚天天练(51) 空间线面关系的判断、推证与计算高考数学一轮复习基础夯滚天天练(52) 抽样方法与总体估计高考数学一轮复习基础夯滚天天练(53) 算法的含义与流程图高考数学一轮复习基础夯滚天天练(54) 基本算法语句高考数学一轮复习基础夯滚天天练(55) 随机事件的概率、古典概型高考数学一轮复习基础夯滚天天练(56) 几何概型高考数学一轮复习基础夯滚天天练(57) 合情推理与演绎推理高考数学一轮复习基础夯滚天天练(58) 直接证明与间接证明高考数学一轮复习基础夯滚天天练(59) 热点知识练(1)高考数学一轮复习基础夯滚天天练(60) 热点知识练(2)参考答案121滴水穿石·数学一轮基础夯滚天天练>>>高考数学一轮复习基础夯滚天天练(1)集合的基本运算班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日一、填空题1. 已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，则A∪B中元素的个数为________．2. 设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N＝________________________________________________________________________.3. 已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，那么集合A∩∁U B ＝________．4. 已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A＝{0，1，3，5，8}，集合B＝{2，4，5，6，8}，则∁U A∩∁U B＝________．5. 设集合S＝{x||x－2|>3}，T＝{x|a<x<a＋8}，S∪T＝R，则实数a的取值范围是________．6. 已知集合A＝{－1，2，2a＋1}，B＝{－4，3}，且A∩B＝{3}，则a＝________．7. 已知集合A＝{－3，x2，x＋1}，B＝{x－3，2x－1，x2＋1}，若A∩B＝{－3}，则A∪B ＝________________．8. 已知集合P＝{－1，2}与M＝{x|kx＋1＝0}满足P∪M＝P，则实数k的值所组成的集合是______________．9. 已知集合A ＝{x|y ＝log 2(x 2－1)}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1，则A ∩B ＝______________．10. 集合B ＝{y ∈R |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∩B ＝________．11. 定义集合运算：A*B ＝{z|z ＝x·y ，x ∈A ，y ∈B}．设A ＝{1，2}，B ＝{0，2}，则集合A*B 的所有元素之和为________．12. A ，B 是非空集合，定义A ×B ＝．若A ＝{x|y ＝x 2－3x}，B ＝{y|y ＝3x }，则A ×B ＝________．13. 若x ∈A ，且11－x∈A ，则称集合A 为“和谐集”．已知集合M ＝{－2，－1，－12，0，1，12，23，2，3}，则集合M 的子集中，“和谐集”的个数为________．14. 若集合{a ，b ，c ，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d)的个数是________．二、 解答题15. 已知集合M ＝{x|2x －4＝0}，N ＝{x|x 2＋3x ＋m ＝0}．(1) 当m ＝2时，求M ∩N ，M ∪N ；(2) 若M ∩N ＝M ，求集合N.高考数学一轮复习基础夯滚天天练(2)命题和逻辑联结词班级________ 姓名____________ 学号______ 成绩______ 日期____月____日一、 填空题1. 命题的否定是____________________________．2. 已知命题“x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．3. 设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则“p ∧q ”为________命题．(填“真”或“假”)4. 给出以下四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤－1，则x 2＋x ＋q ＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号为________．5. 已知命题p ：x ≤0，x 2＋2x －3≥0，则命题p 的否定是__________________________．6. 已知命题p ：x 2－2x －3<0；命题q ：1x －2<0.则x 的取值范围是________．7. 已知命题p ：“a ＝1”是“x>0，x ＋a x≥2”的充要条件；则下列命题正确的是________．(填序号)8. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是________________________________________________________________________．9. 下列四个命题：①若一个命题的逆命题为真，则这个命题的逆否命题一定为真；②“a>b”与“a ＋c>b ＋c ”不等价；③“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0”； ④若一个命题的否命题为真，则这个命题的逆命题一定为真．其中不正确的是________．(填序号)10. 则a的取值范围是________．11. 则实数a的最小值为________．12. 如果不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对于恒成立，那么a的取值范围为________．13. 若命题“,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________________________________________________________________________．二、解答题14. 给定两个命题，p：对任意实数x，ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数解．如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(3)充分条件和必要条件班级________ 姓名____________ 学号______ 成绩______ 日期____月____日一、 填空题1. 设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)2. “ac 2>bc 2”是“a>b”成立的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)3. “x<－1”是“x 2－1>0”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)4. 已知向量a ＝(x －1，2)，b ＝(2，1)，则a ⊥b 的充要条件是________________．5. “M>N”是“log 2M>log 2N”成立的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)6. 若a ，b 为实数，则“0<ab<1”是“b<1a”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)7. 方程x 2k ＋1＋y 2k －5＝1表示双曲线的充要条件是____________． 8. 设p ，q 是两个命题，若p 是q 的充分不必要条件，那么非p 是非q 的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)9. “a ＝1”是“函数f(x)＝2x －a 2x ＋a在其定义域上为奇函数”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)10. “x<2”是“x 2－x －2<0”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)11. 不等式1x －1<1的解集记为p ，关于x 的不等式x 2＋(a －1)x －a>0的解集记为q ，已知p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．12. 已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是______________．13. 已知p ：12≤x ≤1，q ：(x －a)(x －a －1)>0，若p 是的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．14. 下列四个命题：①“，x 2－x ＋1≤0”的否定； ②“若x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题；③在△ABC 中,“A >30°”是“sin A >12”的充分不必要条件； ④“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π(k ∈Z )”．其中真命题的序号是________．二、解答题15. 若f(x)是R上的减函数，且f(0)＝3，f(3)＝－1，设P＝{x||f(x＋t)－1|<2}，Q＝{x|f(x)<－1}．若“x∈Q”是“x∈P”的必要不充分条件，求实数t的取值范围．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(4)函数及其表示方法班级________ 姓名____________ 学号______ 成绩______ 日期____月____日一、 填空题1. 有以下判断：其中判断正确的序号是________．①f(x)＝|x|x 与g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0，－1， x<0表示同一函数； ②函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝1的交点最多有1个；③f(x)＝x 2－2x ＋1与g(t)＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f(x)＝|x －1|－|x|，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0.2. 下列四组中的f(x)，g(x)表示同一个函数的是________．(填序号)①f(x)＝1，g(x)＝x 0； ②f(x)＝x －1，g(x)＝x 2x－1； ③f(x)＝x 2，g(x)＝(x)4; ④f(x)＝x 3，g(x)＝3. 若f(x)＝x 2＋bx ＋c ，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝________．4. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x， x>1，则f(f(3))＝________．5. 已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b ＝________．6. 函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝a(a 为常数)交点的个数为________．7. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时f (x )＝log 2(2－x )，则f (0)＋f (2)的值为________．8. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2， x ≥0，x 2＋2x ， x<0，则不等式f(f(x))≤3的解集为____________．9. 已知函数f(x)的图象如图所示，则它的一个解析式是________________．10. 已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，－2x ， x<0，若f(m)＝10，则m ＝________． 11. 已知f(2x ＋1)＝x 2－2x ，则f(3)＝________．12. 已知下列四组函数：①f(x)＝lg x 2，g(x)＝2lg x ；②f(x)＝x －2，g(x)＝x 2－4x ＋4；③f(x)＝1x －1，g(x)＝x ＋1x 2－1； ④f(x)＝x ，g(x)＝log a a x (a>0且a ≠1)．其中表示同一个函数的为________．(填序号)13. 已知映射f ：A →B ，其中A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝－x 2＋2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是________．二、 解答题14. 在边长为2的正方形ABCD 的边上有动点M ，从点B 开始，沿折线BCDA 向点A 运动，设点M 运动的距离为x ，△ABM 的面积为S.(1) 求函数S ＝f(x)的解析式、定义域和值域；(2) 求f(f(3))的值．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(5)函数的解析式和定义域班级________ 姓名____________ 学号______ 成绩______ 日期____月____日一、 填空题1. 函数y ＝2x －x 2的定义域是________________．2. 函数y ＝16－x －x2的定义域是________________．3. 已知实数m ≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －m ， x ≤2，－x －2m ， x>2，若f(2－m)＝f(2＋m)，则实数m 的值为________________．4. 若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有________种．5. 已知f(x)为一次函数，且f(f(x))＝4x －1，则函数f(x)的解析式为f(x)＝________________________________________________________________________.6. 已知二次函数y ＝f(x)满足条件f(x ＋1)－f(x)＝2x ，f(0)＝1，则f(x)的表达式为f(x)＝____________．7. 函数的定义域是________________．8. 函数y ＝x （x －1）＋x 的定义域是________________．9. 若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝________．10. 已知函数y ＝f(x ＋1)的定义域是[－2，3]，则函数y ＝f(2x －1)的定义域为________．11. 函数f(x)＝lg (2x －3x )的定义域是________．12. 若函数y ＝f(x)的定义域是[0，8]，则函数g(x)＝f （2x ）ln x的定义域是________________________________________________________________________．13. 若函数f(x)＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．14. 已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图象过点(0，－3)，且f (x )>0的解集为(1，3)，则f (x )的解析式为f (x )＝________________．二、 解答题15. 如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，且上底CD的端点在圆周上，写出梯形周长y关于腰长x的函数关系式，并求出它的定义域．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(6)函数的值域和最值班级________ 姓名____________ 学号______ 成绩______ 日期____月____日一、 填空题1. 函数y ＝x －x ＋1的值域为__________．2. 函数y ＝4－x 2的值域是________．3. 函数y ＝x 2＋3x ＋1的值域是____________________．4. 函数y ＝x －x 的值域为________．5. 函数f(x)＝2x －12x ＋1的值域为________．6. 已知函数y ＝x 2－2x ＋3⎝⎛⎭⎫0≤x ≤32，则函数的最大值和最小值的积是________．7. 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≤0，－x 2＋1， x>0的值域为________．8. 函数f(x)＝log 2(4－x 2)的值域为________．9. 设函数f(x)＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x>2，x ＋a 2，x ≤2，若函数f(x)的值域为R ，则实数a 的取值范围是__________________．10. 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥0，－2－x， x<0的值域是________________．11. 已知函数y ＝ax 2＋2x ＋1的值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．12. 已知函数f(x)＝x 2－1，g(x)＝－x ，令φ(x)＝max [f(x)，g(x)](即f(x)和g(x)中的较大者)，则φ(x)的最小值为________．13. 已知函数f(x)＝x ＋p x ＋1(x>－1，p 为正常数)，g(x)＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋2(x ∈R )有相同值域，则p ＝________．14. 下列几个命题：①函数f(x)＝(x)2与g(x)＝x表示的是同一个函数；②若函数f(x)的定义域为[1，2]，则函数f(x＋1)的定义域为[2，3]；③若函数f(x)的值域是[1，2]，则函数f(x＋1)的值域为[2，3]；④若函数f(x)＝x2＋mx＋1是偶函数，则函数f(x)的单调减区间为(－∞，0]；⑤函数f(x)＝lg(x2＋1＋x)既不是奇函数，也不是偶函数．其中正确的命题有________个．二、解答题15. 已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1，9]，求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(7)函数的单调性和奇偶性班级________ 姓名____________ 学号______ 成绩______ 日期____月____日一、 填空题1. 在函数：①y ＝cos x ；②y ＝sin x ；③y ＝ln x ；④y ＝x 2＋1中，既是偶函数又存在零点的是________．(填序号)2. 已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是________________．3. 函数y ＝1－x1＋x的单调减区间为________________．4. 已知函数f(x)＝2x 2－mx ＋3，当x ∈(－2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，－2)时是减函数，则f(1)＝________．5. 已知函数f(x)是减函数，且f(x)>0，则在函数：①y ＝1f （x ）；②y ＝2f(x)；③y ＝[f(x)]2；中为增函数的是________．(填序号)6. 设函数f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________．7. 若f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则f(x 2＋x ＋1)和f ⎝⎛⎭⎫34的大小关系为______________．8. 已知函数f(x)是奇函数，且x ∈(0，＋∞)时的解析式是f(x)＝lg (x ＋1)，则x ∈(－∞，0)时，f(x)＝________________．9. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －k ， x ≤0，（1－k ）x ＋k ， x>0是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________．10. 已知f(x)＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________．11. 函数f(x)＝x 5＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )＝________．12. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为________．13. 已知y ＝log a (2－ax)在区间[0，1]上是关于x 的减函数，则a 的取值范围是________．14. 若f(x)＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．二、 解答题15. 已知函数f(x)＝x 2＋ax(x ≠0，a ∈R )．(1) 判断函数f (x )的奇偶性；(2) 若函数f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(8)函数的图象班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日一、填空题1. 函数y＝x 43的图象大致是________．(填序号)①②③④2. 某班四个同学在同一坐标系中，作了两个函数的图象，其中能够作为函数y＝ax2＋bx与y＝ax＋b(a≠0，b≠0)的图象的是________．(填序号)①②③④3. 函数y＝a x－a(a>0，a≠1)的图象可能是________．(填序号)①②③④4. 函数y＝1－|1－x|的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为________．5. 已知a>0且a≠1，函数y＝|a x－2|与y＝3a的图象有两个交点，则a的取值范围是____________．6. 若函数y＝4x＋a2x的图象关于原点对称，则实数a的值为________．7. 已知函数y＝log a(x＋b)的图象如图所示，则a b＝________．8. 函数y＝log2|x＋1|的图象关于直线________对称．9. 函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是________．10. 已知0<a<1，则函数f(x)＝a x －|log a x|的零点个数为________．11. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4， x>0，－x －3， x<0.若f(a)>f(1)，则实数a 的取值范围是____________．12. 将函数y ＝2x 的图象向左平移一个单位长度，得到图象C 1，再将C 1向上平移一个单位长度得到图象C 2，则C 2的解析式为____________．13. 已知函数f(x)＝32x －(k ＋1)·3x ＋2，当x ∈R 时，函数f (x )恒为正值，则k 的取值范围是________________．二、 解答题14. 分别作出函数f(x)，g(x)的图象，并利用图象回答问题．(1) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4， x ≤1，x 2－4x ＋3， x>1，g(x)＝log 2x ，求方程f(x)＝g(x)的解的个数；(2) f(x)＝x ＋1，g(x)＝log 2(－x)，求不等式f(x)>g(x)的解集．二次函数班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日一、填空题1. 若a，b，c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．2. 已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________．3. 若函数y＝x2－2x＋a在区间[0，3]上的最小值是4，则a＝________；若最大值是4，则a＝________．4. 若函数y＝|x－a－3|＋b，x∈[a，b]的图象关于直线x＝3对称，则b＝________．5. 已知函数f(x)＝3(x－2)2＋5，且|x1－2|>|x2－2|，则f(x1)________f(x2)．(填“>”“<”或“＝”)6. 若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．7. 设x，y是关于m的方程m2－2am＋a＋6＝0的两个实根，则(x－1)2＋(y－1)2的最小值是________．8. 已知函数f(x)＝x2－4x，x∈[1，5]，则函数f(x)的值域是________．9. 已知函数f(x)＝x2－2x，x∈[a，b]的值域为[－1，3]，则b－a的取值范围是________．10. 若函数f(x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是________．11. 已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0，1]上有一个最大值－5，则a＝________．12. 已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1，3)，又f(x)＋6a＝0有两个相等的根，则f(x)＝________________．13. 已知命题p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为；命题q：函数y＝(2a2－a)x为增函数．若命题“p∨q”为真命题，则实数a的取值范围是________________________________________________________________________．二、解答题14. 已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1) 当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；(2) 当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．函数的应用班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日一、填空题1. 某出租车公司规定“打的”收费标准如下：3千米以内为起步价8元(即行程不超过3千米，一律收费8元)，若超过3千米，除起步价外，超过部分再按1.5元每千米收费计价，若某乘客与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车里程数为7.4千米，则乘客应付的车费是________元．2. 已知矩形的周长为1，它的面积S与矩形的长x之间的函数关系中，定义域为________．3. 某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元，据经验，若每件少卖0.1元，则每天可多卖出100件，为获得最好的经济利益每件单价应降低________元．