高等数学下册期末考试题及答案

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高数期末考试题及答案解析

高数期末考试题及答案解析一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数 $ f(x) = \sin x + 2x^2 $ 在区间 $ [0,\frac{\pi}{2}] $ 上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先递增后递减D. 先递减后递增答案解析：首先求导数 $ f'(x) = \cos x + 4x $。

在区间$ [0, \frac{\pi}{2}] $ 上，$ \cos x $ 始终大于等于0，而$ 4x $ 也是非负的，因此 $ f'(x) \geq 0 $，说明函数 $ f(x) $ 在该区间上单调递增。

所以答案是 A。

2. 若 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 $，则下列哪个选项是正确的？A. $ \lim_{x \to 0} f(x) = 0 $B. $ \lim_{x \to 0} g(x) = 0 $C. $ \lim_{x \to 0} f(x) = 1 $D. $ \lim_{x \to 0} g(x) = 1 $答案解析：根据极限的性质，如果 $ \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0 $，则 $ g(x) $ 不能趋向于0，否则分母为0，极限不存在。

同时，$ f(x) $ 趋向于0。

因此，选项 A 是正确的。

3. 曲线 $ y = x^3 - 3x $ 在点 $ (1, -2) $ 处的切线斜率是：A. 0B. 2C. -2D. 4答案解析：求导数 $ y' = 3x^2 - 3 $，将 $ x = 1 $ 代入得到 $ y' = 0 $。

因此，曲线在点 $ (1, -2) $ 处的切线斜率为 0，答案是 A。

4. 若 $ \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} $，则$ \int_{0}^{1} x^3 dx $ 的值是：A. $ \frac{1}{4} $B. $ \frac{1}{3} $C. $ \frac{1}{2} $D. $ \frac{2}{3} $答案解析：根据积分的基本公式，$ \int x^n dx =\frac{x^{n+1}}{n+1} + C $，所以 $ \int_{0}^{1} x^3 dx =\left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} $。

