黑龙江省龙东地区2020年中考数学试卷
2020年黑龙江省龙东地区中考数学试题(农垦、森工)及参考答案(word解析版)
黑龙江省龙东地区2020年初中毕业学业统一考试(农垦·森工)数学试题（考试时间120分钟；全卷共三道大题，总分120分）一、选择题（每题3分，满分30分）1．下列各运算中，计算正确的是（）A．a2+2a2＝3a4B．x8﹣x2＝x6C．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2D．（﹣3x2）3＝﹣27x6 2．下列图标中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最少是（）A．2 B．3 C．4 D．54．一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5（x为正整数），唯一的众数是4，则数据x是（）A．1 B．2 C．0或1 D．1或25．已知2+是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是（）A．0 B．1 C．﹣3 D．﹣16．如图，正方形ABCD的两个顶点B，D在反比例函数y＝的图象上，对角线AC，BD的交点恰好是坐标原点O，已知B（﹣1，1），则k的值是（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣17．已知关于x的分式方程﹣4＝的解为非正数，则k的取值范围是（）A．k≤﹣12 B．k≥﹣12 C．k＞﹣12 D．k＜﹣128．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A．72 B．24 C．48 D．969．学校计划用200元钱购买A、B两种奖品，A种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（）A．2种B．3种C．4种D．5种10．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（）A．①②③B．②④⑤C．①③④D．①④⑤二、填空题（每题3分，满分30分）11．2019年1月1日，“学习强国”平台全国上线，截至2019年3月17日，某市党员“学习强国”客户端注册人数约1180000，将数据1180000用科学记数法表示为．12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是．13．如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．14．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出一个小球，是偶数的概率为．15．若关于x的一元一次不等式组的解是x＞1，则a的取值范围是．16．如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠ADB＝°．17．小明在手工制作课上，用面积为150πcm2，半径为15cm的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为cm．18．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为．19．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝a，连接AE，将△ABE沿AE折叠．若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则折痕的长为．20．如图，直线AM的解析式为y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为（1，1）．过B点作直线EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A1．以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）．过点B1作直线E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2，…，则点B2020的坐标．三、解答题（满分60分）21．（本题满分5分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝sin30°．22．（本题满分6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）均在格点上．（1）将△ABC向下平移5个单位得到△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°后得到的△A2B2C1，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．23．（本题满分6分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6．（1）求a的值；（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC．若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由．24．（本题满分7分）某公司工会组织全体员工参加跳绳比赛，工会主席统计了公司50名员工一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．求：（1）该公司员工一分钟跳绳的平均次数至少是多少．（2）该公司一名员工说：“我的跳绳成绩是我公司的中位数”请你给出该员工跳绳成绩的所在范围．（3）若该公司决定给每分钟跳绳不低于140个的员工购买纪念品，每个纪念品300元，则公司应拿出多少钱购买纪念品．25．（本题满分8分）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y（单位：千米）与快递车所用时间x（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．（1）求ME的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）26．（本题满分8分）以Rt△ABC的两边AB、AC为边，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，过点A 作AM⊥BC于M，延长MA交EG于点N．（1）如图①，若∠BAC＝90°，AB＝AC，易证：EN＝GN；（2）如图②，∠BAC＝90°；如图③，∠BAC≠90°，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由．27．（本题满分10分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n 元，售价每千克18元．（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m，n的值．（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克，求有哪几种购买方案．（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a 元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．28．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB长是x2﹣3x﹣18＝0的根，连接BD，∠DBC＝30°，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，动点P从B点以每秒2个单位长度的速度沿BD方向匀速运动到D点为止；点M沿线段DA以每秒个单位长度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）线段CN＝；（2）连接PM和MN，求△PMN的面积s与运动时间t的函数关系式；（3）在整个运动过程中，当△PMN是以PN为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．参考答案与解析一、选择题（每题3分，满分30分）1．下列各运算中，计算正确的是（）A．a2+2a2＝3a4B．x8﹣x2＝x6C．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2D．（﹣3x2）3＝﹣27x6【知识考点】合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．【思路分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方分别求出每个式子的值，再判断即可．【解答过程】解：A、结果是3a2，故本选项不符合题意；B、x8和﹣x2不能合并，故本选项不符合题意；C、结果是x2﹣2xy+y2，故本选项不符合题意；D、结果是﹣27x6，故本选项符合题意；故选：D．【总结归纳】本题考查了合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．2．下列图标中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【知识考点】中心对称图形．【思路分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答过程】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．是中心对称图形，故本选项符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．【总结归纳】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最少是（）A．2 B．3 C．4 D．5【知识考点】由三视图判断几何体．【思路分析】左视图底面有2个小正方体，主视图底面有2个小正方体，则可以判断出该几何体底面最少有2个小正方体，最多有4个．根据这个思路可判断出该几何体有多少个小立方块．【解答过程】解：左视图与主视图相同，可判断出底面最少有2个，第二层最少有1个小正方体，第三层最少有1个小正方体，则这个几何体的小立方块的个数最少是2+1+1＝4个．故选：C．【总结归纳】考查了由三视图判断几何体的知识，根据题目中要求的以最少的小正方体搭建这个几何体，可以想象出左视图的样子，然后根据“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”很容易就知道小正方体的个数．4．一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5（x为正整数），唯一的众数是4，则数据x是（）A．1 B．2 C．0或1 D．1或2【知识考点】众数．【思路分析】根据众数的定义得出正整数x的值即可．【解答过程】解：∵一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5（x为正整数），唯一的众数是4，∴数据x是1或2．故选：D．【总结归纳】本题主要考查了众数的定义，根据众数是一组数据中出现次数最多的数得出x的值是解题的关键．5．已知2+是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是（）A．0 B．1 C．﹣3 D．﹣1【知识考点】一元二次方程的解．【思路分析】把x＝2+代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．【解答过程】解：根据题意，得（2+）2﹣4×（2+）+m＝0，解得m＝1；故选：B．【总结归纳】本题主要考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．6．如图，正方形ABCD的两个顶点B，D在反比例函数y＝的图象上，对角线AC，BD的交点恰好是坐标原点O，已知B（﹣1，1），则k的值是（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1【知识考点】反比例函数图象上点的坐标特征；LE：正方形的性质．【思路分析】把B（﹣1，1）代入y＝即可得到结论．【解答过程】解：∵点B在反比例函数y＝的图象上，B（﹣1，1），∴1＝，∴k＝﹣1，故选：D．【总结归纳】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．7．已知关于x的分式方程﹣4＝的解为非正数，则k的取值范围是（）A．k≤﹣12 B．k≥﹣12 C．k＞﹣12 D．k＜﹣12【知识考点】分式方程的解．【思路分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k的不等式，解出k的范围即可．【解答过程】解：方程﹣4＝两边同时乘以（x﹣3）得：x﹣4（x﹣3）＝﹣k，∴x﹣4x+12＝﹣k，∴﹣3x＝﹣k﹣12，∴x＝+4，∵解为非正数，∴+4≤0，∴k≤﹣12．故选：A．【总结归纳】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．8．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A．72 B．24 C．48 D．96【知识考点】菱形的性质．【思路分析】根据菱形的性质得O为BD的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得BD的长度，最后由菱形的面积公式求得面积．【解答过程】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝4，∴BD＝8，∵OA＝6，∴AC＝12，∴菱形ABCD的面积＝．故选：C．【总结归纳】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形的性质求得BD．9．学校计划用200元钱购买A、B两种奖品，A种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（）A．2种B．3种C．4种D．5种【知识考点】二元一次方程的应用．【思路分析】设购买了A种奖品x个，B种奖品y个，根据学校计划用200元钱购买A、B两种奖品，其中A种每个15元，B种每个25元，钱全部用完可列出方程，再根据x，y为非负整数可求出解．【解答过程】解：设购买了A种奖品x个，B种奖品y个，根据题意得：15x+25y＝200，化简整理得：3x+5y＝40，得y＝8﹣x，∵x，y为非负整数，∴，，，∴有3种购买方案：方案1：购买了A种奖品0个，B种奖品8个；方案2：购买了A种奖品5个，B种奖品5个；方案3：购买了A种奖品10个，B种奖品2个．故选：B．【总结归纳】本题考查了二元一次方程的应用，关键是读懂题意，根据题意列出二元一次方程，然后根据解为非负整数确定出x，y的值．10．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（）A．①②③B．②④⑤C．①③④D．①④⑤【知识考点】二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；勾股定理；LE：正方形的性质．【思路分析】①正确．如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS）即可解决问题．②③错误．如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS）即可解决问题．④正确．设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．⑤正确．当BE＝a时，设DG＝x，则EG＝x+a，利用勾股定理构建方程可得x＝即可解决问题．【解答过程】解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．∵BE＝BH，∠EBH＝90°，∴EH＝BE，∵AF＝BE，∴AF＝EH，∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，∴∠FAE＝∠EHC＝135°，∵BA＝BC，BE＝BH，∴AE＝HC，∴△FAE≌△EHC（SAS），∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH，∵∠ECH+∠CEB＝90°，∴∠AEF+∠CEB＝90°，∴∠FEC＝90°，∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），∴∠ECB＝∠DCH，∴∠ECH＝∠BCD＝90°，∴∠ECG＝∠GCH＝45°，∵CG＝CG，CE＝CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG＝GH，∵GH＝DG+DH，DH＝BE，∴EG＝BE+DG，故③错误，∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，∴S△AEF＝•（a﹣x）×x＝﹣x2+ax＝﹣（x2﹣ax+a2﹣a2）＝﹣（x﹣a）2+a2，∵﹣＜0，∴x＝a时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确，当BE＝a时，设DG＝x，则EG＝x+a，在Rt△AEG中，则有（x+a）2＝（a﹣x）2+（a）2，解得x＝，∴AG＝GD，故⑤正确，故选：D．【总结归纳】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（每题3分，满分30分）11．2019年1月1日，“学习强国”平台全国上线，截至2019年3月17日，某市党员“学习强国”客户端注册人数约1180000，将数据1180000用科学记数法表示为．【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答过程】解：1180000＝1.18×106，故答案为：1.18×106．【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是．【知识考点】函数自变量的取值范围．【思路分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答过程】解：由题意得2x﹣3＞0，解得x＞1.5．故答案为：x＞1.5．【总结归纳】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．13．如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．【知识考点】直角三角形全等的判定．【思路分析】根据全等三角形的判定解答即可．【解答过程】解：∵Rt△ABC和Rt△EDF中，∴∠BAC＝∠DEF＝90°，∵BC∥DF，∴∠DFE＝∠BCA，∴添加AB＝ED，在Rt△ABC和Rt△EDF中，∴Rt△ABC≌Rt△EDF（AAS），故答案为：AB＝ED答案不唯一．【总结归纳】此题考查全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定方法解答．14．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出一个小球，是偶数的概率为．【知识考点】概率公式．【思路分析】直接利用概率公式计算可得．【解答过程】解：∵盒子中共装有5个小球，其中标号为偶数的有2、4这2个小球，∴从中随机摸出一个小球，是偶数的概率为，故答案为：．【总结归纳】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．15．若关于x的一元一次不等式组的解是x＞1，则a的取值范围是．【知识考点】解一元一次不等式组．【思路分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大可得答案．【解答过程】解：解不等式x﹣1＞0，得：x＞1，解不等式2x﹣a＞0，得：x＞，∵不等式组的解集为x＞1，∴≤1，解得a≤2，故答案为：a≤2．【总结归纳】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．16．如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠ADB＝°．【知识考点】三角形的外接圆与外心．【思路分析】根据圆周角定理即可得到结论．【解答过程】解：∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，∴点A，B，C，D在⊙O上，∵∠BCA＝50°，∴∠ADB＝∠BCA＝50°，故答案为：50．【总结归纳】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．17．小明在手工制作课上，用面积为150πcm2，半径为15cm的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为cm．【知识考点】扇形面积的计算；圆锥的计算．【思路分析】先根据扇形的面积公式：S＝l•R（l为弧长，R为扇形的半径）计算出扇形的弧长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，利用圆的周长公式计算出圆锥的底面半径．【解答过程】解：∵S＝l•R，∴•l•15＝150π，解得l＝20π，设圆锥的底面半径为r，∴2π•r＝20π，∴r＝10（cm）．故答案为：10．【总结归纳】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；也考查了扇形的面积公式：S＝l•R（l为弧长，R为扇形的半径）．18．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为．【知识考点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；轴对称﹣最短路线问题；平移的性质．【思路分析】根据菱形的性质得到AB＝1，∠ABD＝30°，根据平移的性质得到EG＝AB＝1，EG∥AB，推出四边形EGCD是平行四边形，得到ED＝GC，于是得到EC+GC的最小值＝EC+GD 的最小值，根据平移的性质得到点E在过点A且平行于BD的定直线上，作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于AE，解直角三角形即可得到结论．【解答过程】解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△EGF，∴EG＝AB＝1，EG∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴EG＝CD，EG∥CD，∴四边形EGCD是平行四边形，∴ED＝GC，∴EC+GC的最小值＝EC+ED的最小值，∵点E在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于E，则CM的长度即为EC+DE的最小值，∵∠EAD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADM＝60°，DH＝MH＝AD＝，∴DM＝1，∴DM＝CD，∵∠CDM＝∠MDG+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠M＝∠DCM＝30°，∴CM＝2×CD＝．故答案为：．【总结归纳】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，菱形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平移的性质，正确地理解题意是解题的关键．19．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝a，连接AE，将△ABE沿AE 折叠．若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则折痕的长为．【知识考点】矩形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．【思路分析】分两种情况：①当点B'落在AD边上时，证出△ABE是等腰直角三角形，得出AE ＝AB＝；②当点B'落在CD边上时，证明△ADB'∽△B'CE，得出＝，求出BE＝a＝，由勾股定理求出AE即可．【解答过程】解：分两种情况：①当点B'落在AD边上时，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，∵将△ABE沿AE折叠．点B的对应点B′落在矩形ABCD的AD边上，∴∠BAE＝∠B'AE＝∠BAD＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE＝1，AE＝AB＝；②当点B'落在CD边上时，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a，∵将△ABE沿AE折叠．点B的对应点B′落在矩形ABCD的CD边上，∴∠B＝∠AB'E＝90°，AB'＝AB＝1，BE'＝BE＝a，∴CE＝BC﹣BE＝a﹣a＝a，B'D＝＝，在△ADB'和△B'CE中，∠B'AD＝∠EB'C＝90°﹣∠AB'D，∠D＝∠C＝90°，∴△ADB'∽△B'CE，∴＝，即＝，解得：a＝，或a＝0（舍去），∴BE＝a＝，∴AE＝＝＝；综上所述，折痕的长为或；故答案为：或．【总结归纳】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质是解题的关键．20．如图，直线AM的解析式为y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为（1，1）．过B点作直线EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A1．以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）．过点B1作直线E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2，…，则点B2020的坐标．【知识考点】规律型：点的坐标；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质．【思路分析】由B坐标为（1，1）根据题意求得A1的坐标，进而得B1的坐标，继续求得B2，B3，B4，B5的坐标，根据这5点的坐标得出规律，再按规律得结果．【解答过程】解：∵点B坐标为（1，1），∴OA＝AB＝BC＝CO＝CO1＝1，∵A1（2，3），∴A1O1＝A1B1＝B1C1＝C1O2＝3，∴B1（5，3），∴A2（8，9），∴A2O2＝A2B2＝B2C2＝C2O3＝9，∴B2（17，9），同理可得B4（53，27），B5（161，81），…由上可知，，∴当n＝2020时，．故答案为：（2×32020﹣1，32020）．【总结归纳】本题主要考查了一次函数的图象与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，规律变化，关键是求出前几个点的坐标得出规律．三、解答题（满分60分）21．（本题满分5分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝sin30°．【知识考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．【思路分析】根据分式的运算法则即可求出答案，【解答过程】解：当a＝sin30°时，所以a＝原式＝•＝•＝＝﹣1【总结归纳】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．22．（本题满分6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）均在格点上．（1）将△ABC向下平移5个单位得到△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°后得到的△A2B2C1，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．【知识考点】扇形面积的计算；作图﹣平移变换；作图﹣旋转变换．【思路分析】（1）依据△ABC向下平移5个单位，即可得到△A1B1C1，进而写出点A1的坐标；（2）依据△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°，即可得到的△A2B2C1，进而写出点A2的坐标；（3）依据扇形面积公式和三角形面积公式，即可得到△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积．【解答过程】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为（5，﹣3）；（2）如图所示，△A2B2C1即为所求，点A2的坐标为（0，0）；（3）如图，△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积为：+＝8π+6．【总结归纳】本题考查了利用平移变换和旋转变换作图、扇形面积的计算等，利用平移变换作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．23．（本题满分6分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6．（1）求a的值；（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC．若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由．【知识考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．【思路分析】（1）由y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0，可求出A、B坐标结合三角形的面积，解出a＝﹣3；（2）根据题意P的纵坐标为±3，分别代入解析式即可求得横坐标，从而求得P的坐标．【解答过程】解：（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，令x＝0，则y＝﹣a，∴C（0，﹣a），令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0解得x1＝a，x2＝1由图象知：a＜0∴A（a，0），B（1，0）∵S△ABC＝6∴（1﹣a）（﹣a）＝6解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）；（2）∵a＝﹣3，∴C（0，3），∵S△ABP＝S△ABC．∴P点的纵坐标为±3，把y＝3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝3，解得x＝0或x＝﹣2，把y＝﹣3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝﹣3，解得x＝﹣1+或x＝﹣1﹣，∴P点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）．【总结归纳】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得交点坐标是解题的关键．24．（本题满分7分）某公司工会组织全体员工参加跳绳比赛，工会主席统计了公司50名员工一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．求：（1）该公司员工一分钟跳绳的平均次数至少是多少．（2）该公司一名员工说：“我的跳绳成绩是我公司的中位数”请你给出该员工跳绳成绩的所在范围．（3）若该公司决定给每分钟跳绳不低于140个的员工购买纪念品，每个纪念品300元，则公司应拿出多少钱购买纪念品．【知识考点】频数（率）分布直方图；中位数．【思路分析】（1）要求平均次数至少是多少，可每组都取最小值计算平均数即可；（2）找出中位数所在的成绩范围，（3）样本中获奖的有7人，求出费用即可．【解答过程】解：（1）该公司员工一分钟跳绳的平均数为：＝＝100.8，答：该公司员工一分钟跳绳的平均次数至少是100.8个；（2）把50个数据从小到大排列后，处在中间位置的两个数都在100～120这个范围；（3）300×（5+2）＝2100（元），答：公司应拿出2100元钱购买纪念品．【总结归纳】考查频数分布直方图的意义和制作方法，理解频数、频率、总数之间的关系是正确计算的前提．25．（本题满分8分）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y（单位：千米）与快递车所用时间x（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．。
黑龙江省龙东地区2020年中考数学试题(Word版,含答案与解析)
黑龙江省龙东地区2020年中考数学试卷一、单选题（共10题；共20分）1.下列各运算中，计算正确的是（）A. a2⋅2a2=2a4B. x8÷x2=x4C. (x−y)2=x2−xy+y2D. (−3x2)3=−9x6【答案】A【考点】同底数幂的乘法，单项式乘单项式，完全平方公式及运用，积的乘方【解析】【解答】A．a2⋅2a2=2a4，符合题意；B．x8÷x2=x8−2=x6，故B选项不符合题意；C．(x−y)2=x2−2xy+y2，故C选项不符合题意；D．(−3x2)3=−27x6，故D选项不符合题意，故答案为：A．【分析】根据单项式乘法法则、同底数除法法则、完全平方公式、积的乘方运算法则逐项进行分析判断即可．2.下列图标中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【考点】中心对称及中心对称图形【解析】【解答】A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故答案为：B．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．3.如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【考点】由三视图判断几何体【解析】【解答】解：由题意，由主视图有3层，2列，由左视图可知，第一层最多有4个，第二层最多2个，第三层最多1个，∴所需的小正方体的个数最多是：4+2+1=7（个）；故答案为：B．【分析】这个几何体共有3层，由左视图可得第一层小正方体的最多个数，由主视图可得第二层小正方体的最多个数，以及第三层的最多个数，再相加即可．4.一组从小到大排列的数据: a,3,4,4,6( a为正整数),唯一的众数是4,则该组数据的平均数是（）A. 3.6或4.2B. 3.6或3.8C. 3.8或4.2D. 3.8或4.2【答案】B【考点】平均数及其计算，众数【解析】【解答】∵数据：a，3，4，4，6（a为正整数），唯一的众数是4，∴a=1或2，当a=1时，平均数为1+3+4+4+65=3.6；当a=2时，平均数为2+3+4+4+65=3.8；故答案为：C.【分析】根据众数的定义得出正整数a的值，再根据平均数的定义求解可得.5.已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是（）A. k<14B. k≤14C. k>4D. k≤14且k≠0【答案】B【考点】一元二次方程根的判别式及应用【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2，∴△=b2−4ac≥0,∵a=1,b=−(2k+1),c=k2+2k,∴[−(2k+1)]2−4×1×(k2+2k)≥0,∴−4k≥−1,∴k≤14.故答案为：B．【分析】根据一元二次方程的根的判别式列不等式，再解不等式即可．6.如图，菱形ABCD的两个顶点A，C在反比例函数y=kx的图象上，对角线AC，BD的交点恰好是坐标原点O，已知B(−1,1)，∠ABC=120°，则k的值是（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【考点】菱形的性质，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形，反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，∴BA=AD，AC⊥BD，∵∠ABC=120 °，∴∠ABO=60 °，∵点B（-1，1），∴OB= √12+12=√2，∵tan60°=AO，OB∴AO= √2tan60°=√6，作BF⊥y轴于F，AE⊥x轴于E，∵点B（-1，1），∴OF=BF=1，∴∠FOB=∠BOF=45 °，∵∠BOF+∠AOF=∠AOE+∠AOF=90 °，∴∠AOE=∠BOF=45 °，∴△AOE为等腰直角三角形，∵AO =√6，∴AE=OE=AO ⋅cos45°=√6×√2=√3，2∴点A的坐标为（√3，√3），∵点A在反比例函数y=k的图象上，x∴k=xy=3，故答案为：C．【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据勾股定理得到OB的长，利用三角函数得到OA的长，求得∠AOE=∠BOF=45 °，继而求得点A的坐标，即可求解．7.已知关于x的分式方程xx−2−4=k2−x的解为正数，则c的取值范围是（）A. −8<k<0B. k>−8且k≠−2C. k>−8D. k<4且k≠−2【答案】B【考点】分式方程的解及检验，解一元一次不等式【解析】【解答】方程两边同时乘以x−2得，x−4(x−2)+k=0，解得：x=8+k3．∵x为正数，∴8+k3>0，解得k>−8，∵x≠2，∴8+k3≠2，即k≠−2，∴k的取值范围是k>−8且k≠−2．故答案为：B．【分析】先解分式方程利用l表示出x的值，再由x为正数求出k的取值范围即可．8.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=6，S菱形ABCD=48，则OH的长为（）A. 4B. 5C. √13D. 6【答案】A【考点】菱形的性质，直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO=6，BO=DO，S菱形ABCD= AC×BD2=48，∴BD=8，∵DH⊥AB，BO=DO=4，∴OH= 12BD=4．故答案为：A．【分析】根据菱形面积=对角线积的一半可求BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．9.在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A 种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（）A. 12种B. 15种C. 16种D. 14种【答案】 D【考点】三元一次方程组解法及应用【解析】【解答】解：设购买A、B、C三种奖品分别为x,y,z个，根据题意列方程得10x+20y+30z=200，即x+2y+3z=20，由题意得x,y,z均为正整数．①当z=1时，x+2y=17∴x=17−y2，∴y分别取1，3，5，7，9，11，13，15共8种情况时，x为正整数；②当z=2时，x+2y=14∴x=14−y2，∴y可以分别取2，4，6，8，10，12共6种情况，x为正整数；综上所述：共有8+6=14种购买方案．故答案为：D【分析】设购买A、B、C三种奖品分别为x,y,z个，根据题意列方程得10x+20y+30z=200，化简后根据x,y,z均为正整数，结合C种奖品不超过两个分类讨论，确定解的个数即可．10.如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM=45°，点F在射线AM上，且AF=√2BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：① ∠ECF=45°；② ΔAEG的周长为(1+√22)a；③ BE2+DG2=EG2；④ ΔEAF的面积的最大值是18a2；⑤当BE=13a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（）A. ①②③B. ②④⑤C. ①③④D. ①④⑤【答案】 D【考点】三角形全等及其性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数y=ax^2+bx+c的性质，三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH．∵BE=BH，∠EBH=90°，∴EH= √2BE，∵AF= √2BE，∴AF=EH，∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°，∴∠FAE=∠EHC=135°，∵BA=BC，BE=BH，∴AE=HC，∴△FAE≌△EHC（SAS），∴EF=EC，∠AEF=∠ECH，∵∠ECH+∠CEB=90°，∴∠AEF+∠CEB=90°，∴∠FEC=90°，∴∠ECF=∠EFC=45°，故①符合题意，如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），∴∠ECB=∠DCH，∴∠ECH=∠BCD=90°，∴∠ECG=∠GCH=45°，∵CG=CG，CE=CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG=GH，∵GH=DG+DH，DH=BE，∴EG=BE+DG，故③不符合题意，∴△AEG的周长=AE+EG+AG=AE+AH= AE +AD+DH =AE +AD+EB =AB+AD=2a，故②不符合题意，设BE= x，则AE= a−x，AF= √2x，∴S△AEF= 12(a−x)x=−12x2+12ax=−12(x−12a)2+18a2，∵−12<0，∴当x=12a时，，△AEF的面积的最大值为18a2，故④符合题意；如图3，延长AD到H，使得DH=BE，同理：EG=GH，∵BE=13a，则AE=23a，设AG= y，则DG= a−y，∴EG=GH = a−y+13a=43a−y，在Rt△AEG中，AE2+AG2=EG2，即(23a)2+y2=(43a−y)2，解得：y=12a，∴当BE=13a时，G是线段AD的中点，故⑤符合题意；综上，①④⑤符合题意，故答案为：D．【分析】如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS），即可判断①符合题意；如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS），即可判断②③不符合题意；设BE=x，则AE=a-x，AF= √2x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题即可判断④符合题意；设AG= y，利用前面所证EG=GH，在Rt△AEG中，利用勾股定理求得y=12a，即可判断⑤符合题意．二、填空题（共10题；共10分）11. 5G信号的传播速度为300000000m/s，将300000000用科学记数法表示为________.【答案】3×108【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：300000000的小数点向左移动8位得到3，所以300000000用科学记数法表示为3×108。
2020年黑龙江省龙东地区中考数学试卷