4. 某厂生产中所需的一些配件可以外购，也可以自己生产．如果外购，每个价格是1.10元；如果自己生产，那么每月的固定成本将增加800元，并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元，那么决定此配件外购还是自产的转折点是________件．(即生产多少件以上自产合算)5. 某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)的最低产量是________台．6. 购买手机的“全球通”卡，使用时须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为0.60元．若某用户每月手机费预算为120元，则他购买________卡才合算．7. 如图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2m，边坡的倾角为45°，水深h m，则横截面中有水面积S(m2)与水深h(m)的函数关系式为____________．8. 某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路，该产品的广告效益应该是产品的销售额与广告费之间的差．如果销售额与广告费的算术平方根成正比，根据对市场进行抽样调查的结果显示：每付出100元的广告费，所得的销售额是1 000元，那么该企业应该投入________元广告费，才能获得最大的广告效应．9. 某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(以30天计)里，有20天每天卖出量可达400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进________份，才能使每月所获的利润最大．10. 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为__________________________________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)二、解答题11. 近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网．这种供电设备的安装费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝k20x ＋100(x ≥0，k 为常数)．记F 为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和．(1) 解释C(0)的实际意义，并建立F 关于x 的函数关系式； (2) 当x 为多少平方米时，F 取得最小值？最小值是多少万元？12. 随着机构改革工作的深入进行，各单位要裁员增效．有一家公司现有职员2a 人(140<2a<420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的34，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？高考数学一轮复习基础夯滚天天练(11)指数与对数一、 填空题 1.2. 计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝________．3的值为________．4. 计算：lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2＝________．5. 设则a ，b ，c 的大小关系是________．6. 方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是________．7. 设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1， x<2，lg （x 2－1）， x ≥2，则f(f(2))＝________．8. 计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷＝________．9. 方程4x －2x ＋1－3＝0的解是________________．10. 关于x 的不等式的解集为________．11. 已知3a ＝5b ＝c ，且1a ＋1b ＝2，则c ＝________．12. 不等式log 2(2x －1)<log 2(－x ＋5)的解集为________．13. 给出下列结论，其中正确的是________．(填序号)①当a<0时，(a 2)32＝a 3；②na n ＝|a|(n>1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2且x ≠73；④若2x＝16，3y＝127，则x＋y＝7.14. 已知函数f(x)＝2|x|－2，不等式x[f(x)＋f(－x)]>0的解集是________________________________________________________________________．二、解答题15. 求值或化简：(1) lg8＋lg125－lg2－lg5lg10·lg0.1；(2) ，求的值．16. 已知函数f(x)＝log a(a x－1)，a>0，a≠1.求证：(1) 函数f(x)的图象在y轴的一侧；(2) 函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.高考数学一轮复习基础夯滚天天练(12)幂函数、指数函数与对数函数班级________ 姓名____________ 学号______ 成绩______ 日期____月____日一、 填空题1. 如果幂函数f(x)＝x a 的图象经过点(2，4)，那么函数f(x)的单调增区间为________．2. 函数f(x)＝ln x ＋1－x 的定义域为________．3. 若函数f(x)＝log a x(0<a<1)在区间[a ，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a ＝________．4. 要使函数f(x)＝3x ＋1＋t 的图象不经过第二象限，则实数t 的取值范围为________．5. 若函数f(x)＝a x －1(a>0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a ＝________．6. 已知函数f(x)＝x 12，且f(2x －1)<f(3x)，则x 的取值范围是________．7. 若函数y ＝(log 0.5a)x 在R 上为增函数，则a 的取值范围是________．8. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x<1，2x ， x ≥1的最小值为2，则实数a 的取值范围是________．9. 函数f(x)＝的值域为________．10. 若log a 12a －1<1，则a 的取值范围是________．11. 在下列四个图象中，能够表示函数y ＝a x 与y ＝－log a x(a>0，a ≠1)在同一个平面直角坐标系的图象的可能是________．(填序号)①②③④12. 若函数f(x)＝log a (2x 2＋x)(a>0，a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫0，12内恒有f(x)>0，则函数f(x)的单调增区间是________．13. 函数y ＝a x －2＋1(a>0，a ≠1)恒过定点________．14. 若函数f(x)＝在[－1，1]上是单调增函数，则实数a 的取值范围是________________．二、 解答题15. 已知函数f(x)＝log a (3－ax)．(1) 当x ∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a 的取值范围；(2) 是否存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，求出a 的值；如果不存在，请说明理由．16. 已知函数f(x)＝x ⎝⎛⎭⎫13x －1＋12.(1) 判断该函数的奇偶性；(2) 求证：该函数在定义域上恒大于0.高考数学一轮复习基础夯滚天天练(13)函数与方程班级________ 姓名____________ 学号______ 成绩______ 日期____月____日 一、 填空题1. 已知函数f(x)的图象是连续不断的，x ，f(x)的对应关系如下表：则函数f(x)一定存在零点的区间有________．(填序号)①区间[1，2]；②区间[2，3]；③区间[3，4]；④区间[4，5]；⑤区间[5，6]．2. 已知函数f(x)＝ax ＋b 的零点是3，那么函数g(x)＝bx 2＋ax 的零点是________．3. 已知函数f(x)＝2mx ＋4，若存在x 0∈[－2，1]，使f(x 0)＝0，则实数m 的取值范围是________________．4. 已知函数f(x)＝ln x ＋x －2的零点所在的区间为(k ，k ＋1)(其中k 为整数)，则k 的值为________．5. 已知函数f(x)＝x 2＋x ＋a 在区间(0，1)上有零点，则实数a 的取值范围是________．6. 已知定义在R 上的函数f (x )＝(x 2－3x ＋2)g (x )＋3x －4，其中y ＝g (x )是一条连续曲线，则方程f (x )＝0在区间________范围内必有实数根．(填序号)①(0，1)；②(1，2)；③(2，3)；④(3，4)．7. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1， －1<x<2，则函数g(x)＝f(x)－x 的零点为________．8. 函数f(x)＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)上的零点的个数为________．9. 若对于任意的x ∈[a ，2a]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝3，这时a 的取值的集合为________．10. 已知函数f(x)＝log 2x ＋a 在区间(2，4)上有零点，则实数a 的取值范围是________．11. 若函数y ＝x ＋5x －a在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．12. 若关于x 的方程lg (mx)·lg (mx 2)＝4的所有解都大于1，则实数m 的取值范围是________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥2，（x －1）2， x<2， 若关于x 的方程f(x)＝k 有三个不同的实数根，则实数k 的取值范围为________．14. 若函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|1－x|＋m 的图象与x 轴有公共点，则实数m 的取值范围是________．二、 解答题15. 已知关于x 的二次函数f(x)＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t. (1) 求证：对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根；(2) 若12<t <34，求证：方程f (x )＝0在区间(－1，0)及⎝⎛⎭⎫0，12上各有一个实数根．16. 已知函数f(x)＝log 4(4x ＋1)＋kx(x ∈R )是偶函数． (1) 求k 的值；(2) 若方程f (x )－m ＝0有解，求m 的取值范围．高考数学一轮复习基础夯滚天天练(14)导数的概念及运算班级________ 姓名____________ 学号______ 成绩______ 日期____月____日一、 填空题1. 已知函数f(x)＝1＋1x ，则f(x)在区间[1，2]，⎣⎡⎦⎤12，1上的平均变化率分别为________．2. 若f′(x)是函数f(x)＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f′(1)＝________．3. 函数f(x)＝x 2sin x 的导数为f′(x)＝________________．4. 函数f(x)＝cos x 在点⎝⎛⎭⎫π3，12处的切线方程为____________________．5. 已知曲线y ＝4x －x 2上两点A(4，0)，B(3，3)，若曲线上一点P 处的切线恰好与弦AB 平行，则点P 的坐标为________．6. 若直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b 的值为________．7. 函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________________．8. 过点(0，2)且与曲线y ＝－x 3相切的直线方程是________________．9. 若直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1，3)，则b 的值为________．10. 设P 是曲线f(x)＝13x 3－x 2－3x －3上的一个动点，则过点P 的切线中斜率最小的切线的方程为________________．11. 曲线y ＝x －cos x 在点⎝⎛⎭⎫π2，π2处的切线方程为________________．12. 若曲线C 1：y 1＝ax 3－6x 2＋12x 在x ＝1处的切线与曲线C 2：y 2＝e x 在x ＝1处的切线垂直，则实数a 的值为________．二、 解答题13. 设函数f(x)＝ax －bx ，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 求证：曲线y ＝f(x)上任意一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．14. 设直线是曲线C：y＝ln xx在点(1，0)处的切线．(1) 求切线的方程；(2) 求证：除切点(1，0)之外，曲线C在直线的下方．。
2020年高考数学一轮复习强化训练题汇总4(含解析)
阶段复习检测(四) 数 列(时间：70分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，并满足：a n ＋2＝2a n ＋1－a n ，a 5＝4－a 3，则S 7＝( ) A ．7 B ．12 C ．14D ．21C [由a n ＋2＝2a n ＋1－a n 知数列{a n }为等差数列，由a 5＝4－a 3得a 5＋a 3＝4＝a 1＋a 7，所以S 7＝7a 1＋a 72＝14.]2．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋3，则数列{a n }的前11项和S 11＝( )A ．24B ．48C ．66D ．132C [在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋3，∴a 1＋8d ＝12(a 1＋11d )＋3，解a 1＋5d ＝6，∴数列{a n }的前11项和S 11＝112(a 1＋a 11)＝11(a 1＋5d )＝11×6＝66.]3．(2019·山东青岛月考)已知S n ＝12＋1＋13＋2＋12＋3＋…＋1n ＋1＋n，若S m ＝10，则m＝( )A ．11B ．99C ．120D ．121 C [∵S n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1. ∴S m ＝m ＋1－1＝10，得m ＝120.]4．(2018·河北衡水模拟)已知正数组成的等比数列{a n }，若a 1·a 20＝100，那么a 7＋a 14的最小值为( ) A ．20 B ．25 C ．50D ．不存在A [(a 7＋a 14)2＝a 27＋a 214＋2a 7·a 14≥4a 7a 14＝4a 1a 20＝400.∴a 7＋a 14≥20.]5．(2019·福建厦门调研)等比数列{a n }中，S n 是数列{a n }的前n 项和，S 3＝14，且a 1＋8,3a 2，a 3＋6依次成等差数列，则a 1·a 3等于( )A ．4B ．9C ．16D ．25C [∵S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝14，a 1＋8＋a 3＋6＝6a 2，∴7a 2＝28，即a 2＝4，∴a 1·a 3＝a 22＝16.] 6．已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( ) A ．9 B ．15 C ．18D ．30C [由题意知{a n }是以2为公差的等差数列，又a 1＝－5，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.]7．已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝( )A ．1－4nB ．4n －1C ．1－4n3D ．4n －13B [由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4，∴b n ＝(－3)×(－4)n －1， ∴|b n |＝3×4n －1，即{|b n |}是以3为首项，4为公比的等比数列． ∴|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝31－4n1－4＝4n －1.]8．抛物线x 2＝12y 在第一象限内图象上一点(a i,2a 2i )处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i ＋1，其中i ∈N *，若a 2＝32，则a 2＋a 4＋a 6＝( )A ．64B ．42C ．32D ．21B [∵y ＝2x 2(x ＞0)，∴y ′＝4x ，∴x 2＝12y 在第一象限内图象上一点(a i,2a 2i )处的切线方程是：y －2a 2i ＝4a i (x－a i )，整理，得4a ix －y －2a 2i ＝0，∵切线与x 轴交点的横坐标为a i ＋1，∴a i ＋1＝12a i ，∴{a 2k }是首项为a 2＝32，公比q ＝14的等比数列，∴a 2＋a 4＋a 6＝32＋8＋2＝42.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)9．已知正项等比数列{a n }中，a 2·a 5·a 13·a 16＝256，a 7＝2，则数列{a n }的公比为__________.2 [∵正项等比数列{a n }中，a 2·a 5·a 13·a 16＝256，∴a 49＝a 2·a 5·a 13·a 16＝256，解得a 9＝4，又a 7＝2，∴数列{a n }的公比q ＝a 9a 7＝ 2.]10．(2018·黑龙江大庆二模)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＋(－1)n a n ＝cos(n ＋1)π，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 015＝__________.－1 006 [∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝cos(n ＋1)π＝(－1)n ＋1，∴当n ＝2k ，k ∈N *时，a 2k ＋1＋a 2k ＝－1，∴S 2 015＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 014＋a 2 015)＝1＋(－1)×1 007＝－1 006.]11．(2018·广东汕头一模)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为__________.－2 [设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，且S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则2S n ＝S n ＋1＋S n＋2，若q ＝1，则S n ＝na 1，上式显然不成立， 若q ≠1，则为2a 11－q n1－q＝a 11－q n ＋11－q＋a 11－q n ＋21－q，故2q n ＝q n ＋1＋q n ＋2，即q 2＋q －2＝0，因此q ＝－2.]12．已知数列{a n }是各项均不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且a n ＝S 2n －1(n ∈N *)．若不等式λa n≤n ＋8n对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的最大值为__________.9 [a n ＝S 2n －1⇒a n ＝2n －1a 1＋a 2n －12＝2n －1a n ，⇒a 2n ＝(2n －1)a n ⇒a n＝2n －1，n ∈N *.λa n≤n ＋8n就是λ≤n ＋82n －1n⇒λ≤2n －8n ＋15. 2n －8n＋15在n ≥1时单调递增，其最小值为9，所以λ≤9，故实数λ的最大值为9.]三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)13．(10分)(2019·陕西西安八校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝－3，S 10＝－40. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若从数列{a n }中依次取出第2,4,8，…，2n ，…项，按原来的顺序排成一个新数列{b n }，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)∵a 5＝a 1＋4d ＝－3，S 10＝10a 1＋45d ＝－40，解得a 1＝5，d ＝－2.∴a n ＝－2n ＋7.(2)依题意，b n ＝a 2n ＝－2×2n ＋7＝－2n ＋1＋7， 故T n ＝－(22＋23＋…＋2n ＋1)＋7n ＝－22－2n ＋1×21－2＋7n＝4＋7n －2n ＋2.14．(10分)(2018·河南新乡二模)在数列{a n }中，a 1＝12，{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ，以及前n 项和S n ；(2)若S 1＋S 2，S 1＋S 3，m (S 2＋S 3)成等差数列，求实数m 的值．解 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.∴n ≥2时，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， 又a 1＝12，因此n ＝1时也成立．∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n .(2)由(1)可得：S 1＝12，S 2＝34，S 3＝78.∵S 1＋S 2，S 1＋S 3，m (S 2＋S 3)成等差数列，∴12＋34＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋78＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋78.解得m ＝1213. 15．(10分)(2019·云南检测)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意n ∈N *，都有2S n ＝(n ＋1)a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫4a n a n ＋2的前n 项和为T n ，求证：12≤T n <1. (1)解 因为2S n ＝(n ＋1)a n ， 当n ≥2时，2S n －1＝na n －1，两式相减，得2a n ＝(n ＋1)a n －na n －1，即(n －1)a n ＝na n －1，所以当n ≥2时，a n n＝a n －1n －1，所以a n n ＝a 11＝2，即a n ＝2n (n ≥2)．(2)证明 由(1)知a n ＝2n ，令b n ＝4a n a n ＋2，n ∈N *，所以b n ＝42n 2n ＋2＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1.所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1.因为1n ＋1>0， 所以1－1n ＋1<1.显然当n ＝1时，T n 取得最小值12.所以12≤T n <1.16．(10分)数列{a n }满足：a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ∈N *)．(1)记d n ＝a n ＋1－a n ，求证：数列{d n }是等比数列；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，证明S n ＜32.证明 (1)∵a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ， ∴d n ＋1d n＝a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a 1＝3a n ＋1－2a n －a n ＋1a n ＋1－a n＝2a n ＋1－2a n a n ＋1－a n＝2，∴数列{d n }是等比数列，∴d 1＝a 2－a 1＝1，q ＝2，∴d n ＝2n －1. (2)∵d n ＝2n －1，d n ＝a n ＋1－a n ，∴a n ＋1－a n ＝2n －1，∴a 2－a 1＝20，a 3－a 2＝21，a 4－a 3＝22，…，a n －a n －1＝2n －2， ∴累加得：a n －a 1＝20＋21＋…＋2n －2＝1－2n －11－2＝2n －1－1，∴a n ＝2n －1＋1.∴1a n ＝12n －1＋1＜12n －1(n ≥2)，n ＝1时，S n ＝12＜32成立；∴当n ≥2时，S n ＜12＋12＋122…＋12n －1＝12＋12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12＝32－12n ＜32.综上可知S n ＜32(n ∈N *)．。
【2020】人教版最新高考数学第一轮总复习试卷附参考答案
又三棱锥的体积为，三角形的面积为，
∴，
∴.。
∵为等腰直角三角形，M为斜边中点，，
∴，
∴在中，，
∴即侧面与底面ABC所成的锐二面角为60°.。
20．（1）过A点作交CB的延长线于O，连DO，取DO中点K，连AK.。
∵，
∴的二面角的平面角为60°，
∵CO⊥面ADO
∴面AOD⊥面DOC，在等边三角形AOD中，
10．A 易计算，底面半径为2，进而计侧棱长为2 ∴
11．B 将两异面直线平移到O点，，相交成80°，100°两对角.。过P作直线与两直线成40°角有一条.。40°～50°之间有2条.。50°有3条.。50°～90°有4条.。
12．A 体积等速增加，在球内高度变化，先快，再慢，又快.。选A
二、填空题
1．下列命题正确的是（ ）
A．直线a，b与直线l所成角相等，则a//b
B．直线a，b与平面α成相等角，则a//b
C．平面α，β与平面γ所成角均为直二面角，则α//β
D．直线a，b在平面α外，且a⊥α，a⊥b，则b//α
2．空间四边形ABCD，M，N分别是AB、CD的中点，且AC=4，BD=6，则（ ）
17．（本小题满分12分）
已知平面α∩平面β=a，平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ.。b//a，b//β.。
求证：①a⊥γ；②b⊥γ.。
18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是以∠ADC为锐角的菱形.。
（1）试问：当∠ADC为多大时，有PA⊥CD；
∴PA⊥CD
（2）过P作直线
.。PH⊥l.。
∴为所求二面角的平面角