高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题（共21分每小题3分）1．曲线⎩⎨⎧=+=012x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ．2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{．4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0．5．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<+≤<-=,0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π+．6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 Cxy =．7．写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*．二、解答题（共18分每小题6分）1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-02032z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n，则{}3,2,1111121=--=k j i n(4分)所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面)(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．解： πθ20 ,10 ,2 :2≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(⎰⎰⎰-=221020d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ (6分)3．计算二重积分⎰⎰+-=Dy x y x eI d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D解 ⎰⎰-=2020d d 2r r eI r πθ⎰⎰--=-20220)(d d 212r e r πθ⎰-⋅-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分每题7分）1．设vue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ．解：)2(232y y x x e y ue x e xv v z x u u z x z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (3分))2(223xy x y e x ue y e yv v z y u u z y z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分)2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z所确定，求yzx z ∂∂∂∂,．解：令xyz e z y x F z-=),,(， (2分)则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F zz -= (5分)xye yzF F x z zz x -=-=∂∂， xy e xz F F y z z z y -=-=∂∂． (7分) 3．计算曲线积分⎰+-Ly x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段．解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林公式⎰⎰⎰⎰+--=+-OA DL y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分)ππ=-⋅=022 (7分)4．设曲线积分⎰++Lx y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，求)(x f ．解：由xQ y P ∂∂=∂∂ 得 )()(x f x f e x'=+，即xe xf x f =-')()( (3分)所以 )d ()(d d )1(C x e e e x f x x x+⋅=⎰⎰---⎰)(C x e x +=， (6分) 代入初始条件，解得1=C ，所以)1()(+=x e x f x ． (7分)5．判断级数∑∞=12)!2()!(n n n 的敛散性．解：因为 )!2()!()!22(])!1[(lim lim221n n n n u u n nn n ++=∞→+∞→ (3分) )12)(22()1(lim2+++=∞→n n n n 141<= (6分) 故该级数收敛． (7分)四、（7分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x --=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3-=⎰⎰⎰Ωv (6分)34213π⋅⋅=π2=． (7分)五、（6分）在半径为R 的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形．解：设三角形各边所对圆心角分别为z y x ,,，则π2=++z y x ，且面积为)sin sin (sin 212z y x R A ++=，令)2(sin sin sin πλ-+++++=z y x z y x F (3分)由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=πλλλ20cos 0cos 0cos z y x z F y F x F z yx (4分)得32π===z y x ．此时，其边长为R R 3232=⋅．由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三角形时其面积最大． (6分)六、（8分）求级数∑∞=1n nnx 的收敛域，并求其和函数．解： 1)1(lim lim1=+==∞→+∞→n n a a R n n n n ，故收敛半径为1=R ． (2分) 当1-=x 时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛；当1=x 时，级数为调和级数，发散．故原级数的收敛域为)1,1[-． (5分)设和为)(x S ，即∑∞==1)(n nnx x S ，求导得∑∞=-='11)(n n x x S x-=11， (6分) 再积分得 ⎰'=xx x S x S 0d )()(x xxd 110⎰-=)1ln(x --=，)11(<≤-x (8分) 七、（5分）设函数)(x f 在正实轴上连续，且等式⎰⎰⎰+=yx x yt t f x t t f y t t f 111d )(d )(d )(对任何0,0>>y x 成立．如果3)1(=f ，求)(x f ．解：等式两边对y 求偏导得)(d )()(1y f x t t f y x f x x+=⎰ (2分)上式对任何0,0>>y x 仍成立．令1=y ，且因3)1(=f ，故有⎰+=xx t t f x xf 13d )()(． (3分)由于上式右边可导，所以左边也可导．两边求导，得3)()()(+=+'x f x f x f x 即)0(3)(>='x xx f ．故通解为 C x x f +=ln 3)(．当1=x 时，3)1(=f ，故3=C ．因此所求的函数为 )1(l n 3)(+=x x f ． (5分)八．（5分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．解1：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe 是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为 )(2x f y y y =-'-''将x xe y=代入上式，得x x xe e x f 2)(-=，因此所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''解2：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe 是非齐次方程的一个特解，故x x x e C e C xe y -++=221是所求微分方程的通解，从而有 x x x x e C e C xe e y --++='2212，x x x x e C e C xe e y -+++=''22142消去21,C C ，得所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''06高数B一、填空题（共30分每小题3分）1．xoy 坐标面上的双曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为36)(94222=+-z y x ．2．设函数22),,(z yz x z y x f ++=，则=-)1,0,1(grad f )2,1,2(--．3．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π． 4. 设Ω是曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的区域积分，则⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分形式是⎰⎰⎰-22120d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ．5. 设L 是圆周22x x y -=，取正向，则曲线积分=+-⎰Ly x x y d dπ2．6. 幂级数∑∞=--11)1(n nn n x 的收敛半径1=R ．7．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0．8．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π．9．全微分方程0d d =+y y x x 的通解为Cxy =．10．写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*．二、解答题（共42分每小题６分）1．求过点)1,2,1(且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-03202z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,1111121=--=kj i n(4分) 所求平面方程为 032=++z y x (2分)2．函数),(y x z z =由方程z y x z y x 32)32sin(-+=-+所确定，求xz ∂∂．解：令z y x z y x z y x F 32)32sin(),,(+---+=， (2分)则,1)32cos(--+=z y x F x 3)32cos(3+-+-=z y x F z ． (2分))32c o s (33)32c o s (1z y x z y x F F x z z x -+--+-=-=∂∂ ． (2分) 3．计算⎰⎰Dxy σd ，其中D 是由直线2 ,1==x y 及x y =所围成的闭区域．解法一：原式⎰⎰=211d ]d [xx y xy (2分)x y x x d ]2[2112⎰⋅=x xx d )22(213⎰-= 811]48[2124=-=x x . (4分)解法二：原式⎰⎰=212d ]d [y y x xy 811]8[2142=-=y y .(同上类似分)4．计算⎰⎰--Dy x y x d d 122，其中D 是由122=+y x 即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域．解：选极坐标系原式⎰⎰-=2012d 1πθr r r d (3分))1(1)21(22102r d r ---⋅=⎰π6π= (3分) 5．计算⎰Γ-+-z x y yz x z y d d 2d )(222，其中Γ是曲线,t x =,2t y =3t z =上由01=t 到12=t 的一段弧．解：原式⎰⋅-⋅+-=122564d ]322)[(t t t t t t t (3分)⎰-=146d )23(t t t 1057]5273[t t -=351= (3分)6．判断级数∑∞=-1212n n n 的敛散性．解：因为 n n n nn n n n u u 2122)12(lim lim11-+=+∞→+∞→ (3分) 121<=， (2分) 故该级数收敛． (1分) 7．求微分方程043=-'-''y y y 满足初始条件,00==x y 50-='=x y 的特解．解：特征方程 0432=--r r ，特征根 1,421-==r r通解为 x xe C e C y -+=241， (3分)x xe C e C y --='2414，代入初始条件得 1,121=-=C C ，所以特解x x e e y -+-=4．(3分)三、（8分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x --=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x ⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3-=⎰⎰⎰Ωv (2分)34213π⋅⋅=π2=． (2分) 四、（8分）设曲线积分⎰-+Ly x x xf x x yf d ])(2[d )(2在右半平面)0(>x 内与路径无关，其中)(x f 可导，且满足1)1(=f ，求)(x f ．解：由xQy P ∂∂=∂∂，得x x f x x f x f 2)(2)(2)(-'+=，即1)(21)(=+'x f xx f ， (3分) 所以)d ()(d 21d 21C xeex f x x x x +=⎰⎰-⎰)(2121C dx x x+=⎰-)32(2321C x x+=-， (3分)代入初始条件，解得31=C ，所以xx x f 3132)(+=． (2分)五、（6分）求函数xy y x y x f 3),(33-+=的极值．解：⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=033),(033),(22x y y x f y x y x f y x 得驻点 )1,1(),0,0( (3分),6),(x y x f xx = ,3),(-=y x f xy y y x f yy 6),(=在点)0,0(处，,092>=-AC B 故)0,0(f 非极值；在点)1,1(处，,0272<-=-AC B 故1)1,1(-=f 是极小值． (3分)六、（6分）试证：曲面)(xyxf z =上任一点处的切平面都过原点．证：因),()(xyf x y x y f x z '-=∂∂ )(1)(x y f x x y f x y z '=⋅'=∂∂ (3分) 则取任意点),,(0000z y x M ，有)(0000x y f x z =，得切平面方程为))(())](()([)(00000000000000y y x yf x x x y f x y x y f x y f x z -'+-'-=- 即 0)()]()([0000000=-'+'-z y x y f x x y f x y x y f 故切平面过原点． (3分)07A一、填空题（每小题3分，共21分）.1．设向量}5,1,{},1,3,2{-==λb a ，已知a 与b垂直，则=λ1-2．设3),(,2,3π===b a b a ，则=-b a 6-3．yoz 坐标面上的曲线12222=+bz a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=++bz a y x4．过点)0,4,2(且与直线⎩⎨⎧=--=-+023012z y z x 垂直的平面方程0832=+--z y x5．二元函数)ln(y x x z +=的定义域为}0,0,({>+≥=y x x y x D6．函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=)1,0,1(gradf }1,0,1{7．设xy e z=，则=dz )(xdy ydx e xy +8．设),(x y x xf u =，f 具有连续偏导数，则=∂∂x u21f xyxf f -+ 9．曲线32,,t z t y t x ===上点)1,1,1(处的切向量=T}3,2,1{10．交换积分顺序：⎰⎰=ydx y x f dy 010),(⎰⎰110),(xdyy x f dx11．闭区域Ω由曲面222y x z+=及平面1=z 所围成，将三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰πθθθ20101),sin ,cos (r dz z r r f rdr d12．设L 为下半圆周21x y--=，则=+⎰ds y xL )(22π13．设L 为取正向圆周922=+y x，则=-+-⎰dy x x dx y xy L )4()22(2π18-14．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧<≤≤<-=ππx xx x f 000)(则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π15．若0lim ≠∞→nn u ，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是发散16．级数∑∞=1!2n n n nn 的敛散性是收敛17．设一般项级数∑∞=1n n u ，已知∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n u 的敛散性是绝对收敛18．微分方程05)(23=+'-''xy y y x 是 2 阶微分方程19．微分方程044=+'+''y y y 的通解=y xx xe C e C 2221--+20．微分方程x xe y y y 223=+'-''的特解形式为xe b ax x 2)(+二、（共5分）设xy v y x u v u z ===,,ln 2，求yz x z ∂∂∂∂,解：]1)ln(2[1ln 2222+=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy y x y v u y v u x v v z x u u z x z]1)ln(2[)(ln 23222--=⋅+-⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy yx x v u y x v u y v v z y u u z y z 三、（共5分）设022=-++xyz z y x ，求xz∂∂ 解：令xyz z y x z y x F 22),,(-++=x y zyzxyz F x -=xyzxyxyz F z -=xyxyz xyz yz F F x zz x --=-=∂∂ 四、（共5分）计算⎰⎰⎰Ωxdxdydz ，其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域解：y x z x y x --≤≤-≤≤≤≤Ω10,10,10:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----Ω--==xyx xdy y x x dx xdz dy dx xdxdydz 1010101010)1(241)2(21)1(213102102=+-=-=⎰⎰dx x x x dx x x 五、（共6分）计算⎰-+-Lx x dy y e dx y y e )1cos ()sin (，其中L 为由点)0,(a A 到点)0,0(O 的上半圆周ax y x =+22解：添加有向辅助线段OA ,则有向辅助线段OA 和有向弧段OA 围成闭区域记为D ，根据格林公式⎰-+-Lxx dy y e dx y y e )1cos ()sin ( ⎰⎰⎰-+--=DOAx x dy y e dx y y e dxdy )1cos ()sin (0)2(212-=a π 381a π= 六、（共6分）求幂级数∑∞=-13)3(n nn n x 的收敛域解：对绝对值级数，用比值判敛法3313131lim 333)1(3lim lim 111-=-⋅+=-+-=∞→++∞→+∞→x x n n n x n x u u n n nn n n n n n 当1331<-x 时，即60<<x ，原级数绝对收敛当1331>-x 时，即60><x x 或，原级数发散当0=x 时，根据莱布尼兹判别法，级数∑∞=-1)1(n nn收敛当6=x时，级数∑∞=11n n发散，故收敛域为)6,0[七、（共5分）计算dxdy z⎰⎰∑2，其中∑为球面1222=++z y x 在第一卦限的外侧解：∑在xoy 面的投影xy D ：0,0,122≥≥≤+y x y xdxdy z ⎰⎰∑2dxdy y x xyD )1(22--+=⎰⎰rdr r d )1(20102⎰⎰-=πθ412⋅=π8π=八、（共7分）设0)1(=f ，求)(x f 使dy x f ydx x f x x )()](1[ln ++为某二元函数),(y x u 的全微分，并求),(y x u解：由x Q y P ∂∂=∂∂，得)()(1ln x f x f x x '=+，即x x f xx f ln )(1)(=-' 所以)ln 21()1ln ()ln ()(211C x x C dx x x x C ex ex f dxx dxx+=+⋅=+=⎰⎰⎰⎰---带入初始条件，解得0=C,所以x x x f 2ln 21)(=⎰++=),()0,0(22ln 21)ln 21(ln ),(y x xdy x ydx x x y x u⎰⎰+=xyxdy x 002ln 210x xy 2ln 21=07高数B一、（共60分每题3分）1. 设向量}4 ,2 ,6{-=a ，}2 ,1 ,{-=λb ，已知a 与b平行,则=λ3-．2. yoz 坐标面上的曲线12222=-c z a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=-+bz a y x ． 3.设3),(,1,2π===∧b a b a ,则a b -=3．4. 设一平面经过点)1,1,1(，且与直线⎩⎨⎧=+=--03042z y y x 垂直，则此平面方程为032=-+z y x ．5. 二元函数12ln2+-=x y z 的定义域为{}012|),(2>+-x y y x ．6. 设xye z =，则=z d )d d (y x x y e xy +．7. 函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=)1,0,1(grad f )1,0,1(．8.设(,)y u xf x x =，f 具有连续导数，则u x ∂=∂12yf xf f x''+-．9. 曲面1222=++z y x 在点)2,0,1(-处的法向量=n{}4,0,2-． 10. 交换积分顺序：⎰⎰=1d ),(d x y y x f x ⎰⎰101d ),(d yx y x f y ．11.闭区域Ω由曲面22y x z +=及平面1=z 所围成，将三重积⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰11202d ),sin ,cos (d d rz z r r f r r θθθπ．12. 设∑是闭区域Ω的整个边界曲面的外侧,V 是Ω的体积，则 ⎰⎰∑++y x z x z y x y x d d d d d d =V 3．13. 设L 为上半圆周21x y -=，则=+⎰Ls y x d )(22π．14. 设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π．15. 若lim 0n n u →∞≠，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是发散． 16. 级数∑∞=1!5n n nn n 的敛散性是收敛．17.级数∑∞=12sin n nn的敛散性是收敛． 18. 微分方程06)(542=+'+''y y y x 是 2 阶微分方程． 19. 微分方程02=+'-''y y y 的通解为)(21x C C e x +．20.微分方程x xe y y y 2365-=+'+''的特解的形式xe bx ax y 22*)(-+=．三、（共5分）函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定，求xz∂∂．解：令=),,(z y x F z z y x 4222-++， (1分)则 ,2x F x = ,42-=z F z (2分)zxF F x z z x -=-=∂∂2 (2分) 五、（共6分）计算曲线积分⎰+--Ly y x x y x d )sin (d )2(22，其中L 为由点)0,2(A 到点)0,0(O 的上半圆周x y x 222=+．解：添加有向辅助线段，它与上半圆周围成的闭区域记为D ，根据格林公式⎰+--Ly y x x y x d )sin (d )2(22⎰⎰⎰+---+-=OADy y x x y x y x d )sin (d )2(d d )21(22 (3分)⎰⎰=Dy x d d ⎰-22d x x 3823212132-=-⋅⋅=ππ (3分)七、（共6设0)1(=f ，确定)(x f 使y x f x xyx f x d )(d )]([sin +-为某二元函数(,)u x y 的全微分．解：由xQy P ∂∂=∂∂ 得 )()(sin x f x x f x '=-，即 xxx f x x f s i n )(1)(=+' (2分) 所以 )d sin ()(d x 1d 1C xe xx ex f x x x+⋅=⎰⎰⎰-)d sin (ln ln C x e xx e xx +⋅=⎰- (2分) )cos (1C x x+-=， (1分) 代入初始条件，解得1cos =C ，所以)cos 1(cos 1)(x xx f -=． (1分) 八、(共6分) 计算⎰⎰∑y x z d d 2，其中∑是球面1222=++z y x 外侧在,0≥x 0≥y 的部分．解：⎰⎰∑y x z d d ⎰⎰∑=1d d y x z ⎰⎰∑+2d d y x (2分)⎰⎰--=xyD y x y x d d )1(22⎰⎰----xyD y x y x d )d 1()1(22 (2分) ⎰⎰--=xyD y x y x d )d 1(222r r r d )1(d 21220⋅-=⎰⎰πθ 4π=(2分)08高数A一、选择题（共24分每小题3分）1．设{}1111,,p n m s =，{}2221,,p n m s =分别为直线1L ，2L 的方向向量，则1L 与2L 垂直的充要条件是（A ）（A ）0212121=++p p n n m m （B ）212121p p n n m m ==（C ）1212121=++p p n n m m （D ）1212121=++p pn n m m 2．Yoz 平面上曲线12+=y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 ( C )（A ）12+=y z （B ）22x y z +=（C ）122++=x y z （D ）x y z +=23．二元函数12ln2+-=x y z 的定义域为（B ）（A ）{}02|),(2>-x y y x （B ）{}012|),(2>+-x y y x （C ）{}012|),(2≤+-x y y x （D ）{}0,0|),(≥>y x y x4．交换积分顺序：1d (,)d yy f x y x =⎰⎰ （ A ）（A ）dy y x f dx x ⎰⎰110),(（B ）dx y x f dy y ⎰⎰110),(（C ）dx y x f dy y⎰⎰110),(（D ）dy y x f dx x⎰⎰110),(5．空间闭区域Ω由曲面1=r 所围成，则三重积分⎰⎰⎰Ωv d 2= （ C ）（A ）2 （B ）2π （C ）38π （D ）34π 6．函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定，则xz∂∂= （ D ）（A ）zy -2 （B ）y x-2 （C ）zz-2 （D ）zx-27．幂级数∑∞=13n n nn x 的收敛域是（ C ）（A ）][3,3- （B ）](3,0（C ） [)3,3- （D ）()3,3-8．已知微分方程xe y y y =-'+''2的一个特解为x xe y =*，则它的通解是（ B ）（A ）x xe x C x C ++221（B ）x x x xe e C e C ++-221（C ）x e x C x C ++221（D ）x x x xe e C e C ++-21二、填空题（共15分每小题3分）1．曲面z y x =+22在点)1,0,1(处的切平面的方程是012=--z x ． 2．若lim 0n n u →∞≠，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是发散． 3．级数∑∞=12cos n nn的敛散性是绝对收敛． 4．二元函数2221sin)(),(xy x y x f +=，当()()0,0,→y x 时的极限等于 0 。