2020年黑龙江省龙东地区中考数学试卷一、填空题（每题3分，满分30分）1．（3分）“可燃冰”的开发成功，拉开了我国开发新能源的大门，目前发现我国南海“可燃冰”储存量达到800亿吨，将800亿吨用科学记数法可表示为吨．2．（3分）在函数y=中，自变量x的取值范围是．3．（3分）如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件，使得△ABC≌△DEF．4．（3分）在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个白球、若干红球，从中随机摸取1个球，摸到红球的概率是，则这个袋子中有红球个．5．（3分）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是．6．（3分）为了鼓励居民节约用水，某自来水公司采取分段计费，每月每户用水不超过10吨，每吨2.2元；超过10吨的部分，每吨加收1.3元．小明家4月份用水15吨，应交水费元．7．（3分）如图，BD是⊙O的切线，B为切点，连接DO与⊙O交于点C，AB为⊙O的直径，连接CA，若∠D=30°，⊙O的半径为4，则图中阴影部分的面积为．8．（3分）圆锥的底面半径为2cm，圆锥高为3cm，则此圆锥侧面展开图的周长为cm．9．（3分）如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为．10．（3分）如图，四条直线l1：y1=x，l2：y2=x，l3：y3=﹣x，l4：y4=﹣x，OA1=1，过点A1作A1A2⊥x轴，交l1于点A2，再过点A2作A2A3⊥l1交l2于点A3，再过点A3作A3A4⊥l2交y轴于点A4…，则点A2020坐标为．二、选择题（每题3分，满分30分）11．（3分）下列运算中，计算正确的是（）A．（a2b）3=a5b3B．（3a2）3=27a6C．x6÷x2=x3D．（a+b）2=a2+b212．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C．D．13．（3分）如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图．则小立方体的个数可能是（）A．5或6 B．5或7 C．4或5或6 D．5或6或714．（3分）某市4月份日平均气温统计图情况如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（）A．13，13 B．13，13.5 C．13，14 D．16，1315．（3分）如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是（）A．B．C． D．16．（3分）反比例函数y=图象上三个点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y217．（3分）已知关于x的分式方程=的解是非负数，那么a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≥1 C．a≥1且a≠9 D．a≤118．（3分）如图，在矩形ABCD 中，AD=4，∠DAC=30°，点P 、E 分别在AC 、AD 上，则PE +PD 的最小值是（ ）A ．2B ．2C ．4D ．19．（3分）“双11”促销活动中，小芳的妈妈计划用1000元在唯品会购买价格分别为80元和120元的两种商品，则可供小芳妈妈选择的购买方案有（ ）A ．4种B ．5种C ．6种D ．7种20．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 、F 是AD 边上的两个动点，且AE=FD ，连接BE 、CF 、BD ，CF 与BD 交于点G ，连接AG 交BE 于点H ，连接DH ，下列结论正确的个数是（ ）①△ABG ∽△FDG ②HD 平分∠EHG ③AG ⊥BE ④S △HDG ：S △HBG =tan ∠DAG ⑤线段DH 的最小值是2﹣2．A ．2B ．3C ．4D ．5三、解答题（满分60分）21．（5分）先化简，再求值：÷﹣，其中a=1+2cos60°．22．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上，点A 的坐标为（2，2）请解答下列问题：（1）画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1，并写出A 1的坐标．（2）画出△ABC 绕点B 逆时针旋转90°后得到的△A 2B 2C 2，并写出A 2的坐标．（3）画出△A 2B 2C 2关于原点O 成中心对称的△A 3B 3C 3，并写出A 3的坐标．23．（6分）如图，Rt△AOB的直角边OA在x轴上，OA=2，AB=1，将Rt△AOB 绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、D两点．（1）求二次函数的解析式；（2）连接BD，点P是抛物线上一点，直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，求点P的坐标．24．（7分）我市某中学为了了解孩子们对《中国诗词大会》，《挑战不可能》，《最强大脑》，《超级演说家》，《地理中国》五种电视节目的喜爱程度，随机在七、八、九年级抽取了部分学生进行调查（每人只能选择一种喜爱的电视节目），并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次调查中共抽取了名学生．（2）补全条形统计图．（3）在扇形统计图中，喜爱《地理中国》节目的人数所在的扇形的圆心角是度．（4）若该学校有2000人，请你估计该学校喜欢《最强大脑》节目的学生人数是多少人？．25．（8分）在甲、乙两城市之间有一服务区，一辆客车从甲地驶往乙地，一辆货车从乙地驶往甲地．两车同时出发，匀速行驶，客车、货车离服务区的距离y1（千米），y2（千米）与行驶的时间x（小时）的函数关系图象如图1所示．（1）甲、乙两地相距千米．（2）求出发3小时后，货车离服务区的路程y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式．（3）在客车和货车出发的同时，有一辆邮政车从服务区匀速去甲地取货后返回乙地（取货的时间忽略不计），邮政车离服务区的距离y3（千米）与行驶时间x （小时）之间的函数关系图线如图2中的虚线所示，直接写出在行驶的过程中，经过多长时间邮政车与客车和货车的距离相等？26．（8分）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1所示，易证：OH=AD且OH⊥AD（不需证明）（2）将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．27．（10分）为了推动“龙江经济带”建设，我省某蔬菜企业决定通过加大种植面积、增加种植种类，促进经济发展．2020年春，预计种植西红柿、马铃薯、青椒共100公顷（三种蔬菜的种植面积均为整数），青椒的种植面积是西红柿种植面积的2倍，经预算，种植西红柿的利润可达1万元/公顷，青椒1.5万元/公顷，马铃薯2万元/公顷，设种植西红柿x公顷，总利润为y万元．（1）求总利润y（万元）与种植西红柿的面积x（公顷）之间的关系式．（2）若预计总利润不低于180万元，西红柿的种植面积不低于8公顷，有多少种种植方案？（3）在（2）的前提下，该企业决定投资不超过获得最大利润的在冬季同时建造A、B两种类型的温室大棚，开辟新的经济增长点，经测算，投资A种类型的大棚5万元/个，B种类型的大棚8万元/个，请直接写出有哪几种建造方案？28．（10分）如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足方程|x﹣15|+=0（OA＞OC），直线y=kx+b分别与x 轴、y轴交于M、N两点，将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线MN上的点D处，且tan∠CBD=（1）求点B的坐标；（2）求直线BN的解析式；（3）将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t（0＜t≤13）的函数关系式．2020年黑龙江省龙东地区中考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，满分30分）1．（3分）（2020•黑龙江）“可燃冰”的开发成功，拉开了我国开发新能源的大门，目前发现我国南海“可燃冰”储存量达到800亿吨，将800亿吨用科学记数法可表示为8×1010吨．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：800亿=8×1010．故答案为：8×1010．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（3分）（2020•黑龙江）在函数y=中，自变量x的取值范围是x≠1．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．3．（3分）（2020•黑龙江）如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE（只需添加一个即可），使得△ABC≌△DEF．【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，易证∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加AB=DE、BC=EF或AC=DF根据ASA、AAS即可解题．【解答】解：∵BC∥EF，∴∠ABC=∠E，∵AC∥DF，∴∠A=∠EDF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，同理，BC=EF或AC=DF也可证△ABC≌△DEF．故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE（只需添加一个即可）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4．（3分）（2020•黑龙江）在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个白球、若干红球，从中随机摸取1个球，摸到红球的概率是，则这个袋子中有红球5个．【分析】设这个袋子中有红球x个，根据已知条件列方程即可得到结论．【解答】解：设这个袋子中有红球x个，∵摸到红球的概率是，∴=，∴x=5，故答案为：5．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．5．（3分）（2020•黑龙江）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是a≥1．【分析】先求出各不等式的解集，再与已知解集相比较求出a的取值范围．【解答】解：由x﹣a＞0得，x＞a；由1﹣x＞x﹣1得，x＜1，∵此不等式组的解集是空集，∴a≥1．故答案为：a≥1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．6．（3分）（2020•黑龙江）为了鼓励居民节约用水，某自来水公司采取分段计费，每月每户用水不超过10吨，每吨2.2元；超过10吨的部分，每吨加收1.3元．小明家4月份用水15吨，应交水费39.5元．【分析】先根据单价×数量=总价求出10吨的水费，再根据单价×数量=总价加上超过10吨的部分的水费，再把它们相加即可解答．【解答】解：2.2×10+（2.2+1.3）×（15﹣10）=22+3.5×5=22+17.5=39.5（元）．答：应交水费39.5元．故答案为：39.5．【点评】本题考查了有理数的混合运算．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出算式，再求解．7．（3分）（2020•黑龙江）如图，BD是⊙O的切线，B为切点，连接DO与⊙O 交于点C，AB为⊙O的直径，连接CA，若∠D=30°，⊙O的半径为4，则图中阴影部分的面积为．【分析】由条件可求得∠COA的度数，过O作OE⊥CA于点E，则可求得OE的长和CA的长，再利用S阴影=S扇形COA﹣S△COA可求得答案．【解答】解：如图，过O作OE⊥CA于点E，∵DB为⊙O的切线，∴∠DBA=90°，∵∠D=30°，∴∠BOC=60°，∴∠COA=120°，∵OC=OA=4，∴∠OAE=30°，∴OE=2，CA=2AE=4∴S阴影=S扇形COA﹣S△COA=﹣×2×4=π﹣4，故答案为：π﹣4．【点评】本题主要考查切线的性质和扇形面积的计算，求得扇形COA和△COA 的面积是解题的关键．8．（3分）（2020•黑龙江）圆锥的底面半径为2cm，圆锥高为3cm，则此圆锥侧面展开图的周长为2+4πcm．【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥周长=弧长+2母线长．【解答】解：∵圆锥的底面半径是2，高是3，∴圆锥的母线长为：=，∴这个圆锥的侧面展开图的周长=2×+2π×2=2+4π．故答案为2+4π．【点评】本题考查圆锥的计算，明确圆锥的高、底面半径与母线构成直角三角形，并熟练掌握圆锥的侧面展开图是一个扇形．9．（3分）（2020•黑龙江）如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为4或4或4．【分析】分三种情况讨论：①当M在AB下方且∠AMB=90°时，②当M在AB上方且∠AMB=90°时，③当∠ABM=90°时，分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可．【解答】解：如图1，当∠AMB=90°时，∵O是AB的中点，AB=8，∴OM=OB=4，又∵∠AOC=∠BOM=60°，∴△BOM是等边三角形，∴BM=BO=4，∴Rt△ABM中，AM==4；如图2，当∠AMB=90°时，∵O是AB的中点，AB=8，∴OM=OA=4，又∵∠AOC=60°，∴△AOM是等边三角形，∴AM=AO=4；如图3，当∠ABM=90°时，∵∠BOM=∠AOC=60°，∴∠BMO=30°，∴MO=2BO=2×4=8，∴Rt△BOM中，BM==4，∴Rt△ABM中，AM==4，综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为4或4或4．故答案为：4或4或4．【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线的综合应用，运用分类讨论以及数形结合思想是解答此题的关键．10．（3分）（2020•黑龙江）如图，四条直线l1：y1=x，l2：y2=x，l3：y3=﹣x，l4：y4=﹣x，OA1=1，过点A1作A1A2⊥x轴，交l1于点A2，再过点A2作A2A3⊥l1交l2于点A3，再过点A3作A3A4⊥l2交y轴于点A4…，则点A2020坐标为（（）2016，0）．【分析】先利用各直线的解析式得到x轴、l1、l2、y轴、l3、l4依次相交为30的角，各点的位置是每12个一循环，由于2020=168×12+1，则可判定点A2016在x 轴的正半轴上，再规律得到OA2016=（）2015，然后表示出点A2020坐标．【解答】解：∵y1=x，l2：y2=x，l3：y3=﹣x，l4：y4=﹣x，∴x轴、l1、l2、y轴、l3、l4依次相交为30的角，∵2020=168×12+1，∴点A2016在x轴的正半轴上，∵OA2==，OA3=（）2，OA4=（）3，…OA2016=（）2015，∴点A2020坐标为（（）2016，0）．故答案为（（）2016，0）．【点评】本题考查了规律型：点的坐标：解答此题的关键是利用三角函数确定各点到原点的距离和点的位置的循环规律．二、选择题（每题3分，满分30分）11．（3分）（2020•黑龙江）下列运算中，计算正确的是（）A．（a2b）3=a5b3B．（3a2）3=27a6C．x6÷x2=x3D．（a+b）2=a2+b2【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=a6b3，不符合题意；B、原式=27a6，符合题意；C、原式=x4，不符合题意；D、原式=a2+2ab+b2，不符合题意，故选B【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（3分）（2020•黑龙江）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C．D．【分析】利用中心对称图形与轴对称图形性质判断即可．【解答】解：既是轴对称图形又是中心对称图形的是，故选A【点评】此题考查了中心对称图形，以及轴对称图形，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．13．（3分）（2020•黑龙江）如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图．则小立方体的个数可能是（）A．5或6 B．5或7 C．4或5或6 D．5或6或7【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由左视图可得第二层最多和最少小立方体的个数，相加即可．【解答】解：由俯视图易得最底层有4个小立方体，由左视图易得第二层最多有3个小立方体和最少有1个小立方体，那么小立方体的个数可能是5个或6个或7个．故选D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体，也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．注意俯视图中有几个正方形，底层就有几个小立方体．14．（3分）（2020•黑龙江）某市4月份日平均气温统计图情况如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（）A．13，13 B．13，13.5 C．13，14 D．16，13【分析】根据条形统计图得到各数据的权，然后根据众数和中位数的定义求解．【解答】解：这组数据中，13出现了10次，出现次数最多，所以众数为13，第15个数和第16个数都是14，所以中位数是14．故选C．【点评】本题考查了众数和中位数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．也考查了条形统计图．15．（3分）（2020•黑龙江）如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是（）A．B．C． D．【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．【解答】解：先注甲池水未达连接地方时，乙水池中的水面高度没变化；当甲池中水到达连接的地方，乙水池中水面上升比较快；当两水池水面持平时，乙水池的水面持续增长较慢，最后两池水面持平后继续快速上升，故选：D．【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．16．（3分）（2020•黑龙江）反比例函数y=图象上三个点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据x1＜x2＜0＜x3即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=中，k=3＞0，∴此函数图象的两个分支分别位于第一三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．∵x1＜x2＜0＜x3，∴（x1，y1）、（x2，y2）在第三象限，（x3，y3）在第一象限，∴y2＜y1＜0＜y3．故选B．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．17．（3分）（2020•黑龙江）已知关于x的分式方程=的解是非负数，那么a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≥1 C．a≥1且a≠9 D．a≤1【分析】根据分式方程的解法即可求出a的取值范围；【解答】解：3（3x﹣a）=x﹣3，9x﹣3a=x﹣3，8x=3a﹣3∴x=，由于该分式方程有解，令x=代入x﹣3≠0，∴a≠9，∵该方程的解是非负数解，∴≥0，∴a≥1，∴a的范围为：a≥1且a≠9，故选（C）【点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．18．（3分）（2020•黑龙江）如图，在矩形ABCD中，AD=4，∠DAC=30°，点P、E 分别在AC、AD上，则PE+PD的最小值是（）A．2 B．2 C．4 D．【分析】作D关于直线AC的对称点D′，过D′作D′E⊥AD于E，则D′E=PE+PD的最小值，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：作D关于直线AC的对称点D′，过D′作D′E⊥AD于E，则D′E=PE+PD的最小值，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∵AD=4，∠DAC=30°，∴CD=，∵DD′⊥AC，∴∠CDD′=30°，∴∠ADD′=60°，∴DD′=4，∴D′E=2，故选B．【点评】本题考查了轴对称﹣最小距离问题，矩形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．19．（3分）（2020•黑龙江）“双11”促销活动中，小芳的妈妈计划用1000元在唯品会购买价格分别为80元和120元的两种商品，则可供小芳妈妈选择的购买方案有（）A．4种 B．5种 C．6种 D．7种【分析】设购买80元的商品数量为x，购买120元的商品数量为y，根据总费用是1000元列出方程，求得正整数x、y的值即可．【解答】解：设购买80元的商品数量为x，购买120元的商品数量为y，依题意得：80x+120y=1000，整理，得y=．因为x 是正整数， 所以当x=2时，y=7． 当x=5时，y=5． 当x=8时，y=3． 当x=11时，y=1． 即有4种购买方案． 故选：A ．【点评】本题考查了二元一次方程的应用．对于此类问题，挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．然后根据未知数的实际意义求其整数解．20．（3分）（2020•黑龙江）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 、F 是AD 边上的两个动点，且AE=FD ，连接BE 、CF 、BD ，CF 与BD 交于点G ，连接AG 交BE 于点H ，连接DH ，下列结论正确的个数是（ ）①△ABG ∽△FDG ②HD 平分∠EHG ③AG ⊥BE ④S △HDG ：S △HBG =tan ∠DAG ⑤线段DH 的最小值是2﹣2．A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】首先证明△ABE ≌△DCF ，△ADG ≌△CDG （SAS ），△AGB ≌△CGB ，利用全等三角形的性质，等高模型、三边关系一一判断即可． 【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=CD ，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°， 在△ABE 和△DCF 中，，∴△ABE ≌△DCF （SAS ）， ∴∠ABE=∠DCF ， 在△ADG 和△CDG 中，，∴△ADG ≌△CDG （SAS ）， ∴∠DAG=∠DCF ， ∴∠ABE=∠DAG ， ∵∠DAG +∠BAH=90°， ∴∠BAE +∠BAH=90°， ∴∠AHB=90°，∴AG ⊥BE ，故③正确， 同法可证：△AGB ≌△CGB ， ∵DF ∥CB ， ∴△CBG ∽△FDG ，∴△ABG ∽△FDG ，故①正确，∵S △HDG ：S △HBG =DG ：BG=DF ：BC=DF ：CD=tan ∠FCD ， 又∵∠DAG=∠FCD ，∴S △HDG ：S △HBG =tan ∠FCD ，tan ∠DAG ，故④正确 取AB 的中点O ，连接OD 、OH ， ∵正方形的边长为4， ∴AO=OH=×4=2， 由勾股定理得，OD==2，由三角形的三边关系得，O 、D 、H 三点共线时，DH 最小， DH 最小=2﹣2．无法证明DH 平分∠EHG ，故②错误， 故①③④⑤正确， 故选C ．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，勾股定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，难点在于⑤作辅助线并确定出DH最小时的情况．三、解答题（满分60分）21．（5分）（2020•黑龙江）先化简，再求值：÷﹣，其中a=1+2cos60°．【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入即可解答本题．【解答】解：÷﹣===，当a=1+2cos60°=1+2×=1+1=2时，原式=．【点评】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．22．（6分）（2020•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，2）请解答下列问题：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标．（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出A2的坐标．（3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并写出A3的坐标．【分析】根据题意画出相应的三角形，确定出所求点坐标即可．【解答】解：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图所示，此时A1的坐标为（﹣2，2）；（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，如图所示，此时A2的坐标为（4，0）；（3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，如图所示，此时A3的坐标为（﹣4，0）．【点评】此题了考查了作图﹣旋转变换，轴对称变换，熟练掌握旋转与轴对称的性质是解本题的关键．23．（6分）（2020•黑龙江）如图，Rt△AOB的直角边OA在x轴上，OA=2，AB=1，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、D两点．（1）求二次函数的解析式；（2）连接BD，点P是抛物线上一点，直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，求点P的坐标．【分析】（1）由旋转性质可得CD=AB=1、OA=OC=2，从而得出点B、D坐标，代入解析式即可得出答案；（2）由直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分且OB=OD，知DQ=BQ，即点Q为BD的中点，从而得出点Q坐标，求得直线OP解析式，代入抛物线解析式可得点P坐标．【解答】解：（1）∵Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，∴CD=AB=1、OA=OC=2，则点B（2，1）、D（﹣1，2），代入解析式，得：，解得：，∴二次函数的解析式为y=﹣x2+x+；（2）如图，∵直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，且OB=OD，∴DQ=BQ，即点Q为BD的中点，∴点Q坐标为（，），设直线OP解析式为y=kx，将点Q坐标代入，得：k=，解得：k=3，∴直线OP的解析式为y=3x，代入y=﹣x2+x+，得：﹣x2+x+=3x，解得：x=1或x=﹣4，当x=1时，y=3，当x=﹣4时，y=﹣12，∴点P坐标为（1，3）或（﹣4，﹣12）．【点评】本题主要考查待定系数求函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据周长相等得出点Q的坐标是解题的关键．24．（7分）（2020•黑龙江）我市某中学为了了解孩子们对《中国诗词大会》，《挑战不可能》，《最强大脑》，《超级演说家》，《地理中国》五种电视节目的喜爱程度，随机在七、八、九年级抽取了部分学生进行调查（每人只能选择一种喜爱的电视节目），并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次调查中共抽取了200名学生．（2）补全条形统计图．（3）在扇形统计图中，喜爱《地理中国》节目的人数所在的扇形的圆心角是36度．（4）若该学校有2000人，请你估计该学校喜欢《最强大脑》节目的学生人数是多少人？．【分析】（1）根据题意列式计算即可；（2）求得喜爱《挑战不可能》节目的人数，将条形统计图补充完整即可；（3）用360°×喜爱《地理中国》节目的人数占总人数的百分数即可得到结论；（4）直接利用样本估计总体的方法求解即可求得答案．【解答】解：（1）30÷15%=200名，答：本次调查中共抽取了200名学生；故答案为：200；（2）喜爱《挑战不可能》节目的人数=200﹣20﹣60﹣40﹣30=50名，补全条形统计图如图所示；（3）喜爱《地理中国》节目的人数所在的扇形的圆心角是360°×=36度；故答案为：36；（4）2000×=600名，答：该学校喜欢《最强大脑》节目的学生人数是600人．【点评】此题考查了条形统计图与扇形统计图的知识．注意掌握条形统计图与扇形统计图各量的对应关系是解此题的关键．25．（8分）（2020•黑龙江）在甲、乙两城市之间有一服务区，一辆客车从甲地驶往乙地，一辆货车从乙地驶往甲地．两车同时出发，匀速行驶，客车、货车离服务区的距离y1（千米），y2（千米）与行驶的时间x（小时）的函数关系图象如图1所示．（1）甲、乙两地相距480千米．（2）求出发3小时后，货车离服务区的路程y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式．（3）在客车和货车出发的同时，有一辆邮政车从服务区匀速去甲地取货后返回乙地（取货的时间忽略不计），邮政车离服务区的距离y3（千米）与行驶时间x （小时）之间的函数关系图线如图2中的虚线所示，直接写出在行驶的过程中，经过多长时间邮政车与客车和货车的距离相等？【分析】（1）根据图1，根据客车、货车离服务区的初始距离可得甲乙两地距离；（2）根据图象中的数据可以求得3小时后，货车离服务区的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式；（3）分两种情况讨论，当邮政车去甲地的途中会有某个时间邮政车与客车和货车的距离相等；当邮政车从甲地返回乙地时，货车与客车相遇时，邮政车与客车和货车的距离相等．【解答】解：（1）360+120=480（千米）故答案为：480；（2）设3小时后，货车离服务区的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为y2=kx+b，由图象可得，货车的速度为：120÷3=40千米/时，则点B的横坐标为：3+360÷40=12，∴点P的坐标为（12，360），，得，即3小时后，货车离服务区的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为y2=40x ﹣120；=360÷6=60千米/时，（3）v客v邮=360×2÷8=90千米/时，设当邮政车去甲地的途中时，经过t小时邮政车与客车和货车的距离相等，120+（90﹣40）t=360﹣（60+90）tt=1.2（小时）；设当邮政车从甲地返回乙地时，经过t小时邮政车与客车和货车的距离相等，40t+60t=480解得t=4.8，综上所述，经过1.2或4.8小时邮政车与客车和货车的距离相等．【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了时间、路程、速度三者之间的关系，准确识图理解两车的行驶过程是解题的关键．26．（8分）（2020•黑龙江）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1所示，易证：OH=AD且OH⊥AD（不需证明）（2）将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．。
2020年黑龙江省龙东地区中考数学试题及答案
黑龙江省龙东地区2020年初中毕业学业统一考试数学试题考生注意：1．考试时间120分钟2．全卷共三道大题，总分120分一、选择题（每题3分，满分30分）1．下列各运算中，计算正确的是（ ） A ．22422a a a ⋅=B ．824x x x ÷= C ．222()x y x xy y -=-+D ．()32639xx -=-2．下列图标中是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是（ ）主视图 左视图 A ．6B ．7C ．8D ．94．一组从小到大排列的数据：x ，3，4，4，5（x 为正整数），唯一的众数是4，则该组数据的平均数是（ ） A ．3.6B ．3.8或3.2C ．3.6或3.4D ．3.6或3.25．已知关于x 的一元二次方程22(21)20x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x ，则实数k 的取值范围是（ ） A ．14k <B ．14k ≤C ．4k >D ．14k ≤且0k ≠ 6．如图，菱形ABCD 的两个顶点A ，C 在反比例函数ky x=的图象上，对角线AC ，BD的交点恰好是坐标原点O ，已知()1,1B -，120ABC ∠=︒，则k 的值是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．27．已知关于x 的分式方程422x k x x-=--的解为正数，则x 的取值范围是（ ） A ．80k -<< B ．8k >-且2k ≠- C ．8k >-且2k ≠- D ．4k <且2k ≠- 8．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH AB ⊥于点H ，连接OH ，若6OA =，48ABCD S =菱形，则OH 的长为（ ）A ．4B ．8C D ．69．在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A 、B 、C 三种奖品，A 种每个10元，B 种每个20元，C 种每个30元，在C 种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ） A ．12种B ．15种C ．16种D ．14种10．如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在边AB 上运动（不与点A ，B 重合），45DAM ∠=︒，点F 在射线AM 上，且AF =，CF 与AD 相交于点G ，连接EC 、EF 、EG ．则下列结论：①45ECF ∠=︒；②AEG ∆的周长为12a ⎛+ ⎝⎭；③222BE DG EG +=；④EAF ∆的面积的最大值是218a ；⑤当13BE a =时，G 是线段AD 的中点．其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．②④⑤C ．①③④D ．①④⑤二、填空题（每题3分，满分30分）11．5G 信号的传播速度为300000000/m s ，将数据300000000用科学记数法表示为______． 12．在函数y =x 的取值范围是______． 13．如图，Rt ABC ∆和Rt EDF ∆中，B D ∠=∠，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使Rt ABC ∆和Rt EDF ∆全等．14．一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为______．15．若关于x 的一元一次不等式组1020x x a ->⎧⎨-<⎩有2个整数解，则a 的取值范围是______．16．如图，AD 是ABC ∆的外接圆O 的直径，若40BAD ∠=︒，则ACB ∠=______︒．17．小明在手工制作课上，用面积为2150cm π，半径为15cm 的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为______cm ．18．如图，在边长为4的正方形ABCD 中将ABD ∆沿射线BD 平移，得到EGF ∆，连接EC 、GC ．求EC GC +的最小值为______．19．在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 在边BC 上，且35BE a =，连接AE ，将ABE ∆沿AE 折叠．若点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上，则折痕的长为______． 20．如图，直线AM 的解析式为1y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形ABCO ，点B 坐标为()1,1．过点B 作1EO MA ⊥交MA 于点E ，交x 轴于点1O ，过点1O 作x 轴的垂线交MA 于点1A 以11O A 为边作正方形1111O A B C ，点1B 的坐标为()5,3．过点1B 作12E O MA ⊥交MA 于1E ，交x 轴于点2O ，过点2O 作x 轴的垂线交MA于点2A ，以22O A 为边作正方形2222O A B C ，，则点2020B 的坐标______．三、解答题（满分60分）21．先化简，再求值：22169211x x x x x -++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭，其中3tan303x =︒-． 22．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点()5,2A 、()5,5B 、()1,1C 均在格点上（1）将ABC ∆向左平移5个单位得到111A B C ∆，并写出点1A 的坐标；（2）画出111A B C ∆绕点1C 顺时针旋转90︒后得到的221A B C ∆，并写出点2A 的坐标； （3）在（2）的条件下，求111A B C ∆在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．23．如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图象经过点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ，使PAB ABC ∠=∠，若存在请直接写出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．24．为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．25．为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y （单位：千米）与快递车所用时间x （单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．（1）求ME 的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间． （3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）26．如图①，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 分别在AC 、BC 边上，DC EC =，连接DE 、AE 、BD ，点M 、N 、P 分别是AE 、BD 、AB 的中点，连接PM 、PN 、MN ．图① 图② 图③（1）BE 与MN 的数量关系是______．（2）将DEC ∆绕点C 逆时针旋转到图②和图③的位置，判断BE 与MN 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．27．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m 元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n 元，售价每千克18元．（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元．求m ，n 的值．（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x 千克，求有哪几种购买方案（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a 元，乙种蔬菜每千克捐出a 元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a 的最大值．28．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB 长是方程23180x x --=的根，连接BD ，30DBC ∠=︒，并过点C 作CN BD ⊥，垂足为N ，动点P 从点B 以每秒2个单位长度的速度沿BD 方向匀速运动到点D 为止；点M 沿线段DA 个单位长度的速度由点D 向点A 匀速运动，到点A 为止，点P 与点M 同时出发，设运动时间为t 秒()0t >（1）线段CN =______；（2）连接PM 和MN ，求PMN ∆的面积s 与运动时间t 的函数关系式；（3）在整个运动过程中，当PMN ∆是以PN 为腰的等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．参考答案及评分标准一、选择题（每小题3分，满分30分）1-5：ABBCB6-10：CBADD二、填空题（每小题3分，满分30分）11．8310⨯12．2x > 13．AB ED =（BC DF =或AC EF =或AE CF =等）14．2515．68a <≤ 16．50 17．1018．19 20．()20202020231,3⨯-三、解答题21．解：原式2221(1)(1)1(3)x x x x x x +-++-=⋅++13x x -=+当3tan 3033x =︒-=时，原式==22．（1）画出正确的图形()10,2A（2）画出正确的图形()23,3A --（3）4BC ==211s 348642ππ∴=+⨯⨯=+23．解：（1）由题意得：(1)(3)y x x =-+- 223x x =-++∴抛物线的解析式为223y x x =-++ 1(2,3)P ∴，2(4,5)P -24．（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少为604801310019120714051602100.89950⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=>∴超过全校的平均数．（2）该生跳绳成绩所在范围为100~120 （3）该班跳绳超过全校平均数的概率是19752335050+++=25．解：（1）设ME 的解析式y kx b =+()0k ≠经过()0,50，()3,200503200b k b =⎧⎨+=⎩ 5050b k =⎧⎨=⎩ ME ∴的解析式为5050y x =+()03x ≤≤（2）设BC 的解析式y mx n =+经过()4,0，()6,200406200m n m n +=⎧⎨+=⎩ 100400m n =⎧⎨=-⎩ 100400y x =-设FG 的解析式y px q =+经过()5,200，()9,0520090p q p q +=⎧⎨+=⎩ 50450p q =-⎧⎨=⎩ 50450y x =-+10040050450y x y x =-⎧⎨=-+⎩得173x h = 同理得7x h =答：货车返回时与快递车途中相遇的时间173h ，7h （3）100km26．（1）BE =（2）图（2）：BE =图（3）：BE =证明：如图（2）连接AD ，延长BE 交AD 于H ，交AC 于G90ACB DCE ∠=∠=︒ DCA ECB ∴∠=∠ DC EC =，AC BC = ACD BCE ∴∆≅∆CAD CBE ∴∠=∠，BE AD = AGH CGE ∠=∠90CAD AGH CBE CGE ∴∠+∠=∠+∠=︒90AHB ∴∠=︒ P 、M 、N 分别是AB 、AE 、BD 的中点//PN AD ∴，12PN AD =//PM BE ，12PM BE =PM PN ∴=190MPN AHB ∠=∠=∠=︒PMN ∴∆是等腰直角三角形MN ∴=2BE PM ∴==图②27．解：（1）由题意得1520430108212m n m n +=⎧⎨+=⎩解得1014m n =⎧⎨=⎩答：m 、n 的值分别为10和14（2）根据题意1014(100)11601014(100)1168x x x x +-≥⎧⎨+-≤⎩解得：5860x ≤≤，因为x 是整数所以x 为58、59、60共3种方案分别为方案一购甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克，方案二购甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克方案三购甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克（3）方案一的利润为516元，方案二的利润为518元，方案三的利润为520元 ∴利润最大值为520元，甲售出60kg ，乙售出40kg(16102)60(1814)4020%1160a a --⨯+--⨯≥ 解得： 1.8a ≤答：a 的最大值为1.828、解：（1）（2）四边形ABCD 是矩形90DCB ∴∠=︒6CD AB ==30DCN DBC ∴∠=∠=︒132DN CD ∴== 过N 作NG AD ⊥于G ，则1322NG DN ==2DG == 2BP t =DM =PQ t ∴= 当902t <≤时，2113(6)22224s t =⋅--⨯=-+当962t <≤时，2131(6)22224s t t =⨯--=-22902962t s t ⎧⎛⎫<≤⎪ ⎪⎪⎝⎭∴=⎛⎫-<≤ ⎪⎝⎭⎩（3）()1P273P ⎫⎪⎪⎝⎭。
2020年黑龙江省龙东地区中考数学试卷及答案解析
∴BA=AD，AC⊥BD，
∵∠ABC=120 ，
∴∠ABO=60 ，
∵点B（-1，1），
∴OB= ，
∵ ，
∴AO= ，
作BF⊥ 轴于F，AE⊥ 轴于E，
∵点B（-1，1），
∴OF=BF=1，
∴∠FOB=∠BOF=45 ，
∵∠BOF+∠AOF=∠AOE+∠AOF=90 ，
【答案】x＞2
【解析】
【分析】
根据分式有意义和二次根式有意义的条件求解.