【精品整理】2020年高考数学一轮复习强化训练题汇总8(含解析)
阶段复习检测(八) 概 率(时间：60分钟 满分：90分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从1,2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( )A ．①B ．②④C ．③D ．①③C [从1,2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、二奇、二偶，共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立的．]2．某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00一个至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是( )A ．13B ．34C ．58D ．45D [甲去银行恰好能办理业务的概率为17－1318－13＝45.] 3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08C [记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92.]4．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A 、B 、C 、D 的概率分别为0.2、0.2、0.3、0.3，则下列说法正确的是( )A ．A ＋B 与C 是互斥事件，也是对立事件B ．B ＋C 与D 是互斥事件，也是对立事件C ．A ＋C 与B ＋D 是互斥事件，但不是对立事件D ．A 与B ＋C ＋D 是互斥事件，也是对立事件D [因为P (A )＝0.2，P (B )＝0.2，P (C )＝0.3，P (D )＝0.3，且P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝1，所以A 与B ＋C ＋D 是互斥，也是对立事件．]5．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A ．23B ．25C ．35D ．910 D [五人录用三人共有10种不同方式，分别为：{丙，丁，戊}，{乙，丁，戊}，{乙，丙，戊}，{乙，丙，丁}，{甲，丁，戊}，{甲，丙，戊}，{甲，丙，丁}，{甲，乙，戊}，{甲，乙，丁}，{甲，乙，丙}．其中含甲或乙的情况有9种．]6．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为( ) A ．34B ．23C ．13D ．14A [由－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2，∴0≤x ≤32，∴由几何概型的概率计算公式得所求概率P ＝32－02－0＝34.] 7．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )A ．16.32B ．15.32C ．8.68D ．7.68A [设椭圆的面积为S ，则S4×6＝300－96300，故S ＝16.32.] 8．已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A ． 12B ． 13C ． 14D ． 18 C [直线OA 的方程为y ＝b a x ，直线OA 与y ＝x 2＋1有交点，则⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x ，y ＝x 2＋1有解，即x 2－b a x ＋1＝0有解，即b 2a 2－4≥0，即b a≥2，满足此条件的点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)共4个，而N 中所有点有16个，∴P ＝416＝14.] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)9．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有__________个．15 [摸到黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.设黑球有n 个，则0.4221＝0.3n，故n ＝15.] 10．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是__________．56[基本事件共有36个．如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，其中满足点数之和小于10的有30个．故所求概率为P ＝3036＝56.] 11．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为__________．13[甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．故所求概率为P ＝39＝13.] 12．已知函数f (x )＝ln x x，导函数为f ′(x )，在区间[2,3]上任取一点x 0，使得f ′(x 0)>0的概率为__________．e －2 [由已知得f ′(x )＝1－ln x x 2，x ∈[2,3]，故f ′(x )>0⇔1－ln x x 2>0，解得2<x <e ，故由几何概型可得所求事件的概率为e －23－2＝e －2.] 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)13．(10分)黄种人人群中各种血型的人数所占的比例见下表：都可以输给AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B 型血，若他因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解 (1)任找一人，其血型为A ，B ，AB ，O 型血分别记为事件A ′，B ′，C ′，D ′，它们是互斥的．由已知，有P (A ′)＝0.28，P (B ′)＝0.29，P (C ′)＝0.08，P (D ′)＝0.35．因为B ，O 型血可以输给B 型血的人，故“任找一个人，其血可以输给小明”为事件B ′∪D ′，根据概率加法公式，得P (B ′∪D ′)＝P (B ′)＋P (D ′)＝0.29＋0.35＝0.64．(2)由于A ，AB 型血不能输给B 型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件A ′∪C ′，且P (A ′∪C ′)＝P (A ′)＋P (C ′)＝0.28＋0.08＝0.36．14．(10分)已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12． (1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b ．(ⅰ)记“a ＋b ＝2”为事件A ，求事件A 的概率；(ⅱ)在区间[0,2]内任取2个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2＞(a －b )2恒成立”的概率．解 (1)依题意nn ＋2＝12，得n ＝2． (2)(ⅰ)记标号为0的小球为s ，标号为1的小球为t ，标号为2的小球为k ，h ，则取出2个小球的可能情况有：(s ，t )，(s ，k )，(s ，h )，(t ，s )，(t ，k )，(t ，h )，(k ，s )，(k ，t )，(k ，h )，(h ，s )，(h ，t )，(h ，k )，共12种，其中满足“a ＋b ＝2”的有4种：(s ，k )，(s ，h )，(k ，s )，(h ，s )．所以所求概率为P (A )＝412＝13． (ⅱ)记“x 2＋y 2＞(a －b )2恒成立”为事件B ，则事件B 等价于“x 2＋y 2＞4恒成立”，(x ，y )可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2，x ，y ∈R }，而事件B 构成的区域为B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＞4，(x ，y )∈Ω}．所以所求的概率为P (B )＝1－π4． 15．(10分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18，现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．解 (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2．(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共9种．因此，事件A 发生的概率P (A )＝915＝35．。
2020年高考数学一轮复习强化训练题汇总1(含解析)
阶段复习检测(一)集合与常用逻辑用语 函数、导数及其应用(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝⎩⎨⎧x ，y |x 24＋y 216＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4D [由函数y ＝3x 的图象及椭圆x 24＋y 216＝1知A ∩B 含2个元素，所以A ∩B 的子集的个数为22＝4个．]2．曲线y ＝x 2＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为( ) A ．3x －y －2＝0 B ．x －3y ＋2＝0 C ．3x ＋y －4＝0D ．x ＋3y －4＝0A [y ′＝2x ＋1x，故y ′|x ＝1＝3，故在点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，化简整理得3x －y －2＝0.]3．(2019·安徽蚌埠一模)设a >0，且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是增函数”是“函数g (x )＝x a 在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件D [由函数f (x )＝a x 在R 上是增函数知，a >1；当a ＝32时，g (x )的定义域为(0，＋∞)，不能满足g (x )＝x a 在R 上是增函数；而当a ＝13时，g (x )＝x 13在R 上是增函数，此时f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数．]4．(2019·贵州贵阳月考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝f ′1x＋x ，则f ′(1)＝( )A ．－1B ．－12C ．12D ．1C [由f (x )＝f ′1x＋x ，得f ′(x )＝－f ′1x 2＋1，故f ′(1)＝－f ′(1)＋1，即f ′(1)＝12.]5．(2019·山东日照模拟)设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图象可以为( )C [曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线斜率为g (x )，∴g (x )＝cos x ，则函数y ＝x 2g (x )＝x 2·cos x ，设f (x )＝x 2·cos x ，则f (－x )＝f (x )，cos(－x )＝cos x ，∴y ＝f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除A 、B ．令x ＝0，得f (0)＝0.排除D ．]6．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)D [由条件知f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥1x 在(1，＋∞)上恒成立，∵x >1，∴0<1x<1，∴k ≥1.]7．(2019·陕西宝鸡模拟)已知偶函数f (x )对∀x ∈R 满足f (2＋x )＝f (2－x )，且当－3≤x ≤0时，f (x )＝log 5(2－x )，则f (2 015)的值为( )A ．2 015B ．2C ．1D ．0C [∵f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (4＋x )＝f [2－(2＋x )]＝f (－x )．又∵f (x )为偶函数，即f (－x )＝f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，则f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (2 015)＝f (3)＝f (－3)＝log 5[2－(－3)]＝1.]8．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为( ) A ．3 B ．4 C ．6D ．5A [设圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，则V ＝πR 2l ＝27π，∴l ＝27R2，要使用料最省，只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和S 最小．由题意，S ＝πR 2＋2πRl ＝πR 2＋2π·27R . ∴S ′＝2πR －54πR2，令S ′＝0，得R＝3，则当R ＝3时，S 最小．]9．已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．4D ．2D [由题意可得f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2， 则f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：10．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为( ) A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<x <1}A [构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数，又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．(2019·广西桂林检测)如图，函数g (x )＝f (x )＋15x 2的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝__________.－5 [由图象可得P 点坐标为(5,3)，得g (5)＝3，故f (5)＝g (5)－15×52＝－2，g ′(5)＝－1且g ′(x )＝f ′(x )＋25x ，则f ′(5)＝g ′(5)－25×5＝－3，故f (5)＋f ′(5)＝－2＋(－3)＝－5.] 12．(2019·广东汕头一模)已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是__________.[1，＋∞) [f ′(x )＝mx ＋1x－2≥0对一切x ＞0恒成立，∴m ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x . 令g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x，则当1x ＝1时，函数g (x )取最大值1.故m ≥1.]13．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为__________元时利润最大，利润的最大值为__________元．30 23 000 [设商场销售该商品所获利润为y 元，则y ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)，则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．则p ，y ，y ′变化关系如下表：p (20,30) 30 (30，＋∞)y ′ ＋0 －y极大值故当p ＝30时，y 又y ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．]14．(2019·山东临沂统考)对于函数f (x )，如果f (x )可导，且f (x )＝f ′(x )有实数根x ，则称x 是函数f (x )的驻点．若函数g (x )＝x 2(x ＞0)，h (x )＝ln x ，φ(x )＝sin x (0＜x ＜π)的驻点分别是x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是__________(用“＜”连接)．x 3＜x 2＜x 1 [由题意对于函数f (x )，如果f (x )可导，且f (x )＝f ′(x )有实数根x ，则称x 是函数f (x )的驻点．可知函数g (x )＝x 2(x ＞0)，可得2x ＝x 2，解得x 1＝2，h (x )＝ln x ，可得1x＝ln x ，如图：x 2∈(1,2)，φ(x )＝sin x (0＜x ＜π)，可得cos x ＝sin x ，解得x 3＝π4＜1，所以x 3＜x 2＜x 1.]三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(12分)已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式． 解 (1)∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，f (－1)＝0. (2)由题意知，f (0)＝0. 当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． ∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈0，1，－2x 4x＋1，x ∈－1，0，0，x ∈{－1，0，1}.16．(12分)设l 为曲线C ：y ＝ln xx在点(1,0)处的切线．(1)求l 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方． (1)解 ∵y ＝ln x x ，∴y ′＝1－ln x x2， ∴l 的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1，∴l 的方程为y ＝x －1. (2)证明 令f (x )＝x (x －1)－ln x ，(x ＞0)，曲线C 在直线l 的下方，即f (x )＝x (x －1)－ln x ＞0， 则f ′(x )＝2x －1－1x＝2x ＋1x －1x，∴f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又f (1)＝0， ∴x ∈(0,1)时，f (x )＞0，即ln xx＜x －1；x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0，即ln x x＜x －1，即除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方． 17．(12分)(2019·湖北武汉调研)已知函数f (x )＝ln x －a x －1x(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)求证：不等式(x ＋1)ln x >2(x －1)对∀x ∈(1,2)恒成立． (1)解 定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －a x 2.①a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上为增函数；②a >0时，f (x )在(a ，＋∞)上为增函数，在(0，a ) 上为减函数． (2)证明 法一 ∵x ∈(1,2)，∴x ＋1>0， ∴要证原不等式成立，即证ln x >2x －1x ＋1对∀x ∈(1,2)恒立，令g (x )＝ln x －2x －1x ＋1，g ′(x )＝x －12x ＋12≥0，∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴当x ∈(1,2)时，g (x )>g (1)＝ln 1－21－11＋1＝0，∴ln x >2x －1x ＋1对∀x ∈(1,2)恒成立，∴(x ＋1)ln x >2(x －1)对∀x ∈(1,2)恒成立． 法二 令F (x )＝(x ＋1)ln x －2(x －1)，F ′(x )＝ln x ＋x ＋1x－2＝ln x －x －1x.令φ(x )＝ln x －x －1x，由(1)知a ＝1时，φ(x )在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．∵x ∈(1,2)，则φ(x )在(1,2)为增函数，φ(x )>φ(1)＝0， 即x ∈(1,2)，F ′(x )>0，∴F (x )在(1,2)上为增函数， ∴F (x )>F (1)＝0，∴(x ＋1)ln x >2(x －1)对∀x ∈(1,2)恒成立．18．(14分)(2019·辽宁丹东模拟)已知f (x )＝－3x 22＋ln x ，g (x )＝12x 2－2ax ＋1＋ln x .(1)求函数f (x )的极值．(2)若x 0是函数g (x )的极大值点，证明：x 0ln x 0－ax 20＞－1.(1)解 f (x )定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1－3x 2x，令f ′(x )＝0得x ＝33.列表：当x ＝33时，f (x )取极大值－12－12ln 3.(2)证明 g (x )定义域是(0，＋∞)，g ′(x )＝x ＋1x－2a .①若a ≤1，g ′(x )＝x ＋1x－2a ≥2－2a ≥0，g (x )单调递增无极值点，不符合题意；②若a ＞1，g ′(x )＝0即x 2－2ax ＋1＝0有两个不等的实数根x 1和x 2(x 1＜x 2)，因为x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2a ＞0，所以0＜x 1＜1＜x 2.当0＜x ＜x 1时，g '(x )＞0，当x 1＜x ＜x 2时，g '(x )＜0，当x ＞x 2时，g '(x )＞0，所以g (x )在(0，x 1)单调递增，在(x 1，x 2)单调递减，在(x 2，＋∞)单调递增．所以x 0＝x 1为函数f (x )的极大值点，且0＜x 1＜1.因为g '(x 1)＝0， 所以a ＝x 21＋12x 1.所以x 1ln x 1－ax 21＝x 1ln x 1－x 31＋x 12＝x 312－12x 1＋x 1ln x 1，x 1∈(0,1)．令h (x )＝－x 32－12x ＋x ln x ，x ∈(0,1)，h ′(x )＝f (x )＋12.由(1)可知f (x )＋12≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33＋12＝－12ln 3＜0，所以h (x )在(0,1)上单调递减，故h (x )＞h (1)＝－1，原题得证．。
2020版高考数学一轮复习教程随堂巩固训练32 Word版含解析
随堂巩固训练(). 已知α＝，则＝．解析：因为α＝，所以＝＝＝.. 在△中，·＝，当＝时，△的面积为．解析：由题意得·＝，则＝，所以△的面积＝·＝××＝..将函数＝－的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得图象的函数解析式为＝．解析：将函数＝－的图象向左平移个单位长度得到函数＝－的图象，再向上平移个单位长度，所得图象的函数解析式为＝.. 已知<α<<β<π，且α＝，(α＋β)＝－，则β＝－．解析：因为α＝，且<α<<β<π，所以α＝＝，β<.因为(α＋β)＝－，<α＋β<，所以(α＋β)＝±＝±，所以β＝[(α＋β)－α]＝(α＋β)α＋(α＋β)α＝－或(舍)，所以β＝－.. 在△中，角，，所对的边分别为，，，且＋≥，则的取值范围是．解析：因为＋≥，所以由正弦定理得＋≥，即＋－≥，所以由余弦定理得＝≥＝.因为为三角形的内角，所以∈.. 若△的内角，满足＝(＋)，则的最大值为．解析：因为>，>，所以＝(＋)＝－>，所以<，所以为钝角，所以＝－.又＝(＋)＝＋，所以＋＝－，即＝－，所以＝－，所以＝－(＋)＝－＝＝≤＝，当且仅当＝时等号成立，即的最大值为..设向量＝(，)，＝(，)，∈，函数()＝·(＋)，则满足不等式′()≥的的取值范围为{π－≤≤π＋，∈}．解析：()＝·(＋)＝＋·＝＋＋(＋)＝＋－＋＝(－)＋，则′()＝.由′()≥，得≥，所以π－≤－≤π＋(∈)，即π－≤≤π＋(∈)．. 在△中，，，分别是角，，所对的边，且＋＋＝，则△的形状是等边三角形．解析：在△中，＋＋＝①，又由余弦定理知＋－＝②，①＋②得(＋)＝(＋)＝，所以＝≥＝(当且仅当＝时取等号)．又≤，所以＝.因为是三角形的内角，所以＝.又＝，所以△为等边三角形.. 设函数()＝，若对于任意∈，都有()≤()≤()成立，则－的最小值为．解析：易知周期＝＝.因为对任意∈，存在，使得()≤()≤()恒成立，所以()是最小值，()是最大值，所以－的最小值为半个最小正周期，所以最小值为＝.. 在△中，，，分别是角，，所对的边，已知＋＝，则的最小值为．解析：由＋＝得－＋－＝(－)，所以＋＝.由正弦定理得＋＝.由余弦定理＋－＝，得＋＝＋＝，所以＝＝≥＝，当且仅当＝时取等号，所以的最小值为.. 在△中，，，分别是角，，所对的边，且△的面积为，·＝.() 求的值；() 若，，成等差数列，求的值．解析：() 由·＝得＝×，即＝，代入＋＝，整理得＝.由＝知>，所以＝.() 由，，成等差数列，可得＝＋.由正弦定理可得＝＋，即(＋)＝＋，将＝，＝＝代入上式并整理得＝，代入＋＝整理得－－＝，解得＝或＝－.因为∈(，π)，所以＝.. 已知向量＝，＝，函数()＝·.() 若()＝，求的值；() 在△中，角，，所对的边分别是，，，且满足＋＝，求()的取值范围．解析：() 由题意知()＝＋＝＋＋＝＋＝，所以＝，所以＝－＝－＝－.() 因为＋＝，所以由余弦定理得·＋＝，即＋－＝，所以＝＝.因为<<π，所以＝，所以＋＝，所以<<，所以<<，所以<＋<，所以<＋<，所以()的取值范围是.。
2020年高考数学(理)一轮复习30考点必刷题含解析
【答案】A
【解析】试题分析：若 ，则直线 与直线 平行，充分性成立；若直线 与直线 平行，则 或 ，必要性不成立．
8．“x为无理数”是“x2为无理数”的
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】 为无理数，不能推出 为无理数，例如 ，反过来， 是无理数，那么 一定是无理数，故 为无理数是 为无理数必要不充分条件，故选B.
A．{2}B．{1,2}
C．{－2,1,2}D．{－2，－1,0}
【答案】C
【解析】∵A，B为两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}＝{x|－2＜x＜1}，∴A－B＝{－2,1,2}．故选C.
20．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝________.
A． 甲是乙的充分不必要条件
B． 甲是乙的必要不充分条件
C． 甲是乙的充要条件
D． 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】“甲⇒乙”的逆否命题为“若x＋y＝5，则x＝2且y＝3”显然不正确，而“乙⇒甲”的逆否命题为“若x＝2且y＝3，则x＋y＝5”是真命题，因此甲是乙的必要不充分条件．故选 B.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为集合 ， ，所以A∩B={0,1}.
故答案为：A.