第二学期高数下期末考试试卷及答案

第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1.设()=⎰22t xFx e dt ，则()F x '=-22x xe.2.曲面sin cos =⋅z x y 在点,,⎛⎫⎪⎝⎭1442ππ处的切平面方程是--+=210x y z .3.交换累次积分的次序：=(),-⎰⎰2302xxdx f x y dy.4.设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,则：使得格林公式： ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ÑD LQ P dxdy Pdx Qdy x y 成立的充分条件是：()(),,和在D上具有一阶连续偏导数P x y Q x y .其中L 是D 的取正向曲线;5.级数∞=-∑1nn 的收敛域是(],-33.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1.当→0x ，→0y 时,函数+2423x yx y 的极限是()DA.等于0;B. 等于13;C. 等于14; D. 不存在.2.函数(),=zf x y 在点(),00x y 处具有偏导数(),'00x f x y ，(),'00y f x y 是函数在该点可微分的()CA.充分必要条件;B.充分但非必要条件;C.必要但非充分条件;D. 既非充分又非必要条件.3.设()cos sin =+x ze y x y ，则==10x y dz()=BA.e ;B. ()+e dx dy ;C. ()-+1edx dy ; D. ()+x e dx dy .4.若级数()∞=-∑11nn n a x 在=-1x 处收敛,则此级数在=2x处()AA.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定.5.微分方程()'''-+=+3691x y y y x e 的特解*y 应设为()DA. 3xae ; B.()+3x ax b e ;C. ()+3x xax b e ; D. ()+23x x ax b e .三.（8分）设一平面通过点(),,-312,而且通过直线-+==43521x y z,求该平面方程. 解：()(),,,,,--312430QA B(),,∴=-142u u u rAB 平行该平面∴该平面的法向量()()(),,,,,,=⨯-=--5211428922rn∴所求的平面方程为：()()()----+=83912220x y z即：---=8922590x y z四.（8分）设(),=yz fxy e ,其中(),f u v 具有二阶连续偏导数,试求∂∂z x 和∂∂∂2zx y. 解：令=u xy ，=y v e五.（8分）计算对弧长的曲线积分⎰L其中L 是圆周+=222xy R 与直线,==00x y在第一象限所围区域的边界.解：=++123L L L L其中： 1L ：(),+=≥≥22200xy R x y2L ：()=≤≤00x y R3L ：()=≤≤00y x R而Re ==⎰⎰1202RR L e Rdt ππ故：()Re =+-⎰212R R Le π六、（8分）计算对面积的曲面积分∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰423z x y dS ,其中∑为平面++=1234x y z在第一卦限中的部分. 解：Q xy D ：≤≤⎧⎪⎨≤≤-⎪⎩023032x y x=3-==⎰⎰323200x dx七.（8分）将函数()=++2143f x x x ,展开成x 的幂级数.解：()⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪+++⎝⎭+111111121321613Q f x xx x x , 而 ()∞=⋅=-+∑01111212n nn x x , (),-11 ()∞=-⋅=+∑01116313nn n n x x , (),-33 ()()∞+=⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭∑10111123nnn n f x x , (),-11八.（8分）求微分方程：()()+-+-+=42322253330xxy y dx x y xy y dy 的通解.解：∂∂==-∂∂263Q P Qxy y y x,∴原方程为：通解为：++-=532231332x y x y y x C九.幂级数：()()!!!!=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅246212462nx x x x y x n1.试写出()()'+y x y x 的和函数;（4分）2.利用第1问的结果求幂级数()!∞=∑202nn x n 的和函数.（8分）解：1、()()!!!-'=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-35213521n x x x y x x n (),-∞∞于是()()!!'+=++++⋅⋅⋅=23123x x x y x y x x e (),-∞∞ 2、令：()()!∞==∑202nn x S x n由1知：()()'+=x S x S x e 且满足：()=01S通解：()()--=+=+⎰12x x x xx Sx e C e e dx Ce e 由()=01S ，得：=12C ；故：()()-=+12xx S x e e十.设函数()f t 在(),+∞0上连续,且满足条件其中Ωt 是由曲线⎧=⎨=⎩2z ty x ,绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面=zt (参数>0t )所围成的空间区域。