【详解】解：根据题意得，x﹣2＞0，
解得x＞2．
故答案为x＞2．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
【点睛】本题考查了解分式方程及不等式的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，
8.如图，菱形 的对角线 、 相交于点 ，过点 作 于点 ，连接 ，若 ， ，则 的长为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据菱形面积=对角线积的一半可求BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
∴△GCE≌△GCH（SAS），
∴EG=GH，
∵GH=DG+DH，DH=BE，
∴EG=BE+DG，故③错误，
∴△AEG的周长=AE+EG+AG=AE+AH= AE +AD+DH =AE +AD+EB =AB+AD=2a，故②错误，
设BE= ，则AE= ，AF= ，
∴S△AEF= ，
2020年黑龙江省龙东地区中考数学试卷(学生版)
黑龙江省龙东地区2020 年初中毕业学业统一考试数学试题考生注意：1．考试时间120 分钟2．全卷共三道大题，总分120 分一、选择题（每题3 分，满分30 分）1．下列各运算中，计算正确的是（）A．a 2 2a2 2a4 x 8 x2 x4B．D．3(x y )x2 2 xyy23x9x26C．2．下列图标中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是（）主视图左视图A．6 B．7 C．8 D．94．一组从小到大排列的数据：x ，3，4 ，4 ，5（x 为正整数），唯一的众数是4 ，则该组数据的平均数是（）A．3.6 B．3.8或3.2 C．3.6或3.4 D．3.6或3.25．已知关于x 的一元二次方程x 2 (2k 1)x 2k2k 0有两个实数根x ，，则实数k 的取值范围是x21（）1 1414 k k k 4 k 且A．B．C．D．4 k 0k6．如图，菱形ABCD 的两个顶点A ，C 在反比例函数y 的图象上，对角线AC ，BD 的交点恰好是x坐标原点O ，已知B 1,1 ，A BC 120，则k的值是（）A．5 B．4 C．3 D．2x kx 的分式方程 4 的解为正数，则x 的取值范围是（）7．已知关于x 2 2 xA．8 k 08．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH AB 于点H ，连接OH ，若OA 6 ，S菱形ABCD 48 ，则OH 的长为（B．k 8且k 2 C．k 8且k 2 D．k 4 且k 2）A．4 B．8 C．13 D．69．在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200 元钱购买A 、B 、C 三种奖品，A 种每个10元，B 种每个20 元，C 种每个30元，在C 种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（）A．12种B．15种C．16种D．14种10．如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在边AB 上运动（不与点A ，B 重合），DAM 45，点F 在射线AM 上，且AF 2BE ，CF 与AD 相交于点G ，连接EC 、EF 、EG ．则下列结论：21a；③BE 2 DG 2 EG2①ECF 45；②AEG 的周长为21 1EAF 的面积的最大值是 a ；⑤当2 BE a 时，是线段AD 的中点．G④8 3其中正确的结论是（）A．①②③C．①③④B．②④⑤D．①④⑤二、填空题（每题3 分，满分30 分）11．5G 信号的传播速度为300000000m / s ，将数据300000000用科学记数法表示为______．112．在函数y 中，自变量x 的取值范围是______．x 213．如图，Rt ABC 和Rt EDF 中，Rt ABC 和Rt EDF 全等．B D ，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使14．一个盒子中装有标号为1、2 、3、4 、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6 的概率为______．x 115．若关于x 的一元一次不等式组有2 个整数解，则a 的取值范围是______．2x a16．如图，AD 是ABC 的外接圆e O 的直径，若BAD 40，则ACB______ ．17．小明在手工制作课上，用面积为150cm 2，半径为15cm 的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为______ cm ．18．如图，在边长为4 的正方形ABCD 中将ABD 沿射线BD 平移，得到EC GC 的最小值为______．EGF ，连接、．求EC GC319．在矩形ABCD 中，AB 1，BC a，点在边BC 上，且BE a，连接AE ，将ABE 沿AE5E折叠．若点B 的对应点B落在矩形ABCD 的边上，则折痕的长为______．y x1与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形20．如图，直线AM 的解析式为ABCO ，点 B 坐标为 1,1．过点 B 作 EOMA 交 MA 于点 E ，交 x 轴于点O ，过点O 作 x 轴的垂线 1 1 1交 MA 于点 A 以 O A 为边作正方形 O A B C ，点 B 的坐标为 5,3．过点 B 作 E OMA 交 MA 于 E ， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1交 x 轴于点O ，过点O 作 x 轴的垂线交 MA 于点 A ，以O A 为边作正方形O A B C ，L ，则点 B 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2020 的坐标______．三、解答题（满分 60 分）x 1 x 6x9 22 x3 tan 30 3 21．先化简，再求值： x 12x 1 ，其中 ． 22．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， ABC 的三个顶点 A5, 2、 B 5,5、C1,1 均在格点上（1）将 ABC 向左平移5个单位得到 A B C ，并写出点 A 的坐标； 1 1 1 1（2）画出A B C 绕点C 顺时针旋转90 后得到的 A B C ，并写出点 A 的坐标； 1 1 1 1 2 2 1 2（3）在（2）的条件下，求A B C 在旋转过程中扫过的面积（结果保留 ）．1 1 123．如图，已知二次函数y轴交于点Cyx2bx c 的图象经过点A 1, 0， B 3,0． ，与（1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点 P ，使 PAB ABC ，若存在请直接写出点 P 的坐标．若不存在，请说明理由．24．为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分 钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包 括左端点，不包括右端点）．求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围； （3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．25．为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y （单位：千米）与快递车所用时间x （单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2 小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．（1）求ME 的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）26．如图①，在Rt ABC 中，ACB 90，AC BC ，点D 、E 分别在AC 、BC 边上，DC 连接DE 、AE 、BD ，点M 、N 、P 分别是AE 、BD 、AB 的中点，连接PM 、PN 、MN ．图①图②图③（1）BE 与MN 的数量关系是______．（2）将DEC 绕点C 逆时针旋转到图②和图③的位置，判断BE 与MN 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．27．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m 元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n 元，售价每千克18元．（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20 千克需要430 元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212 元．求m ，n 的值．（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160 元又不多于1168 元，设购买甲种蔬菜x 千克，求有哪几种购买方案（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a 元，乙种蔬菜每千克捐出a 元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20% ，求a 的最大值．28．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB 长是方程x 2 3x 18 的0根，连接BD，DBC 30，并过点C 作CN BD ，垂足为N ，动点P 从点B 以每秒2 个单位长度的速度沿BD 方向匀速运动到点D 为止；点M 沿线段DA 以每秒 3 个单位长度的速度由点D 向点A 匀速运动，到点A 为止，t 秒t 0点P 与点M 同时出发，设运动时间为（1）线段CN ______；（2）连接PM 和MN ，求PMN 的面积s 与运动时间t 的函数关系式；（3）在整个运动过程中，当PMN 是以PN 为腰的等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．更多微信扫上方二维码码获取。
2020年黑龙江省龙东地区中考数学试卷和答案解析
2020年黑龙江省龙东地区中考数学试卷和答案解析一、选择题（每题3分，满分30分）1．（3分）下列各运算中，计算正确的是（）A．a2•2a2＝2a4B．x8÷x2＝x4C．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2D．（﹣3x2）3＝﹣9x6解析;直接利用完全平方公式以及积的乘方运算法则、单项式乘以单项式、同底数幂的除法运算法则分别化简得出答案．参考答案;解：A、a2•2a2＝2a4，正确；B、x8÷x2＝x6，故此选项错误；C、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故此选项错误；D、（﹣3x2）3＝﹣27x6，故此选项错误；故选：A．点拨;此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．2．（3分）下列图标中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解析;根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．参考答案;解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．是中心对称图形，故本选项符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．点拨;此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．（3分）如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A．6 B．7 C．8 D．9解析;易得此几何体有2行2列，判断出各行各列最多有几个正方体组成即可．参考答案;解：综合主视图与左视图，第一行第1列最多有2个，第一行第2列最多有1个；第二行第1列最多有3个，第二行第2列最多有1个；所以最多有：2+1+3+1＝7（个）．故选：B．点拨;考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．4．（3分）一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5（x为正整数），唯一的众数是4，则该组数据的平均数是（）A．B．或C．或D．或解析;先根据从小到大排列的这组数据且x为正整数、有唯一众数4得出x的值，再利用算术平均数的定义求解可得．参考答案;解：∵从小到大排列的数据：x，3，4，4，5（x为正整数），唯一的众数是4，∴x＝2或x＝1，当x＝2时，这组数据的平均数为＝；当x＝1时，这组数据的平均数为＝；即这组数据的平均数为或，故选：C．点拨;本题主要考查算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．5．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是（）A．k＜B．k≤C．k＞4 D．k≤且k≠0解析;根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．参考答案;解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，∴△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+2k）≥0，解得：k≤．故选：B．点拨;本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”是解题的关键．6．（3分）如图，菱形ABCD的两个顶点A，C在反比例函数y＝的图象上，对角线AC，BD的交点恰好是坐标原点O，已知B（﹣1，1），∠ABC＝120°，则k的值是（）A．5 B．4 C．3 D．2解析;根据题意可以求得点A的坐标，从而可以求得k的值．参考答案;解：∵四边形ABCD是菱形，∴BA＝AD，AC⊥BD，∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵点B（﹣1，1），∴OB＝，∴AO＝＝，∵直线BD的解析式为y＝﹣x，∴直线AD的解析式为y＝x，∵OA＝，∴点A的坐标为（，），∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴k＝＝3，故选：C．点拨;本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．7．（3分）已知关于x的分式方程﹣4＝的解为正数，则k的取值范围是（）A．﹣8＜k＜0 B．k＞﹣8且k≠﹣2 C．k＞﹣8 且k ≠2 D．k＜4且k≠﹣2解析;表示出分式方程的解，根据解为正数确定出k的范围即可．参考答案;解：分式方程﹣4＝，去分母得：x﹣4（x﹣2）＝﹣k，去括号得：x﹣4x+8＝﹣k，解得：x＝，由分式方程的解为正数，得到＞0，且≠2，解得：k＞﹣8且k≠﹣2．故选：B．点拨;此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）A．4 B．8 C．D．6解析;由菱形的性质得出OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，则AC＝12，由直角三角形斜边上的中线性质得出OH＝BD，再由菱形的面积求出BD＝8，即可得出答案．参考答案;解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，∴AC＝12，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴OH＝BD，∵菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝×12×BD＝48，∴BD＝8，∴OH＝BD＝4；故选：A．点拨;本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形斜边上的中线性质求得OH＝BD．9．（3分）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（）A．12种B．15种C．16种D．14种解析;有两个等量关系：购买A种奖品钱数+购买B种奖品钱数+购买C种奖品钱数＝200；C种奖品个数为1或2个．设两个未知数，得出二元一次方程，根据实际含义确定解．参考答案;解：设购买A种奖品m个，购买B种奖品n个，当C种奖品个数为1个时，根据题意得10m+20n+30＝200，整理得m+2n＝17，∵m、n都是正整数，0＜2n＜17，∴n＝1，2，3，4，5，6，7，8；当C种奖品个数为2个时，根据题意得10m+20n+60＝200，整理得m+2n＝14，∵m、n都是正整数，0＜2n＜14，∴m＝1，2，3，4，5，6；∴有8+6＝14种购买方案．故选：D．点拨;本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．要注意题中未知数的取值必须符合实际意义．10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（）A．①②③B．②④⑤C．①③④D．①④⑤解析;①正确．如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS）即可解决问题．②③错误．如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH （SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS）即可解决问题．④正确．设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．⑤正确．当BE＝a时，设DG＝x，则EG＝x+a，利用勾股定理构建方程可得x＝即可解决问题．参考答案;解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．∵BE＝BH，∠EBH＝90°，∴EH＝BE，∵AF＝BE，∴AF＝EH，∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，∴∠FAE＝∠EHC＝135°，∵BA＝BC，BE＝BH，∴AE＝HC，∴△FAE≌△EHC（SAS），∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH，∵∠ECH+∠CEB＝90°，∴∠AEF+∠CEB＝90°，∴∠FEC＝90°，∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），∴∠ECB＝∠DCH，∴∠ECH＝∠BCD＝90°，∴∠ECG＝∠GCH＝45°，∵CG＝CG，CE＝CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG＝GH，∵GH＝DG+DH，DH＝BE，∴EG＝BE+DG，故③错误，∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，∴S△AEF＝•（a﹣x）×x＝﹣x2+ax＝﹣（x2﹣ax+a2﹣a2）＝﹣（x﹣a）2+a2，∵﹣＜0，∴x＝a时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确，当BE＝a时，设DG＝x，则EG＝x+a，在Rt△AEG中，则有（x+a）2＝（a﹣x）2+（a）2，解得x＝，∴AG＝GD，故⑤正确，故选：D．点拨;本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（每题3分，满分30分）11．（3分）5G信号的传播速度为0m/s，将数据0用科学记数法表示为3×108．解析;科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．参考答案;解：0＝3×108．故答案为：3×108．点拨;此题考查科学记数法的表示方法，表示数据时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是x＞2 ．解析;根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．参考答案;解：由题意得，x﹣2＞0，解得x＞2．故答案为：x＞2．点拨;本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．13．（3分）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件AB＝ED（BC＝DF或AC＝EF 或AE＝CF等），使Rt△ABC和Rt△EDF全等．解析;本题是一道开放型的题目，答案不唯一，可以是AB＝ED或BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF等，只要符合全等三角形的判定定理即可．参考答案;解：添加的条件是：AB＝ED，理由是：∵在△ABC和△EDF中，∴△ABC≌△EDF（ASA），故答案为：AB＝ED．点拨;本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：两直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL等．14．（3分）一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为．解析;首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出的两个小球的标号之和大于6的情况，再利用概率公式即可求得答案．参考答案;解：画树状图如图所示：∵共有20种等可能的结果，摸出的两个小球的标号之和大于6的有8种结果，∴摸出的两个小球的标号之和大于6的概率为＝，故答案为：．点拨;本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．15．（3分）若关于x的一元一次不等式组有2个整数解，则a的取值范围是6＜a≤8 ．解析;分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再结合不等式组的整数解的个数得出关于a 的不等式组，解之可得答案．参考答案;解：解不等式x﹣1＞0，得：x＞1，解不等式2x﹣a＜0，得：x＜，则不等式组的解集为1＜x＜，∵不等式组有2个整数解，∴不等式组的整数解为2、3，则3＜≤4，解得6＜a≤8，故答案为：6＜a≤8．点拨;本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的整数解得出关于a的不等式组是解答此题的关键．16．（3分）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝40°，则∠ACB＝50 °．解析;连接BD，如图，根据圆周角定理即可得到结论．参考答案;解：连接BD，如图，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠BAD＝90°﹣40°＝50°，∴∠ACB＝∠D＝50°．故答案为50．点拨;本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．17．（3分）小明在手工制作课上，用面积为150πcm2，半径为15cm 的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为10 cm．解析;先根据扇形的面积公式：S＝l•R（l为弧长，R为扇形的半径）计算出扇形的弧长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，利用圆的周长公式计算出圆锥的底面半径．参考答案;解：∵S＝l•R，∴•l•15＝150π，解得l＝20π，设圆锥的底面半径为r，∴2π•r＝20π，∴r＝10（cm）．故答案为：10．点拨;本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；也考查了扇形的面积公式：S＝l•R（l为弧长，R为扇形的半径）．18．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，将△ABD沿射线BD 平移，得到△EGF，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为4．解析;如图，连接DE，作点D关于直线AE的对称点T，连接AT，ET，CT．首先证明B，A，T共线，求出TC，证明四边形EGCD是平行四边形，推出DE＝CG，推出EC+CG＝EC+ED＝EC+TE，根据TE+EC ≥TC即可解决问题．参考答案;解：如图，连接DE，作点D关于直线AE的对称点T，连接AT，ET，CT．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC═AD＝4，∠ABC＝90°，∠ABD＝45°，∵AE∥BD，∴∠EAD＝∠ABD＝45°，∵D，T关于AE对称，∴AD＝AT＝4，∠TAE＝∠EAD＝45°，∴∠TAD＝90°，∵∠BAD＝90°，∴B，A，T共线，∴CT＝＝4，∵EG＝CD，EG∥CD，∴四边形EGCD是平行四边形，∴CG＝EC，∴EC+CG＝EC+ED＝EC+TE，∵TE+EC≥TC，∴EC+CG≥4，∴EC+CG的最小值为4．故答案为：4．点拨;本题考查轴对称，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．19．（3分）在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE ＝a，连接AE，将△ABE沿AE折叠．若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则折痕的长为或．解析;分两种情况：①当点B'落在AD边上时，证出△ABE是等腰直角三角形，得出AE＝AB＝；②当点B'落在CD边上时，证明△ADB'∽△B'CE，得出＝，求出BE＝a＝，由勾股定理求出AE即可．参考答案;解：分两种情况：①当点B'落在AD边上时，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，∵将△ABE沿AE折叠．点B的对应点B′落在矩形ABCD的AD边上，∴∠BAE＝∠B'AE＝∠BAD＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE＝1，AE＝AB＝；②当点B'落在CD边上时，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a，∵将△ABE沿AE折叠．点B的对应点B′落在矩形ABCD的CD边上，∴∠B＝∠AB'E＝90°，AB'＝AB＝1，BE'＝BE＝a，∴CE＝BC﹣BE＝a﹣a＝a，B'D＝＝，在△ADB'和△B'CE中，∠B'AD＝∠EB'C＝90°﹣∠AB'D，∠D＝∠C＝90°，∴△ADB'∽△B'CE，∴＝，即＝，解得：a＝，或a＝0（舍去），∴BE＝a＝，∴AE＝＝＝；综上所述，折痕的长为或；故答案为：或．点拨;本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质是解题的关键．20．（3分）如图，直线AM的解析式为y＝x+1与x轴交于点M，与y 轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为（1，1）．过点B作EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A1，以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）．过点B1作E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x 轴的垂线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2．…．则点B2020的坐标2×32020﹣1，32020．解析;由B坐标为（1，1）根据题意求得A1的坐标，进而得B1的坐标，继续求得B2，B3，B4，B5的坐标，根据这5点的坐标得出规律，再按规律得结果．参考答案;解：∵点B坐标为（1，1），∴OA＝AB＝BC＝CO＝CO1＝1，∵A1（2，3），∴A1O1＝A1B1＝B1C1＝C1O2＝3，∴B1（5，3），∴A2（8，9），∴A2O2＝A2B2＝B2C2＝C2O3＝9，∴B2（17，9），同理可得B4（53，27），B5（161，81），…由上可知，Bn（2×3n﹣1，3n），∴当n＝2020时，Bn（2×32020﹣1，32020）．故答案为：（2×32020﹣1，32020）．点拨;本题主要考查了一次函数的图象与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，规律变化，关键是求出前几个点的坐标得出规律．三、解答题（满分60分）21．（5分）先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝3tan30°﹣3．解析;先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将特殊锐角的三角函数值代入求出x的值，继而代入计算可得．参考答案;解：原式＝（﹣）÷＝•＝，当x＝3tan30°﹣3＝3×﹣3＝﹣3时，原式＝＝＝1﹣．点拨;本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，2）、B （5，5）、C（1，1）均在格点上．（1）将△ABC向左平移5个单位得到△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到的△A2B2C1，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．解析;（1）依据△ABC向左平移5个单位，即可得到△A1B1C1，进而写出点A1的坐标；（2）依据△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°，即可得到的△A2B2C1，进而写出点A2的坐标；（3）依据扇形面积公式和三角形面积公式，即可得到△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积．参考答案;解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为（0，2）；（2）如图所示，△A2B2C1即为所求，点A2的坐标为（﹣3，﹣3）；（3）如图，∵BC＝＝4，∴△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积为：+×3×4＝8π+6．点拨;本题考查了利用平移变换和旋转变换作图、扇形面积的计算等，利用平移变换作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．23．（6分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B （3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使∠PAB＝∠ABC，若存在请直接写出点P的坐标．若不存在，请说明理由．解析;（1）运用待定系数法即可求解；（2）先求出点C的坐标，根据抛物线与x轴的两个交点，可求对称轴，找到点C关于对称轴的对应点；先运用待定系数法求出直线BC的解析式，再根据互相平行的两直线的关系求出与BC平行的直线AP2的解析式，联立抛物线解析式即可求解．参考答案;解：（1）根据题意得，解得．故抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）二次函数y＝﹣x2+2x+3的对称轴是x＝（﹣1+3）÷2＝1，当x＝0时，y＝3，则C（0，3），点C关于对称轴的对应点P1（2，3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，则3k+3＝0，解得k＝﹣1．则直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设与BC平行的直线AP2的解析式为y＝﹣x+m，则1+m＝0，解得m＝﹣1．则与BC平行的直线AP2的解析式为y＝﹣x﹣1，联立抛物线解析式得，解得，（舍去）．P2（4，﹣5）．综上所述，P1（2，3），P2（4，﹣5）．点拨;此题考查了二次函数综合题，综合运用待定系数法求二次函数解析式的方法和对称轴，以及互相平行的两直线的关系．24．（7分）为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．解析;（1）观察直方图，根据平均数公式计算平均次数后，比较得答案；（2）根据中位数意义，确定中位数的范围；（3）根据频率的计算方法，可得跳绳成绩达到或超过校平均次数的概率为．参考答案;解：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是：＝，∵＞100，∴超过全校的平均次数；（2）这个学生的跳绳成绩在该班是中位数，因为4+13+19＝36，所以中位数一定在100～120范围内；（3）该班60秒跳绳成绩大于或等于100次的有：19+7+5+2＝33（人），故从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是．点拨;考查了频数（率）分布直方图，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．一组数据按顺序排列后，中间的那两个数的平均数或中间的那个数叫做中位数．25．（8分）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y（单位：千米）与快递车所用时间x （单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．（1）求ME的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）解析;（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）利用待定系数法分别求出BC与FG的解析式，再联立解答即可；（3）根据题意列式计算即可．参考答案;解：（1）设ME的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），由ME 经过（0，50），（3，200）可得：，解得，∴ME的解析式为y＝50x+50；（2）设BC的函数解析式为y＝mx+n，由BC经过（4，0），（6，200）可得：，解得，∴BC的函数解析式为y＝100x﹣400；设FG的函数解析式为y＝px+q，由FG经过（5，200），（9，0）可得：，解得，∴FG的函数解析式为y＝﹣50x+450，解方程组得，同理可得x＝7h，答：货车返回时与快递车图中相遇的时间h，7h；（3）（9﹣7）×50＝100（km），答：两车最后一次相遇时离武汉的距离为100km．点拨;本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，相遇问题，读懂题目信息，理解两车的运动过程是解题的关键．26．（8分）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E 分别在AC、BC边上，DC＝EC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．（1）BE与MN的数量关系是BE＝NM ．（2）将△DEC绕点C逆时针旋转到图②和图③的位置，判断BE与MN有怎样的数量关系写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．解析;（1）如图①中，只要证明△PMN的等腰直角三角形，再利用三角形的中位线定理即可解决问题．（2）如图②中，结论仍然成立．连接AD，延长BE交AD于点H．由△ECB≌△DCA，推出BE＝AD，∠DAC＝∠EBC，即可推出BH⊥AD，由M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，推出PM∥BE，PM＝BE，PN∥AD，PN＝AD，推出PM＝PN，∠MPN＝90°，可得BE＝2PM＝2×MN＝MN．参考答案;解：（1）如图①中，∵AM＝ME，AP＝PB，∴PM∥BE，PM＝BE，∵BN＝DN，AP＝PB，∴PN∥AD，PN＝AD，∵AC＝BC，CD＝CE，∴AD＝BE，∴PM＝PN，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∴∵PM∥BC，PN∥AC，∴PM⊥PN，∴△PMN的等腰直角三角形，∴MN＝PM，∴MN＝•BE，∴BE＝MN，故答案为BE＝MN．（2）如图②中，结论仍然成立．理由：连接AD，延长BE交AD于点H．∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝CE，CA＝CB，∠ACB＝∠DCE＝90°，∵∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，∴∠ACD＝∠ECB，∴△ECB≌△DCA（AAS），∴BE＝AD，∠DAC＝∠EBC，∵∠AHB＝180°﹣（∠HAB+∠ABH）＝180°﹣（45°+∠HAC+∠ABH）＝∠180°﹣（45°+∠HBC+∠ABH）＝180°﹣90°＝90°，∴BH⊥AD，∵M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，∴PM∥BE，PM＝BE，PN∥AD，PN＝AD，∴PM＝PN，∠MPN＝90°，∴BE＝2PM＝2×MN＝MN．点拨;本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．．27．（10分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值．（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为正整数），求有哪几种购买方案．（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．解析;（1）根据“购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总价＝单价×数量结合投入资金不少于1160元又不多于1168元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出各购买方案；（3）求出（2）中各购买方案的总利润，比较后可得出获得最大利润时售出甲、乙两种蔬菜的重量，再根据总利润＝每千克利润×销售数量结合捐款后的利润率不低于20%，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．参考答案;解：（1）依题意，得：，解得：．答：m的值为10，n的值为14．（2）依题意，得：，解得：58≤x≤60．又∵x为正整数，∴x可以为58，59，60，∴共有3种购买方案，方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜．（3）购买方案1的总利润为（16﹣10）×58+（18﹣14）×42＝516（元）；购买方案2的总利润为（16﹣10）×59+（18﹣14）×41＝518（元）；购买方案3的总利润为（16﹣10）×60+（18﹣14）×40＝520（元）．∵516＜518＜520，∴利润最大值为520元，即售出甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．依题意，得：（16﹣10﹣2a）×60+（18﹣14﹣a）×40≥（10×60+14×40）×20%，解得：a≤．答：a的最大值为．点拨;本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB长是x2﹣3x﹣18＝0的根，连接BD，∠DBC＝30°，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，动点P从B点以每秒2个单位长度的速度沿BD方向匀速运动到D点为止；点M沿线段DA以每秒个单位长度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）线段CN＝3；（2）连接PM和MN，求△PMN的面积s与运动时间t的函数关系式；（3）在整个运动过程中，当△PMN是以PN为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．解析;（1）解方程求出AB的长，由直角三角形的性质可求BD，BC 的长，CN的长；（2）分三种情况讨论，由三角形的面积可求解；（3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．参考答案;解：（1）∵AB长是x2﹣3x﹣18＝0的根，∴AB＝6，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD＝6，∠BCD＝90°，∵∠DBC＝30°，∴BD＝2CD＝12，BC＝CD＝6，∵∠DBC＝30°，CN⊥BD，∴CN＝BC＝3，故答案为：3．（2）如图，过点M作MH⊥BD于H，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝30°，∴MH＝MD＝t，∵∠DBC＝30°，CN⊥BD，∴BN＝CN＝9，当0＜t＜时，△PMN的面积s＝×（9﹣2t）×t＝﹣t2+t；当t＝时，点P与点N重合，s＝0，当＜t≤6时，△PMN的面积s＝×（2t﹣9）×t＝t2﹣t；（3）如图，过点P作PE⊥BC于E，当PN＝PM＝9﹣2t时，∵PM2＝MH2+PH2，∴（9﹣2t）2＝（t）2+（12﹣2t﹣t）2，∴t＝3或t＝，∴BP＝6或，当BP＝6时，∵∠DBC＝30°，PE⊥BC，∴PE＝BP＝3，BE＝PE＝3，∴点P（3，3），当BP＝时，同理可求点P（，），当PN＝NM＝9﹣2t时，∵NM2＝MH2+NH2，∴（9﹣2t）2＝（t）2+（t﹣3）2，∴t＝3或24（不合题意舍去），∴BP＝6，∴点P（3，3），综上所述：点P坐标为（3，3）或（，）．点拨;本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，一元二次方程的解法，三角形的面积公式，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．。