6．若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则( )
A．M＝NB．M⊆N
2020高考数学第一轮总复习 2-5(基础巩固强化+能力拓展提升+备选题库+优化指导,含解析)新人教版B版
【优化指导】2013年高考数学第一轮总复习 2-5（基础巩固强化+能力拓展提升+备选题库+优化指导，含解析）新人教版B 版1.(文)(2012·内蒙古包头模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 12 ，x >0，12x，x ≤0，则f [f (－4)]＝( )A ．－4B ．－14 C ．4 D ．6[答案] C[解析] f (－4)＝(12)－4＝16，f [f (－4)]＝f (16)＝1612＝4.(理)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ， －1≤x <0，4x ， 0≤x ≤1.则f (log 43)＝( )A.13B.43 C ．3 D ．4 [答案] C[解析] ∵0<log 43<1，∴f (log 43)＝4log 43＝3.2．(文)下列四个数中最大的是( ) A ．(ln2)2B ．ln(ln2)C ．ln 2D ．ln2 [答案] D[解析] 由0<ln2<1，得ln(ln2)<0，因此ln(ln2)是最小的一个；由于ln x 为增函数，因此ln 2<ln2；那么最大的只能是A 或D ；因为0<ln2<1，故(ln2)2<ln2.(理)(2011·重庆文，6)设a ＝log 13 12，b ＝log 13 23，c ＝log 334，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a[答案] B[解析] ∵a ＝log 13 12，b ＝log 13 23，log 13x 单调递减而12<23，∴a >b >0，又c <0.故c <b <a .3．(2012·豫南四校调研考试)设f (x )＝lg(21－x ＋a )是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数是( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数 [答案] D[解析] 由题意可知，f (0)＝0，即lg(2＋a )＝0，解得a ＝－1，故f (x )＝lg 1＋x1－x ，函数f (x )的定义域是(－1,1)，在此定义域内f (x )＝lg1＋x1－x＝lg(1＋x )－lg(1－x )，函数y 1＝lg(1＋x )是增函数，函数y 2＝lg(1－x )是减函数，故f (x )＝y 1－y 2是增函数．选D.4．(文)函数f (x )＝|log 12x |的图象是( )[答案] A[解析] f (x )＝|log 12x |＝|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x x ≥1，－log 2x0<x <1.故选A.[点评] 可用筛选取求解，f (x )的定义域为{x |x >0}，排除B 、D ，f (x )≥0，排除C ，故选A.(理)(2012·河南豫东、豫北十所名校段测)函数y ＝ln|1x|与y ＝－x 2＋1在同一平面直角坐标系内的大致图象为( )[答案] C[解析] y ＝ln|1x |为偶函数，当x >0时，y ＝ln 1x＝－ln x 为减函数，故排除A 、B ；y ＝－x 2＋1≤0，其图象在x 轴下方，排除D ，故选C.5．(2012·广东深圳市一调)已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x 的零点个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案] C[解析] 由题意得f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－ln 2x ， x >1，－ln 2x ， x ＝1，－1－ln 2x ， 0<x <1，则令1－ln 2x ＝0⇒x ＝e 或x ＝1e(舍去)；令－ln 2x ＝0⇒x ＝1；当－1－ln 2x ＝0时，方程无解，所以f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x 有两个零点，故选C. 6．已知函数f (x )＝(15)x－log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值( )A ．不小于0B ．恒为正数C ．恒为负数D ．不大于0[答案] B[解析] 若实数x 0是方程f (x )＝0的解，即x 0是函数y ＝(15)x和y ＝log 3x 的图象的交点的横坐标，因为0<x 1<x 0，画图易知(15)x 1>log 3x 1，所以f (x 1)恒为正数．7．(文)函数y ＝log 232－x2的定义域为________．[答案] {x |1≤x <2或－2<x ≤－1}[解析] 要使函数有意义，应满足log 23(2－x 2)≥0，∵y ＝log 23x 为减函数，∴0<2－x 2≤1，∴1≤x 2<2，∴1≤x <2或－2<x ≤－1. (理)函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x －1的定义域是________． [答案] (－∞，0)∪(1，＋∞) [解析] 要使f (x )有意义，应有1＋1x －1>0， ∴xx －1>0，∴x <0或x >1.8．方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是________． [答案] x ＝5[解析] 原方程化为log 3(x 2－10)＝log 3(3x )，由于log 3x 在(0，＋∞)上严格单增，则x 2－10＝3x ，解之得x 1＝5，x 2＝－2.∵要使log 3x 有意义，应有x >0，∴x ＝5.9．对任意实数a 、b ，定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .则函数f (x )＝log12(3x －2)*log 2x 的值域为________．[答案] (－∞，0][解析] 易知函数f (x )的定义域为(23，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y ＝log12(3x －2)和y ＝log 2x 的图象，由a *b 的定义可知，f (x )的图象为图中实线部分，∴由图象可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，23<x ≤1，log 123x －2，x >1.的值域为(－∞，0]．10．(文)已知函数f (x )＝log a (a x－1)(a >0且a ≠1)． (1)证明函数f (x )的图象在y 轴的一侧；(2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)(x 1<x 2)是f (x )图象上两点，证明直线AB 的斜率大于0. [证明] (1)由a x－1>0，得a x>1.当a >1时，解得x >0，此时f (x )的图象在y 轴右侧； 当0<a <1时，解得x <0，此时f (x )的图象在y 轴左侧． ∴对a >0且a ≠1的任意实数a ，f (x )的图象总在y 轴一侧． (2)①当a >1时，x >0，由0<x 1<x 2得，1<ax 1<ax 2， ∴0<ax 1－1<ax 2－1，即ax 2－1ax 1－1>1. ∴f (x 2)－f (x 1)＝log a (ax 2－1)－log a (ax 1－1) ＝log aax 2－1ax 1－1>0. 直线AB 的斜率k AB ＝f x 2－f x 1x 2－x 1>0.②当0<a <1时，由x 1<x 2<0得，ax 1>ax 2>1，f (x 2)－f (x 1)>0.同上可得k AB >0.(理)(2011·郑州模拟)已知函数f (x )＝lg(a x－b x)(a >1>b >0)． (1)求y ＝f (x )的定义域；(2)在函数y ＝f (x )的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴； (3)当a 、b 满足什么条件时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值． [解析] (1)由a x－b x>0得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x >1， ∵a >1>b >0，∴a b>1，∴x >0. ∴f (x )的定义域是(0，＋∞)． (2)任取x 1、x 2∈(0，＋∞)且x 1>x 2， ∵a >1>b >0，∴ax 1>ax 2>1，bx 1<bx 2<1 ∴ax 1－bx 1>ax 2－bx 2>0 ∴lg(ax 1－bx 1)>lg(ax 2－bx 2)故f (x 1)>f (x 2)∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．假设y ＝f (x )的图象上存在不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使过A 、B 两点的直线平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1＝y 2，这与f (x )是增函数矛盾．故函数y ＝f (x )的图象上不存在不同两点，使过这两点的直线平行于x 轴．(3)∵f (x )是增函数，∴当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>f (1)． 这样只需f (1)≥0，即lg(a －b )≥0，∴a －b ≥1. 即当a ≥b ＋1时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值.能力拓展提升11.(文)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x >0，2x ＋1， x ≤0.的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] D[解析] f (x )＝2x ＋1(x ≤0)有一个零点x ＝－12，而f (x )＝ln x －x 2＋2x (x >0)的零点可以借助于y 1＝ln x (x >0)与y 2＝x 2－2x (x >0)的图象来确定，它们的图象有两个交点，选D.(理)定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2012x＋log 2012x ，则方程f (x )＝0的实根的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．5 [答案] C[解析] 当x >0时，f (x )＝0即2012x＝－log 2012x ，在同一坐标系下分别画出函数f 1(x )＝2012x，f 2(x )＝－log 2012x 的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f (x )＝0只有一个实根，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x <0时，方程f (x )＝0也有一个实根，又因为f (0)＝0，所以方程f (x )＝0的实根的个数为3.12．(文)(2011·荆州二检)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 [答案] C[解析] ∵函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过点(－2，－1)，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，于是1m ＋2n ＝(1m ＋2n )(2m ＋n )＝2＋2＋n m ＋4m n ≥8.等号在n ＝12，m ＝14时成立．(理)设正数x 、y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．(0,6]B ．[6，＋∞)C ．[1＋7，＋∞)D ．(0,1＋7][答案] B[解析] ∵log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )， ∴x ＋y ＋3＝xy . 由x 、y ∈R ＋知xy ≤(x ＋y2)2，∴x ＋y ＋3≤(x ＋y2)2.令x ＋y ＝A ，∴A ＋3≤A 24，∴A ≥6或A ≤－2(舍去)，故选B.13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)[答案] C[解析] 当a >0时，由f (a )>f (－a )得：log 2a >log 12a ，即log 2a >log 21a ，即a >1a，解得a >1；当a <0时，由f (a )>f (－a )得：log 12(－a )>log 2(－a )，即log 2(－1a)>log 2(－a )，即－1a>－a ，解得－1<a <0，故选C.14．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对∀x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝(12)x－1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________．[答案] (34，2)[解析] ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )的周期为4，当x ∈[0,2]时，－x ∈[－2,0]，∴f (－x )＝2x －1，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，依据其周期性和对称性，画出f (x )在(－2,6]上的图象，当y ＝log a (x ＋2)的图象与f (x )在(－2,6]上的图象恰有3个交点时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a 6＋2>3，log a 2＋2<3，∴34<a <2.15．已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围．(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)由题意，3－ax >0对一切x ∈[0,2]恒成立，∵a >0且a ≠1，∴g (x )＝3－ax 在[0,2]上是减函数，从而g (2)＝3－2a >0得a <32.∴a 的取值范围为(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)假设存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 由题设f (1)＝1，即log a (3－a )＝1，∴a ＝32，此时f (x )＝log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32x ，当x ＝2时，函数f (x )没有意义，故这样的实数a不存在．16．(文)已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(a >0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0.得－3<x <1，所以函数的定义域为{x |－3<x <1}．f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)，设t ＝(1－x )(x ＋3)＝4－(x ＋1)2， 所以t ≤4，又t >0，则0<t ≤4.当a >1时，y ≤log a 4，值域为{y |y ≤log a 4}， 当0<a <1时，y ≥log a 4，值域为{y |y ≥log a 4}． (2)由题意及(1)知：当0<a <1时，函数有最小值，所以log a 4＝－2，解得a ＝12.(理)已知函数f (x )＝log 122－axx －1(a 是常数且a <2)．(1)求f (x )的定义域；(2)若f (x )在区间(2,4)上是增函数，求a 的取值范围． [解析] (1)∵2－axx －1>0，∴(ax －2)(x －1)<0，①当a <0时，函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a ∪(1，＋∞)；②当a ＝0时，函数的定义域为(1，＋∞)；③当0<a <2时，函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫1，2a .(2)∵f (x )在(2,4)上是增函数，∴只要使2－axx －1在(2,4)上是减函数且恒为正即可．令g (x )＝2－axx －1，即当x ∈(2,4)时g ′(x )≤0恒成立且g (4)≥0. 解法一：g ′(x )＝－ax －1－2－ax x －12＝a －2x －12，∴当a －2<0，即a <2时，g ′(x )≤0.g (4)≥0，即1－2a ≥0，∴a ≤12，∴a ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.解法二：∵g (x )＝2－ax x －1＝－a ＋2－ax －1，∴要使g (x )＝－a ＋2－ax ＋1在(2,4)上是减函数，只需2－a >0，∴a <2，以下步骤同解法一．1．(2011·四川文，4)函数y ＝(12)x＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )[答案] A [解析]解法一：作y ＝(12)x 的图象，然后向上平移1个单位，得y ＝(12)x＋1的图象，再把图象关于y ＝x 对称即可．解法二：令x ＝0得y ＝2，∴对称图象过点(2,0)，排除C 、D ；又令x ＝－1得y ＝3，∴对称图象过点(3，－1)，排除B ，故选A.2．设函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若x i >0(i ＝1,2，…，2015)，f (x 1·x 2·x 3·…·x 2015)＝50，则f (x 21)＋f (x 22)＋f (x 23)＋…＋f (x 22015)的值等于( )A ．2500B ．50C ．100D ．log a 50 [答案] C[分析] 根据对数的运算性质，log a (MN )＝log a M ＋log a N ，log a M 2＝2log a M (M >0，N >0)求解．[解析] 由f (x 1·x 2·x 3·…·x 2015)＝50得，log a x 1＋log a x 2＋…＋log a x 2015＝50而f (x 21)＋f (x 22)＋f (x 23)＋…＋f (x 22015)＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22015＝2(log a x 1＋log a x 2＋…log a x 2015)＝2×50＝100，故选C.3．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ， x >0，gx ， x <0.是偶函数，f (x )＝log a x 对应的图象如右图所示，则g (x )＝( )A ．2xB ．log 12(－x )C ．log 2(－x )D ．－log 2(－x )[答案] C[解析] ∵f (x )＝log a x 的图象过点(2,1)，∴log a 2＝1，∴a ＝2，即f (x )＝log 2x ，设h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ， x >0，g x ， x <0.当x <0时，－x >0，∴h (－x )＝f (－x )＝log 2(－x )，又h (x )为偶函数，∴h (－x )＝h (x )，∴当x <0时，h (x )＝log 2(－x )，即g (x )＝log 2(－x )．4．(2012·湖南文，7)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b ； ②a c <b c；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③[答案] D[解析] 本题考查不等式性质，比较大小． c a －c b ＝c b －a ab ，∵a >b >1，c <0，∴c b －a ab >0，c a >c b，①正确；a >b >1，a c <b c ，②正确；∵a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log b (b －c )>log a (b －c )，③正确．[点评] 比较大小的方法有作差法、单调性法等．5．函数f (x )＝ln 1－x 1＋x的图象只可能是( )[答案] A[解析] 本题用排除法，注意到本题中f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，从而排除B 、C 选项．又由u (x )＝－1＋21＋x 在定义域{x |－1<x <1}内是减函数，而g (x )＝ln x 在定义域(0，＋∞)内是增函数，从而f (x )＝ln 1－x 1＋x ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋21＋x 在定义域{x |－1<x <1}内是减函数．故选A.6．已知函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上恒有|f (x )|>1，则( )A ．0<a <12或1<a <2 B ．0<a <12或a >2 C.12<a <1或1<a <2 D.12<a <1或a >2 [答案] C[解析] ①若a >1，则f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上是增函数，且当x ≥2时，f (x )>0. 由|f (x )|>1得f (x )>1，即log a x >1.∵当x ∈[2，＋∞)时，log a x >1恒成立，∴log a 2>1，∴log a 2>log a a ，∴1<a <2.②若0<a <1，则f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上是减函数．同理可得12<a <1. [点评] 用数形结合法解更简便些．。
2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列三(含答案解析)
2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测三 第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合P ＝{x |x ≥0}，Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＋1x －2≥0，则P ∩(∁R Q )等于( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，－1]C ．(－1,0)D ．[0,2]2．已知命题p ：函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，命题q ：函数g (x )＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数g (x )是偶函数，f (x )＝g (x －2)，且当x ≠2时其导函数f ′(x )满足(x －2)f ′(x )>0.若1<a <3，则( ) A ．f (4a )<f (3)<f (log 3a ) B ．f (3)<f (log 3a )<f (4a ) C ．f (log 3a )<f (3)<f (4a ) D ．f (log 3a )<f (4a )<f (3)4．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到函数g (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π2)的图象，则φ等于( ) A.π3 B.π4 C.π6D.π125．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积S ＝3，则三角形外接圆的半径为( ) A. 3 B ．2 C ．2 3D ．46．已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋m j ，AD →＝n i ＋j ，m ≠1，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 满足的条件是( ) A ．m ＋n ＝1 B ．m ＋n ＝－1 C ．mn ＝1D ．mn ＝－17．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )A.33B.36C.63D.668．设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2 B ．2α－β＝π2 C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)9．已知A (1,0)，曲线C ：y ＝e ax (a ∈Z )恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且AB →·AP →的最小值为2，则a ＝________. 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x <0，(x －1)2，x ≥0，若f (f (－2))>f (k )，则实数k 的取值范围为____________.11．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间[π6，π2]上具有单调性，且f (π2)＝f (2π3)＝－f (π6)，则f (x )的最小正周期为________．12．点O 是锐角△ABC 的外心，AB ＝8，AC ＝12，A ＝π3，若AO →＝xAB →＋yAC →，则2x ＋3y ＝________.13．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(3c －b ，a －b )，n ＝(3a ＋3b ，c )，m ∥n ，则cos A ＝________.14．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是__________． 三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(13分)已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)求f (x )的表达式；(2)若不等式(1a )x ＋(1b )x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．16．(13分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos(A ＋B )＋cos 2C ＝－32，c ＝39，且a ＋b ＝9. (1)求角C 的大小；(2)求△ABC 的面积．17.(13分)已知函数f (x )＝sin(2x ＋π6)＋sin(2x －π6)－cos 2x ＋a (a ∈R ，a 为常数)． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)若x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的值域．18．(13分) “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4<x ≤20时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年．(1)当0<x ≤20时，求函数v 关于x 的函数表达式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．19.(14分)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，向量b ＝(cos x ，－sin x )，f (x )＝a ·b . (1)求函数g (x )＝f (x )＋sin 2x 的最小正周期和对称轴方程； (2)若x 是第一象限角且3f (x )＝－2f ′(x )，求tan(x ＋π4)的值．20．(14分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围．答案解析1．D [由题意可知Q ＝{x |x ≤－1或x >2}，则∁R Q ＝{x |－1<x ≤2}，又因为P ＝{x |x ≥0}，所以P ∩(∁R Q )＝{x |0≤x ≤2}，故选D.]2．C [由p 成立，得a ≤1，所以綈p 成立时a >1.由q 成立，得a >1，则綈p 是q 的充要条件，故选C.] 3．B [∵(x －2)f ′(x )>0，∴x >2时，f ′(x )>0，x <2时，f ′(x )<0.∴f (x )在(2，＋∞)上递增，在(－∞，2)上递减．∵g (x )是偶函数，∴g (x －2)关于x ＝2对称，即f (x )关于x ＝2对称． ∵1<a <3，∴f (3)<f (log 3a )<f (4a )．]4．C [由题意知g (x )＝sin 2(x ＋π12)＝sin(2x ＋π6)． 