高等数学下期末试题(七套附答案)

高等数学（下）试卷一一、填空题（每空3分，共15分）（1）函数11z x y x y =++-的定义域为（2）已知函数arctany z x =，则zx ∂=∂（3）交换积分次序，2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（） A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交（2）设是由方程2222xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（）A.dx dy +B.2dx dy +C.22dx dy +D.2dx dy - （3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()xy dvΩ+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（） A.2253d r dr dzπθ⎰⎰⎰ B.2453d r dr dzπθ⎰⎰⎰ C.2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰ D. 2252d r dr dzπθ⎰⎰⎰（4）已知幂级数，则其收敛半径（）A. 2B. 1C. 12 D. 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=（）A.B.()x ax b xe +C.()xax b ce ++D.()xax b cxe ++三、计算题（每题8分，共48分） 1、求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z+-==的平面方程 2、已知22(,)z f xy x y =，求zx ∂∂， z y ∂∂得分阅卷人3、设22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求2Dx dxdy ⎰⎰4、求函数22(,)(2)xf x y e x y y =++的极值5、计算曲线积分2(23sin )()y L xy x dx x e dy ++-⎰，其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O 到(,2)A π的一段弧6、求微分方程 xxy y xe '+=满足 11x y ==的特解四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰，其中∑由圆锥面22z x y =+与上半球面222z x y =--所围成的立体表面的外侧 (10)'2、（1）判别级数111(1)3n n n n ∞--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6'）（2）在(1,1)x ∈-求幂级数1nn nx∞=∑的和函数（6'）高等数学（下）试卷二一．填空题（每空3分，共15分）（1）函数24x y z -=的定义域为；（2）已知函数xyz e =，则在(2,1)处的全微分dz = ；（3）交换积分次序，ln 1(,)e x dx f x y dy⎰⎰＝；（4）已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，则Lyds =⎰；（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为 .二．选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（）；A. 0B. 2πC. 3πD. 4π（2）设是由方程333z xyz a -=确定，则z x ∂=∂（）；A. 2yz xy z -B. 2yz z xy -C. 2xz xy z -D. 2xy z xy -（3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=（）；A.2()x ax b e +B.2()xax b xe + C.2()x ax b ce ++ D.2()x ax b cxe ++（4）已知Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域, 将dvΩ⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为（）； A2220sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.220ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.200ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰ D.220sin a d d r drππθϕϕ⎰⎰⎰（5）已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑，则其收敛半径（）.A. 2B. 1C. 122三．计算题（每题8分，共48分）5、求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .6、已知(sin cos ,)x yz f x y e +=，求zx ∂∂， z y ∂∂ .7、设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰ .8、求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy-+-⎰，其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段. 6、求微分方程 32(1)1y y x x '-=++的通解.四．解答题（共22分）1、（1）（6'）判别级数11(1)2sin3n n n n π∞-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1n n x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰，∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧得分阅卷人得分高等数学（下）模拟试卷三一．填空题（每空3分，共15分）1、函数arcsin(3)y x =-的定义域为 .2、22(2)lim 332n n n n →∞++-= .3、已知2ln(1)y x =+，在1x =处的微分dy = . 4、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰ .5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dydx =.二．选择题（每空3分，共15分）1、2x =是函数22132x y x x -=-+的间断点（A ）可去（B ）跳跃（C ）无穷（D ）振荡2、积分1⎰= .(A) ∞ (B)-∞(C) 0 (D) 13、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是。

高等数学同济版下册期末考四套试题及答案

高等数学同济版（下册）期末考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分)1、=的定义域为D= .2、二重积分的符号为。

3、由曲线及直线，所围图形的面积用二重积分表示为，其值为.4、设曲线L的参数方程表示为则弧长元素。

5、设曲面∑为介于及间的部分的外侧，则 .6、微分方程的通解为 .7、方程的通解为。

8、级数的和为。

二、选择题（每小题2分，共计16分)1、二元函数在处可微的充分条件是（）（A）在处连续；（B），在的某邻域内存在；(C）当时,是无穷小;（D)。

2、设其中具有二阶连续导数，则等于（）（A）; （B）；(C）; （D)0 。

3、设：则三重积分等于（）（A)4；（B）；（C）;（D）。

4、球面与柱面所围成的立体体积V=（）（A）；（B);(C)；（D）。

5、设有界闭区域D由分段光滑曲线L所围成，L取正向，函数在D上具有一阶连续偏导数，则（A）; （B）；（C）；（D）。

6、下列说法中错误的是（）（A）方程是三阶微分方程；（B）方程是一阶微分方程;（C）方程是全微分方程；（D）方程是伯努利方程。

7、已知曲线经过原点,且在原点处的切线与直线平行，而满足微分方程，则曲线的方程为（）（A）；（B)；(C)；(D)。

8、设, 则( ）（A）收敛; （B）发散；（C）不一定；（D）绝对收敛。

三、求解下列问题（共计15分）1、（7分）设均为连续可微函数.，求.2、(8分）设，求。

四、求解下列问题（共计15分)。

1、计算。

（7分）2、计算,其中是由所围成的空间闭区域（8分)五、(13分）计算，其中L是面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点的封闭曲线的逆时针方向.六、(9分）设对任意满足方程，且存在,求。

七、（8分）求级数的收敛区间.高等数学同济版（下册）期末考试试卷（二）1、设，则。

2、。

3、设，交换积分次序后，。

4、设为可微函数，且则。

5、设L为取正向的圆周,则曲线积分。

6、设，则。

7、通解为的微分方程是。

高等数学期末考试试卷(含答案)完整版本

高等数学期末考试试卷(含答案)完整版本一、高等数学选择题
1．点是函数的极值点．
A、正确
B、不正确
【答案】B
2．不定积分．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
3．微分方程的通解是（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
4．设函数，则．
A、正确
B、不正确
【答案】A
5．不定积分，其中为任意常数．
A、正确
B、不正确
【答案】B
6．．
A、正确
B、不正确
【答案】A
7．函数的图形如图示，则函数的单调减少区间为
( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
8．设函数，则（）．A、
B、
C、
D、
【答案】A
9．极限．
A、正确
B、不正确
【答案】A
10．设函数，则（）．A、
B、
C、
D、
【答案】A
11． ( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
12．不定积分( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
13．微分方程的通解是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】A
一、一选择题
14．是偶函数.
A、正确
B、不正确
【答案】A
15．函数在点处连续．
A、正确
B、不正确
【答案】A。