2020年黑龙江省龙东地区中考数学试卷
2020年黑龙江省龙东地区中考数学试卷一、选择题（每题3分，满分30分）1. 下列各运算中，计算正确的是（）A.a2⋅2a2＝2a4B.x8÷x2＝x4C.(x−y)2＝x2−xy+y2D.(−3x2)3＝−9x6【答案】A【考点】整式的混合运算【解析】直接利用完全平方公式以及积的乘方运算法则、单项式乘以单项式、同底数幂的除法运算法则分别化简得出答案．【解答】A、a2⋅2a2＝2a4，正确；B、x8÷x2＝x6，故此选项错误；C、(x−y)2＝x2−2xy+y2，故此选项错误；D、(−3x2)3＝−27x6，故此选项错误；2. 下列图标中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【考点】中心对称图形【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．是中心对称图形，故本选项符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．3. 如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A.6B.7C.8D.9【答案】B【考点】由三视图判断几何体【解析】易得此几何体有2行2列，判断出各行各列最多有几个正方体组成即可．【解答】综合主视图与左视图，第一行第1列最多有2个，第一行第2列最多有1个；第二行第1列最多有3个，第二行第2列最多有1个；所以最多有：2+1+3+1＝7（个）．4. 一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5（x为正整数），唯一的众数是4，则该组数据的平均数是（）A.3.6B.3.8或3.2C.3.6或3.4D.3.6或3.2【答案】C【考点】算术平均数众数【解析】先根据从小到大排列的这组数据且x为正整数、有唯一众数4得出x的值，再利用算术平均数的定义求解可得．【解答】∵从小到大排列的数据：x，3，4，4，5（x为正整数），唯一的众数是4，∴x＝2或x＝1，当x＝2时，这组数据的平均数为2+3+4+4+55=3.6；当x＝1时，这组数据的平均数为1+3+4+4+55=3.4；即这组数据的平均数为3.4或3.6，5. 已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是（）A.k<14B.k≤14C.k>4D.k≤14且k≠0【答案】B【考点】根的判别式【解析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．【解答】∵关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，∴△＝[−(2k+1)]2−4×1×(k2+2k)≥0，解得：k≤14．6. 如图，菱形ABCD的两个顶点A，C在反比例函数y=kx的图象上，对角线AC，BD的交点恰好是坐标原点O，已知B(−1, 1)，∠ABC＝120∘，则k的值是（）A.5B.4C.3D.2【答案】C【考点】菱形的性质等边三角形的性质与判定反比例函数图象上点的坐标特征【解析】根据题意可以求得点A的坐标，从而可以求得k的值．【解答】∵四边形ABCD是菱形，∴BA＝AD，AC⊥BD，∵∠ABC＝120∘，∴∠BAD＝60∘，∴△ABD是等边三角形，∵点B(−1, 1)，∴OB=√2，∴AO=OBtan30=√6，∵直线BD的解析式为y＝−x，∴直线AC的解析式为y＝x，∵OA=√6，∴点A的坐标为(√3, √3)，∵点A在反比例函数y=kx的图象上，∴k=√3×√3=3，7. 已知关于x的分式方程xx−2−4=k2−x的解为正数，则k的取值范围是（）A.−8<k<0B.k>−8且k≠−2C.k>−8且k≠2D.k<4且k≠−2【答案】B【考点】分式方程的解【解析】表示出分式方程的解，根据解为正数确定出k的范围即可．【解答】分式方程xx−2−4=k2−x，去分母得：x−4(x−2)＝−k，去括号得：x−4x+8＝−k，解得：x=k+83，由分式方程的解为正数，得到k+83>0，且k+83≠2，解得：k>−8且k≠−2．8. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）A.4B.8C.√13D.6【答案】A【考点】菱形的性质【解析】由菱形的性质得出OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，则AC＝12，由直角三角形斜边上的中线性质得出OH=12BD，再由菱形的面积求出BD＝8，即可得出答案．【解答】∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，∴AC＝12，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90∘，∴OH=12BD，∵菱形ABCD的面积=12×AC×BD=12×12×BD＝48，∴BD＝8，∴OH=12BD＝4；9. 在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（）A.12种B.15种C.16种D.14种【答案】D【考点】二元一次方程的应用【解析】有两个等量关系：购买A种奖品钱数+购买B种奖品钱数+购买C种奖品钱数＝200；C种奖品个数为1或2个．设两个未知数，得出二元一次方程，根据实际含义确定解．【解答】设购买A种奖品m个，购买B种奖品n个，当C种奖品个数为1个时，根据题意得10m+20n+30＝200，整理得m+2n＝17，∵m、n都是正整数，0<2n<17，∴n＝1，2，3，4，5，6，7，8；当C种奖品个数为2个时，根据题意得10m+20n+60＝200，整理得m+2n＝14，∵m、n都是正整数，0<2n<14，∴n＝1，2，3，4，5，6；∴有8+6＝14种购买方案．10. 如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45∘，点F在射线AM上，且AF=√2BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45∘；)a；②△AEG的周长为(1+√22③BE2+DG2＝EG2；a2；④△EAF的面积的最大值是18a时，G是线段AD的中点．⑤当BE=13其中正确的结论是（）A.①②③B.②④⑤C.①③④D.①④⑤【答案】D【考点】正方形的性质勾股定理全等三角形的性质与判定二次函数的最值【解析】①正确．如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．证明△FAE≅△EHC(SAS)即可解决问题．②③错误．如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≅△CDH(SAS)，再证明△GCE≅△GCH(SAS)即可解决问题．④正确．设BE＝x，则AE＝a−x，AF=√2x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．⑤正确．当BE=13a时，设DG＝x，则EG＝x+13a，利用勾股定理构建方程可得x=a2即可解决问题．【解答】如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．∵BE＝BH，∠EBH＝90∘，∴EH=√2BE，∵AF=√2BE，∴AF＝EH，∵∠DAM＝∠EHB＝45∘，∠BAD＝90∘，∴∠FAE＝∠EHC＝135∘，∵BA＝BC，BE＝BH，∴AE＝HC，∴△FAE≅△EHC(SAS)，∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH，∵∠ECH+∠CEB＝90∘，∴∠AEF+∠CEB＝90∘，∴∠FEC＝90∘，∴∠ECF＝∠EFC＝45∘，故①正确，如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≅△CDH(SAS)，∴∠ECB＝∠DCH，∴∠ECH＝∠BCD＝90∘，∴∠ECG＝∠GCH＝45∘，∵CG＝CG，CE＝CH，∴△GCE≅△GCH(SAS)，∴EG＝GH，∵GH＝DG+DH，DH＝BE，∴EG＝BE+DG，故③错误，∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，设BE＝x，则AE＝a−x，AF=√2x，∴S△AEF=12⋅(a−x)×x=−12x2+12ax=−12(x2−ax+14a2−14a2)=−12(x−1 2a)2+18a2，∵−12<0，∴x=12a时，△AEF的面积的最大值为18a2．故④正确，当BE=13a时，设DG＝x，则EG＝x+13a，在Rt△AEG中，则有(x+13a)2＝(a−x)2+(23a)2，解得x=a2，∴AG＝GD，故⑤正确，二、填空题（每题3分，满分30分）5G信号的传播速度为300000000m/s，将数据300000000用科学记数法表示为________．【答案】3×108【考点】科学记数法--表示较大的数【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】300000000＝3×108．在函数y=√x−2中，自变量x的取值范围是________．【答案】x>2【考点】函数自变量的取值范围【解析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】由题意得，x−2>0，解得x>2．如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件________，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．【答案】AB＝ED（BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF等）【考点】直角三角形全等的判定【解析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，可以是AB＝ED或BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF等，只要符合全等三角形的判定定理即可．【解答】添加的条件是：AB＝ED，理由是：∵在△ABC和△EDF中{∠B=∠D AB=ED∠A=∠DEF，∴△ABC≅△EDF(ASA)，一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为________．【答案】25【考点】列表法与树状图法【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出的两个小球的标号之和大于6的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】画树状图如图所示：∵共有20种等可能的结果，摸出的两个小球的标号之和大于6的有8种结果，∴摸出的两个小球的标号之和大于6的概率为820=25，故答案为：25．若关于x的一元一次不等式组{x−1>02x−a<0有2个整数解，则a的取值范围是________．6<a≤8【考点】一元一次不等式组的整数解【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再结合不等式组的整数解的个数得出关于a的不等式组，解之可得答案．【解答】解不等式x−1>0，得：x>1，，解不等式2x−a<0，得：x<a2则不等式组的解集为1<x<a，2∵不等式组有2个整数解，∴不等式组的整数解为2、3，≤4，则3<a2解得6<a≤8，如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝40∘，则∠ACB＝________∘．【答案】50【考点】三角形的外接圆与外心【解析】连接BD，如图，根据圆周角定理即可得到结论．【解答】连接BD，如图，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD＝90∘，∴∠D＝90∘−∠BAD＝90∘−40∘＝50∘，∴∠ACB＝∠D＝50∘．小明在手工制作课上，用面积为150πcm2，半径为15cm的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为10cm．【答案】10【考点】圆锥的计算扇形面积的计算l⋅R（l为弧长，R为扇形的半径）计算出扇形的弧长，先根据扇形的面积公式：S=12然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，利用圆的周长公式计算出圆锥的底面半径．【解答】∵S=1l⋅R，2∴1⋅l⋅15＝150π，解得l＝20π，2设圆锥的底面半径为r，∴2π⋅r＝20π，∴r＝10(cm)．如图，在边长为4的正方形ABCD中，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为________．【答案】4√5【考点】正方形的性质轴对称——最短路线问题平移的性质【解析】如图，连接DE，作点D关于直线AE的对称点T，连接AT，ET，CT．首先证明B，A，T 共线，求出TC，证明四边形EGCD是平行四边形，推出DE＝CG，推出EC+CG＝EC+ ED＝EC+TE，根据TE+EC≥TC即可解决问题．【解答】如图，连接DE，作点D关于直线AE的对称点T，连接AT，ET，CT．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC=AD＝4，∠ABC＝90∘，∠ABD＝45∘，∵AE // BD，∴∠EAD＝∠ABD＝45∘，∵D，T关于AE对称，∴AD＝AT＝4，∠TAE＝∠EAD＝45∘，∴∠TAD＝90∘，∵∠BAD＝90∘，∴B，A，T共线，∴CT=√BT2+BC2=4√5，∵EG＝CD，EG // CD，∴四边形EGCD是平行四边形，∴CG＝EC，∴EC+CG＝EC+ED＝EC+TE，∵TE+EC≥TC，∴EC+CG≥4√5，∴EC+CG的最小值为4√5．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE=35a，连接AE，将△ABE 沿AE折叠．若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则折痕的长为________．【答案】√2或√305【考点】翻折变换（折叠问题）矩形的性质【解析】分两种情况：①当点B′落在AD边上时，证出△ABE是等腰直角三角形，得出AE=√2AB=√2；②当点B′落在CD边上时，证明△ADB′∽△B′CE，得出B′DEC =AB′B′E，求出BE=35a=√55，由勾股定理求出AE即可．【解答】分两种情况：①当点B′落在AD边上时，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90∘，∵将△ABE沿AE折叠．点B的对应点B′落在矩形ABCD的AD边上，∴∠BAE＝∠B′AE=12∠BAD＝45∘，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE＝1，AE=√2AB=√2；②当点B′落在CD边上时，如图2所示：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠BAD ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90∘，AD ＝BC ＝a ，∵ 将△ABE 沿AE 折叠．点B 的对应点B′落在矩形ABCD 的CD 边上， ∴ ∠B ＝∠AB ′E ＝90∘，AB ′＝AB ＝1，BE ′＝BE =35a ，∴ CE ＝BC −BE ＝a −35a =25a ，B ′D =√AB ′2−AD 2=√1−a 2， 在△ADB ′和△B ′CE 中，∠B ′AD ＝∠EB ′C ＝90∘−∠AB ′D ，∠D ＝∠C ＝90∘， ∴ △ADB ′∽△B ′CE ， ∴B ′D EC=AB ′B ′E，即√1−a 225a =135a，解得：a =√53，或a ＝0（舍去）， ∴ BE =35a =√55， ∴ AE =√AB 2+BE 2=(√55)=√305； 综上所述，折痕的长为√2或√305；如图，直线AM 的解析式为y ＝x +1与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形ABCO ，点B 坐标为(1, 1)．过点B 作EO 1⊥MA 交MA 于点E ，交x 轴于点O 1，过点O 1作x 轴的垂线交MA 于点A 1，以O 1A 1为边作正方形O 1A 1B 1C 1，点B 1的坐标为(5, 3)．过点B 1作E 1O 2⊥MA 交MA 于E 1，交x 轴于点O 2，过点O 2作x 轴的垂线交MA 于点A 2．以O 2A 2为边作正方形O 2A 2B 2C 2．…．则点B 2020的坐标________．【答案】2×32020−1，32020 【考点】一次函数图象上点的坐标特点 一次函数的性质规律型：数字的变化类 相似三角形的性质与判定 规律型：图形的变化类 规律型：点的坐标【解析】由B 坐标为(1, 1)根据题意求得A 1的坐标，进而得B 1的坐标，继续求得B 2，B 3，B 4的坐标，根据这5点的坐标得出规律，再按规律得结果． 【解答】∵ 点B 坐标为(1, 1)，∴ OA ＝AB ＝BC ＝CO ＝CO 1＝1， ∵ A 1(2, 3)，∴ A 1O 1＝A 1B 1＝B 1C 1＝C 1O 2＝3， ∴ B 1(5, 3)， ∴ A 2(8, 9)，∴ A 2O 2＝A 2B 2＝B 2C 2＝C 2O 3＝9， ∴ B 2(17, 9)，同理可得B 3(53, 27)， B 4(161, 81)， …由上可知，B n (2×3n −1, 3n )，∴ 当n ＝2020时，B n (2×32020−1, 32020)． 三、解答题（满分60分）先化简，再求值：(2−x−1x+1)÷x 2+6x+9x 2−1，其中x ＝3tan 30∘−3．【答案】 原式＝(2x+2x+1−x−1x+1)÷(x+3)2(x+1)(x−1)=x +3x +1⋅(x +1)(x −1)(x +3)2=x−1x+3，当x ＝3tan 30∘−3＝3×√33−3=√3−3时，原式=√3−3−1√3−3+3=√3−4√3＝1−4√33． 【考点】特殊角的三角函数值 分式的化简求值【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将特殊锐角的三角函数值代入求出x的值，继而代入计算可得．【解答】原式＝(2x+2x+1−x−1x+1)÷(x+3)2(x+1)(x−1)=x+3x+1⋅(x+1)(x−1)(x+3)2=x−1x+3，当x＝3tan30∘−3＝3×√33−3=√3−3时，原式=√3−3−1√3−3+3=√3√3＝1−4√33．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A(5, 2)、B(5, 5)、C(1, 1)均在格点上．（1）将△ABC向左平移5个单位得到△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90∘后得到的△A2B2C1，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．【答案】如图所示，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为(0, 2)；如图所示，△A2B2C1即为所求，点A2的坐标为(−3, −3)；如图，∵BC=√42+42=4√2，∴△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积为：90π×(4√2)2360+12×3×4＝8π+6．【考点】扇形面积的计算作图-相似变换作图-旋转变换【解析】（1）依据△ABC向左平移5个单位，即可得到△A1B1C1，进而写出点A1的坐标；（2）依据△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90∘，即可得到的△A2B2C1，进而写出点A2的坐标；（3）依据扇形面积公式和三角形面积公式，即可得到△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积．【解答】如图所示，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为(0, 2)；如图所示，△A2B2C1即为所求，点A2的坐标为(−3, −3)；如图，∵BC=√42+42=4√2，∴△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积为：90π×(4√2)2360+12×3×4＝8π+6．如图，已知二次函数y＝−x2+bx+c的图象经过点A(−1, 0)，B (3, 0)，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ，使∠PAB ＝∠ABC ，若存在请直接写出点P 的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】根据题意得{−1−b +c =0−9+3b +c =0 ，解得{b =2c =3．故抛物线的解析式为y ＝−x 2+2x +3；二次函数y ＝−x 2+2x +3的对称轴是x ＝(−1+3)÷2＝1， 当x ＝0时，y ＝3， 则C(0, 3)，点C 关于对称轴的对应点P 1(2, 3)， 设直线BC 的解析式为y ＝kx +3， 则3k +3＝0， 解得k ＝−1．则直线BC 的解析式为y ＝−x +3，设与BC 平行的直线AP 2的解析式为y ＝−x +m ， 则1+m ＝0， 解得m ＝−1．则与BC 平行的直线AP 2的解析式为y ＝−x −1，联立抛物线解析式得{y =−x −1y =−x 2+2x +3 ，解得{x 1=4y 1=−5 ，{x 2=−1y 2=0 （舍去）．P 2(4, −5)．综上所述，P 1(2, 3)，P 2(4, −5)．【考点】二次函数综合题 【解析】（1）运用待定系数法即可求解；（2）先求出点C 的坐标，根据抛物线与x 轴的两个交点，可求对称轴，找到点C 关于对称轴的对应点；先运用待定系数法求出直线BC 的解析式，再根据互相平行的两直线的关系求出与BC 平行的直线AP 2的解析式，联立抛物线解析式即可求解． 【解答】根据题意得{−1−b +c =0−9+3b +c =0 ，解得{b =2c =3．故抛物线的解析式为y ＝−x 2+2x +3；二次函数y ＝−x 2+2x +3的对称轴是x ＝(−1+3)÷2＝1， 当x ＝0时，y ＝3， 则C(0, 3)，点C 关于对称轴的对应点P 1(2, 3)， 设直线BC 的解析式为y ＝kx +3， 则3k +3＝0， 解得k ＝−1．则直线BC 的解析式为y ＝−x +3，设与BC 平行的直线AP 2的解析式为y ＝−x +m ， 则1+m ＝0， 解得m ＝−1．则与BC 平行的直线AP 2的解析式为y ＝−x −1，联立抛物线解析式得{y =−x −1y =−x 2+2x +3 ，解得{x 1=4y 1=−5 ，{x 2=−1y 2=0 （舍去）．P 2(4, −5)．综上所述，P 1(2, 3)，P 2(4, −5)．为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）． 求：（（1））该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．【答案】=100.8，该班一分钟跳绳的平均次数至少是：60×4+80×13+100×19+120×7+140×5+160×250∵100.8>100，∴超过全校的平均次数；这个学生的跳绳成绩在该班是中位数，因为4+13+19＝36，所以中位数一定在100∼120范围内；该班60秒跳绳成绩大于或等于100次的有：19+7+5+2＝33（人），．故从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是3350【考点】频数（率）分布直方图概率公式加权平均数中位数【解析】（1）观察直方图，根据平均数公式计算平均次数后，比较得答案；（2）根据中位数意义，确定中位数的范围；（3）根据频率的计算方法，可得跳绳成绩达到或超过校平均次数的概率为0.66．【解答】=100.8，该班一分钟跳绳的平均次数至少是：60×4+80×13+100×19+120×7+140×5+160×250∵100.8>100，∴超过全校的平均次数；这个学生的跳绳成绩在该班是中位数，因为4+13+19＝36，所以中位数一定在100∼120范围内；该班60秒跳绳成绩大于或等于100次的有：19+7+5+2＝33（人），故从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是3350．为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y （单位：千米）与快递车所用时间x （单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．（1）求ME 的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）【答案】设ME 的函数解析式为y ＝kx +b(k ≠0)，由ME 经过(0, 50)，(3, 200)可得： {b =503k +b =200 ，解得{k =50b =50， ∴ ME 的解析式为y ＝50x +50；设BC 的函数解析式为y ＝mx +n ，由BC 经过(4, 0)，(6, 200)可得： {4m +n =06m +n =200 ，解得{m =100n =−400， ∴ BC 的函数解析式为y ＝100x −400；设FG 的函数解析式为y ＝px +q ，由FG 经过(5, 200)，(9, 0)可得： {5p +q =2009p +q =0 ，解得{p =−50q =450 ， ∴ FG 的函数解析式为y ＝−50x +450， 解方程组{y =100x −400y =−50x +450 得{x =173y =5003， 同理可得x ＝7ℎ，答：货车返回时与快递车图中相遇的时间173ℎ，7ℎ； (7−5)×50＝100(km)，答：两车最后一次相遇时离武汉的距离为100km ．【考点】一次函数的应用 【解析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）利用待定系数法分别求出BC 与FG 的解析式，再联立解答即可； （3）根据题意列式计算即可． 【解答】设ME 的函数解析式为y ＝kx +b(k ≠0)，由ME 经过(0, 50)，(3, 200)可得： {b =503k +b =200 ，解得{k =50b =50， ∴ ME 的解析式为y ＝50x +50；设BC 的函数解析式为y ＝mx +n ，由BC 经过(4, 0)，(6, 200)可得： {4m +n =06m +n =200 ，解得{m =100n =−400， ∴ BC 的函数解析式为y ＝100x −400；设FG 的函数解析式为y ＝px +q ，由FG 经过(5, 200)，(9, 0)可得： {5p +q =2009p +q =0 ，解得{p =−50q =450 ， ∴ FG 的函数解析式为y ＝−50x +450， 解方程组{y =100x −400y =−50x +450 得{x =173y =5003 ， 同理可得x ＝7ℎ，答：货车返回时与快递车图中相遇的时间173ℎ，7ℎ；(7−5)×50＝100(km)，答：两车最后一次相遇时离武汉的距离为100km ．如图①，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90∘，AC ＝BC ，点D 、E 分别在AC 、BC 边上，DC ＝EC ，连接DE 、AE 、BD ，点M 、N 、P 分别是AE 、BD 、AB 的中点，连接PM 、PN 、MN ．（1）BE 与MN 的数量关系是________．（2）将△DEC 绕点C 逆时针旋转到图②和图③的位置，判断BE 与MN 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．【答案】BE=√2NM如图②中，结论仍然成立．理由：连接AD，延长BE交AD于点H．∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝CE，CA＝CB，∠ACB＝∠DCE＝90∘，∵∠ACB−∠ACE＝∠DCE−∠ACE，∴∠ACD＝∠ECB，∴△ECB≅△DCA(AAS)，∴BE＝AD，∠DAC＝∠EBC，∵∠AHB＝180∘−(∠HAB+∠ABH)＝180∘−(45∘+∠HAC+∠ABH)＝∠180∘−(45∘+∠HBC+∠ABH)＝180∘−90∘＝90∘，∴BH⊥AD，∵M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，∴PM // BE，PM=12BE，PN // AD，PN=12AD，∴PM＝PN，∠MPN＝90∘，∴BE＝2PM＝2×√22MN=√2MN．【考点】三角形中位线定理等腰直角三角形旋转的性质【解析】（1）如图①中，只要证明△PMN的等腰直角三角形，再利用三角形的中位线定理即可解决问题．（2）如图②中，结论仍然成立．连接AD，延长BE交AD于点H．由△ECB≅△DCA，推出BE＝AD，∠DAC＝∠EBC，即可推出BH⊥AD，由M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，推出PM // BE，PM=12BE，PN // AD，PN=12AD，推出PM＝PN，∠MPN＝90∘，可得BE＝2PM＝2×√22MN=√2MN．【解答】如图①中，∵AM＝ME，AP＝PB，∴PM // BE，PM=1BE，2∵BN＝DN，AP＝PB，∴PN // AD，PN=1AD，2∵AC＝BC，CD＝CE，∴AD＝BE，∴PM＝PN，∵∠ACB＝90∘，∴AC⊥BC，∴∵PM // BC，PN // AC，∴PM⊥PN，∴△PMN的等腰直角三角形，∴MN=√2PM，∴MN=√2⋅1BE，2∴BE=√2MN，故答案为BE=√2MN．如图②中，结论仍然成立．理由：连接AD，延长BE交AD于点H．∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝CE，CA＝CB，∠ACB＝∠DCE＝90∘，∵∠ACB−∠ACE＝∠DCE−∠ACE，∴∠ACD＝∠ECB，∴△ECB≅△DCA(AAS)，∴BE＝AD，∠DAC＝∠EBC，∵∠AHB＝180∘−(∠HAB+∠ABH)＝180∘−(45∘+∠HAC+∠ABH)＝∠180∘−(45∘+∠HBC+∠ABH)＝180∘−90∘∴ BH ⊥AD ，∵ M 、N 、P 分别为AE 、BD 、AB 的中点，∴ PM // BE ，PM =12BE ，PN // AD ，PN =12AD ，∴ PM ＝PN ，∠MPN ＝90∘，∴ BE ＝2PM ＝2×√22MN =√2MN ．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m 元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n 元，售价每千克18元．（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m ，n 的值．（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x 千克（x 为正整数），求有哪几种购买方案．（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a 元，乙种蔬菜每千克捐出a 元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a 的最大值．【答案】依题意，得：{15m +20n =43010m +8n =212， 解得：{m =10n =14． 答：m 的值为10，n 的值为14．依题意，得：{10x +14(100−x)≥116010x +14(100−x)≤1168， 解得：58≤x ≤60．又∵ x 为正整数，∴ x 可以为58，59，60，∴ 共有3种购买方案，方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜． 购买方案1的总利润为(16−10)×58+(18−14)×42＝516（元）；购买方案2的总利润为(16−10)×59+(18−14)×41＝518（元）；购买方案3的总利润为(16−10)×60+(18−14)×40＝520（元）．∵ 516<518<520，∴ 利润最大值为520元，即售出甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．依题意，得：(16−10−2a)×60+(18−14−a)×40≥(10×60+14×40)×20%， 解得：a ≤95．答：a 的最大值为95．一元一次不等式组的应用二元一次方程的应用二元一次方程组的应用——其他问题二元一次方程组的应用——行程问题【解析】（1）根据“购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元”，即可得出关于m ，n 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总价＝单价×数量结合投入资金不少于1160元又不多于1168元，即可得出关于x 的一元一次不等式组，解之即可得出x 的取值范围，再结合x 为正整数即可得出各购买方案；（3）求出（2）中各购买方案的总利润，比较后可得出获得最大利润时售出甲、乙两种蔬菜的重量，再根据总利润＝每千克利润×销售数量结合捐款后的利润率不低于20%，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】依题意，得：{15m +20n =43010m +8n =212， 解得：{m =10n =14． 答：m 的值为10，n 的值为14．依题意，得：{10x +14(100−x)≥116010x +14(100−x)≤1168， 解得：58≤x ≤60．又∵ x 为正整数，∴ x 可以为58，59，60，∴ 共有3种购买方案，方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜． 购买方案1的总利润为(16−10)×58+(18−14)×42＝516（元）；购买方案2的总利润为(16−10)×59+(18−14)×41＝518（元）；购买方案3的总利润为(16−10)×60+(18−14)×40＝520（元）．∵ 516<518<520，∴ 利润最大值为520元，即售出甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．依题意，得：(16−10−2a)×60+(18−14−a)×40≥(10×60+14×40)×20%， 解得：a ≤95．答：a 的最大值为95．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB 长是x 2−3x −18＝0的根，连接BD ，∠DBC ＝30∘，并过点C 作CN ⊥BD ，垂足为N ，动点P 从B 点以每秒2个单位长度的速度沿BD 方向匀速运动到D 点为止；点M 沿线段DA 以每秒√3个单位长度的速度由点D 向点A 匀速运动，到点A 为止，点P 与点M 同时出发，设运动时间为t 秒(t >0)．（1）线段CN＝________；（2）连接PM和MN，求△PMN的面积s与运动时间t的函数关系式；（3）在整个运动过程中，当△PMN是以PN为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．【答案】3√3如图，过点M作MH⊥BD于H，∵AD // BC，∴∠ADB＝∠DBC＝30∘，∴MH=12MD=√32t，∵∠DBC＝30∘，CN⊥BD，∴BN=√3CN＝9，当0<t<92时，△PMN的面积s=12×(9−2t)×√32t=−√32t2+9√34t；当t=92时，点P与点N重合，s＝0，当92<t≤6时，△PMN的面积s=12×(2t−9)×√32t=√32t2−9√34t；如图，过点P作PE⊥BC于E，当PN＝PM＝9−2t时，∵PM2＝MH2+PH2，∴(9−2t)2＝(√32t)2+(12−2t−32t)2，∴t＝3或t=73，∴BP＝6或143，当BP＝6时，∵∠DBC＝30∘，PE⊥BC，∴PE=12BP＝3，BE=√3PE＝3√3，∴点P(3√3, 3)，当BP=143时，同理可求点P(7√33, 73 )，当PN＝NM＝9−2t时，∵NM2＝MH2+NH2，∴(9−2t)2＝(√32t)2+(32t−3)2，∴t＝3或24（不合题意舍去），∴BP＝6，∴点P(3√3, 3)，综上所述：点P坐标为(3√3, 3)或(7√33, 73 )．【考点】四边形综合题【解析】（1）解方程求出AB的长，由直角三角形的性质可求BD，BC的长，CN的长；（2）分三种情况讨论，由三角形的面积可求解；（3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．【解答】∵AB长是x2−3x−18＝0的根，∴AB＝6，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD＝6，∠BCD＝90∘，∵∠DBC＝30∘，∴BD＝2CD＝12，BC=√3CD＝6√3，∵∠DBC＝30∘，CN⊥BD，∴CN=12BC＝3√3，故答案为：3√3．如图，过点M作MH⊥BD于H，∵AD // BC，∴∠ADB＝∠DBC＝30∘，∴MH=12MD=√32t，∵∠DBC＝30∘，CN⊥BD，∴BN=√3CN＝9，当0<t<92时，△PMN的面积s=12×(9−2t)×√32t=−√32t2+9√34t；当t=92时，点P与点N重合，s＝0，当92<t≤6时，△PMN的面积s=12×(2t−9)×√32t=√32t2−9√34t；如图，过点P作PE⊥BC于E，当PN＝PM＝9−2t时，∵PM2＝MH2+PH2，∴(9−2t)2＝(√32t)2+(12−2t−32t)2，∴t＝3或t=73，∴BP＝6或143，当BP＝6时，∵∠DBC＝30∘，PE⊥BC，∴PE=12BP＝3，BE=√3PE＝3√3，∴点P(3√3, 3)，当BP=143时，同理可求点P(7√33, 73 )，当PN＝NM＝9−2t时，∵NM2＝MH2+NH2，∴(9−2t)2＝(√32t)2+(32t−3)2，∴t＝3或24（不合题意舍去），∴BP＝6，∴点P(3√3, 3)，综上所述：点P坐标为(3√3, 3)或(7√33, 73 )．。