又∵g (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π2)， ∴φ＝π6.故选C.]5．B [在△ABC 中，∵b ＝2，A ＝120°， 三角形的面积S ＝3＝12bc ·sin A ＝c ·32， ∴c ＝2＝b ，故B ＝12(180°－A )＝30°. 再由正弦定理可得b sin B ＝2R ＝c sin 30°＝4， ∴三角形外接圆的半径R ＝2，故选B.] 6．C [由AB →＝i ＋m j ，AD →＝n i ＋j ，m ≠1， 且A 、B 、D 三点共线，所以存在非零实数λ，使AB →＝λAD →，即i ＋m j ＝λ(n i ＋j )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝1，m ＝λ，所以mn ＝1.]7．D [设BD ＝1，则AB ＝AD ＝32，BC ＝2. 在△ABD 中，由余弦定理得cos A ＝13， 所以sin A ＝223，在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BCsin A ， 得sin C ＝66，故选D.]8．B [∵α，β∈(0，π2)，∴－β∈(－π2，0)， α－β∈(－π2，π2)．∵tan α＝1＋sin βcos β，∴sin αcos α＝1＋sin βcos β， 即sin αcos β－cos αsin β＝cos α. 化简，得sin(α－β)＝cos α. ∵α∈(0，π2)，∴cos α>0，sin(α－β)>0.∴α－β∈(0，π2)，得α－β＋α＝π2， 即2α－β＝π2，故选B.] 9．1解析 根据题意得B (0,1)，设P (x ，e ax )，则AB →·AP →＝(－1,1)·(x －1，e ax )＝－x ＋1＋e ax ≥2⇒e ax －x －1≥0，即函数f (x )＝e ax －x －1有最小值0.因为f ′(x )＝a e ax －1，所以当a ≤0时f (x )无最小值；当a >0时，有x ＝－ln a a 使f (x )＝0，即1a ＋ln aa －1＝0⇒ln a ＝a －1，显然a ＝1是此方程的解． 10．(log 129,4)解析 ∵f (f (－2))＝f (4)＝9， ∴f (k )<9.当k <0时，(12)k <9，解得log 129<k <0；当k ≥0时，(k －1)2<9，解得0≤k <4. 综上k ∈(log 129,4)． 11．π解析 结合图象得T 4＝π2＋2π32－π2＋π62，即T ＝π.12.53解析 如图，O 点在AB ，AC 上的射影是点D ，E ，它们分别为AB ，AC 的中点，依题意有AB →·AO →＝xAB →2＋yAC →·AB →＝64x ＋48y ＝32， 即4x ＋3y ＝2，同理AC →·AO →＝xAB →·AC →＋yAC →2＝48x ＋144y ＝72， 即2x ＋6y ＝3，综上，将两式相加可得：6x ＋9y ＝5，即2x ＋3y ＝53. 13.16解析 ∵m ∥n ，∴(3c －b )c ＝(a －b )(3a ＋3b )， 即bc ＝3(b 2＋c 2－a 2)， ∴b 2＋c 2－a 2bc ＝13，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝16.14．(－∞，2ln 2－2]解析 由原函数有零点，可转化为方程e x －2x ＋a ＝0有解，即方程a ＝2x －e x 有解．令函数g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x .令g ′(x )>0，得x <ln 2，令g (x )′<0，得x >ln 2.所以g (x )在(－∞，ln 2)上是增函数，在(ln 2，＋∞)上是减函数，所以g (x )的最大值为g (ln 2)＝2ln 2－2.因为a 的取值范围就是函数g (x )的值域，所以a 的取值范围为(－∞，2ln 2－2]．15．解 (1)∵f (x )＝b ·a x 的图象过点A (1,6)，B (3,24)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6， ①b ·a 3＝24， ②②÷①得a 2＝4，又a >0且a ≠1，∴a ＝2，b ＝3， ∴f (x )＝3·2x .(2)由(1)知(1a )x ＋(1b )x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立化为m ≤(12)x ＋(13)x 在(－∞，1]上恒成立．令g (x )＝(12)x ＋(13)x ，则g (x )在(－∞，1]上单调递减， ∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56， 故所求实数m 的取值范围是(－∞，56]．16．解 (1)由已知得－2cos C ＋2cos 2C －1＝－32， 所以4cos 2C －4cos C ＋1＝0， 解得cos C ＝12，所以C ＝60°.(2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即39＝a 2＋b 2－ab ，①又a ＋b ＝9，所以a 2＋b 2＋2ab ＝81，② 由①②得ab ＝14，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×14×32＝732.17．解 (1)∵f (x )＝sin(2x ＋π6)＋sin(2x －π6)－cos 2x ＋a ＝3sin 2x －cos 2x ＋a ＝2sin(2x －π6)＋a .∴f (x )的最小正周期T ＝π.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 即k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，故f (x )的单调递增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．(2)当x ∈[0，π2]时，则2x －π6∈[－π6，5π6]， ∴sin(2x －π6)∈[－12，1]， ∴f (x )值域为[a －1，a ＋2]．18．解 (1)由题意得当0<x ≤4时，v ＝2； 当4<x ≤20时，设v ＝ax ＋b ， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，b ＝52，所以v ＝－18x ＋52，故函数v ＝⎩⎨⎧2，0<x ≤4，－18x ＋52，4<x ≤20.(2)设鱼的年生长量为f (x )千克/立方米， 依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0<x ≤4，－18x 2＋52x ，4<x ≤20，当0<x ≤4时，f (x )为增函数， 故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8；当4<x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋1008， f (x )max ＝f (10)＝12.5.所以当0<x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．19．解 (1)∵g (x )＝f (x )＋sin 2x ＝cos 2x －sin 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x ＋π4)，∴函数g (x )＝f (x )＋sin 2x 最小正周期T ＝2π2＝π. 当2x ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )时，x ＝k π2＋π8 (k ∈Z )．∴函数g (x )＝f (x )＋sin 2x 的对称轴方程为x ＝k π2＋π8(k ∈Z )． (2)由3f (x )＝－2f ′(x )，得3cos 2x ＝4sin 2x . 3cos 2x －3sin 2x －8sin x cos x ＝0.(3cos x ＋sin x )(cos x －3sin x )＝0. 又x 是第一象限角， ∴cos x ＝3sin x ，故tan x ＝13. ∴tan(x ＋π4)＝tan x ＋tan π41－tan x tan π4＝1＋131－13＝2.20．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ×23－1，解之，得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c .则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x －1)，列表如下：所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－13)和(1，＋∞)； f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1.(3)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x ， 有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x＝(－x2－3x＋c－1)e x，因为函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，所以h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立．只要h(2)≥0，解得c≥11，所以c的取值范围是[11，＋∞)．。
2020版高考数学一轮复习教程随堂巩固训练84 Word版含解析
随堂巩固训练().因为正弦函数是奇函数，()＝(－)是正弦函数，所以()＝(－)是奇函数，以上推理③.(填序号)①结论正确；②大前提不正确；③小前提不正确；④全不正确.解析：()＝(－)不是正弦函数，是复合函数(－)＝[(－)－]＝(－)＝()，所以函数()是偶函数，故小前提错误，结论错误.. 下列表述：①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. 其中正确的是①③⑤.(填序号)解析：由归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，可知①③⑤正确.. “因为四边形是矩形，所以四边形的对角线相等”以上推理的大前提是矩形的对角线相等.. 把“函数＝的图象是一条抛物线”恢复成完整的三段论是二次函数的图象是一条抛物线(大前提)，函数＝是二次函数(小前提)，所以函数＝的图象是一条抛物线(结论)Ｗ.. “三角函数是周期函数，＝，∈是三角函数，所以＝，∈是周期函数”. 在以上演绎推理中，下列说法正确的是③.(填序号)①推理完全正确；②大前提不正确；③小前提不正确；④推理形式不正确.解析：＝，∈是三角函数的一部分，并不能代表一般的三角函数，小前提不正确，导致整个推理结论错误.. 定义[]为不大于的最大整数，则[－]＝－.. 已知在等差数列{}中，有＝，则在等比数列{}中，会有类似的结论：＝.解析：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，等差数列中的除法对应等比数列中的开方，故此可得出结论＝.. 对于任意的两个实数对(，)和(，)，规定：(，)＝(，)，当且仅当＝，＝；运算“⊗”为：(，)⊗(，)＝(－，＋)；运算“⊕”为：(，)⊕(，)＝(＋，＋). 设，∈，若(，)⊗(，)＝(，)，则(，)⊕(，)＝(，).解析：由(，)⊗(，)＝(，)得解得所以(，)⊕(，)＝(，)⊕(，－)＝(，).. 关于直线，与平面α，β，有以下四个命题：①若∥α，∥β且α∥β，则∥；②若⊥α，⊥β且α⊥β，则⊥；③若⊥α，∥β且α∥β，则⊥；④若∥α，⊥β且α⊥β，则∥.其中真命题的序号是②③.解析：若∥α，∥β，则，可能平行也可能异面，也可以相交，①错误；若⊥α，⊥β且α⊥β，则，一定垂直，②正确；若⊥α，∥β且α∥β，则，一定垂直，③正确；若∥α，⊥β且α⊥β，则，可能相交、平行，也可能异面，④错误..在△中，⊥，⊥，垂足为，求证：＝＋，那么在四面体中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.解析：如图，由射影定理，得＝·，＝·，＝·，所以＝＝＝.又＝＋，所以＝＝＋.猜想：在四面体中，，，两两垂直，⊥平面，则＝＋＋.如图，连结并延长交于点，连结.因为⊥，⊥，∩＝，⊂平面，⊂平面，所以⊥平面.因为⊂平面，所以⊥.在△中，⊥，所以＝＋.因为⊥，⊥，∩＝，，⊂平面，所以⊥平面，所以⊥.。
高考数学 3-2(基础巩固强化+能力拓展提升+备选题库+优化指导,含解析)新人教版B版
【优化指导】2013年高考数学第一轮总复习 3-2（基础巩固强化+能力拓展提升+备选题库+优化指导，含解析）新人教版B 版1.(2012²湖南衡阳模拟)函数f (x )＝x －a x 在x ∈[1,4]上单调递减，则实数a 的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．5 [答案] C[解析] 当x ∈[1,4]时，f ′(x )＝1－a2x ≤0，∴a ≥2x 恒成立，∴a ≥4.2．(文)(2012²陕西理，7)设函数f (x )＝x e x，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点 [答案] D[解析] 本题考查了导数的应用—求函数的极值．f ′(x )＝e x ＋x e x ，令f ′(x )＝0，∴e x ＋x e x＝0，∴x ＝－1，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＝e x ＋x e x <0，x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )＝e x ＋x e x>0，∴x ＝－1为极小值点，故选D.[点评] 求函数的极值要讨论在各区间内导函数值的符号，同时要注意函数的定义域． (理)已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( )A.427，0 B ．0，427C ．－427，0D ．0，－427[答案] A[解析] f ′(x )＝3x 2－2px －q ， 由f ′(1)＝0，f (1)＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1.∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1，易得当x ＝13时f (x )取极大值427，当x ＝1时f (x )取极小值0. 3．(文)函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在(a ，b )内的极大值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] B[解析] 由导函数的图象知，f (x )在(a ，b )内变化情况为增→减→增→减，故有两个极大值点．(理)(2012²重庆理，8)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如下图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)[答案] D[解析] 当x<－2时，1－x>3，则f′(x)>0；当－2<x<1时，0<1－x<3，则f′(x)<0；∴函数f(x)有极大值f(－2)，当1<x<2时，－1<1－x<0，则f′(x)<0；x>2时，1－x<－1，则f′(x)>0，∴函数f(x)有极小值f(2)，故选D.4．(文)(2011²辽宁文，11)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)[答案] B[解析] 由题意，令φ(x)＝f(x)－2x－4，则φ′(x)＝f′(x)－2>0.∴φ(x)在R上是增函数．又φ(－1)＝f(－1)－2³(－1)－4＝0，∴当x>－1时，φ(x)>φ(－1)＝0，∴f(x)－2x－4>0，∴f(x)>2x＋4.故选B.(理)(2012²河南省洛阳市高三年级统一考试)函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式e x²f(x)>e x＋1的解集为( )A．{x|x>0} B．{x|x<0}C．{x|x<－1，或x>1} D．{x|x<－1，或0<x<1}[答案] A[解析] 构造函数g(x)＝e x²f(x)－e x，因为g′(x)＝e x²f(x)＋e x²f′(x)－e x＝e x[f(x)＋f′(x)]－e x>e x－e x＝0，所以g(x)＝e x²f(x)－e x为R上的增函数．又g(0)＝e0²f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.5．(文)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是( )[答案] A[解析] 由图可知，当x >0时，f ′(x )<0，∴函数f (x )的图象在(0，＋∞)上是单调递减的；当x <－2时，f ′(x )<0，∴函数f (x )的图象在(－∞，－2)上也是单调递减的，所以只有A 符合，故选A.(理)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)，其导函数f ′(x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4D ．f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4[答案] A[解析] f ′(x )＝A ωcos(ωx ＋φ)，由f ′(x )的图象知，A ω＝2，设周期为T ，则T2＝3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2π， ∴T ＝2πω＝4π，∴ω＝12，∴A ＝4，∵f ′(x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12³π2＋φ＝0，∴π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋k π，k ∈Z ， ∵0<φ<π，∴φ＝π4.故选A.6．若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．k ≤－3或－1≤k ≤1或k ≥3B ．－3<k <－1或1<k <3C ．－2<k <2D ．不存在这样的实数 [答案] B[解析] 因为y ′＝3x 2－12，由y ′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y ′<0，得函数的减区间是(－2，2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以有k－1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3，故选B.[点评] 已知函数f (x )，由f ′(x )的符号可得到函数f (x )的单调区间，而f (x )在区间(k －1，k ＋1)上不单调，因此，k －1与k ＋1应分布在函数f (x )的两个单调区间内．请再练习下题：已知函数f (x )＝x 3－kx 在区间(－3，－1)上不单调，则实数k 的取值范围是________． [答案] 3<k <27[解析] f ′(x )＝3x 2－k .由3x 2－k >0，得x 2>k3，若k ≤0，则f (x )显然在(－3，－1)上单调递增，∴k >0，∴x >k3或x <－k3. 由3x 2－k <0得－k3<x <k3，∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－k 3上单调递增，在(－k3，k3)上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫k3，＋∞上单调递增，由题设条件知－3<－k3<－1，∴3<k<27.7．(2011²福州模拟)已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值为3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________．[答案] －37[解析] f′(x)＝6x2－12x，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2，当x<0或x>2时，f′(x)>0，当0<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在[－2,0]上单调增，在[0,2]上单调减，由条件知f(0)＝m＝3，∴f(2)＝－5，f(－2)＝－37，∴最小值为－37.8．(2011²苏北四市调研)已知函数f(x)＝mx3＋nx2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行，若f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，则实数t的取值范围是________．[答案] [－2，－1][解析] 由题意知，点(－1,2)在函数f(x)的图象上，故－m＋n＝2①又f′(x)＝3mx2＋2nx，由条件知f′(－1)＝－3，故3m－2n＝－3②联立①②解得：m＝1，n＝3，即f(x)＝x3＋3x2，令f′(x)＝3x2＋6x≤0，解得－2≤x≤0，则[t，t＋1]⊆[－2,0]，故t≥－2且t＋1≤0，所以t∈[－2，－1]．[点评] f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，故[t，t＋1]是f(x)的减区间的子集．9．(2012²湖南长郡中学一模)已知函数f(x)的导函数为f′(x)＝5＋cos x，x∈(－1,1)，且f(0)＝0，如果f(1－x)＋f(1－x2)<0，则实数x的取值范围为________．[答案] (1，2)[解析] ∵导函数是偶函数，∴原函数f(x)是奇函数，且定义域为(－1,1)，又由导数值恒大于0，∴原函数在定义域上单调递增，∴所求不等式变形为f(1－x)<f(x2－1)，∴－1<1－x<x2－1<1，解得1<x<2，∴实数x的取值范围是(1，2)．[点评] 本题考查应用函数性质解不等式以及利用导数研究函数性质，原函数与其导函数的奇偶性相反，这一性质要注意掌握和应用．10．(2012²哈尔滨质检)已知f(x)＝ax3－2ax2＋b(a≠0)．(1)求出f(x)的极值；(2)若f(x)在区间[－2,1]上最大值是5，最小值是－11，求f(x)的解析式．[解析] (1)f ′(x )＝3ax 2－4ax ，令f ′(x )＝0⇒x ＝0或x ＝43.当a >0时，当x ＝43时，y 取得极小值b －3227a ，同理当a <0时，x ＝0时，y 取得极小值b ，x ＝43时，y 取得极大值b －3227a .(2)当a >0时，f (x )在[－2,0)上单调递增，在(0,1]上单调递减， 所以f (x )max ＝f (0)＝b ＝5. 又f (－2)＝b －16a <f (1)＝b －a ， 所以b －16a ＝－11，a ＝1.当a <0时，f (x )在[－2,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增， 所以f (x )min ＝f (0)＝b ＝－11. 又f (－2)＝b －16a >f (1)＝b －a ， 所以b －16a ＝5，a ＝－1.综上，f (x )＝x 3－2x 2＋5或f (x )＝－x 3＋2x 2－11.能力拓展提升11.(文)(2011²南开区质检)已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列，且曲线y ＝3x －x 3的极大值点坐标为(b ，c )，则ad 等于( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2[答案] A[解析] ∵a 、b 、c 、d 成等比数列，∴ad ＝bc ， 又(b ，c )为函数y ＝3x －x 3的极大值点， ∴c ＝3b －b 3，且0＝3－3b 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.∴ad ＝2.(理)(2011²陕西咸阳模拟)已知函数f (x )＝ax 2－1的图象在点A (1，f (1))处的切线l与直线8x －y ＋2＝0平行，若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f n 的前n 项和为S n ，则S 2010的值为( )A.20102011 B.10052011 C.40204021D.20104021[答案] D[解析] ∵f ′(x )＝2ax ，∴f (x )在点A 处的切线斜率为f ′(1)＝2a ，由条件知2a ＝8，∴a ＝4，∴f (x )＝4x 2－1， ∴1f n ＝14n 2－1＝12n －1²12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f n 的前n 项和S n ＝1f 1 ＋1f 2 ＋…＋1f n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1，∴S 2010＝20104021. 12．(文)(2012²淄博一检)已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈[12，2]恒成立，则a 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] A[解析] 令f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f ′(x )＝x －1x 2，当x ∈[12，1]时，f ′(x )<0，当x∈[1,2]时，f ′(x )>0，∴f (x )在[12，1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝0，∴a ≤0，故选A.(理)(2012²潍坊模拟)已知非零向量a 、b 满足|a |＝3|b |，若函数f (x )＝13x 3＋|a |x2＋2a ²b x ＋1在R 上有极值，则〈a ，b 〉的取值范围是( )A ．[0，π6]B ．(0，π3]C ．(π6，π2]D ．(π6，π][答案] D[解析] 据题意知，f ′(x )＝x 2＋2|a |x ＋2a ²b ，若函数存在极值，必有(2|a |)2－4³2a ²b >0，整理可得|a |2>2a ²b ，故cos 〈a ，b 〉＝a ²b |a |²|b |<|a |22|a |²|a |3＝32，解得π6<〈a ，b 〉≤π.13．(2012²深圳第一次调研)已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )[答案] D[解析] 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间上单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项符合题意．14．(文)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为________．[答案] 1[解析] 因为f (x )是奇函数，所以f (x )在(0,2)上的最大值为－1，当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a ，又a >12，所以0<1a <2.令f ′(x )>0得x <1a，∴f (x )在(0，1a )上单调递增；令f ′(x )<0得x >1a，∴f (x )在(1a ，2)上单调递减；所以当x ∈(0,2)时，f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a －a ²1a＝－1，所以ln 1a＝0，所以a ＝1.(理)(2011²安庆质检)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________．[答案] －13[解析] 求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3³4＋2a ³2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下，且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.15．(文)设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a 、b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－3a .因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′ 2 ＝0，f 2 ＝8.即⎩⎪⎨⎪⎧12－3a ＝0，8－6a ＋b ＝8.解得a ＝4，b ＝24.(2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；此时函数f (x )没有极值点．当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．∴f (x )的单调增区间为(－∞，－a )和(a ，＋∞)，单调减区间为(－a ，a )． 