高数期末考试题及答案选择

高数期末考试题及答案选择一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数 $ f(x) = x^2 $ 在 $ x = 0 $ 处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 4答案： A2. 定积分 $ \int_{0}^{1} x^2 dx $ 的值是：A. $ \frac{1}{3} $B. $ \frac{1}{2} $C. $ \frac{2}{3} $D. $ \frac{3}{4} $答案： A3. 若 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} $ 存在，则$ \lim_{x \to 0} f(x) $ 与 $ \lim_{x \to 0} g(x) $ 必须：A. 都存在B. 都不存在C. 至少有一个存在D. 至少有一个不存在答案： D4. 函数 $ y = \sin(x) $ 的周期是：A. $ 2\pi $B. $ \pi $C. $ \frac{\pi}{2} $D. $ \frac{1}{2} $答案： A5. 根据泰勒公式，函数 $ e^x $ 在 $ x = 0 $ 处的泰勒展开式为：A. $ 1 + x $B. $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $C. $ 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \cdots $D. $ 1 + x - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} - \cdots $答案： B6. 级数 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $ 收敛于：A. $ \frac{1}{2} $B. $ \frac{\pi^2}{6} $C. $ \frac{e}{2} $D. $ \frac{1}{e} $答案： B7. 若 $ \lim_{x \to \infty} f(x) = L $，则函数 $ f(x) $ 必须：A. 在 $ x $ 足够大时，值接近 $ L $B. 在 $ x $ 足够大时，值等于 $ L $C. 在 $ x $ 足够大时，值小于 $ L $D. 在 $ x $ 足够大时，值大于 $ L $答案： A8. 函数 $ y = x^3 - 3x^2 + 2x $ 的拐点是：A. $ x = 0 $B. $ x = 1 $C. $ x = 2 $D. $ x = 3 $答案： B9. 若 $ f(x) $ 在区间 $ I $ 上连续，则 $ \int_{a}^{b}f(x) dx $ 存在，其中 $ a, b $ 是区间 $ I $ 上的任意两点：A. 正确B. 错误答案： A10. 函数 $ y = \ln(x) $ 的定义域是：A. $ x > 0 $B. $ x < 0 $C. $ x \geq 0 $D. $ x \leq 0 $答案： A二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $ 在 $ x = 1 $ 处的导数是_______。

高数下期末考试复习题及答案

∑
z = x 2 + y 2 (0 ≤ z ≤ h) 的下侧。
解：补平面 Σ1 : z = h 的上侧，则 ∫∫ ( y 2 − z )dydz + ( z 2 − x)dzdx + ( x 2 − y )dxdy
∑
=
∫∫ ( y
Σ + Σ1
2
− z )dydz + ( z − x)dzdx + ( x 2 − y )dxdy − ∫∫ ( x 2 − y )dxdy
a0 =
5分
f ( x) =
Hale Waihona Puke h 2 ∞ sin nh + ∑ cos nx, x ∈ [0, h) ∪ (h, π ) π π n =1 n h 2 ∞ sin nh 1 + ∑ cos nx 收敛于。 π π n =1 n 2
8分
当 x = h 时，级数
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x+
7分
计算 ∫∫ ( y 2 + 3 x − 6 y + 9)dσ ，其中 D 是闭区域: x 2 + y 2 ≤ R 2 。
D
解：利用对称性，并设 x = r cosθ , y = r sin θ ，则
∫∫ ( y
D
2
+ 3 x − 6 y + 9)dσ = ∫∫ ( y 2 + 9)dσ =
D
C
0
4分
π
0
π
0
= 18 13 ∫ 2 (t sin t cos t )dt = 18 13 ∫ 2
t sin 2tdt 2
6分
t 1 = 18 13[− cos 2t + sin 2t ] 4 8

高等数学同济版下册期末考四套试题及答案

高等数学同济版下册期末考四套试题及答案高等数学同济版（下册）期末考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、$z=\log_a(x+y)$ $(a>0)$的定义域为$D=\{(x,y)|x+y>0\}$。

2、二重积分$\iint_{|x|+|y|\leq1}2\ln(x+y)dxdy$的符号为正。

3、由曲线$y=\ln x$及直线$x+y=e+1$，$y=1$所围图形的面积用二重积分表示为$\iint_D dxdy$，其值为$e-2$。

4、设曲线$L$的参数方程表示为$\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}$$(\alpha\leqx\leq\beta)$，则弧长元素$ds=\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}dt$。

5、设曲面$\Sigma$为$x+y=9$介于$z=0$及$z=3$间的部分的外侧，则$(x+y+1)ds=\iint_{\Sigma}(x+y+1)dS=27$。

6、微分方程$\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)$的通解为$y=\varphi(x,c)$，其中$c$为任意常数，$\varphi(x,c)$是微分方程的一族特解。

7、方程$y^{(4)}+y'''-4y=0$的通解为$y=c_1e^x+c_2e^{-x}+c_3\cos x+c_4\sin x-\dfrac{1}{2}x\cos x$。

8、级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n(n+1)}{2}$的和为$\dfrac{1}{6}\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(n+1)(n+2)$，再利用$\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(n+1)(n+2)=\dfrac{1}{4}\sum\limits _{n=1}^{\infty}n(n+1)(2n+1)$，最终得到$\dfrac{1}{12}\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(2n+1)(n+1)=\dfrac{1}{12}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 4=\dfrac{1}{3}$。

高数期末下册考试题及答案

高数期末下册考试题及答案序章数学是一门科学，也是一门工具学科，对于不少学子而言，高等数学一直是一门令人头疼的学科，尤其是对于高数期末考试而言，更是充满了挑战。

本文将提供高数期末下册考试题及答案，以帮助读者更好地准备并且顺利通过这一考试。

第一章：导数与微分题目一：计算以下函数的导数并求出导函数1. $f(x)=3x^2+2x+1$2. $g(x)=\sin(x)-\cos(x)$3. $h(x)=e^x\cdot\ln(x)$题目二：应用题一天中，某商品的销售量随时间变化的规律如下：$Q(t) = 100e^{-0.02t}$，其中时间$t$以小时为单位。

求在第3小时以内的销售量的平均增长速度。

第二章：积分学题目三：求下列不定积分1. $\int (2x^2+3x-1)dx$2. $\int \frac{1}{x}dx$3. $\int \frac{2x+3}{x^2+3x+2}dx$题目四：计算定积分已知函数$f(x)=x^2-3x+2$，计算$\int_0^3 f(x)dx$的值。

第三章：微分方程题目五：求解下列微分方程1. $\frac{dy}{dx}=2x+1$2. $\frac{d^2y}{dx^2}+4\frac{dy}{dx}+4y=0$3. $\frac{d^2y}{dx^2}+9y=\sin(x)$题目六：应用题一个满足空气阻力的物体由高空自由落下，求解物体落地时的速度和位移。

第四章：无穷级数题目七：判断级数是否收敛1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}$2. $\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n^2+1}$3. $\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!}$题目八：计算级数的和计算级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}$的和。