2020年黑龙江省龙东地区中考数学试卷
2020年黑龙江省龙东地区中考数学试卷一、选择题（每题3分，满分30分）1．（3分）下列各运算中，计算正确的是( ) A ．22422a a a = B ．824x x x ÷= C ．222()x y x xy y -=-+D ．236(3)9x x -=-2．（3分）下列图标中是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（3分）如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是( )A ．6B ．7C ．8D ．94．（3分）一组从小到大排列的数据：x ，3，4，4，5(x 为正整数），唯一的众数是4，则该组数据的平均数是( ) A ．3.6B ．3.8或3.2C ．3.6或3.4D ．3.6或3.25．（3分）已知关于x 的一元二次方程22(21)20x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x ，则实数k 的取值范围是( ) A ．14k <B ．14kC ．4k >D ．14k且0k ≠ 6．（3分）如图，菱形ABCD 的两个顶点A ，C 在反比例函数ky x=的图象上，对角线AC ，BD 的交点恰好是坐标原点O ，已知(1,1)B -，120ABC ∠=︒，则k 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．27．（3分）已知关于x 的分式方程422x kx x-=--的解为正数，则k 的取值范围是( ) A ．80k -<<B ．8k >-且2k ≠-C ．8k >- 且2k ≠D ．4k <且2k ≠-8．（3分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH AB ⊥于点H ，连接OH ，若6OA =，48ABCD S =菱形，则OH 的长为( )A ．4B ．8C 13D ．69．（3分）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A 、B 、C 三种奖品，A 种每个10元，B 种每个20元，C 种每个30元，在C 种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案( ) A ．12种B ．15种C ．16种D ．14种10．（3分）如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在边AB 上运动（不与点A ，B 重合），45DAM ∠=︒，点F 在射线AM 上，且2AF BE ，CF 与AD 相交于点G ，连接EC 、EF 、EG ．则下列结论：①45ECF ∠=︒； ②AEG ∆的周长为2(1a ； ③222BE DG EG +=；④EAF ∆的面积的最大值是218a ；⑤当13BE a =时，G 是线段AD 的中点．其中正确的结论是( )A ．①②③B ．②④⑤C ．①③④D ．①④⑤二、填空题（每题3分，满分30分）11．（3分）5G 信号的传播速度为300000000/m s ，将数据300000000用科学记数法表示为 ．12．（3分）在函数12y x =-中，自变量x 的取值范围是 ．13．（3分）如图，Rt ABC ∆和Rt EDF ∆中，B D ∠=∠，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使Rt ABC ∆和Rt EDF ∆全等．14．（3分）一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为 ．15．（3分）若关于x 的一元一次不等式组1020x x a ->⎧⎨-<⎩有2个整数解，则a 的取值范围是 ．16．（3分）如图，AD 是ABC ∆的外接圆O 的直径，若40BAD ∠=︒，则ACB ∠= ︒．17．（3分）小明在手工制作课上，用面积为2150cm π，半径为15cm 的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为 cm ．18．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，将ABD ∆沿射线BD 平移，得到EGF ∆，连接EC 、GC ．求EC GC +的最小值为 ．19．（3分）在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 在边BC 上，且35BE a =，连接AE ，将ABE ∆沿AE 折叠．若点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上，则折痕的长为 ． 20．（3分）如图，直线AM 的解析式为1y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形ABCO ，点B 坐标为(1,1)．过点B 作1EO MA ⊥交MA 于点E ，交x 轴于点1O ，过点1O 作x 轴的垂线交MA 于点1A ，以11O A 为边作正方形1111O A B C ，点1B 的坐标为(5,3)．过点1B 作12E O MA ⊥交MA 于1E ，交x 轴于点2O ，过点2O 作x 轴的垂线交MA 于点2A ．以22O A 为边作正方形2222O A B C ．⋯．则点2020B 的坐标 ．三、解答题（满分60分）21．（5分）先化简，再求值：22169(2)11x x x x x -++-÷+-，其中3tan303x =︒-． 22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点(5,2)A 、(5,5)B 、(1,1)C 均在格点上． （1）将ABC ∆向左平移5个单位得到△111A B C ，并写出点1A 的坐标；（2）画出△111A B C 绕点1C 顺时针旋转90︒后得到的△221A B C ，并写出点2A 的坐标； （3）在（2）的条件下，求△111A B C 在旋转过程中扫过的面积（结果保留)π．23．（6分）如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图象经过点(1,0)A -，B (3,0)，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ，使PAB ABC ∠=∠，若存在请直接写出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．24．（7分）为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．25．（8分）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y （单位：千米）与快递车所用时间x （单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．（1）求ME 的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间． （3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）26．（8分）如图①，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 分别在AC 、BC 边上，DC EC =，连接DE 、AE 、BD ，点M 、N 、P 分别是AE 、BD 、AB 的中点，连接PM 、PN 、MN ．（1）BE 与MN 的数量关系是 ．（2）将DEC ∆绕点C 逆时针旋转到图②和图③的位置，判断BE 与MN 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．27．（10分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m 元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n 元，售价每千克18元．（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m ，n 的值．（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x 千克(x 为正整数），求有哪几种购买方案．（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a 元，乙种蔬菜每千克捐出a 元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a 的最大值．28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB 长是23180x x --=的根，连接BD ，30DBC ∠=︒，并过点C 作CN BD ⊥，垂足为N ，动点P 从B 点以每秒2个单位长度的速度沿BD 方向匀速运动到D 点为止；点M 沿线段DA 以每秒3个单位长度的速度由点D 向点A 匀速运动，到点A 为止，点P 与点M 同时出发，设运动时间为t 秒(0)t >． （1）线段CN = ；（2）连接PM 和MN ，求PMN ∆的面积s 与运动时间t 的函数关系式；（3）在整个运动过程中，当PMN ∆是以PN 为腰的等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．2020年黑龙江省龙东地区中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，满分30分）1．（3分）下列各运算中，计算正确的是( ) A ．22422a a a = B ．824x x x ÷= C ．222()x y x xy y -=-+D ．236(3)9x x -=-【解答】解：A 、22422a a a =，正确；B 、826x x x ÷=，故此选项错误；C 、222()2x y x xy y -=-+，故此选项错误；D 、236(3)27x x -=-，故此选项错误；故选：A ．2．（3分）下列图标中是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B ．是中心对称图形，故本选项符合题意；C ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B ．3．（3分）如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解答】解：综合主视图与左视图，第一行第1列最多有2个，第一行第2列最多有1个； 第二行第1列最多有3个，第二行第2列最多有1个； 所以最多有：21317+++=（个)．故选：B ．4．（3分）一组从小到大排列的数据：x ，3，4，4，5(x 为正整数），唯一的众数是4，则该组数据的平均数是( ) A ．3.6B ．3.8或3.2C ．3.6或3.4D ．3.6或3.2【解答】解：从小到大排列的数据：x ，3，4，4，5(x 为正整数），唯一的众数是4，2x ∴=或1x =，当2x =时，这组数据的平均数为234453.65++++=；当1x =时，这组数据的平均数为134453.45++++=；即这组数据的平均数为3.4或3.6， 故选：C ．5．（3分）已知关于x 的一元二次方程22(21)20x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x ，则实数k 的取值范围是( ) A ．14k <B ．14kC ．4k >D ．14k且0k ≠ 【解答】解：关于x 的一元二次方程22(21)20x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x ，∴△22[(21)]41(2)0k k k =-+-⨯⨯+，解得：14k． 故选：B ．6．（3分）如图，菱形ABCD 的两个顶点A ，C 在反比例函数ky x=的图象上，对角线AC ，BD 的交点恰好是坐标原点O ，已知(1,1)B -，120ABC ∠=︒，则k 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2【解答】解：四边形ABCD 是菱形，BA AD ∴=，AC BD ⊥，120ABC ∠=︒，60BAD ∴∠=︒， ABD ∴∆是等边三角形，点(1,1)B -，OB ∴=，tan30OBAO ∴==︒直线BD 的解析式为y x =-，∴直线AD 的解析式为y x =，6OA =∴点A 的坐标为，点A 在反比例函数ky x=的图象上，3k ∴==，故选：C ．7．（3分）已知关于x 的分式方程422x kx x-=--的解为正数，则k 的取值范围是( ) A ．80k -<< B ．8k >-且2k ≠-C ．8k >- 且2k ≠D ．4k <且2k ≠-【解答】解：分式方程422x kx x-=--， 去分母得：4(2)x x k --=-， 去括号得：48x x k -+=-， 解得：83k x +=， 由分式方程的解为正数，得到803k +>，且823k +≠， 解得：8k >-且2k ≠-． 故选：B ．8．（3分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH AB ⊥于点H ，连接OH ，若6OA =，48ABCD S =菱形，则OH 的长为( )A ．4B ．8C 13D ．6【解答】解：四边形ABCD 是菱形，6OA OC ∴==，OB OD =，AC BD ⊥， 12AC ∴=， DH AB ⊥，90BHD ∴∠=︒， 12OH BD ∴=，菱形ABCD 的面积11124822AC BD BD =⨯⨯=⨯⨯=，8BD ∴=， 142OH BD ∴==；故选：A ．9．（3分）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A 、B 、C 三种奖品，A 种每个10元，B 种每个20元，C 种每个30元，在C 种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案( ) A ．12种B ．15种C ．16种D ．14种【解答】解：设购买A 种奖品m 个，购买B 种奖品n 个， 当C 种奖品个数为1个时， 根据题意得102030200m n ++=， 整理得217m n +=，m 、n 都是正整数，0217m <<，1m ∴=，2，3，4，5，6，7，8；当C 种奖品个数为2个时， 根据题意得102060200m n ++=， 整理得214m n +=，m 、n 都是正整数，0214m <<，1m ∴=，2，3，4，5，6； ∴有8614+=种购买方案．故选：D ．10．（3分）如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在边AB 上运动（不与点A ，B 重合），45DAM ∠=︒，点F 在射线AM 上，且2AF BE =，CF 与AD 相交于点G ，连接EC 、EF 、EG ．则下列结论：①45ECF ∠=︒； ②AEG ∆的周长为2(1)2a +； ③222BE DG EG +=；④EAF ∆的面积的最大值是218a ；⑤当13BE a =时，G 是线段AD 的中点．其中正确的结论是( )A ．①②③B ．②④⑤C ．①③④D ．①④⑤【解答】解：如图1中，在BC 上截取BH BE =，连接EH ．BE BH =，90EBH ∠=︒，2EH BE ∴，2AF BE =， AF EH ∴=，45DAM EHB ∠=∠=︒，90BAD ∠=︒， 135FAE EHC ∴∠=∠=︒， BA BC =，BE BH =，AE HC ∴=，()FAE EHC SAS ∴∆≅∆，EF EC ∴=，AEF ECH ∠=∠， 90ECH CEB ∠+∠=︒， 90AEF CEB ∴∠+∠=︒， 90FEC ∴∠=︒，45ECF EFC ∴∠=∠=︒，故①正确，如图2中，延长AD 到H ，使得DH BE =，则()CBE CDH SAS ∆≅∆，ECB DCH ∴∠=∠， 90ECH BCD ∴∠=∠=︒， 45ECG GCH ∴∠=∠=︒， CG CG =，CE CH =，()GCE GCH SAS ∴∆≅∆，EG GH ∴=，GH DG DH =+，DH BE =， EG BE DG ∴=+，故③错误， AEG∴∆的周长2AE EG AG AE AH AD DH AE AE EB AD AB AD a =++=+=++=++=+=，故②错误，设BE x =，则AE a x =-，AF =，222222*********()()()222244228AEF S a x x x ax x ax a a x a a ∆∴=-⨯=-+=--+-=--+， 102-<， 12x a ∴=时，AEF ∆的面积的最大值为218a ．故④正确，当13BE a =时，设DG x =，则13EG x a =+，在Rt AEG ∆中，则有22212()()()33x a a x a +=-+，解得2ax =，AG GD ∴=，故⑤正确，故选：D ．二、填空题（每题3分，满分30分）11．（3分）5G 信号的传播速度为300000000/m s ，将数据300000000用科学记数法表示为 8310⨯ ．【解答】解：8300000000310=⨯． 故答案为：8310⨯． 12．（3分）在函数2y x =-中，自变量x 的取值范围是 2x > ．【解答】解：由题意得，20x ->， 解得2x >． 故答案为：2x >．13．（3分）如图，Rt ABC ∆和Rt EDF ∆中，B D ∠=∠，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 (AB ED BC DF ==或AC EF =或AE CF =等） ，使Rt ABC ∆和Rt EDF ∆全等．【解答】解：添加的条件是：AB ED =， 理由是：在ABC ∆和EDF ∆中B DAB EDA DEF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABC EDF ASA∴∆≅∆，故答案为：AB ED=．14．（3分）一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为25．【解答】解：画树状图如图所示：共有20种等可能的结果，摸出的两个小球的标号之和大于6的有8种结果，∴摸出的两个小球的标号之和大于6的概率为82205=，故答案为：25．15．（3分）若关于x的一元一次不等式组1020xx a->⎧⎨-<⎩有2个整数解，则a的取值范围是68a<．【解答】解：解不等式10x->，得：1x>，解不等式20x a-<，得：2ax<，则不等式组的解集为12ax<<，不等式组有2个整数解，∴不等式组的整数解为2、3，则342a<，解得68a<，故答案为：68a<．16．（3分）如图，AD是ABC∆的外接圆O的直径，若40BAD∠=︒，则ACB∠=50︒．【解答】解：连接BD ，如图，AD 为ABC ∆的外接圆O 的直径，90ABD ∴∠=︒，90904050D BAD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， 50ACB D ∴∠=∠=︒．故答案为50．17．（3分）小明在手工制作课上，用面积为2150cm π，半径为15cm 的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为 10 cm ．【解答】解：12S l R =，∴1151502l π=，解得20l π=， 设圆锥的底面半径为r ，220r ππ∴=，10()r cm ∴=．故答案为：10．18．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，将ABD ∆沿射线BD 平移，得到EGF ∆，连接EC 、GC ．求EC GC +的最小值为 45 ．【解答】解：如图，连接DE ，作点D 关于直线AE 的对称点T ，连接AT ，ET ，CT ．四边形ABCD 是正方形，4AB BC AD ∴====，90ABC ∠=︒，45ABD ∠=︒， //AE BD ，45EAD ABD ∴∠=∠=︒， D ，T 关于AE 对称，4AD AT ∴==，45TAE EAD ∠=∠=︒，90TAD ∴∠=︒， 90BAD ∠=︒， B ∴，A ，T 共线，2245CT BT BC ∴+EG CD =，//EG CD ， ∴四边形EGCD 是平行四边形，CG EC ∴=，EC CG EC ED EC TE ∴+=+=+，TE EC TC +，45EC CG ∴+，EC CG ∴+的最小值为4519．（3分）在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 在边BC 上，且35BE a =，连接AE ，将ABE ∆沿AE 折叠．若点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上，则折痕的长为 2或30． 【解答】解：分两种情况：①当点B '落在AD 边上时，如图1所示：四边形ABCD是矩形，90BAD B∴∠=∠=︒，将ABE∆沿AE折叠．点B的对应点B'落在矩形ABCD的AD边上，1452BAE B AE BAD'∴∠=∠=∠=︒，ABE∴∆是等腰直角三角形，1AB BE∴==，22AE AB==；②当点B'落在CD边上时，如图2所示：四边形ABCD是矩形，90BAD B C D∴∠=∠=∠=∠=︒，AD BC a==，将ABE∆沿AE折叠．点B的对应点B'落在矩形ABCD的CD边上，90B AB E'∴∠=∠=︒，1AB AB'==，35BE BE a'==，3255CE BC BE a a a∴=-=-=，2221B D AB AD a''=--在ADB'∆和△B CE'中，90B AD EBC AB D'''∠=∠=︒-∠，90D C∠=∠=︒，ADB'∴∆∽△B CE'，∴B D ABEC B E''='211355aa a-=，解得：5a，或0a=（舍去），355BE a∴==，22225301()5AE AB BE ∴=+=+=； 综上所述，折痕的长为2或30； 故答案为：2或30． 20．（3分）如图，直线AM 的解析式为1y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形ABCO ，点B 坐标为(1,1)．过点B 作1EO MA ⊥交MA 于点E ，交x 轴于点1O ，过点1O 作x 轴的垂线交MA 于点1A ，以11O A 为边作正方形1111O A B C ，点1B 的坐标为(5,3)．过点1B 作12E O MA ⊥交MA 于1E ，交x 轴于点2O ，过点2O 作x 轴的垂线交MA 于点2A ．以22O A 为边作正方形2222O A B C ．⋯．则点2020B 的坐标 2020231⨯-，20203 ．【解答】解：点B 坐标为(1,1)，11OA AB BC CO CO ∴=====， 1(2,3)A ，111111123AO A B B C C O ∴====， 1(5,3)B ∴， 2(8,9)A ∴，222222239A O A B B C C O ∴====， 2(17,9)B ∴，同理可得4(53,27)B ，5(161,81)B ，⋯由上可知，(231,3)Bn n n ⨯-，∴当2020n =时，(2320201,32020)Bn ⨯-．故答案为：2020(231⨯-，20203)． 三、解答题（满分60分）21．（5分）先化简，再求值：22169(2)11x x x x x -++-÷+-，其中3tan303x =︒-． 【解答】解：原式2221(3)()11(1)(1)x x x x x x x +-+=-÷+++- 23(1)(1)1(3)x x x x x ++-=++13x x -=+，当3tan303333x =︒-=-时，原式==1=-． 22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点(5,2)A 、(5,5)B 、(1,1)C 均在格点上． （1）将ABC ∆向左平移5个单位得到△111A B C ，并写出点1A 的坐标；（2）画出△111A B C 绕点1C 顺时针旋转90︒后得到的△221A B C ，并写出点2A 的坐标； （3）在（2）的条件下，求△111A B C 在旋转过程中扫过的面积（结果保留)π．【解答】解：（1）如图所示，△111A B C 即为所求，点1A 的坐标为(0,2)；（2）如图所示，△221A B C 即为所求，点2A 的坐标为(3,3)--；（3）如图，224442BC =+=，∴△111A B C 在旋转过程中扫过的面积为：290(42)134862ππ⨯+⨯⨯=+．23．（6分）如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图象经过点(1,0)A -，B (3,0)，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ，使PAB ABC ∠=∠，若存在请直接写出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）根据题意得10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩．故抛物线的解析式为223y x x =-++；（2）二次函数223y x x =-++的对称轴是(13)21x =-+÷=，当0x =时，3y =， 则(0,3)C ，点C 关于对称轴的对应点1(2,3)P ， 设直线BC 的解析式为3y kx =+， 则330k +=， 解得1k =-．则直线BC 的解析式为3y x =-+，设与BC 平行的直线AP 的解析式为y x m =-+， 则10m +=， 解得1m =-．则与BC 平行的直线AP 的解析式为1y x =--， 联立抛物线解析式得2123y x y x x =--⎧⎨=-++⎩， 解得1145x y =⎧⎨=-⎩，221x y =-⎧⎨=⎩（舍去）．2(4,5)P -．综上所述，1(2,3)P ，2(4,5)P -．24．（7分）为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．【解答】解：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是：604801310019120714051602100.850⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，100.8100>，∴超过全校的平均次数；（2）这个学生的跳绳成绩在该班是中位数，因为4131936++=，所以中位数一定在100~120范围内；（3）该班60秒跳绳成绩大于或等于100次的有：1975233+++=（人)， 故从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是3350．25．（8分）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y （单位：千米）与快递车所用时间x （单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．（1）求ME 的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间． （3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）【解答】解：（1）设ME 的函数解析式为(0)y kx b k =+≠，由ME 经过(0,50)，(3,200)可得：503200b k b =⎧⎨+=⎩，解得5050k b =⎧⎨=⎩， ME ∴的解析式为5050y x =+；（2）设BC 的函数解析式为y mx n =+，由BC 经过(4,0)，(6,200)可得： 406200m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得100400m n =⎧⎨=-⎩， BC ∴的函数解析式为100400y x =-；设FG 的函数解析式为y px q =+，由FG 经过(5,200)，(9,0)可得： 520090p q p q +=⎧⎨+=⎩，解得50450p q =-⎧⎨=⎩， FG ∴的函数解析式为50450y x =-+，解方程组10040050450y xy x=-⎧⎨=-+⎩得1735003xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，同理可得7x h=，答：货车返回时与快递车图中相遇的时间173h，7h；（3）(97)50100()km-⨯=，答：两车最后一次相遇时离武汉的距离为100km．26．（8分）如图①，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，AC BC=，点D、E分别在AC、BC 边上，DC EC=，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．（1）BE与MN的数量关系是2BE NM=．（2）将DEC∆绕点C逆时针旋转到图②和图③的位置，判断BE与MN有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．【解答】解：（1）如图①中，AM ME=，AP PB=，//PM BE∴，12PM BE=，BN DN =，AP PB =， //PN AD ∴，12PN AD =， AC BC =，CD CE =， AD BE ∴=，PM PN ∴=， 90ACB ∠=︒， AC BC ∴⊥，//PM BC ∴，//PN AC ， PM PN ∴⊥，PMN ∴∆的等腰直角三角形， 2MN PM ∴=， 122MN BE ∴=， 2BE MN ∴=，故答案为2BE MN =．（2）如图②中，结论仍然成立．理由：连接AD ，延长BE 交AD 于点H ．ABC ∆和CDE ∆是等腰直角三角形，CD CE ∴=，CA CB =，90ACB DCE ∠=∠=︒， ACB ACE DCE ACE ∠-∠=∠-∠， ACD ECB ∴∠=∠，()ECB DCA AAS ∴∆≅∆，BE AD ∴=，DAC EBC ∠=∠，180()AHB HAB ABH ∠=︒-∠+∠ 180(45)HAC ABH =︒-︒+∠+∠ 180(45)HBC ABH =∠︒-︒+∠+∠18090=︒-︒ 90=︒， BH AD ∴⊥，M 、N 、P 分别为AE 、BD 、AB 的中点， //PM BE ∴，12PM BE =，//PN AD ，12PN AD =，PM PN ∴=，90MPN ∠=︒，22BE PM ∴===． 27．（10分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m 元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n 元，售价每千克18元．（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m ，n 的值．（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x 千克(x 为正整数），求有哪几种购买方案．（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a 元，乙种蔬菜每千克捐出a 元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a 的最大值．【解答】解：（1）依题意，得：1520430108212m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：1014m n =⎧⎨=⎩．答：m 的值为10，n 的值为14．（2）依题意，得：1014(100)11601014(100)1168x x x x +-⎧⎨+-⎩，解得：5860x ． 又x 为正整数，x ∴可以为58，59，60，∴共有3种购买方案，方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜． （3）购买方案1的总利润为(1610)58(1814)42516-⨯+-⨯=（元)； 购买方案2的总利润为(1610)59(1814)41518-⨯+-⨯=（元)； 购买方案3的总利润为(1610)60(1814)40520-⨯+-⨯=（元)．516518520<<，∴利润最大值为520元，即售出甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．依题意，得：(16102)60(1814)40(10601440)20%a a --⨯+--⨯⨯+⨯⨯， 解得：95a． 答：a 的最大值为95．28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB 长是23180x x --=的根，连接BD ，30DBC ∠=︒，并过点C 作CN BD ⊥，垂足为N ，动点P 从B 点以每秒2个单位长度的速度沿BD 方向匀速运动到D 点为止；点M 沿线段DA 以每秒3个单位长度的速度由点D 向点A 匀速运动，到点A 为止，点P 与点M 同时出发，设运动时间为t 秒(0)t >． （1）线段CN = 33 ；（2）连接PM 和MN ，求PMN ∆的面积s 与运动时间t 的函数关系式；（3）在整个运动过程中，当PMN ∆是以PN 为腰的等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．【解答】解：（1）AB 长是23180x x --=的根，6AB ∴=，四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴=，6AB CD ==，90BCD ∠=︒，30DBC ∠=︒，212BD CD ∴==，363BC CD ==， 30DBC ∠=︒，CN BD ⊥， 1332CN BC ∴==，故答案为：33．（2）如图，过点M 作MH BD ⊥于H ，//AD BC ，30ADB DBC ∴∠=∠=︒，132MH MD t ∴==， 30DBC ∠=︒，CN BD ⊥， 39BN CN ∴==，当902t <<时，PMN ∆的面积213393(92)2s t t t t =⨯-⨯=-+；当92t =时，点P 与点N 重合，0s =， 当962t <时，PMN ∆的面积213393(29)2s t t t t =⨯-⨯=-；（3）如图，过点P 作PE BC ⊥于E ，第 31 页 共 31 页 当92PN PM t ==-时， 222PM MH PH =+，2223(92))(122)2t t t ∴-=+--， 3t ∴=或73t =， 6BP ∴=或143， 当6BP =时，30DBC ∠=︒，PE BC ⊥，132PE BP ∴==，BE ==， ∴点P ，3)， 当143BP =时，同理可求点P ，7)3， 当92PN NM t ==-时， 222NM MH NH =+，2223(92))(3)2t t ∴-=+-， 3t ∴=或24（不合题意舍去）， 6BP ∴=，∴点P ，3)，综上所述：点P坐标为，3)或，7)3．。