故x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点． (理)(2012²新课标全国文，21)设函数f (x )＝e x－ax －2. (1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，k 为整数，且当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0，求k 的最大值． [分析] (1)先确定函数的定义域，然后求导函数f ′(x )，因不确定a 的正负，故应讨论，结合a 的正负分别得出在每一种情况下f ′(x )的正负，从而确立单调区间；(2)分离参数k ，将不含有参数的式子看作一个新函数g (x )，将求k 的最大值转化为求g (x )的最值问题．[解析] (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x－a . 若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0， 所以，f (x )在(－∞，ln a )单调递减，在(ln a ，＋∞)单调递增． (2)由于a ＝1，所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x－1)＋x ＋1. 故当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0等价于k <x ＋1e x－1＋x (x >0)．① 令g (x )＝x ＋1e x －1＋x ，则g ′(x )＝－x e x －1 e x －1 2＋1＝e x e x－x －2e x －12. 由(1)知，函数h (x )＝e x－x －2在(0，＋∞)上单调递增．而h (1)<0，h (2)>0，所以h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点．故g ′(x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．当x ∈(0，α)时，g ′(x )<0；当x ∈(α，＋∞)时，g ′(x )>0.所以g (x )在(0，＋∞)的最小值为g (α)．又由g ′(α)＝0，可得e α＝α＋2，所以g (α)＝α＋1∈(2,3)．由于①式等价于k <g (α)，故整数k 的最大值为2.16．(文)(2013²唐山一中第一学期第二次月考)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调区间并比较f (x )与f (1)的大小关系；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2[f ′(x )＋m2]在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围；(3)求证：ln22³ln33³ln44³…³ln n n <1n (n ≥2，n ∈N *)．[解析] (1)当a ＝－1时，f (x )＝－ln x ＋x －3，f ′(x )＝x －1x(x >0)， 由f ′(x )>0得x >1；由f ′(x )<0得0<x <1，所以，f (x )的单调增区间为[1，＋∞)，减区间为(0,1]， 可知f (x )min ＝f (1)，所以f (x )≥f (1)． (2)∵f ′(x )＝a 1－xx(x >0)，tan45°＝1， ∴f ′(2)＝－a2＝1，得a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，∴g (x )＝x 3＋(m2＋2)x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，且g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′ t <0，g ′ 3 >0.由题意知：对于任意的t ∈[1,2]，g ′(t )<0恒成立，所以，⎩⎪⎨⎪⎧g ′ 1 <0，g ′ 2 <0，g ′ 3 >0.∴－373<m <－9.(3)证明如下：由(1)可知，当x ∈(1，＋∞)时f (x )>f (1)，即－ln x ＋x －1>0， ∴0<ln x <x －1对一切x ∈(1，＋∞)成立． ∵n ≥2，n ∈N *，则有0<ln n <n －1，∴0<ln n n <n －1n，∴ln22²ln33²ln44²…²ln n n <12²23²34²…²n －1n ＝1n(n ≥2，n ∈N *)． (理)(2012²山东文，22)已知函数f (x )＝ln x ＋k e x(k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝xf ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数．证明：对任意x >0，g (x )<1＋e－2.[分析] (1)根据导数几何意义，利用f ′(x )＝0求解． (2)利用f ′(x )>0⇒单调递增区间，f ′(x )<0⇒单调递减区间．(3)易得g (x )＝1ex (1－x －x ln x )，直接对g (x )求导，研究其在(0，＋∞)上的单调性，进而求极值、最值，证g (x )max <1＋e－2是一条思路，但当对g (x )求导后发现几乎无法处理g ′(x )>0(g ′(x )<0)思路受阻．受(2)的启发，研究h (x )＝1－x －x ln x ，利用x ∈(0，＋∞)时1ex <1这一条件以及h (x )最大值来证就顺理成章了． [解析] (1)解：由f (x )＝ln x ＋kex， 得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)，由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行．所以f ′(1)＝0，因此k ＝1. (2)解：由(1)得f ′(x )＝1x e (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)， 令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0. 又e x>0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)证明：因为g (x )＝xf ′(x )．所以g (x )＝1e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)．由(2)h (x )＝1－x －x ln x ，求导得h ′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －lne －2)，所以当x ∈(0，e －2)时，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增； 当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减． 所以当x ∈(0，＋∞)时，h (x )≤h (e －2)＝1＋e －2. 又当x ∈(0，＋∞)时，0<1ex <1，所以当x ∈(0，＋∞)时，1e x h (x )<1＋e －2，即g (x )<1＋e －2.综上所述结论成立．[点评] 本题考查了导数的运算、切线方程、利用导数研究函数的极值、研究函数的单调区间、利用导数证明不等式等．1．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [答案] D [解析]∵f ′(x )＝3x 2－6b ，由题意知，函数f ′(x )图象如右图．∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′ 0 <0，f ′ 1 >0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－6b <0，3－6b >0.∴0<b <12.2．(2011²福建文，10)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9 [答案] D[解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ＝0的一根为x ＝1，即12－2a －2b ＝0. ∴a ＋b ＝6，∴ab ≤(a ＋b2)2＝9，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”号成立．3．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0.对任意正数a 、b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a )[答案] A[解析] ∵xf ′(x )＋f (x )≤0，又f (x )≥0， ∴xf ′(x )≤－f (x )≤0. 设y ＝f x x ，则y ′＝x ²f ′ x －f xx 2≤0， 故y ＝f xx为减函数或为常数函数．又a <b ，∴f a a ≥f bb， ∵a 、b >0，∴a ²f (b )≤b ²f (a )．[点评] 观察条件式xf ′(x )＋f (x )≤0的特点，可见不等式左边是函数y ＝xf (x )的导函数，故可构造函数y ＝xf (x )或y ＝f xx通过取导数利用条件式来得到函数的单调性推得结论，请再练习下题：已知a 、b 是实数，且e<a <b ，其中e 是自然对数的底数，则a b与b a的大小关系是( ) A ．a b>b aB ．a b<b a C ．a b＝b aD ．a b与b a的大小关系不确定 [答案] A[解析] 令f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln xx2.当x >e 时，f ′(x )<0，∴f (x )在(e ，＋∞)上单调递减．∵e<a <b ，∴f (a )>f (b )，即ln a a >ln b b，∴b ln a >a ln b ，∴ln a b>ln b a，∴a b >b a.4．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为( )A ．－15B ．0 C.15 D ．5[答案] B[解析] ∵f (x )为可导偶函数．∴f (x )在x ＝0两边的导数符号相反，且在x ＝0处连续． ∴f ′(0)＝0，又∵f (x )的周期为5. ∴f ′(x )的周期也为5.∴f ′(5)＝0， 即f (x )在x ＝5处的切线斜率为0.5．已知函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )为其导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为( )A ．(2,3)∪(－3，－2)B ．(－2，2)C ．(2,3)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[答案] A[解析] 由f ′(x )图象知，f (x )在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减，∴由条件可知f (x 2－6)>1可化为－2<x 2－6<3，∴2<x <3或－3<x <－2.6．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx ＋c 在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f (x )在R 上有三个零点，且1是其中一个零点．(1)b 的值为________；(2)f (2)的取值范围是________．[答案] (1)0 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，＋∞ [解析] (1)∵f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx ＋c ， ∴f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .∵f (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数， ∴当x ＝0时，f (x )取到极小值，即f ′(0)＝0， ∴b ＝0.(2)由(1)知，f (x )＝－x 3＋ax 2＋c ，∵1是函数f (x )的一个零点，即f (1)＝0，∴c ＝1－a . ∵f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝0的两个根分别为x 1＝0，x 2＝2a 3.又∵f (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，且函数f (x )在R 上有三个零点，∴2a 3应是f (x )的一个极大值点，因此应有x 2＝2a3>1， 即a >32.∴f (2)＝－8＋4a ＋(1－a )＝3a －7>－52.故f (2)的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，＋∞. 7．(2012²湖北文，22)设函数f (x )＝ax n(1－x )＋b (x >0)，n 为正整数，a 、b 为常数．函数y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝1.(1)求a 、b 的值； (2)求函数f (x )的最大值； (3)证明：f (x )<1n e[分析] (1)根据导数的几何意义及点(1，f (1))在直线x ＋y ＝1上可求得a ，b . (2)通过求导函数f ′(x )，解不等式f ′(x )＞0，与f ′(x )＜0判定f (x )的单调性，求其最大值．(3)要证明f (x )＜1n e ，由(2)知f (x )的最大值为n nn ＋1 n ＋1，即证n nn ＋1 n ＋1＜1n e ，即证(n ＋1n )n ＋1＞e ，只需证(n ＋1)ln n ＋1n ＞1，只需证ln n ＋1n ＞1n ＋1，① 令t ＝1＋1n ，则只需证ln t ＞1－1t ，构造函数φ(t )＝ln t ＋1t－1 (t ＞0)，利用导数可证明①式成立．[解析] .(1)因为f (1)＝b ，由点(1，b )在x ＋y ＝1上，可得1＋b ＝1，即b ＝0， 因为f ′(x )＝anxn －1－a (n ＋1)x n，所以f ′(1)＝－a .又因为切线x ＋y ＝1的斜率为－1， 所以－a ＝－1，即a ＝1，故a ＝1，b ＝0. (2)由(1)知，f (x )＝x n(1－x )＝x n－x n ＋1，f ′(x )＝(n ＋1)xn －1(nn ＋1－x )．令f ′(x )＝0，解得x ＝nn ＋1，即f ′(x )在(0，＋∞)上有唯一零点x ＝nn ＋1.在(0，n n ＋1)上，f ′(x )>0，故f (x )单调递增；而在(nn ＋1，＋∞)上，f ′(x )<0，故f (x )单调递减．故f (x )在(0，＋∞)上的最大值为f (nn ＋1)＝(nn ＋1)n²(1－nn ＋1)＝n nn ＋1n ＋1. (3)令φ(t )＝ln t －1＋1t(t >0)，则φ′(t )＝1t －1t 2＝t －1t2(t >0)．在(0,1)上，φ′(t )<0，故φ(t )单调递减； 而在(1，＋∞)上φ′(t )>0，φ(t )单调递增． 故φ(t )在(0，＋∞)上的最小值为φ(1)＝0. 所以φ(t )>0(t >1)，即ln t >1－1t(t >1)．令t ＝1＋1n ，得ln n ＋1n >1n ＋1，即ln(n ＋1n)n ＋1>lne ，所以(n ＋1n )n ＋1>e ，即n n n ＋1 n ＋1<1n e. 由(2)知，f (x )≤n nn ＋1 n ＋1<1n e ， 故所证不等式成立．[点评] 本题主要考查了导数的几何意义，通过导数求函数的最大值，判断函数的单调等基础知识，考查应用函数思想解决数学问题的能力，逻辑思维能力和运算能力．判断单调性和求函数的最大值时，一定要注意不能忽视函数的定义域．。
2020版高考数学一轮复习教程随堂巩固训练15 Word版含解析
随堂巩固训练(). 由＝的图象，将其图象向右平移单位长度，再向上平移个单位长度，即得＝的图象．解析：由题意得，＝＝＝＋，所以由＝的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，即可得到＝＋的图象，即为＝的图象．. 已知函数＝()是上的奇函数，则函数＝(－)＋的图象经过定点(，)．解析：因为函数()是上的奇函数，所以函数()的图象必过原点(，)，而函数＝(－)＋的图象是由函数()的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的，所以函数＝(－)＋的图象经过定点(，)．. 已知()为上的奇函数，则()＝(－)＋的图象关于点(，)对称．解析：因为函数()为上的奇函数，所以函数()的图象关于原点(，)对称，而函数()＝(－)＋的图象是由函数()的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的，所以函数()＝(－)＋的图象关于点(，)对称．. 对任意实数，，定义{，}＝设函数()＝－＋，()＝，则函数()＝{()，()}的最大值是．解析：由题意得()＝因为()＝－＋，()＝，所以画出()的图象如图所示，所以这两个函数的交点的纵坐标，即为()的最大值，所以解得故()的最大值为.. 函数()＝的图象与函数()＝－＋的图象的交点个数为．解析：在同一平面直角坐标系中，作出函数()＝与()＝－＋的图象，如图所示．由图可知，两个函数图象共有个交点．. 若直线＝与曲线＝－＋有四个交点，则实数的取值范围是．解析：如图，在同一平面直角坐标系内画出直线＝与曲线＝－＋的图象，由图可知，实数必须满足解得<<，故实数的取值范围是..已知函数＝，给出下列四个命题：①函数的图象关于点(，)对称；②函数的图象关于直线＝－对称；③函数在定义域内单调递减；④将函数图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后与函数＝的图象重合．则其中正确命题的序号是①②④．解析：由题意得＝＝＋.①因为函数＝的对称中心是(，)，所以函数＝的对称中心为(，)，故①正确；②设函数图象上的任意一点为(，)，则点(，)关于直线＝－对称的点的坐标为(－，－)．因为点(－，－)满足函数＝，所以②正确；③因为函数的定义域为{≠}，所以函数＝在定义域内不单调，故③错误；④显然正确，故填①②④.. 若函数()＝(，，∈)，其图象如图所示，则＋＋＝．解析：由图象可知(－)＝－，()＝，()＝，所以＝＝，＝，所以＋＋＝..已知函数()是定义在上且周期为的函数，当∈[，)时，()＝－＋，若函数＝()－在区间[－，]上有个零点(互不相同)，则实数的取值范围为．解析：由＝()－＝得()＝，作出函数()在区间[－，]上的图象如图所示，因为()＝()＝(－)＝，所以由图可知实数的取值范围是.. 已知函数()＝－(∈)，且()＝.() 求实数的值；() 作出函数()的图象；() 根据图象指出()的单调减区间；() 根据图象写出不等式()>的解集．解析：() 因为()＝，所以－＝，解得＝.() 由()得，()＝－＝作出函数()的图象如图所示．() 由图象可知，函数()的单调减区间为[，]．() 由图象可知，()>的解集为(，)∪(，＋∞)．.如图，过函数()＝(>)的图象上的两点，作轴的垂线，垂足分别为(，)，(，)(>>)，线段与函数()＝(>>)的图象交于点，且与轴平行．。
2020高考数学第一轮总复习 4-5(基础巩固强化+能力拓展提升+备选题库+优化指导,含解析)新人教版B版
【优化指导】2013年高考数学第一轮总复习 4-5（基础巩固强化+能力拓展提升+备选题库+优化指导，含解析）新人教版B 版1.(文)(2011·陕西宝鸡质检)设α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α的值为( )A ．2 B. 3 C ．1 D.33[答案] C[解析] 由已知得cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，所以cos α(cos β＋sin β)＝sin α(cos β＋sin β)，因为β为锐角，所以sin β＋cos β≠0，所以sin α＝cos α，即tan α＝1，故选C.(理)(2012·东北三省四市联考)若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin2α＋2cos2α＝( )A ．－145B ．－75C ．－2 D.45[答案] C[解析] ∵点P 在直线y ＝－2x 上，∴sin α＝－2cos α， ∴sin2α＋2cos2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1) ＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2.2．设π2<θ<π，且|cos θ|＝15，那么sin θ2的值为( )A.105 B ．－105C ．－155D.155[答案] D[解析] ∵π2<θ<π，∴cos θ<0，∴cos θ＝－15.∵π4<θ2<π2，∴sin θ2>0， 又cos θ＝1－2sin2θ2，∴sin2θ2＝1－cos θ2＝35，∴sin θ2＝155.3．在△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2·tan C2的值是( )A ．± 3B ．－ 3 C. 3 D.33[答案] C[解析] ∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ， 又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，A ＋C ＝2π3，∴tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2·tan C2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋C 2⎝⎛⎭⎪⎫1－tan A 2·ta n C 2＋3tan A 2tan C2＝3，故选C.4．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角的三角形 [答案] B[解析] ∵sin A sin B ＝cos 2C2，∴12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12(1＋cos C )， ∴cos(A －B )－cos(π－C )＝1＋cos C ， ∴cos(A －B )＝1，∵－π<A －B <π，∴A －B ＝0， ∴△ABC 为等腰三角形．5．若cos(x ＋y )cos(x －y )＝13，则cos 2x －sin 2y 等于( )A ．－13 B.13 C ．－23 D.23[答案] B[解析] ∵cos(x ＋y )cos(x －y )＝(cos x cos y －sin x sin y )·(cos x cos y ＋sin x sin y )＝cos 2x cos 2y －sin 2x sin 2y ＝cos 2x (1－sin 2y )－(1－cos 2x )·sin 2y ＝cos 2x －cos 2x sin 2y －sin 2y ＋cos 2x sin 2y ＝cos 2x －sin 2y ，∴选B.6．(2011·石家庄模拟)若α、β∈(0，π2)，cos(α－β2)＝32，sin(α2－β)＝－12，则cos(α＋β)的值等于( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32[答案] B[解析] 由α、β∈(0，π2)得，α－β2∈(－π4，π2)，α2－β∈(－π2，π4)．又cos(α－β2)＝32，sin(α2－β)＝－12，∴α－β2＝±π6，α2－β＝－π6，∵α，β∈(0，π2)，∴α＝β＝π3，∴cos(α＋β)＝－12.7．已知sin α＝35，cos β＝35，其中α、β∈(0，π2)，则α＋β＝________.[答案]π2[解析] ∵α，β∈(0，π2)，sin α＝35，cos β＝35，∴cos α＝45，sin β＝45，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×35－35×45＝0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π2.8．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________．[答案]17250[解析] 本题考查三角函数倍角公式及两角差的正弦公式等知识，考查学生运算能力， ∵0<α<π2，∴π6<α＋π6<2π3，又cos(α＋π6)＝45，∴sin(α＋π6)＝1－cos2α＋π6＝35，∴sin2(α＋π6)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2×35×45＝2425，cos2(α＋π6)＝2cos 2(α＋π6)－1＝2×(45)2－1＝725，∴sin(2α＋π12)＝sin[2(α＋π6)－π4]＝sin2(α＋π6)cos π4－cos2(α＋π6)sin π4＝2425×22－725×22＝17250. [点评] 已知三角函数值求值问题，解题策略是用已知条件中的角表示未知角，即用角的变换转化，然后用倍角公式或两角和与差公式求值．9．(2011·海南五校联考)设函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导数，若f (x )＝2f ′(x )，则sin 2x －sin2x cos 2x＝________. [答案] －59[解析] ∵f (x )＝sin x ＋cos x ，∴f ′(x )＝cos x －sin x ， 由f (x )＝2f ′(x )得sin x ＋cos x ＝2(cos x －sin x )， ∴tan x ＝13，∴sin 2x －sin2x cos 2x ＝sin 2x －2sin x cos x cos 2x ＝tan 2x －2tan x ＝(13)2－2×13＝－59.10．(文)(2012·乌鲁木齐地区二诊)已知函数f (x )＝sin x (1＋sin x )＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在[－π6，2π3]上的最大值和最小值．[解析] (1)f (x )＝sin x ＋sin 2x ＋cos 2x ＝sin x ＋1， ∴f (x )的最小正周期为2π.(2)f (x )在[－π6，π2]上为增函数，在[π2，2π3]上为减函数，又f (－π6)<f (2π3)，∴x ＝－π6时，f (x )有最小值f (－π6)＝sin(－π6)＋1＝12；x ＝π2时，f (x )有最大值f (π2)＝sin π2＋1＝2.(理)(2011·天津理，15)已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4)，(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈(0，π4)，若f (α2)＝2cos2α，求α的大小．[解析] (1)由2x ＋π4≠π2＋kπ，k ∈Z ，得x ≠π8＋kπ2，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠π8＋kπ2，k ∈Z .f (x )的最小正周期为π2.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos2α得，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos2α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝12，即sin2α＝12.由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.所以2α＝π6，即α＝π12. 能力拓展提升11.(2012·北京海淀期中练习)已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形[答案] C[解析] 由题意得，cos A cos B ＝12·2sin 2C 2⇒ cos A ·cos B ＝1－cos C2⇒2cos A ·cos B ＝1＋cos(A ＋B )⇒2cos A ·cos B ＝1＋cos A ·cos B －sin A ·sin B⇒cos A ·cos B ＋sin A ·sin B ＝1⇒cos(A －B )＝1⇒A －B ＝0⇒A ＝B ，所以△ABC 一定是等腰三角形，故选C.12．(2011·浙江杭州质检)已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin2αcos α－π4等于( )A ．－255B ．－3510C ．－31010D.255[答案] A[解析] 由已知得tan α＋11－tan α＝12，解得tan α＝－13，即sin αcos α＝－13，cos α＝－3sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1中，结合－π2<α<0，可得sin α＝－1010， 所以2sin 2α＋sin2αcos α－π4＝22sin αsin α＋cos αsin α＋cos α＝22sin α＝22×(－1010)＝－255，故选A. 13．(2012·河北保定模拟)设α为△ABC 的内角，且tan α＝－34，则sin2α的值为________．[答案] －2425[解析] ∵tan α＝－34，∴sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tanαtan2α＋1＝2×－34－342＋1＝－2425.14.