结语通过以上的考题，相信读者们对于高数期末下册考试的复习有了更明确的目标和方向。

高等数学下期末试题(七套附答案)

x1 y 2 z3
x2
1、求过直线 L1 : 1
0
1 且平行于直线 L 2 ： 2
z
z
2、已知 z f ( xy2 , x2 y) ，求 x ， y
D
3、设
{( x, y) x2
y2
4} ，利用极坐标求
x2dxdy
D
C. (ax b) cex
y1 z 1 1 的平面方程
1 / 22
4、求函数 f (x, y) e2x ( x y2 2 y) 的极值
1 1x
x0
1 1 ex 1
2
x0
f (x
求0
x 2 及 y2 x 所围图形的面积；
1)dx (6 )
（ 2）求所围图形绕 x 轴旋转一周所得的体积。 (6 )
高等数学（下）模拟试卷四
一．填空题（每空 3 分，共 15 分）
1 y
1 x2
1、函数
x
的定义域为
.
e axdx, a 0
2、 0=Fra bibliotek.z
3 ．已知 z
e xy ，则
(1,0 )
x
。
4 ．设 L 为 x2
y 2 1 上点 1,0 到
1,0 的上半弧段，则
2ds
L
。
e
ln x
dx f ( x, y)dy
5 ．交换积分顺序 1
0
。
( 1) n
6 . 级数 n 1 n 是绝对收敛还是条件收敛？
。
7 ．微分方程 y sin x 的通解为
。
二．选择题（每空 3 分，共 15 分）
x
2
d 2y
1、已知 y 1 t ，求 dx2

高等数学期末试卷及答案

高等数学测试题一一、单项选择题(每小题4分，满分20分)1．曲面22214x y z ++=在点(1,2,3)处的切平面方程是（）A.123123x y z ---==B.23140x y z ++-=C.123213x y z ---==D.2340x y z ++-= 2．设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(,)z f xy y =，则2z x y ∂∂∂=（）A.111f xyf '''+ B.112f yf '''+ C.1211yf xyf ''''+ D.112f xyf yf '''''++ 3．设空间区域2222222212:,0;:,0,0,0x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥，则下列等式（）成立.A.12d 4d x v x v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ B.12d 4d y v y v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰C.12d 4d z v z v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ D.12d 4d xyz v xyz v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰4．下列级数中，绝对收敛的级数是（）A.11(1)nn n ∞=-∑ B.2311(1)n n n ∞=-∑C.1(1)nn ∞=-∑11(1)ln(1)n n n∞=-+∑5．已知幂级数0(1)n n n a x ∞=-∑在2x =-处收敛，在4x =处发散，则幂级数0(1)n n n a x ∞=+∑的收敛域为（）A.[4,2)-B.[3,3)-C.[2,4)-D.[1,5)- 二、填空题(每小题4分，满分20分)6．通过曲线22222241x y z x y z ⎧++=⎨--=⎩且母线平行于z 轴的柱面方程为．7．设函数2(,,)e x f x y z yz =，其中(,)z z x y =是由0x y z xyz +++=确定的隐函数，则(0,1,1)x f '-= ．8．微分方程230y y y '''+-=的通解为． 9．交换积分次序1100d (,)d xx f x y y -=⎰⎰ ．10．级数1(21)nn x n ∞=+∑的收敛半径R = ．三、计算题(每小题6分，满分30分)11．求函数22(,)22425f x y x xy y x y =++++-的极值．12．求曲面22z x y =+介于两平面1z =与4z =之间的部分的面积．13．求微分方程22d d yxy x y x=+满足条件e |2e x y ==的特解．14．求过点1(1,1,1)M 和2(0,1,1)M -且垂直于平面0x y z +-=的平面方程．15．求幂级数211nn n x n ∞=+∑的和函数．四、理论及其应用题（每题满分8分，共24分）16．求二阶线性非齐次微分方程2y y y x '''-+=满足条件(0)2,(0)0y y '==的特解．17．已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1)．线段AB 绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面为S ．求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积．18．将函数1()f x x =展开成(3)x -的幂级数，并求10(1)3n n n ∞+=-∑的和．五、证明题（本题满分6分）19．设z 是,x y 的函数，且()(), ()()0xy xf z yg z xf z yg z ''=++≠，求证：[()][()]z zx g z y f z x y∂∂-=-∂∂．《高等数学（下）》测试题一参考答案一、1．B ；2．D ；3．C ；4．C ；5．A ．二、6．22531x y -=；7．1；8．312e e x x y C C -=+；9．1100d (,)d yy f x y x -⎰⎰；10．1/2．三、11．解224, 242f f x y x y x y ∂∂=++=++∂∂，由0, 0f f x y∂∂==∂∂解得驻点(3,1)P -，又因为2, 2, 4xxxy yy f f f ''''''===，则在点(3,1)P -处，2, 2, 4A B C ===，240B AC -=-<，且20A =>，故点(3,1)P -是函数(,)f x y 的极小值点，极小值为(3,1)10f -=-．12．解2214d d D x y A x y x y ≤+≤==⎰⎰232π22111πd d 2π(14)126r r r θ==⨯+=⎰⎰． 13．解因22(,)(),()P x y x y Q x xy =-+=均为二次齐式，故所给方程为齐次微分方程．令y xu =，则d d d d y u u x x x=+，代入方程2221d d y y x y x y x xy x⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==，得2d 1d u u u x x u ++=，即d 11d d d u x u u x x u x =⇒=．两边积分，得21ln 2u x C =+，将y u x=代回，得通解222(ln )y x x C =+．由初始条件e |2e x y ==，得1C =．故所求特解为222(ln 1)y x x =+．14．解由题设知，所求平面的法向量n ，既垂直于已知平面的法向量0n i j k =+-，又垂直于向量122M M i k =--，故可取01211123102ijkn n M M i j k =⨯=-=-++--，由此得所求平面的点法式方程为2(1)3(1)(1)0x y z --+-+-=，即2320x y z --+=．15．解因为211111n n nn n n n x nx x n n∞∞∞===+=+∑∑∑， 1211()1(1)nn n n x x S x nx x x x x x ∞∞==''⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑，记211()n n S x x n∞==∑，则121111()1n n n n S x x x n x ∞∞-=='⎛⎫'=== ⎪-⎝⎭∑∑，对上式从0到x 的积分，得201()d ln(1)1xS x x x x==---⎰，故 2211ln(1) (11)(1)n n n xx x x n x ∞=+=---<<-∑. 四、16．解原方程对应的齐次方程为20y y y '''-+=，齐次方程的特征方程是2221(1)0r r r -+=-=，解得其特征根为121r r ==，于是齐次方程的通解为12()e x y C C x =+．由于0λ=不是特征根，故非齐次方程2y y y x '''-+=的特解形式应设为*()Y x Ax B =+，将它代入非齐次微分方程中，得1, 2A B ==.于是，非齐次微分方程的通解为12()e 2x y C C x x =+++.将初始条件(0)2,(0)0y y '==代入，得120, 1C C ==-，故所求的特解为e 2x y x x =-++．17．解直线AB 的方程为1111x y z-==-，即⎩⎨⎧=-=.,1z y z x 过z 轴上的[0,1]中任一点z 且垂直于z 轴截旋转体所得截面是一个圆，与AB 交于点1(1,,)M z z z -．于是圆的半径为r ==，面积为2π(122)z z -+．因此，1120()2d d d d d d π(122)d π3s z V x y z z x y z z z Ω===-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 18．解因为当|3|3x -<时，有011111333(3)33313nn x x x x ∞=-⎛⎫==⋅=- ⎪-+-⎝⎭+∑ 1001(3)1(1)(1)(3)333n n n n n n n n x x ∞∞+==-=-=--∑∑ 所以，取4x =，得10(1)134n n n ∞+=-=∑．五、19．证明在方程()()xy xf z yg z =+两边同时对x 求导数得()()()()()()z z z y f z y f z xf z yg z x x x xf z yg z ∂∂∂-''=++⇒=''∂∂∂+， ()()0xf z yg z ''+≠.同理，得()()()z x g z y xf z yg z ∂-=''∂+，将所求偏导数代入等式[()][()]z zx g z y f z x y∂∂-=-∂∂，即得恒等式．故命题得证．《高等数学（下）》测试题二一、单项选择题(每小题4分，满分20分，把答案写在括号内)1．函数(,)f x y =(0,0)处的偏导数存在情况是（） (A)(0,0)x f '存在，(0,0)y f '存在； (B)(0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在； (C)(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在； (D)(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '不存在． 2．变换积分210d (,)d xx x f x y y ⎰⎰的次序为（）(A)10d (,)d y y f x y x ⎰； (B)110d (,)d y y f x y x ⎰⎰；(C)210d (,)d y y y f x y x ⎰⎰； (D)10d (,)d y y f x y x ⎰． 3．直线12:213x y zL -+==与平面:21x y z ∏--=的关系是（） (A)互相平行，L 不在∏上； (B) L 在∏上； (C)垂直相交； (D) 相交但不垂直． 4．若级数21n n u ∞=∑与21n n v ∞=∑均收敛，则下列级数绝对收敛的是（）A ．1n n u ∞=∑；B ．1()n n n u v ∞=+∑；C ．21(1)nnn u ∞=-∑；D ．21()n n n u v ∞=+∑．5．设平面区域D 是由直线1,12x y x y +=+=及两条坐标轴所围成，记233123()d , ()d , [ln()]d DDDI x y I x y I x y σσσ=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰；则有（）(A)123I I I <<； (B) 321I I I <<； (C)132I I I <<； (D) 312I I I <<．二、填空题(每小题4分，满分20分，把答案写在横线上)6．过点(1,2,1)-且与直线2341x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面方程是．7．微分方程20y y y '''++=的通解为．8．已知平面24x y z m +-=是曲面222z x y =+在点(1,1,3)处的切平面，则m 的值等于．9．级数2114nnn x ∞=∑的收敛域为． 10．D 是由0,0x y ==与221x y +=所围成的图形在第一象限内的部分，则二重积分2d d Dx y x y =⎰⎰ ．三、基本计算题(每小题6分，共30分)11．设3,y z x f xy x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中f 具有二阶偏导数，求,z z x y∂∂∂∂．12．已知||||1a b ==，且a 与b 的夹角π6θ=，求以2a b +和3a b +为边的平行四边形的面积．13．设Ω是由曲线22x y z=⎧⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =围成的空间区域，求22()d x y z v Ω++⎰⎰⎰．14．求微分方程323e x y y y x -'''++=的通解．15．将函数1()(1)f x x x =-展开成2x -的幂级数．四、概念及其应用题（每小题8分，共24分） 16．求11, (0,0)z xy x y x y=++>>的极值．17．求曲面22z x y =+与226()z x y =-+所围立体的体积．18．求幂级数13nn n x n ∞=∑的收敛半径、收敛域及和函数．五、证明题（本题6分）19．证明y x z x y x y ϕψ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭满足方程2222220z z x y x y ∂∂-=∂∂．《高等数学（下）》测试题二参考答案一、1．B ；2．D ；3．A ；4．C ；5．B ．二、6．340x y z --+=；7．12()e x y C C x -=+；8．3；9．(2,2)-；10．115．三、11．解231223,zy y x f xy x f y f xx x ∂-⎛⎫⎡⎤''=+⋅+⋅ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦， 3121z x f x f y x ∂⎡⎤''=⋅+⋅⎢⎥∂⎣⎦． 12．解由向量积的几何意义知，以2a b +和3a b +为边的平行四边形面积为(2)(3)(3)(2)(3)(2)π555sin 62S a b a b a a a b b a b ba b a b =+⨯+=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=⋅⋅=13．解 Ω由旋转抛物面221()2z x y =+与平面4z =围成．曲面与平面的交线为228,4.x y z ⎧+=⎨=⎩ 选用柱坐标变换cos,sin ,. x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩由题意得积分区域:02π,04,0z r θΩ≤≤≤≤≤≤，于是42π2220()d d d )d x y z v z r z r r θΩ++=+⎰⎰⎰⎰⎰22442002562πd 2π2d π.423r r z z z z ⎛=+== ⎝⎰⎰ 14．解由特征方程2()320r r r ϕ=++=得特征根为121,2r r =-=-，所以，齐次方程的通解为212e e x x y c c --=+，又由1λ=-是特征方程的单根，于是*()e xy x ax b -=+，即2()Q x ax bx =+，代入公式2()()0()()3j j j Q x x ϕλ==∑中，得3,32a b ==-，所以*332y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而，原方程的通解为2121e e 31e 2x x x y c c x x ---⎛⎫=++- ⎪⎝⎭．15．解因为111()(1)1f x x x x x==---， 011(1)(2), |2|1112n n n x x x x ∞===---<-+-∑；100111112(2)(1)()(1), |2|2222222212n n n n n n n x x x x x x ∞∞+==--===-=--<-+-+∑∑；故101()(1)(1)(2), |2|12n n n n f x x x ∞+==----<∑．四、16．解 2211,z z y x x x y y ∂∂=-=-∂∂，令221010y xx y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得驻点(1,1)．因为 222232322,1,z z z x x x y y y∂∂∂===∂∂∂∂， 2222(1,1)(1,1)2, 1, 2, 1430zzA B C xy∂∂=====∆=-=-<∂∂，0A >，故有极小值，极小值为3z =．17．解 222222:36z x y D x y z x y⎧=+⇒+≤⎨=--⎩.方法一：222π62π2000d d d d d (62)d r rV v r z r r θθ-Ω===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰240192π32π99π22r r ⎡⎛⎫=-=-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.方法二：22222[6()()]d d [62]d d DDV x y x y x y r r r θ=-+-+=-⎰⎰⎰⎰2π2240019d (62)d 2π32π99π22r r r r θ⎡⎛⎫=-=-=-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰.18．解 1131limlim ,3(1)33n n n n n na n R a n ++→∞→∞===+. 当3x =时，级数11n n ∞=∑发散；当3x =-时，级数1(1)n n n ∞=-∑收敛，所以，级数的收敛域为[3,3)-．令111131(),()33133n n n n n n x x f x f x n x x -∞∞=='====--∑∑，001()(0)d ln(3)|ln 3ln(3)3xxf x f x x x x-==--=---⎰3 ()lnln(1)33x xf x -∴==-. 五、19．证明利用一阶微分形式不变性，有d d d y y y x y x x x z x y x x x y x y y y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''=-+++-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ϕϕψϕψψ从而2223222311z y y y x x x x x y z y y x x x x y y z y x x x y x y y y z y x x y x x y y ϕϕψϕψϕψψϕψ⎛⎫∂⎛⎫⎛⎫''=-+ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂⎛⎫''''=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫''=+- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂⎛⎫''''=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭于是2222220z z x y x y∂∂-=∂∂．。