2020年黑龙江省龙东地区中考数学试卷(解析版)
黑龙江省龙东地区2020年初中毕业学业统一考试数学试题考生注意：1．考试时间120分钟2．全卷共三道大题，总分120分一、选择题（每题3分，满分30分）1．下列各运算中，计算正确的是（）A．B．C．D．2．下列图标中是中心对称图形的是（）A． B．C． D．3．如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是（）主视图左视图A．B．C．D．4．一组从小到大排列的数据：，，，，（为正整数），唯一的众数是，则该组数据的平均数是（）A．B．或C．或D．或5．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则实数的取值范围是黑龙江省龙东地区2020年初中毕业学业统一考试数学试题考生注意：1．考试时间120分钟2．全卷共三道大题，总分120分一、选择题（每题3分，满分30分）1.下列各运算中，计算正确的是（ ）A. 22422a a a ⋅=B. 824x x x ÷=C. 222()x y x xy y -=-+D. ()32639x x -=- 【答案】A【解析】【分析】根据单项式乘法法则、同底数除法法则、完全平方公式、积的乘方运算法则逐项进行分析判断即可．【详解】A ．22422a a a ⋅=，正确；B ．88262x x x x -==÷，故B 选项错误；C ．222()2x y x xy y -=-+，故C 选项错误；D ．()326327x x -=-，故D 选项错误，故选A ．【点睛】本题考查了单项式的乘法、同底数幂的除法、完全平方公式等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．2.下列图标中是中心对称图形的是（ ）A.B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念 对各选项分析判断即可得解．黑龙江省龙东地区2020年初中毕业学业统一考试数学试题考生注意：1．考试时间120分钟2．全卷共三道大题，总分120分一、选择题（每题3分，满分30分）1.下列各运算中，计算正确的是（ ）A. 22422a a a ⋅=B. 824x x x ÷=C. 222()x y x xy y -=-+D. ()32639x x -=- 【答案】A【解析】【分析】根据单项式乘法法则、同底数除法法则、完全平方公式、积的乘方运算法则逐项进行分析判断即可．【详解】A ．22422a a a ⋅=，正确；B ．88262x x x x -==÷，故B 选项错误；C ．222()2x y x xy y -=-+，故C 选项错误；D ．()326327x x -=-，故D 选项错误，故选A ．【点睛】本题考查了单项式的乘法、同底数幂的除法、完全平方公式等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．2.下列图标中是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．3.如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【解析】【分析】这个几何体共有3层，由左视图可得第一层小正方体的最多个数，由主视图可得第二层小正方体的最多个数，以及第三层的最多个数，再相加即可．【详解】解：由题意，由主视图有3层，2列，由左视图可知，第一层最多有4个，第二层最多2个，第三层最多1个，∴所需的小正方体的个数最多是：4+2+1=7（个）；故选：B ．【点睛】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． 4.一组从小到大排列的数据:a ,3,4,4,6(a 为正整数),唯一的众数是4,则该组数据的平均数是( )A. 3.6或4.2B. 3.6或3.8C. 3.8或4.2D. 3.8或4.2【答案】B【解析】【分析】根据众数的定义得出正整数a 的值，再根据平均数的定义求解可得.【详解】∵数据：a ，3，4，4，6（a 为正整数），唯一的众数是4，∴a=1或2， 当a=1时，平均数为134465++++=3.6； 当a=2时，平均数为234465++++=3.8； 故选C ．【点睛】本题主要考查了众数与平均数的定义，根据众数是一组数据中出现次数最多的数得出a 的值是解题的关键.5.已知关于x 的一元二次方程22(21)20x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x ，则实数k 的取值范围是（ ） A. 14k < B. 14k ≤ C. 4k > D. 14k ≤且0k ≠ 【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式列不等式，再解不等式即可． 【详解】解： 关于x 的一元二次方程22(21)20x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x ，∴ 240,b ac =-≥()21,21,2,a b k c k k ==-+=+()()22214120,k k k ∴-+-⨯⨯+≥⎡⎤⎣⎦ 41,k ∴-≥-1.4k ∴≤ 故选B ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键． 6.如图，菱形ABCD 的两个顶点A ，C 在反比例函数k y x=的图象上，对角线AC ，BD 的交点恰好是坐标原点O ，已知()1,1B -，120ABC ∠=︒，则k 的值是（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】【分析】 根据菱形的性质得到AC ⊥BD ，根据勾股定理得到OB 的长，利用三角函数得到OA 的长，求得∠AOE=∠BOF=45︒，继而求得点A 的坐标，即可求解．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴BA=AD ，AC ⊥BD ，∵∠ABC=120︒，∴∠ABO=60︒，∵点B （-1，1），∴=∵tan 60AO OB︒=，∴60︒=，作BF ⊥y 轴于F ，AE ⊥x 轴于E ，∵点B （-1，1），∴OF=BF=1，∴∠FOB=∠BOF=45︒，∵∠BOF+∠AOF=∠AOE+∠AOF=90︒，∴∠AOE=∠BOF=45︒，∴△AOE 为等腰直角三角形，∵AO =∴AE=OE=AO cos 45⋅︒==∴点A ，∵点A 在反比例函数k y x =的图象上， ∴3k xy ==，故选：C ． 【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、解直角三角形、等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 7.已知关于x 的分式方程422x k x x -=--的解为正数，则x 的取值范围是（ ） A. 80k -<<B. 8k >-且2k ≠-C. 8k >-D. 4k <且2k ≠- 【答案】B【解析】【分析】先解分式方程利用k 表示出x 的值，再由x 为正数求出k 的取值范围即可．【详解】方程两边同时乘以2x -得，()420x x k --+=， 解得：83k x +=． ∵x 为正数， ∴803k +>，解得8k >-， ∵2x ≠， ∴823k +≠，即2k ≠-， ∴k 的取值范围是8k >-且2k ≠-．故选：B ．【点睛】本题考查了解分式方程及不等式的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，8.如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH AB ⊥于点H ，连接OH ，若6OA =，48ABCD S =菱形，则OH 的长为（ ）A.4B. 8C.D. 6【答案】A【解析】【分析】根据菱形面积=对角线积的一半可求BD ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AO=CO=6，BO=DO ，S 菱形ABCD =2AC BD ⨯=48， ∴BD=8，∵DH ⊥AB ，BO=DO=4，∴OH=12BD=4． 故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解决问题．9.在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A 、B 、C 三种奖品，A 种每个10元，B 种每个20元，C 种每个30元，在C 种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ）A. 12种B. 15种C. 16种D. 14种【答案】D【解析】【分析】设购买A 、B 、C 三种奖品分别为,,x y z 个，根据题意列方程得102030200x y z ++=，化简后根据,,x y z 均为正整数，结合C 种奖品不超过两个分类讨论，确定解的个数即可．【详解】解：设购买A 、B 、C 三种奖品分别为,,x y z 个，根据题意列方程得102030200x y z ++=，即2320x y z ++=，由题意得,,x y z 均为正整数．①当z =1时，217x y +=∴172y x -=， ∴y 分别取1，3，5，7，9，11，13，15共8种情况时，x 为正整数；②当z =2时，214x y += ∴142y x -=， ∴y 可以分别取2，4，6，8，10，12共6种情况，x 为正整数；综上所述：共有8+6=14种购买方案．故选：D【点睛】本题考查了求方程组的正整数解，根据题意列出方程，并确定方程组的解为正整数是解题关键． 10.如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在边AB 上运动（不与点A ，B 重合），45DAM ∠=︒，点F 在射线AM 上，且AF =，CF 与AD 相交于点G ，连接EC 、EF 、EG ．则下列结论：①45ECF ∠=︒；②AEG ∆的周长为12a ⎛+ ⎝⎭；③222BE DG EG +=；④EAF ∆的面积的最大值是218a ；⑤当13BE a =时，G 是线段AD 的中点．其中正确的结论是（ ）A. ①②③B. ②④⑤C. ①③④D. ①④⑤【答案】D【解析】【分析】 如图1中，在BC 上截取BH=BE ，连接EH ．证明△FAE ≌△EHC （SAS ），即可判断①正确；如图2中，延长AD 到H ，使得DH=BE ，则△CBE ≌△CDH （SAS ），再证明△GCE ≌△GCH （SAS ），即可判断②③错误；设BE=x ，则AE=a-x ，，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题即可判断④正确；设AG=y ，利用前面所证EG=GH ，在Rt △AEG 中，利用勾股定理求得12y a，即可判断⑤正确． 【详解】如图1中，在BC 上截取BH=BE ，连接EH ．∵BE=BH ，∠EBH=90°，∴EH=2BE ，∵BE ，∴AF=EH ，∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°，∴∠FAE=∠EHC=135°，∵BA=BC ，BE=BH ，∴AE=HC ，∴△FAE ≌△EHC （SAS ），∴EF=EC ，∠AEF=∠ECH ，∵∠ECH+∠CEB=90°，∴∠AEF+∠CEB=90°，∴∠FEC=90°，∴∠ECF=∠EFC=45°，故①正确，如图2中，延长AD 到H ，使得DH=BE ，则△CBE ≌△CDH （SAS ），∴∠ECB=∠DCH ，∴∠ECH=∠BCD=90°，∴∠ECG=∠GCH=45°，∵CG=CG ，CE=CH ，∴△GCE ≌△GCH （SAS ），∴EG=GH ，∵GH=DG+DH ，DH=BE ，∴EG=BE+DG ，故③错误，∴△AEG 的周长=AE+EG+AG=AE+AH= AE +AD+DH =AE +AD+EB =AB+AD=2a ，故②错误，设BE=x ，则AE=a x -，，∴S △AEF =()222111111222228a x x x ax x a a ⎛⎫-=-+=--+ ⎪⎝⎭， ∵102-<， ∴当12x a =时，，△AEF 的面积的最大值为218a ，故④正确； 如图3，延长AD 到H ，使得DH=BE ，同理：EG=GH ， ∵13BE a =，则23AE a =， 设AG=y ，则DG=a y -，∴EG=GH =1433a y a a y -+=-， 在Rt △AEG 中，222AE AG EG +=， 即2222433a y a y ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：12y a =， ∴当13BE a =时，G 是线段AD 的中点，故⑤正确； 综上，①④⑤正确，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数最值的应用，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．二、填空题（每题3分，满分30分）11.5G 信号的传播速度为300000000m/s ，将300000000用科学记数法表示为__________．【答案】8310⨯【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】300000000的小数点向左移动8位得到3，所以300000000用科学记数法表示为3×108，故答案为3×108．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．y=x的取值范围是．12.函数【答案】x＞2【解析】【分析】根据分式有意义和二次根式有意义的条件求解.【详解】解：根据题意得，x﹣2＞0，解得x＞2．故答案为x＞2．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．13.如图，Rt ABC∆中，B D∆和Rt EDF∠=∠，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件___________，使Rt ABC∆全等．∆和Rt EDF【答案】AB ED =（BC DF =或AC EF =或AE CF =等）【解析】【分析】由题意得Rt ABC 和Rt EDF 中，B D ∠=∠，故要添加条件需得到一组边相等即可．【详解】解：∵ABC 和EDF 均为直角三角形，∴=90A DEF ∠∠=︒,又∵B D ∠=∠，故要使得Rt ABC 和Rt EDF 全等，只需添加条件AB ED =（BC DF =或AC EF =或AE CF =等）即可．故答案：AB ED =（BC DF =或AC EF =或AE CF =等）【点睛】本题考查了全等的判定，根据题意得到两个三角形有两组角分别相等，故只要添加一组对应边相等即可．14.一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为______． 【答案】25【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于6的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：画树状图如图所示：∵共有20种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于6的有8种结果，∴两次摸出的小球的标号之和大于6的概率为：82205=； 故答案为：25． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15.若关于x 的一元一次不等式组1020x x a ->⎧⎨-<⎩有2个整数解，则a 的取值范围是______． 【答案】68a <≤【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可．【详解】解：1020x x a ->⎧⎨-<⎩①②解不等式①得：x>1，解不等式②得：x<2a ， ∴不等式组的解集是1＜x ＜2a ， ∵x 的一元一次不等式组有2个整数解，∴x 只能取2和3， ∴342a <≤， 解得：68a <≤故答案为：68a <≤．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于a 的取值范围．16.如图，AD 是ABC ∆的外接圆O 的直径，若40BAD ∠=︒，则ACB =∠______︒．【答案】50【解析】【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，则利用互余计算出∠D=50°，然后再利用圆周角定理得到∠ACB的度数．【详解】连接BD，如图，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴∠D=90°-∠BAD=90°-40°=50°，∴∠ACB=∠D=50°．故答案为：50．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．17.小明在手工制作课上，用面积为2，半径为15cm的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥150cm的底面半径为______cm．【答案】10【解析】【分析】根据扇形的面积公式与圆的周长公式，即可求解． 【详解】由1=2S lR 扇形得：扇形的弧长=21501520ππ⨯÷=（厘米）， 圆锥的底面半径=20210ππ÷÷=（厘米）．故答案是：10．【点睛】本题主要考查圆锥的底面半径，掌握圆锥的侧面扇形弧长等于底面周长，是解题的关键． 18.如图，在边长为4的正方形ABCD 中将ABD ∆沿射线BD 平移，得到EGF ∆，连接EC 、GC ．求EC GC +的最小值为______．【答案】【解析】【分析】将△ABC 沿射线CA 平移到△AB ′C ′的位置，连接C ′E 、AE 、DE ，证出四边形ABGE 和四边形EGCD 均为平行四边形，根据平行四边形的性质和平移图形的性质，可得C ′E=CE ，CG=DE ，可得EC+GC=C ′E+ED ，当点C ′、E 、D 在同一直线时，C ′E+ED 最小，由勾股定理求出C ′D 的值即为EC+GC 的最小值．【详解】如图，将△ABC 沿射线CA 平移到△AB ′C ′的位置，连接C ′E 、AE 、DE ，∵AB ∥GE ∥DC 且AB=GE=DC ，∴四边形ABGE 和四边形EGCD 均为平行四边形，∴AE ∥BG ，CG=DE ，∴AE ⊥CC ′，由作图易得，点C 与点C ′关于AE 对称，C ′E=CE ，又∵CG=DE ，∴EC+GC=C ′E+ED ，当点C ′、E 、D 在同一直线时，C ′E+ED 最小，此时，在Rt △C ′D ′E 中，C ′B ′=4，B ′D=4+4=8， C ′=，即EC+GC的最小值为故答案为：【点睛】本题考查正方形的性质、图形的对称性、线段最短和平行四边形的性质与判定，解题的关键是将两条线段的和转化为同一条线段求解．19.在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 在边BC 上，且35BE a =，连接AE ，将ABE ∆沿AE 折叠．若点B 对应点B '落在矩形ABCD 的边上，则折痕的长为______．或5【解析】【分析】分两种情况：点B '落在AD 上和CD 上，首先求出a 的值，再根据勾股定理求出抓痕的长即可．【详解】分两种情况：（1）当点B '落在AD 上时，如图1，的∵四边形ABCD 是矩形，90BAD B ∴∠=∠=︒，∵将ABE △沿AE 折叠，点B 的对应点B '落在AD 边上，1452BAE B AE BAD '∴∠=∠=∠=︒， AB BE ∴=，315a ∴=， ∴3=15BE a = 在Rt △ABE 中，AB=1，BE=1，∴=（2）当点B '落在CD 上，如图2，∵四边形ABCD 是矩形，90BAD B C D ∴∠=∠=∠=∠=︒，AD BC a ==， ∵将ABE △沿AE 折叠，点B 的对应点B '落在CD 边上，90B AB E '∴∠=∠=︒，1AB AB '==，35EB EB a '==，DB '∴==，3255EC BC BE a a a =-=-=， 在ADB '和B CE '中，9090B AD EB C AB D D C ∠=∠=︒-∠''⎧⎨∠=∠=︒'⎩ ~ADB B CE ''∴，DB AB CE B E '''∴=，即12355a a =，解得，a =（负值舍去）∴3=55BE a = 在Rt △ABE 中，AB=1，， ∴5=或5. 【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．20.如图，直线AM 的解析式为1y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形ABCO ，点B 坐标为()1,1．过点B 作1EO MA ⊥交MA 于点E ，交x 轴于点1O ，过点1O 作x 轴的垂线交MA 于点1A 以11O A 为边作正方形1111O A B C ，点1B 的坐标为()5,3．过点1B 作12E O MA ⊥交MA 于1E ，交x 轴于点2O ，过点2O 作x 轴的垂线交MA 于点2A ，以22O A 为边作正方形2222O A B C ，，则点2020B 的坐标______．【答案】()20202020231,3⨯-【解析】【分析】 根据题意得出三角形AMO 为等腰直角三角形，∠AMO=45°，分别求出个线段长度，表示出B 1和B 2的坐标，发现一般规律，代入2020即可求解【详解】解：∵AM 的解析式为1y x =+，∴M （-1，0），A （0，1），即AO=MO=1，∠AMO=45°，由题意得：MO=OC=CO 1=1，O 1A 1=MO 1=3，∵四边形1111O A B C 是正方形，∴O 1C 1=C 1O 2=MO 1=3，∴OC 1=2×3-1=5，B 1C 1=O 1C 1=3，B 1（5，3），∴A 2O 2=3C 1O 2=9，B 2C 2=9，OO 2=OC 2-MO=9-1=8，综上，MC n =2×3n ，OC n =2×3n -1，B n C n =A n O n =3n ，当n=2020时，OC 2020=2×32020-1，B 2020C 2020 =32020，点B ()20202020231,3⨯-， 故答案为：()20202020231,3⨯-． 【点睛】本题考查规律型问题、等腰直角三角形的性质以及点的坐标，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 三、解答题（满分60分） 21.先化简，再求值：22169211x x x x x ⎛⎫-++-÷ ⎪+-⎝⎭，其中3tan303x =︒-． 【答案】13x x -+,33- 的【解析】【分析】括号内先通分进行分式的减法运算，然后进行分式的除法运算，将特殊角的三角函数值代入3tan303x =︒-求出x 的值，然后代入化简后的结果进行计算即可．【详解】原式=()()()()221311111x x x x x x x ⎡⎤++--÷⎢⎥+++-⎢⎥⎣⎦ =()()()21122113x x x x x x +-+-+++ =()()()211313xx x x x +-+++ =13x x -+， 当3tan 303333x =︒-=-=时，原式===． 【点睛】本题考查了分式的混合运算——化简求值，涉及了分式的减法、乘除法运算，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．22.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点()5,2A 、()5,5B 、()1,1C 均在格点上（1）将ABC ∆向左平移5个单位得到111A B C ∆，并写出点1A 的坐标；（2）画出111A B C ∆绕点1C 顺时针旋转90︒后得到的221A B C ∆，并写出点2A 的坐标；（3）在（2）的条件下，求111A B C ∆在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．【答案】（1）见解析, ()10,2A ；（2）图形见解析，()23,3A --；（3）86π+ 【解析】分析】（1）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点1A 的坐标；（2）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点2A 的坐标；（3）根据题意可以求得BC 的长，从而可以求得111A B C ∆在旋转过程中扫过的面积．【详解】（1）111A B C ∆如图所示，()10,2A ；（2）221A B C ∆如图所示，()23,3A --（3）4BC ==211s 348642ππ∴=+⨯⨯=+【点睛】此题考查作图-平移变换，作图-旋转变换，扇形面积的计算，解题关键在于掌握作图法则． 23.如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图象经过点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ． 【（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ，使PAB ABC ∠=∠，若存在请直接写出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）存在，1(2,3)P ，2(4,5)P- 【解析】【分析】（1）把点AB 坐标代入2y x bx c =-++即可求解； （2）分点P 在x 轴下方和下方两种情况讨论，求解即可．【详解】（1）∵二次函数2y x bx c =-++的图象经过点A(-1，0)，B(3，0)，∴10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩， 解得：23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为：2y x 2x 3=-++；（2）存在，理由如下：当点P 在x 轴下方时，如图，设AP 与y 轴相交于E ，的令0x =，则3y =，∴点C 的坐标为(0，3)，∵A(-1，0)，B(3，0)，∴OB=OC=3，OA=1，∴∠ABC=45︒，∵∠PAB=∠ABC=45︒，∴△OAE 是等腰直角三角形，∴OA=OE=1，∴点E 的坐标为(0，-1)，设直线AE 的解析式为1y kx =-，把A(-1，0)代入得：1k =-，∴直线AE 的解析式为1y x =--，解方程组2123y x y x x =--⎧⎨=-++⎩，得：1110x y =-⎧⎨=⎩(舍去)或2245x y =⎧⎨=-⎩，∴点P 的坐标为(4，5-)；当点P 在x 轴上方时，如图，设AP 与y 轴相交于D ，同理，求得点D 的坐标为(0，1)，同理，求得直线AD 的解析式为1y x =+，解方程组2123y x y x x =+⎧⎨=-++⎩， 得：1110x y =-⎧⎨=⎩(舍去)或2223x y =⎧⎨=⎩， ∴点P 的坐标为(2，3)；综上，点P 的坐标为(2，3)或(4，5-)【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质，解方程组，分类讨论是解本题的关键．24.为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．【答案】（1）平均次数至少是100.8次，超过全校的平均次数；（2）跳绳成绩所在范围为100~120；（3）3350． 【解析】【分析】（1）观察直方图，用每组的最低成绩，根据加权平均数公式计算可得该班一分钟跳绳的最少平均次数，再与校平均成绩比较即可得答案；（2）根据中位数意义，确定中位数的范围即可；（3）先确定出该班一分钟跳绳成绩大于或等于100次的人数，然后利用概率公式进行求解即可．【详解】（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少为604801310019120714051602100.89950⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=>， 即该班一分钟跳绳的平均次数至少是100.8次，超过了全校的平均次数；（2）这个学生的跳绳成绩在该班是中位数，共有50名学生，可知中位数是将跳绳次数从小到大排列后位于第25、26这两个次数的平均数， 因为4+13=17<25，4+13+19=36>26，所以中位数一定在100～120范围内，即该生跳绳成绩的所在范围为100～120；（3）该班一分钟跳绳成绩大于或等于100次的有：l9+7+5+2=33(人)，所以P （其跳绳次数超过全校平均数）=3350， 答：从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率为3350． 【点睛】本题考查了频数分布直方图，简单的概率计算，中位数等知识，读懂统计图，弄清题意，找准相关数据，灵活运用相关知识是解题的关键．25.为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y （单位：千米）与快递车所用时间x （单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．（1）求ME 的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）【答案】（1）5050y x =+；（2）货车返回时与快递车途中相遇的时间173h ，7h ；（3）100km 【解析】【分析】（1）由图象可知点M 和点E 的坐标，运用待定系数法求ME 的解析式即可；（2）运用待定系数法求出BC ，CD ，FG 的解析式，分别联立方程组，求出交点坐标即可得到结果； （3）由（2）知两车最后一次相遇时快递车行驶1小时，根据路程=速度×时间可得结论.【详解】解：（1）由图象可知：M ()0,50，E ()3,200设ME 的解析式y kx b =+()0k ≠把M ()0,50，E ()3,200代入得： 503200b k b =⎧⎨+=⎩，解得5050b k =⎧⎨=⎩， ME ∴的解析式为5050y x =+()03x ≤≤；（2）由图象知B （4，0），C(6,200)设BC 的解析式y mx n =+,把B （4，0），C(6,200)代入得，406200m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得，100400m n =⎧⎨=-⎩， ∴BC 的解析式为：100400y x =-由图象知F （5，200），G （9，0）设FG 的解析式y px q =+，把F （5，200），G （9，0）代入上式得，520090p q p q +=⎧⎨+=⎩， 解得，50450p q =-⎧⎨=⎩， 故FG 的解析式为：50450y x =-+联立方程组得，10040050450y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得173x h =； 由图象得，C （6，200），D （8，0）设CD 的解析式为y=rx+s ，把C （6，200），D （8，0）代入上式得，620080r s r s +=⎧⎨+=⎩， 解得，100800r s =-⎧⎨=⎩ 故CD 的解析式为y=-100x+800,联立方程组得10080050450y x y x =-+⎧⎨=-+⎩，解得7x h = 答：货车返回时与快递车途中相遇的时间173h ，7h （3）由（2）知，最后一次相遇时快递车行驶1小时，其速度为：200÷2=100(km/h)所以，两车最后一次相遇时离武汉的距离为：100×1=100（km ）【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，相遇问题，读懂题目信息，理解两车的运动过程是解题的关键26.如图①，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 分别在AC 、BC 边上，DC EC =，连接DE 、AE 、BD ，点M 、N 、P 分别是AE 、BD 、AB 的中点，连接PM 、PN 、MN ．（1）BE 与MN 的数量关系是______．（2）将DEC ∆绕点C 逆时针旋转到图②和图③的位置，判断BE 与MN 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．【答案】（1）BE =；（2）图（2）：BE =，图（3）：BE =，理由见解析． 【解析】【分析】（1）先证明AD=BE ，根据中位线定理证明△PMN 为等腰直角三角形，得到2PM MN =，再进行代换即可；（2）：如图（2）连接AD ，延长BE 交AD 于H ，交AC 于G ，先证明ACD BCE ≅△△，得到，AD=BE ，90AHB ∠=︒，根据中位线定理证明△PMN 为等腰直角三角形，得到2PM MN =，再进行代换即可． 【详解】解：（1）∵Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，∴∠BAC=∠ABC=45°∵AC BC =，DC EC =，∴AD=BE ，∵点M 、N 、P 分别是AE 、BD 、AB 的中点，∴PM ，PN 分别为△ABE ，△BAD 中位线，∴PM∥BE,PM= 12BE,PN∥AC,PN= 12AD,∴PM=PN, ∠APM=∠BPN=45°，∴∠PMN=90°，∴△PMN为等腰直角三角形，∴22sin22PM MN PNM MN MN =∠==，∴2BE PM==，即BE=；（2）图（2）：BE=图（3）：BE=证明：如图（2）连接AD，延长BE交AD于H，交AC于G，90ACB DCE∠=∠=︒，DCA ECB∴∠=∠，DC EC=，AC BC=，ACD BCE∴≅△△，CAD CBE∴∠=∠，BE AD=，AGH CGE∠=∠，90 CAD AGH CBE CGE∴∠+∠=∠+∠=︒，90AHB∴∠=︒，P、M、N分别是AB、AE、BD的中点，//PN AD ∴，12PN AD=，//PM BE，12PM BE=，PM PN∴=，190 MPN AHB∠=∠=∠=︒，PMN∴△是等腰直角三角形，MN∴=，2BE PM∴==．图②【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形判定与性质，中位线定理等知识，综合性较强，解题关键理解运用好中位线性质．27.某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m 元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n 元，售价每千克18元．（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元．求m ，n 的值．（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x 千克，求有哪几种购买方案（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a 元，乙种蔬菜每千克捐出a 元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a 的最大值．【答案】（1）m 、n 的值分别为10和14；（2）共3种方案分别为：方案一购甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案二购甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案三购甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克；（3）a 的最大值为1.8【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得m 、n 的值；（2）根据题意，列出一元一次不等式组，解方程组即可得到购买方案；（3）分别求出三种方案的利润，然后列出不等式，即可求出答案．【详解】解：（1）由题意得1520430108212m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：1014m n =⎧⎨=⎩； 答：m 、n 的值分别为10和14；（2）根据题意1014(100)11601014(100)1168x x x x +-≥⎧⎨+-≤⎩， 解得：5860x ≤≤，因为x 是整数所以x 为58、59、60；∴共3种方案，分别为：方案一购甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案二购甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案三购甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克；（3）方案一的利润为：(1610)58(1814)42516-⨯+-⨯=元，方案二的利润为：(1610)59(1814)41518-⨯+-⨯=元，方案三的利润为：(1610)60(1814)40520-⨯+-⨯=元，∴利润最大值为520元，甲售出60kg ，乙售出40kg ， ∴(16102)60(1814)4020%1160a a --⨯+--⨯≥ 解得： 1.8a ≤答：a 的最大值为1.8；【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用二元一次方程组，以及不等式组的知识解答．28.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB 长是方程23180x x --=的根，连接BD ，30DBC ∠=︒，并过点C 作CN BD ⊥，垂足为N ，动点P 从点B 以每秒2个单位长度的速度沿BD 方向匀速运动到点D 为止；点M 沿线段DA 个单位长度的速度由点D 向点A 匀速运动，到点A 为止，点P 与点M 同时出发，设运动时间为t 秒()0t >。