(文)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD＝3DB，设∠COD ＝θ，则tan2θ2＝________.[答案]13[解析] 设OC＝r，∵AD＝3DB，且AD＋DB＝2r，∴AD＝3r2，∴OD＝r2，∴CD＝32r，∴tanθ＝CDOD＝3，∵tanθ＝2tanθ21－tan2θ2，∴tanθ2＝33(负值舍去)，∴tan2θ2＝13.(理)3tan12°－34cos212°－2sin12°＝________.[答案] －4 3[解析]3tan12°－34cos212°－2sin12°＝3sin12°－3cos12°2cos24°sin12°cos12°＝23sin12°－60°12sin48°＝－4 3.15．(文)已知A、B、C是三角形ABC的三个内角，向量m＝(－12，32)，n＝(cos A，sin A)，且m·n＝12.(1)求角A；(2)若sin2B ＋3co s2B ＝－1，求tan C .[解析] (1)m ·n ＝(－12，32)·(cos A ，sin A )＝－12cos A ＋32sin A ＝sin(A －π6)＝12，又在△ABC 中，－π6<A －π6<5π6，∴A －π6＝π6，∴A ＝π3.(2)∵sin2B ＋3cos2B ＝－1，∴2sin B cos B ＋3(cos 2B －si n 2B )＝－(sin 2B ＋cos 2B )， ∴sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0，∵cos B ≠0，∴方程两边同除以cos 2B 得tan 2B －tan B －2＝0.∴tan B ＝－1或tan B ＝2， 1°若tan B ＝－1，则B ＝3π4，这时A ＋B ＝3π4＋π3>π，这与A ＋B <π矛盾．2°若tan B ＝2，这时tan C ＝－tan(A ＋B ) ＝－tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B ＝－3＋21－23＝8＋5311.(理)已知a ＝(cos x ＋sin x ，sin x )，b ＝(cos x －sin x,2cos x )，设f (x )＝a ·b . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值及最小值．[解析] (1)f (x )＝a ·b ＝(cos x ＋sin x )·(cos x －sin x )＋sin x ·2cos x ＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x ＝cos2x ＋sin2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos2x ＋22sin2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. ∴f (x )的最小正周期T ＝π.(2)∵0≤x ≤π2，∴π4≤2x ＋π4≤5π4，∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )有最大值2；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )有最小值－1.16．(文)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x .(1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f (C 2)＝－14，且C 为锐角，求sin A的值．[解析] (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋1－cos2x 2＝12－32sin2x ， 所以函数f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)f (C 2)＝12－32sin C ＝－14，所以sin C ＝32，因为C 为锐角，所以C ＝π3，在△ABC 中，cos B ＝13，所以sin B ＝223，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36. (理)(2012·湖南文，18)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．[解析] (1)由题设图象知，周期T ＝2(11π12－5π12)＝π，所以ω＝2πT＝2.因为点(5π12，0)在函数图象上，所以A sin(2×5π12＋φ)＝0，即sin(5π6＋φ)＝0.又因为0<φ<π2，所以5π6<5π6＋φ<4π3.从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，得A ＝2.故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)g (x )＝2sin[2(x －π12)＋π6]－2sin[2(x ＋π12)＋π6]＝2sin2x －2sin(2x ＋π3)＝2sin2x －2(12sin2x ＋32cos2x )＝sin2x －3cos2x ＝2sin(2x －π3)． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以函数g (x )的单调递增区间是[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .[点评] 本题考查了正弦型函数解析式求法，周期、单调区间求法、两角和与差的正弦公式等基础知识．由图象求解析式的一般步骤是：确定周期求ω――→代入特殊点结合φ的范围求φ――→代入特殊点求A ―→确定解析式．1．(2012·湖南理，6)函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32][解析] 由题意知，f (x )＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝32sin x －32cos x ＝3(32sin x －12cos x )＝3sin(x －π6)，∴f (x )∈[－3，3]． 2．(2012·大纲全国文)若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3 [答案] C [解析] 本题考查了三角函数奇偶性，诱导公式．由y ＝sin x ＋φ3是偶函数知φ3＝π2＋k π，即φ＝3π2＋3k π， 又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2适合．本题也可用偶函数定义求解． 3．已知tan α2＝3，则cos α＝( ) A.45 B ．－45 C.415 D ．－35[答案] B[解析] cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan2α21＋tan 2α2＝1－91＋9＝－45，故选B. 4．(2012·河北保定模拟)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在(0，π2)上单调递增 B ．f (x )在(0，π2)上单调递减 C ．f (x )在(π4，3π4)上单调递减 D ．f (x )在(π4，3π4)上单调递增[解析] ∵f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ＋π4)的最小正周期为π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ＋π4)，∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数，又∵|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝sin(2x ＋π2)＝cos2x ，故选B. 5．已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x .(1)求f (π3)的值； (2)求f (x )的最大值和最小值．[解析] (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94. (2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73，x ∈R 因为cos x ∈[－1,1]，所以当cos x ＝－1时，f (x )取最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取最小值－73.。
2020届高三数学一轮复习 数学归纳法巩固与练习 精品
巩固1．一个关于自然数n 的命题，如果验证当n ＝1时命题成立，并在假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立的基础上，证明了当n ＝k ＋2时命题成立，那么综合上述，对于( )A ．一切正整数命题成立B ．一切正奇数命题成立C ．一切正偶数命题成立D ．以上都不对解析：选B.本题证的是对n ＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．2．在数列{a n }中，a n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ，则a k ＋1＝( ) A ．a k ＋12k ＋1B ．a k ＋12k ＋2－12k ＋4C ．a k ＋12k ＋2D ．a k ＋12k ＋1－12k ＋2解析：选D.a 1＝1－12，a 2＝1－12＋13－14，…，a n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n，a k ＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ，所以，a k ＋1＝a k ＋12k ＋1－12k ＋2. 3．设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为f (k )，则f (k ＋1)与f (k )的关系是( )A ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋1B ．f (k ＋1)＝f (k )＋k －1C ．f (k ＋1)＝f (k )＋kD ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋2解析：选C.当n ＝k ＋1时，任取其中1条直线，记为l ，则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为f (k )，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其他的f (k )个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是f (k )＋k ＝f (k ＋1)．4．用数学归纳法证明当n ∈N *时1＋2＋22＋23＋…＋25n －1是31的倍数时，当n ＝1时原式为________，从k →k ＋1时需增添的项是____________．解析：把n ＝k ，n ＝k ＋1相比较即可得出．答案：1＋2＋22＋23＋24 25k ＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋45．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22时，当n ＝k ＋1时左端在n ＝k 时的左端加上________．解析：n ＝k 时左端为1＋2＋3＋…＋k 2，n ＝k ＋1时左端为1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.答案：(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)26．数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)．(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解：(1)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝74，a 4＝158，由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)． (2)证明：当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k －12k －1， 那么n ＝k ＋1(k ≥1，且k ∈N *)时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k＝2＋a k －a k ＋1.∴2a k ＋1＝2＋a k ，∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k ， 这表明n ＝k ＋1时，结论成立．∴a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)． 练习1．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，第二步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N *)正确，再推n ＝2k ＋3正确B ．假设n ＝2k －1(k ∈N *)正确，再推n ＝2k ＋1正确C ．假设n ＝k (k ∈N *)正确，再推n ＝k ＋1正确D ．假设n ＝k (k ≥1)正确，再推n ＝k ＋2正确解析：选B.首先要注意n 为奇数，其次还要使n ＝2k －1能取到1，故选B.2．用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N *)的过程中，第二步假设n＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到( )A ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝k 2B ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)2C ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋2)2D ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋3)2解析：选B.∵n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋3＋5＋…＋(2k －1)＋(2k ＋1)＝k 2＋(2k ＋1)＝(k ＋1)2.故选B.3．用数学归纳法证明：“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1)”在验证n ＝1时，左端计算所得的项为( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3解析：选C.当n ＝1时，左端＝1＋a ＋a 2.4．下列代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是( )A ．6＋6·7kB ．2＋7k －1C ．2(2＋7k ＋1)D ．3(2＋7k )解析：选D.(1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k )能被9整除．(2)假设当k ＝n (n ∈N *)时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n )－36.这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立．5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a 、b 、c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c 解析：选A.∵等式对一切n ∈N *均成立，∴n ＝1,2,3时等式成立，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝3(a －b )＋c 1＋2×3＝32(2a －b )＋c1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －3b ＋c ＝118a －9b ＋c ＝781a －27b ＋c ＝34，解得a ＝12，b ＝c ＝14. 6．在数列{a n } 中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( ) A.1(n －1)(n ＋1) B.12n (2n ＋1)C.1(2n －1)(2n ＋1)D.1(2n ＋1)(2n ＋2)解析：选C.由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n ， 得S 2＝2(2×2－1)a 2，即a 1＋a 2＝6a 2，∴a 2＝115＝13×5，S 3＝3(2×3－1)a 3， 即13＋115＋a 3＝15a 3. ∴a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9.故选C . 7．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是________．解析：当n ＝k (k ∈N *)时，左式为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )；当n ＝k ＋1时，左式为(k ＋1＋1)·(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k －1)·(k ＋1＋k ) ·(k ＋1＋k ＋1)，则左边应增乘的式子是(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)． 答案：2(2k ＋1)8．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．解析：∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.答案：f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)29．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是________．解析：计算出a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16.可猜想a n ＝n 2.答案：n 210．对于n ∈N *，用数学归纳法证明：1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －1)·2＋n ·1＝16n (n ＋1)(n ＋2)． 证明：设f (n )＝1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －1)·2＋n ·1.(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；(2)设当n ＝k 时等式成立，即1·k ＋2·(k －1)＋3·(k －2)＋…＋(k －1)·2＋k ·1＝16k (k ＋1)(k ＋2)， 则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝1·(k ＋1)＋2[(k ＋1)－1]＋3[(k ＋1)－2]＋…＋[(k ＋1)－2]·3＋[(k ＋1)－1]·2＋(k ＋1)·1＝f (k )＋1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)＝16k (k ＋1)(k ＋2)＋12(k ＋1)(k ＋1＋1) ＝16(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)． ∴由(1)(2)可知当n ∈N *时等式都成立．11.已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a n2(n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上．解：(1)由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1.∴b 2＝b 11－4a 12＝13. a 2＝a 1·b 2＝13. ∴点P 2的坐标为(13，13) ∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，2a k ＋b k ＝1成立，则当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k 1－4a k2(2a k ＋1) ＝b k 1－2a k ＝1－2a k 1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上．12．已知正项数列{a n }和{b n }中，a 1＝a (0＜a ＜1)，b 1＝1－a .当n ≥2时，a n ＝a n －1b n ，b n ＝b n －11－a 2n －1. (1)证明：对任意n ∈N *，有a n ＋b n ＝1；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1＋b 1＝a ＋(1－a )＝1，命题成立；②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立，即a k ＋b k ＝1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＋b k ＋1＝a kb k ＋1＋b k ＋1＝(a k ＋1)·b k ＋1＝(a k ＋1)·b k 1－a k 2＝b k 1－a k ＝b k b k＝1. ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①、②可知，a n ＋b n ＝1对n ∈N *恒成立．(2)∵a n ＋1＝a n b n ＋1＝a n b n 1－a n 2＝a n (1－a n )1－a n 2＝a n 1＋a n， ∴1a n ＋1＝1＋a n a n ＝1a n＋1， 即1a n ＋1－1a n＝1. 数列{1a n }是公差为1的等差数列，其首项为1a 1＝1a ， 1a n ＝1a ＋(n －1)×1，从而a n ＝a 1＋(n －1)a .。
高考先锋--2020年高考数学第一轮复习全书2
2020年高三数学第一轮总复习(二)第三章数列、极限与导数一、考试内容：（一）数列数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．（二）极限教学归纳法．数学归纳法应用．数列的极限．函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．（三）导数导数的概念．导数的几何意义．几种常见函数的导数．两个函数的和、差、积、商和导数．复习函数的导数．基本导数公式．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．二、考试要求：（一）数列（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．（二）极限（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．（2）了解数列极限和函数极限的概念．（3）掌握极限的四则运算法则．会求某些数列与函数的极限．（4）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．（三）导数（1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．（2）熟记基本导数公式（c,x m(m为有理数)，sinx，cosx,e x,a x,ln x,log a x的导数）；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．（3）理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两则异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．g3.1021 数列的概念一.知识回顾1.数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法.2.数列的通项公式.3. 求数列通项公式的一个重要方法：对于任一数列}{n a ,其通项n a 和它的前n 项和n s 之间的关系是 ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n s s n s a n n n二、基本训练：1、在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55，…中，x 的值是A 、19B 、 20C 、 21D 、222、数列4，－１，1017，－1331 ，1649，…的一个通项公式是A 、1212)1(21-+-+n n n B 、1213)1(21++-+n n n C 、1212)1(21++-+n n n D 、1213)1(21-+-+n n n 3、 已知数列{}n a 的通项公式为22log (3)2n a n =+-，那么2log 3是这个数列的A.第3项B.第4项C.第5项D.第6项4、已知*2()156n na n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为____________. 5、在数列{}n a 中，11++=n n a n ，且S ｎ＝9，则n ＝_____________.6、（04年北京卷.文理14）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