第二学期高数(下)期末考试试卷及答案

第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1一、填空题(每空3 分，共15 分）1。

设,则.2。

曲面在点处的切平面方程是.3.交换累次积分的次序：.4.设闭区域D是由分段光滑的曲线L围成，则：使得格林公式：成立的充分条件是：。

其中L是D的取正向曲线；5.级数的收敛域是。

二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.当，时,函数的极限是A。

等于0； B. 等于；C。

等于; D. 不存在.2.函数在点处具有偏导数,是函数在该点可微分的A.充分必要条件；B。

充分但非必要条件；C。

必要但非充分条件； D. 既非充分又非必要条件。

3.设,则A。

; B。

；C.；D。

4.若级数在处收敛，则此级数在处A。

绝对收敛; B。

条件收敛；C.发散；D.收敛性不确定。

5。

微分方程的特解应设为A.;B.；C.;D.。

三。

（8分）设一平面通过点，而且通过直线,求该平面方程.解：平行该平面该平面的法向量所求的平面方程为：即：四.（8分)设，其中具有二阶连续偏导数,试求和.解：令，五.（8分）计算对弧长的曲线积分其中是圆周与直线在第一象限所围区域的边界.解：其中：：：：而故：六、（8分)计算对面积的曲面积分，其中为平面在第一卦限中的部分.解：：,七。

