高等数学[下册]期末考试试题和答案解析

高等数学A(下册)期末考试试题

一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）

1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ⋅= ．

2、设ln()z x xy =，则32

z

x y ∂=∂∂

． 3、曲面2

2

9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ．

4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ．

5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则

()L

x y ds +=⎰ ．

※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）

1、求曲线222

222

239

3x y z z x y

⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22

6z x y =--所围成的立体体积．

3、判定级数

1

1

(1)ln

n n n n

∞

=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,

z z

x x y

∂∂∂∂∂． 5、计算曲面积分

,dS

z ∑

⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离

的最大值与最小值．

（本题满分10分）

计算曲线积分

(sin )(cos )x x L

e y m dx e y mx dy -+-⎰

，

其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2

2

(0)x y ax a +=>．

四、（本题满分10分）

求幂级数1

3n

n n x n ∞

=⋅∑的收敛域及和函数．

五、（本题满分10分）

计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑

=

++-⎰⎰， 其中∑为曲面2

2

1(0)z x y z =--≥的上侧．

六、（本题满分6分）

设()f x 为连续函数，(0)f a =，2

22()[()]t

F t z f x

y z dv Ω=

+++⎰⎰⎰，其中t Ω

是由曲面z =

与z =所围成的闭区域，求 3

()

lim t F t t +

→．

-------------------------------------

备注：①考试时间为2小时；

②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。

高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】

参考解答与评分标准 2009年6月

一、填空题【每小题4分，共20分】 1、4-； 2、21

y

-；3、2414x y z ++=； 4、3，0； 5

二、试解下列各题【每小题7分，共35分】

1、解：方程两边对x 求导，得323dy

dz y z x dx dx dy dz y z x

dx

dx ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 从而54dy x dx y =-

，74dz x dx z = (4)

该曲线在

()1,1,2-处的切向量为571

(1,,)(8,10,7).488T == (5)

故所求的切线方程为

112

8107

x y z -+-==………………..【6】 法平面方程为 ()()()8

1101720x y z -+++-= 即 810712x y z ++= (7)

２、解：22

22

226z x y z x y

⎧=+⇒⎨=--⎩222x y +=，该立体Ω在xOy 面上的投影区域为22

:2xy D x y +≤． (2)

故所求的体积为V

dv Ω

=

⎰⎰⎰22

2620

20

2(63)6d d dz d πρρ

θρπρρπ-==-=⎰⎰

(7)

３、解：由11lim lim ln(1)lim ln(1)10n

n n n n n u n n n →∞→∞→∞=+=+=>，知级数1

n n u ∞

=∑发散 (3)

又111||ln(1)ln(1)||1n

n u u n n +=+>+=+,1lim ||lim ln(1)0n n n u n

→∞→∞=+=.故所给级数收敛且条件收敛．【7】

４、解：

121211

()0z f y f yf f x y y

∂''''=⋅+⋅+=+∂， …………………………………【3】 2111122212222211[()][()]z x x

f y f x f f f x f x y y y y y ∂''''''''''=+⋅+⋅--+⋅+⋅-∂∂111222

231.x f xyf f f y y

''''''=+--【7】 ５、解：∑

的方程为z =，∑在xOy 面上的投影区域为2222{(,)|}xy D x y x y a h =+≤-．

=３】

故22222200xy

D dS adxdy d a d z a x y a πρρθρ∑==---⎰⎰⎰⎰⎰

220

12ln()2ln 2a

a a a h

πρπ⎡=--=⎢⎥⎣⎦..【7】

三、【9分】解：设(,,)M x y z 为该椭圆上的任一点，则点M

到原点的距离为d =

1】

令2

2

2

2

2

(,,)()(1)L x y z x y z z x y x y z λμ=+++--+++-，

则由22220

220201x y z L x x L y y L z z x y

x y z λμλμλμ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎪=++=⎨⎪=+⎪

++=⎪⎩

，解得12x y -±==

，23z =．于是得到两个可能极值点