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【优化指导】2013年高考数学第一轮总复习 3-2（基础巩固强化+能力拓展提升+备选题库+优化指导，含解析）新人教版B 版1.(2012·湖南衡阳模拟)函数f (x )＝x －a x 在x ∈[1,4]上单调递减，则实数a 的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．5 [答案] C[解析] 当x ∈[1,4]时，f ′(x )＝1－a2x ≤0，∴a ≥2x 恒成立，∴a ≥4.2．(文)(2012·陕西理，7)设函数f (x )＝x e x，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点 [答案] D[解析] 本题考查了导数的应用—求函数的极值．f ′(x )＝e x ＋x e x ，令f ′(x )＝0，∴e x ＋x e x＝0，∴x ＝－1，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＝e x ＋x e x <0，x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )＝e x ＋x e x>0，∴x ＝－1为极小值点，故选D.[点评] 求函数的极值要讨论在各区间内导函数值的符号，同时要注意函数的定义域． (理)已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( )A.427，0 B ．0，427C ．－427，0D ．0，－427[答案] A[解析] f ′(x )＝3x 2－2px －q ， 由f ′(1)＝0，f (1)＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1.∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1，易得当x ＝13时f (x )取极大值427，当x ＝1时f (x )取极小值0. 3．(文)函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在(a ，b )内的极大值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] B[解析] 由导函数的图象知，f (x )在(a ，b )内变化情况为增→减→增→减，故有两个极大值点．(理)(2012·重庆理，8)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如下图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)[答案] D[解析] 当x<－2时，1－x>3，则f′(x)>0；当－2<x<1时，0<1－x<3，则f′(x)<0；∴函数f(x)有极大值f(－2)，当1<x<2时，－1<1－x<0，则f′(x)<0；x>2时，1－x<－1，则f′(x)>0，∴函数f(x)有极小值f(2)，故选D.4．(文)(2011·辽宁文，11)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)[答案] B[解析] 由题意，令φ(x)＝f(x)－2x－4，则φ′(x)＝f′(x)－2>0.∴φ(x)在R上是增函数．又φ(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，∴当x>－1时，φ(x)>φ(－1)＝0，∴f(x)－2x－4>0，∴f(x)>2x＋4.故选B.(理)(2012·河南省洛阳市高三年级统一考试)函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式e x·f(x)>e x＋1的解集为( )A．{x|x>0} B．{x|x<0}C．{x|x<－1，或x>1} D．{x|x<－1，或0<x<1}[答案] A[解析] 构造函数g(x)＝e x·f(x)－e x，因为g′(x)＝e x·f(x)＋e x·f′(x)－e x＝e x[f(x)＋f′(x)]－e x>e x－e x＝0，所以g(x)＝e x·f(x)－e x为R上的增函数．又g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.5．(文)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是( )[答案] A[解析] 由图可知，当x >0时，f ′(x )<0，∴函数f (x )的图象在(0，＋∞)上是单调递减的；当x <－2时，f ′(x )<0，∴函数f (x )的图象在(－∞，－2)上也是单调递减的，所以只有A 符合，故选A.(理)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)，其导函数f ′(x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4D ．f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4[答案] A[解析] f ′(x )＝A ωcos(ωx ＋φ)，由f ′(x )的图象知，A ω＝2，设周期为T ，则T2＝3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2π， ∴T ＝2πω＝4π，∴ω＝12，∴A ＝4，∵f ′(x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2＋φ＝0，∴π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋k π，k ∈Z ， ∵0<φ<π，∴φ＝π4.故选A.6．若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．k ≤－3或－1≤k ≤1或k ≥3B ．－3<k <－1或1<k <3C ．－2<k <2D ．不存在这样的实数 [答案] B[解析] 因为y ′＝3x 2－12，由y ′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y ′<0，得函数的减区间是(－2，2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以有k－1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3，故选B.[点评] 已知函数f (x )，由f ′(x )的符号可得到函数f (x )的单调区间，而f (x )在区间(k －1，k ＋1)上不单调，因此，k －1与k ＋1应分布在函数f (x )的两个单调区间内．请再练习下题：已知函数f (x )＝x 3－kx 在区间(－3，－1)上不单调，则实数k 的取值范围是________． [答案] 3<k <27[解析] f ′(x )＝3x 2－k .由3x 2－k >0，得x 2>k3，若k ≤0，则f (x )显然在(－3，－1)上单调递增，∴k >0，∴x >k3或x <－k3. 由3x 2－k <0得－k3<x <k3，∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－k 3上单调递增，在(－k3，k3)上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫k3，＋∞上单调递增，由题设条件知－3<－k3<－1，∴3<k<27.7．(2011·福州模拟)已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值为3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________．[答案] －37[解析] f′(x)＝6x2－12x，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2，当x<0或x>2时，f′(x)>0，当0<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在[－2,0]上单调增，在[0,2]上单调减，由条件知f(0)＝m＝3，∴f(2)＝－5，f(－2)＝－37，∴最小值为－37.8．(2011·苏北四市调研)已知函数f(x)＝mx3＋nx2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行，若f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，则实数t的取值范围是________．[答案] [－2，－1][解析] 由题意知，点(－1,2)在函数f(x)的图象上，故－m＋n＝2①又f′(x)＝3mx2＋2nx，由条件知f′(－1)＝－3，故3m－2n＝－3②联立①②解得：m＝1，n＝3，即f(x)＝x3＋3x2，令f′(x)＝3x2＋6x≤0，解得－2≤x≤0，则[t，t＋1]⊆[－2,0]，故t≥－2且t＋1≤0，所以t∈[－2，－1]．[点评] f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，故[t，t＋1]是f(x)的减区间的子集．9．(2012·湖南长郡中学一模)已知函数f(x)的导函数为f′(x)＝5＋cos x，x∈(－1,1)，且f(0)＝0，如果f(1－x)＋f(1－x2)<0，则实数x的取值范围为________．[答案] (1，2)[解析] ∵导函数是偶函数，∴原函数f(x)是奇函数，且定义域为(－1,1)，又由导数值恒大于0，∴原函数在定义域上单调递增，∴所求不等式变形为f(1－x)<f(x2－1)，∴－1<1－x<x2－1<1，解得1<x<2，∴实数x的取值范围是(1，2)．[点评] 本题考查应用函数性质解不等式以及利用导数研究函数性质，原函数与其导函数的奇偶性相反，这一性质要注意掌握和应用．10．(2012·哈尔滨质检)已知f(x)＝ax3－2ax2＋b(a≠0)．(1)求出f(x)的极值；(2)若f(x)在区间[－2,1]上最大值是5，最小值是－11，求f(x)的解析式．[解析] (1)f ′(x )＝3ax 2－4ax ，令f ′(x )＝0⇒x ＝0或x ＝43.当a >0时，x (－∞，0)0 (0，43)43 (43，＋∞) y ′ ＋ 0 － 0 ＋ y增函数极大值减函数极小值增函数x y b 当x ＝43时，y 取得极小值b －3227a ，同理当a <0时，x ＝0时，y 取得极小值b ，x ＝43时，y 取得极大值b －3227a .(2)当a >0时，f (x )在[－2,0)上单调递增，在(0,1]上单调递减， 所以f (x )max ＝f (0)＝b ＝5. 又f (－2)＝b －16a <f (1)＝b －a ， 所以b －16a ＝－11，a ＝1.当a <0时，f (x )在[－2,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增， 所以f (x )min ＝f (0)＝b ＝－11. 又f (－2)＝b －16a >f (1)＝b －a ， 所以b －16a ＝5，a ＝－1.综上，f (x )＝x 3－2x 2＋5或f (x )＝－x 3＋2x 2－11.能力拓展提升11.(文)(2011·南开区质检)已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列，且曲线y ＝3x －x 3的极大值点坐标为(b ，c )，则ad 等于( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2[答案] A[解析] ∵a 、b 、c 、d 成等比数列，∴ad ＝bc ， 又(b ，c )为函数y ＝3x －x 3的极大值点， ∴c ＝3b －b 3，且0＝3－3b 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.∴ad ＝2.(理)(2011·陕西咸阳模拟)已知函数f (x )＝ax 2－1的图象在点A (1，f (1))处的切线l与直线8x －y ＋2＝0平行，若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1fn的前n 项和为S n ，则S 2010的值为( ) A.20102011 B.10052011 C.40204021D.20104021[答案] D[解析] ∵f ′(x )＝2ax ，∴f (x )在点A 处的切线斜率为f ′(1)＝2a ，由条件知2a ＝8，∴a ＝4，∴f (x )＝4x 2－1， ∴1f n＝14n 2－1＝12n －1·12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1fn的前n 项和S n ＝1f 1＋1f 2＋…＋1f n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1，∴S 2010＝20104021. 12．(文)(2012·淄博一检)已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈[12，2]恒成立，则a 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] A[解析] 令f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f ′(x )＝x －1x 2，当x ∈[12，1]时，f ′(x )<0，当x∈[1,2]时，f ′(x )>0，∴f (x )在[12，1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝0，∴a ≤0，故选A.(理)(2012·潍坊模拟)已知非零向量a 、b 满足|a |＝3|b |，若函数f (x )＝13x 3＋|a |x2＋2a ·b x ＋1在R 上有极值，则〈a ，b 〉的取值范围是( )A ．[0，π6]B ．(0，π3]C ．(π6，π2]D ．(π6，π][答案] D[解析] 据题意知，f ′(x )＝x 2＋2|a |x ＋2a ·b ，若函数存在极值，必有(2|a |)2－4×2a ·b >0，整理可得|a |2>2a ·b ，故cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a|·|b|<|a |22|a |·|a |3＝32，解得π6<〈a ，b 〉≤π.13．(2012·深圳第一次调研)已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间上单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项符合题意．14．(文)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为________．[答案] 1[解析] 因为f (x )是奇函数，所以f (x )在(0,2)上的最大值为－1，当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a ，又a >12，所以0<1a <2.令f ′(x )>0得x <1a，∴f (x )在(0，1a )上单调递增；令f ′(x )<0得x >1a，∴f (x )在(1a ，2)上单调递减；所以当x ∈(0,2)时，f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a －a ·1a＝－1，所以ln 1a＝0，所以a ＝1.(理)(2011·安庆质检)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________．[答案] －13[解析] 求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下，且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.15．(文)设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a 、b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－3a .因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′2＝0，f2＝8.即⎩⎪⎨⎪⎧12－3a ＝0，8－6a ＋b ＝8.解得a ＝4，b ＝24.(2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；此时函数f (x )没有极值点．当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．∴f (x )的单调增区间为(－∞，－a )和(a ，＋∞)，单调减区间为(－a ，a )． 故x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点． (理)(2012·新课标全国文，21)设函数f (x )＝e x－ax －2. (1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，k 为整数，且当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0，求k 的最大值． [分析] (1)先确定函数的定义域，然后求导函数f ′(x )，因不确定a 的正负，故应讨论，结合a 的正负分别得出在每一种情况下f ′(x )的正负，从而确立单调区间；(2)分离参数k ，将不含有参数的式子看作一个新函数g (x )，将求k 的最大值转化为求g (x )的最值问题．[解析] (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x－a . 若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0， 所以，f (x )在(－∞，ln a )单调递减，在(ln a ，＋∞)单调递增． (2)由于a ＝1，所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x－1)＋x ＋1. 故当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0等价于k <x ＋1e x－1＋x (x >0)．① 令g (x )＝x ＋1e x －1＋x ，则g ′(x )＝－x e x －1e x －12＋1＝exe x－x －2e x －12. 由(1)知，函数h (x )＝e x－x －2在(0，＋∞)上单调递增．而h (1)<0，h (2)>0，所以h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点．故g ′(x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．当x ∈(0，α)时，g ′(x )<0；当x ∈(α，＋∞)时，g ′(x )>0.所以g (x )在(0，＋∞)的最小值为g (α)．又由g ′(α)＝0，可得e α＝α＋2，所以g (α)＝α＋1∈(2,3)．由于①式等价于k <g (α)，故整数k 的最大值为2.16．(文)(2013·唐山一中第一学期第二次月考)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调区间并比较f (x )与f (1)的大小关系；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2[f ′(x )＋m2]在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围；(3)求证：ln22×ln33×ln44×…×ln n n <1n (n ≥2，n ∈N *)．[解析] (1)当a ＝－1时，f (x )＝－ln x ＋x －3，f ′(x )＝x －1x(x >0)， 由f ′(x )>0得x >1；由f ′(x )<0得0<x <1，所以，f (x )的单调增区间为[1，＋∞)，减区间为(0,1]， 可知f (x )min ＝f (1)，所以f (x )≥f (1)． (2)∵f ′(x )＝a 1－xx(x >0)，tan45°＝1， ∴f ′(2)＝－a2＝1，得a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，∴g (x )＝x 3＋(m2＋2)x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，且g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′t <0，g ′3>0.由题意知：对于任意的t ∈[1,2]，g ′(t )<0恒成立，所以，⎩⎪⎨⎪⎧g ′1<0，g ′2<0，g ′3>0.∴－373<m <－9.(3)证明如下：由(1)可知，当x ∈(1，＋∞)时f (x )>f (1)，即－ln x ＋x －1>0， ∴0<ln x <x －1对一切x ∈(1，＋∞)成立． ∵n ≥2，n ∈N *，则有0<ln n <n －1，∴0<ln n n <n －1n，∴ln22·ln33·ln44·…·ln n n <12·23·34·…·n －1n ＝1n(n ≥2，n ∈N *)． (理)(2012·山东文，22)已知函数f (x )＝ln x ＋k e x(k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝xf ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数．证明：对任意x >0，g (x )<1＋e－2.[分析] (1)根据导数几何意义，利用f ′(x )＝0求解． (2)利用f ′(x )>0⇒单调递增区间，f ′(x )<0⇒单调递减区间．(3)易得g (x )＝1ex (1－x －x ln x )，直接对g (x )求导，研究其在(0，＋∞)上的单调性，进而求极值、最值，证g (x )max <1＋e－2是一条思路，但当对g (x )求导后发现几乎无法处理g ′(x )>0(g ′(x )<0)思路受阻．受(2)的启发，研究h (x )＝1－x －x ln x ，利用x ∈(0，＋∞)时1ex <1这一条件以及h (x )最大值来证就顺理成章了． [解析] (1)解：由f (x )＝ln x ＋kex， 得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)，由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行．所以f ′(1)＝0，因此k ＝1. (2)解：由(1)得f ′(x )＝1x e x(1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)， 令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0. 又e x>0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)证明：因为g (x )＝xf ′(x )．所以g (x )＝1e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)．由(2)h (x )＝1－x －x ln x ，求导得h ′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －lne －2)，所以当x ∈(0，e －2)时，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增； 当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减． 所以当x ∈(0，＋∞)时，h (x )≤h (e －2)＝1＋e －2. 又当x ∈(0，＋∞)时，0<1ex <1，所以当x ∈(0，＋∞)时，1e x h (x )<1＋e －2，即g (x )<1＋e －2.综上所述结论成立．[点评] 本题考查了导数的运算、切线方程、利用导数研究函数的极值、研究函数的单调区间、利用导数证明不等式等．1．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [答案] D [解析]∵f ′(x )＝3x 2－6b ，由题意知，函数f ′(x )图象如右图．∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′0<0，f ′1>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－6b <0，3－6b >0.∴0<b <12.2．(2011·福建文，10)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9 [答案] D[解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ＝0的一根为x ＝1，即12－2a －2b ＝0. ∴a ＋b ＝6，∴ab ≤(a ＋b2)2＝9，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”号成立．3．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0.对任意正数a 、b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a )[答案] A[解析] ∵xf ′(x )＋f (x )≤0，又f (x )≥0， ∴xf ′(x )≤－f (x )≤0. 设y ＝f x x ，则y ′＝x ·f ′x －f xx 2≤0， 故y ＝f xx为减函数或为常数函数．又a <b ，∴f a a ≥f bb， ∵a 、b >0，∴a ·f (b )≤b ·f (a )．[点评] 观察条件式xf ′(x )＋f (x )≤0的特点，可见不等式左边是函数y ＝xf (x )的导函数，故可构造函数y ＝xf (x )或y ＝f xx通过取导数利用条件式来得到函数的单调性推得结论，请再练习下题：已知a 、b 是实数，且e<a <b ，其中e 是自然对数的底数，则a b与b a的大小关系是( ) A ．a b>b aB ．a b<b a C ．a b＝b aD ．a b与b a的大小关系不确定 [答案] A[解析] 令f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln xx2.当x >e 时，f ′(x )<0，∴f (x )在(e ，＋∞)上单调递减．∵e<a <b ，∴f (a )>f (b )，即ln a a >ln b b，∴b ln a >a ln b ，∴ln a b>ln b a，∴a b >b a.4．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为( )A ．－15B ．0 C.15 D ．5[答案] B[解析] ∵f (x )为可导偶函数．∴f (x )在x ＝0两边的导数符号相反，且在x ＝0处连续． ∴f ′(0)＝0，又∵f (x )的周期为5. ∴f ′(x )的周期也为5.∴f ′(5)＝0， 即f (x )在x ＝5处的切线斜率为0.5．已知函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )为其导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为( )A ．(2,3)∪(－3，－2)B ．(－2，2)C ．(2,3)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[答案] A[解析] 由f ′(x )图象知，f (x )在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减，∴由条件可知f (x 2－6)>1可化为－2<x 2－6<3，∴2<x <3或－3<x <－2.6．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx ＋c 在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f (x )在R 上有三个零点，且1是其中一个零点．(1)b 的值为________；(2)f (2)的取值范围是________．[答案] (1)0 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，＋∞ [解析] (1)∵f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx ＋c ， ∴f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .∵f (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数， ∴当x ＝0时，f (x )取到极小值，即f ′(0)＝0， ∴b ＝0.(2)由(1)知，f (x )＝－x 3＋ax 2＋c ，∵1是函数f (x )的一个零点，即f (1)＝0，∴c ＝1－a . ∵f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝0的两个根分别为x 1＝0，x 2＝2a 3.又∵f (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，且函数f (x )在R 上有三个零点，∴2a 3应是f (x )的一个极大值点，因此应有x 2＝2a3>1， 即a >32.∴f (2)＝－8＋4a ＋(1－a )＝3a －7>－52.故f (2)的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，＋∞. 7．(2012·湖北文，22)设函数f (x )＝ax n(1－x )＋b (x >0)，n 为正整数，a 、b 为常数．函数y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝1.(1)求a 、b 的值； (2)求函数f (x )的最大值； (3)证明：f (x )<1n e[分析] (1)根据导数的几何意义及点(1，f (1))在直线x ＋y ＝1上可求得a ，b . (2)通过求导函数f ′(x )，解不等式f ′(x )＞0，与f ′(x )＜0判定f (x )的单调性，求其最大值．(3)要证明f (x )＜1n e ，由(2)知f (x )的最大值为n n n ＋1n ＋1，即证n n n ＋1n ＋1＜1n e，即证(n ＋1n )n ＋1＞e ，只需证(n ＋1)ln n ＋1n ＞1，只需证ln n ＋1n ＞1n ＋1，① 令t ＝1＋1n ，则只需证ln t ＞1－1t ，构造函数φ(t )＝ln t ＋1t－1 (t ＞0)，利用导数可证明①式成立．[解析] .(1)因为f (1)＝b ，由点(1，b )在x ＋y ＝1上，可得1＋b ＝1，即b ＝0， 因为f ′(x )＝anxn －1－a (n ＋1)x n，所以f ′(1)＝－a .又因为切线x ＋y ＝1的斜率为－1， 所以－a ＝－1，即a ＝1，故a ＝1，b ＝0. (2)由(1)知，f (x )＝x n(1－x )＝x n－x n ＋1，f ′(x )＝(n ＋1)xn －1(nn ＋1－x )．令f ′(x )＝0，解得x ＝nn ＋1，即f ′(x )在(0，＋∞)上有唯一零点x ＝nn ＋1.在(0，n n ＋1)上，f ′(x )>0，故f (x )单调递增；而在(nn ＋1，＋∞)上，f ′(x )<0，故f (x )单调递减．故f (x )在(0，＋∞)上的最大值为f (nn ＋1)＝(nn ＋1)n·(1－nn ＋1)＝n n n ＋1n ＋1.(3)令φ(t )＝ln t －1＋1t(t >0)，则φ′(t )＝1t －1t 2＝t －1t2(t >0)．在(0,1)上，φ′(t )<0，故φ(t )单调递减； 而在(1，＋∞)上φ′(t )>0，φ(t )单调递增． 故φ(t )在(0，＋∞)上的最小值为φ(1)＝0. 所以φ(t )>0(t >1)，即ln t >1－1t(t >1)．令t ＝1＋1n ，得ln n ＋1n >1n ＋1，即ln(n ＋1n)n ＋1>lne ，所以(n ＋1n )n ＋1>e ，即n nn ＋1n ＋1<1n e. 由(2)知，f (x )≤n n n ＋1n ＋1<1n e， 故所证不等式成立．[点评] 本题主要考查了导数的几何意义，通过导数求函数的最大值，判断函数的单调等基础知识，考查应用函数思想解决数学问题的能力，逻辑思维能力和运算能力．判断单调性和求函数的最大值时，一定要注意不能忽视函数的定义域．。