（8分）将函数,展开成的幂级数.解:，而,,,八。

（8分)求微分方程：的通解。

解:，原方程为：通解为：九。

幂级数:1。

试写出的和函数；（4分）2.利用第1问的结果求幂级数的和函数.（8分)解:1、于是2、令：由1知：且满足：通解：由，得:；故:十.设函数在上连续,且满足条件其中是由曲线，绕轴旋转一周而成的曲面与平面(参数)所围成的空间区域。

1、将三重积分写成累次积分的形式；（3分) 2、试求函数的表达式。

（7分）解:1、旋转曲面方程为：由，得：故在面的投影区域为：：2、由1得：记：则:两边乘以：，再在上积分得：解得：故:第二学期期末高数（下)考试试卷及答案2三、填空题(每空3 分，共15 分)1.曲线，绕轴旋转一周所得到的旋转曲面的方程是。

高等数学期末考试试卷(含答案)

高等数学期末考试试卷(含答案) 一、高等数学选择题
1．点是函数的间断点.
A、正确
B、不正确
【答案】A
2．是微分方程．
A、正确
B、不正确
【答案】A
二、二选择题
3．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
4．不定积分，其中为任意常数．
A、正确
B、不正确
【答案】B
5．极限（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
6．不定积分（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
7．设，不定积分（1）
（2）（3）则上述解法中（）．
A、第（1）步开始出错
B、第（2）步开始出错
C、第（3）步出错
D、全部正确
【答案】A
8．不定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
9．不定积分 ( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
10．极限．
A、正确
B、不正确
【答案】A
11．.
A、正确
B、不正确
【答案】A
12．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
13．曲线在点处切线的方程为（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
14．定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
15．微分方程的通解是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】C。

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高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。

2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。

3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。

4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（。

6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为。

7、方程04)4(=-y y的通解为。

8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。

二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。

3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（）（A ）4⎰⎰⎰22013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；2020/3/27（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。

4、球面22224a z y x =++与柱面ax y x 222=+所围成的立体体积V=（）（A ）⎰⎰-2cos 202244πθθa dr r a d ；（B ）⎰⎰-20cos 202244πθθa dr r a r d ；（C ）⎰⎰-20cos 202248πθθa dr r a r d ；（D ）⎰⎰--22cos 20224ππθθa dr r a r d 。

5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则⎰=+LQdy Pdx )(（A ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy x Q y P )(；（B ）⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy x P y Q )(；（C ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y Q x P )(；（D ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y P x Q )(。

6、下列说法中错误的是（）（A ）方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程；（B ）方程x y dxdyx dx dy ysin =+是一阶微分方程；（C ）方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程；（D ）方程xyx dx dy 221=+是伯努利方程。

7、已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y ，则曲线的方程为=y （）（A ）x e x2sin -；（B ）)2cos 2(sin x x e x-；（C ）)2sin 2(cos x x e x-；（D ）x e x2sin 。

8、设0lim =∞→n n nu , 则∑∞=1n nu（）（A ）收敛；（B ）发散；（C ）不一定；（D ）绝对收敛。

三、求解下列问题（共计15分）1、（7分）设g f ,均为连续可微函数。

)(),,(xy x g v xy x f u +==，求yu x u ∂∂∂∂,。

2、（8分）设⎰+-=t x tx dz z f t x u )(),(，求tux u ∂∂∂∂,。

四、求解下列问题（共计15分）。

1、计算=I ⎰⎰-2022xy dy edx 。

（7分） 2、计算⎰⎰⎰Ω+=dV y x I )(22，其中Ω是由x 21,222===+z z z y 及所围成的空间闭区域（8分）五、（13分）计算⎰++-=L y x ydxxdy I 22，其中L 是xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点)0,0(O 的封闭曲线的逆时针方向。

六、（9分）设对任意)(,,x f y x 满足方程)()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+，且)0(f '存在，求)(x f 。

七、（8分）求级数∑∞=++--11212)2()1(n n nn x 的收敛区间。

高等数学（下册）考试试卷（二）1、设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，则=∂∂+∂∂yzx z 。

2、=+-→→xyxyy x 93lim0 。

3、设⎰⎰=202),(x xdy y x f dx I ，交换积分次序后，=I 。

4、设)(u f 为可微函数，且,0)0(=f 则⎰⎰≤+→=++222)(1lim 223t y x t d y x f t σπ 。

5、设L 为取正向的圆周422=+y x ，则曲线积分⎰=-++Lx x dy x ye dx ye y )2()1( 。

6、设→→→+++++=k xy z j xz y i yz x A )()()(222，则=A div 。

7、通解为xxe c e c y 221-+=的微分方程是。

8、设⎩⎨⎧<<<≤--=ππx x x f 0,10,1)(，则它的Fourier 展开式中的=n a 。

2020/3/27二、选择题（每小题2分，共计16分）。

1、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222422y x y x yx xy y x f ,则在点（0，0）处（）（A ）连续且偏导数存在；（B ）连续但偏导数不存在；（C ）不连续但偏导数存在；（D ）不连续且偏导数不存在。

2、设),(y x u 在平面有界区域D 上具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂y x u 及 +∂∂22x u 022=∂∂yu，则（）（A ）最大值点和最小值点必定都在D 的内部；（B ）最大值点和最小值点必定都在D 的边界上；（C ）最大值点在D 的内部，最小值点在D 的边界上；（D ）最小值点在D 的内部，最大值点在D 的边界上。

3、设平面区域D ：1)1()2(22≤-+-y x ，若⎰⎰+=Dd y x I σ21)(，⎰⎰+=Dd y x I σ32)(则有（）（A ）21I I <；（B ） 21I I =；（C ）21I I >；（D ）不能比较。

4、设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间区域，则⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32 =（）（A ）3611；（B ）3621；（C ）3631 ；（D ）3641。

5、设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ )(βα≤≤t ，其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ，则曲线积分⎰=Lds y x f ),(（）(A) ⎰βαψϕdt t t f ))(),((； (B) ⎰'+'αβψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22 ；(C)⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22； (D)⎰αβψϕdt t t f ))(),((。

6、设∑是取外侧的单位球面1222=++z y x ，则曲面积分⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz =（）(A) 0 ； (B) π2 ； (C)π ； (D)π4。

7、下列方程中，设21,y y 是它的解，可以推知21y y +也是它的解的方程是（） (A) 0)()(=++'x q y x p y ； (B) 0)()(=+'+''y x q y x p y ；(C) )()()(x f y x q y x p y =+'+''； (D) 0)()(=+'+''x q y x p y 。

8、设级数∑∞=1n na为一交错级数，则（）(A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若)0(0→→n a n ，则必收敛。

三、求解下列问题（共计15分） 1、（8分）求函数)ln(22z y x u ++=在点A （0，1，0）沿A 指向点B （3，-2，2）的方向的方向导数。

2、（7分）求函数)4(),(2y x y x y x f --=在由直线0,0,6===+x y y x 所围成的闭区域D 上的最大值和最小值。

四、求解下列问题（共计15分） 1、（7分）计算⎰⎰⎰Ω+++=3)1(z y x dvI ，其中Ω是由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的立体域。

2、（8分）设)(x f 为连续函数，定义⎰⎰⎰Ω++=dv y x f z t F )]([)(222，其中{}222,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω，求dtdF 。

五、求解下列问题（15分） 1、（8分）求⎰-+-=Lx x dy m y e dx my y e I )cos ()sin (，其中L 是从A （a ，0）经2x ax y -=到O（0，0）的弧。

2、（7分）计算⎰⎰∑++=dxdy z dzdx y dydz x I 222，其中∑是)0(222a z z y x ≤≤=+ 的外侧。

六、（15分）设函数)(x ϕ具有连续的二阶导数，并使曲线积分⎰'++-'Lx dy x ydx xe x x )(])(2)(3[2ϕϕϕ与路径无关，求函数)(x ϕ。