黑龙江省龙东地区2020年中考数学试题
黑龙江省龙东地区2020年初中毕业学业统一考试数学试题考生注意：1．考试时间120分钟2．全卷共三道大题，总分120分一、选择题（每题3分，满分30分）1.下列各运算中，计算正确的是（ ）A. 22422a a a ⋅=B. 824x x x ÷=C. 222()x y x xy y -=-+D. ()32639x x -=-A根据单项式乘法法则、同底数除法法则、完全平方公式、积的乘方运算法则逐项进行分析判断即可．A ．22422a a a ⋅=，正确；B ．88262x x x x -==÷，故B 选项错误；C ．222()2x y x xy y -=-+，故C 选项错误；D ．()326327x x -=-，故D 选项错误，故选A ．2.下列图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D.B根据中心对称图形的概念 对各选项分析判断即可得解．A 、不是中心对称图形，故本选项错误；B 、是中心对称图形，故本选项正确；C 、不是中心对称图形，故本选项错误；D 、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B ．3.如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A. 6B. 7C. 8D. 9B 这个几何体共有3层，由左视图可得第一层小正方体的最多个数，由主视图可得第二层小正方体的最多个数，以及第三层的最多个数，再相加即可．解：由题意，由主视图有3层，2列，由左视图可知，第一层最多有4个，第二层最多2个，第三层最多1个， ∴所需的小正方体的个数最多是：4+2+1=7（个）；故选：B ．4.一组从小到大排列的数据:a ,3,4,4,6(a 为正整数),唯一的众数是4,则该组数据的平均数是( )A. 3.6或4.2B. 3.6或3.8C. 3.8或4.2D. 3.8或4.2B根据众数的定义得出正整数a 的值，再根据平均数的定义求解可得.∵数据：a ，3，4，4，6（a 为正整数），唯一的众数是4，∴a=1或2， 当a=1时，平均数为134465++++=3.6； 当a=2时，平均数为234465++++=3.8；故选C ． 解： 关于x 的一元二次方程22(21)20x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x ，∴ 240,b ac =-≥()21,21,2,a b k c k k ==-+=+()()22214120,k k k ∴-+-⨯⨯+≥⎡⎤⎣⎦ 41,k ∴-≥-1.4k ∴≤ 故选B ． 6.如图，菱形ABCD 的两个顶点A ，C 在反比例函数k y x=的图象上，对角线AC ，BD 的交点恰好是坐标原点O ，已知()1,1B -，120ABC ∠=︒，则k 的值是（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2C根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据勾股定理得到OB的长，利用三角函数得到OA的长，求得∠AOE=∠BOF=45︒，继而求得点A的坐标，即可求解．∵四边形ABCD是菱形，∴BA=AD，AC⊥BD，∵∠ABC=120︒，∴∠ABO=60︒，∵点B（-1，1），∴OB=22112+=，∵tan60AO OB︒=，∴AO=2tan606︒=，作BF⊥y轴于F，AE⊥x轴于E，∵点B（-1，1），∴OF=BF=1，∴∠FOB=∠BOF=45︒，∵∠BOF+∠AOF=∠AOE+∠AOF=90︒，∴∠AOE=∠BOF=45︒，∴△AOE 为等腰直角三角形，∵AO =∴AE=OE=AO cos 45⋅︒==∴点A ，∵点A 在反比例函数k y x=的图象上， ∴3k xy ==，故选：C ．7.已知关于x 的分式方程422x k x x-=--的解为正数，则x 的取值范围是（ ） A. 80k -<< B. 8k >-且2k≠- C. 8k >-D. 4k <且2k ≠-B 先解分式方程利用k 表示出x 的值，再由x 为正数求出k 的取值范围即可．方程两边同时乘以2x -得，()420x x k --+=， 解得：83k x +=． ∵x 为正数， ∴803k +>，解得8k >-， ∵2x ≠， ∴823k +≠，即2k ≠-， ∴k 的取值范围是8k>-且2k ≠-．故选：B ． 解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AO=CO=6，BO=DO ，S 菱形ABCD =2AC BD ⨯=48， ∴BD=8，∵DH ⊥AB ，BO=DO=4，∴OH=12BD=4．故选：A ． 9.在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A 、B 、C 三种奖品，A 种每个10元，B 种每个20元，C 种每个30元，在C 种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ）A. 12种B. 15种C. 16种D. 14种 D设购买A 、B 、C 三种奖品分别为,,x y z 个，根据题意列方程得102030200x y z ++=，化简后根据,,x y z 均为正整数，结合C 种奖品不超过两个分类讨论，确定解的个数即可．解：设购买A 、B 、C 三种奖品分别为,,x y z 个，根据题意列方程得102030200x y z ++=，即2320x y z ++=，由题意得,,x y z 均为正整数．①当z =1时，217x y += ∴172y x -=， ∴y 分别取1，3，5，7，9，11，13，15共8种情况时，x 为正整数；②当z =2时，214x y += ∴142y x -=， ∴y 可以分别取2，4，6，8，10，12共6种情况，x 为正整数；综上所述：共有8+6=14种购买方案．故选：D10.如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在边AB 上运动（不与点A ，B 重合），45DAM∠=︒，点F 在射线AM 上，且AF =，CF 与AD 相交于点G ，连接EC 、EF 、EG ．则下列结论：①45ECF ∠=︒；②AEG ∆的周长为12a ⎛+ ⎝⎭；③222BE DG EG +=；④EAF ∆的面积的最大值是218a ；⑤当13BE a =时，G 是线段AD 的中点．其中正确的结论是（ ）A. ①②③B. ②④⑤C. ①③④D. ①④⑤D如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS），即可判断①正确；如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS），即可判断②③错误；设BE=x，则AE=a-x，AF=2x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题即可判断④正确；设AG=y，利用前面所证EG=GH，在Rt△AEG中，利用勾股定理求得12y a，即可判断⑤正确．如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH．∵BE=BH，∠EBH=90°，∴2BE，∵2，∴AF=EH，∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°，∴∠FAE=∠EHC=135°，∵BA=BC，BE=BH，∴AE=HC，∴△FAE≌△EHC（SAS），∴EF=EC ，∠AEF=∠ECH ，∵∠ECH+∠CEB=90°，∴∠AEF+∠CEB=90°，∴∠FEC=90°，∴∠ECF=∠EFC=45°，故①正确，如图2中，延长AD 到H ，使得DH=BE ，则△CBE ≌△CDH （SAS ），∴∠ECB=∠DCH ，∴∠ECH=∠BCD=90°，∴∠ECG=∠GCH=45°，∵CG=CG ，CE=CH ，∴△GCE ≌△GCH （SAS ），∴EG=GH ，∵GH=DG+DH ，DH=BE ，∴EG=BE+DG ，故③错误，∴△AEG 的周长=AE+EG+AG=AE+AH= AE +AD+DH =AE +AD+EB =AB+AD=2a ，故②错误，设BE=x ，则AE=a x -，2x ，∴S △AEF =()222111*********a x x x ax x a a ⎛⎫-=-+=--+ ⎪⎝⎭， ∵102-<， ∴当12x a =时，，△AEF 的面积的最大值为218a ，故④正确； 如图3，延长AD 到H ，使得DH=BE ，同理：EG=GH ， ∵13BE a =，则23AE a =， 设AG=y ，则DG=a y -，∴EG=GH =1433a y a a y -+=-， 在Rt △AEG 中，222AE AG EG +=， 即2222433a y a y ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：12y a =， ∴当13BE a =时，G 是线段AD 的中点，故⑤正确； 综上，①④⑤正确，故选：D ．二、填空题（每题3分，满分30分）11.5G 信号的传播速度为300000000m/s ，将300000000用科学记数法表示为__________．8310⨯科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．300000000的小数点向左移动8位得到3，所以300000000用科学记数法表示为3×108， 故答案为3×108． 科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．12.函数12y x =-中，自变量x 的取值范围是 ． x ＞2 根据分式有意义和二次根式有意义的条件求解.解：根据题意得，x ﹣2＞0，解得x ＞2．故答案为x ＞2．13.如图，Rt ABC ∆和Rt EDF ∆中，B D ∠=∠，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件___________，使Rt ABC ∆和Rt EDF ∆全等．AB ED =（BC DF =或AC EF =或AE CF =等）由题意得RtABC 和Rt EDF 中，B D ∠=∠，故要添加条件需得到一组边相等即可． 解：∵ABC 和EDF 均为直角三角形，∴=90A DEF ∠∠=︒,又∵B D ∠=∠，故要使得Rt ABC 和Rt EDF 全等，只需添加条件AB ED =（BC DF =或AC EF =或AE CF =等）即可．故答案：AB ED =（BC DF =或AC EF =或AE CF =等）14.一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为______．25首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于6的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：画树状图如图所示：∵共有20种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于6的有8种结果，∴两次摸出的小球的标号之和大于6的概率为：82 205=；故答案为：25．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15.若关于x的一元一次不等式组1020xx a->⎧⎨-<⎩有2个整数解，则a的取值范围是______．68a<≤先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可．解：1020xx a->⎧⎨-<⎩①②解不等式①得：x>1，解不等式②得：x<2a，∴不等式组的解集是1＜x＜2a，∵x的一元一次不等式组有2个整数解，∴x只能取2和3，∴342a<≤，解得：68a<≤故答案为：68a<≤．16.如图，AD是ABC∆的外接圆O的直径，若40BAD∠=︒，则ACB=∠______︒．50连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，则利用互余计算出∠D=50°，然后再利用圆周角定理得到∠ACB 的度数．连接BD，如图，∵AD 为△ABC 的外接圆⊙O 的直径，∴∠ABD=90°，∴∠D=90°-∠BAD=90°-40°=50°，∴∠ACB=∠D=50°．故答案为：50．17.小明在手工制作课上，用面积为2150cm π，半径为15cm 的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为______cm ．10根据扇形的面积公式与圆的周长公式，即可求解． 由1=2S lR 扇形得：扇形的弧长=21501520ππ⨯÷=（厘米）， 圆锥的底面半径=20210ππ÷÷=（厘米）． 故答案是：10．18.如图，在边长为4的正方形ABCD 中将ABD ∆沿射线BD 平移，得到EGF ∆，连接EC 、GC ．求EC GC +的最小值为______．5将△ABC 沿射线CA 平移到△AB′C′的位置，连接C′E 、AE 、DE ，证出四边形ABGE 和四边形EGCD 均为平行四边形，根据平行四边形的性质和平移图形的性质，可得C′E=CE ，CG=DE ，可得EC+GC=C′E+ED ，当点C′、E 、D 在同一直线时，C′E+ED 最小，由勾股定理求出C′D 的值即为EC+GC 的最小值．如图，将△ABC 沿射线CA 平移到△AB′C′的位置，连接C′E 、AE 、DE ，∵AB ∥GE ∥DC 且AB=GE=DC ，∴四边形ABGE 和四边形EGCD 均为平行四边形，∴AE ∥BG ，CG=DE ，∴AE ⊥CC′，由作图易得，点C 与点C′关于AE 对称，C′E=CE ，又∵CG=DE ，∴EC+GC=C′E+ED ，当点C′、E 、D 在同一直线时，C′E+ED 最小，此时，在Rt △C′D′E 中，C′B′=4，B′D=4+4=8， 224845+=，即EC+GC 的最小值为45 故答案为：519.在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 在边BC 上，且35BEa =，连接AE ，将ABE ∆沿AE 折叠．若点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上，则折痕的长为______．2或305分两种情况：点B '落在AD 上和CD 上，首先求出a 的值，再根据勾股定理求出抓痕的长即可．分两种情况：（1）当点B '落在AD 上时，如图1，∵四边形ABCD 是矩形，90BAD B ∴∠=∠=︒，∵将ABE △沿AE 折叠，点B 的对应点B '落在AD 边上， 1452BAE B AE BAD '∴∠=∠=∠=︒， AB BE ∴=，315a ∴=， ∴3=15BE a = 在Rt △ABE 中，AB=1，BE=1，∴AE=222AB BE +=（2）当点B '落在CD 上，如图2，∵四边形ABCD 是矩形，90BAD B C D ∴∠=∠=∠=∠=︒，AD BC a ==，∵将ABE △沿AE 折叠，点B 的对应点B '落在CD 边上，90B AB E '∴∠=∠=︒，1AB AB '==，35EB EB a '==， 2221DB B A AD a ''∴=-=-，3255EC BC BE a a a =-=-=， 在ADB '和B CE '中，9090B AD EB C AB D D C ∠=∠=︒-∠''⎧⎨∠=∠=︒'⎩~ADB B CE ''∴， DB AB CE B E '''∴=，即211355a a a -=， 解得，5a =±（负值舍去） ∴35=55BE a = 在Rt △ABE 中，AB=1，BE=5， ∴AE=22305AB BE += 故答案为：2或305. 20.如图，直线AM 的解析式为1y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形ABCO ，点B 坐标为()1,1．过点B 作1EO MA ⊥交MA 于点E ，交x 轴于点1O ，过点1O 作x 轴的垂线交MA 于点1A 以11O A 为边作正方形1111O A B C ，点1B 的坐标为()5,3．过点1B 作12E O MA ⊥交MA 于1E ，交x 轴于点2O ，过点2O 作x 轴的垂线交MA 于点2A ，以22O A 为边作正方形2222O A B C ，，则点2020B 的坐标______．()20202020231,3⨯-根据题意得出三角形AMO 为等腰直角三角形，∠AMO=45°，分别求出个线段长度，表示出B 1和B 2的坐标，发现一般规律，代入2020即可求解解：∵AM 的解析式为1y x =+，∴M （-1，0），A （0，1），即AO=MO=1，∠AMO=45°，由题意得：MO=OC=CO 1=1，O 1A 1=MO 1=3，∵四边形1111O A B C 是正方形，∴O 1C 1=C 1O 2=MO 1=3，∴OC 1=2×3-1=5，B 1C 1=O 1C 1=3，B 1（5，3），∴A 2O 2=3C 1O 2=9，B 2C 2=9，OO 2=OC 2-MO=9-1=8，综上，MC n =2×3n ，OC n =2×3n -1，B n C n =A n O n =3n ， 当n=2020时，OC 2020=2×32020-1，B 2020C 2020 =32020， 点B ()20202020231,3⨯-，故答案为：()20202020231,3⨯-．三、解答题（满分60分）21.先化简，再求值：22169211x x x x x ⎛⎫-++-÷ ⎪+-⎝⎭，其中3tan303x =︒-． 13x x -+括号内先通分进行分式的减法运算，然后进行分式的除法运算，将特殊角的三角函数值代入3tan303x =︒-求出x 的值，然后代入化简后的结果进行计算即可．原式=()()()()221311111x x x x x x x ⎡⎤++--÷⎢⎥+++-⎢⎥⎣⎦ =()()()21122113x x x x x x +-+-+++ =()()()211313x x x x x +-+++ =13x x -+， 当3tan 3033333x =︒-=⨯-=时，原式===．22.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点()5,2A 、()5,5B 、()1,1C 均在格点上（1）将ABC ∆向左平移5个单位得到111A B C ∆，并写出点1A 的坐标；（2）画出111A B C ∆绕点1C 顺时针旋转90︒后得到的221A B C ∆，并写出点2A 的坐标；（3）在（2）的条件下，求111A B C ∆在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．（1）见解析,()10,2A ；（2）图形见解析，()23,3A --；（3）86π+ 【分析】（1）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点1A 的坐标；（2）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点2A 的坐标；（3）根据题意可以求得BC 的长，从而可以求得111A B C ∆在旋转过程中扫过的面积．（1）111A B C ∆如图所示，()10,2A ；（2）221A B C ∆如图所示，()23,3A --（3）442BC ==211s (42)348642ππ∴=+⨯⨯=+23.如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图象经过点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ，使PAB ABC ∠=∠，若存在请直接写出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．（1）2y x 2x 3=-++；（2）存在，1(2,3)P ，2(4,5)P- （1）把点AB 的坐标代入2y x bx c =-++即可求解； （2）分点P 在x 轴下方和下方两种情况讨论，求解即可．（1）∵二次函数2y x bx c =-++的图象经过点A(-1，0)，B(3，0)，∴10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩， 解得：23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为：2y x 2x 3=-++；（2）存在，理由如下：当点P 在x 轴下方时，如图，设AP 与y 轴相交于E ，令0x =，则3y =，∴点C 的坐标为(0，3)，∵A(-1，0)，B(3，0)，∴OB=OC=3，OA=1，∴∠ABC=45︒，∵∠PAB=∠ABC=45︒，∴△OAE 是等腰直角三角形，∴OA=OE=1，∴点E 的坐标为(0，-1)，设直线AE 的解析式为1y kx =-，把A(-1，0)代入得：1k =-，∴直线AE 的解析式为1y x =--，解方程组2123y x y x x =--⎧⎨=-++⎩， 得：1110x y =-⎧⎨=⎩(舍去)或2245x y =⎧⎨=-⎩，∴点P 的坐标为(4，5-)；当点P 在x 轴上方时，如图，设AP 与y 轴相交于D ，同理，求得点D 的坐标为(0，1)，同理，求得直线AD 的解析式为1y x =+，解方程组2123y x y x x =+⎧⎨=-++⎩， 得：1110x y =-⎧⎨=⎩(舍去)或2223x y =⎧⎨=⎩， ∴点P 的坐标为(2，3)；综上，点P 的坐标为(2，3)或(4，5-)24.为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．（1）平均次数至少是100.8次，超过全校的平均次数；（2）跳绳成绩所在范围为100~120；（3）3350． （1）观察直方图，用每组的最低成绩，根据加权平均数公式计算可得该班一分钟跳绳的最少平均次数，再与校平均成绩比较即可得答案；（2）根据中位数意义，确定中位数的范围即可；（3）先确定出该班一分钟跳绳成绩大于或等于100次的人数，然后利用概率公式进行求解即可．（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少为 604801310019120714051602100.89950⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=>， 即该班一分钟跳绳的平均次数至少是100.8次，超过了全校的平均次数；（2）这个学生的跳绳成绩在该班是中位数，共有50名学生，可知中位数是将跳绳次数从小到大排列后位于第25、26这两个次数的平均数，因为4+13=17<25，4+13+19=36>26，所以中位数一定在100～120范围内，即该生跳绳成绩的所在范围为100～120；（3）该班一分钟跳绳成绩大于或等于100次的有：l9+7+5+2=33(人)，所以P （其跳绳次数超过全校平均数）=3350， 答：从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率为3350． 25.为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y （单位：千米）与快递车所用时间x （单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．（1）求ME 的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）（1）5050y x =+；（2）货车返回时与快递车途中相遇的时间173h ，7h ；（3）100km （1）由图象可知点M 和点E 的坐标，运用待定系数法求ME 的解析式即可；（2）运用待定系数法求出BC ，CD ，FG 的解析式，分别联立方程组，求出交点坐标即可得到结果； （3）由（2）知两车最后一次相遇时快递车行驶1小时，根据路程=速度×时间可得结论.解：（1）由图象可知：M ()0,50，E ()3,200设ME 的解析式y kx b =+()0k ≠把M ()0,50，E ()3,200代入得：503200b k b =⎧⎨+=⎩，解得5050b k =⎧⎨=⎩， ME ∴的解析式为5050y x =+()03x ≤≤；（2）由图象知B （4，0），C(6,200)设BC 的解析式y mx n =+,把B （4，0），C(6,200)代入得，406200m n m n +=⎧⎨+=⎩， 解得，100400m n =⎧⎨=-⎩， ∴BC 的解析式为：100400y x =-由图象知F （5，200），G （9，0）设FG 的解析式y px q =+，把F （5，200），G （9，0）代入上式得，520090p q p q +=⎧⎨+=⎩， 解得，50450p q =-⎧⎨=⎩， 故FG 的解析式为：50450y x =-+联立方程组得，10040050450y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得173x h =； 由图象得，C （6，200），D （8，0）设CD 的解析式为y=rx+s ，把C （6，200），D （8，0）代入上式得，620080r s r s +=⎧⎨+=⎩， 解得，100800r s =-⎧⎨=⎩ 故CD 的解析式为y=-100x+800,联立方程组得10080050450y x y x =-+⎧⎨=-+⎩，解得7x h = 答：货车返回时与快递车途中相遇的时间173h ，7h （3）由（2）知，最后一次相遇时快递车行驶1小时，其速度为：200÷2=100(km/h) 所以，两车最后一次相遇时离武汉的距离为：100×1=100（km ）（1）BE 与MN 的数量关系是______．（2）将DEC ∆绕点C 逆时针旋转到图②和图③的位置，判断BE 与MN 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．（1）2BE MN =；（2）图（2）：2BE MN =，图（3）：2BE MN =，理由见解析． （1）先证明AD=BE ，根据中位线定理证明△PMN 为等腰直角三角形，得到2PM=，再进行代换即可； （2）：如图（2）连接AD ，延长BE 交AD 于H ，交AC 于G ，先证明ACD BCE ≅△△，得到，AD=BE ，90AHB ∠=︒，根据中位线定理证明△PMN 为等腰直角三角形，得到22PM MN =，再进行代换即可． 解：（1）∵Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，∴∠BAC=∠ABC=45°∵AC BC =，DC EC =，∴AD=BE ，∵点M 、N 、P 分别是AE 、BD 、AB 的中点，∴PM ，PN 分别为△ABE ，△BAD 中位线，∴PM ∥BE,PM= 12BE,PN ∥AC,PN= 12AD,∴PM=PN, ∠APM=∠BPN=45°，∴∠PMN=90°，∴△PMN为等腰直角三角形，∴22sin22PM MN PNM MN MN =∠==，∴2BE PM==，即BE=；（2）图（2）：BE=图（3）：BE=证明：如图（2）连接AD，延长BE交AD于H，交AC于G，90ACB DCE∠=∠=︒，DCA ECB∴∠=∠，DC EC=，AC BC=，ACD BCE∴≅△△，CAD CBE∴∠=∠，BE AD=，AGH CGE∠=∠，90 CAD AGH CBE CGE∴∠+∠=∠+∠=︒，90AHB∴∠=︒，P、M、N分别是AB、AE、BD的中点，//PN AD ∴，12PN AD=，//PM BE，12PM BE=，PM PN∴=，190 MPN AHB∠=∠=∠=︒，PMN∴△是等腰直角三角形，MN∴=，2BE PM∴==．图②27.某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m 元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n 元，售价每千克18元．（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元．求m ，n 的值．（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x 千克，求有哪几种购买方案（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a 元，乙种蔬菜每千克捐出a 元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a 的最大值．（1）m 、n 的值分别为10和14；（2）共3种方案分别为：方案一购甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案二购甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案三购甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克；（3）a 的最大值为1.8（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得m 、n 的值；（2）根据题意，列出一元一次不等式组，解方程组即可得到购买方案；（3）分别求出三种方案的利润，然后列出不等式，即可求出答案．解：（1）由题意得1520430108212m n m n +=⎧⎨+=⎩， 解得：1014m n =⎧⎨=⎩； 答：m 、n 的值分别为10和14；（2）根据题意1014(100)11601014(100)1168x x x x +-≥⎧⎨+-≤⎩， 解得：5860x ≤≤，因为x 是整数所以x 为58、59、60；∴共3种方案，分别为：方案一购甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案二购甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案三购甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克；（3）方案一的利润为：(1610)58(1814)42516-⨯+-⨯=元，方案二的利润为：(1610)59(1814)41518-⨯+-⨯=元，方案三的利润为：(1610)60(1814)40520-⨯+-⨯=元，∴利润最大值为520元，甲售出60kg ，乙售出40kg ， ∴(16102)60(1814)4020%1160a a --⨯+--⨯≥ 解得： 1.8a ≤答：a 的最大值为1.8；28.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB 长是方程23180x x --=的根，连接BD ，30DBC ∠=︒，并过点C 作CN BD ⊥，垂足为N ，动点P 从点B 以每秒2个单位长度的速度沿BD 方向匀速运动到点D 为止；点M 沿线段DA 以每秒3个单位长度的速度由点D 向点A 匀速运动，到点A 为止，点P 与点M 同时出发，设运动时间为t 秒()0t >（1）线段CN =______；（2）连接PM 和MN ，求PMN ∆的面积s 与运动时间t 的函数关系式；（3）在整个运动过程中，当PMN ∆是以PN 为腰的等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．（1）33；（2）22393902902393962t t t s t t t t ⎧⎛⎫-+<<⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩；（3）(33，3)或(73，73) （1）解方程求出AB 的长，由直角三角形的性质可求BD ，BC 的长，CN 的长； （2）分三种情况讨论，由三角形的面积可求解；（3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．（1）解方程23180x x --=得：1263x x ==-，(舍去)，∴AB=6，∵四边形ABCD 是矩形，30DBC ∠=︒，∴AB=CD=6，BD=2AB=12，∴BC=AD=222212663BD AB -=-=， ∵BDC 1122S BC CD BD CN =⋅=⋅， ∴6363312BC CD CN BD ⋅⨯===， 故答数为：33；（2）如图1，过点M 作MH ⊥BD 于H ，∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC=30°，∴MH=12MD=32t ， ∵∠DBC=30°，CN ⊥BD ，∴BN=39CN =， 当点P 在线段BN 上即902t <<时， △PMN的面积213393(92)2s t t t t =⨯-⨯=-+； 当点P 与点N 重合即92t =时，s=0， 当点P 在线段ND 上即962t <≤时， △PMN 的面积213393(29)2224s t t t t =⨯-⨯=-； ∴223939024290239396242t t t s t t t t ⎧⎛⎫-+<<⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩； （3）如图，过点P 作PE ⊥BC 于E ，当PN=PM=9-2t 时，则3t ，MH=123，DH=32t ， ∵222MH PH PM +=，∴()22233122922t t t ⎫⎛⎫+--=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：3t =或73t =， 即132PE BP t ===或1723PE BP t ===，则BE=BE=3，∴点P 的坐标为(3)或(3，73)；当PN=NM=9-2t 时，∵222MH NH MN +=，∴()22233922t t ⎫⎛⎫+-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 解得3t =或24（不合题意舍去），∴BP=6，PE=12BP=3，∴点P 的坐标为(3)，综上所述：点P 坐标为(3)或(3，73) ．。
2020年黑龙江省龙东地区中考数学试卷解析版
2020年黑龙江省龙东地区中考数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共9小题，共27.0分）1.下列各运算中，计算正确的是（）A. a2+2a2=3a4B. x8-x2=x6C. （x-y）2=x2-xy+y2D. （-3x2）3=-27x62.下列图标中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最少是（）A. 2B. 3C. 4D. 54.一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5（x为正整数），唯一的众数是4，则数据x是（）A. 1B. 2C. 0或1D. 1或25.已知2+是关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的一个实数根，则实数m的值是（）A. 0B. 1C. -3D. -16.已知关于x的分式方程-4=的解为非正数，则k的取值范围是（）A. k≤-12B. k≥-12C. k＞-12D. k＜-127.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=6，OH=4，则菱形ABCD的面积为（）A. 72B. 24C. 48D. 968.学校计划用200元钱购买A、B两种奖品，A种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（）A. 2种B. 3种C. 4种D. 5种9.如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM=45°，点F在射线AM上，且AF=BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF=45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2=EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BE=a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（）A. ①②③B. ②④⑤C. ①③④D. ①④⑤二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）10.2019年1月1日，“学习强国”平台全国上线，截至2019年3月17日，某市党员“学习强国”客户端注册人数约1180000，将数据1180000用科学记数法表示为______．11.在函数y=中，自变量x的取值范围是______．12.如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．13.一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出一个小球，是偶数的概率为______．14.若关于x的一元一次不等式组的解是x＞1，则a的取值范围是______．15.如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA=50°，则∠ADB=______°．16.小明在手工制作课上，用面积为150πcm2，半径为15cm的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为______cm．17.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为______．18.在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，点E在边BC上，且BE=a，连接AE，将△ABE沿AE折叠．若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则折痕的长为______．19.如图，直线AM的解析式为y=x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为（1，1）．过B点作直线EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A1．以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）．过点B1作直线E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2，…，则点B2020的坐标______．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）20.先化简，再求值：（1-）÷，其中a=sin30°．四、解答题（本大题共7小题，共55.0分）21.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）均在格点上．（1）将△ABC向下平移5个单位得到△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°后得到的△A2B2C1，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．22.如图，已知二次函数y=-x2+（a+1）x-a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6．（1）求a的值；（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP=S△ABC．若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由．23.某公司工会组织全体员工参加跳绳比赛，工会主席统计了公司50名员工一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．求：（1）该公司员工一分钟跳绳的平均次数至少是多少．（2）该公司一名员工说：“我的跳绳成绩是我公司的中位数”请你给出该员工跳绳成绩的所在范围．（3）若该公司决定给每分钟跳绳不低于140个的员工购买纪念品，每个纪念品300元，则公司应拿出多少钱购买纪念品．24.为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y（单位：千米）与快递车所用时间x（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．（1）求ME的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间；（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）25.以Rt△ABC的两边AB、AC为边，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，过点A作AM⊥BC于M，延长MA交EG于点N．（1）如图①，若∠BAC=90°，AB=AC，易证：EN=GN；（2）如图②，∠BAC=90°；如图③，∠BAC≠90°，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由．26.某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m，n的值．（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克，求有哪几种购买方案．（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．27.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB长是x2-3x-18=0的根，连接BD，∠DBC=30°，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，动点P从B点以每秒2个单位长度的速度沿BD方向匀速运动到D点为止；点M沿线段DA以每秒个单位长度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t 秒（t＞0）．（1）线段CN=______；（2）连接PM和MN，求△PMN的面积s与运动时间t的函数关系式；（3）在整个运动过程中，当△PMN是以PN为腰的等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、结果是3a2，故本选项不符合题意；B、x8和-x2不能合并，故本选项不符合题意；C、结果是x2-2xy+y2，故本选项不符合题意；D、结果是-27x6，故本选项符合题意；故选：D．根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方分别求出每个式子的值，再判断即可．本题考查了合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．2.【答案】B【解析】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．是中心对称图形，故本选项符号题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.【答案】C【解析】解：左视图与主视图相同，可判断出底面最少有2个，第二层最少有1个小正方体，第三层最少有1个小正方体，则这个几何体的小立方块的个数最少是2+1+1=4个．故选：C．左视图底面有2个小正方体，主视图底面有2个小正方体，则可以判断出该几何体底面最少有2个小正方体，最多有4个．根据这个思路可判断出该几何体有多少个小立方块．考查了由三视图判断几何体的知识，根据题目中要求的以最少的小正方体搭建这个几何体，可以想象出左视图的样子，然后根据“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”很容易就知道小正方体的个数．4.【答案】D【解析】解：∵一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5（x为正整数），唯一的众数是4，∴数据x是1或2．故选：D．根据众数的定义得出正整数x的值即可．本题主要考查了众数的定义，根据众数是一组数据中出现次数最多的数得出x的值是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：根据题意，得（2+）2-4×（2+）+m=0，解得m=1；故选：B．把x=2+代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．本题主要考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．6.【答案】A【解析】解：方程-4=两边同时乘以（x-3）得：x-4（x-3）=-k，∴x-4x+12=-k，∴-3x=-k-12，∴x=+4，∵解为非正数，∴+4≤0，∴k≤-12．故选：A．表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k的不等式，解出k的范围即可．本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD=90°，∴BD=2OH，∵OH=4，∴BD=8，∵OA=6，∴AC=12，∴菱形ABCD的面积=．故选：C．根据菱形的性质得O为BD的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得BD的长度，最后由菱形的面积公式求得面积．本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形的性质求得BD．8.【答案】B【解析】解：设购买了A种奖品x个，B种奖品y个，根据题意得：15x+25y=200，化简整理得：3x+5y=40，得y=8-x，∵x，y为非负整数，∴，，，∴有3种购买方案：方案1：购买了A种奖品0个，B种奖品8个；方案2：购买了A种奖品5个，B种奖品5个；方案3：购买了A种奖品10个，B种奖品2个．故选：B．设购买了A种奖品x个，B种奖品y个，根据学校计划用200元钱购买A、B两种奖品，其中A种每个15元，B种每个25元，钱全部用完可列出方程，再根据x，y为非负整数可求出解．本题考查了二元一次方程的应用，关键是读懂题意，根据题意列出二元一次方程，然后根据解为非负整数确定出x，y的值．9.【答案】D【解析】解：如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH．∵BE=BH，∠EBH=90°，∴EH=BE，∵AF=BE，∴AF=EH，∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°，∴∠FAE=∠EHC=135°，∵BA=BC，BE=BH，∴AE=HC，∴△FAE≌△EHC（SAS），∴EF=EC，∠AEF=∠ECH，∵∠ECH+∠CEB=90°，∴∠AEF+∠CEB=90°，∴∠FEC=90°，∴∠ECF=∠EFC=45°，故①正确，如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），∴∠ECB=∠DCH，∴∠ECH=∠BCD=90°，∴∠ECG=∠GCH=45°，∵CG=CG，CE=CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG=GH，∵GH=DG+DH，DH=BE，∴EG=BE+DG，故③错误，∴△AEG的周长=AE+EG+AG=AE+AH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a，故②错误，设BE=x，则AE=a-x，AF=x，∴S△AEF=•（a-x）×x=-x2+ax=-（x2-ax+a2-a2）=-（x-a）2+a2，∵-＜0，∴x=a时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确，当BE=a时，设DG=x，则EG=x+a，在Rt△AEG中，则有（x+a）2=（a-x）2+（a）2，解得x=，∴AG=GD，故⑤正确，故选：D．①正确．如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS）即可解决问题．②③错误．如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS）即可解决问题．④正确．设BE=x，则AE=a-x，AF=x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．⑤正确．当BE=a时，设DG=x，则EG=x+a，利用勾股定理构建方程可得x=即可解决问题．本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．10.【答案】1.18×106【解析】解：1180000=1.18×106，故答案为：1.18×106．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．11.【答案】x＞1.5【解析】解：由题意得2x-3＞0，解得x＞1.5．故答案为：x＞1.5．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12.【答案】AB=ED答案不唯一【解析】解：∵Rt△ABC和Rt△EDF中，∴∠BAC=∠DEF=90°，∵BC∥DF，∴∠DFE=∠BCA，∴添加AB=ED，在Rt△ABC和Rt△EDF中，∴Rt△ABC≌Rt△EDF（AAS），故答案为：AB=ED答案不唯一．根据全等三角形的判定解答即可．此题考查全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定方法解答．13.【答案】【解析】解：∵盒子中共装有5个小球，其中标号为偶数的有2、4这2个小球，∴从中随机摸出一个小球，是偶数的概率为，故答案为：．直接利用概率公式计算可得．本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．14.【答案】a≤2【解析】解：解不等式x-1＞0，得：x＞1，解不等式2x-a＞0，得：x＞，∵不等式组的解集为x＞1，∴≤1，解得a≤2，故答案为：a≤2．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大可得答案．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．15.【答案】50【解析】解：∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，∴点A，B，C，D在⊙O上，∵∠BCA=50°，∴∠ADB=∠BCA=50°，故答案为：50．根据圆周角定理即可得到结论．本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．16.【答案】10【解析】解：∵S=l•R，∴•l•15=150π，解得l=20π，设圆锥的底面半径为r，∴2π•r=20π，∴r=10（cm）．故答案为：10．先根据扇形的面积公式：S=l•R（l为弧长，R为扇形的半径）计算出扇形的弧长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，利用圆的周长公式计算出圆锥的底面半径．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；也考查了扇形的面积公式：S=l•R（l为弧长，R为扇形的半径）．17.【答案】【解析】解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴AB=CD=1，∠ABD=30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△EGF，∴EG=AB=1，EG∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BAD=120°，∴EG=CD，EG∥CD，∴四边形EGCD是平行四边形，∴ED=GC，∴EC+GC的最小值=EC+GD的最小值，∵点E在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于E，则CM的长度即为EC+GC的最小值，∵∠EAD=∠ADB=30°，AD=1，∴∠ADM=60°，DH=MH=AD=，∴DM=1，∴DM=CD，∵∠CDM=∠MDG+∠CDB=90°+30°=120°，∴∠M=∠DCM=30°，∴CM=2×CD=．故答案为：．根据菱形的性质得到AB=1，∠ABD=30°，根据平移的性质得到EG=AB=1，EG∥AB，推出四边形EGCD是平行四边形，得到ED=GC，于是得到EC+GC的最小值=EC+GD的最小值，根据平移的性质得到点E在过点A且平行于BD的定直线上，作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于AE，解直角三角形即可得到结论．本题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平移的性质，正确地理解题意是解题的关键．18.【答案】或【解析】解：分两种情况：①当点B'落在AD边上时，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=90°，∵将△ABE沿AE折叠．点B的对应点B′落在矩形ABCD的AD边上，∴∠BAE=∠B'AE=∠BAD=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB=BE=1，AE=AB=；②当点B'落在CD边上时，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=a，∵将△ABE沿AE折叠．点B的对应点B′落在矩形ABCD的CD边上，∴∠B=∠AB'E=90°，AB'=AB=1，BE'=BE=a，∴CE=BC-BE=a-a=a，B'D==，在△ADB'和△B'CE中，∠B'AD=∠EB'C=90°-∠AB'D，∠D=∠C=90°，∴△ADB'∽△B'CE，∴=，即=，解得：a=，或a=0（舍去），∴BE=a=，∴AE===；综上所述，折痕的长为或；故答案为：或．分两种情况：①当点B'落在AD边上时，证出△ABE是等腰直角三角形，得出AE=AB=；②当点B'落在CD边上时，证明△ADB'∽△B'CE，得出=，求出BE=a=，由勾股定理求出AE即可．本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质是解题的关键．19.【答案】（2×3n-1，3n）【解析】解：∵点B坐标为（1，1），∴OA=AB=BC=CO=CO1=1，∵A1（2，3），∴A1O1=A1B1=B1C1=C1O2=3，∴B1（5，3），∴A2（8，9），∴A2O2=A2B2=B2C2=C2O3=9，∴B2（17，9），同理可得B4（53，27），B5（161，81），…由上可知，，∴当n=2020时，．故答案为：（2×3n-1，3n）．由B坐标为（1，1）根据题意求得A1的坐标，进而得B1的坐标，继续求得B2，B3，B4，B5的坐标，根据这5点的坐标得出规律，再按规律得结果．本题主要考查了一次函数的图象与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，规律变化，关键是求出前几个点的坐标得出规律．20.【答案】解：当a=sin30°时，所以a=原式=•=•==-1【解析】根据分式的运算法则即可求出答案，本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．21.【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为（5，-3）；（2）如图所示，△A2B2C1即为所求，点A2的坐标为（0，0）；（3）如图，△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积为：+=8π+6．【解析】（1）依据△ABC向下平移5个单位，即可得到△A1B1C1，进而写出点A1的坐标；（2）依据△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°，即可得到的△A2B2C1，进而写出点A2的坐标；（3）依据扇形面积公式和三角形面积公式，即可得到△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积．本题考查了利用平移变换和旋转变换作图、扇形面积的计算等，利用平移变换作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．22.【答案】解：（1）∵y=-x2+（a+1）x-a，令x=0，则y=-a，∴C（0，-a），令y=0，即-x2+（a+1）x-a=0解得x1=a，x2=1由图象知：a＜0∴A（a，0），B（1，0）∵S△ABC=6∴（1-a）（-a）=6解得：a=-3，（a=4舍去）；（2）∵a=-3，∴C（0，3），∵S△ABP=S△ABC．∴P点的纵坐标为±3，把y=3代入y=-x2-2x+3得-x2-2x+3=3，解得x=0或x=-2，把y=-3代入y=-x2-2x+3得-x2-2x+3=-3，解得x=-1+或x=-1-，∴P点的坐标为（-2，3）或（-1+，-3）或（-1-，-3）．【解析】（1）由y=-x2+（a+1）x-a，令y=0，即-x2+（a+1）x-a=0，可求出A、B坐标结合三角形的面积，解出a=-3；（2）根据题意P的纵坐标为±3，分别代入解析式即可求得横坐标，从而求得P的坐标．本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得交点坐标是解题的关键．23.【答案】解：（1）该公司员工一分钟跳绳的平均数为：==100.8，答：该公司员工一分钟跳绳的平均次数至少是100.8个；（2）把50个数据从小到大排列后，处在中间位置的两个数都在100～120这个范围；（3）300×（5+2）=2100（元），答：公司应拿出2100元钱购买纪念品．【解析】（1）要求平均次数至少是多少，可每组都取最小值计算平均数即可；（2）找出中位数所在的成绩范围，（3）样本中获奖的有7人，求出费用即可．考查频数分布直方图的意义和制作方法，理解频数、频率、总数之间的关系是正确计算的前提．24.【答案】解：（1）设ME的函数解析式为y=kx+b（k≠0），由ME经过（0，50），（3，200）可得：，解得，∴ME的解析式为y=50x+50；（2）设BC的函数解析式为y=mx+n，由BC经过（4，0），（6，200）可得：，解得，∴BC的函数解析式为y=100x-400；设FG的函数解析式为y=px+q，由FG经过（5，200），（9，0）可得：，解得，∴FG的函数解析式为y=-50x+450，解方程组得，同理可得x=7h，答：货车返回时与快递车图中相遇的时间h，7h；（3）（9-7）×50=100（km），答：两车最后一次相遇时离武汉的距离为100km．【解析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）利用待定系数法分别求出BC与FG的解析式，再联立解答即可；（3）根据题意列式计算即可．本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，相遇问题，读懂题目信息，理解两车的运动过程是解题的关键．25.【答案】解：（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ACB=45°，∵AM⊥BC，∴∠MAC=45°，∴∠EAN=∠MAC=45°，同理∠NAG=45°，∴∠EAN=∠NAG，∵四边形ABDE和四边形ACFG为正方形，∴AE=AB=AC=AG，∴EN=GN．（2）如图1，∠BAC=90°时，（1）中结论成立．理由：过点E作EP⊥AN交AN的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，∵四边形ABDE是正方形，∴AB=AE，∠BAE=90°，∴∠EAP+∠BAM=180°-90°=90°，∵AM⊥BC，∴∠ABM+∠BAM=90°，∴∠ABM=∠EAP，在△ABM和△EAP中，，∴△ABM≌△EAP（AAS），∴EP=AM，同理可得：GQ=AM，∴EP=GQ，在△EPN和△GQN中，，∴△EPN≌△GQN（AAS），∴EN=NG．如图2，∠BAC≠90°时，（1）中结论成立．理由：过点E作EP⊥AN交AN的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，∵四边形ABDE是正方形，∴AB=AE，∠BAE=90°，∴∠EAP+∠BAM=180°-90°=90°，∵AM⊥BC，∴∠ABM+∠BAM=90°，∴∠ABM=∠EAP，在△ABM和△EAP中，，∴△ABM≌△EAP（AAS），∴EP=AM，同理可得：GQ=AM，∴EP=GQ，在△EPN和△GQN中，，∴△EPN≌△GQN（AAS），∴EN=NG．【解析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠MAC=45°，证得∠EAN=∠NAG，由等腰三角形的性质得出结论；（2）如图1，2，证明方法相同，利用“AAS”证明△ABM和△EAP全等，根据全等三角形对应边相等可得EP=AM，同理可证GQ=AM，从而得到EP=GQ，再利用“AAS”证明△EPN和△GQN全等，根据全等三角形对应边相等可得EN=NG．本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识；正确作出辅助线，构造全等三角形，运用全等三角形的性质是解题的关键．26.【答案】解：（1）依题意，得：，解得：．答：m的值为10，n的值为14．（2）设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100-x）千克，依题意，得：，解得：58≤x≤60．∵x为正整数，∴x=58，59，60，∴有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．（3）设超市获得的利润为y元，则y=（16-10）x+（18-14）（100-x）=2x+400．∵k=2＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x=60时，y取得最大值，最大值为2×60+400=520．依题意，得：（16-10-2a）×60+（18-14-a）×40≥（10×60+14×40）×20%，解得：a≤1.8．答：a的最大值为1.8．【解析】（1）根据“该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100-x）千克，根据总价=单价×数量结合投入资金不少于1160元又不多于1168元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出各购买方案；（3）设超市获得的利润为y元，根据总利润=每千克的利润×销售数量可得出y关于x 的函数关系式，利用一次函数的性质可得出获得利润最多的方案，由总利润=每千克的利润×销售数量结合捐款后的利润率不低于20%，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用一次函数的性质，找出利润最大的购物方案．27.【答案】3【解析】解：（1）∵AB长是x2-3x-18=0的根，∴AB=6，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD=6，∠BCD=90°，∵∠DBC=30°，∴BD=2CD=12，BC=CD=6，∵∠DBC=30°，CN⊥BD，∴CN=BC=3，故答案为：3．（2）如图，过点M作MH⊥BD于H，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°，∴MH=MD=t，∵∠DBC=30°，CN⊥BD，∴BN=CN=9，当0＜t＜时，△PMN的面积s=×（9-2t）×t=-t2+t；当t=时，点P与点N重合，s=0，当＜t≤6时，△PMN的面积s =×（2t-9）×t =t2-t；（3）如图，过点P作PE⊥BC于E，当PN=PM=9-2t时，∵PM2=MH2+PH2，∴（9-2t）2=（t）2+（12-2t -t）2，∴t=3或t =，∴BP=6或，当BP=6时，∵∠DBC=30°，PE⊥BC，∴PE =BP=3，BE =PE =3，∴点P（3，3），当BP =时，同理可求点P （，），当PN=NM=9-2t时，∵NM2=MH2+NH2，∴（9-2t）2=（t）2+（t-3）2，∴t=3或24（不合题意舍去），∴BP=6，∴点P（3，3），综上所述：点P坐标为（3，3）或（，）．（1）解方程求出AB的长，由直角三角形的性质可求BD，BC的长，CN的长；（2）分三种情况讨论，由三角形的面积可求解；（3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，一元二次方程的解法，三角形的面积公式，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．第21页，共21页。
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黑龙江省龙东地区2020年中考数学试卷一、单选题（共10题；共20分）1.下列各运算中，计算正确的是（）A. B. C. D.2.下列图标中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A. B. C. D.4.一组从小到大排列的数据: ,3,4,4,6( 为正整数),唯一的众数是4,则该组数据的平均数是（）A. 3.6或4.2B. 3.6或3.8C. 3.8或4.2D. 3.8或4.25.已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D. 且6.如图，菱形的两个顶点A，C在反比例函数的图象上，对角线，的交点恰好是坐标原点O，已知，，则k的值是（）A. 5B. 4C. 3D. 27.已知关于x的分式方程的解为正数，则c的取值范围是（）A. B. 且 C. D. 且8.如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为（）A. 4B. 5C.D. 69.在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A 种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（）A. 12种B. 15种C. 16种D. 14种10.如图，正方形的边长为a，点E在边上运动（不与点A，B重合），，点在射线上，且，与相交于点G，连接、、．则下列结论：① ；② 的周长为；③ ；④ 的面积的最大值是；⑤当时，G是线段的中点．其中正确的结论是（）A. ①②③B. ②④⑤C. ①③④D. ①④⑤二、填空题（共10题；共10分）11. 5G信号的传播速度为300000000m/s，将300000000用科学记数法表示为________.12.函数y= 中，自变量x的取值范围是________．13.如图，和中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件________，使和全等．14.一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为________．15.若关于x的一元一次不等式组有2个整数解，则a的取值范围是________．16.如图，是的外接圆的直径，若，则________ ．17.小明在手工制作课上，用面积为，半径为的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为________ ．18.如图，在边长为4的正方形中将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为________．19.在矩形中，，，点E在边上，且，连接，将沿折叠．若点B的对应点落在矩形的边上，则折痕的长为________．20.如图，直线的解析式为与轴交于点M，与y轴交于点A，以为边作正方形，点B坐标为．过点B作交于点E，交x轴于点，过点作x轴的垂线交于点以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交x轴于点，过点作轴的垂线交于点，以为边作正方形，，则点的坐标________．三、解答题（共8题；共92分）21.先化简，再求值：，其中．22.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上（1）将向左平移5个单位得到，并写出点的坐标；（2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；（3）在（2）的条件下，求在旋转过程中扫过的面积（结果保留）．23.如图，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使，若存在请直接写出点P的坐标．若不存在，请说明理由．24.为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．25.为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y（单位：千米）与快递车所用时间x（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．（1）求的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）26.如图①，在中，，，点D、E分别在、边上，，连接、、，点M、N、P分别是、、的中点，连接、、．（1）与的数量关系是________．（2）将绕点C逆时针旋转到图②和图③的位置，判断与有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．27.某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元．求m，n的值．（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克，求有哪几种购买方案（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于，求a的最大值．28.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边长是方程的根，连接，，并过点作，垂足为，动点P从点B以每秒2个单位长度的速度沿方向匀速运动到点D为止；点M沿线段以每秒个单位长度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒（1）线段________；（2）连接和，求的面积s与运动时间的函数关系式；（3）在整个运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．答案解析部分一、单选题1.【解析】【解答】A．，符合题意；B ．，故B选项不符合题意；C．，故C选项不符合题意；D．，故D选项不符合题意，故答案为：A．【分析】根据单项式乘法法则、同底数除法法则、完全平方公式、积的乘方运算法则逐项进行分析判断即可．2.【解析】【解答】A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故答案为：B．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．3.【解析】【解答】解：由题意，由主视图有3层，2列，由左视图可知，第一层最多有4个，第二层最多2个，第三层最多1个，∴所需的小正方体的个数最多是：4+2+1=7（个）；故答案为：B．【分析】这个几何体共有3层，由左视图可得第一层小正方体的最多个数，由主视图可得第二层小正方体的最多个数，以及第三层的最多个数，再相加即可．4.【解析】【解答】∵数据：a，3，4，4，6（a为正整数），唯一的众数是4，∴a=1或2，当a=1时，平均数为=3.6；当a=2时，平均数为=3.8；故答案为：C.【分析】根据众数的定义得出正整数a的值，再根据平均数的定义求解可得.5.【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个实数根，，故答案为：B．【分析】根据一元二次方程的根的判别式列不等式，再解不等式即可．6.【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，∴BA=AD，AC⊥BD，∵∠ABC=120 ，∴∠ABO=60 ，∵点B（-1，1），∴OB= ，∵，∴AO= ，作BF⊥轴于F，AE⊥轴于E，∵点B（-1，1），∴OF=BF=1，∴∠FOB=∠BOF=45 ，∵∠BOF+∠AOF=∠AOE+∠AOF=90 ，∴∠AOE=∠BOF=45 ，∴△AOE为等腰直角三角形，∵AO ，∴AE=OE=AO ，∴点A的坐标为（，），∵点A在反比例函数的图象上，∴，故答案为：C．【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据勾股定理得到OB的长，利用三角函数得到OA的长，求得∠AOE=∠BOF=45 ，继而求得点A的坐标，即可求解．7.【解析】【解答】方程两边同时乘以得，，解得：．∵为正数，∴，解得，∵，∴，即，∴的取值范围是且．故答案为：B．【分析】先解分式方程利用l表示出x的值，再由x为正数求出k的取值范围即可．8.【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO=6，BO=DO，S菱形ABCD= =48，∴BD=8，∵DH⊥AB，BO=DO=4，∴OH= BD=4．故答案为：A．【分析】根据菱形面积=对角线积的一半可求BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．9.【解析】【解答】解：设购买A、B、C三种奖品分别为个，根据题意列方程得，即，由题意得均为正整数．①当z=1时，∴，∴y分别取1，3，5，7，9，11，13，15共8种情况时，x为正整数；②当z=2时，∴，∴y可以分别取2，4，6，8，10，12共6种情况，x为正整数；综上所述：共有8+6=14种购买方案．故答案为：D【分析】设购买A、B、C三种奖品分别为个，根据题意列方程得，化简后根据均为正整数，结合C种奖品不超过两个分类讨论，确定解的个数即可．10.【解析】【解答】如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH．∵BE=BH，∠EBH=90°，∴EH= BE，∵AF= BE，∴AF=EH，∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°，∴∠FAE=∠EHC=135°，∵BA=BC，BE=BH，∴AE=HC，∴△FAE≌△EHC（SAS），∴EF=EC，∠AEF=∠ECH，∵∠ECH+∠CEB=90°，∴∠AEF+∠CEB=90°，∴∠FEC=90°，∴∠ECF=∠EFC=45°，故①符合题意，如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），∴∠ECB=∠DCH，∴∠ECH=∠BCD=90°，∴∠ECG=∠GCH=45°，∵CG=CG，CE=CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG=GH，∵GH=DG+DH，DH=BE，∴EG=BE+DG，故③不符合题意，∴△AEG的周长=AE+EG+AG=AE+AH= AE +AD+DH =AE +AD+EB =AB+AD=2a，故②不符合题意，设BE= ，则AE= ，AF= ，∴S△AEF= ，∵，∴当时，，△AEF的面积的最大值为，故④符合题意；如图3，延长AD到H，使得DH=BE，同理：EG=GH，∵，则，设AG= ，则DG= ，∴EG=GH = ，在Rt△AEG中，，即，解得：，∴当时，G是线段的中点，故⑤符合题意；综上，①④⑤符合题意，故答案为：D．【分析】如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS），即可判断①符合题意；如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS），即可判断②③不符合题意；设BE=x，则AE=a-x，AF= ，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题即可判断④符合题意；设AG= ，利用前面所证EG=GH，在Rt△AEG中，利用勾股定理求得，即可判断⑤符合题意．二、填空题11.【解析】【解答】解：300000000的小数点向左移动8位得到3，所以300000000用科学记数法表示为3×108。